நிலையான குணகங்களுடன் கூடிய உயர் வரிசை சமன்பாடுகள். டம்மிகளுக்கான வேறுபட்ட சமன்பாடுகள். தீர்வுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்

பெரும்பாலும் ஒரு குறிப்பு வேறுபட்ட சமன்பாடுகள் மாணவர்களை அசௌகரியமாக உணர வைக்கிறது. இது ஏன் நடக்கிறது? பெரும்பாலும், பொருளின் அடிப்படைகளைப் படிக்கும் போது, ​​அறிவில் ஒரு இடைவெளி எழுகிறது, இதன் காரணமாக டிஃபர்களைப் பற்றிய கூடுதல் ஆய்வு வெறுமனே சித்திரவதையாகிறது. என்ன செய்வது, எப்படி முடிவு செய்வது, எங்கு தொடங்குவது என்பது தெளிவாகத் தெரியவில்லை?

இருப்பினும், டிஃபர்கள் தோன்றும் அளவுக்கு கடினமானவை அல்ல என்பதை நாங்கள் உங்களுக்குக் காட்ட முயற்சிப்போம்.

வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் கோட்பாட்டின் அடிப்படைக் கருத்துக்கள்

அறியப்படாத x ஐக் கண்டுபிடிக்க வேண்டிய எளிய சமன்பாடுகளை பள்ளியில் இருந்து நாம் அறிவோம். முக்கியமாக வேறுபட்ட சமன்பாடுகள்அவற்றிலிருந்து சற்று வித்தியாசமானது - ஒரு மாறிக்கு பதிலாக எக்ஸ் அவற்றில் ஒரு செயல்பாட்டை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் y(x) , இது சமன்பாட்டை அடையாளமாக மாற்றும்.

டி வேறுபட்ட சமன்பாடுகள்நடைமுறை முக்கியத்துவம் வாய்ந்தவை. இது நம்மைச் சுற்றியுள்ள உலகத்துடன் எந்தத் தொடர்பும் இல்லாத சுருக்கக் கணிதம் அல்ல. பல உண்மையான இயற்கை செயல்முறைகள் வேறுபட்ட சமன்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி விவரிக்கப்பட்டுள்ளன. எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு சரத்தின் அதிர்வுகள், ஒரு ஹார்மோனிக் ஆஸிலேட்டரின் இயக்கம், இயக்கவியலின் சிக்கல்களில் வேறுபட்ட சமன்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி, உடலின் வேகம் மற்றும் முடுக்கம் ஆகியவற்றைக் கண்டறியவும். மேலும் DUஉயிரியல், வேதியியல், பொருளாதாரம் மற்றும் பல அறிவியல்களில் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

வேறுபட்ட சமன்பாடு (DU) என்பது y(x) செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்கள், சார்பற்ற மாறிகள் மற்றும் பல்வேறு சேர்க்கைகளில் உள்ள பிற அளவுருக்கள் ஆகியவற்றைக் கொண்ட ஒரு சமன்பாடு ஆகும்.

பல வகையான வேறுபட்ட சமன்பாடுகள் உள்ளன: சாதாரண வேறுபாடு சமன்பாடுகள், நேரியல் மற்றும் நேரியல் அல்லாத, ஒரே மாதிரியான மற்றும் ஒத்திசைவற்ற, முதல் மற்றும் உயர் வரிசை வேறுபாடு சமன்பாடுகள், பகுதி வேறுபாடு சமன்பாடுகள் மற்றும் பல.

வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்கான தீர்வு, அதை அடையாளமாக மாற்றும் செயல்பாடாகும். ரிமோட் கண்ட்ரோலுக்கு பொதுவான மற்றும் குறிப்பிட்ட தீர்வுகள் உள்ளன.

வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்கான பொதுவான தீர்வு என்பது சமன்பாட்டை அடையாளமாக மாற்றும் பொதுவான தீர்வுகளின் தொகுப்பாகும். வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் ஒரு பகுதி தீர்வு என்பது ஆரம்பத்தில் குறிப்பிடப்பட்ட கூடுதல் நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்யும் ஒரு தீர்வாகும்.

வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் வரிசை அதன் வழித்தோன்றல்களின் மிக உயர்ந்த வரிசையால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது.

சாதாரண வேறுபாடு சமன்பாடுகள்

சாதாரண வேறுபாடு சமன்பாடுகள்ஒரு சுயாதீன மாறியைக் கொண்ட சமன்பாடுகள்.

முதல் வரிசையின் எளிய சாதாரண வேறுபாடு சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்வோம். இது போல் தெரிகிறது:

அத்தகைய சமன்பாட்டை அதன் வலது பக்கத்தை ஒருங்கிணைப்பதன் மூலம் தீர்க்க முடியும்.

அத்தகைய சமன்பாடுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்:

பிரிக்கக்கூடிய சமன்பாடுகள்

பொதுவாக, இந்த வகை சமன்பாடு இதுபோல் தெரிகிறது:

இங்கே ஒரு உதாரணம்:

அத்தகைய சமன்பாட்டை தீர்க்கும் போது, ​​நீங்கள் மாறிகளை பிரிக்க வேண்டும், அதை வடிவத்திற்கு கொண்டு வர வேண்டும்:

இதற்குப் பிறகு, இரு பகுதிகளையும் ஒருங்கிணைத்து ஒரு தீர்வைப் பெற இது உள்ளது.

முதல் வரிசையின் நேரியல் வேறுபாடு சமன்பாடுகள்

அத்தகைய சமன்பாடுகள் இப்படி இருக்கும்:

இங்கே p(x) மற்றும் q(x) ஆகியவை சார்பற்ற மாறியின் சில செயல்பாடுகள், மற்றும் y=y(x) என்பது விரும்பிய செயல்பாடு. அத்தகைய சமன்பாட்டின் எடுத்துக்காட்டு இங்கே:

அத்தகைய சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும் போது, ​​பெரும்பாலும் அவை தன்னிச்சையான மாறிலியை மாற்றும் முறையைப் பயன்படுத்துகின்றன அல்லது y(x)=u(x)v(x) என்ற இரண்டு செயல்பாடுகளின் பெருக்கமாக விரும்பிய செயல்பாட்டைக் குறிக்கின்றன.

அத்தகைய சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க, சில தயாரிப்புகள் தேவை மற்றும் அவற்றை "ஒரு பார்வையில்" எடுத்துக்கொள்வது மிகவும் கடினமாக இருக்கும்.

பிரிக்கக்கூடிய மாறிகள் மூலம் வேறுபட்ட சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டு

எனவே ரிமோட் கண்ட்ரோலின் எளிமையான வகைகளைப் பார்த்தோம். இப்போது அவற்றில் ஒன்றின் தீர்வைப் பார்ப்போம். இது பிரிக்கக்கூடிய மாறிகள் கொண்ட சமன்பாடாக இருக்கட்டும்.

முதலில், வழித்தோன்றலை மிகவும் பழக்கமான வடிவத்தில் மீண்டும் எழுதுவோம்:

பின்னர் நாம் மாறிகளைப் பிரிக்கிறோம், அதாவது, சமன்பாட்டின் ஒரு பகுதியில் அனைத்து "நான்"களையும், மற்றொன்றில் - "எக்ஸ்"களையும் சேகரிக்கிறோம்:

இப்போது இரண்டு பகுதிகளையும் ஒருங்கிணைக்க உள்ளது:

நாங்கள் ஒருங்கிணைத்து பெறுகிறோம் பொதுவான தீர்வுஇந்த சமன்பாட்டின்:

நிச்சயமாக, வேறுபட்ட சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது ஒரு வகையான கலை. ஒரு சமன்பாடு எந்த வகையைச் சேர்ந்தது என்பதை நீங்கள் புரிந்து கொள்ள வேண்டும், மேலும் ஒரு வடிவத்திற்கு அல்லது இன்னொரு வடிவத்திற்கு இட்டுச் செல்வதற்கு என்ன மாற்றங்களைச் செய்ய வேண்டும் என்பதைப் பார்க்கவும் கற்றுக்கொள்ள வேண்டும், வேறுபடுத்தி மற்றும் ஒருங்கிணைக்கும் திறனைக் குறிப்பிடவில்லை. DE ஐ தீர்ப்பதில் வெற்றிபெற, உங்களுக்கு பயிற்சி தேவை (எல்லாவற்றையும் போல). வேறுபட்ட சமன்பாடுகள் எவ்வாறு தீர்க்கப்படுகின்றன என்பதைப் புரிந்துகொள்ள உங்களுக்கு தற்போது நேரம் இல்லையென்றால் அல்லது Cauchy பிரச்சனை உங்கள் தொண்டையில் எலும்பைப் போல சிக்கியிருந்தால் அல்லது உங்களுக்குத் தெரியாவிட்டால், எங்கள் ஆசிரியர்களைத் தொடர்புகொள்ளவும். குறுகிய காலத்தில், நாங்கள் உங்களுக்கு ஒரு ஆயத்த மற்றும் விரிவான தீர்வை வழங்குவோம், அதன் விவரங்கள் உங்களுக்கு வசதியான எந்த நேரத்திலும் நீங்கள் புரிந்து கொள்ள முடியும். இதற்கிடையில், "வேறுபட்ட சமன்பாடுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது" என்ற தலைப்பில் ஒரு வீடியோவைப் பார்க்க பரிந்துரைக்கிறோம்:

கம்ப்யூட்டிங் கோட்பாடு சீரற்ற வேறுபாடு சமன்பாடுகள்(DU) இந்த வெளியீட்டில் கொடுக்கப்படாது; முந்தைய பாடங்களில் இருந்து நீங்கள் கேள்விக்கான பதிலைக் கண்டுபிடிக்க போதுமான தகவல்களைக் காணலாம் "ஒத்திசைவற்ற வேறுபட்ட சமன்பாட்டை எவ்வாறு தீர்ப்பது?"ஒத்திசைவற்ற DE இன் அளவு இங்கே ஒரு பெரிய பாத்திரத்தை வகிக்காது, அத்தகைய DE களின் தீர்வைக் கணக்கிட அனுமதிக்கும் பல முறைகள் இல்லை. எடுத்துக்காட்டுகளில் உள்ள பதில்களைப் படிப்பதை எளிதாக்க, கணக்கீட்டு முறை மற்றும் இறுதிச் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலை எளிதாக்கும் உதவிக்குறிப்புகளுக்கு மட்டுமே முக்கிய முக்கியத்துவம் கொடுக்கப்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டு 1. வேறுபட்ட சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்
தீர்வு: கொடுக்கப்பட்டது ஒரே மாதிரியான வேறுபாடு சமன்பாடு மூன்றாவது வரிசை, மேலும், இது இரண்டாவது மற்றும் மூன்றாவது வழித்தோன்றல்களை மட்டுமே கொண்டுள்ளது மற்றும் ஒரு செயல்பாடு மற்றும் அதன் முதல் வழித்தோன்றல் இல்லை. அத்தகைய சந்தர்ப்பங்களில் பட்டத்தை குறைக்கும் முறையைப் பயன்படுத்துங்கள்வேறுபட்ட சமன்பாடு. இதைச் செய்ய, ஒரு அளவுருவை அறிமுகப்படுத்தவும் - p என்ற அளவுரு மூலம் இரண்டாவது வழித்தோன்றலைக் குறிக்கவும்.

செயல்பாட்டின் மூன்றாவது வழித்தோன்றல் சமமாக இருக்கும்

அசல் ஒரே மாதிரியான DE படிவத்தில் எளிமைப்படுத்தப்படும்

நாங்கள் அதை வேறுபடுத்தி எழுதுகிறோம் பிரிக்கப்பட்ட மாறி சமன்பாட்டிற்கு குறைக்கவும்மற்றும் ஒருங்கிணைப்பு மூலம் தீர்வு காணலாம்

அளவுரு என்பது செயல்பாட்டின் இரண்டாவது வழித்தோன்றல் என்பதை நினைவில் கொள்ளுங்கள்

எனவே, செயல்பாட்டிற்கான சூத்திரத்தைக் கண்டறிய, கண்டுபிடிக்கப்பட்ட வேறுபட்ட சார்புநிலையை இருமுறை ஒருங்கிணைக்கிறோம்

செயல்பாட்டில், C 1, C 2, C 3 மதிப்புகள் தன்னிச்சையான மதிப்புகளுக்கு சமம்.
இந்த திட்டம் மிகவும் எளிமையானது: ஒரு அளவுருவை அறிமுகப்படுத்துவதன் மூலம் ஒரே மாதிரியான வேறுபாடு சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வைக் கண்டறியவும்.பின்வரும் சிக்கல்கள் மிகவும் சிக்கலானவை மற்றும் அவற்றிலிருந்து நீங்கள் மூன்றாம் வரிசை ஒத்திசைவற்ற வேறுபட்ட சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க கற்றுக்கொள்வீர்கள். நீங்கள் இப்போது பார்ப்பது போல, கணக்கீடுகளின் அடிப்படையில் ஒரேவிதமான மற்றும் பன்முக கட்டுப்பாட்டு அமைப்புகளுக்கு இடையே சில வேறுபாடுகள் உள்ளன.

எடுத்துக்காட்டு 2. கண்டுபிடி
தீர்வு: எங்களிடம் மூன்றாவது ஆர்டர் உள்ளது. எனவே, அதன் தீர்வு இரண்டின் கூட்டுத்தொகை வடிவத்தில் தேடப்பட வேண்டும் - ஒரே மாதிரியான ஒரு தீர்வு மற்றும் ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வு அல்ல. ஒரே மாதிரியான சமன்பாடு

முதலில் முடிவு செய்வோம்

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, இது செயல்பாட்டின் இரண்டாவது மற்றும் மூன்றாவது வழித்தோன்றல்களை மட்டுமே கொண்டுள்ளது மற்றும் செயல்பாட்டைக் கொண்டிருக்கவில்லை. இந்த வகையான வேறுபாடு ஒரு அளவுருவை அறிமுகப்படுத்துவதன் மூலம் சமன்பாடுகள் தீர்க்கப்படுகின்றனஇதையொட்டி, சமன்பாட்டிற்கான தீர்வைக் குறைத்து எளிதாக்குகிறது. நடைமுறையில், இது போல் தெரிகிறது: இரண்டாவது வழித்தோன்றல் ஒரு குறிப்பிட்ட செயல்பாட்டிற்கு சமமாக இருக்கட்டும், பின்னர் மூன்றாவது வழித்தோன்றல் முறையாக குறியீட்டைக் கொண்டிருக்கும்

3 வது வரிசையின் கருதப்படும் ஒரே மாதிரியான வேறுபாடு சமன்பாடு முதல் வரிசை சமன்பாட்டிற்கு மாற்றப்படுகிறது

எங்கிருந்து, மாறிகளைப் பிரிப்பதன் மூலம், நாம் ஒருங்கிணைப்பைக் காண்கிறோம்
x*dp-p*dx=0;

3 வது வரிசை வேறுபாடு சமன்பாட்டின் தீர்வு 3 மாறிலிகள், நான்காவது வரிசையில் 4 மாறிலிகள் மற்றும் ஒப்புமை மூலம் சூத்திரங்களை எண்ணிட பரிந்துரைக்கிறோம். இப்போது நாம் அறிமுகப்படுத்தப்பட்ட அளவுருவுக்குத் திரும்புகிறோம்: இரண்டாவது வழித்தோன்றலுக்கு வடிவம் இருப்பதால், செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலுக்கு ஒரு சார்பு இருக்கும்போது அதை ஒருங்கிணைக்கிறோம்.

மீண்டும் மீண்டும் ஒருங்கிணைப்பதன் மூலம் நாம் காண்கிறோம் பொதுவான பார்வைஒரே மாதிரியான செயல்பாடு

சமன்பாட்டின் பகுதி தீர்வுமடக்கையால் பெருக்கப்படும் மாறியாக எழுதுவோம். DE இன் வலது (ஒத்திசைவற்ற) பகுதி -1/x க்கு சமம் மற்றும் சமமான குறியீட்டைப் பெறுவதற்கு இது பின்வருமாறு.

தீர்வு வடிவில் தேடப்பட வேண்டும்

குணகம் A ஐக் கண்டுபிடிப்போம், இதற்காக முதல் மற்றும் இரண்டாவது ஆர்டர்களின் வழித்தோன்றல்களைக் கணக்கிடுகிறோம்

கண்டுபிடிக்கப்பட்ட வெளிப்பாடுகளை அசல் வேறுபாடு சமன்பாட்டில் மாற்றுவோம் மற்றும் x இன் அதே சக்திகளில் குணகங்களை சமன் செய்வோம்:

எஃகு மதிப்பு -1/2 க்கு சமம், மற்றும் வடிவம் உள்ளது

வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வுகிடைத்த தொகையின் கூட்டுத்தொகையாக எழுதுங்கள்

C 1, C 2, C 3 ஆகியவை தன்னிச்சையான மாறிலிகள், அவை Cauchy சிக்கலைப் பயன்படுத்தி சுத்திகரிக்கப்படலாம்.

எடுத்துக்காட்டு 3. மூன்றாவது வரிசை DE இன் ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டறியவும்
தீர்வு: ஒரே மாதிரியான மற்றும் பகுதியளவு ஒத்திசைவற்ற சமன்பாட்டிற்கான தீர்வுகளின் கூட்டுத்தொகை வடிவத்தில் மூன்றாம் வரிசை ஒத்திசைவற்ற வேறுபாடு சமன்பாட்டின் பொதுவான ஒருங்கிணைப்பை நாங்கள் தேடுகிறோம். முதலில், எந்த வகையான சமன்பாட்டிற்கும் நாம் தொடங்குகிறோம் ஒரே மாதிரியான வேறுபாடு சமன்பாட்டை பகுப்பாய்வு செய்யுங்கள்

இது தற்போது அறியப்படாத செயல்பாட்டின் இரண்டாவது மற்றும் மூன்றாவது வழித்தோன்றல்களை மட்டுமே கொண்டுள்ளது. மாறிகளின் மாற்றத்தை (அளவுரு) அறிமுகப்படுத்துகிறோம்: இரண்டாவது வழித்தோன்றலால் குறிக்கிறோம்

பின்னர் மூன்றாவது வழித்தோன்றல் சமம்

முந்தைய பணியிலும் அதே மாற்றங்கள் செய்யப்பட்டன. இது அனுமதிக்கிறது படிவத்தின் முதல் வரிசை சமன்பாட்டிற்கு மூன்றாம் வரிசை வேறுபாடு சமன்பாட்டைக் குறைக்கவும்

ஒருங்கிணைப்பு மூலம் நாம் கண்டுபிடிக்கிறோம்

மாறிகளின் மாற்றத்திற்கு ஏற்ப, இது இரண்டாவது வழித்தோன்றல் என்பதை நாங்கள் நினைவுபடுத்துகிறோம்

மற்றும் ஒரே மாதிரியான மூன்றாம் வரிசை வேறுபாடு சமன்பாட்டிற்கு தீர்வு காண, அதை இரண்டு முறை ஒருங்கிணைக்க வேண்டும்.

வலது பக்க வகையின் அடிப்படையில் (சீரான பகுதி =x+1), வடிவத்தில் சமன்பாட்டிற்கு ஒரு பகுதி தீர்வைத் தேடுகிறோம்

ஒரு பகுதி தீர்வை எந்த வடிவத்தில் தேடுவது என்பதை எப்படி தெரிந்து கொள்வது என்பது வேறுபட்ட சமன்பாடுகள் குறித்த பாடத்தின் கோட்பாட்டுப் பகுதியில் நீங்கள் கற்பித்திருக்க வேண்டும். இல்லையெனில், செயல்பாட்டிற்கு ஒரு வெளிப்பாட்டைத் தேர்ந்தெடுக்க வேண்டும் என்று மட்டுமே பரிந்துரைக்க முடியும், அதாவது சமன்பாட்டில் மாற்றியமைக்கும்போது, ​​உயர்ந்த வழித்தோன்றல் அல்லது இளையதைக் கொண்ட சொல் சமன்பாட்டின் ஒத்திசைவற்ற பகுதிக்கு ஒரே வரிசையில் (ஒத்த) இருக்கும்.

தனிப்பட்ட தீர்வு வகை எங்கிருந்து வருகிறது என்பது இப்போது உங்களுக்கு தெளிவாகத் தெரிகிறது என்று நினைக்கிறேன். A, B குணகங்களைக் கண்டுபிடிப்போம், இதற்காக செயல்பாட்டின் இரண்டாவது மற்றும் மூன்றாவது வழித்தோன்றல்களைக் கணக்கிடுகிறோம்

மற்றும் அதை வேறுபட்ட சமன்பாட்டில் மாற்றவும். ஒத்த சொற்களை தொகுத்த பிறகு, நேரியல் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்

இதில் இருந்து, மாறியின் அதே அதிகாரங்களுக்கு சமன்பாடுகளின் அமைப்பை உருவாக்கவும்

மற்றும் தெரியாத இரும்புகள் கண்டுபிடிக்க. அவற்றின் மாற்றீட்டிற்குப் பிறகு, அது சார்பு மூலம் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது

வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வுஒரே மாதிரியான மற்றும் பகுதியின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம் மற்றும் வடிவம் கொண்டது

இதில் C 1, C 2, C 3 ஆகியவை தன்னிச்சையான மாறிலிகள்.

எடுத்துக்காட்டு 4. பி வேறுபட்ட சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்
தீர்வு: எங்களிடம் ஒரு தீர்வு உள்ளது, அதை நாம் தொகை மூலம் கண்டுபிடிப்போம். கணக்கீட்டுத் திட்டம் உங்களுக்குத் தெரியும், எனவே கருத்தில் கொள்ள செல்லலாம் ஒரே மாதிரியான வேறுபாடு சமன்பாடு

மூலம் நிலையான முறை அளவுருவை உள்ளிடவும்
ஆரம்ப வேறுபாடு சமன்பாடு வடிவத்தை எடுக்கும், எங்கிருந்து, மாறிகளைப் பிரித்து, நாம் காண்கிறோம்

அளவுரு இரண்டாவது வழித்தோன்றலுக்கு சமம் என்பதை நினைவில் கொள்ளுங்கள்
DE ஐ ஒருங்கிணைப்பதன் மூலம் செயல்பாட்டின் முதல் வழித்தோன்றலைப் பெறுகிறோம்

மீண்டும் மீண்டும் ஒருங்கிணைப்பதன் மூலம் ஒரே மாதிரியான வேறுபாடு சமன்பாட்டின் பொதுவான ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டறியவும்

வடிவத்தில் சமன்பாட்டிற்கு ஒரு பகுதி தீர்வைத் தேடுகிறோம், வலது பக்கம் சமமாக இருப்பதால்
குணகம் A-ஐக் கண்டுபிடிப்போம் - இதைச் செய்ய, y* ஐ வேறுபட்ட சமன்பாட்டில் மாற்றவும் மற்றும் மாறியின் அதே சக்திகளில் குணகத்தை சமப்படுத்தவும்

மாற்றீடு மற்றும் விதிமுறைகளை தொகுத்த பிறகு நாம் சார்புநிலையைப் பெறுகிறோம்

இதில் எஃகு A=8/3க்கு சமம்.
எனவே, நாம் எழுதலாம் DE இன் பகுதி தீர்வு

வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வுகண்டுபிடிக்கப்பட்ட தொகைக்கு சமம்

இதில் C 1, C 2, C 3 ஆகியவை தன்னிச்சையான மாறிலிகள். Cauchy நிபந்தனை கொடுக்கப்பட்டால், நாம் அவற்றை மிக எளிதாக வரையறுக்கலாம்.

தயாரிப்பதில் பொருள் உங்களுக்கு பயனுள்ளதாக இருக்கும் என்று நான் நினைக்கிறேன் நடைமுறை வகுப்புகள், தொகுதிகள் அல்லது சோதனை வேலை. Cauchy பிரச்சனை இங்கே விவாதிக்கப்படவில்லை, ஆனால் முந்தைய பாடங்களில் இருந்து பொதுவாக அதை எப்படி செய்வது என்று உங்களுக்குத் தெரியும்.

இயற்பியலின் சில சிக்கல்களில், செயல்முறையை விவரிக்கும் அளவுகளுக்கு இடையே நேரடி தொடர்பை ஏற்படுத்த முடியாது. ஆனால் ஆய்வின் கீழ் உள்ள செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றல்களைக் கொண்ட சமத்துவத்தைப் பெறுவது சாத்தியமாகும். இப்படித்தான் வேறுபட்ட சமன்பாடுகள் உருவாகின்றன மற்றும் அறியப்படாத செயல்பாட்டைக் கண்டறிய அவற்றைத் தீர்க்க வேண்டிய அவசியம் உள்ளது.

அறியப்படாத செயல்பாடு ஒரு மாறியின் செயல்பாடாக இருக்கும் வேறுபட்ட சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதில் சிக்கலை எதிர்கொள்பவர்களுக்காக இந்தக் கட்டுரை உள்ளது. வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் பூஜ்ஜிய அறிவுடன், உங்கள் பணியைச் சமாளிக்கும் வகையில் கோட்பாடு கட்டமைக்கப்பட்டுள்ளது.

ஒவ்வொரு வகை வேறுபட்ட சமன்பாடும் பொதுவான எடுத்துக்காட்டுகள் மற்றும் சிக்கல்களுக்கான விரிவான விளக்கங்கள் மற்றும் தீர்வுகளுடன் ஒரு தீர்வு முறையுடன் தொடர்புடையது. நீங்கள் செய்ய வேண்டியதெல்லாம், உங்கள் பிரச்சனையின் வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் வகையைத் தீர்மானிக்கவும், அதே மாதிரியான பகுப்பாய்வு செய்யப்பட்ட உதாரணத்தைக் கண்டுபிடித்து, அதே போன்ற செயல்களைச் செய்யவும்.

வேறுபட்ட சமன்பாடுகளை வெற்றிகரமாக தீர்க்க, உங்களுக்கு ஆன்டிடெரிவேடிவ்களின் தொகுப்புகளைக் கண்டறியும் திறனும் தேவைப்படும் ( காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்புகள்) பல்வேறு செயல்பாடுகள். தேவைப்பட்டால், பிரிவைப் பார்க்க பரிந்துரைக்கிறோம்.

முதலில், வழித்தோன்றலைப் பொறுத்து தீர்க்கப்படக்கூடிய முதல் வரிசையின் சாதாரண வேறுபாடு சமன்பாடுகளின் வகைகளைக் கருத்தில் கொள்வோம், பின்னர் நாம் இரண்டாம்-வரிசை ODE களுக்குச் செல்வோம், பின்னர் உயர்-வரிசை சமன்பாடுகளில் தங்கி, அமைப்புகளுடன் முடிப்போம். வேறுபட்ட சமன்பாடுகள்.

y என்பது வாதத்தின் செயல்பாடாக இருந்தால் x என்பதை நினைவில் கொள்க.

முதல் வரிசை வேறுபட்ட சமன்பாடுகள்.

படிவத்தின் எளிய முதல் வரிசை வேறுபட்ட சமன்பாடுகள்.

அத்தகைய ரிமோட் கண்ட்ரோலின் சில எடுத்துக்காட்டுகளை எழுதுவோம் .

வேறுபட்ட சமன்பாடுகள் சமத்துவத்தின் இரு பக்கங்களையும் f(x) ஆல் வகுப்பதன் மூலம் வழித்தோன்றலைப் பொறுத்து தீர்க்க முடியும். இந்த நிலையில், f(x) ≠ 0க்கான அசல் சமன்பாட்டிற்குச் சமமான ஒரு சமன்பாட்டிற்கு வருகிறோம். அத்தகைய ODE களின் எடுத்துக்காட்டுகள்.

f(x) மற்றும் g(x) செயல்பாடுகள் ஒரே நேரத்தில் மறைந்துவிடும் வாதம் x இன் மதிப்புகள் இருந்தால், கூடுதல் தீர்வுகள் தோன்றும். சமன்பாட்டிற்கான கூடுதல் தீர்வுகள் கொடுக்கப்பட்ட x என்பது இந்த வாத மதிப்புகளுக்கு வரையறுக்கப்பட்ட செயல்பாடுகள். அத்தகைய வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள் பின்வருமாறு:

இரண்டாவது வரிசை வேறுபட்ட சமன்பாடுகள்.

இரண்டாவது வரிசையின் நேரியல் ஒரே மாதிரியான வேறுபாடு சமன்பாடுகள் நிலையான குணகங்கள்.

நிலையான குணகங்களைக் கொண்ட LDE என்பது மிகவும் பொதுவான வகை வேறுபாடு சமன்பாடு ஆகும். அவர்களின் தீர்வு குறிப்பாக கடினம் அல்ல. முதலில் வேர்கள் காணப்படும் சிறப்பியல்பு சமன்பாடு . வெவ்வேறு p மற்றும் q க்கு, மூன்று வழக்குகள் சாத்தியமாகும்: குணாதிசய சமன்பாட்டின் வேர்கள் உண்மையானதாகவும் வேறுபட்டதாகவும், உண்மையானதாகவும், ஒத்துப்போகும்தாகவும் இருக்கலாம். அல்லது சிக்கலான இணைப்புகள். சிறப்பியல்பு சமன்பாட்டின் வேர்களின் மதிப்புகளைப் பொறுத்து, வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வு இவ்வாறு எழுதப்படுகிறது , அல்லது , அல்லது முறையே.

