தன்னிச்சையான மாறிலிகளின் மாறுபாட்டின் முறை மூலம் தீர்வு. தன்னிச்சையான மாறிலிகளின் மாறுபாட்டின் முறை. தீர்வுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்

படிவத்தின் நேரியல் ஒத்திசைவற்ற வேறுபட்ட சமன்பாடுகளைக் கருத்தில் கொள்வோம்

எங்கே - வாதத்தின் தேவையான செயல்பாடு , மற்றும் செயல்பாடுகள்



ஒரு குறிப்பிட்ட இடைவெளியில் கொடுக்கப்பட்டு தொடர்கின்றன
.

ஒரு நேரியல் ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டை கருத்தில் கொள்வோம், அதன் இடது பக்கம் இடது பக்கத்துடன் ஒத்துப்போகிறது. ஒத்திசைவற்ற சமன்பாடு (2.31),

படிவத்தின் சமன்பாடு (2.32) என்று அழைக்கப்படுகிறது ஒத்திசைவற்ற சமன்பாட்டுடன் தொடர்புடைய ஒரே மாதிரியான சமன்பாடு (2.31).

பின்வரும் தேற்றம் ஒத்திசைவற்ற நேரியல் சமன்பாட்டின் (2.31) பொதுவான தீர்வின் கட்டமைப்பைப் பற்றியது.

தேற்றம் 2.6.இப்பகுதியில் உள்ள நேரியல் ஒத்திசைவற்ற சமன்பாட்டின் (2.31) பொதுவான தீர்வு

அதன் குறிப்பிட்ட தீர்வின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் களத்தில் (2.33) தொடர்புடைய ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டின் (2.32) பொதுவான தீர்வு, அதாவது.

எங்கே - சமன்பாட்டின் குறிப்பிட்ட தீர்வு (2.31),
ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டிற்கான தீர்வுகளின் அடிப்படை அமைப்பு (2.32), மற்றும்
- தன்னிச்சையான மாறிலிகள்.

இந்த தேற்றத்தின் ஆதாரத்தை நீங்கள் காணலாம்.

இரண்டாம் வரிசை வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் உதாரணத்தைப் பயன்படுத்தி, ஒரு நேரியல் ஒத்திசைவற்ற சமன்பாட்டிற்கு ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வைக் கண்டறியும் முறையைக் கோடிட்டுக் காட்டுவோம். இந்த முறை அழைக்கப்படுகிறது தன்னிச்சையான மாறிலிகளின் மாறுபாட்டின் லாக்ரேஞ்ச் முறை.

எனவே, நமக்கு ஒரு ஒத்திசைவற்ற நேரியல் சமன்பாடு கொடுக்கப்படும்

(2.35)

குணகங்கள் எங்கே
மற்றும் வலது பக்கம்
சில இடைவெளியில் தொடர்ந்து
.

மூலம் குறிப்போம்
மற்றும்
ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டிற்கான தீர்வுகளின் அடிப்படை அமைப்பு

(2.36)

பின்னர் அதன் பொதுவான தீர்வு வடிவம் உள்ளது

(2.37)

எங்கே மற்றும் - தன்னிச்சையான மாறிலிகள்.

சமன்பாட்டிற்கான (2.35) தீர்வை அதே வடிவத்தில் தேடுவோம் , போன்ற பொதுவான தீர்வுதொடர்புடைய ஒரே மாதிரியான சமன்பாடு, தன்னிச்சையான மாறிலிகளை சில வேறுபட்ட செயல்பாடுகளுடன் மாற்றுகிறது (நாங்கள் தன்னிச்சையான மாறிலிகளை மாற்றுகிறோம்),அந்த.

எங்கே
மற்றும்
- இலிருந்து சில வேறுபட்ட செயல்பாடுகள் , இன்னும் அறியப்படாதவை மற்றும் நாம் தீர்மானிக்க முயற்சிப்போம், அந்தச் செயல்பாடு (2.38) ஒத்திசைவற்ற சமன்பாட்டிற்கு (2.35) தீர்வாக இருக்கும். சமத்துவத்தின் இரு பக்கங்களையும் வேறுபடுத்தி (2.38), நாம் பெறுகிறோம்

எனவே கணக்கிடும் போது இரண்டாவது வரிசை வழித்தோன்றல்கள்
மற்றும்
, எல்லா இடங்களிலும் அதை நாங்கள் கோருகிறோம்
நிபந்தனை பூர்த்தி செய்யப்பட்டது

பிறகு நம்மிடம் இருக்கும்

இரண்டாவது வழித்தோன்றலைக் கணக்கிடுவோம்

இதற்கான வெளிப்பாடுகளை மாற்றுகிறது ,,(2.38), (2.40), (2.41) இலிருந்து சமன்பாட்டிற்கு (2.35), நாம் பெறுகிறோம்

சதுர அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ள வெளிப்பாடுகள் எல்லா இடங்களிலும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்
, ஏனெனில் மற்றும் - சமன்பாட்டின் பகுதி தீர்வுகள் (2.36). இந்த வழக்கில், (2.42) படிவத்தை எடுக்கும், இந்த நிலையை நிபந்தனையுடன் (2.39) இணைத்து, தீர்மானிப்பதற்கான சமன்பாடுகளின் அமைப்பைப் பெறுகிறோம்.
மற்றும்

(2.43)

கடைசி அமைப்பு என்பது இரண்டு இயற்கணித நேரியல் ஒத்திசைவற்ற சமன்பாடுகளின் அமைப்பாகும்
மற்றும்
. இந்த அமைப்பின் தீர்மானிப்பான் தீர்வுகளின் அடிப்படை அமைப்பிற்கான வ்ரோன்ஸ்கி தீர்மானிப்பான் ஆகும் ,எனவே, எல்லா இடங்களிலும் பூஜ்ஜியமாக இல்லை
. இதன் பொருள் அமைப்பு (2.43) ஒரு தனித்துவமான தீர்வைக் கொண்டுள்ளது. ஒப்பீட்டளவில் எந்த வகையிலும் அதைத் தீர்த்து வைத்தல்
,
நாம் கண்டுபிடிப்போம்

எங்கே
மற்றும்
- அறியப்பட்ட செயல்பாடுகள்.

ஒருங்கிணைத்தல் மற்றும் அதை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்வது
,
நாம் ஒரு ஜோடி செயல்பாடுகளை எடுத்து, ஒருங்கிணைப்பு மாறிலிகளை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக அமைக்க வேண்டும். நாம் பெறுகிறோம்

வெளிப்பாடுகளை (2.44) உறவுகளாக (2.38) மாற்றுவதன் மூலம், வடிவத்தில் உள்ள ஒத்திசைவற்ற சமன்பாட்டிற்கு (2.35) விரும்பிய தீர்வை எழுதலாம்.

நேரியல் ஒத்திசைவற்ற சமன்பாட்டிற்கு ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வைக் கண்டறிய இந்த முறையைப் பொதுமைப்படுத்தலாம் -வது வரிசை.

எடுத்துக்காட்டு 2.6. சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்
மணிக்கு
செயல்பட்டால்

தொடர்புடைய ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டிற்கான தீர்வுகளின் அடிப்படை அமைப்பை உருவாக்குகிறது.

இந்த சமன்பாட்டிற்கு ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வைக் காண்போம். இதைச் செய்ய, லாக்ரேஞ்ச் முறைக்கு இணங்க, முதலில் கணினியை (2.43) தீர்க்க வேண்டும், இது எங்கள் விஷயத்தில் படிவத்தைக் கொண்டுள்ளது.
ஒவ்வொரு சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் குறைத்தல் நாம் பெறுகிறோம்

இரண்டாவது சமன்பாட்டிலிருந்து முதல் சமன்பாடு காலத்தை காலத்தால் கழித்தால், நாம் காணலாம்
பின்னர் முதல் சமன்பாட்டில் இருந்து அது பின்வருமாறு
ஒருங்கிணைப்பைச் செய்து, ஒருங்கிணைப்பு மாறிலிகளை பூஜ்ஜியமாக அமைப்போம்

இந்த சமன்பாட்டிற்கான ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வை இவ்வாறு குறிப்பிடலாம்

இந்த சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வு வடிவம் கொண்டது

எங்கே மற்றும் - தன்னிச்சையான மாறிலிகள்.

இறுதியாக, ஒரு குறிப்பிடத்தக்க சொத்தை கவனத்தில் கொள்வோம், இது பெரும்பாலும் தீர்வுகளின் சூப்பர்போசிஷன் கொள்கை என்று அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் பின்வரும் தேற்றத்தால் விவரிக்கப்படுகிறது.

தேற்றம் 2.7.இடையில் இருந்தால்
செயல்பாடு
- சமன்பாடு செயல்பாட்டின் குறிப்பிட்ட தீர்வு
அதே இடைவெளியில் சமன்பாட்டின் ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வு செயல்பாடு ஆகும்
சமன்பாட்டிற்கு ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வு உள்ளது

தத்துவார்த்த குறைந்தபட்சம்

வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் கோட்பாட்டில், இந்தக் கோட்பாட்டிற்கு மிகவும் உயர்ந்த அளவிலான உலகளாவிய தன்மை இருப்பதாகக் கூறும் ஒரு முறை உள்ளது.
ஒரு தன்னிச்சையான மாறிலியின் மாறுபாட்டின் முறையைப் பற்றி நாங்கள் பேசுகிறோம், இது பல்வேறு வகையான வேறுபட்ட சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்குப் பொருந்தும்.
அமைப்புகள் தியரி - அறிக்கைகளின் ஆதாரங்களை அடைப்புக்குறிக்குள் வெளியே எடுத்தால் - மிகக் குறைவாக இருந்தாலும், சாதிக்க நம்மை அனுமதிக்கும் போது இது துல்லியமாக நடக்கும்.
குறிப்பிடத்தக்க முடிவுகள், எனவே எடுத்துக்காட்டுகளுக்கு முக்கியத்துவம் கொடுக்கப்படும்.

முறையின் பொதுவான யோசனை உருவாக்க மிகவும் எளிதானது. விடுங்கள் கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு(சமன்பாடுகளின் அமைப்பு) தீர்க்க கடினமாக உள்ளது அல்லது முற்றிலும் புரிந்துகொள்ள முடியாதது,
அதை எப்படி தீர்ப்பது. இருப்பினும், சமன்பாட்டிலிருந்து சில சொற்களை நீக்குவதன் மூலம், அது தீர்க்கப்படுகிறது என்பது தெளிவாகிறது. பின்னர் அவர்கள் இதை எளிமையாக தீர்க்கிறார்கள்
சமன்பாடு (அமைப்பு), ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையிலான தன்னிச்சையான மாறிலிகளைக் கொண்ட ஒரு தீர்வைப் பெறுகிறோம் - சமன்பாட்டின் வரிசையைப் பொறுத்து (எண்
அமைப்பில் சமன்பாடுகள்). பின்னர் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட கரைசலில் உள்ள மாறிலிகள் உண்மையில் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட தீர்வு அல்ல என்று கருதப்படுகிறது
அசல் சமன்பாட்டிற்கு (அமைப்பு) மாற்றியமைக்கப்படுகிறது, "மாறிகளை" தீர்மானிக்க ஒரு வேறுபட்ட சமன்பாடு (அல்லது சமன்பாடுகளின் அமைப்பு) பெறப்படுகிறது.
வெவ்வேறு சிக்கல்களுக்கு தன்னிச்சையான மாறிலியின் மாறுபாட்டின் முறையைப் பயன்படுத்துவதில் ஒரு குறிப்பிட்ட தனித்தன்மை உள்ளது, ஆனால் இவை ஏற்கனவே குறிப்பிட்டவை
எடுத்துக்காட்டுகளுடன் காட்டப்பட்டது.

உயர் வரிசைகளின் நேரியல் ஒத்திசைவற்ற சமன்பாடுகளின் தீர்வைத் தனித்தனியாகக் கருதுவோம், அதாவது. வடிவத்தின் சமன்பாடுகள்
.
ஒரு நேரியல் ஒத்திசைவற்ற சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வு என்பது தொடர்புடைய ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வு மற்றும் ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வின் கூட்டுத்தொகை ஆகும்.
இந்த சமன்பாட்டின். ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டிற்கான பொதுவான தீர்வு ஏற்கனவே கண்டுபிடிக்கப்பட்டுள்ளது, அதாவது தீர்வுகளின் அடிப்படை அமைப்பு (FSS) கட்டமைக்கப்பட்டுள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம்.
. பின்னர் ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வு சமமாக இருக்கும்.
ஒத்திசைவற்ற சமன்பாட்டிற்கு ஏதேனும் ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வை நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். இந்த நோக்கத்திற்காக, மாறிலிகள் மாறியைச் சார்ந்ததாகக் கருதப்படுகிறது.
அடுத்து நீங்கள் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்க வேண்டும்
.
சார்புகளின் வழித்தோன்றல்களைப் பொறுத்து இயற்கணித சமன்பாடுகளின் இந்த அமைப்பு ஒரு தனித்துவமான தீர்வைக் கொண்டுள்ளது என்று கோட்பாடு உத்தரவாதம் அளிக்கிறது.
செயல்பாடுகளை தாங்களாகவே கண்டறியும் போது, ​​ஒருங்கிணைப்பின் மாறிலிகள் தோன்றாது: எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, ஏதேனும் ஒரு தீர்வு தேடப்படுகிறது.

படிவத்தின் நேரியல் ஒத்திசைவற்ற முதல் வரிசை சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளைத் தீர்க்கும் விஷயத்தில்

அல்காரிதம் கிட்டத்தட்ட மாறாமல் உள்ளது. முதலில் நீங்கள் தொடர்புடைய FSR ஐக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் ஒரே மாதிரியான அமைப்புசமன்பாடுகள், ஒரு அடிப்படை அணியை உருவாக்கவும்
அமைப்பு, அதன் நெடுவரிசைகள் FSR இன் கூறுகளைக் குறிக்கின்றன. அடுத்து, சமன்பாடு வரையப்பட்டது
.
கணினியைத் தீர்க்கும் போது, ​​செயல்பாடுகளை நாங்கள் தீர்மானிக்கிறோம், இதனால் அசல் அமைப்புக்கு ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வைக் காணலாம்
(அடிப்படை அணி கண்டறியப்பட்ட செயல்பாடுகளின் நெடுவரிசையால் பெருக்கப்படுகிறது).
ஒரே மாதிரியான சமன்பாடுகளின் தொடர்புடைய அமைப்பின் பொதுவான தீர்வுக்கு நாங்கள் அதைச் சேர்க்கிறோம், இது ஏற்கனவே கண்டுபிடிக்கப்பட்ட FSR இன் அடிப்படையில் கட்டப்பட்டுள்ளது.
அசல் அமைப்பின் பொதுவான தீர்வு பெறப்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டுகள்.

எடுத்துக்காட்டு 1. முதல் வரிசையின் நேரியல் சீரற்ற சமன்பாடுகள்.

