ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளியில் தொடுவான விமானம் மற்றும் மேற்பரப்பு இயல்பான சமன்பாடுகளை எவ்வாறு கண்டறிவது? நேரடி சாதாரண திசையன் (சாதாரண திசையன்)

நீங்கள் அமைக்கலாம் வெவ்வேறு வழிகளில்(ஒரு புள்ளி மற்றும் ஒரு திசையன், இரண்டு புள்ளிகள் மற்றும் ஒரு திசையன், மூன்று புள்ளிகள், முதலியன). இதைக் கருத்தில் கொண்டுதான் விமானத்தின் சமன்பாடு இருக்க முடியும் பல்வேறு வகையான. மேலும், சில நிபந்தனைகளுக்கு உட்பட்டு, விமானங்கள் இணையாக, செங்குத்தாக, வெட்டும், முதலியன இருக்கலாம். இதைப் பற்றி இந்த கட்டுரையில் பேசுவோம். ஒரு விமானத்தின் பொதுவான சமன்பாட்டை எவ்வாறு உருவாக்குவது மற்றும் பலவற்றைக் கற்றுக்கொள்வோம்.

சமன்பாட்டின் இயல்பான வடிவம்

செவ்வக XYZ ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பைக் கொண்ட ஸ்பேஸ் R 3 உள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம். வெக்டார் α ஐ வரையறுப்போம், இது ஆரம்ப புள்ளி O இலிருந்து வெளியிடப்படும். திசையன் α முடிவின் மூலம் நாம் ஒரு விமானம் P வரைகிறோம், அது அதற்கு செங்குத்தாக இருக்கும்.

P இல் ஒரு தன்னிச்சையான புள்ளியை Q = (x, y, z) எனக் குறிப்பிடுவோம். புள்ளி Q இன் ஆரம் வெக்டரை p என்ற எழுத்தில் கையொப்பமிடுவோம். இந்த வழக்கில், திசையன் α இன் நீளம் р=IαI மற்றும் Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ) க்கு சமமாக இருக்கும்.

இது அலகு திசையன், இது திசையன் α போன்ற பக்கத்திற்கு இயக்கப்படுகிறது. α, β மற்றும் γ ஆகியவை திசையன் Ʋ மற்றும் x, y, z ஆகிய விண்வெளி அச்சுகளின் நேர்மறை திசைகளுக்கு இடையே உருவாகும் கோணங்களாகும். திசையன் Ʋ மீது எந்தப் புள்ளி QϵП ப்ராஜெக்ஷன் என்பது p: (p,Ʋ) = p(p≥0) க்கு சமமான ஒரு நிலையான மதிப்பாகும்.

மேலே உள்ள சமன்பாடு p=0 ஆக இருக்கும் போது அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கும். ஒரே விஷயம் என்னவென்றால், இந்த வழக்கில் உள்ள விமானம் P ஆனது O (α = 0) புள்ளியை வெட்டும், இது ஆயத்தொலைவுகளின் தோற்றம் ஆகும், மேலும் O புள்ளியில் இருந்து வெளியிடப்படும் அலகு திசையன் Ʋ அதன் திசையில் இருந்தாலும், P க்கு செங்குத்தாக இருக்கும். திசையன் Ʋ குறிக்கு துல்லியமாக தீர்மானிக்கப்படுகிறது. முந்தைய சமன்பாடு திசையன் வடிவத்தில் வெளிப்படுத்தப்படும் நமது விமானம் P இன் சமன்பாடு ஆகும். ஆனால் ஒருங்கிணைப்புகளில் இது இப்படி இருக்கும்:

இங்கே P என்பது 0 ஐ விட அதிகமாகவோ அல்லது சமமாகவோ உள்ளது. விண்வெளியில் உள்ள விமானத்தின் சமன்பாட்டை சாதாரண வடிவத்தில் கண்டறிந்துள்ளோம்.

பொது சமன்பாடு

ஆய சமன்பாட்டை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லாத எந்த எண்ணாலும் பெருக்கினால், இந்த சமன்பாட்டிற்கு சமமான ஒரு சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம், அந்த விமானத்தை வரையறுக்கிறோம். இது இப்படி இருக்கும்:

இங்கே A, B, C ஆகியவை பூஜ்ஜியத்திலிருந்து ஒரே நேரத்தில் வேறுபட்ட எண்கள். இந்த சமன்பாடு பொது விமானச் சமன்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது.

விமானங்களின் சமன்பாடுகள். சிறப்பு வழக்குகள்

சமன்பாடு பொதுவான பார்வைகூடுதல் நிபந்தனைகளுக்கு உட்பட்டு மாற்றியமைக்கப்படலாம். அவற்றில் சிலவற்றைப் பார்ப்போம்.

குணகம் A 0 என்று வைத்துக் கொள்வோம். இதன் பொருள் இந்த விமானம் கொடுக்கப்பட்ட ஆக்ஸ் அச்சுக்கு இணையாக உள்ளது. இந்த வழக்கில், சமன்பாட்டின் வடிவம் மாறும்: Ву+Cz+D=0.

இதேபோல், பின்வரும் நிபந்தனைகளின் கீழ் சமன்பாட்டின் வடிவம் மாறும்:

• முதலில், B = 0 எனில், சமன்பாடு Ax + Cz + D = 0 ஆக மாறும், இது Oy அச்சுக்கு இணையான தன்மையைக் குறிக்கும்.
• இரண்டாவதாக, C=0 எனில், சமன்பாடு Ax+By+D=0 ஆக மாற்றப்படும், இது கொடுக்கப்பட்ட Oz அச்சுக்கு இணையான தன்மையைக் குறிக்கும்.
• மூன்றாவதாக, D=0 எனில், சமன்பாடு Ax+By+Cz=0 போல இருக்கும், அதாவது விமானம் O (தோற்றம்) வெட்டுகிறது.
• நான்காவதாக, A=B=0 எனில், சமன்பாடு Cz+D=0 ஆக மாறும், இது Oxy க்கு இணையாக இருக்கும்.
• ஐந்தாவதாக, B=C=0 எனில், சமன்பாடு Ax+D=0 ஆக மாறும், அதாவது Oyzக்கு விமானம் இணையாக உள்ளது.
• ஆறாவது, A=C=0 என்றால், சமன்பாடு Ву+D=0 வடிவத்தை எடுக்கும், அதாவது, அது Oxz க்கு இணையான தன்மையைப் புகாரளிக்கும்.

பிரிவுகளில் சமன்பாட்டின் வகை

A, B, C, D எண்கள் பூஜ்ஜியத்திலிருந்து வேறுபட்டால், சமன்பாட்டின் வடிவம் (0) பின்வருமாறு இருக்கலாம்:

x/a + y/b + z/c = 1,

இதில் a = -D/A, b = -D/B, c = -D/C.

இதன் விளைவாக, இந்த விமானம் ஆக்ஸ் (a,0,0), Oy - (0,b,0) மற்றும் Oz - (0,0,c) உடன் ஒரு புள்ளியில் எருது அச்சில் வெட்டும் என்பது குறிப்பிடத்தக்கது. )

x/a + y/b + z/c = 1 என்ற சமன்பாட்டை கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டால், கொடுக்கப்பட்ட ஒருங்கிணைப்பு அமைப்புடன் தொடர்புடைய விமானத்தின் இடத்தை கற்பனை செய்வது கடினம் அல்ல.

சாதாரண திசையன் ஒருங்கிணைப்புகள்

சாதாரண திசையன் n முதல் விமானம் P க்கு குணகங்களான ஆயத்தொலைவுகள் உள்ளன பொது சமன்பாடுகொடுக்கப்பட்ட விமானத்தின், அதாவது, n (A, B, C).

சாதாரண n இன் ஆயங்களைத் தீர்மானிக்க, கொடுக்கப்பட்ட விமானத்தின் பொதுவான சமன்பாட்டை அறிந்தால் போதும்.

x/a + y/b + z/c = 1 வடிவத்தைக் கொண்ட பிரிவுகளில் சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்தும் போது, ​​ஒரு பொதுவான சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்தும் போது, ​​கொடுக்கப்பட்ட விமானத்தின் எந்த சாதாரண வெக்டரின் ஆயத்தொலைவுகளையும் எழுதலாம்: (1/a + 1/b + 1/ உடன்).

என்பது குறிப்பிடத்தக்கது சாதாரண திசையன்பல்வேறு பிரச்சனைகளை தீர்க்க உதவுகிறது. மிகவும் பொதுவானவை, விமானங்களின் செங்குத்தாக அல்லது இணையான தன்மையை நிரூபிப்பதில் உள்ள சிக்கல்கள், விமானங்களுக்கு இடையே உள்ள கோணங்களைக் கண்டறிவதில் உள்ள சிக்கல்கள் அல்லது விமானங்கள் மற்றும் நேர் கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணங்கள் ஆகியவை அடங்கும்.

புள்ளி மற்றும் சாதாரண வெக்டரின் ஆயத்தொலைவுகளின்படி விமானச் சமன்பாட்டின் வகை

கொடுக்கப்பட்ட விமானத்திற்கு செங்குத்தாக இருக்கும் பூஜ்ஜியமற்ற திசையன் n கொடுக்கப்பட்ட விமானத்திற்கு இயல்பானது என்று அழைக்கப்படுகிறது.

ஒருங்கிணைப்பு இடத்தில் (செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு) Oxyz கொடுக்கப்பட்டுள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம்:

• புள்ளி Mₒ ஒருங்கிணைப்புகளுடன் (xₒ,yₒ,zₒ);
• பூஜ்ஜிய திசையன் n=A*i+B*j+C*k.

சாதாரண n க்கு செங்குத்தாக Mₒ புள்ளியைக் கடந்து செல்லும் விமானத்திற்கான சமன்பாட்டை உருவாக்குவது அவசியம்.

விண்வெளியில் உள்ள தன்னிச்சையான புள்ளியைத் தேர்ந்தெடுத்து அதை M (x y, z) என்று குறிப்பிடுகிறோம். எந்தப் புள்ளியின் ஆரம் திசையன் M (x,y,z) r=x*i+y*j+z*k என்றும், புள்ளியின் ஆரம் திசையன் Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) - rₒ=xₒ* i+yₒ *j+zₒ*k. திசையன் MₒM திசையன் n க்கு செங்குத்தாக இருந்தால் புள்ளி M கொடுக்கப்பட்ட விமானத்திற்கு சொந்தமானது. ஸ்கேலர் தயாரிப்பைப் பயன்படுத்தி ஆர்த்தோகனாலிட்டி நிலையை எழுதுவோம்:

[MₒM, n] = 0.

MₒM = r-rₒ என்பதால், விமானத்தின் திசையன் சமன்பாடு இப்படி இருக்கும்:

இந்த சமன்பாடு மற்றொரு வடிவத்தைக் கொண்டிருக்கலாம். இதைச் செய்ய, அளவிடுதல் உற்பத்தியின் பண்புகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன, மேலும் சமன்பாட்டின் இடது பக்கம் மாற்றப்படுகிறது.

= - . நாம் அதை c எனக் குறிப்பிட்டால், பின்வரும் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்: - c = 0 அல்லது = c, இது விமானத்திற்குச் சொந்தமான புள்ளிகளின் ஆரம் திசையன்களின் சாதாரண திசையன் மீது கணிப்புகளின் நிலைத்தன்மையை வெளிப்படுத்துகிறது.

இப்போது நாம் நமது விமானத்தின் திசையன் சமன்பாட்டை எழுதுவதற்கான ஒருங்கிணைப்பு வடிவத்தைப் பெறலாம் = 0. ஏனெனில் r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k, மற்றும் n = A*i+B *j+С*k, எங்களிடம் உள்ளது:

சாதாரண n க்கு செங்குத்தாக ஒரு புள்ளி வழியாக செல்லும் விமானத்திற்கான சமன்பாடு நம்மிடம் உள்ளது.

A*(x- xₒ)+B*(y- yₒ)C*(z-zₒ)=0.

இரண்டு புள்ளிகளின் ஆயத்தொலைவுகள் மற்றும் விமானத்திற்கு ஒரு திசையன் கோலினியர் ஆகியவற்றின் படி விமான சமன்பாட்டின் வகை

இரண்டு தன்னிச்சையான புள்ளிகள் M′ (x′,y′,z′) மற்றும் M″ (x″,y″,z″), அத்துடன் ஒரு திசையன் a (a′,a″,a‴) ஆகியவற்றை வரையறுப்போம்.

தற்போதுள்ள M′ மற்றும் M″ புள்ளிகள் வழியாகவும், கொடுக்கப்பட்ட திசையன் a க்கு இணையான ஆயத்தொகுதிகளுடன் (x, y, z) எந்தப் புள்ளி M ஐயும் கடந்து செல்லும் ஒரு சமன்பாட்டை இப்போது உருவாக்கலாம்.

