வீடு→உபகரணங்கள்→ஒரு செயல்பாட்டிற்கு ஒரு தொடுகோடு ஒரு சமன்பாட்டை எழுதுவது எப்படி. ஆன்லைன் கால்குலேட்டர். கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியில் ஒரு சார்பின் வரைபடத்திற்கு நேரான தொடுகோடு சமன்பாடு

ஒரு செயல்பாட்டிற்கு ஒரு தொடுகோடு ஒரு சமன்பாட்டை எழுதுவது எப்படி. ஆன்லைன் கால்குலேட்டர். கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியில் ஒரு சார்பின் வரைபடத்திற்கு நேரான தொடுகோடு சமன்பாடு

அன்று நவீன நிலைகல்வியின் வளர்ச்சி, அதன் முக்கிய பணிகளில் ஒன்று ஆக்கப்பூர்வமாக சிந்திக்கும் ஆளுமையை உருவாக்குவதாகும். மாணவர்களின் படைப்பாற்றல் திறன், அடிப்படைகளை முறையாகக் கவர்ந்தால் மட்டுமே அவர்களை வளர்க்க முடியும் ஆராய்ச்சி நடவடிக்கைகள். மாணவர்கள் தங்கள் படைப்பு சக்திகள், திறன்கள் மற்றும் திறமைகளைப் பயன்படுத்துவதற்கான அடித்தளம் முழு அளவிலான அறிவு மற்றும் திறன்களை உருவாக்குகிறது. இது சம்பந்தமாக, பள்ளி கணித பாடத்தின் ஒவ்வொரு தலைப்புக்கும் அடிப்படை அறிவு மற்றும் திறன்களின் அமைப்பை உருவாக்குவதில் உள்ள சிக்கல் சிறிய முக்கியத்துவம் வாய்ந்தது அல்ல. அதே நேரத்தில், முழு அளவிலான திறன்கள் தனிப்பட்ட பணிகளின் செயற்கையான இலக்காக இருக்க வேண்டும், ஆனால் அவற்றை கவனமாக சிந்திக்கும் அமைப்பாக இருக்க வேண்டும். பரந்த பொருளில், ஒரு அமைப்பு என்பது ஒருமைப்பாடு மற்றும் நிலையான கட்டமைப்பைக் கொண்ட ஒன்றோடொன்று இணைக்கப்பட்ட ஊடாடும் கூறுகளின் தொகுப்பாக புரிந்து கொள்ளப்படுகிறது.

ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு ஒரு தொடுநிலைக்கான சமன்பாட்டை எவ்வாறு எழுதுவது என்பதை மாணவர்களுக்குக் கற்பிப்பதற்கான ஒரு நுட்பத்தைக் கருத்தில் கொள்வோம். அடிப்படையில், தொடுகோடு சமன்பாட்டைக் கண்டறிவதில் உள்ள அனைத்து சிக்கல்களும் ஒரு குறிப்பிட்ட தேவையைப் பூர்த்தி செய்யும் வரிகளின் தொகுப்பிலிருந்து (மூட்டை, குடும்பம்) தேர்ந்தெடுக்க வேண்டியதன் அவசியத்திற்குக் கீழே வருகின்றன - அவை ஒரு குறிப்பிட்ட செயல்பாட்டின் வரைபடத்துடன் தொடுவானவை. இந்த வழக்கில், தேர்வு மேற்கொள்ளப்படும் வரிகளின் தொகுப்பை இரண்டு வழிகளில் குறிப்பிடலாம்:

a) xOy விமானத்தில் கிடக்கும் புள்ளி (கோடுகளின் மத்திய பென்சில்);
b) கோண குணகம் (நேராக கோடுகளின் இணை கற்றை).

இது சம்பந்தமாக, அமைப்பின் கூறுகளை தனிமைப்படுத்த "ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு தொடு" என்ற தலைப்பைப் படிக்கும்போது, இரண்டு வகையான சிக்கல்களை நாங்கள் அடையாளம் கண்டோம்:

1) அது கடந்து செல்லும் புள்ளியால் கொடுக்கப்பட்ட தொடுகோட்டில் உள்ள சிக்கல்கள்;
2) அதன் சாய்வால் கொடுக்கப்பட்ட தொடுகோட்டில் உள்ள சிக்கல்கள்.

ஏ.ஜி முன்மொழியப்பட்ட வழிமுறையைப் பயன்படுத்தி தொடுகோடு சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதில் பயிற்சி மேற்கொள்ளப்பட்டது. மொர்ட்கோவிச். அவரது அடிப்படை வேறுபாடுஏற்கனவே அறியப்பட்டவற்றிலிருந்து, தொடு புள்ளியின் abscissa என்பது a (x0 க்கு பதிலாக) என்ற எழுத்தால் குறிக்கப்படுகிறது, எனவே தொடுகோட்டின் சமன்பாடு வடிவம் பெறுகிறது.

y = f(a) + f "(a)(x – a)

(y = f(x 0) + f "(x 0)(x – x 0) உடன் ஒப்பிடுக. இந்த முறைசார் நுட்பம், எங்கள் கருத்துப்படி, தற்போதைய புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகள் எங்கு எழுதப்பட்டுள்ளன என்பதை விரைவாகவும் எளிதாகவும் புரிந்துகொள்ள மாணவர்களை அனுமதிக்கிறது. பொதுவான தொடுகோடு சமன்பாடு, மற்றும் தொடர்பு புள்ளிகள் எங்கே.

y = f(x) செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு தொடுகோடு சமன்பாட்டை உருவாக்குவதற்கான அல்காரிதம்

1. தொடுகோடு புள்ளியின் abscissa ஐ எழுத்து a உடன் குறிப்பிடவும்.
2. f(a) கண்டுபிடி.
3. f "(x) மற்றும் f "(a) ஐக் கண்டறியவும்.
4. கண்டுபிடிக்கப்பட்ட எண்களை a, f(a), f "(a) இல் மாற்றவும் பொது சமன்பாடுதொடுகோடு y = f(a) = f "(a)(x – a).

