பித்தகோரியன் பகுதி தேற்றம். பித்தகோரியன் தேற்றத்தை நிரூபிக்க பல்வேறு வழிகள்: உதாரணங்கள், விளக்கங்கள் மற்றும் மதிப்புரைகள்

1

ஷபோவலோவா எல்.ஏ. (Egorlykskaya நிலையம், MBOU ESOSH எண். 11)

1. கிளேசர் ஜி.ஐ. பள்ளி தரங்களில் கணிதத்தின் வரலாறு VII - VIII, ஆசிரியர்களுக்கான கையேடு, - M: Prosveshchenie, 1982.

2. டெம்பன் ஐ.யா., விலென்கின் என்.யா. "கணிதம் பாடப்புத்தகத்தின் பக்கங்களுக்குப் பின்னால்" 5-6 வகுப்புகளில் உள்ள மாணவர்களுக்கான கையேடு. – எம்.: கல்வி, 1989.

3. ஜென்கேவிச் ஐ.ஜி. "கணிதம் பாடத்தின் அழகியல்." – எம்.: கல்வி, 1981.

4. லிட்ஸ்மேன் வி. பித்தகோரியன் தேற்றம். - எம்., 1960.

5. வோலோஷினோவ் ஏ.வி. "பிதாகரஸ்". - எம்., 1993.

6. பிச்சுரின் எல்.எஃப். "இயற்கணிதம் பாடப்புத்தகத்தின் பக்கங்களுக்குப் பின்னால்." - எம்., 1990.

7. Zemlyakov A.N. "10 ஆம் வகுப்பில் வடிவியல்." – எம்., 1986.

8. செய்தித்தாள் "கணிதம்" 17/1996.

9. செய்தித்தாள் "கணிதம்" 3/1997.

10. அன்டோனோவ் என்.பி., வைகோட்ஸ்கி எம்.யா., நிகிடின் வி.வி., சாங்கின் ஏ.ஐ. "தொடக்கக் கணிதத்தில் உள்ள சிக்கல்களின் தொகுப்பு." - எம்., 1963.

11. டோரோஃபீவ் ஜி.வி., பொட்டாபோவ் எம்.கே., ரோசோவ் என்.கே. "கணிதம் கையேடு". - எம்., 1973.

12. ஷ்செட்னிகோவ் ஏ.ஐ. "எண் மற்றும் அளவு பற்றிய பித்தகோரியன் கோட்பாடு." - நோவோசிபிர்ஸ்க், 1997.

13. “உண்மையான எண்கள். பகுத்தறிவற்ற வெளிப்பாடுகள்" 8 ஆம் வகுப்பு. டாம்ஸ்க் பல்கலைக்கழக பப்ளிஷிங் ஹவுஸ். - டாம்ஸ்க், 1997.

14. அதனஸ்யன் எம்.எஸ். "வடிவியல்" தரங்கள் 7-9. – எம்.: கல்வி, 1991.

15. URL: www.moypifagor.narod.ru/

16. URL: http://www.zaitseva-irina.ru/html/f1103454849.html.

இதில் கல்வி ஆண்டுபழங்காலத்திலிருந்தே அறியப்பட்ட ஒரு சுவாரஸ்யமான தேற்றத்தை நான் அறிந்தேன்:

"செங்கோண முக்கோணத்தின் ஹைப்போடென்யூஸில் கட்டப்பட்ட ஒரு சதுரம் கால்களில் கட்டப்பட்ட சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்."

இந்த அறிக்கையின் கண்டுபிடிப்பு பொதுவாக பண்டைய கிரேக்க தத்துவஞானி மற்றும் கணிதவியலாளர் பித்தகோரஸ் (கி.மு. 6 ஆம் நூற்றாண்டு) என்பவரால் கூறப்பட்டது. ஆனால் பண்டைய கையெழுத்துப் பிரதிகளின் ஆய்வு இந்த அறிக்கை பித்தகோரஸ் பிறப்பதற்கு நீண்ட காலத்திற்கு முன்பே அறியப்பட்டது என்பதைக் காட்டுகிறது.

இந்த விஷயத்தில், இது ஏன் பித்தகோரஸின் பெயருடன் தொடர்புடையது என்று நான் ஆச்சரியப்பட்டேன்.

தலைப்பின் பொருத்தம்: பித்தகோரியன் தேற்றம் மிகவும் முக்கியத்துவம் வாய்ந்தது: இது வடிவவியலில் ஒவ்வொரு அடியிலும் பயன்படுத்தப்படுகிறது. பித்தகோரஸின் படைப்புகள் இன்றும் பொருத்தமானவை என்று நான் நம்புகிறேன், ஏனென்றால் நாம் எங்கு பார்த்தாலும், நவீன வாழ்க்கையின் பல்வேறு கிளைகளில் பொதிந்துள்ள அவரது சிறந்த யோசனைகளின் பலன்களைக் காணலாம்.

என் ஆராய்ச்சியின் நோக்கம், பிதாகரஸ் யார், அவருக்கும் இந்தத் தேற்றத்திற்கும் என்ன தொடர்பு என்பதுதான்.

தேற்றத்தின் வரலாற்றைப் படித்து, நான் கண்டுபிடிக்க முடிவு செய்தேன்:

இந்த தேற்றத்திற்கு வேறு சான்றுகள் உள்ளதா?

மக்கள் வாழ்வில் இந்தத் தேற்றத்தின் முக்கியத்துவம் என்ன?

கணிதத்தின் வளர்ச்சியில் பிதாகரஸ் என்ன பங்கு வகித்தார்?

பித்தகோரஸின் வாழ்க்கை வரலாற்றிலிருந்து

சமோஸின் பிதாகரஸ் ஒரு சிறந்த கிரேக்க விஞ்ஞானி. அவரது புகழ் பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் பெயருடன் தொடர்புடையது. இந்த தேற்றம் பண்டைய பாபிலோனில் பித்தகோரஸுக்கு 1200 ஆண்டுகளுக்கு முன்பே அறியப்பட்டது, எகிப்தில் அவருக்கு 2000 ஆண்டுகளுக்கு முன்பு 3, 4, 5 பக்கங்களைக் கொண்ட ஒரு செங்கோண முக்கோணம் அறியப்பட்டது என்பதை இப்போது நாம் அறிந்திருந்தாலும், இந்த பண்டைய விஞ்ஞானியின் பெயரால் அதை இன்னும் அழைக்கிறோம்.

பித்தகோரஸின் வாழ்க்கையைப் பற்றி நம்பத்தகுந்ததாக எதுவும் தெரியவில்லை, ஆனால் அவரது பெயர் தொடர்புடையது பெரிய எண்ணிக்கைபுனைவுகள்.

பித்தகோரஸ் கிமு 570 இல் சமோஸ் தீவில் பிறந்தார்.

பித்தகோரஸ் அழகான தோற்றம், நீண்ட தாடி மற்றும் தலையில் தங்க கிரீடம் அணிந்திருந்தார். பித்தகோரஸ் என்பது ஒரு பெயர் அல்ல, ஆனால் தத்துவஞானி பெற்ற புனைப்பெயர், ஏனெனில் அவர் எப்போதும் கிரேக்க ஆரக்கிள் போல சரியாகவும் நம்பிக்கையுடனும் பேசினார். (பிதாகரஸ் - "பேச்சு மூலம் வற்புறுத்துதல்").

கிமு 550 இல், பிதாகரஸ் ஒரு முடிவை எடுத்து எகிப்துக்கு செல்கிறார். எனவே, பித்தகோரஸுக்கு முன் அது திறக்கிறது தெரியாத நாடுமற்றும் அறியப்படாத கலாச்சாரம். இந்த நாட்டில் பித்தகோரஸ் மிகவும் ஆச்சரியப்பட்டு ஆச்சரியப்பட்டார், எகிப்தியர்களின் வாழ்க்கையைப் பற்றிய சில அவதானிப்புகளுக்குப் பிறகு, பூசாரி சாதியால் பாதுகாக்கப்பட்ட அறிவுக்கான பாதை மதத்தின் வழியாக உள்ளது என்பதை பிதாகரஸ் உணர்ந்தார்.

எகிப்தில் பதினொரு வருட படிப்புக்குப் பிறகு, பித்தகோரஸ் தனது தாய்நாட்டிற்குச் செல்கிறார், அங்கு அவர் பாபிலோனிய சிறையிருப்பில் முடிவடைகிறார். அங்கு அவர் எகிப்திய அறிவியலை விட மேம்பட்ட பாபிலோனிய அறிவியலைப் பற்றி அறிந்து கொள்கிறார். பாபிலோனியர்கள் நேரியல், இருபடி மற்றும் சில வகையான கன சமன்பாடுகளை தீர்க்க முடிந்தது. சிறையிலிருந்து தப்பியதால், அங்கு ஆட்சி செய்த வன்முறை மற்றும் கொடுங்கோன்மையின் சூழல் காரணமாக அவர் தனது தாயகத்தில் நீண்ட காலம் இருக்க முடியவில்லை. அவர் குரோட்டனுக்கு (வட இத்தாலியில் உள்ள கிரேக்க காலனி) செல்ல முடிவு செய்தார்.

குரோட்டனில் தான் பித்தகோரஸின் வாழ்க்கையில் மிகவும் புகழ்பெற்ற காலம் தொடங்கியது. அங்கு அவர் ஒரு மத-நெறிமுறை சகோதரத்துவம் அல்லது ஒரு இரகசிய துறவற அமைப்பு போன்ற ஒன்றை நிறுவினார், அதன் உறுப்பினர்கள் பித்தகோரியன் வாழ்க்கை முறை என்று அழைக்கப்படுவதை வழிநடத்த வேண்டிய கட்டாயத்தில் இருந்தனர்.

பித்தகோரஸ் மற்றும் பித்தகோரியன்ஸ்

அபெனைன் தீபகற்பத்தின் தெற்கில் உள்ள கிரேக்க காலனியில் பித்தகோரஸ் ஒரு துறவற அமைப்பு போன்ற ஒரு மத மற்றும் நெறிமுறை சகோதரத்துவத்தை ஏற்பாடு செய்தார், இது பின்னர் பித்தகோரியன் யூனியன் என்று அழைக்கப்பட்டது. தொழிற்சங்கத்தின் உறுப்பினர்கள் சில கொள்கைகளை கடைபிடிக்க வேண்டும்: முதலாவதாக, அழகான மற்றும் புகழ்பெற்றவற்றிற்காக பாடுபட வேண்டும், இரண்டாவதாக, பயனுள்ளதாக இருக்க வேண்டும், மூன்றாவதாக, உயர்ந்த இன்பத்திற்காக பாடுபட வேண்டும்.

பித்தகோரஸ் தனது மாணவர்களுக்கு வழங்கிய தார்மீக மற்றும் நெறிமுறை விதிகளின் அமைப்பு, பழங்கால, இடைக்காலம் மற்றும் மறுமலர்ச்சியின் சகாப்தத்தில் மிகவும் பிரபலமாக இருந்த பித்தகோரியன்ஸ் "கோல்டன் வெர்சஸ்" இன் விசித்திரமான தார்மீக நெறிமுறையாக தொகுக்கப்பட்டது.

பித்தகோரியன் வகுப்புகளின் அமைப்பு மூன்று பிரிவுகளைக் கொண்டிருந்தது:

எண்களைப் பற்றி கற்பித்தல் - எண்கணிதம்,

உருவங்களைப் பற்றிய போதனைகள் - வடிவியல்,

பிரபஞ்சத்தின் அமைப்பு பற்றிய கோட்பாடுகள் - வானியல்.

