வீடு→மற்றவை→இயற்கை எண்களின் பெருக்கத்தின் பண்புகள்

இயற்கை எண்களின் பெருக்கத்தின் பண்புகள்

பாடத்தின் நோக்கங்கள்:

கூட்டல் மற்றும் கழித்தல் ஆகியவற்றுடன் தொடர்புடைய பெருக்கத்தின் பரவலான சொத்தை வெளிப்படுத்தும் சமத்துவங்களைப் பெறுங்கள்.
இந்த சொத்தை இடமிருந்து வலமாகப் பயன்படுத்த மாணவர்களுக்குக் கற்றுக் கொடுங்கள்.
முக்கியமாகக் காட்டு நடைமுறை முக்கியத்துவம்இந்த சொத்து.
மாணவர்களில் வளர்க தருக்க சிந்தனை. கணினி திறன்களை வலுப்படுத்துங்கள்.

உபகரணங்கள்:கணினிகள், பெருக்கல் பண்புகளுடன் கூடிய சுவரொட்டிகள், கார்கள் மற்றும் ஆப்பிள்களின் படங்கள், அட்டைகள்.

பாடம் முன்னேற்றம்

1. ஆசிரியரின் அறிமுக உரை.

இன்று பாடத்தில் நாம் பெருக்கத்தின் மற்றொரு சொத்தைப் பார்ப்போம், இது பல இலக்க எண்களை விரைவாகப் பெருக்க உதவுகிறது. முன்பு படித்த பெருக்கல் பண்புகளை மீண்டும் செய்வோம். நாங்கள் ஒரு புதிய தலைப்பைப் படிக்கும்போது, எங்கள் வீட்டுப்பாடத்தைச் சரிபார்ப்போம்.

2. வாய்வழி பயிற்சிகளைத் தீர்ப்பது.

ஐ. பலகையில் எழுதுங்கள்:

1 - திங்கள்
2 - செவ்வாய்
3 - புதன்
4 - வியாழன்
5 - வெள்ளிக்கிழமை
6 - சனிக்கிழமை
7 - ஞாயிறு

உடற்பயிற்சி. வாரத்தின் நாளைப் பற்றி சிந்தியுங்கள். திட்டமிடப்பட்ட நாளின் எண்ணிக்கையை 2 ஆல் பெருக்கவும். தயாரிப்பில் 5ஐச் சேர்க்கவும். தொகையை 5 ஆல் பெருக்கவும். தயாரிப்பை 10 மடங்கு அதிகரிக்கவும். முடிவைப் பெயரிடவும். நீ ஆசைப்பட்டாய்... ஒரு நாள்.

(№ * 2 + 5) * 5 * 10

II. மின்னணு பாடப்புத்தகத்திலிருந்து ஒதுக்கீடு “கணிதம் 5-11 தரங்கள். கணித பாடத்தில் தேர்ச்சி பெற புதிய வாய்ப்புகள். பட்டறை". "Drofa" LLC 2004, "DOS" LLC 2004, CD - ROM, NFPC." பிரிவு "கணிதம். இயற்கை எண்கள்." பணி எண் 8. எக்ஸ்பிரஸ் கட்டுப்பாடு. சங்கிலியில் காலியாக உள்ள செல்களை நிரப்பவும். விருப்பம் 1.

III. பலகையில்:

a+b
(a + b) * c
m–n
m*c–n*c

2) எளிமைப்படுத்த:

5*x*6*y
3*2*a
a * 8 * 7
3 * a * b

3) x இன் எந்த மதிப்புகளில் சமத்துவம் உண்மையாகிறது:

x + 3 = 3 + x
407 * x = x * 407? ஏன்?

பெருக்கத்தின் என்ன பண்புகள் பயன்படுத்தப்பட்டன?

3. புதிய பொருள் படிப்பது.

போர்டில் கார்களின் படங்களுடன் ஒரு போஸ்டர் உள்ளது.

படம் 1.

1 குழு மாணவர்களுக்கான பணி (சிறுவர்கள்).

2 வரிசைகளில் உள்ள கேரேஜில் டிரக்குகள் மற்றும் உள்ளன பயணிகள் கார்கள். வெளிப்பாடுகளை எழுதுங்கள்.

1வது வரிசையில் எத்தனை டிரக்குகள் உள்ளன? எத்தனை கார்கள்?
2வது வரிசையில் எத்தனை லாரிகள் உள்ளன? எத்தனை கார்கள்?
கேரேஜில் மொத்தம் எத்தனை கார்கள் உள்ளன?
1வது வரிசையில் எத்தனை டிரக்குகள் உள்ளன? இரண்டு வரிசைகளில் எத்தனை லாரிகள் உள்ளன?
1வது வரிசையில் எத்தனை கார்கள் உள்ளன? இரண்டு வரிசைகளில் எத்தனை கார்கள் உள்ளன?
கேரேஜில் எத்தனை கார்கள் உள்ளன?

வெளிப்பாடுகள் 3 மற்றும் 6 இன் மதிப்புகளைக் கண்டறியவும். இந்த மதிப்புகளை ஒப்பிடுக. உங்கள் நோட்புக்கில் வெளிப்பாடுகளை எழுதுங்கள். சமத்துவத்தைப் படியுங்கள்.

குழு 2 மாணவர்களுக்கான பணி (சிறுவர்கள்).

கேரேஜில் 2 வரிசை டிரக்குகள் மற்றும் கார்கள் உள்ளன. வெளிப்பாடுகள் எதைக் குறிக்கின்றன:

4 – 3
4 * 2
3 * 2
(4 – 3) * 2
4 * 2 – 3 * 2

கடைசி இரண்டு வெளிப்பாடுகளின் மதிப்புகளைக் கண்டறியவும்.

இந்த வெளிப்பாடுகளுக்கு இடையில் நீங்கள் = குறியை வைக்கலாம் என்பதே இதன் பொருள்.

