முக்கோணவியல் சூத்திரங்கள். Sine (sin x) மற்றும் cosine (cos x) – பண்புகள், வரைபடங்கள், சூத்திரங்கள்

முக்கோணவியல் அடையாளங்கள்- இவை ஒரு கோணத்தின் சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோடேன்ஜென்ட் ஆகியவற்றுக்கு இடையேயான தொடர்பை நிறுவும் சமத்துவங்கள், இது வேறு ஏதேனும் தெரிந்திருந்தால், இந்த செயல்பாடுகளில் ஏதேனும் ஒன்றைக் கண்டறிய உங்களை அனுமதிக்கிறது.

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1

இந்த அடையாளம் ஒரு கோணத்தின் சைனின் சதுரத்தின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் ஒரு கோணத்தின் கோசைனின் சதுரம் ஒன்றுக்கு சமம் என்று கூறுகிறது, இது நடைமுறையில் ஒரு கோணத்தின் சைனை அதன் கோசைன் அறியப்படும்போது மற்றும் நேர்மாறாக கணக்கிடுவதை சாத்தியமாக்குகிறது. .

முக்கோணவியல் வெளிப்பாடுகளை மாற்றும் போது, ​​இந்த அடையாளம் அடிக்கடி பயன்படுத்தப்படுகிறது, இது ஒரு கோணத்தின் கோசைன் மற்றும் சைன் ஆகியவற்றின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகையை ஒன்றுடன் மாற்றவும், தலைகீழ் வரிசையில் மாற்று செயல்பாட்டை செய்யவும் உங்களை அனுமதிக்கிறது.

சைன் மற்றும் கோசைனைப் பயன்படுத்தி தொடுகோடு மற்றும் கோடேன்ஜென்ட் ஆகியவற்றைக் கண்டறிதல்

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace

இந்த அடையாளங்கள் சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட் ஆகியவற்றின் வரையறைகளிலிருந்து உருவாகின்றன. எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, நீங்கள் அதைப் பார்த்தால், வரையறையின்படி ஆர்டினேட் y ஒரு சைன், மற்றும் அப்சிஸ்ஸா x ஒரு கொசைன். பின்னர் தொடுகோடு விகிதத்திற்கு சமமாக இருக்கும் \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), மற்றும் விகிதம் \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- ஒரு கோடேன்ஜென்டாக இருக்கும்.

அவற்றில் சேர்க்கப்பட்டுள்ள முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள் அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கும் \alpha போன்ற கோணங்களுக்கு மட்டுமே அடையாளங்கள் இருக்கும், ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).

உதாரணத்திற்கு: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)வேறுபட்ட கோணங்களில் \alpha க்கு செல்லுபடியாகும் \frac(\pi)(2)+\pi z, ஏ ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- \pi z அல்லாத \alpha கோணத்திற்கு, z என்பது ஒரு முழு எண்.

தொடுகோடு மற்றும் கோடேன்ஜென்ட் இடையே உள்ள உறவு

tg \alpha \cdot ctg \alpha=1

இந்த அடையாளம் \alpha இலிருந்து வேறுபட்ட கோணங்களுக்கு மட்டுமே செல்லுபடியாகும் \frac(\pi)(2) z. இல்லையெனில், கோடேன்ஜென்ட் அல்லது டேன்ஜென்ட் தீர்மானிக்கப்படாது.

மேலே உள்ள புள்ளிகளின் அடிப்படையில், நாங்கள் அதைப் பெறுகிறோம் tg \alpha = \frac(y)(x), ஏ ctg \alpha=\frac(x)(y). அதைத் தொடர்ந்து வருகிறது tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. எனவே, அவை உணரும் அதே கோணத்தின் தொடுகோடு மற்றும் கோடேன்ஜென்ட் ஆகியவை பரஸ்பர தலைகீழ் எண்கள்.

தொடுகோடு மற்றும் கொசைன், கோட்டான்ஜென்ட் மற்றும் சைன் ஆகியவற்றுக்கு இடையேயான உறவுகள்

tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- கோணத்தின் தொடுகோடுகளின் சதுரத்தின் கூட்டுத்தொகை \alpha மற்றும் 1 இந்த கோணத்தின் கோசைனின் தலைகீழ் சதுரத்திற்கு சமம். இந்த அடையாளம் அனைத்து \alpha க்கும் செல்லுபடியாகும் \frac(\pi)(2)+ \pi z.

1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- 1 இன் கூட்டுத்தொகை மற்றும் \alpha கோணத்தின் கோடேன்ஜென்ட்டின் சதுரம் கொடுக்கப்பட்ட கோணத்தின் சைனின் தலைகீழ் சதுரத்திற்கு சமம். இந்த அடையாளம் \pi z இலிருந்து வேறுபட்ட எந்த \alpha க்கும் செல்லுபடியாகும்.

முக்கோணவியல் அடையாளங்களைப் பயன்படுத்தி சிக்கல்களுக்கான தீர்வுகளுடன் எடுத்துக்காட்டுகள்

எடுத்துக்காட்டு 1

\sin \alpha மற்றும் tg \alpha என்றால் கண்டுபிடிக்கவும் \cos \alpha=-\frac12மற்றும் \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;

தீர்வு காட்டு

தீர்வு

\sin \alpha மற்றும் \cos \alpha செயல்பாடுகள் சூத்திரத்தால் தொடர்புடையவை \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. இந்த சூத்திரத்தில் மாற்றுதல் \cos \alpha = -\frac12, நாங்கள் பெறுகிறோம்:

\sin^(2)\alpha + \left (-\frac12 \right)^2 = 1

இந்த சமன்பாடு 2 தீர்வுகளைக் கொண்டுள்ளது:

\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)

நிபந்தனையின்படி \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . இரண்டாவது காலாண்டில் சைன் சாதகமாக உள்ளது, அதனால் \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).

டான் \alpha ஐக் கண்டுபிடிக்க, நாங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம் tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3

எடுத்துக்காட்டு 2

\cos \alpha மற்றும் ctg \alpha என்றால் மற்றும் கண்டுபிடிக்கவும் \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .

தீர்வு காட்டு

தீர்வு

சூத்திரத்தில் மாற்றுதல் \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1கொடுக்கப்பட்ட எண் \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), நாம் பெறுகிறோம் \இடது (\frac(\sqrt3)(2)\வலது)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. இந்த சமன்பாட்டில் இரண்டு தீர்வுகள் உள்ளன \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.

நிபந்தனையின்படி \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . இரண்டாவது காலாண்டில் கொசைன் எதிர்மறையாக உள்ளது, எனவே \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.

ctg \alpha ஐக் கண்டுபிடிக்க, நாம் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம் ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). தொடர்புடைய மதிப்புகள் எங்களுக்குத் தெரியும்.

ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).

முக்கிய குறிப்புகள்!
1. சூத்திரங்களுக்குப் பதிலாக gobbledygookஐப் பார்த்தால், உங்கள் தற்காலிக சேமிப்பை அழிக்கவும். உங்கள் உலாவியில் இதை எப்படி செய்வது என்பது இங்கே எழுதப்பட்டுள்ளது:
2. நீங்கள் கட்டுரையைப் படிக்கத் தொடங்குவதற்கு முன், மிகவும் பயனுள்ள ஆதாரங்களுக்கு எங்கள் நேவிகேட்டருக்கு கவனம் செலுத்துங்கள்

Sine, cosine, tangent, cotangent

sine (), cosine (), tangent (), cotangent () ஆகியவற்றின் கருத்துக்கள் கோணத்தின் கருத்துடன் பிரிக்கமுடியாத வகையில் இணைக்கப்பட்டுள்ளன. இவற்றைப் பற்றி நன்றாகப் புரிந்துகொள்வதற்காக, முதல் பார்வையில், சிக்கலான கருத்துக்கள் (பல பள்ளி மாணவர்களிடையே திகிலூட்டும் நிலையை ஏற்படுத்துகின்றன), மேலும் "பிசாசு வர்ணம் பூசப்பட்டதைப் போல பயங்கரமானவர் அல்ல" என்பதை உறுதிப்படுத்தவும். ஒரு கோணத்தின் கருத்தை மிகவும் ஆரம்பம் மற்றும் புரிந்து கொள்ளுங்கள்.

கோணக் கருத்து: ரேடியன், பட்டம்

படத்தைப் பார்ப்போம். ஒரு குறிப்பிட்ட அளவு புள்ளியுடன் ஒப்பிடும்போது திசையன் "திரும்பியது". எனவே ஆரம்ப நிலையுடன் தொடர்புடைய இந்த சுழற்சியின் அளவீடு இருக்கும் மூலையில்.

கோணத்தின் கருத்தைப் பற்றி நீங்கள் வேறு என்ன தெரிந்து கொள்ள வேண்டும்? சரி, நிச்சயமாக, கோண அலகுகள்!

கோணம், வடிவவியல் மற்றும் முக்கோணவியல் இரண்டிலும், டிகிரி மற்றும் ரேடியன்களில் அளவிட முடியும்.

கோணம் (ஒரு டிகிரி) என்பது வட்டத்தின் ஒரு பகுதிக்கு சமமான வட்ட வளைவால் இணைக்கப்பட்ட வட்டத்தின் மையக் கோணமாகும். இவ்வாறு, முழு வட்டமும் வட்ட வளைவுகளின் "துண்டுகள்" அல்லது வட்டத்தால் விவரிக்கப்பட்ட கோணம் சமமாக இருக்கும்.

அதாவது, மேலே உள்ள படம் சமமான கோணத்தைக் காட்டுகிறது, அதாவது, இந்த கோணம் சுற்றளவு அளவு ஒரு வட்ட வில் மீது உள்ளது.

ரேடியன்களில் ஒரு கோணம் என்பது வட்டத்தின் ஆரத்திற்கு சமமான நீளம் கொண்ட ஒரு வட்ட வளைவால் இணைக்கப்பட்ட வட்டத்தின் மையக் கோணமாகும். சரி, நீங்கள் கண்டுபிடித்தீர்களா? இல்லையென்றால், அதை வரைபடத்திலிருந்து கண்டுபிடிப்போம்.

எனவே, படம் ஒரு ரேடியனுக்கு சமமான கோணத்தைக் காட்டுகிறது, அதாவது, இந்த கோணம் ஒரு வட்ட வளைவில் உள்ளது, இதன் நீளம் வட்டத்தின் ஆரத்திற்கு சமம் (நீளம் நீளம் அல்லது ஆரம் சமம் நீளத்திற்கு சமம்வளைவுகள்). எனவே, வில் நீளம் சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது:

ரேடியன்களில் மையக் கோணம் எங்கே.

சரி, இதை அறிந்தால், வட்டம் விவரிக்கும் கோணத்தில் எத்தனை ரேடியன்கள் உள்ளன என்று பதிலளிக்க முடியுமா? ஆம், இதற்காக நீங்கள் சுற்றளவுக்கான சூத்திரத்தை நினைவில் கொள்ள வேண்டும். இதோ அவள்:

சரி, இப்போது இந்த இரண்டு சூத்திரங்களையும் தொடர்புபடுத்தி, வட்டத்தால் விவரிக்கப்பட்ட கோணம் சமமாக இருப்பதைக் கண்டுபிடிப்போம். அதாவது, டிகிரி மற்றும் ரேடியன்களில் உள்ள மதிப்பை தொடர்புபடுத்துவதன் மூலம், அதைப் பெறுகிறோம். முறையே, . நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, "டிகிரிகள்" போலல்லாமல், "ரேடியன்" என்ற வார்த்தை தவிர்க்கப்பட்டது, ஏனெனில் அளவீட்டு அலகு பொதுவாக சூழலில் இருந்து தெளிவாக உள்ளது.

எத்தனை ரேடியன்கள் உள்ளன? அது சரி!

அறிந்துகொண்டேன்? பின்னர் மேலே சென்று அதை சரிசெய்யவும்:

சிரமங்கள் உள்ளதா? பிறகு பாருங்கள் பதில்கள்:

வலது முக்கோணம்: சைன், கொசைன், தொடுகோடு, கோணத்தின் கோட்டான்ஜென்ட்

எனவே, ஒரு கோணத்தின் கருத்தை நாங்கள் கண்டுபிடித்தோம். ஆனால் ஒரு கோணத்தின் சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோடேன்ஜென்ட் என்றால் என்ன? அதை கண்டுபிடிக்கலாம். இதைச் செய்ய, ஒரு செங்கோண முக்கோணம் நமக்கு உதவும்.

செங்கோண முக்கோணத்தின் பக்கங்கள் என்ன அழைக்கப்படுகிறது? அது சரி, ஹைபோடென்யூஸ் மற்றும் கால்கள்: ஹைப்போடென்யூஸ் என்பது எதிர் இருக்கும் பக்கமாகும் வலது கோணம்(எங்கள் எடுத்துக்காட்டில் இது பக்கமானது); கால்கள் இரண்டு மீதமுள்ள பக்கங்கள் மற்றும் (சரியான கோணத்திற்கு அருகில் உள்ளவை), மற்றும் கோணத்துடன் தொடர்புடைய கால்களை நாம் கருத்தில் கொண்டால், கால் என்பது அருகிலுள்ள கால், மற்றும் கால் எதிர். எனவே, இப்போது கேள்விக்கு பதிலளிப்போம்: ஒரு கோணத்தின் சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோடேன்ஜென்ட் என்றால் என்ன?

கோணத்தின் சைன்- இது எதிர் (தொலைதூர) காலின் ஹைப்போடென்ஸுக்கு விகிதமாகும்.

எங்கள் முக்கோணத்தில்.

கோணத்தின் கோசைன்- இது ஹைபோடென்ஸுக்கு அருகிலுள்ள (நெருக்கமான) காலின் விகிதம்.

எங்கள் முக்கோணத்தில்.

கோணத்தின் தொடுகோடு- இது எதிர் (தொலைதூர) பக்கத்தின் அருகிலுள்ள (நெருக்கமான) விகிதமாகும்.

எங்கள் முக்கோணத்தில்.

கோணத்தின் கோட்டான்ஜென்ட்- இது அருகிலுள்ள (நெருக்கமான) காலின் எதிர் (தொலைவு) விகிதமாகும்.

எங்கள் முக்கோணத்தில்.

இந்த வரையறைகள் அவசியம் நினைவில் கொள்க! எந்தக் காலை எதையாகப் பிரிக்க வேண்டும் என்பதை எளிதாக நினைவில் வைத்துக் கொள்ள, அதை நீங்கள் தெளிவாகப் புரிந்து கொள்ள வேண்டும் தொடுகோடுமற்றும் கோடேன்ஜென்ட்கால்கள் மட்டுமே உட்காரும், மற்றும் ஹைப்போடென்யூஸ் மட்டுமே தோன்றும் நீர் சேர்க்கைமற்றும் கொசைன். பின்னர் நீங்கள் சங்கங்களின் சங்கிலியைக் கொண்டு வரலாம். உதாரணமாக, இது:

கொசைன்→டச்→டச்→அருகில்;

கோடன்ஜென்ட்→டச்→டச்→அருகிலுள்ளது.

முதலில், ஒரு முக்கோணத்தின் பக்கங்களின் விகிதங்களாக சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட் ஆகியவை இந்த பக்கங்களின் நீளத்தை (அதே கோணத்தில்) சார்ந்து இல்லை என்பதை நீங்கள் நினைவில் கொள்ள வேண்டும். நம்பாதே? பின்னர் படத்தைப் பார்த்து உறுதிப்படுத்தவும்:

உதாரணமாக, ஒரு கோணத்தின் கொசைனைக் கவனியுங்கள். வரையறையின்படி, ஒரு முக்கோணத்திலிருந்து: , ஆனால் முக்கோணத்திலிருந்து ஒரு கோணத்தின் கொசைனை நாம் கணக்கிடலாம்: . நீங்கள் பார்க்கிறீர்கள், பக்கங்களின் நீளம் வேறுபட்டது, ஆனால் ஒரு கோணத்தின் கொசைனின் மதிப்பு ஒன்றுதான். எனவே, சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட் ஆகியவற்றின் மதிப்புகள் கோணத்தின் அளவை மட்டுமே சார்ந்துள்ளது.

நீங்கள் வரையறைகளைப் புரிந்து கொண்டால், மேலே சென்று அவற்றை ஒருங்கிணைக்கவும்!

கீழே உள்ள படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள முக்கோணத்திற்கு, நாம் கண்டுபிடிக்கிறோம்.

சரி, கிடைத்ததா? பின்னர் அதை நீங்களே முயற்சிக்கவும்: கோணத்திற்கும் அதையே கணக்கிடுங்கள்.

அலகு (முக்கோணவியல்) வட்டம்

டிகிரி மற்றும் ரேடியன்களின் கருத்துகளைப் புரிந்துகொண்டு, ஆரம் கொண்ட ஒரு வட்டத்தை நாங்கள் கருதினோம். அத்தகைய வட்டம் அழைக்கப்படுகிறது ஒற்றை. முக்கோணவியல் படிக்கும் போது இது மிகவும் பயனுள்ளதாக இருக்கும். எனவே, அதை இன்னும் கொஞ்சம் விரிவாகப் பார்ப்போம்.

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, இந்த வட்டம் கட்டப்பட்டுள்ளது கார்ட்டீசியன் அமைப்புஒருங்கிணைப்புகள் வட்டத்தின் ஆரம் ஒன்றுக்கு சமம், வட்டத்தின் மையம் ஆயத்தொலைவுகளின் தோற்றத்தில் உள்ளது, ஆரம் திசையன் ஆரம்ப நிலை அச்சின் நேர்மறை திசையில் சரி செய்யப்படுகிறது (எங்கள் எடுத்துக்காட்டில், இது ஆரம்).

வட்டத்தின் ஒவ்வொரு புள்ளியும் இரண்டு எண்களுக்கு ஒத்திருக்கிறது: அச்சு ஒருங்கிணைப்பு மற்றும் அச்சு ஒருங்கிணைப்பு. இந்த ஆய எண்கள் என்ன? பொதுவாக, அவர்கள் கையில் இருக்கும் தலைப்புடன் என்ன செய்ய வேண்டும்? இதைச் செய்ய, கருதப்படும் வலது முக்கோணத்தைப் பற்றி நாம் நினைவில் கொள்ள வேண்டும். மேலே உள்ள படத்தில், நீங்கள் இரண்டு முழு வலது முக்கோணங்களைக் காணலாம். ஒரு முக்கோணத்தைக் கவனியுங்கள். அச்சுக்கு செங்குத்தாக இருப்பதால் செவ்வக வடிவில் உள்ளது.

முக்கோணம் எதற்கு சமம்? அது சரி. கூடுதலாக, அது அலகு வட்டத்தின் ஆரம் என்பது நமக்குத் தெரியும், அதாவது . இந்த மதிப்பை கொசைன் சூத்திரத்தில் மாற்றுவோம். என்ன நடக்கிறது என்பது இங்கே:

முக்கோணம் எதற்கு சமம்? சரி, நிச்சயமாக,! இந்த சூத்திரத்தில் ஆரம் மதிப்பை மாற்றி, பெறவும்:

எனவே, ஒரு வட்டத்தைச் சேர்ந்த ஒரு புள்ளியின் ஒருங்கிணைப்புகள் என்னவென்று உங்களால் சொல்ல முடியுமா? சரி, வழி இல்லையா? நீங்கள் அதை உணர்ந்து வெறும் எண்களாக இருந்தால் என்ன செய்வது? இது எந்த ஒருங்கிணைப்புடன் ஒத்துப்போகிறது? சரி, நிச்சயமாக, ஆயங்கள்! மேலும் இது எந்த ஒருங்கிணைப்புடன் ஒத்துப்போகிறது? அது சரி, ஆயத்தொலைவுகள்! இவ்வாறு, காலம்.

அப்படியானால் என்ன மற்றும் சமம்? அது சரி, டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட் ஆகியவற்றின் தொடர்புடைய வரையறைகளைப் பயன்படுத்தி அதைப் பெறுவோம், a.

கோணம் பெரியதாக இருந்தால் என்ன செய்வது? உதாரணமாக, இந்த படத்தில் உள்ளது போல்:

என்ன மாறிவிட்டது இந்த எடுத்துக்காட்டில்? அதை கண்டுபிடிக்கலாம். இதைச் செய்ய, மீண்டும் ஒரு வலது முக்கோணத்திற்கு திரும்புவோம். ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தைக் கவனியுங்கள்: கோணம் (ஒரு கோணத்திற்கு அருகில்). ஒரு கோணத்திற்கான சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட் ஆகியவற்றின் மதிப்புகள் என்ன? அது சரி, முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் தொடர்புடைய வரையறைகளை நாங்கள் கடைபிடிக்கிறோம்:

சரி, நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, கோணத்தின் சைனின் மதிப்பு இன்னும் ஒருங்கிணைப்புக்கு ஒத்திருக்கிறது; கோணத்தின் கொசைன் மதிப்பு - ஒருங்கிணைப்பு; மற்றும் தொடர்புடைய விகிதங்களுக்கு தொடுகோடு மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட் மதிப்புகள். எனவே, இந்த உறவுகள் ஆரம் திசையன் எந்த சுழற்சிக்கும் பொருந்தும்.

ஆரம் வெக்டரின் ஆரம்ப நிலை அச்சின் நேர்மறையான திசையில் உள்ளது என்று ஏற்கனவே குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது. இதுவரை இந்த வெக்டரை எதிரெதிர் திசையில் சுழற்றினோம், ஆனால் அதை கடிகார திசையில் சுழற்றினால் என்ன ஆகும்? அசாதாரணமானது எதுவும் இல்லை, நீங்கள் ஒரு குறிப்பிட்ட மதிப்பின் கோணத்தையும் பெறுவீர்கள், ஆனால் அது எதிர்மறையாக மட்டுமே இருக்கும். இவ்வாறு, ஆரம் திசையன் எதிரெதிர் திசையில் சுழலும் போது, ​​நாம் பெறுகிறோம் நேர்மறை கோணங்கள், மற்றும் கடிகார திசையில் சுழலும் போது - எதிர்மறை.

எனவே, ஒரு வட்டத்தைச் சுற்றியுள்ள ஆரம் திசையன் முழுப் புரட்சி அல்லது என்பது நமக்குத் தெரியும். ஆரம் வெக்டரை சுழற்ற முடியுமா? சரி, நிச்சயமாக உங்களால் முடியும்! முதல் வழக்கில், எனவே, ஆரம் திசையன் ஒரு முழுப் புரட்சியை உருவாக்கி, நிலையில் நிறுத்தப்படும் அல்லது.

இரண்டாவது வழக்கில், அதாவது, ஆரம் திசையன் மூன்று முழு புரட்சிகளை செய்து, நிலையில் நிறுத்தப்படும் அல்லது.

எனவே, மேலே உள்ள எடுத்துக்காட்டுகளில் இருந்து வேறுபடும் கோணங்கள் அல்லது (எந்த முழு எண் எங்கே) ஆரம் திசையன் அதே நிலைக்கு ஒத்திருக்கும் என்று முடிவு செய்யலாம்.

கீழே உள்ள படம் ஒரு கோணத்தைக் காட்டுகிறது. அதே படம் மூலை போன்றவற்றுக்கு ஒத்திருக்கிறது. இந்த பட்டியலை காலவரையின்றி தொடரலாம். இந்தக் கோணங்கள் அனைத்தும் பொதுவான சூத்திரத்தால் எழுதப்படலாம் அல்லது (எங்கே முழு எண் உள்ளது)

இப்போது, ​​அடிப்படை முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் வரையறைகளை அறிந்து, அலகு வட்டத்தைப் பயன்படுத்தி, மதிப்புகள் என்னவென்று பதிலளிக்க முயற்சிக்கவும்:

உங்களுக்கு உதவ ஒரு யூனிட் வட்டம் இங்கே:

சிரமங்கள் உள்ளதா? பின்னர் அதை கண்டுபிடிக்கலாம். எனவே நாங்கள் அதை அறிவோம்:

இங்கிருந்து, சில கோண நடவடிக்கைகளுடன் தொடர்புடைய புள்ளிகளின் ஆயங்களை நாங்கள் தீர்மானிக்கிறோம். சரி, வரிசையில் தொடங்குவோம்: கோணம் ஆயத்தொலைவுகளுடன் ஒரு புள்ளிக்கு ஒத்திருக்கிறது, எனவே:

இல்லை;

மேலும், அதே தர்க்கத்தை கடைபிடிப்பதன் மூலம், மூலைகள் முறையே ஆயத்தொலைவுகளுடன் கூடிய புள்ளிகளுக்கு ஒத்திருப்பதைக் காண்கிறோம். இதை அறிந்தால், தொடர்புடைய புள்ளிகளில் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் மதிப்புகளை தீர்மானிக்க எளிதானது. முதலில் நீங்களே முயற்சிக்கவும், பின்னர் பதில்களைச் சரிபார்க்கவும்.

பதில்கள்:

எனவே, நாம் பின்வரும் அட்டவணையை உருவாக்கலாம்:

இந்த மதிப்புகள் அனைத்தையும் நினைவில் வைத்திருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை. அலகு வட்டத்தில் உள்ள புள்ளிகளின் ஆயத்தொலைவுகளுக்கும் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் மதிப்புகளுக்கும் இடையிலான கடிதப் பரிமாற்றத்தை நினைவில் கொள்வது போதுமானது:

ஆனால் கோணங்களின் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் மதிப்புகள் மற்றும் கீழே உள்ள அட்டவணையில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது, நினைவில் கொள்ள வேண்டும்:

பயப்பட வேண்டாம், இப்போது நாங்கள் உங்களுக்கு ஒரு உதாரணத்தைக் காண்பிப்போம் தொடர்புடைய மதிப்புகளை நினைவில் கொள்வது மிகவும் எளிது:

இந்த முறையைப் பயன்படுத்த, கோணத்தின் மூன்று அளவுகளுக்கும் சைனின் மதிப்புகள் (), அதே போல் கோணத்தின் தொடுகோடு மதிப்பு ஆகியவற்றை நினைவில் கொள்வது அவசியம். இந்த மதிப்புகளை அறிந்தால், முழு அட்டவணையையும் மீட்டெடுப்பது மிகவும் எளிது - கொசைன் மதிப்புகள் அம்புகளுக்கு ஏற்ப மாற்றப்படுகின்றன, அதாவது:

இதை அறிந்தால், நீங்கள் மதிப்புகளை மீட்டெடுக்கலாம். எண் " " பொருந்தும் மற்றும் " " வகுத்தல் பொருந்தும். படத்தில் சுட்டிக்காட்டப்பட்ட அம்புகளுக்கு ஏற்ப கோட்டான்ஜென்ட் மதிப்புகள் மாற்றப்படுகின்றன. நீங்கள் இதைப் புரிந்துகொண்டு, அம்புக்குறிகளுடன் வரைபடத்தை நினைவில் வைத்திருந்தால், அட்டவணையில் இருந்து அனைத்து மதிப்புகளையும் நினைவில் வைத்துக் கொள்ள போதுமானதாக இருக்கும்.

ஒரு வட்டத்தில் ஒரு புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகள்

ஒரு வட்டத்தில் ஒரு புள்ளியை (அதன் ஆயத்தொலைவுகள்) கண்டுபிடிக்க முடியுமா, வட்டத்தின் மையத்தின் ஆயத்தொலைவுகள், அதன் ஆரம் மற்றும் சுழற்சியின் கோணம் ஆகியவற்றை அறிவது?

சரி, நிச்சயமாக உங்களால் முடியும்! அதை வெளியே எடுப்போம் ஒரு புள்ளியின் ஆயங்களை கண்டறிவதற்கான பொதுவான சூத்திரம்.

உதாரணமாக, இங்கே ஒரு வட்டம் நமக்கு முன்னால் உள்ளது:

புள்ளி என்பது வட்டத்தின் மையம் என்று நமக்கு வழங்கப்பட்டுள்ளது. வட்டத்தின் ஆரம் சமம். புள்ளியை டிகிரிகளால் சுழற்றுவதன் மூலம் பெறப்பட்ட ஒரு புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகளைக் கண்டறிவது அவசியம்.

படத்தில் இருந்து பார்க்க முடிந்தால், புள்ளியின் ஒருங்கிணைப்பு பிரிவின் நீளத்திற்கு ஒத்திருக்கிறது. பிரிவின் நீளம் வட்டத்தின் மையத்தின் ஒருங்கிணைப்புக்கு ஒத்திருக்கிறது, அதாவது அது சமம். கோசைனின் வரையறையைப் பயன்படுத்தி ஒரு பிரிவின் நீளத்தை வெளிப்படுத்தலாம்:

பின்னர் புள்ளி ஒருங்கிணைப்புக்கு அது உள்ளது.

அதே தர்க்கத்தைப் பயன்படுத்தி, புள்ளிக்கான y ஒருங்கிணைப்பு மதிப்பைக் காண்கிறோம். இதனால்,

எனவே, உள்ளே பொதுவான பார்வைபுள்ளிகளின் ஒருங்கிணைப்புகள் சூத்திரங்களால் தீர்மானிக்கப்படுகின்றன:

வட்டத்தின் மையத்தின் ஒருங்கிணைப்புகள்,

வட்ட ஆரம்,

திசையன் ஆரம் சுழற்சி கோணம்.

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, நாங்கள் கருத்தில் கொண்ட யூனிட் வட்டத்திற்கு, இந்த சூத்திரங்கள் கணிசமாகக் குறைக்கப்படுகின்றன, ஏனெனில் மையத்தின் ஆயத்தொலைவுகள் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம் மற்றும் ஆரம் ஒன்றுக்கு சமம்:

சரி, ஒரு வட்டத்தில் புள்ளிகளைக் கண்டறிவதன் மூலம் இந்த சூத்திரங்களை முயற்சிக்கலாமா?

1. புள்ளியை சுழற்றுவதன் மூலம் பெறப்பட்ட அலகு வட்டத்தில் ஒரு புள்ளியின் ஆயங்களைக் கண்டறியவும்.

2. புள்ளியை சுழற்றுவதன் மூலம் பெறப்பட்ட அலகு வட்டத்தில் ஒரு புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகளைக் கண்டறியவும்.

3. புள்ளியை சுழற்றுவதன் மூலம் பெறப்பட்ட அலகு வட்டத்தில் ஒரு புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகளைக் கண்டறியவும்.

4. புள்ளி என்பது வட்டத்தின் மையம். வட்டத்தின் ஆரம் சமம். ஆரம்ப ஆரம் வெக்டரை சுழற்றுவதன் மூலம் பெறப்பட்ட புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகளைக் கண்டறிவது அவசியம்.

5. புள்ளி என்பது வட்டத்தின் மையம். வட்டத்தின் ஆரம் சமம். ஆரம்ப ஆரம் வெக்டரை சுழற்றுவதன் மூலம் பெறப்பட்ட புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகளைக் கண்டறிவது அவசியம்.

ஒரு வட்டத்தில் ஒரு புள்ளியின் ஆயங்களை கண்டுபிடிப்பதில் சிக்கல் உள்ளதா?

இந்த ஐந்து உதாரணங்களைத் தீர்க்கவும் (அல்லது அவற்றைத் தீர்ப்பதில் சிறந்து விளங்கவும்) அவற்றைக் கண்டுபிடிக்க நீங்கள் கற்றுக் கொள்வீர்கள்!

சுருக்கம் மற்றும் அடிப்படை சூத்திரங்கள்

ஒரு கோணத்தின் சைன் என்பது எதிர் (தொலைவு) காலின் ஹைப்போடென்யூஸின் விகிதமாகும்.

ஒரு கோணத்தின் கொசைன் என்பது ஹைபோடென்யூஸுக்கு அருகிலுள்ள (நெருக்கமான) காலின் விகிதமாகும்.

ஒரு கோணத்தின் தொடுகோடு என்பது எதிரெதிர் (தொலைவு) பக்கத்திற்கு அருகிலுள்ள (நெருக்கமான) பக்கத்தின் விகிதமாகும்.

ஒரு கோணத்தின் கோடேன்ஜென்ட் என்பது அருகிலுள்ள (நெருங்கிய) பக்கத்தின் எதிர் (தொலைவு) பக்கத்தின் விகிதமாகும்.

சரி, தலைப்பு முடிந்தது. இந்த வரிகளை நீங்கள் படிக்கிறீர்கள் என்றால், நீங்கள் மிகவும் கூலாக இருக்கிறீர்கள் என்று அர்த்தம்.

ஏனென்றால் 5% பேர் மட்டுமே தாங்களாகவே ஏதாவது ஒன்றை மாஸ்டர் செய்ய முடியும். நீங்கள் இறுதிவரை படித்தால், நீங்கள் இந்த 5% இல் இருக்கிறீர்கள்!

இப்போது மிக முக்கியமான விஷயம்.

இந்த தலைப்பில் உள்ள கோட்பாட்டை நீங்கள் புரிந்து கொண்டீர்கள். மேலும், நான் மீண்டும் சொல்கிறேன், இது... இது சூப்பர்! உங்கள் சகாக்களில் பெரும்பாலானவர்களை விட நீங்கள் ஏற்கனவே சிறந்தவர்.

பிரச்சனை என்னவென்றால், இது போதாது ...

எதற்காக?

வெற்றிக்காக ஒருங்கிணைந்த மாநில தேர்வில் தேர்ச்சி, பட்ஜெட்டில் கல்லூரியில் சேருவதற்கும், மிக முக்கியமாக, வாழ்நாள் முழுவதும்.

நான் உன்னை எதையும் நம்ப வைக்க மாட்டேன், ஒன்று மட்டும் சொல்கிறேன்...

பெற்ற மக்கள் ஒரு நல்ல கல்வி, அதைப் பெறாதவர்களை விட அதிகம் சம்பாதிக்கவும். இது புள்ளிவிவரம்.

ஆனால் இது முக்கிய விஷயம் அல்ல.

முக்கிய விஷயம் என்னவென்றால், அவர்கள் மிகவும் மகிழ்ச்சியாக இருக்கிறார்கள் (அத்தகைய ஆய்வுகள் உள்ளன). ஒருவேளை அவர்களுக்கு முன்னால் இன்னும் நிறைய திறந்திருப்பதால் மேலும் சாத்தியங்கள்மற்றும் வாழ்க்கை பிரகாசமாக மாறுமா? தெரியாது...

ஆனால் நீங்களே யோசியுங்கள்...

ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வில் மற்றவர்களை விட சிறப்பாக இருக்கவும், இறுதியில் மகிழ்ச்சியாக இருக்கவும் என்ன செய்ய வேண்டும்?

இந்த தலைப்பில் உள்ள சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதன் மூலம் உங்கள் கையைப் பெறுங்கள்.

தேர்வின் போது உங்களிடம் தியரி கேட்கப்படாது.

உனக்கு தேவைப்படும் நேரத்திற்கு எதிராக பிரச்சனைகளை தீர்க்க.

மேலும், நீங்கள் அவற்றைத் தீர்க்கவில்லை என்றால் (நிறைய!), நீங்கள் நிச்சயமாக எங்காவது ஒரு முட்டாள் தவற்றைச் செய்வீர்கள் அல்லது நேரமில்லாமல் இருப்பீர்கள்.

இது விளையாட்டைப் போன்றது - நிச்சயமாக வெற்றி பெற நீங்கள் அதை பல முறை மீண்டும் செய்ய வேண்டும்.

நீங்கள் எங்கு வேண்டுமானாலும் சேகரிப்பைக் கண்டறியவும், அவசியம் தீர்வுகளுடன், விரிவான பகுப்பாய்வு மற்றும் முடிவு, முடிவு, முடிவு!

நீங்கள் எங்கள் பணிகளைப் பயன்படுத்தலாம் (விரும்பினால்) மற்றும் நாங்கள் நிச்சயமாக அவற்றை பரிந்துரைக்கிறோம்.

எங்கள் பணிகளை சிறப்பாகப் பயன்படுத்த, நீங்கள் தற்போது படித்துக்கொண்டிருக்கும் YouClever பாடப்புத்தகத்தின் ஆயுளை நீட்டிக்க உதவ வேண்டும்.

எப்படி? இரண்டு விருப்பங்கள் உள்ளன:

1. இந்த கட்டுரையில் மறைக்கப்பட்ட அனைத்து பணிகளையும் திறக்கவும் -
2. பாடப்புத்தகத்தின் அனைத்து 99 கட்டுரைகளிலும் மறைக்கப்பட்ட அனைத்து பணிகளுக்கான அணுகலைத் திறக்கவும் - ஒரு பாடப்புத்தகத்தை வாங்கவும் - 499 RUR

ஆம், எங்கள் பாடப்புத்தகத்தில் இதுபோன்ற 99 கட்டுரைகள் உள்ளன மற்றும் அனைத்து பணிகளுக்கான அணுகல் மற்றும் அவற்றில் உள்ள அனைத்து மறைக்கப்பட்ட உரைகளும் உடனடியாக திறக்கப்படும்.

அனைத்து மறைக்கப்பட்ட பணிகளுக்கான அணுகல் தளத்தின் முழு வாழ்க்கைக்கும் வழங்கப்படுகிறது.

முடிவில்...

எங்கள் பணிகள் உங்களுக்குப் பிடிக்கவில்லை என்றால், மற்றவர்களைக் கண்டறியவும். கோட்பாட்டில் மட்டும் நிற்காதீர்கள்.

"புரிகிறது" மற்றும் "என்னால் தீர்க்க முடியும்" என்பது முற்றிலும் வேறுபட்ட திறன்கள். உங்களுக்கு இரண்டும் தேவை.

சிக்கல்களைக் கண்டறிந்து அவற்றைத் தீர்க்கவும்!

முக்கோணவியல், ஒரு அறிவியலாக, பண்டைய கிழக்கில் தோன்றியது. முதல் முக்கோணவியல் விகிதங்கள் நட்சத்திரங்களின் துல்லியமான நாட்காட்டி மற்றும் நோக்குநிலையை உருவாக்க வானியலாளர்களால் பெறப்பட்டது. இந்த கணக்கீடுகள் கோள முக்கோணவியல் தொடர்பானவை, பள்ளி படிப்பில் அவர்கள் ஒரு விமான முக்கோணத்தின் பக்கங்கள் மற்றும் கோணங்களின் விகிதத்தைப் படிக்கிறார்கள்.

முக்கோணவியல் என்பது முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் பண்புகள் மற்றும் முக்கோணங்களின் பக்கங்கள் மற்றும் கோணங்களுக்கு இடையிலான உறவுகளைக் கையாளும் கணிதத்தின் ஒரு கிளை ஆகும்.

கி.பி 1 ஆம் மில்லினியத்தில் கலாச்சாரம் மற்றும் அறிவியலின் உச்சக்கட்டத்தின் போது, ​​அறிவு பரவியது பண்டைய கிழக்குகிரேக்கத்திற்கு. ஆனால் முக்கோணவியலின் முக்கிய கண்டுபிடிப்புகள் கணவர்களின் தகுதி அரபு கலிபா. குறிப்பாக, துர்க்மென் விஞ்ஞானி அல்-மராஸ்வி டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோடேன்ஜென்ட் போன்ற செயல்பாடுகளை அறிமுகப்படுத்தினார், மேலும் சைன்கள், டேன்ஜென்ட்கள் மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட்களுக்கான மதிப்புகளின் முதல் அட்டவணைகளைத் தொகுத்தார். சைன் மற்றும் கொசைன் பற்றிய கருத்துக்கள் இந்திய விஞ்ஞானிகளால் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது. யூக்ளிட், ஆர்க்கிமிடிஸ் மற்றும் எரடோஸ்தீனஸ் போன்ற பழங்காலப் பெரியவர்களின் படைப்புகளில் முக்கோணவியல் அதிக கவனத்தைப் பெற்றது.

முக்கோணவியலின் அடிப்படை அளவுகள்

அடிப்படை முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள்எண் வாதம் என்பது சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோடேன்ஜென்ட். அவை ஒவ்வொன்றுக்கும் அதன் சொந்த வரைபடம் உள்ளது: சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோடேன்ஜென்ட்.

இந்த அளவுகளின் மதிப்புகளைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரங்கள் பித்தகோரியன் தேற்றத்தை அடிப்படையாகக் கொண்டவை. "பித்தகோரியன் பேன்ட்கள் எல்லா திசைகளிலும் சமம்" என்பது பள்ளி மாணவர்களுக்கு நன்கு தெரியும், ஏனெனில் ஐசோசெல்ஸ் வலது முக்கோணத்தின் உதாரணத்தைப் பயன்படுத்தி ஆதாரம் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.

சைன், கொசைன் மற்றும் பிற உறவுகள் எந்த செங்கோண முக்கோணத்தின் கடுமையான கோணங்களுக்கும் பக்கங்களுக்கும் இடையிலான உறவை நிறுவுகின்றன. கோணம் Aக்கான இந்த அளவுகளைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரங்களைக் கொடுப்போம் மற்றும் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளுக்கு இடையிலான உறவுகளைக் கண்டுபிடிப்போம்:

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, tg மற்றும் ctg ஆகியவை தலைகீழ் செயல்பாடுகள். நாம் லெக் a ஐ பாவம் A மற்றும் ஹைபோடென்யூஸ் c மற்றும் லெக் b ஐ cos A * c என கற்பனை செய்தால், தொடு மற்றும் கோடேன்ஜென்ட்டுக்கான பின்வரும் சூத்திரங்களைப் பெறுகிறோம்:

முக்கோணவியல் வட்டம்

வரைபட ரீதியாக, குறிப்பிடப்பட்ட அளவுகளுக்கு இடையிலான உறவை பின்வருமாறு குறிப்பிடலாம்:

வட்டம், இந்த வழக்கில், கோணத்தின் அனைத்து சாத்தியமான மதிப்புகளையும் குறிக்கிறது α - 0° முதல் 360° வரை. படத்தில் இருந்து பார்க்க முடிந்தால், ஒவ்வொரு செயல்பாடும் கோணத்தைப் பொறுத்து எதிர்மறை அல்லது நேர்மறை மதிப்பை எடுக்கும். எடுத்துக்காட்டாக, α வட்டத்தின் 1வது மற்றும் 2வது காலாண்டுகளில், அதாவது 0° முதல் 180° வரையிலான வரம்பில் இருந்தால் sin α க்கு “+” அடையாளம் இருக்கும். α க்கு 180° முதல் 360° வரை (III மற்றும் IV காலாண்டுகள்), பாவம் α என்பது எதிர்மறை மதிப்பாக மட்டுமே இருக்கும்.

குறிப்பிட்ட கோணங்களுக்கான முக்கோணவியல் அட்டவணைகளை உருவாக்கி, அளவுகளின் பொருளைக் கண்டறிய முயற்சிப்போம்.

30°, 45°, 60°, 90°, 180° மற்றும் பலவற்றிற்குச் சமமான α மதிப்புகள் சிறப்பு வழக்குகள் எனப்படும். அவற்றுக்கான முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் மதிப்புகள் கணக்கிடப்பட்டு சிறப்பு அட்டவணைகள் வடிவில் வழங்கப்படுகின்றன.

இந்த கோணங்கள் சீரற்ற முறையில் தேர்ந்தெடுக்கப்படவில்லை. அட்டவணையில் உள்ள பதவி π ரேடியன்களுக்கானது. ரேட் என்பது ஒரு வட்டத்தின் வளைவின் நீளம் அதன் ஆரத்துடன் ஒத்திருக்கும் கோணம். ரேடியன்களில் கணக்கிடும் போது இந்த மதிப்பு ஒரு உலகளாவிய சார்புநிலையை நிறுவுவதற்காக அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது, செ.மீ.யில் ஆரம் உண்மையான நீளம் இல்லை.

முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளுக்கான அட்டவணையில் உள்ள கோணங்கள் ரேடியன் மதிப்புகளுக்கு ஒத்திருக்கும்:

எனவே, 2π ஒரு முழுமையான வட்டம் அல்லது 360° என்று யூகிப்பது கடினம் அல்ல.

முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் பண்புகள்: சைன் மற்றும் கொசைன்

சைன் மற்றும் கொசைன், டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோடேன்ஜென்ட் ஆகியவற்றின் அடிப்படை பண்புகளை கருத்தில் கொண்டு ஒப்பிடுவதற்கு, அவற்றின் செயல்பாடுகளை வரைய வேண்டியது அவசியம். இது அமைந்துள்ள ஒரு வளைவு வடிவில் செய்யப்படலாம் இரு பரிமாண அமைப்புஒருங்கிணைப்புகள்

சைன் மற்றும் கொசைன் பண்புகளின் ஒப்பீட்டு அட்டவணையைக் கவனியுங்கள்:

ஒரு செயல்பாடு சமமானதா இல்லையா என்பதை தீர்மானிப்பது மிகவும் எளிது. முக்கோணவியல் அளவுகளின் அறிகுறிகளுடன் ஒரு முக்கோணவியல் வட்டத்தை கற்பனை செய்து, OX அச்சுடன் தொடர்புடைய வரைபடத்தை மனதளவில் "மடி" செய்தால் போதும். அறிகுறிகள் இணைந்தால், செயல்பாடு சமமாக இருக்கும், இல்லையெனில் அது ஒற்றைப்படை.

ரேடியன்களின் அறிமுகம் மற்றும் சைன் மற்றும் கொசைன் அலைகளின் அடிப்படை பண்புகளின் பட்டியல் ஆகியவை பின்வரும் வடிவத்தை முன்வைக்க அனுமதிக்கின்றன:

சூத்திரம் சரியானதா என்பதைச் சரிபார்க்க மிகவும் எளிதானது. எடுத்துக்காட்டாக, x = π/2 க்கு, x = 0 இன் கோசைனைப் போலவே சைன் 1 ஆகும். ஆலோசனை அட்டவணைகள் மூலம் அல்லது கொடுக்கப்பட்ட மதிப்புகளுக்கான செயல்பாட்டு வளைவுகளைக் கண்டுபிடிப்பதன் மூலம் சரிபார்ப்பைச் செய்யலாம்.

டேன்ஜென்ட்சாய்டுகள் மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட்சாய்டுகளின் பண்புகள்

டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட் சார்புகளின் வரைபடங்கள் சைன் மற்றும் கொசைன் செயல்பாடுகளிலிருந்து கணிசமாக வேறுபடுகின்றன. tg மற்றும் ctg மதிப்புகள் ஒன்றுக்கொன்று பரஸ்பரம்.

1. Y = டான் x.
2. தொடுகோடு x = π/2 + πk இல் y இன் மதிப்புகளுக்குச் செல்கிறது, ஆனால் அவற்றை ஒருபோதும் அடையாது.
3. டேன்ஜெண்டாய்டின் மிகச் சிறிய நேர்மறை காலம் π ஆகும்.
4. Tg (- x) = - tg x, அதாவது செயல்பாடு ஒற்றைப்படை.
5. Tg x = 0, x = πk.
6. செயல்பாடு அதிகரித்து வருகிறது.
7. Tg x › 0, x ϵ (πk, π/2 + πk).
8. Tg x ‹ 0, x ϵக்கு (— π/2 + πk, πk).
9. வழித்தோன்றல் (tg x)’ = 1/cos 2 ⁡x.

கருத்தில் கொள்வோம் வரைகலை படம்உரையில் கீழே உள்ள cotangentoids.

கோட்டான்ஜெண்டாய்டுகளின் முக்கிய பண்புகள்:

1. Y = கட்டில் x.
2. சைன் மற்றும் கொசைன் செயல்பாடுகளைப் போலல்லாமல், டேன்ஜெண்டாய்டில் Y ஆனது அனைத்து உண்மையான எண்களின் தொகுப்பின் மதிப்புகளைப் பெறலாம்.
3. cotangentoid x = πk இல் y இன் மதிப்புகளுக்குச் செல்கிறது, ஆனால் அவற்றை ஒருபோதும் அடையாது.
4. ஒரு cotangentoid இன் மிகச் சிறிய நேர்மறை காலம் π ஆகும்.
5. Ctg (- x) = - ctg x, அதாவது செயல்பாடு ஒற்றைப்படை.
6. Ctg x = 0, x = π/2 + πk.
7. செயல்பாடு குறைந்து வருகிறது.
8. Ctg x › 0, x ϵ (πk, π/2 + πk).
9. x ϵக்கு Ctg x ‹ 0 (π/2 + πk, πk).
10. வழித்தோன்றல் (ctg x)’ = - 1/sin 2 ⁡x சரி

வழிமுறைகள்

பிளானிமெட்ரி பற்றிய உங்கள் அறிவை வெளிப்படுத்த பயன்படுத்தவும் நீர் சேர்க்கைகூட்டுறவு மூலம் நீர் சேர்க்கை. வரையறையின்படி, நீர் சேர்க்கைஓம் கோணம் வலது முக்கோணத்தில் , மற்றும் க்கு எதிர் நீர் சேர்க்கைஓம் - ஹைப்போடென்ஸுக்கு அருகிலுள்ள கால். பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் அறிவு கூட சில சந்தர்ப்பங்களில் விரும்பிய மாற்றத்தை விரைவாகப் பெற உங்களை அனுமதிக்கும்.

எக்ஸ்பிரஸ் நீர் சேர்க்கைகூட்டுறவு மூலம் நீர் சேர்க்கை, எளிமையானவற்றைப் பயன்படுத்துதல் முக்கோணவியல் அடையாளம், அதன் படி இந்த அளவுகளின் வர்க்கங்களின் கூட்டுத்தொகை ஒன்று கொடுக்கிறது. தேவையான கோணம் காலாண்டில் இருப்பதை நீங்கள் அறிந்தால் மட்டுமே பணியைச் சரியாக முடிக்க முடியும் என்பதை நினைவில் கொள்ளவும், இல்லையெனில் நீங்கள் இரண்டு சாத்தியமான முடிவுகளைப் பெறுவீர்கள் - நேர்மறை மற்றும் கையொப்பமிடப்பட்டது.

сos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)

முறையே 3, 4, 5 மிமீக்கு சமமாக a, b, c பக்கங்களைக் கொண்ட ஒரு முக்கோணம் உள்ளது.

கண்டுபிடி கொசைன்பெரிய பக்கங்களுக்கு இடையே உள்ள கோணம்.

ஒரு பக்கத்திற்கு எதிர் கோணத்தைக் குறிப்போம்?

сos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)=(4?+5?-3?)/(2*4*5)=(16+25-9)/40 =32/40=0.8

பதில்: 0.8.

முக்கோணம் சரியான கோணத்தில் இருந்தால், கண்டுபிடிக்கவும் கொசைன்மற்றும் ஒரு கோணத்திற்கு எந்த இரண்டு பக்கங்களின் நீளத்தையும் தெரிந்து கொண்டால் போதும் ( கொசைன்வலது கோணம் 0).

a, b, c பக்கங்களுடன் ஒரு செங்கோண முக்கோணம் இருக்கட்டும், இதில் c என்பது ஹைப்போடென்யூஸ்.

அனைத்து விருப்பங்களையும் கருத்தில் கொள்வோம்:

a மற்றும் b (முக்கோணத்தின்) பக்கங்களின் நீளம் தெரிந்தால் cos?

பித்தகோரியன் தேற்றத்தை கூடுதலாகப் பயன்படுத்துவோம்:

сos?=(b?+c?-а?)/(2*b*c)=(b?+b?+а?-а?)/(2*b*v(b?+а?)) =(2*b?)/(2*b*v(b?+a?))=b/v(b?+a?)

விளைந்த சூத்திரத்தின் சரியான தன்மையை உறுதிசெய்ய, உதாரணம் 1 இலிருந்து அதை மாற்றுகிறோம், அதாவது.

சில அடிப்படை கணக்கீடுகளைச் செய்த பிறகு, நாங்கள் பெறுகிறோம்:

இதேபோல் கண்டுபிடிக்கப்பட்டது கொசைன்ஒரு செவ்வக வடிவில் முக்கோணம்மற்ற சந்தர்ப்பங்களில்:

a மற்றும் c (ஹைபோடென்யூஸ் மற்றும் எதிர் பக்கம்) கொடுக்கப்பட்டால், காஸ் கண்டுபிடிக்கவா?

сos?=(b?+c?-а?)/(2*b*c)=(с?-а?+с?-а?)/(2*с*v(с?-а?)) =(2*с?-2*а?)/(2*с*v(s?-а?))=v(с?-а?)/с.

எடுத்துக்காட்டில் இருந்து a=3 மற்றும் c=5 மதிப்புகளை மாற்றினால், நாம் பெறுகிறோம்:

அறியப்பட்ட பி மற்றும் சி (ஹைபோடென்யூஸ் மற்றும் அருகிலுள்ள கால்).

காஸ் கண்டுபிடிக்கவா?

இதேபோன்ற மாற்றங்களைச் செய்த பிறகு (எடுத்துக்காட்டுகள் 2 மற்றும் 3 இல் காட்டப்பட்டுள்ளது), இந்த விஷயத்தில் அதைப் பெறுகிறோம் கொசைன்வி முக்கோணம்மிகவும் எளிமையான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகிறது:

பெறப்பட்ட சூத்திரத்தின் எளிமை எளிமையாக விளக்கப்படலாம்: உண்மையில், மூலைக்கு அருகில் உள்ளதா? கால் என்பது ஹைப்போடென்யூஸின் ப்ராஜெக்ஷன், அதன் நீளம் cos ஆல் பெருக்கப்படும் ஹைப்போடென்யூஸின் நீளத்திற்கு சமம்?.

முதல் எடுத்துக்காட்டில் இருந்து b=4 மற்றும் c=5 மதிப்புகளை மாற்றினால், நாம் பெறுகிறோம்:

இதன் பொருள் எங்கள் அனைத்து சூத்திரங்களும் சரியானவை.

தொடர்பான சூத்திரத்தைப் பெறுவதற்காக நீர் சேர்க்கைமற்றும் கோ நீர் சேர்க்கைகோணத்தில், சில வரையறைகளை கொடுக்க அல்லது நினைவுபடுத்துவது அவசியம். அதனால், நீர் சேர்க்கைகோணம் என்பது ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் எதிர் பக்கத்தின் ஹைப்போடென்யூஸின் விகிதம் (வகுப்பின் அளவு) ஆகும். கோ. நீர் சேர்க்கைகோணம் என்பது ஹைபோடென்ஸுக்கு அருகிலுள்ள காலின் விகிதமாகும்.

வழிமுறைகள்

பயனுள்ள ஆலோசனை

எந்த கோணத்தின் சைன் மற்றும் கொசைன் அளவும் 1 ஐ விட அதிகமாக இருக்கக்கூடாது.

நீர் சேர்க்கைமற்றும் கொசைன்- இவை நேரடி முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள், இதற்கு பல வரையறைகள் உள்ளன - கார்ட்டீசியன் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் ஒரு வட்டத்தின் மூலம், தீர்வுகள் மூலம் வகையீட்டு சமன்பாடு, ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில் கடுமையான கோணங்கள் மூலம். இந்த வரையறைகள் ஒவ்வொன்றும் இந்த இரண்டு செயல்பாடுகளுக்கு இடையிலான உறவைப் பெற அனுமதிக்கிறது. வெளிப்படுத்துவதற்கான எளிய வழி கீழே உள்ளது கொசைன்சைன் மூலம் - செங்கோண முக்கோணத்தின் தீவிர கோணங்களுக்கான அவற்றின் வரையறைகள் மூலம்.

வழிமுறைகள்

பாவத்தை வெளிப்படுத்துங்கள் குறுங்கோணம்இந்த உருவத்தின் பக்கங்களின் நீளம் வழியாக ஒரு செங்கோண முக்கோணம். வரையறையின்படி, ஒரு கோணத்தின் (α) சைன், பக்கத்தின் நீளத்தின் விகிதமாக இருக்க வேண்டும் (அ) அதற்கு எதிரே - கால் - வலது கோணத்திற்கு எதிரே உள்ள பக்கத்தின் நீளத்திற்கு (c) - ஹைப்போடென்யூஸ்: sin(α) = a/c.

இதற்கு ஒத்த சூத்திரத்தைக் கண்டறியவும் கொசைன்ஆனால் அதே கோணம். வரையறையின்படி, இந்த மதிப்பு இந்த கோணத்திற்கு (இரண்டாவது கால்) பக்கத்தின் நீளத்தின் விகிதமாக வெளிப்படுத்தப்பட வேண்டும் (இரண்டாவது கால்) வலது கோணத்திற்கு எதிரே அமைந்துள்ள பக்கத்தின் (c) நீளத்திற்கு: cos(a) = a /சி.

பித்தகோரியன் தேற்றத்தில் இருந்து பின்வரும் சமத்துவத்தை மீண்டும் எழுதவும், அது முந்தைய இரண்டு படிகளில் பெறப்பட்ட கால்கள் மற்றும் ஹைபோடென்யூஸுக்கு இடையிலான உறவுகளை உள்ளடக்கியது. இதைச் செய்ய, முதலில் அசல் தேற்றம் இரண்டையும் (a² + b² = c²) ஹைபோடென்யூஸின் சதுரத்தால் (a²/c² + b²/c² = 1) வகுக்கவும், பின்னர் இந்த வடிவத்தில் சமத்துவத்தை மீண்டும் எழுதவும்: (a/c )² + (b/c )² = 1.

இதன் விளைவாக வரும் வெளிப்பாட்டில், முதல் மற்றும் இரண்டாவது படிகளின் சூத்திரங்களின் அடிப்படையில், கால்களின் நீளம் மற்றும் ஹைபோடென்யூஸின் விகிதத்தை முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளுடன் மாற்றவும்: sin²(a) + cos²(a) = 1. எக்ஸ்பிரஸ் கொசைன்விளைந்த சமத்துவத்திலிருந்து: cos(a) = √(1 - sin²(a)). இதன் மூலம், சிக்கலை பொதுவான வடிவத்தில் தீர்க்க முடியும்.

பொதுவான ஒன்றைத் தவிர, நீங்கள் ஒரு எண் முடிவைப் பெற வேண்டும் என்றால், எடுத்துக்காட்டாக, உள்ளமைக்கப்பட்ட கால்குலேட்டரைப் பயன்படுத்தவும். இயக்க முறைமைவிண்டோஸ். OS மெனுவின் "அனைத்து நிரல்களும்" பிரிவின் "தரநிலை" துணைப்பிரிவில் அதைத் தொடங்குவதற்கான இணைப்பு. இந்த இணைப்பு சுருக்கமாக வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது - "கால்குலேட்டர்". இந்த நிரலுடன் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளை கணக்கிட, அதன் "பொறியியல்" இடைமுகத்தை இயக்கவும் - Alt + 2 விசை கலவையை அழுத்தவும்.

நிபந்தனைகளில் கோணத்தின் சைனின் மதிப்பை உள்ளிட்டு x² எனக் குறிக்கப்பட்ட இடைமுகப் பொத்தானைக் கிளிக் செய்யவும் - இது அசல் மதிப்பை சதுரப்படுத்தும். விசைப்பலகையில் *-1 என டைப் செய்து, Enter ஐ அழுத்தி, +1 ஐ உள்ளிட்டு மீண்டும் Enter ஐ அழுத்தவும் - இந்த வழியில் நீங்கள் சைனின் சதுரத்தை ஒன்றில் இருந்து கழிப்பீர்கள். சதுரத்தைப் பிரித்தெடுக்க தீவிர விசையைக் கிளிக் செய்து இறுதி முடிவைப் பெறவும்.

துல்லியமான அறிவியலின் அடிப்படை அடித்தளங்களில் ஒன்று முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் கருத்து. அவை ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் பக்கங்களுக்கு இடையே உள்ள எளிய உறவுகளை வரையறுக்கின்றன. இந்த செயல்பாடுகளின் குடும்பத்தில் சைன் அடங்கும். கோணம் தெரிந்தால் கண்டுபிடிக்கலாம் பெரிய தொகைசோதனை, கணக்கீட்டு முறைகள் மற்றும் பயன்பாடு உள்ளிட்ட முறைகள் குறிப்பு தகவல்.

உனக்கு தேவைப்படும்

• - கால்குலேட்டர்;
• - கணினி;
• - விரிதாள்கள்;
• - பிராடிஸ் அட்டவணைகள்;
• - காகிதம்;
• - எழுதுகோல்.

வழிமுறைகள்

கோணத்தின் அறிவின் அடிப்படையில் விரும்பிய மதிப்புகளைப் பெற சைன் செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்தவும். எளிமையானவை கூட இன்று ஒரே மாதிரியான செயல்பாட்டைக் கொண்டுள்ளன. இந்த வழக்கில், கணக்கீடுகள் மிகவும் மேற்கொள்ளப்படுகின்றன உயர் பட்டம்துல்லியம் (பொதுவாக எட்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட தசம இடங்கள் வரை).

தனிப்பட்ட கணினியில் இயங்கும் விரிதாள் மென்பொருளைப் பயன்படுத்தவும். Microsoft Office Excel மற்றும் OpenOffice.org Calc போன்ற பயன்பாடுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள். விரும்பிய வாதத்துடன் சைன் செயல்பாட்டை அழைப்பதைக் கொண்ட ஒரு சூத்திரத்தை எந்த கலத்திலும் உள்ளிடவும். Enter ஐ அழுத்தவும். தேவையான மதிப்பு கலத்தில் காட்டப்படும். விரிதாள்களின் நன்மை என்னவென்றால், அவை பெரிய அளவிலான வாதங்களுக்கான செயல்பாட்டு மதிப்புகளை விரைவாகக் கணக்கிட முடியும்.

பிராடிஸ் அட்டவணைகள் இருந்தால், கோணத்தின் சைனின் தோராயமான மதிப்பைக் கண்டறியவும். அவற்றின் குறைபாடு மதிப்புகளின் துல்லியம், நான்கு தசம இடங்களுக்கு மட்டுப்படுத்தப்பட்டுள்ளது.

வடிவியல் கட்டுமானங்களைச் செய்வதன் மூலம் கோணத்தின் சைனின் தோராயமான மதிப்பைக் கண்டறியவும். ஒரு துண்டு காகிதத்தில் ஒரு கோடு பகுதியை வரையவும். ஒரு ப்ராட்ராக்டரைப் பயன்படுத்தி, நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டிய சைன் கோணத்தைக் குறிக்கவும். சில புள்ளியில் முதல் ஒன்றை வெட்டும் மற்றொரு கோடு பகுதியை வரையவும். முதல் பகுதிக்கு செங்குத்தாக, ஏற்கனவே உள்ள இரண்டு பிரிவுகளை வெட்டும் ஒரு நேர்கோட்டை வரையவும். நீங்கள் ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தைப் பெறுவீர்கள். ஒரு ப்ராட்ராக்டரைப் பயன்படுத்தி கட்டப்பட்ட கோணத்திற்கு எதிரே அதன் ஹைப்போடென்யூஸின் நீளத்தையும் கால்களையும் அளவிடவும். இரண்டாவது மதிப்பை முதல் மதிப்பால் வகுக்கவும். இது விரும்பிய மதிப்பாக இருக்கும்.

டெய்லர் தொடர் விரிவாக்கத்தைப் பயன்படுத்தி கோணத்தின் சைனைக் கணக்கிடவும். கோணம் டிகிரியில் இருந்தால், அதை ரேடியன்களாக மாற்றவும். இது போன்ற சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தவும்: sin(x) = x - (x^3)/3! + (x^5)/5! - (x^7)/7! + (x^9)/9! - ... கணக்கீடுகளின் வேகத்தை அதிகரிக்க, தொடரின் கடைசி காலத்தின் எண் மற்றும் வகுப்பின் தற்போதைய மதிப்பை எழுதவும், முந்தைய மதிப்பின் அடிப்படையில் அடுத்த மதிப்பைக் கணக்கிடவும். மிகவும் துல்லியமான அளவீட்டைப் பெற வரிசையின் நீளத்தை அதிகரிக்கவும்.

வலது முக்கோணம்

சைன் மற்றும் கொசைன் முதலில் வலது முக்கோணங்களில் அளவுகளைக் கணக்கிட வேண்டியதன் அவசியத்திலிருந்து எழுந்தது. ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில் உள்ள கோணங்களின் டிகிரி அளவை மாற்றவில்லை என்றால், விகித விகிதம், இந்தப் பக்கங்களின் நீளம் எவ்வளவு மாறினாலும், எப்போதும் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும்.

சைன் மற்றும் கொசைன் என்ற கருத்துக்கள் இப்படித்தான் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டன. ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில் ஒரு தீவிர கோணத்தின் சைன் என்பது எதிர் பக்கத்தின் ஹைப்போடென்யூஸின் விகிதமாகும், மேலும் கொசைன் என்பது ஹைப்போடென்ஸுக்கு அருகில் உள்ள பக்கத்தின் விகிதமாகும்.

கொசைன்கள் மற்றும் சைன்களின் கோட்பாடுகள்

ஆனால் கோசைன்கள் மற்றும் சைன்கள் செங்கோண முக்கோணங்களை விட அதிகமாக பயன்படுத்தப்படலாம். எந்தவொரு முக்கோணத்தின் மழுங்கிய அல்லது கூர்மையான கோணம் அல்லது பக்கத்தின் மதிப்பைக் கண்டறிய, கோசைன்கள் மற்றும் சைன்களின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தினால் போதும்.

கொசைன் தேற்றம் மிகவும் எளிமையானது: "ஒரு முக்கோணத்தின் ஒரு பக்கத்தின் சதுரமானது, மற்ற இரு பக்கங்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமமாக இருக்கும், அந்த பக்கங்களின் பெருக்கத்தின் இரு மடங்கு மற்றும் அவற்றுக்கிடையே உள்ள கோணத்தின் கொசைன்."

சைன் தேற்றத்திற்கு இரண்டு விளக்கங்கள் உள்ளன: சிறிய மற்றும் நீட்டிக்கப்பட்ட. சிறியவரின் கூற்றுப்படி: "ஒரு முக்கோணத்தில், கோணங்கள் எதிர் பக்கங்களுக்கு விகிதாசாரமாக இருக்கும்." ஒரு முக்கோணத்தின் சுற்றப்பட்ட வட்டத்தின் பண்பு காரணமாக இந்த தேற்றம் அடிக்கடி விரிவடைகிறது: "ஒரு முக்கோணத்தில், கோணங்கள் எதிர் பக்கங்களுக்கு விகிதாசாரமாக இருக்கும், மேலும் அவற்றின் விகிதம் சுற்றப்பட்ட வட்டத்தின் விட்டத்திற்கு சமமாக இருக்கும்."

வழித்தோன்றல்கள்

வழித்தோன்றல் என்பது ஒரு கணிதக் கருவியாகும், இது ஒரு செயல்பாடு அதன் வாதத்தில் ஏற்படும் மாற்றத்துடன் எவ்வளவு விரைவாக மாறுகிறது என்பதைக் காட்டுகிறது. டெரிவேடிவ்கள் வடிவவியலில் மற்றும் பல தொழில்நுட்ப துறைகளில் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

சிக்கல்களைத் தீர்க்கும்போது, ​​​​முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றல்களின் அட்டவணை மதிப்புகளை நீங்கள் அறிந்து கொள்ள வேண்டும்: சைன் மற்றும் கொசைன். ஒரு சைனின் வழித்தோன்றல் ஒரு கொசைன், மற்றும் ஒரு கொசைன் ஒரு சைன், ஆனால் ஒரு கழித்தல் அடையாளத்துடன்.

கணிதத்தில் விண்ணப்பம்

செங்கோண முக்கோணங்கள் மற்றும் அவற்றுடன் தொடர்புடைய சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதில் சைன்கள் மற்றும் கொசைன்கள் பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

சைன்கள் மற்றும் கொசைன்களின் வசதியும் தொழில்நுட்பத்தில் பிரதிபலிக்கிறது. சிக்கலான வடிவங்கள் மற்றும் பொருள்களை "எளிய" முக்கோணங்களாக உடைத்து, கோசைன் மற்றும் சைன் தேற்றங்களைப் பயன்படுத்தி கோணங்களும் பக்கங்களும் எளிதாக மதிப்பிடப்பட்டன. விகிதங்கள் மற்றும் டிகிரி அளவீடுகளின் கணக்கீடுகளை அடிக்கடி கையாளும் பொறியாளர்கள் அட்டவணை அல்லாத கோணங்களின் கோசைன்கள் மற்றும் சைன்களைக் கணக்கிடுவதற்கு நிறைய நேரத்தையும் முயற்சியையும் செலவழித்தனர்.

பின்னர் பிராடிஸ் அட்டவணைகள் மீட்புக்கு வந்தன, இதில் ஆயிரக்கணக்கான மதிப்புகள் சைன்கள், கொசைன்கள், டேன்ஜென்ட்கள் மற்றும் வெவ்வேறு கோணங்களின் கோட்டான்ஜென்ட்கள் உள்ளன. IN சோவியத் காலம்சில ஆசிரியர்கள் தங்கள் மாணவர்களை பிராடிஸ் அட்டவணையின் பக்கங்களை மனப்பாடம் செய்யும்படி கட்டாயப்படுத்தினர்.

ரேடியன் என்பது வளைவின் கோண மதிப்பாகும், அதன் நீளம் ஆரம் அல்லது 57.295779513° டிகிரிக்கு சமமாக இருக்கும்.

ஒரு பட்டம் (வடிவவியலில்) என்பது ஒரு வட்டத்தின் 1/360வது அல்லது வலது கோணத்தில் 1/90வது.

π = 3.141592653589793238462… (பையின் தோராயமான மதிப்பு).

கோணங்களுக்கான கோசைன் அட்டவணை: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°.

முக்கோணவியல் பற்றிய நமது ஆய்வை வலது முக்கோணத்துடன் தொடங்குவோம். சைன் மற்றும் கொசைன் என்றால் என்ன, அதே போல் கடுமையான கோணத்தின் தொடுகோடு மற்றும் கோடேன்ஜென்ட் ஆகியவற்றை வரையறுப்போம். இதுவே முக்கோணவியலின் அடிப்படை.

அதை உங்களுக்கு நினைவூட்டுவோம் வலது கோணம் 90 டிகிரிக்கு சமமான கோணம். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், அரை திரும்பிய கோணம்.

கூர்மையான மூலை- 90 டிகிரிக்கு குறைவாக.

மழுங்கிய கோணம்- 90 டிகிரிக்கு மேல். அத்தகைய கோணம் தொடர்பாக, "ஒழுங்கானது" என்பது ஒரு அவமானம் அல்ல, ஆனால் ஒரு கணித சொல் :-)

ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தை வரைவோம். ஒரு வலது கோணம் பொதுவாக குறிக்கப்படுகிறது. மூலைக்கு எதிரே உள்ள பக்கம் அதே கடிதத்தால் குறிக்கப்படுகிறது, சிறியது மட்டுமே என்பதை நினைவில் கொள்க. எனவே, எதிர் கோணம் A குறிக்கப்படுகிறது.

கோணம் தொடர்புடைய கிரேக்க எழுத்தால் குறிக்கப்படுகிறது.

ஹைபோடென்யூஸ்ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் வலது கோணத்திற்கு எதிரே உள்ள பக்கமாகும்.

கால்கள்- எதிர் கடுமையான கோணங்களில் இருக்கும் பக்கங்கள்.

கோணத்திற்கு எதிரே இருக்கும் கால் அழைக்கப்படுகிறது எதிர்(கோணத்துடன் தொடர்புடையது). கோணத்தின் ஒரு பக்கமாக இருக்கும் மற்ற கால் அழைக்கப்படுகிறது அருகில்.

நீர் சேர்க்கைஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில் உள்ள கடுமையான கோணம் என்பது ஹைப்போடென்ஸுக்கு எதிர் பக்கத்தின் விகிதமாகும்:

கொசைன்ஒரு வலது முக்கோணத்தில் கடுமையான கோணம் - ஹைபோடென்ஸுக்கு அருகிலுள்ள காலின் விகிதம்:

தொடுகோடுஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில் கடுமையான கோணம் - எதிர் பக்கத்தின் அடுத்த பக்கத்தின் விகிதம்:

மற்றொரு (சமமான) வரையறை: கடுமையான கோணத்தின் தொடுகோடு என்பது கோணத்தின் சைன் மற்றும் அதன் கோசைன் விகிதமாகும்:

கோட்டான்ஜென்ட்ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில் கடுமையான கோணம் - எதிரெதிர் பக்கத்திற்கு அருகிலுள்ள பக்கத்தின் விகிதம் (அல்லது, இது ஒன்றுதான், கோசைன் மற்றும் சைன் விகிதம்):

சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோடேன்ஜென்ட் ஆகியவற்றிற்கான அடிப்படை உறவுகளை கீழே கவனியுங்கள். பிரச்சனைகளை தீர்க்கும் போது அவை நமக்கு பயனுள்ளதாக இருக்கும்.

அவற்றில் சிலவற்றை நிரூபிப்போம்.

சரி, நாங்கள் வரையறைகளை வழங்கியுள்ளோம் மற்றும் சூத்திரங்களை எழுதினோம். ஆனால் நமக்கு ஏன் இன்னும் சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோடேன்ஜென்ட் தேவை?

எங்களுக்கு தெரியும் எந்த முக்கோணத்தின் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை சமம்.

இடையே உள்ள உறவை நாம் அறிவோம் கட்சிகள்வலது முக்கோணம். இது பித்தகோரியன் தேற்றம்: .

ஒரு முக்கோணத்தில் இரண்டு கோணங்களை அறிந்தால், மூன்றாவதாக நீங்கள் கண்டுபிடிக்கலாம். ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் இரு பக்கங்களையும் தெரிந்து கொண்டால், மூன்றாவதாகக் காணலாம். இதன் பொருள் கோணங்கள் அவற்றின் சொந்த விகிதத்தைக் கொண்டுள்ளன, பக்கங்களும் அவற்றின் சொந்த விகிதத்தைக் கொண்டுள்ளன. ஆனால் ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில் உங்களுக்கு ஒரு கோணம் (வலது கோணம் தவிர) மற்றும் ஒரு பக்கம் தெரிந்தால் நீங்கள் என்ன செய்ய வேண்டும், ஆனால் நீங்கள் மற்ற பக்கங்களைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்?

இப்பகுதி மற்றும் விண்மீன்கள் நிறைந்த வானத்தின் வரைபடங்களை உருவாக்கும் போது கடந்த காலத்தில் மக்கள் சந்தித்தது இதுதான். எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, ஒரு முக்கோணத்தின் அனைத்து பக்கங்களையும் நேரடியாக அளவிடுவது எப்போதும் சாத்தியமில்லை.

சைன், கொசைன் மற்றும் டேன்ஜென்ட் - அவை என்றும் அழைக்கப்படுகின்றன முக்கோணவியல் கோண செயல்பாடுகள்- இடையே உறவுகளை கொடுங்கள் கட்சிகள்மற்றும் மூலைகள்முக்கோணம். கோணத்தை அறிந்தால், சிறப்பு அட்டவணைகளைப் பயன்படுத்தி அதன் அனைத்து முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளையும் நீங்கள் காணலாம். ஒரு முக்கோணத்தின் கோணங்கள் மற்றும் அதன் பக்கங்களில் ஒன்றின் சைன்கள், கோசைன்கள் மற்றும் தொடுகோடுகளை அறிந்தால், மீதமுள்ளவற்றை நீங்கள் கண்டுபிடிக்கலாம்.

"நல்ல" கோணங்களுக்கு சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட் ஆகியவற்றின் மதிப்புகளின் அட்டவணையையும் வரைவோம்.

அட்டவணையில் உள்ள இரண்டு சிவப்பு கோடுகளைக் கவனியுங்கள். பொருத்தமான கோண மதிப்புகளில், தொடுகோடு மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட் இல்லை.

FIPI பணி வங்கியின் பல முக்கோணவியல் சிக்கல்களைப் பார்ப்போம்.

1. ஒரு முக்கோணத்தில், கோணம் , . கண்டுபிடி .

பிரச்சனை நான்கு வினாடிகளில் தீர்க்கப்படுகிறது.

ஏனெனில் , .

2. ஒரு முக்கோணத்தில், கோணம் , , . கண்டுபிடி .

பித்தகோரியன் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி அதைக் கண்டுபிடிப்போம்.

பிரச்சனை தீர்ந்துவிட்டது.

பெரும்பாலும் சிக்கல்களில் முக்கோணங்கள் மற்றும் அல்லது கோணங்களுடன் முக்கோணங்கள் உள்ளன. அவர்களுக்கான அடிப்படை விகிதங்களை இதயத்தால் நினைவில் கொள்ளுங்கள்!

கோணங்களைக் கொண்ட ஒரு முக்கோணத்திற்கு மற்றும் கோணத்திற்கு எதிரே உள்ள கால் சமமாக இருக்கும் ஹைப்போடென்யூஸின் பாதி.

கோணங்களைக் கொண்ட ஒரு முக்கோணம் மற்றும் ஐசோசெல்ஸ் ஆகும். அதில், ஹைப்போடென்யூஸ் காலை விட மடங்கு பெரியது.

செங்கோண முக்கோணங்களைத் தீர்ப்பதில் உள்ள சிக்கல்களைப் பார்த்தோம் - அதாவது, தெரியாத பக்கங்கள் அல்லது கோணங்களைக் கண்டறிதல். ஆனால் அதெல்லாம் இல்லை! IN ஒருங்கிணைந்த மாநில தேர்வு விருப்பங்கள்கணிதத்தில் ஒரு முக்கோணத்தின் வெளிப்புறக் கோணத்தின் சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட் அல்லது கோடேன்ஜென்ட் சம்பந்தப்பட்ட பல சிக்கல்கள் உள்ளன. அடுத்த கட்டுரையில் இதைப் பற்றி மேலும்.