இந்த வழிமுறையானது மாணவர்களின் செயல்பாடுகளின் சுயாதீன அடையாளம் மற்றும் அவற்றின் செயல்பாட்டின் வரிசை ஆகியவற்றின் அடிப்படையில் தொகுக்கப்படலாம்.

ஒரு அல்காரிதத்தைப் பயன்படுத்தி ஒவ்வொரு முக்கிய பிரச்சனைக்கும் வரிசையான தீர்வு, நிலைகளில் ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு ஒரு தொடுகோடு சமன்பாட்டை எழுதும் திறன்களை உருவாக்க உங்களை அனுமதிக்கிறது, மேலும் வழிமுறையின் படிகள் செயல்களுக்கான குறிப்பு புள்ளிகளாக செயல்படுகின்றன. . இந்த அணுகுமுறை கோட்பாட்டுடன் ஒத்துப்போகிறது படிப்படியான உருவாக்கம்மன நடவடிக்கைகள், P.Ya உருவாக்கியது. கால்பெரின் மற்றும் என்.எஃப். தாலிசினா.

முதல் வகை பணிகளில், இரண்டு முக்கிய பணிகள் அடையாளம் காணப்பட்டன:

தொடுவானம் வளைவில் உள்ள ஒரு புள்ளி வழியாக செல்கிறது (சிக்கல் 1);
தொடுவானம் வளைவில் இல்லாத ஒரு புள்ளி வழியாக செல்கிறது (சிக்கல் 2).

பணி 1. செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு தொடுகோடு ஒரு சமன்பாட்டை எழுதவும் புள்ளியில் எம்(3; – 2).

தீர்வு. புள்ளி M(3; – 2) என்பது ஒரு தொடு புள்ளி, என்பதால்

1. a = 3 – தொடு புள்ளியின் abscissa.
2. f(3) = – 2.
3. f "(x) = x 2 – 4, f "(3) = 5.
y = – 2 + 5(x – 3), y = 5x – 17 – தொடுகோடு சமன்பாடு.

சிக்கல் 2. M(– 3; 6) என்ற புள்ளியின் வழியாக செல்லும் y = – x 2 – 4x + 2 செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு அனைத்து தொடுகோடுகளின் சமன்பாடுகளையும் எழுதவும்.

தீர்வு. புள்ளி M(- 3; 6) ஒரு தொடு புள்ளி அல்ல, ஏனெனில் f(- 3) 6 (படம் 2).

2. f(a) = – a 2 – 4a + 2.
3. f "(x) = – 2x – 4, f "(a) = – 2a – 4.
4. y = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – தொடுகோடு சமன்பாடு.

தொடுகோடு புள்ளி M(– 3; 6) வழியாக செல்கிறது, எனவே, அதன் ஒருங்கிணைப்புகள் தொடுநிலை சமன்பாட்டை பூர்த்தி செய்கின்றன.

6 = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a),
a 2 + 6a + 8 = 0 ^ a 1 = – 4, a 2 = – 2.

a = – 4 எனில், தொடுகோடு சமன்பாடு y = 4x + 18 ஆகும்.

a = – 2 எனில், தொடுகோடு சமன்பாடு y = 6 வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது.

இரண்டாவது வகை, முக்கிய பணிகள் பின்வருமாறு இருக்கும்:

தொடுகோடு சில கோட்டிற்கு இணையாக உள்ளது (சிக்கல் 3);
கொடுக்கப்பட்ட கோட்டிற்கு ஒரு குறிப்பிட்ட கோணத்தில் தொடுகோடு செல்கிறது (சிக்கல் 4).

சிக்கல் 3. y = x 3 – 3x 2 + 3 என்ற செயல்பாட்டின் வரைபடத்தில், y = 9x + 1 என்ற கோட்டிற்கு இணையாக அனைத்து தொடுகோடுகளின் சமன்பாடுகளையும் எழுதவும்.

1. a – தொடு புள்ளியின் abscissa.
2. f(a) = a 3 – 3a 2 + 3.
3. f "(x) = 3x 2 – 6x, f "(a) = 3a 2 – 6a.

ஆனால், மறுபுறம், f "(a) = 9 (இணைநிலை நிலை). இதன் பொருள் 3a 2 – 6a = 9 சமன்பாட்டை நாம் தீர்க்க வேண்டும். இதன் வேர்கள் a = – 1, a = 3 (படம் 3) )

4. 1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f "(– 1) = 9;
4) y = – 1 + 9(x + 1);

y = 9x + 8 - தொடுகோடு சமன்பாடு;

1) a = 3;
2) f(3) = 3;
3) f "(3) = 9;
4) y = 3 + 9(x – 3);

y = 9x – 24 – தொடுகோடு சமன்பாடு.

சிக்கல் 4. y = 0.5x 2 - 3x + 1 செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு தொடுகோட்டின் சமன்பாட்டை எழுதுங்கள், 45 ° கோணத்தில் y = 0 (படம் 4) க்கு நேர்கோட்டில் செல்கிறது.

தீர்வு. f "(a) = tan 45° என்ற நிலையில் இருந்து a: a – 3 = 1 ^ a = 4.

