தன்னிச்சையான மாறிலிகளின் மாறுபாட்டின் முறையின் மூலம் அமைப்புகள். Lagrange முறை (நிலை மாறுபாடு). முதல் வரிசையின் நேரியல் வேறுபாடு சமன்பாடுகள்

படிவத்தின் நேரியல் ஒத்திசைவற்ற வேறுபட்ட சமன்பாடுகளைக் கருத்தில் கொள்வோம்

எங்கே - வாதத்தின் தேவையான செயல்பாடு , மற்றும் செயல்பாடுகள்



ஒரு குறிப்பிட்ட இடைவெளியில் கொடுக்கப்பட்டு தொடர்கின்றன
.

ஒரு நேரியல் ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டை கருத்தில் கொள்வோம், அதன் இடது பக்கம் இடது பக்கத்துடன் ஒத்துப்போகிறது. ஒரே மாதிரியான சமன்பாடு (2.31),

படிவத்தின் சமன்பாடு (2.32) என்று அழைக்கப்படுகிறது ஒத்திசைவற்ற சமன்பாட்டுடன் தொடர்புடைய ஒரே மாதிரியான சமன்பாடு (2.31).

பின்வரும் தேற்றம் ஒத்திசைவற்ற நேரியல் சமன்பாட்டின் (2.31) பொதுவான தீர்வின் கட்டமைப்பைப் பற்றியது.

தேற்றம் 2.6.இப்பகுதியில் உள்ள நேரியல் ஒத்திசைவற்ற சமன்பாட்டின் (2.31) பொதுவான தீர்வு

அதன் குறிப்பிட்ட தீர்வின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் களத்தில் (2.33) தொடர்புடைய ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டின் (2.32) பொதுவான தீர்வு, அதாவது.

எங்கே - சமன்பாட்டின் குறிப்பிட்ட தீர்வு (2.31),
ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டிற்கான தீர்வுகளின் அடிப்படை அமைப்பு (2.32), மற்றும்
- தன்னிச்சையான மாறிலிகள்.

இந்த தேற்றத்தின் ஆதாரத்தை நீங்கள் காணலாம்.

இரண்டாம் வரிசை வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் உதாரணத்தைப் பயன்படுத்தி, ஒரு நேரியல் ஒத்திசைவற்ற சமன்பாட்டிற்கு ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வைக் கண்டறியும் முறையைக் கோடிட்டுக் காட்டுவோம். இந்த முறை அழைக்கப்படுகிறது தன்னிச்சையான மாறிலிகளின் மாறுபாட்டின் லாக்ரேஞ்ச் முறை.

எனவே, நமக்கு ஒரு ஒத்திசைவற்ற நேரியல் சமன்பாடு கொடுக்கப்படும்

(2.35)

குணகங்கள் எங்கே
மற்றும் வலது பக்கம்
சில இடைவெளியில் தொடர்ந்து
.

மூலம் குறிப்போம்
மற்றும்
ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டிற்கான தீர்வுகளின் அடிப்படை அமைப்பு

(2.36)

பின்னர் அதன் பொதுவான தீர்வு வடிவம் உள்ளது

(2.37)

எங்கே மற்றும் - தன்னிச்சையான மாறிலிகள்.

சமன்பாட்டிற்கான (2.35) தீர்வை அதே வடிவத்தில் தேடுவோம் , போன்ற பொதுவான தீர்வுதொடர்புடைய ஒரே மாதிரியான சமன்பாடு, தன்னிச்சையான மாறிலிகளை சில வேறுபட்ட செயல்பாடுகளுடன் மாற்றுகிறது (நாங்கள் தன்னிச்சையான மாறிலிகளை மாற்றுகிறோம்),அந்த.

எங்கே
மற்றும்
- இலிருந்து சில வேறுபட்ட செயல்பாடுகள் , இன்னும் அறியப்படாதவை மற்றும் நாம் தீர்மானிக்க முயற்சிப்போம், அந்தச் செயல்பாடு (2.38) ஒத்திசைவற்ற சமன்பாட்டிற்கு (2.35) தீர்வாக இருக்கும். சமத்துவத்தின் இரு பக்கங்களையும் வேறுபடுத்தி (2.38), நாம் பெறுகிறோம்

எனவே கணக்கிடும் போது இரண்டாவது வரிசை வழித்தோன்றல்கள்
மற்றும்
, எல்லா இடங்களிலும் அதை நாங்கள் கோருகிறோம்
நிபந்தனை பூர்த்தி செய்யப்பட்டது

