பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது. "பிரிவு பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது"

இந்த கட்டுரையில் நான் உங்களுக்கு காண்பிப்பேன் ஏழு வகையான தீர்வு வழிமுறைகள் பகுத்தறிவு சமன்பாடுகள் , மாறிகளை மாற்றுவதன் மூலம் இருபடிக்கு குறைக்கலாம். பெரும்பாலான சந்தர்ப்பங்களில், மாற்றத்திற்கு வழிவகுக்கும் மாற்றங்கள் மிகவும் அற்பமானவை அல்ல, மேலும் அவற்றைப் பற்றி நீங்களே யூகிப்பது மிகவும் கடினம்.

ஒவ்வொரு வகை சமன்பாட்டிற்கும், அதில் மாறியை எவ்வாறு மாற்றுவது என்பதை விளக்குகிறேன், பின்னர் தொடர்புடைய வீடியோ டுடோரியலில் விரிவான தீர்வைக் காண்பிப்பேன்.

சமன்பாடுகளை நீங்களே தொடர்ந்து தீர்க்க உங்களுக்கு வாய்ப்பு உள்ளது, பின்னர் வீடியோ பாடத்துடன் உங்கள் தீர்வை சரிபார்க்கவும்.

எனவே ஆரம்பிக்கலாம்.

1 . (x-1)(x-7)(x-4)(x+2)=40

சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்தில் நான்கு அடைப்புக்குறிகளின் பலன் உள்ளது, வலது பக்கத்தில் ஒரு எண் உள்ளது.

1. இலவச விதிமுறைகளின் கூட்டுத்தொகை ஒரே மாதிரியாக இருக்கும்படி அடைப்புக்குறிகளை இரண்டால் தொகுக்கலாம்.

2. அவற்றைப் பெருக்கவும்.

3. மாறியின் மாற்றத்தை அறிமுகப்படுத்துவோம்.

எங்கள் சமன்பாட்டில், முதல் அடைப்புக்குறியை மூன்றாவது மற்றும் இரண்டாவது நான்காவதுடன் தொகுப்போம், ஏனெனில் (-1)+(-4)=(-7)+2:

இந்த கட்டத்தில் மாறி மாற்றீடு தெளிவாகிறது:

சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்

பதில்:

2 .

இந்த வகையின் ஒரு சமன்பாடு ஒரு வித்தியாசத்துடன் முந்தைய சமன்பாட்டைப் போன்றது: சமன்பாட்டின் வலது பக்கத்தில் எண் மற்றும் . மேலும் இது முற்றிலும் மாறுபட்ட வழியில் தீர்க்கப்படுகிறது:

1. இலவச விதிமுறைகளின் பலன் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும் வகையில் அடைப்புக்குறிகளை இரண்டாக தொகுக்கிறோம்.

2. ஒவ்வொரு ஜோடி அடைப்புக்குறிகளையும் பெருக்கவும்.

3. ஒவ்வொரு காரணியிலிருந்தும் x ஐ எடுத்துக் கொள்கிறோம்.

4. சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் ஆல் வகுக்கவும்.

5. மாறியின் மாற்றத்தை அறிமுகப்படுத்துகிறோம்.

இந்த சமன்பாட்டில், முதல் அடைப்புக்குறியை நான்காவதுடன் தொகுக்கிறோம், இரண்டாவதாக மூன்றாவது அடைப்புக்குறியை தொகுக்கிறோம்:

ஒவ்வொரு அடைப்புக்குறியிலும் உள்ள குணகமும் இலவச காலமும் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும் என்பதை நினைவில் கொள்க. ஒவ்வொரு அடைப்புக்குறியிலிருந்தும் ஒரு காரணியை எடுத்துக் கொள்வோம்:

x=0 என்பது அசல் சமன்பாட்டின் வேர் அல்ல என்பதால், சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் ஆல் வகுக்கிறோம். நாங்கள் பெறுகிறோம்:

நாம் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்:

பதில்:

3 .

இரண்டு பின்னங்களின் வகுப்பினரும் இருபடி முக்கோணங்களைக் கொண்டிருப்பதைக் கவனியுங்கள், இதில் முன்னணி குணகம் மற்றும் இலவச சொல் ஒன்றுதான். இரண்டாவது வகையின் சமன்பாட்டில் உள்ளதைப் போல, அடைப்புக்குறியிலிருந்து x ஐ எடுத்துக்கொள்வோம். நாங்கள் பெறுகிறோம்:

ஒவ்வொரு பின்னத்தின் எண் மற்றும் வகுப்பினை x ஆல் வகுக்கவும்:

இப்போது நாம் ஒரு மாறி மாற்றீட்டை அறிமுகப்படுத்தலாம்:

t மாறிக்கு ஒரு சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்:

4 .

சமன்பாட்டின் குணகங்கள் மையத்தை பொறுத்து சமச்சீராக இருக்கும் என்பதை நினைவில் கொள்க. இந்த சமன்பாடு அழைக்கப்படுகிறது திரும்பக் கூடியது .

அதை தீர்க்க,

1. சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் வகுக்கவும் (x=0 சமன்பாட்டின் வேர் அல்ல என்பதால் இதை செய்யலாம்.) நாம் பெறுகிறோம்:

2. விதிமுறைகளை இவ்வாறு தொகுக்கலாம்:

3. ஒவ்வொரு குழுவிலும், அடைப்புக்குறிக்குள் இருந்து பொதுவான காரணியை எடுத்துக் கொள்வோம்:

4. மாற்றீட்டை அறிமுகப்படுத்துவோம்:

5. வெளிப்பாடு மூலம் வெளிப்படுத்தவும்:

இங்கிருந்து

t க்கான சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்:

பதில்:

5. ஒரே மாதிரியான சமன்பாடுகள்.