பிதாகரஸ் நிறுவிய கல்வி முறை பல நூற்றாண்டுகளாக நீடித்தது.

பித்தகோரியன் பள்ளி வடிவவியலுக்கு அறிவியலின் தன்மையைக் கொடுக்க நிறைய செய்தது. பித்தகோரியன் முறையின் முக்கிய அம்சம் எண்கணிதத்துடன் வடிவவியலின் கலவையாகும்.

பித்தகோரஸ் விகிதாச்சாரங்கள் மற்றும் முன்னேற்றங்கள் மற்றும், அநேகமாக, புள்ளிவிவரங்களின் ஒற்றுமையுடன் நிறைய கையாண்டார், ஏனெனில் அவர் சிக்கலைத் தீர்ப்பதில் பெருமை பெற்றார்: "இரண்டு புள்ளிவிவரங்கள் கொடுக்கப்பட்டால், மூன்றில் ஒரு பகுதியை உருவாக்கவும், தரவுகளில் ஒன்றிற்கு சமமானதாகவும், இரண்டாவதாகவும் இருக்கும். ”

பித்தகோரஸ் மற்றும் அவரது மாணவர்கள் பலகோண, நட்பு, சரியான எண்களின் கருத்தை அறிமுகப்படுத்தினர் மற்றும் அவற்றின் பண்புகளை ஆய்வு செய்தனர். பித்தகோரஸ் கணக்கீட்டு நடைமுறையாக எண்கணிதத்தில் ஆர்வம் காட்டவில்லை, மேலும் அவர் "வணிகரின் நலன்களுக்கு மேலாக எண்கணிதத்தை வைத்தேன்" என்று பெருமையுடன் அறிவித்தார்.

பித்தகோரியன் யூனியனின் உறுப்பினர்கள் கிரேக்கத்தின் பல நகரங்களில் வசிப்பவர்கள்.

பித்தகோரியன்களும் பெண்களை தங்கள் சமூகத்தில் ஏற்றுக்கொண்டனர். தொழிற்சங்கம் இருபது ஆண்டுகளுக்கும் மேலாக செழித்து வளர்ந்தது, பின்னர் அதன் உறுப்பினர்களின் துன்புறுத்தல் தொடங்கியது, பல மாணவர்கள் கொல்லப்பட்டனர்.

பித்தகோரஸின் மரணம் பற்றி பல புராணக்கதைகள் இருந்தன. ஆனால் பித்தகோரஸ் மற்றும் அவரது மாணவர்களின் போதனைகள் தொடர்ந்து வாழ்ந்தன.

பித்தகோரியன் தேற்றத்தை உருவாக்கிய வரலாற்றிலிருந்து

இந்த தேற்றம் பித்தகோரஸால் கண்டுபிடிக்கப்படவில்லை என்பது இப்போது தெரியவந்துள்ளது. இருப்பினும், பித்தகோரஸ் தான் அதன் முழு ஆதாரத்தை முதன்முதலில் கொடுத்தார் என்று சிலர் நம்புகிறார்கள், மற்றவர்கள் அவருக்கு இந்த தகுதியை மறுக்கிறார்கள். யூக்ளிட் தனது கூறுகளின் முதல் புத்தகத்தில் வழங்கிய ஆதாரத்தை சிலர் பித்தகோரஸுக்குக் கூறுகின்றனர். மறுபுறம், தனிமங்களில் உள்ள ஆதாரம் யூக்ளிட்டுக்கே சொந்தமானது என்று ப்ரோக்லஸ் கூறுகிறார். நாம் பார்க்கிறபடி, பித்தகோரஸின் வாழ்க்கை மற்றும் அவரது கணித செயல்பாடுகள் பற்றிய நம்பகமான குறிப்பிட்ட தரவு எதுவும் கணிதத்தின் வரலாறு பாதுகாக்கப்படவில்லை.

பண்டைய சீனாவுடன் பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் வரலாற்று மதிப்பாய்வை ஆரம்பிக்கலாம். இங்கே Chu-pei என்ற கணித புத்தகம் சிறப்பு கவனத்தை ஈர்க்கிறது. இந்த வேலை 3, 4 மற்றும் 5 பக்கங்களைக் கொண்ட பித்தகோரியன் முக்கோணத்தைப் பற்றி பேசுகிறது:

"சரியான கோணம் அதன் கூறு பாகங்களாக சிதைந்தால், அதன் பக்கங்களின் முனைகளை இணைக்கும் கோடு 5 ஆக இருக்கும், அடித்தளம் 3 ஆகவும் உயரம் 4 ஆகவும் இருக்கும்."

அவர்களின் கட்டுமான முறையை இனப்பெருக்கம் செய்வது மிகவும் எளிதானது. 12 மீ நீளமுள்ள ஒரு கயிற்றை எடுத்து அதில் 3 மீ தூரத்தில் வண்ணப் பட்டையைக் கட்டுவோம். ஒரு முனையிலிருந்து மற்றும் மறுமுனையிலிருந்து 4 மீட்டர். வலது கோணம் 3 மற்றும் 4 மீட்டர் நீளமுள்ள பக்கங்களுக்கு இடையில் மூடப்பட்டிருக்கும்.

இந்துக்களிடையே வடிவியல், வழிபாட்டு முறையுடன் நெருங்கிய தொடர்புடையது. ஹைப்போடென்யூஸ் தேற்றத்தின் சதுரம் ஏற்கனவே கிமு 8 ஆம் நூற்றாண்டில் இந்தியாவில் அறியப்பட்டிருக்கலாம். முற்றிலும் சடங்கு மருந்துகளுடன், வடிவியல் இறையியல் இயல்புடைய படைப்புகளும் உள்ளன. இந்த எழுத்துக்களில், கிமு 4 அல்லது 5 ஆம் நூற்றாண்டைச் சேர்ந்தது, நாம் கட்டுமானத்தை எதிர்கொள்கிறோம் வலது கோணம் 15, 36, 39 பக்கங்களைக் கொண்ட முக்கோணத்தைப் பயன்படுத்துதல்.

இடைக்காலத்தில், பித்தகோரியன் தேற்றம் வரம்பைத் தீர்மானித்தது, அது சாத்தியமில்லாதது என்றால், அதன் படி குறைந்தபட்சம், நல்ல கணித அறிவு. பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் சிறப்பியல்பு வரைதல், இப்போது சில சமயங்களில் பள்ளி மாணவர்களால் மாற்றப்படுகிறது, எடுத்துக்காட்டாக, அங்கி அணிந்த பேராசிரியராக அல்லது மேல் தொப்பி அணிந்த மனிதராக, அந்த நாட்களில் பெரும்பாலும் கணிதத்தின் அடையாளமாக பயன்படுத்தப்பட்டது.

முடிவில், கிரேக்கம், லத்தீன் மற்றும் ஜெர்மன் மொழிகளில் இருந்து மொழிபெயர்க்கப்பட்ட பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் பல்வேறு சூத்திரங்களை நாங்கள் முன்வைக்கிறோம்.

யூக்ளிட் தேற்றம் கூறுகிறது (இலக்கிய மொழிபெயர்ப்பு):

"ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில், வலது கோணத்தில் பரவியிருக்கும் பக்கத்தின் சதுரம் வலது கோணத்தை உள்ளடக்கிய பக்கங்களின் சதுரங்களுக்கு சமமாக இருக்கும்."

நாம் பார்ப்பது போல், இல் வெவ்வேறு நாடுகள்மற்றும் வெவ்வேறு மொழிகள்உள்ளன பல்வேறு விருப்பங்கள்ஒரு பழக்கமான தேற்றத்தின் சூத்திரங்கள். இல் உருவாக்கப்பட்டது வெவ்வேறு நேரங்களில்மற்றும் வெவ்வேறு மொழிகளில், அவை ஒரு கணித சட்டத்தின் சாரத்தை பிரதிபலிக்கின்றன, அதற்கான சான்று பல விருப்பங்களையும் கொண்டுள்ளது.

பித்தகோரியன் தேற்றத்தை நிரூபிக்க ஐந்து வழிகள்

பண்டைய சீன சான்றுகள்

பண்டைய சீன வரைபடத்தில், கால்கள் a, b மற்றும் hypotenuse c கொண்ட நான்கு சம செங்கோண முக்கோணங்கள் அமைக்கப்பட்டுள்ளன, இதனால் அவற்றின் வெளிப்புற விளிம்பு a + b பக்கத்துடன் ஒரு சதுரத்தை உருவாக்குகிறது, மேலும் உள் விளிம்பு பக்க c உடன் ஒரு சதுரத்தை உருவாக்குகிறது, இது ஹைபோடென்யூஸில் கட்டப்பட்டுள்ளது.

a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab

ஜே. ஹார்ட்ஃபீல்டின் ஆதாரம் (1882)

இரண்டு சமமான வலது முக்கோணங்களை ஏற்பாடு செய்வோம், அவற்றில் ஒன்றின் கால் மற்றொன்றின் தொடர்ச்சியாக இருக்கும்.

பரிசீலனையில் உள்ள ட்ரெப்சாய்டின் பரப்பளவு, அடித்தளங்களின் பாதித் தொகை மற்றும் உயரத்தின் விளைபொருளாகக் காணப்படுகிறது.

மறுபுறம், ஒரு ட்ரெப்சாய்டின் பரப்பளவு அதன் விளைவாக வரும் முக்கோணங்களின் பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்:

இந்த வெளிப்பாடுகளை சமன் செய்தால், நாம் பெறுகிறோம்:

ஆதாரம் எளிமையானது

இந்த ஆதாரம் ஐசோசெல்ஸ் செங்கோண முக்கோணத்தின் எளிமையான வழக்கில் பெறப்படுகிறது.

அனேகமாக இங்குதான் தேற்றம் தொடங்கியது.

உண்மையில், தேற்றத்தின் செல்லுபடியை நம்புவதற்கு ஐசோசெல்ஸ் செங்கோண முக்கோணங்களின் மொசைக்கைப் பார்த்தால் போதும்.

எடுத்துக்காட்டாக, ஏபிசி முக்கோணத்திற்கு: ஹைபோடென்யூஸ் ஏசியில் கட்டப்பட்ட சதுரம் 4 அசல் முக்கோணங்களைக் கொண்டுள்ளது, மேலும் பக்கங்களில் கட்டப்பட்ட சதுரங்கள் இரண்டு. தேற்றம் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

பண்டைய இந்துக்களின் சான்று

பக்கவாட்டு (a + b) கொண்ட ஒரு சதுரத்தை படத்தில் உள்ளதைப் போல பகுதிகளாகப் பிரிக்கலாம். 12.a, அல்லது படம். 12, பி. இரண்டு படங்களிலும் 1, 2, 3, 4 பாகங்கள் ஒரே மாதிரியாக இருப்பது தெளிவாகிறது. நீங்கள் சமமான (பகுதிகள்) இலிருந்து சமத்தை கழித்தால், அவை சமமாக இருக்கும், அதாவது. c2 = a2 + b2.

யூக்ளிட்டின் ஆதாரம்

இரண்டாயிரம் ஆண்டுகளாக, பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் மிகவும் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்பட்ட ஆதாரம் யூக்ளிட் ஆகும். இது அவரது புகழ்பெற்ற புத்தகமான "கொள்கைகள்" இல் வைக்கப்பட்டுள்ளது.

யூக்ளிட் உயரமான BN ஐ செங்கோணத்தின் உச்சியில் இருந்து ஹைபோடென்யூஸுக்குக் குறைத்து, அதன் தொடர்ச்சி ஹைப்போடென்யூஸில் முடிக்கப்பட்ட சதுரத்தை இரண்டு செவ்வகங்களாகப் பிரிக்கிறது என்பதை நிரூபித்தார், அதன் பகுதிகள் பக்கங்களில் கட்டப்பட்ட தொடர்புடைய சதுரங்களின் பகுதிகளுக்கு சமம்.

இந்த தேற்றத்தை நிரூபிக்க பயன்படுத்தப்படும் வரைதல் நகைச்சுவையாக "பித்தகோரியன் பேண்ட்ஸ்" என்று அழைக்கப்படுகிறது. நீண்ட காலமாக இது கணித அறிவியலின் அடையாளங்களில் ஒன்றாக கருதப்பட்டது.

பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் பயன்பாடு

பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் முக்கியத்துவம் என்னவென்றால், வடிவவியலின் பெரும்பாலான கோட்பாடுகள் அதிலிருந்து அல்லது அதன் உதவியுடன் பெறப்பட்டு பல சிக்கல்களைத் தீர்க்க முடியும். இது தவிர, நடைமுறை முக்கியத்துவம்பித்தகோரியன் தேற்றம் மற்றும் அதன் நேர்மாறான தேற்றம் என்னவென்றால், அவற்றின் உதவியுடன் நீங்கள் பகுதிகளை அளவிடாமல் பகுதிகளின் நீளத்தைக் கண்டறியலாம். இது, ஒரு நேர் கோட்டிலிருந்து ஒரு விமானத்திற்கு, ஒரு விமானத்திலிருந்து வால்யூமெட்ரிக் ஸ்பேஸ் மற்றும் அதற்கு அப்பால் செல்லும் வழியைத் திறக்கிறது. இந்த காரணத்திற்காகவே பித்தகோரியன் தேற்றம் மனிதகுலத்திற்கு மிகவும் முக்கியமானது, இது மேலும் மேலும் பரிமாணங்களைத் திறக்கவும் இந்த பரிமாணங்களில் தொழில்நுட்பங்களை உருவாக்கவும் பாடுபடுகிறது.

முடிவுரை

பித்தகோரியன் தேற்றம் மிகவும் பிரபலமானது, அதைப் பற்றி கேள்விப்படாத ஒருவரை கற்பனை செய்வது கடினம். பித்தகோரியன் தேற்றத்தை நிரூபிக்க பல வழிகள் இருப்பதாக அறிந்தேன். இணையத்தில் உள்ள தகவல்கள் உட்பட பல வரலாற்று மற்றும் கணித ஆதாரங்களை நான் படித்தேன், மேலும் பித்தகோரியன் தேற்றம் அதன் வரலாற்றிற்கு மட்டுமல்ல, அது ஆக்கிரமித்துள்ளவற்றிற்கும் சுவாரஸ்யமானது என்பதை உணர்ந்தேன். முக்கியமான இடம்வாழ்க்கை மற்றும் அறிவியலில். இந்த வேலையில் நான் வழங்கிய தரவுகளால் இது நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது. பல்வேறு விளக்கங்கள்இந்த தேற்றத்தின் உரை மற்றும் அதன் ஆதாரத்தின் வழி.

எனவே, பித்தகோரியன் தேற்றம் முக்கிய ஒன்றாகும், மேலும், வடிவவியலின் மிக முக்கியமான தேற்றம் என்று ஒருவர் கூறலாம். வடிவவியலின் பெரும்பாலான தேற்றங்கள் அதிலிருந்து அல்லது அதன் உதவியைக் கொண்டு அறிய முடியும் என்பதில் அதன் முக்கியத்துவம் உள்ளது. பித்தகோரியன் தேற்றமும் குறிப்பிடத்தக்கது, ஏனெனில் அது வெளிப்படையாக இல்லை. எடுத்துக்காட்டாக, ஐசோசெல்ஸ் முக்கோணத்தின் பண்புகளை வரைபடத்தில் நேரடியாகக் காணலாம். ஆனால் நீங்கள் ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தை எவ்வளவு பார்த்தாலும், அதன் பக்கங்களுக்கு இடையே ஒரு எளிய உறவு இருப்பதை நீங்கள் ஒருபோதும் பார்க்க மாட்டீர்கள்: c2 = a2 + b2. எனவே, அதை நிரூபிக்க பெரும்பாலும் காட்சிப்படுத்தல் பயன்படுத்தப்படுகிறது. பித்தகோரஸின் தகுதி என்னவென்றால், அவர் முழுமையானதைக் கொடுத்தார் அறிவியல் ஆதாரம்இந்த தேற்றம். விஞ்ஞானியின் ஆளுமை, அவரது நினைவகம் தற்செயலாக இந்த தேற்றத்தால் பாதுகாக்கப்படவில்லை, சுவாரஸ்யமானது. பித்தகோரஸ் ஒரு அற்புதமான பேச்சாளர், ஆசிரியர் மற்றும் கல்வியாளர், அவரது பள்ளியின் அமைப்பாளர், இசை மற்றும் எண்களின் இணக்கம், நன்மை மற்றும் நீதி, அறிவு மற்றும் ஆரோக்கியமான வாழ்க்கை முறை ஆகியவற்றில் கவனம் செலுத்துகிறார். தொலைதூர சந்ததியினரான நமக்கு அவர் ஒரு முன்மாதிரியாக இருக்கலாம்.

நூலியல் இணைப்பு

துமானோவா எஸ்.வி. பித்தகோரியன் கோட்பாட்டை நிரூபிக்க பல வழிகள் // அறிவியலில் தொடங்கவும். – 2016. – எண் 2. – பி. 91-95;
URL: http://science-start.ru/ru/article/view?id=44 (அணுகல் தேதி: 04/06/2019).

பித்தகோரியன் தேற்றம் செங்கோண முக்கோணங்களுக்கு மட்டுமே பொருந்தும் என்பதால், உங்களுக்கு கொடுக்கப்பட்டுள்ள முக்கோணம் செங்கோண முக்கோணமா என்பதை உறுதிப்படுத்திக் கொள்ளுங்கள்.

  • வலது முக்கோணங்களில், மூன்று கோணங்களில் ஒன்று எப்போதும் 90 டிகிரி ஆகும்.

ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில் ஒரு செங்கோணம், சாய்ந்த கோணங்களைக் குறிக்கும் வளைவுக் குறியீட்டைக் காட்டிலும் சதுரக் குறியீட்டால் குறிக்கப்படுகிறது.முக்கோணத்தின் பக்கங்களை குறிக்கவும். கால்களை “a” மற்றும் “b” (கால்கள் என்பது செங்கோணத்தில் வெட்டும் பக்கங்கள்) என்றும், ஹைப்போடென்யூஸை “c” என்றும் குறிப்பிடவும் (ஹைபோடென்யூஸ் மிகவும்பெரிய பக்கம்

  • வலது முக்கோணம், வலது கோணத்திற்கு எதிரே உள்ளது).முக்கோணத்தின் எந்தப் பக்கத்தை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க விரும்புகிறீர்கள் என்பதைத் தீர்மானிக்கவும்.

  • (சாய்ந்த கோணங்களில் ஒன்றின் மதிப்பு உங்களுக்கு வழங்கப்பட்டால்). a மற்றும் b என்பது கால்கள், c என்பது ஹைப்போடென்யூஸ் என்பதை நினைவில் கொள்ளுங்கள்.

    • எங்கள் எடுத்துக்காட்டில் எழுதுங்கள்: 3² + b² = 5².

  • அறியப்பட்ட ஒவ்வொரு பக்கத்தையும் சதுரப்படுத்தவும்.அல்லது அதிகாரங்களை விட்டு விடுங்கள் - நீங்கள் பின்னர் எண்களை ஸ்கொயர் செய்யலாம்.

    • எங்கள் எடுத்துக்காட்டில், எழுதவும்: 9 + b² = 25.

  • சமன்பாட்டின் ஒரு பக்கத்தில் தெரியாத பக்கத்தை தனிமைப்படுத்தவும்.இதைச் செய்ய, அறியப்பட்ட மதிப்புகளை சமன்பாட்டின் மறுபக்கத்திற்கு மாற்றவும். நீங்கள் ஹைபோடென்யூஸைக் கண்டால், பித்தகோரியன் தேற்றத்தில் அது ஏற்கனவே சமன்பாட்டின் ஒரு பக்கத்தில் தனிமைப்படுத்தப்பட்டுள்ளது (எனவே நீங்கள் எதுவும் செய்ய வேண்டியதில்லை).

    • எங்கள் எடுத்துக்காட்டில், அறியப்படாத b² ஐ தனிமைப்படுத்த சமன்பாட்டின் வலது பக்கத்திற்கு 9 ஐ நகர்த்தவும். நீங்கள் b² = 16 ஐப் பெறுவீர்கள்.

  • அகற்று சதுர வேர்சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலிருந்தும்.இந்த கட்டத்தில், சமன்பாட்டின் ஒரு பக்கத்தில் அறியப்படாத (சதுரம்) உள்ளது, மறுபுறம் அறியப்படாத சொல் (ஒரு எண்) உள்ளது.

    • எங்கள் எடுத்துக்காட்டில், b² = 16. சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களின் வர்க்க மூலத்தை எடுத்து b = 4 ஐப் பெறவும். எனவே இரண்டாவது கால் இதற்குச் சமம் 4 .

  • பித்தகோரியன் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தவும் அன்றாட வாழ்க்கை, இது அதிக எண்ணிக்கையிலான நடைமுறை சூழ்நிலைகளில் பயன்படுத்தப்படலாம் என்பதால்.

    • இதைச் செய்ய, அன்றாட வாழ்க்கையில் சரியான முக்கோணங்களை அடையாளம் காண கற்றுக்கொள்ளுங்கள் - எந்த சூழ்நிலையிலும் இரண்டு பொருள்கள் (அல்லது கோடுகள்) செங்கோணங்களில் வெட்டுகின்றன, மேலும் மூன்றாவது பொருள் (அல்லது கோடு) முதல் இரண்டு பொருட்களின் மேல் (அல்லது குறுக்காக) இணைக்கிறது. கோடுகள்), தெரியாத பக்கத்தைக் கண்டறிய பித்தகோரியன் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தலாம் (மற்ற இரண்டு பக்கங்களும் தெரிந்தால்).
      • எடுத்துக்காட்டு: ஒரு கட்டிடத்தின் மீது சாய்ந்த படிக்கட்டு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. படிக்கட்டுகளின் அடிப்பகுதி சுவரின் அடிப்பகுதியில் இருந்து 5 மீட்டர் தொலைவில் உள்ளது. படிக்கட்டுகளின் மேற்பகுதி தரையில் இருந்து 20 மீட்டர் (சுவரில்) உள்ளது. படிக்கட்டுகளின் நீளம் என்ன?
        • "சுவரின் அடிப்பகுதியில் இருந்து 5 மீட்டர்" என்பது a = 5; "தரையில் இருந்து 20 மீட்டர் தொலைவில் அமைந்துள்ளது" என்பது b = 20 (அதாவது, கட்டிடத்தின் சுவர் மற்றும் பூமியின் மேற்பரப்பு செங்கோணத்தில் வெட்டுவதால், உங்களுக்கு செங்கோண முக்கோணத்தின் இரண்டு கால்கள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன). படிக்கட்டுகளின் நீளம் ஹைப்போடென்யூஸின் நீளம், இது தெரியவில்லை.
        • a² + b² = c²
        • (5)² + (20)² = c²
        • 25 + 400 = c²
        • 425 = c²
        • c = √425 c = 20.6. எனவே ஏணியின் தோராயமான நீளம்.

    • 20.6 மீட்டர்

    இசை மற்றும் தர்க்கம்

    பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் வரலாறு எவ்வாறு வளர்ந்தது என்பதைச் சொல்வதற்கு முன், கணிதவியலாளரின் வாழ்க்கை வரலாற்றைச் சுருக்கமாகப் பார்ப்போம். கி.மு.6ஆம் நூற்றாண்டில் வாழ்ந்தவர். பித்தகோரஸின் பிறந்த தேதி கிமு 570 என்று கருதப்படுகிறது. இ., அந்த இடம் சமோஸ் தீவு. விஞ்ஞானியின் வாழ்க்கையைப் பற்றி நம்பத்தகுந்ததாக அறியப்படவில்லை. பண்டைய கிரேக்க ஆதாரங்களில் உள்ள வாழ்க்கை வரலாற்றுத் தகவல்கள் வெளிப்படையான புனைகதைகளுடன் பின்னிப் பிணைந்துள்ளன. ஆய்வுக்கட்டுரைகளின் பக்கங்களில், அவர் சிறந்த சொற்களஞ்சியமும், வற்புறுத்தும் திறனும் கொண்ட ஒரு சிறந்த ஞானியாகத் தோன்றுகிறார். எனவே, கிரேக்க கணிதவியலாளர் பித்தகோரஸ் என்று செல்லப்பெயர் பெற்றார், அதாவது "வற்புறுத்தும் பேச்சு". மற்றொரு பதிப்பின் படி, எதிர்கால முனிவரின் பிறப்பு பித்தியாவால் கணிக்கப்பட்டது. அவரது நினைவாக தந்தை பையனுக்கு பிதாகரஸ் என்று பெயரிட்டார்.

    முனிவர் அக்காலப் பெரியவர்களிடம் கற்றார். இளம் பித்தகோரஸின் ஆசிரியர்களில் ஹெர்மோடாமண்டஸ் மற்றும் சிரோஸின் ஃபெரிசைட்ஸ் ஆகியோர் உள்ளனர். முதலாவது அவருக்கு இசையின் மீது ஒரு அன்பைத் தூண்டியது, இரண்டாவது அவருக்கு தத்துவத்தை கற்பித்தது. இந்த இரண்டு விஞ்ஞானங்களும் விஞ்ஞானியின் வாழ்நாள் முழுவதும் மையமாக இருக்கும்.

    30 வருட பயிற்சி

    ஒரு பதிப்பின் படி, ஒரு ஆர்வமுள்ள இளைஞனாக இருந்ததால், பித்தகோரஸ் தனது தாயகத்தை விட்டு வெளியேறினார். அவர் எகிப்தில் அறிவைத் தேடச் சென்றார், அங்கு அவர் பல்வேறு ஆதாரங்களின்படி, 11 முதல் 22 ஆண்டுகள் வரை தங்கியிருந்தார், பின்னர் கைப்பற்றப்பட்டு பாபிலோனுக்கு அனுப்பப்பட்டார். பித்தகோரஸ் தனது பதவியிலிருந்து பயனடைய முடிந்தது. 12 ஆண்டுகள் அவர் கணிதம், வடிவியல் மற்றும் மேஜிக் படித்தார் பண்டைய மாநிலம். பித்தகோரஸ் 56 வயதில்தான் சமோஸுக்குத் திரும்பினார். அப்போது கொடுங்கோலன் பாலிகிரேட்ஸ் இங்கு ஆட்சி செய்தார். பித்தகோரஸ் அத்தகைய அரசியல் அமைப்பை ஏற்றுக்கொள்ள முடியாது, விரைவில் இத்தாலியின் தெற்கே சென்றார், அங்கு குரோட்டனின் கிரேக்க காலனி இருந்தது.

    பித்தகோரஸ் எகிப்திலும் பாபிலோனிலும் இருந்தாரா என்பதை இன்று உறுதியாகச் சொல்ல முடியாது. அவர் பின்னர் சமோஸை விட்டு வெளியேறி நேராக குரோட்டனுக்குச் சென்றிருக்கலாம்.

    பித்தகோரியன்ஸ்

    பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் வரலாறு கிரேக்க தத்துவஞானி உருவாக்கிய பள்ளியின் வளர்ச்சியுடன் இணைக்கப்பட்டுள்ளது. இந்த மத மற்றும் நெறிமுறை சகோதரத்துவம் ஒரு சிறப்பு வாழ்க்கை முறையைக் கடைப்பிடிப்பதைப் போதித்தது, எண்கணிதம், வடிவியல் மற்றும் வானியல் ஆகியவற்றைப் படித்தது, மேலும் எண்களின் தத்துவ மற்றும் மாய பக்கத்தைப் படிப்பதில் ஈடுபட்டது.

    கிரேக்க கணிதவியலாளரின் மாணவர்களின் அனைத்து கண்டுபிடிப்புகளும் அவருக்குக் காரணம். இருப்பினும், பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் தோற்றத்தின் வரலாறு பண்டைய வாழ்க்கை வரலாற்றாசிரியர்களால் தத்துவஞானியுடன் மட்டுமே தொடர்புடையது. அவர் பாபிலோன் மற்றும் எகிப்தில் பெற்ற அறிவை கிரேக்கர்களுக்கு அனுப்பினார் என்று கருதப்படுகிறது. மற்ற மக்களின் சாதனைகளைப் பற்றி அறியாமல், கால்களுக்கும் ஹைப்போடென்யூஸுக்கும் இடையிலான உறவு குறித்த தேற்றத்தை அவர் உண்மையில் கண்டுபிடித்தார் என்ற பதிப்பும் உள்ளது.

    பித்தகோரியன் தேற்றம்: கண்டுபிடிப்பின் வரலாறு

    சில பண்டைய கிரேக்க ஆதாரங்கள் பித்தகோரஸ் தேற்றத்தை நிரூபிக்க முடிந்தபோது அவர் அடைந்த மகிழ்ச்சியை விவரிக்கின்றன. இந்த நிகழ்வை முன்னிட்டு, நூற்றுக்கணக்கான காளைகளின் வடிவில் கடவுளுக்கு பலி கொடுக்க உத்தரவிட்டார் மற்றும் விருந்து நடத்தினார். இருப்பினும், சில விஞ்ஞானிகள், பித்தகோரியர்களின் கருத்துக்களின் தனித்தன்மையின் காரணமாக அத்தகைய செயலின் சாத்தியமற்ற தன்மையை சுட்டிக்காட்டுகின்றனர்.

    யூக்ளிட் உருவாக்கிய "கூறுகள்" என்ற கட்டுரையில், ஆசிரியர் தேற்றத்தின் ஆதாரத்தை வழங்குகிறார் என்று நம்பப்படுகிறது, அதன் ஆசிரியர் சிறந்த கிரேக்க கணிதவியலாளர் ஆவார். இருப்பினும், எல்லோரும் இந்த கருத்தை ஆதரிக்கவில்லை. எனவே, பண்டைய நியோபிளாடோனிஸ்ட் தத்துவஞானி ப்ரோக்லஸ் கூட உறுப்புகளில் கொடுக்கப்பட்ட ஆதாரத்தின் ஆசிரியர் யூக்ளிட் என்று சுட்டிக்காட்டினார்.

    அது எப்படியிருந்தாலும், முதலில் தேற்றத்தை உருவாக்கியவர் பிதாகரஸ் அல்ல.

    பண்டைய எகிப்து மற்றும் பாபிலோன்

    ஜெர்மன் கணிதவியலாளர் கேண்டரின் கூற்றுப்படி, கட்டுரையில் விவாதிக்கப்பட்ட பித்தகோரியன் தேற்றம் கிமு 2300 இல் அறியப்பட்டது. இ. எகிப்தில். நைல் பள்ளத்தாக்கின் பண்டைய குடிமக்கள் பார்வோன் அமெனெம்ஹாட்டின் ஆட்சியின் போது 3 2 + 4 ² = 5 ² சமத்துவத்தை அறிந்தேன். 3, 4 மற்றும் 5 பக்கங்களைக் கொண்ட முக்கோணங்களின் உதவியுடன், எகிப்திய "கயிறு இழுப்பவர்கள்" சரியான கோணங்களைக் கட்டினார்கள் என்று கருதப்படுகிறது.

    அவர்கள் பாபிலோனில் உள்ள பித்தகோரியன் தேற்றத்தையும் அறிந்திருந்தனர். கிமு 2000 க்கு முந்தைய களிமண் மாத்திரைகளில். மற்றும் ஆட்சிக்காலத்திற்கு முந்தையது, ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் ஹைப்போடென்யூஸின் தோராயமான கணக்கீடு கண்டுபிடிக்கப்பட்டது.

    இந்தியா மற்றும் சீனா

    பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் வரலாறு இந்தியா மற்றும் சீனாவின் பண்டைய நாகரிகங்களுடனும் இணைக்கப்பட்டுள்ளது. "Zhou-bi suan jin" என்ற கட்டுரையானது (அதன் பக்கங்கள் 3:4:5 என தொடர்புடையது) 12 ஆம் நூற்றாண்டில் சீனாவில் அறியப்பட்டதற்கான அறிகுறிகளைக் கொண்டுள்ளது. கி.மு e., மற்றும் 6 ஆம் நூற்றாண்டில். கி.மு இ. இந்த மாநிலத்தின் கணிதவியலாளர்கள் அறிந்திருந்தனர் பொதுவான பார்வைதேற்றங்கள்.

    எகிப்திய முக்கோணத்தைப் பயன்படுத்தி ஒரு செங்கோணத்தின் கட்டுமானம் 7-5 ஆம் நூற்றாண்டுகளுக்கு முந்தைய இந்திய கட்டுரையான "சுல்வா சூத்ரா" இல் கோடிட்டுக் காட்டப்பட்டுள்ளது. கி.மு இ.

    எனவே, கிரேக்க கணிதவியலாளர் மற்றும் தத்துவஞானி பிறந்த நேரத்தில் பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் வரலாறு ஏற்கனவே பல நூறு ஆண்டுகள் பழமையானது.

    ஆதாரம்

    அதன் இருப்பு காலத்தில், தேற்றம் வடிவவியலில் அடிப்படையான ஒன்றாக மாறியது. பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் நிரூபணத்தின் வரலாறு, ஒரு சமபக்க சதுரத்தை கருத்தில் கொண்டு அதன் ஹைப்போடென்யூஸ் மற்றும் கால்களில் கட்டமைக்கப்பட்டுள்ளது. ஹைபோடென்யூஸில் "வளர்ந்த" ஒன்று முதல் முக்கோணத்திற்கு சமமான நான்கு முக்கோணங்களைக் கொண்டிருக்கும். பக்கங்களில் உள்ள சதுரங்கள் அத்தகைய இரண்டு முக்கோணங்களைக் கொண்டிருக்கும். எளிமையானது வரைகலை படம்பிரபலமான தேற்றத்தின் வடிவத்தில் வடிவமைக்கப்பட்ட அறிக்கையின் செல்லுபடியை தெளிவாக நிரூபிக்கிறது.

    மற்றொரு எளிய ஆதாரம் வடிவவியலை இயற்கணிதத்துடன் இணைக்கிறது. a, b, c பக்கங்களைக் கொண்ட நான்கு ஒரே மாதிரியான வலது முக்கோணங்கள் வரையப்படுகின்றன, அதனால் அவை இரண்டு சதுரங்களை உருவாக்குகின்றன: புறம் (a + b) மற்றும் உள் ஒன்று பக்கத்துடன். இந்த வழக்கில், சிறிய சதுரத்தின் பரப்பளவு c 2 க்கு சமமாக இருக்கும். பெரிய ஒன்றின் பரப்பளவு பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகையிலிருந்து கணக்கிடப்படுகிறது சிறிய சதுரம்மற்றும் அனைத்து முக்கோணங்களும் (சரியான முக்கோணத்தின் பரப்பளவு, நினைவுகூருதல், சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது (a * b) / 2), அதாவது c 2 + 4 * ((a * b) / 2), இது சமம் c 2 + 2ab வரை. ஒரு பெரிய சதுரத்தின் பரப்பளவை மற்றொரு வழியில் கணக்கிடலாம் - இரண்டு பக்கங்களின் பெருக்கமாக, அதாவது (a + b) 2, இது 2 + 2ab + b 2 க்கு சமம். இது மாறிவிடும்:

    a 2 + 2ab + b 2 = c 2 + 2ab,

    a 2 + b 2 = c 2.

    இந்த தேற்றத்தின் ஆதாரத்தின் பல பதிப்புகள் உள்ளன. யூக்லிட், இந்திய விஞ்ஞானிகள் மற்றும் லியோனார்டோ டா வின்சி ஆகியோர் அவற்றில் பணியாற்றினர். பெரும்பாலும் பண்டைய முனிவர்கள் வரைபடங்களை மேற்கோள் காட்டியுள்ளனர், அவற்றின் எடுத்துக்காட்டுகள் மேலே அமைந்துள்ளன, மேலும் "பாருங்கள்!" என்ற குறிப்பைத் தவிர வேறு எந்த விளக்கங்களுடனும் அவர்களுடன் வரவில்லை. ஜியோமெட்ரிக் ஆதாரத்தின் எளிமை, சில அறிவு கிடைத்தால், கருத்துகள் தேவையில்லை.

    பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் வரலாறு, கட்டுரையில் சுருக்கமாக கோடிட்டுக் காட்டப்பட்டுள்ளது, அதன் தோற்றம் பற்றிய கட்டுக்கதையை நீக்குகிறது. எவ்வாறாயினும், சிறந்த கிரேக்க கணிதவியலாளர் மற்றும் தத்துவஞானியின் பெயர் எப்போதாவது அதனுடன் தொடர்புபடுத்தப்படுவதை நிறுத்திவிடும் என்று கற்பனை செய்வது கூட கடினம்.

    நீங்கள் நூறு சதவிகிதம் உறுதியாக இருக்கக்கூடிய ஒரு விஷயம் என்னவென்றால், ஹைப்போடென்யூஸின் சதுரம் என்ன என்று கேட்டால், எந்த வயது வந்தவரும் தைரியமாக பதில் அளிப்பார்: "கால்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகை." இந்த தேற்றம் ஒவ்வொரு படித்த நபரின் மனதிலும் உறுதியாக வேரூன்றியுள்ளது, ஆனால் அதை நிரூபிக்க யாரையாவது கேட்க வேண்டும், மேலும் சிரமங்கள் ஏற்படலாம். எனவே, பித்தகோரியன் தேற்றத்தை நிரூபிக்க பல்வேறு வழிகளை நினைவில் வைத்துக் கொள்வோம்.

    சுருக்கமான சுயசரிதை

    பித்தகோரியன் தேற்றம் கிட்டத்தட்ட அனைவருக்கும் தெரிந்ததே, ஆனால் சில காரணங்களால் அதை உலகிற்கு கொண்டு வந்த நபரின் வாழ்க்கை வரலாறு மிகவும் பிரபலமாக இல்லை. இதை சரி செய்ய முடியும். எனவே, பித்தகோரஸின் தேற்றத்தை நிரூபிக்க பல்வேறு வழிகளை ஆராய்வதற்கு முன், நீங்கள் அவரது ஆளுமையை சுருக்கமாக அறிந்து கொள்ள வேண்டும்.

    பித்தகோரஸ் - தத்துவஞானி, கணிதவியலாளர், சிந்தனையாளர், இந்த பெரிய மனிதனின் நினைவாக வளர்ந்த புராணக்கதைகளிலிருந்து அவரது வாழ்க்கை வரலாற்றை வேறுபடுத்துவது மிகவும் கடினம். ஆனால் அவரைப் பின்பற்றுபவர்களின் படைப்புகளில் இருந்து பின்வருமாறு, சமோஸின் பித்தகோரஸ் சமோஸ் தீவில் பிறந்தார். அவரது தந்தை ஒரு சாதாரண கல் வெட்டும் தொழிலாளி, ஆனால் அவரது தாயார் ஒரு உன்னத குடும்பத்தில் இருந்து வந்தவர்.

    புராணத்தின் படி, பித்தகோரஸின் பிறப்பு பைத்தியா என்ற பெண்ணால் கணிக்கப்பட்டது, அதன் நினைவாக பையனுக்கு பெயரிடப்பட்டது. அவரது கணிப்பின்படி, பிறந்த பையன் மனிதகுலத்திற்கு நிறைய நன்மைகளையும் நன்மைகளையும் கொண்டு வர வேண்டும். அவர் சரியாக என்ன செய்தார்.

    தேற்றத்தின் பிறப்பு

    தனது இளமை பருவத்தில், பித்தகோரஸ் எகிப்துக்குச் சென்று அங்கு பிரபலமான எகிப்திய முனிவர்களைச் சந்திக்கச் சென்றார். அவர்களுடன் சந்தித்த பிறகு, அவர் படிக்க அனுமதிக்கப்பட்டார், அங்கு அவர் எகிப்திய தத்துவம், கணிதம் மற்றும் மருத்துவத்தின் அனைத்து பெரிய சாதனைகளையும் கற்றுக்கொண்டார்.

    பிதாகரஸ் பிரமிடுகளின் கம்பீரத்தினாலும் அழகினாலும் ஈர்க்கப்பட்டு தனது சிறந்த கோட்பாட்டை உருவாக்கியது அநேகமாக எகிப்தில் இருக்கலாம். இது வாசகர்களை அதிர்ச்சியடையச் செய்யலாம், ஆனால் நவீன வரலாற்றாசிரியர்கள் பித்தகோரஸ் தனது கோட்பாட்டை நிரூபிக்கவில்லை என்று நம்புகிறார்கள். ஆனால் அவர் தனது அறிவை தனது ஆதரவாளர்களுக்கு மட்டுமே வழங்கினார், பின்னர் தேவையான அனைத்து கணித கணக்கீடுகளையும் முடித்தார்.

    அது எப்படியிருந்தாலும், இன்று இந்த தேற்றத்தை நிரூபிக்கும் ஒரு முறை அறியப்படவில்லை, ஆனால் ஒரே நேரத்தில் பல. பண்டைய கிரேக்கர்கள் தங்கள் கணக்கீடுகளை எவ்வாறு சரியாகச் செய்தார்கள் என்பதை இன்று நாம் யூகிக்க முடியும், எனவே பித்தகோரியன் தேற்றத்தை நிரூபிக்க வெவ்வேறு வழிகளைப் பார்ப்போம்.

    பித்தகோரியன் தேற்றம்

    நீங்கள் கணக்கீடுகளைத் தொடங்குவதற்கு முன், நீங்கள் எந்தக் கோட்பாட்டை நிரூபிக்க விரும்புகிறீர்கள் என்பதைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். பித்தகோரியன் தேற்றம் இப்படிச் செல்கிறது: "ஒரு முக்கோணத்தில் 90° கோணத்தில், கால்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகை ஹைப்போடென்யூஸின் சதுரத்திற்கு சமம்."

    பித்தகோரியன் தேற்றத்தை நிரூபிக்க மொத்தம் 15 வழிகள் உள்ளன. இது மிகவும் பெரிய எண், எனவே அவற்றில் மிகவும் பிரபலமானவற்றில் கவனம் செலுத்துவோம்.

    முறை ஒன்று

    முதலில், நமக்கு என்ன கொடுக்கப்பட்டுள்ளது என்பதை வரையறுப்போம். இந்த தரவு பித்தகோரியன் தேற்றத்தை நிரூபிக்கும் பிற முறைகளுக்கும் பொருந்தும், எனவே கிடைக்கக்கூடிய அனைத்து குறிப்புகளையும் உடனடியாக நினைவில் கொள்வது மதிப்பு.

    கால்கள் a, b மற்றும் c க்கு சமமான ஹைப்போடென்யூஸ் கொண்ட ஒரு செங்கோண முக்கோணம் நமக்கு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம். நீங்கள் ஒரு செங்கோண முக்கோணத்திலிருந்து ஒரு சதுரத்தை வரைய வேண்டும் என்ற உண்மையை அடிப்படையாகக் கொண்டது ஆதாரத்தின் முதல் முறை.

    இதைச் செய்ய, நீங்கள் லெக் பிக்கு சமமான பகுதியை a நீளத்தின் காலில் சேர்க்க வேண்டும், மேலும் நேர்மாறாகவும். இதன் விளைவாக சதுரத்தின் இரண்டு சம பக்கங்களும் இருக்க வேண்டும். எஞ்சியிருப்பது இரண்டு இணையான கோடுகளை வரைய வேண்டும், மற்றும் சதுரம் தயாராக உள்ளது.

    இதன் விளைவாக உருவத்தின் உள்ளே, அசல் முக்கோணத்தின் ஹைப்போடென்ஸுக்கு சமமான பக்கத்துடன் மற்றொரு சதுரத்தை நீங்கள் வரைய வேண்டும். இதைச் செய்ய, ас மற்றும் св செங்குத்துகளிலிருந்து நீங்கள் с க்கு சமமான இரண்டு இணையான பிரிவுகளை வரைய வேண்டும். எனவே, சதுரத்தின் மூன்று பக்கங்களைப் பெறுகிறோம், அவற்றில் ஒன்று அசல் வலது முக்கோணத்தின் ஹைபோடென்யூஸ் ஆகும். நான்காவது பகுதியை வரைவது மட்டுமே எஞ்சியுள்ளது.

    பெறப்பட்ட உருவத்தின் அடிப்படையில், வெளிப்புற சதுரத்தின் பரப்பளவு (a + b) 2 என்று நாம் முடிவு செய்யலாம். நீங்கள் உருவத்தின் உள்ளே பார்த்தால், உள் சதுரத்துடன் கூடுதலாக, நான்கு வலது முக்கோணங்கள் இருப்பதைக் காணலாம். ஒவ்வொன்றின் பரப்பளவு 0.5av.

    எனவே, பகுதி சமம்: 4 * 0.5ab + c 2 = 2av + c 2

    எனவே (a+c) 2 =2ab+c 2

    எனவே, c 2 =a 2 +b 2

    தேற்றம் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

    முறை இரண்டு: ஒத்த முக்கோணங்கள்

    பித்தகோரியன் தேற்றத்தை நிரூபிப்பதற்கான இந்த சூத்திரம் ஒத்த முக்கோணங்களைப் பற்றிய வடிவவியலின் பிரிவில் இருந்து ஒரு அறிக்கையின் அடிப்படையில் பெறப்பட்டது. ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் கால் அதன் ஹைப்போடென்யூஸுக்கும் 90° கோணத்தின் உச்சியில் இருந்து வெளிப்படும் ஹைப்போடென்யூஸின் பகுதிக்கும் சராசரி விகிதாசாரமாகும் என்று அது கூறுகிறது.

    ஆரம்ப தரவு அப்படியே உள்ளது, எனவே ஆதாரத்துடன் இப்போதே தொடங்குவோம். AB க்கு செங்குத்தாக ஒரு பகுதி CD வரைவோம். மேலே உள்ள அறிக்கையின் அடிப்படையில், முக்கோணங்களின் பக்கங்கள் சமமாக இருக்கும்:

    AC=√AB*AD, SV=√AB*DV.

    பித்தகோரியன் தேற்றத்தை எவ்வாறு நிரூபிப்பது என்ற கேள்விக்கு பதிலளிக்க, இரு ஏற்றத்தாழ்வுகளையும் வகுப்பதன் மூலம் நிரூபணம் முடிக்கப்பட வேண்டும்.

    AC 2 = AB * AD மற்றும் CB 2 = AB * DV

    இப்போது நாம் விளைவாக ஏற்றத்தாழ்வுகளை சேர்க்க வேண்டும்.

    AC 2 + CB 2 = AB * (AD * DV), இதில் AD + DV = AB

    அது மாறிவிடும்:

    AC 2 + CB 2 = AB*AB

    எனவே:

    ஏசி 2 + சிபி 2 = ஏபி 2

    பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் ஆதாரம் மற்றும் பல்வேறு வழிகளில்அதன் தீர்வுகளுக்கு இந்த பிரச்சனைக்கு பன்முக அணுகுமுறை தேவைப்படுகிறது. இருப்பினும், இந்த விருப்பம் எளிமையான ஒன்றாகும்.

    மற்றொரு கணக்கீட்டு முறை

    பித்தகோரியன் தேற்றத்தை நிரூபிக்கும் வெவ்வேறு முறைகளின் விளக்கங்கள் நீங்கள் சொந்தமாக பயிற்சி செய்யத் தொடங்கும் வரை எதையும் குறிக்காது. பல நுட்பங்கள் கணிதக் கணக்கீடுகள் மட்டுமல்ல, அசல் முக்கோணத்திலிருந்து புதிய உருவங்களை உருவாக்குவதும் அடங்கும்.

    இந்த வழக்கில், BC பக்கத்திலிருந்து மற்றொரு வலது முக்கோண VSD ஐ முடிக்க வேண்டியது அவசியம். எனவே, இப்போது இரண்டு முக்கோணங்கள் கி.மு.

    ஒத்த உருவங்களின் பகுதிகள் அவற்றின் ஒத்த நேரியல் பரிமாணங்களின் சதுரங்களாக ஒரு விகிதத்தைக் கொண்டிருப்பதை அறிந்து, பின்:

    S avs * c 2 - S avd * in 2 = S avd * a 2 - S vsd * a 2

    S avs *(2 - முதல் 2 வரை) = a 2 *(S avd -S vsd)

    2 - முதல் 2 =a 2 வரை

    c 2 =a 2 +b 2

    கிரேடு 8 க்கு பித்தகோரியன் தேற்றத்தை நிரூபிக்கும் பல்வேறு முறைகளில், இந்த விருப்பம் மிகவும் பொருத்தமானது அல்ல, நீங்கள் பின்வரும் முறையைப் பயன்படுத்தலாம்.

    பித்தகோரியன் தேற்றத்தை நிரூபிக்க எளிதான வழி. விமர்சனங்கள்

    வரலாற்றாசிரியர்களின் கூற்றுப்படி, இந்த முறை முதலில் தேற்றத்தை மீண்டும் நிரூபிக்க பயன்படுத்தப்பட்டது பண்டைய கிரீஸ். இது மிகவும் எளிமையானது, ஏனெனில் இதற்கு எந்த கணக்கீடுகளும் தேவையில்லை. நீங்கள் படத்தை சரியாக வரைந்தால், 2 + b 2 = c 2 என்ற அறிக்கையின் ஆதாரம் தெளிவாகத் தெரியும்.

    இந்த முறைக்கான நிபந்தனைகள் முந்தையதை விட சற்று வித்தியாசமாக இருக்கும். தேற்றத்தை நிரூபிக்க, வலது முக்கோணம் ABC ஐசோசெல்ஸ் என்று வைத்துக் கொள்வோம்.

    சதுரத்தின் பக்கமாக ஹைபோடென்யூஸ் ஏசியை எடுத்து அதன் மூன்று பக்கங்களையும் வரைகிறோம். கூடுதலாக, இதன் விளைவாக வரும் சதுரத்தில் இரண்டு மூலைவிட்ட கோடுகளை வரைய வேண்டியது அவசியம். அதன் உள்ளே நீங்கள் நான்கு ஐசோசெல்ஸ் முக்கோணங்களைப் பெறுவீர்கள்.

    நீங்கள் AB மற்றும் CB கால்களுக்கு ஒரு சதுரத்தை வரைய வேண்டும் மற்றும் அவை ஒவ்வொன்றிலும் ஒரு மூலைவிட்ட நேர்கோட்டை வரைய வேண்டும். முதல் வரியை செர்டெக்ஸ் ஏ இலிருந்து, இரண்டாவது சி இலிருந்து வரைகிறோம்.

    இப்போது நீங்கள் விளைந்த வரைபடத்தை கவனமாகப் பார்க்க வேண்டும். ஹைபோடென்யூஸ் ஏசியில் அசல் ஒன்றிற்கு சமமான நான்கு முக்கோணங்களும், பக்கங்களில் இரண்டும் இருப்பதால், இது இந்த தேற்றத்தின் உண்மைத்தன்மையைக் குறிக்கிறது.

    மூலம், பித்தகோரியன் தேற்றத்தை நிரூபிக்கும் இந்த முறைக்கு நன்றி, தி பிரபலமான சொற்றொடர்: "பித்தகோரியன் பேன்ட்கள் எல்லா திசைகளிலும் சமம்."

    ஜே. கார்பீல்டின் ஆதாரம்

    ஜேம்ஸ் கார்பீல்ட் அமெரிக்காவின் இருபதாவது ஜனாதிபதி ஆவார். அமெரிக்காவின் ஆட்சியாளராக வரலாற்றில் தனது முத்திரையைப் பதித்ததோடு மட்டுமல்லாமல், அவர் ஒரு திறமையான தன்னியக்க சக்தியாகவும் இருந்தார்.

    அவரது தொழில் வாழ்க்கையின் தொடக்கத்தில் அவர் ஒரு பொதுப் பள்ளியில் ஒரு சாதாரண ஆசிரியராக இருந்தார், ஆனால் விரைவில் மிக உயர்ந்த ஒரு ஆசிரியரானார் கல்வி நிறுவனங்கள். சுய வளர்ச்சிக்கான ஆசை அவரை வழங்க அனுமதித்தது புதிய கோட்பாடுபித்தகோரியன் தேற்றத்தின் ஆதாரம். தேற்றம் மற்றும் அதன் தீர்வுக்கான எடுத்துக்காட்டு பின்வருமாறு.

    முதலில் நீங்கள் ஒரு துண்டு காகிதத்தில் இரண்டு செங்கோண முக்கோணங்களை வரைய வேண்டும், அதனால் அவற்றில் ஒன்றின் கால் இரண்டாவது தொடர்ச்சியாகும். இந்த முக்கோணங்களின் செங்குத்துகள் இணைக்கப்பட வேண்டும், இறுதியில் ஒரு ட்ரேப்சாய்டை உருவாக்க வேண்டும்.

    உங்களுக்குத் தெரிந்தபடி, ஒரு ட்ரேப்சாய்டின் பரப்பளவு அதன் அடித்தளங்கள் மற்றும் அதன் உயரத்தின் பாதி கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்.

    S=a+b/2 * (a+b)

    இதன் விளைவாக வரும் ட்ரேப்சாய்டை மூன்று முக்கோணங்களைக் கொண்ட ஒரு உருவமாக நாம் கருதினால், அதன் பகுதியை பின்வருமாறு காணலாம்:

    S=av/2 *2 + s 2/2

    இப்போது நாம் இரண்டு அசல் வெளிப்பாடுகளை சமப்படுத்த வேண்டும்

    2ab/2 + c/2=(a+b) 2/2

    c 2 =a 2 +b 2

    பித்தகோரியன் தேற்றம் மற்றும் அதை நிரூபிக்கும் முறைகள் பற்றி ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட தொகுதிகள் எழுதப்படலாம். கற்பித்தல் உதவி. ஆனால் இந்த அறிவை நடைமுறையில் பயன்படுத்த முடியாதபோது அதில் ஏதேனும் பயன் உள்ளதா?

    பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் நடைமுறை பயன்பாடு

    துரதிர்ஷ்டவசமாக, நவீன பள்ளி பாடத்திட்டங்கள் இந்த தேற்றத்தை வடிவியல் சிக்கல்களில் மட்டுமே பயன்படுத்துகின்றன. பட்டதாரிகள் தங்கள் அறிவையும் திறமையையும் நடைமுறையில் எவ்வாறு பயன்படுத்துவது என்று தெரியாமல் விரைவில் பள்ளியை விட்டு வெளியேறுவார்கள்.

    உண்மையில், பித்தகோரியன் தேற்றத்தை யார் வேண்டுமானாலும் தங்கள் அன்றாட வாழ்வில் பயன்படுத்தலாம். தொழில்முறை நடவடிக்கைகளில் மட்டுமல்ல, சாதாரண வீட்டு வேலைகளிலும். பித்தகோரியன் தேற்றம் மற்றும் அதை நிரூபிக்கும் முறைகள் மிகவும் அவசியமானதாக இருக்கும் போது பல நிகழ்வுகளைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

    தேற்றத்திற்கும் வானவியலுக்கும் உள்ள தொடர்பு

    காகிதத்தில் உள்ள நட்சத்திரங்கள் மற்றும் முக்கோணங்களை எவ்வாறு இணைக்க முடியும் என்று தோன்றுகிறது. உண்மையில், வானியல் என்பது ஒரு அறிவியல் துறையாகும், இதில் பித்தகோரியன் தேற்றம் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

    உதாரணமாக, விண்வெளியில் ஒரு ஒளிக்கற்றையின் இயக்கத்தைக் கவனியுங்கள். ஒளி இரு திசைகளிலும் ஒரே வேகத்தில் நகர்கிறது என்று அறியப்படுகிறது. ஒளிக்கதிர் நகரும் பாதையை AB என்று அழைப்போம் எல். மேலும் A புள்ளி B க்கு வர ஒளி எடுக்கும் பாதி நேரத்தை அழைப்போம் டி. மற்றும் பீமின் வேகம் - c. அது மாறிவிடும்: c*t=l

    இதே கதிரை வேறொரு விமானத்திலிருந்து பார்த்தால், எடுத்துக்காட்டாக, v வேகத்தில் நகரும் ஸ்பேஸ் லைனரிலிருந்து, இந்த வழியில் உடல்களைக் கவனிக்கும்போது, ​​அவற்றின் வேகம் மாறும். இந்த வழக்கில், நிலையான கூறுகள் கூட எதிர் திசையில் v வேகத்துடன் நகரத் தொடங்கும்.

    காமிக் லைனர் வலது பக்கம் செல்கிறது என்று வைத்துக்கொள்வோம். பின்னர் A மற்றும் B புள்ளிகள், அதற்கு இடையில் பீம் விரைகிறது, இடதுபுறம் நகரத் தொடங்கும். மேலும், கற்றை A புள்ளியில் இருந்து B க்கு நகரும் போது, ​​புள்ளி A நகரும் நேரம் உள்ளது, அதன்படி, ஒளி ஏற்கனவே ஒரு புதிய புள்ளி C க்கு வந்துவிடும். A புள்ளியில் நகர்ந்த பாதி தூரத்தைக் கண்டறிய, நீங்கள் பெருக்க வேண்டும். லைனரின் வேகம் பீமின் பயண நேரத்தின் பாதி (t ").

    இந்த நேரத்தில் ஒரு ஒளிக்கதிர் எவ்வளவு தூரம் பயணிக்க முடியும் என்பதைக் கண்டறிய, நீங்கள் பாதி பாதையை s என்ற புதிய எழுத்தில் குறிக்க வேண்டும் மற்றும் பின்வரும் வெளிப்பாட்டைப் பெற வேண்டும்:

    ஒளியின் சி மற்றும் பி மற்றும் ஸ்பேஸ் லைனரின் புள்ளிகள் ஐசோசெல்ஸ் முக்கோணத்தின் செங்குத்துகள் என்று நாம் கற்பனை செய்தால், புள்ளி A முதல் லைனர் வரையிலான பகுதி அதை இரண்டு வலது முக்கோணங்களாகப் பிரிக்கும். எனவே, பித்தகோரியன் தேற்றத்திற்கு நன்றி, ஒரு ஒளிக்கதிர் பயணிக்கக்கூடிய தூரத்தை நீங்கள் கண்டுபிடிக்கலாம்.

    இந்த உதாரணம், நிச்சயமாக, மிகவும் வெற்றிகரமானது அல்ல, ஏனென்றால் நடைமுறையில் அதை முயற்சிக்க ஒரு சிலர் மட்டுமே அதிர்ஷ்டசாலியாக இருக்க முடியும். எனவே, இந்த தேற்றத்தின் அதிக சாதாரண பயன்பாடுகளைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

    மொபைல் சிக்னல் பரிமாற்ற வரம்பு

    ஸ்மார்ட்போன்கள் இல்லாமல் நவீன வாழ்க்கையை இனி கற்பனை செய்து பார்க்க முடியாது. ஆனால் அவர்கள் மூலம் சந்தாதாரர்களை இணைக்க முடியவில்லை என்றால் அவர்கள் மிகவும் பயனுள்ளதாக இருக்கும் மொபைல் தொடர்புகள்?!

    மொபைல் தகவல்தொடர்புகளின் தரம் நேரடியாக ஆண்டெனா அமைந்துள்ள உயரத்தைப் பொறுத்தது. மொபைல் ஆபரேட்டர். மொபைல் டவரில் இருந்து எவ்வளவு தொலைவில் ஒரு ஃபோன் சிக்னலைப் பெற முடியும் என்பதைக் கணக்கிட, நீங்கள் பித்தகோரியன் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தலாம்.

    ஒரு நிலையான கோபுரத்தின் தோராயமான உயரத்தை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் என்று வைத்துக்கொள்வோம், அது 200 கிலோமீட்டர் சுற்றளவில் ஒரு சமிக்ஞையை விநியோகிக்க முடியும்.

    AB (கோபுர உயரம்) = x;

    BC (சிக்னல் டிரான்ஸ்மிஷன் ஆரம்) = 200 கிமீ;

    OS (உலகின் ஆரம்) = 6380 கிமீ;

    OB=OA+ABOB=r+x

    பித்தகோரியன் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம், அதைக் கண்டுபிடிப்போம் குறைந்தபட்ச உயரம்கோபுரம் 2.3 கிலோமீட்டர் நீளமாக இருக்க வேண்டும்.

    அன்றாட வாழ்வில் பித்தகோரியன் தேற்றம்

    விந்தை போதும், பித்தகோரியன் தேற்றம் அன்றாட விஷயங்களில் கூட பயனுள்ளதாக இருக்கும், உதாரணமாக அலமாரியின் உயரத்தை தீர்மானிப்பது போன்றது. முதல் பார்வையில், அத்தகைய சிக்கலான கணக்கீடுகளைப் பயன்படுத்த வேண்டிய அவசியமில்லை, ஏனென்றால் நீங்கள் டேப் அளவைப் பயன்படுத்தி அளவீடுகளை எடுக்கலாம். ஆனால் அனைத்து அளவீடுகளும் துல்லியமாக எடுக்கப்பட்டிருந்தால், சட்டசபை செயல்பாட்டின் போது சில சிக்கல்கள் ஏன் எழுகின்றன என்று பலர் ஆச்சரியப்படுகிறார்கள்.

    உண்மை என்னவென்றால், அலமாரி ஒரு கிடைமட்ட நிலையில் கூடியிருக்கிறது, அதன் பிறகு மட்டுமே சுவருக்கு எதிராக உயர்த்தப்பட்டு நிறுவப்பட்டுள்ளது. எனவே, கட்டமைப்பை தூக்கும் செயல்பாட்டின் போது, ​​அமைச்சரவையின் பக்கமானது அறையின் உயரத்திலும் குறுக்காகவும் சுதந்திரமாக நகர வேண்டும்.

    800 மிமீ ஆழம் கொண்ட ஒரு அலமாரி உள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம். தரையிலிருந்து கூரை வரை தூரம் - 2600 மிமீ. ஒரு அனுபவம் வாய்ந்த தளபாடங்கள் தயாரிப்பாளர் அமைச்சரவையின் உயரம் அறையின் உயரத்தை விட 126 மிமீ குறைவாக இருக்க வேண்டும் என்று கூறுவார். ஆனால் ஏன் சரியாக 126 மிமீ? ஒரு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்.

    சிறந்த அமைச்சரவை பரிமாணங்களுடன், பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் செயல்பாட்டைச் சரிபார்க்கலாம்:

    ஏசி =√AB 2 +√BC 2

    ஏசி=√2474 2 +800 2 =2600 மிமீ - எல்லாம் பொருந்துகிறது.

    அமைச்சரவையின் உயரம் 2474 மிமீ அல்ல, ஆனால் 2505 மிமீ என்று சொல்லலாம். பிறகு:

    ஏசி=√2505 2 +√800 2 =2629 மிமீ.

    எனவே, இந்த அமைச்சரவை நிறுவலுக்கு ஏற்றது அல்ல இந்த அறை. ஏனெனில் அதை ஒரு செங்குத்து நிலையில் தூக்குவது அதன் உடலுக்கு சேதத்தை ஏற்படுத்தும்.

    ஒருவேளை, வெவ்வேறு விஞ்ஞானிகளால் பித்தகோரியன் தேற்றத்தை நிரூபிக்கும் வெவ்வேறு வழிகளைக் கருத்தில் கொண்டு, அது உண்மை என்பதை விட அதிகமாக இருக்கும் என்று நாம் முடிவு செய்யலாம். இப்போது நீங்கள் உங்கள் அன்றாட வாழ்க்கையில் பெறப்பட்ட தகவலைப் பயன்படுத்தலாம் மற்றும் அனைத்து கணக்கீடுகளும் பயனுள்ளதாக மட்டுமல்ல, சரியானதாகவும் இருக்கும் என்று முழுமையாக நம்பலாம்.


    பித்தகோரியன் தேற்றம்

    பிற கோட்பாடுகள் மற்றும் சிக்கல்களின் விதி விசித்திரமானது... எடுத்துக்காட்டாக, பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் மீது கணிதவியலாளர்கள் மற்றும் கணித ஆர்வலர்களின் இத்தகைய விதிவிலக்கான கவனத்தை எவ்வாறு விளக்குவது? அவர்களில் பலர் ஏன் ஏற்கனவே அறியப்பட்ட ஆதாரங்களுடன் திருப்தியடையவில்லை, ஆனால் அவர்கள் சொந்தமாகக் கண்டுபிடித்து, பல நூறு இருபத்தைந்து ஒப்பீட்டளவில் எதிர்பார்க்கக்கூடிய நூற்றாண்டுகளுக்கு ஆதாரங்களின் எண்ணிக்கையைக் கொண்டு வந்தனர்?
    பித்தகோரியன் தேற்றத்திற்கு வரும்போது, ​​அசாதாரணமானது அதன் பெயருடன் தொடங்குகிறது. இதை முதலில் உருவாக்கியவர் பித்தகோரஸ் அல்ல என்று நம்பப்படுகிறது. அதற்கு அவர் ஆதாரம் கொடுத்தது சந்தேகமாக உள்ளது. பித்தகோரஸ் ஒரு உண்மையான நபர் என்றால் (சிலர் இதை சந்தேகிக்கிறார்கள்!), அவர் பெரும்பாலும் 6-5 ஆம் நூற்றாண்டுகளில் வாழ்ந்திருக்கலாம். கி.மு இ. அவரே எதையும் எழுதவில்லை, தன்னை ஒரு தத்துவஞானி என்று அழைத்தார், அதாவது அவரது புரிதலில், "ஞானத்திற்காக பாடுபடுகிறார்" மற்றும் பித்தகோரியன் யூனியனை நிறுவினார், அதன் உறுப்பினர்கள் இசை, ஜிம்னாஸ்டிக்ஸ், கணிதம், இயற்பியல் மற்றும் வானியல் ஆகியவற்றைப் படித்தனர். வெளிப்படையாக, அவர் ஒரு சிறந்த சொற்பொழிவாளராகவும் இருந்தார், குரோட்டன் நகரில் அவர் தங்கியிருப்பது தொடர்பான பின்வரும் புராணக்கதையால் சாட்சியமளிக்கப்படுகிறது: “குரோட்டனில் உள்ள மக்களுக்கு முன் பித்தகோரஸின் முதல் தோற்றம் இளைஞர்களிடம் ஒரு உரையுடன் தொடங்கியது, அதில் அவர் அப்படி இருந்தார். கண்டிப்பான, ஆனால் அதே நேரத்தில் மிகவும் கவர்ச்சிகரமான இளைஞர்களின் கடமைகளை கோடிட்டுக் காட்டினார், மேலும் நகரத்தில் உள்ள பெரியவர்கள் அறிவுறுத்தல் இல்லாமல் அவர்களை விட்டு வெளியேற வேண்டாம் என்று கேட்டுக் கொண்டனர். இந்த இரண்டாவது உரையில் அவர் குடும்பத்தின் அஸ்திவாரங்களாக சட்டப்பூர்வமான தன்மையையும் ஒழுக்கத்தின் தூய்மையையும் சுட்டிக்காட்டினார்; அடுத்த இரண்டில் அவர் குழந்தைகள் மற்றும் பெண்களிடம் பேசினார். விளைவு கடைசி பேச்சு, அவர் குறிப்பாக ஆடம்பரத்தை கண்டனம் செய்தார், ஹெரா கோவிலுக்கு ஆயிரக்கணக்கான விலையுயர்ந்த ஆடைகள் வழங்கப்பட்டன, ஏனென்றால் ஒரு பெண் கூட தெருவில் தோன்றத் துணியவில்லை ... "இருப்பினும், கி.பி இரண்டாம் நூற்றாண்டில் கூட, அதாவது. 700 ஆண்டுகளுக்குப் பிறகு, மிகவும் உண்மையான மக்கள் வாழ்ந்து வேலை செய்தனர், அசாதாரண விஞ்ஞானிகள் பித்தகோரியன் யூனியனின் செல்வாக்கின் கீழ் தெளிவாக இருந்தனர் மற்றும் புராணத்தின் படி, பித்தகோரஸ் உருவாக்கியவற்றுக்கு மிகுந்த மரியாதை இருந்தது.
    தேற்றத்தின் மீதான ஆர்வம் கணிதத்தின் மைய இடங்களில் ஒன்றை ஆக்கிரமித்துள்ளதாலும், ரோமானிய கவிஞர் குயின்டஸ் ஹோரேஸ் ஃப்ளாக்கஸின் சிரமங்களைச் சமாளித்த நிரூபணங்களின் ஆசிரியர்களின் திருப்தியாலும் ஏற்படுகிறது என்பதில் சந்தேகமில்லை. நம் சகாப்தத்திற்கு முன்பு வாழ்ந்தவர், நன்றாக கூறினார்: "நன்கு தெரிந்த உண்மைகளை வெளிப்படுத்துவது கடினம்."
    ஆரம்பத்தில், ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் ஹைப்போடென்யூஸ் மற்றும் கால்களில் கட்டப்பட்ட சதுரங்களின் பகுதிகளுக்கு இடையேயான உறவை தேற்றம் நிறுவியது:
    .
    இயற்கணித உருவாக்கம்:
    ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில், ஹைப்போடென்யூஸின் நீளத்தின் சதுரம் கால்களின் நீளத்தின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமமாக இருக்கும்.
    அதாவது, முக்கோணத்தின் ஹைப்போடென்யூஸின் நீளத்தை c மற்றும் கால்களின் நீளம் a மற்றும் b ஆல் குறிக்கிறது: a 2 + b 2 =c 2. தேற்றத்தின் இரண்டு சூத்திரங்களும் சமமானவை, ஆனால் இரண்டாவது உருவாக்கம் மிகவும் அடிப்படையானது, அதற்கு பரப்பளவு என்ற கருத்து தேவையில்லை. அதாவது, இரண்டாவது அறிக்கையானது பகுதியைப் பற்றி எதுவும் தெரியாமல் மற்றும் ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் பக்கங்களின் நீளத்தை மட்டும் அளவிடுவதன் மூலம் சரிபார்க்க முடியும்.
    பித்தகோரியன் தேற்றத்தை மாற்று. ஒவ்வொரு மூன்றுக்கும் நேர்மறை எண்கள் a, b மற்றும் c, போன்ற
    a 2 + b 2 = c 2, கால்கள் a மற்றும் b மற்றும் ஹைபோடென்யூஸ் c கொண்ட ஒரு செங்கோண முக்கோணம் உள்ளது.

    ஆதாரம்

    தற்போது, ​​இந்த தேற்றத்தின் 367 சான்றுகள் அறிவியல் இலக்கியங்களில் பதிவு செய்யப்பட்டுள்ளன. அநேகமாக, பித்தகோரியன் தேற்றம் மட்டுமே இவ்வளவு ஈர்க்கக்கூடிய ஆதாரங்களைக் கொண்ட ஒரே தேற்றம். இத்தகைய பன்முகத்தன்மையை வடிவவியலுக்கான தேற்றத்தின் அடிப்படை முக்கியத்துவத்தால் மட்டுமே விளக்க முடியும்.
    நிச்சயமாக, கருத்தியல் ரீதியாக அவை அனைத்தையும் ஒரு சிறிய எண்ணிக்கையிலான வகுப்புகளாகப் பிரிக்கலாம். அவற்றில் மிகவும் பிரபலமானவை: பகுதிகளின் முறையின் சான்றுகள், அச்சு மற்றும் கவர்ச்சியான சான்றுகள் (எடுத்துக்காட்டாக, வேறுபட்ட சமன்பாடுகளைப் பயன்படுத்துதல்).

    ஒத்த முக்கோணங்கள் மூலம்

    இயற்கணித சூத்திரத்தின் பின்வரும் ஆதாரம், கோட்பாடுகளிலிருந்து நேரடியாகக் கட்டமைக்கப்பட்ட சான்றுகளில் எளிமையானது. குறிப்பாக, இது ஒரு உருவத்தின் பரப்பளவு என்ற கருத்தைப் பயன்படுத்துவதில்லை.
    ABC ஆனது ஒரு செங்கோண முக்கோணமாக இருக்கட்டும் C. C இலிருந்து உயரத்தை வரைந்து அதன் அடிப்பகுதியை H முக்கோணத்தால் குறிக்கவும். ACH முக்கோண ABC இரண்டு கோணங்களில் உள்ளது.
    இதேபோல், முக்கோணம் CBH ஏபிசியைப் போன்றது. குறியீட்டை அறிமுகப்படுத்துவதன் மூலம்

    நாம் பெறுகிறோம்

    எது சமமானது

    அதைச் சேர்த்தால், நமக்குக் கிடைக்கும்

    அல்லது

    பகுதி முறையைப் பயன்படுத்தி சான்றுகள்

    கீழே உள்ள சான்றுகள், அவற்றின் வெளிப்படையான எளிமை இருந்தபோதிலும், அவ்வளவு எளிமையானவை அல்ல. அவை அனைத்தும் பகுதியின் பண்புகளைப் பயன்படுத்துகின்றன, இதன் ஆதாரம் பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் ஆதாரத்தை விட மிகவும் சிக்கலானது.

    சமநிறைவு மூலம் ஆதாரம்

    1. படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளபடி நான்கு சமமான வலது முக்கோணங்களை வைக்கவும்.
    2. பக்கங்களைக் கொண்ட ஒரு நாற்கரமானது c என்பது ஒரு சதுரமாகும், ஏனெனில் இரண்டின் கூட்டுத்தொகை கூர்மையான மூலைகள் 90°, மற்றும் விரிக்கப்பட்ட கோணம் 180° ஆகும்.
    3. முழு உருவத்தின் பரப்பளவு ஒருபுறம், பக்கவாட்டு (a + b) கொண்ட ஒரு சதுரத்தின் பரப்பளவிற்கு சமமாக உள்ளது, மறுபுறம், நான்கு முக்கோணங்களின் பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் உள் சதுரம்.



    கே.இ.டி.

    சமத்துவம் மூலம் சான்றுகள்

    அத்தகைய ஒரு ஆதாரத்தின் உதாரணம் வலதுபுறத்தில் உள்ள வரைபடத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது, அங்கு ஹைப்போடென்யூஸில் கட்டப்பட்ட ஒரு சதுரம் கால்களில் கட்டப்பட்ட இரண்டு சதுரங்களாக மறுசீரமைக்கப்படுகிறது.

    யூக்ளிட்டின் ஆதாரம்

    யூக்ளிட்டின் ஆதாரத்தின் யோசனை பின்வருமாறு: ஹைபோடென்யூஸில் கட்டப்பட்ட சதுரத்தின் பாதி பகுதி கால்களில் கட்டப்பட்ட சதுரங்களின் பாதி பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம் என்பதை நிரூபிக்க முயற்சிப்போம், பின்னர் பகுதிகள் பெரிய மற்றும் இரண்டு சிறிய சதுரங்கள் சமம். இடதுபுறத்தில் உள்ள வரைபடத்தைப் பார்ப்போம். அதன் மீது நாம் ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் பக்கங்களில் சதுரங்களை உருவாக்கி, வலது கோணம் C இன் உச்சியில் இருந்து ஒரு கதிர் s ஐ ஹைபோடென்யூஸ் AB க்கு செங்குத்தாக வரைந்தோம், அது ஹைபோடென்யூஸில் கட்டப்பட்ட ABIK சதுரத்தை இரண்டு செவ்வகங்களாக வெட்டுகிறது - BHJI மற்றும் HAKJ, முறையே. இந்த செவ்வகங்களின் பகுதிகள் தொடர்புடைய கால்களில் கட்டப்பட்ட சதுரங்களின் பகுதிகளுக்கு சரியாக சமமாக இருக்கும் என்று மாறிவிடும். சதுர DECA இன் பரப்பளவு AHJK செவ்வகத்தின் பரப்பளவிற்கு சமம் என்பதை நிரூபிக்க முயற்சிப்போம்: ஒரு துணை கண்காணிப்பைப் பயன்படுத்துவோம்: அதே உயரம் மற்றும் அடித்தளம் கொண்ட ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பளவு. கொடுக்கப்பட்ட செவ்வகம் கொடுக்கப்பட்ட செவ்வகத்தின் பாதி பகுதிக்கு சமம். இது ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பளவை அடித்தளம் மற்றும் உயரத்தின் பாதி உற்பத்தியாக வரையறுப்பதன் விளைவாகும். இந்த அவதானிப்பிலிருந்து, ACK முக்கோணத்தின் பரப்பளவு AHK முக்கோணத்தின் பகுதிக்கு சமம் (படத்தில் காட்டப்படவில்லை), இது செவ்வக AHJK இன் பாதி பகுதிக்கு சமம். ACK முக்கோணத்தின் பரப்பளவு சதுர DECA இன் பாதி பகுதிக்கு சமம் என்பதை இப்போது நிரூபிப்போம். இதற்கு செய்ய வேண்டிய ஒரே விஷயம், ACK மற்றும் BDA முக்கோணங்களின் சமத்துவத்தை நிரூபிப்பது (முக்கோண BDA இன் பரப்பளவு மேலே உள்ள சொத்தின் படி சதுரத்தின் பாதி பகுதிக்கு சமம் என்பதால்). இந்த சமத்துவம் வெளிப்படையானது, முக்கோணங்கள் இருபுறமும் சமமாக இருக்கும் மற்றும் அவற்றுக்கிடையேயான கோணம். அதாவது - AB=AK,AD=AC - CAK மற்றும் BAD ஆகிய கோணங்களின் சமத்துவத்தை இயக்க முறையின் மூலம் நிரூபிப்பது எளிது: முக்கோணத்தை CAK 90° எதிரெதிர் திசையில் சுழற்றுகிறோம், பிறகு இரண்டு முக்கோணங்களின் தொடர்புடைய பக்கங்களும் இதில் இருப்பது தெளிவாகத் தெரிகிறது. கேள்வி ஒத்துப்போகும் (சதுரத்தின் உச்சியில் உள்ள கோணம் 90° ஆக இருப்பதால்). சதுர BCFG மற்றும் BHJI செவ்வகத்தின் பகுதிகளின் சமத்துவத்திற்கான காரணம் முற்றிலும் ஒத்ததாகும். இவ்வாறு, ஹைபோடென்யூஸில் கட்டப்பட்ட ஒரு சதுரத்தின் பரப்பளவு கால்களில் கட்டப்பட்ட சதுரங்களின் பகுதிகளால் ஆனது என்பதை நாங்கள் நிரூபித்துள்ளோம்.

    லியோனார்டோ டா வின்சியின் சான்று

    நிரூபணத்தின் முக்கிய கூறுகள் சமச்சீர் மற்றும் இயக்கம்.

    வரைபடத்தை கருத்தில் கொள்வோம், சமச்சீரிலிருந்து பார்க்க முடியும், பிரிவு CI சதுர ABHJ ஐ இரண்டு ஒத்த பகுதிகளாக வெட்டுகிறது (ஏபிசி மற்றும் JHI முக்கோணங்கள் கட்டுமானத்தில் சமமாக இருப்பதால்). 90 டிகிரி எதிரெதிர் திசையில் சுழற்சியைப் பயன்படுத்தி, CAJI மற்றும் GDAB ஆகிய நிழல் உருவங்களின் சமத்துவத்தைக் காண்கிறோம். நாம் நிழலாடிய உருவத்தின் பரப்பளவு கால்களில் கட்டப்பட்ட சதுரங்களின் பாதி பகுதிகள் மற்றும் அசல் முக்கோணத்தின் பரப்பளவுக்கு சமம் என்பது இப்போது தெளிவாகிறது. மறுபுறம், இது ஹைபோடென்யூஸில் கட்டப்பட்ட சதுரத்தின் பாதி பகுதிக்கும், அசல் முக்கோணத்தின் பரப்பளவிற்கும் சமம். கடைசி படிஆதாரம் வாசகருக்கு வழங்கப்படுகிறது.