சமத்துவத்தைப் படிப்போம்: (4 – 3) * 2 = 4 * 2 – 3 * 2.

சிவப்பு மற்றும் பச்சை ஆப்பிள்களின் படங்கள் கொண்ட சுவரொட்டி.

படம் 2.

குழு 3 மாணவர்களுக்கான பணி (பெண்கள்).

வெளிப்பாடுகளை உருவாக்குங்கள்.

ஒரு சிவப்பு மற்றும் ஒரு பச்சை ஆப்பிளின் நிறை எவ்வளவு?
அனைத்து ஆப்பிள்களின் நிறை என்ன?
அனைத்து சிவப்பு ஆப்பிள்களின் நிறை என்ன?
அனைத்து பச்சை ஆப்பிள்களின் நிறை என்ன?
அனைத்து ஆப்பிள்களின் நிறை என்ன?

வெளிப்பாடுகள் 2 மற்றும் 5 இன் மதிப்புகளைக் கண்டறிந்து அவற்றை ஒப்பிடவும். இந்த வெளிப்பாட்டை உங்கள் நோட்புக்கில் எழுதுங்கள். படிக்கவும்.

குழு 4 மாணவர்களுக்கான பணி (பெண்கள்).

ஒரு சிவப்பு ஆப்பிளின் நிறை 100 கிராம், ஒரு பச்சை ஆப்பிள் 80 கிராம்.

வெளிப்பாடுகளை உருவாக்குங்கள்.

ஒரு சிவப்பு ஆப்பிளின் நிறை பச்சை நிறத்தை விட எத்தனை கிராம் அதிகம்?
அனைத்து சிவப்பு ஆப்பிள்களின் நிறை என்ன?
அனைத்து பச்சை ஆப்பிள்களின் நிறை என்ன?
அனைத்து சிவப்பு ஆப்பிள்களின் நிறை பச்சை ஆப்பிள்களை விட எத்தனை கிராம் அதிகம்?

வெளிப்பாடுகள் 2 மற்றும் 5 ஆகியவற்றின் அர்த்தங்களைக் கண்டறியவும். அவற்றை ஒப்பிடுக. சமத்துவத்தைப் படியுங்கள். இந்த எண்களுக்கு மட்டும்தான் சமத்துவம் உண்மையா?

4. வீட்டுப்பாடத்தைச் சரிபார்த்தல்.

உடற்பயிற்சி. சிக்கல் நிலைமைகளின் சுருக்கமான விளக்கத்தின் அடிப்படையில், முக்கிய கேள்வியை முன்வைக்கவும், ஒரு வெளிப்பாட்டை உருவாக்கவும் மற்றும் மாறிகளின் கொடுக்கப்பட்ட மதிப்புகளுக்கு அதன் மதிப்பைக் கண்டறியவும்.

1 குழு

a = 82, b = 21, c = 2 க்கான வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்.

2வது குழு

a = 82, b = 21, c = 2 க்கான வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்.

3 குழு

a = 60, b = 40, c = 3 க்கான வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்.

4 குழு

a = 60, b =40, c = 3 க்கான வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்.

வகுப்பறையில் வேலை செய்யுங்கள்.

வெளிப்பாடு மதிப்புகளை ஒப்பிடுக.

1 மற்றும் 2 குழுக்களுக்கு: (a + b) * c மற்றும் a * c + b * c

3 மற்றும் 4 குழுக்களுக்கு: (a – b) * c மற்றும் a * c – b * c

(a + b) * c = a * c + b * c
(a – b) * c = a * c – b * c

எனவே, எந்த எண்களுக்கும் a, b, c, பின்வருபவை உண்மை:

ஒரு தொகையை எண்ணால் பெருக்கும்போது, ஒவ்வொரு சொல்லையும் அந்த எண்ணால் பெருக்கி அதன் விளைவாக வரும் பொருட்களைச் சேர்க்கலாம்.
ஒரு எண்ணால் வேறுபாட்டைப் பெருக்கும் போது, இந்த எண்ணால் minuend மற்றும் subtrahend ஐப் பெருக்கி, முதல் தயாரிப்பிலிருந்து இரண்டாவதாகக் கழிக்கலாம்.
ஒரு தொகை அல்லது வேறுபாட்டை எண்ணால் பெருக்கும்போது, அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ள ஒவ்வொரு எண்ணிலும் பெருக்கல் பரவுகிறது. எனவே, இந்த பெருக்கல் பண்பு கூட்டல் மற்றும் கழித்தல் பொறுத்து பெருக்கத்தின் பரவலான சொத்து என்று அழைக்கப்படுகிறது.

பாடப்புத்தகத்திலிருந்து சொத்தை உருவாக்குவதைப் படிப்போம்.

5. புதிய பொருள் ஒருங்கிணைப்பு.

முடிக்கவும் #548. பெருக்கத்தின் பரவலான சொத்தை பயன்படுத்தவும்.

(68 + அ) * 2
17 * (14 – x)
(b – 7) * 5
13*(2+y)

1) மதிப்பீட்டிற்கான பணிகளைத் தேர்ந்தெடுக்கவும்.

"5" தரப்படுத்தப்பட்ட பணிகள்.

எடுத்துக்காட்டு 1. 42 * 50 என்ற பொருளின் மதிப்பைக் கண்டுபிடிப்போம். எண் 42 ஐ 40 மற்றும் 2 எண்களின் கூட்டுத்தொகையாக கற்பனை செய்வோம்.

நாம் பெறுவது: 42 * 50 = (40 + 2) * 50. இப்போது நாம் விநியோகச் சொத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

42 * 50 = (40 + 2) * 50 = 40 * 50 + 2 * 50 = 2 000 +100 = 2 100.

