ஒரே மாதிரியான சமன்பாடுகள் 1. முதல் வரிசையின் நேரியல் மற்றும் ஒரே மாதிரியான வேறுபாடு சமன்பாடுகள். தீர்வுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்

ஒரே மாதிரியான ஒன்றைத் தீர்க்க வேறுபட்ட சமன்பாடு 1வது வரிசை, u=y/x என்ற பதிலைப் பயன்படுத்தவும், அதாவது, u என்பது x ஐப் பொறுத்து ஒரு புதிய அறியப்படாத செயல்பாடு. எனவே y=ux. y'=(ux)'=u'x+x'u=u'x+u (x'=1 என்பதால்) என்ற தயாரிப்பு வேறுபாடு விதியைப் பயன்படுத்தி y' என்ற வழித்தோன்றலைக் காண்கிறோம். குறியீட்டின் மற்றொரு வடிவத்திற்கு: dy = udx + xdu மாற்றியமைத்த பிறகு, நாம் சமன்பாட்டை எளிதாக்குகிறோம் மற்றும் பிரிக்கக்கூடிய மாறிகள் கொண்ட ஒரு சமன்பாட்டை அடைகிறோம்.

1 வது வரிசையின் ஒரே மாதிரியான வேறுபாடு சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள்.

1) சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்

இந்த சமன்பாடு ஒரே மாதிரியானதா என்பதை நாங்கள் சரிபார்க்கிறோம் (ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டை எவ்வாறு தீர்மானிப்பது என்பதைப் பார்க்கவும்). உறுதியானதும், u=y/x என்பதை மாற்றுவோம், அதில் இருந்து y=ux, y'=(ux)'=u'x+x'u=u'x+u. மாற்று: u'x+u=u(1+ln(ux)-lnx). ஒரு பொருளின் மடக்கை மடக்கைகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமமாக இருப்பதால், ln(ux)=lnu+lnx. இங்கிருந்து

u'x+u=u(1+lnu+lnx-lnx). ஒத்த சொற்களைக் கொண்டு வந்த பிறகு: u’x+u=u(1+lnu). இப்போது அடைப்புக்குறிகளைத் திறக்கவும்

u'x+u=u+u·lnu. இரண்டு பக்கங்களிலும் u உள்ளது, எனவே u'x=u·lnu. u என்பது x இன் சார்பு என்பதால், u'=du/dx. மாற்றுவோம்

பிரிக்கக்கூடிய மாறிகள் கொண்ட ஒரு சமன்பாட்டைப் பெற்றுள்ளோம். x·u·lnu≠0 என்ற தயாரிப்பு வழங்கினால், இரு பகுதிகளையும் dx ஆல் பெருக்கி x·u·lnu ஆல் வகுத்து மாறிகளைப் பிரிக்கிறோம்.

ஒருங்கிணைப்போம்:

இடது பக்கத்தில் ஒரு அட்டவணை ஒருங்கிணைந்த உள்ளது. வலதுபுறத்தில் - dt=(lnu)’du=du/u என்ற இடத்திலிருந்து t=lnu ஐ மாற்றுகிறோம்.

ln│t│=ln│x│+C. ஆனால் இதுபோன்ற சமன்பாடுகளில் C க்கு பதிலாக ln│C│ எடுப்பது மிகவும் வசதியானது என்று நாங்கள் ஏற்கனவே விவாதித்தோம். பிறகு

ln│t│=ln│x│+ln│C│. மடக்கைகளின் பண்புகளின்படி: ln│t│=ln│Сx│. எனவே t=Cx. (நிபந்தனையின்படி, x>0). தலைகீழ் மாற்றீடு செய்ய வேண்டிய நேரம் இது: lnu=Cx. மேலும் ஒரு தலைகீழ் மாற்றீடு:

மடக்கைகளின் பண்பு மூலம்:

இது சமன்பாட்டின் பொதுவான ஒருங்கிணைப்பு ஆகும்.

x·u·lnu≠0 (எனவே x≠0,u≠0, lnu≠0, எங்கிருந்து u≠1) தயாரிப்பின் நிலையை நாங்கள் நினைவுபடுத்துகிறோம். ஆனால் நிபந்தனையிலிருந்து x≠0, u≠1 உள்ளது, எனவே x≠y. வெளிப்படையாக, y=x (x>0) சேர்க்கப்பட்டுள்ளது பொதுவான தீர்வு.

2) y'=x/y+y/x சமன்பாட்டின் பகுதி ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டறியவும், ஆரம்ப நிலைகளை y(1)=2 திருப்திப்படுத்துகிறது.

முதலில், இந்த சமன்பாடு ஒரே மாதிரியானதா என்பதைச் சரிபார்க்கிறோம் (இருப்பினும் y/x மற்றும் x/y ஆகிய சொற்களின் இருப்பு ஏற்கனவே மறைமுகமாகக் குறிக்கிறது). பிறகு u=y/x என்பதை மாற்றுவோம், அதில் இருந்து y=ux, y’=(ux)’=u’x+x’u=u’x+u. இதன் விளைவாக வரும் வெளிப்பாடுகளை சமன்பாட்டில் மாற்றுகிறோம்:

u'x+u=1/u+u. எளிமைப்படுத்துவோம்:

u'x=1/u. u என்பது x இன் செயல்பாடு என்பதால், u'=du/dx:

பிரிக்கக்கூடிய மாறிகள் கொண்ட ஒரு சமன்பாட்டைப் பெற்றுள்ளோம். மாறிகளைப் பிரிக்க, இரு பக்கங்களையும் dx மற்றும் u ஆல் பெருக்கி, x ஆல் வகுக்கிறோம் (x≠0 நிபந்தனையின்படி, எனவே u≠0, அதாவது தீர்வுகளின் இழப்பு இல்லை).

ஒருங்கிணைப்போம்:

மற்றும் இருபுறமும் அட்டவணை ஒருங்கிணைப்புகள் இருப்பதால், உடனடியாகப் பெறுகிறோம்

நாங்கள் தலைகீழ் மாற்றீட்டைச் செய்கிறோம்:

இது சமன்பாட்டின் பொதுவான ஒருங்கிணைப்பு ஆகும். பயன்படுத்துகிறோம் ஆரம்ப நிலை y(1)=2, அதாவது, y=2, x=1 ஐ விளைந்த தீர்வுக்கு மாற்றுகிறோம்:

3) ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டின் பொதுவான ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டறியவும்:

(x²-y²)dy-2xydx=0.

