ஆன்லைனில் சீடெல் முறையைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்ப்பது. சீடல்-காஸ் முறை. சர்வதேச முறை

நிரலாக்கத்தின் எளிமை மற்றும் எளிமை ஆகியவற்றால் வகைப்படுத்தப்படும் மிகவும் பொதுவான செயல்பாட்டு முறைகளில் ஒன்று காசியன் முறை–சீடல்.

கணினியைத் தீர்ப்பதற்கான உதாரணத்தைப் பயன்படுத்தி முதலில் இந்த முறையை விளக்குவோம்

மூலைவிட்ட உறுப்புகள் என்று வைத்துக்கொள்வோம் ஏ 11, ஏ 22, ஏ 33nonzero (இல்லையெனில் சமன்பாடுகளை மறுசீரமைக்கலாம்). தெரியாததை வெளிப்படுத்துவோம் எக்ஸ் 1,எக்ஸ் 2i எக்ஸ் 3 முறையே முதல், இரண்டாவது மற்றும் மூன்றாவது அமைப்பின் சமன்பாடுகளிலிருந்து (2.27):

(2.28)

(2.29)

(2.30)

தெரியாதவற்றின் மதிப்புகளுக்கு சில ஆரம்ப (பூஜ்ஜியம்) தோராயங்களைக் குறிப்பிடுவோம்: இந்த மதிப்புகளை வெளிப்பாட்டின் வலது பக்கத்தில் (2.28) மாற்றுவதன் மூலம், ஒரு புதிய (முதல்) தோராயத்தைப் பெறுகிறோம். எக்ஸ் 1:

இந்த மதிப்பைப் பயன்படுத்துதல் x1 மற்றும் அணுகுகிறது x3, (2.29) என்பதன் முதல் தோராயத்தை நாம் காண்கிறோம் x2:

இறுதியாக, கணக்கிடப்பட்ட மதிப்புகளைப் பயன்படுத்தி வெளிப்பாடு (2.30) ஐப் பயன்படுத்தி, இதற்கான முதல் தோராயத்தைக் காண்கிறோம் எக்ஸ் 3:

இது தீர்க்கும் முறையின் முதல் மறு செய்கை (2.28) - (2.30) முடிவடைகிறது. இப்போது மதிப்புகளைப் பயன்படுத்துகிறது எக்ஸ் 1(1),எக்ஸ் 2(1)மற்றும் எக்ஸ் 3(1) நீங்கள் இரண்டாவது மறு செய்கையை அதே வழியில் மேற்கொள்ளலாம், இதன் விளைவாக தீர்வுக்கான இரண்டாவது தோராயங்கள் கண்டறியப்படும்: எக்ஸ் 1 = எக்ஸ் 1 (2),எக்ஸ் 2 = எக்ஸ் 2(2)மற்றும் எக்ஸ் 3 = எக்ஸ் 3(2), முதலியன

எண்ணுடன் நெருங்குகிறது கேஎண்ணுடன் தோராயத்தை அறிந்து கணக்கிடலாம் கே– 1, என

மதிப்புகள் வரை மீண்டும் செயல்முறை தொடர்கிறது எக்ஸ் 1(k), எக்ஸ் 2(k)i எக்ஸ்கொடுக்கப்பட்ட பிழையுடன் 3(k) மதிப்புகளுக்கு நெருக்கமாக இருக்காது எக்ஸ் 1(k-1), எக்ஸ் 2(k-1)மற்றும் எக்ஸ் 3(k-1).

உதாரணம்.காஸ்-சீடல் முறையைப் பயன்படுத்தி பின்வரும் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்கவும்:

இந்த அமைப்பிற்கான தீர்வு பின்வருமாறு என்பதை சரிபார்க்க எளிதானது: எக்ஸ் 1 = எக்ஸ் 2 = எக்ஸ் 3 = 1.