பிறகு நம்மிடம் இருக்கும்

இரண்டாவது வழித்தோன்றலைக் கணக்கிடுவோம்

இதற்கான வெளிப்பாடுகளை மாற்றுகிறது ,,(2.38), (2.40), (2.41) இலிருந்து சமன்பாட்டிற்கு (2.35), நாம் பெறுகிறோம்

சதுர அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ள வெளிப்பாடுகள் எல்லா இடங்களிலும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்
, ஏனெனில் மற்றும் - சமன்பாட்டின் பகுதி தீர்வுகள் (2.36). இந்த வழக்கில், (2.42) படிவத்தை எடுக்கும், இந்த நிலையை நிபந்தனையுடன் (2.39) இணைத்து, தீர்மானிப்பதற்கான சமன்பாடுகளின் அமைப்பைப் பெறுகிறோம்.
மற்றும்

(2.43)

கடைசி அமைப்பு என்பது இரண்டு இயற்கணித நேரியல் ஒத்திசைவற்ற சமன்பாடுகளின் அமைப்பாகும்
மற்றும்
. இந்த அமைப்பின் தீர்மானிப்பான் தீர்வுகளின் அடிப்படை அமைப்பிற்கான வ்ரோன்ஸ்கி தீர்மானிப்பான் ஆகும் ,எனவே, எல்லா இடங்களிலும் பூஜ்ஜியமாக இல்லை
. இதன் பொருள் அமைப்பு (2.43) ஒரு தனித்துவமான தீர்வைக் கொண்டுள்ளது. ஒப்பீட்டளவில் எந்த வகையிலும் அதைத் தீர்த்து வைத்தல்
,
நாம் கண்டுபிடிப்போம்

எங்கே
மற்றும்
- அறியப்பட்ட செயல்பாடுகள்.

ஒருங்கிணைத்தல் மற்றும் அதை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்வது
,
நாம் ஒரு ஜோடி செயல்பாடுகளை எடுத்து, ஒருங்கிணைப்பு மாறிலிகளை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக அமைக்க வேண்டும். நாம் பெறுகிறோம்

வெளிப்பாடுகளை (2.44) உறவுகளாக (2.38) மாற்றுவதன் மூலம், வடிவத்தில் உள்ள ஒத்திசைவற்ற சமன்பாட்டிற்கு (2.35) விரும்பிய தீர்வை எழுதலாம்.

நேரியல் ஒத்திசைவற்ற சமன்பாட்டிற்கு ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வைக் கண்டறிய இந்த முறையைப் பொதுமைப்படுத்தலாம் -வது வரிசை.

எடுத்துக்காட்டு 2.6. சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்
மணிக்கு
செயல்பட்டால்

தொடர்புடைய ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டிற்கான தீர்வுகளின் அடிப்படை அமைப்பை உருவாக்குகிறது.

இந்த சமன்பாட்டிற்கு ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வைக் காண்போம். இதைச் செய்ய, லாக்ரேஞ்ச் முறைக்கு இணங்க, முதலில் கணினியை (2.43) தீர்க்க வேண்டும், இது எங்கள் விஷயத்தில் படிவத்தைக் கொண்டுள்ளது.
ஒவ்வொரு சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் குறைப்பதன் மூலம் நாம் பெறுகிறோம்

இரண்டாவது சமன்பாட்டிலிருந்து முதல் சமன்பாடு காலத்தை காலத்தால் கழித்தால், நாம் காணலாம்
பின்னர் முதல் சமன்பாட்டில் இருந்து அது பின்வருமாறு
ஒருங்கிணைப்பைச் செய்து, ஒருங்கிணைப்பு மாறிலிகளை பூஜ்ஜியமாக அமைப்போம்

இந்த சமன்பாட்டிற்கான ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வை இவ்வாறு குறிப்பிடலாம்

இந்த சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வு வடிவம் கொண்டது

எங்கே மற்றும் - தன்னிச்சையான மாறிலிகள்.

இறுதியாக, ஒரு குறிப்பிடத்தக்க சொத்தை கவனத்தில் கொள்வோம், இது பெரும்பாலும் தீர்வுகளின் சூப்பர்போசிஷன் கொள்கை என்று அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் பின்வரும் தேற்றத்தால் விவரிக்கப்படுகிறது.

தேற்றம் 2.7.இடையில் இருந்தால்
செயல்பாடு
- சமன்பாடு செயல்பாட்டின் குறிப்பிட்ட தீர்வு
அதே இடைவெளியில் சமன்பாட்டின் ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வு செயல்பாடு ஆகும்
சமன்பாட்டிற்கு ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வு உள்ளது

விரிவுரை 44. நேரியல் சீரற்ற சமன்பாடுகள்இரண்டாவது வரிசை. தன்னிச்சையான மாறிலிகளின் மாறுபாட்டின் முறை. நேரியல் ஒத்திசைவற்ற இரண்டாவது வரிசை சமன்பாடுகள் நிலையான குணகங்கள். (சிறப்பு வலது பக்கம்).

சமூக மாற்றங்கள். மாநிலம் மற்றும் தேவாலயம்.

போல்ஷிவிக்குகளின் சமூகக் கொள்கை பெரும்பாலும் அவர்களின் வர்க்க அணுகுமுறையால் கட்டளையிடப்பட்டது.நவம்பர் 10, 1917 ஆணை மூலம், வர்க்க அமைப்பு அழிக்கப்பட்டது, புரட்சிக்கு முந்தைய அணிகள், பட்டங்கள் மற்றும் விருதுகள் ரத்து செய்யப்பட்டன. நீதிபதிகள் தேர்தல் நிறுவப்பட்டது; சிவில் நிலைமைகளின் மதச்சார்பற்றமயமாக்கல் மேற்கொள்ளப்பட்டது. இலவச கல்வி நிறுவப்பட்டது மற்றும் மருத்துவ பராமரிப்பு(அக்டோபர் 31, 1918 ஆணை). பெண்களுக்கு ஆண்களுடன் சம உரிமை வழங்கப்பட்டது (டிசம்பர் 16 மற்றும் 18, 1917 ஆணைகள்). திருமண ஆணை சிவில் திருமணத்தை அறிமுகப்படுத்தியது.

ஜனவரி 20, 1918 இன் மக்கள் ஆணையர்களின் கவுன்சிலின் ஆணையின்படி, தேவாலயம் மாநிலத்திலிருந்தும் கல்வி அமைப்பிலிருந்தும் பிரிக்கப்பட்டது. பெரும்பாலான தேவாலய சொத்துக்கள் பறிமுதல் செய்யப்பட்டன. மாஸ்கோவின் தேசபக்தர் மற்றும் ஆல் ரஸ்' டிகோன் (நவம்பர் 5, 1917 இல் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டார்) ஜனவரி 19, 1918 அன்று அனாதிமா செய்தார் சோவியத் சக்திமற்றும் போல்ஷிவிக்குகளுக்கு எதிராக போராட அழைப்பு விடுத்தார்.

ஒரு நேரியல் ஒத்திசைவற்ற இரண்டாம்-வரிசை சமன்பாட்டைக் கவனியுங்கள்

அத்தகைய சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வின் அமைப்பு பின்வரும் தேற்றத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது:

தேற்றம் 1.ஒத்திசைவற்ற சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வு (1) இந்த சமன்பாட்டின் சில குறிப்பிட்ட தீர்வின் கூட்டுத்தொகையாகவும் தொடர்புடைய ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வாகவும் குறிப்பிடப்படுகிறது.

(2)

ஆதாரம். தொகை என்பதை நிரூபிக்க வேண்டியது அவசியம்

சமன்பாட்டிற்கான பொதுவான தீர்வு (1). சார்பு (3) என்பது சமன்பாட்டிற்கு (1) தீர்வு என்பதை முதலில் நிரூபிப்போம்.

அதற்குப் பதிலாக (1) சமன்பாட்டில் கூட்டுத்தொகையை மாற்றுதல் மணிக்கு, எங்களிடம் இருக்கும்

சமன்பாடு (2) க்கு ஒரு தீர்வு இருப்பதால், முதல் அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ள வெளிப்பாடு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும். சமன்பாடு (1) க்கு ஒரு தீர்வு இருப்பதால், இரண்டாவது அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ள வெளிப்பாடு சமமாக இருக்கும் f(x). எனவே, சமத்துவம் (4) என்பது ஒரு அடையாளம். இவ்வாறு, தேற்றத்தின் முதல் பகுதி நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

இரண்டாவது கூற்றை நிரூபிப்போம்: வெளிப்பாடு (3) என்பது பொதுசமன்பாட்டின் தீர்வு (1). இந்த வெளிப்பாட்டில் சேர்க்கப்பட்டுள்ள தன்னிச்சையான மாறிலிகளைத் தேர்ந்தெடுக்க முடியும் என்பதை நாம் நிரூபிக்க வேண்டும், இதனால் ஆரம்ப நிலைகள் திருப்திகரமாக இருக்கும்:

(5)

எண்கள் எதுவாக இருந்தாலும் x 0, y 0மற்றும் (மட்டும் இருந்தால் x 0செயல்படும் பகுதியில் இருந்து எடுக்கப்பட்டது a 1, a 2மற்றும் f(x)தொடர்ச்சியான).

இது வடிவத்தில் குறிப்பிடப்படலாம் என்பதைக் கவனித்தல் . பின்னர், நிபந்தனைகளின் அடிப்படையில் (5), எங்களிடம் இருக்கும்

இந்த அமைப்பை தீர்த்து தீர்மானிப்போம் சி 1மற்றும் சி 2. படிவத்தில் கணினியை மீண்டும் எழுதுவோம்:

(6)

இந்த அமைப்பின் தீர்மானிப்பான் செயல்பாடுகளுக்கான வ்ரோன்ஸ்கி தீர்மானிப்பான் என்பதை நினைவில் கொள்க 1 மணிக்குமற்றும் 2 மணிக்குபுள்ளியில் x=x 0. இந்த செயல்பாடுகள் நிபந்தனையின்படி நேரியல் சார்பற்றதாக இருப்பதால், வ்ரோன்ஸ்கி தீர்மானிப்பான் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லை; எனவே அமைப்பு (6) உள்ளது திட்டவட்டமான தீர்வு சி 1மற்றும் சி 2, அதாவது போன்ற அர்த்தங்கள் உள்ளன சி 1மற்றும் சி 2, எந்த சூத்திரம் (3) தரவை திருப்திப்படுத்தும் சமன்பாடு (1)க்கான தீர்வை தீர்மானிக்கிறது ஆரம்ப நிலைமைகள். கே.இ.டி.

நாம் செல்லலாம் பொது முறைஒரு சீரற்ற சமன்பாட்டிற்கு பகுதி தீர்வுகளை கண்டறிதல்.

ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வை எழுதுவோம் (2)

. (7)

(7) வடிவத்தில் உள்ள ஒத்திசைவற்ற சமன்பாட்டிற்கு (1) ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வைக் காண்போம். சி 1மற்றும் சி 2இன்னும் அறியப்படாத சில செயல்பாடுகளைப் போல எக்ஸ்.

சமத்துவத்தை வேறுபடுத்துவோம் (7):

நீங்கள் தேடும் செயல்பாடுகளைத் தேர்ந்தெடுக்கலாம் சி 1மற்றும் சி 2அதனால் சமத்துவம் நிலைத்திருக்கும்

. (8)

இந்த கூடுதல் நிபந்தனையை நாம் கணக்கில் எடுத்துக் கொண்டால், முதல் வழித்தோன்றல் படிவத்தை எடுக்கும்

.

இப்போது இந்த வெளிப்பாட்டை வேறுபடுத்தி, நாம் காண்கிறோம்:

சமன்பாடு (1) க்கு மாற்றாக, நாம் பெறுகிறோம்

முதல் இரண்டு அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ள வெளிப்பாடுகள் பூஜ்ஜியமாக மாறும் y 1மற்றும் y 2- ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டின் தீர்வுகள். எனவே, கடைசி சமத்துவம் வடிவம் பெறுகிறது

. (9)

எனவே, சார்பு (7) சார்புகள் என்றால் ஒத்திசைவற்ற சமன்பாட்டிற்கு (1) தீர்வாக இருக்கும் சி 1மற்றும் சி 2(8) மற்றும் (9) சமன்பாடுகளை திருப்திப்படுத்தவும். சமன்பாடுகள் (8) மற்றும் (9) ஆகியவற்றிலிருந்து சமன்பாடுகளின் அமைப்பை உருவாக்குவோம்.

இந்த அமைப்பின் நிர்ணயிப்பான் நேரியலுக்கு வ்ரோன்ஸ்கி தீர்மானிப்பான் என்பதால் சுதந்திரமான முடிவுகள் y 1மற்றும் y 2சமன்பாடு (2), பின்னர் அது பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்காது. எனவே, கணினியைத் தீர்ப்பது, இரண்டின் சில செயல்பாடுகளையும் கண்டுபிடிப்போம் எக்ஸ்.

