நேரியல் அல்லாத சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான எண் முறைகள். நாண் முறை

3. நாண் முறை

f(x) = 0 என்ற சமன்பாட்டை கொடுக்கலாம், அங்கு f(x) - தொடர்ச்சியான செயல்பாடு, இடைவெளியில் (a, b) முதல் மற்றும் இரண்டாவது வரிசைகளின் வழித்தோன்றல்களைக் கொண்டுள்ளது. வேர் பிரிக்கப்பட்டதாகக் கருதப்படுகிறது மற்றும் பிரிவில் அமைந்துள்ளது.

நாண் முறையின் யோசனை என்னவென்றால், போதுமான சிறிய இடைவெளியில் வளைவின் வளைவு y = f (x) ஒரு நாண் மூலம் மாற்றப்படலாம் மற்றும் அப்சிஸ்ஸா அச்சுடன் வெட்டும் புள்ளியை தோராயமான மதிப்பாக எடுத்துக் கொள்ளலாம். வேர். முதல் மற்றும் இரண்டாவது வழித்தோன்றல்கள் ஒரே அறிகுறிகளைக் கொண்டிருக்கும்போது (படம் 1) வழக்கைக் கருத்தில் கொள்வோம், அதாவது. f "(x)f ²(x) > 0. பின்னர் A0 மற்றும் B புள்ளிகள் வழியாக செல்லும் நாண் சமன்பாடு வடிவம் கொண்டது

y = 0 என வரையறுக்கப்பட்ட ரூட் தோராயமான x = x1

.

இதேபோல், A1 மற்றும் B புள்ளிகள் வழியாக செல்லும் நாண்க்கு, ரூட்டின் பின்வரும் தோராயம் கணக்கிடப்படுகிறது

.

பொதுவாக, நாண் முறைக்கான சூத்திரம் வடிவம் கொண்டது:

. (2)

முதல் மற்றும் இரண்டாவது வழித்தோன்றல்கள் இருந்தால் வெவ்வேறு அறிகுறிகள், அதாவது

f "(x)f "(x)< 0,

x* மூலத்திற்கான அனைத்து அணுகுமுறைகளும் படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளபடி, பிரிவின் வலது எல்லையில் இருந்து செய்யப்படுகின்றன. 2, மற்றும் சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது:

. (3)

ஒவ்வொரு குறிப்பிட்ட வழக்கிலும் சூத்திரத்தின் தேர்வு f(x) செயல்பாட்டின் வகையைச் சார்ந்தது மற்றும் விதியின்படி மேற்கொள்ளப்படுகிறது: ரூட் தனிமைப் பிரிவின் எல்லை, செயல்பாட்டின் அடையாளம் இரண்டாவது வழித்தோன்றலின் அடையாளத்துடன் ஒத்துப்போகிறது. சரி செய்யப்பட்டது. F(b)f "(b) > 0 எனும் போது ஃபார்முலா (2) பயன்படுத்தப்படுகிறது. சமத்துவமின்மை f(a)f "(a) > 0 உண்மையாக இருந்தால், சூத்திரம் (3) ஐப் பயன்படுத்துவது நல்லது.

அரிசி. 1 படம். 2

அரிசி. 3 படம். 4

கொடுக்கப்பட்ட அளவிலான துல்லியத்துடன் தோராயமான ரூட் கிடைக்கும் வரை நாண் முறையின் மறுசெயல்முறை தொடர்கிறது. தோராய பிழையை மதிப்பிடும் போது, ​​நீங்கள் பின்வரும் உறவைப் பயன்படுத்தலாம்:

.

கணக்கீடுகளை முடிப்பதற்கான நிபந்தனை பின்வருமாறு எழுதப்பட்டுள்ளது:

இதில் e என்பது குறிப்பிடப்பட்ட கணக்கீட்டு பிழை. ஒரு ரூட்டைக் கண்டுபிடிக்கும் போது, ​​நாண் முறையானது, முறையை விட வேகமான ஒருங்கிணைப்பை வழங்குகிறது என்பதைக் கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும். பாதி பிரிவு.

4. நியூட்டனின் முறை (தொடுகோடுகள்)

சமன்பாடு (1) இடைவெளியில் ஒரு ரூட்டைக் கொண்டிருக்கட்டும், மேலும் f "(x) மற்றும் f "(x) ஆகியவை தொடர்ச்சியாகவும், முழு இடைவெளியிலும் நிலையான குறிகளைத் தக்கவைத்துக் கொள்ளவும்.

நியூட்டனின் முறையின் வடிவியல் பொருள் என்னவென்றால், வளைவின் வளைவு y = f(x) ஒரு தொடுகால் மாற்றப்படுகிறது. இதைச் செய்ய, இடைவெளியில் ரூட் x0 இன் சில ஆரம்ப தோராயத்தைத் தேர்ந்தெடுத்து, C0(x0, f(x0)) வளைவு y = f(x) க்கு x-அச்சு வெட்டும் வரை ஒரு தொடுகோடு வரையவும் (படம். 3) புள்ளி C0 இல் உள்ள தொடுகோடு சமன்பாடு வடிவம் கொண்டது

பின்னர் புதிய புள்ளி C1(x1, f(x1)) வழியாக ஒரு தொடுகோடு வரையப்படுகிறது மற்றும் 0x அச்சுடன் அதன் குறுக்குவெட்டின் புள்ளி x2 தீர்மானிக்கப்படுகிறது. பொதுவாக, தொடுகோடு முறைக்கான சூத்திரம்:

கணக்கீடுகளின் விளைவாக, தோராயமான மதிப்புகளின் வரிசை x1, x2, ..., xi, ... பெறப்படுகிறது, அதன் ஒவ்வொரு அடுத்த உறுப்பினரும் முந்தையதை விட ரூட் x* க்கு நெருக்கமாக உள்ளது. நிபந்தனை (4) பூர்த்தி செய்யப்படும்போது மீண்டும் மீண்டும் செயல்முறை நிறுத்தப்படும்.

ஆரம்ப தோராயமான x0 நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்ய வேண்டும்:

f(x0) f ¢¢(x0) > 0. (6)

இல்லையெனில், நியூட்டனின் முறையின் ஒருங்கிணைப்புக்கு உத்தரவாதம் இல்லை, ஏனெனில் தொடுகோடு x-அச்சு பகுதியைச் சேராத ஒரு புள்ளியில் வெட்டும். நடைமுறையில், இடைவெளியின் எல்லைகளில் ஒன்று வழக்கமாக ரூட் x0 இன் ஆரம்ப தோராயமாக தேர்ந்தெடுக்கப்படுகிறது, அதாவது. x0 = a அல்லது x0 = b, செயல்பாட்டின் அடையாளம் இரண்டாவது வழித்தோன்றலின் அடையாளத்துடன் ஒத்துப்போகிறது.

நியூட்டனின் முறையானது சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும் போது ஒரு அதிவேக ஒருங்கிணைப்பை வழங்குகிறது, அதற்கான வழித்தோன்றல் ½f ¢(x)½ ரூட்டிற்கு அருகில் உள்ளது, அதாவது. வேரின் அருகில் உள்ள y = f(x) செயல்பாட்டின் வரைபடம் பெரிய சாய்வைக் கொண்டுள்ளது. இடைவெளியில் வளைவு y = f(x) கிட்டத்தட்ட கிடைமட்டமாக இருந்தால், தொடுகோடு முறையைப் பயன்படுத்துவது பரிந்துரைக்கப்படவில்லை.

பரிசீலிக்கப்பட்ட முறையின் குறிப்பிடத்தக்க குறைபாடு, செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்களை மறுசெயல்முறை செயல்முறையை ஒழுங்கமைக்க வேண்டும். இடைவெளியில் f ¢(x) மதிப்பு சிறிது மாறினால், கணக்கீடுகளை எளிதாக்க நீங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தலாம்

, (7)

அந்த. தொடக்கப் புள்ளியில் ஒரு முறை மட்டுமே வழித்தோன்றல் மதிப்பைக் கணக்கிட போதுமானது. வடிவியல் ரீதியாக, அதாவது, i = 1, 2, ... என்ற புள்ளிகளில் உள்ள தொடுகோடுகள் y = f(x) வளைவுக்கு வரையப்பட்ட தொடுகோட்டுக்கு இணையான நேர் கோடுகளால் மாற்றப்படுகின்றன. ஆரம்ப புள்ளியில் C0(x0 , f(x0)), படம் காட்டப்பட்டுள்ளது. 4.

முடிவில், சமன்பாட்டின் உண்மையான ரூட் x* க்கு அருகில் ஆரம்ப தோராயமான x0 தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டால் மேலே உள்ள அனைத்தும் உண்மையாக இருக்கும் என்பதைக் கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும். இருப்பினும், இதைச் செய்வது எப்போதும் எளிதானது அல்ல. எனவே, நியூட்டனின் முறையானது சில நம்பகத்தன்மையுடன் ஒன்றிணைந்த அல்காரிதத்தை இயக்கிய பிறகு சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும் இறுதி கட்டத்தில் பயன்படுத்தப்படுகிறது, எடுத்துக்காட்டாக, பிளவு முறை.

5. எளிய மறு செய்கை முறை

சமன்பாட்டை (1) தீர்க்க இந்த முறையைப் பயன்படுத்த, அதை வடிவத்திற்கு மாற்றுவது அவசியம். அடுத்து, ஆரம்ப தோராயமானது தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டு x1 கணக்கிடப்படுகிறது, பின்னர் x2, முதலியன:

x1 = j(x0); x2 = j(x1); ...; xk = j(xk-1); ...

நேரியல் அல்லாத இயற்கணித சமன்பாடுவேர்

பின்வரும் நிபந்தனைகள் பூர்த்தி செய்யப்பட்டால், இதன் விளைவாக வரும் வரிசை ரூட்டுடன் ஒன்றிணைகிறது:

1) செயல்பாடு j(x) இடைவெளியில் வேறுபடுகிறது.

2) இந்த இடைவெளியின் எல்லா புள்ளிகளிலும் j¢(x) சமத்துவமின்மையை நிறைவு செய்கிறது:

0 £ q £ 1. (8)

இத்தகைய நிலைமைகளின் கீழ், ஒருங்கிணைப்பு விகிதம் நேரியல் ஆகும், மேலும் நிபந்தனை உண்மையாகும் வரை மறு செய்கைகள் செய்யப்பட வேண்டும்:

.

வகை அளவுகோல்

0 £ q £ ½ இல் மட்டுமே பயன்படுத்த முடியும். இல்லையெனில், மறு செய்கைகள் குறிப்பிட்ட துல்லியத்தை அடையாமல், முன்கூட்டியே முடிவடையும். qஐக் கணக்கிடுவது கடினமாக இருந்தால், படிவத்தின் இறுதி அளவுகோலைப் பயன்படுத்தலாம்

; .

சாத்தியம் பல்வேறு வழிகளில்சமன்பாட்டை (1) வடிவத்திற்கு மாற்றுகிறது. நிபந்தனையை (8) திருப்திப்படுத்தும் ஒன்றைத் தேர்ந்தெடுக்க வேண்டும், இது ஒரு ஒருங்கிணைந்த மறுசெயல்முறையை உருவாக்குகிறது, எடுத்துக்காட்டாக, படம். 5,6

அரிசி. 5

அரிசி. 6

அரிசி. 7

முடிவுரை

கணக்கீடுகளின் தரத்தை மேம்படுத்துவதில் சிக்கல் நேரியல் அல்லாத சமன்பாடுகள்பல்வேறு முறைகளைப் பயன்படுத்தி, விரும்பிய மற்றும் உண்மையானவற்றுக்கு இடையே உள்ள முரண்பாடு எவ்வாறு உள்ளது மற்றும் எதிர்காலத்தில் தொடர்ந்து இருக்கும். அதன் தீர்வு வளர்ச்சியால் எளிதாக்கப்படும் தகவல் தொழில்நுட்பங்கள், தகவல் செயல்முறைகளை ஒழுங்கமைப்பதற்கான மேம்படுத்தும் முறைகள் மற்றும் குறிப்பிட்ட கருவிகளைப் பயன்படுத்தி அவற்றை செயல்படுத்துதல் - சூழல்கள் மற்றும் நிரலாக்க மொழிகள் ஆகிய இரண்டையும் கொண்டுள்ளது.

பயன்படுத்தப்பட்ட ஆதாரங்களின் பட்டியல்

1. Alekseev V. E., Vaulin A. S., Petrova G. B. - கணினி தொழில்நுட்பம் மற்றும் நிரலாக்க. நிரலாக்க பட்டறை: நடைமுறை கையேடு/ -எம்.: உயர். பள்ளி , 1991. - 400 பக்.

2. அப்ரமோவ் எஸ்.ஏ., ஜிமா ஈ.வி. - பாஸ்கலில் நிரலாக்கத்தைத் தொடங்கினார். - எம்.: நௌகா, 1987. -112 பக்.

3. கணினி தொழில்நுட்பம் மற்றும் நிரலாக்கம்: Proc. தொழில்நுட்பத்திற்காக. பல்கலைக்கழகங்கள்/ ஏ.வி. பெட்ரோவ், வி.இ. அலெக்ஸீவ், ஏ.எஸ். வௌலின் மற்றும் பலர் - எம்.: உயர். பள்ளி, 1990 - 479 ப.

4. குசெவ் வி.ஏ., மொர்ட்கோவிச் ஏ.ஜி. - கணிதம்: குறிப்பு. பொருட்கள்: புத்தகம். மாணவர்களுக்கு. - 2வது பதிப்பு. - எம்.: கல்வி, 1990. - 416 பக்.

தோராயமான தீர்வின் புள்ளி, அதாவது அடுத்தடுத்த தோராயங்கள் (4) சூத்திரங்களின்படி கட்டமைக்கப்படுகின்றன: , (9) சரியான தீர்வுக்கான ஆரம்ப தோராயம் எங்கே. 4.5 ஒரு நேர்கோட்டு சமன்பாட்டின் அடிப்படையில் சீடெல் முறை, நேரியல் சமன்பாட்டின் (7) அடிப்படையில், நேரியல் அல்லாத சமன்பாட்டின் (2) தோராயமான தீர்வை உருவாக்குவதற்கான மறுசெயல்முறை சூத்திரம் படிவத்தைக் கொண்டுள்ளது: 4.6 செங்குத்தான வம்சாவளி முறை முறைகள்...

வழிமுறைகள். F(x) என்ற வெளிப்பாட்டை உள்ளிட்டு, அடுத்து என்பதைக் கிளிக் செய்யவும். இதன் விளைவாக தீர்வு வேர்ட் கோப்பில் சேமிக்கப்படும். எக்செல் இல் ஒரு தீர்வு வார்ப்புருவும் உருவாக்கப்பட்டுள்ளது. கீழே ஒரு வீடியோ வழிமுறை உள்ளது.

ஒரு செயல்பாட்டை உள்ளிடுவதற்கான விதிகள்

மேலும் கருத்தில் கொள்வோம் விரைவான வழி f(a)f(b) என்ற அனுமானத்தின் கீழ், இடைவெளியில் மூலத்தைக் கண்டறிதல்<0.
f’’(x)>0 f’’(x)<0
f(b)f''(b)>0 f(a)f''(a)>0


படம்.1a படம். 1b

படம் 1a ஐப் பார்ப்போம். புள்ளிகள் A மற்றும் B மூலம் ஒரு நாண் வரைவோம். நாண் சமன்பாடு
.
புள்ளியில் x=x 1, y=0, இதன் விளைவாக நாம் ரூட்டின் முதல் தோராயத்தைப் பெறுகிறோம்
. (3.8)
நிபந்தனைகளை சரிபார்க்கிறது
(அ) ​​f(x 1)f(b)<0,
(b) f(x 1)f(a)<0.
நிபந்தனை (a) திருப்தி அடைந்தால், சூத்திரத்தில் (3.8) நாம் புள்ளி a ஐ x 1 உடன் மாற்றுவோம்.

.

இந்த செயல்முறையைத் தொடர்ந்து, n வது தோராயத்தைப் பெறுகிறோம்
. (3.9)
இங்கே முடிவு a நகரக்கூடியது, அது f(x i)f(b)<0. Аналогичная ситуация на рис 2а.
முடிவு a நிர்ணயிக்கப்படும்போது வழக்கைக் கருத்தில் கொள்வோம்.
f''(x)<0 f’’(x)>0
f(b)f''(b)<0 f(a)f’’(a)<0


Fig.2a படம்.2b

படம் 1b இல், 2b f(x i)f(a) செயல்படுத்தப்படுகிறது<0. Записав уравнение хорды, мы на первом шаге итерационного процесса получим x 1 (см. (3.8)). Здесь выполняется f(x 1)f(a)<0. Затем вводим b 1 =x 1 (в формуле (3.8) точку b заменяем на x 1), получим
.

செயல்முறையைத் தொடர்ந்து, நாங்கள் சூத்திரத்திற்கு வருகிறோம்
. (3.10)
செயல்முறையை நிறுத்துதல்

|x n – x n-1 |<ε; ξ≈x n

அரிசி. 3
படம். 3 இல் f’’(x) அடையாளத்தை மாற்றுகிறது, எனவே இரு முனைகளும் நகரக்கூடியதாக இருக்கும்.
நாண் முறையின் செயல்பாட்டு செயல்முறையின் ஒருங்கிணைப்பு பற்றிய கேள்விக்கு செல்வதற்கு முன், ஒரு குவிந்த செயல்பாட்டின் கருத்தை நாங்கள் அறிமுகப்படுத்துகிறோம்.

வரையறை.எந்த இரண்டு புள்ளிகள் x 1 ,x 2 திருப்திகரமாக a≤x 1 இருந்தால் ஒரு செயல்பாடு குவிந்த (குழிவான) எனப்படும். f(αx 1 + (1-α)x 2) ≤ αf(x 1) + (1-α)f(x 2) - குவிந்த.
f(αx 1 + (1-α)x 2) ≥ αf(x 1) + (1-α)f(x 2) - குழிவான
ஒரு குவிந்த செயல்பாட்டிற்கு f''(x)≥0.
ஒரு குழிவான செயல்பாட்டிற்கு f''(x)≤0

தேற்றம் 3. f(x) செயல்பாடு குவிந்த (குழிவான) பிரிவில் இருந்தால், எந்தப் பிரிவிலும் f(x) செயல்பாட்டின் வரைபடம் x 1 மற்றும் x 2 உடன் வரைபடப் புள்ளிகள் வழியாக செல்லும் நாண் விட அதிகமாக (குறைவாக இல்லை) இல்லை.

ஆதாரம்:

ஒரு குவிந்த செயல்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்வோம். நாண் சமன்பாடு: x 1 மற்றும் x 2 வழியாகச் செல்வது வடிவம் கொண்டது:
.
புள்ளி c= αx 1 + (1-α)x 2 ஐக் கவனியுங்கள், இங்கு aО

மறுபுறம், குவிந்த செயல்பாட்டின் வரையறையின்படி நாம் f(αx 1 + (1-α)x 2) ≤ αf 1 + (1-α)f 2 ; எனவே f(c) ≤ g(c) போன்றவை.

ஒரு குழிவான செயல்பாட்டிற்கு ஆதாரம் ஒத்ததாகும்.
ஒரு குவிந்த (குழிவான) செயல்பாட்டிற்கான மறுசெயல் செயல்முறையின் ஒருங்கிணைப்பின் ஆதாரத்தை நாங்கள் பரிசீலிப்போம்.

தேற்றம் 4.ஒரு தொடர்ச்சியான, இருமுறை வேறுபடுத்தக்கூடிய செயல்பாடு f(x) மீது கொடுக்கப்பட்டு f(a)f(b)<0, а f’(x) и f’’(x) сохраняют свои знаки на (см. рис 1а,1б и рис 2а,2б). Тогда итерационный процесс метода хорд сходится к корню ξ с любой наперед заданной точностью ε.
ஆதாரம்:உதாரணத்திற்கு f(a)f''(a)<0 (см рис 1а и 2а). Из формулы (9) следует, что x n >x n -1 இலிருந்து (b-x n -1)>0, மற்றும் f n -1 /(f b -f n -1)<0. Это справедливо для любого n, то есть получаем возрастающую последовательность чисел
a≤x 0 அனைத்து தோராயங்களும் x n என்பதை இப்போது நிரூபிப்போம்< ξ, где ξ - корень. Пусть x n -1 < ξ. Покажем, что x n тоже меньше ξ. Введем
. (3.11)
எங்களிடம் உள்ளது
(3.12)
(அதாவது, நாண் மீது x n புள்ளியில் உள்ள y(x) செயல்பாட்டின் மதிப்பு f(ξ) உடன் ஒத்துப்போகிறது).
இருந்து, பின்னர் (3.12) இருந்து அது பின்வருமாறு
அல்லது
. (3.13)
அத்திப்பழத்திற்கு. 1a, எனவே
அல்லது
அதாவது, முதலியன (பார்க்க (3.11)).
படம் 2a க்கு. இதன் விளைவாக, (3.12) இலிருந்து நாம் பெறுகிறோம்
பொருள்
ஏனெனில் முதலியன
படம் 1b மற்றும் படம் 2b க்கு ஒத்த ஆதாரம். இவ்வாறு, எண்களின் வரிசை ஒருமுகமானது என்பதை நிரூபித்துள்ளோம்.
a≤x 0 a≤ξ இதன் பொருள், எந்த ε க்கும் |x n - ξ | போன்ற n ஐக் குறிப்பிடலாம்<ε. Теорема доказана.
நாண் முறையின் ஒருங்கிணைப்பு குணகத்துடன் நேரியல் ஆகும் .
, (3.14)
m 1 =min|f’(x)|, M 1 =max|f’(x)|.
இது பின்வரும் சூத்திரங்களிலிருந்து பின்பற்றப்படுகிறது. ஒரு நிலையான முடிவு b மற்றும் f(b)>0 ஆகியவற்றைக் கருத்தில் கொள்வோம்.
எங்களிடம் இருந்து (3.9) . இங்கிருந்து
. அதைக் கருத்தில் கொண்டு எழுதலாம் அல்லது
.
(ξ-x n -1) வலது பக்கத்தின் வகுப்பில் (b-x n -1) மாற்றுதல் மற்றும் அதை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்வது (ξ-x n -1)< (b-x n -1), получим , இது நிரூபிக்கப்பட வேண்டும் (சமத்துவமின்மை (3.14) பார்க்கவும்).
படம். 3 (f’’(x) மாற்றங்களின் அடையாளத்தை மாற்றுவதற்கான சான்று; பொது வழக்கில், f’ மற்றும் f’’ இரண்டும் அறிகுறிகளை மாற்றலாம்) மிகவும் சிக்கலானது மற்றும் இங்கே கொடுக்கப்படவில்லை.

சிக்கல்களில், f(x) = 0 சமன்பாட்டின் உண்மையான வேர்களின் எண்ணிக்கையைத் தீர்மானிக்கவும், இந்த வேர்களைப் பிரித்து, நாண்கள் மற்றும் தொடுகோடுகளின் முறையைப் பயன்படுத்தி, அவற்றின் தோராயமான மதிப்புகளை 0.001 துல்லியத்துடன் கண்டறியவும்.

நாண் முறை -மிகவும் பொதுவான செயல்பாட்டு முறைகளில் ஒன்று. என்றும் அழைக்கப்படுகிறது நேரியல் இடைக்கணிப்பு முறை, விகிதாசார பகுதிகளின் முறை.

நாண் முறையின் யோசனை என்னவென்றால், போதுமான சிறிய பிரிவில் ஒரு வளைவின் வளைவு மணிக்கு=f (x) ஒரு நாண் மற்றும் அச்சுடன் நாண் வெட்டும் புள்ளியின் abscissa மூலம் மாற்றப்படுகிறது எருதுவேரின் தோராயமாகும்.

படம் 2 - நியூட்டனின் முறையின் வடிவியல் விளக்கம்.

திட்டவட்டமாக இருக்கட்டும் f" (x)> 0,f""(எக்ஸ்)>0,f(A)<0,f(b)> 0 (படம் 3, அ). விரும்பிய வேரின் ஆரம்ப தோராயமாக எடுத்துக் கொள்வோம் எக்ஸ்*மதிப்புகள் x 0 =a. புள்ளிகள் a 0 மற்றும் B மூலம் நாம் ஒரு நாண் வரைகிறோம் மற்றும் ரூட்டின் முதல் தோராயத்திற்கு எக்ஸ்*அச்சுடன் நாண் வெட்டும் புள்ளியின் abscissa x 1 ஐ எடுக்கவும் ஓ.இப்போது தோராயமான மதிப்பு எக்ஸ்[x 1] பிரிவில் நாண் முறையைப் பயன்படுத்தினால் 1 ரூட்டைத் தெளிவுபடுத்தலாம் ; பி]. அப்சிஸ்ஸா எக்ஸ் chordA 1B இன் 2 வெட்டுப்புள்ளிகள் ரூட்டின் மற்றொரு தோராயமாக இருக்கும். இந்த செயல்முறையை மேலும் தொடர்ந்து, நாம் வரிசையைப் பெறுகிறோம் x 0, x 1, x 2,..., x k,... தோராயமான ரூட் மதிப்புகள் எக்ஸ்*இந்த சமன்பாட்டின்.

எனவே, நாண் முறையை பின்வருமாறு எழுதலாம்:

, k=0, 1.2, …, (8)

பொது வழக்கில், செயல்பாட்டின் அடையாளம் இருக்கும் தனிமைப்படுத்தப்பட்ட வேரின் ஒரு பிரிவின் நிலையான முடிவு f(x)இரண்டாவது வழித்தோன்றலின் அடையாளத்துடன் ஒத்துப்போகிறது, மேலும் ஆரம்ப தோராயமான x 0 க்கு நாம் பிரிவின் புள்ளியை எடுக்கலாம் [ ஏ; பி], இதில் f(x 0)×f"’(x 0)< 0.

உதாரணமாக, எப்போது f (a)>0,f (b)<0,f"(x)< 0,f"(x)< 0 (படம் 3, b) முடிவு பிபிரிவு [ ஏ; பி] நிலையானது.

என்றால் f(அ)>0, f(b)< 0,f"(எக்ஸ்)< 0, f"( எக்ஸ்)>0 (படம் 3, c), அல்லது f(A)<0,f(b)>0,f'(எக்ஸ்)>0,f"'(எக்ஸ்)<0 (рис. 3,ஜி),புள்ளி a என்பது பிரிவின் நிலையான முடிவு [ ஏ; பி].

பின்வரும் தேற்றம் நாண் முறையின் ஒருங்கிணைப்புக்கு போதுமான நிபந்தனைகளை வழங்குகிறது.

படம் 3. - நாண் முறையின் வடிவியல் விளக்கம்

தேற்றம்.பிரிவில் விடுங்கள் [ ஏ; பி] செயல்பாடு f (எக்ஸ்)அதன் இரண்டாம் வரிசை வழித்தோன்றல்களை உள்ளடக்கிய மற்றும் f(a)×f(b)<0, а производные f" (எக்ஸ்)மற்றும் f" (எக்ஸ்)அவர்களின் அடையாளங்களை வைத்திருங்கள் [ ஏ; பி], பின்னர் இது போன்ற ஒரு வேர் வட்டம் உள்ளது எக்ஸ்*சமன்பாடுகள் f(எக்ஸ்)=0, இது எந்த ஆரம்ப தோராயத்திற்கும் எக்ஸ்இந்த வட்டத்தின் 0 வரிசை (x k), சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகிறது (8), ரூட்டுடன் ஒன்றிணைகிறது எக்ஸ்*.

நாண் முறை - கருத்து மற்றும் வகைகள். வகைப்பாடு மற்றும் அம்சங்கள் "நாண்களின் முறை." 2017, 2018.

மறு செய்கை முறை

சமன்பாட்டிற்கான எளிய மறு செய்கை முறை f(எக்ஸ்) = 0 பின்வருமாறு:

1) அசல் சமன்பாடு மறு செய்கைகளுக்கு வசதியான வடிவமாக மாற்றப்படுகிறது:

எக்ஸ் = φ (எக்ஸ்). (2.2)

2) ஆரம்ப தோராயத்தைத் தேர்ந்தெடுக்கவும் எக்ஸ் 0 மற்றும் மறு செய்கை சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி அடுத்தடுத்த தோராயங்களைக் கணக்கிடவும்
x கே = φ (x கே -1), கே =1,2, ... (2.3)

மறு செய்கை வரிசையின் வரம்பு இருந்தால், அது சமன்பாட்டின் வேர் ஆகும் f(எக்ஸ்) = 0, அதாவது. f(ξ ) =0.

ஒய் = φ (எக்ஸ்)

ஒரு x 0 எக்ஸ் 1 எக்ஸ் 2 ξ பி

அரிசி. 2. குவிந்த மறு செய்கை செயல்முறை

படத்தில். மறு செய்கை முறையைப் பயன்படுத்தி அடுத்த தோராயத்தைப் பெறுவதற்கான செயல்முறையை படம் 2 காட்டுகிறது. தோராயங்களின் வரிசை ரூட்டுடன் ஒன்றிணைகிறது ξ .

மறு செய்கை முறையைப் பயன்படுத்துவதற்கான கோட்பாட்டு அடிப்படையானது பின்வரும் தேற்றத்தால் வழங்கப்படுகிறது.

தேற்றம் 2.3. பின்வரும் நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்யட்டும்:

1) சமன்பாட்டின் வேர் எக்ஸ்= φ(x)பிரிவைச் சேர்ந்தது [ ஏ, பி];

2) அனைத்து செயல்பாட்டு மதிப்புகள் φ (எக்ஸ்) பிரிவைச் சேர்ந்தது [ ஏ, பி],டி. இ. ஏ ≤ φ (எக்ஸ்)≤பி;

3) அத்தகைய நேர்மறை எண் உள்ளது கே< 1, வழித்தோன்றல் என்றால் என்ன φ "(எக்ஸ்) பிரிவின் அனைத்து புள்ளிகளிலும் [ ஏ, பி] சமத்துவமின்மையை திருப்திப்படுத்துகிறது | φ "(எக்ஸ்) | ≤ கே.

1) மறு செய்கை வரிசை x n= φ (x p- 1)(n = 1, 2, 3, ...) எதற்கும் கூடுகிறது எக்ஸ் 0 Î [ ஏ, பி];

2) மறு செய்கை வரிசையின் வரம்பு சமன்பாட்டின் ரூட் ஆகும்

x = φ(எக்ஸ்), அதாவது என்றால் x கே= ξ, பின்னர் ξ= φ (ξ);

3) மறு செய்கை வரிசையின் ஒருங்கிணைப்பு விகிதத்தை வகைப்படுத்தும் சமத்துவமின்மை உண்மை

| ξ -x k | ≤ (b-a)× q k.(2.4)

வெளிப்படையாக, இந்த தேற்றம் மிகவும் கடுமையான நிபந்தனைகளை அமைக்கிறது, இது மறு செய்கை முறையைப் பயன்படுத்துவதற்கு முன்பு சரிபார்க்கப்பட வேண்டும். செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் என்றால் φ (எக்ஸ்) முழுமையான மதிப்பில் ஒன்றை விட அதிகமாக உள்ளது, பின்னர் மறு செய்கை செயல்முறை வேறுபடுகிறது (படம் 3).

ஒய் = φ (எக்ஸ்) ஒய் = எக்ஸ்

அரிசி. 3. மாறுபட்ட மறு செய்கை செயல்முறை

மறுசெயல் முறைகளின் ஒருங்கிணைப்புக்கான நிபந்தனையாக, சமத்துவமின்மை

|x k - x k - 1 | ≤ ε . (2.5)

நாண் முறைவளைவை மாற்றுவதாகும் மணிக்கு = f(எக்ஸ்) புள்ளிகள் வழியாக செல்லும் ஒரு கோடு பிரிவு ( ஏ, f(அ)) மற்றும் ( பி, f(பி)) அரிசி. 4) அச்சுடன் கோடு வெட்டும் புள்ளியின் அப்சிஸ்ஸா ஓஅடுத்த அணுகுமுறையாக எடுத்துக் கொள்ளப்படுகிறது.

நாண் முறைக்கான கணக்கீட்டு சூத்திரத்தைப் பெற, புள்ளிகள் வழியாக செல்லும் நேர் கோட்டின் சமன்பாட்டை எழுதுகிறோம் ( அ, f(அ)) மற்றும் ( பி, f(பி)) மற்றும், சமன்படுத்துதல் மணிக்குபூஜ்ஜியத்திற்கு, நாம் கண்டுபிடிப்போம் எக்ஸ்:

Þ

நாண் முறை அல்காரிதம் :

1) அனுமதிக்க கே = 0;

2) அடுத்த மறு செய்கை எண்ணைக் கணக்கிடவும்: கே = கே + 1.

அடுத்ததைக் கண்டுபிடிப்போம் கேசூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி தோராயமாக்கல்:

x கே= அ- f(அ)(பி - அ)/(f(பி) - f(அ)).

கணக்கிடுவோம் f(x கே);

3) என்றால் f(x கே)= 0 (ரூட் கண்டுபிடிக்கப்பட்டது), பின்னர் படி 5 க்குச் செல்லவும்.

என்றால் f(x கே) × f(பி)>0, பின்னர் பி= x கே, இல்லையெனில் அ = x கே;

4) என்றால் |x k – x k -1 | > ε , பின்னர் படி 2 க்குச் செல்லவும்;

5) ரூட்டின் மதிப்பைக் காட்டவும் x k ;

கருத்து. மூன்றாவது பத்தியின் செயல்கள் அரை பிரிவு முறையின் செயல்களைப் போலவே இருக்கும். இருப்பினும், நாண் முறையில், ஒவ்வொரு அடியிலும் பிரிவின் அதே முனையை (வலது அல்லது இடது) மாற்றலாம், வேரின் அருகில் உள்ள செயல்பாட்டின் வரைபடம் மேல்நோக்கி குவிந்திருந்தால் (படம் 4, ஏ) அல்லது குழிவான கீழே (படம் 4, பி).எனவே, அண்டை தோராயங்களுக்கிடையிலான வேறுபாடு ஒருங்கிணைப்பு அளவுகோலில் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

அரிசி. 4. நாண் முறை

4. நியூட்டனின் முறை(தொடுகோடுகள்)

சமன்பாட்டின் மூலத்தின் தோராயமான மதிப்பைக் கண்டறியலாம் f(எக்ஸ்)= 0, மற்றும் அதைக் குறிக்கவும் x n.கணக்கீடு சூத்திரம் நியூட்டனின் முறைஅடுத்த அணுகுமுறையை தீர்மானிக்க x n+1 இரண்டு வழிகளில் பெறலாம்.

முதல் முறை வடிவியல் அர்த்தத்தை வெளிப்படுத்துகிறது நியூட்டனின் முறைமற்றும் செயல்பாட்டின் வரைபடத்தின் குறுக்குவெட்டு புள்ளிக்கு பதிலாக உண்மையில் உள்ளது மணிக்கு= f(எக்ஸ்) அச்சுடன் ஓஅச்சுடன் வெட்டும் புள்ளியைத் தேடுகிறது ஓபுள்ளியில் உள்ள செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு தொடுகோடு வரையப்பட்டது ( x n,f(x n)), படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளபடி. 5. தொடுகோடு சமன்பாடு வடிவம் கொண்டது y - f(x n)= f"(x n)(எக்ஸ்- x n).

அரிசி. 5. நியூட்டனின் முறை (தொடுகோடுகள்)

அச்சுடன் தொடுகோடு வெட்டும் புள்ளியில் ஓமாறி மணிக்கு= 0. சமன்படுத்துதல் மணிக்குபூஜ்ஜியத்திற்கு, நாங்கள் வெளிப்படுத்துகிறோம் எக்ஸ்மற்றும் நாங்கள் சூத்திரத்தைப் பெறுகிறோம் தொடுகோடு முறை :

(2.6)

இரண்டாவது முறை: செயல்பாட்டை விரிவாக்குங்கள் f(எக்ஸ்) ஒரு புள்ளிக்கு அருகில் டெய்லர் தொடரில் x = x n:

( எக்ஸ்- x n), பூஜ்ஜியமாக அமைக்கப்பட்டது f(எக்ஸ்) மற்றும், விளைந்த சமன்பாட்டிலிருந்து தெரியாததை வெளிப்படுத்துதல் எக்ஸ், அதைக் குறிக்கிறது x n+1 நாங்கள் சூத்திரத்தைப் பெறுகிறோம் (2.6).

நியூட்டனின் முறையின் ஒருங்கிணைப்புக்கு போதுமான நிபந்தனைகளை முன்வைப்போம்.

தேற்றம் 2.4. பிரிவில் விடுங்கள் [ ஏ, பி]நிபந்தனைகள் பூர்த்தி செய்யப்படுகின்றன:

1) செயல்பாடு f(எக்ஸ்) மற்றும் அதன் வழித்தோன்றல்கள் f"(எக்ஸ்)மற்றும் f ""(எக்ஸ்)தொடர்ச்சியான;

2) வழித்தோன்றல்கள் f"(x)மற்றும் f""(எக்ஸ்) பூஜ்ஜியத்திலிருந்து வேறுபட்டவை மற்றும் சில நிலையான அறிகுறிகளைத் தக்கவைத்துக்கொள்கின்றன;

3) f(அ)× f(பி) < 0 (செயல்பாடு f(எக்ஸ்)பிரிவில் மாற்றங்கள் அடையாளம்).
பின்னர் ஒரு பிரிவு உள்ளது [ α , β ], சமன்பாட்டின் விரும்பிய மூலத்தைக் கொண்டுள்ளது f(எக்ஸ்) = 0, இதில் மறு செய்கை வரிசை (2.6) ஒன்றிணைகிறது. பூஜ்ஜிய தோராயமாக இருந்தால் எக்ஸ் 0 அந்த எல்லைப் புள்ளியைத் தேர்ந்தெடுக்கவும் [ α , β ], இதில் செயல்பாட்டின் அடையாளம் இரண்டாவது வழித்தோன்றலின் அடையாளத்துடன் ஒத்துப்போகிறது,

அந்த. f(எக்ஸ் 0)× f"(எக்ஸ் 0)>0, பின்னர் மறு செய்கை வரிசை ஒரே மாதிரியாக ஒன்றிணைகிறது

கருத்து. நாண் முறை எதிர் திசையில் இருந்து வருகிறது என்பதை நினைவில் கொள்ளவும், மேலும் இந்த இரண்டு முறைகளும் ஒன்றையொன்று பூர்த்தி செய்யலாம். கலவையும் சாத்தியமாகும் நாண்-தொடு முறை.

5. செகண்ட் முறை

நியூட்டனின் முறையிலிருந்து செகண்ட் முறையைப் பெறலாம், அதன் வழித்தோன்றலை தோராயமான வெளிப்பாட்டுடன் மாற்றுவதன் மூலம் பெறலாம் - வேறுபாடு சூத்திரம்:

, ,

. (2.7)

ஃபார்முலா (2.7) இரண்டு முந்தைய தோராயங்களைப் பயன்படுத்துகிறது x nமற்றும் x n - 1. எனவே, கொடுக்கப்பட்ட ஆரம்ப தோராயத்திற்கு எக்ஸ் 0 அடுத்த தோராயத்தை கணக்கிடுவது அவசியம் எக்ஸ் 1 , எடுத்துக்காட்டாக, நியூட்டனின் முறையால், சூத்திரத்தின்படி வழித்தோன்றலின் தோராயமான மாற்றீடு

,

செகண்ட் முறையின் அல்காரிதம்:

1) ஆரம்ப மதிப்பு அமைக்கப்பட்டுள்ளது எக்ஸ் 0 மற்றும் பிழை ε . கணக்கிடுவோம்

;

2) க்கு n = 1, 2, ... நிபந்தனை பூர்த்தி செய்யப்படும்போது | x n – x n -1 | > ε , கணக்கிட x n+ 1 சூத்திரத்தின் படி (2.7).