முக்கோணவியல் சூத்திரங்கள். அடிப்படை முக்கோணவியல் அடையாளங்கள்

ஏமாற்று தாள்களை எழுத வேண்டாம் என்று நான் உங்களை நம்ப வைக்க முயற்சிக்க மாட்டேன். எழுது! டிரிகோனோமெட்ரியில் ஏமாற்றுத் தாள்கள் உட்பட. ஏமாற்றுத் தாள்கள் ஏன் தேவைப்படுகின்றன மற்றும் ஏமாற்றுத் தாள்கள் ஏன் பயனுள்ளதாக இருக்கும் என்பதை பின்னர் விளக்க திட்டமிட்டுள்ளேன். எப்படிக் கற்றுக் கொள்ளக்கூடாது, ஆனால் சில முக்கோணவியல் சூத்திரங்களை நினைவில் வைத்துக் கொள்வது பற்றிய தகவல் இங்கே உள்ளது. எனவே - ஒரு ஏமாற்று தாளில் இல்லாத முக்கோணவியல் நாம் மனப்பாடம் செய்ய சங்கங்களைப் பயன்படுத்துகிறோம்.

1. கூட்டல் சூத்திரங்கள்:

கொசைன்கள் எப்போதும் "ஜோடியாக வரும்": கொசைன்-கொசைன், சைன்-சைன். மேலும் ஒரு விஷயம்: கொசைன்கள் "போதாது". அவர்களுக்கு "எல்லாம் சரியாக இல்லை", எனவே அவர்கள் அடையாளங்களை மாற்றுகிறார்கள்: "-" "+", மற்றும் நேர்மாறாகவும்.

சைனஸ்கள் - "கலவை": sine-cosine, cosine-sine.

2. தொகை மற்றும் வேறுபாடு சூத்திரங்கள்:

கொசைன்கள் எப்போதும் "ஜோடியாக வரும்". இரண்டு கொசைன்களைச் சேர்ப்பதன் மூலம் - “கொலோபாக்ஸ்”, ஒரு ஜோடி கொசைன்களைப் பெறுகிறோம் - “கொலோபாக்ஸ்”. மற்றும் கழிப்பதன் மூலம், நாம் நிச்சயமாக எந்த கோலோபாக்களையும் பெற மாட்டோம். நாம் ஒரு ஜோடி சைன்களைப் பெறுகிறோம். மேலும் ஒரு மைனஸ் முன்னால்.

சைனஸ்கள் - "கலவை" :

3. ஒரு பொருளைத் தொகை மற்றும் வேறுபாடாக மாற்றுவதற்கான சூத்திரங்கள்.

கொசைன் ஜோடி எப்போது கிடைக்கும்? நாம் கொசைன்களைச் சேர்க்கும்போது. அதனால் தான்

நாம் எப்போது ஒரு ஜோடி சைன்களைப் பெறுவோம்? கொசைன்களைக் கழிக்கும்போது. இங்கிருந்து:

சைன்களைக் கூட்டும்போதும் கழிக்கும்போதும் “கலவை” பெறப்படுகிறது. இன்னும் வேடிக்கை என்ன: கூட்டல் அல்லது கழித்தல்? அது சரி, மடி. மேலும் சூத்திரத்திற்கு அவர்கள் கூடுதலாக எடுத்துக்கொள்கிறார்கள்:

முதல் மற்றும் மூன்றாவது சூத்திரங்களில், தொகை அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ளது. விதிமுறைகளின் இடங்களை மறுசீரமைப்பது தொகையை மாற்றாது. இரண்டாவது சூத்திரத்திற்கு மட்டுமே வரிசை முக்கியமானது. ஆனால், குழப்பமடையாமல் இருக்க, எளிதாக நினைவில் வைத்துக் கொள்ள, முதல் அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ள மூன்று சூத்திரங்களிலும் வித்தியாசத்தை எடுத்துக்கொள்கிறோம்.

மற்றும் இரண்டாவதாக - அளவு

உங்கள் பாக்கெட்டில் உள்ள ஏமாற்றுத் தாள்கள் உங்களுக்கு மன அமைதியைத் தரும்: நீங்கள் சூத்திரத்தை மறந்துவிட்டால், அதை நகலெடுக்கலாம். மேலும் அவை உங்களுக்கு நம்பிக்கையைத் தருகின்றன: நீங்கள் ஏமாற்று தாளைப் பயன்படுத்தத் தவறினால், நீங்கள் சூத்திரங்களை எளிதாக நினைவில் வைத்துக் கொள்ளலாம்.

இந்த கட்டுரையில் நாம் ஒரு விரிவான பார்வையை எடுப்போம். அடிப்படை முக்கோணவியல் அடையாளங்கள் ஒரு கோணத்தின் சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோடேன்ஜென்ட் ஆகியவற்றுக்கு இடையேயான தொடர்பை நிறுவும் சமத்துவங்களாகும், மேலும் அறியப்பட்ட மற்றொன்றின் மூலம் இந்த முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளில் ஏதேனும் ஒன்றைக் கண்டறிய அனுமதிக்கிறது.

இந்த கட்டுரையில் நாம் பகுப்பாய்வு செய்யும் முக்கிய முக்கோணவியல் அடையாளங்களை உடனடியாக பட்டியலிடுவோம். அவற்றை ஒரு அட்டவணையில் எழுதுவோம், கீழே இந்த சூத்திரங்களின் வெளியீட்டைக் கொடுப்போம் மற்றும் தேவையான விளக்கங்களை வழங்குவோம்.

பக்க வழிசெலுத்தல்.

ஒரு கோணத்தின் சைன் மற்றும் கொசைன் இடையே உள்ள உறவு

சில நேரங்களில் அவர்கள் மேலே உள்ள அட்டவணையில் பட்டியலிடப்பட்டுள்ள முக்கிய முக்கோணவியல் அடையாளங்களைப் பற்றி பேசுவதில்லை, ஆனால் ஒரு ஒற்றை பற்றி அடிப்படை முக்கோணவியல் அடையாளம்வகை . இந்த உண்மைக்கான விளக்கம் மிகவும் எளிமையானது: முக்கிய முக்கோணவியல் அடையாளத்திலிருந்து அதன் இரண்டு பகுதிகளையும் முறையே மற்றும் சமத்துவங்கள் மூலம் பிரித்த பிறகு சமத்துவங்கள் பெறப்படுகின்றன. மற்றும் sine, cosine, tangent மற்றும் cotangent ஆகியவற்றின் வரையறைகளிலிருந்து பின்பற்றவும். பின்வரும் பத்திகளில் இதைப் பற்றி மேலும் விரிவாகப் பேசுவோம்.

அதாவது, முக்கிய முக்கோணவியல் அடையாளத்தின் பெயர் கொடுக்கப்பட்ட குறிப்பிட்ட ஆர்வமுள்ள சமத்துவம்.

முக்கிய முக்கோணவியல் அடையாளத்தை நிரூபிக்கும் முன், அதன் உருவாக்கத்தை நாங்கள் தருகிறோம்: ஒரு கோணத்தின் சைன் மற்றும் கொசைன் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகை ஒன்றுக்கு சமமாக இருக்கும். இப்போது அதை நிரூபிப்போம்.

அடிப்படை முக்கோணவியல் அடையாளம் எப்போது பயன்படுத்தப்படுகிறது முக்கோணவியல் வெளிப்பாடுகளை மாற்றுதல். இது ஒரு கோணத்தின் சைன் மற்றும் கோசைனின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகையை ஒன்றால் மாற்ற அனுமதிக்கிறது. அடிப்படை முக்கோணவியல் அடையாளம் குறைவாகவே பயன்படுத்தப்படுகிறது தலைகீழ் வரிசை: அலகு எந்த கோணத்தின் சைன் மற்றும் கோசைனின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகையால் மாற்றப்படுகிறது.

சைன் மற்றும் கோசைன் மூலம் தொடு மற்றும் கோடேன்ஜென்ட்

ஒரு கோணத்தின் சைன் மற்றும் கோசைனுடன் டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோடேன்ஜென்ட் ஆகியவற்றை இணைக்கும் அடையாளங்கள் மற்றும் sine, cosine, tangent மற்றும் cotangent ஆகியவற்றின் வரையறைகளிலிருந்து உடனடியாகப் பின்பற்றவும். உண்மையில், வரையறையின்படி, சைன் என்பது y இன் ஆர்டினேட், கொசைன் என்பது x இன் அப்சிஸ்ஸா, டேன்ஜென்ட் என்பது அப்சிசாவுக்கு ஆர்டினேட்டின் விகிதமாகும், அதாவது, , மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட் என்பது அப்சிஸ்ஸாவின் ஆர்டினேட்டிற்கான விகிதமாகும், அதாவது, .

அடையாளங்கள் மற்றும் போன்ற வெளிப்படையான நன்றி தொடு மற்றும் கோடேன்ஜென்ட் பெரும்பாலும் அப்சிஸ்ஸா மற்றும் ஆர்டினேட் விகிதத்தின் மூலம் வரையறுக்கப்படவில்லை, மாறாக சைன் மற்றும் கொசைன் விகிதத்தின் மூலம் வரையறுக்கப்படுகிறது. எனவே ஒரு கோணத்தின் தொடுகோடு என்பது இந்த கோணத்தின் கோசைனுக்கு சைனின் விகிதமாகும், மேலும் கோட்டான்ஜென்ட் என்பது கோசைனுக்கும் சைனுக்கும் உள்ள விகிதமாகும்.

இந்த பத்தியின் முடிவில், அடையாளங்கள் மற்றும் அவற்றில் சேர்க்கப்பட்டுள்ள முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள் அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கும் அனைத்து கோணங்களிலும் நடைபெறும். எனவே சூத்திரம் செல்லுபடியாகும் , தவிர (இல்லையெனில் வகுப்பில் பூஜ்ஜியம் இருக்கும், மேலும் நாங்கள் பூஜ்ஜியத்தால் வகுத்தலை வரையறுக்கவில்லை) மற்றும் சூத்திரம் - அனைத்திற்கும், z என்பது எந்த இடத்தில் இருந்து வேறுபட்டது.

தொடுகோடு மற்றும் கோடேன்ஜென்ட் இடையே உள்ள உறவு

முந்தைய இரண்டைக் காட்டிலும் இன்னும் தெளிவான முக்கோணவியல் அடையாளம் என்பது படிவத்தின் ஒரு கோணத்தின் தொடுகோடு மற்றும் கோடேன்ஜென்ட் ஆகியவற்றை இணைக்கும் அடையாளமாகும். . இது தவிர வேறு எந்த கோணங்களுக்கும் உள்ளது என்பது தெளிவாகிறது, இல்லையெனில் தொடுகோடு அல்லது கோடேன்ஜென்ட் வரையறுக்கப்படவில்லை.

சூத்திரத்தின் ஆதாரம் மிகவும் எளிமையானது. வரையறை மற்றும் எங்கிருந்து . ஆதாரத்தை கொஞ்சம் வித்தியாசமாக நடத்தியிருக்கலாம். இருந்து , அது .

எனவே, அவை அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கும் அதே கோணத்தின் தொடுகோடு மற்றும் கோடேன்ஜென்ட்.

α மற்றும் β ஆகிய இரு கோணங்களுக்கான சைன்கள் மற்றும் கோசைன்களின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் வேறுபாட்டிற்கான சூத்திரங்கள், இந்தக் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகையிலிருந்து α + β 2 மற்றும் α - β 2 ஆகிய கோணங்களின் பெருக்கத்திற்குச் செல்ல அனுமதிக்கின்றன. சைன்கள் மற்றும் கோசைன்களின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் வேறுபாட்டிற்கான சூத்திரங்களை நீங்கள் கூட்டுத்தொகை மற்றும் வேறுபாட்டின் சைன்கள் மற்றும் கோசைன்களுக்கான சூத்திரங்களுடன் குழப்பக்கூடாது என்பதை உடனடியாக கவனிக்க வேண்டும். கீழே நாங்கள் இந்த சூத்திரங்களை பட்டியலிடுகிறோம், அவற்றின் வழித்தோன்றல்களைக் கொடுக்கிறோம் மற்றும் குறிப்பிட்ட சிக்கல்களுக்கான பயன்பாட்டின் எடுத்துக்காட்டுகளைக் காட்டுகிறோம்.

Yandex.RTB R-A-339285-1

சைன்கள் மற்றும் கோசைன்களின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் வேறுபாட்டிற்கான சூத்திரங்கள்

சைன்கள் மற்றும் கோசைன்களுக்கான தொகை மற்றும் வேறுபாடு சூத்திரங்கள் எப்படி இருக்கும் என்பதை எழுதுவோம்

சைன்களுக்கான தொகை மற்றும் வேறுபாடு சூத்திரங்கள்

sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α - β 2 sin α - sin β = 2 sin α - β 2 cos α + β 2

கொசைன்களுக்கான தொகை மற்றும் வேறுபாடு சூத்திரங்கள்

cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β = - 2 sin α + β 2 cos α - β 2 , cos α - cos β = 2 sin 2 · + β - α 2

இந்த சூத்திரங்கள் α மற்றும் β எந்த கோணங்களுக்கும் செல்லுபடியாகும். கோணங்கள் α + β 2 மற்றும் α - β 2 ஆகியவை முறையே ஆல்பா மற்றும் பீட்டா கோணங்களின் அரை-தொகை மற்றும் அரை-வேறுபாடு என்று அழைக்கப்படுகின்றன. ஒவ்வொரு ஃபார்முலாவிற்கும் ஃபார்முலேஷனைக் கொடுப்போம்.

சைன்கள் மற்றும் கொசைன்களின் தொகைகள் மற்றும் வேறுபாடுகளுக்கான சூத்திரங்களின் வரையறைகள்

இரண்டு கோணங்களின் சைன்களின் கூட்டுத்தொகைஇந்த கோணங்களின் அரைத் தொகையின் சைன் மற்றும் அரை-வேறுபாட்டின் கோசைனின் இரண்டு மடங்கு பெருக்கத்திற்குச் சமம்.

இரண்டு கோணங்களின் சைன்களின் வேறுபாடுஇந்த கோணங்களின் அரை-வேறுபாட்டின் சைன் மற்றும் அரை-தொகையின் கொசைனின் இரண்டு மடங்கு பெருக்கத்திற்கு சமம்.

இரண்டு கோணங்களின் கொசைன்களின் கூட்டுத்தொகைஇந்த கோணங்களின் அரை-தொகை மற்றும் அரை-வேறுபாட்டின் கொசைனின் இரண்டு மடங்கு பெருக்கத்திற்கு சமம்.

இரண்டு கோணங்களின் கோசைன்களின் வேறுபாடுஎதிர்மறை அடையாளத்துடன் எடுக்கப்பட்ட இந்த கோணங்களின் அரை-தொகை மற்றும் கோசைன் பாதி-வேறுபாட்டின் இரண்டு மடங்கு பெருக்கத்திற்கு சமம்.

சைன்கள் மற்றும் கொசைன்களின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் வேறுபாட்டிற்கான சூத்திரங்களைப் பெறுதல்

இரண்டு கோணங்களின் சைன் மற்றும் கோசைனின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் வேறுபாட்டிற்கான சூத்திரங்களைப் பெற, கூட்டல் சூத்திரங்கள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. அவற்றை கீழே பட்டியலிடுவோம்

sin (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β sin (α - β) = sin α · cos β - cos α · sin β cos (α + β) = cos α · cos β - பாவம் α sin β cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

அரைத் தொகைகள் மற்றும் பாதி வேறுபாடுகளின் கூட்டுத்தொகையாக கோணங்களை கற்பனை செய்து கொள்வோம்.

α = α + β 2 + α - β 2 = α 2 + β 2 + α 2 - β 2 β = α + β 2 - α - β 2 = α 2 + β 2 - α 2 + β 2

பாவம் மற்றும் காஸ் ஆகியவற்றிற்கான கூட்டு மற்றும் வேறுபாடு சூத்திரங்களின் வழித்தோன்றலுக்கு நேரடியாக செல்கிறோம்.

சைன்களின் கூட்டுத்தொகைக்கான சூத்திரத்தின் வழித்தோன்றல்

கூட்டுத்தொகை sin α + sin β இல், மேலே கொடுக்கப்பட்டுள்ள இந்தக் கோணங்களுக்கான வெளிப்பாடுகளுடன் α மற்றும் β ஐ மாற்றுவோம். நாம் பெறுகிறோம்

பாவம் α + பாவம் β = பாவம் α + β 2 + α - β 2 + பாவம் α + β 2 - α - β 2

இப்போது நாம் கூட்டல் சூத்திரத்தை முதல் வெளிப்பாட்டிற்குப் பயன்படுத்துகிறோம், இரண்டாவதாக - கோண வேறுபாடுகளின் சைனுக்கான சூத்திரம் (மேலே உள்ள சூத்திரங்களைப் பார்க்கவும்)

சின் - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 அடைப்புக்குறிகளைத் திறந்து, ஒத்த சொற்களைச் சேர்த்து, தேவையான சூத்திரத்தைப் பெறவும்

sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 பாவம் α + 2 cos α - β 2

மீதமுள்ள சூத்திரங்களைப் பெறுவதற்கான படிகள் ஒத்தவை.

சைன்களின் வேறுபாட்டிற்கான சூத்திரத்தின் வழித்தோன்றல்

பாவம் α - பாவம் β = பாவம் α + β 2 + α - β 2 - பாவம் α + β 2 - α - β 2 பாவம் α + β 2 + α - β 2 - பாவம் α + β 2 - α - β 2 = பாவம் α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 - sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin β 2 - cos α + β 2

கொசைன்களின் கூட்டுத்தொகைக்கான சூத்திரத்தின் வழித்தோன்றல்

cos α + cos β = cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - 2 = - β α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 + cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = 2 cos β + cos α - β 2

கொசைன்களின் வேறுபாட்டிற்கான சூத்திரத்தின் வழித்தோன்றல்

cos α - cos β = cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - 2 - β α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 - cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = - 2 sin β + 2 பாவம் α - β 2

நடைமுறை சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள்

முதலில், குறிப்பிட்ட கோண மதிப்புகளை மாற்றுவதன் மூலம் சூத்திரங்களில் ஒன்றைச் சரிபார்ப்போம். α = π 2, β = π 6 எனலாம். இந்தக் கோணங்களின் சைன்களின் கூட்டுத்தொகையின் மதிப்பைக் கணக்கிடுவோம். முதலில், முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் அடிப்படை மதிப்புகளின் அட்டவணையைப் பயன்படுத்துவோம், பின்னர் சைன்களின் கூட்டுத்தொகைக்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவோம்.

எடுத்துக்காட்டு 1. இரண்டு கோணங்களின் சைன்களின் கூட்டுத்தொகைக்கான சூத்திரத்தைச் சரிபார்க்கிறது

α = π 2, β = π 6 பாவம் π 2 + பாவம் π 6 = 1 + 1 2 = 3 2 பாவம் π 2 + பாவம் π 6 = 2 பாவம் π 2 + π 6 2 காஸ் π 2 - π 6 2 = 2 பாவம் π 3 cos π 6 = 2 3 2 3 2 = 3 2

கோண மதிப்புகள் அட்டவணையில் வழங்கப்பட்ட அடிப்படை மதிப்புகளிலிருந்து வேறுபடும் போது இப்போது வழக்கைக் கருத்தில் கொள்வோம். α = 165°, β = 75° ஆக இருக்கட்டும். இந்த கோணங்களின் சைன்களுக்கு இடையிலான வேறுபாட்டைக் கணக்கிடுவோம்.

எடுத்துக்காட்டு 2. சைன்ஸ் சூத்திரத்தின் வேறுபாட்டின் பயன்பாடு

α = 165 °, β = 75 ° பாவம் α - பாவம் β = பாவம் 165 ° - பாவம் 75 ° பாவம் 165 - பாவம் 75 = 2 பாவம் 165 ° - பாவம் 75 ° 2 காஸ் 165 ° + பாவம் 75 ° 2 = = 2 பாவம் 45 ° cos 120° = 2 2 2 - 1 2 = 2 2

சைன்கள் மற்றும் கொசைன்களின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் வேறுபாட்டிற்கான சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி, நீங்கள் கூட்டுத்தொகை அல்லது வேறுபாட்டிலிருந்து முக்கோணவியல் சார்புகளின் பெருக்கத்திற்கு செல்லலாம். பெரும்பாலும் இந்த சூத்திரங்கள் ஒரு தொகையிலிருந்து ஒரு தயாரிப்புக்கு நகர்த்துவதற்கான சூத்திரங்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. சைன்கள் மற்றும் கொசைன்களின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் வேறுபாட்டிற்கான சூத்திரங்கள் தீர்க்கும் போது பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன முக்கோணவியல் சமன்பாடுகள்மற்றும் முக்கோணவியல் வெளிப்பாடுகளை மாற்றும் போது.

உரையில் பிழையைக் கண்டால், அதை முன்னிலைப்படுத்தி Ctrl+Enter ஐ அழுத்தவும்

- நிச்சயமாக முக்கோணவியலில் பணிகள் இருக்கும். சைன்கள், கொசைன்கள், டேன்ஜென்ட்கள் மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட்கள் ஆகியவற்றால் நிறைந்திருக்கும் கடினமான சூத்திரங்களின் தேவைக்காக முக்கோணவியல் பெரும்பாலும் விரும்பப்படுவதில்லை. யூலர் மற்றும் பீல் சூத்திரங்களின் உதாரணத்தைப் பயன்படுத்தி மறந்துபோன சூத்திரத்தை எவ்வாறு நினைவில் கொள்வது என்பது குறித்த தளம் ஏற்கனவே ஒருமுறை ஆலோசனை வழங்கியது.

இந்த கட்டுரையில், ஐந்து எளியவற்றை மட்டுமே உறுதியாக அறிந்தால் போதும் என்பதைக் காட்ட முயற்சிப்போம் முக்கோணவியல் சூத்திரங்கள், மற்றும் மீதமுள்ளவை பற்றி பொதுவான யோசனைநீங்கள் போகும்போது அவர்களை வெளியே கொண்டு வாருங்கள். இது டிஎன்ஏவைப் போன்றது: முடிக்கப்பட்ட உயிரினத்தின் முழுமையான வரைபடங்களை மூலக்கூறு சேமிக்காது. மாறாக, கிடைக்கக்கூடிய அமினோ அமிலங்களிலிருந்து அதைச் சேர்ப்பதற்கான வழிமுறைகளைக் கொண்டுள்ளது. எனவே முக்கோணவியலில், சிலவற்றை அறிவது பொதுவான கொள்கைகள், மனதில் கொள்ள வேண்டிய ஒரு சிறிய தொகுப்பிலிருந்து தேவையான அனைத்து சூத்திரங்களையும் பெறுவோம்.