1. a = 4 – தொடு புள்ளியின் abscissa.
2. f(4) = 8 – 12 + 1 = – 3.
3. f "(4) = 4 – 3 = 1.
4. y = – 3 + 1(x – 4).

y = x – 7 – தொடுகோடு சமன்பாடு.

மற்ற எந்த பிரச்சனைக்கும் தீர்வு ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட முக்கிய பிரச்சனைகளை தீர்ப்பது என்று காட்டுவது எளிது. பின்வரும் இரண்டு பிரச்சனைகளை உதாரணமாகக் கவனியுங்கள்.

1. தொடுகோடுகளின் சமன்பாடுகளை y = 2x 2 – 5x – 2 க்கு எழுதவும், தொடுகோணங்கள் வலது கோணங்களில் வெட்டினால், அவற்றில் ஒன்று abscissa 3 (படம் 5) உடன் புள்ளியில் பரவளையைத் தொட்டால்.

தீர்வு. தொடு புள்ளியின் abscissa கொடுக்கப்பட்டதால், தீர்வின் முதல் பகுதி முக்கிய பிரச்சனை 1 ஆக குறைக்கப்படுகிறது.

1. a = 3 - பக்கங்களில் ஒன்றின் தொடு புள்ளியின் abscissa வலது கோணம்.
2. f(3) = 1.
3. f "(x) = 4x – 5, f "(3) = 7.
4. y = 1 + 7(x – 3), y = 7x – 20 – முதல் தொடுகோட்டின் சமன்பாடு.

முதல் தொடுகோணத்தின் சாய்வின் கோணமாக a இருக்கட்டும். தொடுகோடுகள் செங்குத்தாக இருப்பதால், இரண்டாவது தொடுகோணத்தின் சாய்வின் கோணம். சமன்பாட்டிலிருந்து y = 7x – 20 முதல் தொடுகோடு நம்மிடம் tg a = 7 உள்ளது. கண்டுபிடிப்போம்

இதன் பொருள் இரண்டாவது தொடுகோட்டின் சாய்வு சமமாக இருக்கும்.

மேலும் தீர்வு முக்கிய பணி 3 க்கு வருகிறது.

B(c; f(c)) இரண்டாவது வரியின் தொடு புள்ளியாக இருக்கட்டும்

1. - தொடுநிலையின் இரண்டாவது புள்ளியின் abscissa.
2.
3.
4.
- இரண்டாவது தொடுகோட்டின் சமன்பாடு.

குறிப்பு. மாணவர்கள் k 1 k 2 = – 1 என்ற செங்குத்து கோடுகளின் குணகங்களின் விகிதத்தை அறிந்தால், தொடுகோட்டின் கோணக் குணகத்தை எளிதாகக் கண்டறியலாம்.

2. செயல்பாடுகளின் வரைபடங்களுக்கு அனைத்து பொதுவான தொடுகோடுகளின் சமன்பாடுகளை எழுதவும்

தீர்வு. பொதுவான தொடுகோடுகளின் தொடு புள்ளிகளின் abscissa ஐக் கண்டறிவதில் பணி வருகிறது, அதாவது முக்கிய பிரச்சனை 1 ஐ பொது வடிவத்தில் தீர்ப்பது, சமன்பாடுகளின் அமைப்பை வரைந்து பின்னர் அதைத் தீர்ப்பது (படம் 6).

1. y = x 2 + x + 1 செயல்பாட்டின் வரைபடத்தில் உள்ள தொடு புள்ளியின் abscissa ஆக இருக்கட்டும்.
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3. f "(a) = 2a + 1.
4. y = a 2 + a + 1 + (2a + 1)(x – a) = (2a + 1)x + 1 – a 2 .

1. செயல்பாட்டின் வரைபடத்தில் இருக்கும் தொடு புள்ளியின் abscissa ஆக இருக்கட்டும்
2.
3. f "(c) = c.
4.

தொடுகோடுகள் பொதுவானவை என்பதால்

எனவே y = x + 1 மற்றும் y = – 3x – 3 ஆகியவை பொதுவான தொடுகோடுகள்.

கருதப்படும் பணிகளின் முக்கிய குறிக்கோள், சில ஆராய்ச்சி திறன்கள் (பகுத்தாய்வு, ஒப்பிட்டு, பொதுமைப்படுத்துதல், கருதுகோளை முன்வைக்கும் திறன் போன்றவை) தேவைப்படும் சிக்கலான சிக்கல்களைத் தீர்க்கும் போது முக்கிய பிரச்சனையின் வகையை சுயாதீனமாக அடையாளம் காண மாணவர்களை தயார்படுத்துவதாகும். அத்தகைய பணிகளில் எந்த பணியும் அடங்கும், அதில் முக்கிய பணி ஒரு அங்கமாக சேர்க்கப்பட்டுள்ளது. அதன் தொடுகோடுகளின் குடும்பத்திலிருந்து ஒரு செயல்பாட்டைக் கண்டறிவதில் உள்ள சிக்கலை (சிக்கல் 1 க்கு நேர்மாறாக) உதாரணமாகக் கருதுவோம்.

3. y = x 2 + bx + c செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு y = x மற்றும் y = – 2x தொடுகோடுகள் எதற்காக b மற்றும் c?

t என்பது பரவளைய y = x 2 + bx + c உடன் y = x என்ற நேர்கோட்டின் தொடு புள்ளியின் abscissa ஆக இருக்கட்டும்; p என்பது பரவளைய y = x 2 + bx + c உடன் y = – 2x என்ற நேர்க்கோட்டின் தொடுநிலைப் புள்ளியின் abscissa ஆகும். பின்னர் y = x என்ற தொடுகோடு சமன்பாடு y = (2t + b)x + c – t 2 வடிவத்தையும், y = – 2x என்ற தொடுகோடு சமன்பாடு y = (2p + b)x + c – p 2 வடிவத்தையும் எடுக்கும். .

சமன்பாடுகளின் அமைப்பை உருவாக்கி தீர்ப்போம்

பதில்:

எடுத்துக்காட்டு 1.ஒரு செயல்பாடு வழங்கப்பட்டது f(எக்ஸ்) = 3எக்ஸ் 2 + 4எக்ஸ்- 5. செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு தொடுகோட்டின் சமன்பாட்டை எழுதுவோம் f(எக்ஸ்) abscissa உடன் வரைபட புள்ளியில் எக்ஸ் 0 = 1.

தீர்வு.ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் f(எக்ஸ்) எந்த x க்கும் உள்ளது ஆர் . அவளைக் கண்டுபிடிப்போம்:

= (3எக்ஸ் 2 + 4எக்ஸ்– 5)′ = 6 எக்ஸ் + 4.

பிறகு f(எக்ஸ் 0) = f(1) = 2; (எக்ஸ் 0) = = 10. தொடுகோடு சமன்பாடு வடிவம் கொண்டது:

ஒய் = (எக்ஸ் 0) (எக்ஸ் – எக்ஸ் 0) + f(எக்ஸ் 0),

ஒய் = 10(எக்ஸ் – 1) + 2,

ஒய் = 10எக்ஸ் – 8.

பதில். ஒய் = 10எக்ஸ் – 8.

எடுத்துக்காட்டு 2.ஒரு செயல்பாடு வழங்கப்பட்டது f(எக்ஸ்) = எக்ஸ் 3 – 3எக்ஸ் 2 + 2எக்ஸ்+ 5. செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு தொடுகோட்டின் சமன்பாட்டை எழுதுவோம் f(எக்ஸ்), கோட்டிற்கு இணையாக ஒய் = 2எக்ஸ் – 11.

= (எக்ஸ் 3 – 3எக்ஸ் 2 + 2எக்ஸ்+ 5)′ = 3 எக்ஸ் 2 – 6எக்ஸ் + 2.

செயல்பாட்டின் வரைபடத்தின் தொடுகோடு இருந்து f(எக்ஸ்) abscissa புள்ளியில் எக்ஸ் 0 என்பது கோட்டிற்கு இணையாக உள்ளது ஒய் = 2எக்ஸ்– 11, அதன் சாய்வு 2 க்கு சமம், அதாவது ( எக்ஸ் 0) = 2. 3 என்ற நிபந்தனையிலிருந்து இந்த அப்சிஸ்ஸாவைக் கண்டுபிடிப்போம் எக்ஸ்– 6எக்ஸ் 0 + 2 = 2. இந்த சமத்துவம் எப்போது மட்டுமே செல்லுபடியாகும் எக்ஸ் 0 = 0 மற்றும் at எக்ஸ் 0 = 2. இரண்டு நிகழ்வுகளிலும் இருந்து f(எக்ஸ் 0) = 5, பின்னர் நேராக ஒய் = 2எக்ஸ் + பிசெயல்பாட்டின் வரைபடத்தை புள்ளியில் (0; 5) அல்லது புள்ளியில் (2; 5) தொடுகிறது.

முதல் வழக்கில், எண் சமத்துவம் 5 = 2×0 + உண்மை பி, எங்கே பி= 5, மற்றும் இரண்டாவது வழக்கில் எண் சமத்துவம் 5 = 2×2 + உண்மை பி, எங்கே பி = 1.

எனவே இரண்டு தொடுகோடுகள் உள்ளன ஒய் = 2எக்ஸ்+ 5 மற்றும் ஒய் = 2எக்ஸ்செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு + 1 f(எக்ஸ்), கோட்டிற்கு இணையாக ஒய் = 2எக்ஸ் – 11.

பதில். ஒய் = 2எக்ஸ் + 5, ஒய் = 2எக்ஸ் + 1.

எடுத்துக்காட்டு 3.ஒரு செயல்பாடு வழங்கப்பட்டது f(எக்ஸ்) = எக்ஸ் 2 – 6எக்ஸ்+ 7. செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு தொடுகோட்டின் சமன்பாட்டை எழுதுவோம் f(எக்ஸ்), புள்ளி வழியாக செல்கிறது ஏ (2; –5).

தீர்வு.ஏனெனில் f(2) -5, பின்னர் புள்ளி ஏசெயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு சொந்தமானது அல்ல f(எக்ஸ்) விடுங்கள் எக்ஸ் 0 - தொடு புள்ளியின் abscissa.

ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் f(எக்ஸ்) எந்த x க்கும் உள்ளது ஆர் . அவளைக் கண்டுபிடிப்போம்:

= (எக்ஸ் 2 – 6எக்ஸ்+ 1)′ = 2 எக்ஸ் – 6.

பிறகு f(எக்ஸ் 0) = எக்ஸ்– 6எக்ஸ் 0 + 7; (எக்ஸ் 0) = 2எக்ஸ் 0 - 6. தொடுகோடு சமன்பாடு வடிவம் கொண்டது:

ஒய் = (2எக்ஸ் 0 – 6)(எக்ஸ் – எக்ஸ் 0) + எக்ஸ்– 6எக்ஸ்+ 7,

ஒய் = (2எக்ஸ் 0 – 6)எக்ஸ்– எக்ஸ்+ 7.

புள்ளி இருந்து ஏதொடுகோடு சேர்ந்தது, பின்னர் எண் சமத்துவம் உண்மை

–5 = (2எக்ஸ் 0 – 6)×2– எக்ஸ்+ 7,

எங்கே எக்ஸ் 0 = 0 அல்லது எக்ஸ் 0 = 4. இதன் பொருள் புள்ளி மூலம் ஏநீங்கள் செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு இரண்டு தொடுகோடுகளை வரையலாம் f(எக்ஸ்).

என்றால் எக்ஸ் 0 = 0, பின் தொடுகோடு சமன்பாடு வடிவம் கொண்டது ஒய் = –6எக்ஸ்+ 7. என்றால் எக்ஸ் 0 = 4, பின் தொடுகோடு சமன்பாடு வடிவம் கொண்டது ஒய் = 2எக்ஸ் – 9.

பதில். ஒய் = –6எக்ஸ் + 7, ஒய் = 2எக்ஸ் – 9.

எடுத்துக்காட்டு 4.கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாடுகள் f(எக்ஸ்) = எக்ஸ் 2 – 2எக்ஸ்+ 2 மற்றும் g(எக்ஸ்) = –எக்ஸ் 2 - 3. இந்தச் சார்புகளின் வரைபடங்களுக்கு பொதுவான தொடுகோட்டின் சமன்பாட்டை எழுதுவோம்.

தீர்வு.விடுங்கள் எக்ஸ் 1 - செயல்பாட்டின் வரைபடத்துடன் விரும்பிய வரியின் தொடு புள்ளியின் abscissa f(எக்ஸ்), ஏ எக்ஸ் 2 - செயல்பாட்டின் வரைபடத்துடன் அதே வரியின் தொடு புள்ளியின் abscissa g(எக்ஸ்).

= (எக்ஸ் 2 – 2எக்ஸ்+ 2)′ = 2 எக்ஸ் – 2.

பிறகு f(எக்ஸ் 1) = எக்ஸ்– 2எக்ஸ் 1 + 2; (எக்ஸ் 1) = 2எக்ஸ் 1 - 2. தொடுகோடு சமன்பாடு வடிவம் கொண்டது:

ஒய் = (2எக்ஸ் 1 – 2)(எக்ஸ் – எக்ஸ் 1) + எக்ஸ்– 2எக்ஸ் 1 + 2,

ஒய் = (2எக்ஸ் 1 – 2)எக்ஸ் – எக்ஸ்+ 2. (1)

செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்போம் g(எக்ஸ்):

= (–எக்ஸ் 2 – 3)′ = –2 எக்ஸ்.

பின்வரும் உருவத்தைக் கவனியுங்கள்:

இது ஒரு குறிப்பிட்ட செயல்பாட்டை y = f(x) சித்தரிக்கிறது, இது புள்ளி a இல் வேறுபடுகிறது. ஆய (a; f(a)) உடன் புள்ளி M குறிக்கப்பட்டுள்ளது. ஒரு செகண்ட் எம்ஆர் வரைபடத்தின் தன்னிச்சையான புள்ளி P(a + ∆x; f(a + ∆x)) மூலம் வரையப்படுகிறது.

இப்போது புள்ளி P ஆனது வரைபடத்துடன் M புள்ளிக்கு மாற்றப்பட்டால், MR என்ற நேர்கோடு M புள்ளியை சுற்றி சுழலும். இந்த நிலையில், ∆x பூஜ்ஜியமாக இருக்கும். இங்கிருந்து நாம் ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு ஒரு தொடுகோடு வரையறையை உருவாக்கலாம்.

ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடத்தின் தொடுகோடு

ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடத்தின் தொடுகோடு என்பது, வாதத்தின் அதிகரிப்பு பூஜ்ஜியமாக இருப்பதால், செகண்டின் வரம்புபடுத்தும் நிலையாகும். x0 புள்ளியில் f செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் இருப்பது வரைபடத்தின் இந்த புள்ளியில் உள்ளது என்பதை புரிந்து கொள்ள வேண்டும். தொடுகோடுஅவனுக்கு.

இந்த நிலையில், தொடுகோட்டின் கோணக் குணகம் இந்தச் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலுக்குச் சமமாக இருக்கும். இது வழித்தோன்றலின் வடிவியல் பொருள். புள்ளி x0 இல் வேறுபடுத்தக்கூடிய ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கான தொடுகோடு என்பது புள்ளி (x0;f(x0)) வழியாக செல்லும் மற்றும் கோண குணகம் f'(x0) கொண்ட ஒரு குறிப்பிட்ட நேர்கோடு ஆகும்.

தொடு சமன்பாடு

புள்ளி A(x0; f(x0)) சில சார்பு f இன் வரைபடத்திற்கு தொடுகோட்டின் சமன்பாட்டைப் பெற முயற்சிப்போம். சாய்வு k உடன் நேர்கோட்டின் சமன்பாடு உள்ளது அடுத்த பார்வை:

எங்கள் சாய்வு குணகம் வழித்தோன்றலுக்கு சமமாக இருப்பதால் f'(x0), பின்னர் சமன்பாடு பின்வரும் வடிவத்தை எடுக்கும்: y = f'(x0)*x + b.

இப்போது b இன் மதிப்பைக் கணக்கிடுவோம். இதைச் செய்ய, செயல்பாடு புள்ளி A வழியாக செல்கிறது என்ற உண்மையைப் பயன்படுத்துகிறோம்.

f(x0) = f'(x0)*x0 + b, இங்கிருந்து நாம் b ஐ வெளிப்படுத்துகிறோம் மற்றும் b = f(x0) - f'(x0)*x0 ஐப் பெறுகிறோம்.

இதன் விளைவாக வரும் மதிப்பை தொடு சமன்பாட்டில் மாற்றுகிறோம்:

y = f'(x0)*x + b = f'(x0)*x + f(x0) - f'(x0)*x0 = f(x0) + f'(x0)*(x - x0).

y = f(x0) + f’(x0)*(x - x0).

பின்வரும் எடுத்துக்காட்டைக் கவனியுங்கள்: x = 2 புள்ளியில் f(x) = x 3 - 2*x 2 + 1 செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கான தொடுகோட்டின் சமன்பாட்டைக் கண்டறியவும்.

2. f(x0) = f(2) = 2 2 - 2*2 2 + 1 = 1.

3. f’(x) = 3*x 2 - 4*x.

4. f’(x0) = f’(2) = 3*2 2 - 4*2 = 4.

5. பெறப்பட்ட மதிப்புகளை தொடுகோடு சூத்திரத்தில் மாற்றவும், நாம் பெறுகிறோம்: y = 1 + 4*(x - 2). அடைப்புக்குறிகளைத் திறந்து, ஒத்த சொற்களைக் கொண்டு வரும்போது நமக்குக் கிடைக்கும்: y = 4*x - 7.

பதில்: y = 4*x - 7.

தொடுகோடு சமன்பாட்டை உருவாக்குவதற்கான பொதுவான திட்டம் y = f(x) செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு:

1. x0 ஐ தீர்மானிக்கவும்.

2. f(x0) கணக்கிடவும்.

3. f'(x) கணக்கிடு

தொடுகோடு என்பது ஒரு நேர்கோடு , இது ஒரு கட்டத்தில் செயல்பாட்டின் வரைபடத்தைத் தொடுகிறது மற்றும் அனைத்து புள்ளிகளும் செயல்பாட்டின் வரைபடத்திலிருந்து மிகக் குறுகிய தூரத்தில் இருக்கும். எனவே, தொடுகோடு ஒரு குறிப்பிட்ட கோணத்தில் செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு தொடுகோடு செல்கிறது, மேலும் பல்வேறு கோணங்களில் உள்ள பல தொடுகோடுகள் தொடு புள்ளியின் வழியாக செல்ல முடியாது. ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கான தொடு சமன்பாடுகள் மற்றும் சாதாரண சமன்பாடுகள் வழித்தோன்றலைப் பயன்படுத்தி கட்டமைக்கப்படுகின்றன.

தொடுகோடு சமன்பாடு கோடு சமன்பாட்டிலிருந்து பெறப்பட்டது .

தொடுகோட்டின் சமன்பாட்டைப் பெறுவோம், பின்னர் செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு இயல்பான சமன்பாட்டைப் பெறுவோம்.

ஒய் = kx + பி .

அவனில் கே- கோண குணகம்.

இங்கிருந்து நாம் பின்வரும் உள்ளீட்டைப் பெறுகிறோம்:

ஒய் - ஒய் 0 = கே(எக்ஸ் - எக்ஸ் 0 ) .

வழித்தோன்றல் மதிப்பு f "(எக்ஸ் 0 ) செயல்பாடுகள் ஒய் = f(எக்ஸ்) புள்ளியில் எக்ஸ்0 சரிவுக்கு சமம் கே= டிஜி φ ஒரு புள்ளியின் மூலம் வரையப்பட்ட செயல்பாட்டின் வரைபடத்தின் தொடுகோடு எம்0 (எக்ஸ் 0 , ஒய் 0 ) , எங்கே ஒய்0 = f(எக்ஸ் 0 ) . இது வழித்தோன்றலின் வடிவியல் பொருள் .

எனவே, நாம் மாற்றலாம் கேஅன்று f "(எக்ஸ் 0 ) மற்றும் பின்வருவனவற்றைப் பெறுங்கள் ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடத்துடன் தொடுகோடு சமன்பாடு :

ஒய் - ஒய் 0 = f "(எக்ஸ் 0 )(எக்ஸ் - எக்ஸ் 0 ) .

ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடத்துடன் ஒரு தொடுகோட்டின் சமன்பாட்டை உருவாக்குவதில் உள்ள சிக்கல்களில் (அவற்றுக்கு விரைவில் செல்வோம்), மேலே உள்ள சூத்திரத்திலிருந்து பெறப்பட்ட சமன்பாட்டைக் குறைக்க வேண்டியது அவசியம். பொதுவான வடிவத்தில் ஒரு நேர்கோட்டின் சமன்பாடு. இதைச் செய்ய, நீங்கள் அனைத்து எழுத்துக்களையும் எண்களையும் சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்திற்கு நகர்த்த வேண்டும், மேலும் வலது பக்கத்தில் பூஜ்ஜியத்தை விடவும்.

இப்போது சாதாரண சமன்பாடு பற்றி. இயல்பானது - இது தொடுநிலைக்கு செங்குத்தாக செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு தொடுநிலை புள்ளி வழியாக செல்லும் ஒரு நேர்கோடு. இயல்பான சமன்பாடு :

(எக்ஸ் - எக்ஸ் 0 ) + f "(எக்ஸ் 0 )(ஒய் - ஒய் 0 ) = 0

சூடுபடுத்த, முதல் உதாரணத்தை நீங்களே தீர்க்கும்படி கேட்கப்படுவீர்கள், பின்னர் தீர்வைப் பாருங்கள். இந்த பணி எங்கள் வாசகர்களுக்கு "குளிர் மழை" ஆகாது என்று நம்புவதற்கு எல்லா காரணங்களும் உள்ளன.

எடுத்துக்காட்டு 0.ஒரு புள்ளியில் ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு ஒரு தொடு சமன்பாடு மற்றும் ஒரு சாதாரண சமன்பாட்டை உருவாக்கவும் எம் (1, 1) .

எடுத்துக்காட்டு 1.ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு ஒரு தொடுகோடு சமன்பாடு மற்றும் ஒரு சாதாரண சமன்பாடு ஆகியவற்றை எழுதுங்கள் , abscissa தொடுகோடு இருந்தால் .

செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்போம்:

தொடுகோடு சமன்பாட்டைப் பெறுவதற்கு கோட்பாட்டு உதவியில் கொடுக்கப்பட்ட உள்ளீட்டில் மாற்றியமைக்க வேண்டிய அனைத்தும் இப்போது எங்களிடம் உள்ளன. நாம் பெறுகிறோம்

இந்த எடுத்துக்காட்டில், நாங்கள் அதிர்ஷ்டசாலிகள்: சாய்வு பூஜ்ஜியமாக மாறியது, எனவே சமன்பாட்டை தனித்தனியாக குறைக்கிறோம் பொது தோற்றம்தேவை இல்லை. இப்போது நாம் சாதாரண சமன்பாட்டை உருவாக்கலாம்:

கீழே உள்ள படத்தில்: பர்கண்டி நிறத்தில் ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடம், தொடுகோடு பச்சை நிறம், சாதாரண ஆரஞ்சு.

அடுத்த எடுத்துக்காட்டும் சிக்கலானது அல்ல: செயல்பாடு, முந்தையதைப் போலவே, ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை ஆகும், ஆனால் சாய்வு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்காது, எனவே மேலும் ஒரு படி சேர்க்கப்படும் - சமன்பாட்டை ஒரு பொதுவான வடிவத்திற்கு கொண்டு வரும்.

எடுத்துக்காட்டு 2.

தீர்வு. தொடு புள்ளியின் ஆர்டினேட்டைக் கண்டுபிடிப்போம்:

செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்போம்:

தொடுநிலை புள்ளியில், அதாவது தொடுகோட்டின் சாய்வில் வழித்தோன்றலின் மதிப்பைக் கண்டுபிடிப்போம்:

பெறப்பட்ட எல்லா தரவையும் "வெற்று சூத்திரத்தில்" மாற்றி, தொடு சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்:

சமன்பாட்டை அதன் பொதுவான வடிவத்திற்குக் கொண்டு வருகிறோம் (இடதுபுறத்தில் பூஜ்ஜியத்தைத் தவிர மற்ற எல்லா எழுத்துக்களையும் எண்களையும் சேகரித்து, வலதுபுறத்தில் பூஜ்ஜியத்தை விட்டுவிடுகிறோம்):

நாங்கள் சாதாரண சமன்பாட்டை உருவாக்குகிறோம்:

எடுத்துக்காட்டு 3. abscissa தொடு புள்ளியாக இருந்தால், செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு ஒரு தொடு சமன்பாடு மற்றும் ஒரு சாதாரண சமன்பாடு ஆகியவற்றை எழுதவும்.

தீர்வு. தொடு புள்ளியின் ஆர்டினேட்டைக் கண்டுபிடிப்போம்:

செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்போம்:

தொடுகோடு சமன்பாட்டைக் காண்கிறோம்:

சமன்பாட்டை அதன் பொதுவான வடிவத்திற்கு கொண்டு வருவதற்கு முன், நீங்கள் சிறிது "சீப்பு" செய்ய வேண்டும்: காலத்தை 4 ஆல் பெருக்கவும். நாங்கள் இதைச் செய்து சமன்பாட்டை அதன் பொதுவான வடிவத்திற்கு கொண்டு வருகிறோம்:

நாங்கள் சாதாரண சமன்பாட்டை உருவாக்குகிறோம்:

எடுத்துக்காட்டு 4. abscissa தொடு புள்ளியாக இருந்தால், செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு ஒரு தொடு சமன்பாடு மற்றும் ஒரு சாதாரண சமன்பாடு ஆகியவற்றை எழுதவும்.

தீர்வு. தொடு புள்ளியின் ஆர்டினேட்டைக் கண்டுபிடிப்போம்:

செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்போம்:

நாம் தொடுகோடு சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்:

சமன்பாட்டை அதன் பொதுவான வடிவத்திற்கு கொண்டு வருகிறோம்:

நாங்கள் சாதாரண சமன்பாட்டை உருவாக்குகிறோம்:

டேன்ஜென்ட் மற்றும் சாதாரண சமன்பாடுகளை எழுதும் போது ஒரு பொதுவான தவறு என்னவென்றால், எடுத்துக்காட்டில் கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாடு சிக்கலானது என்பதைக் கவனிக்காமல், அதன் வழித்தோன்றலை ஒரு எளிய செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலாகக் கணக்கிடுவது. பின்வரும் எடுத்துக்காட்டுகள் ஏற்கனவே உள்ளன சிக்கலான செயல்பாடுகள்(தொடர்பான பாடம் புதிய சாளரத்தில் திறக்கும்).

எடுத்துக்காட்டு 5. abscissa தொடு புள்ளியாக இருந்தால், செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு ஒரு தொடு சமன்பாடு மற்றும் ஒரு சாதாரண சமன்பாடு ஆகியவற்றை எழுதவும்.

தீர்வு. தொடு புள்ளியின் ஆர்டினேட்டைக் கண்டுபிடிப்போம்:

கவனம்! இந்த செயல்பாடு- சிக்கலானது, தொடுகோடு வாதத்திலிருந்து (2 எக்ஸ்) தானே ஒரு செயல்பாடு. எனவே, ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலை ஒரு சிக்கலான செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலாகக் காண்கிறோம்.

தொடுகோடுவளைவில் உள்ள ஒரு புள்ளியின் வழியாக செல்லும் ஒரு நேர் கோடு மற்றும் இந்த புள்ளியில் முதல் வரிசை வரை (படம் 1) இணைகிறது.