இப்போது நேரியல் ஒத்திசைவற்ற சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்வோம்
. (2)
y 1 ,y 2 ,.., y n என்பது தீர்வுகளின் அடிப்படை அமைப்பாகவும், L(y)=0 என்ற ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வாகவும் இருக்கட்டும். முதல் வரிசை சமன்பாடுகளைப் போலவே, சமன்பாடு (2) க்கு வடிவத்தில் ஒரு தீர்வைத் தேடுவோம்.
. (3)
இந்த வடிவத்தில் ஒரு தீர்வு இருப்பதை உறுதி செய்வோம். இதைச் செய்ய, செயல்பாட்டைச் சமன்பாட்டில் மாற்றுகிறோம். இந்தச் செயல்பாட்டை சமன்பாட்டில் மாற்ற, அதன் வழித்தோன்றல்களைக் காண்கிறோம். முதல் வழித்தோன்றல் சமம்
. (4)
இரண்டாவது வழித்தோன்றலைக் கணக்கிடும்போது, ​​நான்கு சொற்கள் (4), மூன்றாவது வழித்தோன்றலைக் கணக்கிடும்போது, ​​எட்டு சொற்கள் தோன்றும், மற்றும் பல. எனவே, மேலும் கணக்கீடுகளின் வசதிக்காக, (4) இல் முதல் சொல் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக அமைக்கப்பட்டுள்ளது. இதை கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டால், இரண்டாவது வழித்தோன்றல் சமம்
. (5)
முன்பு இருந்த அதே காரணங்களுக்காக, (5) இல் பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமமான முதல் வார்த்தையையும் அமைத்துள்ளோம். இறுதியாக, n வது வழித்தோன்றல்சமமாக
. (6)
வழித்தோன்றல்களின் பெறப்பட்ட மதிப்புகளை அசல் சமன்பாட்டில் மாற்றுவது, எங்களிடம் உள்ளது
. (7)
y j , j=1,2,..,n சார்புகள் L(y)=0 என்ற ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டிற்கான தீர்வுகள் என்பதால் (7) இல் உள்ள இரண்டாவது சொல் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம். முந்தையவற்றுடன் இணைந்து, C" j (x) செயல்பாடுகளைக் கண்டறிய இயற்கணித சமன்பாடுகளின் அமைப்பைப் பெறுகிறோம்.
(8)
இந்த அமைப்பின் நிர்ணயிப்பானது, y 1 ,y 2 ,..,y n ஆகிய ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டின் L(y)=0 தீர்வுகளின் அடிப்படை அமைப்பின் Wronski தீர்மானிப்பான் ஆகும், எனவே பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லை. இதன் விளைவாக, அமைப்புக்கு ஒரு தனித்துவமான தீர்வு உள்ளது (8). அதைக் கண்டறிந்த பிறகு, C" j (x), j=1,2,…,n, மற்றும், அதன் விளைவாக, C j (x), j=1,2,…,n இந்த மதிப்புகளை மாற்றுவதன் மூலம் செயல்பாடுகளைப் பெறுகிறோம். (3), நாம் ஒரு நேரியல் ஒத்திசைவற்ற சமன்பாட்டிற்கான தீர்வைப் பெறுகிறோம்.
வழங்கப்பட்ட முறை ஒரு தன்னிச்சையான மாறிலியின் மாறுபாட்டின் முறை அல்லது லாக்ரேஞ்ச் முறை என்று அழைக்கப்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டு எண். 2. நேரியல் தீர்க்கவும் வேறுபட்ட சமன்பாடுகள்மாறுபடும் தன்னிச்சையான மாறிலிகளின் முறையால் நிலையான குணகங்களுடன் இரண்டாவது வரிசை:

y(0) =1 + 3ln3
y'(0) = 10ln3

தீர்வு:
இந்த வேறுபாடு சமன்பாடு நிலையான குணகங்களுடன் நேரியல் வேறுபாடு சமன்பாடுகளைக் குறிக்கிறது.
y = e rx வடிவத்தில் சமன்பாட்டிற்கான தீர்வைத் தேடுவோம். இதைச் செய்ய, நிலையான குணகங்களுடன் ஒரு நேரியல் ஒரே மாதிரியான வேறுபாடு சமன்பாட்டின் சிறப்பியல்பு சமன்பாட்டை நாங்கள் உருவாக்குகிறோம்:
r 2 -6 r + 8 = 0
D = (-6) 2 - 4 1 8 = 4