இந்த வழக்கில், திசையன்களான M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) மற்றும் M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) ஆகியவை திசையன் உடன் இணையாக இருக்க வேண்டும். a=(a′,a″,a‴), அதாவது (M′M, M″M, a)=0.

எனவே, விண்வெளியில் நமது விமானச் சமன்பாடு இப்படி இருக்கும்:

மூன்று புள்ளிகளை வெட்டும் விமானத்தின் சமன்பாட்டின் வகை

நம்மிடம் மூன்று புள்ளிகள் உள்ளன என்று வைத்துக் கொள்வோம்: (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴), இவை ஒரே வரியில் இல்லை. கொடுக்கப்பட்ட மூன்று புள்ளிகளைக் கடந்து செல்லும் விமானத்தின் சமன்பாட்டை எழுதுவது அவசியம். வடிவவியலின் கோட்பாடு இந்த வகையான விமானம் உண்மையில் இருப்பதாகக் கூறுகிறது, ஆனால் அது ஒரே ஒரு மற்றும் தனித்துவமானது. இந்த விமானம் புள்ளியை (x′,y′,z′) வெட்டுவதால், அதன் சமன்பாட்டின் வடிவம் பின்வருமாறு இருக்கும்:

இங்கே A, B, C ஆகியவை ஒரே நேரத்தில் பூஜ்ஜியத்திலிருந்து வேறுபடுகின்றன. மேலும், கொடுக்கப்பட்ட விமானம் மேலும் இரண்டு புள்ளிகளை வெட்டுகிறது: (x″,y″,z″) மற்றும் (x‴,y‴,z‴). இது சம்பந்தமாக, பின்வரும் நிபந்தனைகள் பூர்த்தி செய்யப்பட வேண்டும்: இப்போது நாம் இசையமைக்கலாம்ஒரே மாதிரியான அமைப்பு

தெரியாத u, v, w: எங்கள்அல்லது z சமன்பாட்டை (1) திருப்திப்படுத்தும் தன்னிச்சையான புள்ளியாக செயல்படுகிறது. சமன்பாடு (1) மற்றும் சமன்பாடுகளின் அமைப்பு (2) மற்றும் (3), மேலே உள்ள படத்தில் சுட்டிக்காட்டப்பட்ட சமன்பாடுகளின் அமைப்பு N (A,B,C) திசையன் மூலம் திருப்திப்படுத்தப்படுகிறது, இது அற்பமானது அல்ல. அதனால்தான் இந்த அமைப்பின் நிர்ணயம் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்.

நாம் பெற்ற சமன்பாடு (1) விமானத்தின் சமன்பாடு ஆகும். இது சரியாக 3 புள்ளிகள் வழியாக செல்கிறது, இதை சரிபார்க்க எளிதானது. இதைச் செய்ய, முதல் வரிசையில் உள்ள உறுப்புகளில் நமது தீர்மானிப்பதை விரிவுபடுத்த வேண்டும். நிர்ணயிப்பவரின் தற்போதைய பண்புகளிலிருந்து, நமது விமானம் ஆரம்பத்தில் கொடுக்கப்பட்ட மூன்று புள்ளிகளை (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) ஒரே நேரத்தில் வெட்டுகிறது. . அதாவது, எங்களுக்கு ஒதுக்கப்பட்ட பணியை நாங்கள் தீர்த்துவிட்டோம்.

விமானங்களுக்கு இடையில் இருமுனை கோணம்

ஒரு இருமுனை கோணம் ஒரு இடத்தைக் குறிக்கிறது வடிவியல் உருவம், ஒரு நேர் கோட்டில் இருந்து வெளிப்படும் இரண்டு அரை விமானங்களால் உருவாக்கப்பட்டது. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், இந்த அரை-விமானங்களால் வரையறுக்கப்பட்ட இடத்தின் பகுதி இதுவாகும்.

பின்வரும் சமன்பாடுகளுடன் இரண்டு விமானங்கள் உள்ளன என்று வைத்துக்கொள்வோம்:

N=(A,B,C) மற்றும் N¹=(A¹,B¹,C¹) ஆகிய திசையன்கள் செங்குத்தாக இருப்பதை நாம் அறிவோம். கொடுக்கப்பட்ட விமானங்கள். இது சம்பந்தமாக, N மற்றும் N¹ ஆகிய திசையன்களுக்கு இடையிலான கோணம் φ இந்த விமானங்களுக்கு இடையில் அமைந்துள்ள கோணத்திற்கு (இரண்டு ஹெட்ரல்) சமமாக இருக்கும். புள்ளி தயாரிப்பு வடிவம் உள்ளது:

NN¹=|N||N¹|cos φ,

துல்லியமாக ஏனெனில்

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)).

0≤φ≤π என்பதை கணக்கில் கொண்டால் போதும்.

உண்மையில், வெட்டும் இரண்டு விமானங்கள் இரண்டு கோணங்களை (டைஹெட்ரல்) உருவாக்குகின்றன: φ 1 மற்றும் φ 2. அவற்றின் கூட்டுத்தொகை π (φ 1 + φ 2 = π) க்கு சமம். அவற்றின் கொசைன்களைப் பொறுத்தவரை, அவற்றின் முழுமையான மதிப்புகள் சமமானவை, ஆனால் அவை அடையாளத்தில் வேறுபடுகின்றன, அதாவது cos φ 1 = -cos φ 2. சமன்பாட்டில் (0) நாம் A, B மற்றும் C ஐ முறையே -A, -B மற்றும் -C எண்களுடன் மாற்றினால், நாம் பெறும் சமன்பாடு அதே விமானத்தை, ஒரே ஒரு, சமன்பாட்டில் φ கோணத்தை தீர்மானிக்கும். φ= NN 1 /|. N||N 1 | π-φ ஆல் மாற்றப்படும்.

செங்குத்தாக விமானத்தின் சமன்பாடு

90 டிகிரி கோணத்தில் இருக்கும் விமானங்கள் செங்குத்தாக அழைக்கப்படுகின்றன. மேலே வழங்கப்பட்ட பொருளைப் பயன்படுத்தி, ஒரு விமானத்தின் சமன்பாட்டை மற்றொன்றுக்கு செங்குத்தாகக் காணலாம். எங்களிடம் இரண்டு விமானங்கள் இருப்பதாக வைத்துக்கொள்வோம்: Ax+By+Cz+D=0 மற்றும் A¹x+B¹y+C¹z+D=0. cosφ=0 எனில் அவை செங்குத்தாக இருக்கும் என்று சொல்லலாம். இதன் பொருள் NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0.

இணை விமானச் சமன்பாடு

பொதுவான புள்ளிகள் இல்லாத இரண்டு விமானங்கள் இணை என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

நிபந்தனை (அவற்றின் சமன்பாடுகள் முந்தைய பத்தியில் உள்ளதைப் போலவே இருக்கும்) அவற்றிற்கு செங்குத்தாக இருக்கும் N மற்றும் N¹ திசையன்கள் கோலினியர் ஆகும். இதன் பொருள் பின்வரும் விகிதாசார நிபந்தனைகள் பூர்த்தி செய்யப்படுகின்றன:

A/A¹=B/B¹=C/C¹.

விகிதாச்சார நிபந்தனைகள் நீட்டிக்கப்பட்டால் - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,

இந்த விமானங்கள் இணைந்திருப்பதை இது குறிக்கிறது. அதாவது Ax+By+Cz+D=0 மற்றும் A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 ஆகிய சமன்பாடுகள் ஒரு விமானத்தை விவரிக்கின்றன.

புள்ளியிலிருந்து விமானத்திற்கான தூரம்

எங்களிடம் ஒரு விமானம் P உள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம், இது சமன்பாடு (0) மூலம் வழங்கப்படுகிறது. ஆய (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ கொண்ட ஒரு புள்ளியில் இருந்து அதற்கான தூரத்தைக் கண்டறிவது அவசியம். இதைச் செய்ய, நீங்கள் P விமானத்தின் சமன்பாட்டை சாதாரண வடிவத்தில் கொண்டு வர வேண்டும்:

(ρ,v)=р (р≥0).

இந்த வழக்கில், ρ (x, y, z) என்பது P இல் அமைந்துள்ள Q இன் ஆரம் திசையன் ஆகும், p என்பது பூஜ்ஜியப் புள்ளியில் இருந்து வெளியிடப்பட்ட செங்குத்தாக P இன் நீளம், v என்பது அலகு திசையன், இதில் அமைந்துள்ளது. திசை a.

சில புள்ளி Q = (x, y, z) இன் ρ-ρº ஆரம் வெக்டரின் வேறுபாடு P க்கு சொந்தமானது, அதே போல் கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியின் ஆரம் திசையன் Q 0 = (xₒ, yₒ, zₒ) அத்தகைய திசையன், முழுமையான மதிப்பு V மீதான ப்ரொஜெக்ஷன் தூரம் d க்கு சமம், இது Q 0 = (xₒ,уₒ,zₒ) இலிருந்து P வரை காணப்பட வேண்டும்:

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, ஆனால்

(ρ-ρ 0 ,v)= (ρ,v)-(ρ 0 ,v) =р-(ρ 0 ,v).

எனவே அது மாறிவிடும்

d=|(ρ 0 ,v)-р|.

இவ்வாறு, விளைந்த வெளிப்பாட்டின் முழுமையான மதிப்பைக் கண்டுபிடிப்போம், அதாவது விரும்பிய டி.

அளவுரு மொழியைப் பயன்படுத்தி, நாம் தெளிவாகப் பெறுகிறோம்:

d=|Ахₒ+Вуₒ+Czₒ|/√(А²+В²+С²).

என்றால் புள்ளி அமைக்க Q 0 என்பது ஆயத்தொலைவுகளின் தோற்றம் போன்ற P இன் மறுபுறத்தில் உள்ளது, பின்னர் ρ-ρ 0 மற்றும் v ஆகிய திசையன்களுக்கு இடையில் அமைந்துள்ளது:

d=-(ρ-ρ 0 ,v)=(ρ 0 ,v)-р>0.

புள்ளி Q 0, ஆயத்தொலைவுகளின் தோற்றத்துடன் சேர்ந்து, P இன் ஒரே பக்கத்தில் அமைந்திருந்தால், உருவாக்கப்பட்ட கோணம் கடுமையானது, அதாவது:

d=(ρ-ρ 0 ,v)=р - (ρ 0 , v)>0.

இதன் விளைவாக, முதல் வழக்கில் (ρ 0 ,v)>р, இரண்டாவது (ρ 0 ,v)<р.

தொடு விமானம் மற்றும் அதன் சமன்பாடு

Mº தொடர்பு புள்ளியில் மேற்பரப்புக்கு தொடும் விமானம் என்பது மேற்பரப்பில் இந்த புள்ளியின் வழியாக வரையப்பட்ட வளைவுகளுக்கு சாத்தியமான அனைத்து தொடுகோடுகளையும் கொண்ட ஒரு விமானமாகும்.

இந்த வகையான மேற்பரப்பு சமன்பாடு F(x,y,z)=0 உடன், Mº(xº,yº,zº) என்ற தொடு புள்ளியில் உள்ள தொடுவான விமானத்தின் சமன்பாடு இப்படி இருக்கும்:

F x (xº,yº,zº)(x- xº)+ F x (xº, yº, zº)(y- yº)+ F x (xº, yº,zº)(z-zº)=0.

நீங்கள் மேற்பரப்பை வெளிப்படையான வடிவத்தில் z=f (x,y) இல் குறிப்பிட்டால், தொடுவான விமானம் சமன்பாட்டால் விவரிக்கப்படும்:

z-zº =f(xº, yº)(x- xº)+f(xº, yº)(y- yº).

இரண்டு விமானங்களின் குறுக்குவெட்டு

ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் (செவ்வக) Oxyz அமைந்துள்ளது, இரண்டு விமானங்கள் П′ மற்றும் П″ கொடுக்கப்பட்டுள்ளன, அவை வெட்டும் மற்றும் ஒத்துப்போவதில்லை. ஒரு செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் அமைந்துள்ள எந்த விமானமும் ஒரு பொதுவான சமன்பாட்டால் தீர்மானிக்கப்படுவதால், P′ மற்றும் P″ ஆகியவை A′x+B′y+C′z+D′=0 மற்றும் A″x சமன்பாடுகளால் வழங்கப்படுகின்றன என்று வைத்துக்கொள்வோம். +B″y+ С″z+D″=0. இந்த வழக்கில், நாம் P′ விமானத்தின் இயல்பான n′ (A′,B′,C′) மற்றும் P″ விமானத்தின் சாதாரண n″ (A″,B″,C″) ஐக் கொண்டுள்ளோம். எங்கள் விமானங்கள் இணையாக இல்லை மற்றும் ஒத்துப்போவதில்லை என்பதால், இந்த திசையன்கள் கோலினியர் அல்ல. கணிதத்தின் மொழியைப் பயன்படுத்தி, இந்த நிபந்தனையை பின்வருமாறு எழுதலாம்: n′≠ n″ ↔ (A′,B′,C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR. P′ மற்றும் P″ குறுக்குவெட்டில் இருக்கும் நேர்கோட்டை a என்ற எழுத்தால் குறிக்கலாம், இந்த வழக்கில் a = P′ ∩ P″.

a என்பது P′ மற்றும் P″ விமானங்களின் (பொதுவான) அனைத்து புள்ளிகளின் தொகுப்பையும் கொண்ட ஒரு நேர்கோடு. இதன் பொருள், ஒரு வரியைச் சேர்ந்த எந்தப் புள்ளியின் ஆயங்களும் ஒரே நேரத்தில் A′x+B′y+C′z+D′=0 மற்றும் A″x+B″y+C″z+D″=0 ஆகிய சமன்பாடுகளை பூர்த்தி செய்ய வேண்டும். . இதன் பொருள், புள்ளியின் ஆயங்கள் பின்வரும் சமன்பாடுகளின் ஒரு பகுதி தீர்வாக இருக்கும்:

இதன் விளைவாக, இந்த சமன்பாடுகளின் அமைப்பின் (பொது) தீர்வு கோட்டின் ஒவ்வொரு புள்ளிகளின் ஆயத்தொலைவுகளையும் தீர்மானிக்கும், இது P′ மற்றும் P″ வெட்டும் புள்ளியாக செயல்படும் மற்றும் நேர்கோட்டை தீர்மானிக்கும். விண்வெளியில் Oxyz (செவ்வக) ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் a.

நேர்கோட்டு சமன்பாடுகளைப் படிக்க, திசையன் இயற்கணிதம் பற்றிய நல்ல புரிதல் உங்களுக்கு இருக்க வேண்டும். திசை திசையன் மற்றும் கோட்டின் சாதாரண திசையன் ஆகியவற்றைக் கண்டுபிடிப்பது முக்கியம். இந்தக் கட்டுரை ஒரு கோட்டின் இயல்பான திசையன் எடுத்துக்காட்டுகள் மற்றும் வரைபடங்களுடன் பரிசீலிக்கும், கோடுகளின் சமன்பாடுகள் தெரிந்தால் அதன் ஒருங்கிணைப்புகளைக் கண்டறியும். விரிவான தீர்வு விவாதிக்கப்படும்.

Yandex.RTB R-A-339285-1

பொருளை எளிதில் ஜீரணிக்க, திசையன்களுடன் தொடர்புடைய கோடு, விமானம் மற்றும் வரையறைகளின் கருத்துகளை நீங்கள் புரிந்து கொள்ள வேண்டும். முதலில், ஒரு வரி திசையன் கருத்துடன் பழகுவோம்.

வரையறை 1

இயல்பான வரி திசையன்கொடுக்கப்பட்ட வரிக்கு செங்குத்தாக இருக்கும் எந்த ஒரு பூஜ்ஜியமற்ற திசையன்.

கொடுக்கப்பட்ட வரியில் எண்ணற்ற சாதாரண திசையன்கள் உள்ளன என்பது தெளிவாகிறது. கீழே உள்ள படத்தைப் பார்ப்போம்.

கொடுக்கப்பட்ட இரண்டு இணை கோடுகளில் ஒன்றிற்கு கோடு செங்குத்தாக இருப்பதைக் காண்கிறோம், அதன் செங்குத்தாக இரண்டாவது இணை கோட்டிற்கு நீட்டிக்கப்படுகிறது. இதிலிருந்து இந்த இணையான கோடுகளின் இயல்பான திசையன்களின் தொகுப்புகள் ஒத்துப்போகின்றன என்பதை நாம் பெறுகிறோம். a மற்றும் a 1 கோடுகள் இணையாக இருக்கும் போது, ​​மற்றும் n → ஒரு வரிக்கு ஒரு சாதாரண திசையன் என்று கருதப்படும் போது, ​​வரி a 1 க்கு ஒரு சாதாரண திசையன் எனவும் கருதப்படுகிறது. ஒரு வரியில் நேரடி திசையன் இருக்கும் போது, ​​திசையன் t · n → என்பது t அளவுருவின் எந்த மதிப்பிற்கும் பூஜ்ஜியமல்ல, மேலும் வரி a க்கும் இயல்பானது.

இயல்பான மற்றும் திசை திசையன்களின் வரையறையைப் பயன்படுத்தி, சாதாரண திசையன் திசைக்கு செங்குத்தாக இருப்பதாக நாம் முடிவு செய்யலாம். ஒரு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்.

விமானம் O x y கொடுக்கப்பட்டால், O x க்கான திசையன்களின் தொகுப்பு ஆய திசையன் j → ஆகும். இது பூஜ்ஜியம் அல்லாததாகக் கருதப்படுகிறது மற்றும் O y க்கு செங்குத்தாக உள்ள ஒருங்கிணைப்பு அச்சுக்கு சொந்தமானது. O x ஐப் பொறுத்தமட்டில் உள்ள சாதாரண திசையன்களின் முழு தொகுப்பையும் t · j →, t ∈ R, t ≠ 0 என எழுதலாம்.

செவ்வக அமைப்பு O x y z ஆனது O z என்ற நேர்கோட்டுடன் தொடர்புடைய சாதாரண திசையன் i → ஐக் கொண்டுள்ளது. திசையன் j → சாதாரணமாகக் கருதப்படுகிறது. எந்தவொரு விமானத்திலும் O z க்கு செங்குத்தாக அமைந்துள்ள பூஜ்ஜியமற்ற திசையன் O z க்கு சாதாரணமாகக் கருதப்படுகிறது என்பதை இது காட்டுகிறது.

ஒரு நேர்கோட்டின் இயல்பான திசையனின் ஆயத்தொலைவுகள் - ஒரு நேர்கோட்டின் அறியப்பட்ட சமன்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி ஒரு நேர்கோட்டின் இயல்பான திசையனின் ஆயத்தொலைவுகளைக் கண்டறிதல்

செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு O x y ஐக் கருத்தில் கொள்ளும்போது, ​​​​விமானத்தில் ஒரு நேர் கோட்டின் சமன்பாடு அதற்கு ஒத்திருப்பதைக் காண்கிறோம், மேலும் சாதாரண திசையன்களின் தீர்மானம் ஆயத்தொலைவுகளிலிருந்து செய்யப்படுகிறது. ஒரு நேர்கோட்டின் சமன்பாடு தெரிந்தால், சாதாரண திசையனின் ஆயத்தொலைவுகளைக் கண்டறிவது அவசியமானால், A x + B y + C = 0 சமன்பாட்டிலிருந்து குணகங்களைக் கண்டறிவது அவசியம். கொடுக்கப்பட்ட நேர்கோட்டின் சாதாரண திசையன்.

எடுத்துக்காட்டு 1

2 x + 7 y - 4 = 0 _ படிவத்தின் ஒரு வரி கொடுக்கப்பட்டால், சாதாரண திசையன் ஆயங்களைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு

நிபந்தனையின்படி, நேர்கோடு ஒரு பொதுவான சமன்பாட்டால் கொடுக்கப்பட்டது, அதாவது சாதாரண வெக்டரின் ஆயத்தொகுப்புகளான குணகங்களை எழுதுவது அவசியம். இதன் பொருள் திசையன்களின் ஆயங்கள் 2, 7 மதிப்பைக் கொண்டுள்ளன.

பதில்: 2 , 7 .

சமன்பாட்டிலிருந்து A அல்லது B பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும் நேரங்கள் உள்ளன. ஒரு உதாரணத்தைப் பயன்படுத்தி அத்தகைய பணிக்கான தீர்வைப் பார்ப்போம்.

எடுத்துக்காட்டு 2

கொடுக்கப்பட்ட வரி y - 3 = 0 க்கான சாதாரண திசையன் குறிப்பிடவும்.

தீர்வு

நிபந்தனையின்படி, நமக்கு ஒரு நேர்கோட்டின் பொதுவான சமன்பாடு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது, எனவே இதை இவ்வாறு எழுதலாம்: 0 · x + 1 · y - 3 = 0. இப்போது நாம் குணகங்களை தெளிவாகக் காண்கிறோம், அவை சாதாரண வெக்டரின் ஆயத்தொலைவுகளாகும். அதாவது சாதாரண வெக்டரின் ஆயத்தொலைவுகள் 0, 1 என்று நாம் காண்கிறோம்.

பதில்: 0, 1.

x a + y b = 1 வடிவத்தின் பிரிவுகளில் ஒரு சமன்பாடு அல்லது y = k · x + b என்ற கோணக் குணகம் கொண்ட சமன்பாடு கொடுக்கப்பட்டால், ஒரு கோட்டின் பொதுவான சமன்பாட்டிற்குக் குறைக்க வேண்டியது அவசியம், அங்கு நீங்கள் ஆயங்களைக் காணலாம். கொடுக்கப்பட்ட வரியின் சாதாரண திசையன்.

எடுத்துக்காட்டு 3

x 1 3 - y = 1 என்ற கோட்டின் சமன்பாடு கொடுக்கப்பட்டால், சாதாரண திசையனின் ஆயங்களைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு

முதலில், நீங்கள் x 1 3 - y = 1 பிரிவுகளில் உள்ள சமன்பாட்டிலிருந்து பொதுவான சமன்பாட்டிற்கு செல்ல வேண்டும். பிறகு x 1 3 - y = 1 ⇔ 3 x - 1 y - 1 = 0 என்று கிடைக்கும்.

சாதாரண வெக்டரின் ஆயங்கள் 3, - 1 மதிப்பைக் கொண்டிருப்பதை இது காட்டுகிறது.

பதில்: 3 , - 1 .

x - x 1 a x = y - y 1 a y அல்லது அளவுரு x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ விமானத்தில் உள்ள ஒரு கோட்டின் நியதிச் சமன்பாட்டின் மூலம் கோடு வரையறுக்கப்பட்டால், ஆயங்களைப் பெறுவது ஆகிறது. மிகவும் சிக்கலானது. இந்த சமன்பாடுகளிலிருந்து திசை வெக்டரின் ஆயத்தொலைவுகள் a → = (a x , a y) ஆக இருக்கும் என்பது தெளிவாகிறது. n → மற்றும் a → ஆகிய திசையன்களின் செங்குத்து நிலை காரணமாக சாதாரண திசையன் n → இன் ஆயத்தொலைவுகளைக் கண்டறியும் சாத்தியம் சாத்தியமாகும்.

ஒரு நேர்கோட்டின் நியதி அல்லது அளவுரு சமன்பாடுகளை பொதுவானதாகக் குறைப்பதன் மூலம் ஒரு சாதாரண திசையனின் ஆயத்தொலைவுகளைப் பெற முடியும். பின்னர் நாம் பெறுகிறோம்:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y · (x - x 1) = a x · (y - y 1) ⇔ a y · x - a x · y + a x · y 1 - a y · x 1 x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y · x - a x · y + a x · y 1 - a y · x 1 = 0

இதை தீர்க்க, நீங்கள் எந்த வசதியான முறையையும் தேர்வு செய்யலாம்.

எடுத்துக்காட்டு 4

கொடுக்கப்பட்ட வரியின் சாதாரண திசையன் x - 2 7 = y + 3 - 2 .

தீர்வு

x - 2 7 = y + 3 - 2 என்ற நேர் கோட்டிலிருந்து திசை திசையன் ஒரு → = (7 , - 2) ஆயங்களைக் கொண்டிருக்கும் என்பது தெளிவாகிறது. கொடுக்கப்பட்ட வரியின் இயல்பான திசையன் n → = (n x , n y) a → = (7 , - 2) க்கு செங்குத்தாக உள்ளது.

ஸ்கேலர் தயாரிப்பு எதற்கு சமம் என்பதைக் கண்டுபிடிப்போம். திசையன்கள் a → = (7, - 2) மற்றும் n → = (n x, n y) ஆகியவற்றின் அளவிடல் உற்பத்தியைக் கண்டறிய, நாம் ஒரு →, n → = 7 · n x - 2 · n y = 0 என்று எழுதுகிறோம்.

n x இன் மதிப்பு தன்னிச்சையானது n y காணப்பட வேண்டும். n x = 1 எனில், இங்கிருந்து 7 · 1 - 2 · n y = 0 ⇔ n y = 7 2 என்று பெறுகிறோம்.

இதன் பொருள் சாதாரண திசையன் 1, 7 2 ஆயங்களைக் கொண்டுள்ளது.

இரண்டாவது தீர்வு, நியமனத்திலிருந்து சமன்பாட்டின் பொதுவான வடிவத்திற்கு வர வேண்டியது அவசியம் என்ற உண்மைக்கு வருகிறது. இதைச் செய்ய, நாங்கள் மாற்றுகிறோம்

x - 2 7 = y + 3 - 2 ⇔ 7 · (y + 3) = - 2 · (x - 2) ⇔ 2 x + 7 y - 4 + 7 3 = 0

சாதாரண வெக்டரின் ஆயத்தொலைவுகளின் விளைவாக 2, 7 ஆகும்.

பதில்: 2, 7அல்லது 1 , 7 2 .

எடுத்துக்காட்டு 5

x = 1 y = 2 - 3 · λ நேர்க்கோட்டின் சாதாரண திசையன்களின் ஆயங்களைக் குறிப்பிடவும்.

தீர்வு

முதலில், நீங்கள் ஒரு நேர்கோட்டின் பொதுவான வடிவத்திற்கு மாறுவதற்கு ஒரு மாற்றத்தை செய்ய வேண்டும். செய்வோம்:

x = 1 y = 2 - 3 · λ ⇔ x = 1 + 0 · λ y = 2 - 3 · λ ⇔ λ = x - 1 0 λ = y - 2 - 3 ⇔ x - 1 0 = y - 2 - 3 ⇔ ⇔ - 3 · (x - 1) = 0 · (y - 2) ⇔ - 3 · x + 0 · y + 3 = 0

சாதாரண வெக்டரின் ஆய - 3, 0 என்பதை இது காட்டுகிறது.

பதில்: - 3 , 0 .

ஒரு செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு O x y z மூலம் வரையறுக்கப்பட்ட இடத்தில் ஒரு நேர்கோட்டின் சமன்பாட்டிற்கான ஒரு சாதாரண திசையனின் ஒருங்கிணைப்புகளை கண்டுபிடிப்பதற்கான முறைகளைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

வெட்டும் சமன்பாடுகளான A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 மற்றும் A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 ஆகிய சமன்பாடுகளால் ஒரு கோடு கொடுக்கப்பட்டால், அதன் சாதாரண திசையன் விமானம் என்பது A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 மற்றும் A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 என்பதைக் குறிக்கிறது, பின்னர் n 1 → = வடிவத்தில் எழுதப்பட்ட திசையன்களைப் பெறுகிறோம். (A 1, B 1, C 1) மற்றும் n 2 → = (A 2, B 2, C 2).

x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z அல்லது ஒரு அளவுரு சமன்பாடு, x = x 1 + a x · λ y = வடிவத்தைக் கொண்ட இடத்தின் நியதிச் சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்தி ஒரு கோடு வரையறுக்கப்படும் போது y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ, எனவே ஒரு x, a y மற்றும் a z ஆகியவை கொடுக்கப்பட்ட நேர்கோட்டின் திசை வெக்டரின் ஆயத்தொலைவுகளாகக் கருதப்படுகின்றன. கொடுக்கப்பட்ட கோட்டிற்கு பூஜ்ஜியம் அல்லாத எந்த வெக்டரும் இயல்பானதாக இருக்கலாம் மற்றும் திசையன் a → = (a x, a y, a z) க்கு செங்குத்தாக இருக்கும். அளவுரு மற்றும் நியதிச் சமன்பாடுகளுடன் இயல்பான ஆயத்தொகுப்புகளைக் கண்டறிவது, கொடுக்கப்பட்ட திசையன் a → = (a x, a y, a z) க்கு செங்குத்தாக இருக்கும் திசையன்களின் ஆயங்களைப் பயன்படுத்தி செய்யப்படுகிறது.

உரையில் பிழையைக் கண்டால், அதை முன்னிலைப்படுத்தி Ctrl+Enter ஐ அழுத்தவும்

ஒருங்கிணைப்பு முறை என்பது விண்வெளியில் ஸ்டீரியோமெட்ரிக் பொருட்களுக்கு இடையே உள்ள கோணங்கள் அல்லது தூரங்களைக் கண்டறிய மிகவும் பயனுள்ள மற்றும் உலகளாவிய வழியாகும். உங்கள் கணித ஆசிரியர் அதிக தகுதி பெற்றவராக இருந்தால், அவர் இதை அறிந்திருக்க வேண்டும். இல்லையெனில், "சி" பகுதிக்கு ஆசிரியரை மாற்றுமாறு நான் அறிவுறுத்துகிறேன். கணிதத்தில் ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வுக்கான எனது தயாரிப்பு C1-C6 பொதுவாக கீழே விவரிக்கப்பட்டுள்ள அடிப்படை வழிமுறைகள் மற்றும் சூத்திரங்களின் பகுப்பாய்வை உள்ளடக்கியது.

a மற்றும் b கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணம்

விண்வெளியில் உள்ள கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணம், அவற்றுக்கு இணையான குறுக்கிடும் கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணம் ஆகும். இந்த கோணம் இந்த கோடுகளின் திசை திசையன்களுக்கு இடையிலான கோணத்திற்கு சமம் (அல்லது அதை 180 டிகிரிக்கு பூர்த்தி செய்கிறது).

கோணத்தைக் கண்டறிய கணித ஆசிரியர் எந்த வழிமுறையைப் பயன்படுத்துகிறார்?

1) எந்த திசையன்களையும் தேர்வு செய்யவும் மற்றும் நேர் கோடுகளின் திசைகள் a மற்றும் b (அவற்றிற்கு இணையாக).
2) திசையன்களின் ஆயத்தொலைவுகளை அவற்றின் தொடக்கங்கள் மற்றும் முடிவுகளின் தொடர்புடைய ஆயங்களைப் பயன்படுத்தி தீர்மானிக்கிறோம் (தொடக்கத்தின் ஆயத்தொலைவுகள் திசையன் முடிவின் ஆயத்தொலைவுகளிலிருந்து கழிக்கப்பட வேண்டும்).
3) கண்டுபிடிக்கப்பட்ட ஆயங்களை சூத்திரத்தில் மாற்றவும்:
. கோணத்தையே கண்டுபிடிக்க, முடிவின் ஆர்க் கொசைனைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.

விமானத்திற்கு இயல்பானது

ஒரு விமானத்திற்கு ஒரு சாதாரணமானது அந்த விமானத்திற்கு செங்குத்தாக இருக்கும் எந்த திசையன் ஆகும்.
சாதாரணமாகக் கண்டறிவது எப்படி?இயல்பின் ஆயத்தொலைவுகளைக் கண்டறிய, கொடுக்கப்பட்ட விமானத்தில் இருக்கும் M, N மற்றும் K ஆகிய மூன்று புள்ளிகளின் ஆயத்தொலைவுகளைத் தெரிந்து கொண்டால் போதும். இந்த ஆயங்களைப் பயன்படுத்தி, திசையன்களின் ஆயத்தொலைவுகளைக் கண்டறிந்து, நிபந்தனைகள் மற்றும் பூர்த்தி செய்யப்பட வேண்டும். வெக்டார்களின் அளவிடல் உற்பத்தியை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமன் செய்வதன் மூலம், மூன்று மாறிகள் கொண்ட சமன்பாடுகளின் அமைப்பை உருவாக்குகிறோம், அதில் இருந்து இயல்பான ஆயங்களை நாம் காணலாம்.

கணித ஆசிரியரின் குறிப்பு : கணினியை முழுவதுமாக தீர்க்க வேண்டிய அவசியமில்லை, ஏனென்றால் குறைந்தபட்சம் ஒரு சாதாரணமாகத் தேர்ந்தெடுக்க போதுமானது. இதைச் செய்ய, நீங்கள் எந்த எண்ணையும் (எடுத்துக்காட்டாக, ஒன்று) அதன் அறியப்படாத ஆயங்களுக்குப் பதிலாக மாற்றலாம் மற்றும் மீதமுள்ள இரண்டு அறியப்படாதவற்றுடன் இரண்டு சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்கலாம். இதற்கு தீர்வுகள் எதுவும் இல்லை என்றால், இதன் பொருள் சாதாரண குடும்பத்தில் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட மாறியில் ஒன்றின் மதிப்பு யாரும் இல்லை. பின்னர் ஒன்றை மற்றொரு மாறிக்கு (மற்றொரு ஒருங்கிணைப்பு) மாற்றி புதிய அமைப்பைத் தீர்க்கவும். நீங்கள் மீண்டும் தவறவிட்டால், உங்கள் இயல்பான கடைசி ஒருங்கிணைப்பில் ஒன்று இருக்கும், மேலும் அது சில ஒருங்கிணைப்பு விமானத்திற்கு இணையாக மாறும் (இந்த விஷயத்தில் கணினி இல்லாமல் கண்டுபிடிப்பது எளிது).

திசை திசையன் மற்றும் இயல்பான ஆயத்தொலைவுகளுடன் ஒரு நேர்கோடு மற்றும் ஒரு விமானம் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம்.
நேர் கோட்டிற்கும் விமானத்திற்கும் இடையிலான கோணம் பின்வரும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகிறது:

இந்த விமானங்களுக்கு ஏதேனும் இரண்டு சாதாரணமாக இருக்கட்டும். பின்னர் விமானங்களுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தின் கொசைன், நார்மல்களுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தின் கொசைன் மாடுலஸுக்கு சமம்:

விண்வெளியில் ஒரு விமானத்தின் சமன்பாடு

சமத்துவத்தை திருப்திப்படுத்தும் புள்ளிகள் ஒரு சாதாரண விமானத்தை உருவாக்குகின்றன. குணகம் இரண்டு விமானங்களுக்கு இடையே ஒரே மாதிரியான இயல்பான விலகலின் அளவிற்கு (இணை மாற்றம்) பொறுப்பாகும். ஒரு விமானத்தின் சமன்பாட்டை எழுதுவதற்கு, நீங்கள் முதலில் அதன் இயல்பைக் கண்டறிய வேண்டும் (மேலே விவரிக்கப்பட்டுள்ளபடி), பின்னர் விமானத்தில் உள்ள எந்தப் புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகளையும் சமன்பாட்டில் காணப்படும் இயல்பான ஆயத்தொலைவுகளுடன் மாற்றவும் மற்றும் குணகத்தைக் கண்டறியவும்.

ஒரு விமானம் n இன் இயல்பானது (விமானத்தின் சாதாரண திசையன்) அதற்கு செங்குத்தாக இருக்கும் எந்த திசையும் (ஆர்த்தோகனல் வெக்டர்). இயல்பைத் தீர்மானிப்பதற்கான அடுத்தடுத்த கணக்கீடுகள் விமானத்தை வரையறுக்கும் முறையைப் பொறுத்தது.

வழிமுறைகள்

1. விமானத்தின் பொதுவான சமன்பாடு கொடுக்கப்பட்டால் - AX+BY+CZ+D=0 அல்லது அதன் வடிவம் A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0, நீங்கள் உடனடியாக எழுதலாம் முடிவு - n(A, B, C). உண்மை என்னவென்றால், இந்த சமன்பாடு ஒரு விமானத்தின் சமன்பாட்டை ஒரு சாதாரண மற்றும் ஒரு புள்ளியில் இருந்து தீர்மானிப்பதில் சிக்கலாக பெறப்பட்டது.

2. உலகளாவிய முடிவைப் பெற, உங்களுக்கு திசையன்களின் வெக்டார் தயாரிப்பு தேவைப்படும், ஏனெனில் பிந்தையது ஆரம்ப திசையன்களுக்கு மாறாமல் செங்குத்தாக உள்ளது. திசையன்களின் திசையன் தயாரிப்பு என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட திசையன் என்று மாறிவிடும், அதன் மாடுலஸ் முதல் (a) இன் மாடுலஸின் தயாரிப்புக்கு சமமாக இருக்கும் இரண்டாவது (b) மற்றும் அவற்றுக்கிடையேயான கோணத்தின் சைன் மூலம். மேலும், இந்த திசையன் (அதை n ஆல் குறிக்கவும்) a மற்றும் b க்கு ஆர்த்தோகனல் ஆகும் - இது முக்கிய விஷயம். இந்த மூன்று வெக்டார்களும் வலது கை, அதாவது n முடிவில் இருந்து a இலிருந்து b க்கு எதிரெதிர் திசையில் இருக்கும்.

3. திசையன் தயாரிப்புக்கான பொதுவாக ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்ட குறியீடுகளில் ஒன்றாகும். திசையன் உற்பத்தியை ஒருங்கிணைப்பு வடிவத்தில் கணக்கிட, ஒரு தீர்மானிக்கும் திசையன் பயன்படுத்தப்படுகிறது (படம் 1 ஐப் பார்க்கவும்)

4. “-” அடையாளத்துடன் குழப்பமடையாமல் இருக்க, முடிவைப் படிவத்தில் மீண்டும் எழுதவும்: n=(nx, ny, nz)=i(aybz-azby)+j(azbx-axbz)+k(axby-aybx) , மற்றும் ஆயங்களில் : (nx, ny, nz)=((aybz-azby), (azbx-axbz), (axby-aybx)).மேலும், எண் உதாரணங்களுடன் குழப்பமடையாமல் இருக்க, பெறப்பட்ட அனைத்தையும் எழுதவும். மதிப்புகள் தனித்தனியாக: nx=aybz-azby, ny=azbx-axbz, nz=axby-aybx.

கையில் உள்ள சிக்கலைத் தீர்ப்பதற்குத் திரும்பு. விமானத்தை வெவ்வேறு முறைகளைப் பயன்படுத்தி குறிப்பிடலாம். விமானத்தின் இயல்பானது இரண்டு கோலினியர் அல்லாத திசையன்களால் தீர்மானிக்கப்படட்டும், உடனடியாக எண்ணியல் ரீதியாகவும். திசையன்கள் a(2, 4, 5) மற்றும் b(3, 2, 6) கொடுக்கலாம். விமானத்திற்கான இயல்பானது அவற்றின் திசையன் தயாரிப்புடன் ஒத்துப்போகிறது, மேலும் இப்போது தெளிவுபடுத்தப்பட்டபடி, n(nx, ny, nz), nx=aybz-azby, ny=azbx-axbz, nz=axby-aybx க்கு சமமாக இருக்கும். இந்த வழக்கில், ax=2, ay=4, az=5, bx=3, by=2, bz=6. எனவே, nx=24-10=14, ny=12-15=-3, nz=4-8=-4. இயல்பான கண்டறியப்பட்டது – n(14, -3, -4). மேலும், இது விமானங்களின் முழு குடும்பத்திற்கும் இயல்பானது. கணிதச் சொல்லின் கீழ்சாதாரண கணிதச் சொல்லின் கீழ்செங்குத்தான காது பிரதிநிதித்துவத்திற்கு மிகவும் பரிச்சயமானது மறைக்கப்பட்டுள்ளது. அதாவது, ஒரு இயல்பைக் கண்டறியும் பணியானது கொடுக்கப்பட்ட சாய்ந்த அல்லது மேற்பரப்பிற்கு செங்குத்தாக ஒரு நேர்கோட்டின் சமன்பாட்டை ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளியின் வழியாகத் தேடுவதை உள்ளடக்கியது. ஒரு விமானத்தில் அல்லது விண்வெளியில் கண்டறிவது அவசியமா என்பதைப் பொறுத்து

, இந்த பிரச்சனை வெவ்வேறு வழிகளில் தீர்க்கப்படுகிறது. சிக்கலின் இரண்டு பதிப்புகளையும் பார்ப்போம்.

• உங்களுக்கு தேவைப்படும்

வழிமுறைகள்

1. y = f(x) சமன்பாட்டின் வடிவத்தில் ஒரு விமானத்தில் குறிப்பிடப்பட்ட ஒரு சாய்வானது இயல்பான சமன்பாட்டைத் தேடும் புள்ளியில் இந்த சாய்வின் சமன்பாட்டை தீர்மானிக்கும் செயல்பாட்டின் மதிப்பைக் காண்கிறோம்: a = f. (x0) இந்தச் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் காண்கிறோம்: f"(x). அதே புள்ளியில் வழித்தோன்றலின் மதிப்பைத் தேடுகிறோம்: B = f"(x0). மேலும் வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கணக்கிடுகிறோம்: C = a – B*x0. நாம் சாதாரண சமன்பாட்டை உருவாக்குகிறோம், இது போல் இருக்கும்: y = B*x + C.

2. எஃப் = எஃப் (x, y, z) சமன்பாட்டின் வடிவத்தில் விண்வெளியில் கொடுக்கப்பட்ட மேற்பரப்பு அல்லது சாய்வானது, நமக்கு வழங்கப்பட்ட செயல்பாட்டின் பகுதி வழித்தோன்றல்களைக் காண்கிறோம்: f'x(x,y,z) , f'y(x,y, z), f'z(x,y,z). M(x0,y0,z0) என்ற புள்ளியில் இந்த வழித்தோன்றல்களின் மதிப்பை நாங்கள் தேடுகிறோம் - மேற்பரப்புக்கான இயல்பான சமன்பாட்டைக் கண்டறிய வேண்டிய புள்ளி அல்லது இடஞ்சார்ந்த சாய்வு: A = f'x(x0, y0,z0), B = f'y(x0, y0,z0), C = f'z(x0,y0,z0). நாம் சாதாரண சமன்பாட்டை உருவாக்குகிறோம், இது இப்படி இருக்கும்: (x – x0)/A = (y – y0)/B = (z – z0)/C

3. எடுத்துக்காட்டு: x = 1 என்ற புள்ளியில் y = x – x^2 செயல்பாட்டிற்கான இயல்பான சமன்பாட்டைக் காண்கிறோம். இந்த கட்டத்தில் செயல்பாட்டின் மதிப்பு a = 1 – 1 = 0. y' செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் = 1 – 2x, இந்த கட்டத்தில் B = y" (1) = -1. நாம் C = 0 – (-1)*1 = 1 என்று கணக்கிடுகிறோம். விரும்பிய சாதாரண சமன்பாடு வடிவம் கொண்டது: y = -x + 1

தலைப்பில் வீடியோ

பயனுள்ள ஆலோசனை
ஆய்வு செய்யப்படுவதைத் தவிர அனைத்து மாறிகளும் மாறிலிகள் என்று கற்பனை செய்வதன் மூலம் எந்தவொரு செயல்பாட்டின் பகுதி வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறிவது கடினம் அல்ல.

தேடல் பணி திசையன் இயல்பானவர்கள்ஒரு விமானத்தில் ஒரு நேர் கோடு மற்றும் விண்வெளியில் ஒரு விமானம் மிகவும் பழமையானது. உண்மையில், இது ஒரு நேர் கோடு அல்லது விமானத்தின் உலகளாவிய சமன்பாடுகளின் பதிவுடன் முடிவடைகிறது. ஒவ்வொன்றின் விமானத்திலும் ஒரு வளைவு என்பது விண்வெளியில் உள்ள ஒரு மேற்பரப்பின் ஒரு சிறப்பு நிகழ்வாக மட்டுமே இருப்பதால், மேற்பரப்பிற்கான இயல்புகள் பற்றி விவாதிக்கப்படும்.

வழிமுறைகள்

1. 1 வது முறை இந்த முறை மிகவும் பழமையானது, ஆனால் அதன் புரிதலுக்கு ஒரு அளவிடல் புலத்தை பிரதிநிதித்துவப்படுத்தும் திறன் தேவைப்படுகிறது. இருப்பினும், இந்த விஷயத்தில் ஒரு அனுபவமற்ற வாசகர் கூட இந்த கேள்வியின் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்த முடியும்.

2. f என்ற அளவுகோல் புலம் f=f(x, y, z) என வழங்கப்படுவது அறியப்படுகிறது, மேலும் இந்த வழக்கில் எந்தப் பரப்பும் f(x, y, z)=C (C=const) என்ற அடுக்கின் மேற்பரப்பாகும். கூடுதலாக, அடுக்கின் மேற்பரப்பின் இயல்பானது ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளியில் அளவிடல் புலத்தின் சாய்வுடன் ஒத்துப்போகிறது.

3. அளவிடல் புலம் சாய்வு (3 மாறிகளின் செயல்பாடு) என்பது திசையன் g=gradf=idf/dx+jdf/dy+kdf/dz=(df/dx, df/dy, df/dz) ஆகும். ஏனெனில் நீளம் இயல்பானவர்கள்ஒரு பொருட்டல்ல, முடிவை எழுதுவது மட்டுமே மீதமுள்ளது. மேற்பரப்புக்கு இயல்பானது f(x, y, z)-C=0 புள்ளியில் M0(x0, y0, z0) n=gradf=idf/dx+jdf/dy+kdf/dz=(df/dx, df/dy , df/ dz).

4. முறை 2 மேற்பரப்பை F(x, y, z)=0 சமன்பாட்டின் மூலம் கொடுக்கலாம். எதிர்காலத்தில் முதல் முறையுடன் ஒப்புமைகளை வரைவதற்கு, தொடர்ச்சியான கோட்டின் வழித்தோன்றல் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம் என்றும், F என்பது f(x, y, z)-C=0 ( C=const). இந்த மேற்பரப்பை நாம் தன்னிச்சையான விமானத்துடன் வெட்டினால், அதன் விளைவாக வரும் இடஞ்சார்ந்த வளைவு சில திசையன் செயல்பாட்டின் ஹோடோகிராஃப் என்று கருதலாம் r(t)= ix(t)x+jy(t)+kz(t). பின்னர் வழித்தோன்றல் திசையன் r'(t)= ix'(t)+jy'(t)+kz'(t) என்பது மேற்பரப்பின் சில புள்ளிகளில் M0(x0, y0, z0) ஒரு தொடுகோடு இயக்கப்படுகிறது (படம் 1 ஐப் பார்க்கவும்).

5. குழப்பத்தைத் தவிர்க்க, தொடுகோட்டின் தற்போதைய ஆயங்கள் சாய்வுகளில் (x, y, z) குறிக்கப்பட வேண்டும். r'(t0) என்பது திசை திசையன் என்பதை கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டு, தொடு கோட்டின் நியதிச் சமன்பாடு (x-x(t0))/(dx(t0)/dt)= (y-y(t0))/(dy (t0)/dt )= (z-z(t0))/(dz(t0)/dt).

6. வெக்டார் செயல்பாட்டின் ஆயங்களை f(x, y, z)-C=0 என்ற மேற்பரப்பு சமன்பாட்டில் மாற்றுவது மற்றும் t ஐப் பொறுத்து வேறுபடுத்துவது (df/dx)(dx/dt)+(df/dy) (dy/ dt)+(df /dz)(dz/dt)=0. சமத்துவம் என்பது சிலரின் அளவுகோல் தயாரிப்பு திசையன் n(df/dx, df/dy, df/dz) மற்றும் r'(x'(t), y'(t), z'(t)). பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமமாக இருப்பதால், n(df/dx, df/dy, df/dz) என்பது விரும்பிய திசையன் இயல்பானவர்கள். வெளிப்படையாக, இரண்டு முறைகளின் முடிவுகளும் ஒன்றே.

7. எடுத்துக்காட்டு (கோட்பாட்டு முக்கியத்துவம் உள்ளது). வெக்டரைக் கண்டறியவும் இயல்பானவர்கள் 2 மாறிகள் z=z(x, y) செயல்பாட்டின் பொதுவான சமன்பாட்டால் வரையறுக்கப்பட்ட மேற்பரப்புக்கு. தீர்வு. இந்த சமன்பாட்டை z-z(x, y)=F(x, y, z)=0 வடிவத்தில் மீண்டும் எழுதவும். முன்மொழிவு முறைகளில் ஏதேனும் ஒன்றைப் பின்பற்றினால், n(-дz/дx, -дz/дy, 1) என்பது விரும்பிய திசையன் என்று மாறிவிடும். இயல்பானவர்கள் .

இயல்பானது என்ன? எளிமையான வார்த்தைகளில், ஒரு சாதாரணமானது செங்குத்தாக உள்ளது. அதாவது, ஒரு கோட்டின் இயல்பான திசையன் கொடுக்கப்பட்ட கோட்டிற்கு செங்குத்தாக உள்ளது. வெளிப்படையாக, எந்த நேர் கோட்டிலும் எண்ணற்ற எண்கள் உள்ளன (அதே போல் திசை திசையன்கள்), மற்றும் நேர்கோட்டின் அனைத்து சாதாரண திசையன்களும் கோலினியர் (கோடிரக்ஷனல் அல்லது இல்லை, இது எந்த வித்தியாசத்தையும் ஏற்படுத்தாது).

வழிகாட்டி திசையன்களைக் காட்டிலும் அவற்றைக் கையாள்வது இன்னும் எளிதாக இருக்கும்:

ஒரு செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் பொதுவான சமன்பாட்டால் ஒரு கோடு கொடுக்கப்பட்டால், திசையன் இந்த வரியின் சாதாரண திசையன் ஆகும்.

திசை வெக்டரின் ஆயங்களை சமன்பாட்டிலிருந்து கவனமாக "வெளியேற்ற" வேண்டும் என்றால், சாதாரண திசையன் ஆயங்களை வெறுமனே "அகற்ற" முடியும்.

சாதாரண திசையன் கோட்டின் திசை வெக்டருக்கு எப்போதும் ஆர்த்தோகனல் ஆகும். இந்த வெக்டார்களின் ஆர்த்தோகனாலிட்டியை ஸ்கேலர் தயாரிப்பைப் பயன்படுத்தி சரிபார்ப்போம்:

திசை வெக்டரின் அதே சமன்பாடுகளுடன் உதாரணங்களை தருகிறேன்:

ஒரு புள்ளி மற்றும் ஒரு சாதாரண திசையன் கொடுக்கப்பட்ட நேர்கோட்டின் சமன்பாட்டை உருவாக்க முடியுமா? சாதாரண திசையன் தெரிந்தால், நேர் கோட்டின் திசையே தெளிவாக வரையறுக்கப்படுகிறது - இது 90 டிகிரி கோணம் கொண்ட ஒரு "கடினமான அமைப்பு" ஆகும்.

ஒரு புள்ளி மற்றும் ஒரு சாதாரண திசையன் கொடுக்கப்பட்ட நேர்கோட்டின் சமன்பாட்டை எவ்வாறு எழுதுவது?

ஒரு கோட்டிற்குச் சொந்தமான ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளி மற்றும் இந்த வரியின் சாதாரண திசையன் அறியப்பட்டால், இந்த வரியின் சமன்பாடு சூத்திரத்தால் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது:

ஒரு புள்ளி மற்றும் ஒரு சாதாரண திசையன் கொடுக்கப்பட்ட நேர்கோட்டின் சமன்பாட்டை எழுதுங்கள். கோட்டின் திசை வெக்டரைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு: சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தவும்:

வரியின் பொதுவான சமன்பாடு பெறப்பட்டது, சரிபார்ப்போம்:

1) சமன்பாட்டிலிருந்து சாதாரண வெக்டரின் ஆயங்களை "நீக்கு": - ஆம், உண்மையில், அசல் திசையன் நிபந்தனையிலிருந்து பெறப்பட்டது (அல்லது ஒரு கோலினியர் வெக்டரைப் பெற வேண்டும்).

2) புள்ளி சமன்பாட்டை திருப்திப்படுத்துகிறதா என்று பார்க்கலாம்:

உண்மையான சமத்துவம்.

சமன்பாடு சரியாக இயற்றப்பட்டுள்ளது என்பதை நாங்கள் நம்பிய பிறகு, பணியின் இரண்டாவது, எளிதான பகுதியை முடிப்போம். நேர் கோட்டின் இயக்கும் திசையனை நாங்கள் வெளியே எடுக்கிறோம்:

பதில்:

வரைபடத்தில், நிலைமை இதுபோல் தெரிகிறது:

பயிற்சி நோக்கங்களுக்காக, சுயாதீனமாக தீர்க்கும் இதேபோன்ற பணி:

ஒரு புள்ளி மற்றும் ஒரு சாதாரண திசையன் கொடுக்கப்பட்ட நேர்கோட்டின் சமன்பாட்டை எழுதுங்கள். கோட்டின் திசை வெக்டரைக் கண்டறியவும்.

பாடத்தின் இறுதிப் பகுதி குறைவான பொதுவான, ஆனால் ஒரு விமானத்தில் ஒரு கோட்டின் முக்கியமான வகை சமன்பாடுகளுக்கு அர்ப்பணிக்கப்படும்.

பிரிவுகளில் நேர்கோட்டின் சமன்பாடு.
அளவுரு வடிவத்தில் ஒரு கோட்டின் சமன்பாடு

பிரிவுகளில் ஒரு நேர்கோட்டின் சமன்பாடு வடிவம் கொண்டது, அங்கு பூஜ்ஜியமற்ற மாறிலிகள் உள்ளன. சில வகையான சமன்பாடுகளை இந்த வடிவத்தில் குறிப்பிட முடியாது, எடுத்துக்காட்டாக, நேரடி விகிதாசாரம் (இலவச சொல் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம் மற்றும் வலது பக்கத்தில் ஒன்றைப் பெற வழி இல்லை).

இது, அடையாளப்பூர்வமாகச் சொன்னால், ஒரு "தொழில்நுட்ப" வகை சமன்பாடு. ஒரு கோட்டின் பொதுவான சமன்பாட்டை பிரிவுகளில் ஒரு கோட்டின் சமன்பாடாக பிரதிநிதித்துவப்படுத்துவது ஒரு பொதுவான பணியாகும். இது எப்படி வசதியானது? பிரிவுகளில் ஒரு கோட்டின் சமன்பாடு, ஒருங்கிணைப்பு அச்சுகளுடன் கோட்டின் குறுக்குவெட்டு புள்ளிகளை விரைவாகக் கண்டறிய உங்களை அனுமதிக்கிறது, இது உயர் கணிதத்தின் சில சிக்கல்களில் மிகவும் முக்கியமானது.

அச்சுடன் கோடு வெட்டும் புள்ளியைக் கண்டுபிடிப்போம். "y" ஐ பூஜ்ஜியத்திற்கு மீட்டமைக்கிறோம், சமன்பாடு வடிவத்தை எடுக்கும். விரும்பிய புள்ளி தானாகவே பெறப்படுகிறது: .

அச்சிலும் அதே - நேர்கோடு ஆர்டினேட் அச்சை வெட்டும் புள்ளி.

நான் இப்போது விரிவாக விளக்கிய செயல்கள் வாய்மொழியாக செய்யப்படுகின்றன.

நேர்கோடு கொடுக்கப்பட்டது. ஒரு நேர் கோட்டின் சமன்பாட்டை பிரிவுகளில் எழுதி, வரைபடத்தின் குறுக்குவெட்டு புள்ளிகளை ஒருங்கிணைப்பு அச்சுகளுடன் தீர்மானிக்கவும்.

தீர்வு: சமன்பாட்டை படிவத்திற்குக் குறைப்போம். முதலில் இலவச வார்த்தையை வலது பக்கத்திற்கு நகர்த்துகிறோம்:

வலதுபுறத்தில் ஒன்றைப் பெற, சமன்பாட்டில் உள்ள ஒவ்வொரு சொல்லையும் –11 ஆல் வகுக்கவும்:

பின்னங்களை மூன்று அடுக்குகளாக உருவாக்குதல்:

ஆய அச்சுகளுடன் நேர் கோட்டின் வெட்டும் புள்ளிகள் வெளிப்பட்டன:

பதில்:

எஞ்சியிருப்பது ஒரு ஆட்சியாளரை இணைத்து ஒரு நேர் கோட்டை வரைய வேண்டும்.

இந்த வரி சிவப்பு மற்றும் பச்சை பிரிவுகளால் தனித்துவமாக தீர்மானிக்கப்படுவதைப் பார்ப்பது எளிது, எனவே பெயர் - "பிரிவுகளில் ஒரு கோட்டின் சமன்பாடு."

நிச்சயமாக, புள்ளிகள் சமன்பாட்டிலிருந்து கண்டுபிடிக்க மிகவும் கடினமாக இல்லை, ஆனால் பணி இன்னும் பயனுள்ளதாக இருக்கும். ஆய அச்சுகளுடன் விமானத்தின் குறுக்குவெட்டு புள்ளிகளைக் கண்டறியவும், இரண்டாவது வரிசைக் கோட்டின் சமன்பாட்டை நியமன வடிவத்திற்குக் குறைக்கவும் மற்றும் வேறு சில சிக்கல்களிலும் கருதப்பட்ட அல்காரிதம் தேவைப்படும். எனவே, ஒரு சுயாதீன தீர்வுக்கான இரண்டு நேர் கோடுகள்:

ஒரு நேர் கோட்டின் சமன்பாட்டை பிரிவுகளில் வரைந்து, அதன் குறுக்குவெட்டு புள்ளிகளை ஒருங்கிணைப்பு அச்சுகளுடன் தீர்மானிக்கவும்.

முடிவில் தீர்வுகள் மற்றும் பதில்கள். நீங்கள் விரும்பினால் எல்லாவற்றையும் வரையலாம் என்பதை மறந்துவிடாதீர்கள்.

ஒரு நேர் கோட்டிற்கான அளவுரு சமன்பாடுகளை எழுதுவது எப்படி?

ஒரு நேர் கோட்டின் அளவுரு சமன்பாடுகள் விண்வெளியில் நேர் கோடுகளுக்கு மிகவும் பொருத்தமானவை, ஆனால் அவை இல்லாமல் நமது சுருக்கம் அனாதையாகிவிடும்.

ஒரு கோட்டிற்குச் சொந்தமான ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளி மற்றும் இந்த வரியின் திசை திசையன் அறியப்பட்டால், இந்த வரியின் அளவுரு சமன்பாடுகள் கணினியால் வழங்கப்படுகின்றன:

ஒரு புள்ளி மற்றும் திசை வெக்டரைப் பயன்படுத்தி ஒரு நேர் கோட்டின் அளவுரு சமன்பாடுகளை உருவாக்கவும்

தீர்வு தொடங்குவதற்கு முன்பே முடிந்தது:

"te" அளவுருவானது "மைனஸ் இன்ஃபினிட்டி" இலிருந்து "பிளஸ் இன்ஃபினிட்டி" வரை எந்த மதிப்பையும் எடுக்கலாம், மேலும் ஒவ்வொரு அளவுரு மதிப்பும் விமானத்தில் ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளிக்கு ஒத்திருக்கும். உதாரணமாக, என்றால், நாம் புள்ளியைப் பெறுகிறோம் .

தலைகீழ் சிக்கல்: ஒரு நிபந்தனை புள்ளி கொடுக்கப்பட்ட வரிக்கு சொந்தமானதா என்பதை எவ்வாறு சரிபார்க்கலாம்?

இதன் விளைவாக வரும் அளவுரு சமன்பாடுகளில் புள்ளியின் ஆயங்களை மாற்றுவோம்:

இரண்டு சமன்பாடுகளிலிருந்தும் இது பின்வருமாறு, அதாவது, அமைப்பு சீரானது மற்றும் ஒரு தனித்துவமான தீர்வு உள்ளது.

மேலும் அர்த்தமுள்ள பணிகளைக் கருத்தில் கொள்வோம்:

ஒரு நேர் கோட்டின் அளவுரு சமன்பாடுகளை எழுதுங்கள்

தீர்வு: நிபந்தனையின் படி, வரி பொதுவான வடிவத்தில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. ஒரு கோட்டின் அளவுரு சமன்பாடுகளை உருவாக்க, அதன் திசை திசையன் மற்றும் இந்த வரியின் சில புள்ளிகளை நீங்கள் அறிந்து கொள்ள வேண்டும்.

திசை வெக்டரைக் கண்டுபிடிப்போம்:

இப்போது நீங்கள் கோட்டிற்குச் சொந்தமான சில புள்ளிகளைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் (இந்த நோக்கங்களுக்காக, பொதுவான சமன்பாட்டை கோணக் குணகத்துடன் மீண்டும் எழுதுவது வசதியானது:

இது, நிச்சயமாக, புள்ளியை அறிவுறுத்துகிறது

நேர்கோட்டின் அளவுரு சமன்பாடுகளை உருவாக்குவோம்:

இறுதியாக, நீங்கள் சொந்தமாக தீர்க்க ஒரு சிறிய படைப்பு பணி.

ஒரு கோட்டிற்குரிய புள்ளி மற்றும் சாதாரண திசையன் தெரிந்தால் அதன் அளவுரு சமன்பாடுகளை உருவாக்கவும்

ஒரு பணியை உருவாக்க ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட வழிகள் உள்ளன. தீர்வின் ஒரு பதிப்பு மற்றும் இறுதியில் பதில்.

தீர்வுகள் மற்றும் பதில்கள்:

எடுத்துக்காட்டு 2: தீர்வு: சரிவைக் கண்டுபிடிப்போம்:

ஒரு புள்ளி மற்றும் கோணக் குணகத்தைப் பயன்படுத்தி நேர்கோட்டின் சமன்பாட்டை உருவாக்குவோம்:

பதில்:

எடுத்துக்காட்டு 4: தீர்வு: சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி ஒரு நேர்கோட்டின் சமன்பாட்டை உருவாக்குவோம்:

பதில்:

எடுத்துக்காட்டு 6: தீர்வு: சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தவும்:

பதில்: (y-அச்சு)

எடுத்துக்காட்டு 8: தீர்வு: இரண்டு புள்ளிகளைப் பயன்படுத்தி ஒரு நேர்கோட்டின் சமன்பாட்டை உருவாக்குவோம்:

இரு பக்கங்களையும் –4 ஆல் பெருக்கவும்:

மற்றும் 5 ஆல் வகுக்கவும்:

பதில்:

எடுத்துக்காட்டு 10: தீர்வு: நாங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

-2 ஆல் குறைக்க:

நேரடி திசையன்:
பதில்:

எடுத்துக்காட்டு 12:
A) தீர்வு: சமன்பாட்டை மாற்றுவோம்:

இவ்வாறு:

பதில்:

b) தீர்வு: சமன்பாட்டை மாற்றுவோம்:

இவ்வாறு:

பதில்:

எடுத்துக்காட்டு 15: தீர்வு: முதலில், ஒரு புள்ளியில் ஒரு நேர்கோட்டின் பொதுவான சமன்பாட்டை உருவாக்குவோம் மற்றும் சாதாரண திசையன் :

12 ஆல் பெருக்கவும்:

இரண்டாவது அடைப்புக்குறியைத் திறந்த பிறகு, பின்னத்திலிருந்து விடுபட, மேலும் 2 ஆல் பெருக்குகிறோம்:

நேரடி திசையன்:
ஒரு புள்ளியில் இருந்து நேர்கோட்டின் அளவுரு சமன்பாடுகளை உருவாக்குவோம் மற்றும் திசை திசையன் :
பதில்:

ஒரு விமானத்தில் ஒரு நேர் கோட்டில் எளிமையான சிக்கல்கள்.
வரிகளின் ஒப்பீட்டு நிலை. நேர் கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணம்

இந்த முடிவற்ற, முடிவற்ற நேர்கோடுகளை நாங்கள் தொடர்ந்து கருதுகிறோம்.

ஒரு புள்ளியில் இருந்து ஒரு கோட்டிற்கான தூரத்தை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது?
இரண்டு இணை கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள தூரத்தை எப்படி கண்டுபிடிப்பது?
இரண்டு நேர் கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தை எப்படி கண்டுபிடிப்பது?

இரண்டு நேர் கோடுகளின் ஒப்பீட்டு நிலை

பொதுவான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளால் வரையறுக்கப்பட்ட இரண்டு நேர்கோடுகளைக் கருத்தில் கொள்வோம்:

பார்வையாளர்கள் கோரஸாகப் பாடும்போது இதுதான் நிலை. இரண்டு வரிகள் முடியும்:

1) பொருத்தம்;

2) இணையாக இருங்கள்:

3) அல்லது ஒரு புள்ளியில் வெட்டுங்கள்: .

கணித குறுக்குவெட்டு அடையாளத்தை நினைவில் கொள்ளவும், அது அடிக்கடி தோன்றும். குறியீடு என்பது புள்ளியில் உள்ள கோட்டுடன் கோடு வெட்டுகிறது.

இரண்டு வரிகளின் ஒப்பீட்டு நிலையை எவ்வாறு தீர்மானிப்பது?

முதல் வழக்குடன் ஆரம்பிக்கலாம்:

இரண்டு கோடுகள் அவற்றின் தொடர்புடைய குணகங்கள் விகிதாசாரமாக இருந்தால் மட்டுமே சமமாக இருக்கும், அதாவது சமத்துவங்கள் வைத்திருக்கும் ஒரு எண் "லாம்ப்டா" உள்ளது.

நேர்கோடுகளைக் கருத்தில் கொள்வோம் மற்றும் தொடர்புடைய குணகங்களிலிருந்து மூன்று சமன்பாடுகளை உருவாக்குவோம்: . ஒவ்வொரு சமன்பாட்டிலிருந்தும் இது பின்வருமாறு, எனவே, இந்த கோடுகள் ஒத்துப்போகின்றன.

உண்மையில், சமன்பாட்டின் அனைத்து குணகங்களும் இருந்தால் -1 (அறிகுறிகளை மாற்றவும்), மற்றும் சமன்பாட்டின் அனைத்து குணகங்களால் பெருக்கவும் 2 ஆல் வெட்டப்பட்டால், நீங்கள் அதே சமன்பாட்டைப் பெறுவீர்கள்: .

இரண்டாவது வழக்கு, கோடுகள் இணையாக இருக்கும்போது:

மாறிகளின் குணகங்கள் விகிதாசாரமாக இருந்தால் மட்டுமே இரண்டு கோடுகள் இணையாக இருக்கும்: , ஆனால் .

உதாரணமாக, இரண்டு நேர் கோடுகளைக் கவனியுங்கள். மாறிகளுக்கான தொடர்புடைய குணகங்களின் விகிதாச்சாரத்தை நாங்கள் சரிபார்க்கிறோம்:

இருப்பினும், இது மிகவும் வெளிப்படையானது.

மூன்றாவது வழக்கு, கோடுகள் வெட்டும் போது:

மாறிகளுக்கு அவற்றின் குணகங்கள் விகிதாசாரமாக இல்லாவிட்டால் மட்டுமே இரண்டு கோடுகள் வெட்டுகின்றன, அதாவது சமத்துவங்கள் வைத்திருக்கும் "லாம்ப்டா" மதிப்பு இல்லை.

எனவே, நேர் கோடுகளுக்கு நாம் ஒரு அமைப்பை உருவாக்குவோம்:

முதல் சமன்பாட்டில் இருந்து அது பின்வருமாறு, மற்றும் இரண்டாவது சமன்பாட்டில் இருந்து: , அதாவது கணினி சீரற்றது (தீர்வுகள் இல்லை). இதனால், மாறிகளின் குணகங்கள் விகிதாசாரமாக இல்லை.

முடிவு: கோடுகள் வெட்டுகின்றன

நடைமுறை சிக்கல்களில், நீங்கள் இப்போது விவாதிக்கப்பட்ட தீர்வு திட்டத்தைப் பயன்படுத்தலாம். மூலம், இது கோலினரிட்டிக்கான திசையன்களைச் சரிபார்க்கும் வழிமுறையை மிகவும் நினைவூட்டுகிறது. ஆனால் மிகவும் நாகரீகமான பேக்கேஜிங் உள்ளது:

வரிகளின் தொடர்புடைய நிலையைக் கண்டறியவும்:

நேர்கோடுகளின் திசையன்களை இயக்கும் ஆய்வின் அடிப்படையில் தீர்வு அமைந்துள்ளது:

அ) சமன்பாடுகளில் இருந்து கோடுகளின் திசை திசையன்களைக் காண்கிறோம்: .

, அதாவது திசையன்கள் கோலினியர் அல்ல மற்றும் கோடுகள் வெட்டுகின்றன.

b) கோடுகளின் திசை திசையன்களைக் கண்டறியவும்:

கோடுகள் ஒரே திசை வெக்டரைக் கொண்டுள்ளன, அதாவது அவை இணையாகவோ அல்லது தற்செயலாகவோ இருக்கும். இங்கே தீர்மானிப்பதை எண்ண வேண்டிய அவசியமில்லை.

அறியப்படாதவற்றின் குணகங்கள் விகிதாச்சாரத்தில் உள்ளன என்பது வெளிப்படையானது, மற்றும் .

சமத்துவம் உண்மையா என்பதைக் கண்டுபிடிப்போம்:

இவ்வாறு,

c) கோடுகளின் திசை திசையன்களைக் கண்டறியவும்:

இந்த திசையன்களின் ஆயத்தொகுப்புகளால் உருவாக்கப்பட்ட தீர்மானிப்பதைக் கணக்கிடுவோம்:
எனவே, திசை திசையன்கள் கோலினியர் ஆகும். கோடுகள் இணையாகவோ அல்லது தற்செயலாகவோ இருக்கும்.

விகிதாச்சார குணகம் "லாம்ப்டா" கோலினியர் திசை திசையன்களின் உறவில் இருந்து நேரடியாகக் காணலாம். இருப்பினும், சமன்பாடுகளின் குணகங்கள் மூலமாகவும் இது சாத்தியமாகும்: .

இப்போது சமத்துவம் உண்மையா என்பதைக் கண்டுபிடிப்போம். இரண்டு இலவச சொற்களும் பூஜ்ஜியமாகும், எனவே:

இதன் விளைவாக வரும் மதிப்பு இந்த சமன்பாட்டை திருப்திப்படுத்துகிறது (பொதுவாக எந்த எண்ணும் அதை திருப்திப்படுத்துகிறது).

இவ்வாறு, கோடுகள் ஒத்துப்போகின்றன.

கொடுக்கப்பட்ட வரிக்கு இணையாக ஒரு கோடு கட்டுவது எப்படி?

நேர்கோடு சமன்பாட்டால் வழங்கப்படுகிறது. புள்ளியின் வழியாக செல்லும் இணையான கோட்டிற்கு ஒரு சமன்பாட்டை எழுதுங்கள்.

தீர்வு: தெரியாத வரியை எழுத்தின் மூலம் குறிப்போம். நிலைமை அவளைப் பற்றி என்ன சொல்கிறது? நேர் கோடு புள்ளி வழியாக செல்கிறது. கோடுகள் இணையாக இருந்தால், "டி" என்ற நேர்கோட்டை உருவாக்குவதற்கு "tse" என்ற நேர்கோட்டின் திசை திசையன் பொருத்தமானது என்பது வெளிப்படையானது.

சமன்பாட்டிலிருந்து திசை வெக்டரை எடுக்கிறோம்:

உதாரணத்தின் வடிவியல் எளிமையானது:

பகுப்பாய்வு சோதனை பின்வரும் படிகளைக் கொண்டுள்ளது:

1) கோடுகளுக்கு ஒரே திசை திசையன் இருக்கிறதா என்று சரிபார்க்கிறோம் (கோட்டின் சமன்பாடு சரியாக எளிமைப்படுத்தப்படவில்லை என்றால், திசையன்கள் கோலினியர்களாக இருக்கும்).

2) புள்ளி விளைவாக சமன்பாட்டை திருப்திப்படுத்துகிறதா என சரிபார்க்கவும்.

பெரும்பாலான சந்தர்ப்பங்களில், பகுப்பாய்வு பரிசோதனையை எளிதாக வாய்வழியாகச் செய்யலாம். இரண்டு சமன்பாடுகளையும் பாருங்கள், உங்களில் பலர் எந்த வரைபடமும் இல்லாமல் கோடுகளின் இணையான தன்மையை விரைவாக தீர்மானிப்பீர்கள்.

இன்று சுயாதீன தீர்வுகளுக்கான எடுத்துக்காட்டுகள் ஆக்கப்பூர்வமாக இருக்கும்.

கோட்டிற்கு இணையான ஒரு புள்ளியின் வழியாக செல்லும் கோட்டிற்கு சமன்பாட்டை எழுதவும்

குறுகிய பாதை முடிவில் உள்ளது.

இரண்டு கோடுகள் வெட்டும் புள்ளியை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது?

நேராக இருந்தால் புள்ளியில் வெட்டுங்கள், அதன் ஆயத்தொலைவுகள் நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பிற்கு ஒரு தீர்வாகும்

கோடுகள் வெட்டும் புள்ளியை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது? அமைப்பைத் தீர்க்கவும்.

இரண்டு அறியப்படாத இரண்டு நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பின் வடிவியல் பொருள் இங்கே - இவை ஒரு விமானத்தில் இரண்டு வெட்டும் (பெரும்பாலும்) கோடுகள்.

கோடுகள் வெட்டும் புள்ளியைக் கண்டறியவும்

தீர்வு: அதைத் தீர்க்க இரண்டு வழிகள் உள்ளன - வரைகலை மற்றும் பகுப்பாய்வு.

வரைகலை முறை என்பது கொடுக்கப்பட்ட கோடுகளை வெறுமனே வரைந்து, வரைபடத்திலிருந்து நேரடியாக வெட்டும் புள்ளியைக் கண்டறிவது:

இங்கே எங்கள் புள்ளி: . சரிபார்க்க, நீங்கள் கோட்டின் ஒவ்வொரு சமன்பாட்டிலும் அதன் ஆயங்களை மாற்ற வேண்டும், அவை அங்கேயும் அங்கேயும் பொருந்த வேண்டும். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், ஒரு புள்ளியின் ஆயத்தொகுப்புகள் கணினிக்கு ஒரு தீர்வாகும். அடிப்படையில், இரண்டு சமன்பாடுகள், இரண்டு தெரியாதவைகளுடன் நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்க வரைகலை வழியைப் பார்த்தோம்.

வரைகலை முறை, நிச்சயமாக, மோசமாக இல்லை, ஆனால் குறிப்பிடத்தக்க குறைபாடுகள் உள்ளன. இல்லை, ஏழாம் வகுப்பு மாணவர்கள் இப்படித் தீர்மானிக்கிறார்கள் என்பதல்ல, சரியான மற்றும் துல்லியமான வரைபடத்தை உருவாக்க நேரம் எடுக்கும் என்பதுதான் முக்கிய விஷயம். கூடுதலாக, சில நேர்க்கோடுகள் கட்டமைக்க மிகவும் எளிதானது அல்ல, மேலும் குறுக்குவெட்டு புள்ளி நோட்புக் தாளுக்கு வெளியே முப்பதாவது இராச்சியத்தில் எங்காவது அமைந்திருக்கலாம்.

எனவே, ஒரு பகுப்பாய்வு முறையைப் பயன்படுத்தி வெட்டும் புள்ளியைத் தேடுவது மிகவும் பொருத்தமானது. அமைப்பைத் தீர்ப்போம்:

அமைப்பைத் தீர்க்க, சமன்பாடுகளின் கால-படி-கால சேர்க்கை முறை பயன்படுத்தப்பட்டது.

காசோலை அற்பமானது - குறுக்குவெட்டு புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகள் அமைப்பின் ஒவ்வொரு சமன்பாட்டையும் பூர்த்தி செய்ய வேண்டும்.

கோடுகள் வெட்டினால், அவை வெட்டும் புள்ளியைக் கண்டறியவும்.

நீங்களே தீர்க்க இது ஒரு எடுத்துக்காட்டு. பணியை பல கட்டங்களாகப் பிரிப்பது வசதியானது. நிபந்தனையின் பகுப்பாய்வு இது அவசியம் என்று கூறுகிறது:
1) நேர்கோட்டின் சமன்பாட்டை எழுதுங்கள்.
2) நேர்கோட்டின் சமன்பாட்டை எழுதுங்கள்.
3) கோடுகளின் ஒப்பீட்டு நிலையைக் கண்டறியவும்.
4) கோடுகள் வெட்டினால், வெட்டும் புள்ளியைக் கண்டறியவும்.

செயல் வழிமுறையின் வளர்ச்சி பல வடிவியல் சிக்கல்களுக்கு பொதுவானது, மேலும் நான் மீண்டும் மீண்டும் இதில் கவனம் செலுத்துவேன்.

முழு தீர்வு மற்றும் இறுதியில் பதில்:

செங்குத்து கோடுகள். ஒரு புள்ளியிலிருந்து ஒரு கோட்டிற்கான தூரம்.
நேர் கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணம்

கொடுக்கப்பட்ட வரிக்கு செங்குத்தாக ஒரு கோட்டை எவ்வாறு அமைப்பது?

நேர்கோடு சமன்பாட்டால் வழங்கப்படுகிறது. புள்ளியின் வழியாக செல்லும் கோட்டிற்கு செங்குத்தாக ஒரு சமன்பாட்டை எழுதுங்கள்.

தீர்வு: நிபந்தனையின்படி அது அறியப்படுகிறது. வரியை இயக்கும் திசையனைக் கண்டறிவது நன்றாக இருக்கும். கோடுகள் செங்குத்தாக இருப்பதால், தந்திரம் எளிது:

சமன்பாட்டிலிருந்து நாம் சாதாரண வெக்டரை "அகற்றுகிறோம்": , இது நேர் கோட்டின் இயக்கும் திசையனாக இருக்கும்.

ஒரு புள்ளி மற்றும் திசை வெக்டரைப் பயன்படுத்தி நேர்கோட்டின் சமன்பாட்டை உருவாக்குவோம்:

பதில்:

வடிவியல் ஓவியத்தை விரிவுபடுத்துவோம்:

தீர்வின் பகுப்பாய்வு சரிபார்ப்பு:

1) சமன்பாடுகளில் இருந்து திசை திசையன்களை வெளியே எடுக்கிறோம் மற்றும் திசையன்களின் அளவிடுதல் உற்பத்தியைப் பயன்படுத்தி, கோடுகள் உண்மையில் செங்குத்தாக உள்ளன என்ற முடிவுக்கு வருகிறோம்: .

மூலம், நீங்கள் சாதாரண திசையன்களைப் பயன்படுத்தலாம், இது இன்னும் எளிதானது.

2) புள்ளி விளைவாக சமன்பாட்டை திருப்திப்படுத்துகிறதா என்பதை சரிபார்க்கவும் .

சோதனை, மீண்டும், வாய்வழி செய்ய எளிதானது.

சமன்பாடு தெரிந்தால், செங்குத்து கோடுகளின் வெட்டும் புள்ளியைக் கண்டறியவும் மற்றும் காலம்.

நீங்களே தீர்க்க இது ஒரு எடுத்துக்காட்டு. சிக்கலில் பல செயல்கள் உள்ளன, எனவே புள்ளி மூலம் தீர்வுப் புள்ளியை உருவாக்குவது வசதியானது.

புள்ளியிலிருந்து வரிக்கு தூரம்

வடிவவியலில் உள்ள தூரம் பாரம்பரியமாக கிரேக்க எழுத்து "p" ஆல் குறிக்கப்படுகிறது, எடுத்துக்காட்டாக: - புள்ளி "m" இலிருந்து நேர் கோடு "d" க்கு தூரம்.

புள்ளியிலிருந்து வரிக்கு தூரம் சூத்திரத்தால் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது

ஒரு புள்ளியிலிருந்து ஒரு கோட்டிற்கான தூரத்தைக் கண்டறியவும்

தீர்வு: நீங்கள் செய்ய வேண்டியது எண்களை சூத்திரத்தில் கவனமாக மாற்றி கணக்கீடுகளை மேற்கொள்ளுங்கள்:

பதில்:

வரைபடத்தை உருவாக்குவோம்:

புள்ளியில் இருந்து கோட்டிற்கு காணப்படும் தூரம் சரியாக சிவப்பு பிரிவின் நீளம் ஆகும். 1 யூனிட் அளவுகோலில் சரிபார்க்கப்பட்ட காகிதத்தில் ஒரு வரைபடத்தை வரைந்தால். = 1 செமீ (2 செல்கள்), பின்னர் தூரத்தை ஒரு சாதாரண ஆட்சியாளரைக் கொண்டு அளவிட முடியும்.

அதே வரைபடத்தின் அடிப்படையில் மற்றொரு பணியைக் கருத்தில் கொள்வோம்:

ஒரு நேர்கோட்டில் சமச்சீரான புள்ளியை எவ்வாறு உருவாக்குவது?

நேர்கோட்டுடன் தொடர்புடைய புள்ளிக்கு சமச்சீராக இருக்கும் ஒரு புள்ளியின் ஆயங்களை கண்டுபிடிப்பதே பணி. . படிகளை நீங்களே செய்ய பரிந்துரைக்கிறேன், ஆனால் இடைநிலை முடிவுகளுடன் ஒரு தீர்வு வழிமுறையை கோடிட்டுக் காட்டுகிறேன்:

1) கோட்டிற்கு செங்குத்தாக இருக்கும் ஒரு கோட்டைக் கண்டறியவும்.

2) கோடுகள் வெட்டும் புள்ளியைக் கண்டறியவும்: .

வடிவவியலில், இரண்டு நேர் கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணம் சிறிய கோணமாக எடுத்துக் கொள்ளப்படுகிறது, அதில் இருந்து அது மழுங்கியதாக இருக்க முடியாது என்பதை தானாகவே பின்பற்றுகிறது. படத்தில், சிவப்பு வளைவால் சுட்டிக்காட்டப்பட்ட கோணம் வெட்டும் கோடுகளுக்கு இடையிலான கோணமாக கருதப்படுவதில்லை. மற்றும் அதன் "பச்சை" அண்டை அல்லது எதிர் நோக்கிய "ராஸ்பெர்ரி" மூலையில் கருதப்படுகிறது.

கோடுகள் செங்குத்தாக இருந்தால், 4 கோணங்களில் ஏதேனும் ஒன்றை அவற்றுக்கிடையேயான கோணமாக எடுத்துக் கொள்ளலாம்.

கோணங்கள் எவ்வாறு வேறுபடுகின்றன? நோக்குநிலை. முதலாவதாக, கோணம் எந்த திசையில் "ஸ்க்ரோல்" செய்யப்படுகிறது என்பது அடிப்படையில் முக்கியமானது. இரண்டாவதாக, எதிர்மறையான கோணம் ஒரு கழித்தல் அடையாளத்துடன் எழுதப்படுகிறது, எடுத்துக்காட்டாக என்றால் .

இதை ஏன் உன்னிடம் சொன்னேன்? ஒரு கோணத்தின் வழக்கமான கருத்துடன் நாம் பெறலாம் என்று தோன்றுகிறது. உண்மை என்னவென்றால், நாம் கோணங்களைக் கண்டறியும் சூத்திரங்கள் எதிர்மறையான முடிவை எளிதில் விளைவிக்கலாம், மேலும் இது உங்களை ஆச்சரியத்தில் ஆழ்த்தக்கூடாது. மைனஸ் அடையாளத்துடன் கூடிய கோணம் மோசமாக இல்லை, மேலும் ஒரு குறிப்பிட்ட வடிவியல் பொருளைக் கொண்டுள்ளது. வரைபடத்தில், எதிர்மறை கோணத்திற்கு, அதன் நோக்குநிலையை அம்புக்குறியுடன் (கடிகார திசையில்) குறிப்பிடுவதை உறுதிப்படுத்திக் கொள்ளுங்கள்.

மேற்கூறியவற்றின் அடிப்படையில், தீர்வை இரண்டு படிகளில் முறைப்படுத்துவது வசதியானது:

1) கோடுகளின் திசை திசையன்களின் அளவிடல் உற்பத்தியைக் கணக்கிடுவோம்:
, அதாவது கோடுகள் செங்குத்தாக இல்லை.

2) சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி நேர் கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தைக் கண்டறியவும்:

தலைகீழ் செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்தி, கோணத்தைக் கண்டுபிடிப்பது எளிது. இந்த வழக்கில், ஆர்க்டேன்ஜெண்டின் விந்தையைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

பதில்:

பதிலில், கால்குலேட்டரைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்பட்ட சரியான மதிப்பையும், தோராயமான மதிப்பையும் (முன்னுரிமை டிகிரி மற்றும் ரேடியன்கள் இரண்டிலும்) குறிப்பிடுகிறோம்.

சரி, மைனஸ், மைனஸ், பெரிய விஷயமில்லை. இங்கே ஒரு வடிவியல் விளக்கம்:

கோணம் எதிர்மறை நோக்குநிலையாக மாறியதில் ஆச்சரியமில்லை, ஏனென்றால் சிக்கல் அறிக்கையில் முதல் எண் ஒரு நேர் கோடு மற்றும் கோணத்தின் "அவிழ்ப்பது" துல்லியமாக அதனுடன் தொடங்கியது.

மூன்றாவது தீர்வு உள்ளது. கோடுகளின் திசை திசையன்களுக்கு இடையிலான கோணத்தைக் கணக்கிடுவதே யோசனை:

இங்கே நாம் இனி ஒரு கோணத்தைப் பற்றி பேசவில்லை, ஆனால் "ஒரு கோணத்தைப் பற்றி", அதாவது, முடிவு நிச்சயமாக நேர்மறையாக இருக்கும். பிடிப்பு என்னவென்றால், நீங்கள் ஒரு மழுங்கிய கோணத்தில் முடிவடையும் (உங்களுக்குத் தேவையானது அல்ல). இந்த வழக்கில், நேர் கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணம் சிறிய கோணம் என்று முன்பதிவு செய்ய வேண்டும், மேலும் அதன் விளைவாக வரும் ஆர்க் கொசைனை "பை" ரேடியன்களில் (180 டிகிரி) கழிக்கவும்.

கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தைக் கண்டறியவும்.

நீங்களே தீர்க்க இது ஒரு எடுத்துக்காட்டு. அதை இரண்டு வழிகளில் தீர்க்க முயற்சிக்கவும்.

தீர்வுகள் மற்றும் பதில்கள்:

எடுத்துக்காட்டு 3: தீர்வு: வரியின் திசையனைக் கண்டறியவும்:

புள்ளி மற்றும் திசை வெக்டரைப் பயன்படுத்தி விரும்பிய நேர்கோட்டின் சமன்பாட்டை உருவாக்குவோம்

குறிப்பு: இங்கே கணினியின் முதல் சமன்பாடு 5 ஆல் பெருக்கப்படுகிறது, பின்னர் 2வது 1 வது சமன்பாட்டிலிருந்து காலத்தால் கழிக்கப்படுகிறது.
பதில்: