சைன்ஸ் சூத்திரத்தின் வேறுபாடு. அடிப்படை முக்கோணவியல் அடையாளங்கள்

α மற்றும் β ஆகிய இரு கோணங்களுக்கான சைன்கள் மற்றும் கோசைன்களின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் வேறுபாட்டிற்கான சூத்திரங்கள், இந்தக் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகையிலிருந்து α + β 2 மற்றும் α - β 2 ஆகிய கோணங்களின் பெருக்கத்திற்குச் செல்ல அனுமதிக்கின்றன. சைன்கள் மற்றும் கோசைன்களின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் வேறுபாட்டிற்கான சூத்திரங்களை நீங்கள் கூட்டுத்தொகை மற்றும் வேறுபாட்டின் சைன்கள் மற்றும் கோசைன்களுக்கான சூத்திரங்களுடன் குழப்பக்கூடாது என்பதை உடனடியாகக் கவனிக்கிறோம். கீழே நாம் இந்த சூத்திரங்களை பட்டியலிடுகிறோம், அவற்றின் வழித்தோன்றலைக் கொடுக்கிறோம் மற்றும் குறிப்பிட்ட பணிகளுக்கான பயன்பாட்டின் எடுத்துக்காட்டுகளைக் காட்டுகிறோம்.

Yandex.RTB R-A-339285-1

சைன்கள் மற்றும் கோசைன்களின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் வேறுபாட்டிற்கான சூத்திரங்கள்

சைன்கள் மற்றும் கோசைன்களுக்கான தொகை மற்றும் வேறுபாடு சூத்திரங்கள் எப்படி இருக்கும் என்பதை எழுதுவோம்

சைன்களுக்கான தொகை மற்றும் வேறுபாடு சூத்திரங்கள்

sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α - β 2 sin α - sin β = 2 sin α - β 2 cos α + β 2

கொசைன்களுக்கான தொகை மற்றும் வேறுபாடு சூத்திரங்கள்

cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β = - 2 sin α + β 2 cos α - β 2 , cos α - cos β = 2 sin 2 · + β - α 2

இந்த சூத்திரங்கள் α மற்றும் β எந்த கோணங்களுக்கும் செல்லுபடியாகும். கோணங்கள் α + β 2 மற்றும் α - β 2 ஆகியவை முறையே ஆல்பா மற்றும் பீட்டா கோணங்களின் அரை-தொகை மற்றும் அரை-வேறுபாடு என்று அழைக்கப்படுகின்றன. ஒவ்வொரு ஃபார்முலாவிற்கும் ஃபார்முலேஷனைக் கொடுப்போம்.

சைன்கள் மற்றும் கொசைன்களின் தொகைகள் மற்றும் வேறுபாடுகளுக்கான சூத்திரங்களின் வரையறைகள்

இரண்டு கோணங்களின் சைன்களின் கூட்டுத்தொகைஇந்த கோணங்களின் அரைத் தொகையின் சைன் மற்றும் அரை-வேறுபாட்டின் கோசைனின் இரண்டு மடங்கு பெருக்கத்திற்குச் சமம்.

இரண்டு கோணங்களின் சைன்களின் வேறுபாடுஇந்த கோணங்களின் அரை-வேறுபாட்டின் சைன் மற்றும் அரை-தொகையின் கொசைனின் இரண்டு மடங்கு பெருக்கத்திற்கு சமம்.

இரண்டு கோணங்களின் கொசைன்களின் கூட்டுத்தொகைஇந்த கோணங்களின் அரை-தொகை மற்றும் அரை-வேறுபாட்டின் கொசைனின் இரண்டு மடங்கு பெருக்கத்திற்கு சமம்.

இரண்டு கோணங்களின் கொசைன்களின் வேறுபாடுஎதிர்மறை அடையாளத்துடன் எடுக்கப்பட்ட இந்த கோணங்களின் அரை-தொகை மற்றும் கோசைன் பாதி-வேறுபாட்டின் இரண்டு மடங்கு பெருக்கத்திற்கு சமம்.

சைன்கள் மற்றும் கொசைன்களின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் வேறுபாட்டிற்கான சூத்திரங்களைப் பெறுதல்

இரண்டு கோணங்களின் சைன் மற்றும் கோசைனின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் வேறுபாட்டிற்கான சூத்திரங்களைப் பெற, கூட்டல் சூத்திரங்கள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. அவற்றை கீழே பட்டியலிடுவோம்

sin (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β sin (α - β) = sin α · cos β - cos α · sin β cos (α + β) = cos α · cos β - பாவம் α sin β cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

அரைத் தொகைகள் மற்றும் பாதி வேறுபாடுகளின் கூட்டுத்தொகையாக கோணங்களை கற்பனை செய்து கொள்வோம்.

α = α + β 2 + α - β 2 = α 2 + β 2 + α 2 - β 2 β = α + β 2 - α - β 2 = α 2 + β 2 - α 2 + β 2

பாவம் மற்றும் காஸ் ஆகியவற்றிற்கான கூட்டு மற்றும் வேறுபாடு சூத்திரங்களின் வழித்தோன்றலுக்கு நேரடியாக செல்கிறோம்.