சிறப்பியல்பு சமன்பாட்டின் வேர்கள்: r 1 = 4, r 2 = 2
இதன் விளைவாக, தீர்வுகளின் அடிப்படை அமைப்பு செயல்பாடுகளைக் கொண்டுள்ளது:
y 1 = e 4x, y 2 = e 2x
ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வு வடிவம் உள்ளது:

தன்னிச்சையான மாறிலியை மாற்றும் முறையின் மூலம் ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வைத் தேடுங்கள்.
C" இன் வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறிய, நாம் சமன்பாடுகளின் அமைப்பை உருவாக்குகிறோம்:

C" 1 (4e 4x) + C" 2 (2e 2x) = 4/(2+e -2x)
முதல் சமன்பாட்டிலிருந்து C" 1 ஐ வெளிப்படுத்துவோம்:
C" 1 = -c 2 e -2x
மற்றும் அதை இரண்டாவதாக மாற்றவும். இதன் விளைவாக நாம் பெறுகிறோம்:
C" 1 = 2/(e 2x +2e 4x)
C" 2 = -2e 2x /(e 2x +2e 4x)
பெறப்பட்ட செயல்பாடுகளை ஒருங்கிணைக்கிறோம் C" i:
C 1 = 2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1
C 2 = ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2

இருந்து , அதன் விளைவாக வரும் வெளிப்பாடுகளை வடிவத்தில் எழுதுகிறோம்:
C 1 = (2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1) e 4x = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x
C 2 = (ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2)e 2x = e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
எனவே, வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்கான பொதுவான தீர்வு வடிவம் உள்ளது:
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
அல்லது
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 1 e 4x + C * 2 e 2x

நிபந்தனையின் கீழ் ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வைக் கண்டுபிடிப்போம்:
y(0) =1 + 3ln3
y'(0) = 10ln3

கண்டுபிடிக்கப்பட்ட சமன்பாட்டில் x = 0 ஐ மாற்றினால், நாம் பெறுகிறோம்:
y(0) = 2 ln(3) - 1 + ln(3) + C * 1 + C * 2 = 3 ln(3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
பெறப்பட்ட பொதுவான தீர்வின் முதல் வழித்தோன்றலைக் காண்கிறோம்:
y’ = 2e 2x (2C 1 e 2x + C 2 -2x +4 e 2x ln(e -2x +2)+ ln(2e 2x +1)-2)
x = 0 ஐ மாற்றினால், நாம் பெறுகிறோம்:
y’(0) = 2(2C 1 + C 2 +4 ln(3)+ ln(3)-2) = 4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10ln3

இரண்டு சமன்பாடுகளின் அமைப்பைப் பெறுகிறோம்:
3 ln(3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10ln3
அல்லது
C*1+C*2=2
4C 1 + 2C 2 = 4
அல்லது
C*1+C*2=2
2C 1 + C 2 = 2
எங்கே:
சி 1 = 0, சி * 2 = 2
தனிப்பட்ட தீர்வு பின்வருமாறு எழுதப்படும்:
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + 2 e 2x

தத்துவார்த்த குறைந்தபட்சம்

வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் கோட்பாட்டில், இந்தக் கோட்பாட்டிற்கு மிகவும் உயர்ந்த அளவிலான உலகளாவிய தன்மை இருப்பதாகக் கூறும் ஒரு முறை உள்ளது.
ஒரு தன்னிச்சையான மாறிலியின் மாறுபாட்டின் முறையைப் பற்றி நாங்கள் பேசுகிறோம், இது பல்வேறு வகையான வேறுபட்ட சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்குப் பொருந்தும்.
அமைப்புகள் தியரி - அறிக்கைகளின் ஆதாரங்களை அடைப்புக்குறிக்குள் வெளியே எடுத்தால் - மிகக் குறைவாக இருந்தாலும், சாதிக்க நம்மை அனுமதிக்கும் போது இது துல்லியமாக நடக்கும்.
குறிப்பிடத்தக்க முடிவுகள், எனவே எடுத்துக்காட்டுகளுக்கு முக்கியத்துவம் கொடுக்கப்படும்.

முறையின் பொதுவான யோசனை உருவாக்க மிகவும் எளிதானது. விடுங்கள் கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு(சமன்பாடுகளின் அமைப்பு) தீர்க்க கடினமாக உள்ளது அல்லது முற்றிலும் புரிந்துகொள்ள முடியாதது,
அதை எப்படி தீர்ப்பது. இருப்பினும், சமன்பாட்டிலிருந்து சில சொற்களை நீக்குவதன் மூலம், அது தீர்க்கப்படுகிறது என்பது தெளிவாகிறது. பின்னர் அவர்கள் இதை எளிமையாக தீர்க்கிறார்கள்
சமன்பாடு (அமைப்பு), ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையிலான தன்னிச்சையான மாறிலிகளைக் கொண்ட ஒரு தீர்வைப் பெறுகிறோம் - சமன்பாட்டின் வரிசையைப் பொறுத்து (எண்
அமைப்பில் சமன்பாடுகள்). பின்னர் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட கரைசலில் உள்ள மாறிலிகள் உண்மையில் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட தீர்வு அல்ல என்று கருதப்படுகிறது
அசல் சமன்பாட்டிற்கு (அமைப்பு) மாற்றியமைக்கப்படுகிறது, "மாறிகளை" தீர்மானிக்க ஒரு வேறுபட்ட சமன்பாடு (அல்லது சமன்பாடுகளின் அமைப்பு) பெறப்படுகிறது.
வெவ்வேறு சிக்கல்களுக்கு தன்னிச்சையான மாறிலியின் மாறுபாட்டின் முறையைப் பயன்படுத்துவதில் ஒரு குறிப்பிட்ட தனித்தன்மை உள்ளது, ஆனால் இவை ஏற்கனவே குறிப்பிட்டவை
எடுத்துக்காட்டுகளுடன் காட்டப்பட்டது.

உயர் வரிசைகளின் நேரியல் ஒத்திசைவற்ற சமன்பாடுகளின் தீர்வைத் தனித்தனியாகக் கருதுவோம், அதாவது. வடிவத்தின் சமன்பாடுகள்
.
ஒரு நேரியல் ஒத்திசைவற்ற சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வு, தொடர்புடைய ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வு மற்றும் ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வின் கூட்டுத்தொகை ஆகும்.
இந்த சமன்பாட்டின். ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டிற்கான பொதுவான தீர்வு ஏற்கனவே கண்டுபிடிக்கப்பட்டுள்ளது, அதாவது, தீர்வுகளின் அடிப்படை அமைப்பு (FSS) கட்டமைக்கப்பட்டுள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம்.
. பின்னர் ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வு சமமாக இருக்கும்.
ஒத்திசைவற்ற சமன்பாட்டிற்கு ஏதேனும் ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வை நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். இந்த நோக்கத்திற்காக, மாறிலிகள் மாறியைச் சார்ந்ததாகக் கருதப்படுகிறது.
அடுத்து நீங்கள் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்க வேண்டும்
.
சார்புகளின் வழித்தோன்றல்களைப் பொறுத்து இயற்கணித சமன்பாடுகளின் இந்த அமைப்பு ஒரு தனித்துவமான தீர்வைக் கொண்டுள்ளது என்று கோட்பாடு உத்தரவாதம் அளிக்கிறது.
செயல்பாடுகளை தாங்களாகவே கண்டறியும் போது, ​​ஒருங்கிணைப்பின் மாறிலிகள் தோன்றாது: எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, ஏதேனும் ஒரு தீர்வு தேடப்படுகிறது.

படிவத்தின் நேரியல் ஒத்திசைவற்ற முதல்-வரிசை சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளைத் தீர்க்கும் விஷயத்தில்

அல்காரிதம் கிட்டத்தட்ட மாறாமல் உள்ளது. முதலில் நீங்கள் தொடர்புடைய FSR ஐக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் ஒரே மாதிரியான அமைப்புசமன்பாடுகள், ஒரு அடிப்படை அணியை உருவாக்கவும்
அமைப்பு, அதன் நெடுவரிசைகள் FSR இன் கூறுகளைக் குறிக்கின்றன. அடுத்து, சமன்பாடு வரையப்பட்டது
.
கணினியைத் தீர்க்கும் போது, ​​செயல்பாடுகளை நாங்கள் தீர்மானிக்கிறோம், இதனால் அசல் அமைப்புக்கு ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வைக் காணலாம்
(அடிப்படை அணி கண்டறியப்பட்ட செயல்பாடுகளின் நெடுவரிசையால் பெருக்கப்படுகிறது).
ஒரே மாதிரியான சமன்பாடுகளின் தொடர்புடைய அமைப்பின் பொதுவான தீர்வுக்கு நாங்கள் அதைச் சேர்க்கிறோம், இது ஏற்கனவே கண்டுபிடிக்கப்பட்ட FSR இன் அடிப்படையில் கட்டப்பட்டுள்ளது.
அசல் அமைப்பின் பொதுவான தீர்வு பெறப்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டுகள்.

உதாரணம் 1. முதல் வரிசையின் நேரியல் சீரற்ற சமன்பாடுகள்.

தொடர்புடைய ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்வோம் (நாங்கள் விரும்பிய செயல்பாட்டைக் குறிக்கிறோம்):
.
இந்த சமன்பாட்டை மாறிகள் பிரிப்பு முறையைப் பயன்படுத்தி எளிதாக தீர்க்க முடியும்:

.
இப்போது வடிவத்தில் அசல் சமன்பாட்டிற்கான தீர்வை கற்பனை செய்யலாம் , செயல்பாடு இன்னும் கண்டுபிடிக்கப்படவில்லை.
இந்த வகை தீர்வை அசல் சமன்பாட்டில் மாற்றுகிறோம்:
.
நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, இடது பக்கத்தில் இரண்டாவது மற்றும் மூன்றாவது சொற்கள் ஒருவருக்கொருவர் ரத்து - இது சிறப்பியல்பு அம்சம்தன்னிச்சையான மாறிலியின் மாறுபாட்டின் முறை.

இங்கே இது ஏற்கனவே ஒரு உண்மையான தன்னிச்சையான மாறிலி. இவ்வாறு,
.

எடுத்துக்காட்டு 2. பெர்னோலியின் சமன்பாடு.

நாங்கள் முதல் உதாரணத்தைப் போலவே தொடர்கிறோம் - சமன்பாட்டை தீர்க்கிறோம்

மாறிகளை பிரிக்கும் முறை. இது மாறிவிடும், எனவே வடிவத்தில் அசல் சமன்பாட்டிற்கு ஒரு தீர்வைத் தேடுகிறோம்
.
இந்தச் செயல்பாட்டை அசல் சமன்பாட்டில் மாற்றுகிறோம்:
.
மீண்டும் குறைப்புகள் ஏற்படுகின்றன:
.
தீர்வு மூலம் பிரிக்கும் போது இழக்கப்படவில்லை என்பதை உறுதிப்படுத்த இங்கே நீங்கள் நினைவில் கொள்ள வேண்டும். மற்றும் அசல் தீர்வு வழக்கு ஒத்துள்ளது
சமன்பாடுகள் அதை நினைவில் கொள்வோம். எனவே,
.
அதை எழுதுவோம்.
இதுதான் தீர்வு. பதிலை எழுதும் போது, ​​எந்த இறுதி மதிப்பிற்கும் பொருந்தாததால், முன்னர் கண்டறிந்த தீர்வையும் குறிப்பிட வேண்டும்
மாறிலிகள்

எடுத்துக்காட்டு 3. உயர் வரிசைகளின் நேரியல் ஒத்திசைவற்ற சமன்பாடுகள்.

இந்த சமன்பாட்டை இன்னும் எளிமையாக தீர்க்க முடியும் என்பதை உடனடியாக கவனிக்கலாம், ஆனால் அதைப் பயன்படுத்தும் முறையை நிரூபிப்பது வசதியானது. சில நன்மைகள் இருந்தாலும்
இந்த எடுத்துக்காட்டில் மாறுபாடு முறை தன்னிச்சையான மாறிலியைக் கொண்டுள்ளது.
எனவே, நீங்கள் தொடர்புடைய ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டின் FSR உடன் தொடங்க வேண்டும். FSR ஐக் கண்டுபிடிக்க, ஒரு சிறப்பியல்பு வளைவு தொகுக்கப்பட்டுள்ளது என்பதை நினைவுபடுத்துவோம்
சமன்பாடு
.
எனவே, ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வு
.
இங்கு சேர்க்கப்பட்டுள்ள மாறிலிகள் மாறுபட வேண்டும். ஒரு அமைப்பை உருவாக்குதல்