மாற்று u=y/x, எங்கிருந்து y=ux, dy=xdu+udx. மாற்றுவோம்:

(x²-(ux)²)(xdu+udx)-2ux²dx=0. அடைப்புக்குறிக்குள் x² ஐ எடுத்து, அதன் மூலம் இரு பகுதிகளையும் பிரிக்கிறோம் (x≠0 வழங்கப்படுகிறது):

x²(1-u²)(xdu+udx)-2ux²dx=0

(1-u²)(xdu+udx)-2udx=0. அடைப்புக்குறிகளைத் திறந்து எளிமைப்படுத்தவும்:

xdu-u²xdu+udx-u³dx-2udx=0,

xdu-u²xdu-u³dx-udx=0. நாங்கள் du மற்றும் dx உடன் விதிமுறைகளை தொகுக்கிறோம்:

(x-u²x)du-(u³+u)dx=0. அடைப்புக்குறிக்குள் இருந்து பொதுவான காரணிகளை எடுத்துக் கொள்வோம்:

x(1-u²)du-u(u²+1)dx=0. நாங்கள் மாறிகளை பிரிக்கிறோம்:

x(1-u²)du=u(u²+1)dx. இதைச் செய்ய, சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் xu(u²+1)≠0 ஆல் வகுக்கிறோம் (அதன்படி, x≠0 (ஏற்கனவே குறிப்பிட்டது), u≠0 தேவைகளைச் சேர்க்கிறோம்):

ஒருங்கிணைப்போம்:

சமன்பாட்டின் வலது பக்கத்தில் ஒரு அட்டவணை ஒருங்கிணைப்பு உள்ளது, பகுத்தறிவு பின்னம்இடது பக்கத்தில் நாம் அதை பிரதான காரணிகளாக காரணியாக்குகிறோம்:

(அல்லது இரண்டாவது ஒருங்கிணைப்பில், வேறுபாட்டுக் குறியை மாற்றுவதற்குப் பதிலாக, t=1+u², dt=2udu - யார் விரும்புகிறாரோ, எந்த முறை சிறந்தது என்பதை மாற்றியமைக்க முடிந்தது). நாங்கள் பெறுகிறோம்:

மடக்கைகளின் பண்புகளின்படி:

தலைகீழ் மாற்று

u≠0 நிபந்தனையை நினைவுபடுத்துகிறோம். எனவே y≠0. C=0 y=0 ஆக இருக்கும் போது, ​​இதன் பொருள் தீர்வுகளின் இழப்பு இல்லை, மேலும் y=0 பொது ஒருங்கிணைப்பில் சேர்க்கப்பட்டுள்ளது.

கருத்து

இடதுபுறத்தில் x என்ற வார்த்தையை விட்டால், வேறு வடிவத்தில் எழுதப்பட்ட தீர்வைப் பெறலாம்:

இந்த வழக்கில் ஒருங்கிணைந்த வளைவின் வடிவியல் அர்த்தம், ஓய் அச்சில் மையங்கள் மற்றும் தோற்றம் வழியாக செல்லும் வட்டங்களின் குடும்பம் ஆகும்.

சுய பரிசோதனை பணிகள்:

1) (x²+y²)dx-xydy=0

1) சமன்பாடு ஒரே மாதிரியானதா என்பதைச் சரிபார்த்து, அதன் பிறகு u=y/x, எங்கிருந்து y=ux, dy=xdu+udx என்பதை மாற்றுவோம். நிபந்தனைக்கு மாற்றாக: (x²+x²u²)dx-x²u(xdu+udx)=0. சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் x²≠0 ஆல் வகுத்தால், நாம் பெறுவது: (1+u²)dx-u(xdu+udx)=0. எனவே dx+u²dx-xudu-u²dx=0. எளிமைப்படுத்தினால், எங்களிடம் உள்ளது: dx-xudu=0. எனவே xudu=dx, udu=dx/x. இரண்டு பகுதிகளையும் ஒருங்கிணைப்போம்:

ஒரே மாதிரியான வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் எடுத்துக்காட்டுகளுக்கான ஆயத்த பதில்கள்பல மாணவர்கள் முதல் வரிசையைத் தேடுகிறார்கள் (1 வது வரிசையின் கட்டுப்பாட்டாளர்கள் கற்பிப்பதில் மிகவும் பொதுவானவர்கள்), பின்னர் நீங்கள் அவற்றை விரிவாக பகுப்பாய்வு செய்யலாம். ஆனால் எடுத்துக்காட்டுகளைக் கருத்தில் கொள்வதற்கு முன், சுருக்கமான கோட்பாட்டுப் பொருளைக் கவனமாகப் படிக்குமாறு நாங்கள் பரிந்துரைக்கிறோம்.
P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 என்ற வடிவத்தின் சமன்பாடுகள், P(x,y) மற்றும் Q(x,y) ஆகிய செயல்பாடுகள் ஒரே வரிசையின் ஒரே மாதிரியான செயல்பாடுகள் எனப்படும். ஒரே மாதிரியான வேறுபாடு சமன்பாடு(ODR)

ஒரே மாதிரியான வேறுபாடு சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கான திட்டம்

1. முதலில் நீங்கள் மாற்று y=z*x ஐப் பயன்படுத்த வேண்டும், அங்கு z=z(x) என்பது ஒரு புதிய அறியப்படாத செயல்பாடாகும் (இதனால் அசல் சமன்பாடு பிரிக்கக்கூடிய மாறிகள் கொண்ட வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்கு குறைக்கப்படுகிறது.
2. உற்பத்தியின் வழித்தோன்றல் y"=(z*x)"=z"*x+z*x"=z"*x+z அல்லது வேறுபாட்டில் dy=d(zx)=z*dx+ க்கு சமம் x*dz.
3. அடுத்து, புதிய செயல்பாடு y மற்றும் அதன் வழித்தோன்றல் y" (அல்லது dy) ஐ மாற்றுவோம் பிரிக்கக்கூடிய மாறிகள் கொண்ட DE x மற்றும் z உடன் தொடர்புடையது.
4. பிரிக்கக்கூடிய மாறிகள் மூலம் வேறுபட்ட சமன்பாட்டைத் தீர்த்த பிறகு, நாம் தலைகீழ் மாற்றத்தை y=z*x செய்கிறோம், எனவே z= y/x, மற்றும் நாம் பெறுகிறோம் வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வு (பொது ஒருங்கிணைப்பு)..
5. ஆரம்ப நிலை y(x 0)=y 0 கொடுக்கப்பட்டால், Cauchy பிரச்சனைக்கு ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வைக் காணலாம். கோட்பாட்டில் இது எளிதாகத் தெரிகிறது, ஆனால் நடைமுறையில், வேறுபட்ட சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதில் அனைவருக்கும் மிகவும் வேடிக்கையாக இல்லை. எனவே, நமது அறிவை ஆழப்படுத்த, பொதுவான உதாரணங்களைக் கருத்தில் கொள்வோம். எளிதான பணிகளைப் பற்றி உங்களுக்குக் கற்பிக்க அதிகம் இல்லை, எனவே இப்போதே சிக்கலானவற்றுக்குச் செல்லலாம்.

ஒரே மாதிரியான முதல் வரிசை வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் கணக்கீடுகள்

எடுத்துக்காட்டு 1.

தீர்வு: வழித்தோன்றலுக்கு அடுத்த காரணியாக இருக்கும் மாறியால் சமன்பாட்டின் வலது பக்கத்தை வகுக்கவும். இதன் விளைவாக, நாங்கள் வருகிறோம் 0 வது வரிசையின் ஒரே மாதிரியான வேறுபாடு சமன்பாடு

இங்கே, ஒருவேளை, பலர் ஆர்வமாக உள்ளனர், ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டின் செயல்பாட்டின் வரிசையை எவ்வாறு தீர்மானிப்பது?
கேள்வி மிகவும் பொருத்தமானது, அதற்கான பதில் பின்வருமாறு:
வலது பக்கத்தில் செயல்பாடு மற்றும் வாதத்திற்கு பதிலாக t*x, t*y மதிப்பை மாற்றுகிறோம். எளிமைப்படுத்தும் போது, ​​அளவுரு "t" ஒரு குறிப்பிட்ட அளவு k க்கு பெறப்படுகிறது, இது சமன்பாட்டின் வரிசை என்று அழைக்கப்படுகிறது. எங்கள் விஷயத்தில், "t" குறைக்கப்படும், இது 0 வது சக்திக்கு சமம் அல்லது ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டின் பூஜ்ஜிய வரிசை.
அடுத்து, வலது பக்கத்தில் நாம் புதிய மாறி y=zx க்கு செல்லலாம்; z=y/x.
அதே நேரத்தில், "y" இன் வழித்தோன்றலை புதிய மாறியின் வழித்தோன்றல் மூலம் வெளிப்படுத்த மறக்காதீர்கள். பகுதிகளின் விதியால் நாம் காண்கிறோம்

வேறுபாடுகளில் சமன்பாடுகள்வடிவம் எடுக்கும்

வலது மற்றும் இடது பக்கங்களில் உள்ள பொதுவான விதிமுறைகளை நாங்கள் ரத்து செய்துவிட்டு செல்லலாம் பிரிக்கப்பட்ட மாறிகள் கொண்ட வேறுபட்ட சமன்பாடு.

DE இன் இரு பக்கங்களையும் ஒருங்கிணைப்போம்

மேலும் மாற்றங்களின் வசதிக்காக, மடக்கையின் கீழ் மாறிலியை உடனடியாக உள்ளிடுவோம்

மடக்கைகளின் பண்புகளின்படி, இதன் விளைவாக வரும் மடக்கைச் சமன்பாடு பின்வருவனவற்றிற்குச் சமம்

இந்த நுழைவு இன்னும் ஒரு தீர்வாகவில்லை (பதில்) மாறிகள் மாற்றியமைக்கப்பட வேண்டும்

இந்த வழியில் அவர்கள் கண்டுபிடிக்கிறார்கள் வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் பொதுவான தீர்வு. முந்தைய பாடங்களை நீங்கள் கவனமாகப் படித்தால், பிரிக்கப்பட்ட மாறிகளுடன் சமன்பாடுகளைக் கணக்கிடுவதற்கான திட்டத்தை நீங்கள் சுதந்திரமாகப் பயன்படுத்த முடியும் என்றும், மிகவும் சிக்கலான வகை ரிமோட் கண்ட்ரோலுக்கு இந்த வகையான சமன்பாடுகள் கணக்கிடப்பட வேண்டும் என்றும் நாங்கள் கூறினோம்.

எடுத்துக்காட்டு 2. வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டறியவும்

தீர்வு: ஒரே மாதிரியான மற்றும் ஒருங்கிணைந்த கட்டுப்பாட்டு அமைப்புகளைக் கணக்கிடுவதற்கான திட்டம் இப்போது உங்களுக்கு நன்கு தெரிந்ததே. நாம் மாறியை சமன்பாட்டின் வலது பக்கத்திற்கு நகர்த்துகிறோம், மேலும் x 2 ஐ எண் மற்றும் வகுப்பில் ஒரு பொதுவான காரணியாக எடுத்துக்கொள்கிறோம்.

இவ்வாறு, பூஜ்ஜிய வரிசையின் ஒரே மாதிரியான வேறுபாடு சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்.
அடுத்த கட்டமாக, z=y/x, y=z*x மாறிகளை மாற்றுவதை அறிமுகப்படுத்துகிறோம், அதை நாங்கள் தொடர்ந்து உங்களுக்கு நினைவூட்டுவோம், இதனால் நீங்கள் அதை நினைவில் கொள்கிறீர்கள்.

இதற்குப் பிறகு, ரிமோட் கண்ட்ரோலை வித்தியாசங்களில் எழுதுகிறோம்

அடுத்து நாம் சார்புநிலையை மாற்றுகிறோம் பிரிக்கப்பட்ட மாறிகள் கொண்ட வேறுபட்ட சமன்பாடு

மற்றும் ஒருங்கிணைப்பு மூலம் தீர்க்கிறோம்.

ஒருங்கிணைப்புகள் எளிமையானவை, மீதமுள்ள மாற்றங்கள் மடக்கையின் பண்புகளின் அடிப்படையில் செய்யப்படுகின்றன. கடைசி கட்டத்தில் மடக்கையை வெளிப்படுத்துவது அடங்கும். இறுதியாக நாம் அசல் மாற்றீட்டிற்குத் திரும்பி அதை வடிவத்தில் எழுதுகிறோம்

மாறிலி "C" எந்த மதிப்பையும் எடுக்கலாம். கடிதம் மூலம் படிக்கும் அனைவருக்கும் தேர்வுகளில் இந்த வகை சமன்பாடுகளில் சிக்கல்கள் உள்ளன, எனவே கவனமாகப் பார்த்து கணக்கீட்டு வரைபடத்தை நினைவில் கொள்க.

எடுத்துக்காட்டு 3. வேறுபட்ட சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்

தீர்வு: மேலே உள்ள முறையிலிருந்து பின்வருமாறு, இந்த வகையின் வேறுபட்ட சமன்பாடுகள் தீர்க்கப்படுகின்றன ஒரு புதிய மாறியை அறிமுகப்படுத்துவதன் மூலம்.டிரிவேட்டிவ் மாறி இல்லாமல் இருக்கும்படி சார்புநிலையை மீண்டும் எழுதுவோம்

மேலும், வலது பக்கத்தை பகுப்பாய்வு செய்வதன் மூலம், துண்டு -ee எல்லா இடங்களிலும் இருப்பதைக் காண்கிறோம், மேலும் அதை ஒரு புதிய அறியப்படாததாகக் குறிப்பிடுகிறோம்.
z=y/x, y=z*x.
y இன் வழித்தோன்றலைக் கண்டறிதல்

மாற்றீட்டை கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டு, அசல் DE ஐ படிவத்தில் மீண்டும் எழுதுகிறோம்

நாங்கள் ஒரே மாதிரியான விதிமுறைகளை எளிதாக்குகிறோம், மேலும் DE க்கு விளைந்த அனைத்தையும் குறைக்கிறோம் பிரிக்கப்பட்ட மாறிகளுடன்

சமத்துவத்தின் இரு பக்கங்களையும் ஒருங்கிணைப்பதன் மூலம்

மடக்கை வடிவில் ஒரு தீர்வுக்கு வருகிறோம்

நாம் கண்டுபிடிக்கும் சார்புகளை வெளிப்படுத்துவதன் மூலம் வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்கான பொதுவான தீர்வு

இது, மாறிகளின் ஆரம்ப மாற்றத்தை அதில் மாற்றிய பின், வடிவம் எடுக்கிறது

இங்கே C என்பது Cauchy நிலையில் இருந்து மேலும் தீர்மானிக்கக்கூடிய ஒரு மாறிலி. Cauchy பிரச்சனை குறிப்பிடப்படவில்லை என்றால், அது தன்னிச்சையான உண்மையான மதிப்பை எடுக்கும்.
ஒரே மாதிரியான வேறுபாடு சமன்பாடுகளின் கால்குலஸில் உள்ள ஞானம் அவ்வளவுதான்.

தற்போது, ​​கணிதம் படிக்கும் அடிப்படை நிலைப்படி, உயர்நிலைப் பள்ளியில் கணிதம் படிக்க 4 மணி நேரம் மட்டுமே வழங்கப்படுகிறது (2 மணி நேர இயற்கணிதம், 2 மணி நேரம் ஜியோமெட்ரி). கிராமப்புற சிறு பள்ளிகளில், பள்ளி கூறு காரணமாக மணிநேரத்தை அதிகரிக்க முயற்சிக்கின்றனர். ஆனால் வகுப்பு மனிதாபிமானமாக இருந்தால், மனிதநேயப் பாடங்களைப் படிக்க பள்ளிக் கூறு சேர்க்கப்படும். ஒரு சிறிய கிராமத்தில், ஒரு பள்ளி மாணவன் அந்த வகுப்பில் படிப்பதில் பெரும்பாலும் விருப்பம் இல்லை; பள்ளியில் கிடைக்கும். அவர் ஒரு வழக்கறிஞர், வரலாற்றாசிரியர் அல்லது பத்திரிகையாளர் ஆக விரும்பவில்லை (இதுபோன்ற வழக்குகள் உள்ளன), ஆனால் ஒரு பொறியியலாளர் அல்லது பொருளாதார நிபுணராக ஆக விரும்புகிறார், எனவே அவர் கணிதத்தில் ஒருங்கிணைந்த மாநில தேர்வில் அதிக மதிப்பெண்களுடன் தேர்ச்சி பெற வேண்டும். அத்தகைய சூழ்நிலையில், கணித ஆசிரியர் தற்போதைய சூழ்நிலையிலிருந்து தனது சொந்த வழியைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும், மேலும், கோல்மோகோரோவின் பாடப்புத்தகத்தின்படி, "ஒரே மாதிரியான சமன்பாடுகள்" என்ற தலைப்பின் ஆய்வு வழங்கப்படவில்லை. கடந்த ஆண்டுகளில், இந்தத் தலைப்பை அறிமுகப்படுத்துவதற்கும் அதை வலுப்படுத்துவதற்கும் எனக்கு இரண்டு இரட்டைப் பாடங்கள் தேவைப்பட்டன. துரதிர்ஷ்டவசமாக, எங்கள் கல்வி மேற்பார்வை ஆய்வு பள்ளியில் இரட்டைப் பாடங்களைத் தடைசெய்தது, எனவே பயிற்சிகளின் எண்ணிக்கையை 45 நிமிடங்களாகக் குறைக்க வேண்டியிருந்தது, அதன்படி பயிற்சிகளின் சிரமம் நடுத்தரமாகக் குறைக்கப்பட்டது. 10 ஆம் வகுப்பில் இந்த தலைப்பில் ஒரு பாடம் திட்டத்தை உங்கள் கவனத்திற்கு கொண்டு வருகிறேன் அடிப்படை நிலைஒரு சிறிய கிராமப்புற பள்ளியில் கணிதம் படிக்கிறார்.

பாடம் வகை: பாரம்பரிய.

இலக்கு: வழக்கமான ஒரே மாதிரியான சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க கற்றுக்கொள்ளுங்கள்.

பணிகள்:

அறிவாற்றல்:

வளர்ச்சிக்குரிய:

கல்வி:

• பொறுமையாக பணிகளை முடிப்பதன் மூலம் கடின உழைப்பை வளர்ப்பது, ஜோடிகளாகவும் குழுக்களாகவும் பணியாற்றுவதன் மூலம் தோழமை உணர்வு.

பாடம் முன்னேற்றம்

ஐ.அமைப்பு சார்ந்த மேடை(3 நிமி.)

II. புதிய விஷயங்களில் தேர்ச்சி பெற தேவையான அறிவை சோதித்தல் (10 நிமி.)

முடிக்கப்பட்ட பணிகளை மேலும் பகுப்பாய்வு செய்வதன் மூலம் முக்கிய சிரமங்களை அடையாளம் காணவும். தோழர்களே 3 விருப்பங்களை தேர்வு செய்கிறார்கள். குழந்தைகளின் சிரமத்தின் அளவு மற்றும் தயார்நிலையின் அளவு ஆகியவற்றால் பணிகள் வேறுபடுகின்றன, அதைத் தொடர்ந்து குழுவில் விளக்கம்.

நிலை 1. சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கவும்:

1. 3(x+4)=12,
2. 2(x-15)=2x-30
3. 5(2x)=-3x-2(x+5)
4. x 2 -10x+21=0 பதில்கள்: 7;3

நிலை 2. எளிமையானதைத் தீர்க்கவும் முக்கோணவியல் சமன்பாடுகள்மற்றும் இரு இருபடி சமன்பாடு:

பதில்கள்:

b) x 4 -13x 3 +36=0 பதில்கள்: -2; 2; -3; 3

நிலை 3.மாறிகளை மாற்றுவதன் மூலம் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது:

b) x 6 -9x 3 +8=0 பதில்கள்:

III.தலைப்பைத் தொடர்புகொள்வது, இலக்குகள் மற்றும் நோக்கங்களை அமைத்தல்.

பொருள்: ஒரே மாதிரியான சமன்பாடுகள்

இலக்கு: வழக்கமான ஒரே மாதிரியான சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க கற்றுக்கொள்ளுங்கள்

பணிகள்:

அறிவாற்றல்:

• ஒரே மாதிரியான சமன்பாடுகளுடன் பழகவும், அத்தகைய சமன்பாடுகளின் மிகவும் பொதுவான வகைகளைத் தீர்க்க கற்றுக்கொள்ளுங்கள்.

வளர்ச்சிக்குரிய:

• பகுப்பாய்வு சிந்தனையின் வளர்ச்சி.
• கணித திறன்களின் வளர்ச்சி: ஒரே மாதிரியான சமன்பாடுகள் மற்ற சமன்பாடுகளிலிருந்து வேறுபடும் முக்கிய அம்சங்களை அடையாளம் காண கற்றுக்கொள்ளுங்கள், ஒற்றுமைகளை நிறுவ முடியும். ஒரே மாதிரியான சமன்பாடுகள்அவர்களின் பல்வேறு வெளிப்பாடுகளில்.

IV. புதிய அறிவைக் கற்றல் (15 நிமி.)

1. விரிவுரை தருணம்.

வரையறை 1(ஒரு குறிப்பேட்டில் எழுதுங்கள்). P(x;y) ஒரே மாதிரியான பல்லுறுப்புக்கோவையாக இருந்தால், P(x;y)=0 என்ற வடிவத்தின் சமன்பாடு ஒருபடிநிலை எனப்படும்.

x மற்றும் y ஆகிய இரண்டு மாறிகளில் உள்ள ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை, அதன் ஒவ்வொரு சொற்களின் அளவும் ஒரே எண்ணான k க்கு சமமாக இருந்தால், அது ஒரே மாதிரியானது என அழைக்கப்படுகிறது.

வரையறை 2(ஒரு அறிமுகம்). படிவத்தின் சமன்பாடுகள்

u(x) மற்றும் v(x) உடன் பட்டம் n இன் ஒரே மாதிரியான சமன்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது. சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் (v(x))n ஆல் வகுப்பதன் மூலம், சமன்பாட்டைப் பெற மாற்றீட்டைப் பயன்படுத்தலாம்.

இது அசல் சமன்பாட்டை எளிதாக்க அனுமதிக்கிறது. வழக்கு v(x)=0 தனித்தனியாக கருதப்பட வேண்டும், ஏனெனில் 0 ஆல் வகுக்க இயலாது.

2. ஒரே மாதிரியான சமன்பாடுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்:

விளக்கவும்: அவை ஏன் ஒரே மாதிரியானவை, அத்தகைய சமன்பாடுகளுக்கு உங்கள் எடுத்துக்காட்டுகளைக் கொடுங்கள்.

3. ஒரே மாதிரியான சமன்பாடுகளை தீர்மானிக்கும் பணி:

மத்தியில் கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடுகள்ஒரே மாதிரியான சமன்பாடுகளை வரையறுத்து, உங்கள் விருப்பத்தை விளக்கவும்:

உங்கள் விருப்பத்தை விளக்கிய பிறகு, ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதைக் காட்ட எடுத்துக்காட்டுகளில் ஒன்றைப் பயன்படுத்தவும்:

4. நீங்களே முடிவு செய்யுங்கள்:

பதில்:

b) 2sin x – 3 cos x =0

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் cos x ஆல் வகுத்தால், நமக்கு 2 tg x -3=0, tg x=⅔ , x=arctg⅔ +

5. சிற்றேட்டிலிருந்து ஒரு உதாரணத்திற்கான தீர்வைக் காட்டுங்கள்“பி.வி. சுல்கோவ். பள்ளி கணித பாடத்தில் சமன்பாடுகள் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகள். மாஸ்கோ கல்வியியல் பல்கலைக்கழகம் "செப்டம்பர் முதல்" 2006 ப.22." சாத்தியமான ஒன்றாக ஒருங்கிணைந்த மாநில தேர்வு எடுத்துக்காட்டுகள்நிலை C.

வி. பாஷ்மகோவின் பாடப்புத்தகத்தைப் பயன்படுத்தி ஒருங்கிணைப்புக்கு தீர்வு காணவும்

பக்கம் 183 எண். 59 (1.5) அல்லது கோல்மோகோரோவ் திருத்திய பாடப்புத்தகத்தின்படி: பக்கம் 81 எண். 169 (a, c)

பதில்கள்:

VI. சோதனை, சுயாதீன வேலை (7 நிமி.)

பணிகளுக்கான பதில்கள்:

விருப்பம் 1 a) பதில்: arctan2+πn,n € Z; b) பதில்: ±π/2+ 3πn,n € Z; V)

விருப்பம் 2 அ) பதில்: arctg(-1±31/2)+πn,n € Z; b) பதில்: -arctg3+πn, 0.25π+πk, ; c) (-5;-2); (5;2)

VII. வீட்டுப்பாடம்

கோல்மோகோரோவின் படி எண் 169, பாஷ்மகோவ் படி எண் 59.

கூடுதலாக, சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்கவும்:

பதில்: ஆர்க்டான்(-1±√3) +πn,

பயன்படுத்திய இலக்கியம்:

1. பி.வி. சுல்கோவ். பள்ளி கணித பாடத்தில் சமன்பாடுகள் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகள். - எம்.: கல்வியியல் பல்கலைக்கழகம் "செப்டம்பர் முதல்", 2006. பக்
2. A. Merzlyak, V. Polonsky, E. Rabinovich, M. Yakir. முக்கோணவியல். – எம்.: “AST-PRESS”, 1998, பக்கம் 389
3. 8 ஆம் வகுப்பிற்கான அல்ஜீப்ரா, N.Ya ஆல் திருத்தப்பட்டது. விலெங்கினா. - எம்.: "அறிவொளி", 1997.
4. தரம் 9 க்கான அல்ஜீப்ரா, N.Ya ஆல் திருத்தப்பட்டது. விலெங்கினா. மாஸ்கோ "அறிவொளி", 2001.
5. எம்.ஐ. பாஷ்மகோவ். இயற்கணிதம் மற்றும் பகுப்பாய்வின் ஆரம்பம். 10-11 ஆம் வகுப்புகளுக்கு - எம்.: “அறிவொளி” 1993
6. கோல்மோகோரோவ், அப்ரமோவ், டட்னிட்சின். இயற்கணிதம் மற்றும் பகுப்பாய்வின் ஆரம்பம். 10-11 வகுப்புகளுக்கு. - எம்.: "அறிவொளி", 1990.
7. ஏ.ஜி. மொர்ட்கோவிச். இயற்கணிதம் மற்றும் பகுப்பாய்வின் ஆரம்பம். பகுதி 1 10-11 வகுப்புகளுக்கான பாடநூல். - எம்.: "Mnemosyne", 2004.

நிறுத்து! இந்த சிக்கலான சூத்திரத்தைப் புரிந்துகொள்ள முயற்சிப்போம்.

சில குணகம் கொண்ட சக்தியின் முதல் மாறி முதலில் வர வேண்டும். எங்கள் விஷயத்தில் அது

எங்கள் விஷயத்தில் அது. நாம் கண்டுபிடித்தபடி, முதல் மாறியில் உள்ள பட்டம் ஒன்றிணைகிறது என்று அர்த்தம். மற்றும் முதல் பட்டத்திற்கு இரண்டாவது மாறி இடத்தில் உள்ளது. குணகம்.

எங்களிடம் உள்ளது.

முதல் மாறி ஒரு சக்தி, மற்றும் இரண்டாவது மாறி ஒரு குணகத்துடன் சதுரமாக உள்ளது. இது சமன்பாட்டின் கடைசி சொல்.

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, எங்கள் சமன்பாடு ஒரு சூத்திரத்தின் வடிவத்தில் வரையறைக்கு பொருந்துகிறது.

வரையறையின் இரண்டாவது (வாய்மொழி) பகுதியைப் பார்ப்போம்.

எங்களுக்கு இரண்டு தெரியாத மற்றும். அது இங்கே சங்கமிக்கிறது.

அனைத்து விதிமுறைகளையும் கருத்தில் கொள்வோம். அவற்றில், தெரியாதவர்களின் பட்டங்களின் கூட்டுத்தொகை ஒரே மாதிரியாக இருக்க வேண்டும்.

டிகிரிகளின் கூட்டுத்தொகை சமம்.

சக்திகளின் கூட்டுத்தொகை சமம் (at and at).

டிகிரிகளின் கூட்டுத்தொகை சமம்.

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, எல்லாம் பொருந்துகிறது !!!

இப்போது ஒரே மாதிரியான சமன்பாடுகளை வரையறுப்போம்.

எந்த சமன்பாடுகள் ஒரே மாதிரியானவை என்பதைத் தீர்மானிக்கவும்:

ஒரே மாதிரியான சமன்பாடுகள் - எண்கள் கொண்ட சமன்பாடுகள்:

சமன்பாட்டை தனித்தனியாகக் கருதுவோம்.

ஒவ்வொரு சொல்லையும் காரணியாக்கி ஒவ்வொரு சொல்லையும் வகுத்தால், நமக்குக் கிடைக்கும்

இந்த சமன்பாடு முற்றிலும் ஒரே மாதிரியான சமன்பாடுகளின் வரையறையின் கீழ் வருகிறது.

ஒரே மாதிரியான சமன்பாடுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது?

எடுத்துக்காட்டு 2.

சமன்பாட்டைப் பிரிப்போம்.

எங்கள் நிபந்தனையின்படி, y சமமாக இருக்க முடியாது. எனவே நாம் பாதுகாப்பாக பிரிக்கலாம்

மாற்றீடு செய்வதன் மூலம், நாம் ஒரு எளிய இருபடி சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்:

இது குறைக்கப்பட்ட இருபடிச் சமன்பாடு என்பதால், நாங்கள் வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

தலைகீழ் மாற்றீடு செய்த பிறகு, பதில் கிடைக்கும்

பதில்:

எடுத்துக்காட்டு 3.

சமன்பாட்டை (நிபந்தனை மூலம்) பிரிப்போம்.

பதில்:

எடுத்துக்காட்டு 4.

இருந்தால் கண்டுபிடிக்கவும்.

இங்கே நீங்கள் பிரிக்க வேண்டாம், ஆனால் பெருக்க வேண்டும். முழு சமன்பாட்டையும் பெருக்குவோம்:

மாற்றீடு செய்து இருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்போம்:

தலைகீழ் மாற்றீடு செய்த பிறகு, நாங்கள் பதிலைப் பெறுகிறோம்:

பதில்:

ஒரே மாதிரியான முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது.

ஒரே மாதிரியான முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது மேலே விவரிக்கப்பட்ட தீர்வு முறைகளிலிருந்து வேறுபட்டதல்ல. இங்கே மட்டுமே, மற்றவற்றுடன், நீங்கள் ஒரு சிறிய முக்கோணவியல் தெரிந்து கொள்ள வேண்டும். மற்றும் முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளை தீர்க்க முடியும் (இதற்காக நீங்கள் பகுதியைப் படிக்கலாம்).

உதாரணங்களைப் பயன்படுத்தி அத்தகைய சமன்பாடுகளைப் பார்ப்போம்.

எடுத்துக்காட்டு 5.

சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்.

நாம் ஒரு பொதுவான ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டைக் காண்கிறோம்: மற்றும் அறியப்படாதவை, மேலும் ஒவ்வொரு காலத்திலும் அவற்றின் சக்திகளின் கூட்டுத்தொகை சமமாக இருக்கும்.

இத்தகைய ஒரே மாதிரியான சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது கடினம் அல்ல, ஆனால் சமன்பாடுகளைப் பிரிப்பதற்கு முன், வழக்கைக் கருத்தில் கொள்ளுங்கள்

இந்த வழக்கில், சமன்பாடு படிவத்தை எடுக்கும்: , எனவே. ஆனால் சைனும் கொசைனும் ஒரே நேரத்தில் சமமாக இருக்க முடியாது, ஏனெனில் அடிப்படையில் முக்கோணவியல் அடையாளம். எனவே, நாம் அதை பாதுகாப்பாக பிரிக்கலாம்:

சமன்பாடு கொடுக்கப்பட்டதால், வியட்டாவின் தேற்றத்தின்படி:

பதில்:

எடுத்துக்காட்டு 6.

சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்.

எடுத்துக்காட்டில் உள்ளதைப் போல, நீங்கள் சமன்பாட்டை வகுக்க வேண்டும். எப்பொழுது வழக்கைக் கருத்தில் கொள்வோம்:

ஆனால் சைனும் கொசைனும் ஒரே நேரத்தில் சமமாக இருக்க முடியாது, ஏனெனில் அடிப்படை முக்கோணவியல் அடையாளத்தின் படி. அதனால் தான்.

மாற்றீடு செய்து இருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்போம்:

தலைகீழ் மாற்றீட்டைச் செய்து கண்டுபிடிப்போம் மற்றும்:

பதில்:

ஒரே மாதிரியான அதிவேக சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது.

ஒரே மாதிரியான சமன்பாடுகள் மேலே விவாதிக்கப்பட்டதைப் போலவே தீர்க்கப்படுகின்றன. எப்படி முடிவு செய்வது என்பதை மறந்துவிட்டால் அதிவேக சமன்பாடுகள்- தொடர்புடைய பகுதியைப் பாருங்கள் ()!

ஒரு சில உதாரணங்களைப் பார்ப்போம்.

எடுத்துக்காட்டு 7.

சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்

இதை இப்படி கற்பனை செய்வோம்:

இரண்டு மாறிகள் மற்றும் சக்திகளின் கூட்டுத்தொகையுடன் பொதுவான ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டைக் காண்கிறோம். சமன்பாட்டைப் பிரிப்போம்:

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, மாற்றீடு செய்வதன் மூலம், கீழே உள்ள இருபடி சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம் (பூஜ்ஜியத்தால் வகுக்க பயப்பட வேண்டிய அவசியமில்லை - இது எப்போதும் பூஜ்ஜியத்தை விட கண்டிப்பாக அதிகமாக இருக்கும்):

வியட்டாவின் தேற்றத்தின்படி:

பதில்: .

எடுத்துக்காட்டு 8.

சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்

இதை இப்படி கற்பனை செய்வோம்:

சமன்பாட்டைப் பிரிப்போம்:

மாற்றீடு செய்து இருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்போம்:

வேர் நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்யவில்லை. தலைகீழ் மாற்றீட்டைச் செய்து கண்டுபிடிப்போம்:

பதில்:

ஒரே மாதிரியான சமன்பாடுகள். நடுத்தர நிலை

முதலில், ஒரு சிக்கலின் உதாரணத்தைப் பயன்படுத்தி, நான் உங்களுக்கு நினைவூட்டுகிறேன் ஒரே மாதிரியான சமன்பாடுகள் என்றால் என்ன மற்றும் ஒரே மாதிரியான சமன்பாடுகளின் தீர்வு என்ன.

சிக்கலை தீர்க்கவும்:

இருந்தால் கண்டுபிடிக்கவும்.

இங்கே நீங்கள் ஒரு வினோதமான விஷயத்தைக் கவனிக்கலாம்: ஒவ்வொரு சொல்லையும் வகுத்தால், நமக்குக் கிடைக்கும்:

அதாவது, இப்போது தனி மற்றும், - இப்போது சமன்பாட்டில் உள்ள மாறி விரும்பிய மதிப்பு. இது ஒரு சாதாரண இருபடி சமன்பாடு ஆகும், இது வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி எளிதில் தீர்க்கப்படும்: வேர்களின் தயாரிப்பு சமம், மற்றும் கூட்டுத்தொகை எண்கள் மற்றும்.

பதில்:

படிவத்தின் சமன்பாடுகள்

ஒரேவிதமான என்று அழைக்கப்படுகிறது. அதாவது, இது இரண்டு அறியப்படாதவைகளைக் கொண்ட ஒரு சமன்பாடு ஆகும், இதன் ஒவ்வொரு சொல்லும் இந்த அறியப்படாதவற்றின் அதே அளவு சக்திகளைக் கொண்டுள்ளது. எடுத்துக்காட்டாக, மேலே உள்ள எடுத்துக்காட்டில் இந்த அளவு சமம். ஒரே மாதிரியான சமன்பாடுகள் இந்த அளவிற்கு அறியப்படாத ஒன்றால் வகுப்பதன் மூலம் தீர்க்கப்படுகின்றன:

மற்றும் மாறிகளின் அடுத்தடுத்த மாற்றீடு: . இவ்வாறு நாம் அறியப்படாத ஒரு சக்தி சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்:

பெரும்பாலும் நாம் இரண்டாம் பட்டத்தின் சமன்பாடுகளை சந்திப்போம் (அதாவது இருபடி), அவற்றை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பது எங்களுக்குத் தெரியும்:

இந்த மாறி பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்க முடியாது என்று நாம் உறுதியாக நம்பினால் மட்டுமே முழு சமன்பாட்டையும் ஒரு மாறியால் வகுக்க (பெருக்க) முடியும் என்பதை நினைவில் கொள்க! எடுத்துக்காட்டாக, கண்டுபிடிக்கும்படி கேட்கப்பட்டால், பிரிப்பது சாத்தியமற்றது என்பதால் உடனடியாக புரிந்துகொள்கிறோம். இது மிகவும் தெளிவாக இல்லாத சந்தர்ப்பங்களில், இந்த மாறி பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும்போது தனித்தனியாக வழக்கை சரிபார்க்க வேண்டியது அவசியம். உதாரணமாக:

சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்.

தீர்வு:

நாம் இங்கே ஒரு பொதுவான ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டைக் காண்கிறோம்: மற்றும் அறியப்படாதவை, மேலும் ஒவ்வொரு காலத்திலும் அவற்றின் சக்திகளின் கூட்டுத்தொகை சமமாக இருக்கும்.

ஆனால், ஒரு இருபடி சமன்பாடு உறவினர் மூலம் பிரித்து பெறுவதற்கு முன், எப்போது என்பதை நாம் கருத்தில் கொள்ள வேண்டும். இந்த வழக்கில், சமன்பாடு படிவத்தை எடுக்கும்: , அதாவது . ஆனால் சைனும் கொசைனும் ஒரே நேரத்தில் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்க முடியாது, ஏனெனில் அடிப்படை முக்கோணவியல் அடையாளத்தின் படி: . எனவே, நாம் அதை பாதுகாப்பாக பிரிக்கலாம்:

இந்த தீர்வு முற்றிலும் தெளிவாக இருக்கும் என்று நம்புகிறேன்? இல்லையென்றால், பகுதியைப் படியுங்கள். அது எங்கிருந்து வந்தது என்பது தெளிவாகத் தெரியவில்லை என்றால், நீங்கள் இன்னும் முன்பே திரும்ப வேண்டும் - பிரிவுக்கு.

நீங்களே முடிவு செய்யுங்கள்:

1. இருந்தால் கண்டுபிடிக்கவும்.
2. இருந்தால் கண்டுபிடிக்கவும்.
3. சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்.

ஒரே மாதிரியான சமன்பாடுகளுக்கான தீர்வை இங்கே சுருக்கமாக எழுதுகிறேன்:

தீர்வுகள்:

பதில்: .

ஆனால் இங்கே நாம் பிரிப்பதை விட பெருக்க வேண்டும்:

பதில்:

நீங்கள் இன்னும் முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளை எடுக்கவில்லை என்றால், இந்த உதாரணத்தைத் தவிர்க்கலாம்.

இங்கே நாம் வகுக்க வேண்டும் என்பதால், நூறு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லை என்பதை முதலில் உறுதி செய்வோம்:

மேலும் இது சாத்தியமற்றது.

பதில்: .

ஒரே மாதிரியான சமன்பாடுகள். முக்கிய விஷயங்களைப் பற்றி சுருக்கமாக

அனைத்து ஒரே மாதிரியான சமன்பாடுகளின் தீர்வு சக்தி மற்றும் மாறிகளின் மேலும் மாற்றத்திற்கு தெரியாத ஒன்றின் மூலம் பிரிக்கப்படுகிறது.

அல்காரிதம்:

சரி, தலைப்பு முடிந்தது. இந்த வரிகளை நீங்கள் படிக்கிறீர்கள் என்றால், நீங்கள் மிகவும் கூலாக இருக்கிறீர்கள் என்று அர்த்தம்.

ஏனென்றால் 5% பேர் மட்டுமே தாங்களாகவே ஏதாவது ஒன்றை மாஸ்டர் செய்ய முடிகிறது. நீங்கள் இறுதிவரை படித்தால், நீங்கள் இந்த 5% இல் இருக்கிறீர்கள்!

இப்போது மிக முக்கியமான விஷயம்.

இந்த தலைப்பில் உள்ள கோட்பாட்டை நீங்கள் புரிந்து கொண்டீர்கள். மேலும், நான் மீண்டும் சொல்கிறேன், இது... இது சூப்பர்! உங்கள் சகாக்களில் பெரும்பாலானவர்களை விட நீங்கள் ஏற்கனவே சிறந்தவர்.

பிரச்சனை என்னவென்றால், இது போதாது ...

எதற்கு?

வெற்றிக்காக ஒருங்கிணைந்த மாநில தேர்வில் தேர்ச்சி, பட்ஜெட்டில் கல்லூரியில் சேருவதற்கும், மிக முக்கியமாக, வாழ்நாள் முழுவதும்.

நான் உன்னை எதையும் நம்ப வைக்க மாட்டேன், ஒன்று மட்டும் சொல்கிறேன்...

பெற்ற மக்கள் நல்ல கல்வி, அதைப் பெறாதவர்களை விட அதிகம் சம்பாதிக்கவும். இது புள்ளிவிவரம்.

ஆனால் இது முக்கிய விஷயம் அல்ல.

முக்கிய விஷயம் என்னவென்றால், அவர்கள் மிகவும் மகிழ்ச்சியாக இருக்கிறார்கள் (அத்தகைய ஆய்வுகள் உள்ளன). ஒருவேளை அவர்களுக்கு முன்னால் இன்னும் நிறைய திறந்திருப்பதால் மேலும் சாத்தியங்கள்மற்றும் வாழ்க்கை பிரகாசமாக மாறுமா? தெரியாது...

ஆனால் நீங்களே யோசியுங்கள்...

ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வில் மற்றவர்களை விட சிறப்பாக இருக்கவும், இறுதியில் மகிழ்ச்சியாக இருக்கவும் என்ன செய்ய வேண்டும்?

இந்த தலைப்பில் உள்ள சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதன் மூலம் உங்கள் கையைப் பெறுங்கள்.

தேர்வின் போது உங்களிடம் தியரி கேட்கப்படாது.

உங்களுக்கு தேவைப்படும் நேரத்திற்கு எதிராக பிரச்சனைகளை தீர்க்க.

மேலும், நீங்கள் அவற்றைத் தீர்க்கவில்லை என்றால் (நிறைய!), நீங்கள் நிச்சயமாக எங்காவது ஒரு முட்டாள் தவற்றைச் செய்வீர்கள் அல்லது நேரமில்லாமல் இருப்பீர்கள்.

இது விளையாட்டைப் போன்றது - நிச்சயமாக வெற்றி பெற நீங்கள் அதை பல முறை மீண்டும் செய்ய வேண்டும்.

நீங்கள் எங்கு வேண்டுமானாலும் சேகரிப்பைக் கண்டறியவும், அவசியம் தீர்வுகளுடன், விரிவான பகுப்பாய்வு மற்றும் முடிவு, முடிவு, முடிவு!

நீங்கள் எங்கள் பணிகளைப் பயன்படுத்தலாம் (விரும்பினால்) மற்றும் நாங்கள் நிச்சயமாக அவற்றை பரிந்துரைக்கிறோம்.

எங்கள் பணிகளை சிறப்பாகப் பயன்படுத்த, நீங்கள் தற்போது படித்துக்கொண்டிருக்கும் YouClever பாடப்புத்தகத்தின் ஆயுளை நீட்டிக்க உதவ வேண்டும்.

எப்படி? இரண்டு விருப்பங்கள் உள்ளன:

1. இந்த கட்டுரையில் மறைக்கப்பட்ட அனைத்து பணிகளையும் திறக்கவும் - 299 ரப்.
2. பாடப்புத்தகத்தின் அனைத்து 99 கட்டுரைகளிலும் மறைக்கப்பட்ட அனைத்து பணிகளுக்கான அணுகலைத் திறக்கவும் - 499 ரப்.

ஆம், எங்கள் பாடப்புத்தகத்தில் இதுபோன்ற 99 கட்டுரைகள் உள்ளன மற்றும் அனைத்து பணிகளுக்கான அணுகல் மற்றும் அவற்றில் உள்ள அனைத்து மறைக்கப்பட்ட உரைகளும் உடனடியாக திறக்கப்படும்.

அனைத்து மறைக்கப்பட்ட பணிகளுக்கான அணுகல் தளத்தின் முழு வாழ்க்கைக்கும் வழங்கப்படுகிறது.

மற்றும் முடிவில் ...

எங்கள் பணிகள் உங்களுக்குப் பிடிக்கவில்லை என்றால், மற்றவர்களைக் கண்டறியவும். கோட்பாட்டில் மட்டும் நிற்காதீர்கள்.

"புரிகிறது" மற்றும் "என்னால் தீர்க்க முடியும்" என்பது முற்றிலும் வேறுபட்ட திறன்கள். உங்களுக்கு இரண்டும் தேவை.

சிக்கல்களைக் கண்டறிந்து அவற்றைத் தீர்க்கவும்!