தொடர்புடைய ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்வோம் (நாங்கள் விரும்பிய செயல்பாட்டைக் குறிக்கிறோம்):
.
இந்த சமன்பாட்டை மாறிகள் பிரிப்பு முறையைப் பயன்படுத்தி எளிதாக தீர்க்க முடியும்:

.
இப்போது வடிவத்தில் அசல் சமன்பாட்டிற்கான தீர்வை கற்பனை செய்வோம் , செயல்பாடு இன்னும் கண்டுபிடிக்கப்படவில்லை.
இந்த வகை தீர்வை அசல் சமன்பாட்டில் மாற்றுகிறோம்:
.
நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, இடது பக்கத்தில் இரண்டாவது மற்றும் மூன்றாவது சொற்கள் ஒருவருக்கொருவர் ரத்து - இது சிறப்பியல்பு அம்சம்தன்னிச்சையான மாறிலியின் மாறுபாட்டின் முறை.

இங்கே இது ஏற்கனவே ஒரு உண்மையான தன்னிச்சையான மாறிலி ஆகும். இவ்வாறு,
.

எடுத்துக்காட்டு 2. பெர்னோலியின் சமன்பாடு.

நாங்கள் முதல் உதாரணத்தைப் போலவே தொடர்கிறோம் - சமன்பாட்டை தீர்க்கிறோம்

மாறிகளை பிரிக்கும் முறை. இது மாறிவிடும், எனவே வடிவத்தில் அசல் சமன்பாட்டிற்கு ஒரு தீர்வைத் தேடுகிறோம்
.
இந்தச் செயல்பாட்டை அசல் சமன்பாட்டில் மாற்றுகிறோம்:
.
மீண்டும் குறைப்புகள் ஏற்படுகின்றன:
.
தீர்வு மூலம் பிரிக்கும் போது இழக்கப்படவில்லை என்பதை உறுதிப்படுத்த இங்கே நீங்கள் நினைவில் கொள்ள வேண்டும். மற்றும் அசல் தீர்வு வழக்கு ஒத்துள்ளது
சமன்பாடுகள் அதை நினைவில் கொள்வோம். எனவே,
.
அதை எழுதுவோம்.
இதுதான் தீர்வு. பதிலை எழுதும் போது, ​​எந்த இறுதி மதிப்பிற்கும் பொருந்தாததால், முன்னர் கண்டறிந்த தீர்வையும் குறிப்பிட வேண்டும்
மாறிலிகள்

எடுத்துக்காட்டு 3. உயர் வரிசைகளின் நேரியல் ஒத்திசைவற்ற சமன்பாடுகள்.

இந்த சமன்பாட்டை இன்னும் எளிமையாக தீர்க்க முடியும் என்பதை உடனடியாக கவனிக்கலாம், ஆனால் அதைப் பயன்படுத்தும் முறையை நிரூபிப்பது வசதியானது. சில நன்மைகள் இருந்தாலும்
இந்த எடுத்துக்காட்டில் மாறுபாடு முறை தன்னிச்சையான மாறிலியைக் கொண்டுள்ளது.
எனவே, நீங்கள் தொடர்புடைய ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டின் FSR உடன் தொடங்க வேண்டும். FSR ஐக் கண்டுபிடிக்க, ஒரு சிறப்பியல்பு வளைவு தொகுக்கப்பட்டுள்ளது என்பதை நினைவுபடுத்துவோம்
சமன்பாடு
.
எனவே, ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வு
.
இங்கு சேர்க்கப்பட்டுள்ள மாறிலிகள் மாறுபட வேண்டும். ஒரு அமைப்பை உருவாக்குதல்

ஒரு நேர்கோட்டு ஒத்திசைவற்ற வேறுபாடு சமன்பாட்டைக் கவனியுங்கள் நிலையான குணகங்கள்தன்னிச்சையான n வரிசை:
(1) .
முதல்-வரிசை சமன்பாட்டிற்காக நாம் கருதிய மாறிலியின் மாறுபாட்டின் முறை, உயர்-வரிசை சமன்பாடுகளுக்கும் பொருந்தும்.

தீர்வு இரண்டு நிலைகளில் மேற்கொள்ளப்படுகிறது. முதல் கட்டத்தில், நாம் வலது பக்கத்தை நிராகரித்து ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டை தீர்க்கிறோம். இதன் விளைவாக, n தன்னிச்சையான மாறிலிகளைக் கொண்ட ஒரு தீர்வைப் பெறுகிறோம். இரண்டாவது கட்டத்தில் நாம் மாறிலிகளை மாற்றுகிறோம். அதாவது, இந்த மாறிலிகள் x இன் சார்பற்ற மாறியின் செயல்பாடுகள் என்று நாங்கள் நம்புகிறோம், மேலும் இந்த செயல்பாடுகளின் வடிவத்தைக் கண்டறியவும்.

நாம் இங்கே நிலையான குணகங்களைக் கொண்ட சமன்பாடுகளைக் கருத்தில் கொண்டாலும், ஆனால் லாக்ரேஞ்ச் முறையானது எந்த நேரியல் ஒத்திசைவற்ற சமன்பாடுகளையும் தீர்ப்பதற்கும் பொருந்தும்.. இருப்பினும், இதைச் செய்ய, ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டிற்கான தீர்வுகளின் அடிப்படை அமைப்பு அறியப்பட வேண்டும்.

படி 1. ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது

முதல்-வரிசை சமன்பாடுகளைப் போலவே, ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வை முதலில் தேடுகிறோம், வலதுபுறம் ஒத்திசைவற்ற பக்கத்தை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமன் செய்கிறோம்:
(2) .
இந்த சமன்பாட்டிற்கான பொதுவான தீர்வு:
(3) .
இங்கே தன்னிச்சையான மாறிலிகள் உள்ளன; - n நேரியல் சுதந்திரமான முடிவுகள்ஒரே மாதிரியான சமன்பாடு (2), இது இந்த சமன்பாட்டிற்கான தீர்வுகளின் அடிப்படை அமைப்பை உருவாக்குகிறது.

படி 2. மாறிலிகளின் மாறுபாடு - மாறிலிகளை செயல்பாடுகளுடன் மாற்றுதல்

இரண்டாவது கட்டத்தில் மாறிலிகளின் மாறுபாட்டைக் கையாள்வோம். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், x இன் சார்பற்ற மாறியின் செயல்பாடுகளுடன் மாறிலிகளை மாற்றுவோம்:
.
அதாவது, அசல் சமன்பாட்டிற்கு (1) பின்வரும் வடிவத்தில் ஒரு தீர்வைத் தேடுகிறோம்:
(4) .

(4) ஐ (1) ஆக மாற்றினால், n செயல்பாடுகளுக்கு ஒரு வேறுபட்ட சமன்பாடு கிடைக்கும். இந்த வழக்கில், இந்த செயல்பாடுகளை கூடுதல் சமன்பாடுகளுடன் இணைக்கலாம். பின்னர் நீங்கள் n சமன்பாடுகளைப் பெறுவீர்கள், அதில் இருந்து n செயல்பாடுகளை தீர்மானிக்க முடியும்.கூடுதல் சமன்பாடுகளை எழுதலாம்

பல்வேறு வழிகளில் . ஆனால் தீர்வு எளிமையான வடிவத்தைக் கொண்டிருக்கும் வகையில் இதைச் செய்வோம். இதைச் செய்ய, வேறுபடுத்தும் போது, ​​செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றல்களைக் கொண்ட சொற்களை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமன் செய்ய வேண்டும்.இதை நிரூபிப்போம்.
.
முன்மொழியப்பட்ட தீர்வை (4) அசல் சமன்பாட்டில் (1) மாற்றுவதற்கு, வடிவத்தில் (4) எழுதப்பட்ட செயல்பாட்டின் முதல் n ஆர்டர்களின் வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறிய வேண்டும். (4) ஐப் பயன்படுத்தி வேறுபடுத்துகிறோம்

.
தொகைகளை வேறுபடுத்துவதற்கான விதிகள்
(5.1) .
மற்றும் வேலைகள்:
(6.1) .

உறுப்பினர்களை குழுவாக்குவோம். முதலில், டெரிவேடிவ்களுடன் விதிமுறைகளை எழுதுகிறோம், பின்னர் அதன் வழித்தோன்றல்களுடன் விதிமுறைகளை எழுதுகிறோம்:

.
செயல்பாடுகளில் முதல் நிபந்தனையை விதிக்கலாம்:
(5.2) .
பின்னர் முதல் வழித்தோன்றலுக்கான வெளிப்பாடு எளிமையான வடிவத்தைக் கொண்டிருக்கும்:
(6.2) .
அதே முறையைப் பயன்படுத்தி, இரண்டாவது வழித்தோன்றலைக் காண்கிறோம்:

செயல்பாடுகளில் இரண்டாவது நிபந்தனையை விதிக்கலாம்:
பிறகு ,
மற்றும் பல. கூடுதல் நிபந்தனைகளில், செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றல்களைக் கொண்ட சொற்களை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமன் செய்கிறோம்.
எனவே, செயல்பாடுகளுக்கு பின்வரும் கூடுதல் சமன்பாடுகளை நாம் தேர்வு செய்தால்: .
(5.கி)

பின்னர் முதல் வழித்தோன்றல்கள் எளிமையான வடிவத்தைக் கொண்டிருக்கும்:
(6.கி)
.

இங்கே.
(1) ;






.
n வது வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்:
.
(6.n)
(7) .

அசல் சமன்பாட்டிற்கு மாற்றீடு (1):
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) ;
. . . . . . .
அனைத்து செயல்பாடுகளும் சமன்பாட்டை (2) பூர்த்தி செய்கின்றன என்பதை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்வோம்: ;
பின்னர் பூஜ்ஜியத்தைக் கொண்ட சொற்களின் கூட்டுத்தொகை பூஜ்ஜியத்தைக் கொடுக்கும். இதன் விளைவாக நாம் பெறுகிறோம்: .

இதன் விளைவாக, வழித்தோன்றல்களுக்கான நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைப் பெற்றோம்:
.
(5.n-1)

(7′) இந்த அமைப்பைத் தீர்ப்பதன் மூலம், x இன் செயல்பாடாக வழித்தோன்றல்களுக்கான வெளிப்பாடுகளைக் காண்கிறோம்.ஒருங்கிணைத்தல், நாங்கள் பெறுகிறோம்:

x ஐச் சார்ந்து இல்லாத மாறிலிகள் இங்கே உள்ளன. (4) க்கு மாற்றாக, அசல் சமன்பாட்டிற்கான பொதுவான தீர்வைப் பெறுகிறோம்.

வழித்தோன்றல்களின் மதிப்புகளைத் தீர்மானிக்க, குணகங்கள் a i நிலையானது என்பதை நாங்கள் ஒருபோதும் பயன்படுத்தவில்லை என்பதை நினைவில் கொள்க. அதனால் தான்

எந்த நேரியல் ஒத்திசைவற்ற சமன்பாடுகளையும் தீர்க்க லாக்ரேஞ்ச் முறை பொருந்தும்

, ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டிற்கான தீர்வுகளின் அடிப்படை அமைப்பு (2) தெரிந்தால். எடுத்துக்காட்டுகள்முதல் வரிசை y’+p(x)y=q(x) வடிவத்தின் சமன்பாடுகள். வலது பக்கத்தில் பூஜ்ஜியம் இருந்தால்: y’+p(x)y=0, இது ஒரு நேரியல் ஒரே மாதிரியான 1 வது வரிசை சமன்பாடு. அதன்படி, பூஜ்ஜியம் அல்லாத வலது புறம் கொண்ட சமன்பாடு, y’+p(x)y=q(x), பன்முகத்தன்மை கொண்ட நேரியல் சமன்பாடு 1 வது ஆர்டர்.

தன்னிச்சையான மாறிலியின் மாறுபாட்டின் முறை (லாக்ரேஞ்ச் முறை) பின்வருமாறு:

1) y’+p(x)y=0: y=y* என்ற ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டிற்கான பொதுவான தீர்வை நாங்கள் தேடுகிறோம்.

2) பொதுவான தீர்வில், C ஒரு மாறிலி அல்ல, ஆனால் x: C = C (x) இன் செயல்பாடு என்று கருதுகிறோம். பொதுத் தீர்வு (y*)’ என்பதன் வழித்தோன்றலைக் கண்டறிந்து, y* மற்றும் (y*)’க்கான வெளிப்பாட்டை ஆரம்ப நிலையில் மாற்றுவோம். இதன் விளைவாக வரும் சமன்பாட்டிலிருந்து நாம் C(x) செயல்பாட்டைக் காணலாம்.

3) ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வில், C க்குப் பதிலாக, C(x) என்ற வெளிப்பாட்டை மாற்றுகிறோம்.

தன்னிச்சையான மாறிலியின் மாறுபாட்டின் முறையின் எடுத்துக்காட்டுகளைக் கருத்தில் கொள்வோம். இல் உள்ள அதே பணிகளை எடுத்துக்கொள்வோம், தீர்வின் முன்னேற்றத்தை ஒப்பிட்டு, பெறப்பட்ட பதில்கள் ஒத்துப்போகின்றன என்பதை உறுதிப்படுத்தவும்.

1) y'=3x-y/x

சமன்பாட்டை நிலையான வடிவத்தில் மீண்டும் எழுதுவோம் (பெர்னோலியின் முறையைப் போலல்லாமல், சமன்பாடு நேரியல் என்று பார்க்க மட்டுமே குறியீட்டு வடிவம் தேவை).

y’+y/x=3x (I). இப்போது நாம் திட்டத்தின் படி செல்கிறோம்.

1) ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டை y'+y/x=0 தீர்க்கவும். இது பிரிக்கக்கூடிய மாறிகள் கொண்ட ஒரு சமன்பாடு. y'=dy/dx, மாற்று: dy/dx+y/x=0, dy/dx=-y/x என்று கற்பனை செய்து பாருங்கள். சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் dx ஆல் பெருக்கி xy≠0 ஆல் வகுக்கிறோம்: dy/y=-dx/x. ஒருங்கிணைப்போம்:

2) ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டின் விளைவாக வரும் பொதுவான தீர்வில், நாம் C ஐ ஒரு மாறிலி அல்ல, ஆனால் x இன் செயல்பாட்டைக் கருதுவோம்: C=C(x). இங்கிருந்து

இதன் விளைவாக வரும் வெளிப்பாடுகளை நிபந்தனைக்கு (I) மாற்றுகிறோம்:

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் ஒருங்கிணைப்போம்:

இங்கே C ஏற்கனவே சில புதிய மாறிலி.

3) y=C/x என்ற ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வில், நாம் C=C(x), அதாவது, y=C(x)/x என்று கருதினோம், C(x) க்குப் பதிலாக, x³ என்ற வெளிப்பாட்டிற்குப் பதிலாக மாற்றுகிறோம். +C: y=(x³ +C)/x அல்லது y=x²+C/x. பெர்னோலியின் முறையால் தீர்க்கும் போது அதே பதிலைப் பெற்றோம்.

பதில்: y=x²+C/x.

2) y’+y=cosx.

இங்கே சமன்பாடு ஏற்கனவே நிலையான வடிவத்தில் எழுதப்பட்டுள்ளது, அதை மாற்ற வேண்டிய அவசியமில்லை.