546ஐ இதேபோல் தீர்க்கவும்:

a) 91 * 8
c) 6 * 52
இ) 202 * 3
g) 24 * 11
h) 35 * 12
i) 4 * 505

எண்கள் 91.52, 202, 11, 12, 505 ஐப் பத்து மற்றும் ஒன்றுகளின் கூட்டுத்தொகையாகக் குறிக்கவும் மற்றும் கூட்டலுடன் தொடர்புடைய பெருக்கத்தின் பரவலான சொத்தை பயன்படுத்தவும்.

எடுத்துக்காட்டு 2. தயாரிப்பு 39 * 80 இன் மதிப்பைக் கண்டுபிடிப்போம்.

39 என்ற எண்ணை 40க்கும் 1க்கும் உள்ள வித்தியாசமாக கற்பனை செய்து கொள்வோம்.

நாம் பெறுகிறோம்: 39 * 80 = (40 - 1) = 40 * 80 - 1 * 80 = 3,200 - 80 = 3,120.

எண். 546 இலிருந்து தீர்க்கவும்:

b) 7 * 59
இ) 397 * 5
ஈ) 198 * 4
j) 25 * 399

எண்கள் 59, 397, 198, 399 ஐப் பத்துக்கும் ஒன்றுக்கும் இடையே உள்ள வேறுபாடாகக் குறிப்பிடவும் மற்றும் கழித்தல் தொடர்பான பெருக்கத்தின் பரவலான பண்புகளைப் பயன்படுத்தவும்.

"4" தரப்படுத்தப்பட்ட பணிகள்.

எண். 546 (a, c, d, g, h, i) இலிருந்து தீர்க்கவும். கூட்டலுடன் தொடர்புடைய பெருக்கத்தின் பரவலான சொத்தை பயன்படுத்தவும்.

எண் 546 (b, d, f, j) இலிருந்து தீர்க்கவும். கழித்தலுடன் தொடர்புடைய பெருக்கத்தின் பரவலான சொத்தை பயன்படுத்தவும்.

"3" தரப்படுத்தப்பட்ட பணிகள்.

தீர்வு எண். 546 (a, c, d, g, h, i). கூட்டலுடன் தொடர்புடைய பெருக்கத்தின் பரவலான சொத்தை பயன்படுத்தவும்.

தீர்வு எண். 546 (b, d, f, j).

சிக்கல் எண். 552 ஐத் தீர்க்க, ஒரு வெளிப்பாட்டை உருவாக்கி ஒரு வரைபடத்தை உருவாக்கவும்.

இரண்டு கிராமங்களுக்கும் இடையே உள்ள தூரம் 18 கி.மீ. அவர்கள் புறப்பட்டனர் வெவ்வேறு பக்கங்கள்இரண்டு சைக்கிள் ஓட்டுபவர்கள். ஒன்று மணிக்கு m km, மற்றொன்று n கி.மீ. 4 மணி நேரத்திற்குப் பிறகு அவர்களுக்கு இடையே உள்ள தூரம் என்ன?

(வாய்வழியாக. எடுத்துக்காட்டுகள் பலகையின் பின்புறத்தில் எழுதப்பட்டுள்ளன.)

விடுபட்ட எண்களுடன் மாற்றவும்:

மின்னணு பாடப்புத்தகத்திலிருந்து ஒதுக்கீடு “கணிதம் 5-11 தரங்கள். கணித பாடத்தில் தேர்ச்சி பெற புதிய வாய்ப்புகள். பட்டறை". "Drofa" LLC 2004, "DOS" LLC 2004, CD - ROM, NFPC." பிரிவு "கணிதம். இயற்கை எண்கள்." பணி எண். 7. எக்ஸ்பிரஸ் கட்டுப்பாடு. விடுபட்ட எண்களை மீட்டெடுக்கவும்.

6. பாடத்தை சுருக்கவும்.

எனவே, கூட்டல் மற்றும் கழித்தல் ஆகியவற்றுடன் தொடர்புடைய பெருக்கத்தின் பரவலான பண்புகளைப் பார்த்தோம். சொத்தை உருவாக்குவதை மீண்டும் செய்வோம், சொத்தை வெளிப்படுத்தும் சமத்துவங்களைப் படியுங்கள். இடமிருந்து வலமாக பெருக்கலின் பரவலான சொத்தின் பயன்பாடு "திறந்த அடைப்புக்குறிகள்" நிபந்தனையால் வெளிப்படுத்தப்படலாம், ஏனெனில் சமத்துவத்தின் இடது பக்கத்தில் வெளிப்பாடு அடைப்புக்குறிக்குள் இணைக்கப்பட்டுள்ளது, ஆனால் வலதுபுறத்தில் அடைப்புக்குறிகள் இல்லை. வாரத்தின் நாளை யூகிக்க வாய்வழி பயிற்சிகளைத் தீர்க்கும் போது, கூட்டலுடன் தொடர்புடைய பெருக்கத்தின் பகிர்ந்தளிக்கும் பண்புகளையும் நாங்கள் பயன்படுத்தினோம்.

(எண். * 2 + 5) * 5 * 10 = 100 * எண் + 250, பின்னர் படிவத்தின் சமன்பாட்டைத் தீர்த்தது:
100 * எண் + 250 = ஏ

5 செமீ மற்றும் 3 செமீ பக்கங்களைக் கொண்ட ஒரு செவ்வகத்தை 1 செமீ (படம் 143) கொண்ட சதுரங்களாகப் பிரிக்கவும். செவ்வகத்தில் அமைந்துள்ள கலங்களின் எண்ணிக்கையை எண்ணுவோம். இதை செய்ய முடியும், எடுத்துக்காட்டாக, இப்படி.

1 செமீ பக்கமுள்ள சதுரங்களின் எண்ணிக்கை 5 * 3 ஆகும். அத்தகைய ஒவ்வொரு சதுரமும் நான்கு செல்களைக் கொண்டுள்ளது. எனவே, கலங்களின் மொத்த எண்ணிக்கை (5 * 3) * 4 ஆகும்.

அதே பிரச்சனையை வேறு விதமாக தீர்க்க முடியும். செவ்வகத்தின் ஐந்து நெடுவரிசைகளில் ஒவ்வொன்றும் 1 செமீ பக்கத்துடன் மூன்று சதுரங்களைக் கொண்டுள்ளது, எனவே, ஒரு நெடுவரிசையில் 3 * 4 செல்கள் உள்ளன. எனவே, மொத்தம் 5 * (3 * 4) செல்கள் இருக்கும்.

படம் 143 இல் உள்ள செல்களை எண்ணுவது இரண்டு வழிகளில் விளக்குகிறது பெருக்கத்தின் துணை சொத்து 5, 3 மற்றும் 4 எண்களுக்கு. எங்களிடம் உள்ளது: (5 * 3) * 4 = 5 * (3 * 4).

இரண்டு எண்களின் பெருக்கத்தை மூன்றாவது எண்ணால் பெருக்க, முதல் எண்ணை இரண்டாவது மற்றும் மூன்றாவது எண்களின் பெருக்கத்தால் பெருக்கலாம்.

(ab)c = a(bc)

பல எண்களை பெருக்கும்போது, காரணிகளை மாற்றி அடைப்புக்குறிக்குள் வைக்கலாம், அதன் மூலம் கணக்கீடுகளின் வரிசையை தீர்மானிக்கலாம் என்பதை பெருக்கலின் மாற்றியமைக்கும் மற்றும் கூட்டுப் பண்புகளிலிருந்து இது பின்பற்றுகிறது.

எடுத்துக்காட்டாக, பின்வரும் சமத்துவங்கள் உண்மை:

abc = cba,

17 * 2 * 3 * 5 = (17 * 3 ) * (2 * 5 ).

படம் 144 இல், AB பிரிவு மேலே விவாதிக்கப்பட்ட செவ்வகத்தை ஒரு செவ்வகமாகவும் சதுரமாகவும் பிரிக்கிறது.

1 செமீ பக்கமுள்ள சதுரங்களின் எண்ணிக்கையை இரண்டு வழிகளில் எண்ணுவோம்.

ஒருபுறம், இதன் விளைவாக வரும் சதுரம் அவற்றில் 3 * 3 ஐக் கொண்டுள்ளது, மற்றும் செவ்வகமானது 3 * 2 ஐக் கொண்டுள்ளது. மொத்தத்தில் நாம் 3 * 3 + 3 * 2 சதுரங்களைப் பெறுகிறோம். மறுபுறம், இந்த செவ்வகத்தின் மூன்று வரிகளில் ஒவ்வொன்றிலும் 3 + 2 சதுரங்கள் உள்ளன. பின்னர் அவற்றின் மொத்த எண்ணிக்கை 3 * (3 + 2).

சமம் 3 * (3 + 2 ) = 3 * 3 + 3 * 2 விளக்குகிறது கூட்டலுடன் தொடர்புடைய பெருக்கத்தின் பரவலான சொத்து.

ஒரு எண்ணை இரண்டு எண்களின் கூட்டுத்தொகையால் பெருக்க, இந்த எண்ணை ஒவ்வொரு கூட்டல் மூலமாகவும் பெருக்கி அதன் விளைவாக வரும் பொருட்களைச் சேர்க்கலாம்.

நேரடி வடிவத்தில், இந்த சொத்து பின்வருமாறு எழுதப்பட்டுள்ளது:

a(b + c) = ab + ac

கூட்டலுடன் தொடர்புடைய பெருக்கத்தின் பரவலான சொத்தில் இருந்து அது பின்வருமாறு

ab + ac = a(b + c).

இந்த சமத்துவம் P = 2 a + 2 b சூத்திரத்தை இந்த வடிவத்தில் எழுத ஒரு செவ்வகத்தின் சுற்றளவைக் கண்டறிய அனுமதிக்கிறது:

P = 2 (a + b).

விநியோக சொத்து மூன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட விதிமுறைகளுக்கு செல்லுபடியாகும் என்பதை நினைவில் கொள்ளவும். உதாரணமாக:

a(m + n + p + q) = am + an + ap + aq.

கழித்தலுடன் தொடர்புடைய பெருக்கத்தின் பரவலான பண்பும் உண்மையே: b > c அல்லது b = c எனில், பின்னர்

a(b - c) = ab - ac

உதாரணம் 1 . கணக்கிடுங்கள் ஒரு வசதியான வழியில்:

1 ) 25 * 867 * 4 ;

2 ) 329 * 75 + 329 * 246 .

1) பெருக்கத்தின் மாற்றியமைப்பையும் பின்னர் துணை பண்புகளையும் பயன்படுத்துகிறோம்:

25 * 867 * 4 = 867 * (25 * 4 ) = 867 * 100 = 86 700 .

2) எங்களிடம் உள்ளது:

329 * 754 + 329 * 246 = 329 * (754 + 246 ) = 329 * 1 000 = 329 000 .

உதாரணம் 2 . வெளிப்பாட்டை எளிமையாக்கு:

1) 4 a * 3 b;

2) 18 மீ - 13 மீ.

1) பெருக்கத்தின் பரிமாற்ற மற்றும் துணை பண்புகளைப் பயன்படுத்தி, நாம் பெறுகிறோம்:

4 a * 3 b = (4 * 3 ) * ab = 12 ab.

2) கழித்தல் தொடர்பான பெருக்கத்தின் பரவலான சொத்தைப் பயன்படுத்தி, நாம் பெறுகிறோம்:

18 மீ - 13 மீ = மீ (18 - 13 ) = மீ * 5 = 5 மீ.

உதாரணம் 3 . 5 (2 மீ + 7) என்ற வெளிப்பாட்டை எழுதவும், அதனால் அடைப்புக்குறிகள் இல்லை.

கூட்டலுடன் தொடர்புடைய பெருக்கத்தின் பரவலான சொத்தின் படி, எங்களிடம் உள்ளது:

5 (2 மீ + 7) = 5 * 2 மீ + 5 * 7 = 10 மீ + 35.

இந்த மாற்றம் அழைக்கப்படுகிறது திறப்பு அடைப்புக்குறிகள்.

உதாரணம் 4 . 125 * 24 * 283 என்ற வெளிப்பாட்டின் மதிப்பை வசதியான முறையில் கணக்கிடவும்.

தீர்வு. எங்களிடம் உள்ளது:

125 * 24 * 283 = 125 * 8 * 3 * 283 = (125 * 8 ) * (3 * 283 ) = 1 000 * 849 = 849 000 .

உதாரணம் 5 . பெருக்கத்தைச் செய்யவும்: 3 நாட்கள் 18 மணிநேரம் * 6.

தீர்வு. எங்களிடம் உள்ளது:

3 நாட்கள் 18 மணிநேரம் * 6 = 18 நாட்கள் 108 மணிநேரம் = 22 நாட்கள் 12 மணிநேரம்.

எடுத்துக்காட்டைத் தீர்க்கும்போது, கூட்டலுடன் தொடர்புடைய பெருக்கத்தின் பரவலான சொத்து பயன்படுத்தப்பட்டது:

3 நாட்கள் 18 மணிநேரம் * 6 = (3 நாட்கள் + 18 மணிநேரம்) * 6 = 3 நாட்கள் * 6 + 18 மணிநேரம் * 6 = 18 நாட்கள் + 108 மணிநேரம் = 18 நாட்கள் + 96 மணிநேரம் + 12 மணிநேரம் = 18 நாட்கள் + 4 நாட்கள் + 12 மணிநேரம் = 22 நாட்கள் 12 மணி நேரம்.

முழு எண்களின் கூட்டல், பெருக்கல், கழித்தல் மற்றும் வகுத்தல் ஆகியவற்றை வரையறுத்துள்ளோம். இந்த செயல்கள் (செயல்பாடுகள்) பல சிறப்பியல்பு முடிவுகளைக் கொண்டுள்ளன, அவை பண்புகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. இந்தக் கட்டுரையில் முழு எண்களைச் சேர்ப்பது மற்றும் பெருக்குவது ஆகியவற்றின் அடிப்படை பண்புகளைப் பார்ப்போம், அதில் இருந்து இந்த செயல்களின் மற்ற எல்லா பண்புகளும் பின்பற்றப்படுகின்றன, அத்துடன் முழு எண்களைக் கழித்தல் மற்றும் வகுத்தல் ஆகியவற்றின் பண்புகளைப் பார்ப்போம்.

பக்க வழிசெலுத்தல்.

முழு எண்களைச் சேர்ப்பது பல முக்கியமான பண்புகளைக் கொண்டுள்ளது.

அவற்றில் ஒன்று பூஜ்ஜியத்தின் இருப்புடன் தொடர்புடையது. முழு எண்களின் கூட்டல் இந்த பண்பு கூறுகிறது எந்த முழு எண்ணிலும் பூஜ்ஜியத்தைச் சேர்ப்பது அந்த எண்ணை மாற்றாது. இந்தக் கூட்டல் பண்பை எழுத்துக்களைப் பயன்படுத்தி எழுதுவோம்: a+0=a மற்றும் 0+a=a (இந்தச் சமத்துவம் கூட்டல் என்பதன் மாற்றக் குணத்தால் உண்மையாகும்), a என்பது எந்த முழு எண். முழு எண் பூஜ்ஜியம் கூடுதலாக நடுநிலை உறுப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது என்று நீங்கள் கேட்கலாம். ஒன்றிரண்டு உதாரணங்களைத் தருவோம். முழு எண் −78 மற்றும் பூஜ்ஜியத்தின் கூட்டுத்தொகை −78; பூஜ்ஜியத்தில் ஒரு முழு எண்ணைச் சேர்த்தால் நேர்மறை எண் 999, பின்னர் முடிவு 999 என்ற எண்ணாக இருக்கும்.

இப்போது நாம் முழு எண்களைச் சேர்ப்பதற்கான மற்றொரு சொத்தின் உருவாக்கத்தை வழங்குவோம், இது இருப்புடன் தொடர்புடையது எதிர் எண்எந்த முழு எண்ணுக்கும். எதிர் எண்ணுடன் கூடிய எந்த முழு எண்ணின் கூட்டுத்தொகை பூஜ்ஜியமாகும். இந்த சொத்தை எழுதுவதற்கான நேரடி வடிவத்தைக் கொடுப்போம்: a+(-a)=0, இங்கு a மற்றும் −a ஆகியவை எதிர் முழு எண்களாகும். எடுத்துக்காட்டாக, கூட்டுத்தொகை 901+(−901) பூஜ்ஜியம்; இதேபோல், எதிர் முழு எண்களின் கூட்டுத்தொகை −97 மற்றும் 97 பூஜ்ஜியமாகும்.

முழு எண்களை பெருக்கும் அடிப்படை பண்புகள்

முழு எண்களின் பெருக்கல் அனைத்திலும் இயல்பாக உள்ளது இயற்கை எண்களின் பெருக்கத்தின் பண்புகள். இந்த முக்கிய பண்புகளை பட்டியலிடுவோம்.