அதிவேக, மடக்கை மற்றும் முக்கோணவியல் சமன்பாடுகள், எனவே நீங்கள் அதை அடையாளம் காண முடியும்.

ஒரே மாதிரியான சமன்பாடுகள் பின்வரும் அமைப்பைக் கொண்டுள்ளன:

இந்த சமத்துவத்தில், A, B மற்றும் C எண்கள், மற்றும் சதுரம் மற்றும் வட்டம் ஒரே மாதிரியான வெளிப்பாடுகளைக் குறிக்கின்றன. அதாவது, ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்தில் ஒரே அளவு கொண்ட மோனோமியல்களின் கூட்டுத்தொகை உள்ளது (இந்த விஷயத்தில், மோனோமியல்களின் அளவு 2), மற்றும் இலவச சொல் இல்லை.

முடிவு செய்ய ஒரே மாதிரியான சமன்பாடு, இருபுறமும் பிரிக்கவும்

கவனம்! ஒரு சமன்பாட்டின் வலது மற்றும் இடது பக்கங்களை அறியப்படாத ஒரு வெளிப்பாடு மூலம் பிரிக்கும்போது, ​​​​நீங்கள் வேர்களை இழக்கலாம். எனவே, சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் பிரிக்கும் வெளிப்பாட்டின் வேர்கள் அசல் சமன்பாட்டின் வேர்களா என்பதை சரிபார்க்க வேண்டியது அவசியம்.

முதல் வழியில் செல்வோம். நாம் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்:

இப்போது நாம் மாறி மாற்றீட்டை அறிமுகப்படுத்துகிறோம்:

வெளிப்பாட்டை எளிமையாக்கி இரு பெறுவோம் இருபடி சமன்பாடு t உடன் தொடர்புடையது:

பதில்:அல்லது

7 .

இந்த சமன்பாடு பின்வரும் அமைப்பைக் கொண்டுள்ளது:

அதைத் தீர்க்க, நீங்கள் சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்தில் ஒரு முழுமையான சதுரத்தைத் தேர்ந்தெடுக்க வேண்டும்.

முழு சதுரத்தைத் தேர்ந்தெடுக்க, நீங்கள் தயாரிப்பை இரண்டு மடங்கு சேர்க்க வேண்டும் அல்லது கழிக்க வேண்டும். பின்னர் கூட்டுத்தொகை அல்லது வேறுபாட்டின் வர்க்கத்தைப் பெறுகிறோம். வெற்றிகரமான மாறி மாற்றீட்டிற்கு இது முக்கியமானது.

இரண்டு மடங்கு தயாரிப்பைக் கண்டுபிடிப்பதன் மூலம் ஆரம்பிக்கலாம். இது மாறியை மாற்றுவதற்கான திறவுகோலாக இருக்கும். எங்கள் சமன்பாட்டில், இரண்டு மடங்கு தயாரிப்பு சமம்

இப்போது நமக்கு எது வசதியானது என்பதைக் கண்டுபிடிப்போம் - தொகையின் சதுரம் அல்லது வித்தியாசம். முதலில் வெளிப்பாடுகளின் கூட்டுத்தொகையைக் கருத்தில் கொள்வோம்:

அருமை! இந்த வெளிப்பாடு இரண்டு மடங்கு தயாரிப்புக்கு சமம். பின்னர், தொகையின் வர்க்கத்தை அடைப்புக்குறிக்குள் பெற, நீங்கள் இரட்டைத் தயாரிப்பைச் சேர்த்துக் கழிக்க வேண்டும்:

பின்னங்களுடன் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது பற்றிய பாடத்திற்கு நாங்கள் உங்களை அழைக்கிறோம், பெரும்பாலும், நீங்கள் ஏற்கனவே இதுபோன்ற சமன்பாடுகளை சந்தித்திருக்கலாம், எனவே இந்த பாடத்தில் நாங்கள் உங்களுக்குத் தெரிந்த தகவலை மீண்டும் சுருக்கமாகக் கூறுவோம்.

தளத்தில் மேலும் பாடங்கள்

ஒரு பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாடு அதில் ஒன்று உள்ளது பகுத்தறிவு பின்னங்கள், அதாவது, வகுப்பில் உள்ள மாறி. கடந்த காலங்களில் இதுபோன்ற சமன்பாடுகளை நீங்கள் சந்தித்திருக்கலாம், எனவே இந்தப் பாடத்தில் உங்களுக்குத் தெரிந்தவற்றை மதிப்பாய்வு செய்து சுருக்கமாகக் கூறுவோம்.

முதலில், இந்த தலைப்பில் முந்தைய பாடத்திற்கு திரும்ப பரிந்துரைக்கிறேன் - பாடம் "இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது". அந்த பாடத்தில், ஒரு பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாட்டை தீர்ப்பதற்கான உதாரணம் கருதப்பட்டது. அதை கருத்தில் கொள்வோம்

இந்த சமன்பாட்டிற்கான தீர்வு பல நிலைகளில் மேற்கொள்ளப்படுகிறது:

• பகுத்தறிவு பின்னங்களைக் கொண்ட சமன்பாட்டை மாற்றுதல்.
• முழு சமன்பாட்டிற்கும் சென்று அதை எளிதாக்குதல்;
• இருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது.

எந்தவொரு பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாட்டையும் தீர்க்கும் போது முதல் 2 நிலைகளைக் கடந்து செல்ல வேண்டியது அவசியம். மூன்றாவது நிலை விருப்பமானது, ஏனெனில் எளிமைப்படுத்தலின் விளைவாக பெறப்பட்ட சமன்பாடு இருபடியாக இருக்காது, ஆனால் நேரியல்; நேரியல் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது மிகவும் எளிதானது. இன்னொன்று இருக்கிறது முக்கியமான கட்டம்ஒரு பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாட்டை தீர்க்கும் போது. அடுத்த சமன்பாட்டை தீர்க்கும் போது அது தெரியும்.