சைன்களின் கூட்டுத்தொகைக்கான சூத்திரத்தின் வழித்தோன்றல்

கூட்டுத்தொகை sin α + sin β இல், மேலே கொடுக்கப்பட்டுள்ள இந்தக் கோணங்களுக்கான வெளிப்பாடுகளுடன் α மற்றும் β ஐ மாற்றுவோம். நாம் பெறுகிறோம்

பாவம் α + பாவம் β = பாவம் α + β 2 + α - β 2 + பாவம் α + β 2 - α - β 2

இப்போது நாம் கூட்டல் சூத்திரத்தை முதல் வெளிப்பாட்டிற்குப் பயன்படுத்துகிறோம், இரண்டாவதாக - கோண வேறுபாடுகளின் சைனுக்கான சூத்திரம் (மேலே உள்ள சூத்திரங்களைப் பார்க்கவும்)

சின் - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 அடைப்புக்குறிகளைத் திறந்து, ஒத்த சொற்களைச் சேர்த்து, தேவையான சூத்திரத்தைப் பெறவும்

sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 பாவம் α + 2 cos α - β 2

மீதமுள்ள சூத்திரங்களைப் பெறுவதற்கான படிகள் ஒத்தவை.

சைன்களின் வேறுபாட்டிற்கான சூத்திரத்தின் வழித்தோன்றல்

பாவம் α - பாவம் β = பாவம் α + β 2 + α - β 2 - பாவம் α + β 2 - α - β 2 பாவம் α + β 2 + α - β 2 - பாவம் α + β 2 - α - β 2 = பாவம் α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 - sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin β 2 - cos α + β 2

கொசைன்களின் கூட்டுத்தொகைக்கான சூத்திரத்தின் வழித்தோன்றல்

cos α + cos β = cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - 2 = - β α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 + cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = 2 cos β + cos α - β 2

கொசைன்களின் வேறுபாட்டிற்கான சூத்திரத்தின் வழித்தோன்றல்

cos α - cos β = cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - 2 - β α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 - cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = - 2 sin β + 2 பாவம் α - β 2

நடைமுறை சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள்

முதலில், குறிப்பிட்ட கோண மதிப்புகளை மாற்றுவதன் மூலம் சூத்திரங்களில் ஒன்றைச் சரிபார்ப்போம். α = π 2, β = π 6 எனலாம். இந்தக் கோணங்களின் சைன்களின் கூட்டுத்தொகையின் மதிப்பைக் கணக்கிடுவோம். முதலில், அடிப்படை மதிப்புகளின் அட்டவணையைப் பயன்படுத்துவோம் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள், பின்னர் சைன்களின் கூட்டுத்தொகைக்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

எடுத்துக்காட்டு 1. இரண்டு கோணங்களின் சைன்களின் கூட்டுத்தொகைக்கான சூத்திரத்தைச் சரிபார்க்கிறது

α = π 2, β = π 6 பாவம் π 2 + பாவம் π 6 = 1 + 1 2 = 3 2 பாவம் π 2 + பாவம் π 6 = 2 பாவம் π 2 + π 6 2 காஸ் π 2 - π 6 2 = 2 பாவம் π 3 cos π 6 = 2 3 2 3 2 = 3 2

கோண மதிப்புகள் அட்டவணையில் வழங்கப்பட்ட அடிப்படை மதிப்புகளிலிருந்து வேறுபடும் போது இப்போது வழக்கைக் கருத்தில் கொள்வோம். α = 165°, β = 75° ஆக இருக்கட்டும். இந்த கோணங்களின் சைன்களுக்கு இடையிலான வேறுபாட்டைக் கணக்கிடுவோம்.

எடுத்துக்காட்டு 2. சைன்ஸ் சூத்திரத்தின் வேறுபாட்டின் பயன்பாடு

α = 165 °, β = 75 ° பாவம் α - பாவம் β = பாவம் 165 ° - பாவம் 75 ° பாவம் 165 - பாவம் 75 = 2 பாவம் 165 ° - பாவம் 75 ° 2 காஸ் 165 ° + பாவம் 75 ° 2 = = 2 பாவம் 45 ° cos 120° = 2 2 2 - 1 2 = 2 2

சைன்கள் மற்றும் கொசைன்களின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் வேறுபாட்டிற்கான சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி, நீங்கள் கூட்டுத்தொகை அல்லது வேறுபாட்டிலிருந்து முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் பெருக்கத்திற்கு செல்லலாம். பெரும்பாலும் இந்த சூத்திரங்கள் ஒரு தொகையிலிருந்து ஒரு தயாரிப்புக்கு நகர்த்துவதற்கான சூத்திரங்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. சைன்கள் மற்றும் கொசைன்களின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் வேறுபாட்டிற்கான சூத்திரங்கள் தீர்க்கும் போது பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன முக்கோணவியல் சமன்பாடுகள்மற்றும் முக்கோணவியல் வெளிப்பாடுகளை மாற்றும் போது.

உரையில் பிழையைக் கண்டால், அதை முன்னிலைப்படுத்தி Ctrl+Enter ஐ அழுத்தவும்

டேன்ஜென்ட் (tg x) மற்றும் cotangent (ctg x) க்கான குறிப்பு தரவு. வடிவியல் வரையறை, பண்புகள், வரைபடங்கள், சூத்திரங்கள். தொடுகோடுகள் மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட்கள், டெரிவேடிவ்கள், ஒருங்கிணைப்புகள், தொடர் விரிவாக்கங்களின் அட்டவணை. சிக்கலான மாறிகள் மூலம் வெளிப்பாடுகள். ஹைபர்போலிக் செயல்பாடுகளுடன் இணைப்பு.

வடிவியல் வரையறை

|BD|
- புள்ளி A இல் மையத்துடன் ஒரு வட்டத்தின் வளைவின் நீளம்.

α என்பது ரேடியன்களில் வெளிப்படுத்தப்படும் கோணம். தொடு) டான் α

ஒரு முக்கோணவியல் சார்பு என்பது ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் ஹைப்போடென்யூஸ் மற்றும் காலுக்கு இடையே உள்ள கோணம் α, எதிர் காலின் நீளத்தின் விகிதத்திற்கு சமம் |BC| அருகில் உள்ள காலின் நீளம் |AB| .) கோடன்ஜென்ட் (

ctg α

வலது முக்கோணத்தின் ஹைப்போடென்யூஸ் மற்றும் காலுக்கு இடையே உள்ள கோணம் α ஐப் பொறுத்து ஒரு முக்கோணவியல் சார்பு, அருகில் உள்ள காலின் நீளத்தின் விகிதத்திற்கு சமம் |AB| எதிர் காலின் நீளத்திற்கு |BC| .தொடுகோடு

எங்கே
.
;
;
.

n

- முழுவதும்.

வலது முக்கோணத்தின் ஹைப்போடென்யூஸ் மற்றும் காலுக்கு இடையே உள்ள கோணம் α ஐப் பொறுத்து ஒரு முக்கோணவியல் சார்பு, அருகில் உள்ள காலின் நீளத்தின் விகிதத்திற்கு சமம் |AB| எதிர் காலின் நீளத்திற்கு |BC| .தொடுகோடு

மேற்கத்திய இலக்கியத்தில், தொடுவானம் பின்வருமாறு குறிக்கப்படுகிறது:
.
தொடுகோடு செயல்பாட்டின் வரைபடம், y = டான் x
;
;
.

கோட்டான்ஜென்ட்

மேற்கத்திய இலக்கியத்தில், கோட்டான்ஜென்ட் பின்வருமாறு குறிக்கப்படுகிறது:

பின்வரும் குறிப்புகளும் ஏற்றுக்கொள்ளப்படுகின்றன:

கோட்டான்ஜென்ட் செயல்பாட்டின் வரைபடம், y = ctg x டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோடேன்ஜென்ட்டின் பண்புகள்கால இடைவெளி செயல்பாடுகள் y = tg x

மற்றும் y =

ctg x

காலம் π உடன் கால இடைவெளியில் உள்ளன.

சமத்துவம் எதிர் காலின் நீளத்திற்கு |BC| .தொடுகோடு மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட் செயல்பாடுகள் ஒற்றைப்படை.

உச்சநிலைகள்

பூஜ்ஜியங்கள், y =

; ;
; ;
;

ஆர்டினேட் அச்சுடன் புள்ளிகளை இடைமறித்து, x =

சூத்திரங்கள்

சைன் மற்றும் கோசைனைப் பயன்படுத்தும் வெளிப்பாடுகள்

தொகை மற்றும் வேறுபாட்டிலிருந்து டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோடேன்ஜென்ட்டுக்கான சூத்திரங்கள்

எடுத்துக்காட்டாக, மீதமுள்ள சூத்திரங்களைப் பெறுவது எளிது

தொடுகோடுகளின் தயாரிப்பு

தொடுகோடுகளின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் வேறுபாட்டிற்கான சூத்திரம்

;
;

இந்த அட்டவணை வாதத்தின் சில மதிப்புகளுக்கான தொடுகோடுகள் மற்றும் கோடன்ஜென்ட்களின் மதிப்புகளை வழங்குகிறது.

; .

.
சிக்கலான எண்களைப் பயன்படுத்தி வெளிப்பாடுகள்
.
ஹைபர்போலிக் செயல்பாடுகள் மூலம் வெளிப்பாடுகள்

ஒருங்கிணைப்புகள்

தொடர் விரிவாக்கங்கள்

x இன் சக்திகளில் டேன்ஜென்ட்டின் விரிவாக்கத்தைப் பெற, செயல்பாடுகளுக்கு ஒரு சக்தித் தொடரில் விரிவாக்கத்தின் பல விதிமுறைகளை நீங்கள் எடுக்க வேண்டும். பாவம் xமற்றும் cos xமற்றும் இந்த பல்லுறுப்புக்கோவைகளை ஒன்றோடொன்று பிரிக்கவும், .

இது பின்வரும் சூத்திரங்களை உருவாக்குகிறது.

மணிக்கு.
மணிக்கு. எங்கே Bn - பெர்னோலி எண்கள். அவை எதிலிருந்து தீர்மானிக்கப்படுகின்றன:
;
;
மறுநிகழ்வு உறவு
எங்கே .

அல்லது லாப்லேஸின் சூத்திரத்தின்படி:

தலைகீழ் செயல்பாடுகள்

தொடுகோடு மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட் ஆகியவற்றின் தலைகீழ் செயல்பாடுகள் முறையே ஆர்க்டேன்ஜென்ட் மற்றும் ஆர்க்கோடேன்ஜென்ட் ஆகும்.

ஆர்க்டேன்ஜென்ட், ஆர்க்ட்ஜி எதிர் காலின் நீளத்திற்கு |BC| .தொடுகோடு

, எங்கே

ஆர்க்டேன்ஜென்ட், ஆர்க்ட்ஜி எதிர் காலின் நீளத்திற்கு |BC| .தொடுகோடு

ஆர்க்கோடேன்ஜென்ட், ஆர்சிசிடிஜி
பயன்படுத்திய இலக்கியம்:
ஐ.என். ப்ரோன்ஸ்டீன், கே.ஏ. Semendyaev, பொறியாளர்கள் மற்றும் கல்லூரி மாணவர்களுக்கான கணிதக் கையேடு, "Lan", 2009. G. கோர்ன், கணிதத்தின் கையேடுஅறிவியல் தொழிலாளர்கள்

மற்றும் பொறியாளர்கள், 2012. இந்த கட்டுரையில் நாம் ஒரு விரிவான பார்வை எடுப்போம். அடிப்படைமுக்கோணவியல் அடையாளங்கள்

ஒரு கோணத்தின் சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட் ஆகியவற்றுக்கு இடையேயான தொடர்பை நிறுவும் சமத்துவங்களை பிரதிநிதித்துவப்படுத்துகிறது, மேலும் இந்த முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளில் ஏதேனும் ஒன்றை அறியப்பட்ட மற்றொன்றின் மூலம் கண்டுபிடிக்க அனுமதிக்கிறது.

இந்த கட்டுரையில் நாம் பகுப்பாய்வு செய்யும் முக்கிய முக்கோணவியல் அடையாளங்களை உடனடியாக பட்டியலிடுவோம். அவற்றை ஒரு அட்டவணையில் எழுதுவோம், கீழே இந்த சூத்திரங்களின் வெளியீட்டைக் கொடுப்போம் மற்றும் தேவையான விளக்கங்களை வழங்குவோம்.

பக்க வழிசெலுத்தல்.

ஒரு கோணத்தின் சைன் மற்றும் கொசைன் இடையே உள்ள உறவு சில நேரங்களில் அவர்கள் மேலே உள்ள அட்டவணையில் பட்டியலிடப்பட்டுள்ள முக்கிய முக்கோணவியல் அடையாளங்களைப் பற்றி பேசுவதில்லை, ஆனால் ஒரு ஒற்றை பற்றிஅடிப்படை முக்கோணவியல் அடையாளம் வகையான மற்றும் . இந்த உண்மைக்கான விளக்கம் மிகவும் எளிமையானது: முக்கிய முக்கோணவியல் அடையாளத்திலிருந்து அதன் இரண்டு பகுதிகளையும் முறையே மற்றும் சமத்துவங்கள் மூலம் பிரித்த பிறகு சமத்துவங்கள் பெறப்படுகின்றன.

sine, cosine, tangent மற்றும் cotangent ஆகியவற்றின் வரையறைகளிலிருந்து பின்பற்றவும். பின்வரும் பத்திகளில் இதைப் பற்றி மேலும் விரிவாகப் பேசுவோம்.

அதாவது, முக்கிய முக்கோணவியல் அடையாளத்தின் பெயர் கொடுக்கப்பட்ட குறிப்பிட்ட ஆர்வமுள்ள சமத்துவம்.

முக்கிய முக்கோணவியல் அடையாளத்தை நிரூபிக்கும் முன், அதன் உருவாக்கத்தை நாங்கள் தருகிறோம்: ஒரு கோணத்தின் சைன் மற்றும் கொசைன் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகை ஒன்றுக்கு சமமாக இருக்கும். இப்போது அதை நிரூபிப்போம். அடிப்படை முக்கோணவியல் அடையாளம் எப்போது பயன்படுத்தப்படுகிறதுமுக்கோணவியல் வெளிப்பாடுகளை மாற்றுதல் . இது ஒரு கோணத்தின் சைன் மற்றும் கோசைனின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகையை ஒன்றால் மாற்ற அனுமதிக்கிறது. அடிப்படை முக்கோணவியல் அடையாளம் குறைவாகவே பயன்படுத்தப்படுகிறதுதலைகீழ் வரிசை

: அலகு எந்த கோணத்தின் சைன் மற்றும் கொசைனின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகையால் மாற்றப்படுகிறது.

சைன் மற்றும் கொசைன் மூலம் தொடு மற்றும் கோடேன்ஜென்ட் sine, cosine, tangent மற்றும் cotangent ஆகியவற்றின் வரையறைகளிலிருந்து உடனடியாகப் பின்பற்றவும். உண்மையில், வரையறையின்படி, சைன் என்பது y இன் ஆர்டினேட், கொசைன் என்பது x இன் அப்சிஸ்ஸா, டேன்ஜென்ட் என்பது அப்சிசாவுக்கு ஆர்டினேட்டின் விகிதமாகும், அதாவது, , மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட் என்பது அப்சிஸ்ஸாவின் ஆர்டினேட்டிற்கான விகிதமாகும், அதாவது, .

அடையாளங்கள் மற்றும் போன்ற வெளிப்படையான நன்றி தொடு மற்றும் கோடேன்ஜென்ட் பெரும்பாலும் அப்சிஸ்ஸா மற்றும் ஆர்டினேட் ஆகியவற்றின் விகிதத்தின் மூலம் வரையறுக்கப்படவில்லை, மாறாக சைன் மற்றும் கொசைன் விகிதத்தின் மூலம் வரையறுக்கப்படுகிறது. எனவே ஒரு கோணத்தின் தொடுகோடு என்பது இந்த கோணத்தின் கோசைனுக்கு சைனின் விகிதமாகும், மேலும் கோட்டான்ஜென்ட் என்பது கோசைனுக்கும் சைனுக்கும் உள்ள விகிதமாகும்.

இந்த புள்ளியின் முடிவில், அடையாளங்கள் மற்றும் என்பதை கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும் அவற்றில் சேர்க்கப்பட்டுள்ள முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள் அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கும் அனைத்து கோணங்களிலும் நடைபெறும். எனவே சூத்திரம் செல்லுபடியாகும் , தவிர (இல்லையெனில் வகுப்பில் பூஜ்ஜியம் இருக்கும், மேலும் நாங்கள் பூஜ்ஜியத்தால் வகுக்கவில்லை), மற்றும் சூத்திரம் - அனைத்திற்கும், z என்பது எந்த இடத்தில் இருந்து வேறுபட்டது.

தொடுகோடு மற்றும் கோடேன்ஜென்ட் இடையே உள்ள உறவு

முந்தைய இரண்டைக் காட்டிலும் இன்னும் தெளிவான முக்கோணவியல் அடையாளம், வடிவத்தின் ஒரு கோணத்தின் தொடுகோடு மற்றும் கோடேன்ஜென்ட் ஆகியவற்றை இணைக்கும் அடையாளமாகும். . இது தவிர வேறு எந்த கோணங்களுக்கும் உள்ளது என்பது தெளிவாகிறது, இல்லையெனில் தொடுகோடு அல்லது கோடேன்ஜென்ட் வரையறுக்கப்படவில்லை.

சூத்திரத்தின் ஆதாரம் மிகவும் எளிமையானது. வரையறை மற்றும் எங்கிருந்து . ஆதாரத்தை கொஞ்சம் வித்தியாசமாக நடத்தியிருக்கலாம். இருந்து , அது .

எனவே, அவை அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கும் அதே கோணத்தின் தொடுகோடு மற்றும் கோடேன்ஜென்ட்.

முக்கோணவியல், ஒரு அறிவியலாக, பண்டைய கிழக்கில் தோன்றியது. முதல் முக்கோணவியல் விகிதங்கள் நட்சத்திரங்களின் துல்லியமான நாட்காட்டி மற்றும் நோக்குநிலையை உருவாக்க வானியலாளர்களால் பெறப்பட்டது. இந்த கணக்கீடுகள் கோள முக்கோணவியல் தொடர்பானவை, பள்ளி படிப்பில் அவர்கள் ஒரு விமான முக்கோணத்தின் பக்கங்கள் மற்றும் கோணங்களின் விகிதத்தைப் படிக்கிறார்கள்.

முக்கோணவியல் என்பது முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் பண்புகள் மற்றும் முக்கோணங்களின் பக்கங்கள் மற்றும் கோணங்களுக்கு இடையிலான உறவுகளைக் கையாளும் கணிதத்தின் ஒரு கிளை ஆகும்.

கி.பி 1 ஆம் மில்லினியத்தில் கலாச்சாரம் மற்றும் அறிவியலின் உச்சக்கட்டத்தின் போது, ​​அறிவு பரவியது பண்டைய கிழக்குகிரேக்கத்திற்கு. ஆனால் முக்கோணவியலின் முக்கிய கண்டுபிடிப்புகள் கணவர்களின் தகுதி அரபு கலிபா. குறிப்பாக, துர்க்மென் விஞ்ஞானி அல்-மராஸ்வி டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோடேன்ஜென்ட் போன்ற செயல்பாடுகளை அறிமுகப்படுத்தினார், மேலும் சைன்கள், டேன்ஜென்ட்கள் மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட்களுக்கான மதிப்புகளின் முதல் அட்டவணைகளைத் தொகுத்தார். சைன் மற்றும் கொசைன் பற்றிய கருத்துக்கள் இந்திய விஞ்ஞானிகளால் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது. யூக்ளிட், ஆர்க்கிமிடிஸ் மற்றும் எரடோஸ்தீனஸ் போன்ற பழங்காலப் பெரியவர்களின் படைப்புகளில் முக்கோணவியல் அதிக கவனத்தைப் பெற்றது.

முக்கோணவியலின் அடிப்படை அளவுகள்

ஒரு எண் வாதத்தின் அடிப்படை முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள் சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட். அவை ஒவ்வொன்றுக்கும் அதன் சொந்த வரைபடம் உள்ளது: சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோடேன்ஜென்ட்.

இந்த அளவுகளின் மதிப்புகளைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரங்கள் பித்தகோரியன் தேற்றத்தை அடிப்படையாகக் கொண்டவை. "பித்தகோரியன் கால்சட்டை அனைத்து திசைகளிலும் சமம்" என்பது பள்ளி மாணவர்களுக்கு நன்கு தெரியும், ஏனெனில் ஐசோசெல்ஸ் வலது முக்கோணத்தின் உதாரணத்தைப் பயன்படுத்தி ஆதாரம் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.

சைன், கொசைன் மற்றும் பிற சார்புகள் இடையே உறவை நிறுவுகிறது கூர்மையான மூலைகள்மற்றும் எந்த செங்கோண முக்கோணத்தின் பக்கங்களும். கோணம் Aக்கான இந்த அளவுகளைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரங்களை முன்வைப்போம் மற்றும் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளுக்கு இடையிலான உறவுகளைக் கண்டுபிடிப்போம்:

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, tg மற்றும் ctg ஆகியவை தலைகீழ் செயல்பாடுகள். நாம் லெக் a ஐ பாவம் A மற்றும் ஹைபோடென்யூஸ் c மற்றும் லெக் b ஐ cos A * c என கற்பனை செய்தால், தொடு மற்றும் கோடேன்ஜென்ட்டுக்கான பின்வரும் சூத்திரங்களைப் பெறுகிறோம்:

முக்கோணவியல் வட்டம்

வரைபட ரீதியாக, குறிப்பிடப்பட்ட அளவுகளுக்கு இடையிலான உறவை பின்வருமாறு குறிப்பிடலாம்:

வட்டம், இந்த வழக்கில், கோணத்தின் அனைத்து சாத்தியமான மதிப்புகளையும் குறிக்கிறது α - 0° முதல் 360° வரை. படத்தில் இருந்து பார்க்க முடிந்தால், ஒவ்வொரு செயல்பாடும் கோணத்தைப் பொறுத்து எதிர்மறை அல்லது நேர்மறை மதிப்பை எடுக்கும். எடுத்துக்காட்டாக, α வட்டத்தின் 1வது மற்றும் 2வது காலாண்டுகளில், அதாவது 0° முதல் 180° வரையிலான வரம்பில் இருந்தால் sin α க்கு “+” அடையாளம் இருக்கும். α க்கு 180° முதல் 360° வரை (III மற்றும் IV காலாண்டுகள்), பாவம் α என்பது எதிர்மறை மதிப்பாக மட்டுமே இருக்கும்.

குறிப்பிட்ட கோணங்களுக்கான முக்கோணவியல் அட்டவணைகளை உருவாக்கி, அளவுகளின் பொருளைக் கண்டறிய முயற்சிப்போம்.

30°, 45°, 60°, 90°, 180° மற்றும் பலவற்றிற்குச் சமமான α மதிப்புகள் சிறப்பு வழக்குகள் எனப்படும். அவற்றுக்கான முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் மதிப்புகள் கணக்கிடப்பட்டு சிறப்பு அட்டவணைகள் வடிவில் வழங்கப்படுகின்றன.

இந்த கோணங்கள் சீரற்ற முறையில் தேர்ந்தெடுக்கப்படவில்லை. அட்டவணையில் உள்ள பதவி π ரேடியன்களுக்கானது. ரேட் என்பது ஒரு வட்டத்தின் வளைவின் நீளம் அதன் ஆரத்துடன் ஒத்திருக்கும் கோணம். ரேடியன்களில் கணக்கிடும் போது இந்த மதிப்பு ஒரு உலகளாவிய சார்புநிலையை நிறுவுவதற்காக அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது, செ.மீ.யில் ஆரம் உண்மையான நீளம் இல்லை.

முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளுக்கான அட்டவணையில் உள்ள கோணங்கள் ரேடியன் மதிப்புகளுக்கு ஒத்திருக்கும்:

எனவே, 2π ஒரு முழுமையான வட்டம் அல்லது 360° என்று யூகிப்பது கடினம் அல்ல.

முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் பண்புகள்: சைன் மற்றும் கொசைன்

சைன் மற்றும் கொசைன், டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோடேன்ஜென்ட் ஆகியவற்றின் அடிப்படை பண்புகளை கருத்தில் கொண்டு ஒப்பிடுவதற்கு, அவற்றின் செயல்பாடுகளை வரைய வேண்டியது அவசியம். இது அமைந்துள்ள ஒரு வளைவு வடிவில் செய்யப்படலாம் இரு பரிமாண அமைப்புஒருங்கிணைப்புகள்

சைன் மற்றும் கொசைன் பண்புகளின் ஒப்பீட்டு அட்டவணையைக் கவனியுங்கள்:

ஒரு செயல்பாடு சமமானதா இல்லையா என்பதை தீர்மானிப்பது மிகவும் எளிது. முக்கோணவியல் அளவுகளின் அறிகுறிகளுடன் ஒரு முக்கோணவியல் வட்டத்தை கற்பனை செய்து, OX அச்சுடன் தொடர்புடைய வரைபடத்தை மனதளவில் "மடி" செய்தால் போதும். அறிகுறிகள் இணைந்தால், செயல்பாடு சமமாக இருக்கும், இல்லையெனில் அது ஒற்றைப்படை.

ரேடியன்களின் அறிமுகம் மற்றும் சைன் மற்றும் கொசைன் அலைகளின் அடிப்படை பண்புகளின் பட்டியல் ஆகியவை பின்வரும் வடிவத்தை முன்வைக்க அனுமதிக்கின்றன:

சூத்திரம் சரியானதா என்பதைச் சரிபார்க்க மிகவும் எளிதானது. எடுத்துக்காட்டாக, x = π/2 க்கு, x = 0 இன் கோசைனைப் போலவே சைன் 1 ஆகும். ஆலோசனை அட்டவணைகள் மூலம் அல்லது கொடுக்கப்பட்ட மதிப்புகளுக்கான செயல்பாட்டு வளைவுகளைக் கண்டுபிடிப்பதன் மூலம் சரிபார்ப்பைச் செய்யலாம்.

டேன்ஜென்ட்சாய்டுகள் மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட்சாய்டுகளின் பண்புகள்

டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட் சார்புகளின் வரைபடங்கள் சைன் மற்றும் கொசைன் செயல்பாடுகளிலிருந்து கணிசமாக வேறுபடுகின்றன. tg மற்றும் ctg மதிப்புகள் ஒன்றுக்கொன்று பரஸ்பரம்.

1. Y = டான் x.
2. தொடுகோடு x = π/2 + πk இல் y இன் மதிப்புகளுக்குச் செல்கிறது, ஆனால் அவற்றை ஒருபோதும் அடையாது.
3. டேன்ஜெண்டாய்டின் மிகச் சிறிய நேர்மறை காலம் π ஆகும்.
4. Tg (- x) = - tg x, அதாவது செயல்பாடு ஒற்றைப்படை.
5. Tg x = 0, x = πk.
6. செயல்பாடு அதிகரித்து வருகிறது.
7. Tg x › 0, x ϵ (πk, π/2 + πk).
8. Tg x ‹ 0, x ϵக்கு (— π/2 + πk, πk).
9. வழித்தோன்றல் (tg x)’ = 1/cos 2 ⁡x.

கருத்தில் கொள்வோம் வரைகலை படம்உரையில் கீழே உள்ள cotangentoids.

கோட்டான்ஜெண்டாய்டுகளின் முக்கிய பண்புகள்:

1. Y = கட்டில் x.
2. சைன் மற்றும் கொசைன் செயல்பாடுகளைப் போலல்லாமல், டேன்ஜெண்டாய்டில் Y ஆனது அனைத்து உண்மையான எண்களின் தொகுப்பின் மதிப்புகளைப் பெறலாம்.
3. cotangentoid x = πk இல் y இன் மதிப்புகளுக்குச் செல்கிறது, ஆனால் அவற்றை ஒருபோதும் அடையாது.
4. ஒரு cotangentoid இன் மிகச் சிறிய நேர்மறை காலம் π ஆகும்.
5. Ctg (- x) = - ctg x, அதாவது செயல்பாடு ஒற்றைப்படை.
6. Ctg x = 0, x = π/2 + πk.
7. செயல்பாடு குறைந்து வருகிறது.
8. Ctg x › 0, x ϵ (πk, π/2 + πk).
9. x ϵக்கு Ctg x ‹ 0 (π/2 + πk, πk).
10. வழித்தோன்றல் (ctg x)’ = - 1/sin 2 ⁡x சரி

- நிச்சயமாக முக்கோணவியலில் பணிகள் இருக்கும். சைன்கள், கொசைன்கள், டேன்ஜென்ட்கள் மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட்கள் ஆகியவற்றால் நிறைந்திருக்கும் கடினமான சூத்திரங்களின் தேவைக்காக முக்கோணவியல் பெரும்பாலும் விரும்பப்படுவதில்லை. யூலர் மற்றும் பீல் சூத்திரங்களின் உதாரணத்தைப் பயன்படுத்தி மறந்துபோன சூத்திரத்தை எவ்வாறு நினைவில் கொள்வது என்பது குறித்த தளம் ஏற்கனவே ஒருமுறை ஆலோசனை வழங்கியது.

இந்த கட்டுரையில், ஐந்து எளிய முக்கோணவியல் சூத்திரங்களை மட்டுமே உறுதியாக அறிந்தால் போதும், மீதமுள்ளவற்றைப் பற்றி அறிந்து கொள்வது போதும் என்பதைக் காட்ட முயற்சிப்போம். பொதுவான யோசனைநீங்கள் போகும்போது அவர்களை வெளியே கொண்டு வாருங்கள். இது டிஎன்ஏவைப் போன்றது: முடிக்கப்பட்ட உயிரினத்தின் முழுமையான வரைபடங்களை மூலக்கூறு சேமிக்காது. மாறாக, கிடைக்கக்கூடிய அமினோ அமிலங்களிலிருந்து அதைச் சேர்ப்பதற்கான வழிமுறைகளைக் கொண்டுள்ளது. எனவே முக்கோணவியலில், சிலவற்றை அறிவது பொதுவான கொள்கைகள், மனதில் கொள்ள வேண்டிய ஒரு சிறிய தொகுப்பிலிருந்து தேவையான அனைத்து சூத்திரங்களையும் நாங்கள் பெறுவோம்.

பின்வரும் சூத்திரங்களை நாங்கள் நம்புவோம்:

சைன் மற்றும் கொசைன் தொகைகளுக்கான சூத்திரங்களிலிருந்து, கோசைன் செயல்பாட்டின் சமநிலை மற்றும் சைன் செயல்பாட்டின் விந்தையைப் பற்றி அறிந்து, b க்கு பதிலாக -b ஐப் பயன்படுத்துவதன் மூலம், வேறுபாடுகளுக்கான சூத்திரங்களைப் பெறுகிறோம்:

1. வித்தியாசத்தின் சைன்: பாவம்(a-b) = பாவம்அcos(-ஆ)+cosஅபாவம்(-ஆ) = பாவம்அcosபி-cosஅபாவம்பி
2. வித்தியாசத்தின் கொசைன்: cos(a-b) = cosஅcos(-ஆ)-பாவம்அபாவம்(-ஆ) = cosஅcosபி+பாவம்அபாவம்பி

ஒரே சூத்திரங்களில் a = b ஐ வைத்து, இரட்டை கோணங்களின் சைன் மற்றும் கொசைன் சூத்திரங்களைப் பெறுகிறோம்:

1. இரட்டை கோணத்தின் சைன்: பாவம்2a = பாவம்(a+a) = பாவம்அcosஅ+cosஅபாவம்அ = 2பாவம்அcosஅ
2. இரட்டை கோணத்தின் கொசைன்: cos2a = cos(a+a) = cosஅcosஅ-பாவம்அபாவம்அ = cos2 அ-பாவம்2 அ

மற்ற பல கோணங்களுக்கான சூத்திரங்கள் இதேபோல் பெறப்படுகின்றன:

1. மூன்று கோணத்தின் சைன்: பாவம்3a = பாவம்(2a+a) = பாவம்2acosஅ+cos2aபாவம்அ = (2பாவம்அcosஅ)cosஅ+(cos2 அ-பாவம்2 அ)பாவம்அ = 2பாவம்அcos2 அ+பாவம்அcos2 அ-பாவம் 3 a = 3 பாவம்அcos2 அ-பாவம் 3 a = 3 பாவம்அ(1-பாவம்2 அ)-பாவம் 3 a = 3 பாவம்அ-4பாவம் 3a
2. மூன்று கோணத்தின் கோசைன்: cos3a = cos(2a+a) = cos2acosஅ-பாவம்2aபாவம்அ = (cos2 அ-பாவம்2 அ)cosஅ-(2பாவம்அcosஅ)பாவம்அ = cos 3 a- பாவம்2 அcosஅ-2பாவம்2 அcosஅ = cos 3 a-3 பாவம்2 அcosஅ = cos 3 a-3(1- cos2 அ)cosஅ = 4cos 3 a-3 cosஅ

நாம் தொடர்வதற்கு முன், ஒரு சிக்கலைப் பார்ப்போம்.
கொடுக்கப்பட்டது: கோணம் கடுமையானது.
இருந்தால் அதன் கொசைனைக் கண்டறியவும்
ஒரு மாணவர் அளித்த தீர்வு:
ஏனெனில் , அது பாவம்அ= 3, ஏ cosஅ = 4.
(கணித நகைச்சுவையிலிருந்து)

எனவே, டேன்ஜென்ட்டின் வரையறை இந்த செயல்பாட்டை சைன் மற்றும் கொசைன் இரண்டிற்கும் தொடர்புபடுத்துகிறது. ஆனால் கோசைனுடன் மட்டுமே தொடுகோடு தொடர்புடைய சூத்திரத்தை நீங்கள் பெறலாம். அதைப் பெற, நாம் முக்கிய முக்கோணவியல் அடையாளத்தை எடுத்துக்கொள்கிறோம்: பாவம் 2 அ+cos 2 அ= 1 மற்றும் அதை வகுக்கவும் cos 2 அ. நாங்கள் பெறுகிறோம்:

எனவே, இந்த சிக்கலுக்கான தீர்வு பின்வருமாறு:

(கோணம் கூர்மையாக இருப்பதால், வேரைப் பிரித்தெடுக்கும்போது, ​​+ குறி எடுக்கப்படுகிறது)

ஒரு தொகையின் தொடுகோடுக்கான சூத்திரம் நினைவில் கொள்வது கடினம். இதை இப்படி வெளியிடுவோம்:

உடனடியாக காட்டப்படும் மற்றும்

இரட்டைக் கோணத்திற்கான கொசைன் சூத்திரத்திலிருந்து, அரைக் கோணத்திற்கான சைன் மற்றும் கொசைன் சூத்திரங்களைப் பெறலாம். இதைச் செய்ய, இரட்டை கோண கொசைன் சூத்திரத்தின் இடது பக்கத்தில்:
cos2 அ = cos 2 அ-பாவம் 2 அ
நாம் ஒன்றைச் சேர்க்கிறோம், வலதுபுறம் - ஒரு முக்கோணவியல் அலகு, அதாவது. சைன் மற்றும் கொசைன் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகை.
cos2a+1 = cos2 அ-பாவம்2 அ+cos2 அ+பாவம்2 அ
2cos 2 அ = cos2 அ+1
வெளிப்படுத்துகிறது cosஅமூலம் cos2 அமற்றும் மாறிகளின் மாற்றத்தைச் செய்வதன் மூலம், நாம் பெறுகிறோம்:

நால்வரைப் பொறுத்து அடையாளம் எடுக்கப்படுகிறது.

இதேபோல், சமத்துவத்தின் இடது பக்கத்திலிருந்து ஒன்றைக் கழித்தால், வலதுபுறத்தில் இருந்து சைன் மற்றும் கோசைனின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகை, நாம் பெறுகிறோம்:
cos2a-1 = cos2 அ-பாவம்2 அ-cos2 அ-பாவம்2 அ
2பாவம் 2 அ = 1-cos2 அ

இறுதியாக, முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் கூட்டுத்தொகையை ஒரு தயாரிப்பாக மாற்ற, பின்வரும் நுட்பத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம். சைன்களின் கூட்டுத்தொகையை ஒரு தயாரிப்பாகக் குறிப்பிட வேண்டும் என்று வைத்துக்கொள்வோம் பாவம்அ+பாவம்பி. a = x+y, b+x-y போன்ற மாறிகள் x மற்றும் y ஐ அறிமுகப்படுத்துவோம். பிறகு
பாவம்அ+பாவம்பி = பாவம்(x+y)+ பாவம்(x-y) = பாவம் x cos y+ cos x பாவம் y+ பாவம் x cos y- cos x பாவம் y=2 பாவம் x cosஒய். இப்போது x மற்றும் y ஐ a மற்றும் b அடிப்படையில் வெளிப்படுத்துவோம்.

a = x+y, b = x-y, பின்னர் . அதனால் தான்

நீங்கள் உடனடியாக திரும்பப் பெறலாம்

1. பகிர்வுக்கான சூத்திரம் சைன் மற்றும் கொசைன் தயாரிப்புகள்வி தொகை: பாவம்அcosபி = 0.5(பாவம்(a+b)+பாவம்(a-b))

சைன்களின் வேறுபாட்டையும் கொசைன்களின் கூட்டுத்தொகையையும் வேறுபாட்டையும் தயாரிப்பாக மாற்றுவதற்கும், சைன்கள் மற்றும் கொசைன்களின் தயாரிப்புகளை கூட்டுத்தொகையாகப் பிரிப்பதற்கும் நீங்களே சூத்திரங்களைப் பயிற்சி செய்து பெறுமாறு பரிந்துரைக்கிறோம். இந்த பயிற்சிகளை முடித்த பிறகு, முக்கோணவியல் சூத்திரங்களைப் பெறுவதில் நீங்கள் முழுமையாக தேர்ச்சி பெறுவீர்கள், மேலும் மிகவும் கடினமான சோதனை, ஒலிம்பியாட் அல்லது சோதனையில் கூட தொலைந்து போக மாட்டீர்கள்.