பூஜ்ஜியம் கூட்டல் சம்பந்தமாக ஒரு நடுநிலை முழு எண் என்பது போல, ஒன்று முழு எண் பெருக்கத்தைப் பொறுத்தவரை ஒரு நடுநிலை முழு எண். அதாவது, எந்த முழு எண்ணையும் ஒன்றால் பெருக்கினால் பெருக்கப்படும் எண்ணை மாற்ற முடியாது. எனவே 1·a=a, இதில் a என்பது எந்த முழு எண். கடைசி சமத்துவத்தை a·1=a என மீண்டும் எழுதலாம், இது பெருக்கத்தின் மாற்றும் பண்புகளை உருவாக்க அனுமதிக்கிறது. இரண்டு உதாரணங்களைத் தருவோம். முழு எண் 556 ஆல் 1 இன் பெருக்கல் 556; ஒன்று மற்றும் முழுமையின் தயாரிப்பு எதிர்மறை எண்−78 என்பது −78க்கு சமம்.

முழு எண்களைப் பெருக்கும் அடுத்த பண்பு பூஜ்ஜியத்தால் பெருக்கத்துடன் தொடர்புடையது. எந்த ஒரு முழு எண்ணையும் பூஜ்ஜியத்தால் பெருக்கினால் கிடைக்கும் விளைவு பூஜ்ஜியமாகும், அதாவது, a·0=0 . 0·a=0 என்ற சமத்துவம் முழு எண்களை பெருக்கும் மாற்றும் பண்பு காரணமாகவும் உண்மையாக உள்ளது. சிறப்பு வழக்கில் a=0, பூஜ்ஜியம் மற்றும் பூஜ்ஜியத்தின் பலன் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்.

முழு எண்களின் பெருக்கத்திற்கு, முந்தைய ஒன்றின் தலைகீழ் பண்பும் உண்மை. என்று கூறுகிறது இரண்டு முழு எண்களின் பலன் பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமம், குறைந்தபட்சம் ஒரு காரணி பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமம். எழுத்து வடிவில், இந்தப் பண்பு பின்வருமாறு எழுதப்படலாம்: a·b=0, a=0, அல்லது b=0, அல்லது a மற்றும் b இரண்டும் ஒரே நேரத்தில் பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமமாக இருந்தால்.

கூட்டலுடன் தொடர்புடைய முழு எண்களின் பெருக்கத்தின் பரவலான சொத்து

முழு எண்களின் கூட்டு கூட்டல் மற்றும் பெருக்கல், இரண்டு சுட்டிக்காட்டப்பட்ட செயல்களை இணைக்கும் கூட்டலுடன் தொடர்புடைய பெருக்கத்தின் பரவலான சொத்தை கருத்தில் கொள்ள அனுமதிக்கிறது. கூட்டல் மற்றும் பெருக்கத்தை ஒன்றாகப் பயன்படுத்துவது, பெருக்கலில் இருந்து தனித்தனியாக கூட்டலைக் கருத்தில் கொண்டால், நாம் இழக்கும் கூடுதல் சாத்தியக்கூறுகளைத் திறக்கிறது.

எனவே, கூட்டலுடன் தொடர்புடைய பெருக்கத்தின் பரவலான சொத்து ஒரு முழு எண் a மற்றும் இரண்டு முழு எண்களின் a மற்றும் b ஆகியவற்றின் கூட்டுத்தொகை a b மற்றும் a c தயாரிப்புகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம் என்று கூறுகிறது, அதாவது a·(b+c)=a·b+a·c. அதே சொத்தை மற்றொரு வடிவத்தில் எழுதலாம்: (a+b)c=ac+bc .

கூட்டலுடன் தொடர்புடைய முழு எண்களைப் பெருக்கும் பண்பு, கூட்டலின் கூட்டுப் பண்புடன் சேர்ந்து, ஒரு முழு எண்ணின் பெருக்கத்தை மூன்றின் கூட்டுத்தொகையால் தீர்மானிக்க அனுமதிக்கிறது. மேலும்முழு எண்கள், பின்னர் முழு எண்களின் கூட்டுத்தொகையை கூட்டுத்தொகையால் பெருக்குதல்.

முழு எண்களின் கூட்டல் மற்றும் பெருக்கத்தின் மற்ற அனைத்து பண்புகளும் நாம் சுட்டிக்காட்டிய பண்புகளிலிருந்து பெறலாம், அதாவது அவை மேலே சுட்டிக்காட்டப்பட்ட பண்புகளின் விளைவுகளாகும்.

முழு எண்களைக் கழிப்பதன் பண்புகள்

விளைந்த சமத்துவம், அத்துடன் முழு எண்களின் கூட்டல் மற்றும் பெருக்கல் ஆகியவற்றின் பண்புகளிலிருந்து, முழு எண்களின் கழித்தல் பின்வரும் பண்புகள் பின்பற்றப்படுகின்றன (a, b மற்றும் c தன்னிச்சையான முழு எண்கள்):

பொதுவாக முழு எண்களின் கழித்தல் மாற்றும் பண்புகளைக் கொண்டிருக்கவில்லை: a−b≠b−a.
சம முழு எண்களின் வேறுபாடு பூஜ்ஜியம்: a−a=0.
கொடுக்கப்பட்ட முழு எண்ணிலிருந்து இரண்டு முழு எண்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கழிக்கும் பண்பு: a−(b+c)=(a−b)−c .
இரண்டு முழு எண்களின் கூட்டுத்தொகையிலிருந்து ஒரு முழு எண்ணைக் கழிக்கும் பண்பு: (a+b)−c=(a−c)+b=a+(b−c) .
கழித்தல் தொடர்பான பெருக்கத்தின் பரவலான சொத்து: a·(b−c)=a·b−a·c மற்றும் (a−b)·c=a·c−b·c.
மற்றும் முழு எண்களைக் கழிப்பதற்கான மற்ற அனைத்து பண்புகளும்.

முழு எண்களின் பிரிவின் பண்புகள்

பற்றி பேசுகிறது முழு எண்களை பிரிக்கும் உணர்வு, முழு எண்களைப் பிரிப்பது பெருக்கத்தின் தலைகீழ் என்று கண்டுபிடித்தோம். நாங்கள் பின்வரும் வரையறையைக் கொடுத்தோம்: முழு எண்களைப் பிரிப்பது கண்டறிதல் அறியப்படாத பெருக்கிமூலம் பிரபலமான வேலைமற்றும் அறியப்பட்ட பெருக்கி. அதாவது, c·b ஆனது a க்கு சமமாக இருக்கும் போது, முழு எண் a-ஐ முழு எண் b-ஆல் வகுபடும் பகுதியை c ஐ அழைக்கிறோம்.

இந்த வரையறை மற்றும் மேலே விவாதிக்கப்பட்ட முழு எண்களின் செயல்பாடுகளின் அனைத்து பண்புகளும், முழு எண்களைப் பிரிப்பதற்கான பின்வரும் பண்புகளின் செல்லுபடியை நிறுவுவதை சாத்தியமாக்குகிறது:

எந்த முழு எண்ணையும் பூஜ்ஜியத்தால் வகுக்க முடியாது.
பூஜ்ஜியத்தைத் தவிர வேறு ஒரு தன்னிச்சையான முழு எண்ணால் பூஜ்ஜியத்தைப் வகுக்கும் பண்பு: 0:a=0.
சம முழு எண்களை வகுக்கும் பண்பு: a:a=1, இதில் a என்பது பூஜ்ஜியத்தைத் தவிர வேறு எந்த முழு எண்.
தன்னிச்சையான முழு எண் a ஐ ஒன்றால் வகுக்கும் பண்பு: a:1=a.
பொதுவாக, முழு எண்களின் வகுத்தல் மாற்றும் பண்புகளைக் கொண்டிருக்கவில்லை: a:b≠b:a .
இரண்டு முழு எண்களின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் வேறுபாட்டை ஒரு முழு எண்ணால் வகுக்கும் பண்புகள்: (a+b):c=a:c+b:c மற்றும் (a−b):c=a:c−b:c, இங்கு a, b , மற்றும் c என்பது முழு எண்கள், அதாவது a மற்றும் b இரண்டும் c ஆல் வகுபடும் மற்றும் c என்பது பூஜ்ஜியமற்றது.
இரண்டு முழு எண்கள் a மற்றும் b இன் பெருக்கத்தை பூஜ்ஜியத்தைத் தவிர ஒரு முழு எண் c ஆல் வகுக்கும் பண்பு: (a·b):c=(a:c)·b, a என்றால் c ஆல் வகுபடும்; (a·b):c=a·(b:c), b என்றால் c ஆல் வகுபடும்; (a·b):c=(a:c)·b=a·(b:c) a மற்றும் b இரண்டும் c ஆல் வகுபடும்.
ஒரு முழு எண்ணை b மற்றும் c ஆகிய இரண்டு முழு எண்களின் பெருக்கத்தால் வகுக்கும் பண்பு ( a , b மற்றும் c எண்கள் a , b c ஆல் வகுத்தல் சாத்தியமாகும்): a:(b c)=(a:b)c=(a :c)·b.
முழு எண்களைப் பிரிப்பதற்கான வேறு ஏதேனும் பண்புகள்.

இரண்டைப் பெருக்குவதன் பரிமாற்றச் சொத்தின் செல்லுபடியை உறுதிப்படுத்தும் ஒரு உதாரணத்தைக் கருத்தில் கொள்வோம் இயற்கை எண்கள். இரண்டு இயற்கை எண்களைப் பெருக்குவதன் அர்த்தத்திலிருந்து தொடங்கி, எண்கள் 2 மற்றும் 6 இன் பெருக்கத்தையும், எண்கள் 6 மற்றும் 2 இன் பெருக்கத்தையும் கணக்கிட்டு, பெருக்கல் முடிவுகளின் சமத்துவத்தைச் சரிபார்ப்போம். 6 மற்றும் 2 எண்களின் பெருக்கல் கூட்டுத்தொகை 6+6க்கு சமம், கூட்டல் அட்டவணையில் இருந்து 6+6=12ஐக் காணலாம். மேலும் 2 மற்றும் 6 எண்களின் பெருக்கல் 2+2+2+2+2+2 என்ற கூட்டுத்தொகைக்கு சமம், இது 12க்கு சமம் (தேவைப்பட்டால், மூன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட எண்களின் கூட்டல் குறித்த கட்டுரையைப் பார்க்கவும்). எனவே, 6·2=2·6.

இரண்டு இயல் எண்களை பெருக்குவதன் மாற்றும் பண்புகளை விளக்கும் படம் இங்கே உள்ளது.

இயற்கை எண்களின் பெருக்கத்தின் கூட்டுப் பண்பு.

இயற்கை எண்களைப் பெருக்குவதன் கூட்டுப் பண்புக்கு குரல் கொடுப்போம்: கொடுக்கப்பட்ட எண்ணை இரண்டு எண்களின் கொடுக்கப்பட்ட பெருக்கத்தால் பெருக்குவது, கொடுக்கப்பட்ட எண்ணை முதல் காரணியால் பெருக்குவதும், அதன் விளைவாக வரும் முடிவை இரண்டாவது காரணியால் பெருக்குவதும் சமம். அதாவது, a·(b·c)=(a·b)·c, a , b மற்றும் c ஆகியவை இயற்கை எண்களாக இருக்கலாம் (அதன் மதிப்புகள் முதலில் கணக்கிடப்படும் வெளிப்பாடுகள் அடைப்புக்குறிக்குள் இணைக்கப்பட்டுள்ளன).

இயற்கை எண்களைப் பெருக்குவதன் துணைப் பண்புகளை உறுதிப்படுத்த ஒரு உதாரணம் தருவோம். உற்பத்தியை 4·(3·2) கணக்கிடுவோம். பெருக்கல் பொருளின்படி, நம்மிடம் 3·2=3+3=6, பிறகு 4·(3·2)=4·6=4+4+4+4+4+4+4=24. இப்போது பெருக்கல் (4·3)·2 ஐச் செய்வோம். 4·3=4+4+4=12 என்பதால், பின்னர் (4·3)·2=12·2=12+12=24. எனவே, சமத்துவம் 4·(3·2)=(4·3)·2 என்பது உண்மை, கேள்விக்குரிய சொத்தின் செல்லுபடியை உறுதிப்படுத்துகிறது.

இயற்கை எண்களின் பெருக்கத்தின் துணைப் பண்புகளை விளக்கும் வரைபடத்தைக் காண்போம்.

இந்தப் பத்தியின் முடிவில், பெருக்கத்தின் துணைப் பண்பு மூன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட இயற்கை எண்களின் பெருக்கத்தை தனித்துவமாகத் தீர்மானிக்க அனுமதிக்கிறது என்பதை நாங்கள் கவனிக்கிறோம்.

கூட்டலுடன் தொடர்புடைய பெருக்கத்தின் பரவலான சொத்து.

பின்வரும் பண்பு கூட்டல் மற்றும் பெருக்கத்தை இணைக்கிறது. இது பின்வருமாறு வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது: கொடுக்கப்பட்ட இரண்டு எண்களின் கொடுக்கப்பட்ட தொகையை கொடுக்கப்பட்ட எண்ணால் பெருக்குவது முதல் காலத்தின் பலனைச் சேர்ப்பதற்கு சமம் மற்றும் கொடுக்கப்பட்ட எண்இரண்டாவது கால மற்றும் கொடுக்கப்பட்ட எண்ணின் பெருக்கத்துடன். இது கூட்டலுடன் தொடர்புடைய பெருக்கத்தின் பரவலான சொத்து என்று அழைக்கப்படுகிறது.

எழுத்துக்களைப் பயன்படுத்தி, கூட்டலுடன் தொடர்புடைய பெருக்கத்தின் பரவலான சொத்து இவ்வாறு எழுதப்படுகிறது (a+b)c=ac+bc(a·c+b·c என்ற வெளிப்பாட்டில், முதலில் பெருக்கல் செய்யப்படுகிறது, அதன் பிறகு கூட்டல் செய்யப்படுகிறது; இதைப் பற்றிய கூடுதல் விவரங்கள் கட்டுரையில் எழுதப்பட்டுள்ளன), இதில் a, b மற்றும் c ஆகியவை தன்னிச்சையான இயற்கை எண்கள். பெருக்கத்தின் பரிமாற்றப் பண்புகளின் விசை, பெருக்கத்தின் பகிர்ந்தளிப்புப் பண்புகளை இதில் எழுதலாம். பின்வரும் படிவம்: a·(b+c)=a·b+a·c.

இயற்கை எண்களின் பெருக்கத்தின் பரவலான பண்புகளை உறுதிப்படுத்தும் ஒரு உதாரணம் தருவோம். சமத்துவத்தின் செல்லுபடியை சரிபார்க்கலாம் (3+4)·2=3·2+4·2. எங்களிடம் (3+4) 2=7 2=7+7=14, மற்றும் 3 2+4 2=(3+3)+(4+4)=6+8=14, எனவே சமத்துவம் ( 3+4 ) 2=3 2+4 2 சரியானது.

கூட்டலுடன் தொடர்புடைய பெருக்கத்தின் பரவலான பண்புடன் தொடர்புடைய ஒரு உருவத்தைக் காண்பிப்போம்.

கழித்தல் தொடர்பான பெருக்கத்தின் பரவலான சொத்து.

பெருக்கலின் அர்த்தத்தை நாம் கடைபிடித்தால், 0·n, n என்பது ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட தன்னிச்சையான இயற்கை எண்ணாக இருக்கும், n சொற்களின் கூட்டுத்தொகை, அவை ஒவ்வொன்றும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம். இவ்வாறு, . கூட்டலின் பண்புகள் இறுதித் தொகை பூஜ்ஜியம் என்று சொல்ல அனுமதிக்கின்றன.

எனவே, எந்த இயல் எண்ணுக்கும் n சமத்துவம் 0·n=0 உள்ளது.

பெருக்கத்தின் பரிமாற்றப் பண்பு செல்லுபடியாகும் வகையில், எந்த இயல் எண்ணான nக்கும் n·0=0 என்ற சமத்துவத்தின் செல்லுபடியை நாங்கள் ஏற்றுக்கொள்கிறோம்.

எனவே, பூஜ்ஜியம் மற்றும் இயற்கை எண்ணின் பலன் பூஜ்ஜியமாகும், அதாவது 0 n=0மற்றும் n·0=0, n என்பது தன்னிச்சையான இயற்கை எண். கடைசி அறிக்கை ஒரு இயற்கை எண் மற்றும் பூஜ்ஜியத்தின் பெருக்கல் பண்புகளின் உருவாக்கம் ஆகும்.

முடிவில், இந்த பத்தியில் விவாதிக்கப்பட்ட பெருக்கல் சொத்து தொடர்பான இரண்டு எடுத்துக்காட்டுகளை நாங்கள் தருகிறோம். 45 மற்றும் 0 எண்களின் பலன் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம். 0 ஐ 45,970 ஆல் பெருக்கினால், நமக்கும் பூஜ்ஜியம் கிடைக்கும்.

இயற்கை எண்களின் பெருக்கம் மேற்கொள்ளப்படும் விதிகளை இப்போது நீங்கள் பாதுகாப்பாக படிக்க ஆரம்பிக்கலாம்.

குறிப்புகள்.

கணிதம். பொதுக் கல்வி நிறுவனங்களின் 1, 2, 3, 4 வகுப்புகளுக்கான ஏதேனும் பாடப்புத்தகங்கள்.
கணிதம். பொதுக் கல்வி நிறுவனங்களின் 5 ஆம் வகுப்புக்கான பாடப்புத்தகங்கள்.