நீங்கள் முதலில் என்ன செய்ய வேண்டும்? - நிச்சயமாக, பின்னங்களை ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்கு கொண்டு வாருங்கள். மற்றும் அதை சரியாக கண்டுபிடிக்க மிகவும் முக்கியமானது குறைந்ததுபொதுவான வகுத்தல், இல்லையெனில், மேலும், தீர்வு செயல்பாட்டில், சமன்பாடு சிக்கலானதாக இருக்கும். கடைசி பின்னத்தின் வகுப்பினை காரணியாக்க முடியும் என்பதை இங்கே நாம் கவனிக்கிறோம் மணிக்குமற்றும் y+2. இந்த தயாரிப்புதான் இந்த சமன்பாட்டில் பொதுவான வகுப்பாக இருக்கும். இப்போது நாம் ஒவ்வொரு பின்னத்திற்கும் கூடுதல் காரணிகளைத் தீர்மானிக்க வேண்டும். இன்னும் துல்லியமாக, கடைசி பகுதிக்கு அத்தகைய பெருக்கி தேவையில்லை, ஏனெனில் அதன் வகுத்தல் பொதுவான ஒன்றுக்கு சமம். இப்போது அனைத்து பின்னங்களும் உள்ளன அதே பிரிவுகள், எண்களை மட்டுமே கொண்ட முழு சமன்பாட்டிற்கு நாம் செல்லலாம். ஆனால் அதில் ஒரு கருத்தை கூறுவது அவசியம் அறியப்படாதவற்றின் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட மதிப்பு எந்த வகுப்பினையும் பூஜ்ஜியமாகக் குறைக்க முடியாது. இது ODZ: y≠0, y≠2. இது தீர்வின் முன்னர் விவரிக்கப்பட்ட நிலைகளில் முதலாவதாக நிறைவுசெய்து, இரண்டாவது நிலைக்குச் செல்கிறோம் - இதன் விளைவாக முழு சமன்பாட்டையும் எளிதாக்குகிறோம். இதைச் செய்ய, அடைப்புக்குறிகளைத் திறந்து, அனைத்து சொற்களையும் சமன்பாட்டின் ஒரு பக்கத்திற்கு நகர்த்தி, ஒத்தவற்றை வழங்கவும். அதை நீங்களே செய்து, சமன்பாட்டை வழங்கிய எனது கணக்கீடுகள் சரியாக உள்ளதா என சரிபார்க்கவும் 3y 2 – 12y = 0.இந்த சமன்பாடு இருபடி மற்றும் எழுதப்பட்டுள்ளது நிலையான வடிவம், மற்றும் அதன் குணகங்களில் ஒன்று பூஜ்ஜியமாகும்.

இருபடி சமன்பாடுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதை நாங்கள் ஏற்கனவே கற்றுக்கொண்டோம். இப்போது படித்த முறைகளை பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளுக்கு விரிவுபடுத்துவோம்.

பகுத்தறிவு வெளிப்பாடு என்றால் என்ன? இந்த கருத்தை நாங்கள் ஏற்கனவே சந்தித்துள்ளோம். பகுத்தறிவு வெளிப்பாடுகள்எண்கள், மாறிகள், அவற்றின் சக்திகள் மற்றும் கணிதச் செயல்பாடுகளின் குறியீடுகளால் ஆன வெளிப்பாடுகள்.

அதன்படி, பகுத்தறிவு சமன்பாடுகள் வடிவத்தின் சமன்பாடுகள்: , எங்கே - பகுத்தறிவு வெளிப்பாடுகள்.

முன்னதாக, நேரியல் சமன்பாடுகளாகக் குறைக்கக்கூடிய பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளை மட்டுமே நாங்கள் கருதினோம். இப்போது இருபடி சமன்பாடுகளாக குறைக்கக்கூடிய பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளைப் பார்ப்போம்.

எடுத்துக்காட்டு 1

சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்: .

தீர்வு:

ஒரு பின்னம் 0 க்கு சமம் மற்றும் அதன் எண் 0 க்கு சமமாக இருந்தால் மற்றும் அதன் வகுத்தல் 0 க்கு சமமாக இல்லை.

நாங்கள் பின்வரும் அமைப்பைப் பெறுகிறோம்:

அமைப்பின் முதல் சமன்பாடு ஒரு இருபடி சமன்பாடு ஆகும். அதைத் தீர்ப்பதற்கு முன், அதன் அனைத்து குணகங்களையும் 3 ஆல் வகுக்க வேண்டும்.

நாம் இரண்டு வேர்களைப் பெறுகிறோம்: .

2 0க்கு சமமாக இருக்காது என்பதால், இரண்டு நிபந்தனைகள் பூர்த்தி செய்யப்பட வேண்டும்: . மேலே பெறப்பட்ட சமன்பாட்டின் வேர்கள் எதுவும் இரண்டாவது சமத்துவமின்மையைத் தீர்க்கும்போது பெறப்பட்ட மாறியின் தவறான மதிப்புகளுடன் ஒத்துப்போவதில்லை என்பதால், அவை இரண்டும் இந்த சமன்பாட்டிற்கான தீர்வுகள்.

பதில்:.

எனவே, பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான ஒரு வழிமுறையை உருவாக்குவோம்:

1. அனைத்து விதிமுறைகளையும் இடது பக்கம் நகர்த்தவும், இதனால் வலது பக்கம் 0 உடன் முடிவடையும்.

2. இடது பக்கத்தை மாற்றவும் மற்றும் எளிமைப்படுத்தவும், அனைத்து பின்னங்களையும் ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்கு கொண்டு வாருங்கள்.

3. பின்வரும் அல்காரிதத்தைப் பயன்படுத்தி விளைந்த பின்னத்தை 0க்கு சமன் செய்யவும்: .

4. முதல் சமன்பாட்டில் பெறப்பட்ட அந்த வேர்களை எழுதவும் மற்றும் பதிலில் இரண்டாவது சமத்துவமின்மையை பூர்த்தி செய்யவும்.

இன்னொரு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்.

எடுத்துக்காட்டு 2

சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்: .

தீர்வு

ஆரம்பத்தில், எல்லா விதிமுறைகளையும் இடதுபுறமாக நகர்த்துகிறோம், இதனால் 0 வலதுபுறத்தில் இருக்கும்:

இப்போது சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்தை ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்கு கொண்டு வருவோம்:

இந்த சமன்பாடு அமைப்புக்கு சமம்:

அமைப்பின் முதல் சமன்பாடு ஒரு இருபடி சமன்பாடு ஆகும்.

இந்த சமன்பாட்டின் குணகங்கள்: . நாங்கள் பாகுபாட்டைக் கணக்கிடுகிறோம்:

நாம் இரண்டு வேர்களைப் பெறுகிறோம்: .

இப்போது இரண்டாவது சமத்துவமின்மையைத் தீர்ப்போம்: காரணிகள் எதுவும் 0 க்கு சமமாக இல்லாவிட்டால், காரணிகளின் தயாரிப்பு 0 க்கு சமமாக இருக்காது.

இரண்டு நிபந்தனைகள் பூர்த்தி செய்யப்பட வேண்டும்: . முதல் சமன்பாட்டின் இரண்டு வேர்களில் ஒன்று மட்டுமே பொருத்தமானது - 3.

பதில்:.

இந்த பாடத்தில், பகுத்தறிவு வெளிப்பாடு என்றால் என்ன என்பதை நாங்கள் நினைவில் வைத்தோம், மேலும் பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதையும் கற்றுக்கொண்டோம், அவை இருபடி சமன்பாடுகளாக குறைக்கப்படுகின்றன.

அடுத்த பாடத்தில், உண்மையான சூழ்நிலைகளின் மாதிரிகளாக பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளைப் பார்ப்போம், மேலும் இயக்க சிக்கல்களையும் பார்ப்போம்.

குறிப்புகள்

1. பாஷ்மகோவ் எம்.ஐ. அல்ஜீப்ரா, 8ம் வகுப்பு. - எம்.: கல்வி, 2004.
2. டோரோஃபீவ் ஜி.வி., சுவோரோவா எஸ்.பி., புனிமோவிச் ஈ.ஏ. மற்றும் பிற அல்ஜீப்ரா, 8. 5வது பதிப்பு. - எம்.: கல்வி, 2010.
3. Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. அல்ஜீப்ரா, 8ம் வகுப்பு. இதற்கான பயிற்சி கல்வி நிறுவனங்கள். - எம்.: கல்வி, 2006.

1. கல்வியியல் யோசனைகளின் திருவிழா" திறந்த பாடம்" ().
2. School.xvatit.com ().
3. Rudocs.exdat.com ().

வீட்டுப்பாடம்

டி. கோஸ்யகோவா,
பள்ளி எண். 80, கிராஸ்னோடர்

அளவுருக்கள் கொண்ட இருபடி மற்றும் பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது

பாடம் 4

பாடம் தலைப்பு:

பாடத்தின் நோக்கம்:அளவுருக்கள் கொண்ட பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும் திறனை வளர்த்துக் கொள்ளுங்கள்.

பாடம் வகை:புதிய பொருள் அறிமுகம்.

1. (வாய்வழியாக) சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கவும்:

எடுத்துக்காட்டு 1. சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்

தீர்வு.

தவறான மதிப்புகளைக் கண்டுபிடிப்போம் அ:

பதில். என்றால் என்றால் அ = – 19 , பின்னர் வேர்கள் இல்லை.

எடுத்துக்காட்டு 2. சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்

தீர்வு.

தவறான அளவுரு மதிப்புகளைக் கண்டறிவோம் அ :

10 – அ = 5, அ = 5;

10 – அ = அ, அ = 5.

பதில். என்றால் அ = 5 அ № 5 , அது x=10– அ .

எடுத்துக்காட்டு 3. என்ன அளவுரு மதிப்புகள் பி சமன்பாடு உள்ளது:

a) இரண்டு வேர்கள்; b) ஒரே வேர்?

தீர்வு.

1) தவறான அளவுரு மதிப்புகளைக் கண்டறியவும் பி :

x = பி, பி 2 (பி 2 – 1) – 2பி 3 + பி 2 = 0, பி 4 – 2பி 3 = 0,
பி= 0 அல்லது பி = 2;
x = 2, 4( பி 2 – 1) – 4பி 2 + பி 2 = 0, பி 2 – 4 = 0, (பி – 2)(பி + 2) = 0,
பி= 2 அல்லது பி = – 2.

2) சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும் x 2 ( பி 2 – 1) – 2பி 2x+ பி 2 = 0:

D=4 பி 4 – 4பி 2 (பி 2 – 1), D = 4 பி 2 .

A)

தவறான அளவுரு மதிப்புகளைத் தவிர்த்து பி , என்றால் சமன்பாட்டிற்கு இரண்டு வேர்கள் இருப்பதைக் காண்கிறோம் பி № – 2, பி № – 1, பி № 0, பி № 1, பி № 2 .

b) 4பி 2 = 0, பி = 0, ஆனால் இது தவறான அளவுரு மதிப்பு பி ; என்றால் பி 2 –1=0 , அதாவது பி=1 அல்லது.

பதில்: அ) என்றால் பி № –2 , பி № –1, பி № 0, பி № 1, பி № 2 , பின்னர் இரண்டு வேர்கள்; b) என்றால் பி=1 அல்லது b=–1 , பிறகு ஒரே வேர்.

சுதந்திரமான வேலை

விருப்பம் 1

சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கவும்:

விருப்பம் 2

சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கவும்:

பதில்கள்

பி-1. a) என்றால் அ=3 , பின்னர் வேர்கள் இல்லை; என்றால் b) என்றால் அ № 2 , பின்னர் வேர்கள் இல்லை.

பி-2.என்றால் அ=2 , பின்னர் வேர்கள் இல்லை; என்றால் அ=0 , பின்னர் வேர்கள் இல்லை; என்றால்
b) என்றால் அ=– 1 , பின்னர் சமன்பாடு அர்த்தமற்றதாகிறது; வேர்கள் இல்லை என்றால்;
என்றால்

வீட்டுப்பாடம்.

சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கவும்:

பதில்கள்: அ) என்றால் அ № –2 , அது x= அ ; என்றால் அ=–2 , பிறகு தீர்வுகள் இல்லை; b) என்றால் அ № –2 , அது x=2; என்றால் அ=–2 , பிறகு தீர்வுகள் இல்லை; c) என்றால் அ=–2 , அது x- தவிர எந்த எண் 3 ; என்றால் அ № –2 , அது x=2; ஈ) என்றால் அ=–8 , பின்னர் வேர்கள் இல்லை; என்றால் அ=2 , பின்னர் வேர்கள் இல்லை; என்றால்

பாடம் 5

பாடம் தலைப்பு:"அளவுருக்கள் கொண்ட பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது."

பாடத்தின் நோக்கங்கள்:

தரமற்ற நிபந்தனைகளுடன் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதில் பயிற்சி;
இயற்கணிதக் கருத்துக்கள் மற்றும் அவற்றுக்கிடையேயான தொடர்புகளை மாணவர்களால் நனவாக ஒருங்கிணைத்தல்.

பாடம் வகை:முறைப்படுத்தல் மற்றும் பொதுமைப்படுத்தல்.

வீட்டுப்பாடத்தை சரிபார்க்கிறது.

எடுத்துக்காட்டு 1. சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்

a) x உடன் தொடர்புடையது; b) y உடன் தொடர்புடையது.

தீர்வு.

a) தவறான மதிப்புகளைக் கண்டறியவும் ஒய்: y=0, x=y, y 2 =y 2 –2y,

y=0- தவறான அளவுரு மதிப்பு ஒய்.

என்றால் ஒய்№ 0 , அது x=y–2; என்றால் y=0, பின்னர் சமன்பாடு அர்த்தமற்றதாகிவிடும்.

b) தவறான அளவுரு மதிப்புகளைக் கண்டறியவும் x: y=x, 2x–x 2 +x 2 =0, x=0- தவறான அளவுரு மதிப்பு x; y(2+x–y)=0, y=0அல்லது y=2+x;

y=0நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்யவில்லை y(y-x)№ 0 .

பதில்: அ) என்றால் y=0, பின்னர் சமன்பாடு அர்த்தமற்றதாகிறது; என்றால் ஒய்№ 0 , அது x=y–2; b) என்றால் x=0 x№ 0 , அது y=2+x .

எடுத்துக்காட்டு 2. எந்த அளவுரு a இன் முழு எண் மதிப்புகள் சமன்பாட்டின் வேர்கள் இடைவெளியைச் சேர்ந்தது

டி = (3 அ + 2) 2 – 4அ(அ+ 1) 2 = 9 அ 2 + 12அ + 4 – 8அ 2 – 8அ,

D = ( அ + 2) 2 .

என்றால் அ № 0 அல்லது அ № – 1 , அது

பதில்: 5 .

எடுத்துக்காட்டு 3. ஒப்பீட்டளவில் கண்டுபிடிக்கவும் xசமன்பாட்டிற்கான முழு எண் தீர்வுகள்

பதில். என்றால் y=0, பின்னர் சமன்பாடு அர்த்தமற்றது; என்றால் y=–1, அது x- பூஜ்ஜியத்தைத் தவிர எந்த முழு எண்; என்றால் y எண் 0, y எண் - 1, பிறகு தீர்வுகள் இல்லை.

எடுத்துக்காட்டு 4.சமன்பாட்டை தீர்க்கவும் அளவுருக்களுடன் அ மற்றும் பி .

என்றால் அ№ – பி , அது

பதில். என்றால் a= 0 அல்லது b= 0 , பின்னர் சமன்பாடு அர்த்தமற்றதாகிறது; என்றால் அ№ 0, பி№ 0, a=–b , அது x- பூஜ்ஜியத்தைத் தவிர எந்த எண்; என்றால் அ№ 0, பி№ 0, ஏ№ -பி, என்று x=–a, x=–b .

எடுத்துக்காட்டு 5. பூஜ்ஜியத்தைத் தவிர n அளவுருவின் எந்த மதிப்பிற்கும் சமன்பாடு என்பதை நிரூபிக்கவும் சமமான ஒற்றை வேர் உள்ளது – என் .

தீர்வு.

அதாவது x=–n, இது நிரூபிக்கப்பட வேண்டியதாக இருந்தது.

வீட்டுப்பாடம்.

1. சமன்பாட்டிற்கு முழு எண் தீர்வுகளைக் கண்டறியவும்

2. எந்த அளவுரு மதிப்புகளில் cசமன்பாடு உள்ளது:
a) இரண்டு வேர்கள்; b) ஒரே வேர்?

3. சமன்பாட்டின் அனைத்து முழு எண் வேர்களைக் கண்டறியவும் என்றால் அபற்றி என் .

4. சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும் 3xy – 5x + 5y = 7: a) ஒப்பீட்டளவில் ஒய்; b) ஒப்பீட்டளவில் x .

1. சமன்பாடு பூஜ்ஜியத்தைத் தவிர x மற்றும் y இன் எந்த முழு எண் சம மதிப்புகளால் திருப்திப்படுத்தப்படுகிறது.
2. அ) எப்போது
b) மணிக்கு அல்லது
3. – 12; – 9; 0 .
4. அ) வேர்கள் இல்லை என்றால்; என்றால்
b) வேர்கள் இல்லை என்றால்; என்றால்

சோதனை

விருப்பம் 1

1. சமன்பாட்டின் வகையைத் தீர்மானிக்கவும் 7c(c + 3)x 2 +(c–2)x–8=0 எப்போது: அ) c=–3; b) c=2 ; V) c=4 .

2. சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கவும்: அ) x 2 –bx=0 ; b) cx 2 –6x+1=0; V)

3. சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும் 3x–xy–2y=1:

a) ஒப்பீட்டளவில் x ;
b) ஒப்பீட்டளவில் ஒய் .

nx 2 – 26x + n = 0, n என்ற அளவுரு முழு எண் மதிப்புகளை மட்டுமே ஏற்றுக்கொள்கிறது.

5. b இன் எந்த மதிப்புகளுக்கு சமன்பாடு செய்கிறது உள்ளது:

a) இரண்டு வேர்கள்;
b) ஒரே வேர்?

விருப்பம் 2

1. சமன்பாட்டின் வகையைத் தீர்மானிக்கவும் 5c(c + 4)x 2 +(c–7)x+7=0எப்போது: அ) c=–4 ; b) c=7 ; V) c=1 .

2. சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கவும்: அ) y 2 +cy=0 ; b) ny 2 –8y+2=0 ; V)

3. சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும் 6x–xy+2y=5:

a) ஒப்பீட்டளவில் x ;
b) ஒப்பீட்டளவில் ஒய் .

4. சமன்பாட்டின் முழு எண் வேர்களைக் கண்டறியவும் nx 2 –22x+2n=0 , n என்ற அளவுரு முழு எண் மதிப்புகளை மட்டுமே ஏற்றுக்கொள்கிறது.

5. a அளவுருவின் எந்த மதிப்புகளுக்கு சமன்பாடு செய்கிறது உள்ளது:

a) இரண்டு வேர்கள்;
b) ஒரே வேர்?

பதில்கள்

பி-1. 1. அ) நேரியல் சமன்பாடு;
b) முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடு; c) இருபடி சமன்பாடு.
2. அ) என்றால் b=0, அது x=0; என்றால் b№ 0, அது x=0, x=b;
b) என்றால் cО (9;+Ґ), பின்னர் வேர்கள் இல்லை;
c) என்றால் அ=–4 , பின்னர் சமன்பாடு அர்த்தமற்றதாகிறது; என்றால் அ№ –4 , அது x=– அ .
3. அ) என்றால் y=3, பின்னர் வேர்கள் இல்லை; என்றால்);
b) அ=–3, அ=1.

கூடுதல் பணிகள்

சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கவும்:

இலக்கியம்

1. கோலுபேவ் வி.ஐ., கோல்ட்மேன் ஏ.எம்., டோரோஃபீவ் ஜி.வி. ஆரம்பத்தில் இருந்தே அளவுருக்கள் பற்றி. – ஆசிரியர், எண். 2/1991, ப. 3–13.
2. Gronshtein P.I., Polonsky V.B., Yakir M.S. முன்நிபந்தனைகள்அளவுருக்கள் உள்ள சிக்கல்களில். – குவாண்ட், எண். 11/1991, பக். 44-49.
3. டோரோஃபீவ் ஜி.வி., ஜடகாவே வி.வி. சிக்கல் தீர்க்கும்அளவுருக்கள் கொண்டது. பகுதி 2. - எம்., முன்னோக்கு, 1990, ப. 2–38.
4. டைன்யாகின் எஸ்.ஏ. அளவுருக்கள் ஐந்நூற்று பதினான்கு சிக்கல்கள். - வோல்கோகிராட், 1991.
5. யாஸ்ட்ரெபினெட்ஸ்கி ஜி.ஏ. அளவுருக்கள் உள்ள சிக்கல்கள். – எம்., கல்வி, 1986.

§ 1 முழு எண் மற்றும் பின்னம் பகுத்தறிவு சமன்பாடுகள்

இந்த பாடத்தில் நாம் பகுத்தறிவு சமன்பாடு, பகுத்தறிவு வெளிப்பாடு, முழு வெளிப்பாடு, பகுதியளவு வெளிப்பாடு போன்ற கருத்துக்களைப் பார்ப்போம். பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

பகுத்தறிவு சமன்பாடு என்பது இடது மற்றும் வலது பக்கங்கள் பகுத்தறிவு வெளிப்பாடுகளாக இருக்கும் ஒரு சமன்பாடு ஆகும்.

பகுத்தறிவு வெளிப்பாடுகள்:

பகுதியளவு.

ஒரு முழு எண் வெளிப்பாடு என்பது பூஜ்ஜியத்தைத் தவிர வேறு எண்ணால் கூட்டல், கழித்தல், பெருக்கல் மற்றும் வகுத்தல் ஆகியவற்றின் செயல்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி எண்கள், மாறிகள், முழு எண் சக்திகளால் ஆனது.

உதாரணமாக:

பின்ன வெளிப்பாடுகள் ஒரு மாறி அல்லது ஒரு மாறி மூலம் ஒரு வெளிப்பாடு மூலம் வகுத்தல் அடங்கும். உதாரணமாக:

ஒரு பகுதியளவு வெளிப்பாடு அதில் சேர்க்கப்பட்டுள்ள மாறிகளின் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் பொருந்தாது. உதாரணமாக, வெளிப்பாடு

x = -9 இல் அது அர்த்தமற்றது, ஏனெனில் x = -9 இல் வகுத்தல் பூஜ்ஜியத்திற்கு செல்கிறது.

இதன் பொருள் பகுத்தறிவு சமன்பாடு முழு எண் அல்லது பின்னமாக இருக்கலாம்.

முழு பகுத்தறிவு சமன்பாடு என்பது ஒரு பகுத்தறிவு சமன்பாடாகும், இதில் இடது மற்றும் வலது பக்கங்கள் முழு வெளிப்பாடுகளாகும்.

உதாரணமாக:

ஒரு பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாடு என்பது ஒரு பகுத்தறிவு சமன்பாடாகும், இதில் இடது அல்லது வலது பக்கங்கள் பகுதியளவு வெளிப்பாடுகள் ஆகும்.

உதாரணமாக:

§ 2 முழு பகுத்தறிவு சமன்பாட்டின் தீர்வு

ஒரு முழு பகுத்தறிவு சமன்பாட்டின் தீர்வைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

உதாரணமாக:

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் அதில் சேர்க்கப்பட்டுள்ள பின்னங்களின் வகுப்பின் குறைந்தபட்ச பொதுவான வகுப்பால் பெருக்கலாம்.

இதைச் செய்ய:

1. 2, 3, 6 ஆகிய பிரிவுகளுக்கான பொதுவான வகுப்பினைக் கண்டறியவும். இது 6க்கு சமம்;

2. ஒவ்வொரு பின்னத்திற்கும் கூடுதல் காரணியைக் கண்டறியவும். இதைச் செய்ய, பொதுவான வகுப்பான 6 ஐ ஒவ்வொரு வகுப்பாலும் வகுக்கவும்

பின்னத்திற்கான கூடுதல் காரணி

பின்னத்திற்கான கூடுதல் காரணி

3. பின்னங்களின் எண்களை அவற்றின் தொடர்புடைய கூடுதல் காரணிகளால் பெருக்கவும். இவ்வாறு, நாம் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டிற்கு சமமானதாகும்

இடதுபுறத்தில் உள்ள அடைப்புக்குறிகளைத் திறந்து, வலது பகுதியை இடதுபுறமாக நகர்த்துவோம், அதை எதிர்க்கு நகர்த்தும்போது காலத்தின் அடையாளத்தை மாற்றுவோம்.

பல்லுறுப்புக்கோவையின் ஒத்த சொற்களைக் கொண்டு வந்து பெறுவோம்

சமன்பாடு நேர்கோட்டில் இருப்பதைக் காண்கிறோம்.

அதைத் தீர்த்த பிறகு, x = 0.5 என்பதைக் காண்கிறோம்.

§ 3 ஒரு பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாட்டின் தீர்வு

ஒரு பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

உதாரணமாக:

1.சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் அதில் உள்ள பகுத்தறிவு பின்னங்களின் வகுப்பின் குறைந்தபட்ச பொதுவான வகுப்பினால் பெருக்கவும்.

x + 7 மற்றும் x - 1 ஆகிய பிரிவுகளுக்கான பொதுவான வகுப்பினைக் கண்டுபிடிப்போம்.

இது அவர்களின் தயாரிப்புக்கு சமம் (x + 7)(x - 1).

2. ஒவ்வொரு பகுத்தறிவு பின்னத்திற்கும் கூடுதல் காரணியைக் கண்டுபிடிப்போம்.

இதைச் செய்ய, பொதுவான வகுப்பினை (x + 7)(x - 1) ஒவ்வொரு வகுப்பாலும் வகுக்கவும். பின்னங்களுக்கான கூடுதல் பெருக்கி

x - 1 க்கு சமம்,

பின்னத்திற்கான கூடுதல் காரணி

x+7க்கு சமம்.

3. பின்னங்களின் எண்களை அவற்றின் தொடர்புடைய கூடுதல் காரணிகளால் பெருக்கவும்.

இந்தச் சமன்பாட்டிற்குச் சமமான (2x - 1)(x - 1) = (3x + 4)(x + 7) சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்.

4.இடது மற்றும் வலதுபுறத்தில் உள்ள இருபக்கத்தால் இருபக்கத்தை பெருக்கி பின்வரும் சமன்பாட்டைப் பெறவும்

5. நாம் வலது பக்கத்தை இடதுபுறமாக நகர்த்துகிறோம், எதிர்க்கு மாற்றும்போது ஒவ்வொரு காலத்தின் அடையாளத்தையும் மாற்றுகிறோம்:

6. பல்லுறுப்புக்கோவையின் ஒத்த சொற்களை முன்வைப்போம்:

7. இரு பகுதிகளையும் -1 ஆல் வகுக்கலாம். நாம் ஒரு இருபடி சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்:

8. அதைத் தீர்த்த பிறகு, வேர்களைக் கண்டுபிடிப்போம்

Eq இல் இருந்து.

இடது மற்றும் வலது பக்கங்கள் பகுதியளவு வெளிப்பாடுகள் மற்றும் சில மதிப்புகளுக்கு பின்ன வெளிப்பாடுகள் மாறி வகுத்தல்பூஜ்ஜியத்திற்குச் செல்லலாம், பின்னர் x1 மற்றும் x2 கண்டறியப்படும்போது பொதுவான வகுப்பானது பூஜ்ஜியத்திற்குச் செல்லவில்லையா என்பதைச் சரிபார்க்க வேண்டும்.

x = -27 இல், பொதுப் பிரிவு (x + 7)(x - 1) x = -1 இல் மறைந்துவிடாது;

எனவே, இரண்டு வேர்களும் -27 மற்றும் -1 சமன்பாட்டின் வேர்கள்.

ஒரு பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும்போது, ​​ஏற்றுக்கொள்ளக்கூடிய மதிப்புகளின் வரம்பை உடனடியாகக் குறிப்பிடுவது நல்லது. பொதுவான பிரிவு பூஜ்ஜியத்திற்கு செல்லும் அந்த மதிப்புகளை நீக்கவும்.

ஒரு பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கான மற்றொரு உதாரணத்தைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

உதாரணமாக, சமன்பாட்டைத் தீர்ப்போம்

சமன்பாட்டின் வலது பக்கத்தில் உள்ள பின்னத்தின் வகுப்பினைக் கணக்கிடுகிறோம்

சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்

வகுத்தல்களுக்கு (x - 5), x, x (x - 5) பொதுவான வகுப்பினைக் கண்டுபிடிப்போம்.

இது x (x - 5) என்ற வெளிப்பாடாக இருக்கும்.

இப்போது சமன்பாட்டின் ஏற்றுக்கொள்ளக்கூடிய மதிப்புகளின் வரம்பைக் கண்டுபிடிப்போம்

இதைச் செய்ய, பொதுவான வகுப்பினை பூஜ்ஜிய x (x - 5) = 0 க்கு சமன் செய்கிறோம்.

நாம் ஒரு சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம், அதைத் தீர்ப்பதன் மூலம் x = 0 அல்லது x = 5 இல் பொதுவான வகுப்பானது பூஜ்ஜியத்திற்குச் செல்கிறது.

அதாவது x = 0 அல்லது x = 5 ஆகியவை நமது சமன்பாட்டின் வேர்களாக இருக்க முடியாது.

கூடுதல் பெருக்கிகளை இப்போது காணலாம்.

பகுத்தறிவு பின்னங்களுக்கான கூடுதல் காரணி

பின்னத்திற்கான கூடுதல் காரணி

இருக்கும் (x - 5),

மற்றும் பின்னத்தின் கூடுதல் காரணி

தொடர்புடைய கூடுதல் காரணிகளால் எண்களை பெருக்குகிறோம்.

x(x - 3) + 1(x - 5) = 1(x + 5) என்ற சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்.

x2 - 3x + x - 5 = x + 5 என இடது மற்றும் வலதுபுறத்தில் உள்ள அடைப்புக்குறிகளைத் திறப்போம்.

மாற்றப்பட்ட விதிமுறைகளின் அடையாளத்தை மாற்றி, விதிமுறைகளை வலமிருந்து இடமாக நகர்த்துவோம்:

X2 - 3x + x - 5 - x - 5 = 0

இதே போன்ற சொற்களைக் கொண்டு வந்த பிறகு, x2 - 3x - 10 = 0 என்ற இருபடிச் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம். அதைத் தீர்த்த பிறகு, x1 = -2 என்ற வேர்களைக் காண்கிறோம்; x2 = 5.

ஆனால் x = 5 இல் x (x - 5) என்ற பொது வகுப்பானது பூஜ்ஜியத்திற்கு செல்கிறது என்பதை நாம் ஏற்கனவே கண்டுபிடித்துள்ளோம். எனவே, எங்கள் சமன்பாட்டின் வேர்

x = -2 ஆக இருக்கும்.

§ 4 சுருக்கமான சுருக்கம்பாடம்

நினைவில் கொள்வது முக்கியம்:

பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளை தீர்க்கும் போது, ​​பின்வருமாறு தொடரவும்:

1. சமன்பாட்டில் சேர்க்கப்பட்டுள்ள பின்னங்களின் பொதுவான வகுப்பினைக் கண்டறியவும். மேலும், பின்னங்களின் பிரிவுகளை காரணியாக்க முடியுமானால், அவற்றைக் காரணியாக்கி, பின்னர் பொதுவான வகுப்பினைக் கண்டறியவும்.

2. சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் ஒரு பொதுவான வகுப்பினால் பெருக்கவும்: கூடுதல் காரணிகளைக் கண்டறியவும், கூடுதல் காரணிகளால் எண்களைப் பெருக்கவும்.

3.விளைவான முழு சமன்பாட்டையும் தீர்க்கவும்.

4. பொதுவான பிரிவை மறையச் செய்பவற்றை அதன் வேர்களில் இருந்து அகற்றவும்.

பயன்படுத்தப்பட்ட இலக்கியங்களின் பட்டியல்:

1. Makarychev Yu.N., N.G ​​Mindyuk, Neshkov K.I., Suvorova எஸ்.பி. / திருத்தியவர் டெலியாகோவ்ஸ்கி எஸ்.ஏ. இயற்கணிதம்: பாடநூல். 8 ஆம் வகுப்புக்கு. பொது கல்வி நிறுவனங்கள். - எம்.: கல்வி, 2013.
2. மொர்ட்கோவிச் ஏ.ஜி. இயற்கணிதம். 8 ஆம் வகுப்பு: இரண்டு பகுதிகளாக. பகுதி 1: பாடநூல். பொது கல்விக்காக நிறுவனங்கள். - எம்.: மெமோசைன்.
3. ருருகின் ஏ.என். இயற்கணிதத்தில் பாடம் வளர்ச்சிகள்: 8 ஆம் வகுப்பு - எம்.: VAKO, 2010.
4. அல்ஜீப்ரா 8 ஆம் வகுப்பு: பாடப்புத்தகத்தின் அடிப்படையில் பாடத் திட்டங்கள் யு.என். மகரிச்சேவா, என்.ஜி. மின்டியுக், கே.ஐ. நெஷ்கோவா, எஸ்.பி. சுவோரோவா / Aut.-comp. டி.எல். அஃபனஸ்யேவா, எல்.ஏ. டாபிலினா. -வோல்கோகிராட்: ஆசிரியர், 2005.