பின்னங்களுடன் சமன்பாடுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது. பகுத்தறிவு சமன்பாடுகள். ஏழு வகையான பகுத்தறிவு சமன்பாடுகள் இருபடி சமன்பாடுகளாக குறைக்கப்படுகின்றன

எளிமையாகச் சொன்னால், இவை சமன்பாடுகளாகும், இதில் வகுப்பில் குறைந்தது ஒரு மாறி இருக்கும்.

உதாரணமாக:

\(\frac(9x^2-1)(3x)\) \(=0\)
\(\frac(1)(2x)+\frac(x)(x+1)=\frac(1)(2)\)
\(\frac(6)(x+1)=\frac(x^2-5x)(x+1)\)


உதாரணம் இல்லைபகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாடுகள்:

\(\frac(9x^2-1)(3)\) \(=0\)
\(\frac(x)(2)\) \(+8x^2=6\)

பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாடுகள் எவ்வாறு தீர்க்கப்படுகின்றன?

பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளைப் பற்றி நினைவில் கொள்ள வேண்டிய முக்கிய விஷயம் என்னவென்றால், நீங்கள் அவற்றில் எழுத வேண்டும். மற்றும் வேர்களைக் கண்டறிந்த பிறகு, அவற்றை அனுமதிக்கிறதா என்பதைச் சரிபார்க்கவும். இல்லையெனில், வெளிப்புற வேர்கள் தோன்றக்கூடும், மேலும் முழு முடிவும் தவறானதாகக் கருதப்படும்.


ஒரு பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கான அல்காரிதம்:

    ODZ ஐ எழுதி "தீர்க்க".

    சமன்பாட்டில் உள்ள ஒவ்வொரு சொல்லையும் பொதுவான வகுப்பினால் பெருக்கி, அதன் விளைவாக வரும் பின்னங்களை ரத்து செய்யவும். அடையாளங்கள் மறையும்.

    அடைப்புக்குறிகளைத் திறக்காமல் சமன்பாட்டை எழுதவும்.

    இதன் விளைவாக சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்.

    கண்டுபிடிக்கப்பட்ட வேர்களை ODZ உடன் சரிபார்க்கவும்.

    படி 7 இல் தேர்வில் தேர்ச்சி பெற்ற வேர்களை உங்கள் பதிலில் எழுதுங்கள்.

அல்காரிதம், 3-5 தீர்க்கப்பட்ட சமன்பாடுகளை மனப்பாடம் செய்யாதீர்கள், அது தானாகவே நினைவில் இருக்கும்.


உதாரணம் . பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாட்டை தீர்க்கவும் \(\frac(x)(x-2) - \frac(7)(x+2)=\frac(8)(x^2-4)\)

தீர்வு:

பதில்: \(3\).


உதாரணம் . பின்னம் பகுத்தறிவு சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டறியவும் \(=0\)

தீர்வு:

\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)(x^2+7x+10)\)\(=0\)

ODZ: \(x+2≠0⇔x≠-2\)
\(x+5≠0 ⇔x≠-5\)
\(x^2+7x+10≠0\)
\(D=49-4 \cdot 10=9\)
\(x_1≠\frac(-7+3)(2)=-2\)
\(x_2≠\frac(-7-3)(2)=-5\)

நாங்கள் ODZ ஐ எழுதி "தீர்க்கிறோம்".

சூத்திரத்தின்படி \(x^2+7x+10\) விரிவாக்குகிறோம்: \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\).
அதிர்ஷ்டவசமாக, நாங்கள் ஏற்கனவே \(x_1\) மற்றும் \(x_2\) கண்டுபிடித்துள்ளோம்.

\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)((x+2)(x+5))\)\(=0\)

வெளிப்படையாக, பின்னங்களின் பொதுவான வகுத்தல் \((x+2)(x+5)\). அதன் மூலம் முழு சமன்பாட்டையும் பெருக்குகிறோம்.

\(\frac(x(x+2)(x+5))(x+2) + \frac((x+1)(x+2)(x+5))(x+5)-\)
\(-\frac((7-x)(x+2)(x+5))((x+2)(x+5))\)\(=0\)

பின்னங்களைக் குறைத்தல்

\(x(x+5)+(x+1)(x+2)-7+x=0\)

அடைப்புக்குறிகளைத் திறக்கிறது

\(x^2+5x+x^2+3x+2-7+x=0\)

இதே போன்ற விதிமுறைகளை நாங்கள் முன்வைக்கிறோம்

\(2x^2+9x-5=0\)


சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டறிதல்

\(x_1=-5;\) \(x_2=\frac(1)(2).\)


வேர்களில் ஒன்று ODZ க்கு பொருந்தாது, எனவே பதிலில் இரண்டாவது மூலத்தை மட்டுமே எழுதுகிறோம்.

பதில்: \(\frac(1)(2)\).

ஒரு முழு எண் வெளிப்பாடு என்பது கூட்டல், கழித்தல் மற்றும் பெருக்கல் செயல்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி எண்கள் மற்றும் நேரடி மாறிகள் கொண்ட கணித வெளிப்பாடு ஆகும். பூஜ்ஜியத்தைத் தவிர வேறு எந்த எண்ணாலும் வகுப்பதை உள்ளடக்கிய வெளிப்பாடுகளும் முழு எண்களில் அடங்கும்.

ஒரு பகுதியளவு பகுத்தறிவு வெளிப்பாட்டின் கருத்து

ஒரு பகுதியளவு வெளிப்பாடு என்பது ஒரு கணித வெளிப்பாடு ஆகும், இது எண்கள் மற்றும் எழுத்து மாறிகள் மூலம் செய்யப்படும் கூட்டல், கழித்தல் மற்றும் பெருக்கல் செயல்பாடுகளுக்கு கூடுதலாக, பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லாத எண்ணால் வகுத்தல், எழுத்து மாறிகள் கொண்ட வெளிப்பாடுகளாக வகுத்தல் ஆகியவற்றைக் கொண்டுள்ளது.

பகுத்தறிவு வெளிப்பாடுகள் அனைத்தும் முழு மற்றும் பகுதியளவு வெளிப்பாடுகள். பகுத்தறிவு சமன்பாடுகள் சமன்பாடுகள் ஆகும், இதில் இடது மற்றும் வலது பக்கங்கள் பகுத்தறிவு வெளிப்பாடுகள் ஆகும். பகுத்தறிவு சமன்பாட்டில் இடது மற்றும் வலது பக்கங்கள் முழு எண் வெளிப்பாடுகளாக இருந்தால், அத்தகைய பகுத்தறிவு சமன்பாடு முழு எண் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

ஒரு பகுத்தறிவு சமன்பாட்டில் இடது அல்லது வலது பக்கங்கள் பின்ன வெளிப்பாடுகளாக இருந்தால், அத்தகைய பகுத்தறிவு சமன்பாடு பின்னம் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

பகுதியளவு பகுத்தறிவு வெளிப்பாடுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்

1. x-3/x = -6*x+19

2. (x-4)/(2*x+5) = (x+7)/(x-2)

3. (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5))

ஒரு பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கான திட்டம்

1. சமன்பாட்டில் சேர்க்கப்பட்டுள்ள அனைத்து பின்னங்களின் பொதுவான வகுப்பினைக் கண்டறியவும்.

2. சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் ஒரு பொதுவான வகுப்பினால் பெருக்கவும்.

3. விளைவாக முழு சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்.

4. வேர்களைச் சரிபார்த்து, பொதுவான வகுப்பினை மறையச் செய்யும்வற்றை விலக்கவும்.

நாம் பின்னம் பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதால், பின்னங்களின் வகுப்பில் மாறிகள் இருக்கும். இதன் பொருள் அவர்கள் ஒரு பொதுவான வகுப்பினராக இருப்பார்கள். அல்காரிதத்தின் இரண்டாவது புள்ளியில் நாம் ஒரு பொதுவான வகுப்பினால் பெருக்குகிறோம், பின்னர் வெளிப்புற வேர்கள் தோன்றக்கூடும். இதில் பொது வகுப்பானது பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும், அதாவது அதை பெருக்குவது அர்த்தமற்றதாக இருக்கும். எனவே, இறுதியில் பெறப்பட்ட வேர்களை சரிபார்க்க வேண்டியது அவசியம்.

ஒரு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்:

பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்: (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5)).

நாங்கள் ஒட்டிக்கொள்வோம் பொது திட்டம்: முதலில் அனைத்து பின்னங்களின் பொதுவான வகுப்பினைக் கண்டுபிடிப்போம். நமக்கு x*(x-5) கிடைக்கிறது.

ஒவ்வொரு பின்னத்தையும் ஒரு பொதுவான வகுப்பினால் பெருக்கி அதன் விளைவாக முழு சமன்பாட்டை எழுதவும்.

(x-3)/(x-5) * (x*(x-5))= x*(x+3);
1/x * (x*(x-5)) = (x-5);
(x+5)/(x*(x-5)) * (x*(x-5)) = (x+5);
x*(x+3) + (x-5) = (x+5);

இதன் விளைவாக வரும் சமன்பாட்டை எளிதாக்குவோம். நாங்கள் பெறுகிறோம்:

x^2+3*x + x-5 - x - 5 =0;
x^2+3*x-10=0;

நாம் ஒரு எளிய குறைக்கப்பட்டது இருபடி சமன்பாடு. எதையாவது கொண்டு அதைத் தீர்க்கிறோம் அறியப்பட்ட முறைகள், x=-2 மற்றும் x=5 என்ற வேர்களைப் பெறுகிறோம்.

இப்போது நாம் பெறப்பட்ட தீர்வுகளை சரிபார்க்கிறோம்:

எண்கள் -2 மற்றும் 5 ஐ பொது வகுப்பில் மாற்றவும். x=-2 இல், பொதுப் பிரிவான x*(x-5) மறைந்துவிடாது, -2*(-2-5)=14. இதன் பொருள் -2 என்பது அசல் பின்னம் பகுத்தறிவு சமன்பாட்டின் வேராக இருக்கும்.

x=5ல் x*(x-5) என்ற பொதுப் பிரிவானது பூஜ்ஜியமாகிறது. எனவே, இந்த எண் அசல் பின்னம் பகுத்தறிவு சமன்பாட்டின் வேர் அல்ல, ஏனெனில் பூஜ்ஜியத்தால் வகுத்தல் இருக்கும்.

பின்னங்களுடன் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது குறித்த பாடத்திற்கு உங்களை அழைக்கிறோம், பெரும்பாலும், நீங்கள் ஏற்கனவே இதுபோன்ற சமன்பாடுகளை சந்தித்திருக்கலாம், எனவே இந்த பாடத்தில் உங்களுக்குத் தெரிந்த தகவலை மீண்டும் சுருக்கமாகக் கூறுவோம்.

தளத்தில் மேலும் பாடங்கள்

பின்னம்-பகுத்தறிவு சமன்பாடு என்பது பகுத்தறிவு பின்னங்கள் இருக்கும் ஒரு சமன்பாடாகும், அதாவது வகுப்பில் ஒரு மாறி. கடந்த காலங்களில் இதுபோன்ற சமன்பாடுகளை நீங்கள் சந்தித்திருக்கலாம், எனவே இந்தப் பாடத்தில் உங்களுக்குத் தெரிந்தவற்றை மதிப்பாய்வு செய்து சுருக்கமாகக் கூறுவோம்.

முதலில், இந்த தலைப்பில் முந்தைய பாடத்திற்கு திரும்ப பரிந்துரைக்கிறேன் - பாடம் "இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது". அந்த பாடத்தில், ஒரு பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாட்டை தீர்ப்பதற்கான உதாரணம் கருதப்பட்டது. அதை கருத்தில் கொள்வோம்

இந்த சமன்பாட்டிற்கான தீர்வு பல நிலைகளில் மேற்கொள்ளப்படுகிறது:

  • பகுத்தறிவு பின்னங்களைக் கொண்ட சமன்பாட்டை மாற்றுதல்.
  • முழு சமன்பாட்டிற்கும் சென்று அதை எளிதாக்குதல்;
  • இருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது.

எந்தவொரு பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாட்டையும் தீர்க்கும் போது முதல் 2 நிலைகளைக் கடந்து செல்ல வேண்டியது அவசியம். மூன்றாவது நிலை விருப்பமானது, ஏனெனில் எளிமைப்படுத்தலின் விளைவாக பெறப்பட்ட சமன்பாடு இருபடியாக இல்லாமல் நேரியல்; நேரியல் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது மிகவும் எளிதானது. இன்னொன்று இருக்கிறது முக்கியமான கட்டம்ஒரு பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாட்டை தீர்க்கும் போது. அடுத்த சமன்பாட்டை தீர்க்கும் போது அது தெரியும்.

நீங்கள் முதலில் என்ன செய்ய வேண்டும்? - நிச்சயமாக, பின்னங்களை ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்கு கொண்டு வாருங்கள். மற்றும் அதை சரியாக கண்டுபிடிக்க மிகவும் முக்கியமானது குறைந்ததுபொதுவான வகுத்தல், இல்லையெனில், மேலும், தீர்வு செயல்பாட்டில், சமன்பாடு சிக்கலானதாக இருக்கும். கடைசி பின்னத்தின் வகுப்பினை காரணியாக்க முடியும் என்பதை இங்கே நாம் கவனிக்கிறோம் மணிக்குமற்றும் y+2. இந்த தயாரிப்புதான் இந்த சமன்பாட்டில் பொதுவான வகுப்பாக இருக்கும். இப்போது நாம் ஒவ்வொரு பின்னத்திற்கும் கூடுதல் காரணிகளைத் தீர்மானிக்க வேண்டும். இன்னும் துல்லியமாக, கடைசி பகுதிக்கு அத்தகைய பெருக்கி தேவையில்லை, ஏனெனில் அதன் வகுத்தல் பொதுவான ஒன்றுக்கு சமம். இப்போது அனைத்து பின்னங்களும் உள்ளன அதே பிரிவுகள், எண்களை மட்டுமே கொண்ட முழு சமன்பாட்டிற்கு நாம் செல்லலாம். ஆனால் ஒரு கருத்தைச் சொல்ல வேண்டியது அவசியம் அறியப்படாதவற்றின் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட மதிப்பு எந்த வகுப்பினையும் பூஜ்ஜியமாகக் குறைக்க முடியாது. இது ODZ: y≠0, y≠2. இது தீர்வின் முன்னர் விவரிக்கப்பட்ட நிலைகளில் முதலாவதாக நிறைவுசெய்து, இரண்டாவது நிலைக்குச் செல்கிறோம் - இதன் விளைவாக முழு சமன்பாட்டையும் எளிதாக்குகிறோம். இதைச் செய்ய, அடைப்புக்குறிகளைத் திறந்து, அனைத்து சொற்களையும் சமன்பாட்டின் ஒரு பக்கத்திற்கு நகர்த்தி, ஒத்தவற்றை வழங்கவும். அதை நீங்களே செய்து, சமன்பாட்டை வழங்கிய எனது கணக்கீடுகள் சரியாக உள்ளதா என சரிபார்க்கவும் 3y 2 – 12y = 0.இந்த சமன்பாடு இருபடியானது, இது நிலையான வடிவத்தில் எழுதப்பட்டுள்ளது, மேலும் அதன் குணகங்களில் ஒன்று பூஜ்ஜியமாகும்.


பற்றி தொடர்ந்து பேசுவோம் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது. பற்றி விரிவாக இந்தக் கட்டுரையில் பார்ப்போம் பகுத்தறிவு சமன்பாடுகள்மற்றும் பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளை ஒரு மாறி மூலம் தீர்க்கும் கொள்கைகள். முதலில், எந்த வகையான சமன்பாடுகள் பகுத்தறிவு என்று அழைக்கப்படுகின்றன என்பதைக் கண்டுபிடிப்போம், முழு பகுத்தறிவு மற்றும் பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளின் வரையறையை வழங்கவும், எடுத்துக்காட்டுகள் கொடுக்கவும். அடுத்து, பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான வழிமுறைகளைப் பெறுவோம், நிச்சயமாக, தேவையான அனைத்து விளக்கங்களுடனும் பொதுவான எடுத்துக்காட்டுகளுக்கான தீர்வுகளை நாங்கள் கருத்தில் கொள்வோம்.

பக்க வழிசெலுத்தல்.

கூறப்பட்ட வரையறைகளின் அடிப்படையில், பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளின் பல எடுத்துக்காட்டுகளை நாங்கள் தருகிறோம். எடுத்துக்காட்டாக, x=1, 2·x−12·x 2 ·y·z 3 =0, , அனைத்தும் பகுத்தறிவு சமன்பாடுகள்.

காட்டப்பட்டுள்ள எடுத்துக்காட்டுகளிலிருந்து, பகுத்தறிவு சமன்பாடுகள் மற்றும் பிற வகைகளின் சமன்பாடுகள் ஒரு மாறி அல்லது இரண்டு, மூன்று போன்றவற்றுடன் இருக்கலாம் என்பது தெளிவாகிறது. மாறிகள். பின்வரும் பத்திகளில் பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளை ஒரு மாறி மூலம் தீர்ப்பது பற்றி பேசுவோம். இரண்டு மாறிகளில் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதுமற்றும் அவர்கள் ஒரு பெரிய எண்சிறப்பு கவனம் தேவை.

அறியப்படாத மாறிகளின் எண்ணிக்கையால் பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளைப் பிரிப்பதைத் தவிர, அவை முழு எண் மற்றும் பின்னம் என பிரிக்கப்படுகின்றன. அதற்கான வரையறைகளை வழங்குவோம்.

வரையறை.

பகுத்தறிவு சமன்பாடு அழைக்கப்படுகிறது முழுவதும், அதன் இடது மற்றும் வலது பக்கங்கள் இரண்டும் முழு பகுத்தறிவு வெளிப்பாடுகளாக இருந்தால்.

வரையறை.

பகுத்தறிவு சமன்பாட்டின் ஒரு பகுதியாவது ஒரு பகுதியளவு வெளிப்பாடாக இருந்தால், அத்தகைய சமன்பாடு அழைக்கப்படுகிறது பகுதியளவு பகுத்தறிவு(அல்லது பகுதியளவு பகுத்தறிவு).

முழு சமன்பாடுகளும் மாறியால் வகுபடுவதில்லை என்பது தெளிவாகிறது. எனவே 3 x+2=0 மற்றும் (x+y)·(3·x 2 -1)+x=−y+0.5- இவை முழு பகுத்தறிவு சமன்பாடுகள், அவற்றின் இரண்டு பகுதிகளும் முழு வெளிப்பாடுகள். A மற்றும் x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5 என்பது பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்.

இந்த புள்ளியை முடித்து, இந்த புள்ளியில் அறியப்பட்ட நேரியல் சமன்பாடுகள் மற்றும் இருபடி சமன்பாடுகள் முழு பகுத்தறிவு சமன்பாடுகள் என்பதில் கவனம் செலுத்துவோம்.

முழு சமன்பாடுகளையும் தீர்ப்பது

முழு சமன்பாடுகளையும் தீர்ப்பதற்கான முக்கிய அணுகுமுறைகளில் ஒன்று அவற்றை சமமானதாகக் குறைப்பதாகும் இயற்கணித சமன்பாடுகள். சமன்பாட்டின் பின்வரும் சமமான மாற்றங்களைச் செய்வதன் மூலம் இது எப்போதும் செய்யப்படலாம்:

  • முதலில், அசல் முழு எண் சமன்பாட்டின் வலது பக்கத்திலிருந்து வெளிப்பாடு வலது பக்கத்தில் பூஜ்ஜியத்தைப் பெற எதிர் குறியுடன் இடது பக்கத்திற்கு மாற்றப்படுகிறது;
  • இதற்குப் பிறகு, சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்தில் விளைவாக நிலையான பார்வை.

விளைவு இயற்கணித சமன்பாடு, இது அசல் முழு எண் சமன்பாட்டிற்கு சமம். எனவே அதிகபட்சம் எளிய வழக்குகள்முழு சமன்பாடுகளையும் தீர்ப்பது நேரியல் அல்லது இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கும், பொதுவாக n பட்டத்தின் இயற்கணித சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கும் குறைகிறது. தெளிவுக்காக, உதாரணத்திற்கான தீர்வைப் பார்ப்போம்.

உதாரணம்.

முழு சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டறியவும் 3·(x+1)·(x−3)=x·(2·x−1)−3.

தீர்வு.

இந்த முழுச் சமன்பாட்டின் தீர்வையும் சமமான இயற்கணிதச் சமன்பாட்டின் தீர்வுக்குக் குறைப்போம். இதைச் செய்ய, முதலில், வெளிப்பாட்டை வலது பக்கத்திலிருந்து இடதுபுறமாக மாற்றுகிறோம், இதன் விளைவாக நாம் சமன்பாட்டிற்கு வருகிறோம். 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3=0. மற்றும், இரண்டாவதாக, தேவையானவற்றை நிறைவு செய்வதன் மூலம் இடது பக்கத்தில் உருவாகும் வெளிப்பாட்டை நிலையான வடிவத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவையாக மாற்றுகிறோம்: 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3= (3 x+3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2 −9 x+3 x−9−2 x 2 +x+3=x 2 -5 x−6. எனவே, அசல் முழு எண் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது x 2 −5·x−6=0 என்ற இருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதாகக் குறைக்கப்படுகிறது.

அதன் பாகுபாட்டை நாங்கள் கணக்கிடுகிறோம் D=(−5) 2 −4·1·(−6)=25+24=49, இது நேர்மறையானது, அதாவது சமன்பாடு இரண்டு உண்மையான வேர்களைக் கொண்டுள்ளது, இது ஒரு இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவதைக் காண்கிறோம்:

முற்றிலும் உறுதியாக இருக்க, அதை செய்வோம் சமன்பாட்டின் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட வேர்களை சரிபார்க்கிறது. முதலில் ரூட் 6 ஐ சரிபார்த்து, அசல் முழு எண் சமன்பாட்டில் x மாறிக்கு பதிலாக அதை மாற்றவும்: 3·(6+1)·(6−3)=6·(2·6−1)−3, இது அதே, 63=63. இது சரியான எண் சமன்பாடு ஆகும், எனவே x=6 என்பது சமன்பாட்டின் வேர். இப்போது நாம் ரூட் −1 ஐ சரிபார்க்கிறோம், எங்களிடம் உள்ளது 3·(−1+1)·(−1−3)=(−1)·(2·(−1)−1)−3, எங்கிருந்து, 0=0 . x=−1 ஆக இருக்கும்போது, ​​அசல் சமன்பாடு சரியான எண் சமத்துவமாக மாறும், எனவே, x=−1 என்பது சமன்பாட்டின் ஒரு மூலமும் ஆகும்.

பதில்:

6 , −1 .

இங்கே "முழு சமன்பாட்டின் பட்டம்" என்பது ஒரு இயற்கணித சமன்பாட்டின் வடிவத்தில் முழு சமன்பாட்டின் பிரதிநிதித்துவத்துடன் தொடர்புடையது என்பதையும் கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும். தொடர்புடைய வரையறையை வழங்குவோம்:

வரையறை.

முழு சமன்பாட்டின் சக்திசமமான இயற்கணித சமன்பாட்டின் அளவு என்று அழைக்கப்படுகிறது.

இந்த வரையறையின்படி, முந்தைய எடுத்துக்காட்டில் இருந்து முழு சமன்பாடும் இரண்டாவது பட்டம் கொண்டது.

இது முழு பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளையும் தீர்க்கும் முடிவாக இருந்திருக்கலாம், ஒன்று இல்லாவிட்டால்…. அறியப்பட்டபடி, இரண்டாவது பட்டத்தின் இயற்கணித சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது குறிப்பிடத்தக்க சிரமங்களுடன் தொடர்புடையது, மேலும் நான்காவது பட்டத்தின் சமன்பாடுகளுக்கு பொதுவான ரூட் சூத்திரங்கள் எதுவும் இல்லை. எனவே, மூன்றாவது, நான்காவது மற்றும் பலவற்றின் முழு சமன்பாடுகளையும் தீர்க்க உயர் பட்டங்கள்பெரும்பாலும் நீங்கள் மற்ற தீர்வு முறைகளை நாட வேண்டும்.

இதுபோன்ற சந்தர்ப்பங்களில், அடிப்படையிலான முழு பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளையும் தீர்ப்பதற்கான அணுகுமுறை காரணியாக்கல் முறை. இந்த வழக்கில், பின்வரும் வழிமுறை பின்பற்றப்படுகிறது:

  • முதலில், அவர்கள் சமன்பாட்டின் வலது பக்கத்தில் பூஜ்ஜியம் இருப்பதை உறுதி செய்கிறார்கள், அவர்கள் முழு சமன்பாட்டின் வலது பக்கத்திலிருந்து இடதுபுறமாக வெளிப்பாட்டை மாற்றுகிறார்கள்;
  • பின்னர், இடது பக்கத்தில் விளைந்த வெளிப்பாடு பல காரணிகளின் விளைபொருளாக வழங்கப்படுகிறது, இது பல எளிய சமன்பாடுகளின் தொகுப்பிற்கு செல்ல அனுமதிக்கிறது.

காரணியாக்கம் மூலம் முழு சமன்பாட்டையும் தீர்ப்பதற்கான கொடுக்கப்பட்ட வழிமுறைக்கு ஒரு உதாரணத்தைப் பயன்படுத்தி விரிவான விளக்கம் தேவைப்படுகிறது.

உதாரணம்.

முழு சமன்பாட்டையும் தீர்க்கவும் (x 2 −1)·(x 2 -10·x+13)= 2 x (x 2 -10 x+13) .

தீர்வு.

முதலில், வழக்கம் போல், சமன்பாட்டின் வலது பக்கத்திலிருந்து இடது பக்கத்திற்கு வெளிப்பாட்டை மாற்றுகிறோம், அடையாளத்தை மாற்ற மறக்காமல், நாம் பெறுகிறோம் (x 2 −1)·(x 2 -10·x+13)− 2 x (x 2 -10 x+13)=0 . இதன் விளைவாக வரும் சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்தை நிலையான வடிவத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவையாக மாற்றுவது நல்லதல்ல என்பது இங்கே தெளிவாகத் தெரிகிறது, ஏனெனில் இது படிவத்தின் நான்காவது பட்டத்தின் இயற்கணித சமன்பாட்டைக் கொடுக்கும். x 4 -12 x 3 +32 x 2 -16 x−13=0, தீர்வு கடினமானது.

மறுபுறம், விளைவான சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்தில் நாம் x 2 -10 x+13 , அதன் மூலம் அதை ஒரு தயாரிப்பாகக் காட்டலாம் என்பது வெளிப்படையானது. எங்களிடம் உள்ளது (x 2 −10 x+13) (x 2 -2 x−1)=0. இதன் விளைவாக வரும் சமன்பாடு அசல் முழுச் சமன்பாட்டிற்குச் சமமானதாகும், மேலும் அது, x 2 -10·x+13=0 மற்றும் x 2 −2·x−1=0 ஆகிய இரண்டு இருபடி சமன்பாடுகளின் தொகுப்பால் மாற்றப்படலாம். ஒரு பாகுபாடு மூலம் அறியப்பட்ட ரூட் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி அவற்றின் வேர்களைக் கண்டறிவது கடினம் அல்ல, வேர்கள் சமமானவை. அவை அசல் சமன்பாட்டின் விரும்பிய வேர்கள்.

பதில்:

முழு பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளையும் தீர்ப்பதற்கும் பயனுள்ளதாக இருக்கும் ஒரு புதிய மாறியை அறிமுகப்படுத்துவதற்கான முறை. சில சமயங்களில், அசல் முழு சமன்பாட்டின் அளவை விட குறைவாக இருக்கும் சமன்பாடுகளுக்கு செல்ல இது உங்களை அனுமதிக்கிறது.

உதாரணம்.

பகுத்தறிவு சமன்பாட்டின் உண்மையான வேர்களைக் கண்டறியவும் (x 2 +3 x+1) 2 +10=−2 (x 2 +3 x−4).

தீர்வு.

இந்த முழு பகுத்தறிவு சமன்பாட்டையும் ஒரு இயற்கணித சமன்பாட்டிற்கு குறைப்பது மிகவும் நல்ல யோசனையல்ல, ஏனெனில் இந்த விஷயத்தில் பகுத்தறிவு வேர்கள் இல்லாத நான்காவது டிகிரி சமன்பாட்டை தீர்க்க வேண்டிய அவசியத்திற்கு வருவோம். எனவே, நீங்கள் வேறு தீர்வைத் தேட வேண்டும்.

இங்கே நீங்கள் ஒரு புதிய மாறி y ஐ அறிமுகப்படுத்தலாம் மற்றும் x 2 +3·x என்ற வெளிப்பாட்டை மாற்றலாம். இந்த மாற்றீடு நம்மை முழு சமன்பாட்டிற்கு இட்டுச் செல்கிறது (y+1) 2 +10=−2·(y−4) , இது −2·(y−4) வெளிப்பாட்டை இடது பக்கம் நகர்த்திய பிறகு மற்றும் வெளிப்பாட்டின் மாற்றத்திற்குப் பிறகு அங்கு உருவாக்கப்பட்ட, ஒரு இருபடி சமன்பாடு y 2 +4·y+3=0 குறைக்கப்பட்டது. இந்த சமன்பாட்டின் வேர்கள் y=−1 மற்றும் y=−3 கண்டுபிடிக்க எளிதானது, எடுத்துக்காட்டாக, வியட்டாவின் தேற்றத்திற்கு நேர்மாறான தேற்றத்தின் அடிப்படையில் அவற்றைத் தேர்ந்தெடுக்கலாம்.

இப்போது நாம் ஒரு புதிய மாறியை அறிமுகப்படுத்தும் முறையின் இரண்டாம் பகுதிக்கு செல்கிறோம், அதாவது தலைகீழ் மாற்றீட்டைச் செய்ய. தலைகீழ் மாற்றீட்டைச் செய்த பிறகு, x 2 +3 x=−1 மற்றும் x 2 +3 x=−3 ஆகிய இரண்டு சமன்பாடுகளைப் பெறுகிறோம், அவை x 2 +3 x+1=0 மற்றும் x 2 +3 x+3 என மீண்டும் எழுதப்படலாம். =0. இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, முதல் சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டுபிடிப்போம். இரண்டாவது இருபடிச் சமன்பாட்டிற்கு உண்மையான வேர்கள் இல்லை, ஏனெனில் அதன் பாகுபாடு எதிர்மறையானது (D=3 2 −4·3=9−12=−3 ).

பதில்:

பொதுவாக, உயர்நிலைகளின் முழு சமன்பாடுகளையும் நாம் கையாளும் போது, ​​அவற்றைத் தீர்ப்பதற்கான ஒரு தரமற்ற முறை அல்லது ஒரு செயற்கை நுட்பத்தைத் தேடுவதற்கு நாம் எப்போதும் தயாராக இருக்க வேண்டும்.

பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது

முதலில், p(x) மற்றும் q(x) ஆகியவை முழு எண் பகுத்தறிவு வெளிப்பாடுகளாக இருக்கும் படிவத்தின் பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதைப் புரிந்துகொள்வது பயனுள்ளதாக இருக்கும். சுட்டிக்காட்டப்பட்ட வகையின் சமன்பாடுகளின் தீர்வுக்கு பிற பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளின் தீர்வை எவ்வாறு குறைப்பது என்பதைக் காண்பிப்போம்.

சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கான ஒரு அணுகுமுறை பின்வரும் அறிக்கையை அடிப்படையாகக் கொண்டது: எண் பின்னம் u/v, அங்கு v என்பது பூஜ்ஜியமற்ற எண்ணாகும் (இல்லையெனில் நாம் சந்திப்போம், இது வரையறுக்கப்படவில்லை), அதன் எண் இருந்தால் மட்டுமே பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம். பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமம், u=0 என்றால் மட்டுமே. இந்த அறிக்கையின் அடிப்படையில், சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது p(x)=0 மற்றும் q(x)≠0 ஆகிய இரண்டு நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்வதாக குறைக்கப்படுகிறது.

இந்த முடிவு பின்வருவனவற்றுடன் ஒத்துப்போகிறது ஒரு பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கான அல்காரிதம். படிவத்தின் ஒரு பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாட்டைத் தீர்க்க, உங்களுக்குத் தேவை

  • முழு பகுத்தறிவு சமன்பாட்டை தீர்க்கவும் p(x)=0 ;
  • கண்டுபிடிக்கப்பட்ட ஒவ்வொரு மூலத்திற்கும் நிபந்தனை q(x)≠0 திருப்திகரமாக உள்ளதா என்பதைச் சரிபார்க்கவும்
    • உண்மை என்றால், இந்த வேர் அசல் சமன்பாட்டின் வேர் ஆகும்;
    • அது திருப்தியடையவில்லை என்றால், இந்த வேர் புறம்பானது, அதாவது, இது அசல் சமன்பாட்டின் வேர் அல்ல.

ஒரு பகுதி பகுத்தறிவு சமன்பாட்டை தீர்க்கும் போது அறிவிக்கப்பட்ட அல்காரிதத்தைப் பயன்படுத்துவதற்கான உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்.

உதாரணம்.

சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு.

இது ஒரு பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாடு மற்றும் வடிவத்தின் , p(x)=3·x−2, q(x)=5·x 2 −2=0.

இந்த வகையின் பின்னம் பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான வழிமுறையின்படி, முதலில் 3 x−2=0 சமன்பாட்டைத் தீர்க்க வேண்டும். இது ஒரு நேரியல் சமன்பாடு ஆகும், இதன் ரூட் x=2/3 ஆகும்.

இந்த ரூட்டைச் சரிபார்க்க வேண்டும், அதாவது, இது 5 x 2 −2≠0 நிபந்தனையை பூர்த்திசெய்கிறதா என்பதைச் சரிபார்க்கவும். x க்கு பதிலாக 2/3 என்ற எண்ணை 5 x 2 −2 என்ற வெளிப்பாட்டிற்கு மாற்றுவோம், மேலும் நமக்கு கிடைக்கும். நிபந்தனை பூர்த்தி செய்யப்பட்டது, எனவே x=2/3 என்பது அசல் சமன்பாட்டின் வேர்.

பதில்:

2/3 .

நீங்கள் ஒரு பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாட்டை சற்று மாறுபட்ட நிலையில் இருந்து தீர்க்கலாம். இந்த சமன்பாடு அசல் சமன்பாட்டின் மாறி x இல் உள்ள முழு எண் சமன்பாடு p(x)=0 க்கு சமம். அதாவது, நீங்கள் இதை ஒட்டிக்கொள்ளலாம் ஒரு பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கான அல்காரிதம் :

  • p(x)=0 சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்;
  • மாறி x இன் ODZ ஐக் கண்டறியவும்;
  • ஏற்றுக்கொள்ளக்கூடிய மதிப்புகளின் பகுதியைச் சேர்ந்த வேர்களை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள் - அவை அசல் பின்னம் பகுத்தறிவு சமன்பாட்டின் விரும்பிய வேர்கள்.

எடுத்துக்காட்டாக, இந்த அல்காரிதத்தைப் பயன்படுத்தி ஒரு பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாட்டைத் தீர்ப்போம்.

உதாரணம்.

சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்.

தீர்வு.

முதலில், நாம் x 2 -2·x−11=0 என்ற இருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்க்கிறோம். எங்களிடம் உள்ள இரண்டாவது குணகத்திற்கான ரூட் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி அதன் வேர்களைக் கணக்கிடலாம் D 1 =(-1) 2 −1·(−11)=12, மற்றும்.

இரண்டாவதாக, அசல் சமன்பாட்டிற்கான மாறி x இன் ODZ ஐக் காண்கிறோம். இது x 2 +3·x≠0 அனைத்து எண்களையும் கொண்டுள்ளது, இது x·(x+3)≠0, எங்கிருந்து x≠0, x≠−3.

முதல் கட்டத்தில் காணப்படும் வேர்கள் ODZ இல் சேர்க்கப்பட்டுள்ளதா என்பதை சரிபார்க்க உள்ளது. வெளிப்படையாக ஆம். எனவே, அசல் பின்னம் பகுத்தறிவு சமன்பாடு இரண்டு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது.

பதில்:

ODZ கண்டுபிடிக்க எளிதானது என்றால், இந்த அணுகுமுறை முதல் முறையை விட அதிக லாபம் தரும் என்பதை நினைவில் கொள்ளவும், மேலும் p(x) = 0 என்ற சமன்பாட்டின் வேர்கள் பகுத்தறிவற்றதாகவோ அல்லது பகுத்தறிவுடையதாகவோ இருந்தால் மிகவும் பயனுள்ளதாக இருக்கும், ஆனால் பெரிய எண் மற்றும் /அல்லது வகுத்தல், எடுத்துக்காட்டாக, 127/1101 மற்றும் −31/59. இது போன்ற சந்தர்ப்பங்களில், q(x)≠0 நிலையைச் சரிபார்ப்பதற்கு குறிப்பிடத்தக்க கணக்கீட்டு முயற்சி தேவைப்படும், மேலும் ODZ ஐப் பயன்படுத்தி வெளிப்புற வேர்களை விலக்குவது எளிது.

மற்ற சந்தர்ப்பங்களில், சமன்பாட்டை தீர்க்கும் போது, ​​குறிப்பாக p(x) = 0 சமன்பாட்டின் வேர்கள் முழு எண்களாக இருக்கும் போது, ​​கொடுக்கப்பட்ட வழிமுறைகளில் முதல் முறையைப் பயன்படுத்துவது அதிக லாபம் தரும். அதாவது, p(x)=0 என்ற முழு சமன்பாட்டின் வேர்களையும் உடனடியாகக் கண்டுபிடித்து, ODZ ஐக் கண்டுபிடிப்பதை விட, q(x)≠0 நிபந்தனை அவர்களுக்கு திருப்தி அளிக்கிறதா என்பதைச் சரிபார்த்து, பின்னர் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது நல்லது. இந்த ODZ இல் p(x)=0 . இதுபோன்ற சந்தர்ப்பங்களில் DZ ஐக் கண்டுபிடிப்பதை விட சரிபார்க்க பொதுவாக எளிதானது என்பதே இதற்குக் காரணம்.

குறிப்பிட்ட நுணுக்கங்களை விளக்குவதற்கு இரண்டு எடுத்துக்காட்டுகளின் தீர்வைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

உதாரணம்.

சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு.

முதலில், முழு சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டுபிடிப்போம் (2 x−1) (x−6) (x 2 -5 x+14) (x+1)=0, பின்னத்தின் எண்ணிக்கையைப் பயன்படுத்தி இயற்றப்பட்டது. இந்த சமன்பாட்டின் இடது பக்கம் ஒரு தயாரிப்பு, மற்றும் வலது பக்கம் பூஜ்ஜியமாகும், எனவே, காரணியாக்கம் மூலம் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும் முறையின்படி, இந்த சமன்பாடு நான்கு சமன்பாடுகளின் தொகுப்பிற்கு சமம் 2 x−1=0 , x−6= 0 , x 2 −5 x+ 14=0 , x+1=0 . இந்த சமன்பாடுகளில் மூன்று நேரியல் மற்றும் ஒன்று நாம் அவற்றை தீர்க்க முடியும். முதல் சமன்பாட்டிலிருந்து x=1/2, இரண்டாவது - x=6, மூன்றாவது - x=7, x=−2, நான்காவது - x=-1.

கண்டுபிடிக்கப்பட்ட வேர்களைக் கொண்டு, அசல் சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்தில் உள்ள பகுதியின் வகுத்தல் மறைந்துவிட்டதா என்பதைச் சரிபார்க்க மிகவும் எளிதானது, ஆனால் ODZ ஐ தீர்மானிப்பது அவ்வளவு எளிதல்ல, இதற்கு நீங்கள் தீர்க்க வேண்டும். ஐந்தாவது பட்டத்தின் இயற்கணித சமன்பாடு. எனவே, வேர்களைச் சரிபார்ப்பதற்கு ஆதரவாக ODZ ஐக் கண்டுபிடிப்பதைக் கைவிடுவோம். இதைச் செய்ய, வெளிப்பாட்டில் உள்ள மாறி x க்கு பதிலாக அவற்றை ஒவ்வொன்றாக மாற்றுவோம் x 5 -15 x 4 +57 x 3 -13 x 2 +26 x+112, மாற்றீட்டிற்குப் பிறகு பெற்று, அவற்றை பூஜ்ஜியத்துடன் ஒப்பிடுக: (1/2) 5 −15·(1/2) 4 + 57·(1/2) 3 −13·(1/2) 2 +26·(1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 −15·6 4 +57·6 3 −13·6 2 +26·6+112= 448≠0 ;
7 5 −15·7 4 +57·7 3 −13·7 2 +26·7+112=0;
(−2) 5 −15·(-2) 4 +57·(-2) 3 -13·(−2) 2 + 26·(−2)+112=−720≠0 ;
(−1) 5 −15·(−1) 4 +57·(−1) 3 −13·(−1) 2 + 26·(−1)+112=0 .

எனவே, 1/2, 6 மற்றும் −2 ஆகியவை அசல் பின்னம் பகுத்தறிவு சமன்பாட்டின் விரும்பிய வேர்கள், மேலும் 7 மற்றும் −1 ஆகியவை புறம்பான வேர்கள்.

பதில்:

1/2 , 6 , −2 .

உதாரணம்.

ஒரு பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு.

முதலில், சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டுபிடிப்போம் (5 x 2 −7 x−1) (x−2)=0. இந்த சமன்பாடு இரண்டு சமன்பாடுகளின் தொகுப்பிற்குச் சமமானது: சதுரம் 5·x 2 -7·x−1=0 மற்றும் நேரியல் x−2=0. ஒரு இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, இரண்டு வேர்களைக் காண்கிறோம், இரண்டாவது சமன்பாட்டிலிருந்து x=2 ஐப் பெறுகிறோம்.

x இன் காணப்படும் மதிப்புகளில் வகுத்தல் பூஜ்ஜியத்திற்குச் செல்கிறதா என்பதைச் சரிபார்ப்பது மிகவும் விரும்பத்தகாதது. அசல் சமன்பாட்டில் x மாறியின் அனுமதிக்கப்பட்ட மதிப்புகளின் வரம்பை தீர்மானிப்பது மிகவும் எளிது. எனவே, நாங்கள் ODZ மூலம் செயல்படுவோம்.

எங்கள் விஷயத்தில், அசல் பின்னம் பகுத்தறிவு சமன்பாட்டின் மாறி x இன் ODZ ஆனது நிபந்தனை x 2 +5·x−14=0 பூர்த்தி செய்யப்பட்ட எண்களைத் தவிர அனைத்து எண்களையும் கொண்டுள்ளது. இந்த இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்கள் x=−7 மற்றும் x=2 ஆகும், இதிலிருந்து நாம் ODZ பற்றி ஒரு முடிவுக்கு வருகிறோம்: இது அனைத்து x போன்றவற்றையும் கொண்டுள்ளது.

கண்டுபிடிக்கப்பட்ட வேர்கள் மற்றும் x=2 ஏற்றுக்கொள்ளக்கூடிய மதிப்புகளின் வரம்பைச் சேர்ந்ததா என்பதைச் சரிபார்க்க வேண்டும். வேர்கள் சொந்தமானது, எனவே, அவை அசல் சமன்பாட்டின் வேர்கள், மேலும் x=2 சொந்தமானது அல்ல, எனவே, இது ஒரு புறம்பான வேர்.

பதில்:

படிவத்தின் ஒரு பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாட்டில் எண்ணில் ஒரு எண் இருக்கும் போது, ​​அதாவது p(x) சில எண்ணால் குறிப்பிடப்படும் போது, ​​தனித்தனியாகப் பேசுவது பயனுள்ளதாக இருக்கும். அதே நேரத்தில்

  • இந்த எண் பூஜ்ஜியம் அல்லாததாக இருந்தால், சமன்பாட்டிற்கு வேர்கள் இல்லை, ஏனெனில் ஒரு பின்னம் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம் மற்றும் அதன் எண் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால் மட்டுமே;
  • இந்த எண் பூஜ்ஜியமாக இருந்தால், சமன்பாட்டின் மூலமானது ODZ இலிருந்து எந்த எண்ணாகவும் இருக்கும்.

உதாரணம்.

தீர்வு.

சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்தில் உள்ள பின்னத்தின் எண் பூஜ்ஜியமற்ற எண்ணைக் கொண்டிருப்பதால், எந்த x க்கும் இந்த பின்னத்தின் மதிப்பு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்க முடியாது. எனவே, இந்த சமன்பாட்டிற்கு வேர்கள் இல்லை.

பதில்:

வேர்கள் இல்லை.

உதாரணம்.

சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்.

தீர்வு.

இந்த பின்னம் பகுத்தறிவு சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்தில் உள்ள பின்னத்தின் எண் பூஜ்ஜியத்தைக் கொண்டுள்ளது, எனவே இந்த பின்னத்தின் மதிப்பு அது அர்த்தமுள்ள எந்த x க்கும் பூஜ்ஜியமாகும். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், இந்த சமன்பாட்டிற்கான தீர்வு இந்த மாறியின் ODZ இலிருந்து x இன் எந்த மதிப்பாகும்.

ஏற்றுக்கொள்ளக்கூடிய மதிப்புகளின் வரம்பைத் தீர்மானிக்க இது உள்ளது. இது x 4 +5 x 3 ≠0 இன் அனைத்து மதிப்புகளையும் உள்ளடக்கியது. x 4 +5 x 3 =0 சமன்பாட்டிற்கான தீர்வுகள் 0 மற்றும் −5 ஆகும், ஏனெனில் இந்த சமன்பாடு x 3 (x+5)=0 சமன்பாட்டிற்கு சமம், மேலும் இது x என்ற இரண்டு சமன்பாடுகளின் சேர்க்கைக்கு சமம். 3 =0 மற்றும் x +5=0, இந்த வேர்கள் தெரியும். எனவே, ஏற்றுக்கொள்ளக்கூடிய மதிப்புகளின் விரும்பிய வரம்பு x=0 மற்றும் x=−5 தவிர எந்த x ஆகும்.

எனவே, ஒரு பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாடு எண்ணற்ற பல தீர்வுகளைக் கொண்டுள்ளது, அவை பூஜ்ஜியம் மற்றும் கழித்தல் ஐந்து தவிர வேறு எந்த எண்களாகும்.

பதில்:

இறுதியாக, தன்னிச்சையான வடிவத்தின் பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது பற்றி பேச வேண்டிய நேரம் இது. அவற்றை r(x)=s(x) என எழுதலாம், இங்கு r(x) மற்றும் s(x) ஆகியவை பகுத்தறிவு வெளிப்பாடுகள் மற்றும் அவற்றில் குறைந்தபட்சம் ஒன்று பின்னமானது. முன்னோக்கிப் பார்க்கும்போது, ​​​​அவற்றின் தீர்வு ஏற்கனவே நமக்கு நன்கு தெரிந்த வடிவத்தின் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதில் வரும் என்று சொல்லலாம்.

சமன்பாட்டின் ஒரு பகுதியிலிருந்து மற்றொரு பகுதிக்கு எதிர் குறியுடன் ஒரு சொல்லை மாற்றுவது சமமான சமன்பாட்டிற்கு வழிவகுக்கிறது, எனவே சமன்பாடு r(x)=s(x) சமன்பாடு r(x)−s(x) சமன்பாடு ஆகும் )=0.

இந்த வெளிப்பாட்டிற்கு சமமான ஏதேனும் ஒன்று சாத்தியம் என்பதையும் நாங்கள் அறிவோம். எனவே, r(x)−s(x)=0 சமன்பாட்டின் இடதுபுறத்தில் உள்ள பகுத்தறிவு வெளிப்பாட்டை வடிவத்தின் ஒரே மாதிரியான பகுத்தறிவு பின்னமாக மாற்றலாம்.

எனவே நாம் அசல் பின்னம் பகுத்தறிவு சமன்பாட்டிலிருந்து r(x)=s(x) சமன்பாட்டிற்கு நகர்கிறோம், மேலும் அதன் தீர்வு, நாம் மேலே கண்டறிந்தபடி, p(x)=0 சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கு குறைக்கப்படுகிறது.

ஆனால் இங்கே r(x)−s(x)=0 ஐ , பின்னர் p(x)=0 என்று மாற்றும் போது, ​​x மாறியின் அனுமதிக்கப்பட்ட மதிப்புகளின் வரம்பு விரிவடையும் என்ற உண்மையை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ள வேண்டும். .

இதன் விளைவாக, நாம் வந்த அசல் சமன்பாடு r(x)=s(x) மற்றும் p(x)=0 சமன்பாடு ஆகியவை சமமற்றதாக மாறலாம், மேலும் p(x)=0 சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதன் மூலம், நாம் வேர்களைப் பெறலாம். இது r(x)=s(x) என்ற அசல் சமன்பாட்டின் புறம்பான வேர்களாக இருக்கும். சரிபார்ப்பதன் மூலம் அல்லது அசல் சமன்பாட்டின் ODZ க்கு சொந்தமானவை என்பதைச் சரிபார்ப்பதன் மூலம் நீங்கள் பதிலில் புறம்பான வேர்களை அடையாளம் காணலாம் மற்றும் சேர்க்கக்கூடாது.

இந்த தகவலை சுருக்கமாகக் கூறுவோம் பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கான வழிமுறை r(x)=s(x). r(x)=s(x) என்ற பின்னம் பகுத்தறிவு சமன்பாட்டைத் தீர்க்க, உங்களுக்குத் தேவை

  • எதிரெதிர் அடையாளத்துடன் வெளிப்பாட்டை வலது பக்கத்திலிருந்து நகர்த்துவதன் மூலம் வலதுபுறத்தில் பூஜ்ஜியத்தைப் பெறுங்கள்.
  • சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்தில் பின்னங்கள் மற்றும் பல்லுறுப்புக்கோவைகளுடன் செயல்பாடுகளைச் செய்யவும், அதன் மூலம் அதை வடிவத்தின் பகுத்தறிவுப் பகுதியாக மாற்றவும்.
  • p(x)=0 சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்.
  • அசல் சமன்பாட்டில் அவற்றை மாற்றுவதன் மூலம் அல்லது அசல் சமன்பாட்டின் ODZ ஐச் சரிபார்ப்பதன் மூலம் வெளிப்புற வேர்களைக் கண்டறிந்து அகற்றவும்.

அதிக தெளிவுக்காக, பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான முழு சங்கிலியையும் காண்பிப்போம்:
.

கொடுக்கப்பட்ட தகவலைத் தெளிவுபடுத்துவதற்காக, தீர்வு செயல்முறையின் விரிவான விளக்கத்துடன் பல எடுத்துக்காட்டுகளின் தீர்வுகளைப் பார்ப்போம்.

உதாரணம்.

ஒரு பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்.

தீர்வு.

இப்போது கிடைத்த தீர்வு வழிமுறையின்படி செயல்படுவோம். முதலில் நாம் சமன்பாட்டின் வலது பக்கத்திலிருந்து இடது பக்கம் சொற்களை நகர்த்துகிறோம், இதன் விளைவாக நாம் சமன்பாட்டிற்கு செல்கிறோம்.

இரண்டாவது கட்டத்தில், விளைந்த சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்தில் உள்ள பகுதியளவு பகுத்தறிவு வெளிப்பாட்டை ஒரு பின்னத்தின் வடிவத்திற்கு மாற்ற வேண்டும். இதைச் செய்ய, நாங்கள் ஒரு நடிகர்களை உருவாக்குகிறோம் பகுத்தறிவு பின்னங்கள்ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்கு மற்றும் அதன் விளைவாக வெளிப்பாட்டை எளிதாக்குங்கள்: . எனவே நாம் சமன்பாட்டிற்கு வருகிறோம்.

அடுத்த கட்டத்தில், நாம் −2·x−1=0 என்ற சமன்பாட்டை தீர்க்க வேண்டும். x=−1/2 ஐக் காண்கிறோம்.

கண்டுபிடிக்கப்பட்ட எண் −1/2 அசல் சமன்பாட்டின் வெளிப்புற மூலமல்லவா என்பதைச் சரிபார்க்க வேண்டும். இதைச் செய்ய, அசல் சமன்பாட்டின் x மாறியின் VA ஐ நீங்கள் சரிபார்க்கலாம் அல்லது கண்டறியலாம். இரண்டு அணுகுமுறைகளையும் விளக்குவோம்.

சரிபார்ப்பதில் இருந்து ஆரம்பிக்கலாம். x என்ற மாறிக்கு பதிலாக அசல் சமன்பாட்டில் −1/2 என்ற எண்ணை மாற்றுவோம், மேலும் அதையே −1=−1 பெறுகிறோம். மாற்றீடு சரியான எண் சமத்துவத்தை அளிக்கிறது, எனவே x=−1/2 என்பது அசல் சமன்பாட்டின் வேர்.

இப்போது எப்படி என்பதைக் காண்பிப்போம் கடைசி புள்ளிஅல்காரிதம் ODZ மூலம் செய்யப்படுகிறது. அசல் சமன்பாட்டின் ஏற்றுக்கொள்ளக்கூடிய மதிப்புகளின் வரம்பு −1 மற்றும் 0 தவிர அனைத்து எண்களின் தொகுப்பாகும் (x=-1 மற்றும் x=0 இல் பின்னங்களின் பிரிவுகள் மறைந்துவிடும்). முந்தைய படியில் காணப்படும் ரூட் x=−1/2 ODZ க்கு சொந்தமானது, எனவே, x=−1/2 என்பது அசல் சமன்பாட்டின் ரூட் ஆகும்.

பதில்:

−1/2 .

இன்னொரு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்.

உதாரணம்.

சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு.

நாம் ஒரு பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாட்டை தீர்க்க வேண்டும், அல்காரிதத்தின் அனைத்து படிகளையும் கடந்து செல்லலாம்.

முதலில், இந்த வார்த்தையை வலது பக்கத்திலிருந்து இடது பக்கம் நகர்த்துகிறோம், நமக்கு கிடைக்கும் .

இரண்டாவதாக, இடது பக்கத்தில் உருவான வெளிப்பாட்டை மாற்றுகிறோம்: . இதன் விளைவாக, நாம் x=0 சமன்பாட்டிற்கு வருகிறோம்.

அதன் வேர் வெளிப்படையானது - இது பூஜ்யம்.

நான்காவது கட்டத்தில், கண்டுபிடிக்கப்பட்ட மூலமானது அசல் பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாட்டிற்கு புறம்பானதா என்பதைக் கண்டறிய வேண்டும். இது அசல் சமன்பாட்டில் மாற்றப்படும் போது, ​​வெளிப்பாடு பெறப்படுகிறது. வெளிப்படையாக, இது பூஜ்ஜியத்தால் வகுபடுவதால் அர்த்தமில்லை. எங்கிருந்து 0 என்பது ஒரு புறம்பான வேர் என்று முடிவு செய்கிறோம். எனவே, அசல் சமன்பாட்டிற்கு வேர்கள் இல்லை.

7, இது Eq க்கு வழிவகுக்கிறது. இதிலிருந்து இடது பக்கத்தின் வகுப்பில் உள்ள வெளிப்பாடு வலது பக்கத்திற்கு சமமாக இருக்க வேண்டும், அதாவது, . இப்போது நாம் மும்மடங்கின் இரு பக்கங்களிலிருந்தும் கழிக்கிறோம்: . ஒப்புமை மூலம், எங்கிருந்து, மேலும்.

கண்டுபிடிக்கப்பட்ட இரண்டு வேர்களும் அசல் பின்னம் பகுத்தறிவு சமன்பாட்டின் வேர்கள் என்பதை சரிபார்ப்பு காட்டுகிறது.

பதில்:

குறிப்புகள்.

  • இயற்கணிதம்:பாடநூல் 8 ஆம் வகுப்புக்கு. பொது கல்வி நிறுவனங்கள் / [யு. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; திருத்தியது எஸ். ஏ. டெலியாகோவ்ஸ்கி. - 16வது பதிப்பு. - எம்.: கல்வி, 2008. - 271 பக். : உடம்பு சரியில்லை. - ISBN 978-5-09-019243-9.
  • மொர்ட்கோவிச் ஏ.ஜி.இயற்கணிதம். 8 ஆம் வகுப்பு. மதியம் 2 மணிக்கு பகுதி 1. மாணவர்களுக்கான பாடநூல் கல்வி நிறுவனங்கள்/ ஏ.ஜி. மோர்ட்கோவிச். - 11வது பதிப்பு, அழிக்கப்பட்டது. - எம்.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
  • இயற்கணிதம்: 9 ஆம் வகுப்பு: கல்வி. பொது கல்விக்காக நிறுவனங்கள் / [யு. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; திருத்தியது எஸ். ஏ. டெலியாகோவ்ஸ்கி. - 16வது பதிப்பு. - எம்.: கல்வி, 2009. - 271 பக். : உடம்பு சரியில்லை. - ISBN 978-5-09-021134-5.

இருபடி சமன்பாடுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதை நாங்கள் ஏற்கனவே கற்றுக்கொண்டோம். இப்போது படித்த முறைகளை பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளுக்கு விரிவுபடுத்துவோம்.

பகுத்தறிவு வெளிப்பாடு என்றால் என்ன? இந்த கருத்தை நாங்கள் ஏற்கனவே சந்தித்துள்ளோம். பகுத்தறிவு வெளிப்பாடுகள்எண்கள், மாறிகள், அவற்றின் சக்திகள் மற்றும் கணிதச் செயல்பாடுகளின் குறியீடுகளால் ஆன வெளிப்பாடுகள்.

அதன்படி, பகுத்தறிவு சமன்பாடுகள் வடிவத்தின் சமன்பாடுகள்: , எங்கே - பகுத்தறிவு வெளிப்பாடுகள்.

முன்னதாக, நேரியல் சமன்பாடுகளாகக் குறைக்கக்கூடிய பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளை மட்டுமே நாங்கள் கருதினோம். இப்போது இருபடிக்கு குறைக்கக்கூடிய பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

எடுத்துக்காட்டு 1

சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்: .

தீர்வு:

ஒரு பின்னம் 0 க்கு சமம் மற்றும் அதன் எண் 0 க்கு சமமாக இருந்தால் மற்றும் அதன் வகுத்தல் 0 க்கு சமமாக இல்லை.

நாங்கள் பின்வரும் அமைப்பைப் பெறுகிறோம்:

அமைப்பின் முதல் சமன்பாடு ஒரு இருபடி சமன்பாடு ஆகும். அதைத் தீர்ப்பதற்கு முன், அதன் அனைத்து குணகங்களையும் 3 ஆல் வகுக்க வேண்டும்.

நாம் இரண்டு வேர்களைப் பெறுகிறோம்: ; .

2 0க்கு சமமாக இருக்காது என்பதால், இரண்டு நிபந்தனைகள் பூர்த்தி செய்யப்பட வேண்டும்: . மேலே பெறப்பட்ட சமன்பாட்டின் வேர்கள் எதுவும் இரண்டாவது சமத்துவமின்மையைத் தீர்க்கும்போது பெறப்பட்ட மாறியின் தவறான மதிப்புகளுடன் ஒத்துப்போவதில்லை என்பதால், அவை இரண்டும் இந்த சமன்பாட்டிற்கான தீர்வுகள்.

பதில்:.

எனவே, பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான ஒரு வழிமுறையை உருவாக்குவோம்:

1. எல்லா சொற்களையும் இடது பக்கம் நகர்த்தவும், இதனால் வலது பக்கம் 0 உடன் முடிவடையும்.

2. இடது பக்கத்தை மாற்றவும் மற்றும் எளிமைப்படுத்தவும், அனைத்து பின்னங்களையும் ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்கு கொண்டு வாருங்கள்.

3. பின்வரும் அல்காரிதத்தைப் பயன்படுத்தி விளைந்த பின்னத்தை 0க்கு சமன் செய்யவும்: .

4. முதல் சமன்பாட்டில் பெறப்பட்ட அந்த வேர்களை எழுதவும் மற்றும் பதிலில் இரண்டாவது சமத்துவமின்மையை பூர்த்தி செய்யவும்.

இன்னொரு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்.

எடுத்துக்காட்டு 2

சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்: .

தீர்வு

ஆரம்பத்தில், எல்லா விதிமுறைகளையும் இடதுபுறமாக நகர்த்துகிறோம், இதனால் 0 வலதுபுறத்தில் இருக்கும்:

இப்போது சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்தை ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்கு கொண்டு வருவோம்:

இந்த சமன்பாடு அமைப்புக்கு சமம்:

அமைப்பின் முதல் சமன்பாடு ஒரு இருபடி சமன்பாடு ஆகும்.

இந்த சமன்பாட்டின் குணகங்கள்: . நாங்கள் பாகுபாட்டைக் கணக்கிடுகிறோம்:

நாம் இரண்டு வேர்களைப் பெறுகிறோம்: ; .

இப்போது இரண்டாவது சமத்துவமின்மையைத் தீர்ப்போம்: காரணிகள் எதுவும் 0 க்கு சமமாக இல்லாவிட்டால், காரணிகளின் தயாரிப்பு 0 க்கு சமமாக இருக்காது.

இரண்டு நிபந்தனைகள் பூர்த்தி செய்யப்பட வேண்டும்: . முதல் சமன்பாட்டின் இரண்டு வேர்களில் ஒன்று மட்டுமே பொருத்தமானது - 3.

பதில்:.

இந்த பாடத்தில், பகுத்தறிவு வெளிப்பாடு என்றால் என்ன என்பதை நாங்கள் நினைவில் வைத்தோம், மேலும் பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதையும் கற்றுக்கொண்டோம், அவை இருபடி சமன்பாடுகளாக குறைக்கப்படுகின்றன.

அடுத்த பாடத்தில், உண்மையான சூழ்நிலைகளின் மாதிரிகளாக பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளைப் பார்ப்போம், மேலும் இயக்க சிக்கல்களையும் பார்ப்போம்.

குறிப்புகள்

  1. பாஷ்மகோவ் எம்.ஐ. அல்ஜீப்ரா, 8ம் வகுப்பு. - எம்.: கல்வி, 2004.
  2. டோரோஃபீவ் ஜி.வி., சுவோரோவா எஸ்.பி., புனிமோவிச் ஈ.ஏ. மற்றும் பிற அல்ஜீப்ரா, 8. 5வது பதிப்பு. - எம்.: கல்வி, 2010.
  3. Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. அல்ஜீப்ரா, 8ம் வகுப்பு. பொது கல்வி நிறுவனங்களுக்கான பாடநூல். - எம்.: கல்வி, 2006.
  1. கல்வியியல் யோசனைகளின் திருவிழா" திறந்த பாடம்" ().
  2. School.xvatit.com ().
  3. Rudocs.exdat.com ().

வீட்டுப்பாடம்