பல பின்னடைவு மாதிரி. நேரியல் பல பின்னடைவு மாதிரி

முக்கிய குறிக்கோள் பல பின்னடைவுஉடன் ஒரு மாதிரியை உருவாக்க வேண்டும் ஒரு பெரிய எண்காரணிகள் மற்றும் ஒவ்வொரு காரணியின் செல்வாக்கையும் தனித்தனியாக முடிவில் தீர்மானித்தல், அத்துடன் மாதிரியான காட்டி மீது காரணிகளின் மொத்த தாக்கத்தை தீர்மானித்தல்.

பல பின்னடைவு மாதிரியின் விவரக்குறிப்பில் ஒரு காரணியின் தேர்வு மற்றும் கணித செயல்பாடு வகையின் தேர்வு (பின்னடைவு சமன்பாட்டின் வகையின் தேர்வு) ஆகியவை அடங்கும். பல பின்னடைவில் சேர்க்கப்பட்டுள்ள காரணிகள் அளவுரீதியாக அளவிடக்கூடியதாக இருக்க வேண்டும் மற்றும் ஒன்றோடொன்று தொடர்புடையதாக இருக்கக்கூடாது, மிகக் குறைவான துல்லியமான செயல்பாட்டு இணைப்பில் இருக்க வேண்டும் (அதாவது, அவை ஒருவரையொருவர் குறைந்த அளவிற்கு செல்வாக்கு செலுத்த வேண்டும், மேலும் இதன் விளைவாக வரும் பண்பை அதிக அளவில் பாதிக்க வேண்டும்).

பல பின்னடைவில் சேர்க்கப்பட்டுள்ள காரணிகள் சுயாதீன மாறியின் மாறுபாட்டை விளக்க வேண்டும். எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு மாதிரி காரணிகளின் தொகுப்பைக் கொண்டு கட்டமைக்கப்பட்டால், அதற்கான நிர்ணயக் குறிகாட்டியின் மதிப்பு கண்டறியப்படுகிறது, இது விளக்கப்பட்ட மாறுபாட்டின் பங்கை சரிசெய்கிறது. விளைவாக அடையாளம்காரணிகள் காரணமாக.

மாதிரியில் கணக்கிடப்படாத பிற காரணிகளின் செல்வாக்கு பொருத்தமானதாக மதிப்பிடப்படுகிறது எஞ்சிய மாறுபாடு.

மாதிரியில் ஒரு கூடுதல் காரணி சேர்க்கப்படும் போது, ​​நிர்ணயம் காட்டி மதிப்பு அதிகரிக்க வேண்டும், மற்றும் மீதமுள்ள மாறுபாட்டின் மதிப்பு குறைய வேண்டும். இது நடக்கவில்லை என்றால், கூடுதல் காரணி மாதிரியை மேம்படுத்தாது மற்றும் நடைமுறையில் மிதமிஞ்சியதாக இருக்கும், மேலும் அத்தகைய காரணியை அறிமுகப்படுத்துவது மாணவர்களின் டி-டெஸ்டின் படி பின்னடைவு அளவுருக்களின் புள்ளிவிவர முக்கியத்துவத்திற்கு வழிவகுக்கும்.

பல பின்னடைவுக்கான காரணிகளின் தேர்வு இரண்டு நிலைகளில் மேற்கொள்ளப்படுகிறது:

1. பிரச்சனையின் சாராம்சத்தின் அடிப்படையில் காரணிகள் தேர்ந்தெடுக்கப்படுகின்றன.

2. தொடர்பு குறிகாட்டிகளின் மேட்ரிக்ஸின் அடிப்படையில், பின்னடைவு அளவுருக்களுக்கான புள்ளிவிவரங்கள் தீர்மானிக்கப்படுகின்றன.

விளக்க மாறிகளுக்கு இடையிலான தொடர்பு குணகங்கள், தொடர்பு குணகங்கள் என்றும் அழைக்கப்படுகின்றன, இது மாதிரியிலிருந்து நகல் காரணிகளை விலக்குவதை சாத்தியமாக்குகிறது.

தொடர்பு குணகம் இருந்தால், இரண்டு மாறிகள் தெளிவாகக் கோலினியர் என்று கூறப்படுகிறது.

மாறிகள் தெளிவாக கோலினியர் என்றால், அவை வலுவான நேரியல் உறவில் இருக்கும்.

தெளிவான கோலினியர் மாறிகள் முன்னிலையில், முடிவுடன் மிகவும் நெருக்கமாக தொடர்புடைய காரணிக்கு முன்னுரிமை அளிக்கப்படவில்லை, ஆனால் மற்ற காரணிகளுடன் மிகக் குறைந்த உறவைக் கொண்ட காரணிக்கு முன்னுரிமை அளிக்கப்படுகிறது.

ஜோடிவரிசை தொடர்பு குணகங்களின் அளவின் அடிப்படையில், காரணிகளின் வெளிப்படையான கூட்டுத்தன்மை மட்டுமே வெளிப்படுத்தப்படுகிறது.

பல பின்னடைவைப் பயன்படுத்தும் போது, ​​உண்மைகளின் பன்முகத்தன்மை எழலாம், அதாவது. இரண்டுக்கும் மேற்பட்ட காரணிகள் நேரியல் உறவால் தொடர்புடையவை. இதுபோன்ற சந்தர்ப்பங்களில், தனிப்பட்ட காரணிகளை மதிப்பிடும் போது OLS நம்பகத்தன்மை குறைவாக இருக்கும், இதன் விளைவாக பல பின்னடைவு அளவுருக்களை அதன் தூய்மையான வடிவத்தில் ஒரு காரணியின் செயல்பாட்டின் பண்புகளாக விளக்குவதில் சிரமம் ஏற்படுகிறது. விருப்பங்கள் நேரியல் பின்னடைவுபொருளாதார அர்த்தத்தை இழக்கிறது, அளவுரு மதிப்பீடுகள் நம்பமுடியாதவை, பெரியவை நிலையான பிழைகள், இது அவதானிப்புகளின் அளவின் மாற்றங்களுடன் மாறக்கூடும், அதாவது. பொருளாதார நிலைமையை பகுப்பாய்வு செய்வதற்கும் முன்னறிவிப்பதற்கும் மாதிரி பொருத்தமற்றதாகிறது. ஒரு காரணியின் பன்முகத்தன்மையை மதிப்பிடுவதற்கு, பின்வரும் முறைகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன:

1. காரணிகளுக்கிடையே இணைக்கப்பட்ட தொடர்பு குணகங்களின் மேட்ரிக்ஸைத் தீர்மானித்தல், எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு நேரியல் பல பின்னடைவு மாதிரி குறிப்பிடப்பட்டால், ஜோடி குணகங்களின் மேட்ரிக்ஸின் தீர்மானிப்பான் படிவத்தை எடுக்கும்:

இந்த தீர்மானியின் மதிப்பு 1 என்றால்

,

பின்னர் காரணிகள் ஒன்றோடொன்று இணைக்கப்படாதவை.

இருந்தால் முழுமையானது நேரியல் சார்பு, பின்னர் அனைத்து ஜோடி தொடர்பு குணகங்களும் 1 க்கு சமமாக இருக்கும், இதன் விளைவாக

.

2. மாறிகளின் சுதந்திரத்தின் கருதுகோளை சோதிக்கும் முறை. இந்த வழக்கில், பூஜ்ய கருதுகோள் மதிப்பு என்று நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது சுதந்திரத்தின் அளவுகளின் எண்ணிக்கையுடன் தோராயமான விநியோகம் உள்ளது.

என்றால் , பின்னர் பூஜ்ய கருதுகோள் நிராகரிக்கப்படுகிறது.

ஒரு காரணியின் பல நிர்ணயத்தின் குணகங்களை நிர்ணயம் செய்து ஒப்பிடுவதன் மூலம், ஒவ்வொரு காரணிகளையும் ஒரு சார்பு மாறியாகப் பயன்படுத்தி, பன்முகத்தன்மைக்கு காரணமான காரணிகளைத் தீர்மானிக்க முடியும், அதாவது. காரணி c மிக உயர்ந்த மதிப்புஅளவுகள்

வலுவான இடைநிலை தொடர்புகளை கடக்க பின்வரும் வழிகள் உள்ளன:

1) மாதிரியிலிருந்து ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட தரவுகளை விலக்குதல்;

2) தொடர்புகளை குறைக்க காரணிகளின் மாற்றம்;

3) பின்னடைவு சமன்பாடுகளை இணைத்தல், அவை காரணிகளை மட்டுமல்ல, அவற்றின் தொடர்புகளையும் பிரதிபலிக்கும்;

4) குறைக்கப்பட்ட வடிவ சமன்பாட்டின் மாற்றம், முதலியன.

ஒன்றைப் பயன்படுத்தி பல பின்னடைவு சமன்பாட்டை உருவாக்கும்போது மிக முக்கியமான கட்டங்கள்மாதிரியில் சேர்க்கப்பட்டுள்ள காரணிகளின் தேர்வு ஆகும். வெவ்வேறு அணுகுமுறைகள்தொடர்பு குறிகாட்டிகளின் அடிப்படையில் காரணிகளின் தேர்வுக்கு பல்வேறு முறைகள், அவற்றில் மிகவும் பொருந்தும்:

1) விலக்கு முறை - தரவு வடிகட்டப்படுகிறது;

2) சேர்த்தல் முறை - ஒரு கூடுதல் காரணி அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது;

3) படிநிலை பின்னடைவு பகுப்பாய்வு - முன்னர் அறிமுகப்படுத்தப்பட்ட காரணியை விலக்கவும்.

காரணிகளைத் தேர்ந்தெடுக்கும்போது, ​​பின்வரும் விதி பயன்படுத்தப்படுகிறது: இதில் உள்ள காரணிகளின் எண்ணிக்கை பொதுவாக மாதிரி கட்டப்பட்ட மக்கள்தொகையின் அளவை விட 6-7 மடங்கு குறைவாக இருக்கும்.

அளவுரு பொருளாதார விளக்கத்திற்கு உட்பட்டது அல்ல. சக்தி மாதிரியில் நேரியல் அல்லாத சமன்பாடுபன்மடங்கு பின்னடைவு குணகங்கள், ,..., மீள்தன்மை குணகங்கள் ஆகும், அவை சராசரியாக, தொடர்புடைய காரணி 1% மாறும்போது, ​​மற்ற காரணிகளின் தாக்கம் மாறாமல் இருக்கும் போது எவ்வளவு மாறும் என்பதைக் காட்டுகிறது.

ஆய்வுப் பொருளைப் பாதிக்கும் பிற காரணிகளின் செல்வாக்கு புறக்கணிக்கப்பட்டால், ஜோடி பின்னடைவு மாதிரியாக்கத்தில் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டாக, வருமானத்தின் அடிப்படையில் ஒரு குறிப்பிட்ட பொருளின் நுகர்வு மாதிரியை உருவாக்கும்போது, ​​ஒவ்வொரு வருமானக் குழுவிலும் உற்பத்தியின் விலை, குடும்ப அளவு மற்றும் அதன் கலவை போன்ற காரணிகளின் நுகர்வு மீதான தாக்கம் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும் என்று ஆராய்ச்சியாளர் கருதுகிறார். இருப்பினும், இந்த அறிக்கையின் செல்லுபடியாகும் என்பதில் உறுதியாக இல்லை.

அத்தகைய சிக்கலைத் தீர்ப்பதற்கான நேரடி வழி மக்கள்தொகை அலகுகளைத் தேர்ந்தெடுப்பதாகும் அதே மதிப்புகள்வருமானத்தைத் தவிர மற்ற அனைத்து காரணிகளும். இது இயற்கை அறிவியல் ஆராய்ச்சியில் பயன்படுத்தப்படும் ஒரு முறையான சோதனை வடிவமைப்பிற்கு வழிவகுக்கிறது. பொருளாதார நிபுணர் மற்ற காரணிகளை ஒழுங்குபடுத்தும் திறனை இழக்கிறார். தனிப்பட்ட பொருளாதார மாறிகளின் நடத்தையை கட்டுப்படுத்த முடியாது, அதாவது. ஆய்வின் கீழ் ஒரு காரணியின் செல்வாக்கை மதிப்பிடுவதற்கு மற்ற நிபந்தனைகளின் சமத்துவத்தை உறுதிப்படுத்த முடியாது.

இந்த வழக்கில் என்ன செய்வது? மாதிரியில் அறிமுகப்படுத்துவதன் மூலம் மற்ற காரணிகளின் செல்வாக்கை அடையாளம் காண வேண்டியது அவசியம், அதாவது. பல பின்னடைவு சமன்பாட்டை உருவாக்கவும்.

இந்த வகையான சமன்பாடு நுகர்வு ஆய்வில் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

குணகங்கள் b j - காரணிகள் x ஐப் பொறுத்து y இன் பகுதி வழித்தோன்றல்கள்

மற்ற அனைத்தும் x i = const

C = f(y,P,M,Z) வடிவத்தின் மாதிரியாக நவீன நுகர்வோர் செயல்பாட்டை (30களில் கெய்ன்ஸ் ஜே.எம். முன்மொழிந்தார்) கருதுவோம்.

c- நுகர்வு. y - வருமானம்

பி - விலை, செலவுக் குறியீடு.

எம் - பணம்

Z - திரவ சொத்துக்கள்

அதே நேரத்தில்

தேவை, பங்கு வருமானம், உற்பத்திச் செலவு செயல்பாடுகள், மேக்ரோ பொருளாதாரச் சிக்கல்கள் மற்றும் பிற பொருளாதாரச் சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதில் பல பின்னடைவு பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

தற்போது, ​​பன்மடங்கு பின்னடைவு என்பது பொருளாதார அளவீட்டில் மிகவும் பொதுவான முறைகளில் ஒன்றாகும்.

பல பின்னடைவின் முக்கிய நோக்கம்- அதிக எண்ணிக்கையிலான காரணிகளைக் கொண்ட ஒரு மாதிரியை உருவாக்கவும், அவை ஒவ்வொன்றின் செல்வாக்கையும் தனித்தனியாக தீர்மானிக்கவும், அதே போல் மாதிரியான காட்டி மீதான ஒட்டுமொத்த தாக்கத்தை தீர்மானிக்கவும்.

பல பின்னடைவு சமன்பாட்டின் கட்டுமானமானது மாதிரியின் விவரக்குறிப்பை தீர்மானிப்பதில் தொடங்குகிறது. இதில் இரண்டு செட் கேள்விகள் உள்ளன:

1. காரணிகளின் தேர்வு;

2. பின்னடைவு சமன்பாட்டைத் தேர்ந்தெடுப்பது.