1) ஒரே மாதிரியான நேரியல் சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும் y'+y=0: dy/dx=-y; dy/y=-dx. ஒருங்கிணைப்போம்:

குறியீட்டின் மிகவும் வசதியான வடிவத்தைப் பெற, நாம் அதிவேகத்தை C இன் சக்திக்கு புதிய C ஆக எடுத்துக்கொள்கிறோம்:

வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்பதற்கு மிகவும் வசதியாக இந்த மாற்றம் செய்யப்பட்டது.

2) நேரியல் ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டின் விளைவாக வரும் பொதுவான தீர்வில், நாம் C ஐ ஒரு மாறிலி அல்ல, ஆனால் x இன் செயல்பாடு என்று கருதுகிறோம்: C=C(x). இந்த நிலையில்

இதன் விளைவாக வரும் வெளிப்பாடுகள் y மற்றும் y' ஆகியவற்றை நிபந்தனைக்கு மாற்றுகிறோம்:

சமன்பாட்டின் இருபுறமும் பெருக்கவும்

பாகங்கள் சூத்திரத்தின் மூலம் ஒருங்கிணைப்பைப் பயன்படுத்தி சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் ஒருங்கிணைக்கிறோம், நாங்கள் பெறுகிறோம்:

இங்கே C என்பது ஒரு செயல்பாடு அல்ல, ஆனால் ஒரு சாதாரண மாறிலி.

3) ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வு

கண்டுபிடிக்கப்பட்ட செயல்பாடு C(x) ஐ மாற்றவும்:

பெர்னோலியின் முறையால் தீர்க்கும் போது அதே பதில் கிடைத்தது.

தன்னிச்சையான மாறிலியின் மாறுபாட்டின் முறையும் தீர்க்க பொருந்தும்.

y'x+y=-xy².

நாம் சமன்பாட்டை குறைக்கிறோம் நிலையான பார்வை: y’+y/x=-y² (II).

1) ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டை y'+y/x=0 தீர்க்கவும். dy/dx=-y/x. சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் dx ஆல் பெருக்கி y: dy/y=-dx/x ஆல் வகுக்கிறோம். இப்போது ஒருங்கிணைப்போம்:

இதன் விளைவாக வரும் வெளிப்பாடுகளை நிபந்தனையாக (II) மாற்றுகிறோம்:

எளிமைப்படுத்துவோம்:

C மற்றும் x க்கான பிரிக்கக்கூடிய மாறிகள் கொண்ட சமன்பாட்டைப் பெற்றோம்:

இங்கே C ஏற்கனவே ஒரு சாதாரண மாறிலி. ஒருங்கிணைப்பு செயல்பாட்டின் போது, ​​குறியீட்டை ஓவர்லோட் செய்யாமல் இருக்க, C(x) க்கு பதிலாக C என்று எழுதினோம். இறுதியில் C(x) க்கு திரும்பினோம், அதனால் C(x) ஐ புதிய C உடன் குழப்ப வேண்டாம்.

3) y=C(x)/x என்ற ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வில், C(x) செயல்பாட்டை மாற்றுகிறோம்:

பெர்னோலி முறையைப் பயன்படுத்தி அதைத் தீர்க்கும்போது அதே பதில் கிடைத்தது.

சுய பரிசோதனை உதாரணங்கள்:

1. சமன்பாட்டை நிலையான வடிவத்தில் மீண்டும் எழுதுவோம்: y'-2y=x.

1) ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டை y'-2y=0 தீர்க்கவும். y'=dy/dx, எனவே dy/dx=2y, சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் dx ஆல் பெருக்கி, y ஆல் வகுத்து ஒருங்கிணைக்கவும்:

இங்கிருந்து நாம் y ஐக் காணலாம்:

y மற்றும் y’க்கான வெளிப்பாடுகளை நிபந்தனையாக மாற்றுவோம் (சுருக்கத்திற்கு C(x) க்கு பதிலாக C ஐயும், C"(x) க்கு பதிலாக C’ ஐயும் பயன்படுத்துவோம்):

வலது பக்கத்தில் உள்ள ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டறிய, பகுதிகளின் சூத்திரத்தின் மூலம் ஒருங்கிணைப்பைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

இப்போது நாம் சூத்திரத்தில் u, du மற்றும் v ஐ மாற்றுகிறோம்:

இங்கே C = const.

3) இப்போது நாம் தீர்வுக்கு ஒரே மாதிரியாக மாற்றுகிறோம்

தன்னிச்சையான மாறிலிகளின் மாறுபாட்டின் முறையானது ஒத்திசைவற்ற வேறுபட்ட சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கப் பயன்படுகிறது. இந்தப் பாடம்தலைப்பில் ஏற்கனவே அதிகமாகவோ அல்லது குறைவாகவோ நன்கு அறிந்த மாணவர்களுக்காக வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது. நீங்கள் ரிமோட் கண்ட்ரோலைப் பற்றி தெரிந்துகொள்ளத் தொடங்கினால், அதாவது. நீங்கள் ஒரு தேநீர் தொட்டியாக இருந்தால், முதல் பாடத்துடன் தொடங்க பரிந்துரைக்கிறேன்: முதல் வரிசை வேறுபட்ட சமன்பாடுகள். தீர்வுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள். நீங்கள் ஏற்கனவே முடித்திருந்தால், முறை கடினமானது என்ற சாத்தியமான முன்முடிவை நிராகரிக்கவும். ஏனென்றால் அது எளிமையானது.

எந்த சந்தர்ப்பங்களில் தன்னிச்சையான மாறிலிகளின் மாறுபாட்டின் முறை பயன்படுத்தப்படுகிறது?

1) தன்னிச்சையான மாறிலியின் மாறுபாட்டின் முறையைத் தீர்க்கப் பயன்படுத்தலாம் 1 வது வரிசையின் நேரியல் ஒத்திசைவற்ற DE. சமன்பாடு முதல் வரிசையில் இருப்பதால், மாறிலியும் ஒன்றாகும்.

2) தன்னிச்சையான மாறிலிகளின் மாறுபாட்டின் முறை சிலவற்றைத் தீர்க்கப் பயன்படுகிறது நேரியல் ஒத்திசைவற்ற இரண்டாவது வரிசை சமன்பாடுகள். இங்கே இரண்டு மாறிலிகள் வேறுபடுகின்றன.

பாடம் இரண்டு பத்திகளைக் கொண்டிருக்கும் என்று கருதுவது தர்க்கரீதியானது... எனவே நான் இந்த வாக்கியத்தை எழுதினேன், சுமூகமான மாற்றத்திற்கு வேறு என்ன புத்திசாலித்தனமான தந்திரத்தை சேர்க்கலாம் என்று சுமார் 10 நிமிடங்கள் வேதனையுடன் யோசித்தேன். நடைமுறை உதாரணங்கள். ஆனால் சில காரணங்களால் விடுமுறைக்குப் பிறகு எனக்கு எந்த எண்ணமும் இல்லை, இருப்பினும் நான் எதையும் தவறாகப் பயன்படுத்தியதாகத் தெரியவில்லை. எனவே, நேரடியாக முதல் பத்திக்கு வருவோம்.

தன்னிச்சையான மாறிலியின் மாறுபாட்டின் முறை
முதல் வரிசை நேரியல் சீரற்ற சமன்பாட்டிற்கு

தன்னிச்சையான மாறிலியின் மாறுபாட்டின் முறையைக் கருத்தில் கொள்வதற்கு முன், கட்டுரையை நன்கு அறிந்திருப்பது நல்லது. முதல் வரிசையின் நேரியல் வேறுபாடு சமன்பாடுகள். அந்த பாடத்தில் நாங்கள் பயிற்சி செய்தோம் முதல் தீர்வுஒத்திசைவற்ற 1வது வரிசை DE. இந்த முதல் தீர்வு, நான் உங்களுக்கு நினைவூட்டுகிறேன், அழைக்கப்படுகிறது மாற்று முறைஅல்லது பெர்னோலி முறை(குழப்பப்பட வேண்டாம் பெர்னோலியின் சமன்பாடு!!!)

இப்போது நாம் பார்ப்போம் இரண்டாவது தீர்வு- தன்னிச்சையான மாறிலியின் மாறுபாட்டின் முறை. நான் மூன்று எடுத்துக்காட்டுகளைத் தருகிறேன், மேலே குறிப்பிட்ட பாடத்திலிருந்து அவற்றை எடுத்துக்கொள்கிறேன். ஏன் கொஞ்சம்? ஏனெனில் உண்மையில், இரண்டாவது வழியில் உள்ள தீர்வு முதல் வழியில் உள்ள தீர்வுக்கு மிகவும் ஒத்ததாக இருக்கும். கூடுதலாக, எனது அவதானிப்புகளின்படி, தன்னிச்சையான மாறிலிகளின் மாறுபாட்டின் முறை மாற்று முறையை விட குறைவாகவே பயன்படுத்தப்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டு 1

(பாடத்தின் எடுத்துக்காட்டு எண். 2ல் இருந்து வேறுபட்டது 1 வது வரிசையின் நேரியல் ஒத்திசைவற்ற வேறுபட்ட சமன்பாடுகள்)

தீர்வு:இந்த சமன்பாடு நேரியல் சீரற்றது மற்றும் நன்கு அறியப்பட்ட வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது:

முதல் கட்டத்தில், எளிமையான சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது அவசியம்:
அதாவது, முட்டாள்தனமாக வலது பக்கத்தை மீட்டமைத்து, அதற்கு பதிலாக பூஜ்ஜியத்தை எழுதுகிறோம்.
சமன்பாடு நான் அழைக்கிறேன் துணை சமன்பாடு.

IN இந்த எடுத்துக்காட்டில்பின்வரும் துணை சமன்பாட்டை நீங்கள் தீர்க்க வேண்டும்:

எங்களுக்கு முன் பிரிக்கக்கூடிய சமன்பாடு, அதற்கான தீர்வு (நான் நம்புகிறேன்) இனி உங்களுக்கு கடினமாக இருக்காது:

இவ்வாறு:
- துணை சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வு.

இரண்டாவது படியில் நாங்கள் மாற்றுவோம்சில நிலையானது இப்போதைக்கு"x" ஐ சார்ந்து அறியப்படாத செயல்பாடு:

எனவே முறையின் பெயர் - நாம் மாறிலியை மாற்றுகிறோம். மாற்றாக, மாறிலி என்பது நாம் இப்போது கண்டுபிடிக்க வேண்டிய சில செயல்பாடாக இருக்கலாம்.

IN அசல்ஒத்திசைவற்ற சமன்பாடு மாற்றீடு செய்வோம்:

நாம் மாற்று மற்றும் சமன்பாட்டிற்குள் :

கட்டுப்பாட்டு புள்ளி - இடது பக்கத்தில் உள்ள இரண்டு விதிமுறைகள் ரத்து. இது நடக்கவில்லை என்றால், மேலே உள்ள பிழையை நீங்கள் தேட வேண்டும்.

மாற்றத்தின் விளைவாக, பிரிக்கக்கூடிய மாறிகள் கொண்ட ஒரு சமன்பாடு பெறப்பட்டது. நாம் மாறிகளை பிரித்து ஒருங்கிணைக்கிறோம்.

என்ன ஒரு ஆசீர்வாதம், அடுக்குகளும் ரத்து செய்கின்றன:

காணப்படும் செயல்பாட்டிற்கு "சாதாரண" மாறிலியைச் சேர்க்கிறோம்:

இறுதி கட்டத்தில், எங்கள் மாற்றீட்டை நாங்கள் நினைவில் கொள்கிறோம்:

செயல்பாடு இப்போது கண்டுபிடிக்கப்பட்டது!

எனவே பொதுவான தீர்வு:

பதில்:பொதுவான தீர்வு:

நீங்கள் இரண்டு தீர்வுகளையும் பிரிண்ட் அவுட் செய்தால், இரண்டு சந்தர்ப்பங்களிலும் நாங்கள் ஒரே ஒருங்கிணைப்புகளைக் கண்டோம் என்பதை நீங்கள் எளிதாகக் கவனிப்பீர்கள். தீர்வு அல்காரிதத்தில் மட்டுமே வேறுபாடு உள்ளது.

இப்போது மிகவும் சிக்கலான ஒன்றுக்கு, இரண்டாவது எடுத்துக்காட்டில் கருத்து தெரிவிக்கிறேன்:

எடுத்துக்காட்டு 2

வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்கான பொதுவான தீர்வைக் கண்டறியவும்
(பாடத்தின் எடுத்துக்காட்டு எண். 8ல் இருந்து வேறுபடுங்கள் 1 வது வரிசையின் நேரியல் ஒத்திசைவற்ற வேறுபட்ட சமன்பாடுகள்)

தீர்வு:படிவத்திற்கு சமன்பாட்டைக் குறைப்போம் :

வலது பக்கத்தை மீட்டமைத்து, துணை சமன்பாட்டைத் தீர்ப்போம்:

துணை சமன்பாட்டிற்கான பொதுவான தீர்வு:

ஒத்திசைவற்ற சமன்பாட்டில் நாம் மாற்றீடு செய்கிறோம்:

தயாரிப்பு வேறுபாடு விதியின் படி:

நாம் மாற்று மற்றும் அசல் ஒத்திசைவற்ற சமன்பாட்டில்:

இடது பக்கத்தில் உள்ள இரண்டு சொற்கள் ரத்துசெய்யப்படுகின்றன, அதாவது நாங்கள் சரியான பாதையில் இருக்கிறோம்:

பகுதிகள் மூலம் ஒருங்கிணைப்போம். பாகங்கள் சூத்திரத்தால் ஒருங்கிணைப்பதில் இருந்து சுவையான கடிதம் ஏற்கனவே தீர்வில் ஈடுபட்டுள்ளது, எனவே நாங்கள் எடுத்துக்காட்டாக, "a" மற்றும் "be" எழுத்துக்களைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

இப்போது மாற்றீட்டை நினைவில் கொள்வோம்:

பதில்:பொதுவான தீர்வு:

மற்றும் ஒரு உதாரணம் சுதந்திரமான முடிவு:

எடுத்துக்காட்டு 3

கொடுக்கப்பட்ட ஆரம்ப நிலையுடன் தொடர்புடைய வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்கு ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வைக் கண்டறியவும்.

,
(பாடத்தின் எடுத்துக்காட்டு எண். 4ல் இருந்து வேறுபட்டது 1 வது வரிசையின் நேரியல் ஒத்திசைவற்ற வேறுபட்ட சமன்பாடுகள்)
தீர்வு:
இந்த DE நேரியல் சீரற்றது. தன்னிச்சையான மாறிலிகளின் மாறுபாட்டின் முறையைப் பயன்படுத்துகிறோம். துணை சமன்பாட்டைத் தீர்ப்போம்:

நாங்கள் மாறிகளை பிரித்து ஒருங்கிணைக்கிறோம்:

பொதுவான தீர்வு:
ஒத்திசைவற்ற சமன்பாட்டில் நாம் மாற்றீடு செய்கிறோம்:

மாற்றீட்டைச் செய்வோம்:

எனவே பொதுவான தீர்வு:

கொடுக்கப்பட்ட ஆரம்ப நிபந்தனையுடன் தொடர்புடைய ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வைக் கண்டுபிடிப்போம்:

பதில்:தனிப்பட்ட தீர்வு:

பாடத்தின் முடிவில் உள்ள தீர்வு வேலையை முடிக்க ஒரு எடுத்துக்காட்டு.

தன்னிச்சையான மாறிலிகளின் மாறுபாட்டின் முறை
ஒரு நேரியல் ஒத்திசைவற்ற இரண்டாவது வரிசை சமன்பாட்டிற்கு
நிலையான குணகங்களுடன்

இரண்டாம் வரிசை சமன்பாட்டிற்கு தன்னிச்சையான மாறிலிகளை மாற்றும் முறை எளிதான விஷயம் அல்ல என்ற கருத்தை நான் அடிக்கடி கேள்விப்பட்டிருக்கிறேன். ஆனால் நான் பின்வருவனவற்றைக் கருதுகிறேன்: பெரும்பாலும், இந்த முறை பலருக்கு கடினமாகத் தோன்றுகிறது, ஏனெனில் இது அடிக்கடி நிகழாது. ஆனால் உண்மையில் குறிப்பிட்ட சிரமங்கள் எதுவும் இல்லை - முடிவின் போக்கு தெளிவானது, வெளிப்படையானது மற்றும் புரிந்துகொள்ளக்கூடியது. மற்றும் அழகான.

முறையை மாஸ்டர் செய்ய, வலது பக்க வடிவத்தின் அடிப்படையில் ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வைத் தேர்ந்தெடுப்பதன் மூலம் ஒத்திசைவற்ற இரண்டாம்-வரிசை சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க முடியும். இந்த முறை கட்டுரையில் விரிவாக விவாதிக்கப்படுகிறது. ஒத்திசைவற்ற 2வது வரிசை DEகள். நிலையான குணகங்களுடன் இரண்டாவது வரிசை நேரியல் ஒத்திசைவற்ற சமன்பாடு வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது என்பதை நாங்கள் நினைவுபடுத்துகிறோம்:

மேலே உள்ள பாடத்தில் விவாதிக்கப்பட்ட தேர்வு முறை, வலது பக்கம் பல்லுறுப்புக்கோவைகள், அதிவேகங்கள், சைன்கள் மற்றும் கொசைன்கள் இருக்கும் போது குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையிலான நிகழ்வுகளில் மட்டுமே செயல்படும். ஆனால் வலதுபுறத்தில், எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு பின்னம், மடக்கை, தொடுகோடு இருக்கும்போது என்ன செய்வது? அத்தகைய சூழ்நிலையில், மாறிலிகளின் மாறுபாட்டின் முறை மீட்புக்கு வருகிறது.

எடுத்துக்காட்டு 4

இரண்டாவது வரிசை வேறுபாடு சமன்பாட்டிற்கான பொதுவான தீர்வைக் கண்டறியவும்

தீர்வு:இந்த சமன்பாட்டின் வலது பக்கத்தில் ஒரு பின்னம் உள்ளது, எனவே ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வைத் தேர்ந்தெடுக்கும் முறை வேலை செய்யாது என்று உடனடியாக சொல்லலாம். தன்னிச்சையான மாறிலிகளின் மாறுபாட்டின் முறையைப் பயன்படுத்துகிறோம்.

இடியுடன் கூடிய மழைக்கான அறிகுறிகள் எதுவும் இல்லை, தீர்வின் ஆரம்பம் முற்றிலும் சாதாரணமானது:

நாம் கண்டுபிடிப்போம் பொதுவான தீர்வுபொருத்தமானது ஒரே மாதிரியானசமன்பாடுகள்:

இசையமைத்து தீர்ப்போம் சிறப்பியல்பு சமன்பாடு:


- ஒருங்கிணைந்த சிக்கலான வேர்கள் பெறப்படுகின்றன, எனவே பொதுவான தீர்வு:

பொதுவான தீர்வின் பதிவில் கவனம் செலுத்துங்கள் - அடைப்புக்குறிகள் இருந்தால், அவற்றைத் திறக்கவும்.

இப்போது நாம் முதல் வரிசை சமன்பாட்டின் அதே தந்திரத்தை செய்கிறோம்: மாறிலிகளை மாற்றுகிறோம், அவற்றை அறியப்படாத செயல்பாடுகளுடன் மாற்றுகிறோம். அதாவது, ஒத்திசைவற்ற பொதுவான தீர்வுவடிவத்தில் சமன்பாடுகளைத் தேடுவோம்:

எங்கே - இப்போதைக்குஅறியப்படாத செயல்பாடுகள்.

நிலப்பரப்பு போல் தெரிகிறது வீட்டு கழிவு, ஆனால் இப்போது எல்லாவற்றையும் வரிசைப்படுத்துவோம்.

அறியப்படாதவை செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றல்கள். வழித்தோன்றல்களைக் கண்டுபிடிப்பதே எங்கள் குறிக்கோள், மேலும் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட வழித்தோன்றல்கள் அமைப்பின் முதல் மற்றும் இரண்டாவது சமன்பாடுகளை திருப்திப்படுத்த வேண்டும்.

"கிரேக்கர்கள்" எங்கிருந்து வருகிறார்கள்? நாரை அவற்றைக் கொண்டுவருகிறது. முன்னர் பெறப்பட்ட பொதுவான தீர்வைப் பார்த்து எழுதுகிறோம்:

வழித்தோன்றல்களைக் கண்டுபிடிப்போம்:

இடது பாகங்கள் கையாளப்பட்டுள்ளன. வலதுபுறத்தில் என்ன இருக்கிறது?

அசல் சமன்பாட்டின் வலது பக்கம், இந்த வழக்கில்:

குணகம் என்பது இரண்டாவது வழித்தோன்றலின் குணகம்:

நடைமுறையில், எப்போதும், மற்றும் எங்கள் உதாரணம் விதிவிலக்கல்ல.

எல்லாம் தெளிவாக உள்ளது, இப்போது நீங்கள் ஒரு அமைப்பை உருவாக்கலாம்:

அமைப்பு பொதுவாக தீர்க்கப்படுகிறது கிராமரின் சூத்திரங்களின்படிநிலையான அல்காரிதம் பயன்படுத்தி. ஒரே வித்தியாசம் என்னவென்றால், எண்களுக்குப் பதிலாக நமக்கு செயல்பாடுகள் உள்ளன.

அமைப்பின் முக்கிய தீர்மானிப்பதைக் கண்டுபிடிப்போம்:

டூ-டு-டூ-டெர்மினண்ட் எப்படி வெளிப்படுகிறது என்பதை நீங்கள் மறந்துவிட்டால், பாடத்தைப் பார்க்கவும் தீர்மானிப்பதை எவ்வாறு கணக்கிடுவது?இணைப்பு அவமானத்தின் பலகைக்கு வழிவகுக்கிறது =)

எனவே: இதன் பொருள் கணினிக்கு ஒரு தனித்துவமான தீர்வு உள்ளது.

வழித்தோன்றலைக் கண்டறிதல்:

ஆனால் அதெல்லாம் இல்லை, இதுவரை நாம் வழித்தோன்றலை மட்டுமே கண்டுபிடித்துள்ளோம்.
ஒருங்கிணைப்பு மூலம் செயல்பாடு மீட்டமைக்கப்படுகிறது:

இரண்டாவது செயல்பாட்டைப் பார்ப்போம்:

இங்கே நாம் ஒரு "சாதாரண" மாறிலியைச் சேர்க்கிறோம்

தீர்வின் இறுதி கட்டத்தில், ஒத்திசைவற்ற சமன்பாட்டிற்கு எந்த வடிவத்தில் பொதுவான தீர்வைத் தேடுகிறோம் என்பதை நினைவில் கொள்கிறோம்? இதில்:

உங்களுக்கு தேவையான செயல்பாடுகள் இப்போது கண்டுபிடிக்கப்பட்டுள்ளன!

மாற்றீட்டைச் செய்து பதிலை எழுதுவது மட்டுமே மீதமுள்ளது:

பதில்:பொதுவான தீர்வு:

கொள்கையளவில், பதில் அடைப்புக்குறிகளை விரிவுபடுத்தியிருக்கலாம்.

முழு சோதனைவகுப்பில் விவாதிக்கப்பட்ட நிலையான திட்டத்தின் படி பதில் மேற்கொள்ளப்படுகிறது ஒத்திசைவற்ற 2வது வரிசை DEகள். ஆனால் சரிபார்ப்பு எளிதானது அல்ல, ஏனென்றால் கனமான வழித்தோன்றல்களைக் கண்டுபிடித்து சிக்கலான மாற்றீட்டைச் செய்வது அவசியம். அத்தகைய டிஃப்பியூசர்களை நீங்கள் தீர்க்கும்போது இது விரும்பத்தகாத அம்சமாகும்.

எடுத்துக்காட்டு 5

தன்னிச்சையான மாறிலிகளை மாற்றுவதன் மூலம் வேறுபட்ட சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்

நீங்களே தீர்க்க இது ஒரு எடுத்துக்காட்டு. உண்மையில், வலது பக்கத்தில் ஒரு பகுதியும் உள்ளது. நினைவில் கொள்வோம் முக்கோணவியல் சூத்திரம், மூலம், அது தீர்வு போது விண்ணப்பிக்க வேண்டும்.

தன்னிச்சையான மாறிலிகளின் மாறுபாட்டின் முறை மிகவும் உலகளாவிய முறையாகும். இது தீர்க்கக்கூடிய எந்த சமன்பாட்டையும் தீர்க்க முடியும் வலது பக்க வடிவத்தின் அடிப்படையில் ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வைத் தேர்ந்தெடுக்கும் முறை. கேள்வி எழுகிறது: தன்னிச்சையான மாறிலிகளின் மாறுபாட்டின் முறையை ஏன் பயன்படுத்தக்கூடாது? பதில் வெளிப்படையானது: ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வின் தேர்வு, இது வகுப்பில் விவாதிக்கப்பட்டது ஒத்திசைவற்ற இரண்டாம் வரிசை சமன்பாடுகள், தீர்வை கணிசமாக வேகப்படுத்துகிறது மற்றும் பதிவைக் குறைக்கிறது - தீர்மானிப்பவர்கள் மற்றும் ஒருங்கிணைப்புகளுடன் வம்பு இல்லை.

உடன் இரண்டு உதாரணங்களைப் பார்ப்போம் காச்சி பிரச்சனை.

எடுத்துக்காட்டு 6

கொடுக்கப்பட்டவற்றுடன் தொடர்புடைய வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்கு ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வைக் கண்டறியவும் ஆரம்ப நிலைமைகள்

,

தீர்வு:மீண்டும் பின்னம் மற்றும் அடுக்கு சுவாரஸ்யமான இடம்.
தன்னிச்சையான மாறிலிகளின் மாறுபாட்டின் முறையைப் பயன்படுத்துகிறோம்.

நாம் கண்டுபிடிப்போம் பொதுவான தீர்வுபொருத்தமானது ஒரே மாதிரியானசமன்பாடுகள்:



வெவ்வேறு உண்மையான வேர்கள் பெறப்படுகின்றன, எனவே பொதுவான தீர்வு:

ஒத்திசைவற்ற பொதுவான தீர்வுநாம் வடிவத்தில் சமன்பாடுகளைத் தேடுகிறோம்: , எங்கே - இப்போதைக்குஅறியப்படாத செயல்பாடுகள்.

ஒரு அமைப்பை உருவாக்குவோம்:

இந்த வழக்கில்:
,
வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறிதல்:
,

இவ்வாறு:

கிராமரின் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி கணினியைத் தீர்ப்போம்:
, அதாவது கணினிக்கு ஒரு தனித்துவமான தீர்வு உள்ளது.

ஒருங்கிணைப்பு மூலம் செயல்பாட்டை மீட்டெடுக்கிறோம்:

இங்கே பயன்படுத்தப்பட்டது வேற்றுமைக் குறியின் கீழ் ஒரு செயல்பாட்டைச் சேர்க்கும் முறை.

ஒருங்கிணைப்பு மூலம் இரண்டாவது செயல்பாட்டை மீட்டெடுக்கிறோம்:

இந்த ஒருங்கிணைப்பு தீர்க்கப்பட்டது மாறி மாற்று முறை:

மாற்றிலிருந்து நாம் வெளிப்படுத்துகிறோம்:

இவ்வாறு:

இந்த ஒருங்கிணைப்பைக் காணலாம் முழுமையான சதுர பிரித்தெடுத்தல் முறை, ஆனால் டிஃப்பியூசர்களுடன் உள்ள எடுத்துக்காட்டுகளில் நான் பகுதியை விரிவாக்க விரும்புகிறேன் முறை நிச்சயமற்ற குணகங்கள் :

இரண்டு செயல்பாடுகளும் காணப்பட்டன:

இதன் விளைவாக, ஒத்திசைவற்ற சமன்பாட்டிற்கான பொதுவான தீர்வு:

ஆரம்ப நிலைமைகளை பூர்த்தி செய்யும் ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வைக் கண்டுபிடிப்போம் .

தொழில்நுட்ப ரீதியாக, தீர்வுக்கான தேடல் மேற்கொள்ளப்படுகிறது ஒரு நிலையான வழியில், இது கட்டுரையில் விவாதிக்கப்பட்டது இரண்டாவது வரிசையின் ஒத்திசைவற்ற வேறுபட்ட சமன்பாடுகள்.

காத்திருங்கள், இப்போது கண்டுபிடிக்கப்பட்ட பொதுவான தீர்வின் வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்போம்:

இது ஒரு அவமானம். அதை எளிமைப்படுத்த வேண்டிய அவசியமில்லை, சமன்பாடுகளின் அமைப்பை உடனடியாக உருவாக்குவது எளிது. ஆரம்ப நிபந்தனைகளின்படி :

மாறிலிகளின் காணப்படும் மதிப்புகளை மாற்றுவோம் பொதுவான தீர்வுக்கு:

பதிலில், மடக்கைகளை சிறிது பேக் செய்யலாம்.

பதில்:தனிப்பட்ட தீர்வு:

நீங்கள் பார்க்கிறபடி, ஒருங்கிணைப்புகள் மற்றும் வழித்தோன்றல்களில் சிரமங்கள் ஏற்படலாம், ஆனால் தன்னிச்சையான மாறிலிகளின் மாறுபாட்டிற்கான வழிமுறையில் அல்ல. உன்னை மிரட்டியது நான் அல்ல, குஸ்னெட்சோவின் தொகுப்பு!

ஓய்வெடுப்பதற்கு, அதை நீங்களே தீர்ப்பதற்கான இறுதி, எளிமையான உதாரணம்:

எடுத்துக்காட்டு 7

கௌசி பிரச்சனையை தீர்க்கவும்

,

உதாரணம் எளிமையானது, ஆனால் ஆக்கப்பூர்வமானது, நீங்கள் ஒரு அமைப்பை உருவாக்கும்போது, ​​முடிவெடுப்பதற்கு முன் அதை கவனமாகப் பாருங்கள் ;-),




இதன் விளைவாக, பொதுவான தீர்வு:

ஆரம்ப நிலைமைகளுக்கு ஏற்ப ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வைக் கண்டுபிடிப்போம் .



மாறிலிகளின் காணப்படும் மதிப்புகளை பொதுவான தீர்வுக்கு மாற்றுவோம்:

பதில்:தனிப்பட்ட தீர்வு: