தொகுதிகளின் பகுதிகளின் கணக்கீட்டிற்கு ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பின் பயன்பாடு. திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பின் இயற்பியல் பயன்பாடுகள்

விரிவுரைகள் 8. விண்ணப்பங்கள் திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைந்த.

ஒருங்கிணைந்த பயன்பாடு உடல் பணிகள்ஒரு தொகுப்பின் மேல் உள்ள ஒருங்கிணைப்பின் சேர்க்கையின் சொத்தை அடிப்படையாகக் கொண்டது. எனவே, ஒருங்கிணைப்பைப் பயன்படுத்தி, தொகுப்பில் சேர்க்கப்படும் அளவுகளைக் கணக்கிடலாம். எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு உருவத்தின் பரப்பளவு அதன் பகுதிகளின் வளைவு நீளம், மேற்பரப்பு பகுதி, உடலின் அளவு மற்றும் உடலின் நிறை ஆகியவற்றின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம். எனவே, இந்த அளவுகள் அனைத்தையும் ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடலாம்.

சிக்கல்களைத் தீர்க்க நீங்கள் இரண்டு முறைகளைப் பயன்படுத்தலாம்: ஒருங்கிணைந்த தொகைகளின் முறை மற்றும் வேறுபாடுகளின் முறை.

ஒருங்கிணைந்த தொகைகளின் முறை ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பின் கட்டுமானத்தை மீண்டும் செய்கிறது: ஒரு பகிர்வு கட்டப்பட்டது, புள்ளிகள் குறிக்கப்படுகின்றன, செயல்பாடு அவற்றில் கணக்கிடப்படுகிறது, ஒருங்கிணைந்த தொகை கணக்கிடப்படுகிறது மற்றும் வரம்பிற்கு செல்லும் பாதை செய்யப்படுகிறது. இந்த முறையில், முக்கிய சிரமம் என்னவென்றால், வரம்பில் உள்ள முடிவு சிக்கலில் சரியாகத் தேவை என்பதை நிரூபிப்பதாகும்.

வேறுபட்ட முறை பயன்படுத்துகிறது காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்புமற்றும் நியூட்டன்-லீப்னிஸ் சூத்திரம். தீர்மானிக்கப்பட வேண்டிய அளவின் வேறுபாடு கணக்கிடப்படுகிறது, பின்னர், இந்த வேறுபாட்டை ஒருங்கிணைப்பதன் மூலம், தேவையான அளவு நியூட்டன்-லீப்னிஸ் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி பெறப்படுகிறது. இந்த முறையில், முக்கிய சிரமம் என்னவென்றால், அது கணக்கிடப்பட்ட தேவையான மதிப்பின் வேறுபாடு என்பதை நிரூபிப்பது, வேறு ஒன்று அல்ல.

விமான புள்ளிவிவரங்களின் பகுதிகளின் கணக்கீடு.

1. குறிப்பிடப்பட்ட செயல்பாட்டின் வரைபடத்தால் எண்ணிக்கை வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது கார்ட்டீசியன் அமைப்புஒருங்கிணைப்புகள்

வளைந்த ட்ரெப்சாய்டின் பகுதியின் சிக்கலில் இருந்து ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பு என்ற கருத்துக்கு நாங்கள் வந்தோம் (உண்மையில், ஒருங்கிணைந்த தொகைகளின் முறையைப் பயன்படுத்தி). ஒரு சார்பு எதிர்மறை மதிப்புகளை மட்டுமே எடுத்துக் கொண்டால், ஒரு பிரிவில் செயல்பாட்டின் வரைபடத்தின் கீழ் உள்ள பகுதியை ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பைப் பயன்படுத்தி கணக்கிட முடியும். என்பதை கவனிக்கவும் எனவே, வேறுபாடுகளின் முறையையும் இங்கே காணலாம்.

ஆனால் ஒரு செயல்பாடு ஒரு குறிப்பிட்ட பிரிவில் எதிர்மறை மதிப்புகளை எடுக்கலாம், பின்னர் இந்த பிரிவில் உள்ள ஒருங்கிணைப்பானது எதிர்மறையான பகுதியைக் கொடுக்கும், இது பகுதியின் வரையறைக்கு முரணானது.

சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி பகுதியைக் கணக்கிடலாம்எஸ்=. எதிர்மறை மதிப்புகளை எடுக்கும் பகுதிகளில் செயல்பாட்டின் அடையாளத்தை மாற்றுவதற்கு இது சமம்.

ஒரு உருவத்தின் பரப்பளவை மேலே செயல்பாட்டின் வரைபடத்தாலும், கீழே செயல்பாட்டின் வரைபடத்தாலும் கணக்கிட வேண்டும் என்றால், நீங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தலாம்எஸ்= , ஏனெனில்.

உதாரணம். x=0, x=2 என்ற நேர்கோடுகள் மற்றும் y=x 2, y=x 3 சார்புகளின் வரைபடங்கள் ஆகியவற்றால் கட்டப்பட்ட உருவத்தின் பகுதியைக் கணக்கிடவும்.

இடைவெளியில் (0,1) சமத்துவமின்மை x 2 > x 3 மற்றும் x >1 க்கு சமத்துவமின்மை x 3 > x 2 உள்ளது என்பதை நினைவில் கொள்ளவும். அதனால் தான்

2. குறிப்பிட்ட செயல்பாட்டின் வரைபடத்தால் எண்ணிக்கை வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது துருவ அமைப்புஒருங்கிணைப்புகள்

ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடம் ஒரு துருவ ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் கொடுக்கப்படட்டும், மேலும் இரண்டு கதிர்கள் மற்றும் ஒரு துருவ ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடத்தால் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட ஒரு வளைவுத் துறையின் பரப்பளவைக் கணக்கிட விரும்புகிறோம்.

இங்கே நீங்கள் ஒருங்கிணைந்த தொகைகளின் முறையைப் பயன்படுத்தலாம், ஒரு வளைவுத் துறையின் பரப்பளவை தொடக்கத் துறைகளின் பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகையின் வரம்பாகக் கணக்கிடலாம், இதில் செயல்பாட்டின் வரைபடம் ஒரு வட்ட வில் மூலம் மாற்றப்படுகிறது. .

நீங்கள் வேறுபட்ட முறையைப் பயன்படுத்தலாம்: .

இப்படி யோசிக்கலாம். மையக் கோணத்துடன் தொடர்புடைய அடிப்படை வளைவுத் துறையை ஒரு வட்டத் துறையுடன் மாற்றினால், எங்களிடம் விகிதம் உள்ளது. இங்கிருந்து . நியூட்டன்-லீப்னிஸ் சூத்திரத்தை ஒருங்கிணைத்து பயன்படுத்தி, நாங்கள் பெறுகிறோம் .

உதாரணம். வட்டத்தின் பரப்பளவைக் கணக்கிடுவோம் (சூத்திரத்தைச் சரிபார்க்கவும்). நாங்கள் நம்புகிறோம். வட்டத்தின் பரப்பளவு .

உதாரணம். கார்டியோயிட் எல்லைக்குட்பட்ட பகுதியைக் கணக்கிடுவோம் .

3 அளவுருவாக வரையறுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டின் வரைபடத்தால் எண்ணிக்கை வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது.

செயல்பாட்டை அளவுரு வடிவத்தில் வடிவத்தில் குறிப்பிடலாம். நாங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம் எஸ்= , புதிய மாறியின் மீதான ஒருங்கிணைப்பின் வரம்புகளை அதில் மாற்றுகிறது. . வழக்கமாக, ஒருங்கிணைப்பைக் கணக்கிடும்போது, ​​​​ஒருங்கிணைந்த செயல்பாடு ஒரு குறிப்பிட்ட அடையாளத்தைக் கொண்ட பகுதிகள் அடையாளம் காணப்பட்டு, ஒன்று அல்லது மற்றொரு அடையாளத்துடன் தொடர்புடைய பகுதி கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளப்படுகிறது.

உதாரணம். நீள்வட்டத்தால் சூழப்பட்ட பகுதியைக் கணக்கிடுங்கள்.

நீள்வட்டத்தின் சமச்சீர்நிலையைப் பயன்படுத்தி, முதல் நாற்கரத்தில் அமைந்துள்ள நீள்வட்டத்தின் காலாண்டின் பகுதியைக் கணக்கிடுகிறோம். இந்த நாற்கரத்தில். அதனால் தான் .

உடல் தொகுதிகளின் கணக்கீடு.

1. இணையான பிரிவுகளின் பகுதிகளிலிருந்து உடல்களின் அளவைக் கணக்கிடுதல்.

இந்த உடலின் அறியப்பட்ட குறுக்குவெட்டுப் பகுதிகளிலிருந்து ஒரு குறிப்பிட்ட உடல் V இன் அளவைக் கணக்கிடுவது OX கோட்டின் எந்தப் புள்ளியின் x வழியாகவும் வரையப்பட்ட OX கோட்டிற்கு செங்குத்தாக விமானங்கள் மூலம் கணக்கிட வேண்டும்.

வேறுபாடுகளின் முறையைப் பயன்படுத்துவோம். அடிப்படை பரப்பளவு மற்றும் உயரம் கொண்ட வலது வட்ட உருளையின் கன அளவாக பிரிவின் மேலே உள்ள அடிப்படை அளவைக் கருத்தில் கொண்டு, நாம் பெறுகிறோம் . நியூட்டன்-லீப்னிஸ் சூத்திரத்தை ஒருங்கிணைத்து பயன்படுத்தினால், நாங்கள் பெறுகிறோம்

2. புரட்சியின் உடல்களின் தொகுதிகளின் கணக்கீடு.

கணக்கிடுவது அவசியமாக இருக்கட்டும் OX.

பிறகு .

அதேபோல், ஒரு அச்சைச் சுற்றியுள்ள புரட்சியின் உடலின் அளவுOY, செயல்பாடு படிவத்தில் கொடுக்கப்பட்டிருந்தால், சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடலாம்.

செயல்பாடு படிவத்தில் குறிப்பிடப்பட்டிருந்தால், ஒரு அச்சைச் சுற்றியுள்ள சுழற்சியின் அளவை நீங்கள் தீர்மானிக்க வேண்டும்OY, பின்னர் அளவைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரத்தை பின்வருமாறு பெறலாம்.

வித்தியாசத்தை கடந்து, இருபடி விதிமுறைகளை புறக்கணிக்கிறோம் . நியூட்டன்-லீப்னிஸ் சூத்திரத்தை ஒருங்கிணைத்து பயன்படுத்துகிறோம்.

உதாரணம். கோளத்தின் அளவைக் கணக்கிடுங்கள்.

உதாரணம். ஒரு மேற்பரப்பு மற்றும் ஒரு விமானத்தால் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட வலது வட்டக் கூம்பின் அளவைக் கணக்கிடுங்கள்.

OXZ விமானத்தில் ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் OZ அச்சில் சுழற்சியால் உருவாகும் சுழற்சியின் உடலின் கன அளவைக் கணக்கிடுவோம், அதன் கால்கள் OZ அச்சில் மற்றும் நேர் கோட்டில் z = H, மற்றும் ஹைப்போடென்யூஸ் அமைந்துள்ளது. நேர் கோட்டில்.

z இன் அடிப்படையில் x ஐ வெளிப்படுத்தினால், நாம் பெறுகிறோம் .

வில் நீளம் கணக்கீடு.

வளைவின் நீளத்தைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரங்களைப் பெற, வில் நீளத்தின் வேறுபாட்டிற்காக 1வது செமஸ்டரில் பெறப்பட்ட சூத்திரங்களை நினைவுபடுத்தவும்.

வில் என்பது தொடர்ச்சியாக வேறுபடுத்தக்கூடிய செயல்பாட்டின் வரைபடமாக இருந்தால், வில் நீள வேறுபாட்டை சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடலாம்

. அதனால் தான்

ஒரு மென்மையான வளைவு அளவுருவாக குறிப்பிடப்பட்டால், அது

. அதனால் தான் .

வளைவு ஒரு துருவ ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் குறிப்பிடப்பட்டிருந்தால், அது

. அதனால் தான் .

உதாரணம். செயல்பாட்டின் வரைபடத்தின் வளைவின் நீளத்தைக் கணக்கிடவும், . .

விரிவுரை 21 ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பின் பயன்பாடுகள் (2 மணிநேரம்)

வடிவியல் பயன்பாடுகள்

A) உருவத்தின் பரப்பளவு

விரிவுரை 19 இல் ஏற்கனவே குறிப்பிட்டுள்ளபடி, வளைவால் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட ஒரு வளைவு ட்ரேப்சாய்டின் பரப்பளவிற்கு எண்ணியல் சமமாக உள்ளது. மணிக்கு = f(x), நேராக எக்ஸ் = ஏ, எக்ஸ் = பிமற்றும் பிரிவு [ அ, பி] OX அச்சு. மேலும், என்றால் f(x) £ 0 இல் [ அ, பி], பின்னர் ஒரு மைனஸ் அடையாளத்துடன் ஒருங்கிணைப்பை எடுக்க வேண்டும்.

அன்று என்றால் கொடுக்கப்பட்ட பிரிவுசெயல்பாடு மணிக்கு = f(x) அடையாளத்தை மாற்றுகிறது, பின்னர் இந்த செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கும் OX அச்சுக்கும் இடையில் இணைக்கப்பட்டுள்ள உருவத்தின் பகுதியைக் கணக்கிட, நீங்கள் பிரிவை பகுதிகளாகப் பிரிக்க வேண்டும், ஒவ்வொன்றிலும் செயல்பாடு அதன் அடையாளத்தைத் தக்கவைத்து, அதன் பகுதியைக் கண்டறியவும். உருவத்தின் ஒவ்வொரு பகுதியும். இந்த வழக்கில் தேவையான பகுதி இயற்கணிதத் தொகைஇந்த பிரிவுகளின் மீதான ஒருங்கிணைப்புகள் மற்றும் தொடர்புடைய ஒருங்கிணைப்புகள் எதிர்மறை மதிப்புகள்செயல்பாடுகள் இந்த தொகையில் கழித்தல் குறியுடன் எடுக்கப்படுகின்றன.

ஒரு உருவம் இரண்டு வளைவுகளால் கட்டப்பட்டிருந்தால் மணிக்கு = f 1 (x) மற்றும் மணிக்கு = f 2 (x), f 1 (x)£ f 2 (x), பின்னர், படம் 9 இலிருந்து பின்வருமாறு, அதன் பரப்பளவு வளைவு ட்ரேப்சாய்டுகளின் பகுதிகளில் உள்ள வேறுபாட்டிற்கு சமம் ஏசூரியன் பிமற்றும் ஏகி.பி பி, அவை ஒவ்வொன்றும் எண்ணியல் ரீதியில் முழுமைக்கு சமம். பொருள்

படம் 10a இல் காட்டப்பட்டுள்ள உருவத்தின் பரப்பளவு அதே சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி காணப்படுகிறது என்பதை நினைவில் கொள்க: S = (நிரூபியுங்கள்!). படம் 10b இல் காட்டப்பட்டுள்ள உருவத்தின் பரப்பளவை எவ்வாறு கணக்கிடுவது என்று சிந்தியுங்கள்?

நாங்கள் OX அச்சுக்கு அருகிலுள்ள வளைவு ட்ரேப்சாய்டுகளைப் பற்றி மட்டுமே பேசிக் கொண்டிருந்தோம். ஆனால் இதேபோன்ற சூத்திரங்கள் OU அச்சுக்கு அருகில் உள்ள புள்ளிவிவரங்களுக்கும் செல்லுபடியாகும். எடுத்துக்காட்டாக, படம் 11 இல் காட்டப்பட்டுள்ள உருவத்தின் பரப்பளவு சூத்திரத்தால் கண்டறியப்படுகிறது

வரியை விடுங்கள் ஒய்=f(x), ஒரு வளைந்த ட்ரேப்சாய்டைக் கட்டுப்படுத்துவது, அளவுரு சமன்பாடுகளால் கொடுக்கப்படலாம், டிО , மற்றும் j(a)= ஏ, j(b) = பி, அதாவது மணிக்கு= பின்னர் இந்த வளைவு ட்ரெப்சாய்டின் பரப்பளவு சமமாக இருக்கும்

.

b) வளைவு வளைவு நீளம்

வளைவு கொடுக்கப்படட்டும் மணிக்கு = f(x) மாற்றத்துடன் தொடர்புடைய இந்த வளைவின் வளைவைக் கருத்தில் கொள்வோம் எக்ஸ்பிரிவில் [ அ, பி]. இந்த வளைவின் நீளத்தைக் கண்டுபிடிப்போம். இதைச் செய்ய, வளைவு AB ஐப் பிரிக்கிறோம் nபகுதிகள் A = M 0, M 1, M 2, ..., M n= B (படம் 14), புள்ளிகளுடன் தொடர்புடையது எக்ஸ் 1 , எக்ஸ் 2 , ..., x பக் Î [ அ, பி].

D ஐக் குறிப்போம் l iவில் நீளம், பின்னர் எல்= வில் நீளம் என்றால் D l iபோதுமான அளவு சிறியவை, பின்னர் அவை தோராயமாக கருதப்படலாம் சம நீளம்புள்ளிகளை இணைக்கும் தொடர்புடைய பிரிவுகள் எம் i-1, எம் i. இந்த புள்ளிகள் எம் i -1 (x i -1, f (x i-1)), எம் i(x i, f(x i)). பின்னர் பிரிவுகளின் நீளம் முறையே சமமாக இருக்கும்

Lagrange இன் சூத்திரம் இங்கே பயன்படுத்தப்படுகிறது. போடுவோம் x i – x i-1 =D x i, நாம் பெறுகிறோம்

பிறகு எல் = , எங்கே

எல் = .

இதனால், வளைவின் வில் நீளம் மணிக்கு = f(x), மாற்றத்துடன் தொடர்புடையது எக்ஸ்பிரிவில் [ அ, பி], சூத்திரத்தால் கண்டறியப்பட்டது

எல் = , (1)

வளைவு அளவுருவாக குறிப்பிடப்பட்டால், டிஓ, அதாவது. ஒய்(டி) = f(x(டி)), பின்னர் சூத்திரம் (1) இலிருந்து நாம் பெறுகிறோம்:

எல்=
.

இதன் பொருள் ஒரு வளைவு அளவுருவாக கொடுக்கப்பட்டால், இந்த வளைவின் வளைவின் நீளம் மாற்றத்துடன் தொடர்புடையது டிஓ, சூத்திரத்தால் கண்டறியப்பட்டது

V) சுழற்சியின் உடலின் அளவு.

இதேபோல், செயல்பாட்டின் வரைபடத்தால் வரையறுக்கப்பட்ட OU அச்சில் ஒரு வளைவு ட்ரேப்சாய்டைச் சுழற்றுவதன் மூலம் பெறப்பட்ட உடலின் தொகுதிக்கான சூத்திரத்தை நாம் பெறலாம். எக்ஸ்= ஜே( மணிக்கு), நேராக ஒய் = c , ஒய் = ஈமற்றும் பிரிவு [ c,ஈ] op-amp இன் அச்சு (படம் 15):

திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பின் இயற்பியல் பயன்பாடுகள்

விரிவுரை 19 இல், இயற்பியல் கண்ணோட்டத்தில், ஒருங்கிணைப்பானது ஒரு நேர்கோட்டு மெல்லிய ஒத்திசைவற்ற நீளமுள்ள கம்பியின் நிறைக்கு சமம் என்பதை நிரூபித்தோம். எல்= பி – அ, மாறி நேரியல் அடர்த்தியுடன் r = f(x), f(x) ³ 0, எங்கே எக்ஸ்- தடியின் புள்ளியிலிருந்து அதன் இடது முனை வரையிலான தூரம்.

திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பின் பிற இயற்பியல் பயன்பாடுகளைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

பிரச்சனை 1. உயரம் H மற்றும் அடிப்படை ஆரம் R கொண்ட செங்குத்து உருளை தொட்டியில் இருந்து எண்ணெய் பம்ப் செய்ய தேவையான வேலையைக் கண்டறியவும். எண்ணெயின் அடர்த்தி r ஆகும்.

தீர்வு.கட்டுவோம் கணித மாதிரிஇந்த பணியின். OX அச்சு உயரம் H மற்றும் R ஆரம் கொண்ட சிலிண்டரின் சமச்சீர் அச்சில் செல்லட்டும், தோற்றம் சிலிண்டரின் மேல் தளத்தின் மையத்தில் உள்ளது (படம் 17). சிலிண்டரைப் பிரிப்போம் nசிறிய கிடைமட்ட பாகங்கள். அப்புறம் எங்கே ஏ ஐ- உந்தி வேலை iவது அடுக்கு. சிலிண்டரின் இந்த பிரிவு அடுக்கு உயரத்தில் உள்ள மாற்றத்தின் பிரிவின் பிரிவுக்கு ஒத்திருக்கிறது nபாகங்கள். தொலைவில் அமைந்துள்ள இந்த அடுக்குகளில் ஒன்றைக் கருத்தில் கொள்வோம் x iமேற்பரப்பில் இருந்து, அகலம் D எக்ஸ்(அல்லது உடனடியாக dx) இந்த அடுக்கை வெளியேற்றுவது அடுக்கை உயரத்திற்கு "உயர்த்துவது" என்று கருதலாம் x i.

இந்த அடுக்கை வெளியேற்றுவதற்கான வேலை சமமாக இருக்கும்

ஏ ஐ»பி i x i, ,

அங்கு பி i=ஆர்ஜிவி i= rgpR 2 dx, ஆர் i- எடை, வி i- அடுக்கின் அளவு. பிறகு ஏ ஐ» ஆர் i x i= rgpR 2 dx.x i, எங்கே

, எனவே .

பிரச்சனை 2. மந்தநிலையின் தருணத்தைக் கண்டறியவும்

a) அதன் சமச்சீர் அச்சின் வழியாக செல்லும் அச்சுடன் தொடர்புடைய வெற்று மெல்லிய சுவர் உருளை;

b) அதன் சமச்சீர் அச்சின் வழியாக செல்லும் அச்சுடன் தொடர்புடைய திட உருளை;

c) நீளமுள்ள ஒரு மெல்லிய கம்பி எல்அதன் நடுப்பகுதி வழியாக செல்லும் அச்சுடன் தொடர்புடையது;

ஈ) மெல்லிய கம்பி நீளம் எல்அதன் இடது முனை வழியாக செல்லும் அச்சுடன் தொடர்புடையது.

தீர்வு.அறியப்பட்டபடி, அச்சுடன் தொடர்புடைய ஒரு புள்ளியின் நிலைமத்தின் தருணம் சமம் ஜே=திரு 2, மற்றும் புள்ளிகளின் அமைப்புகள்.

அ) சிலிண்டர் மெல்லிய சுவர் கொண்டது, அதாவது சுவர்களின் தடிமன் புறக்கணிக்கப்படலாம். உருளையின் அடிப்பகுதியின் ஆரம் R ஆகவும், அதன் உயரம் H ஆகவும், சுவர்களில் நிறை அடர்த்தி r ஆகவும் இருக்கட்டும்.

சிலிண்டரைப் பிரிப்போம் nபாகங்கள் மற்றும் எங்கே கண்டுபிடிக்க ஜே ஐ- செயலற்ற தருணம் iபகிர்வின் உறுப்பு.

கருத்தில் கொள்வோம் iபகிர்வின் வது உறுப்பு (முடிவிலி சிலிண்டர்). அதன் அனைத்து புள்ளிகளும் அச்சில் இருந்து R தொலைவில் உள்ளன எல். இந்த உருளையின் நிறை இருக்கட்டும் டி ஐ, பிறகு டி ஐ= ஆர்.வி i» ஆர்.எஸ் பக்கம்= 2prR dx i, எங்கே x iஓ. பிறகு ஜே ஐ» R 2 prR dx i, எங்கே

.

r ஒரு மாறிலி என்றால், பின்னர் ஜே= 2prR 3 N, மற்றும் சிலிண்டரின் நிறை M = 2prRНக்கு சமமாக இருப்பதால் ஜே=எம்ஆர் 2.

b) சிலிண்டர் திடமாக இருந்தால் (நிரப்பப்பட்டது), பின்னர் நாம் அதை பிரிக்கிறோம் n vloமெல்லிய சிலிண்டர்கள் ஒன்றோடொன்று இணைக்கப்பட்டுள்ளன. என்றால் nபெரியது, இந்த சிலிண்டர்கள் ஒவ்வொன்றும் மெல்லிய சுவர்களாகக் கருதப்படலாம். இந்த பகிர்வு பிரிவின் பிரிவிற்கு ஒத்திருக்கிறது nபுள்ளிகள் R i. வெகுஜனத்தைக் கண்டுபிடிப்போம் iமெல்லிய சுவர் சிலிண்டர்: டி ஐ= ஆர்.வி i, எங்கே

வி i= pR i 2 எச் - பிஆர் நான் - 1 2 H = pH(R i 2 -ஆர் i -1 2) =

PH(R i–ஆர் i-1)(ஆர் i+ஆர் i -1).

சிலிண்டர் சுவர்கள் மெல்லியதாக இருப்பதால், R என்று நாம் கருதலாம் i+ஆர் i-1 » 2ஆர் i, மற்றும் ஆர் i–ஆர் i-1 = DR i, பின்னர் வி i» pH2R iடி.ஆர். i, எங்கே டி ஐ» rpН×2R iடி.ஆர். i,

பின்னர் இறுதியாக

c) நீளமுள்ள ஒரு கம்பியைக் கவனியுங்கள் எல், அதன் நிறை அடர்த்தி r க்கு சமம். சுழற்சியின் அச்சு அதன் நடுவில் செல்லட்டும்.

நாங்கள் தடியை OX அச்சின் ஒரு பிரிவாக வடிவமைக்கிறோம், பின்னர் தடியின் சுழற்சியின் அச்சு OU அச்சாகும். ஒரு அடிப்படைப் பிரிவைக் கருத்தில் கொள்வோம், அதன் நிறை, அச்சுக்கான தூரம் தோராயமாக சமமாக கருதப்படலாம் ஆர் ஐ= x i. இந்த பிரிவின் நிலைமத்தின் தருணம் சமமாக இருக்கும் . தடியின் நிறை சமமாக இருப்பதைக் கருத்தில் கொண்டு, பிறகு

ஈ) இப்போது சுழற்சியின் அச்சு தடியின் இடது முனை வழியாக செல்லட்டும், அதாவது. தடியின் மாதிரியானது OX அச்சின் ஒரு பிரிவாகும். பின்னர் இதேபோல், ஆர் ஐ= x i,, எங்கே , மற்றும் முதல் , பின்னர் .

பணி 3.கால்கள் கொண்ட செங்கோண முக்கோணத்தில் அடர்த்தி r கொண்ட திரவத்தின் அழுத்தத்தின் விசையைக் கண்டறியவும் ஏமற்றும் பி, செங்குத்தாக திரவத்தில் மூழ்கி அதனால் கால் ஏதிரவத்தின் மேற்பரப்பில் அமைந்துள்ளது.

தீர்வு.

பிரச்சனையின் மாதிரியை உருவாக்குவோம். மேலே விடுங்கள் வலது கோணம்முக்கோணம் தோற்றத்தில் உள்ளது, கால் ஏ OU அச்சின் ஒரு பகுதியுடன் ஒத்துப்போகிறது (OU அச்சு திரவத்தின் மேற்பரப்பை தீர்மானிக்கிறது), OX அச்சு கீழ்நோக்கி இயக்கப்படுகிறது, கால் பிஇந்த அச்சின் ஒரு பகுதியுடன் ஒத்துப்போகிறது. இந்த முக்கோணத்தின் ஹைப்போடென்யூஸ் சமன்பாட்டைக் கொண்டுள்ளது, அல்லது .

பகுதியின் கிடைமட்டப் பகுதியில் இருந்தால் அது அறியப்படுகிறது எஸ், r அடர்த்தி கொண்ட திரவத்தில் மூழ்கி, உயரம் கொண்ட திரவ நெடுவரிசையால் அழுத்தப்படுகிறது ம, பிறகு அழுத்த விசை சமம் (பாஸ்கலின் சட்டம்). இந்த சட்டத்தை பயன்படுத்துவோம்.

திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பு (DI) கணிதம் மற்றும் இயற்பியலின் நடைமுறை பயன்பாடுகளில் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

குறிப்பாக, வடிவவியலில், பகுதிகள் ROI ஐப் பயன்படுத்தி காணப்படுகின்றன எளிய புள்ளிவிவரங்கள்மற்றும் சிக்கலான மேற்பரப்புகள், புரட்சியின் உடல்கள் மற்றும் தன்னிச்சையான வடிவத்தின் உடல்கள், ஒரு விமானம் மற்றும் விண்வெளியில் வளைவுகளின் நீளம்.

இயற்பியல் மற்றும் கோட்பாட்டு இயக்கவியலில், ROIகள் நிலையான தருணங்கள், வெகுஜனங்கள் மற்றும் பொருள் வளைவுகள் மற்றும் மேற்பரப்புகளின் வெகுஜன மையங்களைக் கணக்கிடப் பயன்படுகின்றன, ஒரு வளைவுப் பாதையில் மாறி விசையின் வேலையைக் கணக்கிட, முதலியன.

ஒரு தட்டையான உருவத்தின் பகுதி

கார்ட்டீசியன் செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் உள்ள சில விமான உருவம் $xOy$ வளைவு $y=y_(1) \left(x\right)$, கீழே இருந்து $y=y_(2) \இடது (x\வலது)$ , மற்றும் இடது மற்றும் வலதுபுறத்தில் செங்குத்து நேர்கோடுகள் முறையே $x=a$ மற்றும் $x=b$. பொதுவாக, அத்தகைய உருவத்தின் பரப்பளவு RO $S=\int \limits _(a)^(b)\left(y_(1) \left(x\right)-y_(2) \ பயன்படுத்தி வெளிப்படுத்தப்படுகிறது. இடது(x\வலது)\வலது)\cdot dx $.

கார்ட்டீசியன் செவ்வக ஆய அமைப்பில் சில தட்டையான உருவம் $xOy$ வலதுபுறத்தில் $x=x_(1) \left(y\right)$, இடதுபுறம் $x=x_(2) \இடது(y\வலது) $, மற்றும் கீழே மற்றும் மேலே கிடைமட்ட நேர்கோடுகள் முறையே $y=c$ மற்றும் $y=d$, பிறகு அத்தகைய உருவத்தின் பரப்பளவு ROI $S=\int ஐப் பயன்படுத்தி வெளிப்படுத்தப்படுகிறது. \ வரம்புகள் _(c)^(d)\left(x_(1 ) \left(y\right)-x_(2) \left(y\right)\right)\cdot dy $.

ஒரு துருவ ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் கருதப்படும் ஒரு தட்டையான உருவம் (வளைவுத் துறை), ஒரு தொடர்ச்சியான செயல்பாட்டின் வரைபடத்தால் உருவாக்கப்படட்டும் $\rho =\rho \left(\phi \right)$, அதே போல் கோணங்களில் செல்லும் இரண்டு கதிர்கள் $ \phi =\alpha $ மற்றும் $\phi =\beta $ முறையே. அத்தகைய வளைவுத் துறையின் பரப்பளவைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரம்: $S=\frac(1)(2) \cdot \int \limits _(\alpha )^(\beta )\rho ^(2) \left (\phi \right )\cdot d\phi $.

வளைவு வளைவு நீளம்

பிரிவில் $\இடது[\alpha ,\; \beta \right]$ வளைவானது துருவ ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் $\rho =\rho \left(\phi \right)$ சமன்பாட்டின் மூலம் கொடுக்கப்படுகிறது, பின்னர் அதன் வளைவின் நீளம் அல்லது $L=\int ஐப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகிறது. \ வரம்புகள் _(\alpha )^ (\beta )\sqrt(\rho ^(2) \left(\phi \right)+\rho "^(2) \left(\phi \right)) \cdot d\ ஃபை $.

ஒரு பிரிவில் $\left$ ஒரு வளைவு $y=y\left(x\right)$ சமன்பாட்டால் கொடுக்கப்பட்டால், அதன் வளைவின் நீளம் ROI $L=\int \limits _(a) ஐப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படும். ^(b)\sqrt(1 +y"^(2) \left(x\right)) \cdot dx $.

பிரிவில் $\இடது[\alpha ,\; \beta \right]$ வளைவு அளவுருவாக குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது, அதாவது $x=x\left(t\right)$, $y=y\left(t\right)$, அதன் வளைவின் நீளம் இதைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகிறது ROI $L=\ int \limits _(\alpha )^(\beta )\sqrt(x"^(2) \left(t\right)+y"^(2) \left(t\right)) \cdot dt $.

இணையான பிரிவுகளின் பகுதிகளிலிருந்து உடலின் அளவைக் கணக்கிடுதல்

$a\le x\le b$ நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்யும் புள்ளி ஆயத்தொலைவுகள் மற்றும் குறுக்கு வெட்டு பகுதிகள் $S\left(x\right)$ செங்குத்தாக இருக்கும் இடஞ்சார்ந்த உடலின் அளவைக் கண்டறிவது அவசியமாக இருக்கட்டும். $Ox$ அச்சு அறியப்படுகிறது.

அத்தகைய உடலின் அளவைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரம் $V=\int \limits _(a)^(b)S\left(x\right)\cdot dx $.

புரட்சியின் உடலின் தொகுதி

ஒரு அல்லாத எதிர்மறை இருக்கட்டும் தொடர்ச்சியான செயல்பாடு$y=y\left(x\right)$, வளைந்த ட்ரெப்சாய்டை (CrT) உருவாக்குகிறது. இந்த KrT ஐ $Ox$ அச்சில் சுழற்றினால், சுழற்சி உடல் என்று அழைக்கப்படும் உடல் உருவாகிறது.

புரட்சியின் உடலின் அளவைக் கணக்கிடுவது அதன் இணையான பிரிவுகளின் அறியப்பட்ட பகுதிகளிலிருந்து உடலின் அளவைக் கணக்கிடுவதற்கான ஒரு சிறப்பு நிகழ்வு ஆகும். தொடர்புடைய சூத்திரம் $V=\int \limits _(a)^(b)S\left(x\right)\cdot dx =\pi \cdot \int \limits _(a)^(b)y^( 2) \இடது(x\வலது)\cdot dx $.

கார்ட்டீசியன் செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் உள்ள சில விமான உருவம் $xOy$ வளைவு $y=y_(1) \left(x\right)$, கீழே இருந்து $y=y_(2) \இடது (x\right)$ , இதில் $y_(1) \left(x\right)$ மற்றும் $y_(2) \left(x\right)$ ஆகியவை எதிர்மறையான தொடர் செயல்பாடுகள், மற்றும் இடது மற்றும் வலது செங்குத்தாக இருக்கும் நேர்கோடுகள் முறையே $x=a$ மற்றும் $x= b$. $Ox$ அச்சைச் சுற்றி இந்த உருவத்தின் சுழற்சியால் உருவான உடலின் அளவு RO $V=\pi \cdot \int \limits _(a)^(b)\left(y_(1)^ ஆல் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது. (2) \left(x \right)-y_(2)^(2) \left(x\right)\right)\cdot dx $.

கார்ட்டீசியன் செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் சில தட்டையான உருவம் $xOy$ வலதுபுறத்தில் $x=x_(1) \left(y\right)$, இடதுபுறம் $x=x_(2) \left(y\right)$ , இங்கு $x_(1) \left(y\right)$ மற்றும் $x_(2) \left(y\right)$ ஆகியவை எதிர்மறை அல்லாத தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகள், மேலும் கீழும் மேலேயும் கிடைமட்டமாக இருக்கும் நேர்கோடுகள் $y=c$ மற்றும் $y= d$ அதன்படி. $Oy$ அச்சில் இந்த உருவத்தின் சுழற்சியால் உருவான உடலின் கன அளவு RO $V=\pi \cdot \int \limits _(c)^(d)\left(x_(1)^ஆல் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது. (2) \left(y \right)-x_(2)^(2) \left(y\right)\right)\cdot dy $.

சுழற்சி உடலின் மேற்பரப்பு பகுதி

$y=y\left(x\right)$ என்ற பிரிவில் $y=y\left(x\right)$ ஒரு தொடர்ச்சியான வழித்தோன்றலான $y"\left(x\right)$ உடன் கொடுக்கப்பட்டிருக்கட்டும். இந்த செயல்பாடு CRTயை உருவாக்குகிறது. $Ox அச்சில் $ சுற்றி இந்த CRT சுழற்ற, பின்னர் அது தன்னை ஒரு புரட்சியை உருவாக்குகிறது, மற்றும் வில் KrT அதன் மேற்பரப்பு போன்ற ஒரு புரட்சியின் மேற்பரப்பு $Q=2\cdot மூலம் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது \pi \cdot \int \ வரம்புகள் _(a)^(b)y\left( x\right)\cdot \sqrt(1+y"^(2) \left(x\right)) \cdot dx $.

$x=\phi \left(y\right)$ வளைவு, $\phi \left(y\right)$ என்பது $c\le y\le d பிரிவில் வரையறுக்கப்பட்ட எதிர்மறை சார்பு அல்ல என்று வைத்துக்கொள்வோம். $, $Oy$ அச்சில் சுழற்றப்பட்டது. இந்த வழக்கில், உருவான புரட்சியின் பரப்பளவு RO $Q=2\cdot \pi \cdot \int \limits _(c)^(d)\phi \left(y\right) ஆல் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது. \cdot \sqrt(1+\phi "^(2) \left(y\right)) \cdot dy $.

ROI இன் இயற்பியல் பயன்பாடுகள்

1. $t=t_(0)$ நேரத்தில் நகரத் தொடங்கிய பொருள் புள்ளியின் $v=v\left(t\right)$ என்ற மாறி வேகத்துடன் $t=T$ நேரத்தில் பயணித்த தூரத்தைக் கணக்கிட, பயன்படுத்தவும் ROI $S =\int \ வரம்புகள் _(t_(0) )^(T)v\left(t\right)\cdot dt $.
2. $F=F\left(x\right)$ பயன்படுத்தப்படும் மாறி விசையின் வேலையை கணக்கிட பொருள் புள்ளி$x=a$ புள்ளியில் இருந்து $x=b$ புள்ளிக்கு $Ox$ அச்சில் நேரான பாதையில் நகரும் (விசையின் திசையானது இயக்கத்தின் திசையுடன் ஒத்துப்போகிறது) OP $A=\int \ வரம்புகளைப் பயன்படுத்தவும் _(a)^(b) F\left(x\right)\cdot dx $.
3. $\left$ இடைவெளியில் $y=y\left(x\right)$ வளைவின் ஆய அச்சுகள் பற்றிய நிலையான தருணங்கள் $M_(x) =\rho \cdot \int \limits _( a)^(b)y \left(x\right)\cdot \sqrt(1+y"^(2) \left(x\right)) \cdot dx $ மற்றும் $M_(y) =\rho \cdot \int \ வரம்புகள் _(a )^(b)x\cdot \sqrt(1+y"^(2) \left(x\right)) \cdot dx $, எங்கே நேரியல் அடர்த்தி$\rho $ இந்த வளைவின் நிலையானதாகக் கருதப்படுகிறது.
4. ஒரு பொருள் வளைவின் வெகுஜன மையம் என்பது அதன் அனைத்து நிறைகளும் நிபந்தனையுடன் குவிந்திருக்கும் புள்ளியாகும், இதனால் ஒருங்கிணைப்பு அச்சுகளுடன் தொடர்புடைய புள்ளியின் நிலையான தருணங்கள் முழு வளைவின் நிலையான தருணங்களுக்கு சமமாக இருக்கும்.

ஒரு விமான வளைவின் வெகுஜன மையத்தின் ஆயத்தொலைவுகளைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரங்கள் $x_(C) =\frac(\int \limits _(a)^(b)x\cdot \sqrt(1+y"^( 2) \இடது(x\ வலது)) \cdot dx )(\int \ வரம்புகள் _(a)^(b)\sqrt(1+y"^(2) \left(x\right)) \cdot dx ) $ மற்றும் $y_(C) =\frac(\int \ வரம்புகள் _(a)^(b)y\left(x\right)\cdot \sqrt(1+y"^(2) \left(x\right )) \cdot dx )( \int \limits _(a)^(b)\sqrt(1+y"^(2) \left(x\right)) \cdot dx ) $.

5. பொருளின் நிலையான தருணங்கள் தட்டையான உருவம்ஒருங்கிணைப்பு அச்சுகளுடன் தொடர்புடைய KpT வடிவத்தில் $M_(x) =\frac(1)(2) \cdot \rho \cdot \int \limits _(a)^(b)y^( 2) \left(x\ right)\cdot dx $ மற்றும் $M_(y) =\rho \cdot \int \ வரம்புகள் _(a)^(b)x\cdot y\left(x\right)\cdot dx $.
6. $\இடது$ இடைவெளியில் $y=y\left(x\right)$ வளைவால் உருவாக்கப்பட்ட KrT வடிவில் உள்ள ஒரு பொருள் தட்டையான உருவத்தின் மையத்தின் ஆயத்தொகுப்புகள் $x_(சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகின்றன. C) =\frac(\int \ வரம்புகள் _(a )^(b)x\cdot y\left(x\right)\cdot dx )(\int \ வரம்புகள் _(a)^(b)y\left( x\right)\cdot dx ) $ மற்றும் $y_( C) =\frac(\frac(1)(2) \cdot \int \வரம்புகள் _(a)^(b)y^(2) \left(x \right)\cdot dx )(\int \limits _ (a)^(b)y\left(x\right)\cdot dx ) $.

திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பின் சில பயன்பாடுகளை முன்வைப்போம்.

ஒரு தட்டையான உருவத்தின் பரப்பளவைக் கணக்கிடுதல்

வளைந்த ட்ரேப்சாய்டின் பகுதி ஒரு வளைவால் கட்டுப்படுத்தப்படுகிறது (எங்கே
), நேராக
,
மற்றும் ஒரு பிரிவு
அச்சுகள்
, சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது

.

வளைவுகளால் கட்டப்பட்ட உருவத்தின் பகுதி
மற்றும்
(எங்கே
) நேராக
மற்றும்
சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது

வளைவு அளவுரு சமன்பாடுகளால் கொடுக்கப்பட்டால்
, பின்னர் நேர்கோடுகளால் இந்த வளைவால் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட ஒரு வளைவு ட்ரேப்சாய்டின் பகுதி
,
மற்றும் ஒரு பிரிவு
அச்சுகள்
, சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது

,

எங்கே மற்றும் சமன்பாடுகளிலிருந்து தீர்மானிக்கப்படுகிறது
,
, ஏ
மணிக்கு
.

சமன்பாட்டின் மூலம் துருவ ஆயங்களில் கொடுக்கப்பட்ட வளைவினால் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட ஒரு வளைவுத் துறையின் பரப்பளவு
மற்றும் இரண்டு துருவ ஆரங்கள்
,
(
), சூத்திரத்தால் கண்டறியப்படுகிறது

.

எடுத்துக்காட்டு 1.27.ஒரு பரவளையத்தால் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட உருவத்தின் பகுதியைக் கணக்கிடுங்கள்
மற்றும் நேராக
(படம் 1.1).

.

பின்னர் சூத்திரம் (1.6) மூலம் எங்களிடம் உள்ளது
விமான வளைவின் வில் நீளத்தைக் கணக்கிடுதல்
வளைவு என்றால்
பிரிவில்

.

- மென்மையானது (அதாவது, வழித்தோன்றல்
(
தொடர்ச்சியான), பின்னர் இந்த வளைவின் தொடர்புடைய வளைவின் நீளம் சூத்திரத்தால் கண்டறியப்படுகிறது ஒரு வளைவை அளவுருவாகக் குறிப்பிடும்போது - தொடர்ச்சியாக வேறுபடுத்தக்கூடிய செயல்பாடுகள்) அளவுருவில் ஒரு மோனோடோனிக் மாற்றத்துடன் தொடர்புடைய வளைவின் வளைவின் நீளம் , சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது

இருந்துசெய்ய
,
,
.

தீர்வு.எடுத்துக்காட்டு 1.28. :
,
ஒரு வளைவின் வில் நீளத்தைக் கணக்கிடுங்கள்

.

அளவுருவைப் பொறுத்து வழித்தோன்றல்களைக் கண்டுபிடிப்போம்

. பின்னர் சூத்திரத்திலிருந்து (1.7) நாம் பெறுகிறோம்
2. பல மாறிகளின் செயல்பாடுகளின் வேறுபட்ட கால்குலஸ்
ஒவ்வொரு வரிசைப்படுத்தப்பட்ட ஜோடி எண்களையும் விடுங்கள்
சில பகுதியில் இருந்து ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணுக்கு ஒத்திருக்கிறது . பிறகு மற்றும் ,
-அழைக்கப்பட்டது இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாடு சுயாதீன மாறிகள் ,
-அல்லது வாதங்கள் வரையறையின் களம் செயல்பாடுகள் மற்றும் ஒரு தொகுப்பு அனைத்து செயல்பாட்டு மதிப்புகள் -
.

அதன் மதிப்புகளின் வரம்பு
மற்றும் குறிக்கவும்

வடிவியல் ரீதியாக, ஒரு செயல்பாட்டின் வரையறையின் டொமைன் பொதுவாக விமானத்தின் சில பகுதியைக் குறிக்கிறது, இந்தப் பகுதியைச் சேர்ந்ததாக இருக்கலாம் அல்லது இல்லாத கோடுகளால் வரம்பிடப்பட்டுள்ளது.
எடுத்துக்காட்டு 2.1.
.

, பரவளையத்திற்கு மேலே அமைந்துள்ளது. பிராந்தியம் திறந்த நிலையில் உள்ளது மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகளின் அமைப்பைப் பயன்படுத்தி குறிப்பிடலாம்:
, ஏ மாறி என்றால்
சில அதிகரிப்பு கொடுங்கள்
நிலையான விட்டு, பின்னர் செயல்பாடு ஒரு அதிகரிப்பு கிடைக்கும் , அழைக்கப்பட்டது :

தனிப்பட்ட செயல்பாடு அதிகரிப்பு மாறி மூலம்
, ஏ அதேபோல், மாறி என்றால்
சில அதிகரிப்பு கொடுங்கள்
நிலையான விட்டு, பின்னர் செயல்பாடு ஒரு அதிகரிப்பு கிடைக்கும் அதிகரிப்பு கிடைக்கும் :

நிலையானது, பின்னர் செயல்பாடு

,

,

மாறி மூலம் வரம்புகள் இருந்தால்:
அவர்கள் அழைக்கப்படுகிறார்கள் மற்றும் ஒரு செயல்பாட்டின் பகுதி வழித்தோன்றல்கள்

மாறிகள் மூலம் முறையே.

குறிப்பு 2.1. எந்த எண்ணிக்கையிலான சுயாதீன மாறிகளின் செயல்பாடுகளின் பகுதி வழித்தோன்றல்கள் இதேபோல் தீர்மானிக்கப்படுகின்றன.

குறிப்பு 2.2.
.

தீர்வுஎந்த மாறியைப் பொறுத்தமட்டில் பகுதி வழித்தோன்றல் இந்த மாறியைப் பொறுத்த வரையில் இருந்து, மற்ற மாறிகள் நிலையானதாக இருந்தால், ஒரு மாறியின் செயல்பாடுகளை வேறுபடுத்துவதற்கான அனைத்து விதிகளும் எத்தனை மாறிகளின் செயல்பாடுகளின் பகுதி வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறிவதற்குப் பொருந்தும்.

,

.

எடுத்துக்காட்டு 2.2.. நாங்கள் கண்டுபிடிக்கிறோம்:
.

தீர்வுஎந்த மாறியைப் பொறுத்தமட்டில் பகுதி வழித்தோன்றல் இந்த மாறியைப் பொறுத்த வரையில் இருந்து, மற்ற மாறிகள் நிலையானதாக இருந்தால், ஒரு மாறியின் செயல்பாடுகளை வேறுபடுத்துவதற்கான அனைத்து விதிகளும் எத்தனை மாறிகளின் செயல்பாடுகளின் பகுதி வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறிவதற்குப் பொருந்தும்.

,

,

.

எடுத்துக்காட்டு 2.3.
ஒரு செயல்பாட்டின் பகுதி வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறியவும்

முழு செயல்பாடு அதிகரிப்பு
வேறுபாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது
மற்றும்
,முழு செயல்பாடு அதிகரிப்பின் முக்கிய பகுதி , சார்பற்ற மாறிகளின் அதிகரிப்புகளை நேரியல் சார்ந்தது
செயல்பாட்டின் மொத்த வேறுபாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது

,

எங்கே
,
மற்றும் நியமிக்கப்பட்டுள்ளது

. ஒரு செயல்பாடு தொடர்ச்சியான பகுதி வழித்தோன்றல்களைக் கொண்டிருந்தால், மொத்த வேறுபாடு உள்ளது மற்றும் சமமாக இருக்கும்
- சுயாதீன மாறிகளின் தன்னிச்சையான அதிகரிப்புகள், அவற்றின் வேறுபாடுகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

.

இதேபோல், மூன்று மாறிகளின் செயல்பாட்டிற்கு
மொத்த வேறுபாடு வழங்கப்படுகிறது
செயல்படட்டும் புள்ளியில் உள்ளது அனைத்து மாறிகள் தொடர்பாக முதல் வரிசை பகுதி வழித்தோன்றல்கள். பின்னர் திசையன் அழைக்கப்படுகிறது
சாய்வு
செயல்பாடுகள்
புள்ளியில்
.

மற்றும் நியமிக்கப்பட்டுள்ளது அல்லது
குறிப்பு 2.3.

சின்னம்ஹாமில்டன் ஆபரேட்டர் என்று அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் "நம்ப்லா" என்று உச்சரிக்கப்படுகிறது.
.

தீர்வுஎடுத்துக்காட்டு 2.4.

,
,

ஒரு கட்டத்தில் செயல்பாட்டின் சாய்வைக் கண்டறியவும்
:

,
,
.

. பகுதி வழித்தோன்றல்களைக் கண்டுபிடிப்போம்:
.

மற்றும் புள்ளியில் அவற்றின் மதிப்புகளைக் கணக்கிடுங்கள் எனவே,
வழித்தோன்றல்
செயல்பாடுகள்
புள்ளியில்
மணிக்கு
:

திசையன் திசையில்
.

விகிதத்தின் வரம்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது
, எங்கே

,

எங்கே ,செயல்பாடு என்றால் வேறுபடுத்தக்கூடியது, பின்னர் கொடுக்கப்பட்ட திசையில் உள்ள வழித்தோன்றல் சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது:
மற்றும்
- கோணங்கள், இது ஒரு திசையன்

அச்சுகள் கொண்ட வடிவங்கள்
முறையே.

எங்கே
மூன்று மாறிகளின் செயல்பாட்டின் விஷயத்தில் .

திசை வழித்தோன்றல் இதேபோல் வரையறுக்கப்படுகிறது. தொடர்புடைய சூத்திரம்- திசையன் திசையின் கொசைன்கள்
சாய்வு
எடுத்துக்காட்டு 2.5.
ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்
.

தீர்வுதிசையன் திசையில்
, எங்கே

,
,
,
.

. வெக்டரைக் கண்டுபிடிப்போம்
:

,
,
;
,
,
.

(2.1) க்கு மாற்றாக, நாங்கள் பெறுகிறோம்

.

இரண்டாம் வரிசை பகுதி வழித்தோன்றல்கள் முதல் வரிசையின் பகுதி வழித்தோன்றல்களிலிருந்து எடுக்கப்பட்ட பகுதி வழித்தோன்றல்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன:

,

,

,

பகுதி வழித்தோன்றல்கள்
,
அழைக்கப்படுகின்றன கலந்தது . கலப்பு வழித்தோன்றல்களின் மதிப்புகள் இந்த வழித்தோன்றல்கள் தொடர்ச்சியாக இருக்கும் புள்ளிகளில் சமமாக இருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டு 2.6.ஒரு செயல்பாட்டின் இரண்டாம் வரிசை பகுதி வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறியவும்
.

தீர்வு. முதல் வரிசையின் பகுதி வழித்தோன்றல்களை முதலில் கணக்கிடுவோம்:

,
.

அவற்றை மீண்டும் வேறுபடுத்தி, நாம் பெறுகிறோம்:

,
,

,
.

கடைசி வெளிப்பாடுகளை ஒப்பிடுகையில், நாம் அதைக் காண்கிறோம்
.

எடுத்துக்காட்டு 2.7.செயல்பாடு என்பதை நிரூபிக்கவும்
லாப்லேஸின் சமன்பாட்டை திருப்திப்படுத்துகிறது

.

தீர்வுஎந்த மாறியைப் பொறுத்தமட்டில் பகுதி வழித்தோன்றல் இந்த மாறியைப் பொறுத்த வரையில் இருந்து, மற்ற மாறிகள் நிலையானதாக இருந்தால், ஒரு மாறியின் செயல்பாடுகளை வேறுபடுத்துவதற்கான அனைத்து விதிகளும் எத்தனை மாறிகளின் செயல்பாடுகளின் பகுதி வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறிவதற்குப் பொருந்தும்.

,
.

,
.

.

புள்ளி
ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணுக்கு ஒத்திருக்கிறது உள்ளூர் அதிகபட்ச புள்ளி (குறைந்தபட்சம் ) செயல்பாடுகள்
, அனைத்து புள்ளிகளுக்கும் என்றால்
, வேறுபட்டது
மற்றும் அதன் போதுமான சிறிய சுற்றுப்புறத்தைச் சேர்ந்தது, சமத்துவமின்மை உள்ளது

(
).

ஒரு செயல்பாட்டின் அதிகபட்சம் அல்லது குறைந்தபட்சம் அதன் அழைக்கப்படுகிறது உச்சநிலை . செயல்பாட்டின் உச்சநிலையை அடையும் புள்ளி என்று அழைக்கப்படுகிறது செயல்பாட்டின் உச்ச புள்ளி .

தேற்றம் 2.1 (ஒரு உச்சநிலைக்கு தேவையான நிபந்தனைகள் ). புள்ளி என்றால்
செயல்பாட்டின் உச்ச புள்ளி
, அல்லது இந்த வழித்தோன்றல்களில் குறைந்தபட்சம் ஒன்று இல்லை.

இந்த நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்யும் புள்ளிகள் அழைக்கப்படுகின்றன நிலையான இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாடு முக்கியமான . எக்ஸ்ட்ரீம் புள்ளிகள் எப்போதும் நிலையாக இருக்கும், ஆனால் ஒரு நிலையான புள்ளி ஒரு தீவிர புள்ளியாக இருக்காது. ஒரு நிலையான புள்ளி ஒரு தீவிர புள்ளியாக இருக்க, உச்சநிலைக்கு போதுமான நிபந்தனைகள் பூர்த்தி செய்யப்பட வேண்டும்.

முதலில் பின்வரும் குறியீட்டை அறிமுகப்படுத்துவோம் :

,
,
,
.

தேற்றம் 2.2 (ஒரு உச்சநிலைக்கு போதுமான நிபந்தனைகள் ). இதேபோல், மூன்று மாறிகளின் செயல்பாட்டிற்கு
ஒரு புள்ளியின் சுற்றுப்புறத்தில் இருமுறை வேறுபடும்
மற்றும் காலம்
செயல்பாட்டிற்கு நிலையானது
. பிறகு:

1.என்றால்
, பின்னர் புள்ளி
செயல்பாட்டின் உச்சம், மற்றும்
அதிகபட்ச புள்ளியாக இருக்கும்
(
)மற்றும் குறைந்தபட்ச புள்ளி
(
).

2.என்றால்
, பின்னர் புள்ளியில்

தீவிரம் இல்லை.

3.என்றால்
, பின்னர் உச்சநிலை இருக்கலாம் அல்லது இல்லாமல் இருக்கலாம்.

எடுத்துக்காட்டு 2.8.தீவிர செயல்பாட்டை ஆராயுங்கள்
.

தீர்வு. இந்த வழக்கில் முதல்-வரிசை பகுதி வழித்தோன்றல்கள் எப்போதும் இருப்பதால், நிலையான (முக்கியமான) புள்ளிகளைக் கண்டறிய, நாங்கள் கணினியைத் தீர்க்கிறோம்:

,
,

எங்கே
,
,
,
. எனவே, எங்களுக்கு இரண்டு நிலையான புள்ளிகள் கிடைத்தன:
,
.

,
,
.

ஒரு புள்ளிக்கு
நாம் பெறுகிறோம்:, அதாவது, இந்த கட்டத்தில் எந்த உச்சமும் இல்லை. ஒரு புள்ளிக்கு
நாம் பெறுகிறோம்: மற்றும்
, எனவே

இந்த கட்டத்தில் இந்த செயல்பாடுஉள்ளூர் குறைந்தபட்சத்தை அடைகிறது: .

விரிவுரை 18. ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பின் பயன்பாடுகள்.

18.1. விமான புள்ளிவிவரங்களின் பகுதிகளின் கணக்கீடு.

ஒரு பிரிவில் ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பானது f(x) செயல்பாட்டின் வரைபடத்தால் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட ஒரு வளைவு ட்ரேப்சாய்டின் பகுதியைக் குறிக்கிறது என்று அறியப்படுகிறது. வரைபடம் ஆக்ஸ் அச்சுக்குக் கீழே அமைந்திருந்தால், அதாவது. f(x)< 0, то площадь имеет знак “-“, если график расположен выше оси Ох, т.е. f(x) >0, பின்னர் பகுதியில் "+" அடையாளம் உள்ளது.

மொத்த பரப்பளவைக் கண்டறிய, சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

இந்த கோடுகளின் சமன்பாடுகள் தெரிந்தால், சில கோடுகளால் வரையறுக்கப்பட்ட உருவத்தின் பரப்பளவை சில ஒருங்கிணைப்புகளைப் பயன்படுத்தி காணலாம்.

உதாரணம். y = x, y = x2, x = 2 கோடுகளால் கட்டப்பட்ட உருவத்தின் பகுதியைக் கண்டறியவும்.

தேவையான பகுதியை (படத்தில் நிழலாடியது) சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி காணலாம்:

18.2. வளைந்த துறையின் பகுதியைக் கண்டறிதல்.

ஒரு வளைவுத் துறையின் பரப்பளவைக் கண்டறிய, நாங்கள் ஒரு துருவ ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பை அறிமுகப்படுத்துகிறோம். இந்த ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் உள்ள துறையை கட்டுப்படுத்தும் வளைவின் சமன்பாடு  = f() வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது, இங்கு  என்பது வளைவில் தன்னிச்சையான புள்ளியுடன் துருவத்தை இணைக்கும் ஆரம் வெக்டரின் நீளம், மேலும்  என்பது சாய்வின் கோணம். இந்த ஆரம் திசையன் துருவ அச்சுக்கு.

சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி வளைவுத் துறையின் பகுதியைக் காணலாம்

18.3. ஒரு வளைவின் வில் நீளத்தை கணக்கிடுதல்.

y y = f(x)

S i y i

வளைவுடன் தொடர்புடைய உடைந்த கோட்டின் நீளம் என காணலாம்
.

பின்னர் வில் நீளம்
.

வடிவியல் கருத்தில் இருந்து:

அதே நேரத்தில்

பின்னர் அதைக் காட்டலாம்

அந்த.

வளைவின் சமன்பாடு அளவுருவாக கொடுக்கப்பட்டால், அளவுருவாக கொடுக்கப்பட்ட வழித்தோன்றலைக் கணக்கிடுவதற்கான விதிகளை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்கிறோம்.

,

இதில் x = (t) மற்றும் y = (t).

அமைத்தால் இடஞ்சார்ந்த வளைவு, மற்றும் x = (t), y = (t) மற்றும் z = Z(t), பின்னர்

வளைவு கொடுக்கப்பட்டிருந்தால் துருவ ஆயத்தொலைவுகள், அது

,  = f().

எடுத்துக்காட்டு: x 2 + y 2 = r 2 சமன்பாட்டால் கொடுக்கப்பட்ட வட்டத்தின் சுற்றளவைக் கண்டறியவும்.

1 வழி.சமன்பாட்டிலிருந்து y மாறியை வெளிப்படுத்துவோம்.

வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்போம்

பின்னர் S = 2r. ஒரு வட்டத்தின் சுற்றளவுக்கான நன்கு அறியப்பட்ட சூத்திரத்தைப் பெற்றோம்.

முறை 2.துருவ ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டை முன்வைத்தால், நாம் பெறுவோம்: r 2 cos 2  + r 2 sin 2  = r 2, i.e. செயல்பாடு  = f() = r,
பிறகு

18.4. உடல் தொகுதிகளின் கணக்கீடு.

அதன் இணையான பிரிவுகளின் அறியப்பட்ட பகுதிகளிலிருந்து உடலின் அளவைக் கணக்கிடுதல்.

வால்யூம் V இன் உடல் இருக்கட்டும். Q உடலின் எந்த குறுக்குவெட்டின் பகுதியும் Q = Q(x) என அழைக்கப்படுகிறது. பிரிவின் பிரிவின் x i புள்ளிகள் வழியாக குறுக்குவெட்டுகளால் உடலை "அடுக்குகளாக" பிரிப்போம் . ஏனெனில் பகிர்வின் எந்த இடைநிலைப் பிரிவிலும் Q(x) செயல்பாடு தொடர்கிறது, பிறகு அது மிகப்பெரிய மற்றும் மிகச்சிறிய மதிப்பு. அவற்றை முறையே M i மற்றும் m i என்று குறிப்போம்.

இந்தப் பெரிய மற்றும் மிகச்சிறிய பிரிவுகளில் x அச்சுக்கு இணையான ஜெனரேட்ரைஸ்களுடன் சிலிண்டர்களை உருவாக்கினால், இந்த சிலிண்டர்களின் தொகுதிகள் முறையே M i x i மற்றும் m i x i இங்கே x i = x i - x i -1 க்கு சமமாக இருக்கும்.

பகிர்வின் அனைத்து பிரிவுகளுக்கும் இதுபோன்ற கட்டுமானங்களைச் செய்த பின்னர், முறையே தொகுதிகள் சமமாக இருக்கும் சிலிண்டர்களைப் பெறுகிறோம்.
மற்றும்
.

பகிர்வு படி  பூஜ்ஜியமாக இருப்பதால், இந்த தொகைகளுக்கு பொதுவான வரம்பு உள்ளது:

எனவே, உடலின் அளவை சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி காணலாம்:

இந்த சூத்திரத்தின் தீமை என்னவென்றால், அளவைக் கண்டுபிடிக்க நீங்கள் Q(x) செயல்பாட்டை அறிந்து கொள்ள வேண்டும், இது சிக்கலான உடல்களுக்கு மிகவும் சிக்கலானது.

எடுத்துக்காட்டு: R ஆரம் கொண்ட கோளத்தின் அளவைக் கண்டறியவும்.

IN குறுக்கு பிரிவுகள்பந்து y மாறி ஆரம் கொண்ட வட்டங்களை உருவாக்குகிறது. தற்போதைய x ஒருங்கிணைப்பைப் பொறுத்து, இந்த ஆரம் சூத்திரத்தால் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது
.

பின்னர் குறுக்குவெட்டு பகுதி செயல்பாடு வடிவம் உள்ளது: Q(x) =
.

பந்தின் அளவைப் பெறுகிறோம்:

எடுத்துக்காட்டு:உயரம் H மற்றும் அடிப்படை பகுதி S உடன் தன்னிச்சையான பிரமிட்டின் கன அளவைக் கண்டறியவும்.

பிரமிடு உயரத்திற்கு செங்குத்தாக விமானங்களால் வெட்டப்பட்டால், குறுக்குவெட்டில் அடித்தளத்திற்கு ஒத்த புள்ளிவிவரங்களைப் பெறுகிறோம். இந்த உருவங்களின் ஒற்றுமை குணகம் x/H விகிதத்திற்கு சமமாக இருக்கும், இங்கு x என்பது பிரிவு விமானத்திலிருந்து பிரமிட்டின் மேல் உள்ள தூரம்.

ஒத்த உருவங்களின் பகுதிகளின் விகிதம் ஒற்றுமை குணகம் சதுரத்திற்கு சமம் என்று வடிவவியலில் இருந்து அறியப்படுகிறது, அதாவது.

இங்கிருந்து நாம் குறுக்கு வெட்டு பகுதிகளின் செயல்பாட்டைப் பெறுகிறோம்:

பிரமிட்டின் அளவைக் கண்டறிதல்:

18.5 சுழற்சி உடல்களின் அளவு.

வளைவைக் கவனியுங்கள் சமன்பாடு மூலம் கொடுக்கப்பட்டது y = f(x). இடைவெளியில் f(x) சார்பு தொடர்ச்சியாக இருப்பதாக வைத்துக்கொள்வோம். a மற்றும் b தளங்களைக் கொண்ட தொடர்புடைய வளைவு ட்ரேப்சாய்டு ஆக்ஸ் அச்சில் சுழற்றப்பட்டால், நாம் அழைக்கப்படுவதைப் பெறுகிறோம் புரட்சியின் உடல்.

y = f(x)

ஏனெனில் விமானத்தின் மூலம் உடலின் ஒவ்வொரு பகுதியும் x = const என்பது ஆரம் கொண்ட ஒரு வட்டம்
, மேலே பெறப்பட்ட சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி சுழற்சியின் உடலின் அளவை எளிதாகக் கண்டறியலாம்:

18.6. புரட்சியின் உடலின் மேற்பரப்பு பகுதி.

எம் ஐ பி

வரையறை: சுழற்சியின் மேற்பரப்பு பகுதிகொடுக்கப்பட்ட அச்சைச் சுற்றியுள்ள வளைவு AB என்பது வளைவு AB இல் பொறிக்கப்பட்ட உடைந்த கோடுகளின் சுழற்சியின் பரப்புகளின் பரப்புகளின் எல்லையானது, இந்த உடைந்த கோடுகளின் இணைப்புகளின் நீளங்களில் மிகப்பெரியது பூஜ்ஜியமாக இருக்கும் போது இருக்கும்.

ஆர்க் AB ஐ n பகுதிகளாக M 0, M 1, M 2, ..., M n புள்ளிகளுடன் பிரிப்போம். இதன் விளைவாக உடைந்த கோட்டின் முனைகளின் ஆய ஆயத்தொலைவுகள் x i மற்றும் y i . அச்சில் உடைந்த கோட்டைச் சுழற்றும்போது, ​​துண்டிக்கப்பட்ட கூம்புகளின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்புகளைக் கொண்ட ஒரு மேற்பரப்பைப் பெறுகிறோம், அதன் பரப்பளவு P i க்கு சமம். சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி இந்தப் பகுதியைக் கண்டறியலாம்:

இங்கே S i என்பது ஒவ்வொரு நாண்களின் நீளம்.

நாங்கள் லாக்ரேஞ்ச் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம் (பார்க்க. லக்ரேஞ்ச் தேற்றம்) அணுகுமுறைக்கு
.