பல பின்னடைவு சமன்பாட்டில் ஒரு குறிப்பிட்ட தொகுப்பு காரணிகளைச் சேர்ப்பது, மற்ற பொருளாதார நிகழ்வுகளுடன் மாதிரியான காட்டியின் உறவின் தன்மை பற்றிய ஆராய்ச்சியாளரின் புரிதலுடன் தொடர்புடையது. பல பின்னடைவில் சேர்க்கப்பட்டுள்ள காரணிகளுக்கான தேவைகள்:

1. அளவு அளவீடு இல்லாத ஒரு தரமான காரணியை மாதிரியில் சேர்க்க வேண்டிய அவசியம் ஏற்பட்டால், அவை அளவு ரீதியாக அளவிடக்கூடியதாக இருக்க வேண்டும். ஒரு ரியல் எஸ்டேட் மதிப்பு மாதிரியில் புள்ளிகளின் வடிவம்: பகுதிகள் தரவரிசைப்படுத்தப்பட வேண்டும் ).

2. காரணிகள் ஒன்றோடொன்று தொடர்புடையதாக இருக்கக்கூடாது, சரியான செயல்பாட்டு இணைப்பில் மிகக் குறைவாக இருக்க வேண்டும்.

R y x 1 ஆக இருக்கும் போது மாதிரியில் அதிக தொடர்பு கொண்ட காரணிகளைச் சேர்த்தல்

காரணிகளுக்கு இடையே அதிக தொடர்பு இருந்தால், செயல்திறன் குறிகாட்டியில் அவற்றின் தனிமைப்படுத்தப்பட்ட செல்வாக்கை தீர்மானிக்க முடியாது மற்றும் பின்னடைவு சமன்பாட்டின் அளவுருக்கள் விளக்கக்கூடியவை.

சமன்பாடு x 1 மற்றும் x 2 காரணிகள் ஒன்றுக்கொன்று சார்பற்றவை என்று கருதுகிறது, r x1x2 = 0, பின்னர் அளவுரு b 1 காரணி x 2 இன் நிலையான மதிப்பின் விளைவாக y x 1 இன் செல்வாக்கின் வலிமையை அளவிடுகிறது. r x1x2 =1 என்றால், காரணி x1 இன் மாற்றத்துடன், காரணி x2 மாறாமல் இருக்க முடியாது. எனவே b 1 மற்றும் b 2 ஐ x 1 மற்றும் x 2 இன் தனித்தனி செல்வாக்கின் குறிகாட்டிகளாக விளக்க முடியாது.

எடுத்துக்காட்டாக, பணியாளரின் ஊதியம் x (ரூபிள்கள்) மற்றும் தொழிலாளர் உற்பத்தித்திறன் z (ஒரு மணி நேரத்திற்கு அலகுகள்) ஆகியவற்றிலிருந்து y (ரூபிள்கள்) அலகு உற்பத்தி செலவின் பின்னடைவைக் கவனியுங்கள்.

y = 22600 - 5x - 10z + e

குணகம் b 2 = -10, தொழிலாளர் உற்பத்தித்திறன் 1 அலகு மூலம் அதிகரிப்பதைக் காட்டுகிறது. உற்பத்தி அலகுக்கான செலவு 10 ரூபிள் குறைக்கப்படுகிறது. நிலையான கட்டணத்தில்.

அதே நேரத்தில், x இல் உள்ள அளவுரு, கூலி அதிகரிப்பு காரணமாக ஒரு யூனிட் உற்பத்தி செலவைக் குறைப்பதாக விளக்க முடியாது. x மாறிக்கான பின்னடைவு குணகத்தின் எதிர்மறை மதிப்பு x மற்றும் z (r x z = 0.95) இடையே உள்ள உயர் தொடர்பு காரணமாகும். எனவே, தொழிலாளர் உற்பத்தித்திறன் மாறாமல் இருக்கும்போது (பணவீக்கத்தை கணக்கில் எடுத்துக் கொள்ளாமல்) ஊதியத்தில் அதிகரிப்பு இருக்க முடியாது.

பல பின்னடைவில் சேர்க்கப்பட்டுள்ள காரணிகள் சுயாதீன மாறியின் மாறுபாட்டை விளக்க வேண்டும். ஒரு மாதிரியானது p காரணிகளின் தொகுப்பைக் கொண்டு கட்டமைக்கப்பட்டால், அதற்கான நிர்ணயக் காட்டி R 2 கணக்கிடப்படுகிறது, இது பின்னடைவில் கருதப்படும் p காரணிகளின் விளைவாக வரும் பண்புகளில் விளக்கப்பட்ட மாறுபாட்டின் பங்கை சரிசெய்கிறது. மாதிரியில் கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளப்படாத பிற காரணிகளின் செல்வாக்கு 1-R 2 என மதிப்பிடப்படுகிறது, அதனுடன் தொடர்புடைய எஞ்சிய மாறுபாடு S 2 .

பின்னடைவில் p+1 காரணியை கூடுதலாகச் சேர்ப்பதன் மூலம், தீர்மானத்தின் குணகம் அதிகரிக்க வேண்டும், மேலும் எஞ்சிய மாறுபாடு குறைய வேண்டும்.

R 2 p +1 ≥ R 2 p மற்றும் S 2 p +1 ≤ S 2 p .

இது நடக்கவில்லை மற்றும் இந்த குறிகாட்டிகள் நடைமுறையில் ஒருவருக்கொருவர் வேறுபடுகின்றன என்றால், பகுப்பாய்வில் சேர்க்கப்பட்டுள்ள காரணி x p+1 மாதிரியை மேம்படுத்தாது மற்றும் நடைமுறையில் கூடுதல் காரணியாகும்.

பின்னடைவுக்கு 5 காரணிகள் R 2 = 0.857, மற்றும் 6 உட்பட R 2 = 0.858 ஐக் கொடுத்தால், இந்தக் காரணியை மாதிரியில் சேர்ப்பது பொருத்தமற்றது.

தேவையற்ற காரணிகளைக் கொண்ட மாதிரியின் செறிவு, எஞ்சிய மாறுபாட்டின் அளவைக் குறைப்பது மட்டுமல்லாமல், நிர்ணயக் குறியீட்டை அதிகரிக்காது, ஆனால் டி-மாணவர் அளவுகோலின் படி பின்னடைவு அளவுருக்களின் புள்ளிவிவர முக்கியத்துவத்திற்கும் வழிவகுக்கிறது.

எனவே, கோட்பாட்டளவில் ஒரு பின்னடைவு மாதிரியானது பல காரணிகளை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளலாம் என்றாலும், நடைமுறையில் இது தேவையில்லை.

காரணிகளின் தேர்வு கோட்பாட்டு மற்றும் பொருளாதார பகுப்பாய்வின் அடிப்படையில் செய்யப்படுகிறது. இருப்பினும், பரிசீலனையில் உள்ள குணாதிசயங்களின் அளவு உறவு மற்றும் மாதிரியில் காரணியைச் சேர்ப்பதற்கான ஆலோசனையின் கேள்விக்கு இது பெரும்பாலும் தெளிவான பதிலை அனுமதிக்காது. எனவே, காரணிகளின் தேர்வு இரண்டு நிலைகளில் மேற்கொள்ளப்படுகிறது:

முதல் கட்டத்தில், பிரச்சனையின் சாரத்தின் அடிப்படையில் காரணிகள் தேர்ந்தெடுக்கப்படுகின்றன.

இரண்டாவதாக, பின்னடைவு அளவுருக்களுக்கான டி-புள்ளிவிவரங்கள் தொடர்பு குறிகாட்டிகளின் மேட்ரிக்ஸின் அடிப்படையில் தீர்மானிக்கப்படுகின்றன.

ஒன்றோடொன்று தொடர்பு குணகங்கள் (அதாவது, விளக்க மாறிகளுக்கு இடையிலான தொடர்புகள்) மாதிரிகளிலிருந்து தேவையற்ற காரணிகளை அகற்ற அனுமதிக்கின்றன. இரண்டு மாறிகள் தெளிவாக இணையாகக் கருதப்படுகின்றன, அதாவது. r xixj ≥0.7 எனில் ஒருவருக்கொருவர் நேரியல் உறவில் இருக்கும்.

பல பின்னடைவு சமன்பாட்டை உருவாக்குவதற்கான நிபந்தனைகளில் ஒன்று காரணிகளின் செயல்பாட்டின் சுதந்திரம் என்பதால், அதாவது. r x ixj = 0, காரணிகளின் கூட்டுத்தன்மை இந்த நிலையை மீறுகிறது. காரணிகள் தெளிவாக இணையாக இருந்தால், அவை ஒன்றுக்கொன்று நகலெடுக்கின்றன, மேலும் அவற்றில் ஒன்றை பின்னடைவிலிருந்து விலக்க பரிந்துரைக்கப்படுகிறது. இந்த வழக்கில், முடிவுடன் மிகவும் நெருக்கமாக தொடர்புடைய காரணிக்கு முன்னுரிமை அளிக்கப்படவில்லை, ஆனால் முடிவோடு போதுமான நெருக்கமான தொடர்பு இருந்தபோதிலும், பிற காரணிகளுடன் மிகக் குறைந்த தொடர்பைக் கொண்டிருக்கும் காரணிக்கு முன்னுரிமை அளிக்கப்படுகிறது. இந்த தேவை பல பின்னடைவின் தனித்தன்மையை வெளிப்படுத்துகிறது, இது ஒருவருக்கொருவர் சுதந்திரமாக இருக்கும் சூழ்நிலைகளில் காரணிகளின் சிக்கலான தாக்கத்தை ஆய்வு செய்வதற்கான ஒரு முறையாகும்.

சார்பு y = f(x, z, v) படிக்கும் போது ஜோடி தொடர்பு குணகங்களின் மேட்ரிக்ஸைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

வெளிப்படையாக, x மற்றும் z காரணிகள் ஒன்றையொன்று நகலெடுக்கின்றன. பகுப்பாய்வில் காரணி z ஐச் சேர்ப்பது நல்லது, x அல்ல, ஏனெனில் y உடன் z இன் தொடர்பு y உடன் x காரணியின் தொடர்பை விட பலவீனமாக உள்ளது (r y z< r ух), но зато слабее межфакторная корреляция (r zv < r х v)

எனவே, இந்த வழக்கில், பல பின்னடைவு சமன்பாடு z மற்றும் v காரணிகளை உள்ளடக்கியது. ஜோடிவரிசை தொடர்பு குணகங்களின் அளவு, காரணிகளின் தெளிவான கூட்டுத்தன்மையை மட்டுமே வெளிப்படுத்துகிறது. ஆனால் இரண்டுக்கும் மேற்பட்ட காரணிகள் நேரியல் உறவால் ஒன்றோடொன்று இணைந்திருக்கும் போது, ​​காரணிகளின் மல்டிகோலினியரிட்டி முன்னிலையில் மிகவும் சிரமங்கள் எழுகின்றன, அதாவது. ஒருவருக்கொருவர் காரணிகளின் ஒட்டுமொத்த செல்வாக்கு உள்ளது. காரணிகளுக்கிடையில் மல்டிகோலினியரிட்டி இருப்பது சில காரணிகள் எப்போதும் ஒற்றுமையாக செயல்படும் என்று அர்த்தம். இதன் விளைவாக, உள்ளீட்டுத் தரவின் மாறுபாடு இனி முற்றிலும் சுயாதீனமாக இருக்காது, மேலும் ஒவ்வொரு காரணியின் தாக்கத்தையும் தனித்தனியாக மதிப்பிட முடியாது. காரணிகளின் மல்டிகோலினியரிட்டி வலிமையானது, OLS ஐப் பயன்படுத்தி தனிப்பட்ட காரணிகளுக்கு இடையே விளக்கப்பட்ட மாறுபாட்டின் அளவு விநியோகத்தின் மதிப்பீட்டைக் குறைப்பது நம்பகமானது. கருதப்படும் பின்னடைவு y = a + bx + cx + dv + e எனில், அளவுருக்களைக் கணக்கிட, குறைந்தபட்ச சதுர முறை பயன்படுத்தப்படுகிறது:

S y = S உண்மை +S இ

அல்லது
=
+

மொத்த = காரணி + எஞ்சிய

சதுர விலகல்கள்

இதையொட்டி, காரணிகள் ஒருவருக்கொருவர் சுயாதீனமாக இருந்தால், சமத்துவம் திருப்தி அடைகிறது:

S = S x + S z + S v

தொடர்புடைய காரணிகளின் செல்வாக்கின் காரணமாக வர்க்க விலகல்களின் கூட்டுத்தொகை.

காரணிகள் ஒன்றோடொன்று தொடர்புடையதாக இருந்தால், இந்த சமத்துவம் மீறப்படுகிறது.

பின்வருவனவற்றின் காரணமாக மாதிரியில் மல்டிகோலினியர் காரணிகளைச் சேர்ப்பது விரும்பத்தகாதது:

· பல பின்னடைவு அளவுருக்களை "தூய" வடிவத்தில் காரணிகளின் செயல்பாட்டின் பண்புகளாக விளக்குவது கடினமாகிறது, ஏனெனில் காரணிகள் ஒன்றோடொன்று தொடர்புடையவை; நேரியல் பின்னடைவு அளவுருக்கள் பொருளாதார அர்த்தத்தை இழக்கின்றன;

· அளவுரு மதிப்பீடுகள் நம்பகத்தன்மையற்றவை, பெரிய நிலையான பிழைகளை வெளிப்படுத்துகின்றன மற்றும் அவதானிப்புகளின் அளவுகளில் ஏற்படும் மாற்றங்களுடன் (அளவில் மட்டுமல்ல, அடையாளத்திலும் கூட), இது மாதிரியை பகுப்பாய்வு மற்றும் முன்கணிப்புக்கு பொருத்தமற்றதாக ஆக்குகிறது.

மல்டிகோலினியர் காரணிகளை மதிப்பிடுவதற்கு, காரணிகளுக்கு இடையேயான ஜோடி தொடர்பு குணகங்களின் மேட்ரிக்ஸின் நிர்ணயிப்பைப் பயன்படுத்துவோம். காரணிகள் ஒன்றோடொன்று தொடர்புபடுத்தவில்லை என்றால், ஜோடி குணகங்களின் அணி ஒற்றுமையாக இருக்கும்.

y = a + b 1 x 1 + b 2 x 2 + b 3 x 3 + e

காரணிகளுக்கு இடையே ஒரு முழுமையான நேரியல் தொடர்பு இருந்தால், பின்:

நிர்ணயம் 0 க்கு நெருக்கமாக இருந்தால், காரணிகளின் இடைநிலைத்தன்மை வலுவாகவும், பல பின்னடைவின் முடிவுகள் நம்பமுடியாததாகவும் இருக்கும். 1 க்கு அருகில், காரணிகளின் பன்முகத்தன்மை குறைவு.

H 0 மாறிகளின் சுதந்திரத்தின் கருதுகோள் 0 ஐ சோதிப்பதன் மூலம் காரணிகளின் மல்டிகோலினியரிட்டியின் முக்கியத்துவத்தை மதிப்பீடு செய்யலாம்:

மதிப்பு என்பது நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது
உடன் தோராயமான விநியோகம் உள்ளது சுதந்திரத்தின் அளவுகள். உண்மையான மதிப்பு அட்டவணை மதிப்பை விட அதிகமாக இருந்தால் (முக்கியமானது) பின்னர் கருதுகோள் H 0 நிராகரிக்கப்படுகிறது. என்று அர்த்தம் , மூலைவிட்டம் அல்லாத குணகங்கள் காரணிகளின் கூட்டுத்தன்மையைக் குறிக்கின்றன. மல்டிகோலினியரிட்டி நிரூபிக்கப்பட்டதாகக் கருதப்படுகிறது.

பல தீர்மானங்களின் குணகங்கள் மூலம், காரணிகளின் பன்முகத்தன்மைக்கு காரணமான மாறிகளைக் கண்டறியலாம். இதைச் செய்ய, ஒவ்வொரு காரணியும் ஒரு சார்பு மாறியாகக் கருதப்படுகிறது. R2 மதிப்பு 1 க்கு நெருக்கமாக இருந்தால், பலகோலினரிட்டி வலிமையானது. பல தீர்மானங்களின் குணகங்களை ஒப்பிடுதல் முதலியன

மல்டிகோலினியரிட்டிக்கு காரணமான மாறிகளை அடையாளம் காண முடியும், எனவே, காரணிகளைத் தேர்ந்தெடுப்பதில் சிக்கலைத் தீர்க்க, சமன்பாடு காரணிகளில் பல தீர்மானங்களின் குணகத்தின் குறைந்தபட்ச மதிப்பை விட்டுவிடலாம்.

வலுவான இடைநிலை தொடர்புகளை கடக்க பல அணுகுமுறைகள் உள்ளன. MC ஐ அகற்றுவதற்கான எளிய வழி ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட காரணிகளை மாதிரியிலிருந்து விலக்குவதாகும்.

மற்றொரு அணுகுமுறை காரணிகளை மாற்றுவதை உள்ளடக்கியது, இது அவற்றுக்கிடையேயான தொடர்பைக் குறைக்கிறது.

y = f(x 1, x 2, x 3) என்றால், பின்வரும் ஒருங்கிணைந்த சமன்பாட்டை உருவாக்க முடியும்:

y = a + b 1 x 1 + b 2 x 2 + b 3 x 3 + b 12 x 1 x 2 + b 13 x 1 x 3 + b 23 x 2 x 3 + e.

இந்த சமன்பாடு முதல் வரிசை இடைவினையை உள்ளடக்கியது (இரண்டு காரணிகளின் தொடர்பு).

எஃப் அளவுகோலைப் பயன்படுத்தி அவற்றின் புள்ளிவிவர முக்கியத்துவம் நிரூபிக்கப்பட்டால், சமன்பாட்டில் உயர் வரிசையின் இடைவினைகளைச் சேர்க்க முடியும்.

b 123 x 1 x 2 x 3 - இரண்டாவது வரிசை தொடர்பு.

ஒருங்கிணைந்த சமன்பாட்டின் பகுப்பாய்வு x 1 மற்றும் x 3 காரணிகளின் தொடர்புகளின் முக்கியத்துவத்தைக் காட்டினால், சமன்பாடு இப்படி இருக்கும்:

y = a + b 1 x 1 + b 2 x 2 + b 3 x 3 + b 13 x 1 x 3 + e.

x 1 மற்றும் x 3 காரணிகளின் தொடர்பு என்பது காரணி x 3 இன் வெவ்வேறு நிலைகளில் y இல் காரணி x 1 இன் செல்வாக்கு வேறுபட்டதாக இருக்கும், அதாவது. இது காரணி x 3 இன் மதிப்பைப் பொறுத்தது. படத்தில். 3.1 காரணிகளின் தொடர்பு y முடிவுடன் இணையாக இல்லாத இணைப்புக் கோடுகளால் குறிக்கப்படுகிறது. மாறாக, காரணி x3 இன் வெவ்வேறு நிலைகளில் y இல் காரணி x1 இன் செல்வாக்கின் இணையான கோடுகள் x1 மற்றும் x3 காரணிகளுக்கு இடையில் தொடர்பு இல்லாததைக் குறிக்கிறது.

படம் 3.1. காரணிகளின் தொடர்புகளின் கிராஃபிக் விளக்கம்.

ஏ- x 1 y ஐ பாதிக்கிறது, மேலும் இந்த செல்வாக்கு x 3 = B 1 மற்றும் x 3 = B 2 (பின்னடைவு கோடுகளின் அதே சாய்வு) க்கும் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும், அதாவது x 1 மற்றும் x 3 காரணிகளுக்கு இடையில் எந்த தொடர்பும் இல்லை;

பி– x 1 இன் அதிகரிப்புடன், பயனுள்ள பண்பு y x 3 = B 1 இல் அதிகரிக்கிறது, x 1 இன் அதிகரிப்புடன், பயனுள்ள பண்பு y x 3 = B 2 இல் குறைகிறது. x 1 மற்றும் x 3 க்கு இடையில் ஒரு தொடர்பு உள்ளது.

ஒருங்கிணைந்த பின்னடைவு சமன்பாடுகள் உருவாக்கப்படுகின்றன, எடுத்துக்காட்டாக, உற்பத்தித்திறனில் பல்வேறு வகையான உரங்களின் (நைட்ரஜன் மற்றும் பாஸ்பரஸின் கலவைகள்) விளைவைப் படிக்கும் போது.

காரணிகளின் மல்டிகோலினியரிட்டியை நீக்குவதில் உள்ள சிக்கல், குறைக்கப்பட்ட படிவ நீக்கத்திற்கு நகர்வதன் மூலம் உதவலாம். இந்த நோக்கத்திற்காக, கருத்தில் உள்ள காரணி மற்றொரு சமன்பாட்டிலிருந்து வெளிப்படுத்துவதன் மூலம் பின்னடைவு சமன்பாட்டில் மாற்றப்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டாக, படிவத்தின் இரண்டு காரணி பின்னடைவைக் கருத்தில் கொள்வோம் a + b 1 x 1 + b 2 x 2 , இதற்கு x 1 மற்றும் x 2 அதிக தொடர்பைக் காட்டுகின்றன. காரணிகளில் ஒன்றை நாம் விலக்கினால், நாம் ஒரு ஜோடி பின்னடைவு சமன்பாட்டை அடைகிறோம். அதே நேரத்தில், நீங்கள் மாதிரியில் காரணிகளை விட்டுவிடலாம், ஆனால் இந்த இரண்டு காரணி பின்னடைவு சமன்பாட்டை மற்றொரு சமன்பாட்டுடன் சேர்த்து ஆராயுங்கள், இதில் காரணி (உதாரணமாக x 2) சார்பு மாறியாகக் கருதப்படுகிறது. அது தெரிந்தது என்று வைத்துக்கொள்வோம் . இந்த சமன்பாட்டை x 2 க்கு பதிலாக விரும்பிய ஒன்றில் வைத்து, நாம் பெறுகிறோம்:

என்றால் , பின்னர் சமத்துவத்தின் இரு பக்கங்களையும் பிரித்தல் , படிவத்தின் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்:

,

இதன் விளைவாக வரும் பண்பு y ஐ தீர்மானிப்பதற்கான சமன்பாட்டின் குறைக்கப்பட்ட வடிவமாகும். இந்த சமன்பாட்டை இவ்வாறு குறிப்பிடலாம்:

அளவுருக்களை மதிப்பிடுவதற்கு LSMஐ அதில் பயன்படுத்தலாம்.

பின்னடைவில் சேர்க்கப்பட்டுள்ள காரணிகளின் தேர்வு, பின்னடைவு முறைகளின் நடைமுறை பயன்பாட்டில் மிக முக்கியமான கட்டங்களில் ஒன்றாகும். தொடர்பு குறிகாட்டிகளின் அடிப்படையில் காரணிகளைத் தேர்ந்தெடுப்பதற்கான அணுகுமுறைகள் வேறுபட்டிருக்கலாம். அவை வெவ்வேறு நுட்பங்களின்படி பல பின்னடைவு சமன்பாடுகளை உருவாக்குகின்றன. பின்னடைவு சமன்பாட்டை உருவாக்குவதற்கான எந்த நுட்பம் ஏற்றுக்கொள்ளப்படுகிறது என்பதைப் பொறுத்து, கணினியில் அதைத் தீர்ப்பதற்கான வழிமுறை மாறுகிறது.

பின்வருபவை மிகவும் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன பல பின்னடைவு சமன்பாடுகளை உருவாக்குவதற்கான முறைகள்:

· விலக்கு முறை;

· சேர்த்தல் முறை;

· படிநிலை பின்னடைவு பகுப்பாய்வு.

இந்த முறைகள் ஒவ்வொன்றும் காரணி தேர்வின் சிக்கலை அதன் சொந்த வழியில் தீர்க்கிறது, பொதுவாக ஒரே மாதிரியான முடிவுகளை அளிக்கிறது - அதன் முழுமையான தேர்விலிருந்து காரணிகளைத் திரையிடுதல் (விலக்கு முறை), ஒரு காரணியின் கூடுதல் அறிமுகம் (சேர்க்கும் முறை), முன்பு அறிமுகப்படுத்தப்பட்ட காரணியை விலக்குதல் (படிப்படியாக) பின்னடைவு பகுப்பாய்வு).

முதல் பார்வையில், காரணிகளைத் தேர்ந்தெடுப்பதில் ஜோடிவரிசை தொடர்பு குணகங்களின் அணி முக்கிய பங்கு வகிக்கிறது என்று தோன்றலாம். அதே நேரத்தில், காரணிகளின் தொடர்பு காரணமாக, ஜோடி தொடர்பு குணகங்கள் மாதிரியில் ஒரு குறிப்பிட்ட காரணியைச் சேர்ப்பதற்கான ஆலோசனையின் சிக்கலை முழுமையாக தீர்க்க முடியாது. இந்த பாத்திரம் பகுதி தொடர்பு குறிகாட்டிகளால் விளையாடப்படுகிறது, அவை அவற்றின் தூய வடிவத்தில் காரணிக்கும் விளைவுக்கும் இடையிலான உறவின் நெருக்கத்தை மதிப்பிடுகின்றன. பகுதி தொடர்பு குணகம் மேட்ரிக்ஸ் என்பது மிகவும் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படும் காரணி நீக்குதல் செயல்முறையாகும். காரணிகளைத் தேர்ந்தெடுக்கும்போது, ​​பின்வரும் விதியைப் பயன்படுத்த பரிந்துரைக்கப்படுகிறது: உள்ளடக்கப்பட்ட காரணிகளின் எண்ணிக்கை பொதுவாக பின்னடைவு கட்டமைக்கப்பட்ட மக்கள்தொகையின் அளவை விட 6-7 மடங்கு குறைவாக இருக்கும். இந்த உறவு மீறப்பட்டால், எஞ்சிய மாறுபாடுகளின் சுதந்திரத்தின் அளவு மிகவும் சிறியது. பின்னடைவு சமன்பாட்டின் அளவுருக்கள் புள்ளிவிவர ரீதியாக முக்கியமற்றதாக மாறிவிடும் என்பதற்கு இது வழிவகுக்கிறது, மேலும் F- அளவுகோல் அட்டவணை மதிப்பை விட குறைவாக உள்ளது.

கிளாசிக்கல் லீனியர் மல்டிபிள் ரிக்ரஷன் மாடல் (சிஎல்எம்ஆர்):

இங்கு y என்பது பின்னடைவு; x i - பின்னடைவுகள்; u ஒரு சீரற்ற கூறு.

பல பின்னடைவு மாதிரி என்பது ஜோடிவரிசை பின்னடைவு மாதிரியை பன்முகத்தன்மைக்கு பொதுமைப்படுத்துவதாகும்.

சார்பற்ற மாறிகள் (x) சீரற்ற (நிர்ணயிக்கப்பட்ட) அளவுகளாகக் கருதப்படுகிறது.

மாறி x 1 = x i 1 = 1 இலவச காலத்திற்கான துணை மாறி என்று அழைக்கப்படுகிறது, மேலும் சமன்பாடுகளில் இது ஷிப்ட் அளவுரு என்றும் அழைக்கப்படுகிறது.

(2) இல் உள்ள "y" மற்றும் "u" ஆகியவை சீரற்ற மாறியின் உணர்தல் ஆகும்.

ஷிப்ட் அளவுரு என்றும் அழைக்கப்படுகிறது.

பின்னடைவு மாதிரியின் அளவுருக்களை புள்ளிவிவர ரீதியாக மதிப்பிடுவதற்கு, சுயாதீனமான மற்றும் சார்பு மாறிகளின் கண்காணிப்பு தரவுகளின் தொகுப்பு (தொகுப்பு) தேவைப்படுகிறது. தரவு இடஞ்சார்ந்த தரவு அல்லது அவதானிப்புகளின் நேரத் தொடராக வழங்கப்படலாம். இந்த ஒவ்வொரு அவதானிப்புக்கும், நேரியல் மாதிரியின் படி, நாம் எழுதலாம்:

கணினியின் வெக்டர்-மேட்ரிக்ஸ் பதிவு (3).

பின்வரும் குறியீட்டை அறிமுகப்படுத்துவோம்:

சுயாதீன மாறியின் நெடுவரிசை திசையன் (பின்னடைவு)

அணி பரிமாணம் (n 1)

சுயாதீன மாறிகளின் அவதானிப்புகளின் அணி (பின்னடைவு):

அளவு (n×k)

அளவுரு நெடுவரிசை திசையன்:

- சமன்பாடுகளின் அமைப்பின் மேட்ரிக்ஸ் பதிவு (3). இது எளிமையானது மற்றும் மிகவும் கச்சிதமானது.

மாதிரி அளவுருக்களை மதிப்பிடுவதற்கும், அவற்றின் பண்புகளை ஆய்வு செய்வதற்கும், மாதிரியின் தரத்தை சோதிப்பதற்கும் ஒரு சமன்பாட்டைப் பெறுவதற்குத் தேவையான முன்நிபந்தனைகளை உருவாக்குவோம். இந்த வளாகங்கள் கிளாசிக்கல் ஜோடி நேர்கோட்டு பின்னடைவு மாதிரியின் வளாகத்தை பொதுமைப்படுத்துகின்றன மற்றும் பூர்த்தி செய்கின்றன (காஸ்-மார்கோவ் நிலைமைகள்).

முன்நிபந்தனை 1.சுயாதீன மாறிகள் சீரற்றவை அல்ல மற்றும் பிழைகள் இல்லாமல் அளவிடப்படுகின்றன. இதன் பொருள் கவனிப்பு அணி X என்பது உறுதியானது.

முன்நிபந்தனை 2. (முதல் காஸ்-மார்கோவ் நிபந்தனை):ஒவ்வொரு கவனிப்பிலும் சீரற்ற கூறுகளின் கணித எதிர்பார்ப்பு பூஜ்ஜியமாகும்.

முன்நிபந்தனை 3. (இரண்டாவது காஸ்-மார்கோவ் நிபந்தனை):சீரற்ற கூறுகளின் தத்துவார்த்த மாறுபாடு அனைத்து அவதானிப்புகளுக்கும் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும்.

(இது ஓரினச்சேர்க்கை)

முன்நிபந்தனை 4. (மூன்றாவது காஸ்-மார்கோவ் நிபந்தனை):மாதிரியின் சீரற்ற கூறுகள் வெவ்வேறு அவதானிப்புகள் முழுவதும் தொடர்புபடுத்தப்படவில்லை. இதன் பொருள் கோட்பாட்டு கோவாரியன்ஸ்

திசையன் குறியீட்டைப் பயன்படுத்தி முன்நிபந்தனைகள் (3) மற்றும் (4) எழுதுவது வசதியானது:

மேட்ரிக்ஸ் ஒரு சமச்சீர் அணி. - பரிமாணத்தின் அலகு அணி n, சூப்பர்ஸ்கிரிப்ட் T - இடமாற்றம்.

மேட்ரிக்ஸ் கோட்பாட்டு கோவாரியன்ஸ் மேட்ரிக்ஸ் (அல்லது கோவாரியன்ஸ் மேட்ரிக்ஸ்) என்று அழைக்கப்படுகிறது.

முன்நிபந்தனை 5. (நான்காவது காஸ்-மார்கோவ் நிபந்தனை):சீரற்ற கூறு மற்றும் விளக்க மாறிகள் ஒன்றோடொன்று தொடர்புடையவை அல்ல (சாதாரண பின்னடைவு மாதிரிக்கு, இந்த நிலை சுதந்திரத்தையும் குறிக்கிறது). விளக்க மாறிகள் சீரற்றவை அல்ல என்று கருதி, இந்த முன்நிபந்தனை எப்போதும் கிளாசிக்கல் பின்னடைவு மாதிரியில் திருப்தி அடையும்.

வளாகம் 6. பின்னடைவு குணகங்கள் நிலையான மதிப்புகள்.

வளாகம் 7. பின்னடைவு சமன்பாடு அடையாளம் காணக்கூடியது. இதன் பொருள், சமன்பாட்டின் அளவுருக்கள், கொள்கையளவில், மதிப்பிடப்பட்டவை அல்லது அளவுரு மதிப்பீட்டுச் சிக்கலுக்கான தீர்வு மற்றும் தனித்துவமானது.

வளாகம் 8. பின்னடைவுகள் கோலினியர் அல்ல. இந்த வழக்கில், பின்னடைவுகளின் கண்காணிப்பு அணி முழு தரவரிசையில் இருக்க வேண்டும். (அதன் நெடுவரிசைகள் நேரியல் சார்பற்றதாக இருக்க வேண்டும்). இந்த முன்நிபந்தனை முந்தையவற்றுடன் நெருக்கமாக தொடர்புடையது, ஏனெனில் OLS குணகங்களை மதிப்பிடுவதற்குப் பயன்படுத்தப்படும்போது, ​​​​அதன் செயல்படுத்தல் மாதிரியின் அடையாளத்தை உத்தரவாதம் செய்கிறது (அவதானிப்புகளின் எண்ணிக்கை மதிப்பிடப்பட்ட அளவுருக்களின் எண்ணிக்கையை விட அதிகமாக இருந்தால்).

வளாகம் 9.மதிப்பிடப்பட்ட அளவுருக்களின் எண்ணிக்கையை விட அவதானிப்புகளின் எண்ணிக்கை அதிகமாக உள்ளது, அதாவது. n>k.

இந்த 1-9 முன்நிபந்தனைகள் அனைத்தும் சமமாக முக்கியம், மேலும் அவை பூர்த்தி செய்யப்பட்டால் மட்டுமே கிளாசிக்கல் பின்னடைவு மாதிரியை நடைமுறையில் பயன்படுத்த முடியும்.

சீரற்ற கூறுகளின் இயல்பான தன்மையின் அனுமானம். கட்டும் போது நம்பிக்கை இடைவெளிகள்மாதிரி குணகங்கள் மற்றும் சார்பு மாறியின் கணிப்புகள், குணகங்கள் தொடர்பான புள்ளிவிவர கருதுகோள்களை சோதித்தல், ஒட்டுமொத்த மாதிரியின் போதுமான தன்மையை (தரம்) பகுப்பாய்வு செய்வதற்கான நடைமுறைகளை உருவாக்குதல், சீரற்ற கூறுகளின் இயல்பான விநியோகத்தின் அனுமானம் தேவை. இந்த முன்மாதிரியை கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டால், மாதிரி (1) கிளாசிக்கல் மல்டிடிமென்ஷனல் என்று அழைக்கப்படுகிறது நேரியல் மாதிரிபின்னடைவு.

முன்நிபந்தனைகள் பூர்த்தி செய்யப்படாவிட்டால், பொதுவான நேரியல் பின்னடைவு மாதிரிகள் என்று அழைக்கப்படுவதை உருவாக்குவது அவசியம். வாய்ப்புகள் எவ்வளவு சரியாக (சரியாக) மற்றும் உணர்வுபூர்வமாக பயன்படுத்தப்படுகின்றன பின்னடைவு பகுப்பாய்வுஎகனாமெட்ரிக் மாடலிங் வெற்றியைப் பொறுத்தது, இறுதியில் எடுக்கப்பட்ட முடிவுகளின் செல்லுபடியாகும்.

பல பின்னடைவு சமன்பாட்டை உருவாக்க, பின்வரும் செயல்பாடுகள் பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன

1. நேரியல்: .

2. சக்தி: .

3. அதிவேக: .

4. மிகைப்படுத்தல்:

அளவுருக்களின் தெளிவான விளக்கத்தின் பார்வையில், நேரியல் மற்றும் சக்தி செயல்பாடுகள் மிகவும் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. நேரியல் பல பின்னடைவில், X இல் உள்ள அளவுருக்கள் "தூய" பின்னடைவு குணகங்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. சராசரி மட்டத்தில் நிர்ணயிக்கப்பட்ட மற்ற காரணிகளின் அதே மதிப்புடன், தொடர்புடைய காரணியில் ஒன்றின் மாற்றத்துடன் முடிவின் சராசரி மாற்றத்தை அவை வகைப்படுத்துகின்றன.

உதாரணம். குடும்பங்களின் தொகுப்பிற்கான உணவுச் செலவுகளின் சார்பு பின்வரும் சமன்பாட்டால் வகைப்படுத்தப்படுகிறது என்று வைத்துக்கொள்வோம்:

y என்பது குடும்பத்தின் உணவுக்கான மாதாந்திர செலவுகள், ஆயிரம் ரூபிள்;

x 1 - குடும்ப உறுப்பினருக்கு மாத வருமானம், ஆயிரம் ரூபிள்;

x 2 - குடும்ப அளவு, மக்கள்.

இந்த சமன்பாட்டின் பகுப்பாய்வு முடிவுகளை எடுக்க அனுமதிக்கிறது - ஒரு குடும்ப உறுப்பினருக்கு 1 ஆயிரம் ரூபிள் மூலம் வருமானம் அதிகரிக்கும். உணவு செலவுகள் சராசரியாக 350 ரூபிள் அதிகரிக்கும். ஒரே குடும்ப அளவுடன். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், 35% கூடுதல் குடும்ப செலவுகள்உணவுக்காக செலவிடப்பட்டது. அதே வருமானத்துடன் குடும்ப அளவு அதிகரிப்பு உணவு செலவுகளில் 730 ரூபிள் கூடுதல் அதிகரிப்பைக் குறிக்கிறது. அளவுரு a - பொருளாதார விளக்கம் இல்லை.

நுகர்வு சிக்கல்களைப் படிக்கும் போது, ​​பின்னடைவு குணகங்கள் நுகர்வுக்கான விளிம்பு நாட்டத்தின் பண்புகளாகக் கருதப்படுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, நுகர்வு செயல்பாடு C t வடிவம் இருந்தால்:

C t = a+b 0 R t + b 1 R t -1 +e,

பின்னர் t காலப்பகுதியில் நுகர்வு அதே காலகட்டத்தின் வருமானம் R t மற்றும் முந்தைய கால R t -1 இன் வருமானத்தைப் பொறுத்தது. அதன்படி, குணகம் b 0 பொதுவாக நுகர்வுக்கான குறுகிய கால விளிம்பு முனைப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஒட்டுமொத்த விளைவுதற்போதைய மற்றும் முந்தைய வருமானம் இரண்டிலும் அதிகரிப்பு நுகர்வு b = b 0 + b 1 ஆக அதிகரிக்கும். குணகம் b என்பது நுகர்வுக்கான நீண்ட கால நாட்டமாக இங்கே கருதப்படுகிறது. குணகங்கள் b 0 மற்றும் b 1 >0 என்பதால், நுகர்வுக்கான நீண்ட கால நாட்டம் குறுகிய கால நாட்டம் b 0 ஐ விட அதிகமாக இருக்க வேண்டும். உதாரணமாக, 1905 - 1951 காலகட்டத்திற்கு. (போர் ஆண்டுகளைத் தவிர்த்து) எம். ப்ரைட்மேன் அமெரிக்காவிற்காக பின்வரும் நுகர்வுச் செயல்பாட்டை உருவாக்கினார்: C t = 53+0.58 R t +0.32 R t -1 0.58 நுகர்வுக்கான குறுகிய கால முனைப்பு மற்றும் நுகர்வுக்கான நீண்ட கால விளிம்பு நாட்டம் 0,9.

நுகர்வு செயல்பாடு கடந்தகால நுகர்வு பழக்கங்களைப் பொறுத்தும் கருதப்படலாம், அதாவது. முந்தைய நுகர்வு மட்டத்திலிருந்து

C t-1: C t = a+b 0 R t +b 1 C t-1 +e,

இந்த சமன்பாட்டில், அளவுரு b 0 ஆனது நுகர்வுக்கான குறுகிய கால விளிம்பு நாட்டத்தையும் வகைப்படுத்துகிறது, அதாவது. அதே காலகட்டத்திற்கான வருமானத்தில் ஒற்றை அதிகரிப்பின் நுகர்வு மீதான தாக்கம் R t . நுகர்வுக்கான நீண்ட கால விளிம்பு நாட்டம் இங்கே b 0 /(1- b 1) என்ற வெளிப்பாட்டின் மூலம் அளவிடப்படுகிறது.

எனவே, பின்னடைவு சமன்பாடு இருந்தால்:

C t = 23.4+0.46 R t +0.20 C t -1 +e,

பின்னர் நுகர்வுக்கான குறுகிய கால நாட்டம் 0.46, மற்றும் நீண்ட கால நாட்டம் 0.575 (0.46/0.8) ஆகும்.

IN சக்தி செயல்பாடு
குணகங்கள் b j என்பது நெகிழ்ச்சி குணகங்கள். தொடர்புடைய காரணியில் 1% மாற்றத்துடன் சராசரியாக எந்த சதவீத முடிவு மாறுகிறது என்பதை அவை காட்டுகின்றன, அதே நேரத்தில் மற்ற காரணிகளின் செயல் மாறாமல் இருக்கும். இந்த வகையான பின்னடைவு சமன்பாடு உற்பத்தி செயல்பாடுகளில், தேவை மற்றும் நுகர்வு ஆய்வுகளில் மிகவும் பரவலாக உள்ளது.

இறைச்சிக்கான தேவையைப் படிக்கும் போது, ​​பின்வரும் சமன்பாடு பெறப்படுகிறது என்று வைத்துக்கொள்வோம்:

y என்பது கோரப்பட்ட இறைச்சியின் அளவு; x 1 - அதன் விலை; x 2 - வருமானம்.

இதன் விளைவாக, அதே வருமானத்திற்கான விலையில் 1% அதிகரிப்பு இறைச்சிக்கான தேவை சராசரியாக 2.63% குறைகிறது. வருமானத்தில் 1% அதிகரிப்பு, நிலையான விலையில், தேவை 1.11% அதிகரிக்கும்.

படிவத்தின் உற்பத்தி செயல்பாடுகளில்:

இங்கு P என்பது m உற்பத்தி காரணிகளைப் பயன்படுத்தி உற்பத்தி செய்யப்படும் பொருளின் அளவு (F 1, F 2, ...... F m).

b என்பது ஒரு அளவுரு ஆகும், இது தொடர்புடைய உற்பத்தி காரணிகளின் எண்ணிக்கையுடன் தொடர்புடைய உற்பத்தியின் அளவின் நெகிழ்ச்சி.

ஒவ்வொரு காரணியின் குணகங்கள் b மட்டும் பொருளாதார அர்த்தத்தைக் கொண்டிருக்கின்றன, ஆனால் அவற்றின் கூட்டுத்தொகை, அதாவது. நெகிழ்ச்சித் தொகை: B = b 1 +b 2 +.....+b m. இந்த மதிப்பு உற்பத்தி நெகிழ்ச்சியின் பொதுவான பண்பைப் பிடிக்கிறது. உற்பத்தி செயல்பாடு வடிவம் உள்ளது

எங்கே பி - உற்பத்தி வெளியீடு; F 1 - நிலையான உற்பத்தி சொத்துக்களின் விலை; F 2 - மனித நாட்கள் வேலை செய்தன; எஃப் 3 - உற்பத்தி செலவுகள்.

உற்பத்தியின் தனிப்பட்ட காரணிகளுக்கான வெளியீட்டின் நெகிழ்ச்சி சராசரியாக 0.3% F 1 இல் 1% அதிகரிப்புடன், மற்ற காரணிகளின் நிலை மாறாமல் இருக்கும்; 0.2% - F 2 இல் 1% அதிகரிப்புடன், மற்ற உற்பத்தி காரணிகள் மாறாமல் உள்ளது, மற்றும் 0.5% F 3 இல் 1% அதிகரிப்புடன், F 1 மற்றும் F 2 காரணிகளின் நிலையான நிலை. கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டிற்கு, B = b 1 + b 2 + b 3 = 1. எனவே, பொதுவாக, உற்பத்தியின் ஒவ்வொரு காரணியிலும் 1% அதிகரிப்புடன், வெளியீட்டின் நெகிழ்ச்சி குணகம் 1% ஆகும், அதாவது. வெளியீடு 1% அதிகரிக்கிறது, இது நுண்ணிய பொருளாதாரத்தில் நிலையான வருமானத்திற்கு ஒத்திருக்கிறது.

நடைமுறை கணக்கீடுகளில் அது எப்போதும் இல்லை . இது 1 ஐ விட அதிகமாகவோ அல்லது குறைவாகவோ இருக்கலாம். இந்த நிலையில், உற்பத்தியின் ஒவ்வொரு காரணியிலும் 1% அதிகரிக்கும் (B>1) அல்லது குறையும் (B) நிலைமைகளின் கீழ் உற்பத்தியின் நெகிழ்ச்சித்தன்மையின் தோராயமான மதிப்பீட்டை B சரிசெய்கிறது.<1) отдачи на масштаб.

எனவே, என்றால்
, பின்னர் உற்பத்தியின் ஒவ்வொரு காரணியின் மதிப்புகளிலும் 1% அதிகரிப்புடன், ஒட்டுமொத்த உற்பத்தி வெளியீடு தோராயமாக 1.2% அதிகரிக்கிறது.

OLS ஐப் பயன்படுத்தி மாதிரி அளவுருக்களை மதிப்பிடும்போது, ​​அனுசரிக்கப்பட்ட மாதிரிக்கு அனுபவப் பின்னடைவு மாதிரியின் பொருத்தத்தின் அளவு (அளவுகோல்) என்பது ஸ்கொயர் பிழைகளின் (எச்சங்கள்) கூட்டுத்தொகையாகும்.

எங்கே e = (e1,e2,.....e n) T ;

சமன்பாட்டிற்கு நாம் சமத்துவத்தைப் பயன்படுத்தினோம்: .

அளவிடல் செயல்பாடு;

சாதாரண சமன்பாடுகளின் அமைப்பு (1) k அறியப்படாத k க்கான k நேரியல் சமன்பாடுகள் i = 1,2,3......k

= (2)

பெருக்கல் (2) சாதாரண சமன்பாடுகளின் எழுத்து முறைகளின் விரிவாக்கப்பட்ட வடிவத்தைப் பெறுகிறோம்

முரண்பாடுகள் மதிப்பீடு

தரப்படுத்தப்பட்ட பின்னடைவு குணகங்கள் மற்றும் அவற்றின் விளக்கம். ஜோடி மற்றும் பகுதி தொடர்பு குணகங்கள். பல தொடர்பு குணகம். பல தொடர்பு குணகம் மற்றும் பல தீர்மான குணகம். தொடர்பு குறிகாட்டிகளின் நம்பகத்தன்மையை மதிப்பீடு செய்தல்.

மல்டிபிள் ரிக்ரஷன் சமன்பாட்டின் அளவுருக்கள், ஜோடிவரிசை பின்னடைவில், குறைந்த சதுரங்கள் முறையை (OLS) பயன்படுத்தி மதிப்பிடப்படுகிறது. அதைப் பயன்படுத்தும் போது, ​​சாதாரண சமன்பாடுகளின் அமைப்பு கட்டமைக்கப்படுகிறது, இதன் தீர்வு பின்னடைவு அளவுருக்களின் மதிப்பீடுகளைப் பெற அனுமதிக்கிறது.

எனவே, சமன்பாட்டிற்கு சாதாரண சமன்பாடுகளின் அமைப்பு இருக்கும்:

அதன் தீர்வு தீர்மானிக்கும் முறையைப் பயன்படுத்தி மேற்கொள்ளப்படலாம்:

, ,…, ,

இதில் D என்பது அமைப்பின் முக்கிய நிர்ணயம் ஆகும்;

Da, Db 1, …, Db p என்பது பகுதி தீர்மானிப்பான்கள்.

மற்றும் Da, Db 1, …, Db p ஆனது கணினியின் இடது பக்கத்தில் உள்ள தரவுகளுடன் சிஸ்டம் டிடர்மினன்ட் மேட்ரிக்ஸின் தொடர்புடைய நெடுவரிசையை மாற்றுவதன் மூலம் பெறப்படுகிறது.

பல பின்னடைவின் அளவுருக்களை தீர்மானிப்பதற்கான மற்றொரு அணுகுமுறையும் சாத்தியமாகும், ஒரு பின்னடைவு சமன்பாடு இணைக்கப்பட்ட தொடர்பு குணகங்களின் மேட்ரிக்ஸின் அடிப்படையில் தரப்படுத்தப்பட்ட அளவில் கட்டமைக்கப்படும் போது:

எங்கே - தரப்படுத்தப்பட்ட மாறிகள் , இதன் சராசரி மதிப்பு பூஜ்ஜியமாகும் , மற்றும் நிலையான விலகல் ஒற்றுமைக்கு சமம்: ;

தரப்படுத்தப்பட்ட பின்னடைவு குணகங்கள்.

தரப்படுத்தப்பட்ட அளவில் பல பின்னடைவு சமன்பாட்டிற்கு குறைந்தபட்ச சதுரங்கள் முறையைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம், பொருத்தமான மாற்றங்களுக்குப் பிறகு, படிவத்தின் இயல்பான மதிப்புகளின் அமைப்பைப் பெறுகிறோம்.

தீர்மானிப்பதன் மூலம் அதைத் தீர்ப்பதன் மூலம், அளவுருக்களைக் காண்கிறோம் - தரப்படுத்தப்பட்ட பின்னடைவு குணகங்கள் (பி-குணங்கள்).

மற்ற காரணிகளின் சராசரி நிலை மாறாமல் இருக்கும் போது தொடர்புடைய காரணி x i ஒரு சிக்மாவால் மாறினால் சராசரி முடிவு எத்தனை சிக்மாக்கள் மாறும் என்பதை தரப்படுத்தப்பட்ட பின்னடைவு குணகங்கள் காட்டுகின்றன. அனைத்து மாறிகளும் மையப்படுத்தப்பட்ட மற்றும் இயல்பாக்கப்பட்டதாக குறிப்பிடப்படுவதால், தரப்படுத்தப்பட்ட பின்னடைவு குணகங்கள் b I ஒருவருக்கொருவர் ஒப்பிடத்தக்கவை. அவற்றை ஒன்றோடொன்று ஒப்பிடுவதன் மூலம், அவற்றின் தாக்கத்தின் வலிமைக்கு ஏற்ப காரணிகளை வரிசைப்படுத்தலாம். இது "தூய" பின்னடைவு குணகங்களுக்கு மாறாக, தரப்படுத்தப்பட்ட பின்னடைவு குணகங்களின் முக்கிய நன்மையாகும், அவை ஒப்பிட முடியாதவை.

உதாரணம்.உற்பத்தி செலவு செயல்பாடு y (ஆயிரம் ரூபிள்) படிவத்தின் சமன்பாட்டால் வகைப்படுத்தப்படும்

x 1 - நிலையான உற்பத்தி சொத்துக்கள்;

x 2 - உற்பத்தியில் பணிபுரியும் நபர்களின் எண்ணிக்கை.

அதை பகுப்பாய்வு செய்தால், அதே வேலைவாய்ப்புடன், நிலையான உற்பத்தி சொத்துக்களின் மதிப்பில் 1 ஆயிரம் ரூபிள் கூடுதல் அதிகரிப்பு இருப்பதைக் காண்கிறோம். சராசரியாக 1.2 ஆயிரம் ரூபிள் செலவில் அதிகரிப்பு ஏற்படுகிறது, மேலும் ஒரு நபருக்கு ஊழியர்களின் எண்ணிக்கையில் அதிகரிப்பு, நிறுவனங்களின் அதே தொழில்நுட்ப உபகரணங்களுடன், சராசரியாக 1.1 ஆயிரம் ரூபிள் செலவுகளை அதிகரிக்க பங்களிக்கிறது. இருப்பினும், காரணி x2 உடன் ஒப்பிடும்போது உற்பத்திச் செலவில் காரணி x1 வலுவான தாக்கத்தை ஏற்படுத்துகிறது என்று அர்த்தமல்ல. தரப்படுத்தப்பட்ட அளவில் பின்னடைவு சமன்பாட்டைப் பார்த்தால் அத்தகைய ஒப்பீடு சாத்தியமாகும். இது இப்படி இருக்கும் என்று சொல்லலாம்:

இதன் பொருள், காரணி x 1 இன் ஒரு சிக்மாவின் அதிகரிப்புடன், நிலையான ஊழியர்களின் எண்ணிக்கையுடன், தயாரிப்பு செலவுகள் சராசரியாக 0.5 சிக்மாவால் அதிகரிக்கும். பி 1 முதல்< b 2 (0,5 < 0,8), то можно заключить, что большее влияние оказывает на производство продукции фактор х 2 , а не х 1 , как кажется из уравнения регрессии в натуральном масштабе.

ஒரு ஜோடிவரிசை உறவில், தரப்படுத்தப்பட்ட பின்னடைவு குணகம் நேரியல் தொடர்பு குணகம் r xy தவிர வேறில்லை. ஒரு ஜோடிவரிசை உறவில் பின்னடைவு குணகமும் தொடர்பும் ஒன்றோடொன்று இணைக்கப்படுவது போலவே, பல பின்னடைவில் "தூய" பின்னடைவு குணகங்கள் b i தரப்படுத்தப்பட்ட பின்னடைவு குணகங்களுடன் தொடர்புடையவை b i , அதாவது:

(3.1)

இது பின்னடைவு சமன்பாட்டை தரப்படுத்தப்பட்ட அளவில் இருக்க அனுமதிக்கிறது

(3.2)

மாறிகளின் இயற்கையான அளவில் பின்னடைவு சமன்பாட்டிற்கு மாறுதல்.

1. அறிமுகம்………………………………………………………………………….3

1.1 நேரியல் பல பின்னடைவு மாதிரி................................5

1.2 மல்டிபிள் ரிக்ரஷன் மாடலுக்கான கிளாசிக்கல் லீஸ்ட் ஸ்கொயர்ஸ் முறை…………………………………………..6

2. பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட நேரியல் பல பின்னடைவு மாதிரி…………………….8

3. குறிப்புகளின் பட்டியல்………………………………………….10

அறிமுகம்

நேரத் தொடர் என்பது பல தொடர்ச்சியான தருணங்களுக்கான (காலங்கள்) எந்த ஒரு குறிகாட்டியின் மதிப்புகளின் தொகுப்பாகும். நேரத் தொடரின் ஒவ்வொரு நிலையும் அதிக எண்ணிக்கையிலான காரணிகளின் செல்வாக்கின் கீழ் உருவாகின்றன, அவை மூன்று குழுக்களாகப் பிரிக்கப்படுகின்றன:

தொடரின் போக்கை வடிவமைக்கும் காரணிகள்;

தொடரில் சுழற்சி ஏற்ற இறக்கங்களை உருவாக்கும் காரணிகள்;

சீரற்ற காரணிகள்.

இந்த காரணிகளின் பல்வேறு சேர்க்கைகளுடன், சரியான நேரத்தில் ரேட் அளவுகளின் சார்பு வெவ்வேறு வடிவங்களை எடுக்கலாம்.

பொருளாதார குறிகாட்டிகளின் பெரும்பாலான நேரத் தொடர்கள் ஒரு போக்கைக் கொண்டுள்ளன, இது ஆய்வு செய்யப்படும் குறிகாட்டியின் இயக்கவியலில் பல காரணிகளின் ஒட்டுமொத்த நீண்ட கால தாக்கத்தை வகைப்படுத்துகிறது. வெளிப்படையாக, இந்த காரணிகள், தனித்தனியாக எடுத்துக் கொள்ளப்பட்டால், ஆய்வின் கீழ் உள்ள குறிகாட்டியில் பலதரப்பு தாக்கத்தை ஏற்படுத்தும். இருப்பினும், அவை ஒன்றாக அதிகரிக்கும் அல்லது குறையும் போக்கை உருவாக்குகின்றன.

மேலும், ஆய்வின் கீழ் உள்ள காட்டி சுழற்சி ஏற்ற இறக்கங்களுக்கு உட்பட்டதாக இருக்கலாம். இந்த ஏற்ற இறக்கங்கள் பருவகாலமாக இருக்கலாம், ஏனெனில் பல தொழில்களின் பொருளாதார நடவடிக்கைகள் ஆண்டின் நேரத்தைப் பொறுத்தது (எடுத்துக்காட்டாக, கோடையில் விவசாயப் பொருட்களின் விலை குளிர்காலத்தை விட அதிகமாக இருக்கும்; குளிர்காலத்தில் ரிசார்ட் நகரங்களில் வேலையின்மை விகிதம் அதிகமாக உள்ளது. கோடையுடன் ஒப்பிடும்போது). பெரிய அளவிலான தரவு நீண்ட காலத்திற்கு கிடைத்தால், சந்தை நிலைமைகளின் பொதுவான இயக்கவியல் மற்றும் நாட்டின் பொருளாதாரம் அமைந்துள்ள வணிக சுழற்சியின் கட்டத்துடன் தொடர்புடைய சுழற்சி ஏற்ற இறக்கங்களை அடையாளம் காண முடியும்.

சில நேரத் தொடரில் ஒரு போக்கு அல்லது சுழற்சிக் கூறுகள் இல்லை, மேலும் ஒவ்வொரு அடுத்த நிலையும் சராசரி நிலை மற்றும் சில (நேர்மறை அல்லது எதிர்மறை) சீரற்ற கூறுகளின் கூட்டுத்தொகையாக உருவாகிறது.

உண்மையான தரவு மேலே விவரிக்கப்பட்ட எந்த மாதிரிகளுடனும் முழுமையாக ஒத்துப்போகவில்லை என்பது வெளிப்படையானது. பெரும்பாலும் அவை மூன்று கூறுகளையும் கொண்டிருக்கின்றன. ஒவ்வொரு நிலையும் போக்குகள், பருவகால ஏற்ற இறக்கங்கள் மற்றும் ஒரு சீரற்ற கூறு ஆகியவற்றின் செல்வாக்கின் கீழ் உருவாகிறது.

பெரும்பாலான சந்தர்ப்பங்களில், நேரத் தொடரின் உண்மையான நிலை, போக்கு, சுழற்சி மற்றும் சீரற்ற கூறுகளின் கூட்டுத்தொகை அல்லது உற்பத்தியாகக் குறிப்பிடப்படும். பட்டியலிடப்பட்ட கூறுகளின் கூட்டுத்தொகையாக நேரத் தொடரை வழங்கும் மாதிரியானது சேர்க்கை நேரத் தொடர் மாதிரி எனப்படும். பட்டியலிடப்பட்ட கூறுகளின் தயாரிப்பாக நேரத் தொடரை வழங்கும் மாதிரியானது பெருக்கல் நேரத் தொடர் மாதிரி எனப்படும்.

1.1 நேரியல் பல பின்னடைவு மாதிரி

ஆய்வுப் பொருளைப் பாதிக்கும் பிற காரணிகளின் செல்வாக்கு புறக்கணிக்கப்பட்டால், ஜோடி பின்னடைவு நல்ல மாடலிங் முடிவுகளை அளிக்கும். இந்த செல்வாக்கை புறக்கணிக்க முடியாவிட்டால், இந்த விஷயத்தில் மற்ற காரணிகளின் செல்வாக்கை மாதிரியில் அறிமுகப்படுத்துவதன் மூலம் அடையாளம் காண முயற்சிக்க வேண்டும், அதாவது பல பின்னடைவு சமன்பாட்டை உருவாக்கவும்.

தேவை, பங்கு வருமானம், உற்பத்திச் செலவு செயல்பாடு பற்றிய ஆய்வு, மேக்ரோ பொருளாதாரக் கணக்கீடுகள் மற்றும் பலவிதமான பொருளாதாரச் சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதில் பல பின்னடைவு பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது. தற்போது, ​​பல பின்னடைவு என்பது பொருளாதார அளவீடுகளில் மிகவும் பொதுவான முறைகளில் ஒன்றாகும்.

பல பின்னடைவின் முக்கிய குறிக்கோள், ஒரு பெரிய எண்ணிக்கையிலான காரணிகளைக் கொண்ட மாதிரியை உருவாக்குவதாகும், அதே நேரத்தில் அவை ஒவ்வொன்றின் செல்வாக்கையும் தனித்தனியாக தீர்மானிக்கிறது, அதே போல் மாதிரி காட்டி மீது அவற்றின் ஒருங்கிணைந்த தாக்கத்தை தீர்மானிக்கிறது.

நேரியல் பல பின்னடைவு மாதிரியின் பொதுவான பார்வை:

இதில் n என்பது மாதிரி அளவு, இது m ஐ விட குறைந்தது 3 மடங்கு பெரியது, சுயாதீன மாறிகளின் எண்ணிக்கை;

y i என்பது கவனிப்பு I இல் விளைந்த மாறியின் மதிப்பு;

x i1, x i2, ..., x im - கவனிப்பில் உள்ள சுயாதீன மாறிகளின் மதிப்புகள் i;

β 0 , β 1 , … β m - மதிப்பிடப்பட வேண்டிய பின்னடைவு சமன்பாட்டின் அளவுருக்கள்;

ε என்பது கவனிப்பு I இல் உள்ள பல பின்னடைவு மாதிரியின் சீரற்ற பிழையின் மதிப்பு,

பல நேரியல் பின்னடைவு மாதிரியை உருவாக்கும்போது, ​​பின்வரும் ஐந்து நிபந்தனைகள் கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளப்படுகின்றன:

1. அளவுகள் x i1, x i2, ..., x im - சீரற்ற மற்றும் சுயாதீன மாறிகள்;

2. பின்னடைவு சமன்பாட்டின் சீரற்ற பிழையின் கணித எதிர்பார்ப்பு
அனைத்து அவதானிப்புகளிலும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்: M (ε) = 0, i= 1,m;

3. பின்னடைவு சமன்பாட்டின் சீரற்ற பிழையின் மாறுபாடு அனைத்து அவதானிப்புகளுக்கும் நிலையானது: D(ε) = σ 2 = const;

4. பின்னடைவு மாதிரியின் சீரற்ற பிழைகள் ஒன்றுக்கொன்று தொடர்பு இல்லை (எந்த இரண்டு வெவ்வேறு அவதானிப்புகளின் சீரற்ற பிழைகளின் இணைவு பூஜ்ஜியம்): сov(ε i ,ε j .) = 0, i≠j;

5. பின்னடைவு மாதிரியின் சீரற்ற பிழை - பூஜ்ஜிய கணித எதிர்பார்ப்பு மற்றும் மாறுபாடு σ 2 உடன் இயல்பான விநியோக விதிக்குக் கீழ்ப்படியும் ஒரு சீரற்ற மாறி.

நேரியல் பல பின்னடைவு மாதிரியின் மேட்ரிக்ஸ் காட்சி:

எங்கே: - n×1 பரிமாணத்தின் விளைவாக வரும் மாறியின் மதிப்புகளின் திசையன்

பரிமாணத்தின் n× (m + 1) இன் சுயாதீன மாறிகளின் மதிப்புகளின் அணி. இந்த மேட்ரிக்ஸின் முதல் நெடுவரிசை அலகு ஆகும், ஏனெனில் பின்னடைவு மாதிரியில் குணகம் β 0 ஒன்றால் பெருக்கப்படுகிறது;

பரிமாணத்தின் விளைவான மாறியின் மதிப்புகளின் திசையன் (m+1)×1

பரிமாணத்தின் சீரற்ற பிழைகளின் திசையன் n×1

1.2 பல பின்னடைவு மாதிரிக்கான கிளாசிக்கல் குறைந்த சதுரங்கள் முறை

லீனியர் மல்டிபிள் ரிக்ரஷன் மாதிரியின் அறியப்படாத குணகங்கள் β 0 , β 1 , ... β m என்பது கிளாசிக்கல் லீஸ்ட் ஸ்கொயர்ஸ் முறையைப் பயன்படுத்தி மதிப்பிடப்படுகிறது, இதன் முக்கிய யோசனை ஸ்கொயர்களின் கூட்டுத்தொகையைக் குறைக்கும் மதிப்பீட்டு திசையன் D ஐ தீர்மானிப்பதாகும். மாதிரி மதிப்புகளிலிருந்து (t

கணிதப் பகுப்பாய்வின் போக்கிலிருந்து அறியப்பட்டபடி, பல மாறிகளின் செயல்பாட்டின் உச்சநிலையைக் கண்டறிய, ஒவ்வொரு அளவுருக்களையும் பொறுத்து முதல் வரிசையின் பகுதி வழித்தோன்றல்களைக் கணக்கிட்டு அவற்றை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமன் செய்வது அவசியம்.

β i, i=0,m மாதிரி குணகங்களை மதிப்பிடுவதற்கான தொடர்புடைய குறியீடுகளுடன் b i ஐக் குறிப்பது m+1 வாதங்களின் செயல்பாட்டைக் கொண்டுள்ளது.

அடிப்படை மாற்றங்களுக்குப் பிறகு, நேரியல் பல பின்னடைவு சமன்பாட்டின் அளவுருக்களின் மதிப்பீட்டைக் கண்டறிய நேரியல் இயல்பான சமன்பாடுகளின் அமைப்பிற்கு வருகிறோம்.

இதன் விளைவாக வரும் சாதாரண சமன்பாடுகளின் அமைப்பு இருபடி ஆகும், அதாவது சமன்பாடுகளின் எண்ணிக்கை அறியப்படாத மாறிகளின் எண்ணிக்கைக்கு சமம், எனவே கணினிக்கான தீர்வை க்ரேமர் முறை அல்லது காஸ் முறையைப் பயன்படுத்தி காணலாம்,

மேட்ரிக்ஸ் வடிவத்தில் சாதாரண சமன்பாடுகளின் அமைப்புக்கான தீர்வு மதிப்பீடுகளின் திசையன் ஆகும்.

நேரியல் பல பின்னடைவு சமன்பாட்டின் அடிப்படையில், பகுதி பின்னடைவு சமன்பாடுகளைக் காணலாம், அதாவது, சராசரி மட்டத்தில் மீதமுள்ள காரணிகளை சரிசெய்யும் போது தொடர்புடைய காரணி x i உடன் பயனுள்ள பண்புகளை இணைக்கும் பின்னடைவு சமன்பாடுகள்.

இந்த சமன்பாடுகளில் தொடர்புடைய காரணிகளின் சராசரி மதிப்புகளை மாற்றும்போது, ​​​​அவை ஜோடி நேரியல் பின்னடைவு சமன்பாடுகளின் வடிவத்தை எடுக்கும்.

ஜோடி பின்னடைவு போலல்லாமல், பகுதி பின்னடைவு சமன்பாடுகள் விளைவாக ஒரு காரணியின் தனிமைப்படுத்தப்பட்ட செல்வாக்கை வகைப்படுத்துகின்றன, ஏனெனில் மற்ற காரணிகள் நிலையான மட்டத்தில் சரி செய்யப்படுகின்றன. பிற காரணிகளின் விளைவுகள் பல பின்னடைவு சமன்பாட்டின் இலவச காலத்துடன் சேர்க்கப்படுகின்றன. இது பகுதி பின்னடைவு சமன்பாடுகளின் அடிப்படையில் பகுதி நெகிழ்ச்சி குணகங்களை தீர்மானிக்க உதவுகிறது:

இதில் b i என்பது காரணி x iக்கான பின்னடைவு குணகம்; பல பின்னடைவு சமன்பாட்டில்,

y x1 xm என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட பின்னடைவு சமன்பாடு.

பகுதி நெகிழ்ச்சி குணகங்களுடன், மொத்த சராசரி நெகிழ்ச்சி குறிகாட்டிகளைக் காணலாம். தொடர்புடைய காரணி 1% ஆக மாறும்போது முடிவு சராசரியாக எந்த சதவீதத்தால் மாறும் என்பதைக் காட்டுகிறது. சராசரி நெகிழ்ச்சித்தன்மையை ஒன்றோடொன்று ஒப்பிடலாம் மற்றும் விளைவுகளில் அவற்றின் தாக்கத்தின் வலிமைக்கு ஏற்ப காரணிகளை வரிசைப்படுத்தலாம்.

2. பொதுவான நேரியல் பல பின்னடைவு மாதிரி

பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட மாதிரிக்கும் கிளாசிக்கல் ஒன்றுக்கும் இடையிலான அடிப்படை வேறுபாடு இடையூறு திசையன்களின் கோவேரியன்ஸ் ஸ்கொயர் மேட்ரிக்ஸின் வடிவத்தில் மட்டுமே உள்ளது: கிளாசிக்கல் மாதிரிக்கான அணி Σ ε = σ 2 E n க்கு பதிலாக, எங்களிடம் மேட்ரிக்ஸ் Σ ε = Ω உள்ளது. பொதுமைப்படுத்தப்பட்டவருக்கு. பிந்தையது கோவாரியன்ஸ் மற்றும் மாறுபாடுகளின் தன்னிச்சையான மதிப்புகளைக் கொண்டுள்ளது. எடுத்துக்காட்டாக, பொதுவான வழக்கில் இரண்டு அவதானிப்புகளுக்கு (n = 2) கிளாசிக்கல் மற்றும் பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட மாதிரிகளின் கோவாரியன்ஸ் மெட்ரிக்குகள் படிவத்தைக் கொண்டிருக்கும்:

முறைப்படி, மேட்ரிக்ஸ் வடிவத்தில் ஒரு பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட நேரியல் பல பின்னடைவு மாதிரி (GLMMR) வடிவம் கொண்டது:

Y = Xβ + ε (1)

மற்றும் நிபந்தனைகளின் அமைப்பு மூலம் விவரிக்கப்படுகிறது:

1. ε - பரிமாணத்துடன் இடையூறுகளின் சீரற்ற திசையன் n; X என்பது nx (p+1) பரிமாணத்துடன் கூடிய விளக்க மாறிகளின் (வடிவமைப்பு அணி) மதிப்புகளின் சீரற்ற அணியாகும்; இந்த மேட்ரிக்ஸின் 1 வது நெடுவரிசை பெட்களைக் கொண்டுள்ளது என்பதை நினைவில் கொள்வோம்;

2. M(ε) = 0 n - இடையூறு திசையன்களின் கணித எதிர்பார்ப்பு பூஜ்ஜிய வெக்டருக்கு சமம்;

3. Σ ε = M(εε’) = Ω, இதில் Ω என்பது நேர்மறை திட்டவட்டமான சதுர அணி; திசையன்கள் ε‘ε இன் பெருக்கல் ஒரு அளவிடலைக் கொடுக்கிறது, மேலும் திசையன்களின் εε’ nxn பரிமாணத்தின் மேட்ரிக்ஸை அளிக்கிறது;

4. அணி X இன் தரவரிசை p+1 க்கு சமம், இது n ஐ விட குறைவாக உள்ளது; p+1 என்பது மாதிரியில் உள்ள விளக்க மாறிகளின் எண்ணிக்கை (டம்மி மாறியுடன் சேர்ந்து), n என்பது விளைவான மற்றும் விளக்க மாறிகளின் அவதானிப்புகளின் எண்ணிக்கை என்பதை நினைவுபடுத்துவோம்.

முடிவு 1. சாதாரண குறைந்தபட்ச சதுர முறையைப் பயன்படுத்தி மாதிரி அளவுருக்கள் (1) மதிப்பீடு

b = (X'X) -1 X'Y (2)

பக்கச்சார்பற்ற மற்றும் நிலையானது, ஆனால் திறமையற்றது (காஸ்-மார்கோவ் தேற்றத்தின் பொருளில் துணைநிலை). பயனுள்ள மதிப்பீட்டைப் பெற, நீங்கள் பொதுவான குறைந்தபட்ச சதுரங்கள் முறையைப் பயன்படுத்த வேண்டும்.

100 ரூமுதல் ஆர்டருக்கான போனஸ்

வேலை வகையைத் தேர்ந்தெடு டிப்ளமோ வேலை பாடநெறிப் பயிற்சி அறிக்கை கட்டுரை அறிக்கை ஆய்வு சோதனை வேலை மோனோகிராஃப் சிக்கலைத் தீர்க்கும் வணிகத் திட்டம் கேள்விகளுக்கான பதில்கள் ஆக்கப்பூர்வமான வேலை கட்டுரை வரைதல் கட்டுரைகள் மொழிபெயர்ப்பு விளக்கக்காட்சிகள் தட்டச்சு செய்தல் மற்றவை உரையின் தனித்துவத்தை அதிகரிக்கும் முதுகலை ஆய்வகப் பணி.

விலையைக் கண்டறியவும்

ஆய்வுப் பொருளைப் பாதிக்கும் பிற காரணிகளின் செல்வாக்கு புறக்கணிக்கப்பட்டால், ஜோடி பின்னடைவு நல்ல மாடலிங் முடிவுகளை அளிக்கும். தனிப்பட்ட பொருளாதார மாறிகளின் நடத்தை கட்டுப்படுத்த முடியாது, அதாவது, ஆய்வின் கீழ் ஒரு காரணியின் செல்வாக்கை மதிப்பிடுவதற்கு மற்ற எல்லா நிபந்தனைகளின் சமத்துவத்தை உறுதிப்படுத்த முடியாது. இந்த வழக்கில், மாதிரியில் அறிமுகப்படுத்துவதன் மூலம் பிற காரணிகளின் செல்வாக்கை அடையாளம் காண முயற்சிக்க வேண்டும், அதாவது, பல பின்னடைவு சமன்பாட்டை உருவாக்கவும்:

இந்த வகையான சமன்பாடு நுகர்வு ஆய்வில் பயன்படுத்தப்படலாம். பின்னர் குணகங்கள் - நுகர்வு தனிப்பட்ட வழித்தோன்றல்கள் தொடர்புடைய காரணிகளின் படி :

மற்ற அனைத்தும் நிலையானது என்ற அனுமானத்தின் கீழ்.

30 களில் XX நூற்றாண்டு கெய்ன்ஸ் நுகர்வோர் செயல்பாடு பற்றிய தனது கருதுகோளை உருவாக்கினார். அப்போதிருந்து, ஆராய்ச்சியாளர்கள் அதன் முன்னேற்றத்தின் சிக்கலை மீண்டும் மீண்டும் குறிப்பிட்டுள்ளனர். நவீன நுகர்வோர் செயல்பாடு பெரும்பாலும் படிவத்தின் மாதிரியாகக் கருதப்படுகிறது:

எங்கே உடன்- நுகர்வு; மணிக்கு- வருமானம்; ஆர்- விலை, வாழ்க்கைச் செலவுக் குறியீடு; எம் -பணம்; Z- திரவ சொத்துக்கள்.

அதே நேரத்தில்

தேவை, பங்கு வருமானம் போன்ற பிரச்சனைகளைத் தீர்ப்பதில் பல பின்னடைவு பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது; உற்பத்திச் செலவுச் செயல்பாட்டைப் படிக்கும் போது, ​​மேக்ரோ எகனாமிக் கணக்கீடுகள் மற்றும் பொருளாதார அளவீட்டில் உள்ள பல சிக்கல்கள். தற்போது, ​​பல பின்னடைவு என்பது பொருளாதார அளவீடுகளில் மிகவும் பொதுவான முறைகளில் ஒன்றாகும். பல பின்னடைவின் முக்கிய குறிக்கோள், ஒரு பெரிய எண்ணிக்கையிலான காரணிகளைக் கொண்ட மாதிரியை உருவாக்குவதாகும், அதே நேரத்தில் அவை ஒவ்வொன்றின் செல்வாக்கையும் தனித்தனியாக தீர்மானிக்கிறது, அதே போல் மாதிரி காட்டி மீது அவற்றின் ஒருங்கிணைந்த தாக்கத்தை தீர்மானிக்கிறது.

பல பின்னடைவு சமன்பாட்டின் கட்டுமானமானது மாதிரியின் விவரக்குறிப்பை தீர்மானிப்பதில் தொடங்குகிறது. மாதிரி விவரக்குறிப்பில் இரண்டு வரம்பு சிக்கல்கள் உள்ளன: காரணிகளின் தேர்வு மற்றும் பின்னடைவு சமன்பாட்டின் வகை தேர்வு.

காரணிகளுக்கான தேவைகள்.

1 அவை அளவிடக்கூடியதாக இருக்க வேண்டும்.

2. காரணிகள் ஒன்றோடொன்று தொடர்புடையதாக இருக்கக்கூடாது, துல்லியமான செயல்பாட்டு இணைப்பில் இருக்கக்கூடாது.

ஒன்றோடொன்று தொடர்புடைய காரணிகளின் ஒரு வகை மல்டிகோலினியரிட்டி - அனைத்து அல்லது பல காரணிகளுக்கும் இடையே உயர் நேரியல் உறவின் இருப்பு.

சிறுகுறிப்புகளுக்கிடையில் மல்டிகோலினியரிட்டி ஏற்படுவதற்கான காரணங்கள்:

1. ஆய்வு செய்யப்படும் காரணி பண்புகள் நிகழ்வு அல்லது செயல்முறையின் அதே அம்சத்தை வகைப்படுத்துகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, உற்பத்தியின் அளவு மற்றும் நிலையான சொத்துக்களின் சராசரி வருடாந்திர செலவு ஆகியவற்றின் குறிகாட்டிகளை ஒரே நேரத்தில் சேர்க்க பரிந்துரைக்கப்படவில்லை, ஏனெனில் அவை இரண்டும் நிறுவனத்தின் அளவை வகைப்படுத்துகின்றன;

2. குறிகாட்டிகளின் காரணி பண்புகளாகப் பயன்படுத்தவும், அதன் மொத்த மதிப்பு நிலையான மதிப்பாகும்;

3. ஒருவருக்கொருவர் கூறுகளாக இருக்கும் காரணி பண்புகள்;

4. பொருளாதார அடிப்படையில் ஒன்றையொன்று நகலெடுக்கும் காரணி பண்புகள்.

5. குணாதிசயங்களுக்கிடையில் மல்டிகோலினியரிட்டி இருப்பதை தீர்மானிப்பதற்கான குறிகாட்டிகளில் ஒன்று, ஜோடிவரிசை தொடர்பு குணகம் 0.8 (rxi xj) ஐ விட அதிகமாக இருந்தால்.

பன்முகத்தன்மை விரும்பத்தகாத விளைவுகளுக்கு வழிவகுக்கும்:

1) அளவுரு மதிப்பீடுகள் நம்பகத்தன்மையற்றதாகி, பெரிய நிலையான பிழைகளை வெளிப்படுத்துகின்றன மற்றும் அவதானிப்புகளின் அளவின் மாற்றங்களுடன் மாறுகின்றன (அளவில் மட்டுமல்ல, அடையாளத்திலும்), இது மாதிரியை பகுப்பாய்வு மற்றும் முன்கணிப்புக்கு பொருத்தமற்றதாக ஆக்குகிறது.

2) பல பின்னடைவின் அளவுருக்கள் "தூய்மையான" வடிவத்தில் காரணிகளின் செயல்பாட்டின் பண்புகளாக விளக்குவது கடினம், ஏனெனில் காரணிகள் ஒன்றோடொன்று தொடர்புடையவை; நேரியல் பின்னடைவு அளவுருக்கள் பொருளாதார அர்த்தத்தை இழக்கின்றன;

3) செயல்திறன் காட்டி காரணிகளின் தனிமைப்படுத்தப்பட்ட செல்வாக்கை தீர்மானிக்க இயலாது.

மாடலில் அதிக தொடர்பு கொண்ட காரணிகளைச் சேர்ப்பது (Ryx1Rx1x2) பின்னடைவு குணகங்களின் நம்பகமற்ற மதிப்பீடுகளுக்கு வழிவகுக்கும். காரணிகளுக்கு இடையே அதிக தொடர்பு இருந்தால், செயல்திறன் குறிகாட்டியில் அவற்றின் தனிமைப்படுத்தப்பட்ட செல்வாக்கை தீர்மானிக்க முடியாது மற்றும் பின்னடைவு சமன்பாட்டின் அளவுருக்கள் விளக்கப்படாமல் மாறிவிடும். பல பின்னடைவில் சேர்க்கப்பட்டுள்ள காரணிகள் சுயாதீன மாறியின் மாறுபாட்டை விளக்க வேண்டும். காரணிகளின் தேர்வு தரமான தத்துவார்த்த மற்றும் பொருளாதார பகுப்பாய்வின் அடிப்படையில் செய்யப்படுகிறது, இது வழக்கமாக இரண்டு நிலைகளில் மேற்கொள்ளப்படுகிறது: முதலில், பிரச்சனையின் சாரத்தின் அடிப்படையில் காரணிகள் தேர்ந்தெடுக்கப்படுகின்றன; இரண்டாவதாக, பின்னடைவு அளவுருக்களுக்கான டி-புள்ளிவிவரங்கள் தொடர்பு குறிகாட்டிகளின் மேட்ரிக்ஸின் அடிப்படையில் தீர்மானிக்கப்படுகின்றன.

காரணிகள் கோலினியர் என்றால், அவை ஒன்றையொன்று நகலெடுக்கின்றன, மேலும் அவற்றில் ஒன்று பின்னடைவிலிருந்து விலக்க பரிந்துரைக்கப்படுகிறது. இந்த விஷயத்தில், முடிவுடன் மிகவும் நெருக்கமாக தொடர்புடையதாக இருந்தாலும், மற்ற காரணிகளுடன் மிகக் குறைந்த தொடர்பைக் கொண்டிருக்கும் காரணிக்கு முன்னுரிமை அளிக்கப்படுகிறது. இந்த தேவை பல பின்னடைவின் தனித்தன்மையை வெளிப்படுத்துகிறது, இது ஒருவருக்கொருவர் சுதந்திரமாக இருக்கும் சூழ்நிலைகளில் காரணிகளின் சிக்கலான தாக்கத்தை ஆய்வு செய்வதற்கான ஒரு முறையாகும்.

தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட சார்பற்ற மாறி மட்டுமே சார்பு மாறியை பாதிக்கும் காரணியாக இருக்க வாய்ப்பில்லை என்று முந்தைய பிரிவுகளில் குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது. பெரும்பாலான சந்தர்ப்பங்களில், சார்பு மாறியை ஏதோவொரு வகையில் பாதிக்கக்கூடிய ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட காரணிகளை நாம் அடையாளம் காணலாம். எனவே, எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு பட்டறையின் செலவுகள் வேலை செய்யும் மணிநேரங்களின் எண்ணிக்கை, பயன்படுத்தப்படும் மூலப்பொருட்கள் மற்றும் உற்பத்தி செய்யப்படும் பொருட்களின் எண்ணிக்கை ஆகியவற்றால் தீர்மானிக்கப்படும் என்று கருதுவது நியாயமானது. வெளிப்படையாக, பட்டறையின் செலவுகளை கணிக்க, நாங்கள் பட்டியலிட்டுள்ள அனைத்து காரணிகளையும் நீங்கள் பயன்படுத்த வேண்டும். செலவுகள், வேலை நேரம், பயன்படுத்தப்பட்ட மூலப்பொருட்கள் போன்றவற்றின் தரவுகளை நாம் சேகரிக்க முடியும். ஒரு வாரத்திற்கு அல்லது ஒரு மாதத்திற்கு ஆனால் ஒரு தொடர்பு வரைபடத்தின் மூலம் செலவுகள் மற்றும் மற்ற அனைத்து மாறிகளுக்கும் இடையிலான உறவின் தன்மையை எங்களால் ஆராய முடியாது. ஒரு நேரியல் உறவைப் பற்றிய அனுமானங்களுடன் ஆரம்பிக்கலாம், இந்த அனுமானம் ஏற்றுக்கொள்ள முடியாததாக இருந்தால் மட்டுமே நாம் ஒரு நேரியல் அல்லாத மாதிரியைப் பயன்படுத்த முயற்சிப்போம். பல பின்னடைவுக்கான நேரியல் மாதிரி:

y இன் மாறுபாடு அனைத்து சுயாதீன மாறிகளின் மாறுபாட்டால் விளக்கப்படுகிறது, இது ஒருவருக்கொருவர் சுயாதீனமாக இருக்க வேண்டும். எடுத்துக்காட்டாக, ஐந்து சுயாதீன மாறிகளைப் பயன்படுத்த முடிவு செய்தால், மாதிரி இருக்கும்:

எளிய நேரியல் பின்னடைவைப் போலவே, மாதிரியிலிருந்து மதிப்பீடுகளைப் பெறுகிறோம். மாதிரிக்கு சிறந்த வரி:

குணகம் a மற்றும் பின்னடைவு குணகங்கள் ஸ்கொயர் பிழைகளின் குறைந்தபட்ச தொகையைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகின்றன, மேலும் பின்னடைவு மாதிரிகளுக்கு, கொடுக்கப்பட்ட ஏதேனும் பிழையைப் பற்றி பின்வரும் அனுமானங்கள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன

2. மாறுபாடு சமமானது மற்றும் அனைத்து x க்கும் ஒரே மாதிரியானது.

3. பிழைகள் ஒன்றுக்கொன்று சார்பற்றவை.

இந்த அனுமானங்கள் எளிய பின்னடைவுக்கு சமமானவை. இருப்பினும், அவை மிகவும் சிக்கலான கணக்கீடுகளுக்கு வழிவகுக்கும். அதிர்ஷ்டவசமாக, கணக்கீடுகளைச் செய்வது, டோரஸ் மாதிரியை விளக்குவதற்கும் மதிப்பிடுவதற்கும் கவனம் செலுத்த அனுமதிக்கிறது. அடுத்த பகுதியில், பல பின்னடைவு ஏற்பட்டால் எடுக்க வேண்டிய படிகளை வரையறுப்போம், ஆனால் எந்தவொரு சந்தர்ப்பத்திலும் நாங்கள் கணினியை நம்பியுள்ளோம்.

படி 1. ஆரம்பத் தரவைத் தயாரித்தல்

முதல் படி பொதுவாக சார்பு மாறி ஒவ்வொரு சுயாதீன மாறிகளுடன் எவ்வாறு தொடர்புடையதாக இருக்கும் என்பதைப் பற்றி சிந்திக்கிறது. x இன் சார்பற்ற மாறிகளுக்கு எந்த அர்த்தமும் இல்லை, அவை மாறுபாட்டை விளக்குவதை சாத்தியமாக்கவில்லை என்றால், மாற்றத்தின் மாறுபாட்டை சுயாதீன மாறி x மூலம் விளக்குவது எங்கள் பணி என்பதை நினைவில் கொள்க. குணகங்கள் ஒருவருக்கொருவர் சுயாதீனமாக இருந்தால், அனைத்து ஜோடி மாறிகளுக்கும் தொடர்பு குணகத்தை நாம் கணக்கிட வேண்டும். x மற்றும் y கோடுகள் இணைக்கப்பட்டுள்ளதா என்பதை தீர்மானிக்க இது நமக்கு வாய்ப்பளிக்கும்! இல்லை, அவை ஒன்றுக்கொன்று சார்பற்றவையா? பல பதிவுகளில் இது முக்கியமானது, பிரிவு 8.5 இல் உள்ளதைப் போல, அவற்றின் மதிப்புகள் பூஜ்ஜியத்திலிருந்து எவ்வளவு வேறுபடுகின்றன என்பதைப் பார்க்க, மதிப்புகளுக்கு இடையே அதிக தொடர்பு உள்ளதா என்பதைக் கண்டறிய வேண்டும். தொடர்பில்லாத மாறிகள். எடுத்துக்காட்டாக, x க்கு இடையில் அதிக தொடர்பைக் கண்டால், இந்த இரண்டு மாறிகளும் இறுதி மாதிரியில் சேர்க்கப்பட வாய்ப்பில்லை.

படி 2. புள்ளியியல் ரீதியாக அனைத்து குறிப்பிடத்தக்க மாதிரிகளையும் அடையாளம் காணவும்

y மற்றும் மாறிகளின் எந்த கலவைக்கும் இடையிலான நேரியல் உறவை நாம் ஆராயலாம். ஆனால் y மற்றும் அனைத்து x க்கும் இடையே குறிப்பிடத்தக்க நேரியல் உறவு இருந்தால் மற்றும் ஒவ்வொரு பின்னடைவு குணகமும் பூஜ்ஜியத்திலிருந்து கணிசமாக வேறுபட்டால் மட்டுமே மாதிரி செல்லுபடியாகும்.

பூஜ்ஜியத்திலிருந்து கணிசமாக வேறுபட்டதா என்பதைத் தீர்மானிக்க ஒவ்வொரு குணகத்திற்கும் -test ஐப் பயன்படுத்தி ஒட்டுமொத்த மாதிரியின் முக்கியத்துவத்தை நாம் மதிப்பிடலாம். குணகம் μ பூஜ்ஜியத்திலிருந்து கணிசமாக வேறுபடவில்லை என்றால், தொடர்புடைய சார்பற்ற மாறி y இன் மதிப்பைக் கணிக்க உதவாது மற்றும் மாதிரி செல்லுபடியாகாது.

சுயாதீன மாறிகளின் அனைத்து சேர்க்கைகளுக்கும் பல பின்னடைவு மாதிரியைப் பொருத்துவதே முழுமையான செயல்முறையாகும். ஒட்டுமொத்த மாதிரிக்கான F சோதனை மற்றும் ஒவ்வொரு பின்னடைவு குணகத்திற்கான -cr சோதனையையும் பயன்படுத்தி ஒவ்வொரு மாதிரியையும் மதிப்பீடு செய்வோம். எஃப்-டெஸ்ட் அல்லது -குவாக் ஏதேனும் இருந்தால்! முக்கியமற்றவை, பின்னர் இந்த மாதிரி செல்லுபடியாகாது மற்றும் பயன்படுத்த முடியாது.

மாதிரிகள் கருத்தில் இருந்து விலக்கப்பட்டுள்ளன. இந்த செயல்முறை மிக நீண்ட நேரம் எடுக்கும். எடுத்துக்காட்டாக, நம்மிடம் ஐந்து சுயாதீன மாறிகள் இருந்தால், 31 மாதிரிகள் உருவாக்கப்படலாம்: ஐந்து மாறிகள் கொண்ட ஒரு மாதிரி, ஐந்து மாறிகளில் நான்கு உட்பட ஐந்து மாதிரிகள், மூன்று மாறிகள் கொண்ட பத்து, இரண்டு மாறிகள் கொண்ட பத்து, மற்றும் ஒன்றுடன் ஐந்து மாதிரிகள்.

சுயாதீன மாறிகளை தொடர்ச்சியாக நீக்குவதன் மூலம் அல்ல, ஆனால் அவற்றின் வரம்பை விரிவாக்குவதன் மூலம் பல பின்னடைவுகளைப் பெற முடியும். இந்த வழக்கில், ஒவ்வொரு சுயாதீன மாறிகளுக்கும் எளிய பின்னடைவுகளை உருவாக்குவதன் மூலம் தொடங்குகிறோம். இந்த பின்னடைவுகளில் சிறந்ததை நாங்கள் தேர்ந்தெடுக்கிறோம், அதாவது. மிக உயர்ந்த தொடர்பு குணகத்துடன், இதற்கு இரண்டாவது மாறியை சேர்க்கிறோம், இது மாறியின் மிகவும் ஏற்றுக்கொள்ளக்கூடிய மதிப்பு. பல பின்னடைவை உருவாக்கும் இந்த முறை நேரடி என்று அழைக்கப்படுகிறது.

தலைகீழ் முறையானது அனைத்து சுயாதீன மாறிகளையும் உள்ளடக்கிய மாதிரியை ஆராய்வதன் மூலம் தொடங்குகிறது; கீழே உள்ள எடுத்துக்காட்டில் ஐந்து உள்ளன. ஒட்டுமொத்த மாதிரிக்கு மிகச்சிறிய பங்களிப்பை வழங்கும் மாறி, நான்கு மாறிகளை மட்டுமே விட்டு, கருத்தில் இருந்து நீக்கப்படும். இந்த நான்கு மாறிகளுக்கு ஒரு நேரியல் மாதிரி வரையறுக்கப்படுகிறது. இந்த மாதிரி சரியாக இல்லாவிட்டால், சிறிய பங்களிப்பைச் செய்யும் மற்றொரு மாறி நீக்கப்படும், மூன்று மாறிகள் விட்டுவிடும். இந்த செயல்முறை பின்வரும் மாறிகள் மூலம் மீண்டும் மீண்டும் செய்யப்படுகிறது. ஒவ்வொரு முறையும் ஒரு புதிய மாறி அகற்றப்படும்போது, ​​​​ஒரு குறிப்பிடத்தக்க மாறி அகற்றப்படவில்லை என்பதை நீங்கள் சரிபார்க்க வேண்டும். இந்த செயல்கள் அனைத்தும் மிகுந்த கவனத்துடன் மேற்கொள்ளப்பட வேண்டும், ஏனெனில் நீங்கள் கவனக்குறைவாக தேவையான, குறிப்பிடத்தக்க மாதிரியை கருத்தில் இருந்து விலக்கலாம்.

எந்த முறையைப் பயன்படுத்தினாலும், பல குறிப்பிடத்தக்க வடிவங்கள் இருக்கலாம் மற்றும் அவை ஒவ்வொன்றும் அதிக முக்கியத்துவம் வாய்ந்ததாக இருக்கலாம்.

படி 3. அனைத்து குறிப்பிடத்தக்க மாடல்களிலிருந்தும் சிறந்த மாடலைத் தேர்ந்தெடுப்பது

மூன்று முக்கியமான மாதிரிகள் அடையாளம் காணப்பட்ட ஒரு உதாரணத்தின் உதவியுடன் இந்த செயல்முறையை விளக்கலாம். ஆரம்பத்தில் ஐந்து சுயாதீன மாறிகள் இருந்தன ஆனால் அவற்றில் மூன்று அனைத்து மாடல்களிலிருந்தும் விலக்கப்பட்டன. இந்த மாறிகள் y ஐ கணிக்க உதவாது.

எனவே, குறிப்பிடத்தக்க மாதிரிகள் மாறியது:

மாதிரி 1: y மட்டுமே கணிக்கப்பட்டுள்ளது

மாதிரி 2: y மட்டுமே கணிக்கப்பட்டுள்ளது

மாதிரி 3: y ஒன்றாக கணிக்கப்படுகிறது.

இந்த மாதிரிகளில் இருந்து தேர்வு செய்ய, தொடர்பு குணகத்தின் மதிப்புகள் மற்றும் எஞ்சியவற்றின் நிலையான விலகல் ஆகியவற்றைச் சரிபார்ப்போம், பல தொடர்பு குணகம் என்பது y இல் உள்ள "விளக்கப்படுத்தப்பட்ட" மாறுபாட்டின் விகிதமாகும். இரண்டு மாறிகள் கொண்ட எளிய பின்னடைவுக்கான ஜோடி தொடர்பு குணகம் போலவே கணக்கிடப்படுகிறது. y மற்றும் x இன் பல மதிப்புகளுக்கு இடையிலான உறவை விவரிக்கும் ஒரு மாதிரியானது பல தொடர்பு குணகத்தைக் கொண்டுள்ளது, அது நெருக்கமாக உள்ளது மற்றும் மதிப்பு மிகவும் சிறியது. பிபிபியில் அடிக்கடி முன்மொழியப்படும் நிர்ணய குணகம், மாதிரியால் பரிமாறப்படும் மாறுபாட்டின் சதவீதத்தை விவரிக்கிறது. 100% க்கு அருகில் இருக்கும் போது மாதிரி குறிப்பிடத்தக்கது.

இந்த எடுத்துக்காட்டில், மாடல் 1 மற்றும் 3 ஐ ஒப்பிடுவதே விருப்பமான மாடலாக இருந்தது. y அல்லது No இன் மதிப்பின் கணிப்பின் துல்லியத்தை இது கணிசமாக மேம்படுத்துகிறதா என்பதே கேள்வி! இந்த கேள்விக்கு பதிலளிக்க அடுத்த அளவுகோல் உதவும் - இது ஒரு தனிப்பட்ட எஃப்-அளவுகோல். பல பின்னடைவை உருவாக்குவதற்கான முழு செயல்முறையையும் விளக்கும் ஒரு உதாரணத்தைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

எடுத்துக்காட்டு 8.2. ஒரு பெரிய சாக்லேட் தொழிற்சாலையின் நிர்வாகம், அதன் நீண்டகால பிராண்டுகளில் ஒன்றின் விற்பனையை கணிக்க ஒரு மாதிரியை உருவாக்குவதில் ஆர்வமாக உள்ளது. பின்வரும் தரவுகள் சேகரிக்கப்பட்டன.

அட்டவணை 8.5. விற்பனை அளவை முன்னறிவிப்பதற்கான மாதிரியை உருவாக்குதல் (ஸ்கேன் பார்க்கவும்)

மாதிரி பயனுள்ளதாகவும் செல்லுபடியாகவும் இருக்க, நாம் ஹோவை நிராகரிக்க வேண்டும் மற்றும் மேலே விவரிக்கப்பட்ட இரண்டு அளவுகளின் விகிதத்தை F-சோதனை மதிப்பை ஏற்க வேண்டும்:

இந்தச் சோதனை ஒற்றை வால் (ஒரு வால்) ஆகும், ஏனெனில் பின்னடைவு காரணமாக சராசரி சதுரம் நாம் ஏற்றுக்கொள்ள பெரியதாக இருக்க வேண்டும் . முந்தைய பிரிவுகளில், நாங்கள் எஃப்-டெஸ்ட்டைப் பயன்படுத்தியபோது, ​​சோதனைகள் இருபக்கமாக இருந்தன, ஏனெனில் மாறுபாட்டின் பெரிய மதிப்பு, அது எதுவாக இருந்தாலும், மிக முக்கியமானது. பின்னடைவு பகுப்பாய்வில் விருப்பம் இல்லை - மேலே (நியூமரேட்டரில்) எப்போதும் பின்னடைவை விட y இன் மாறுபாடு இருக்கும். எச்சத்தில் உள்ள மாறுபாட்டை விட இது குறைவாக இருந்தால், y இல் உள்ள மாற்றங்களை மாதிரி விளக்காததால், ஹோவை ஏற்றுக்கொள்வோம். இந்த F-சோதனை மதிப்பு அட்டவணை ஒன்றுடன் ஒப்பிடப்படுகிறது:

எஃப்-டெஸ்டின் நிலையான விநியோக அட்டவணையில் இருந்து:

எங்கள் எடுத்துக்காட்டில், அளவுகோல் மதிப்பு:

எனவே, அதிக நம்பகத்தன்மையுடன் முடிவைப் பெற்றோம்.

பின்னடைவு குணகங்களின் ஒவ்வொரு மதிப்புகளையும் சரிபார்ப்போம். கணினி தேவையான அனைத்து அளவுகோல்களையும் கணக்கிட்டுள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம். முதல் குணகத்திற்கு, கருதுகோள்கள் பின்வருமாறு உருவாக்கப்படுகின்றன:

மற்ற மாறிகள் மாடலில் இருப்பதால், விற்பனையில் ஏற்படும் மாற்றத்தை விளக்க நேரம் உதவாது, அதாவது.

நேரம் குறிப்பிடத்தக்க பங்களிப்பைச் செய்கிறது மற்றும் மாதிரியில் சேர்க்கப்பட வேண்டும், அதாவது.

இரண்டு பக்க அளவுகோலைப் பயன்படுத்தி, -நிலையில் கருதுகோளைச் சோதிப்போம்:

இந்த மட்டத்தில் வரம்பு மதிப்புகள்:

அளவுகோல் மதிப்பு:

நாம் கருதுகோளை நிராகரிக்க, அளவுகோலின் கணக்கிடப்பட்ட மதிப்புகள் குறிப்பிட்ட எல்லைகளுக்கு வெளியே இருக்க வேண்டும்.

அரிசி. 8.20 இரண்டு-மாறி மாதிரிக்கான எச்சங்களின் விநியோகம்

உண்மையான விற்பனையிலிருந்து 10% அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட விலகல்களுடன் எட்டு பிழைகள் உள்ளன. அவற்றில் மிகப்பெரியது 27% ஆகும். செயல்பாடுகளைத் திட்டமிடும்போது பிழையின் அளவு நிறுவனத்தால் ஏற்றுக்கொள்ளப்படுமா? இந்த கேள்விக்கான பதில் மற்ற முறைகளின் நம்பகத்தன்மையைப் பொறுத்தது.

8.7 நேரியல் அல்லாத உறவுகள்

நம்மிடம் இரண்டு மாறிகள் மட்டுமே இருக்கும் சூழ்நிலைக்கு வருவோம், ஆனால் அவற்றுக்கிடையேயான உறவு நேரியல் அல்ல. நடைமுறையில், மாறிகளுக்கு இடையேயான பல உறவுகள் வளைவுகளாக உள்ளன. எடுத்துக்காட்டாக, உறவை சமன்பாட்டின் மூலம் வெளிப்படுத்தலாம்:

மாறிகளுக்கு இடையிலான உறவு வலுவாக இருந்தால், அதாவது. வளைவு மாதிரியிலிருந்து விலகல் ஒப்பீட்டளவில் சிறியது, பின்னர் வரைபடத்திலிருந்து (தொடர்பு புலம்) சிறந்த மாதிரியின் தன்மையை நாம் யூகிக்க முடியும். இருப்பினும், மாதிரி மக்கள்தொகைக்கு நேரியல் அல்லாத மாதிரியைப் பயன்படுத்துவது கடினம். நேரியல் வடிவில் அல்லாத நேரியல் மாதிரியை நாம் கையாள முடிந்தால் அது எளிதாக இருக்கும். பதிவுசெய்யப்பட்ட முதல் இரண்டு மாதிரிகளில், செயல்பாடுகளுக்கு வெவ்வேறு பெயர்களைக் கொடுக்கலாம் மற்றும் பல பின்னடைவு மாதிரி பயன்படுத்தப்படும். உதாரணமாக, மாதிரி என்றால்:

y மற்றும் x க்கு இடையே உள்ள உறவை சிறப்பாக விவரிக்கிறது, பின்னர் நாம் சுயாதீன மாறிகளைப் பயன்படுத்தி எங்கள் மாதிரியை மீண்டும் எழுதுகிறோம்

இந்த மாறிகள் சாதாரண சார்பற்ற மாறிகளாகக் கருதப்படுகின்றன, x ஒருவருக்கொருவர் சுயாதீனமாக இருக்க முடியாது என்று நமக்குத் தெரிந்தாலும் கூட. முந்தைய பிரிவில் உள்ளதைப் போலவே சிறந்த மாதிரி தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டது.

மூன்றாவது மற்றும் நான்காவது மாதிரிகள் வித்தியாசமாக கருதப்படுகின்றன. இங்கே நாம் ஏற்கனவே நேரியல் மாற்றம் என்று அழைக்கப்படுவதற்கான தேவையை எதிர்கொள்கிறோம். உதாரணமாக, இணைப்பு என்றால்

பின்னர் வரைபடத்தில் அது ஒரு வளைந்த கோட்டால் சித்தரிக்கப்படும். தேவையான அனைத்து செயல்களையும் பின்வருமாறு குறிப்பிடலாம்:

அட்டவணை 8.10. கணக்கீடு

அரிசி. 8.21 நேரியல் அல்லாத இணைப்பு

லீனியர் மாடல், மாற்றப்பட்ட இணைப்புடன்:

அரிசி. 8.22 நேரியல் தொடர்பு மாற்றம்

பொதுவாக, அசல் வரைபடம், உறவை வடிவத்தில் சித்தரிக்க முடியும் என்பதைக் காட்டினால்: y மற்றும் x ஐக் குறிக்கும் இடத்தில் ஒரு நேர்கோடு வரையறுக்கப்படும். மாதிரியை நிறுவ எளிய நேரியல் பின்னடைவைப் பயன்படுத்துவோம்: a இன் கணக்கிடப்பட்ட மதிப்புகள் மற்றும் அவை a மற்றும் (5.

மேலே உள்ள நான்காவது மாதிரியானது இயற்கை மடக்கையைப் பயன்படுத்தி y ஐ மாற்றுவதை உள்ளடக்கியது:

சமன்பாட்டின் இருபுறமும் உள்ள மடக்கைகளை எடுத்துக் கொண்டால், நாம் பெறுகிறோம்:

எனவே: எங்கே

என்றால், Y மற்றும் x க்கு இடையிலான நேரியல் உறவின் சமன்பாடு. y மற்றும் x க்கு இடையேயான உறவாக இருக்கட்டும், பின்னர் e இன் மடக்கையை எடுத்து y இன் ஒவ்வொரு மதிப்பையும் மாற்ற வேண்டும், A இன் மதிப்புகளைக் கண்டறிய x ஐப் பொறுத்து ஒரு எளிய நேரியல் பின்னடைவை வரையறுப்போம் மற்றும் எதிர் மடக்கை கீழே எழுதப்பட்டுள்ளது. .

எனவே, நேரியல் பின்னடைவு முறையை நேரியல் அல்லாத உறவுகளுக்குப் பயன்படுத்தலாம். இருப்பினும், இந்த வழக்கில், அசல் மாதிரியை எழுதும் போது ஒரு இயற்கணித மாற்றம் தேவைப்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டு 8.3. பின்வரும் அட்டவணையில் ஒரு குறிப்பிட்ட நாட்டின் மொத்த ஆண்டு தொழில்துறை உற்பத்தி குறித்த தரவு உள்ளது