தீர்வு. தெரியாததை வெளிப்படுத்துவோம் எக்ஸ் 1, எக்ஸ் 2i எக்ஸ் 3 முறையே முதல், இரண்டாவது மற்றும் மூன்றாவது சமன்பாடுகளில் இருந்து:

ஆரம்ப தோராயமாக (வழக்கமாக செய்யப்படுகிறது), நாங்கள் எடுத்துக்கொள்கிறோம் எக்ஸ் 1= 0, எக்ஸ் 2 = 0, எக்ஸ் 3 = 0. தெரியாதவற்றின் புதிய தோராயங்களைக் கண்டுபிடிப்போம்:

இதேபோல் பின்வரும் தோராயங்களைக் கணக்கிடுவோம்:

இரண்டு தொடர்ச்சியான மறு செய்கைகளில் தெரியாதவற்றின் மதிப்புகளுக்கு இடையே ஒரு சிறிய வித்தியாசம் கிடைக்கும் வரை மீண்டும் மீண்டும் செயல்முறை தொடரலாம்.

இப்போது அமைப்பைக் கருத்தில் கொள்வோம் nஉடன் நேரியல் சமன்பாடுகள் nதெரியவில்லை. படிவத்தில் எழுதுவோம்

இங்கே அனைத்து மூலைவிட்ட உறுப்புகளும் பூஜ்ஜியமற்றவை என்று கருதுவோம். பின்னர், காஸ்-சீடல் முறைக்கு இணங்க கே-e தீர்வுக்கான தோராயத்தை இவ்வாறு குறிப்பிடலாம்

அனைத்து மதிப்புகளும் நெருங்கும் வரை மீண்டும் மீண்டும் செயல்முறை தொடர்கிறது, அதாவது. மறு செய்கைகளை முடிப்பதற்கான அளவுகோல் நிபந்தனைகளில் ஒன்றாகும் (2.21) - (2.24).

செயல்பாட்டின் ஒருங்கிணைப்புக்கு (2.31), அமைப்பின் ஒவ்வொரு சமன்பாட்டிற்கும் மூலைவிட்ட குணகங்களின் மாடுலி மற்ற அனைத்து குணகங்களின் மாடுலியின் கூட்டுத்தொகையை விட குறைவாக இல்லை (மூலைவிட்ட உறுப்புகளின் ஆதிக்கம்):

(2.32)

இந்த வழக்கில், குறைந்தபட்சம் ஒரு சமன்பாட்டிற்கு ஏற்றத்தாழ்வு கண்டிப்பாக திருப்திப்படுத்தப்பட வேண்டும். இந்த நிலைமைகள் முறையின் ஒருங்கிணைப்புக்கு போதுமானவை, ஆனால் அவை அவசியமில்லை, அதாவது. சில அமைப்புகளுக்கு, நிபந்தனைகள் (2.32) மீறப்பட்டாலும் மறு செய்கைகள் ஒன்றிணைகின்றன.

அமைப்பைத் தீர்ப்பதற்கான அல்காரிதம் n Gauss-Seidel முறையின் நேரியல் சமன்பாடுகள் படம் 2.6 இல் வழங்கப்பட்டுள்ளன. ஆரம்ப தரவாக உள்ளிடவும் ப,குணகங்கள் மற்றும் கணினி சமன்பாடுகளின் வலது பக்கங்கள், பிழை ε, அனுமதிக்கப்பட்ட அதிகபட்ச எண்ணிக்கையிலான மறு செய்கைகள் எம்,அத்துடன் மாறிகளின் ஆரம்ப தோராயங்கள் xi(i=1,2,…,n) ஆரம்ப தோராயங்களை கணினியில் உள்ளிட முடியாது, ஆனால் சில மதிப்புகளுக்கு சமமாக இருக்கலாம் (எடுத்துக்காட்டாக, பூஜ்ஜியம்). மறு செய்கைகளை முடிப்பதற்கான அளவுகோலாக நிபந்தனை (2.22) தேர்வு செய்யப்பட்டது, இதன் மூலம் δ அதிகபட்சம் குறிக்கப்படுகிறது முழுமையான மதிப்புவேறுபாடுகள் மற்றும்:

கட்டமைப்பு வரைபடத்தைப் படிக்கும் வசதிக்காக, மற்ற குறிப்புகளை விளக்குவோம்: கே- வரிசை எண்மறு செய்கைகள்; i- சமன்பாட்டின் எண்ணிக்கை, அத்துடன் தொடர்புடைய சுழற்சியில் கணக்கிடப்படும் மாறி; ஜே- படிவத்தின் உறுப்பினரின் எண்ணிக்கை அல்லது உறவின் வலது பக்கத்தில் (2.31). மீண்டும் மீண்டும் செயல்முறை நிறுத்தப்படும் போது δ < ε , அல்லது மணிக்கு கே= எம்.பிந்தைய வழக்கில், மறு செய்கைகள் ஒன்றிணைவதில்லை, மேலும் ஒரு செய்தி காட்டப்படும். மறுசெயல்முறையை செயல்படுத்தும் வளையத்தை முடிக்க, ஒரு மாறி பயன்படுத்தப்படுகிறது எல், நிபந்தனை பூர்த்தி செய்யப்பட்டால், மறு செய்கைகள் தொடர்வதால், இது முறையே 0, 1 மற்றும் 2 மதிப்புகளை எடுக்கும் δ < ε மற்றும் நிபந்தனை பூர்த்தி செய்யப்படும் போது கே= எம்.

அரிசி. 2.6 அமைப்பைத் தீர்ப்பதற்கான அல்காரிதம் nகாஸ்-சீடல் முறையைப் பயன்படுத்தி நேரியல் சமன்பாடுகள்

1. விவரிக்கப்பட்ட முறைகளில் ஒன்றைப் பயன்படுத்தி கணினியை படிவத்திற்கு மாற்றவும்.

2. தீர்வின் ஆரம்ப தோராயத்தை தன்னிச்சையாக அமைக்கவும் அல்லது அமைக்கவும் , அதே போல் ஒரு சிறிய நேர்மறை எண் (துல்லியம்). போடு .

3. சூத்திரம் (1) அல்லது (2) ஐப் பயன்படுத்தி கணக்கீடுகளைச் செய்து கண்டுபிடிக்கவும்.

(1)

4. இறுதி நிபந்தனை பூர்த்தி செய்யப்பட்டால் , செயல்முறையை முடித்து ஏற்றுக்கொள்ளுங்கள் . இல்லையெனில், அதை கீழே வைத்து, படி 3 க்குச் செல்லவும்.

அமைப்புகள் தீர்வு நேரியல் அல்லாத சமன்பாடுகள்(SNU).

பொதுவான வடிவத்தில் n அறியப்படாத (SNE) உடன் n நேரியல் அல்லாத சமன்பாடுகளின் அமைப்பை எழுதுவோம்:

f 1 (x 1, x 2, …, x n) = 0

f 2 (x 1 , x 2 , …, x n) = 0 (5.1)

f n (x 1, x 2, …, x n) = 0

இந்த அமைப்பை ஒரு சிறிய ஆபரேட்டர் வடிவத்தில் எழுதலாம்:

திசையன் செயல்பாடு

தெரியாத திசையன்

அமைப்பு தீர்வு மதிப்புகளின் தொகுப்பாகும்,(vectorX *) இதற்கு அனைத்து செயல்பாடுகளும் f i 0க்கு சமம் (அமைப்பு (5.1) ஒரு அடையாளமாகிறது.)

SNU களில் ஒரு தீர்வு இருக்கலாம், பல தீர்வுகள் இருக்கலாம் அல்லது ஒன்று இல்லாமல் இருக்கலாம். எனவே, SNU இன் எண் தீர்வு இரண்டு நிலைகளில் மேற்கொள்ளப்படுகிறது:

நிலை 1- முடிவுகள் துறை.

நிலை 2- அனைத்து அல்லது தேவையான முடிவுகளையும் தெளிவுபடுத்துதல்.

தனித்தனி தீர்வுகள் - தீர்வுகளின் எண்ணிக்கையை நிறுவுதல், அவை ஒவ்வொன்றின் தோராயமான மதிப்புகளைத் தீர்மானிப்பது அல்லது தீர்வு இருக்கும் மற்றும் தனித்துவமான பகுதியைக் குறிப்பிடுவது.

இரண்டு அறியப்படாத இரண்டு சமன்பாடுகளின் அமைப்புக்கு மட்டுமே தீர்வுகளைப் பிரிப்பதில் சிக்கல் மிகவும் எளிமையாக தீர்க்கப்படுகிறது.

f 1 (x 1, x 2) = 0

f 2 (x 1 , x 2) = 0

இதைச் செய்ய, ஆய (x 1, x 2) வளைவுகளை உருவாக்குவது அவசியம்.

f 1 (x 1 , x 2) = 0, f 2 (x 1 , x 2) = 0.

இந்த வளைவுகளின் வெட்டுப்புள்ளிகள் அமைப்பின் தீர்வுகள். குறுக்குவெட்டு புள்ளிகளின் ஆயத்தொலைவுகள் தோராயமாக தீர்மானிக்கப்படுவதால், தீர்வு D இன் இருப்பு பற்றிய களத்தைப் பற்றி பேசுவது நல்லது. இந்த டொமைன் ஒவ்வொரு ஒருங்கிணைப்பிலும் இடைவெளிகளால் வரையறுக்கப்படுகிறது, அதில் தெரியாதவற்றின் விரும்பிய மதிப்புகள் அமைந்துள்ளன.

இரண்டு தீர்வுகள் உள்ளன.

டி 1 - முதல் தீர்வு இருப்பதற்கான களம்.

D 1 = (a 1< x 1 < b 1 , a 2 < x 2 < b 2 }.

SNU தீர்வுகளின் கிராஃபிக் பிரிப்பு.

அதிக எண்ணிக்கையிலான அறியப்படாத அமைப்புகளுக்கு (n 3) ஒரு தீர்வின் இருப்பைத் தீர்மானிப்பதற்கான திருப்திகரமான பொது முறைகள் எதுவும் இல்லை.எனவே, SNE ஐ தீர்க்கும் போது, ​​​​இந்த பகுதி பொதுவாக தீர்க்கப்படும் சிக்கலை பகுப்பாய்வு செய்வதன் மூலம் தீர்மானிக்கப்படுகிறது, எடுத்துக்காட்டாக, தெரியாதவர்களின் உடல் அர்த்தத்தின் அடிப்படையில்.

தீர்வுத் துறை உங்களை அனுமதிக்கிறது:

தீர்வுகளின் எண்ணிக்கை மற்றும் அவை ஒவ்வொன்றின் இருப்பின் களத்தையும் அடையாளம் காணவும்.

ஒவ்வொரு பகுதியிலும் உள்ள சிக்கல்களின் அமைப்பைத் தீர்க்க தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட முறையைப் பயன்படுத்துவதற்கான சாத்தியத்தை பகுப்பாய்வு செய்யுங்கள்.

X (0) தீர்வின் ஆரம்ப தோராயத்தை அதன் இருப்பில் இருந்து தேர்வு செய்யவும், இதனால் X (0) D.

SNL இன் தீர்வின் இருப்பு பற்றிய தகவல் இல்லாத நிலையில், ஆரம்ப தோராயமான X (0) இன் தேர்வு சோதனை மற்றும் பிழை ("சீரற்ற" முறை) மூலம் மேற்கொள்ளப்படுகிறது.

பிரச்சனையின் அறிக்கை.

நேரியல் அல்லாத சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்க இது தேவைப்படுகிறது. ஒருங்கிணைப்பு வடிவத்தில், இந்த சிக்கலை பின்வருமாறு எழுதலாம்: , 1 ≤ கே ≤ n.

ஒரு தீர்வு இருப்பதையும் வேர்களின் எண்ணிக்கையையும் நீங்கள் சரிபார்க்கலாம், அதே போல் இரண்டு அறியப்படாத இரண்டு சமன்பாடுகளின் அமைப்பில் பூஜ்ஜிய தோராயத்தைத் தேர்வுசெய்யலாம், வசதியான ஆயங்களில் செயல்பாடுகளின் வரைபடங்களை உருவாக்குவதன் மூலம். சிக்கலான செயல்பாடுகளின் விஷயத்தில், அவற்றை தோராயமான பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் நடத்தையை நீங்கள் பார்க்கலாம். மூன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட தெரியாதவர்களுக்கு, அதே போல் சிக்கலான வேர்களுக்கு, ஆரம்ப தோராயத்தைத் தேர்ந்தெடுப்பதற்கான திருப்திகரமான முறைகள் எதுவும் இல்லை.

முறை எளிய மறு செய்கைகள்.

ஒரு சமன்பாட்டைப் போலவே, எளிய மறு செய்கை முறையானது சமன்பாடுகளின் அசல் அமைப்பை மாற்றுவதை உள்ளடக்கியது.

f 1 (x 1, x 2, …, x n) = 0

f 2 (x 1, x 2, …, x n) = 0

f n (x 1, x 2, …, x n) = 0 (5.1)

சமமான அமைப்பு X=Φ(X) - (5.3) மற்றும் ஒரு மறுசெயல் வரிசையை உருவாக்குதல்

(5.4)-X (k) = Φ(X (k -1)), இங்கு k=1,2,3,... என்பது மறு செய்கையின் எண்ணிக்கையாகும், இது k→∞ ஆக சரியான தீர்வுக்கு இணைகிறது.

இங்கே ஒரு மறுசெயல் திசையன் செயல்பாடு உள்ளது, X (0) D என்பது தீர்வுக்கான ஆரம்ப தோராயமாகும்.

அதன் விரிவாக்கப்பட்ட வடிவத்தில், செயல்பாட்டின் சூத்திரம் (தீர்வின் அடுத்த kth தோராயத்தைக் கணக்கிடுவதற்கான வெளிப்பாடு) படிவத்தைக் கொண்டுள்ளது:

x i. (k) = φ i (x 1 (k-1) , x 2 (k-1) , … , x n (k-1)), .(5.5)

கணக்கீடு இறுதி நிலை

δ≤ε (5.6)

ε என்பது தீர்வின் குறிப்பிட்ட துல்லியம்;

δ = (5.7)

தீர்வின் சுற்றுப்புறத்தில் ஒருங்கிணைப்பு நிலைமைகள் பூர்த்தி செய்யப்பட்டால், மறுசெயல்முறை செயல்முறை (5.5) ஒரு சரியான தீர்வாக ஒன்றிணைகிறது:

எனவே, எளிய மறு செய்கை முறையைப் பயன்படுத்தி SNL இன் தீர்வைச் செம்மைப்படுத்த, தீர்வு இருக்கும் களத்தில் நிபந்தனைகள் (5.9) அல்லது (5.10) திருப்தி அடையும் வகையில் (5.1) (5.3) க்கு சமமான மாற்றத்தைக் கண்டறிவது அவசியம். .

எளிமையான வழக்கில், சமமான அமைப்பைப் பெறலாம்:

மறு செய்கை முறை மற்றும் சீடல் முறை

மறு செய்கை முறையானது, தோராயமான மதிப்புகளின் வரிசையைப் பெற அனுமதிக்கிறது, இது நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பின் சரியான தீர்வுக்கு இணைகிறது. காஸியன் முறையைப் போலன்றி, மறு செய்கை முறைக்கு இடைநிலை கணக்கீடுகளின் கட்டுப்பாடு தேவையில்லை, ஏனெனில் எந்த மறு செய்கையின் படியிலும் தனிப்பட்ட பிழைகள் இறுதி முடிவுகளை சிதைக்காது, இருப்பினும் அவை கணக்கீட்டு செயல்முறையை நீட்டிக்கும். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளைத் தீர்ப்பதற்கான மறுசெயல் முறை தன்னைத் திருத்திக் கொள்ளும்.கூடுதலாக, மறு செய்கை முறையானது கணினியில் நிரல் செய்ய எளிதானது. எங்களுக்கு ஒரு அமைப்பு இருக்கட்டும்

அல்லது, சுருக்கமாக,

. (3.8)

கணினியின் நிர்ணயம் பூஜ்ஜியமற்றது என்றும் மூலைவிட்ட குணகங்கள் என்றும் வைத்துக்கொள்வோம்.

முதல் சமன்பாட்டிலிருந்து வெளிப்படுத்துவோம் , இரண்டாவது இருந்து , முதலியன பிறகு நாம் ஒரு சமமான அமைப்பைப் பெறுகிறோம்:

எங்கே

இதன் விளைவாக வரும் அமைப்பை பின்வருமாறு எழுதுகிறோம்:

(3.9)

மற்றும் அதை ஒரு அமைப்பு என்று அழைக்கலாம் சாதாரண தோற்றம்.

அடுத்தடுத்த தோராயங்களின் முறையால் அதைத் தீர்ப்போம். பூஜ்ஜிய தோராயத்திற்கு, எடுத்துக்காட்டாக, இலவச விதிமுறைகளின் நெடுவரிசையை எடுத்துக் கொள்வோம்

கணினியின் வலது பக்கத்தில் மதிப்புகளை மாற்றுவதன் மூலம் (3.9), நாங்கள் முதல் தோராயத்தைப் பெறுகிறோம்:

.

பின்னர் இரண்டாவது ஒத்ததாகும்: முதலியன

இதனால், தெரிந்துகொள்வது - e தோராயம், ()வது தோராயமானது சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகிறது:

(3.10)

தோராயங்களின் வரிசை என்றால் ஒரு எல்லை உண்டு

பின்னர் சாதாரண வடிவத்தின் ஒரு முறையின் சரியான தீர்வு, எனவே அசல் அமைப்பின். உண்மையில், (3.10) இல் உள்ள வரம்பைக் கடந்து, எங்களிடம் உள்ளது:

அடுத்தடுத்த தோராயங்களின் விவரிக்கப்பட்ட முறை அழைக்கப்படுகிறது மறு செய்கை முறை மூலம்.மறு செய்கை முறையின் செயல்பாட்டு சூத்திரங்கள்:

(3.11)

வரம்பு இருத்தல்

பற்றி தேற்றம் மூலம் உத்தரவாதம் போதுமான அடையாளம்மறு செய்கை செயல்முறையின் ஒருங்கிணைப்பு.

மறுசெயல் முறைகளின் ஒருங்கிணைப்புக்கு போதுமான நிபந்தனை நிபந்தனையாகும்

(3.12)

சீடெல் முறையுடன், மறு செய்கை செயல்முறையானது எளிய மறு செய்கை முறைக்கு விவரிக்கப்பட்டதைப் போன்றது, ஆனால் சுத்திகரிக்கப்பட்ட மதிப்புகள் உடனடியாக அடுத்தடுத்த சமன்பாடுகளில் மாற்றப்படுகின்றன. மறுசெயல்முறைக்கான சூத்திரம்:

பாதுகாப்பு கேள்விகள்

1. அவர்கள் எந்த வகைக்கு மாற்றப்படுவார்கள்? அசல் அமைப்புமறு செய்கை முறையைப் பயன்படுத்த வேண்டுமா?

2. மற்ற முறைகளை விட மறு செய்கை முறையின் நன்மை என்ன?

3. பொருந்தக்கூடிய நிபந்தனைகள் என்ன இந்த முறை?

4. ஒரு தீர்வுக்கு திசையன்களின் வரிசையின் ஒருங்கிணைப்பு விகிதம் என்ன?

5. எளிய மறு செய்கைகளின் முறையில் கணக்கீடுகளின் முடிவிற்கான நிபந்தனையை உருவாக்கவா?

6. நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளைத் தீர்க்கும் சிக்கலின் பொதுவான உருவாக்கம் என்ன?

7. மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை என்ன?

8. ஒரு தீர்வு இருப்பதற்கான நிபந்தனையையும், தீர்வின் தனித்தன்மைக்கான நிபந்தனையையும் உருவாக்கவும்.

9. சமமான அமைப்பு மாற்றம் என்றால் என்ன? அவை என்ன?

10. ஒரு சரத்தில் மற்ற சரங்களின் நேரியல் கலவையைச் சேர்க்கும்போது தீர்வு ஏன் மாறாது?

11. தீர்க்கும் போது அமைப்பின் சமன்பாடுகளை மாற்ற வேண்டியதன் காரணம் என்ன?

12. காஸியன் முறையை எப்போது பயன்படுத்துவது நல்லது?

13. காஸியன் முறையில் முன்னோக்கி நகர்த்தலின் நோக்கம் என்ன?

14. காஸியன் முறையின் தலைகீழ் எவ்வாறு செய்யப்படுகிறது?

15. எந்த பக்கவாதத்தில், முன்னோக்கி அல்லது பின்தங்கிய நிலையில், காஸியன் முறையைப் பயன்படுத்துவதற்கான நிபந்தனைகள் கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளப்பட வேண்டும்?

16. ஒற்றைப் பிரிவு சுற்று அல்காரிதத்தை விளக்குக.

17. நெடுவரிசை மூலம் முன்னணி குணகத்தின் பகுதி தேர்வுடன் திட்டத்திற்கான வழிமுறையை விளக்குங்கள்.

18. முன்னணி குணகத்தின் முழுமையான தேர்வுடன் திட்டத்தின் நன்மைகள் மற்றும் தீமைகள் பற்றி எங்களிடம் கூறுங்கள்.

19. கணினியின் அளவைப் பொறுத்து நேரச் செலவுகள் சார்ந்திருப்பதை விளக்குங்கள்.

20. கணினியின் அளவில் பிழைகள் சார்ந்திருப்பதை விளக்குக.

21. நேரியல் ஒரு அமைப்பு போது இயற்கணித சமன்பாடுகள்ஒரே தீர்வு உள்ளதா?

22. க்ரேமர் விதியைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்ப்பதில் உள்ள தீமைகள் என்ன?

23. துல்லியமான மற்றும் தோராயமாக விவரிக்கவும் எண் முறைகள்நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் தீர்வு அமைப்புகள்.

24. முக்கிய உறுப்பு தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட காஸியன் முறையை விவரிக்கவும்.

25. எளிய மறு செய்கை முறை ஏன் சுய திருத்தம் என்று அழைக்கப்படுகிறது?

26. ஒரு மறுசெயல்முறையின் ஒருங்கிணைப்பை வரையறுக்கவும்.

27. சீடல் முறையை விவரிக்கவும்.

28. நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளைத் தீர்ப்பதற்கான சரியான முறைகள்

29. நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளைத் தீர்ப்பதற்கான தோராயமான முறைகள்

30. க்ரேமர் விதி.

சீடெல் முறையானது எளிமையான மறு செய்கை முறையின் மாற்றமாகும். ஒவ்வொருவரிடமும் என்பதுதான் யோசனை kth மறு செய்கைஒரு மாறியின் மதிப்பைக் கணக்கிடும் போது, ​​மாறிகளின் மதிப்புகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன
, . . . . ,
, ஏற்கனவே அதே k-th மறு செய்கையில் கணக்கிடப்பட்டது.

எடுத்துக்காட்டு:

ஆரம்ப தோராயத்தை அமைப்போம்
மற்றும் ε = 0.001.

சீடெல் முறையைப் பயன்படுத்தி முதல் மறு செய்கையைச் செய்கிறோம்

கணக்கீட்டு முடிவுகளை அட்டவணையில் உள்ளிடுவோம்

சீடெல் முறையானது பொதுவாக எளிய மறு செய்கை முறையை விட சிறந்த ஒருங்கிணைப்பைக் கொண்டுள்ளது. எளிமையான மறு செய்கை முறையானது ஒருங்கிணைப்பை வழங்காவிட்டாலும், அது பல சந்தர்ப்பங்களில் ஒன்றிணைகிறது. ஆனால் (மிகக் குறைவாகவே) இதற்கு நேர்மாறாக நடக்கும்.

மீண்டும் மீண்டும் செய்யும் முறைகளின் நன்மைகள் மற்றும் தீமைகள்

நன்மைகள்:

ஒரு எளிய கணக்கீட்டு செயல்முறை வேண்டும்;

காஸியன் முறை போன்ற குணகம் மேட்ரிக்ஸின் பூஜ்ஜிய கூறுகளுக்கு கணினி நினைவகத்தை சேமிக்க சிக்கலான சிறப்பு நடைமுறைகள் தேவையில்லை;

பிழைகளின் சுய திருத்தம்.

குறைபாடுகள்:

சமன்பாடுகளின் அமைப்பை எப்பொழுதும் தீர்க்க முடியாது (ஒன்றுபடும் நிபந்தனைகள் பூர்த்தி செய்யப்பட வேண்டும்)

மீண்டும் மீண்டும் செயல்முறைகளின் ஒருங்கிணைப்பு மெதுவாக இருக்கலாம்;

கணினியின் வேர்களை தோராயமாக ε இன் துல்லியத்துடன் மட்டுமே தீர்மானிக்க முடியும்.

தலைப்பு 2.2 நேரியல் அல்லாத சமன்பாடுகளின் தீர்வு முறைகள்.

டி உதாரணமாக, மின் வலையமைப்பு முனைகளில் சக்தி சமநிலையின் நேரியல் அல்லாத சமன்பாடுகளை நாங்கள் முன்வைக்கிறோம், நோடல் மின்னழுத்த முறையைப் பயன்படுத்தி தொகுக்கப்படுகிறது (வெளியீடு இல்லாமல்).

ஆர்ஜி i மற்றும் கேஜி i - செயலில் மற்றும் எதிர்வினை சக்தி உருவாக்கப்படுகிறது i-m முனை;

ஆர் இல்லை மற்றும் கே n i - செயலில் மற்றும் எதிர்வினை சுமை சக்தி உள்ள i-m முனை;

ஆர் யி மற்றும் கே மணிக்கு i- முனையிலிருந்து செயலில் மற்றும் எதிர்வினை சக்தி பாய்கிறது ஜேமுனைக்கு ஜே.

ஒரு முனையில் செயலில் மற்றும் எதிர்வினை சக்திகளின் சமநிலைகளின் சமன்பாடுகள் i

எங்கே
முனை என்று பொருள் ஜே‚ கணுவுடன் இணைக்கப்பட்டுள்ள அனைத்து முனைகளின் தொகுப்பிற்கும் சொந்தமானது i.

செயலில் மற்றும் எதிர்வினை சக்திக்கான சூத்திரங்கள் முனையிலிருந்து முனைக்கு பாய்கின்றன ஜேபின்வருபவை:

கணக்கீடுகளை மேற்கொள்ளக்கூடிய இரண்டு ஒருங்கிணைப்பு அமைப்புகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன:

செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு (சிக்கலான வடிவத்தில்);

துருவ ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு (முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள் வழியாக).

துருவ ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில், சக்தி ஓட்டங்களுக்கான வெளிப்பாடுகள் பின்வரும் வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளன:

ஒய்- அமைப்பின் சமமான சுற்றுக்கு குறிப்பிட்ட காப்புரிமை;

பி,கே,யு,- பயன்முறை அளவுருக்கள், அவற்றில் சில அறியப்படுகின்றன (வழக்கமாக முனைகளில் சுமை சக்தி, மின்னழுத்தம் மற்றும் அடிப்படை முனையில் கோணம்), மீதமுள்ளவை கணக்கீட்டின் விளைவாக தீர்மானிக்கப்பட வேண்டிய விரும்பிய மாறிகள்.

சமன்பாடுகளில் உள்ள நேர்கோட்டுத்தன்மை அவற்றிலுள்ள இரண்டாம்-வரிசை சக்திகள் மற்றும் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் இருப்பு ஆகியவற்றால் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது என்பதை நாங்கள் வலியுறுத்துகிறோம்.

நேரியல் அல்லாத சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளைத் தீர்க்க, மட்டுமே மீண்டும் செய்யும் முறைகள். குறிப்பாக, நேரியல் அல்லாத சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளைத் தீர்க்க எளிய மறு செய்கை மற்றும் சீடெல் முறைகளைப் பயன்படுத்தலாம்.

எடுத்துக்காட்டு: நேரியல் அல்லாத சமன்பாடுகளின் அமைப்பு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது

;

.

அதை மீண்டும் செய்வதற்கு வசதியான படிவமாகக் குறைப்போம்

;

ஒரு அட்டவணையில் (ε = 0.001) இரண்டு முறைகளையும் பயன்படுத்தி கணக்கீடுகளின் முடிவுகளை சுருக்கமாகக் கூறுகிறோம்.

முறைகளின் கணக்கீடுகளுக்காக தொகுக்கப்பட்ட நேரியல் அல்லாத சமன்பாடுகள் பொதுவாக கொடுக்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டில் உள்ளதை விட மிகவும் சிக்கலானவை மற்றும் இந்த முறைகளால் அவற்றை எப்போதும் தீர்க்க முடியாது. நியூட்டனின் முறையானது நேரியல் அல்லாத சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கு மிகச் சிறந்த ஒருங்கிணைப்பைக் கொண்டுள்ளது, இதன் விளைவாக, மிகவும் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது. ஆனால் இந்த முறை மிகவும் சிக்கலான கணக்கீட்டு செயல்முறையைக் கொண்டுள்ளது.

நியூட்டனின் முறை /2/(நேரியல் முறை அல்லது தொடுகோடு முறை என்றும் அழைக்கப்படுகிறது) நேரியல் அல்லாத சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்கப் பயன்படுகிறது. நேரியல் அல்லாத சமன்பாடுகளின் அமைப்பின் வேர்களுக்கு போதுமான நல்ல தோராயம் தெரிந்தால் அது பயனுள்ளதாக இருக்கும்.