பின்வரும் சூத்திரங்களை நாங்கள் நம்புவோம்:

சைன் மற்றும் கொசைன் தொகைகளுக்கான சூத்திரங்களிலிருந்து, கோசைன் செயல்பாட்டின் சமநிலை மற்றும் சைன் செயல்பாட்டின் விந்தையைப் பற்றி அறிந்து, b க்கு பதிலாக -b ஐப் பயன்படுத்துவதன் மூலம், வேறுபாடுகளுக்கான சூத்திரங்களைப் பெறுகிறோம்:

1. வித்தியாசத்தின் சைன்: பாவம்(a-b) = பாவம்அcos(-ஆ)+cosஅபாவம்(-ஆ) = பாவம்அcosபி-cosஅபாவம்பி
2. வித்தியாசத்தின் கொசைன்: cos(a-b) = cosஅcos(-ஆ)-பாவம்அபாவம்(-ஆ) = cosஅcosபி+பாவம்அபாவம்பி

ஒரே சூத்திரங்களில் a = b ஐ வைத்து, இரட்டை கோணங்களின் சைன் மற்றும் கொசைன் சூத்திரங்களைப் பெறுகிறோம்:

1. இரட்டை கோணத்தின் சைன்: பாவம்2a = பாவம்(a+a) = பாவம்அcosஅ+cosஅபாவம்அ = 2பாவம்அcosஅ
2. இரட்டை கோணத்தின் கொசைன்: cos2a = cos(a+a) = cosஅcosஅ-பாவம்அபாவம்அ = cos2 அ-பாவம்2 அ

மற்ற பல கோணங்களுக்கான சூத்திரங்கள் இதேபோல் பெறப்படுகின்றன:

1. மூன்று கோணத்தின் சைன்: பாவம்3a = பாவம்(2a+a) = பாவம்2acosஅ+cos2aபாவம்அ = (2பாவம்அcosஅ)cosஅ+(cos2 அ-பாவம்2 அ)பாவம்அ = 2பாவம்அcos2 அ+பாவம்அcos2 அ-பாவம் 3 a = 3 பாவம்அcos2 அ-பாவம் 3 a = 3 பாவம்அ(1-பாவம்2 அ)-பாவம் 3 a = 3 பாவம்அ-4பாவம் 3a
2. மூன்று கோணத்தின் கோசைன்: cos3a = cos(2a+a) = cos2acosஅ-பாவம்2aபாவம்அ = (cos2 அ-பாவம்2 அ)cosஅ-(2பாவம்அcosஅ)பாவம்அ = cos 3 a- பாவம்2 அcosஅ-2பாவம்2 அcosஅ = cos 3 a-3 பாவம்2 அcosஅ = cos 3 a-3(1- cos2 அ)cosஅ = 4cos 3 a-3 cosஅ

தொடர்வதற்கு முன், ஒரு சிக்கலைப் பார்ப்போம்.
கொடுக்கப்பட்டது: கோணம் கடுமையானது.
இருந்தால் அதன் கொசைனைக் கண்டறியவும்
ஒரு மாணவர் அளித்த தீர்வு:
ஏனெனில் , அது பாவம்அ= 3, ஏ cosஅ = 4.
(கணித நகைச்சுவையிலிருந்து)

எனவே, டேன்ஜென்ட்டின் வரையறை இந்த செயல்பாட்டை சைன் மற்றும் கொசைன் இரண்டிற்கும் தொடர்புபடுத்துகிறது. ஆனால் கோசைனுடன் மட்டுமே தொடுகோடு தொடர்புடைய சூத்திரத்தை நீங்கள் பெறலாம். அதைப் பெற, நாம் முக்கிய முக்கோணவியல் அடையாளத்தை எடுத்துக்கொள்கிறோம்: பாவம் 2 அ+cos 2 அ= 1 மற்றும் அதை வகுக்கவும் cos 2 அ. நாங்கள் பெறுகிறோம்:

எனவே, இந்த சிக்கலுக்கான தீர்வு பின்வருமாறு:

(கோணம் கூர்மையாக இருப்பதால், வேரைப் பிரித்தெடுக்கும்போது, ​​+ குறி எடுக்கப்படுகிறது)

ஒரு தொகையின் தொடுகோடுக்கான சூத்திரம் நினைவில் கொள்வது கடினம். இதை இப்படி வெளியிடுவோம்:

உடனடியாக காட்டப்படும் மற்றும்

இரட்டைக் கோணத்திற்கான கொசைன் சூத்திரத்திலிருந்து, அரைக் கோணத்திற்கான சைன் மற்றும் கொசைன் சூத்திரங்களைப் பெறலாம். இதைச் செய்ய, இரட்டை கோண கொசைன் சூத்திரத்தின் இடது பக்கத்தைப் பயன்படுத்தவும்:
cos2 அ = cos 2 அ-பாவம் 2 அ
நாங்கள் ஒன்றைச் சேர்க்கிறோம், வலதுபுறம் - ஒரு முக்கோணவியல் அலகு, அதாவது. சைன் மற்றும் கொசைன் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகை.
cos2a+1 = cos2 அ-பாவம்2 அ+cos2 அ+பாவம்2 அ
2cos 2 அ = cos2 அ+1
வெளிப்படுத்துகிறது cosஅமூலம் cos2 அமற்றும் மாறிகளின் மாற்றத்தைச் செய்வதன் மூலம், நாம் பெறுகிறோம்:

நால்வரைப் பொறுத்து அடையாளம் எடுக்கப்படுகிறது.

இதேபோல், சமத்துவத்தின் இடது பக்கத்திலிருந்து ஒன்றைக் கழித்தால், வலதுபுறத்தில் இருந்து சைன் மற்றும் கோசைனின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகை, நாம் பெறுகிறோம்:
cos2a-1 = cos2 அ-பாவம்2 அ-cos2 அ-பாவம்2 அ
2பாவம் 2 அ = 1-cos2 அ

இறுதியாக, முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் கூட்டுத்தொகையை ஒரு தயாரிப்பாக மாற்ற, பின்வரும் நுட்பத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம். சைன்களின் கூட்டுத்தொகையை ஒரு தயாரிப்பாகக் குறிப்பிட வேண்டும் என்று வைத்துக்கொள்வோம் பாவம்அ+பாவம்பி. a = x+y, b+x-y போன்ற மாறிகள் x மற்றும் y ஐ அறிமுகப்படுத்துவோம். பிறகு
பாவம்அ+பாவம்பி = பாவம்(x+y)+ பாவம்(x-y) = பாவம் x cos y+ cos x பாவம் y+ பாவம் x cos y- cos x பாவம் y=2 பாவம் x cosஒய். இப்போது x மற்றும் y ஐ a மற்றும் b அடிப்படையில் வெளிப்படுத்துவோம்.

a = x+y, b = x-y, பின்னர் . அதனால் தான்

நீங்கள் உடனடியாக திரும்பப் பெறலாம்

1. பகிர்வுக்கான சூத்திரம் சைன் மற்றும் கொசைன் தயாரிப்புகள்வி தொகை: பாவம்அcosபி = 0.5(பாவம்(a+b)+பாவம்(a-b))

சைன்களின் வேறுபாட்டையும் கொசைன்களின் கூட்டுத்தொகையையும் வேறுபாட்டையும் தயாரிப்பாக மாற்றுவதற்கும், சைன்கள் மற்றும் கொசைன்களின் தயாரிப்புகளை கூட்டுத்தொகையாகப் பிரிப்பதற்கும் நீங்களே சூத்திரங்களைப் பயிற்சி செய்து பெறுமாறு பரிந்துரைக்கிறோம். இந்த பயிற்சிகளை முடித்த பிறகு, முக்கோணவியல் சூத்திரங்களைப் பெறுவதில் நீங்கள் முழுமையாக தேர்ச்சி பெறுவீர்கள், மேலும் மிகவும் கடினமான சோதனை, ஒலிம்பியாட் அல்லது சோதனையில் கூட தொலைந்து போக மாட்டீர்கள்.

முக்கோணவியல் - பிரிவு கணித அறிவியல், இது முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளையும் வடிவவியலில் அவற்றின் பயன்பாட்டையும் ஆராய்கிறது. முக்கோணவியல் வளர்ச்சி முந்தைய நாட்களில் தொடங்கியது பண்டைய கிரீஸ். இடைக்காலத்தில், மத்திய கிழக்கு மற்றும் இந்தியாவைச் சேர்ந்த விஞ்ஞானிகள் இந்த அறிவியலின் வளர்ச்சிக்கு முக்கிய பங்களிப்பை வழங்கினர்.

இந்த கட்டுரை முக்கோணவியலின் அடிப்படை கருத்துக்கள் மற்றும் வரையறைகளுக்கு அர்ப்பணிக்கப்பட்டுள்ளது. இது அடிப்படை முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் வரையறைகளைப் பற்றி விவாதிக்கிறது: சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோடேன்ஜென்ட். அவற்றின் அர்த்தம் வடிவவியலின் பின்னணியில் விளக்கப்பட்டு விளக்கப்பட்டுள்ளது.

Yandex.RTB R-A-339285-1

ஆரம்பத்தில், முக்கோணவியல் சார்புகளின் வரையறைகள் கோணம் என்பது ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் பக்கங்களின் விகிதத்தின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்தப்பட்டது.

முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் வரையறைகள்

ஒரு கோணத்தின் சைன் (sin α) என்பது இந்த கோணத்திற்கு எதிரே உள்ள காலின் ஹைப்போடென்யூஸுக்கு உள்ள விகிதமாகும்.

கோணத்தின் கோசைன் (cos α) - ஹைபோடென்யூஸுக்கு அருகிலுள்ள காலின் விகிதம்.

ஆங்கிள் டேன்ஜென்ட் (t g α) - எதிர் பக்கத்தின் அடுத்த பக்கத்தின் விகிதம்.

ஆங்கிள் கோடேன்ஜென்ட் (c t g α) - எதிர் பக்கத்திற்கு அருகில் உள்ள பக்கத்தின் விகிதம்.

இந்த வரையறைகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன கடுமையான கோணம்வலது முக்கோணம்!

ஒரு உதாரணம் தருவோம்.

வலது கோணம் C கொண்ட ABC முக்கோணத்தில், A கோணத்தின் சைன், லெக் BC மற்றும் ஹைபோடென்யூஸ் AB விகிதத்திற்கு சமமாக இருக்கும்.

சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட் ஆகியவற்றின் வரையறைகள் முக்கோணத்தின் பக்கங்களின் அறியப்பட்ட நீளங்களிலிருந்து இந்த செயல்பாடுகளின் மதிப்புகளைக் கணக்கிட உங்களை அனுமதிக்கின்றன.

நினைவில் கொள்வது முக்கியம்!

சைன் மற்றும் கொசைன் மதிப்புகளின் வரம்பு -1 முதல் 1 வரை உள்ளது. வேறுவிதமாகக் கூறினால், சைன் மற்றும் கொசைன் -1 முதல் 1 வரையிலான மதிப்புகளை எடுத்துக்கொள்கின்றன. டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோடேன்ஜென்ட்டின் மதிப்புகளின் வரம்பு முழு எண் கோடு, அதாவது, இந்த செயல்பாடுகள் எந்த மதிப்புகளையும் எடுக்கலாம்.

மேலே கொடுக்கப்பட்ட வரையறைகள் கடுமையான கோணங்களுக்கு பொருந்தும். முக்கோணவியலில், ஒரு சுழற்சி கோணத்தின் கருத்து அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது, இதன் மதிப்பு, ஒரு தீவிர கோணம் போலல்லாமல், டிகிரி அல்லது ரேடியன்களில் உள்ள சுழற்சி கோணம் - ∞ முதல் + ∞ வரையிலான எந்த உண்மையான எண்ணாலும் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது. .

இந்தச் சூழலில், தன்னிச்சையான அளவின் ஒரு கோணத்தின் சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட் ஆகியவற்றை நாம் வரையறுக்கலாம். கார்ட்டீசியன் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பின் தோற்றத்தில் அதன் மையத்துடன் ஒரு அலகு வட்டத்தை கற்பனை செய்வோம்.