மற்றொரு வரையறை: இது Δ இல் உள்ள secant இன் வரையறுக்கும் நிலை எக்ஸ்→0.

விளக்கம்: வளைவை இரண்டு புள்ளிகளில் வெட்டும் ஒரு நேர் கோட்டை எடுக்கவும்: ஏமற்றும் பி(படம் பார்க்கவும்). இது ஒரு செகண்ட். வளைவுடன் ஒரே ஒரு பொதுவான புள்ளியைக் கண்டுபிடிக்கும் வரை அதை கடிகார திசையில் சுழற்றுவோம். இது நமக்கு ஒரு தொடுகோடு தரும்.

தொடுகோட்டின் கடுமையான வரையறை:

ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடத்தின் தொடுகோடு f, புள்ளியில் வேறுபடுத்தக்கூடியது எக்ஸ்ஓ, புள்ளியின் வழியாக செல்லும் ஒரு நேர்கோடு ( எக்ஸ்ஓ; f(எக்ஸ்ஓ)) மற்றும் ஒரு சாய்வு உள்ளது f′( எக்ஸ்ஓ).

சாய்வு வடிவத்தின் நேர்க்கோட்டைக் கொண்டுள்ளது y =kx +பி. குணகம் கேமற்றும் உள்ளது சாய்வுஇந்த நேர்கோடு.

சாய்வு தொடுகோடு சமம் குறுங்கோணம், abscissa அச்சுடன் இந்த நேர்கோட்டால் உருவாக்கப்பட்டது:

கே = டான் α

இங்கே கோணம் α என்பது நேர் கோட்டிற்கு இடையே உள்ள கோணம் y =kx +பிமற்றும் நேர்மறை (அதாவது, எதிரெதிர் திசையில்) x அச்சின் திசை. அது அழைக்கபடுகிறது ஒரு நேர் கோட்டின் சாய்வின் கோணம்(படம் 1 மற்றும் 2).

சாய்வின் கோணம் நேராக இருந்தால் y =kx +பிகடுமையானது, பின்னர் சாய்வு நேர்மறை எண். வரைபடம் அதிகரித்து வருகிறது (படம் 1).

சாய்வின் கோணம் நேராக இருந்தால் y =kx +பிமழுங்கலாக உள்ளது, பின்னர் சாய்வாக உள்ளது எதிர்மறை எண். வரைபடம் குறைந்து வருகிறது (படம் 2).

நேர்கோடு x-அச்சுக்கு இணையாக இருந்தால், நேர்கோட்டின் சாய்வின் கோணம் பூஜ்ஜியமாகும். இந்த வழக்கில், கோட்டின் சாய்வும் பூஜ்ஜியமாகும் (பூஜ்ஜியத்தின் தொடுகோடு பூஜ்ஜியமாக இருப்பதால்). நேர்கோட்டின் சமன்பாடு y = b (படம் 3) போல் இருக்கும்.

ஒரு நேர் கோட்டின் சாய்வின் கோணம் 90º (π/2) என்றால், அது அப்சிஸ்ஸா அச்சுக்கு செங்குத்தாக இருந்தால், நேர் கோடு சமத்துவத்தால் வழங்கப்படுகிறது x =c, எங்கே c- சில உண்மையான எண் (படம் 4).

ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடத்துடன் தொடுகோடு சமன்பாடுஒய் = f(எக்ஸ்) புள்ளியில் எக்ஸ்ஓ:

எடுத்துக்காட்டு: செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு தொடுகோடு சமன்பாட்டைக் கண்டறியவும் f(எக்ஸ்) = எக்ஸ் 3 – 2எக்ஸ்அப்சிஸ்ஸா 2 உடன் புள்ளியில் 2 + 1.

தீர்வு .

நாங்கள் அல்காரிதத்தைப் பின்பற்றுகிறோம்.

1) தொடு புள்ளி எக்ஸ்ஓ 2. கணக்கிடவும் f(எக்ஸ்ஓ):

f(எக்ஸ்ஓ) = f(2) = 2 3 – 2 ∙ 2 2 + 1 = 8 – 8 + 1 = 1

2) கண்டுபிடி f′( எக்ஸ்) இதைச் செய்ய, முந்தைய பிரிவில் விவரிக்கப்பட்டுள்ள வேறுபாடு சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துகிறோம். இந்த சூத்திரங்களின்படி, எக்ஸ் 2 = 2எக்ஸ், ஏ எக்ஸ் 3 = 3எக்ஸ் 2. பொருள்:

f′( எக்ஸ்) = 3எக்ஸ் 2 – 2 ∙ 2எக்ஸ் = 3எக்ஸ் 2 – 4எக்ஸ்.

இப்போது, பெறப்பட்ட மதிப்பைப் பயன்படுத்தவும் f′( எக்ஸ்), கணக்கிடுங்கள் f′( எக்ஸ்ஓ):

f′( எக்ஸ்ஓ) = f′(2) = 3 ∙ 2 2 – 4 ∙ 2 = 12 – 8 = 4.

3) எனவே, எங்களிடம் தேவையான அனைத்து தரவுகளும் உள்ளன: எக்ஸ்ஓ = 2, f(எக்ஸ்ஓ) = 1, f ′( எக்ஸ்ஓ) = 4. இந்த எண்களை தொடு சமன்பாட்டில் மாற்றவும் மற்றும் இறுதி தீர்வைக் கண்டறியவும்:

y = f(எக்ஸ்ஓ) + f′( எக்ஸ்ஓ) (x – x o) = 1 + 4 ∙ (x – 2) = 1 + 4x – 8 = –7 + 4x = 4x – 7.

பதில்: y = 4x – 7.