எடுத்துக்காட்டாக, நிலையான குணகங்களுடன் ஒரு நேரியல் ஒரே மாதிரியான இரண்டாம்-வரிசை வேறுபாடு சமன்பாட்டைக் கருதுங்கள். அதன் சிறப்பியல்பு சமன்பாட்டின் வேர்கள் k 1 = -3 மற்றும் k 2 = 0 ஆகும். வேர்கள் உண்மையானவை மற்றும் வேறுபட்டவை, எனவே, நிலையான குணகங்களைக் கொண்ட LODE இன் பொதுவான தீர்வு வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது


நிலையான குணகங்களுடன் இரண்டாவது வரிசையின் நேரியல் ஒத்திசைவற்ற வேறுபாடு சமன்பாடுகள்.

நிலையான குணகங்கள் y உடன் இரண்டாவது-வரிசை LDDE இன் பொதுவான தீர்வு, தொடர்புடைய LDDE இன் பொதுத் தீர்வின் கூட்டுத்தொகை வடிவத்தில் தேடப்படுகிறது. மற்றும் அசல் ஒத்திசைவற்ற சமன்பாட்டிற்கு ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வு, அதாவது, . முந்தைய பத்தி நிலையான குணகங்களுடன் ஒரே மாதிரியான வேறுபாடு சமன்பாட்டிற்கான பொதுவான தீர்வைக் கண்டறிவதற்காக அர்ப்பணிக்கப்பட்டுள்ளது. ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வு முறையால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது நிச்சயமற்ற குணகங்கள்அசல் சமன்பாட்டின் வலது பக்கத்தில் f(x) செயல்பாட்டின் ஒரு குறிப்பிட்ட வடிவத்திற்கு, அல்லது மாறுபடும் தன்னிச்சையான மாறிலிகளின் முறை.

நிலையான குணகங்களுடன் இரண்டாம் வரிசை LDDE களின் எடுத்துக்காட்டுகளாக, நாங்கள் தருகிறோம்


கோட்பாட்டைப் புரிந்துகொண்டு நன்கு தெரிந்து கொள்ளுங்கள் விரிவான தீர்வுகள்நிலையான குணகங்களுடன் இரண்டாவது வரிசையின் நேரியல் ஒத்திசைவற்ற வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் பக்கத்தில் நாங்கள் உங்களுக்கு எடுத்துக்காட்டுகளை வழங்குகிறோம்.

நேரியல் ஒரே மாதிரியான வேறுபாடு சமன்பாடுகள் (LODE) மற்றும் இரண்டாவது வரிசையின் நேரியல் ஒத்திசைவற்ற வேறுபட்ட சமன்பாடுகள் (LNDEகள்).

இந்த வகையின் வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் ஒரு சிறப்பு வழக்கு LODE மற்றும் LDDE ஆகியவை நிலையான குணகங்களுடன்.

ஒரு குறிப்பிட்ட பிரிவில் LODE இன் பொதுவான தீர்வு, இந்த சமன்பாட்டின் y 1 மற்றும் y 2 ஆகிய இரண்டு நேரியல் சார்பற்ற பகுதி தீர்வுகளின் நேரியல் கலவையால் குறிக்கப்படுகிறது, அதாவது, .

இந்த வகை வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்கு நேரியல் சார்பற்ற பகுதி தீர்வுகளை கண்டுபிடிப்பதில் முக்கிய சிரமம் உள்ளது. பொதுவாக, குறிப்பிட்ட தீர்வுகள் நேரியல் சார்பற்ற செயல்பாடுகளின் பின்வரும் அமைப்புகளிலிருந்து தேர்ந்தெடுக்கப்படுகின்றன:


இருப்பினும், குறிப்பிட்ட தீர்வுகள் எப்போதும் இந்த வடிவத்தில் வழங்கப்படுவதில்லை.

ஒரு LOD க்கு ஒரு உதாரணம் .

LDDE இன் பொதுவான தீர்வு வடிவத்தில் தேடப்படுகிறது, இதில் தொடர்புடைய LDDE இன் பொதுவான தீர்வு உள்ளது, மேலும் இது அசல் வேறுபாடு சமன்பாட்டின் குறிப்பிட்ட தீர்வாகும். நாங்கள் அதைக் கண்டுபிடிப்பதைப் பற்றி பேசினோம், ஆனால் அது தன்னிச்சையான மாறிலிகளின் முறையைப் பயன்படுத்தி தீர்மானிக்க முடியும்.

LNDU இன் உதாரணத்தைக் கொடுக்கலாம் .

உயர் ஆர்டர்களின் வேறுபட்ட சமன்பாடுகள்.

வரிசையை குறைக்க அனுமதிக்கும் வேறுபட்ட சமன்பாடுகள்.

வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் வரிசை , இது விரும்பிய செயல்பாடு மற்றும் k-1 வரிசை வரை அதன் வழித்தோன்றல்களைக் கொண்டிருக்கவில்லை, மாற்றுவதன் மூலம் n-k ஆகக் குறைக்கலாம்.

இந்த வழக்கில், அசல் வேறுபாடு சமன்பாடு குறைக்கப்படும். அதன் தீர்வு p(x) ஐக் கண்டறிந்த பிறகு, அது மாற்றீட்டிற்குத் திரும்பி, அறியப்படாத y செயல்பாட்டைத் தீர்மானிக்கும்.

எடுத்துக்காட்டாக, வேறுபாடு சமன்பாடு மாற்றியமைத்த பிறகு, இது பிரிக்கக்கூடிய மாறிகள் கொண்ட ஒரு சமன்பாடாக மாறும், மேலும் அதன் வரிசை மூன்றில் இருந்து முதலாவதாக குறைக்கப்படும்.

உயர் வரிசை வேறுபாடு சமன்பாடுகள்

உயர் வரிசை வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் (DEHE) அடிப்படை சொற்கள்.

படிவத்தின் சமன்பாடு , எங்கே n >1 (2)

வேறுபாடு சமன்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது உயர் வரிசை, அதாவது n-வது வரிசை.

DU வரையறை பகுதி, nஒழுங்குமுறை ஒரு பிராந்தியம் உள்ளது.

இந்த பாடத்திட்டத்தில், பின்வரும் வகையான கட்டுப்பாட்டு அமைப்புகள் பரிசீலிக்கப்படும்:

Cauchy பிரச்சனை DU VP:

ரிமோட் கண்ட்ரோல் கொடுக்கப்படட்டும்,
மற்றும் ஆரம்ப நிலைமைகள் n/a: எண்கள்.

நீங்கள் தொடர்ச்சியான மற்றும் n முறை வேறுபடுத்தக்கூடிய செயல்பாட்டைக் கண்டறிய வேண்டும்
:

1)
கொடுக்கப்பட்ட DE க்கு தீர்வாகும், அதாவது.
;

2) கொடுக்கப்பட்ட ஆரம்ப நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்கிறது:

இரண்டாவது-வரிசை DE க்கு, சிக்கலுக்கான தீர்வின் வடிவியல் விளக்கம் பின்வருமாறு: புள்ளி வழியாகச் செல்லும் ஒரு ஒருங்கிணைந்த வளைவு தேடப்படுகிறது (x 0 , ஒய் 0 ) மற்றும் ஒரு கோண குணகம் கொண்ட ஒரு நேர் கோட்டிற்கு தொடுகோடு கே = ஒய் 0 ́ .

இருப்பு மற்றும் தனித்துவ தேற்றம்(DE (2) க்கான Cauchy பிரச்சனைக்கான தீர்வுகள்):

என்றால் 1)
தொடர்ச்சியான (மொத்தம் (n+1) வாதங்கள்) பகுதியில்
; 2)
தொடர்ச்சியான (வாதங்களின் மொத்தத்திற்கு மேல்
) இல் , பின்னர் ! DEக்கான Cauchy பிரச்சனையின் தீர்வு, கொடுக்கப்பட்ட ஆரம்ப நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்தல் n/a: .

இப்பகுதி DE இன் தனித்துவத்தின் பகுதி என்று அழைக்கப்படுகிறது.

ரிமோட் கண்ட்ரோல் VP இன் பொதுவான தீர்வு (2) – n - அளவுருசெயல்பாடு,
, எங்கே
- தன்னிச்சையான மாறிலிகள், பின்வரும் தேவைகளைப் பூர்த்தி செய்கின்றன:

1)

- மீது DE (2) தீர்வு;

2) தனித்துவத்தின் பகுதியில் இருந்து n/a!
:
கொடுக்கப்பட்ட ஆரம்ப நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்கிறது.

கருத்து.

உறவைப் பார்க்கவும்
DE (2) இன் பொதுவான தீர்வை மறைமுகமாக தீர்மானிக்கிறது பொது ஒருங்கிணைப்பு DU.

தனிப்பட்ட தீர்வு DE (2) என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட மதிப்பிற்கான அதன் பொதுவான தீர்விலிருந்து பெறப்படுகிறது .

VP ரிமோட் கண்ட்ரோலின் ஒருங்கிணைப்பு.

உயர் வரிசை வேறுபாடு சமன்பாடுகள், ஒரு விதியாக, சரியான பகுப்பாய்வு முறைகளால் தீர்க்கப்பட முடியாது.

ஒரு குறிப்பிட்ட வகை DUVP ஐக் கண்டறிவோம், அது வரிசையாகக் குறைப்புகளை அனுமதிக்கிறது மற்றும் quadratures ஆகக் குறைக்கப்படலாம். இந்த வகையான சமன்பாடுகள் மற்றும் அவற்றின் வரிசையைக் குறைப்பதற்கான முறைகளை அட்டவணைப்படுத்துவோம்.

ஆர்டர் குறைப்புகளை அனுமதிக்கும் VP DUகள்

ஒரே மாதிரியான செயல்பாட்டின் வரையறை:

செயல்பாடு
மாறிகளில் ஒரே மாதிரியாக அழைக்கப்படுகிறது
, என்றால்


செயல்பாட்டின் வரையறையின் எந்தப் புள்ளியிலும்
;

- ஒருமைப்பாட்டின் வரிசை.

எடுத்துக்காட்டாக, 2வது வரிசையின் ஒரே மாதிரியான செயல்பாடாகும்
, அதாவது .

எடுத்துக்காட்டு 1:

ரிமோட் கண்ட்ரோலின் பொதுவான தீர்வைக் கண்டறியவும்
.

3வது வரிசையின் DE, முழுமையடையாதது, வெளிப்படையாகக் கொண்டிருக்கவில்லை
. சமன்பாட்டை மூன்று முறை தொடர்ச்சியாக ஒருங்கிணைக்கிறோம்.

,

- ரிமோட் கண்ட்ரோலின் பொதுவான தீர்வு.

எடுத்துக்காட்டு 2:

ரிமோட் கண்ட்ரோலுக்கான Cauchy சிக்கலை தீர்க்கவும்
மணிக்கு

.

இரண்டாவது வரிசையின் DE, முழுமையடையாதது, வெளிப்படையாகக் கொண்டிருக்கவில்லை .

மாற்று
மற்றும் அதன் வழித்தோன்றல்
ரிமோட் கண்ட்ரோலின் வரிசையை ஒன்று குறைக்கும்.

. பெர்னோல்லி சமன்பாடு - முதல் வரிசை DE ஐப் பெற்றோம். இந்த சமன்பாட்டைத் தீர்க்க நாம் பெர்னௌலி மாற்றீட்டைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

,

மற்றும் அதை சமன்பாட்டில் செருகவும்.

இந்த கட்டத்தில், சமன்பாட்டிற்கான Cauchy சிக்கலை தீர்க்கிறோம்
:
.

- பிரிக்கக்கூடிய மாறிகள் கொண்ட முதல் வரிசை சமன்பாடு.

ஆரம்ப நிலைகளை கடைசி சமமாக மாற்றுகிறோம்:

பதில்:
ஆரம்ப நிலைமைகளை பூர்த்தி செய்யும் Cauchy பிரச்சனைக்கு ஒரு தீர்வு.

எடுத்துக்காட்டு 3:

DE ஐ தீர்க்கவும்.

– 2வது வரிசையின் DE, முழுமையடையாதது, வெளிப்படையாக மாறியைக் கொண்டிருக்கவில்லை, எனவே மாற்றீட்டைப் பயன்படுத்தி ஆர்டரை ஒருவரால் குறைக்க அனுமதிக்கிறது அல்லது
.

நாம் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்
(விடு
).

– பிரிக்கும் மாறிகள் கொண்ட 1வது வரிசை DE. அவற்றைப் பிரிப்போம்.

- DE இன் பொது ஒருங்கிணைப்பு.

எடுத்துக்காட்டு 4:

DE ஐ தீர்க்கவும்.

சமன்பாடு
சரியான வழித்தோன்றல்களில் ஒரு சமன்பாடு உள்ளது. உண்மையில்,
.

பொறுத்து இடது மற்றும் வலது பக்கங்களை ஒருங்கிணைப்போம், அதாவது.
அல்லது . பிரிக்கக்கூடிய மாறிகள் கொண்ட 1வது வரிசை DE ஐப் பெற்றோம், அதாவது.
- DE இன் பொது ஒருங்கிணைப்பு.

எடுத்துக்காட்டு 5:

காச்சி பிரச்சனையை தீர்க்கவும்
மணிக்கு.

4வது வரிசையின் DE, முழுமையடையாதது, வெளிப்படையாகக் கொண்டிருக்கவில்லை
. இந்த சமன்பாடு சரியான வழித்தோன்றல்களில் இருப்பதைக் கவனிக்கிறோம், நாம் பெறுகிறோம்
அல்லது
,
. ஆரம்ப நிலைகளை இந்த சமன்பாட்டில் மாற்றுவோம்:
. ரிமோட் கண்ட்ரோலைப் பெறுவோம்
முதல் வகையின் 3 வது வரிசை (அட்டவணையைப் பார்க்கவும்). அதை மூன்று முறை ஒருங்கிணைப்போம், ஒவ்வொரு ஒருங்கிணைப்புக்கும் பிறகு ஆரம்ப நிலைகளை சமன்பாட்டில் மாற்றுவோம்:

பதில்:
- அசல் DE இன் Cauchy பிரச்சனையின் தீர்வு.

எடுத்துக்காட்டு 6:

சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்.

– 2வது வரிசையின் DE, முழுமையானது
. மாற்று
சமன்பாட்டின் வரிசையை குறைக்கும். இதைச் செய்ய, படிவத்திற்கு சமன்பாட்டைக் குறைப்போம்
, அசல் சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் வகுத்தல் . மற்றும் செயல்பாட்டை வேறுபடுத்துங்கள் ப:

.

மாற்றுவோம்
மற்றும்
ரிமோட் கண்ட்ரோலில்:
. இது பிரிக்கக்கூடிய மாறிகள் கொண்ட 1 வது வரிசை சமன்பாடு ஆகும்.

என்று கருதி
, நாங்கள் ரிமோட் கண்ட்ரோலைப் பெறுகிறோம் அல்லது
- அசல் DE இன் பொதுவான தீர்வு.

உயர் வரிசையின் நேரியல் வேறுபாடு சமன்பாடுகளின் கோட்பாடு.

அடிப்படை சொற்களஞ்சியம்.

– என்.எல்.டி.யு -வது வரிசை, எங்கே - தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகள்சில இடைவெளியில்.

இது ரிமோட் கண்ட்ரோலின் தொடர்ச்சியின் இடைவெளி என்று அழைக்கப்படுகிறது (3).

வது வரிசையின் ஒரு (நிபந்தனை) வேறுபட்ட ஆபரேட்டரை அறிமுகப்படுத்துவோம்

அது செயல்பாட்டில் செயல்படும் போது, ​​நாம் பெறுகிறோம்

அதாவது, வது வரிசையின் நேரியல் வேறுபாடு சமன்பாட்டின் இடது பக்கம்.

இதன் விளைவாக, LDE ஐ எழுதலாம்

ஆபரேட்டரின் நேரியல் பண்புகள்
:

1) - சேர்க்கையின் சொத்து

2)
எண் - ஒருமைப்பாட்டின் சொத்து

இந்த சார்புகளின் வழித்தோன்றல்கள் ஒரே மாதிரியான பண்புகளைக் கொண்டிருப்பதால், பண்புகள் எளிதில் சரிபார்க்கப்படுகின்றன (ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட வழித்தோன்றல்களின் தொகையானது வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான வழித்தோன்றல்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்; நிலையான காரணி வழித்தோன்றலின் அடையாளத்திலிருந்து எடுக்கப்படலாம்).

என்று.
- நேரியல் ஆபரேட்டர்.

LDE க்கான Cauchy பிரச்சனைக்கான தீர்வின் இருப்பு மற்றும் தனித்தன்மை பற்றிய கேள்வியை நாம் பரிசீலிப்போம்
.

LDE ஐப் பொறுத்து தீர்வு காண்போம்
: ,
, – தொடர் இடைவெளி.

களம், வழித்தோன்றல்கள் ஆகியவற்றில் செயல்பாடு தொடர்கிறது
பிராந்தியத்தில் தொடர்ந்து

இதன் விளைவாக, தனித்தன்மையின் பகுதி, இதில் Cauchy LDE சிக்கல் (3) ஒரு தனித்துவமான தீர்வைக் கொண்டுள்ளது மற்றும் புள்ளியின் தேர்வை மட்டுமே சார்ந்துள்ளது.
, மற்ற அனைத்து வாத மதிப்புகள்
செயல்பாடுகள்
தன்னிச்சையாக எடுத்துக் கொள்ளலாம்.

OLDE இன் பொதுவான கோட்பாடு.

- தொடர் இடைவெளி.

OLDE தீர்வுகளின் முக்கிய பண்புகள்:

1. சேர்க்கை சொத்து

(
- OLDE தீர்வு (4) on )
(
- மீது OLDE (4) தீர்வு ).

ஆதாரம்:

- OLDE (4) இன் தீர்வு

- OLDE (4) இன் தீர்வு

பிறகு

2. ஒரே மாதிரியான தன்மை

( – OLDE இன் தீர்வு (4) on ) (
(- எண் புலம்))

- OLDE (4) க்கு தீர்வு.

ஆதாரம் ஒத்தது.

சேர்க்கை மற்றும் ஒருமைப்பாட்டின் பண்புகள் அழைக்கப்படுகின்றன நேரியல் பண்புகள் OLDU (4).

விளைவு:

(
– OLDE தீர்வு (4) on )(

- மீது OLDE (4) தீர்வு ).

3. (– OLDE (4) இன் சிக்கலான மதிப்புள்ள தீர்வு )(
OLDE (4) இல் உள்ள உண்மையான மதிப்புள்ள தீர்வுகள்.

ஆதாரம்:

OLDE (4) இல் தீர்வாக இருந்தால், சமன்பாட்டில் மாற்றப்படும் போது அது ஒரு அடையாளமாக மாறும், அதாவது.
.

ஆபரேட்டரின் நேரியல் தன்மை காரணமாக, கடைசி சமத்துவத்தின் இடது பக்கத்தை பின்வருமாறு எழுதலாம்:
.

அதாவது, OLDE (4) இல் உள்ள உண்மையான மதிப்புள்ள தீர்வுகள்.

OLDE களுக்கான தீர்வுகளின் அடுத்தடுத்த பண்புகள் கருத்துடன் தொடர்புடையவை " நேரியல் சார்பு”.

வரையறை நேரியல் சார்புசெயல்பாடுகளின் வரையறுக்கப்பட்ட அமைப்பு

செயல்பாட்டின் ஒரு அமைப்பு இருந்தால், அது நேரியல் சார்ந்ததாகக் கூறப்படுகிறது அற்பமானஎண்களின் தொகுப்பு
அத்தகைய நேரியல் கலவை
செயல்பாடுகள்
இந்த எண்களுடன் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும், அதாவது.
.n இது தவறானது. தேற்றம் வேறுபட்டது சமன்பாடுகள்அதிகஅளவு கட்டளைகள்(4 மணி நேரம்...

நேரடி ஒருங்கிணைப்பு மூலம் சமன்பாடுகள் தீர்க்கப்படுகின்றன

பின்வரும் வேறுபட்ட சமன்பாட்டைக் கவனியுங்கள்:
.
n முறைகளை ஒருங்கிணைக்கிறோம்.
;
;
மற்றும் பல. நீங்கள் சூத்திரத்தையும் பயன்படுத்தலாம்:
.
நேரடியாக தீர்க்கக்கூடிய வேறுபட்ட சமன்பாடுகளைப் பார்க்கவும் ஒருங்கிணைப்பு >>>

y சார்பு மாறியை வெளிப்படையாகக் கொண்டிருக்காத சமன்பாடுகள்

மாற்றீடு சமன்பாட்டின் வரிசையை ஒன்று குறைக்கிறது. இங்கிருந்து ஒரு செயல்பாடு உள்ளது.
ஒரு செயல்பாட்டை வெளிப்படையாகக் கொண்டிருக்காத உயர் ஆர்டர்களின் வேறுபட்ட சமன்பாடுகளைப் பார்க்கவும் > > >

சுயாதீன மாறி x ஐ வெளிப்படையாக சேர்க்காத சமன்பாடுகள்

.
இது ஒரு செயல்பாடு என்று நாங்கள் கருதுகிறோம்.
.
பிறகு
இதேபோல் மற்ற வழித்தோன்றல்களுக்கும். இதன் விளைவாக, சமன்பாட்டின் வரிசை ஒன்று குறைக்கப்படுகிறது.

வெளிப்படையான மாறியைக் கொண்டிருக்காத உயர் வரிசைகளின் வேறுபட்ட சமன்பாடுகளைப் பார்க்கவும் > > >

சமன்பாடுகள் y, y′, y′′, ...
,
இந்த சமன்பாட்டை தீர்க்க, நாங்கள் மாற்றீடு செய்கிறோம்
.
ஒரு செயல்பாடு எங்கே.
பிறகு

உயர் வரிசைகளின் நேரியல் வேறுபாடு சமன்பாடுகள்

கருத்தில் கொள்வோம் n வது வரிசையின் நேரியல் ஒரே மாதிரியான வேறுபாடு சமன்பாடு:
(1) ,
சார்பற்ற மாறியின் செயல்பாடுகள் எங்கே. நேர்கோட்டில் n இருக்கட்டும்சுதந்திரமான முடிவுகள்
(2) ,
இந்த சமன்பாடு. பின்னர் சமன்பாட்டிற்கான பொதுவான தீர்வு (1) வடிவம் உள்ளது:
தன்னிச்சையான மாறிலிகள் எங்கே. செயல்பாடுகளே தீர்வுகளின் அடிப்படை அமைப்பை உருவாக்குகின்றன.அடிப்படை தீர்வு அமைப்பு

கருத்தில் கொள்வோம் n வது வரிசையின் நேரியல் ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டின் n இந்த சமன்பாட்டிற்கான நேரியல் சுயாதீன தீர்வுகள்.:
.
n வது வரிசையின் நேரியல் ஒத்திசைவற்ற வேறுபாடு சமன்பாடு
,
இந்த சமன்பாட்டிற்கு ஒரு குறிப்பிட்ட (ஏதேனும்) தீர்வு இருக்கட்டும். பின்னர் பொதுவான தீர்வு வடிவம் உள்ளது:

ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வு எங்கே (1).

நிலையான குணகங்கள் மற்றும் அவற்றைக் குறைக்கக்கூடிய நேரியல் வேறுபாடு சமன்பாடுகள்

நிலையான குணகங்களுடன் நேரியல் ஒரே மாதிரியான சமன்பாடுகள்
(3) .
இவை படிவத்தின் சமன்பாடுகள்:
(2) .

இங்கே உண்மையான எண்கள் உள்ளன. இந்த சமன்பாட்டிற்கு பொதுவான தீர்வைக் காண, தீர்வுகளின் அடிப்படை அமைப்பை உருவாக்கும் n நேரியல் சார்பற்ற தீர்வுகளைக் கண்டறிய வேண்டும். பின்னர் பொதுவான தீர்வு சூத்திரத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது (2): படிவத்தில் தீர்வைத் தேடுகிறோம்.:
(4) .

நாம் பெறுகிறோம் சிறப்பியல்பு சமன்பாடுஇந்த சமன்பாடு இருந்தால்
.

பல்வேறு வேர்கள் , பின்னர் தீர்வுகளின் அடிப்படை அமைப்பு வடிவம் கொண்டது:
,
கிடைத்தால்

சிக்கலான வேர்பின்னர் ஒரு சிக்கலான கூட்டு வேர் உள்ளது.

இந்த இரண்டு வேர்களும் தீர்வுகளுடன் ஒத்துப்போகின்றன மற்றும் சிக்கலான தீர்வுகளுக்குப் பதிலாக அடிப்படை அமைப்பில் சேர்க்கிறோம் மற்றும் .பல வேர்கள்
.

பெருக்கங்கள் நேரியல் சார்பற்ற தீர்வுகளுக்கு ஒத்திருக்கும்: .

கருத்தில் கொள்வோம் சிக்கலான வேர்கள் பல
,
பெருக்கங்கள் மற்றும் அவற்றின் சிக்கலான கூட்டு மதிப்புகள் நேரியல் சார்பற்ற தீர்வுகளுடன் ஒத்துப்போகின்றன: 1 ஒரு சிறப்பு ஒத்திசைவற்ற பகுதியுடன் நேரியல் ஒத்திசைவற்ற சமன்பாடுகள் 2 படிவத்தின் சமன்பாடு

டிகிரிகளின் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் எங்கே மற்றும் எஸ்;
,
- நிரந்தர.
;
;
முதலில் ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டிற்கு (3) பொதுவான தீர்வைத் தேடுகிறோம். சிறப்பியல்பு சமன்பாடு என்றால் (4) 1 ஒரு சிறப்பு ஒத்திசைவற்ற பகுதியுடன் நேரியல் ஒத்திசைவற்ற சமன்பாடுகள் 2 .

வேர் கொண்டிருக்கவில்லை , பின்னர் வடிவத்தில் ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வைத் தேடுகிறோம்:எங்கே
.

s - பெரிய s
.

சிறப்பியல்பு சமன்பாடு என்றால் (4)

ஒரு வேர் உள்ளது

1) பன்முகத்தன்மை, பின்னர் வடிவத்தில் ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வைத் தேடுகிறோம்:.
இதற்குப் பிறகு நாம் பொதுவான தீர்வைப் பெறுகிறோம்:
.
நிலையான குணகங்களுடன் நேரியல் ஒத்திசைவற்ற சமன்பாடுகள்
,
இங்கே மூன்று சாத்தியமான தீர்வுகள் உள்ளன. - 1 பெர்னோலி முறை

2) முதலில், ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டிற்கு பூஜ்ஜியமற்ற தீர்வைக் காணலாம்.
பின்னர் நாங்கள் மாற்றீடு செய்கிறோம்
,
பண்புச் சமன்பாட்டின் (4) வேர்களில் ஒன்று எங்கே. இதன் விளைவாக, நாம் ஒரு நேரியல் பெறுகிறோம் ஒத்திசைவற்ற சமன்பாடுஒழுங்கின் நிலையான குணகங்களுடன்.

3) இந்த மாற்றீட்டை தொடர்ந்து பயன்படுத்துவதன் மூலம், அசல் சமன்பாட்டை முதல்-வரிசை சமன்பாட்டிற்கு குறைக்கிறோம்..
லாக்ரேஞ்ச் மாறிலிகளின் மாறுபாட்டின் முறை
(2) .
இந்த முறையில், நாம் முதலில் ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டை (3) தீர்க்கிறோம். அவரது தீர்வு இதுபோல் தெரிகிறது:
,
மாறிலிகள் x மாறியின் செயல்பாடுகள் என்று நாம் மேலும் கருதுகிறோம்.

பின்னர் அசல் சமன்பாட்டிற்கான தீர்வு வடிவம் உள்ளது:

அறியப்படாத செயல்பாடுகள் எங்கே. அசல் சமன்பாட்டில் மாற்றியமைத்து, சில கட்டுப்பாடுகளை விதித்து, செயல்பாடுகளின் வகையைக் கண்டறியக்கூடிய சமன்பாடுகளைப் பெறுகிறோம்.
.
ஆய்லரின் சமன்பாடு
.
இது மாற்றீடு மூலம் நிலையான குணகங்களுடன் ஒரு நேரியல் சமன்பாட்டிற்கு குறைக்கிறது:

இருப்பினும், ஆய்லர் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க, அத்தகைய மாற்றீடு செய்ய வேண்டிய அவசியமில்லை. வடிவத்தில் ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டிற்கான தீர்வை நீங்கள் உடனடியாகத் தேடலாம்
இதன் விளைவாக, நிலையான குணகங்களைக் கொண்ட சமன்பாட்டிற்கான அதே விதிகளைப் பெறுகிறோம், இதில் மாறிக்கு பதிலாக நீங்கள் மாற்ற வேண்டும்.
பயன்படுத்திய இலக்கியம்: