தலைகீழ் விகிதாசாரம். நேரடி விகிதாசாரம்

முடித்தவர்: செப்காசோவ் ரோடியன்

6ம் வகுப்பு மாணவி

MBOU "மேல்நிலைப் பள்ளி எண். 53"

பர்னால்

தலைவர்: புலிகினா ஓ.ஜி.

கணித ஆசிரியர்

MBOU "மேல்நிலைப் பள்ளி எண். 53"

பர்னால்

அறிமுகம். 1

உறவுகள் மற்றும் விகிதாச்சாரங்கள். 3

நேரடி மற்றும் தலைகீழ் விகிதாசார சார்புகள். 4

நேரடி மற்றும் தலைகீழ் விகிதாச்சாரத்தின் பயன்பாடு 6

பல்வேறு சிக்கல்களை தீர்க்கும் போது சார்புகள்.

முடிவுரை. 11

இலக்கியம். 12

அறிமுகம்.

விகிதாச்சார என்ற சொல் லத்தீன் வார்த்தையான விகிதாச்சாரத்திலிருந்து வந்தது, இது பொதுவாக விகிதாசாரம், பகுதிகளின் சீரமைப்பு (ஒருவருக்கொருவர் ஒரு குறிப்பிட்ட விகிதம்) என்று பொருள்படும். பண்டைய காலங்களில், விகிதாச்சாரக் கோட்பாடு பித்தகோரியர்களால் மிகவும் மதிக்கப்பட்டது. விகிதாச்சாரத்துடன் அவர்கள் இயற்கையில் ஒழுங்கு மற்றும் அழகு பற்றிய எண்ணங்களை இணைத்தனர், இசையில் மெய் நாண்கள் மற்றும் பிரபஞ்சத்தில் இணக்கம். அவர்கள் சில வகையான விகிதாச்சாரங்களை இசை அல்லது ஹார்மோனிக் என்று அழைத்தனர்.

பண்டைய காலங்களில் கூட, இயற்கையில் உள்ள அனைத்து நிகழ்வுகளும் ஒன்றோடொன்று இணைக்கப்பட்டுள்ளன, எல்லாமே தொடர்ச்சியான இயக்கம், மாற்றம், மற்றும் எண்களில் வெளிப்படுத்தப்படும் போது, ​​அற்புதமான வடிவங்களை வெளிப்படுத்துகிறது என்பதை மனிதன் கண்டுபிடித்தான்.

பித்தகோரியர்களும் அவர்களைப் பின்பற்றுபவர்களும் உலகில் உள்ள அனைத்திற்கும் ஒரு எண்ணியல் வெளிப்பாட்டைத் தேடினர். அவர்கள் கண்டுபிடித்தனர்; கணித விகிதாச்சாரங்கள் இசைக்கு அடிகோலுகின்றன (சுருதிக்கு சரத்தின் நீளத்தின் விகிதம், இடைவெளிகளுக்கு இடையேயான உறவு, ஒரு ஹார்மோனிக் ஒலியைக் கொடுக்கும் நாண்களில் உள்ள ஒலிகளின் விகிதம்). பித்தகோரியர்கள் உலகின் ஒற்றுமையின் கருத்தை கணித ரீதியாக உறுதிப்படுத்த முயன்றனர்; வடிவியல் வடிவங்கள். பித்தகோரியர்கள் அழகுக்கான கணித அடிப்படையை நாடினர்.

பித்தகோரியர்களைப் பின்பற்றி, இடைக்கால விஞ்ஞானி அகஸ்டின் அழகை "எண் சமத்துவம்" என்று அழைத்தார். கல்வியியல் தத்துவஞானி போனவென்ச்சர் எழுதினார்: "விகிதாசாரம் இல்லாமல் அழகும் இன்பமும் இல்லை, விகிதாசாரமானது முதன்மையாக எண்களில் இருப்பது அவசியம்." லியோனார்டோ டா வின்சி ஓவியம் பற்றிய தனது கட்டுரையில் கலையில் விகிதாச்சாரத்தைப் பயன்படுத்துவதைப் பற்றி எழுதினார்: "ஓவிஞர் எண் விதியின் வடிவத்தில் விஞ்ஞானி அறிந்த இயற்கையில் மறைந்திருக்கும் அதே வடிவங்களை விகிதாச்சாரத்தின் வடிவத்தில் உள்ளடக்குகிறார்."

பண்டைய காலங்களிலும் இடைக்காலத்திலும் பல்வேறு பிரச்சினைகளை தீர்க்க விகிதாச்சாரங்கள் பயன்படுத்தப்பட்டன. சில வகையான சிக்கல்கள் இப்போது விகிதாச்சாரத்தைப் பயன்படுத்தி எளிதாகவும் விரைவாகவும் தீர்க்கப்படுகின்றன. விகிதாச்சாரமும் விகிதாசாரமும் கணிதத்தில் மட்டுமல்ல, கட்டிடக்கலை மற்றும் கலையிலும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. கட்டிடக்கலை மற்றும் கலையின் விகிதாச்சாரம் என்பது அளவுகளுக்கு இடையே சில உறவுகளைப் பேணுவதாகும் வெவ்வேறு பகுதிகள்கட்டிடம், உருவம், சிற்பம் அல்லது பிற கலை வேலை. இத்தகைய சந்தர்ப்பங்களில் விகிதாச்சாரமானது சரியான மற்றும் அழகான கட்டுமானம் மற்றும் சித்தரிப்புக்கான நிபந்தனையாகும்

எனது வேலையில், நேரடி மற்றும் தலைகீழ் விகிதாசார உறவுகளைப் பயன்படுத்துவதைக் கருத்தில் கொள்ள முயற்சித்தேன் பல்வேறு பகுதிகள்சுற்றியுள்ள வாழ்க்கை, பணிகள் மூலம் கல்விப் பாடங்களுடனான தொடர்பைக் கண்டறியவும்.

உறவுகள் மற்றும் விகிதாச்சாரங்கள்.

இரண்டு எண்களின் எண்ணிக்கை அழைக்கப்படுகிறது அணுகுமுறைஇவை எண்கள்.

அணுகுமுறை காட்டுகிறது, முதல் எண் எத்தனை முறை இரண்டாவது விடஅல்லது முதல் எண் இரண்டாவது எந்தப் பகுதி.

பணி.

2.4 டன் பேரிக்காய் மற்றும் 3.6 டன் ஆப்பிள்கள் கடைக்கு கொண்டு வரப்பட்டன. கொண்டு வரப்படும் பழங்களில் பேரிக்காய் எந்த விகிதத்தில் உள்ளது?

தீர்வு . அவர்கள் எவ்வளவு பழங்களைக் கொண்டு வந்தார்கள் என்பதைக் கண்டுபிடிப்போம்: 2.4+3.6=6(t). கொண்டு வரப்பட்ட பழங்களில் பேரீச்சம்பழம் எந்த பகுதி என்பதைக் கண்டறிய, நாம் 2.4: 6= என்ற விகிதத்தை உருவாக்குகிறோம். பதிலையும் படிவத்தில் எழுதலாம் தசமஅல்லது சதவீதமாக: = 0.4 = 40%.

பரஸ்பரம் தலைகீழ்அழைக்கப்பட்டது எண்கள், அதன் தயாரிப்புகள் 1 க்கு சமம். எனவே உறவின் தலைகீழ் உறவு என்று அழைக்கப்படுகிறது.

இரண்டு சம விகிதங்களைக் கவனியுங்கள்: 4.5:3 மற்றும் 6:4. அவற்றுக்கிடையே சமமான அடையாளத்தை வைத்து விகிதாச்சாரத்தைப் பெறுவோம்: 4.5:3=6:4.

விகிதம்இரண்டு உறவுகளின் சமத்துவம்: a : b =c :d அல்லது = , a மற்றும் d எங்கே விகிதத்தின் தீவிர விதிமுறைகள், c மற்றும் b - சராசரி உறுப்பினர்கள்(விகிதத்தின் அனைத்து விதிமுறைகளும் பூஜ்ஜியத்திலிருந்து வேறுபட்டவை).

விகிதத்தின் அடிப்படை சொத்து:

சரியான விகிதத்தில், தீவிர சொற்களின் பெருக்கல் நடுத்தர சொற்களின் பெருக்கத்திற்கு சமம்.

பெருக்கத்தின் பரிமாற்றப் பண்புகளைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம், சரியான விகிதத்தில் தீவிர சொற்கள் அல்லது நடுத்தர சொற்களை மாற்றுவது சாத்தியம் என்பதைக் காண்கிறோம். இதன் விளைவாக வரும் விகிதாச்சாரமும் சரியாக இருக்கும்.

விகிதாச்சாரத்தின் அடிப்படைச் சொத்தைப் பயன்படுத்தி, மற்ற எல்லாச் சொற்களும் தெரிந்திருந்தால் அதன் அறியப்படாத சொல்லைக் கண்டறியலாம்.

விகிதாச்சாரத்தின் அறியப்படாத தீவிரச் சொல்லைக் கண்டறிய, நீங்கள் சராசரி சொற்களைப் பெருக்கி, தெரிந்த தீவிரச் சொல்லால் வகுக்க வேண்டும். x : b = c : d , x =

தெரியாததைக் கண்டுபிடிக்க சராசரி உறுப்பினர்விகிதாச்சாரத்தில், நீங்கள் தீவிர சொற்களைப் பெருக்க வேண்டும் மற்றும் அறியப்பட்ட நடுத்தர காலத்தால் வகுக்க வேண்டும். a : b =x : d , x = .

நேரடி மற்றும் தலைகீழ் விகிதாசார உறவுகள்.

இரண்டு வெவ்வேறு அளவுகளின் மதிப்புகள் ஒன்றையொன்று சார்ந்து இருக்கலாம். எனவே, ஒரு சதுரத்தின் பரப்பளவு அதன் பக்கத்தின் நீளத்தைப் பொறுத்தது, மற்றும் நேர்மாறாக - ஒரு சதுரத்தின் பக்கத்தின் நீளம் அதன் பகுதியைப் பொறுத்தது.

அதிகரித்தால், இரண்டு அளவுகள் விகிதாசாரமாக இருக்கும் என்று கூறப்படுகிறது

(குறைவு) அவற்றில் ஒன்று பல முறை, மற்றொன்று அதே எண்ணிக்கையில் அதிகரிக்கிறது (குறைகிறது).

இரண்டு அளவுகள் நேரடியாக விகிதாசாரமாக இருந்தால், இந்த அளவுகளின் தொடர்புடைய மதிப்புகளின் விகிதங்கள் சமமாக இருக்கும்.

உதாரணம் நேரடி விகிதாசார சார்பு .

ஒரு எரிவாயு நிலையத்தில் 2 லிட்டர் பெட்ரோல் 1.6 கிலோ எடை கொண்டது. எவ்வளவு எடை இருக்கும் 5 லிட்டர் பெட்ரோல்?

தீர்வு:

மண்ணெண்ணெய் எடை அதன் தொகுதிக்கு விகிதாசாரமாகும்.

2லி - 1.6 கிலோ

5லி - x கிலோ

2:5=1.6:x,

x=5*1.6 x=4

பதில்: 4 கிலோ.

இங்கே எடை மற்றும் தொகுதி விகிதம் மாறாமல் உள்ளது.

இரண்டு அளவுகள் நேர்மாறான விகிதாசாரம் என்று அழைக்கப்படுகின்றன, அவற்றில் ஒன்று பல முறை அதிகரிக்கும் போது (குறைந்தால்), மற்றொன்று அதே அளவு குறைகிறது (அதிகரித்தால்).

அளவுகள் நேர்மாறான விகிதாசாரமாக இருந்தால், ஒரு அளவின் மதிப்புகளின் விகிதம் மற்றொரு அளவின் தொடர்புடைய மதிப்புகளின் தலைகீழ் விகிதத்திற்கு சமமாக இருக்கும்.

பி உதாரணம்நேர்மாறான விகிதாசார உறவு.

இரண்டு செவ்வகங்களும் ஒரே பகுதியைக் கொண்டுள்ளன. முதல் செவ்வகத்தின் நீளம் 3.6 மீ மற்றும் அகலம் 2.4 மீ. இரண்டாவது செவ்வகத்தின் நீளம் 4.8 மீ.

தீர்வு:

1 செவ்வகம் 3.6 மீ 2.4 மீ

2 செவ்வகம் 4.8 மீ x மீ

3.6 மீ x மீ

4.8 மீ 2.4 மீ

x = 3.6*2.4 = 1.8 மீ

பதில்: 1.8 மீ.

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, விகிதாச்சார அளவுகள் சம்பந்தப்பட்ட சிக்கல்களை விகிதாச்சாரத்தைப் பயன்படுத்தி தீர்க்க முடியும்.

ஒவ்வொரு இரண்டு அளவுகளும் நேரடியாக விகிதாசாரமாகவோ அல்லது நேர்மாறாகவோ இல்லை. உதாரணமாக, ஒரு குழந்தையின் வயது அதிகரிக்கும் போது உயரம் அதிகரிக்கிறது, ஆனால் இந்த மதிப்புகள் விகிதாசாரமாக இல்லை, ஏனெனில் வயது இரட்டிப்பாகும் போது, ​​குழந்தையின் உயரம் இரட்டிப்பாகாது.

நடைமுறை பயன்பாடுநேரடி மற்றும் தலைகீழ் விகிதாசார சார்பு.

பணி எண் 1

IN பள்ளி நூலகம் 210 கணித பாடப்புத்தகங்கள், இது முழு நூலக சேகரிப்பில் 15% ஆகும். நூலக சேகரிப்பில் எத்தனை புத்தகங்கள் உள்ளன?

தீர்வு:

மொத்த பாடப்புத்தகங்கள் - ? - 100%

கணிதவியலாளர்கள் - 210 -15%

15% 210 கல்வி.

X = 100* 210 = 1400 பாடப்புத்தகங்கள்

100% x கணக்கு. 15

பதில்: 1400 பாடப்புத்தகங்கள்.

பிரச்சனை எண் 2

ஒரு சைக்கிள் ஓட்டுபவர் 3 மணி நேரத்தில் 75 கி.மீ. ஒரு சைக்கிள் ஓட்டுபவர் அதே வேகத்தில் 125 கிமீ பயணிக்க எவ்வளவு நேரம் ஆகும்?

தீர்வு:

3 மணி - 75 கி.மீ

எச் - 125 கி.மீ

நேரமும் தூரமும் நேரடியாக விகிதாசார அளவுகளாகும்

3: x = 75: 125,

x=
,

x=5.

பதில்: 5 மணி நேரத்தில்.

பணி எண். 3

ஒரே மாதிரியான 8 குழாய்கள் ஒரு குளத்தை 25 நிமிடங்களில் நிரப்புகின்றன. அத்தகைய 10 குழாய்கள் கொண்ட ஒரு குளத்தை நிரப்ப எத்தனை நிமிடங்கள் ஆகும்?

தீர்வு:

8 குழாய்கள் - 25 நிமிடங்கள்

10 குழாய்கள் - ? நிமிடங்கள்

குழாய்களின் எண்ணிக்கை நேரத்திற்கு நேர்மாறான விகிதாசாரமாகும், எனவே

8:10 = x:25,

x =

x = 20

பதில்: 20 நிமிடங்களில்.

பிரச்சனை எண். 4

8 பணியாளர்கள் கொண்ட குழு 15 நாட்களில் பணியை முடிக்கிறது. எத்தனை தொழிலாளர்கள் ஒரே உற்பத்தித்திறனில் பணிபுரியும் போது 10 நாட்களில் பணியை முடிக்க முடியும்?

தீர்வு:

8 வேலை நாட்கள் - 15 நாட்கள்

தொழிலாளர்கள் - 10 நாட்கள்

தொழிலாளர்களின் எண்ணிக்கை நாட்களின் எண்ணிக்கைக்கு நேர்மாறான விகிதத்தில் உள்ளது

x: 8 = 15: 10,

x=
,

x=12.

பதில்: 12 தொழிலாளர்கள்.

பிரச்சனை எண் 5

5.6 கிலோ தக்காளியில் இருந்து, 2 லிட்டர் சாஸ் பெறப்படுகிறது. 54 கிலோ தக்காளியில் இருந்து எத்தனை லிட்டர் சாஸ் கிடைக்கும்?

தீர்வு:

5.6 கிலோ - 2 லி

54 கிலோ - ? எல்

தக்காளியின் கிலோகிராம் எண்ணிக்கை, பெறப்பட்ட சாஸ் அளவுக்கு நேரடியாக விகிதாசாரமாக இருக்கும்

5.6:54 = 2:x,

x =
,

x = 19.

பதில்: 19 எல்.

பிரச்சனை எண் 6

பள்ளி கட்டிடத்தை சூடாக்க, நுகர்வு விகிதத்தில் 180 நாட்களுக்கு நிலக்கரி சேமிக்கப்பட்டது

ஒரு நாளைக்கு 0.6 டன் நிலக்கரி. தினமும் 0.5 டன் செலவழித்தால் இந்த சப்ளை எத்தனை நாட்களுக்கு நீடிக்கும்?

தீர்வு:

நாட்களின் எண்ணிக்கை

நுகர்வு விகிதம்

நாட்களின் எண்ணிக்கை நிலக்கரி நுகர்வு விகிதத்திற்கு நேர்மாறான விகிதத்தில் உள்ளது

180: x = 0.5: 0.6,

x = 180*0.6:0.5,

x = 216.

பதில்: 216 நாட்கள்.

பிரச்சனை எண் 7

இரும்புத் தாதுவில், ஒவ்வொரு 7 பாகத்திற்கும் 3 பங்கு அசுத்தங்கள் உள்ளன. 73.5 டன் இரும்பு உள்ள தாதுவில் எத்தனை டன் அசுத்தங்கள் உள்ளன?

தீர்வு:

பகுதிகளின் எண்ணிக்கை

எடை

இரும்பு

73,5

அசுத்தங்கள்

பகுதிகளின் எண்ணிக்கை வெகுஜனத்திற்கு நேரடியாக விகிதாசாரமாகும்

7: 73.5 = 3: x.

x = 73.5 * 3:7,

x = 31.5.

பதில்: 31.5 டி

பிரச்சனை எண் 8

35 லிட்டர் பெட்ரோலைப் பயன்படுத்தி கார் 500 கி.மீ. 420 கிமீ பயணிக்க எத்தனை லிட்டர் பெட்ரோல் தேவைப்படும்?

தீர்வு:

தூரம், கி.மீ

பெட்ரோல், எல்

தூரம் பெட்ரோல் நுகர்வுக்கு நேரடியாக விகிதாசாரமாகும், எனவே

500:35 = 420:x,

x = 35*420:500,

x = 29.4.

பதில்: 29.4 எல்

பிரச்சனை எண் 9

2 மணி நேரத்தில் 12 குரூசியன் கெண்டை மீன் பிடித்தோம். 3 மணி நேரத்தில் எத்தனை குரூசியன் கெண்டை மீன் பிடிக்கப்படும்?

தீர்வு:

சிலுவை கெண்டைகளின் எண்ணிக்கை நேரத்தை சார்ந்து இல்லை. இந்த அளவுகள் நேரடியாக விகிதாசாரமாகவோ அல்லது நேர்மாறான விகிதாசாரமாகவோ இல்லை.

பதில்: பதில் இல்லை.

பிரச்சனை எண் 10

ஒரு சுரங்க நிறுவனம் ஒன்றுக்கு 12 ஆயிரம் ரூபிள் விலையில் ஒரு குறிப்பிட்ட தொகைக்கு 5 புதிய இயந்திரங்களை வாங்க வேண்டும். ஒரு இயந்திரத்தின் விலை 15 ஆயிரம் ரூபிள் ஆக இருந்தால், இந்த இயந்திரங்களில் எத்தனை இயந்திரங்களை ஒரு நிறுவனம் வாங்க முடியும்?

தீர்வு:

கார்களின் எண்ணிக்கை, பிசிக்கள்.

விலை, ஆயிரம் ரூபிள்

கார்களின் எண்ணிக்கை விலைக்கு நேர்மாறான விகிதத்தில் உள்ளது

5: x = 15: 12,

x=5*12:15,

x=4.

பதில்: 4 கார்கள்.

பிரச்சனை எண் 11

நகரத்தில் N சதுர P இல் ஒரு கடை உள்ளது, அதன் உரிமையாளர் மிகவும் கண்டிப்பானவர், தாமதத்திற்கு அவர் ஒரு நாளைக்கு 1 தாமதத்திற்கு சம்பளத்தில் இருந்து 70 ரூபிள் கழிக்கிறார். இரண்டு பெண்கள் யூலியா மற்றும் நடாஷா ஒரு பிரிவில் வேலை செய்கிறார்கள். அவர்களின் ஊதியங்கள்வேலை நாட்களின் எண்ணிக்கையைப் பொறுத்தது. யூலியா 20 நாட்களில் 4,100 ரூபிள் பெற்றார், மேலும் நடாஷா 21 நாட்களில் அதிகமாகப் பெற்றிருக்க வேண்டும், ஆனால் அவர் தொடர்ச்சியாக 3 நாட்கள் தாமதமாக வந்தார். நடாஷா எத்தனை ரூபிள் பெறுவார்?

தீர்வு:

வேலை நாட்கள்

சம்பளம், தேய்த்தல்.

ஜூலியா

4100

நடாஷா

சம்பளம் வேலை நாட்களின் எண்ணிக்கைக்கு நேரடியாக விகிதாசாரமாகும், எனவே

20:21 = 4100:x,

x=4305.

4305 ரப். நடாஷா அதைப் பெற்றிருக்க வேண்டும்.

4305 - 3 * 70 = 4095 (ரூப்.)

பதில்: நடாஷா 4095 ரூபிள் பெறுவார்.

பிரச்சனை எண் 12

வரைபடத்தில் இரண்டு நகரங்களுக்கு இடையே உள்ள தூரம் 6 செ.மீ., வரைபட அளவுகோல் 1: 250000 எனில் இந்த நகரங்களுக்கு இடையே உள்ள தூரத்தைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு:

நிலத்திலுள்ள நகரங்களுக்கிடையேயான தூரத்தை x (சென்டிமீட்டர்களில்) மூலம் குறிப்போம் மற்றும் வரைபடத்தின் அளவுகோலுக்கு சமமாக இருக்கும் வரைபடத்தில் உள்ள பிரிவின் நீளத்தின் விகிதத்தை தரையில் உள்ள தூரத்திற்குக் கண்டறியலாம்: 6: x = 1 : 250000,

x = 6*250000,

x = 1500000.

1500000 செ.மீ = 15 கி.மீ

பதில்: 15 கி.மீ.

பிரச்சனை எண் 13

4000 கிராம் கரைசலில் 80 கிராம் உப்பு உள்ளது. இந்த கரைசலில் உப்பின் செறிவு என்ன?

தீர்வு:

எடை, ஜி

செறிவு, %

தீர்வு

4000

உப்பு

4000: 80 = 100: x,

x =
,

x = 2.

பதில்: உப்பு செறிவு 2% ஆகும்.

பிரச்சனை எண் 14

வங்கி ஆண்டுக்கு 10% கடன் வழங்குகிறது. நீங்கள் 50,000 ரூபிள் கடன் பெற்றுள்ளீர்கள். ஒரு வருடத்தில் நீங்கள் எவ்வளவு வங்கிக்குத் திரும்ப வேண்டும்?

தீர்வு:

50,000 ரூபிள்.

100%

x தேய்த்தல்.

50000: x = 100: 10,

x= 50000*10:100,

x=5000.

5000 ரூபிள். 10% ஆகும்.

50,000 + 5000=55,000 (ரூப்.)

பதில்: ஒரு வருடத்தில் வங்கி 55,000 ரூபிள் திரும்பப் பெறும்.

முடிவுரை.

கொடுக்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகளிலிருந்து நாம் பார்க்க முடியும், நேரடி மற்றும் தலைகீழ் விகிதாசார உறவுகள் வாழ்க்கையின் பல்வேறு பகுதிகளில் பொருந்தும்:

பொருளாதாரம்,

வர்த்தகம்,

உற்பத்தி மற்றும் தொழில்துறையில்,

பள்ளி வாழ்க்கை,

சமையல்,

கட்டுமானம் மற்றும் கட்டிடக்கலை.

விளையாட்டு,

கால்நடை வளர்ப்பு,

நிலப்பரப்புகள்,

இயற்பியலாளர்கள்,

வேதியியல், முதலியன

ரஷ்ய மொழியில் நேரடி மற்றும் நிறுவும் பழமொழிகள் மற்றும் சொற்கள் உள்ளன தலைகீழ் உறவு:

அது திரும்பி வரும்போது, ​​​​அது பதிலளிக்கும்.

ஸ்டம்ப் உயர்ந்தால், நிழல் அதிகமாக இருக்கும்.

அதிகமான மக்கள், குறைந்த ஆக்ஸிஜன்.

அது தயாராக உள்ளது, ஆனால் முட்டாள்.

அதில் கணிதமும் ஒன்று பண்டைய அறிவியல், இது மனிதகுலத்தின் தேவைகள் மற்றும் தேவைகளின் அடிப்படையில் எழுந்தது. உருவான வரலாற்றைக் கடந்து சென்றது பண்டைய கிரீஸ், இது இன்னும் பொருத்தமானதாகவும் அவசியமாகவும் உள்ளது அன்றாட வாழ்க்கைஎந்த நபர். நேரடி மற்றும் தலைகீழ் விகிதாச்சாரத்தின் கருத்து பண்டைய காலங்களிலிருந்து அறியப்படுகிறது, ஏனெனில் எந்தவொரு சிற்பத்தின் கட்டுமானம் அல்லது உருவாக்கத்தின் போது கட்டிடக் கலைஞர்களை ஊக்குவிக்கும் விகிதாச்சார விதிகள்.

விகிதாச்சாரத்தைப் பற்றிய அறிவு மனித வாழ்க்கை மற்றும் செயல்பாட்டின் அனைத்துத் துறைகளிலும் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது - ஓவியம் (நிலப்பரப்புகள், ஸ்டில் லைஃப்கள், உருவப்படங்கள் போன்றவை) போது அது இல்லாமல் செய்ய முடியாது, இது கட்டிடக் கலைஞர்கள் மற்றும் பொறியியலாளர்களிடையே பரவலாக உள்ளது - பொதுவாக, இது கடினம். விகிதாச்சாரங்கள் மற்றும் அவற்றின் உறவுகளைப் பற்றிய அறிவைப் பயன்படுத்தாமல் எதையும் உருவாக்குவதை கற்பனை செய்து பாருங்கள்.

இலக்கியம்.

கணிதம்-6, என்.யா. விலென்கின் மற்றும் பலர்.

அல்ஜீப்ரா -7, ஜி.வி. டோரோஃபீவ் மற்றும் பலர்.

கணிதம்-9, GIA-9, F.F ஆல் திருத்தப்பட்டது. லைசென்கோ, எஸ்.யு. குலபுகோவா

கணிதம்-6, டிடாக்டிக் பொருட்கள், பி.வி. சுல்கோவ், ஏ.பி. யுடினோவ்

4-5 ஆம் வகுப்புகளுக்கான கணிதத்தில் உள்ள சிக்கல்கள், I.V. பரனோவா மற்றும் பலர்., எம். "ப்ரோஸ்வெஷ்செனி" 1988

கணிதம் தரங்கள் 5-6 இல் உள்ள சிக்கல்கள் மற்றும் எடுத்துக்காட்டுகளின் தொகுப்பு, என்.ஏ. தெரேஷின்,

டி.என். தெரேஷினா, எம். “அக்வாரியம்” 1997

விகிதாசாரம் என்பது இரண்டு அளவுகளுக்கு இடையிலான உறவாகும், அதில் ஒன்றில் மாற்றம் ஏற்பட்டால் மற்றொன்றில் அதே அளவு மாற்றம் ஏற்படுகிறது.

விகிதாச்சாரமானது நேரடியாகவோ அல்லது தலைகீழாகவோ இருக்கலாம். IN இந்த பாடம்அவை ஒவ்வொன்றையும் நாம் பார்ப்போம்.

நேரடி விகிதாசாரம்

கார் மணிக்கு 50 கிமீ வேகத்தில் செல்கிறது என்று வைத்துக் கொள்வோம். வேகம் என்பது ஒரு யூனிட் நேரத்திற்கு (1 மணிநேரம், 1 நிமிடம் அல்லது 1 வினாடி) பயணிக்கும் தூரம் என்பதை நாம் நினைவில் கொள்கிறோம். எங்கள் எடுத்துக்காட்டில், கார் மணிக்கு 50 கிமீ வேகத்தில் நகர்கிறது, அதாவது ஒரு மணி நேரத்தில் அது ஐம்பது கிலோமீட்டர் தூரத்தை கடக்கும்.

1 மணி நேரத்தில் கார் பயணித்த தூரத்தை படத்தில் சித்தரிப்போம்.

அதே வேகத்தில் ஐம்பது கிலோமீட்டர் வேகத்தில் இன்னும் ஒரு மணி நேரம் கார் ஓடட்டும். அப்போது அந்த கார் 100 கி.மீ பயணிக்கும் என்று தெரிகிறது

எடுத்துக்காட்டில் இருந்து பார்க்க முடிந்தால், நேரத்தை இரட்டிப்பாக்குவது, அதே அளவு, அதாவது இரண்டு முறை பயணித்த தூரம் அதிகரிக்க வழிவகுத்தது.

நேரம் மற்றும் தூரம் போன்ற அளவுகள் நேரடியாக விகிதாசாரமாக அழைக்கப்படுகின்றன. அத்தகைய அளவுகளுக்கு இடையிலான உறவு அழைக்கப்படுகிறது நேரடி விகிதாசாரம்.

நேரடி விகிதாசாரம் என்பது இரண்டு அளவுகளுக்கு இடையிலான உறவாகும், அதில் ஒன்றில் அதிகரிப்பு மற்றொன்றில் அதே அளவு அதிகரிக்கும்.

மற்றும் நேர்மாறாக, ஒரு அளவு குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையில் குறைந்தால், மற்றொன்று அதே எண்ணிக்கையில் குறைகிறது.

2 மணி நேரத்தில் 100 கிமீ காரை ஓட்டுவதுதான் அசல் திட்டம் என்று வைத்துக்கொள்வோம், ஆனால் 50 கிமீ ஓட்டிவிட்டு டிரைவர் ஓய்வெடுக்க முடிவு செய்தார். தூரத்தை பாதியாகக் குறைப்பதன் மூலம், நேரம் அதே அளவு குறையும் என்று மாறிவிடும். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், பயணித்த தூரத்தை குறைப்பது அதே அளவு நேரத்தை குறைக்க வழிவகுக்கும்.

நேரடியாக விகிதாசார அளவுகளின் ஒரு சுவாரஸ்யமான அம்சம் என்னவென்றால், அவற்றின் விகிதம் எப்போதும் நிலையானது. அதாவது, நேரடியாக விகிதாசார அளவுகளின் மதிப்புகள் மாறும்போது, ​​அவற்றின் விகிதம் மாறாமல் இருக்கும்.

கருத்தில் கொள்ளப்பட்ட எடுத்துக்காட்டில், தூரம் ஆரம்பத்தில் 50 கிமீ மற்றும் நேரம் ஒரு மணி நேரம். தூரத்திற்கும் நேரத்திற்கும் இடையிலான விகிதம் எண் 50 ஆகும்.

ஆனால் பயண நேரத்தை 2 மடங்கு அதிகரித்து, இரண்டு மணி நேரத்திற்கு சமமாக மாற்றினோம். இதன் விளைவாக, பயணித்த தூரம் அதே அளவு அதிகரித்தது, அதாவது, அது 100 கி.மீ. நூறு கிலோமீட்டர் முதல் இரண்டு மணி நேரம் வரையிலான விகிதம் மீண்டும் எண் 50 ஆகும்

எண் 50 அழைக்கப்படுகிறது நேரடி விகிதாச்சாரத்தின் குணகம். ஒரு மணி நேரத்திற்கு எவ்வளவு தூரம் நகர்கிறது என்பதை இது காட்டுகிறது. இந்த வழக்கில், குணகம் இயக்க வேகத்தின் பாத்திரத்தை வகிக்கிறது, ஏனெனில் வேகம் என்பது நேரத்திற்கு பயணித்த தூரத்தின் விகிதமாகும்.

விகிதாச்சாரத்தை நேரடியாக விகிதாசார அளவுகளில் இருந்து உருவாக்கலாம். எடுத்துக்காட்டாக, விகிதங்கள் விகிதத்தை உருவாக்குகின்றன:

ஐம்பது கிலோமீட்டர் என்பது ஒரு மணிநேரம், நூறு கிலோமீட்டர் என்பது இரண்டு மணிநேரம்.

எடுத்துக்காட்டு 2. வாங்கிய பொருட்களின் விலை மற்றும் அளவு நேரடியாக விகிதாசாரமாகும். 1 கிலோ இனிப்புகள் 30 ரூபிள் என்றால், அதே இனிப்புகளின் 2 கிலோவுக்கு 60 ரூபிள், 3 கிலோ 90 ரூபிள் செலவாகும். வாங்கிய பொருளின் விலை அதிகரிக்கும் போது, ​​அதன் அளவும் அதே அளவு அதிகரிக்கிறது.

ஒரு பொருளின் விலையும் அதன் அளவும் நேரடியாக விகிதாசார அளவுகளாக இருப்பதால், அவற்றின் விகிதம் எப்போதும் மாறாமல் இருக்கும்.

முப்பது ரூபிள் ஒரு கிலோகிராம் விகிதம் என்ன என்பதை எழுதுவோம்

இப்போது அறுபது ரூபிள் மற்றும் இரண்டு கிலோகிராம் விகிதம் என்ன என்பதை எழுதுவோம். இந்த விகிதம் மீண்டும் முப்பதுக்கு சமமாக இருக்கும்:

இங்கே நேரடி விகிதாச்சாரத்தின் குணகம் எண் 30. இந்த குணகம் ஒரு கிலோகிராம் இனிப்புகளுக்கு எத்தனை ரூபிள் என்பதைக் காட்டுகிறது. IN இந்த எடுத்துக்காட்டில்குணகம் ஒரு கிலோகிராம் பொருட்களின் விலையின் பாத்திரத்தை வகிக்கிறது, ஏனெனில் விலை என்பது பொருட்களின் விலையின் விகிதமாகும்.

தலைகீழ் விகிதாசாரம்

பின்வரும் உதாரணத்தைக் கவனியுங்கள். இரண்டு நகரங்களுக்கும் இடையே உள்ள தூரம் 80 கி.மீ. மோட்டார் சைக்கிள் ஓட்டுநர் முதல் நகரத்தை விட்டு வெளியேறி, 20 கிமீ / மணி வேகத்தில், 4 மணி நேரத்தில் இரண்டாவது நகரத்தை அடைந்தார்.

ஒரு மோட்டார் சைக்கிள் ஓட்டுபவர் மணிக்கு 20 கிமீ வேகமாக இருந்தால், ஒவ்வொரு மணி நேரத்திற்கும் அவர் இருபது கிலோமீட்டர் தூரத்தை கடந்தார் என்று அர்த்தம். மோட்டார் சைக்கிள் ஓட்டுபவர் பயணித்த தூரம் மற்றும் அவர் நகரும் நேரத்தை படத்தில் சித்தரிப்போம்:

திரும்பும் வழியில், மோட்டார் சைக்கிள் ஓட்டிச் சென்றவரின் வேகம் மணிக்கு 40 கி.மீ., அதே பயணத்தில் 2 மணி நேரம் செலவிட்டார்.

வேகம் மாறும்போது, ​​இயக்கத்தின் நேரமும் அதே அளவு மாறுவதைக் கவனிப்பது எளிது. மேலும், அது எதிர் திசையில் மாறியது - அதாவது, வேகம் அதிகரித்தது, ஆனால் நேரம், மாறாக, குறைந்தது.

வேகம் மற்றும் நேரம் போன்ற அளவுகள் நேர்மாறான விகிதாசாரம் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. அத்தகைய அளவுகளுக்கு இடையிலான உறவு அழைக்கப்படுகிறது தலைகீழ் விகிதாசாரம்.

தலைகீழ் விகிதாசாரம் என்பது இரண்டு அளவுகளுக்கு இடையிலான உறவாகும், இதில் ஒன்றில் அதிகரிப்பு மற்றொன்றில் அதே அளவு குறைகிறது.

மற்றும் நேர்மாறாக, ஒரு அளவு குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையில் குறைந்தால், மற்றொன்று அதே எண்ணிக்கையில் அதிகரிக்கிறது.

எடுத்துக்காட்டாக, திரும்பும் வழியில் மோட்டார் சைக்கிள் ஓட்டுநரின் வேகம் மணிக்கு 10 கிமீ வேகத்தில் இருந்தால், அவர் அதே 80 கிமீ வேகத்தை 8 மணி நேரத்தில் கடப்பார்:

எடுத்துக்காட்டில் இருந்து பார்க்க முடிந்தால், வேகத்தின் குறைவு அதே அளவு இயக்க நேரத்தை அதிகரிக்க வழிவகுத்தது.

நேர்மாறான விகிதாசார அளவுகளின் தனித்தன்மை என்னவென்றால், அவற்றின் தயாரிப்பு எப்போதும் நிலையானது. அதாவது, நேர்மாறான விகிதாசார அளவுகளின் மதிப்புகள் மாறும்போது, ​​அவற்றின் தயாரிப்பு மாறாமல் இருக்கும்.

கருத்தில் கொள்ளப்பட்ட எடுத்துக்காட்டில், நகரங்களுக்கு இடையிலான தூரம் 80 கி.மீ. மோட்டார் சைக்கிள் ஓட்டுநரின் வேகம் மற்றும் இயக்கத்தின் நேரம் மாறும்போது, ​​இந்த தூரம் எப்போதும் மாறாமல் இருந்தது

மோட்டார் சைக்கிள் ஓட்டுபவர் 4 மணி நேரத்தில் 20 கிமீ வேகத்திலும், 4 மணி நேரத்தில் 40 கிமீ வேகத்திலும், 8 மணி நேரத்தில் 10 கிமீ வேகத்திலும் இந்த தூரத்தை பயணிக்க முடியும். எல்லா சந்தர்ப்பங்களிலும், வேகம் மற்றும் நேரத்தின் தயாரிப்பு 80 கி.மீ

பாடம் பிடித்திருக்கிறதா?
எங்களுடன் சேருங்கள் புதிய குழு VKontakte மற்றும் புதிய பாடங்களைப் பற்றிய அறிவிப்புகளைப் பெறத் தொடங்குங்கள்

§ 129. பூர்வாங்க தெளிவுபடுத்தல்கள்.

ஒரு நபர் தொடர்ந்து பலவிதமான அளவுகளைக் கையாள்கிறார். ஒரு ஊழியரும் தொழிலாளியும் ஒரு குறிப்பிட்ட நேரத்திற்குள் வேலைக்குச் செல்ல முயற்சிக்கிறார்கள், ஒரு பாதசாரி குறுகிய பாதையில் ஒரு குறிப்பிட்ட இடத்திற்குச் செல்ல அவசரப்படுகிறார், ஒரு நீராவி வெப்பமூட்டும் ஸ்டோக்கர் கொதிகலனில் வெப்பநிலை மெதுவாக உயர்கிறது என்று கவலைப்படுகிறார், ஒரு உற்பத்திச் செலவைக் குறைப்பதற்கு வணிக நிர்வாகி திட்டங்களை உருவாக்குகிறார்.

இப்படி எத்தனையோ உதாரணங்களை ஒருவர் தரலாம். நேரம், தூரம், வெப்பநிலை, செலவு - இவை அனைத்தும் பல்வேறு அளவுகள். இந்தப் புத்தகத்தின் முதல் மற்றும் இரண்டாம் பாகங்களில், நாம் சில குறிப்பிட்ட பொதுவான அளவுகளுடன் பழகினோம்: பகுதி, தொகுதி, எடை. இயற்பியல் மற்றும் பிற அறிவியல்களைப் படிக்கும் போது நாம் பல அளவுகளை சந்திக்கிறோம்.

நீங்கள் ஒரு ரயிலில் பயணம் செய்கிறீர்கள் என்று கற்பனை செய்து பாருங்கள். எப்போதாவது உங்கள் கைக்கடிகாரத்தைப் பார்த்து, நீங்கள் எவ்வளவு நேரம் சாலையில் இருந்தீர்கள் என்பதைக் கவனியுங்கள். உதாரணமாக, உங்கள் ரயில் புறப்பட்டு 2, 3, 5, 10, 15 மணிநேரங்கள் கடந்துவிட்டன என்று நீங்கள் கூறுகிறீர்கள். இந்த எண்கள் வெவ்வேறு காலகட்டங்களைக் குறிக்கின்றன; அவை இந்த அளவு (நேரம்) மதிப்புகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. அல்லது உங்கள் ரயில் பயணிக்கும் தூரத்தைக் காண ஜன்னலைப் பார்த்து சாலை இடுகைகளைப் பின்தொடரவும். 110, 111, 112, 113, 114 கிமீ எண்கள் உங்களுக்கு முன்னால் ஒளிரும். இந்த எண்கள் ரயில் புறப்படும் இடத்திலிருந்து பயணித்த வெவ்வேறு தூரங்களைக் குறிக்கும். அவை மதிப்புகள் என்றும் அழைக்கப்படுகின்றன, இந்த நேரத்தில் வெவ்வேறு அளவு (இரண்டு புள்ளிகளுக்கு இடையே பாதை அல்லது தூரம்). எனவே, ஒரு அளவு, எடுத்துக்காட்டாக, நேரம், தூரம், வெப்பநிலை என பலவற்றை எடுத்துக் கொள்ளலாம் வெவ்வேறு அர்த்தங்கள்.

ஒரு நபர் ஒருபோதும் ஒரு அளவை மட்டுமே கருத்தில் கொள்ள மாட்டார், ஆனால் எப்போதும் அதை வேறு சில அளவுகளுடன் இணைக்கிறார் என்பதை நினைவில் கொள்க. அவர் இரண்டு, மூன்று மற்றும் சமாளிக்க வேண்டும் ஒரு பெரிய எண்அளவுகள் நீங்கள் 9 மணிக்குள் பள்ளிக்குச் செல்ல வேண்டும் என்று கற்பனை செய்து பாருங்கள். நீங்கள் உங்கள் கைக்கடிகாரத்தைப் பார்த்து, உங்களுக்கு 20 நிமிடங்கள் இருப்பதைப் பாருங்கள். நீங்கள் டிராம் எடுக்க வேண்டுமா அல்லது பள்ளிக்கு நடக்க முடியுமா என்பதை நீங்கள் விரைவாகக் கண்டுபிடிக்கலாம். யோசித்த பிறகு, நீங்கள் நடக்க முடிவு செய்கிறீர்கள். நீங்கள் யோசித்துக்கொண்டிருக்கும்போதே, சில பிரச்சனைகளைத் தீர்த்துக்கொண்டிருப்பதைக் கவனியுங்கள். ஒவ்வொரு நாளும் இதுபோன்ற பிரச்சினைகளை நீங்கள் தீர்ப்பதால், இந்த பணி எளிமையானது மற்றும் பழக்கமானது. அதில் நீங்கள் விரைவாக பல அளவுகளை ஒப்பிட்டுப் பார்த்தீர்கள். நீங்கள்தான் கடிகாரத்தைப் பார்த்தீர்கள், அதாவது நேரத்தை கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டீர்கள், பின்னர் உங்கள் வீட்டிலிருந்து பள்ளிக்கு உள்ள தூரத்தை மனதளவில் கற்பனை செய்தீர்கள்; இறுதியாக, நீங்கள் இரண்டு மதிப்புகளை ஒப்பிட்டுப் பார்த்தீர்கள்: உங்கள் அடியின் வேகம் மற்றும் டிராமின் வேகம், மேலும் ஒரு குறிப்பிட்ட நேரத்தில் (20 நிமிடங்கள்) நீங்கள் நடக்க நேரம் கிடைக்கும் என்று முடிவு செய்தீர்கள். இந்த எளிய எடுத்துக்காட்டில் இருந்து, எங்கள் நடைமுறையில் சில அளவுகள் ஒன்றோடொன்று இணைந்திருப்பதைக் காணலாம், அதாவது அவை ஒன்றையொன்று சார்ந்துள்ளது.

அத்தியாயம் பன்னிரண்டாம் ஒரே மாதிரியான அளவுகளின் உறவைப் பற்றி பேசுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு பிரிவு 12 மீ மற்றும் மற்றொன்று 4 மீ எனில், இந்த பிரிவுகளின் விகிதம் 12: 4 ஆக இருக்கும்.

இது இரண்டு ஒரே மாதிரியான அளவுகளின் விகிதம் என்று நாங்கள் கூறினோம். இதைச் சொல்ல மற்றொரு வழி, இது இரண்டு எண்களின் விகிதம் ஒரு பெயர்.

இப்போது நாம் அளவுகளை நன்கு அறிந்திருக்கிறோம் மற்றும் ஒரு அளவின் மதிப்பின் கருத்தை அறிமுகப்படுத்தியுள்ளோம், ஒரு புதிய வழியில் ஒரு விகிதத்தின் வரையறையை வெளிப்படுத்தலாம். உண்மையில், 12 மீ மற்றும் 4 மீ என்ற இரண்டு பிரிவுகளைக் கருத்தில் கொண்டபோது, ​​நாங்கள் ஒரு மதிப்பைப் பற்றி பேசினோம் - நீளம், மற்றும் 12 மீ மற்றும் 4 மீ இரண்டு மட்டுமே வெவ்வேறு அர்த்தங்கள்இந்த மதிப்பு.

எனவே, எதிர்காலத்தில், நாம் விகிதங்களைப் பற்றி பேசத் தொடங்கும் போது, ​​​​ஒரு அளவின் இரண்டு மதிப்புகளைக் கருத்தில் கொள்வோம், மேலும் ஒரு அளவின் ஒரு மதிப்பின் விகிதம் அதே அளவின் மற்றொரு மதிப்பின் விகிதம் முதல் மதிப்பைப் வகுக்கும் பகுதி என்று அழைக்கப்படுகிறது. இரண்டாவது மூலம்.

§ 130. மதிப்புகள் நேரடியாக விகிதாசாரமாகும்.

இரண்டு அளவுகளை உள்ளடக்கிய ஒரு சிக்கலைக் கருத்தில் கொள்வோம்: தூரம் மற்றும் நேரம்.

பணி 1. 2, 3, 4, ..., 10 வினாடிகளில் உடல் பயணிக்கும் தூரத்தை 12 செ.மீ.

நேரம் மற்றும் தூரத்தில் ஏற்படும் மாற்றங்களைக் கண்காணிக்கப் பயன்படும் அட்டவணையை உருவாக்குவோம்.

இந்த இரண்டு தொடர் மதிப்புகளையும் ஒப்பிட அட்டவணை நமக்கு வாய்ப்பளிக்கிறது. முதல் அளவின் (நேரம்) மதிப்புகள் படிப்படியாக 2, 3,..., 10 மடங்கு அதிகரிக்கும் போது, ​​இரண்டாவது அளவின் (தொலைவு) மதிப்புகளும் 2, 3 ஆக அதிகரிக்கின்றன என்பதை அதிலிருந்து காண்கிறோம். ..., 10 முறை. இவ்வாறு, ஒரு அளவின் மதிப்புகள் பல மடங்கு அதிகரிக்கும் போது, ​​மற்றொரு அளவின் மதிப்புகள் அதே அளவு அதிகரிக்கும், மேலும் ஒரு அளவின் மதிப்புகள் பல மடங்கு குறையும் போது, ​​மற்றொரு அளவின் மதிப்புகள் குறையும். அதே எண்.

அத்தகைய இரண்டு அளவுகளை உள்ளடக்கிய ஒரு சிக்கலை இப்போது கருத்தில் கொள்வோம்: பொருளின் அளவு மற்றும் அதன் விலை.

பணி 2. 15 மீ துணி 120 ரூபிள் செலவாகும். அட்டவணையில் சுட்டிக்காட்டப்பட்ட பல அளவு மீட்டர்களுக்கு இந்த துணியின் விலையைக் கணக்கிடுங்கள்.

இந்த அட்டவணையைப் பயன்படுத்தி, ஒரு பொருளின் விலை அதன் அளவு அதிகரிப்பதைப் பொறுத்து படிப்படியாக எவ்வாறு அதிகரிக்கிறது என்பதைக் கண்டறியலாம். இந்த சிக்கல் முற்றிலும் மாறுபட்ட அளவுகளை உள்ளடக்கியது என்ற போதிலும் (முதல் சிக்கலில் - நேரம் மற்றும் தூரம், மற்றும் இங்கே - பொருட்களின் அளவு மற்றும் அதன் மதிப்பு), இருப்பினும், இந்த அளவுகளின் நடத்தையில் பெரிய ஒற்றுமைகள் காணப்படுகின்றன.

உண்மையில், அட்டவணையின் மேல் வரியில் துணி மீட்டர்களின் எண்ணிக்கையைக் குறிக்கும் எண்கள் உள்ளன, அவை ஒவ்வொன்றின் கீழும் தொடர்புடைய பொருட்களின் விலையை வெளிப்படுத்தும் எண் உள்ளது. இந்த அட்டவணையில் ஒரு விரைவான பார்வை கூட மேல் மற்றும் கீழ் வரிசைகளில் எண்கள் அதிகரித்து வருவதைக் காட்டுகிறது; அட்டவணையை நெருக்கமாக ஆராய்ந்து, தனிப்பட்ட நெடுவரிசைகளை ஒப்பிடும் போது, ​​எல்லா சந்தர்ப்பங்களிலும் இரண்டாவது அளவின் மதிப்புகள் முதல் அதிகரிப்பின் மதிப்புகளின் அதே எண்ணிக்கையில் அதிகரிப்பதைக் கண்டறிந்துள்ளது, அதாவது மதிப்பு இருந்தால். முதல் அளவு 10 மடங்கு அதிகரிக்கிறது என்று வைத்துக்கொள்வோம், பிறகு இரண்டாவது அளவின் மதிப்பு 10 மடங்கு அதிகரிக்கிறது.

அட்டவணையை வலமிருந்து இடமாகப் பார்த்தால், அளவுகளின் சுட்டிக்காட்டப்பட்ட மதிப்புகள் குறைவதைக் காண்போம் அதே எண்ஒருமுறை. இந்த அர்த்தத்தில், முதல் பணிக்கும் இரண்டாவது பணிக்கும் இடையே நிபந்தனையற்ற ஒற்றுமை உள்ளது.

முதல் மற்றும் இரண்டாவது சிக்கல்களில் நாம் சந்தித்த அளவுகளின் ஜோடிகள் அழைக்கப்படுகின்றன நேரடியாக விகிதாசார.

இவ்வாறு, இரண்டு அளவுகள் ஒன்றோடொன்று தொடர்புடையதாக இருந்தால், அவற்றில் ஒன்றின் மதிப்பு பல மடங்கு அதிகரிக்கும் (குறைகிறது), மற்றொன்றின் மதிப்பு அதே அளவு அதிகரிக்கும் (குறைகிறது), அத்தகைய அளவுகள் நேரடியாக விகிதாசாரமாக அழைக்கப்படுகின்றன. .

இத்தகைய அளவுகள் நேரிடையான விகிதாசார உறவின் மூலம் ஒன்றோடொன்று தொடர்புடையதாகவும் கூறப்படுகிறது.

இயற்கையிலும் நம்மைச் சுற்றியுள்ள வாழ்க்கையிலும் இதே போன்ற பல அளவுகள் காணப்படுகின்றன. இதோ சில உதாரணங்கள்:

1. நேரம்வேலை (நாள், இரண்டு நாட்கள், மூன்று நாட்கள், முதலியன) மற்றும் வருவாய், தினசரி ஊதியத்துடன் இந்த நேரத்தில் பெறப்பட்டது.

2. தொகுதிஒரே மாதிரியான பொருளால் செய்யப்பட்ட எந்தவொரு பொருளும், மற்றும் எடைஇந்த உருப்படி.

§ 131. நேரடியாக விகிதாசார அளவுகளின் சொத்து.

பின்வரும் இரண்டு அளவுகளை உள்ளடக்கிய ஒரு சிக்கலை எடுத்துக் கொள்வோம்: வேலை நேரம்மற்றும் வருவாய். தினசரி வருவாய் 20 ரூபிள் என்றால், 2 நாட்களுக்கு வருவாய் 40 ரூபிள், முதலியன ஒரு அட்டவணையை உருவாக்க மிகவும் வசதியானது, அதில் ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையிலான நாட்கள் ஒரு குறிப்பிட்ட வருவாய்க்கு ஒத்திருக்கும்.

இந்த அட்டவணையைப் பார்க்கும்போது, ​​​​இரண்டு அளவுகளும் 10 வெவ்வேறு மதிப்புகளை எடுத்திருப்பதைக் காண்கிறோம். முதல் மதிப்பின் ஒவ்வொரு மதிப்பும் இரண்டாவது மதிப்பின் ஒரு குறிப்பிட்ட மதிப்புக்கு ஒத்திருக்கிறது, உதாரணமாக, 2 நாட்கள் 40 ரூபிள்களுக்கு ஒத்திருக்கும்; 5 நாட்கள் 100 ரூபிள் ஒத்துள்ளது. அட்டவணையில் இந்த எண்கள் ஒன்றின் கீழே மற்றொன்று எழுதப்பட்டுள்ளன.

இரண்டு அளவுகள் நேரடியாக விகிதாசாரமாக இருந்தால், அவை ஒவ்வொன்றும் அதன் மாற்றத்தின் செயல்பாட்டில், மற்றொன்று அதிகரிக்கும் போது பல மடங்கு அதிகரிக்கிறது என்பதை நாம் ஏற்கனவே அறிவோம். இது உடனடியாக இதிலிருந்து பின்வருமாறு: முதல் அளவின் ஏதேனும் இரண்டு மதிப்புகளின் விகிதத்தை நாம் எடுத்துக் கொண்டால், அது இரண்டாவது அளவின் இரண்டு தொடர்புடைய மதிப்புகளின் விகிதத்திற்கு சமமாக இருக்கும். உண்மையில்:

இது ஏன் நடக்கிறது? ஆனால் இந்த மதிப்புகள் நேரடியாக விகிதாசாரமாக இருப்பதால், அவற்றில் ஒன்று (நேரம்) 3 மடங்கு அதிகரித்தால், மற்றொன்று (வருமானம்) 3 மடங்கு அதிகரிக்கும்.

எனவே, நாங்கள் பின்வரும் முடிவுக்கு வந்துள்ளோம்: முதல் அளவின் இரண்டு மதிப்புகளை எடுத்து, அவற்றை ஒன்றோடொன்று வகுத்து, பின்னர் இரண்டாவது அளவின் தொடர்புடைய மதிப்புகளை ஒன்றால் வகுத்தால், இரண்டு நிகழ்வுகளிலும் நாம் பெறுவோம். அதே எண், அதாவது அதே உறவு. இதன் பொருள் நாம் மேலே எழுதிய இரண்டு உறவுகளும் சமமான அடையாளத்துடன் இணைக்கப்படலாம், அதாவது.

இந்த உறவுகளை அல்ல, மற்றவற்றை, அந்த வரிசையில் அல்ல, மாறாக எதிர் வரிசையில் எடுத்துக் கொண்டால், நாமும் உறவுகளின் சமத்துவத்தைப் பெறுவோம் என்பதில் சந்தேகமில்லை. உண்மையில், இடமிருந்து வலமாக நமது அளவுகளின் மதிப்புகளைக் கருத்தில் கொண்டு மூன்றாவது மற்றும் ஒன்பதாவது மதிப்புகளை எடுத்துக்கொள்வோம்:

60:180 = 1 / 3 .

எனவே நாம் எழுதலாம்:

இது பின்வரும் முடிவுக்கு வழிவகுக்கிறது: இரண்டு அளவுகள் நேரடியாக விகிதாசாரமாக இருந்தால், முதல் அளவின் தன்னிச்சையாக எடுக்கப்பட்ட இரண்டு மதிப்புகளின் விகிதம் இரண்டாவது அளவின் இரண்டு தொடர்புடைய மதிப்புகளின் விகிதத்திற்கு சமம்.

§ 132. நேரடி விகிதாச்சாரத்தின் சூத்திரம்.

1 கிலோ 10.4 ரூபிள் செலவாகும் என்றால், வெவ்வேறு அளவு இனிப்புகளின் விலையின் அட்டவணையை உருவாக்குவோம்.

இப்போது இந்த வழியில் செய்யலாம். இரண்டாவது வரியில் உள்ள எந்த எண்ணையும் எடுத்து முதல் வரியில் உள்ள எண்ணால் வகுக்கவும். உதாரணமாக:

கோட்பாட்டில் எல்லா நேரத்திலும் ஒரே எண் பெறப்படுவதை நீங்கள் காண்கிறீர்கள். இதன் விளைவாக, கொடுக்கப்பட்ட ஜோடி நேரடி விகிதாசார அளவுகளுக்கு, ஒரு அளவின் எந்த மதிப்பையும் மற்றொரு அளவின் தொடர்புடைய மதிப்பால் வகுக்கும் பகுதி ஒரு நிலையான எண்ணாகும் (அதாவது, மாறாதது). எங்கள் எடுத்துக்காட்டில், இந்த அளவு 10.4 ஆகும். இந்த நிலையான எண் விகிதாசார காரணி என்று அழைக்கப்படுகிறது. இந்த வழக்கில், இது ஒரு அலகு அளவீட்டின் விலையை வெளிப்படுத்துகிறது, அதாவது ஒரு கிலோகிராம் பொருட்களின் விலை.

விகிதாசார குணகத்தை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது அல்லது கணக்கிடுவது? இதைச் செய்ய, நீங்கள் ஒரு அளவின் எந்த மதிப்பையும் எடுத்து மற்றொன்றின் தொடர்புடைய மதிப்பால் வகுக்க வேண்டும்.

ஒரு அளவின் இந்த தன்னிச்சையான மதிப்பை கடிதம் மூலம் குறிப்போம் மணிக்கு , மற்றும் மற்றொரு அளவின் தொடர்புடைய மதிப்பு - கடிதம் எக்ஸ் , பின்னர் விகிதாசார குணகம் (நாங்கள் அதைக் குறிக்கிறோம் TO) பிரிவு மூலம் நாம் கண்டுபிடிக்கிறோம்:

இந்த சமத்துவத்தில் மணிக்கு - வகுக்கக்கூடிய, எக்ஸ் - வகுப்பி மற்றும் TO- பங்கு, மற்றும், பிரிவின் சொத்தின் மூலம், ஈவுத்தொகை, பங்கீட்டால் பெருக்கப்படும் வகுப்பிக்கு சமமாக இருப்பதால், நாம் எழுதலாம்:

y=கே x

இதன் விளைவாக சமத்துவம் என்று அழைக்கப்படுகிறது நேரடி விகிதாச்சாரத்தின் சூத்திரம்.இந்த சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, மற்ற அளவின் தொடர்புடைய மதிப்புகள் மற்றும் விகிதாச்சாரத்தின் குணகம் நமக்குத் தெரிந்தால், நேரடியாக விகிதாசார அளவுகளில் ஒன்றின் எந்த மதிப்புகளையும் கணக்கிடலாம்.

உதாரணம்.இயற்பியலில் இருந்து நாம் அந்த எடையை அறிவோம் ஆர்எந்தவொரு உடலும் அதன் குறிப்பிட்ட ஈர்ப்புக்கு சமம் ஈ , இந்த உடலின் அளவினால் பெருக்கப்படுகிறது வி, அதாவது ஆர் = ஈவி.

வெவ்வேறு தொகுதிகளின் ஐந்து இரும்பு கம்பிகளை எடுத்துக் கொள்வோம்; இரும்பின் குறிப்பிட்ட ஈர்ப்பு விசையை அறிந்து (7.8), சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி இந்த இங்காட்களின் எடையைக் கணக்கிடலாம்:

ஆர் = 7,8 வி.

இந்த சூத்திரத்தை சூத்திரத்துடன் ஒப்பிடுதல் மணிக்கு = TO எக்ஸ் , என்று பார்க்கிறோம் y = ஆர், x = வி, மற்றும் விகிதாசார குணகம் TO= 7.8. சூத்திரம் ஒன்றுதான், எழுத்துக்கள் மட்டும் வேறு.

இந்த சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, ஒரு அட்டவணையை உருவாக்குவோம்: 1 வது வெற்றிடத்தின் அளவு 8 கன மீட்டருக்கு சமமாக இருக்கட்டும். செ.மீ., அதன் எடை 7.8 8 = 62.4 (கிராம்). 2 வது வெற்றிடத்தின் அளவு 27 கன மீட்டர். செமீ அதன் எடை 7.8 27 = 210.6 (கிராம்). அட்டவணை இப்படி இருக்கும்:

இந்த அட்டவணையில் விடுபட்ட எண்களை சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடவும் ஆர்= ஈவி.

§ 133. நேரடியாக விகிதாசார அளவுகளுடன் சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான பிற முறைகள்.

முந்தைய பத்தியில், நேரடியாக விகிதாசார அளவுகளை உள்ளடக்கிய ஒரு சிக்கலை நாங்கள் தீர்த்தோம். இந்த நோக்கத்திற்காக, நாங்கள் முதலில் நேரடி விகிதாச்சாரத்தின் சூத்திரத்தைப் பெற்றோம், பின்னர் இந்த சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தினோம். இப்போது இதே போன்ற சிக்கல்களைத் தீர்க்க வேறு இரண்டு வழிகளைக் காண்பிப்போம்.

முந்தைய பத்தியில் அட்டவணையில் கொடுக்கப்பட்ட எண் தரவுகளைப் பயன்படுத்தி சிக்கலை உருவாக்குவோம்.

பணி. 8 கன மீட்டர் அளவு கொண்ட வெற்று. செமீ எடை 62.4 கிராம். செ.மீ?

தீர்வு.இரும்பு எடை, அறியப்பட்டபடி, அதன் தொகுதிக்கு விகிதாசாரமாகும். 8 கன என்றால். செமீ எடை 62.4 கிராம், பின்னர் 1 கியூ. செமீ எடை 8 மடங்கு குறைவாக இருக்கும், அதாவது.

62.4:8 = 7.8 (கிராம்).

64 கன மீட்டர் அளவு கொண்ட வெற்று. செமீ 1 கன மீட்டரை விட 64 மடங்கு அதிகமாக இருக்கும். செ.மீ., அதாவது.

7.8 64 = 499.2(g).

ஒற்றுமையைக் குறைத்து எமது பிரச்சினையை தீர்த்துக் கொண்டோம். இந்தப் பெயரின் அர்த்தம் நியாயமானது, அதைத் தீர்க்க, முதல் கேள்வியில் தொகுதி அலகு எடையைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.

2. விகிதாச்சார முறை.விகிதாச்சார முறையைப் பயன்படுத்தி அதே சிக்கலைத் தீர்ப்போம்.

இரும்பின் எடையும் அதன் அளவும் நேரடியாக விகிதாசார அளவுகளாக இருப்பதால், ஒரு அளவின் (தொகுதி) இரண்டு மதிப்புகளின் விகிதம் மற்றொரு அளவின் (எடை) இரண்டு தொடர்புடைய மதிப்புகளின் விகிதத்திற்கு சமம், அதாவது.

(கடிதம் ஆர்வெற்றிடத்தின் அறியப்படாத எடையை நாங்கள் குறிப்பிட்டோம்). இங்கிருந்து:

(ஜி)

விகிதாச்சார முறையைப் பயன்படுத்தி சிக்கல் தீர்க்கப்பட்டது. இதன் பொருள், அதைத் தீர்க்க, நிபந்தனையில் சேர்க்கப்பட்டுள்ள எண்களிலிருந்து ஒரு விகிதம் தொகுக்கப்பட்டது.

§ 134. மதிப்புகள் நேர்மாறான விகிதாசாரமாகும்.

பின்வரும் சிக்கலைக் கவனியுங்கள்: “ஐந்து மேசன்கள் சேர்க்கலாம் செங்கல் சுவர்கள் 168 நாட்களில் வீட்டில். 10, 8, 6, போன்ற கொத்தனார்கள் அதே வேலையை எத்தனை நாட்களில் முடிக்க முடியும் என்பதைத் தீர்மானிக்கவும்.

5 கொத்தனார்கள் 168 நாட்களில் ஒரு வீட்டின் சுவர்களை அமைத்திருந்தால், (அதே உழைப்பு உற்பத்தித்திறனுடன்) 10 கொத்தனார்களால் பாதி நேரத்தில் அதைச் செய்ய முடியும், ஏனெனில் சராசரியாக 10 பேர் 5 நபர்களை விட இரண்டு மடங்கு வேலை செய்கிறார்கள்.

ஒரு அட்டவணையை வரைவோம், இதன் மூலம் தொழிலாளர்களின் எண்ணிக்கையிலும் வேலை நேரத்திலும் ஏற்படும் மாற்றங்களைக் கண்காணிக்கலாம்.

எடுத்துக்காட்டாக, 6 தொழிலாளர்களுக்கு எத்தனை நாட்கள் ஆகும் என்பதைக் கண்டறிய, முதலில் ஒரு தொழிலாளிக்கு எத்தனை நாட்கள் ஆகும் (168 5 = 840), பின்னர் ஆறு தொழிலாளர்கள் (840: 6 = 140) எவ்வளவு நாட்கள் ஆகும் என்பதைக் கணக்கிட வேண்டும். இந்த அட்டவணையைப் பார்க்கும்போது, ​​​​இரண்டு அளவுகளும் ஆறு வெவ்வேறு மதிப்புகளைப் பெற்றிருப்பதைக் காண்கிறோம். முதல் அளவின் ஒவ்வொரு மதிப்பும் ஒரு குறிப்பிட்ட ஒன்றிற்கு ஒத்திருக்கிறது; இரண்டாவது மதிப்பின் மதிப்பு, எடுத்துக்காட்டாக, 10 84 க்கு ஒத்திருக்கிறது, எண் 8 எண் 105 க்கு ஒத்திருக்கிறது, முதலியன.

இரண்டு அளவுகளின் மதிப்புகளை இடமிருந்து வலமாகப் பார்த்தால், மேல் அளவின் மதிப்புகள் அதிகரிப்பதையும், குறைந்த அளவின் மதிப்புகள் குறைவதையும் பார்க்கலாம். அதிகரிப்பு மற்றும் குறைவு பின்வரும் சட்டத்திற்கு உட்பட்டது: செலவழித்த வேலை நேரத்தின் மதிப்புகள் குறைவதால், தொழிலாளர்களின் எண்ணிக்கையின் மதிப்புகள் அதே மடங்கு அதிகரிக்கும். இந்த யோசனையை இன்னும் எளிமையாக பின்வருமாறு வெளிப்படுத்தலாம்: எந்தப் பணியிலும் அதிகமான தொழிலாளர்கள் ஈடுபட்டுள்ளனர், அவர்கள் ஒரு குறிப்பிட்ட வேலையை முடிக்க வேண்டிய நேரம் குறைவு. இந்த சிக்கலில் நாம் சந்தித்த இரண்டு அளவுகள் அழைக்கப்படுகின்றன நேர்மாறான விகிதாசார.

இவ்வாறு, இரண்டு அளவுகள் ஒன்றோடொன்று தொடர்புடையதாக இருந்தால், அவற்றில் ஒன்றின் மதிப்பு பல மடங்கு அதிகரிக்கும் (குறைந்து), மற்றொன்றின் மதிப்பு அதே அளவு குறையும் (அதிகரிக்கும்), அத்தகைய அளவுகள் நேர்மாறான விகிதாசாரம் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. .

வாழ்க்கையில் பல ஒத்த அளவுகள் உள்ளன. எடுத்துக்காட்டுகளைத் தருவோம்.

1. 150 ரூபிள் என்றால். நீங்கள் பல கிலோகிராம் இனிப்புகளை வாங்க வேண்டும் என்றால், இனிப்புகளின் எண்ணிக்கை ஒரு கிலோகிராம் விலையைப் பொறுத்தது. அதிக விலை, இந்த பணத்தில் நீங்கள் குறைந்த பொருட்களை வாங்கலாம்; இதை அட்டவணையில் இருந்து காணலாம்:

மிட்டாய் விலை பல மடங்கு அதிகரிப்பதால், 150 ரூபிள் வாங்கக்கூடிய கிலோகிராம் மிட்டாய்களின் எண்ணிக்கை அதே அளவு குறைகிறது. இந்த வழக்கில், இரண்டு அளவுகள் (பொருளின் எடை மற்றும் அதன் விலை) நேர்மாறான விகிதாசாரமாகும்.

2. இரண்டு நகரங்களுக்கிடையேயான தூரம் 1,200 கிமீ என்றால், அது இயக்கத்தின் வேகத்தைப் பொறுத்து வெவ்வேறு நேரங்களில் கடக்கப்படும். உள்ளன வெவ்வேறு வழிகளில்போக்குவரத்து: காலில், குதிரையில், சைக்கிளில், படகில், காரில், ரயிலில், விமானத்தில். குறைந்த வேகம், நகர்த்த அதிக நேரம் எடுக்கும். இதை அட்டவணையில் இருந்து காணலாம்:

வேகம் பல மடங்கு அதிகரிப்பதால், பயண நேரம் அதே அளவு குறைகிறது. இந்த நிலைமைகளின் கீழ், வேகமும் நேரமும் நேர்மாறான விகிதாசார அளவுகளாகும்.

§ 135. நேர்மாறான விகிதாசார அளவுகளின் சொத்து.

முந்தைய பத்தியில் பார்த்த இரண்டாவது உதாரணத்தை எடுத்துக் கொள்வோம். அங்கு நாங்கள் இரண்டு அளவுகளைக் கையாண்டோம் - வேகம் மற்றும் நேரம். அட்டவணையில் இடமிருந்து வலமாக இந்த அளவுகளின் மதிப்புகளைப் பார்த்தால், முதல் அளவின் (வேகம்) மதிப்புகள் அதிகரிப்பதையும், இரண்டாவது (நேரத்தின்) மதிப்புகள் குறைவதையும் பார்க்கலாம். நேரம் குறையும் அதே அளவு வேகம் அதிகரிக்கிறது.ஒரு அளவின் சில மதிப்புகளின் விகிதத்தை நீங்கள் எழுதினால், அது மற்றொரு அளவின் தொடர்புடைய மதிப்புகளின் விகிதத்திற்கு சமமாக இருக்காது என்பதைப் புரிந்துகொள்வது கடினம் அல்ல. உண்மையில், மேல் மதிப்பின் நான்காவது மதிப்பின் விகிதத்தை ஏழாவது மதிப்புக்கு (40: 80) எடுத்துக் கொண்டால், அது குறைந்த மதிப்பின் நான்காவது மற்றும் ஏழாவது மதிப்புகளின் விகிதத்திற்கு சமமாக இருக்காது (30: 15) இதை இப்படி எழுதலாம்:

40:80 என்பது 30:15 அல்லது 40:80 =/=30:15 க்கு சமம் அல்ல.

ஆனால் இந்த உறவுகளில் ஒன்றிற்கு பதிலாக நாம் எதிர்மாறாக எடுத்துக் கொண்டால், நாம் சமத்துவத்தைப் பெறுகிறோம், அதாவது, இந்த உறவுகளிலிருந்து ஒரு விகிதத்தை உருவாக்க முடியும். உதாரணமாக:

80: 40 = 30: 15,

40: 80 = 15: 30."

மேற்கூறியவற்றின் அடிப்படையில், நாம் பின்வரும் முடிவை எடுக்கலாம்: இரண்டு அளவுகள் நேர்மாறான விகிதாசாரமாக இருந்தால், ஒரு அளவின் தன்னிச்சையாக எடுக்கப்பட்ட இரண்டு மதிப்புகளின் விகிதம் மற்றொரு அளவின் தொடர்புடைய மதிப்புகளின் தலைகீழ் விகிதத்திற்கு சமம்.

§ 136. தலைகீழ் விகிதாசார சூத்திரம்.

சிக்கலைக் கவனியுங்கள்: “வெவ்வேறு அளவுகளில் 6 துண்டு பட்டுத் துணிகள் உள்ளன வெவ்வேறு வகைகள். அனைத்து துண்டுகளுக்கும் ஒரே விலை. ஒரு துண்டு 100 மீ துணி உள்ளது, விலை 20 ரூபிள். மீட்டருக்கு இந்த துண்டுகளில் ஒரு மீட்டர் துணிக்கு முறையே 25, 40, 50, 80, 100 ரூபிள் செலவாகும் என்றால், மற்ற ஐந்து துண்டுகளிலும் எத்தனை மீட்டர்கள் உள்ளன? இந்த சிக்கலை தீர்க்க, ஒரு அட்டவணையை உருவாக்குவோம்:

இந்த அட்டவணையின் மேல் வரிசையில் காலியாக உள்ள செல்களை நிரப்ப வேண்டும். இரண்டாவது துண்டில் எத்தனை மீட்டர்கள் உள்ளன என்பதை முதலில் தீர்மானிக்க முயற்சிப்போம். இதை பின்வருமாறு செய்யலாம். பிரச்சனையின் நிலைமைகளில் இருந்து அனைத்து துண்டுகளின் விலையும் ஒன்றுதான் என்று அறியப்படுகிறது. முதல் துண்டின் விலை தீர்மானிக்க எளிதானது: இது 100 மீட்டர் மற்றும் ஒவ்வொரு மீட்டருக்கும் 20 ரூபிள் செலவாகும், அதாவது முதல் பட்டு 2,000 ரூபிள் மதிப்புடையது. பட்டு இரண்டாவது துண்டு ரூபிள் அதே அளவு கொண்டிருக்கும் என்பதால், பின்னர், 2,000 ரூபிள் பிரித்து. ஒரு மீட்டர் விலைக்கு, அதாவது 25, நாம் இரண்டாவது துண்டு அளவைக் காண்கிறோம்: 2,000: 25 = 80 (மீ). அதே வழியில் மற்ற எல்லா துண்டுகளின் அளவையும் கண்டுபிடிப்போம். அட்டவணை இப்படி இருக்கும்:

மீட்டர்களின் எண்ணிக்கைக்கும் விலைக்கும் இடையே நேர்மாறான விகிதாசார உறவு இருப்பதைப் பார்ப்பது எளிது.

தேவையான கணக்கீடுகளை நீங்களே செய்தால், ஒவ்வொரு முறையும் 2,000 என்ற எண்ணை 1 மீ விலையால் வகுக்க வேண்டும் என்பதை நீங்கள் கவனிப்பீர்கள், மாறாக, நீங்கள் இப்போது துண்டின் அளவை 1 மீ விலையால் பெருக்கத் தொடங்கினால். , நீங்கள் எப்போதும் 2,000 என்ற எண்ணைப் பெறுவீர்கள், மேலும் ஒவ்வொரு துண்டுக்கும் 2,000 ரூபிள் செலவாகும் என்பதால், காத்திருக்க வேண்டியது அவசியம்.

இங்கிருந்து நாம் பின்வரும் முடிவுக்கு வரலாம்: கொடுக்கப்பட்ட ஜோடி நேர்மாறான விகிதாசார அளவுகளுக்கு, ஒரு அளவின் எந்த மதிப்பின் மதிப்பு மற்றொரு அளவின் தொடர்புடைய மதிப்பின் மூலம் ஒரு நிலையான எண்ணாகும் (அதாவது, மாறாதது).

எங்கள் சிக்கலில், இந்த தயாரிப்பு 2,000 க்கு சமம் என்பதைச் சரிபார்க்கவும், இது இயக்கத்தின் வேகம் மற்றும் ஒரு நகரத்திலிருந்து மற்றொரு நகரத்திற்குச் செல்லத் தேவையான நேரத்தைப் பற்றி பேசியது, அந்தச் சிக்கலுக்கு ஒரு நிலையான எண் உள்ளது (1,200).

மேலே உள்ள அனைத்தையும் கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டால், தலைகீழ் விகிதாசார சூத்திரத்தைப் பெறுவது எளிது. கடிதத்தின் மூலம் ஒரு அளவின் குறிப்பிட்ட மதிப்பைக் குறிக்கலாம் எக்ஸ் , மற்றும் மற்றொரு அளவின் தொடர்புடைய மதிப்பு கடிதத்தால் குறிப்பிடப்படுகிறது மணிக்கு . பின்னர், மேற்கூறியவற்றின் அடிப்படையில், வேலை எக்ஸ் அன்று மணிக்கு சில நிலையான மதிப்புக்கு சமமாக இருக்க வேண்டும், அதை நாம் கடிதத்தால் குறிக்கிறோம் TO, அதாவது

x ஒய் = TO.

இந்த சமத்துவத்தில் எக்ஸ் - பெருக்கி மணிக்கு - பெருக்கி மற்றும் கே- வேலை. பெருக்கத்தின் பண்பின்படி, பெருக்கி என்பது பெருக்கல் மூலம் வகுக்கும் பொருளுக்கு சமம். பொருள்

இது தலைகீழ் விகிதாச்சார சூத்திரம். இதைப் பயன்படுத்தி, நேர்மாறான விகிதாசார அளவுகளில் ஒன்றின் எந்த மதிப்புகளையும் கணக்கிடலாம், மற்றொன்றின் மதிப்புகள் மற்றும் நிலையான எண்ணை அறிந்து கொள்ளலாம். TO.

மற்றொரு சிக்கலைக் கருத்தில் கொள்வோம்: “ஒரு கட்டுரையின் ஆசிரியர் தனது புத்தகம் வழக்கமான வடிவத்தில் இருந்தால், அது 96 பக்கங்களைக் கொண்டிருக்கும், ஆனால் அது ஒரு பாக்கெட் வடிவமாக இருந்தால், அது 300 பக்கங்களைக் கொண்டிருக்கும் என்று கணக்கிட்டார். அவர் முயற்சித்தார் வெவ்வேறு விருப்பங்கள், 96 பக்கங்களுடன் தொடங்கியது, பின்னர் அவர் ஒரு பக்கத்திற்கு 2,500 கடிதங்கள். பின்னர் கீழே உள்ள அட்டவணையில் காட்டப்பட்டுள்ள பக்க எண்களை எடுத்து, அந்தப் பக்கத்தில் எத்தனை எழுத்துக்கள் இருக்கும் என்று மீண்டும் கணக்கிட்டார்.

புத்தகத்தில் 100 பக்கங்கள் இருந்தால், ஒரு பக்கத்தில் எத்தனை எழுத்துக்கள் இருக்கும் என்பதைக் கணக்கிட முயற்சிப்போம்.

2,500 96 = 240,000 முதல் முழு புத்தகத்திலும் 240,000 கடிதங்கள் உள்ளன.

இதைக் கருத்தில் கொண்டு, தலைகீழ் விகிதாச்சார சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம் ( மணிக்கு - பக்கத்தில் உள்ள எழுத்துக்களின் எண்ணிக்கை, எக்ஸ் - பக்கங்களின் எண்ணிக்கை):

எங்கள் உதாரணத்தில் TO= 240,000 எனவே

எனவே பக்கத்தில் 2,400 கடிதங்கள் உள்ளன.

இதேபோல், ஒரு புத்தகத்தில் 120 பக்கங்கள் இருந்தால், பக்கத்தில் உள்ள எழுத்துக்களின் எண்ணிக்கை:

எங்கள் அட்டவணை இப்படி இருக்கும்:

மீதமுள்ள செல்களை நீங்களே நிரப்பவும்.

§ 137. தலைகீழ் விகிதாசார அளவுகளுடன் சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான பிற முறைகள்.

முந்தைய பத்தியில், நேர்மாறான விகிதாசார அளவுகளை உள்ளடக்கிய சிக்கல்களை நாங்கள் தீர்த்தோம். நாங்கள் முதலில் தலைகீழ் விகிதாச்சார சூத்திரத்தைப் பெற்றோம், பின்னர் இந்த சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தினோம். இதுபோன்ற பிரச்சனைகளுக்கு வேறு இரண்டு தீர்வுகளை இப்போது காண்போம்.

1. ஒற்றுமைக்கு குறைக்கும் முறை.

பணி. 5 டர்னர்கள் 16 நாட்களில் சில வேலைகளைச் செய்யலாம். 8 டர்னர்கள் இந்த வேலையை எத்தனை நாட்களில் முடிக்க முடியும்?

தீர்வு.டர்னர்களின் எண்ணிக்கைக்கும் வேலை நேரங்களுக்கும் இடையே ஒரு தலைகீழ் உறவு உள்ளது. 5 டர்னர்கள் 16 நாட்களில் வேலையைச் செய்தால், ஒரு நபருக்கு இதற்கு 5 மடங்கு அதிக நேரம் தேவைப்படும், அதாவது.

5 டர்னர்கள் 16 நாட்களில் வேலையை முடிக்கிறார்கள்.

1 டர்னர் அதை 16 5 = 80 நாட்களில் நிறைவு செய்யும்.

8 டர்னர்கள் வேலையை முடிக்க எத்தனை நாட்கள் ஆகும் என்று பிரச்சனை கேட்கிறது. வெளிப்படையாக, அவர்கள் 1 டர்னரை விட 8 மடங்கு வேகமாக வேலையைச் சமாளிப்பார்கள், அதாவது.

80: 8 = 10 (நாட்கள்).

இதுவே ஒற்றுமையாக குறைத்து பிரச்சனைக்கு தீர்வு. ஒரு தொழிலாளியால் வேலையை முடிக்க தேவையான நேரத்தை முதலில் தீர்மானிக்க வேண்டியது அவசியம்.

2. விகிதாச்சார முறை.அதே பிரச்சனையை இரண்டாவது வழியில் தீர்க்கலாம்.

தொழிலாளர்களின் எண்ணிக்கைக்கும் வேலை நேரத்துக்கும் இடையே நேர்மாறான விகிதாசார உறவு இருப்பதால், நாம் எழுதலாம்: 5 டர்னர்களின் வேலையின் காலம் புதிய எண்ணிக்கையிலான டர்னர்கள் (8) 8 டர்னர்களின் வேலையின் காலம் முந்தைய டர்னர்களின் எண்ணிக்கை (5) குறிப்போம் கடிதத்தின் மூலம் தேவையான வேலை காலம் எக்ஸ் வார்த்தைகளில் வெளிப்படுத்தப்பட்ட விகிதத்தில் தேவையான எண்களை மாற்றவும்:

அதே பிரச்சனை விகிதாச்சார முறையால் தீர்க்கப்படுகிறது. அதைத் தீர்க்க, சிக்கல் அறிக்கையில் சேர்க்கப்பட்டுள்ள எண்களிலிருந்து ஒரு விகிதத்தை உருவாக்க வேண்டும்.

குறிப்பு.முந்தைய பத்திகளில் நாம் நேரடி மற்றும் தலைகீழ் விகிதாச்சாரத்தின் சிக்கலை ஆய்வு செய்தோம். அளவுகளின் நேரடி மற்றும் தலைகீழ் விகிதாசார சார்புக்கு இயற்கையும் வாழ்க்கையும் பல எடுத்துக்காட்டுகளைத் தருகின்றன. இருப்பினும், இந்த இரண்டு வகையான சார்புகளும் எளிமையானவை மட்டுமே என்பதை கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும். அவற்றுடன், அளவுகளுக்கு இடையில் மற்ற, மிகவும் சிக்கலான சார்புகள் உள்ளன. கூடுதலாக, எந்த இரண்டு அளவுகளும் ஒரே நேரத்தில் அதிகரித்தால், அவற்றுக்கிடையே நேரடி விகிதாசாரம் அவசியம் என்று ஒருவர் நினைக்கக்கூடாது. இது உண்மையிலிருந்து வெகு தொலைவில் உள்ளது. எடுத்துக்காட்டாக, கட்டணங்கள் ரயில்வேதூரத்தைப் பொறுத்து அதிகரிக்கிறது: மேலும் நாம் பயணிக்கிறோம், அதிக கட்டணம் செலுத்துகிறோம், ஆனால் கட்டணம் தூரத்திற்கு விகிதாசாரமாக இருக்கும் என்று இது அர்த்தப்படுத்துவதில்லை.

இன்று நாம் என்ன அளவுகள் நேர்மாறான விகிதாசாரமாக அழைக்கப்படுகின்றன, தலைகீழ் விகிதாசார வரைபடம் எப்படி இருக்கும், இவை அனைத்தும் கணித பாடங்களில் மட்டுமல்ல, பள்ளிக்கு வெளியேயும் உங்களுக்கு எவ்வாறு பயனுள்ளதாக இருக்கும் என்பதைப் பார்ப்போம்.

அத்தகைய வெவ்வேறு விகிதாச்சாரங்கள்

விகிதாசாரம்ஒன்றுக்கொன்று சார்ந்திருக்கும் இரண்டு அளவுகளைக் குறிப்பிடவும்.

சார்பு நேரடியாகவும் நேர்மாறாகவும் இருக்கலாம். இதன் விளைவாக, அளவுகளுக்கு இடையிலான உறவுகள் நேரடி மற்றும் தலைகீழ் விகிதாச்சாரத்தால் விவரிக்கப்படுகின்றன.

நேரடி விகிதாசாரம்- இது இரண்டு அளவுகளுக்கு இடையிலான அத்தகைய உறவு, அதில் ஒன்றில் அதிகரிப்பு அல்லது குறைவு மற்றொன்றில் அதிகரிப்பு அல்லது குறைப்புக்கு வழிவகுக்கிறது. அந்த. அவர்களின் அணுகுமுறை மாறாது.

எடுத்துக்காட்டாக, தேர்வுகளுக்குப் படிக்க நீங்கள் எவ்வளவு அதிகமாக முயற்சி செய்கிறீர்களோ, அவ்வளவு அதிகமாக உங்கள் மதிப்பெண்கள் கிடைக்கும். அல்லது பயணத்தின் போது உங்களுடன் அதிகமான பொருட்களை எடுத்துச் செல்லும் போது, ​​உங்கள் பையை எடுத்துச் செல்ல அதிக எடை இருக்கும். அந்த. பரீட்சைக்குத் தயாராகும் முயற்சியின் அளவு, பெறப்பட்ட தரங்களுக்கு நேர் விகிதாசாரமாகும். மற்றும் ஒரு பையில் பேக் செய்யப்பட்ட பொருட்களின் எண்ணிக்கை அதன் எடைக்கு நேரடியாக விகிதாசாரமாகும்.

தலைகீழ் விகிதாசாரம்- இது ஒரு செயல்பாட்டு சார்பு ஆகும், இதில் ஒரு சுயாதீன மதிப்பில் (இது ஒரு வாதம் என்று அழைக்கப்படுகிறது) பல மடங்கு குறைதல் அல்லது அதிகரிப்பு ஒரு சார்பு மதிப்பில் விகிதாசார (அதாவது, அதே எண்ணிக்கையிலான முறை) அதிகரிப்பு அல்லது குறைப்பை ஏற்படுத்துகிறது (இது ஒரு செயல்பாடு).

விளக்குவோம் எளிய உதாரணம். நீங்கள் சந்தையில் ஆப்பிள்களை வாங்க விரும்புகிறீர்கள். கவுண்டரில் உள்ள ஆப்பிள்களும் உங்கள் பணப்பையில் உள்ள பணமும் தலைகீழ் விகிதத்தில் உள்ளன. அந்த. நீங்கள் அதிக ஆப்பிள்களை வாங்குகிறீர்கள், குறைவான பணம்உங்களிடம் சில மீதம் இருக்கும்.

செயல்பாடு மற்றும் அதன் வரைபடம்

தலைகீழ் விகிதாசார செயல்பாட்டை இவ்வாறு விவரிக்கலாம் y = k/x. இதில் x≠ 0 மற்றும் கே≠ 0.

இந்த செயல்பாடு பின்வரும் பண்புகளைக் கொண்டுள்ளது:

1. அதன் வரையறையின் டொமைன் என்பது தவிர அனைத்து உண்மையான எண்களின் தொகுப்பாகும் x = 0. டி(ஒய்): (-∞; 0) U (0; +∞).
2. வரம்பு தவிர அனைத்து உண்மையான எண்கள் ஒய்= 0. மின்(y): (-∞; 0) யு (0; +∞) .
3. அதிகபட்ச அல்லது குறைந்தபட்ச மதிப்புகள் இல்லை.
4. இது ஒற்றைப்படை மற்றும் அதன் வரைபடம் தோற்றம் பற்றி சமச்சீர் உள்ளது.
5. காலமுறை இல்லாதது.
6. அதன் வரைபடம் ஒருங்கிணைப்பு அச்சுகளை வெட்டுவதில்லை.
7. பூஜ்ஜியங்கள் இல்லை.
8. என்றால் கே> 0 (அதாவது வாதம் அதிகரிக்கிறது), செயல்பாடு அதன் ஒவ்வொரு இடைவெளியிலும் விகிதாசாரமாக குறைகிறது. என்றால் கே< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
9. வாதம் அதிகரிக்கும் போது ( கே> 0) எதிர்மறை மதிப்புகள்செயல்பாடுகள் இடைவெளியில் உள்ளன (-∞; 0), மற்றும் நேர்மறையானவை (0; +∞). வாதம் குறையும் போது ( கே< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

தலைகீழ் விகிதாச்சார செயல்பாட்டின் வரைபடம் ஹைபர்போலா என்று அழைக்கப்படுகிறது. பின்வருமாறு காட்டப்பட்டுள்ளது:

தலைகீழ் விகிதாச்சார சிக்கல்கள்

அதை தெளிவுபடுத்த, பல பணிகளைப் பார்ப்போம். அவை மிகவும் சிக்கலானவை அல்ல, அவற்றைத் தீர்ப்பது தலைகீழ் விகிதாசாரம் என்றால் என்ன என்பதையும், உங்கள் அன்றாட வாழ்க்கையில் இந்த அறிவு எவ்வாறு பயனுள்ளதாக இருக்கும் என்பதையும் கற்பனை செய்ய உதவும்.

பணி எண் 1. ஒரு கார் மணிக்கு 60 கிமீ வேகத்தில் செல்கிறது. அவர் இலக்கை அடைய 6 மணி நேரம் ஆனது. இரண்டு மடங்கு வேகத்தில் நகர்ந்தால், அதே தூரத்தை கடக்க எவ்வளவு நேரம் ஆகும்?

நேரம், தூரம் மற்றும் வேகம் ஆகியவற்றுக்கு இடையேயான உறவை விவரிக்கும் சூத்திரத்தை எழுதுவதன் மூலம் தொடங்கலாம்: t = S/V. ஒப்புக்கொள், இது தலைகீழ் விகிதாசார செயல்பாட்டை நமக்கு மிகவும் நினைவூட்டுகிறது. ஒரு கார் சாலையில் செலவழிக்கும் நேரமும் அது நகரும் வேகமும் தலைகீழ் விகிதத்தில் இருப்பதை இது குறிக்கிறது.

இதை சரிபார்க்க, V 2 ஐக் கண்டுபிடிப்போம், இது நிபந்தனையின் படி 2 மடங்கு அதிகமாகும்: V 2 = 60 * 2 = 120 km/h. பின்னர் S = V * t = 60 * 6 = 360 km என்ற சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி தூரத்தைக் கணக்கிடுகிறோம். சிக்கலின் நிலைமைகளுக்கு ஏற்ப எங்களிடமிருந்து தேவைப்படும் நேரத்தை t 2 கண்டுபிடிப்பது இப்போது கடினம் அல்ல: t 2 = 360/120 = 3 மணிநேரம்.

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, பயண நேரம் மற்றும் வேகம் உண்மையில் நேர்மாறான விகிதாசாரமாகும்: அசல் வேகத்தை விட 2 மடங்கு அதிக வேகத்தில், கார் சாலையில் 2 மடங்கு குறைவான நேரத்தை செலவிடும்.

இந்த சிக்கலுக்கான தீர்வையும் விகிதாச்சாரமாக எழுதலாம். எனவே முதலில் இந்த வரைபடத்தை உருவாக்குவோம்:

↓ 60 km/h – 6 h

↓120 km/h – x h

அம்புகள் நேர்மாறான விகிதாசார உறவைக் குறிக்கின்றன. விகிதாச்சாரத்தை வரையும்போது, ​​பதிவின் வலது பக்கத்தை புரட்ட வேண்டும்: 60/120 = x/6. x = 60 * 6/120 = 3 மணிநேரம் எங்கே கிடைக்கும்.

பணி எண். 2. பணிமனையில் 6 தொழிலாளர்கள் பணிபுரிகின்றனர், அவர்கள் கொடுக்கப்பட்ட வேலையை 4 மணி நேரத்தில் முடிக்க முடியும். தொழிலாளர்களின் எண்ணிக்கை பாதியாக குறைக்கப்பட்டால், மீதமுள்ள தொழிலாளர்கள் அதே அளவு வேலையை முடிக்க எவ்வளவு காலம் ஆகும்?

பிரச்சனையின் நிலைமைகளை படிவத்தில் எழுதுவோம் காட்சி வரைபடம்:

↓ 6 தொழிலாளர்கள் - 4 மணி நேரம்

↓ 3 தொழிலாளர்கள் – x h

இதை விகிதாச்சாரமாக எழுதலாம்: 6/3 = x/4. x = 6 * 4/3 = 8 மணிநேரம் 2 மடங்கு குறைவாக இருந்தால், மீதமுள்ளவர்கள் 2 மடங்கு அதிக நேரம் அனைத்து வேலைகளையும் செய்வார்கள்.

பணி எண். 3. குளத்திற்குள் செல்லும் இரண்டு குழாய்கள் உள்ளன. ஒரு குழாய் வழியாக, தண்ணீர் 2 எல் / வி வேகத்தில் பாய்கிறது மற்றும் 45 நிமிடங்களில் குளத்தை நிரப்புகிறது. மற்றொரு குழாய் மூலம், குளம் 75 நிமிடங்களில் நிரப்பப்படும். இந்த குழாய் வழியாக எந்த வேகத்தில் தண்ணீர் குளத்தில் நுழைகிறது?

தொடங்குவதற்கு, சிக்கலின் நிலைமைகளுக்கு ஏற்ப எங்களுக்கு வழங்கப்பட்ட அனைத்து அளவுகளையும் ஒரே அளவீட்டு அலகுகளாகக் குறைப்போம். இதைச் செய்ய, நிமிடத்திற்கு லிட்டரில் குளத்தை நிரப்புவதற்கான வேகத்தை வெளிப்படுத்துகிறோம்: 2 l / s = 2 * 60 = 120 l / min.

இரண்டாவது குழாய் வழியாக குளம் மெதுவாக நிரம்புகிறது என்று நிபந்தனை குறிப்பிடுவதால், நீர் ஓட்டத்தின் விகிதம் குறைவாக உள்ளது என்று அர்த்தம். விகிதாசாரமானது நேர்மாறானது. x மூலம் அறியப்படாத வேகத்தை வெளிப்படுத்தி, பின்வரும் வரைபடத்தை வரைவோம்:

↓ 120 லி/நிமி - 45 நிமிடம்

↓ x l/min - 75 நிமிடம்

பின்னர் நாம் விகிதத்தை உருவாக்குகிறோம்: 120/x = 75/45, எங்கிருந்து x = 120 * 45/75 = 72 l/min.

சிக்கலில், குளத்தின் நிரப்புதல் வேகம் ஒரு வினாடிக்கு லிட்டரில் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது;

பணி எண். 4. ஒரு சிறிய தனியார் அச்சகம் வணிக அட்டைகளை அச்சிடுகிறது. ஒரு அச்சிடும் இல்ல ஊழியர் ஒரு மணி நேரத்திற்கு 42 வணிக அட்டைகள் வேகத்தில் வேலை செய்கிறார் மற்றும் ஒரு நாள் முழுவதும் வேலை செய்கிறார் - 8 மணி நேரம். அவர் வேகமாக வேலை செய்து ஒரு மணி நேரத்தில் 48 வணிக அட்டைகளை அச்சிட்டால், அவர் எவ்வளவு முன்னதாக வீட்டிற்குச் செல்ல முடியும்?

நாங்கள் நிரூபிக்கப்பட்ட பாதையைப் பின்பற்றி, சிக்கலின் நிலைமைகளுக்கு ஏற்ப ஒரு வரைபடத்தை வரைகிறோம், விரும்பிய மதிப்பை x ஆகக் குறிப்பிடுகிறோம்:

↓ 42 வணிக அட்டைகள்/மணிநேரம் - 8 மணிநேரம்

↓ 48 வணிக அட்டைகள்/h – x h

எங்களிடம் ஒரு நேர்மாறான விகிதாசார உறவு உள்ளது: ஒரு அச்சிடும் நிறுவனத்தில் பணிபுரியும் ஊழியர் ஒரு மணி நேரத்திற்கு வணிக அட்டைகளை எத்தனை மடங்கு அதிகமாக அச்சிடுகிறார், அதே எண்ணிக்கையில் அவர் அதே வேலையை முடிக்க வேண்டிய நேரம் குறைவாக இருக்கும். இதை அறிந்து, ஒரு விகிதத்தை உருவாக்குவோம்:

42/48 = x/8, x = 42 * 8/48 = 7 மணிநேரம்.

இதனால், 7 மணி நேரத்தில் பணியை முடித்து, அச்சக ஊழியர் ஒரு மணி நேரம் முன்னதாகவே வீட்டுக்குச் சென்று விட்டார்.

முடிவுரை

இந்த தலைகீழ் விகிதாச்சார சிக்கல்கள் மிகவும் எளிமையானவை என்று நமக்குத் தோன்றுகிறது. இப்போது நீங்களும் அவர்களை அப்படித்தான் நினைப்பீர்கள் என்று நம்புகிறோம். முக்கிய விஷயம் என்னவென்றால், அளவுகளின் நேர்மாறான விகிதாசார சார்பு பற்றிய அறிவு உங்களுக்கு ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட முறை பயனுள்ளதாக இருக்கும்.

கணித பாடங்கள் மற்றும் தேர்வுகளில் மட்டுமல்ல. ஆனால், நீங்கள் சுற்றுலா செல்ல தயாராகும்போது, ​​ஷாப்பிங் செல்லலாம், விடுமுறை நாட்களில் கொஞ்சம் கூடுதல் பணம் சம்பாதிக்கலாம் என முடிவு செய்தல் போன்றவை.

உங்களைச் சுற்றி நீங்கள் கவனிக்கும் தலைகீழ் மற்றும் நேரடி விகிதாசார உறவுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள் என்ன என்பதை கருத்துகளில் எங்களிடம் கூறுங்கள். அப்படி ஒரு விளையாட்டாக இருக்கட்டும். இது எவ்வளவு உற்சாகமானது என்பதை நீங்கள் காண்பீர்கள். இந்த கட்டுரையைப் பகிர மறக்காதீர்கள் சமூக வலைப்பின்னல்கள்உங்கள் நண்பர்கள் மற்றும் வகுப்பு தோழர்களும் விளையாடலாம்.

இணையதளத்தில், உள்ளடக்கத்தை முழுமையாகவோ அல்லது பகுதியாகவோ நகலெடுக்கும்போது, ​​மூலத்திற்கான இணைப்பு தேவை.