ஆயத்தொலைவுகளுடன் கூடிய ஆரம்பப் புள்ளி A (1, 0) அலகு வட்டத்தின் மையத்தைச் சுற்றி ஒரு குறிப்பிட்ட கோணம் α மூலம் சுழன்று புள்ளி A 1 க்குச் செல்கிறது. புள்ளி A 1 (x, y) இன் ஆயங்களின் அடிப்படையில் வரையறை கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.

சுழற்சி கோணத்தின் சைன் (பாவம்).

சுழற்சி கோணம் α இன் சைன் என்பது புள்ளி A 1 (x, y) இன் ஆர்டினேட் ஆகும். பாவம் α = y

சுழற்சி கோணத்தின் கோசைன் (காஸ்).

சுழற்சி கோணம் α இன் கொசைன் என்பது புள்ளி A 1 (x, y) இன் abscissa ஆகும். cos α = x

சுழற்சி கோணத்தின் தொடுகோடு (tg).

சுழற்சி கோணம் α இன் தொடுகோடு என்பது புள்ளி A 1 (x, y) க்கு அதன் abscissa வின் ஆர்டினேட்டின் விகிதமாகும். t g α = y x

சுழற்சி கோணத்தின் கோடேன்ஜென்ட் (ctg).

சுழற்சி கோணம் α இன் கோடேன்ஜென்ட் என்பது A 1 (x, y) புள்ளியின் abscissa மற்றும் அதன் ஆர்டினேட்டுக்கான விகிதமாகும். c t g α = x y

எந்த சுழற்சி கோணத்திற்கும் சைன் மற்றும் கோசைன் வரையறுக்கப்படுகிறது. இது தர்க்கரீதியானது, ஏனென்றால் சுழற்சிக்குப் பிறகு ஒரு புள்ளியின் abscissa மற்றும் ordinate எந்த கோணத்திலும் தீர்மானிக்கப்படலாம். டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோடேன்ஜென்ட் ஆகியவற்றுடன் நிலைமை வேறுபட்டது. சுழற்சிக்குப் பிறகு ஒரு புள்ளி பூஜ்ஜிய அப்சிஸ்ஸா (0, 1) மற்றும் (0, - 1) கொண்ட ஒரு புள்ளிக்கு செல்லும் போது தொடுகோடு வரையறுக்கப்படவில்லை. இது போன்ற சமயங்களில், தொடுவான t g α = y xக்கான வெளிப்பாடு பூஜ்ஜியத்தால் வகுப்பதைக் கொண்டிருப்பதால், அது அர்த்தமுள்ளதாக இருக்காது. கோட்டான்ஜென்ட்டிலும் இதே நிலைதான். வித்தியாசம் என்னவென்றால், ஒரு புள்ளியின் ஆர்டினேட் பூஜ்ஜியத்திற்குச் செல்லும் சந்தர்ப்பங்களில் கோட்டான்ஜென்ட் வரையறுக்கப்படவில்லை.

நினைவில் கொள்வது முக்கியம்!

சைன் மற்றும் கொசைன் எந்த கோணங்களுக்கும் α வரையறுக்கப்படுகிறது.

α = 90° + 180° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) தவிர அனைத்து கோணங்களுக்கும் டேன்ஜெண்ட் வரையறுக்கப்படுகிறது

α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z) தவிர அனைத்து கோணங்களுக்கும் கோடேன்ஜென்ட் வரையறுக்கப்படுகிறது

தீர்மானிக்கும் போது நடைமுறை உதாரணங்கள்"சுழற்சி கோணத்தின் சைன் α" என்று கூற வேண்டாம். "சுழற்சியின் கோணம்" என்ற சொற்கள் வெறுமனே தவிர்க்கப்பட்டுள்ளன, இது என்ன விவாதிக்கப்படுகிறது என்பது சூழலில் இருந்து ஏற்கனவே தெளிவாக உள்ளது என்பதைக் குறிக்கிறது.

எண்கள்

சுழற்சியின் கோணத்தை விட, ஒரு எண்ணின் சைன், கோசைன், டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோடேன்ஜென்ட் ஆகியவற்றை தீர்மானிப்பது பற்றி என்ன?

ஒரு எண்ணின் சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட், கோடேன்ஜென்ட்

ஒரு எண்ணின் சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோடேன்ஜென்ட் டிசைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோடேன்ஜென்ட் ஆகியவற்றுக்கு முறையே சமமான எண் டிரேடியன்.

எடுத்துக்காட்டாக, 10 π என்ற எண்ணின் சைன், 10 π ரேடின் சுழற்சிக் கோணத்தின் சைனுக்குச் சமம்.

ஒரு எண்ணின் சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோடேன்ஜென்ட் ஆகியவற்றை தீர்மானிக்க மற்றொரு அணுகுமுறை உள்ளது. அதைக் கூர்ந்து கவனிப்போம்.

எந்த உண்மையான எண் டிஅலகு வட்டத்தின் ஒரு புள்ளி செவ்வக கார்ட்டீசியன் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பின் தோற்றத்தில் மையத்துடன் தொடர்புடையது. சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட் ஆகியவை இந்த புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகள் மூலம் தீர்மானிக்கப்படுகின்றன.

வட்டத்தின் தொடக்கப் புள்ளி ஆயத்தொகுதிகளுடன் (1, 0) புள்ளி A ஆகும்.

நேர்மறை எண் டி

எதிர்மறை எண் டிவட்டத்தை எதிரெதிர் திசையில் நகர்த்தி t பாதையைக் கடந்தால் தொடக்கப் புள்ளி செல்லும் புள்ளிக்கு ஒத்திருக்கிறது.

இப்போது ஒரு வட்டத்தில் ஒரு எண் மற்றும் ஒரு புள்ளிக்கு இடையேயான இணைப்பு நிறுவப்பட்டது, நாம் சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோடேன்ஜென்ட் ஆகியவற்றின் வரையறைக்கு செல்கிறோம்.

t இன் சைன் (பாவம்).

ஒரு எண்ணின் சைன் டி- எண்ணுடன் தொடர்புடைய அலகு வட்டத்தில் ஒரு புள்ளியை ஒழுங்குபடுத்தவும் டி. sin t = y

கொசைன் (காஸ்) இன் டி

ஒரு எண்ணின் கோசைன் டி- எண்ணுடன் தொடர்புடைய அலகு வட்டத்தின் புள்ளியின் abscissa டி. காஸ் t = x

t இன் டேன்ஜென்ட் (tg).

ஒரு எண்ணின் தொடுகோடு டி- எண்ணுடன் தொடர்புடைய அலகு வட்டத்தில் ஒரு புள்ளியின் abscissa க்கு ஆர்டினேட்டின் விகிதம் டி. t g t = y x = sin t cos t

சமீபத்திய வரையறைகள் இந்தப் பத்தியின் தொடக்கத்தில் கொடுக்கப்பட்ட வரையறைக்கு இணங்க உள்ளன மற்றும் முரண்படவில்லை. எண்ணுடன் தொடர்புடைய வட்டத்தில் சுட்டிக்காட்டவும் டி, ஒரு கோணத்தில் திரும்பிய பிறகு தொடக்கப் புள்ளி செல்லும் புள்ளியுடன் ஒத்துப்போகிறது டிரேடியன்.

கோண மற்றும் எண் வாதத்தின் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள்

கோணத்தின் ஒவ்வொரு மதிப்பும் α இந்த கோணத்தின் சைன் மற்றும் கொசைனின் ஒரு குறிப்பிட்ட மதிப்பை ஒத்துள்ளது. α = 90 ° + 180 ° k ஐத் தவிர அனைத்து கோணங்களும் α போலவே, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) ஒரு குறிப்பிட்ட தொடுகோடு மதிப்புக்கு ஒத்திருக்கும். மேலே கூறப்பட்டுள்ளபடி, α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z) தவிர அனைத்து α க்கும் கோடேன்ஜென்ட் வரையறுக்கப்படுகிறது.

sin α, cos α, t g α, c t g α ஆகியவை கோண ஆல்பாவின் செயல்பாடுகள் அல்லது கோண வாதத்தின் செயல்பாடுகள் என்று நாம் கூறலாம்.

இதேபோல், சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட் ஆகியவற்றை எண் வாதத்தின் செயல்பாடுகளாகப் பேசலாம். ஒவ்வொரு உண்மையான எண் டிஒரு எண்ணின் சைன் அல்லது கொசைனின் குறிப்பிட்ட மதிப்புக்கு ஒத்திருக்கிறது டி. π 2 + π · k, k ∈ Z தவிர மற்ற அனைத்து எண்களும் தொடு மதிப்புக்கு ஒத்திருக்கும். π · k, k ∈ Z தவிர அனைத்து எண்களுக்கும் கோட்டான்ஜென்ட் வரையறுக்கப்படுகிறது.

முக்கோணவியலின் அடிப்படை செயல்பாடுகள்

சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட் ஆகியவை அடிப்படை முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள்.

முக்கோணவியல் செயல்பாட்டின் (கோண வாதம் அல்லது எண் வாதம்) எந்த வாதத்தை நாம் கையாளுகிறோம் என்பது பொதுவாக சூழலில் இருந்து தெளிவாகிறது.

ஆரம்பத்தில் கொடுக்கப்பட்ட வரையறைகள் மற்றும் 0 முதல் 90 டிகிரி வரையிலான ஆல்பா கோணத்திற்கு வருவோம். சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட் ஆகியவற்றின் முக்கோணவியல் வரையறைகள் செங்கோண முக்கோணத்தின் விகிதங்களால் கொடுக்கப்பட்ட வடிவியல் வரையறைகளுடன் முற்றிலும் ஒத்துப்போகின்றன. காட்டுவோம்.

ஒரு செவ்வக மையத்துடன் ஒரு அலகு வட்டத்தை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள் கார்ட்டீசியன் அமைப்புஒருங்கிணைப்புகள் தொடக்கப் புள்ளி A (1, 0) ஐ 90 டிகிரி கோணத்தில் சுழற்றுவோம், இதன் விளைவாக A 1 (x, y) புள்ளியிலிருந்து abscissa அச்சுக்கு செங்குத்தாக வரைவோம். இதன் விளைவாக வரும் வலது முக்கோணத்தில், கோணம் A 1 O H கோணத்திற்கு சமம்திரும்ப α, கால் O H இன் நீளம் A 1 (x, y) புள்ளியின் abscissa க்கு சமம். கோணத்திற்கு எதிரே உள்ள காலின் நீளம் A 1 (x, y) புள்ளியின் ஆர்டினேட்டுக்கு சமம், மேலும் ஹைப்போடென்யூஸின் நீளம் ஒன்றுக்கு சமம், ஏனெனில் இது அலகு வட்டத்தின் ஆரம் ஆகும்.

வடிவவியலின் வரையறைக்கு இணங்க, கோணம் α இன் சைன் எதிர் பக்கத்தின் ஹைப்போடென்யூஸின் விகிதத்திற்கு சமம்.

sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y

அதாவது ஆல்ஃபா 0 முதல் 90 டிகிரி வரம்பில் இருக்கும் α என்ற சுழற்சி கோணத்தின் சைனை தீர்மானிப்பதற்கு சமமான கோண முக்கோணத்தில் உள்ள தீவிர கோணத்தின் சைனை விகித விகிதத்தின் மூலம் தீர்மானிப்பது.

இதேபோல், கோசைன், டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட் ஆகியவற்றிற்கான வரையறைகளின் கடிதப் பரிமாற்றத்தைக் காட்டலாம்.

உரையில் பிழையைக் கண்டால், அதை முன்னிலைப்படுத்தி Ctrl+Enter ஐ அழுத்தவும்