டம்மிகளுக்கான கணிதத்தில் வரம்புகள்: விளக்கம், கோட்பாடு, தீர்வுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள். ஹெய்ன் மற்றும் கௌச்சியின் படி ஒரு செயல்பாட்டின் வரம்புக்கான உலகளாவிய வரையறை

நிலையான எண் ஏஅழைக்கப்பட்டது வரம்பு தொடர்கள்(x n ), ஏதேனும் தன்னிச்சையாக சிறியதாக இருந்தால் நேர்மறை எண் ε > 0 அனைத்து மதிப்புகளையும் கொண்ட ஒரு எண் N உள்ளது x n, இதற்கு n>N, சமத்துவமின்மையை திருப்திப்படுத்துகிறது

|x n - a|< ε. (6.1)

அதை பின்வருமாறு எழுதவும்: அல்லது x n →அ.

சமத்துவமின்மை (6.1) இரட்டை சமத்துவமின்மைக்கு சமம்

a- ε< x n < a + ε, (6.2)

அதாவது புள்ளிகள் x n, சில எண் n>N இலிருந்து தொடங்கி, இடைவெளிக்குள் (a-ε, a+ ε ), அதாவது. எந்த சிறிய விழும்ε - ஒரு புள்ளியின் அக்கம் ஏ.

வரம்பைக் கொண்ட ஒரு வரிசை அழைக்கப்படுகிறது ஒன்றிணைந்த, இல்லையெனில் - மாறுபட்ட.

ஒரு சார்பு வரம்பு என்பது ஒரு வரிசை வரம்பு என்ற கருத்தின் பொதுமைப்படுத்தலாகும், ஏனெனில் ஒரு வரிசையின் வரம்பு ஒரு முழு எண் வாதத்தின் x n = f(n) செயல்பாட்டின் வரம்பாகக் கருதப்படலாம். n.

f(x) சார்பு கொடுக்கப்பட்டு விடுங்கள் அ - வரம்பு புள்ளிஇந்த செயல்பாட்டின் வரையறையின் டொமைன் D(f), i.e. அத்தகைய புள்ளி, எந்த சுற்றுப்புறமும் D(f) தொகுப்பின் புள்ளிகளைக் கொண்டுள்ளது அ. புள்ளி அ D(f) தொகுப்பைச் சேர்ந்திருக்கலாம் அல்லது இல்லாமல் இருக்கலாம்.

வரையறை 1.நிலையான எண் A அழைக்கப்படுகிறது வரம்பு செயல்பாடுகள் f(x) மணிக்கு x→a, ஏதேனும் வரிசை (x n) வாத மதிப்புகள் இருந்தால் ஏ, தொடர்புடைய வரிசைகள் (f(x n)) அதே வரம்பு A.

இந்த வரையறை அழைக்கப்படுகிறது ஹெய்னின் படி ஒரு செயல்பாட்டின் வரம்பை வரையறுப்பதன் மூலம்,அல்லது " வரிசை மொழியில்”.

வரையறை 2. நிலையான எண் A அழைக்கப்படுகிறது வரம்பு செயல்பாடுகள் f(x) மணிக்கு x→a, என்றால், தன்னிச்சையான தன்னிச்சையான சிறிய நேர்மறை எண்ணைக் குறிப்பிடுவதன் மூலம் ε, அத்தகைய δ ஐக் காணலாம்>0 (ε ஐப் பொறுத்து), இது அனைவருக்கும் உள்ளது x, பொய்எண்ணின் ε-அக்கம் ஏ, அதாவது க்கு x, சமத்துவமின்மையை திருப்திப்படுத்துகிறது
0 < x-a< ε , f(x) செயல்பாட்டின் மதிப்புகள் இருக்கும்எண் A இன் ε-அருகில், அதாவது.|f(x)-A|< ε.

இந்த வரையறை அழைக்கப்படுகிறது Cauchy படி ஒரு செயல்பாட்டின் வரம்பை வரையறுப்பதன் மூலம்,அல்லது "ε - δ மொழியில் “.

1 மற்றும் 2 வரையறைகள் சமமானவை. f(x) செயல் x → ஆக இருந்தால்ஒரு உள்ளது வரம்பு, A க்கு சமம், இது வடிவத்தில் எழுதப்பட்டுள்ளது

. (6.3)

வரிசை (f(x n)) எந்த தோராய முறைக்கும் வரம்பில்லாமல் அதிகரிக்கும் (அல்லது குறையும்) xஉங்கள் எல்லைக்கு ஏ, பிறகு f(x) செயல்பாடு உள்ளது என்று கூறுவோம் எல்லையற்ற எல்லை,மற்றும் படிவத்தில் எழுதவும்:

பூஜ்ஜியமாக இருக்கும் ஒரு மாறி (அதாவது வரிசை அல்லது செயல்பாடு) அழைக்கப்படுகிறது எல்லையற்ற சிறிய.

முடிவிலிக்கு சமமாக இருக்கும் ஒரு மாறி அழைக்கப்படுகிறது எல்லையற்ற பெரியது.

நடைமுறையில் வரம்பை கண்டுபிடிக்க, பின்வரும் கோட்பாடுகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

தேற்றம் 1 . ஒவ்வொரு வரம்பும் இருந்தால்

(6.4)

(6.5)

(6.6)

கருத்து. 0/0 போன்ற வெளிப்பாடுகள், ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , - நிச்சயமற்றது, எடுத்துக்காட்டாக, இரண்டு எல்லையற்ற சிறிய அல்லது எல்லையற்ற பெரிய அளவுகளின் விகிதம், மேலும் இந்த வகையின் வரம்பைக் கண்டறிவது "நிச்சயமற்ற தன்மைகளைக் கண்டறிதல்" என்று அழைக்கப்படுகிறது.

தேற்றம் 2. (6.7)

அந்த. ஒரு நிலையான அடுக்கு கொண்ட சக்தியின் அடிப்படையில் ஒருவர் வரம்பிற்கு செல்லலாம், குறிப்பாக, ;

(6.8)

(6.9)

தேற்றம் 3.

(6.10)

(6.11)

எங்கே இ » 2.7 - இயற்கை மடக்கையின் அடிப்படை. சூத்திரங்கள் (6.10) மற்றும் (6.11) முதலில் அழைக்கப்படுகின்றன அற்புதமான வரம்புமற்றும் இரண்டாவது குறிப்பிடத்தக்க வரம்பு.

சூத்திரத்தின் விளைவுகள் (6.11) நடைமுறையிலும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன:

(6.12)

(6.13)

(6.14)

குறிப்பாக வரம்பு,

x என்றால் → a மற்றும் அதே நேரத்தில் x > a, பின்னர் x என்று எழுதவும்→a + 0. குறிப்பாக, a = 0 எனில், 0+0 என்ற குறியீட்டுக்குப் பதிலாக +0 என்று எழுதவும். இதேபோல் x→ என்றால்a மற்றும் அதே நேரத்தில் x a-0. எண்கள் மற்றும் அதன்படி அழைக்கப்படுகின்றனர் சரியான வரம்புமற்றும் இடது எல்லை செயல்பாடுகள் f(x) புள்ளியில் ஏ. f(x) செயல்பாட்டின் வரம்பு x→ ஆக இருக்க வேண்டும்a தேவையானது மற்றும் போதுமானது . செயல்பாடு f(x) என்று அழைக்கப்படுகிறது தொடர்ச்சியான புள்ளியில் x 0 என்றால் வரம்பு

. (6.15)

நிபந்தனை (6.15) இவ்வாறு மீண்டும் எழுதப்படலாம்:

,

அதாவது, குறிப்பிட்ட புள்ளியில் தொடர்ச்சியாக இருந்தால், ஒரு செயல்பாட்டின் அடையாளத்தின் கீழ் வரம்பிற்குச் செல்வது சாத்தியமாகும்.

சமத்துவம் (6.15) மீறப்பட்டால், நாங்கள் அதைச் சொல்கிறோம் மணிக்கு x = xo செயல்பாடு f(x) உள்ளது இடைவெளி y = 1/x செயல்பாட்டைக் கவனியுங்கள். இந்த செயல்பாட்டின் வரையறையின் களம் தொகுப்பாகும் ஆர், x = 0 தவிர. புள்ளி x = 0 என்பது D(f) தொகுப்பின் வரம்புப் புள்ளியாகும், ஏனெனில் அதன் எந்தப் பகுதியிலும், அதாவது. புள்ளி 0 ஐக் கொண்ட எந்த திறந்த இடைவெளியிலும், D(f) இலிருந்து புள்ளிகள் உள்ளன, ஆனால் அது இந்த தொகுப்பிற்கு சொந்தமானது அல்ல. மதிப்பு f(x o)= f(0) வரையறுக்கப்படவில்லை, எனவே x o = 0 புள்ளியில் செயல்பாடு ஒரு இடைநிறுத்தத்தைக் கொண்டுள்ளது.

செயல்பாடு f(x) என்று அழைக்கப்படுகிறது புள்ளியில் வலதுபுறத்தில் தொடர்கிறதுவரம்பு என்றால் x o

,

மற்றும் புள்ளியில் இடதுபுறத்தில் தொடர்ந்து x o, வரம்பு என்றால்

.

ஒரு புள்ளியில் செயல்பாட்டின் தொடர்ச்சி x oஇந்த புள்ளியில் வலது மற்றும் இடதுபுறத்தில் அதன் தொடர்ச்சிக்கு சமமானதாகும்.

ஒரு புள்ளியில் செயல்பாடு தொடர்ச்சியாக இருக்க வேண்டும் என்பதற்காக x o, எடுத்துக்காட்டாக, வலதுபுறத்தில், முதலில், வரையறுக்கப்பட்ட வரம்பு இருக்க வேண்டும், இரண்டாவதாக, இந்த வரம்பு f(x o) க்கு சமமாக இருக்க வேண்டும். எனவே, இந்த இரண்டு நிபந்தனைகளில் ஒன்றையாவது பூர்த்தி செய்யவில்லை என்றால், செயல்பாடு இடைநிறுத்தப்படும்.

1. வரம்பு உள்ளது மற்றும் f(x o) க்கு சமமாக இல்லாவிட்டால், அவர்கள் அதைச் சொல்கிறார்கள் செயல்பாடு f(x) புள்ளியில் x o உள்ளது முதல் வகை முறிவு,அல்லது பாய்ச்சல்.

2. வரம்பு என்றால்+∞ அல்லது -∞ அல்லது இல்லை, பின்னர் அவர்கள் அதை உள்ளே கூறுகிறார்கள் புள்ளி x o செயல்பாடு ஒரு இடைநிறுத்தம் உள்ளது இரண்டாவது வகை.

எடுத்துக்காட்டாக, செயல்பாடு y = cot x at x→ +0 ஆனது +∞க்கு சமமான வரம்பைக் கொண்டுள்ளது, அதாவது x=0 என்ற புள்ளியில் அது இரண்டாவது வகையின் தொடர்ச்சியற்ற தன்மையைக் கொண்டுள்ளது. செயல்பாடு y = E(x) (இன் முழு எண் பகுதி x) முழு abscissas கொண்ட புள்ளிகளில் முதல் வகையான இடைநிறுத்தங்கள் அல்லது தாவல்கள் உள்ளன.

இடைவெளியில் ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் தொடர்ச்சியாக இருக்கும் ஒரு செயல்பாடு அழைக்கப்படுகிறது தொடர்ச்சியானவி . ஒரு தொடர்ச்சியான செயல்பாடு ஒரு திட வளைவால் குறிக்கப்படுகிறது.

சில அளவுகளின் தொடர்ச்சியான வளர்ச்சியுடன் தொடர்புடைய பல சிக்கல்கள் இரண்டாவது குறிப்பிடத்தக்க வரம்புக்கு வழிவகுக்கும். எடுத்துக்காட்டாக, இத்தகைய பணிகளில் பின்வருவன அடங்கும்: கூட்டு வட்டி சட்டத்தின் படி வைப்புத்தொகை வளர்ச்சி, நாட்டின் மக்கள்தொகை வளர்ச்சி, கதிரியக்க பொருட்களின் சிதைவு, பாக்டீரியா பெருக்கம் போன்றவை.

கருத்தில் கொள்வோம் யா I. பெரல்மேன் உதாரணம், எண்ணுக்கு விளக்கம் தருவது இகூட்டு வட்டி பிரச்சனையில். எண் இஒரு வரம்பு உள்ளது . சேமிப்பு வங்கிகளில், வட்டிப் பணம் ஆண்டுதோறும் நிலையான மூலதனத்தில் சேர்க்கப்படுகிறது. சேர்க்கை அடிக்கடி செய்யப்பட்டால், மூலதனம் வேகமாக வளரும், ஏனெனில் வட்டி உருவாக்கத்தில் அதிக அளவு ஈடுபட்டுள்ளது. முற்றிலும் தத்துவார்த்த, மிகவும் எளிமையான உதாரணத்தை எடுத்துக் கொள்வோம். 100 மறுப்பாளர்கள் வங்கியில் டெபாசிட் செய்யட்டும். அலகுகள் ஆண்டுக்கு 100% அடிப்படையில். ஒரு வருடத்திற்குப் பிறகுதான் நிலையான மூலதனத்தில் வட்டிப் பணம் சேர்க்கப்பட்டால், இந்தக் காலக்கட்டத்தில் 100 டென். அலகுகள் 200 பண அலகுகளாக மாறும். இப்போது 100 denize என்னவாக மாறும் என்று பார்ப்போம். அலகுகள், ஒவ்வொரு ஆறு மாதங்களுக்கும் நிலையான மூலதனத்தில் வட்டி பணம் சேர்க்கப்பட்டால். ஆறு மாதங்களுக்குப் பிறகு, 100 டென். அலகுகள் 100 ஆக வளரும்× 1.5 = 150, மற்றும் மற்றொரு ஆறு மாதங்களுக்கு பிறகு - 150× 1.5 = 225 (டென். அலகுகள்). ஒவ்வொரு வருடத்தின் 1/3 முறையும் சேருதல் செய்தால், ஒரு வருடத்திற்குப் பிறகு 100 டென். அலகுகள் 100 ஆக மாறும்× (1 +1/3) 3 " 237 (டென். அலகுகள்). வட்டிப் பணத்தை 0.1 ஆண்டு, 0.01 ஆண்டு வரை, 0.001 ஆண்டு வரை சேர்ப்பதற்கான விதிமுறைகளை அதிகரிப்போம். பின்னர் 100 டென் வெளியே. அலகுகள் ஒரு வருடம் கழித்து அது இருக்கும்:

100 × (1 +1/10) 10 » 259 (டென். அலகுகள்),

100 × (1+1/100) 100 »270 (டென். அலகுகள்),

100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (டென். அலகுகள்).

வட்டியைச் சேர்ப்பதற்கான விதிமுறைகளில் வரம்பற்ற குறைப்புடன், திரட்டப்பட்ட மூலதனம் காலவரையின்றி வளராது, ஆனால் தோராயமாக 271 க்கு சமமான ஒரு குறிப்பிட்ட வரம்பை நெருங்குகிறது. ஆண்டுக்கு 100% டெபாசிட் செய்யப்பட்ட மூலதனம் 2.71 மடங்குக்கு மேல் அதிகரிக்க முடியாது, திரட்டப்பட்ட வட்டி கூட வரம்பு காரணமாக ஒவ்வொரு நொடியும் தலைநகரில் சேர்க்கப்பட்டது

எடுத்துக்காட்டு 3.1.எண் வரிசையின் வரம்பின் வரையறையைப் பயன்படுத்தி, x n =(n-1)/n வரிசை 1 க்கு சமமான வரம்பைக் கொண்டுள்ளது என்பதை நிரூபிக்கவும்.

தீர்வு.எதுவாக இருந்தாலும் அதை நாம் நிரூபிக்க வேண்டும்ε > 0, நாம் எதை எடுத்துக் கொண்டாலும், அதற்கு இயற்கையான எண் N உள்ளது, அது அனைத்து n Nக்கும் ஏற்றத்தாழ்வு இருக்கும்|x n -1|< ε.

எந்த e > 0 ஐ எடுத்துக்கொள்வோம். இருந்து ; x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, பின்னர் N ஐக் கண்டுபிடிக்க சமத்துவமின்மையை 1/n தீர்க்க போதுமானது< இ. எனவே n>1/ இ எனவே, N 1/ இன் முழு எண் பகுதியாக எடுத்துக்கொள்ளலாம் e , N = E(1/ e ) வரம்பு என்பதை இதன் மூலம் நிரூபித்துள்ளோம்.

எடுத்துக்காட்டு 3.2 . ஒரு பொதுவான சொல்லால் கொடுக்கப்பட்ட வரிசையின் வரம்பைக் கண்டறியவும் .

தீர்வு.தொகை தேற்றத்தின் வரம்பைப் பயன்படுத்துவோம் மற்றும் ஒவ்வொரு காலத்தின் வரம்பையும் கண்டுபிடிப்போம். போது என்→ ∞ ஒவ்வொரு சொல்லின் எண் மற்றும் வகுத்தல் முடிவிலியை நோக்கிச் செல்கின்றன, மேலும் நாம் நேரடியாக விகுதி வரம்பு தேற்றத்தைப் பயன்படுத்த முடியாது. எனவே, முதலில் நாம் மாறுகிறோம் x n, முதல் காலத்தின் எண் மற்றும் வகுப்பினை வகுத்தல் n 2, மற்றும் இரண்டாவது அன்று n. பின்னர், கோட்பாட்டின் வரம்பு மற்றும் கூட்டுத் தேற்றத்தின் வரம்பு ஆகியவற்றைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம், நாம் காண்கிறோம்:

.

எடுத்துக்காட்டு 3.3. . கண்டுபிடி .

தீர்வு. .

இங்கே நாம் டிகிரி தேற்றத்தின் வரம்பைப் பயன்படுத்தினோம்: ஒரு பட்டத்தின் வரம்பு அடித்தளத்தின் வரம்பின் அளவிற்கு சமம்.

எடுத்துக்காட்டு 3.4 . கண்டுபிடி ( ).

தீர்வு.படிவத்தின் நிச்சயமற்ற தன்மை இருப்பதால், வேறுபாடு தேற்றத்தின் வரம்பைப் பயன்படுத்துவது சாத்தியமில்லை ∞-∞ . பொதுவான சொல் சூத்திரத்தை மாற்றுவோம்:

.

எடுத்துக்காட்டு 3.5 . f(x)=2 1/x சார்பு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. வரம்பு இல்லை என்பதை நிரூபிக்கவும்.

தீர்வு.ஒரு வரிசையின் மூலம் செயல்பாட்டின் வரம்பின் வரையறை 1ஐப் பயன்படுத்துவோம். ஒரு வரிசையை (x n) 0 ஆக மாற்றுவோம், அதாவது. f(x n)= மதிப்பு வெவ்வேறு வரிசைகளுக்கு வித்தியாசமாக செயல்படுகிறது என்பதைக் காட்டுவோம். x n = 1/n எனலாம். வெளிப்படையாக, பின்னர் வரம்பு என இப்போது தேர்வு செய்வோம் x n x n = -1/n என்ற பொதுவான சொல்லைக் கொண்ட ஒரு வரிசை, பூஜ்ஜியத்திற்கும் முனைகிறது. எனவே வரம்பு இல்லை.

எடுத்துக்காட்டு 3.6 . வரம்பு இல்லை என்பதை நிரூபிக்கவும்.

தீர்வு.x 1 , x 2 ,..., x n ,... இது ஒரு வரிசையாக இருக்கட்டும்
. வெவ்வேறு x n → ∞க்கு வரிசை (f(x n)) = (sin x n) எவ்வாறு செயல்படுகிறது

x n = p n என்றால், sin x n = sin p அனைவருக்கும் n = 0 nமற்றும் வரம்பு என்றால்
x n =2 p n+ p /2, பின்னர் sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p அனைவருக்கும் /2 = 1 nஎனவே வரம்பு. எனவே அது இல்லை.

வரம்புகளை ஆன்லைனில் கணக்கிடுவதற்கான விட்ஜெட்

மேல் சாளரத்தில், sin(x)/x க்கு பதிலாக, நீங்கள் கண்டுபிடிக்க விரும்பும் வரம்பை உள்ளிடவும். கீழ் விண்டோவில், x எந்த எண்ணை நோக்கி செல்கிறது என்பதை உள்ளிட்டு, கால்குலர் பட்டனை கிளிக் செய்து, விரும்பிய வரம்பை பெறவும். முடிவு சாளரத்தில் மேல் வலது மூலையில் உள்ள படிகளைக் காட்டு என்பதைக் கிளிக் செய்தால், விரிவான தீர்வு கிடைக்கும்.

செயல்பாடுகளை உள்ளிடுவதற்கான விதிகள்: sqrt(x) - ஸ்கொயர் ரூட், cbrt(x) - cube root, exp(x) - exponent, ln(x) - இயற்கை மடக்கை, sin(x) - sine, cos(x) - cosine, டான் (x) - தொடுகோடு, கட்டில்(x) - கோடேன்ஜென்ட், ஆர்க்சின்(x) - ஆர்க்சின், ஆர்க்கோஸ்(x) - ஆர்க்கோசின், ஆர்க்டான்(x) - ஆர்க்டேன்ஜென்ட். அறிகுறிகள்: * பெருக்கல், / வகுத்தல், ^ அடுக்கு, அதற்கு பதிலாக முடிவிலிமுடிவிலி. எடுத்துக்காட்டு: செயல்பாடு sqrt(tan(x/2)) என உள்ளிடப்பட்டுள்ளது.

இங்கே நாம் ஒரு வரிசையின் வரையறுக்கப்பட்ட வரம்பின் வரையறையைப் பார்ப்போம். ஒரு வரிசை முடிவிலிக்கு மாறுவது பற்றிய வழக்கு "எல்லையற்ற பெரிய வரிசையின் வரையறை" பக்கத்தில் விவாதிக்கப்படுகிறது.

வரையறை .
(xn), ஏதேனும் நேர்மறை எண்ணாக இருந்தால் ε > 0 அப்படி ஒரு விஷயம் இருக்கிறது இயற்கை எண் N ε ε ஐப் பொறுத்து அனைத்து இயற்கை n > N ε சமத்துவமின்மை
| x n - a|< ε .
வரிசை வரம்பு பின்வருமாறு குறிக்கப்படுகிறது:
.
அல்லது மணிக்கு.

சமத்துவமின்மையை மாற்றுவோம்:
;
;
.

திறந்த இடைவெளி (a - ε, a + ε) என்று அழைக்கப்படுகிறது ε - புள்ளியின் அக்கம்.

வரம்பைக் கொண்ட ஒரு வரிசை அழைக்கப்படுகிறது குவிந்த வரிசை. வரிசை என்றும் கூறப்படுகிறது ஒன்றிணைகிறதுஒரு. வரம்பு இல்லாத ஒரு வரிசை அழைக்கப்படுகிறது.

மாறுபட்ட

வரையறையின்படி, ஒரு வரிசைக்கு வரம்பு இருந்தால், நாம் எந்த ε-அருகிலுள்ள புள்ளியை தேர்வு செய்தாலும், அதற்கு வெளியே வரிசையின் வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான உறுப்புகள் மட்டுமே இருக்க முடியும் அல்லது எதுவும் இல்லை (வெற்று தொகுப்பு) . எந்த ε-அருகிலும் எண்ணற்ற உறுப்புகள் உள்ளன. உண்மையில், ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணை ε கொடுத்தால், அதன் மூலம் எண் கிடைக்கும். எனவே எண்கள் கொண்ட வரிசையின் அனைத்து கூறுகளும், வரையறையின்படி, புள்ளி a இன் ε - அருகில் அமைந்துள்ளன.முதல் கூறுகள் எங்கும் அமைந்துள்ளன. அதாவது, ε-அருகிற்கு வெளியே தனிமங்களை விட அதிகமாக இருக்க முடியாது - அதாவது ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட எண்.

வித்தியாசம் பூஜ்ஜியத்திற்கு ஒரே மாதிரியாக இருக்க வேண்டியதில்லை, அதாவது எல்லா நேரத்திலும் குறைகிறது. இது பூஜ்ஜியத்திற்கு ஏகபோகமாக இல்லாமல் போகலாம்: அது அதிகரிக்கலாம் அல்லது குறையலாம்
(1) .

உள்ளூர் அதிகபட்சம்

. இருப்பினும், இந்த மாக்சிமா, n அதிகரிக்கும் போது, ​​பூஜ்ஜியமாக இருக்க வேண்டும் (ஒருவேளை ஒரே மாதிரியாக இல்லாமல் இருக்கலாம்).

இருப்பு மற்றும் உலகளாவிய தர்க்க சின்னங்களைப் பயன்படுத்தி, வரம்பின் வரையறையை பின்வருமாறு எழுதலாம்: ஒரு வரம்பு அல்ல என்பதை தீர்மானித்தல்இப்போது எண் a என்பது வரிசையின் வரம்பு அல்ல என்ற நேர்மாறான கூற்றைக் கவனியுங்கள். எண் அஎன்பது வரிசையின் வரம்பு அல்ல
.

, எந்த இயல் எண் n க்கும் அப்படி இருந்தால் அத்தகைய இயற்கை மீ உள்ளது
(2) .

> என் , என்னதருக்கக் குறியீடுகளைப் பயன்படுத்தி இந்த அறிக்கையை எழுதுவோம்.
என்று அறிக்கை.

எண் a என்பது வரிசையின் வரம்பு அல்ல, என்று அர்த்தம்
(3)
நீங்கள் அத்தகைய ஒரு ε - புள்ளி a இன் சுற்றுப்புறத்தை தேர்வு செய்யலாம், அதற்கு வெளியே வரிசையின் எண்ணற்ற கூறுகள் இருக்கும் 1 ஒரு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம் (-1, +1) . > 2 n உடன் கூடிய முதல் உறுப்பு தவிர அனைத்து உறுப்புகளும் இந்த இடைவெளியைச் சேர்ந்தவை. ஆனால் ஒற்றைப்படை n கொண்ட அனைத்து கூறுகளும் இந்த இடைவெளிக்கு வெளியே உள்ளன, ஏனெனில் அவை சமத்துவமின்மை x n ஐ பூர்த்தி செய்கின்றன.

.
.

ஒற்றைப்படை உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை எல்லையற்றதாக இருப்பதால், தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட சுற்றுப்புறத்திற்கு வெளியே எண்ணற்ற உறுப்புகள் இருக்கும். எனவே, புள்ளி என்பது வரிசையின் வரம்பு அல்ல.

இப்போது நாம் இதைக் காண்பிப்போம், அறிக்கையை (2) கண்டிப்பாக கடைபிடிப்போம். புள்ளி என்பது வரிசையின் (3) வரம்பு அல்ல, ஏனெனில் எந்த இயற்கையான n க்கும், சமத்துவமின்மை கொண்டிருக்கும் ஒற்றைப்படை ஒன்று உள்ளது.

எந்த புள்ளியும் இந்த வரிசையின் வரம்பாக இருக்க முடியாது என்பதையும் காட்டலாம். புள்ளி 0 அல்லது புள்ளி 2 இரண்டையும் கொண்டிருக்காத ஒரு ε - அக்கம் பக்கத்தை நாம் எப்போதும் தேர்வு செய்யலாம். பின்னர் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட சுற்றுப்புறத்திற்கு வெளியே வரிசையின் எண்ணற்ற உறுப்புகள் இருக்கும்.

சமமான வரையறை
ε - அக்கம் பக்கத்தின் கருத்தை விரிவுபடுத்தினால், ஒரு வரிசையின் வரம்புக்கு சமமான வரையறையை நாம் கொடுக்க முடியும். ε-அருகிற்குப் பதிலாக, புள்ளி a இன் சுற்றுப்புறத்தைக் கொண்டிருந்தால், சமமான வரையறையைப் பெறுவோம்.ஒரு புள்ளியின் சுற்றுப்புறத்தை தீர்மானித்தல் 1 புள்ளியின் அக்கம் 2 இந்த புள்ளியைக் கொண்ட எந்த திறந்த இடைவெளியும் அழைக்கப்படுகிறது. கணித ரீதியாக, சுற்றுப்புறம் பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது: , எங்கே ε

மற்றும் ε

- தன்னிச்சையான நேர்மறை எண்கள்.
பின்னர் வரம்பு வரையறை பின்வருமாறு இருக்கும்.வரிசை வரம்புக்கு சமமான வரையறை

எண் a வரிசையின் வரம்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது

பின்னர் வரம்பு வரையறை பின்வருமாறு இருக்கும்., எந்த அக்கம் பக்கத்திற்கும் N இயற்கை எண் இருந்தால், எண்கள் கொண்ட வரிசையின் அனைத்து கூறுகளும் இந்த சுற்றுப்புறத்தைச் சேர்ந்தவை.
.

இந்த வரையறையை விரிவாக்கப்பட்ட வடிவத்திலும் வழங்கலாம்.

, ஏதேனும் நேர்மறை எண்களுக்கு இயற்கை எண் N இருந்தால், அதைப் பொறுத்து அனைத்து இயற்கை எண்களுக்கும் ஏற்றத்தாழ்வுகள் இருக்கும்

வரையறைகளின் சமநிலைக்கான சான்று
(4) மேலே வழங்கப்பட்ட ஒரு வரிசையின் வரம்பின் இரண்டு வரையறைகள் சமமானவை என்பதை நிரூபிப்போம்.

முதல் வரையறையின்படி எண் a வரிசையின் வரம்பாக இருக்கட்டும். இதன் பொருள் ஒரு செயல்பாடு உள்ளது, இதனால் எந்த நேர்மறை எண்ணுக்கும் பின்வரும் ஏற்றத்தாழ்வுகள் திருப்தி அளிக்கின்றன: 1 மணிக்கு. 2 எண் a என்பது இரண்டாவது வரையறையின்படி வரிசையின் வரம்பு என்பதைக் காட்டுவோம். அதாவது, எந்த நேர்மறை எண்களுக்கும் ε போன்ற ஒரு செயல்பாடு இருப்பதைக் காட்ட வேண்டும்
(5) மேலே வழங்கப்பட்ட ஒரு வரிசையின் வரம்பின் இரண்டு வரையறைகள் சமமானவை என்பதை நிரூபிப்போம்.

மற்றும் ε 1 மணிக்கு. 2 .
.
மேலும் ε அவற்றில் மிகச் சிறியதாக இருக்கட்டும்: .

பிறகு ; ; 1 மணிக்கு. 2 .
.

இதை (5) இல் பயன்படுத்துவோம்: 1 மணிக்கு. 2 எண் a என்பது இரண்டாவது வரையறையின்படி வரிசையின் வரம்பு என்பதைக் காட்டுவோம். அதாவது, எந்த நேர்மறை எண்களுக்கும் ε போன்ற ஒரு செயல்பாடு இருப்பதைக் காட்ட வேண்டும்
(5) மேலே வழங்கப்பட்ட ஒரு வரிசையின் வரம்பின் இரண்டு வரையறைகள் சமமானவை என்பதை நிரூபிப்போம்.

ஆனால் ஏற்றத்தாழ்வுகள் திருப்தி அடைகின்றன.
.
பின்னர் ஏற்றத்தாழ்வுகள் (5) க்கு திருப்தி அளிக்கப்படுகின்றன.
அதாவது, எந்த நேர்மறை எண்களுக்கும் ஏற்றத்தாழ்வுகள் (5) திருப்தி அளிக்கும் ஒரு செயல்பாட்டைக் கண்டறிந்துள்ளோம் ε

முதல் பகுதி நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

இப்போது எண் a என்பது இரண்டாவது வரையறையின்படி வரிசையின் வரம்பாக இருக்கட்டும். எந்த நேர்மறை எண்களுக்கும் ε போன்ற ஒரு செயல்பாடு உள்ளது என்பதே இதன் பொருள்

எண் a என்பது முதல் வரையறையின்படி வரிசையின் வரம்பு என்பதைக் காட்டுவோம். இதைச் செய்ய, நீங்கள் வைக்க வேண்டும்.

பின்னர் பின்வரும் ஏற்றத்தாழ்வுகள் இருக்கும் போது:

(1) .
இது முதல் வரையறைக்கு ஒத்திருக்கிறது.
.

.
வரையறைகளின் சமத்துவம் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.
.

.
எடுத்துக்காட்டுகள்
மேலே வழங்கப்பட்ட ஒரு வரிசையின் வரம்பின் இரண்டு வரையறைகள் சமமானவை என்பதை நிரூபிப்போம்.
கொடுக்கப்பட்ட எண் a என்பது ஒரு வரிசையின் வரம்பு என்பதை நிரூபிக்க வேண்டிய பல எடுத்துக்காட்டுகளை இங்கே பார்ப்போம். இந்த வழக்கில், நீங்கள் ஒரு தன்னிச்சையான நேர்மறை எண்ணைக் குறிப்பிட வேண்டும் மற்றும் ε இன் செயல்பாடு N ஐ வரையறுக்க வேண்டும், அதாவது சமத்துவமின்மை அனைவருக்கும் திருப்தி அளிக்கும்.
.

எடுத்துக்காட்டு 1

என்பதை நிரூபிக்கவும்.
.

எங்கள் விஷயத்தில்;
(1) .
ஏற்றத்தாழ்வுகளின் பண்புகளைப் பயன்படுத்துவோம். பின்னர் என்றால் மற்றும் , பின்னர்
.

பிறகு
.
வரையறைகளின் சமத்துவம் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.
.

கொடுக்கப்பட்ட வரிசையின் வரம்பு எண் என்பது இதன் பொருள்:
.
எடுத்துக்காட்டுகள்
மேலே வழங்கப்பட்ட ஒரு வரிசையின் வரம்பின் இரண்டு வரையறைகள் சமமானவை என்பதை நிரூபிப்போம்.
.

எடுத்துக்காட்டு 2

.

ஒரு வரிசையின் வரம்பின் வரையறையைப் பயன்படுத்தி, அதை நிரூபிக்கவும்
ஒரு வரிசையின் வரம்பின் வரையறையை எழுதுவோம்:
.
எங்கள் விஷயத்தில்,; = 1, 2, 3, ... நேர்மறை எண்களை உள்ளிடவும் மற்றும்:
.

எங்கள் விஷயத்தில்;
(1) .
அதாவது, எந்த நேர்மறைக்கும், இதை விட அதிகமான அல்லது சமமான எந்த இயற்கை எண்ணையும் நாம் எடுக்கலாம்:
.
எடுத்துக்காட்டு 3
.

கொடுக்கப்பட்ட வரிசையின் வரம்பு எண் என்பது இதன் பொருள்:
.
நாங்கள் குறியீட்டை அறிமுகப்படுத்துகிறோம், .
மேலே வழங்கப்பட்ட ஒரு வரிசையின் வரம்பின் இரண்டு வரையறைகள் சமமானவை என்பதை நிரூபிப்போம்.
வித்தியாசத்தை மாற்றுவோம்:
.

இயற்கை என்

எங்களிடம் உள்ளது:
.

எங்கள் விஷயத்தில்;
(1) .
ஏற்றத்தாழ்வுகளின் பண்புகளைப் பயன்படுத்துவோம். பின்னர் என்றால் மற்றும் , பின்னர்
.

பிறகு
.
எடுத்துக்காட்டு 3
.

கொடுக்கப்பட்ட வரிசையின் வரம்பு எண் என்பது இதன் பொருள்:
.
எடுத்துக்காட்டுகள்
மேலே வழங்கப்பட்ட ஒரு வரிசையின் வரம்பின் இரண்டு வரையறைகள் சமமானவை என்பதை நிரூபிப்போம்.
வித்தியாசத்தை மாற்றுவோம்:
.

நேர்மறை எண்களை உள்ளிடவும் மற்றும்:
பின்னர் என்றால் மற்றும் , பின்னர் அதே நேரத்தில்இதன் பொருள் எண் வரிசையின் வரம்பு:
எடுத்துக்காட்டு 4

ஒரு வரிசையின் வரம்பின் வரையறையைப் பயன்படுத்தி, அதை நிரூபிக்கவும்பயன்படுத்திய இலக்கியம்: அஎல்.டி. குத்ரியவ்ட்சேவ். சரி அ.

கணித பகுப்பாய்வு . தொகுதி 1. மாஸ்கோ, 2003.முதல்வர் நிகோல்ஸ்கி. கணித பகுப்பாய்வு பாடநெறி. தொகுதி 1. மாஸ்கோ, 1983. செயல்பாட்டு வரம்பு- எண் அதன் மாற்றத்தின் செயல்பாட்டில், இந்த மாறி அளவு காலவரையின்றி அணுகினால், சில மாறி அளவு வரம்பாக இருக்கும்அல்லது வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், எண் அதன் மாற்றத்தின் செயல்பாட்டில், இந்த மாறி அளவு காலவரையின்றி அணுகினால், சில மாறி அளவு வரம்பாக இருக்கும்ஏ செயல்பாட்டின் வரம்பு y = f(x) . தொகுதி 1. மாஸ்கோ, 2003..

புள்ளியில் x 0:

, செயல்பாட்டின் வரையறையின் டொமைனில் இருந்து புள்ளிகளின் எந்த வரிசைக்கும் சமமாக இருக்காது , மற்றும் இது புள்ளிக்கு ஒன்றிணைகிறது x 0 (லிம் x n = x0) , தொடர்புடைய செயல்பாட்டு மதிப்புகளின் வரிசை எண்ணுடன் ஒன்றிணைகிறது ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடம், அதன் வரம்பு, முடிவிலியை நோக்கிச் செல்லும் வாதத்திற்குச் சமமாக இருக்கும்- எண் அதன் மாற்றத்தின் செயல்பாட்டில், இந்த மாறி அளவு காலவரையின்றி அணுகினால், சில மாறி அளவு வரம்பாக இருக்கும்எல் பொருள் அதன் மாற்றத்தின் செயல்பாட்டில், இந்த மாறி அளவு காலவரையின்றி அணுகினால், சில மாறி அளவு வரம்பாக இருக்கும், ஆனால் இதில் இல்லை அதன் மாற்றத்தின் செயல்பாட்டில், இந்த மாறி அளவு காலவரையின்றி அணுகினால், சில மாறி அளவு வரம்பாக இருக்கும்அதன் உறுப்புகளில் ஒன்றாக (அதாவது துளையிடப்பட்ட அருகில் அதன் மாற்றத்தின் செயல்பாட்டில், இந்த மாறி அளவு காலவரையின்றி அணுகினால், சில மாறி அளவு வரம்பாக இருக்கும்), செயல்பாட்டு மதிப்புகளின் வரிசை ஒன்றிணைகிறது . தொகுதி 1. மாஸ்கோ, 2003..

Cauchy செயல்பாட்டின் வரம்பு.

, செயல்பாட்டின் வரையறையின் டொமைனில் இருந்து புள்ளிகளின் எந்த வரிசைக்கும் சமமாக இருக்காது . தொகுதி 1. மாஸ்கோ, 2003.இருக்கும் செயல்பாட்டின் வரம்பு ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடம், அதன் வரம்பு, முடிவிலியை நோக்கிச் செல்லும் வாதத்திற்குச் சமமாக இருக்கும்புள்ளியில் அதன் மாற்றத்தின் செயல்பாட்டில், இந்த மாறி அளவு காலவரையின்றி அணுகினால், சில மாறி அளவு வரம்பாக இருக்கும்ஏதேனும் எதிர்மறை எண்ணை முன்கூட்டியே எடுத்திருந்தால் ε தொடர்புடைய எதிர்மறை எண் கண்டறியப்படும் δ = δ(ε) ஒவ்வொரு வாதத்திற்கும் x, நிபந்தனையை திருப்திப்படுத்துகிறது 0 < | x - x0 | < δ , சமத்துவமின்மை திருப்தி அடையும் | f(x)A |< ε .

வரம்பின் சாரத்தையும் அதைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான அடிப்படை விதிகளையும் நீங்கள் புரிந்து கொண்டால் அது மிகவும் எளிமையாக இருக்கும். செயல்பாட்டின் வரம்பு என்ன f (x)மணிக்கு xபாடுபடுகிறது அசமம் . தொகுதி 1. மாஸ்கோ, 2003., இவ்வாறு எழுதப்பட்டுள்ளது:

மேலும், மாறியின் மதிப்பு x, எண் மட்டுமல்ல, முடிவிலி (∞), சில சமயங்களில் +∞ அல்லது -∞ ஆகவும் இருக்கலாம் அல்லது வரம்பு இல்லாமல் இருக்கலாம்.

எப்படி என்பதை புரிந்து கொள்ள ஒரு செயல்பாட்டின் வரம்புகளைக் கண்டறியவும், தீர்வுகளின் உதாரணங்களைப் பார்ப்பது சிறந்தது.

செயல்பாட்டின் வரம்புகளைக் கண்டறிவது அவசியம் f (x) = 1/xமணிக்கு:

x→ 2, x→ 0, x→ ∞.

முதல் வரம்புக்கு தீர்வு காண்போம். இதைச் செய்ய, நீங்கள் வெறுமனே மாற்றலாம் xஅது முனையும் எண், அதாவது. 2, நாம் பெறுகிறோம்:

செயல்பாட்டின் இரண்டாவது வரம்பைக் கண்டுபிடிப்போம். இங்கே பதிலாக pure 0 ஐ மாற்றவும் xஅது சாத்தியமற்றது, ஏனெனில் நீங்கள் 0 ஆல் வகுக்க முடியாது. ஆனால் நாம் பூஜ்ஜியத்திற்கு நெருக்கமான மதிப்புகளை எடுக்கலாம், எடுத்துக்காட்டாக, 0.01; 0.001; 0.0001; 0.00001 மற்றும் பல, மற்றும் செயல்பாட்டின் மதிப்பு f (x)அதிகரிக்கும்: 100; 1000; 10000; 100,000 மற்றும் பல. இதனால், எப்போது என்பதை புரிந்து கொள்ளலாம் x→ 0 வரம்பு அடையாளத்தின் கீழ் இருக்கும் செயல்பாட்டின் மதிப்பு வரம்பு இல்லாமல் அதிகரிக்கும், அதாவது. முடிவிலியை நோக்கி பாடுபடுங்கள். இதன் பொருள்:

மூன்றாவது வரம்பு குறித்து. முந்தைய வழக்கில் அதே நிலைமை, அதை மாற்ற முடியாது ∞ அதன் தூய்மையான வடிவத்தில். வரம்பற்ற அதிகரிப்பு வழக்கை நாம் கருத்தில் கொள்ள வேண்டும் x. நாங்கள் 1000 ஐ ஒவ்வொன்றாக மாற்றுகிறோம்; 10000; 100000 மற்றும் பல, செயல்பாட்டின் மதிப்பு எங்களிடம் உள்ளது f (x) = 1/xகுறையும்: 0.001; 0.0001; 0.00001; மற்றும் பல, பூஜ்ஜியம் முனைகின்றன. அதனால்தான்:

செயல்பாட்டின் வரம்பை கணக்கிடுவது அவசியம்

இரண்டாவது உதாரணத்தைத் தீர்க்கத் தொடங்கி, நிச்சயமற்ற தன்மையைக் காண்கிறோம். இங்கிருந்து நாம் எண் மற்றும் வகுப்பின் மிக உயர்ந்த அளவைக் காண்கிறோம் - இது x 3, நாங்கள் அதை எண் மற்றும் வகுப்பில் உள்ள அடைப்புக்குறிக்குள் இருந்து வெளியே எடுத்து பின்னர் அதைக் குறைக்கிறோம்:

பதில்

முதல் படி இந்த வரம்பை கண்டறிதல், அதற்கு பதிலாக மதிப்பு 1 ஐ மாற்றவும் x, நிச்சயமற்ற தன்மையை விளைவிக்கிறது. அதைத் தீர்க்க, எண்களை காரணியாக்கி, இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டறியும் முறையைப் பயன்படுத்தி இதைச் செய்யலாம். x 2 + 2x - 3:

D = 2 2 - 4*1*(-3) = 4 +12 = 16→ √ D=√16 = 4

x 1.2 = (-2±4)/2→ x 1 = -3;x 2= 1.

எனவே, எண் இருக்கும்:

பதில்

இது அதன் குறிப்பிட்ட மதிப்பின் வரையறை அல்லது செயல்பாடு விழும் ஒரு குறிப்பிட்ட பகுதி, இது வரம்பினால் வரையறுக்கப்படுகிறது.

வரம்புகளைத் தீர்க்க, விதிகளைப் பின்பற்றவும்:

சாரத்தையும் முக்கியத்தையும் புரிந்து கொண்டு வரம்பை தீர்ப்பதற்கான விதிகள், அவற்றை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பது பற்றிய அடிப்படை புரிதலைப் பெறுவீர்கள்.

(x)புள்ளி x இல் 0 :
,
என்றால்
1) புள்ளி x இன் அத்தகைய துளையிடப்பட்ட சுற்றுப்புறம் உள்ளது 0
2) எந்த வரிசைக்கும் (xn), x ஆக மாறுகிறது 0 :
, அதன் கூறுகள் அக்கம் பக்கத்தைச் சேர்ந்தவை,
அடுத்தடுத்து (f(xn))ஒன்றாக இணைகிறது:
.

இங்கே x 0 மற்றும் a என்பது வரையறுக்கப்பட்ட எண்களாகவோ அல்லது முடிவிலியில் உள்ள புள்ளிகளாகவோ இருக்கலாம். சுற்றுப்புறம் இரண்டு பக்கமாகவோ அல்லது ஒரு பக்கமாகவோ இருக்கலாம்.

.

ஒரு செயல்பாட்டின் வரம்பின் இரண்டாவது வரையறை (கௌச்சியின் படி)

எண் a ஆனது f செயல்பாட்டின் வரம்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது (x)புள்ளி x இல் 0 :
,
என்றால்
1) புள்ளி x இன் அத்தகைய துளையிடப்பட்ட சுற்றுப்புறம் உள்ளது 0 , இதில் செயல்பாடு வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது;
2) எந்த நேர்மறை எண்ணுக்கும் ε > 0 அத்தகைய எண் உள்ளது δ ε > 0 , ε ஐப் பொறுத்து, துளையிடப்பட்ட δ ε - புள்ளி x க்கு அருகில் உள்ள அனைத்து x க்கும் 0 :
,
செயல்பாட்டு மதிப்புகள் f (x)புள்ளி a இன் ε-அருகில் சேர்ந்தது:
.

புள்ளிகள் x 0 மற்றும் a என்பது வரையறுக்கப்பட்ட எண்களாகவோ அல்லது முடிவிலியில் உள்ள புள்ளிகளாகவோ இருக்கலாம். அக்கம்பக்கமானது இருவழி அல்லது ஒருவழியாக இருக்கலாம்.

இருப்பு மற்றும் உலகளாவிய தர்க்க சின்னங்களைப் பயன்படுத்தி இந்த வரையறையை எழுதுவோம்:
.

இந்த வரையறை சம தூர முனைகளுடன் சுற்றுப்புறங்களைப் பயன்படுத்துகிறது. புள்ளிகளின் தன்னிச்சையான சுற்றுப்புறங்களைப் பயன்படுத்தி ஒரு சமமான வரையறை கொடுக்கப்படலாம்.

தன்னிச்சையான சுற்றுப்புறங்களைப் பயன்படுத்தி வரையறை
எண் a ஆனது f செயல்பாட்டின் வரம்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது (x)புள்ளி x இல் 0 :
,
என்றால்
1) புள்ளி x இன் அத்தகைய துளையிடப்பட்ட சுற்றுப்புறம் உள்ளது 0 , இதில் செயல்பாடு வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது;
2) எந்த சுற்றுப்புறத்திற்கும் U (அ)புள்ளி a இன் புள்ளி x இன் அத்தகைய துளையிடப்பட்ட சுற்றுப்புறம் உள்ளது 0 x புள்ளியின் துளையிடப்பட்ட சுற்றுப்புறத்தைச் சேர்ந்த அனைத்து xக்கும் 0 :
,
செயல்பாட்டு மதிப்புகள் f (x)அக்கம்பக்கத்தைச் சேர்ந்த U (அ)புள்ளிகள் a:
.

இருப்பு மற்றும் உலகளாவிய தர்க்க சின்னங்களைப் பயன்படுத்தி, இந்த வரையறையை பின்வருமாறு எழுதலாம்:
.

ஒரு பக்க மற்றும் இரு பக்க வரம்புகள்

மேலே உள்ள வரையறைகள் எந்த வகையான சுற்றுப்புறத்திற்கும் பயன்படுத்தப்படலாம் என்ற பொருளில் உலகளாவியவை. இறுதிப் புள்ளியின் இடது பக்க துளையிடப்பட்ட சுற்றுப்புறமாக நாம் பயன்படுத்தினால், இடது பக்க வரம்பின் வரையறையைப் பெறுவோம்.

முடிவிலியில் உள்ள ஒரு புள்ளியின் அக்கம் பக்கத்தை அக்கம் பக்கமாகப் பயன்படுத்தினால், முடிவிலியில் வரம்பின் வரையறையைப் பெறுவோம்.

ஹெய்ன் வரம்பை தீர்மானிக்க, ஒரு தன்னிச்சையான வரிசைக்கு ஒரு கூடுதல் கட்டுப்பாடு விதிக்கப்படும் என்ற உண்மைக்கு இது வருகிறது: அதன் கூறுகள் புள்ளியின் தொடர்புடைய துளையிடப்பட்ட சுற்றுப்புறத்தைச் சேர்ந்ததாக இருக்க வேண்டும்.
Cauchy வரம்பை தீர்மானிக்க, ஒவ்வொரு சந்தர்ப்பத்திலும் ஒரு புள்ளியின் சுற்றுப்புறத்தின் பொருத்தமான வரையறைகளைப் பயன்படுத்தி வெளிப்பாடுகள் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகளாக மாற்றுவது அவசியம்.

"ஒரு புள்ளியின் அருகில்" பார்க்கவும்.

புள்ளி a என்பது செயல்பாட்டின் வரம்பு அல்ல என்ற நிபந்தனையைப் பயன்படுத்துவது பெரும்பாலும் அவசியமாகிறது. (x)மேலே உள்ள வரையறைகளுக்கு மறுப்புகளை உருவாக்குவோம். அவற்றில் நாம் செயல்பாடு f என்று கருதுகிறோம் 0 புள்ளி x இன் சில துளையிடப்பட்ட சுற்றுப்புறங்களில் வரையறுக்கப்படுகிறது 0 .

புள்ளிகள் a மற்றும் x.
வரையறுக்கப்பட்ட எண்கள் அல்லது எண்ணற்ற தொலைவில் இருக்கலாம். கீழே கூறப்பட்டுள்ள அனைத்தும் இருதரப்பு மற்றும் ஒருதலைப்பட்ச வரம்புகளுக்கு பொருந்தும். ஹெய்னின் கூற்றுப்படிஎண் அ (x)புள்ளி x இல் 0 : ,
இல்லை (xn)செயல்பாட்டின் வரம்பு f 0 :
,
அத்தகைய வரிசை இருந்தால்
, x ஆக மாறுகிறது (f(xn))அதன் கூறுகள் அக்கம் பக்கத்தைச் சேர்ந்தவை,
.
.

வரிசை என்ன.
வரையறுக்கப்பட்ட எண்கள் அல்லது எண்ணற்ற தொலைவில் இருக்கலாம். கீழே கூறப்பட்டுள்ள அனைத்தும் இருதரப்பு மற்றும் ஒருதலைப்பட்ச வரம்புகளுக்கு பொருந்தும். ஹெய்னின் கூற்றுப்படிஎண் அ (x)புள்ளி x இல் 0 :
,
ஒரு சேரவில்லை: > 0 கௌச்சியின் கூற்றுப்படி > 0 அத்தகைய நேர்மறை எண் இருந்தால் ε 0 :
,
, எனவே எந்த நேர்மறை எண்ணுக்கும் δ (x), x புள்ளியின் துளையிடப்பட்ட δ-அருகிலுள்ள ஒரு x உள்ளது.
.
.

f செயல்பாட்டின் மதிப்பு

புள்ளி a இன் ε-அருகில் சேர்ந்தது அல்ல: நிச்சயமாக, புள்ளி a இல் உள்ள செயல்பாட்டின் வரம்பு இல்லை என்றால், இது ஒரு வரம்பைக் கொண்டிருக்க முடியாது என்று அர்த்தமல்ல. ஒரு வரம்பு இருக்கலாம், ஆனால் அது சமமாக இல்லை.புள்ளியின் துளையிடப்பட்ட சுற்றுப்புறத்தில் செயல்பாடு வரையறுக்கப்பட்டிருக்கலாம், ஆனால் வரம்பு இல்லை.

செயல்பாடு 0 f(x) = sin(1/x)
x → 0 என வரம்பு இல்லை. 0 எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு செயல்பாடு இல் வரையறுக்கப்படுகிறது, ஆனால் வரம்பு இல்லை. அதை நிரூபிக்க, வரிசையை எடுத்துக் கொள்வோம்.
இது ஒரு புள்ளியில் இணைகிறது

: .

ஏனெனில் , அப்போது .
வரிசையை எடுத்துக் கொள்வோம்.

இது புள்ளியில் கூடுகிறது

: .

ஆனால் அப்போதிருந்து.

பின்னர் வரம்பு எந்த எண்ணுக்கும் சமமாக இருக்க முடியாது a.
(1) ,
உண்மையில், க்கு, ஒரு வரிசை உள்ளது.
(2) .

எனவே, எந்த பூஜ்ஜியமற்ற எண்ணும் வரம்பு அல்ல. ஆனால் இது ஒரு வரம்பு அல்ல, ஏனெனில் ஒரு வரிசை உள்ளது.

வரம்பின் ஹெய்ன் மற்றும் கௌச்சி வரையறைகளின் சமநிலை
.

n என்பது ஒரு இயல் எண் என்பதை எடுத்துக் கொள்வோம். பின்னர் உள்ளது, மற்றும்
.
இவ்வாறு நாம் ஒரு வரிசையை ஒன்றிணைத்துள்ளோம், ஆனால் வரிசையின் வரம்பு a க்கு சமமாக இல்லை.

இது தேற்றத்தின் நிபந்தனைகளுக்கு முரணானது.

முதல் பகுதி நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

கௌச்சியின் ஆதாரம் ⇒ ஹெய்னின்
(3) இரண்டாவது வரையறையின்படி (கௌச்சியின் படி) செயல்பாட்டிற்கு ஒரு புள்ளியில் வரம்பு இருக்கட்டும். அதாவது, யாருக்கும் அது இருக்கிறது

அனைவருக்கும்.
ஹெய்னின் படி ஒரு கட்டத்தில் செயல்பாடு வரம்பு உள்ளது என்பதைக் காட்டுவோம்.

ஒரு தன்னிச்சையான எண்ணை எடுத்துக் கொள்வோம்.
மேலே வழங்கப்பட்ட ஒரு வரிசையின் வரம்பின் இரண்டு வரையறைகள் சமமானவை என்பதை நிரூபிப்போம்.
Cauchy இன் வரையறையின்படி, எண் உள்ளது, எனவே (3) உள்ளது.
மேலே வழங்கப்பட்ட ஒரு வரிசையின் வரம்பின் இரண்டு வரையறைகள் சமமானவை என்பதை நிரூபிப்போம்.
பஞ்சர் செய்யப்பட்ட சுற்றுப்புறத்தைச் சேர்ந்த ஒரு தன்னிச்சையான வரிசையை எடுத்துக்கொள்வோம்.
.

ஒரு குவிந்த வரிசையின் வரையறையின்படி, எதற்கும் அது உள்ளது

நேர்மறை எண்களை உள்ளிடவும் மற்றும்:
பின்னர் (3) இருந்து அது பின்வருமாறு

இது யாருக்கும் பொருந்தும் என்பதால், பிறகு

தேற்றம் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது. எல்.டி. குத்ரியவ்ட்சேவ். கணித பகுப்பாய்வு பாடநெறி. தொகுதி 1. மாஸ்கோ, 2003.வரம்புகள் அனைத்து கணித மாணவர்களுக்கும் நிறைய பிரச்சனைகளை கொடுக்கின்றன. ஒரு வரம்பைத் தீர்க்க, சில சமயங்களில் நீங்கள் நிறைய தந்திரங்களைப் பயன்படுத்த வேண்டும் மற்றும் ஒரு குறிப்பிட்ட உதாரணத்திற்கு பொருத்தமான தீர்வு முறைகளில் இருந்து சரியாகத் தேர்ந்தெடுக்க வேண்டும்.

இந்தக் கட்டுரையில் உங்கள் திறன்களின் வரம்புகளைப் புரிந்துகொள்ளவோ ​​அல்லது கட்டுப்பாட்டு வரம்புகளைப் புரிந்துகொள்ளவோ ​​நாங்கள் உங்களுக்கு உதவ மாட்டோம், ஆனால் கேள்விக்கு பதிலளிக்க முயற்சிப்போம்: உயர் கணிதத்தில் வரம்புகளை எவ்வாறு புரிந்துகொள்வது? புரிதல் அனுபவத்துடன் வருகிறது, எனவே அதே நேரத்தில் சிலவற்றைக் கொடுப்போம்

விரிவான உதாரணங்கள்

விளக்கங்களுடன் வரம்புகளின் தீர்வுகள். அ கணிதத்தில் வரம்பு என்ற கருத்து அ முதல் கேள்வி: இந்த வரம்பு என்ன, எதன் வரம்பு? எண் வரிசைகள் மற்றும் செயல்பாடுகளின் வரம்புகளைப் பற்றி நாம் பேசலாம். ஒரு செயல்பாட்டின் வரம்பு என்ற கருத்தில் நாங்கள் ஆர்வமாக உள்ளோம், ஏனெனில் இது மாணவர்கள் பெரும்பாலும் சந்திக்கிறது. ஆனால் முதலில், வரம்பின் பொதுவான வரையறை:

சில மாறி மதிப்பு உள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம். மாற்றத்தின் செயல்பாட்டில் இந்த மதிப்பு வரம்பற்ற ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணை அணுகினால் , அது - இந்த மதிப்பின் வரம்பு. . தொகுதி 1. மாஸ்கோ, 2003. ஒரு குறிப்பிட்ட இடைவெளியில் வரையறுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டிற்கு f(x)=y அத்தகைய எண் வரம்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது ஏ . புள்ளி ஏ , செயல்பாடு எப்போது முனைகிறது

எக்ஸ்

, ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளியில் முனைகிறதுசெயல்பாடு வரையறுக்கப்பட்ட இடைவெளியைச் சேர்ந்தது. இது சிக்கலானதாகத் தெரிகிறது, ஆனால் இது மிகவும் எளிமையாக எழுதப்பட்டுள்ளது:லிம்

- ஆங்கிலத்தில் இருந்து வரம்பு- வரம்பு. f(x)=y கூட உள்ளது

வடிவியல் விளக்கம் வரம்பைத் தீர்மானித்தல், ஆனால் இங்கே நாம் கோட்பாட்டை ஆராய மாட்டோம், ஏனெனில் பிரச்சினையின் தத்துவார்த்த பக்கத்தை விட நடைமுறையில் நாங்கள் அதிக ஆர்வம் காட்டுகிறோம். என்று நாம் கூறும்போது. வரம்பை கண்டுபிடிப்பதே பணி.

இந்த எடுத்துக்காட்டைத் தீர்க்க, மதிப்பை மாற்றுகிறோம் x=3 ஒரு செயல்பாட்டில். நாங்கள் பெறுகிறோம்:

மூலம், நீங்கள் ஆர்வமாக இருந்தால், இந்த தலைப்பில் ஒரு தனி கட்டுரையைப் படியுங்கள்.

உதாரணங்களில் f(x)=y எந்த மதிப்புக்கும் செல்ல முடியும். அது எந்த எண்ணாகவோ அல்லது முடிவிலியாகவோ இருக்கலாம். எப்போது என்பது இங்கே ஒரு உதாரணம் f(x)=y முடிவிலியை நோக்கி செல்கிறது:

என்ன என்பது உள்ளுணர்வாக தெளிவாக உள்ளது பெரிய எண்வகுப்பில், செயல்பாடு எடுக்கும் மதிப்பு சிறியது. எனவே, வரம்பற்ற வளர்ச்சியுடன் f(x)=y பொருள் 1/x குறைந்து பூஜ்ஜியத்தை நெருங்கும்.

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, வரம்பை தீர்க்க, நீங்கள் செயல்பாட்டிற்கு முயற்சி செய்ய மதிப்பை மாற்ற வேண்டும். f(x)=y . இருப்பினும், இது எளிமையான வழக்கு. பெரும்பாலும் வரம்பை கண்டுபிடிப்பது அவ்வளவு தெளிவாக இல்லை. வரம்புகளுக்குள் வகையின் நிச்சயமற்ற தன்மைகள் உள்ளன 0/0 அல்லது முடிவிலி/முடிவிலி . இதுபோன்ற சந்தர்ப்பங்களில் என்ன செய்வது? தந்திரங்களை நாடவும்!

உள்ள நிச்சயமற்ற தன்மைகள்

முடிவிலி/முடிவிலி வடிவத்தின் நிச்சயமற்ற தன்மை

வரம்பு இருக்கட்டும்:

செயல்பாட்டில் முடிவிலியை மாற்ற முயற்சித்தால், எண் மற்றும் வகுப்பில் முடிவிலியைப் பெறுவோம். பொதுவாக, அத்தகைய நிச்சயமற்ற தன்மைகளைத் தீர்ப்பதில் கலையின் ஒரு குறிப்பிட்ட உறுப்பு உள்ளது என்று சொல்வது மதிப்பு: நிச்சயமற்ற தன்மை நீங்கும் வகையில் செயல்பாட்டை எவ்வாறு மாற்றுவது என்பதை நீங்கள் கவனிக்க வேண்டும். எங்கள் விஷயத்தில், நாங்கள் எண் மற்றும் வகுப்பினைப் பிரிப்போம் f(x)=y மூத்த பட்டத்தில். என்ன நடக்கும்?

மேலே ஏற்கனவே விவாதிக்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டில் இருந்து, வகுப்பில் x உள்ள சொற்கள் பூஜ்ஜியமாக இருக்கும் என்பதை நாங்கள் அறிவோம். பின்னர் வரம்புக்கான தீர்வு:

வகை நிச்சயமற்ற தன்மைகளைத் தீர்க்க முடிவிலி/முடிவிலிஎண் மற்றும் வகுப்பை வகுக்கவும் எக்ஸ்மிக உயர்ந்த அளவிற்கு.

மூலம்! எங்கள் வாசகர்களுக்கு இப்போது 10% தள்ளுபடி உள்ளது

மற்றொரு வகை நிச்சயமற்ற தன்மை: 0/0

எப்போதும் போல், செயல்பாட்டில் மதிப்புகளை மாற்றுகிறது x=-1 கொடுக்கிறது 0 எண் மற்றும் வகுப்பில். இன்னும் கொஞ்சம் உற்றுப் பாருங்கள், எங்கள் எண்ணிக்கையில் அதை நீங்கள் கவனிப்பீர்கள் இருபடி சமன்பாடு. வேர்களைக் கண்டுபிடித்து எழுதுவோம்:

குறைத்து பெறுவோம்:

எனவே, நீங்கள் வகை நிச்சயமற்ற தன்மையை எதிர்கொண்டால் 0/0 - எண் மற்றும் வகுப்பின் காரணி.

எடுத்துக்காட்டுகளைத் தீர்ப்பதை எளிதாக்க, சில செயல்பாடுகளின் வரம்புகளுடன் ஒரு அட்டவணையை நாங்கள் வழங்குகிறோம்:

எல்'ஹாபிட்டலின் ஆட்சி உள்ளே

இரண்டு வகையான நிச்சயமற்ற தன்மையையும் அகற்ற மற்றொரு சக்திவாய்ந்த வழி. முறையின் சாராம்சம் என்ன?

வரம்பில் நிச்சயமற்ற தன்மை இருந்தால், நிச்சயமற்ற தன்மை மறையும் வரை எண் மற்றும் வகுப்பின் வழித்தோன்றலை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள்.

எல்'ஹாபிட்டலின் விதி இதுபோல் தெரிகிறது:

முக்கியமான புள்ளி : எண் மற்றும் வகுப்பிற்குப் பதிலாக எண் மற்றும் வகுப்பின் வழித்தோன்றல்கள் இருக்க வேண்டிய வரம்பு.

இப்போது - ஒரு உண்மையான உதாரணம்:

வழக்கமான நிச்சயமற்ற தன்மை உள்ளது 0/0 . எண் மற்றும் வகுப்பின் வழித்தோன்றல்களை எடுத்துக் கொள்வோம்:

Voila, நிச்சயமற்ற தன்மை விரைவாகவும் நேர்த்தியாகவும் தீர்க்கப்படுகிறது.

இந்த தகவலை நீங்கள் நடைமுறையில் பயனுள்ளதாகப் பயன்படுத்த முடியும் மற்றும் "உயர் கணிதத்தில் வரம்புகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது" என்ற கேள்விக்கான பதிலைக் கண்டறிய முடியும் என்று நாங்கள் நம்புகிறோம். ஒரு கட்டத்தில் ஒரு வரிசையின் வரம்பு அல்லது செயல்பாட்டின் வரம்பை நீங்கள் கணக்கிட வேண்டும் என்றால், இந்த வேலைக்கு முற்றிலும் நேரமில்லை என்றால், விரைவான மற்றும் விரிவான தீர்வுக்கு தொழில்முறை மாணவர் சேவையைத் தொடர்பு கொள்ளவும்.