1வது மற்றும் 2வது அற்புதமான வரம்புகள். இரண்டாவது குறிப்பிடத்தக்க வரம்பு: கண்டறிதல், சிக்கல்கள் மற்றும் விரிவான தீர்வுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்

முதல் குறிப்பிடத்தக்க வரம்பு பின்வரும் சமத்துவம்:

\begin(சமன்பாடு)\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1 \end(சமன்பாடு)

$\alpha\to(0)$ க்கு $\sin\alpha\to(0)$ இருப்பதால், முதல் குறிப்பிடத்தக்க வரம்பு $\frac(0)(0)$ வடிவத்தின் நிச்சயமற்ற தன்மையை வெளிப்படுத்துகிறது என்று கூறுகிறார்கள். பொதுவாகச் சொன்னால், சூத்திரத்தில் (1), மாறி $\alpha$ க்குப் பதிலாக, எந்த வெளிப்பாட்டையும் சைன் அடையாளத்தின் கீழும் வகுப்பிலும் இரண்டு நிபந்தனைகள் பூர்த்தி செய்யும் வரை வைக்கலாம்:

1. சைன் அடையாளத்தின் கீழ் உள்ள வெளிப்பாடுகள் மற்றும் வகுப்பில் ஒரே நேரத்தில் பூஜ்ஜியமாக இருக்கும், அதாவது. $\frac(0)(0)$ படிவத்தின் நிச்சயமற்ற தன்மை உள்ளது.
2. சைன் அடையாளத்தின் கீழ் உள்ள வெளிப்பாடுகள் மற்றும் வகுப்பில் உள்ள வெளிப்பாடுகள் ஒன்றே.

முதல் குறிப்பிடத்தக்க வரம்பிலிருந்து வரும் தொடர்களும் பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன:

\begin(சமன்பாடு) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1 \end(சமன்பாடு) \begin(சமன்பாடு) \lim_(\alpha\to(0) )\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1 \end(சமன்பாடு) \begin(சமன்பாடு) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1 \முடிவு(சமன்பாடு)

பதினொரு எடுத்துக்காட்டுகள் இந்தப் பக்கத்தில் தீர்க்கப்பட்டுள்ளன. எடுத்துக்காட்டு எண். 1 சூத்திரங்களின் (2)-(4) ஆதாரத்திற்கு அர்ப்பணிக்கப்பட்டுள்ளது. எடுத்துக்காட்டு எண். 2, எண். 3, எண். 4 மற்றும் எண். 5 ஆகியவை விரிவான கருத்துகளுடன் தீர்வுகளைக் கொண்டிருக்கின்றன. எடுத்துக்காட்டுகள் எண். 6-10 இல் எந்த கருத்தும் இல்லாத தீர்வுகள் உள்ளன, ஏனெனில் முந்தைய எடுத்துக்காட்டுகளில் விரிவான விளக்கங்கள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. தீர்வு காணக்கூடிய சில முக்கோணவியல் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துகிறது.

இருப்பதை நான் கவனிக்கிறேன் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள்நிச்சயமற்ற தன்மையுடன் இணைந்து $\frac (0) (0)$ என்பது இன்னும் முதல் குறிப்பிடத்தக்க வரம்பின் கட்டாயப் பயன்பாட்டைக் குறிக்கவில்லை. சில நேரங்களில் எளிய முக்கோணவியல் மாற்றங்கள் போதுமானவை - எடுத்துக்காட்டாக, பார்க்கவும்.

எடுத்துக்காட்டு எண். 1

$\lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha ) என்பதை நிரூபிக்கவும் (\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$.

a) $\tg\alpha=\frac(\sin\alpha)(\cos\alpha)$ என்பதால், பின்:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg(\alpha))(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\வலது| =\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) $$

$\lim_(\alpha\to(0))\cos(0)=1$ மற்றும் $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1$ , அந்த:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) =\frac(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0)) \frac(\sin(\alpha))(\alpha))(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0))\cos(\alpha)) =\frac(1)(1) =1. $$

b) $\alpha=\sin(y)$ஐ மாற்றுவோம். $\sin(0)=0$ என்பதால், $\alpha\to(0)$ என்ற நிலையில் இருந்து $y\to(0)$ உள்ளது. கூடுதலாக, பூஜ்ஜியத்தின் அருகில் உள்ளது, இதில் $\arcsin\alpha=\arcsin(\sin(y))=y$, எனவே:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\வலது| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\sin(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\sin(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\sin(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

$\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1$ சமத்துவம் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

c) மாற்றாக $\alpha=\tg(y)$ ஐ உருவாக்குவோம். $\tg(0)=0$ என்பதால், $\alpha\to(0)$ மற்றும் $y\to(0)$ ஆகிய நிபந்தனைகள் சமமானவை. கூடுதலாக, பூஜ்ஜியத்தின் அருகில் உள்ளது, இதில் $\arctg\alpha=\arctg\tg(y))=y$, எனவே, புள்ளி a இன் முடிவுகளின் அடிப்படையில், நாம் பெறுவோம்:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\வலது| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\tg(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\tg(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\tg(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

$\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$ சமத்துவம் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

சமன்பாடுகள் a), b), c) பெரும்பாலும் முதல் குறிப்பிடத்தக்க வரம்புடன் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

எடுத்துக்காட்டு எண். 2

வரம்பைக் கணக்கிடவும் $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4) (x+7))$.

$\lim_(x\to(2))\frac(x^2-4)(x+7)=\frac(2^2-4)(2+7)=0$ மற்றும் $\lim_( x \to(2))\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right)=\sin(0)=0$, i.e. மற்றும் பின்னத்தின் எண் மற்றும் வகுத்தல் இரண்டும் ஒரே நேரத்தில் பூஜ்ஜியமாக இருக்கும், பின்னர் இங்கே நாம் $\frac(0)(0)$ வடிவத்தின் நிச்சயமற்ற தன்மையைக் கையாளுகிறோம், அதாவது. முடிந்தது. கூடுதலாக, சைன் அடையாளத்தின் கீழும் வகுப்பின் கீழும் உள்ள வெளிப்பாடுகள் ஒத்துப்போகின்றன என்பது தெளிவாகிறது (அதாவது, மற்றும் திருப்தியானது):

எனவே, பக்கத்தின் தொடக்கத்தில் பட்டியலிடப்பட்டுள்ள இரண்டு நிபந்தனைகளும் பூர்த்தி செய்யப்படுகின்றன. இதிலிருந்து சூத்திரம் பொருந்தும், அதாவது. $\lim_(x\to(2)) \frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x+ 7 ))=1$.

பதில்: $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\வலது))(\frac(x^2-4)(x +7))=1$.

எடுத்துக்காட்டு எண். 3

$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)$ஐக் கண்டறியவும்.

$\lim_(x\to(0))\sin(9x)=0$ மற்றும் $\lim_(x\to(0))x=0$ என்பதால், $\frac படிவத்தின் நிச்சயமற்ற தன்மையைக் கையாளுகிறோம் (0 )(0)$, அதாவது. முடிந்தது. இருப்பினும், சைன் அடையாளத்தின் கீழ் உள்ள வெளிப்பாடுகள் மற்றும் வகுப்பில் உள்ள வெளிப்பாடுகள் ஒத்துப்போவதில்லை. இங்கே நீங்கள் வகுப்பில் உள்ள வெளிப்பாட்டை சரிசெய்ய வேண்டும் தேவையான படிவம். வகுப்பில் இருக்க $9x$ என்ற வெளிப்பாடு தேவை, அது உண்மையாகிவிடும். அடிப்படையில், வகுப்பில் $9$ என்ற காரணியைக் காணவில்லை, அதை உள்ளிடுவது அவ்வளவு கடினம் அல்ல - வகுப்பில் உள்ள வெளிப்பாட்டை $9$ ஆல் பெருக்கவும். இயற்கையாகவே, $9$ ஆல் பெருக்கத்தை ஈடுசெய்ய, நீங்கள் உடனடியாக $9$ ஆல் வகுக்க வேண்டும்:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x\cdot\frac(1)(9)) =9\lim_(x\to(0))\frac(\sin (9x))(9x)$$

இப்போது வகுப்பிலும் சைன் அடையாளத்தின் கீழும் உள்ள வெளிப்பாடுகள் ஒத்துப்போகின்றன. வரம்பு $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)$க்கான இரண்டு நிபந்தனைகளும் திருப்திகரமாக உள்ளன. எனவே, $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=1$. மற்றும் இதன் பொருள்:

$$ 9\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=9\cdot(1)=9. $$

பதில்: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=9$.

எடுத்துக்காட்டு எண். 4

$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))$ஐக் கண்டறியவும்.

$\lim_(x\to(0))\sin(5x)=0$ மற்றும் $\lim_(x\to(0))\tg(8x)=0$ என்பதால், படிவத்தின் நிச்சயமற்ற தன்மையை இங்கே கையாளுகிறோம் $\frac(0)(0)$. இருப்பினும், முதல் குறிப்பிடத்தக்க வரம்பின் வடிவம் மீறப்படுகிறது. $\sin(5x)$ ஐக் கொண்ட ஒரு எண்ணுக்கு $5x$ மதிப்பிலானது தேவை. இந்த சூழ்நிலையில், எண்ணை $5x$ ஆல் வகுத்து, உடனடியாக $5x$ ஆல் பெருக்குவது எளிதான வழி. கூடுதலாக, நாங்கள் செய்வோம் ஒத்த செயல்பாடுமற்றும் வகுப்பைக் கொண்டு, $\tg(8x)$ ஐ $8x$ ஆல் பெருக்கி வகுத்தல்:

$$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x)=\left|\frac(0)(0)\வலது| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )$$

$x$ ஆல் குறைத்து, $\frac(5)(8)$ வரம்பு அடையாளத்திற்கு வெளியே மாறிலியை எடுத்துக் கொண்டால், நாம் பெறுவோம்:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))( 8x)) $$

$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x)$ முதல் குறிப்பிடத்தக்க வரம்புக்கான தேவைகளை முழுமையாக பூர்த்தி செய்கிறது. $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(8x))(8x)$ஐ கண்டுபிடிக்க, பின்வரும் சூத்திரம் பொருந்தும்:

$$ \frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))(8x . (0))\frac(\tg(8x))(8x)) =\frac(5)(8)\cdot\frac(1)(1) =\frac(5)(8). $$

பதில்: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\frac(5)(8)$.

எடுத்துக்காட்டு எண். 5

$\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)$ என்பதைக் கண்டறியவும்.

$\lim_(x\to(0))(\cos(5x)-\cos^3(5x))=1-1=0$ ($\cos(0)=1$) மற்றும் $\ என்பதிலிருந்து lim_(x\to(0))x^2=0$, பிறகு $\frac(0)(0)$ படிவத்தின் நிச்சயமற்ற தன்மையைக் கையாளுகிறோம். இருப்பினும், முதல் குறிப்பிடத்தக்க வரம்பைப் பயன்படுத்துவதற்கு, நீங்கள் நியூமரேட்டரில் உள்ள கோசைனை அகற்ற வேண்டும், சைன்கள் (பின்னர் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவதற்காக) அல்லது டேன்ஜென்ட்களுக்கு (பின்னர் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவதற்காக) செல்ல வேண்டும். பின்வரும் மாற்றத்தின் மூலம் இதைச் செய்யலாம்:

$$\cos(5x)-\cos^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)$$ $$\cos(5x)-\cos ^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)=\cos(5x)\cdot\sin^2(5x).$$

வரம்புக்கு திரும்புவோம்:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=\left|\frac(0)(0)\வலது| =\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)\cdot\sin^2(5x))(x^2) =\lim_(x\to(0))\left(\cos (5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\வலது) $$

$\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ என்ற பின்னம் ஏற்கனவே முதல் குறிப்பிடத்தக்க வரம்பிற்கு தேவையான படிவத்திற்கு அருகில் உள்ளது. $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ என்ற பின்னத்துடன் சிறிது வேலை செய்வோம், அதை முதல் குறிப்பிடத்தக்க வரம்பிற்குச் சரிசெய்வோம் (எண் மற்றும் சைனின் கீழ் உள்ள வெளிப்பாடுகள் பொருந்த வேண்டும் என்பதை நினைவில் கொள்ளவும்):

$$\frac(\sin^2(5x))(x^2)=\frac(\sin^2(5x))(25x^2\cdot\frac(1)(25))=25\cdot\ frac(\sin^2(5x))(25x^2)=25\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\வலது)^2$$

கேள்வி வரம்புக்கு திரும்புவோம்:

$$ \lim_(x\to(0))\left(\cos(5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) =\lim_(x\to(0) ))\left(25\cos(5x)\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2\right)=\\ =25\cdot\lim_(x\to( 0))\cos(5x)\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2 =25\cdot(1)\cdot( 1^2) =25. $$

பதில்: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=25$.

எடுத்துக்காட்டு எண். 6

வரம்பைக் கண்டறியவும் $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))$.

$\lim_(x\to(0))(1-\cos(6x))=0$ மற்றும் $\lim_(x\to(0))(1-\cos(2x))=0$, பின்னர் $\frac(0)(0)$ நிச்சயமற்ற தன்மையைக் கையாளுகிறோம். முதல் குறிப்பிடத்தக்க வரம்பின் உதவியுடன் அதை வெளிப்படுத்துவோம். இதைச் செய்ய, கோசைன்களிலிருந்து சைன்களுக்குச் செல்லலாம். $1-\cos(2\alpha)=2\sin^2(\alpha)$ என்பதால், பின்:

$$1-\cos(6x)=2\sin^2(3x);\;1-\cos(2x)=2\sin^2(x).$$

கொடுக்கப்பட்ட வரம்பில் சைன்களுக்குச் சென்றால், எங்களிடம் இருக்கும்:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=\left|\frac(0)(0)\வலது| =\lim_(x\to(0))\frac(2\sin^2(3x))(2\sin^2(x)) =\lim_(x\to(0))\frac(\sin^ 2(3x))(\sin^2(x))=\\ =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin^2(3x))((3x)^2)\ cdot(3x)^2)(\frac(\sin^2(x))(x^2)\cdot(x^2)) =\lim_(x\to(0))\frac(\left(\\ frac(\sin(3x))(3x)\வலது)^2\cdot(9x^2))(\இடது(\frac(\sin(x))(x)\வலது)^2\cdot(x^ 2)) =9\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(3x))(3x)\right)^2)(\displaystyle\lim_(x \to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2) =9\cdot\frac(1^2)(1^2) =9. $$

பதில்: $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=9$.

எடுத்துக்காட்டு எண். 7

வரம்பைக் கணக்கிடவும் $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x))(x^2)$ $\alpha\neqக்கு உட்பட்டது \ beta$.

விரிவான விளக்கங்கள் முன்பே கொடுக்கப்பட்டன, ஆனால் இங்கே மீண்டும் நிச்சயமற்ற $\frac(0)(0)$ இருப்பதைக் கவனிக்கிறோம். சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கோசைன்களிலிருந்து சைன்களுக்கு நகர்வோம்

$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\sin\frac(\alpha-\beta)(2).$$

இந்த சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, நாம் பெறுகிறோம்:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\left|\frac(0)( 0)\வலது| =\lim_(x\to(0))\frac(-2\sin\frac(\alpha(x)+\beta(x))(2)\cdot\sin\frac(\alpha(x)-\ பீட்டா(x))(2))(x^2)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta) )(2)\வலது)\cdot\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x^2) =-2\cdot\lim_(x\to( 0))\left(\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x)\cdot\frac(\sin\left(x\cdot\frac (\alpha-\beta)(2)\வலது))(x)\வலது)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin\left(x) \cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\frac (\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2))\cdot\frac(\alpha- \beta)(2)\வலது)=\\ =-\frac((\alpha+\beta)\cdot(\alpha-\beta))(2)\lim_(x\to(0))\frac(\ sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\lim_(x\to(0)) \frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)) =-\frac(\ alpha^2-\beta^2)(2)\cdot(1)\cdot(1) =\frac(\beta^2-\alpha^2)(2). $$

பதில்: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\frac(\beta^2-\ ஆல்பா^2)(2)$.

எடுத்துக்காட்டு எண். 8

வரம்பைக் கண்டறியவும் $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)$.

$\lim_(x\to(0))(\tg(x)-\sin(x))=0$ என்பதால் ($\sin(0)=\tg(0)=0$) மற்றும் $\ lim_(x\to(0))x^3=0$, பின்னர் இங்கே நாம் $\frac(0)(0)$ படிவத்தின் நிச்சயமற்ற தன்மையைக் கையாளுகிறோம். அதை பின்வருமாறு உடைப்போம்:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\left|\frac(0)(0)\வலது| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(x))(\cos(x))-\sin(x))(x^3) =\lim_(x\to( 0))\frac(\sin(x)\cdot\left(\frac(1)(\cos(x)-1\right))(x^3) =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot\left(1-\cos(x)\right))(x^3\cdot\cos(x))=\\ =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot(2)\sin^2\frac(x)(2))(x^3\cdot\cos(x)) =\frac(1)(2)\cdot\ lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)( 2))\வலது)^2\cdot\frac(1)(\cos(x))\right) =\frac(1)(2)\cdot(1)\cdot(1^2)\cdot(1 ) =\frac(1)(2). $$

பதில்: $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\frac(1)(2)$.

எடுத்துக்காட்டு எண். 9

வரம்பைக் கண்டறியவும் $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))$.

$\lim_(x\to(3))(1-\cos(x-3))=0$ மற்றும் $\lim_(x\to(3))(x-3)\tg\frac(x - 3)(2)=0$, பின்னர் $\frac(0)(0)$ படிவத்தின் நிச்சயமற்ற தன்மை உள்ளது. அதன் விரிவாக்கத்திற்குச் செல்வதற்கு முன், புதிய மாறி பூஜ்ஜியமாக இருக்கும் வகையில் மாறியை மாற்றுவது வசதியானது (சூத்திரங்களில் மாறி $\alpha \to 0$ என்பதைக் கவனத்தில் கொள்ளவும்). $t=x-3$ என்ற மாறியை அறிமுகப்படுத்துவதே எளிதான வழி. இருப்பினும், மேலும் மாற்றங்களின் வசதிக்காக (இந்தப் பலனை கீழே உள்ள தீர்வின் போக்கில் காணலாம்), பின்வரும் மாற்றீடு செய்வது மதிப்பு: $t=\frac(x-3)(2)$. இந்த விஷயத்தில் இரண்டு மாற்றீடுகளும் பொருந்தும் என்பதை நான் கவனிக்கிறேன், இரண்டாவது மாற்றீடு பின்னங்களுடன் குறைவாக வேலை செய்ய உங்களை அனுமதிக்கும். $x\to(3)$ என்பதிலிருந்து, $t\to(0)$.

$$ \lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=\இடது|\frac (0)(0)\வலது| =\இடது|\தொடங்கு(சீரமைக்கப்பட்டது)&t=\frac(x-3)(2);\\&t\to(0)\end(சீரமைக்கப்பட்டது)\வலது| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\cos(2t))(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^ 2t)(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\tg(t))=\\ =\lim_(t\ to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\frac(\sin(t))(\cos(t))) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin (t)\cos(t))(t) =\lim_(t\to(0))\left(\frac(\sin(t))(t)\cdot\cos(t)\right) =\ lim_(t\to(0))\frac(\sin(t))(t)\cdot\lim_(t\to(0))\cos(t) =1\cdot(1) =1. $$

பதில்: $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=1$.

எடுத்துக்காட்டு எண். 10

வரம்பைக் கண்டறியவும் $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^ 2)$.

மீண்டும் நாங்கள் நிச்சயமற்ற $\frac(0)(0)$ உடன் கையாளுகிறோம். அதன் விரிவாக்கத்திற்குச் செல்வதற்கு முன், புதிய மாறி பூஜ்ஜியத்திற்குச் செல்லும் வகையில் மாறியை மாற்றுவது வசதியானது (சூத்திரங்களில் மாறி $\alpha\to(0)$ என்பதை நினைவில் கொள்ளவும்). $t=\frac(\pi)(2)-x$ என்ற மாறியை அறிமுகப்படுத்துவதே எளிதான வழி. $x\to\frac(\pi)(2)$ என்பதால், $t\to(0)$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\இடது|\frac(0)(0)\வலது| =\ இடது| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\sin\left(\frac(\pi)(2)-t\right))(t^2) =\lim_(t\to(0) ))\frac(1-\cos(t))(t^2)=\\ =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^2\frac(t)(2))( t^2) =2\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2\frac(t)(2))(t^2) =2\lim_(t\to(0))\ frac(\sin^2\frac(t)(2))(\frac(t^2)(4)\cdot(4)) =\frac(1)(2)\cdot\lim_(t\to( 0))\இடது(\frac(\sin\frac(t)(2))(\frac(t)(2))\வலது)^2 =\frac(1)(2)\cdot(1^2 ) =\frac(1)(2). $$

பதில்: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\frac(1)(2)$.

எடுத்துக்காட்டு எண். 11

வரம்புகள் $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)$, $\lim_(x\to\frac(2) \ pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)$.

இந்த விஷயத்தில் நாம் முதல் அற்புதமான வரம்பை பயன்படுத்த வேண்டியதில்லை. முதல் மற்றும் இரண்டாவது வரம்புகளில் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள் மற்றும் எண்கள் மட்டுமே உள்ளன என்பதை நினைவில் கொள்ளவும். பெரும்பாலும் இந்த வகையான எடுத்துக்காட்டுகளில் வரம்பு அடையாளத்தின் கீழ் அமைந்துள்ள வெளிப்பாட்டை எளிமைப்படுத்த முடியும். மேலும், மேற்கூறிய சில காரணிகளின் எளிமைப்படுத்தல் மற்றும் குறைப்புக்குப் பிறகு, நிச்சயமற்ற தன்மை மறைந்துவிடும். நான் இந்த உதாரணத்தை ஒரே ஒரு நோக்கத்திற்காக மட்டுமே கொடுத்தேன்: வரம்பு அடையாளத்தின் கீழ் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள் இருப்பது முதல் குறிப்பிடத்தக்க வரம்பைப் பயன்படுத்த வேண்டிய அவசியமில்லை என்பதைக் காட்ட.

$\lim_(x\to\frac(\pi)(2))(1-\sin(x))=0$ ($\sin\frac(\pi)(2)=1$ ) மற்றும் $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\cos^2x=0$ ($\cos\frac(\pi)(2)=0$ என்பதை உங்களுக்கு நினைவூட்டுகிறேன், பிறகு எங்களிடம் உள்ளது $\frac(0)(0)$ படிவத்தின் நிச்சயமற்ற தன்மையைக் கையாளுதல். இருப்பினும், முதல் அற்புதமான வரம்பை நாம் பயன்படுத்த வேண்டும் என்று இது அர்த்தப்படுத்துவதில்லை. நிச்சயமற்ற தன்மையை வெளிப்படுத்த, $\cos^2x=1-\sin^2x$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x) =\left|\frac(0)(0)\வலது| =\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(1-\sin^2x) =\lim_(x\to\frac(\pi)( 2))\frac(1-\sin(x))((1-\sin(x))(1+\sin(x))) =\lim_(x\to\frac(\pi)(2) )\frac(1)(1+\sin(x)) =\frac(1)(1+1) =\frac(1)(2). $$

டெமிடோவிச்சின் தீர்வு புத்தகத்தில் (எண். 475) இதே போன்ற தீர்வு உள்ளது. இரண்டாவது வரம்பைப் பொறுத்தவரை, இந்தப் பிரிவில் உள்ள முந்தைய எடுத்துக்காட்டுகளைப் போலவே, $\frac(0)(0)$ படிவத்தின் நிச்சயமற்ற தன்மையைக் கொண்டுள்ளோம். ஏன் எழுகிறது? $\tg\frac(2\pi)(3)=-\sqrt(3)$ மற்றும் $2\cos\frac(2\pi)(3)=-1$ என்பதால் இது எழுகிறது. எண் மற்றும் வகுப்பில் உள்ள வெளிப்பாடுகளை மாற்ற இந்த மதிப்புகளைப் பயன்படுத்துகிறோம். எங்கள் செயல்களின் குறிக்கோள், தொகையை எண் மற்றும் வகுப்பில் ஒரு தயாரிப்பாக எழுதுவதாகும். மூலம், பெரும்பாலும் ஒரே மாதிரியான வகைக்குள், புதிய மாறி பூஜ்ஜியமாக இருக்கும் வகையில் உருவாக்கப்பட்ட மாறியை மாற்றுவது வசதியானது (எடுத்துக்காட்டாக, இந்த பக்கத்தில் எடுத்துக்காட்டு எண். 9 அல்லது எண். 10 ஐப் பார்க்கவும்). இருப்பினும், இல் இந்த எடுத்துக்காட்டில்அதை மாற்றுவதில் எந்த அர்த்தமும் இல்லை, இருப்பினும் $t=x-\frac(2\pi)(3)$ மாறியை மாற்றுவது செயல்படுத்த கடினமாக இல்லை.

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1) =\lim_(x\ to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cdot\left(\cos(x)+\frac(1)(2)\வலது )) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)-\tg\frac(2\pi)(3))(2\cdot\left(\\ cos(x)-\cos\frac(2\pi)(3)\right))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\frac(\sin) \left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)))(-4\sin\frac(x+\frac) (2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3) ))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\ sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))=\\ =\lim_(x\to\frac) (2\pi)(3))\frac(2\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos\frac(x-\frac(2\pi)(3 ))(2))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\cos\frac(x-\frac(2) \pi)(3))(2))(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3 . -\frac(1)(2)\வலது)) =-\frac(4)(\sqrt(3)). $$

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, முதல் அற்புதமான வரம்பை நாங்கள் பயன்படுத்த வேண்டியதில்லை. நிச்சயமாக, நீங்கள் விரும்பினால் இதைச் செய்யலாம் (கீழே உள்ள குறிப்பைப் பார்க்கவும்), ஆனால் அது தேவையில்லை.

முதல் குறிப்பிடத்தக்க வரம்பை பயன்படுத்தி தீர்வு என்ன? காட்டு\மறை

முதல் குறிப்பிடத்தக்க வரம்பைப் பயன்படுத்தி நாம் பெறுகிறோம்:

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac (x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi) )(3))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\இடது(\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3))\ வலது))(x-\frac(2\pi)(3))\cdot\frac(1)(\frac(\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) (\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)))\cdot\frac(1)(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))( 2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))\right) =1\cdot(1)\cdot\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3) )(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt( 3)). $$

பதில்: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)=\frac(1)(2)$, $\lim_( x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)=-\frac(4)(\sqrt( 3))$.

ஆதாரம்:

வரிசையின் வழக்குக்கான தேற்றத்தை முதலில் நிரூபிப்போம்

நியூட்டனின் இருசொற் சூத்திரத்தின்படி:

கிடைக்கும் என்று வைத்துக்கொள்வோம்

இந்த சமத்துவத்திலிருந்து (1) n அதிகரிக்கும் போது, ​​வலது பக்கத்தில் உள்ள நேர்மறை சொற்களின் எண்ணிக்கை அதிகரிக்கிறது. கூடுதலாக, n அதிகரிக்கும் போது, ​​எண் குறைகிறது, எனவே மதிப்புகள் அதிகரித்து வருகின்றன. எனவே வரிசை அதிகரித்து, மற்றும் (2)*அது வரம்புக்குட்பட்டது என்பதைக் காட்டுகிறோம். சமத்துவத்தின் வலது பக்கத்தில் உள்ள ஒவ்வொரு அடைப்புக்குறியையும் ஒன்றை மாற்றவும், வலது பக்கம் அதிகரிக்கும், மேலும் சமத்துவமின்மையைப் பெறுகிறோம்

இதன் விளைவாக வரும் சமத்துவமின்மையை வலுப்படுத்துவோம், 3,4,5, ..., பின்னங்களின் வகுப்பில் நின்று, எண் 2 ஐக் கொண்டு: சொற்களின் கூட்டுத்தொகையைப் பயன்படுத்தி அடைப்புக்குறிக்குள் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டுபிடிப்போம். வடிவியல் முன்னேற்றம்: அதனால் தான் (3)*

எனவே, வரிசை மேலே இருந்து வரம்பிடப்பட்டுள்ளது, மேலும் ஏற்றத்தாழ்வுகள் (2) மற்றும் (3) திருப்தி அடைகின்றன: எனவே, வீர்ஸ்ட்ராஸ் தேற்றத்தின் அடிப்படையில் (ஒரு வரிசையின் ஒருங்கிணைப்புக்கான அளவுகோல்), வரிசை ஏகபோகமாக அதிகரிக்கிறது மற்றும் வரம்புக்குட்பட்டது, அதாவது e என்ற எழுத்தால் குறிக்கப்படும் வரம்பு உள்ளது. அந்த.

x இன் இயற்கை மதிப்புகளுக்கு இரண்டாவது குறிப்பிடத்தக்க வரம்பு உண்மை என்பதை அறிந்தால், உண்மையான xக்கான இரண்டாவது குறிப்பிடத்தக்க வரம்பை நாங்கள் நிரூபிக்கிறோம், அதாவது, நாங்கள் அதை நிரூபிக்கிறோம். . இரண்டு நிகழ்வுகளைக் கருத்தில் கொள்வோம்:

1. x இன் ஒவ்வொரு மதிப்பும் இரண்டு நேர்மறை முழு எண்களுக்கு இடையில் இணைக்கப்பட வேண்டும்: , x இன் முழு எண் பகுதி எங்கே. => =>

என்றால், எனவே, வரம்புக்கு ஏற்ப எங்களிடம் உள்ளது

வரம்புகளின் இருப்பின் அளவுகோலின் அடிப்படையில் (ஒரு இடைநிலை செயல்பாட்டின் வரம்பு பற்றி)

2. விடுங்கள். மாற்றீடு − x = t, பிறகு செய்யலாம்

இந்த இரண்டு நிகழ்வுகளிலிருந்தும் அது பின்வருமாறு உண்மையான xக்கு.

விளைவுகள்:

9 .) முடிவிலிகளின் ஒப்பீடு. வரம்பில் உள்ள சமமானவைகளுடன் முடிவிலிகளை மாற்றுவதற்கான தேற்றம் மற்றும் முடிவிலிகளின் முக்கிய பகுதியின் தேற்றம்.

செயல்பாடுகளை a( எக்ஸ்) மற்றும் b( எக்ஸ்) – பி.எம். மணிக்கு எக்ஸ் ® எக்ஸ் 0 .

வரையறைகள்.

1)a( எக்ஸ்) அழைக்கப்பட்டது எல்லையற்ற மேலும் உயர் ஒழுங்குஎப்படி பி (எக்ஸ்) என்றால்

எழுதுங்கள்: a( எக்ஸ்) = o(b( எக்ஸ்)) .

2)a( எக்ஸ்) மற்றும் b( எக்ஸ்)அழைக்கப்படுகின்றன ஒரே வரிசையின் எல்லையற்றவை, என்றால்

எங்கே சிÎℝ மற்றும் சி¹ 0 .

எழுதுங்கள்: a( எக்ஸ்) = ஓ(பி எக்ஸ்)) .

3)a( எக்ஸ்) மற்றும் b( எக்ஸ்) அழைக்கப்படுகின்றன இணையான , என்றால்

எழுதுங்கள்: a( எக்ஸ்) ~ b( எக்ஸ்).

4)a( எக்ஸ்) k உறவினர் வரிசையின் எல்லையற்றது என்று அழைக்கப்படுகிறது
முற்றிலும் எல்லையற்றது b( எக்ஸ்), எல்லையற்றது என்றால்ஒரு எக்ஸ்)மற்றும்(பி எக்ஸ்))கே அதே வரிசையில் உள்ளது, அதாவது. என்றால்

எங்கே சிÎℝ மற்றும் சி¹ 0 .

தேற்றம் 6 (இன்ஃபினிட்டிசிமல்களை சமமானவற்றுடன் மாற்றுவதில்).

விடுங்கள்ஒரு எக்ஸ்), b( எக்ஸ்), ஒரு 1 ( எக்ஸ்), b 1 ( எக்ஸ்)– பி.எம். x இல் ® எக்ஸ் 0 . என்றால்ஒரு எக்ஸ்) ~ a 1 ( எக்ஸ்), b( எக்ஸ்) ~ b 1 ( எக்ஸ்),

அந்த

ஆதாரம்: விடுங்கள் ( எக்ஸ்) ~ a 1 ( எக்ஸ்), b( எக்ஸ்) ~ b 1 ( எக்ஸ்), பிறகு

தேற்றம் 7 (முடிவிலியின் முக்கிய பகுதியைப் பற்றி).

விடுங்கள்ஒரு எக்ஸ்)மற்றும் b( எக்ஸ்)– பி.எம். x இல் ® எக்ஸ் 0 , மற்றும் b( எக்ஸ்)– பி.எம். விட அதிக வரிசைஒரு எக்ஸ்).

=, a முதல் b( எக்ஸ்) - a(ஐ விட அதிக வரிசை எக்ஸ்), பின்னர், அதாவது. இருந்து அது தெளிவாக உள்ளது a( எக்ஸ்) + b( எக்ஸ்) ~ a( எக்ஸ்)

10) ஒரு கட்டத்தில் செயல்பாட்டின் தொடர்ச்சி (எப்சிலான்-டெல்டா மொழியில், வடிவியல் வரம்புகள்) ஒரு பக்க தொடர்ச்சி. ஒரு இடைவெளியில், ஒரு பிரிவில் தொடர்ச்சி. தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகளின் பண்புகள்.

1. அடிப்படை வரையறைகள்

விடுங்கள் f(எக்ஸ்) புள்ளியின் சில சுற்றுப்புறங்களில் வரையறுக்கப்படுகிறது எக்ஸ் 0 .

வரையறை 1. செயல்பாடு f(எக்ஸ்) அழைக்கப்பட்டது ஒரு புள்ளியில் தொடர்ந்து எக்ஸ் 0 சமத்துவம் உண்மையாக இருந்தால்

குறிப்புகள்.

1) தேற்றம் 5 §3 இன் அடிப்படையில், சமத்துவம் (1) வடிவத்தில் எழுதப்படலாம்

நிபந்தனை (2) - ஒரு பக்க வரம்புகளின் மொழியில் ஒரு கட்டத்தில் ஒரு செயல்பாட்டின் தொடர்ச்சியின் வரையறை.

2) சமத்துவம் (1) என்றும் எழுதலாம்:

அவர்கள் கூறுகிறார்கள்: "ஒரு செயல்பாடு ஒரு கட்டத்தில் தொடர்ச்சியாக இருந்தால் எக்ஸ் 0, பின்னர் வரம்பு மற்றும் செயல்பாட்டின் அடையாளம் மாற்றப்படலாம்."

வரையறை 2 (இ-டி மொழியில்).

செயல்பாடு f(எக்ஸ்) அழைக்கப்பட்டது ஒரு புள்ளியில் தொடர்ந்து எக்ஸ் 0 என்றால்"e>0 $d>0 அத்தகைய, என்ன

x என்றால்ОU( எக்ஸ் 0 , d) (அதாவது | எக்ஸ் – எக்ஸ் 0 | < d),

பின்னர் எஃப்(எக்ஸ்)ÎU( f(எக்ஸ் 0), இ) (அதாவது | f(எக்ஸ்) – f(எக்ஸ் 0) | < e).

விடுங்கள் எக்ஸ், எக்ஸ் 0 Î டி(f) (எக்ஸ் 0 - நிலையானது, எக்ஸ் -தன்னிச்சையான)

குறிப்போம்: டி எக்ஸ்= x – x 0 – வாதம் அதிகரிப்பு

டி f(எக்ஸ் 0) = f(எக்ஸ்) – f(எக்ஸ் 0) – பாயின்ட்எக்ஸில் செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பு 0

வரையறை 3 (வடிவியல்).

செயல்பாடு f(எக்ஸ்) அன்று அழைக்கப்பட்டது ஒரு புள்ளியில் தொடர்ந்து எக்ஸ் 0 இந்த கட்டத்தில் வாதத்தில் ஒரு எல்லையற்ற அதிகரிப்பு செயல்பாட்டின் எல்லையற்ற அதிகரிப்புக்கு ஒத்திருந்தால், அதாவது

செயல்படட்டும் f(எக்ஸ்) இடைவெளியில் வரையறுக்கப்படுகிறது [ எக்ஸ் 0 ; எக்ஸ் 0 + d) (இடைவெளியில் ( எக்ஸ் 0 - டி; எக்ஸ் 0 ]).

வரையறை. செயல்பாடு f(எக்ஸ்) அழைக்கப்பட்டது ஒரு புள்ளியில் தொடர்ந்து எக்ஸ் 0 வலதுபுறம் (விட்டு ), சமத்துவம் உண்மையாக இருந்தால்

என்பது வெளிப்படையானது f(எக்ஸ்) புள்ளியில் தொடர்ச்சியாக உள்ளது எக்ஸ் 0 Û f(எக்ஸ்) புள்ளியில் தொடர்ச்சியாக உள்ளது எக்ஸ் 0 வலது மற்றும் இடது.

வரையறை. செயல்பாடு f(எக்ஸ்) அழைக்கப்பட்டது ஒரு இடைவெளிக்கு தொடர்ந்து இ ( அ; பி) இந்த இடைவெளியின் ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் அது தொடர்ச்சியாக இருந்தால்.

செயல்பாடு f(எக்ஸ்) பிரிவில் தொடர்ச்சியானது என்று அழைக்கப்படுகிறது [அ; பி] இடைவெளியில் தொடர்ந்து இருந்தால் (அ; பி) மற்றும் எல்லைப் புள்ளிகளில் ஒரு வழி தொடர்ச்சியைக் கொண்டுள்ளது(அதாவது புள்ளியில் தொடர்ச்சியானது அவலதுபுறத்தில், புள்ளியில் பி- இடது).

11) முறிவு புள்ளிகள், அவற்றின் வகைப்பாடு

வரையறை. செயல்பாடு f என்றால்(எக்ஸ்) புள்ளி x இன் சில சுற்றுப்புறங்களில் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது 0 , ஆனால் இந்த கட்டத்தில் தொடர்ந்து இல்லை f(எக்ஸ்) புள்ளி x இல் இடைவிடாது என்று அழைக்கப்படுகிறது 0 , மற்றும் புள்ளி தன்னை எக்ஸ் 0 இடைவேளை புள்ளி என்று அழைக்கப்படுகிறது செயல்பாடுகள் f(எக்ஸ்) .

குறிப்புகள்.

1) f(எக்ஸ்) புள்ளியின் முழுமையற்ற சுற்றுப்புறத்தில் வரையறுக்கப்படலாம் எக்ஸ் 0 .

பின்னர் செயல்பாட்டின் தொடர்புடைய ஒரு வழி தொடர்ச்சியைக் கவனியுங்கள்.

2) Þ புள்ளியின் வரையறையிலிருந்து எக்ஸ் 0 என்பது செயல்பாட்டின் முறிவு புள்ளி f(எக்ஸ்) இரண்டு சந்தர்ப்பங்களில்:

அ) யு( எக்ஸ் 0, ஈ) ஓ டி(f) , ஆனால் அதற்காக f(எக்ஸ்) சமத்துவம் நிலைக்காது

b) U * ( எக்ஸ் 0, ஈ) ஓ டி(f) .

அடிப்படை செயல்பாடுகளுக்கு, வழக்கு b) மட்டுமே சாத்தியமாகும்.

விடுங்கள் எக்ஸ் 0 - செயல்பாடு முறிவு புள்ளி f(எக்ஸ்) .

வரையறை. புள்ளி x 0 அழைக்கப்பட்டது முறிவு புள்ளி நான் வகையான செயல்பாடு f என்றால்(எக்ஸ்)இந்த கட்டத்தில் உள்ளது வரையறுக்கப்பட்ட வரம்புகள்இடது மற்றும் வலது.

இந்த வரம்புகள் சமமாக இருந்தால், புள்ளி x 0 அழைக்கப்பட்டது நீக்கக்கூடிய முறிவு புள்ளி , இல்லையெனில் - ஜம்ப் பாயிண்ட் .

வரையறை. புள்ளி x 0 அழைக்கப்பட்டது முறிவு புள்ளி II வகையான f செயல்பாட்டின் ஒருபக்க வரம்புகளில் குறைந்தபட்சம் ஒன்று இருந்தால்(எக்ஸ்)இந்த கட்டத்தில் சமம்¥ அல்லது இல்லை.

12) ஒரு இடைவெளியில் தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகளின் பண்புகள் (வீயர்ஸ்ட்ராஸின் கோட்பாடுகள் (ஆதாரம் இல்லாமல்) மற்றும் கௌச்சி

வீர்ஸ்ட்ராஸின் தேற்றம்

f(x) சார்பு இடைவெளியில் தொடர்ச்சியாக இருக்கட்டும்

1)f(x) வரம்புக்குட்பட்டது

2)f(x) அதன் சிறிய மதிப்பை இடைவெளியில் எடுக்கும் மற்றும் மிக உயர்ந்த மதிப்பு

வரையறை: எந்த x€ D(f) க்கும் m≤f(x) என்றால் m=f செயல்பாட்டின் மதிப்பு சிறியது என அழைக்கப்படுகிறது.

எந்த x € D(f) க்கும் m≥f(x) என்றால் m=f செயல்பாட்டின் மதிப்பு அதிகமாக இருக்கும்.

பிரிவின் பல புள்ளிகளில் செயல்பாடு சிறிய/பெரிய மதிப்பைப் பெறலாம்.

f(x 3)=f(x 4)=max

கௌச்சியின் தேற்றம்.

பிரிவில் f(x) செயல்பாடு தொடர்ச்சியாக இருக்கட்டும் மற்றும் x என்பது f(a) மற்றும் f(b) இடையே உள்ள எண்ணாக இருக்கட்டும், பிறகு f(x 0)= g என ஒரு புள்ளி x 0 € இருக்க வேண்டும்.

இப்போது, ​​ஒரு அமைதியான ஆன்மாவுடன், கருத்தில் கொள்ள செல்லலாம் அற்புதமான வரம்புகள்.
போல் தெரிகிறது.

x என்ற மாறிக்கு பதிலாக இருக்கலாம் பல்வேறு செயல்பாடுகள், முக்கிய விஷயம் என்னவென்றால், அவை 0 க்கு முனைகின்றன.

வரம்பை கணக்கிடுவது அவசியம்

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, இந்த வரம்பு முதல் குறிப்பிடத்தக்க ஒன்றுக்கு மிகவும் ஒத்திருக்கிறது, ஆனால் இது முற்றிலும் உண்மை இல்லை. பொதுவாக, வரம்பில் பாவத்தை நீங்கள் கவனித்தால், முதல் குறிப்பிடத்தக்க வரம்பைப் பயன்படுத்த முடியுமா என்பதைப் பற்றி உடனடியாக சிந்திக்க வேண்டும்.

எங்கள் விதி எண். 1 இன் படி, x க்கு பதிலாக பூஜ்ஜியத்தை மாற்றுகிறோம்:

நிச்சயமற்ற தன்மையைப் பெறுகிறோம்.

இப்போது முதல் அற்புதமான வரம்பை நாமே ஒழுங்கமைக்க முயற்சிப்போம். இதைச் செய்ய, ஒரு எளிய கலவையைச் செய்வோம்:

எனவே 7xஐ முன்னிலைப்படுத்த, எண் மற்றும் வகுப்பினை ஒழுங்கமைக்கிறோம். இப்போது பழக்கமான குறிப்பிடத்தக்க வரம்பு ஏற்கனவே தோன்றியது. தீர்மானிக்கும் போது அதை முன்னிலைப்படுத்துவது நல்லது:

முதல் குறிப்பிடத்தக்க உதாரணத்திற்கு தீர்வை மாற்றி, பெறுவோம்:

பின்னத்தை எளிமையாக்குதல்:

பதில்: 7/3.

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, எல்லாம் மிகவும் எளிது.

போல் தெரிகிறது , இங்கு e = 2.718281828... என்பது ஒரு விகிதாசார எண்.

x மாறிக்கு பதிலாக பல்வேறு செயல்பாடுகள் இருக்கலாம், முக்கிய விஷயம் என்னவென்றால் அவை .

வரம்பை கணக்கிடுவது அவசியம்

ஒரு வரம்பின் அடையாளத்தின் கீழ் ஒரு பட்டம் இருப்பதை இங்கே காண்கிறோம், அதாவது இரண்டாவது குறிப்பிடத்தக்க வரம்பைப் பயன்படுத்துவது சாத்தியமாகும்.

எப்போதும் போல, விதி எண் 1 - பதிலாக x ஐப் பயன்படுத்துவோம்:

x இல் பட்டத்தின் அடிப்பகுதி , மற்றும் அடுக்கு 4x > , அதாவது. படிவத்தின் நிச்சயமற்ற தன்மையைப் பெறுகிறோம்:

நமது நிச்சயமற்ற தன்மையை வெளிப்படுத்த இரண்டாவது அற்புதமான வரம்பைப் பயன்படுத்துவோம், ஆனால் முதலில் அதை ஒழுங்கமைக்க வேண்டும். நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, நாம் காட்டியில் இருப்பை அடைய வேண்டும், அதற்காக நாம் அடித்தளத்தை 3x சக்தியாகவும், அதே நேரத்தில் 1/3x சக்தியாகவும் உயர்த்துகிறோம், இதனால் வெளிப்பாடு மாறாது:

எங்கள் அற்புதமான வரம்பை முன்னிலைப்படுத்த மறக்காதீர்கள்:

அவர்கள் உண்மையில் அப்படித்தான் அற்புதமான வரம்புகள்!
உங்களுக்கு இன்னும் ஏதேனும் கேள்விகள் இருந்தால் முதல் மற்றும் இரண்டாவது அற்புதமான வரம்புகள், பின்னர் கருத்துகளில் அவர்களிடம் கேட்க தயங்க.
முடிந்தவரை அனைவருக்கும் பதிலளிப்போம்.

இந்த தலைப்பில் நீங்கள் ஆசிரியருடன் இணைந்து பணியாற்றலாம்.
உங்கள் நகரத்தில் தகுதியான ஆசிரியரைத் தேர்ந்தெடுக்கும் சேவைகளை உங்களுக்கு வழங்குவதில் நாங்கள் மகிழ்ச்சியடைகிறோம். எங்களுடைய கூட்டாளர்கள் உங்களுக்கு சாதகமான விதிமுறைகளில் ஒரு நல்ல ஆசிரியரைத் தேர்ந்தெடுப்பார்கள்.

போதுமான தகவல் இல்லையா? - உன்னால் முடியும் !

நோட்பேடில் கணிதக் கணக்கீடுகளை எழுதலாம். லோகோவுடன் (http://www.blocnot.ru) குறிப்பேடுகளில் தனித்தனியாக எழுதுவது மிகவும் இனிமையானது.

இந்த கட்டுரை: "இரண்டாவது குறிப்பிடத்தக்க வரம்பு" படிவத்தின் நிச்சயமற்ற வரம்புகளுக்குள் வெளிப்படுத்துவதற்கு அர்ப்பணிக்கப்பட்டுள்ளது:

$ \bigg[\frac(\infty)(\infty)\bigg]^\infty $ மற்றும் $ ^\infty $.

மேலும், அதிவேக செயல்பாட்டின் மடக்கையைப் பயன்படுத்தி இத்தகைய நிச்சயமற்ற தன்மைகளை வெளிப்படுத்தலாம், ஆனால் இது மற்றொரு தீர்வு முறையாகும், இது மற்றொரு கட்டுரையில் விவாதிக்கப்படும்.

சூத்திரம் மற்றும் விளைவுகள்

சூத்திரம்இரண்டாவது குறிப்பிடத்தக்க வரம்பு பின்வருமாறு எழுதப்பட்டுள்ளது: $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1+\frac(1)(x)\bigg)^x = e, \text( எங்கே ) e \தோராயமாக 2.718 $$

இது சூத்திரத்தில் இருந்து பின்வருமாறு விளைவுகள், வரம்புகளுடன் எடுத்துக்காட்டுகளைத் தீர்ப்பதற்குப் பயன்படுத்த மிகவும் வசதியானது: $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(k)(x) \bigg)^x = e^k, \text( எங்கே ) k \in \mathbb(R) $$ $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(1)(f(x)) \bigg)^(f(x)) = e $ $$$ \lim_(x \to 0) \bigg (1 + x \bigg)^\frac(1)(x) = e $$

இரண்டாவது குறிப்பிடத்தக்க வரம்பை எப்பொழுதும் ஒரு அதிவேக செயல்பாட்டிற்குப் பயன்படுத்த முடியாது என்பது கவனிக்கத்தக்கது, ஆனால் அடிப்படை ஒற்றுமைக்கு முனையும் சந்தர்ப்பங்களில் மட்டுமே. இதைச் செய்ய, முதலில் அடித்தளத்தின் வரம்பை மனதளவில் கணக்கிடுங்கள், பின்னர் முடிவுகளை எடுக்கவும். இவை அனைத்தும் எடுத்துக்காட்டு தீர்வுகளில் விவாதிக்கப்படும்.

தீர்வுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்

நேரடி சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி தீர்வுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள் மற்றும் அதன் விளைவுகளைப் பார்ப்போம். சூத்திரம் தேவைப்படாத நிகழ்வுகளையும் நாங்கள் பகுப்பாய்வு செய்வோம். தயாராக பதிலை மட்டும் எழுதி வைத்தால் போதும்.

சிக்கல் இரண்டாவது குறிப்பிடத்தக்க வரம்பிற்கு ஒத்ததாக இருக்கும் நிகழ்வுகளைப் பார்ப்போம், ஆனால் அது இல்லாமல் தீர்க்கப்பட முடியும்.

கட்டுரையில்: "இரண்டாவது குறிப்பிடத்தக்க வரம்பு: தீர்வுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்" சூத்திரம், அதன் விளைவுகள் பகுப்பாய்வு செய்யப்பட்டன மற்றும் இந்த தலைப்பில் பொதுவான வகையான சிக்கல்கள் வழங்கப்பட்டன.

மேலே உள்ள கட்டுரையில் இருந்து வரம்பு என்ன, அது என்ன சாப்பிடப்படுகிறது என்பதை நீங்கள் கண்டுபிடிக்கலாம் - இது மிகவும் முக்கியமானது. ஏன்? நிர்ணயம் செய்பவை என்ன என்பதை நீங்கள் புரிந்து கொள்ளாமல் இருக்கலாம் மற்றும் அவற்றை வெற்றிகரமாக தீர்க்கலாம். ஆனால் வரம்பு என்னவென்று உங்களுக்கு புரியவில்லை என்றால், நடைமுறை பணிகளைத் தீர்ப்பது கடினமாக இருக்கும். மாதிரி தீர்வுகள் மற்றும் எனது வடிவமைப்பு பரிந்துரைகளுடன் உங்களைப் பற்றி அறிந்து கொள்வதும் நல்லது. அனைத்து தகவல்களும் எளிமையான மற்றும் அணுகக்கூடிய வடிவத்தில் வழங்கப்படுகின்றன.

மற்றும் நோக்கங்களுக்காக இந்த பாடம்எங்களுக்கு பின்வரும் கற்பித்தல் பொருட்கள் தேவைப்படும்: அற்புதமான வரம்புகள்மற்றும் முக்கோணவியல் சூத்திரங்கள். அவற்றை பக்கத்தில் காணலாம். கையேடுகளை அச்சிடுவது சிறந்தது - இது மிகவும் வசதியானது, தவிர, நீங்கள் அடிக்கடி அவற்றை ஆஃப்லைனில் பார்க்க வேண்டும்.

குறிப்பிடத்தக்க வரம்புகளின் சிறப்பு என்ன? இந்த வரம்புகளைப் பற்றிய குறிப்பிடத்தக்க விஷயம் என்னவென்றால், அவை பிரபல கணிதவியலாளர்களின் மிகப்பெரிய மனதால் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளன, மேலும் நன்றியுள்ள சந்ததியினர் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள், மடக்கைகள், சக்திகள் ஆகியவற்றின் குவியலால் பயங்கரமான வரம்புகளால் பாதிக்கப்பட வேண்டியதில்லை. அதாவது, வரம்புகளைக் கண்டறியும் போது, ​​கோட்பாட்டளவில் நிரூபிக்கப்பட்ட ஆயத்த முடிவுகளைப் பயன்படுத்துவோம்.

பல அற்புதமான வரம்புகள் உள்ளன, ஆனால் நடைமுறையில், 95% வழக்குகளில், பகுதிநேர மாணவர்களுக்கு இரண்டு அற்புதமான வரம்புகள் உள்ளன: முதல் அற்புதமான வரம்பு, இரண்டாவது அற்புதமான வரம்பு. இவை வரலாற்று ரீதியாக நிறுவப்பட்ட பெயர்கள் என்பதைக் கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும், எடுத்துக்காட்டாக, அவர்கள் "முதல் குறிப்பிடத்தக்க வரம்பு" பற்றி பேசும்போது, ​​இது ஒரு குறிப்பிட்ட விஷயத்தைக் குறிக்கிறது, மேலும் உச்சவரம்பிலிருந்து எடுக்கப்பட்ட சில சீரற்ற வரம்பு அல்ல.

முதல் அற்புதமான வரம்பு

பின்வரும் வரம்பைக் கவனியுங்கள்: (சொந்த எழுத்து "அவர்" க்கு பதிலாக நான் "ஆல்பா" என்ற கிரேக்க எழுத்தைப் பயன்படுத்துவேன், இது பொருளை வழங்குவதற்கான பார்வையில் மிகவும் வசதியானது).

வரம்புகளைக் கண்டறிவதற்கான எங்கள் விதியின்படி (கட்டுரையைப் பார்க்கவும் வரம்புகள். தீர்வுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்) செயல்பாட்டில் பூஜ்ஜியத்தை மாற்ற முயற்சிக்கிறோம்: எண்களில் நாம் பூஜ்ஜியத்தைப் பெறுகிறோம் (பூஜ்ஜியத்தின் சைன் பூஜ்ஜியம்), மற்றும் வகுப்பில், வெளிப்படையாக, பூஜ்ஜியமும் உள்ளது. எனவே, படிவத்தின் நிச்சயமற்ற தன்மையை நாங்கள் எதிர்கொள்கிறோம், இது அதிர்ஷ்டவசமாக, வெளிப்படுத்தப்பட வேண்டிய அவசியமில்லை. எனக்கு தெரியும் கணித பகுப்பாய்வு, இது நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது:

இந்த கணித உண்மை அழைக்கப்படுகிறது முதல் அற்புதமான வரம்பு. வரம்பின் பகுப்பாய்வு ஆதாரத்தை நான் கொடுக்க மாட்டேன், ஆனால் அதன் வடிவியல் அர்த்தத்தை பாடத்தில் பார்ப்போம் எல்லையற்ற செயல்பாடுகள்.

பெரும்பாலும் நடைமுறை பணிகளில் செயல்பாடுகளை வித்தியாசமாக ஏற்பாடு செய்யலாம், இது எதையும் மாற்றாது:

- அதே முதல் அற்புதமான வரம்பு.

ஆனால் நீங்கள் எண் மற்றும் வகுப்பை நீங்களே மறுசீரமைக்க முடியாது! படிவத்தில் ஒரு வரம்பு கொடுக்கப்பட்டிருந்தால், அது எதையும் மறுசீரமைக்காமல் அதே வடிவத்தில் தீர்க்கப்பட வேண்டும்.

நடைமுறையில், ஒரு மாறி மட்டும் ஒரு அளவுருவாக செயல்பட முடியும், ஆனால் அடிப்படை செயல்பாடு, சிக்கலான செயல்பாடு. ஒரே முக்கியமான விஷயம் என்னவென்றால், அது பூஜ்ஜியத்தை நோக்கி செல்கிறது.

எடுத்துக்காட்டுகள்:
, , ,

இங்கே,,, , மற்றும் எல்லாம் நன்றாக உள்ளது - முதல் அற்புதமான வரம்பு பொருந்தும்.

ஆனால் பின்வரும் பதிவு மதங்களுக்கு எதிரானது:

ஏன்? பல்லுறுப்புக்கோவை பூஜ்ஜியமாக இல்லாததால், அது ஐந்தில் இருக்கும்.

மூலம், ஒரு விரைவான கேள்வி: வரம்பு என்ன? ? பாடத்தின் முடிவில் பதிலைக் காணலாம்.

நடைமுறையில், எல்லாமே மிகவும் சுமூகமாக இல்லை; ஒரு மாணவர் இலவச வரம்பை தீர்க்கவும், எளிதாக தேர்ச்சி பெறவும் வாய்ப்பில்லை. ம்ம்ம்... நான் இந்த வரிகளை எழுதுகிறேன், ஒரு மிக முக்கியமான எண்ணம் தோன்றியது - எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, "இலவச" கணித வரையறைகள் மற்றும் சூத்திரங்களை இதயப்பூர்வமாக நினைவில் வைத்துக் கொள்வது நல்லது, இது சோதனையில் விலைமதிப்பற்ற உதவியை வழங்கும், எப்போது கேள்வி வரும் "இரண்டு" மற்றும் "மூன்று" ஆகியவற்றுக்கு இடையே முடிவு செய்யப்பட வேண்டும், மேலும் ஆசிரியர் மாணவரிடம் சில எளிய கேள்விகளைக் கேட்க முடிவு செய்கிறார். எளிய உதாரணம்("ஒருவேளை அவருக்கு (கள்) இன்னும் என்ன தெரியும்?!").

கருத்தில் கொண்டு செல்லலாம் நடைமுறை உதாரணங்கள்:

எடுத்துக்காட்டு 1

வரம்பைக் கண்டறியவும்

வரம்பில் ஒரு பாவத்தை நாம் கவனித்தால், இது உடனடியாக முதல் குறிப்பிடத்தக்க வரம்பைப் பயன்படுத்துவதற்கான சாத்தியக்கூறுகளைப் பற்றி சிந்திக்க வழிவகுக்கும்.

முதலில், வரம்பு அடையாளத்தின் கீழ் உள்ள வெளிப்பாட்டில் 0 ஐ மாற்ற முயற்சிக்கிறோம் (இதை மனதளவில் அல்லது வரைவில் செய்கிறோம்):

எனவே படிவத்தின் நிச்சயமற்ற தன்மை நமக்கு உள்ளது குறிப்பிட வேண்டும்ஒரு முடிவை எடுப்பதில். வரம்பு அடையாளத்தின் கீழ் உள்ள வெளிப்பாடு முதல் அற்புதமான வரம்பைப் போன்றது, ஆனால் இது சரியாக இல்லை, இது சைனின் கீழ் உள்ளது, ஆனால் வகுப்பில் உள்ளது.

IN இதே போன்ற வழக்குகள்ஒரு செயற்கை நுட்பத்தைப் பயன்படுத்தி, முதல் குறிப்பிடத்தக்க வரம்பை நாமே ஒழுங்கமைக்க வேண்டும். பகுத்தறிவின் வரி பின்வருமாறு இருக்கலாம்: "நம்மிடம் உள்ள சைனின் கீழ் , அதாவது நாமும் வகுப்பில் சேர வேண்டும்."
இது மிகவும் எளிமையாக செய்யப்படுகிறது:

அதாவது, வகுத்தல் இந்த வழக்கில் செயற்கையாக 7 ஆல் பெருக்கப்பட்டு அதே ஏழால் வகுக்கப்படுகிறது. இப்போது எங்கள் பதிவு ஒரு பழக்கமான வடிவத்தை எடுத்துள்ளது.
ஒரு பணியை கையால் வரையும்போது, ​​முதல் குறிப்பிடத்தக்க வரம்பை குறிப்பது நல்லது ஒரு எளிய பென்சிலுடன்:

என்ன நடந்தது? உண்மையில், எங்கள் வட்டமான வெளிப்பாடு ஒரு யூனிட்டாக மாறியது மற்றும் வேலையில் மறைந்தது:

இப்போது எஞ்சியிருப்பது மூன்று-அடுக்கு பகுதியை அகற்றுவதுதான்:

பல நிலை பின்னங்களின் எளிமைப்படுத்தலை யார் மறந்துவிட்டார்கள், தயவுசெய்து குறிப்புப் புத்தகத்தில் உள்ள பொருளைப் புதுப்பிக்கவும் பள்ளி கணித பாடத்திற்கான சூடான சூத்திரங்கள் .

தயார். இறுதி பதில்:

நீங்கள் பென்சில் மதிப்பெண்களைப் பயன்படுத்த விரும்பவில்லை என்றால், தீர்வை இப்படி எழுதலாம்:

“

முதல் அற்புதமான வரம்பைப் பயன்படுத்துவோம்

“

எடுத்துக்காட்டு 2

வரம்பைக் கண்டறியவும்

மீண்டும் நாம் வரம்பில் ஒரு பின்னத்தையும் ஒரு சைனையும் பார்க்கிறோம். பூஜ்ஜியத்தை எண் மற்றும் வகுப்பில் மாற்ற முயற்சிப்போம்:

உண்மையில், எங்களுக்கு நிச்சயமற்ற தன்மை உள்ளது, எனவே, முதல் அற்புதமான வரம்பை ஒழுங்கமைக்க முயற்சிக்க வேண்டும். பாடத்தில் வரம்புகள். தீர்வுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்நமக்கு நிச்சயமற்ற தன்மை இருக்கும்போது, ​​எண் மற்றும் வகுப்பினை காரணியாக்க வேண்டும் என்ற விதியை நாங்கள் கருத்தில் கொண்டோம். இங்கே இது ஒன்றுதான், டிகிரிகளை ஒரு தயாரிப்பாக (பெருக்கிகள்) பிரதிநிதித்துவப்படுத்துவோம்:

முந்தைய உதாரணத்தைப் போலவே, குறிப்பிடத்தக்க வரம்புகளைச் சுற்றி ஒரு பென்சிலை வரைகிறோம் (இங்கே அவற்றில் இரண்டு உள்ளன), மேலும் அவை ஒற்றுமைக்கு முனைகின்றன என்பதைக் குறிப்பிடுகிறோம்:

உண்மையில், பதில் தயாராக உள்ளது:

பின்வரும் எடுத்துக்காட்டுகளில், நான் பெயிண்டில் கலை செய்ய மாட்டேன், ஒரு நோட்புக்கில் ஒரு தீர்வை எவ்வாறு சரியாக வரைய வேண்டும் என்று நினைக்கிறேன் - நீங்கள் ஏற்கனவே புரிந்து கொண்டீர்கள்.

எடுத்துக்காட்டு 3

வரம்பைக் கண்டறியவும்

வரம்பு அடையாளத்தின் கீழ் உள்ள வெளிப்பாட்டில் பூஜ்ஜியத்தை மாற்றுகிறோம்:

ஒரு நிச்சயமற்ற தன்மை பெறப்பட்டுள்ளது, அது வெளிப்படுத்தப்பட வேண்டும். வரம்பில் ஒரு தொடுகோடு இருந்தால், அது எப்பொழுதும் நன்கு அறியப்பட்ட முக்கோணவியல் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி சைன் மற்றும் கொசைனாக மாற்றப்படும் (அதன் மூலம், அவை கோட்டான்ஜென்ட்டுடன் தோராயமாக அதே காரியத்தைச் செய்கின்றன, படம். முறையான பொருள் சூடான முக்கோணவியல் சூத்திரங்கள்பக்கத்தில் கணித சூத்திரங்கள், அட்டவணைகள் மற்றும் குறிப்பு பொருட்கள்).

இந்த வழக்கில்:

பூஜ்ஜியத்தின் கொசைன் ஒன்றுக்கு சமம், அதை அகற்றுவது எளிது (அது ஒன்றுக்கு செல்கிறது என்பதைக் குறிக்க மறக்காதீர்கள்):

எனவே, வரம்பில் கொசைன் ஒரு மல்டிபிளியராக இருந்தால், தோராயமாகச் சொன்னால், அதை ஒரு யூனிட்டாக மாற்ற வேண்டும், அது தயாரிப்பில் மறைந்துவிடும்.

இங்கே எல்லாம் எந்த பெருக்கல் மற்றும் பிரிவுகள் இல்லாமல் எளிமையாக மாறியது. முதல் குறிப்பிடத்தக்க வரம்பும் ஒன்றாக மாறி, தயாரிப்பில் மறைந்துவிடும்:

இதன் விளைவாக, முடிவிலி பெறப்படுகிறது, இது நடக்கும்.

எடுத்துக்காட்டு 4

வரம்பைக் கண்டறியவும்

பூஜ்ஜியத்தை எண் மற்றும் வகுப்பில் மாற்ற முயற்சிப்போம்:

நிச்சயமற்ற தன்மை பெறப்படுகிறது (பூஜ்ஜியத்தின் கொசைன், நாம் நினைவில் வைத்திருப்பது போல, ஒன்றுக்கு சமம்)

நாம் பயன்படுத்த முக்கோணவியல் சூத்திரம். குறிப்பு எடுக்க! சில காரணங்களால், இந்த சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தும் வரம்புகள் மிகவும் பொதுவானவை.

நிலையான காரணிகளை வரம்பு ஐகானுக்கு அப்பால் நகர்த்துவோம்:

முதல் அற்புதமான வரம்பை ஒழுங்கமைப்போம்:

இங்கே எங்களிடம் ஒரு குறிப்பிடத்தக்க வரம்பு மட்டுமே உள்ளது, இது ஒன்றாக மாறி தயாரிப்பில் மறைந்துவிடும்:

மூன்று அடுக்கு அமைப்பை அகற்றுவோம்:

வரம்பு உண்மையில் தீர்க்கப்பட்டது, மீதமுள்ள சைன் பூஜ்ஜியமாக இருப்பதை நாங்கள் குறிப்பிடுகிறோம்:

எடுத்துக்காட்டு 5

வரம்பைக் கண்டறியவும்

இந்த எடுத்துக்காட்டு மிகவும் சிக்கலானது, அதை நீங்களே கண்டுபிடிக்க முயற்சிக்கவும்:

ஒரு மாறியை மாற்றுவதன் மூலம் சில வரம்புகளை 1 வது குறிப்பிடத்தக்க வரம்பிற்குக் குறைக்கலாம், இதைப் பற்றி சிறிது நேரம் கழித்து கட்டுரையில் படிக்கலாம் வரம்புகளைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகள்.

இரண்டாவது அற்புதமான வரம்பு

கணித பகுப்பாய்வு கோட்பாட்டில் இது நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது:

இந்த உண்மை அழைக்கப்படுகிறது இரண்டாவது அற்புதமான வரம்பு.

குறிப்பு: ஒரு விகிதாசார எண்.

அளவுரு ஒரு மாறி மட்டுமல்ல, ஒரு சிக்கலான செயல்பாடாகவும் இருக்கலாம். ஒரே முக்கியமான விஷயம் என்னவென்றால், அது முடிவிலிக்காக பாடுபடுகிறது.

எடுத்துக்காட்டு 6

வரம்பைக் கண்டறியவும்

வரம்பு அடையாளத்தின் கீழ் உள்ள வெளிப்பாடு ஒரு டிகிரியில் இருக்கும்போது, ​​இரண்டாவது அற்புதமான வரம்பைப் பயன்படுத்த நீங்கள் முயற்சிக்க வேண்டிய முதல் அறிகுறி இதுவாகும்.

ஆனால் முதலில், எப்போதும் போல, எண்ணற்ற பெரிய எண்ணை வெளிப்பாட்டில் மாற்ற முயற்சிக்கிறோம், இது செய்யப்படும் கொள்கை பாடத்தில் விவாதிக்கப்படுகிறது. வரம்புகள். தீர்வுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்.

எப்போது என்பதைக் கவனிப்பது எளிது பட்டத்தின் அடிப்படை , மற்றும் அடுக்கு ஆகும் , அதாவது, படிவத்தின் நிச்சயமற்ற தன்மை உள்ளது:

இந்த நிச்சயமற்ற தன்மை இரண்டாவது குறிப்பிடத்தக்க வரம்பின் உதவியுடன் துல்லியமாக வெளிப்படுத்தப்படுகிறது. ஆனால், அடிக்கடி நடக்கும், இரண்டாவது அற்புதமான வரம்பு ஒரு வெள்ளி தட்டில் பொய் இல்லை, அது செயற்கை முறையில் ஏற்பாடு செய்ய வேண்டும். நீங்கள் பின்வருமாறு நியாயப்படுத்தலாம்: இந்த எடுத்துக்காட்டில் அளவுரு , அதாவது நாமும் குறிகாட்டியில் ஒழுங்கமைக்க வேண்டும். இதைச் செய்ய, அடித்தளத்தை சக்திக்கு உயர்த்துகிறோம், மேலும் வெளிப்பாடு மாறாமல் இருக்க, அதை சக்திக்கு உயர்த்துகிறோம்:

பணி கையால் முடிந்ததும், பென்சிலால் குறிக்கிறோம்:

கிட்டத்தட்ட எல்லாம் தயாராக உள்ளது, பயங்கரமான பட்டம் ஒரு நல்ல கடிதமாக மாறிவிட்டது:

இந்த வழக்கில், வரம்பு ஐகானையே காட்டிக்கு நகர்த்துகிறோம்:

எடுத்துக்காட்டு 7

வரம்பைக் கண்டறியவும்

கவனம்! இந்த வகையான வரம்பு அடிக்கடி நிகழ்கிறது, தயவுசெய்து இந்த உதாரணத்தை மிகவும் கவனமாக படிக்கவும்.

வரம்பு அடையாளத்தின் கீழ் உள்ள வெளிப்பாட்டில் எண்ணற்ற பெரிய எண்ணை மாற்ற முயற்சிப்போம்:

இதன் விளைவு நிச்சயமற்ற தன்மை. ஆனால் இரண்டாவது குறிப்பிடத்தக்க வரம்பு படிவத்தின் நிச்சயமற்ற தன்மைக்கு பொருந்தும். என்ன செய்ய? நாம் பட்டத்தின் அடிப்படையை மாற்ற வேண்டும். நாங்கள் இப்படி நியாயப்படுத்துகிறோம்: நம்மிடம் உள்ள வகுப்பில் , அதாவது எண்ணில் நாமும் ஒழுங்கமைக்க வேண்டும்.