இரண்டாம் வரிசை வேறுபாடு சமன்பாட்டின் பொதுவான வடிவம். லாக்ரேஞ்ச் முறை மூலம் இரண்டாவது வரிசை வேறுபாடு சமன்பாடுகளின் தீர்வுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்

நேரியல் ஒத்திசைவற்ற இரண்டாம்-வரிசை வேறுபட்ட சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க லாக்ரேஞ்ச் மாறிலிகளின் மாறுபாட்டின் முறையை இங்கே பயன்படுத்துவோம். விரிவான விளக்கம்தன்னிச்சையான வரிசையின் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான இந்த முறை பக்கத்தில் விவரிக்கப்பட்டுள்ளது
லாக்ரேஞ்ச் முறை >>> மூலம் உயர் வரிசைகளின் நேரியல் ஒத்திசைவற்ற வேறுபாடு சமன்பாடுகளின் தீர்வு.

எடுத்துக்காட்டு 1

லாக்ரேஞ்ச் மாறிலிகளின் மாறுபாட்டின் முறையைப் பயன்படுத்தி நிலையான குணகங்களுடன் இரண்டாவது-வரிசை வேறுபாடு சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்:
(1)

தீர்வு

முதலில் நாம் ஒரே மாதிரியான வேறுபாடு சமன்பாட்டை தீர்க்கிறோம்:
(2)

இது இரண்டாவது வரிசை சமன்பாடு.

இருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது:
.
பல வேர்கள்: .
(3) .
சமன்பாட்டிற்கான தீர்வுகளின் அடிப்படை அமைப்பு (2) வடிவம் உள்ளது: இங்கிருந்து நாம் பொதுவான தீர்வைப் பெறுகிறோம் (2):
(4) .

ஒரே மாதிரியான சமன்பாடு 1 மாறிலிகள் C 2 மற்றும் சி
.
.
(5) .

அதாவது, (4) இல் உள்ள மாறிலிகளை செயல்பாடுகளுடன் மாற்றுகிறோம்:
.
வடிவத்தில் உள்ள அசல் சமன்பாட்டிற்கு (1) தீர்வைத் தேடுகிறோம்:
(6) .
வழித்தோன்றலைக் கண்டறிதல்:
.

செயல்பாடுகள் மற்றும் சமன்பாட்டை இணைப்போம்:
.
பிறகு
(1) ;



.
இரண்டாவது வழித்தோன்றலைக் காண்கிறோம்:
(7) .
அசல் சமன்பாட்டிற்கு மாற்றீடு (1):

ஒரே மாதிரியான சமன்பாடு (2) மற்றும் பூர்த்தி செய்வதால், கடைசி மூன்று வரிசைகளின் ஒவ்வொரு நெடுவரிசையிலும் உள்ள சொற்களின் கூட்டுத்தொகை பூஜ்ஜியத்தைக் கொடுக்கும் மற்றும் முந்தைய சமன்பாடு படிவத்தை எடுக்கும்:
(6) :
(7) .

இங்கே.

சமன்பாடு (6) உடன் இணைந்து செயல்பாடுகளை நிர்ணயிப்பதற்கான சமன்பாடுகளின் அமைப்பைப் பெறுகிறோம்:
.
சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்ப்பது
;
.

சமன்பாடுகளின் அமைப்பை நாங்கள் தீர்க்கிறோம் (6-7). செயல்பாடுகளுக்கான வெளிப்பாடுகளை எழுதுவோம் மற்றும்:

.
அவற்றின் வழித்தோன்றல்களை நாங்கள் காண்கிறோம்:
;
.

க்ரேமர் முறையைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் அமைப்பை (6-7) தீர்க்கிறோம். கணினி மேட்ரிக்ஸின் தீர்மானிப்பதை நாங்கள் கணக்கிடுகிறோம்:
;
.
க்ரேமரின் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி நாம் காணலாம்:
; ; ; .

.
.

;
.

எனவே, செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறிந்தோம்:

ஒருங்கிணைப்போம் (வேர்களை ஒருங்கிணைப்பதற்கான முறைகளைப் பார்க்கவும்). மாற்றீடு செய்தல்

பதில்
(8)

தீர்வு

எடுத்துக்காட்டு 2

லாக்ரேஞ்ச் மாறிலிகளின் மாறுபாட்டின் முறையால் வேறுபட்ட சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்:

(9)
படி 1. ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது

ஒரே மாதிரியான வேறுபாடு சமன்பாட்டை நாங்கள் தீர்க்கிறோம்:
.
படிவத்தில் தீர்வைத் தேடுகிறோம்.
(10) .
சிறப்பியல்பு சமன்பாட்டை நாங்கள் உருவாக்குகிறோம்:
(11) .

இந்த சமன்பாடு சிக்கலான வேர்களைக் கொண்டுள்ளது:

இந்த வேர்களுடன் தொடர்புடைய தீர்வுகளின் அடிப்படை அமைப்பு வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது: 1 மாறிலிகள் C 2 ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வு (9):
.
படி 2. மாறிலிகளின் மாறுபாடு - மாறிலிகளை செயல்பாடுகளுடன் மாற்றுதல்
(12) .

இப்போது C மாறிலிகளை மாற்றுகிறோம்
(13) :
(14) .
அசல் சமன்பாட்டிற்கு மாற்றீடு (1):

இங்கே.

.
.
வழித்தோன்றல்களின் அட்டவணையில் இருந்து நாம் காணலாம்:
;
.

க்ரேமர் முறையைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் அமைப்பை (13-14) தீர்க்கிறோம். சிஸ்டம் மேட்ரிக்ஸின் தீர்மானிப்பான்:

.
அவற்றின் வழித்தோன்றல்களை நாங்கள் காண்கிறோம்:
;
.

.
, மடக்கை குறியின் கீழ் உள்ள மாடுலஸ் குறி தவிர்க்கப்படலாம். எண் மற்றும் வகுப்பினை இதன் மூலம் பெருக்கவும்:
.
வழித்தோன்றலைக் கண்டறிதல்:
.

அசல் சமன்பாட்டிற்கான பொதுவான தீர்வு:


.

வேறுபட்ட சமன்பாடுகள் 2வது ஆர்டர்

§1. சமன்பாட்டின் வரிசையைக் குறைப்பதற்கான முறைகள்.

2 வது வரிசை வேறுபாடு சமன்பாடு வடிவம் உள்ளது:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image002_107.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="119" height="25 src="> ( அல்லது வேறுபட்ட" href="/text/category/differentcial/" rel="bookmark">2வது வரிசை வேறுபட்ட சமன்பாடு). 2வது வரிசை வேறுபாடு சமன்பாட்டிற்கான Cauchy பிரச்சனை (1..gif" width="85" height= "25 src =">.gif" அகலம்="85" உயரம்="25 src=">.gif" உயரம்="25 src=">.

2வது வரிசை வேறுபாடு சமன்பாடு படிவத்தைக் கொண்டிருக்கட்டும்: https://pandia.ru/text/78/516/images/image009_41.gif" height="25 src=">..gif" width="39" height=" 25 src=">.gif" அகலம்="265" உயரம்="28 src=">.

எனவே, 2வது வரிசை சமன்பாடு https://pandia.ru/text/78/516/images/image015_28.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="118" height =" 25 src=">.gif" அகலம்="117" உயரம்="25 src=">.gif" அகலம்="34" உயரம்="25 src=">. அதைத் தீர்ப்பதன் மூலம், இரண்டு தன்னிச்சையான மாறிலிகளைப் பொறுத்து அசல் வேறுபாடு சமன்பாட்டின் பொதுவான ஒருங்கிணைப்பைப் பெறுகிறோம்: https://pandia.ru/text/78/516/images/image020_23.gif" width="95" height="25 src = ">. gif" அகலம் = "76" உயரம் = "25 src=">.

தீர்வு.

அசல் சமன்பாட்டில் வெளிப்படையாக வாதம் இல்லாததால் https://pandia.ru/text/78/516/images/image011_39.gif" height="25 src=">.gif" width="35" height="25 src=">..gif" width="35" height="25 src=">.gif" width="82" height="38 src="> ..gif" width="99" height="38 src=">.

https://pandia.ru/text/78/516/images/image029_18.gif" width="85" height="25 src=">.gif" width="42" height="38 src= "இலிருந்து >.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="68" height="35 src=">..gif" height="25 src=">.

2வது வரிசை வேறுபாடு சமன்பாடு படிவத்தைக் கொண்டிருக்கட்டும்: https://pandia.ru/text/78/516/images/image011_39.gif" height="25 src=">..gif" width="161" height=" 25 src=">.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="33" height="25 src=">..gif" width="225" height="25 src=">..gif" width="150" height="25 src=">.

எடுத்துக்காட்டு 2.சமன்பாட்டிற்கான பொதுவான தீர்வைக் கண்டறியவும்: https://pandia.ru/text/78/516/images/image015_28.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="107" உயரம் ========================================================================================================================================> "25 src=">.gif" அகலம்="183" உயரம்="36 src=">.

3. https://pandia.ru/text/78/516/images/image052_13.gif இன் படி சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களும் முழுமையான வழித்தோன்றல்களாக மாறும் வகையில் அதை ஒரு வடிவத்திற்கு மாற்ற முடிந்தால் சக்தியின் வரிசை குறைக்கப்படுகிறது. "அகலம்="92" உயரம்="25 src=">..gif" அகலம்="98" உயரம்="48 src=">.gif" width="138" height="25 src=">.gif" அகலம்="282" உயரம்="25 src=">, (2.1)

இங்கே https://pandia.ru/text/78/516/images/image060_12.gif" width="42" height="25 src=">.gif" width="42" height="25 src="> – குறிப்பிட்ட செயல்பாடுகள், தீர்வு தேடப்படும் இடைவெளியில் தொடர்ந்து. a0(x) ≠ 0 என்று வைத்துக்கொண்டு, (2..gif" width="215" height="25 src="> (2.2)

(2..gif" width="82" height="25 src=">.gif" width="38" height="25 src=">.gif" width="65" உயரம் என்பதை ஆதாரம் இல்லாமல் ஏற்றுக்கொள்வோம் = "25 src=">, பின்னர் சமன்பாடு (2.2) ஒரே மாதிரியானது என்றும், சமன்பாடு (2.2) இல்லையெனில் ஒத்திசைவற்றது என்றும் அழைக்கப்படுகிறது.

2 வது வரிசை லோடுக்கான தீர்வுகளின் பண்புகளை நாம் கருத்தில் கொள்வோம்.

வரையறை.செயல்பாடுகளின் நேரியல் சேர்க்கை https://pandia.ru/text/78/516/images/image071_10.gif" width="93" height="25 src=">.gif" width="42" height="25 src = ">.gif" அகலம்="195" உயரம்="25 src=">, (2.3)

பின்னர் அவற்றின் நேர்கோட்டு சேர்க்கை https://pandia.ru/text/78/516/images/image076_10.gif" width="182" height="25 src="> (2.3) மற்றும் அதன் விளைவாக அடையாளம் என்பதைக் காட்டவும்:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image078_10.gif" width="368" height="25 src=">.

செயல்பாடுகள் https://pandia.ru/text/78/516/images/image074_11.gif" width="42" height="25 src="> சமன்பாட்டிற்கான தீர்வுகள் (2.3), பின்னர் ஒவ்வொரு அடைப்புக்குறிகளும் கடைசி சமன்பாடு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம், இது நிரூபிக்கப்பட வேண்டும்.

முடிவு 1. https://pandia.ru/text/78/516/images/image080_10.gif" width="77" height="25 src="> இல் - சமன்பாட்டிற்கான தீர்வு (2. .gif" width=" 97" height="25 src=">.gif" width="165" height="25 src="> இந்த செயல்பாடுகள் எதுவும் நேரியல் என குறிப்பிடப்படாவிட்டால், சில இடைவெளியில் நேரியல் சார்பற்றது என அழைக்கப்படுகிறது. மற்ற எல்லாவற்றின் கலவை.

இரண்டு செயல்பாடுகளின் விஷயத்தில் https://pandia.ru/text/78/516/images/image085_11.gif" width="119" height="25 src=">, i.e..gif" width="77" உயரம் ==============================================================================> எனவே, இரண்டு நேரியல் சார்பற்ற செயல்பாடுகளுக்கான Wronski தீர்மானிப்பான் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்க முடியாது.

https://pandia.ru/text/78/516/images/image091_10.gif" width="46" height="25 src=">.gif" width="42" height="25 src="> .gif" width="605" height="50">..gif" width="18" height="25 src="> சமன்பாட்டை திருப்திப்படுத்து (2..gif" width="42" height="25 src = "> – சமன்பாட்டிற்கான தீர்வு (3.1)..gif" width="87" height="28 src=">..gif" width="182" height="34 src=">..gif" width= "162" உயரம்="42 src=">.gif" width="51" height="25 src="> இவ்வாறு, அடையாளம் பெறப்படுகிறது.

https://pandia.ru/text/78/516/images/image107_7.gif" width="18" height="25 src=">, இதில் சமன்பாட்டின் நேரியல் சார்பற்ற தீர்வுகளுக்கான தீர்மானிப்பான் (2..gif "அகலம்= "42" உயரம்="25 src=">.gif" height="25 src="> சூத்திரத்தின் வலது பக்கத்தில் (3.2) இரண்டு காரணிகளும் பூஜ்ஜியமற்றவை.

§4. 2 வது ஆர்டர் லோடுக்கான பொதுவான தீர்வின் அமைப்பு.

தேற்றம். https://pandia.ru/text/78/516/images/image074_11.gif" width="42" height="25 src="> என்றால் - நேரியல் சுயாதீன தீர்வுகள்சமன்பாடு (2..gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="129" height="25 src="> என்பது சமன்பாட்டிற்கான தீர்வு (2.3), தீர்வுகளின் பண்புகள் 2 வது வரிசையில் 47" >

இந்த நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் அமைப்பிலிருந்து https://pandia.ru/text/78/516/images/image003_79.gif" width="19" height="25 src="> என்ற மாறிலிகள் தனித்தன்மையுடன் தீர்மானிக்கப்படுகின்றன. இந்த அமைப்பு https: //pandia.ru/text/78/516/images/image006_56.gif" width="51" height="25 src=">:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image116_7.gif" width="138" height="25 src=">.gif" width="19" height="25 src=">. gif" width="69" height="25 src=">.gif" width="235" height="48 src=">..gif" width="143" height="25 src="> (5 ..gif" width="77" height="25 src=">. முந்தைய பத்தியின் படி, இந்த சமன்பாட்டின் இரண்டு நேரியல் சார்பற்ற பகுதி தீர்வுகள் தெரிந்தால், 2வது வரிசை Lodக்கான பொதுவான தீர்வு எளிதில் தீர்மானிக்கப்படும். ஒரு எளிய முறை L. Euler..gif" width="25" height="26 src="> முன்மொழியப்பட்ட நிலையான குணகங்களைக் கொண்ட ஒரு சமன்பாட்டிற்கான பகுதி தீர்வுகளைக் கண்டறிவதற்காக, நாம் ஒரு இயற்கணித சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம், இது பண்பு என அழைக்கப்படுகிறது:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image124_5.gif" width="59" height="26 src="> என்பது k இன் அந்த மதிப்புகளுக்கு மட்டுமே சமன்பாட்டிற்கு (5.1) தீர்வாக இருக்கும் அவை வேர்கள் சிறப்பியல்பு சமன்பாடு(5.2)..gif" width="49" உயரம்="25 src=">..gif" width="76" height="28 src=">.gif" width="205" height="47 src ====================================================================================================================> 83 "உயரம்="26 src=">. இந்தச் செயல்பாடு சமன்பாட்டை (5.1) திருப்திப்படுத்துகிறதா என்பதைச் சரிபார்ப்போம்

https://pandia.ru/text/78/516/images/image141_6.gif" width="328" height="26 src=">, ஏனெனில்..gif" width="137" height="26 src= ">.

குறிப்பிட்ட தீர்வுகள் https://pandia.ru/text/78/516/images/image145_6.gif" width="86" height="28 src="> நேரியல் சார்புடையவை, ஏனெனில்..gif" width="166" உயரம் ===============================================================================================================================> "25 src=">.gif" அகலம்="267" உயரம்="25 src=">.gif" அகலம்="474" உயரம்="25 src=">.

இந்த சமத்துவத்தின் இடது பக்கத்தில் உள்ள இரண்டு அடைப்புக்குறிகளும் பூஜ்ஜியத்திற்கு ஒரே மாதிரியானவை..gif" width="174" height="25 src=">..gif" width="132" height="25 src="> என்பது சமன்பாட்டிற்கான தீர்வு (5.1) ..gif" width="129" height="25 src="> இப்படி இருக்கும்:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image162_6.gif" width="179" height="25 src="> f(x) (6.1)

பொதுவான தீர்வின் கூட்டுத்தொகையாக வழங்கப்படுகிறது https://pandia.ru/text/78/516/images/image164_6.gif" width="195" height="25 src="> (6.2)

மற்றும் எந்த குறிப்பிட்ட தீர்வும் https://pandia.ru/text/78/516/images/image166_6.gif" width="87" height="25 src="> சமன்பாட்டிற்கு ஒரு தீர்வாக இருக்கும் (6.1)..gif" அகலம்=" 272" உயரம் = "25 src="> f(x). இந்த சமத்துவம் ஒரு அடையாளமாகும், ஏனெனில்..gif" width="128" height="25 src="> f(x). எனவே.gif" width="85" height="25 src=">.gif" அகலம் ========================================================================================================================> இவ்வாறு:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image173_5.gif" width="289" height="48 src=">

https://pandia.ru/text/78/516/images/image002_107.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="11" height="25 src=">. gif" width="51" height="25 src=">, மற்றும் நாம் மேலே பார்த்தது போன்ற ஒரு தீர்மானிப்பான், கணினியிலிருந்து பூஜ்ஜியம் அல்ல..gif" width="19" height="25 src="> சமன்பாடுகளின் (6 ..gif" அகலம்="76" உயரம்="25 src=">.gif" அகலம்="76" உயரம்="25 src=">.gif" அகலம்="140" உயரம்="25 src ="> சமன்பாட்டை தீர்க்கும்

https://pandia.ru/text/78/516/images/image179_5.gif" width="91" height="25 src="> சமன்பாட்டில் (6.5), நாங்கள் பெறுகிறோம்

https://pandia.ru/text/78/516/images/image181_5.gif" width="140" height="25 src=">.gif" width="128" height="25 src="> f (x) (7.1)

வலது பக்கம் f(x) இருக்கும் போது https://pandia.ru/text/78/516/images/image185_5.gif" width="34" height="25 src="> சமன்பாடு (7.1) சிறப்பு வகை. இந்த முறை முறை என்று அழைக்கப்படுகிறது நிச்சயமற்ற குணகங்கள்மற்றும் வலது பக்க f(x) வகையைப் பொறுத்து ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வைத் தேர்ந்தெடுப்பதில் உள்ளது. பின்வரும் படிவத்தின் வலது பக்கங்களைக் கவனியுங்கள்:

1..gif" width="282" height="25 src=">.gif" width="53" height="25 src=">, பூஜ்ஜியமாக இருக்கலாம். இந்த வழக்கில் ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வு எடுக்கப்பட வேண்டிய படிவத்தைக் குறிப்பிடுவோம்.

a) எண் என்றால் https://pandia.ru/text/78/516/images/image191_5.gif" width="393" height="25 src=">.gif" width="157" height="25 src =>>.

தீர்வு.

சமன்பாட்டிற்கு https://pandia.ru/text/78/516/images/image195_4.gif" width="86" height="25 src=">..gif" width="62" height="25 src = ">..gif" width="101" height="25 src=">.gif" width="153" height="25 src=">.gif" width="383" height="25 src= " >.

சமத்துவத்தின் இடது மற்றும் வலது பக்கங்களில் இரண்டு பகுதிகளையும் https://pandia.ru/text/78/516/images/image009_41.gif" height="25 src="> என குறைக்கிறோம்

https://pandia.ru/text/78/516/images/image206_5.gif" width="111" height="40 src=">

விளைந்த சமன்பாடுகளின் அமைப்பிலிருந்து நாம் காண்கிறோம்: https://pandia.ru/text/78/516/images/image208_5.gif" width="189" height="25 src=">, மற்றும் பொதுவான தீர்வு கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடுஉள்ளது:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image190_5.gif" width="11" height="25 src=">.gif" width="423" height="25 src=">,

இங்கே https://pandia.ru/text/78/516/images/image212_5.gif" width="158" height="25 src=">.

தீர்வு.

தொடர்புடைய சிறப்பியல்பு சமன்பாடு வடிவம் கொண்டது:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image214_6.gif" width="53" height="25 src=">.gif" width="85" height="25 src=">. gif" width="45" height="25 src=">.gif" width="219" height="25 src=">..gif" width="184" height="35 src=">. இறுதி எங்களிடம் உள்ளது அடுத்த வெளிப்பாடுபொதுவான தீர்வுக்கு:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image223_4.gif" width="170" height="25 src=">.gif" width="13" height="25 src="> சிறந்தது பூஜ்ஜியத்தில் இருந்து. இந்த வழக்கில் குறிப்பிட்ட தீர்வு வகையைக் குறிப்பிடுவோம்.

a) எண் என்றால் https://pandia.ru/text/78/516/images/image227_5.gif" width="204" height="25 src=">,

இதில் https://pandia.ru/text/78/516/images/image226_5.gif" width="16" height="25 src="> என்பது சமன்பாட்டிற்கான சிறப்பியல்பு சமன்பாட்டின் வேர் (5..gif" அகலம்="229" உயரம்="25 src=">,

இங்கே https://pandia.ru/text/78/516/images/image229_5.gif" width="147" height="25 src=">.

தீர்வு.

சமன்பாட்டிற்கான சிறப்பியல்பு சமன்பாட்டின் வேர்கள் https://pandia.ru/text/78/516/images/image231_4.gif" width="58" height="25 src=">.gif" width="203" உயரம் = "25 src=">.

எடுத்துக்காட்டு 3 இல் கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டின் வலது பக்கம் ஒரு சிறப்பு வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது: f(x) https://pandia.ru/text/78/516/images/image235_3.gif" width="50" height="25 src= ">.gif " width="55" height="25 src=">.gif" width="229" height="25 src=">.

தீர்மானிக்க https://pandia.ru/text/78/516/images/image240_2.gif" width="11" height="25 src=">.gif" width="43" height="25 src=" > கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டில் அதை மாற்றவும்:

ஒத்த சொற்களை மேற்கோள் காட்டி, https://pandia.ru/text/78/516/images/image245_2.gif" width="46" height="25 src=">.gif" width="100" உயரத்தில் உள்ள குணகங்களை சமன்படுத்துதல் = "25 src=">.

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டிற்கான இறுதி பொதுவான தீர்வு: https://pandia.ru/text/78/516/images/image249_2.gif" width="281" height="25 src=">.gif" width="47 " உயரம் =" 25 src = "> .gif " width = " 10 " height = " 25 src = " , மற்றும் இந்த பல்லுறுப்புக்கோவைகளில் ஒன்று பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கலாம் .

a) எண் என்றால் https://pandia.ru/text/78/516/images/image255_2.gif" width="605" height="51">, (7.2)

இங்கே https://pandia.ru/text/78/516/images/image257_2.gif" width="121" height="25 src=">.

b) எண் https://pandia.ru/text/78/516/images/image210_5.gif" width="80" height="25 src="> எனில், lnduக்கான குறிப்பிட்ட தீர்வு இப்படி இருக்கும்:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image259_2.gif" width="17" height="25 src=">. வெளிப்பாட்டில் (7..gif" width="121" height= " 25 src=">.

எடுத்துக்காட்டு 4.சமன்பாட்டிற்கான குறிப்பிட்ட தீர்வு வகையைக் குறிப்பிடவும்

https://pandia.ru/text/78/516/images/image262_2.gif" width="129" height="25 src=">..gif" width="95" height="25 src="> . லோடுவின் பொதுவான தீர்வு வடிவம் உள்ளது:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image266_2.gif" width="183" height="25 src=">..gif" width="42" height="25 src="> ..gif" width="36" height="25 src=">.gif" width="351" height="25 src=">.

மேலும் குணகங்கள் https://pandia.ru/text/78/516/images/image273_2.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="42" height="28 src=" > வலது பக்க f1(x), மற்றும் மாறுபாடு" href="/text/category/variatciya/" rel="bookmark">தன்னிச்சையான மாறிலிகளின் மாறுபாடுகள் (Lagrange முறை) கொண்ட சமன்பாட்டிற்கு ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வு உள்ளது.

ஒரு சமன்பாட்டிற்கு ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வை நேரடியாகக் கண்டறிவது, நிலையான குணகங்கள் மற்றும் சிறப்பு இலவச சொற்களைக் கொண்ட ஒரு சமன்பாட்டைத் தவிர, மிகவும் கடினம். எனவே, சமன்பாட்டிற்கு ஒரு பொதுவான தீர்வைக் கண்டறிய, தன்னிச்சையான மாறிலிகளின் மாறுபாட்டின் முறை பொதுவாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது, இது அறியப்பட்டால், சமன்பாட்டிற்கான பொதுவான தீர்வை இருபடிகளில் கண்டறிய எப்போதும் சாத்தியமாக்குகிறது. அடிப்படை அமைப்புதொடர்புடைய ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டின் தீர்வுகள். இந்த முறை பின்வருமாறு.

மேற்கூறியவற்றின் படி, நேரியல் ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டிற்கான பொதுவான தீர்வு:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image278_2.gif" width="46" height="25 src=">.gif" width="51" height="25 src="> – மாறிலிகள் அல்ல, ஆனால் சில, இதுவரை அறியப்படாத, f(x) இன் செயல்பாடுகள். . இடைவெளியில் இருந்து எடுக்க வேண்டும். உண்மையில், இந்த வழக்கில் வ்ரோன்ஸ்கி நிர்ணயிப்பான் இடைவெளியின் எல்லாப் புள்ளிகளிலும் பூஜ்ஜியமாக இல்லை, அதாவது முழு இடத்திலும் - பண்புச் சமன்பாட்டின் சிக்கலான வேர்..gif" width="20" height="25 src="> படிவத்தின் நேரியல் சார்பற்ற பகுதி தீர்வுகள்:

பொதுவான தீர்வு சூத்திரத்தில், இந்த ரூட் வடிவத்தின் வெளிப்பாட்டிற்கு ஒத்திருக்கிறது.

இரண்டாம் வரிசை மற்றும் உயர் வரிசைகளின் வேறுபட்ட சமன்பாடுகள்.
நிலையான குணகங்களுடன் இரண்டாவது வரிசையின் நேரியல் வேறுபாடு சமன்பாடுகள்.
தீர்வுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்.

இரண்டாம் வரிசை வேறுபாடு சமன்பாடுகள் மற்றும் உயர் வரிசை வேறுபாடு சமன்பாடுகளைக் கருத்தில் கொண்டு செல்லலாம். வேறுபட்ட சமன்பாடு என்றால் என்ன என்பது பற்றிய தெளிவற்ற யோசனை உங்களுக்கு இருந்தால் (அல்லது அது என்னவென்று புரியவில்லை), பின்னர் பாடத்துடன் தொடங்க பரிந்துரைக்கிறேன். முதல் வரிசை வேறுபாடு சமன்பாடுகள். தீர்வுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள். பல தீர்வுக் கோட்பாடுகள் மற்றும் முதல் வரிசையின் அடிப்படைக் கருத்துக்கள் தானாகவே உயர்-வரிசை வேறுபாடு சமன்பாடுகளுக்கு விரிவடைகின்றன. முதல் வரிசை சமன்பாடுகளை முதலில் புரிந்துகொள்வது மிகவும் முக்கியம்.

2வது, 3வது மற்றும் பிற ஆர்டர்களின் ரிமோட் கண்ட்ரோல் மிகவும் கடினமானது மற்றும் மாஸ்டர் அணுக முடியாத ஒன்று என்று பல வாசகர்கள் தப்பெண்ணம் கொண்டிருக்கலாம். இது தவறு . பரவல்களை தீர்க்க கற்றுக்கொள்ளுங்கள் உயர் வரிசை"சாதாரண" 1 வது வரிசை DEகளை விட மிகவும் சிக்கலானது. சில இடங்களில் இது இன்னும் எளிமையானது, ஏனெனில் தீர்வுகள் பள்ளி பாடத்திட்டத்தில் இருந்து பொருட்களை தீவிரமாக பயன்படுத்துகின்றன.

மிகவும் பிரபலமானது இரண்டாவது வரிசை வேறுபாடு சமன்பாடுகள். இரண்டாவது வரிசை வேறுபாடு சமன்பாட்டிற்கு அவசியம்இரண்டாவது வழித்தோன்றல் மற்றும் அடங்கும் சேர்க்கப்படவில்லை

சமன்பாட்டிலிருந்து சில குழந்தைகள் (அனைவரும் கூட) காணாமல் போயிருக்கலாம் என்பதை கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும்; மிகவும் பழமையான இரண்டாம்-வரிசை வேறுபாடு சமன்பாடு இதுபோல் தெரிகிறது:

எனது அகநிலை அவதானிப்புகளின்படி, நடைமுறைப் பணிகளில் மூன்றாம் வரிசை வேறுபாடு சமன்பாடுகள் மிகவும் குறைவாகவே உள்ளன, அவை மாநில டுமாவில் 3-4% வாக்குகளைப் பெறும்.

மூன்றாம் வரிசை வேறுபாடு சமன்பாட்டிற்கு அவசியம்மூன்றாவது வழித்தோன்றல் மற்றும் அடங்கும் சேர்க்கப்படவில்லைஉயர் வரிசை வழித்தோன்றல்கள்:

எளிமையான மூன்றாம் வரிசை வேறுபாடு சமன்பாடு இதுபோல் தெரிகிறது: - அப்பா வீட்டில் இருக்கிறார், எல்லா குழந்தைகளும் நடைப்பயணத்திற்கு வெளியே இருக்கிறார்கள்.

இதேபோல், 4, 5 மற்றும் அதிக ஆர்டர்களின் வேறுபட்ட சமன்பாடுகளை நீங்கள் வரையறுக்கலாம். நடைமுறை சிக்கல்களில், அத்தகைய கட்டுப்பாட்டு அமைப்புகள் அரிதாகவே தோல்வியடைகின்றன, இருப்பினும், நான் பொருத்தமான உதாரணங்களை கொடுக்க முயற்சிப்பேன்.

நடைமுறை சிக்கல்களில் முன்மொழியப்பட்ட உயர் வரிசை வேறுபாடு சமன்பாடுகளை இரண்டு முக்கிய குழுக்களாகப் பிரிக்கலாம்.

1) முதல் குழு - என்று அழைக்கப்படும் வரிசையில் குறைக்கக்கூடிய சமன்பாடுகள். வாருங்கள்!

2) இரண்டாவது குழு - நிலையான குணகங்களுடன் கூடிய உயர் வரிசைகளின் நேரியல் சமன்பாடுகள். நாம் இப்போதே பார்க்கத் தொடங்குவோம்.

இரண்டாவது வரிசையின் நேரியல் வேறுபாடு சமன்பாடுகள்
நிலையான குணகங்களுடன்

கோட்பாடு மற்றும் நடைமுறையில், இரண்டு வகையான சமன்பாடுகள் வேறுபடுகின்றன: ஒரே மாதிரியான சமன்பாடுமற்றும் ஒத்திசைவற்ற சமன்பாடு.

நிலையான குணகங்களுடன் ஒரே மாதிரியான இரண்டாவது வரிசை DEஉள்ளது அடுத்த பார்வை:
, எங்கே மற்றும் அவை மாறிலிகள் (எண்கள்), மற்றும் வலது பக்கத்தில் - கண்டிப்பாகபூஜ்யம்.

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, ஒரே மாதிரியான சமன்பாடுகளுடன் எந்த குறிப்பிட்ட சிரமங்களும் இல்லை, முக்கிய விஷயம் சரியாக முடிவு செய்யுங்கள் இருபடி சமன்பாடு .

சில நேரங்களில் தரமற்ற ஒரே மாதிரியான சமன்பாடுகள் உள்ளன, உதாரணமாக வடிவத்தில் ஒரு சமன்பாடு , இரண்டாவது வழித்தோன்றலில் ஒற்றுமையிலிருந்து சில நிலையான வேறுபட்டது (மற்றும், இயற்கையாகவே, பூஜ்ஜியத்திலிருந்து வேறுபட்டது). தீர்வு வழிமுறை மாறாது; நீங்கள் ஒரு சிறப்பியல்பு சமன்பாட்டை உருவாக்கி அதன் வேர்களைக் கண்டறிய வேண்டும் சிறப்பியல்பு சமன்பாடு என்றால் இரண்டு வெவ்வேறு உண்மையான வேர்களைக் கொண்டிருக்கும், எடுத்துக்காட்டாக: , பின்னர் பொதுவான தீர்வு வழக்கமான திட்டத்தின் படி எழுதப்படும்: .

சில சந்தர்ப்பங்களில், நிலையில் உள்ள எழுத்துப்பிழை காரணமாக, "மோசமான" வேர்கள் ஏற்படலாம் . என்ன செய்வது, பதில் இப்படி எழுதப்பட வேண்டும்:

"மோசமான" போன்ற சிக்கலான வேர்களை இணைக்கவும் எந்த பிரச்சனையும் இல்லை, பொதுவான தீர்வு:

அதாவது, எப்படியும் ஒரு பொதுவான தீர்வு உள்ளது. ஏனெனில் எந்த இருபடிச் சமன்பாடும் இரண்டு வேர்களைக் கொண்டது.

இறுதிப் பத்தியில், நான் உறுதியளித்தபடி, சுருக்கமாகக் கருதுவோம்:

உயர் வரிசைகளின் நேரியல் ஒரே மாதிரியான சமன்பாடுகள்

எல்லாம் மிகவும் ஒத்திருக்கிறது.

மூன்றாவது வரிசையின் நேரியல் ஒரே மாதிரியான சமன்பாடு பின்வரும் வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது:
, மாறிலிகள் எங்கே.
இந்த சமன்பாட்டிற்கு, நீங்கள் ஒரு சிறப்பியல்பு சமன்பாட்டை உருவாக்கி அதன் வேர்களைக் கண்டறிய வேண்டும். சிறப்பியல்பு சமன்பாடு, பலர் யூகித்தபடி, இது போல் தெரிகிறது:
, மற்றும் அது எப்படியும்உள்ளது சரியாக மூன்றுவேர்

எடுத்துக்காட்டாக, அனைத்து வேர்களும் உண்மையானதாகவும் வேறுபட்டதாகவும் இருக்கட்டும்: , பின்னர் பொதுவான தீர்வு பின்வருமாறு எழுதப்படும்:

ஒரு ரூட் உண்மையானதாகவும், மற்ற இரண்டும் இணைந்த சிக்கலானதாகவும் இருந்தால், பொதுவான தீர்வை பின்வருமாறு எழுதுகிறோம்:

சிறப்பு வழக்கு, மூன்று வேர்களும் மடங்குகளாக இருக்கும்போது (அதே). தனிமையான தந்தையுடன் 3 வது வரிசையின் எளிமையான ஒரே மாதிரியான DE ஐக் கருத்தில் கொள்வோம்: . சிறப்பியல்பு சமன்பாடு மூன்று தற்செயல் பூஜ்ஜிய வேர்களைக் கொண்டுள்ளது. பொதுவான தீர்வை பின்வருமாறு எழுதுகிறோம்:

சிறப்பியல்பு சமன்பாடு என்றால் எடுத்துக்காட்டாக, மூன்று பல வேர்களைக் கொண்டுள்ளது, பின்னர் பொதுவான தீர்வு, அதன்படி, பின்வருமாறு:

எடுத்துக்காட்டு 9

ஒரே மாதிரியான மூன்றாம் வரிசை வேறுபாடு சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்

தீர்வு:சிறப்பியல்பு சமன்பாட்டை உருவாக்கி தீர்ப்போம்:

, – ஒரு உண்மையான வேர் மற்றும் இரண்டு இணைந்த சிக்கலான வேர்கள் பெறப்படுகின்றன.

பதில்:பொதுவான தீர்வு

இதேபோல், நேரியல் ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டை நாம் கருத்தில் கொள்ளலாம் நான்காவது வரிசைநிலையான குணகங்களுடன்: , மாறிலிகள் எங்கே.

நிலையான குணகங்களுடன் நேரியல் ஒரே மாதிரியான இரண்டாவது வரிசை வேறுபாடு சமன்பாடுஒரு பொதுவான தீர்வு உள்ளது
, எங்கே மற்றும் இந்த சமன்பாட்டின் நேரியல் சார்பற்ற பகுதி தீர்வுகள்.

நிலையான குணகங்களுடன் ஒரே மாதிரியான இரண்டாம்-வரிசை வேறுபாடு சமன்பாட்டிற்கான தீர்வுகளின் பொதுவான வடிவம்
, பண்புச் சமன்பாட்டின் வேர்களைப் பொறுத்தது
.

உதாரணம்

நிலையான குணகங்களுடன் நேரியல் ஒரே மாதிரியான இரண்டாம்-வரிசை வேறுபட்ட சமன்பாடுகளுக்கான பொதுவான தீர்வைக் கண்டறியவும்:

1)

தீர்வு:
.

அதைத் தீர்த்த பிறகு, வேர்களைக் கண்டுபிடிப்போம்
,
செல்லுபடியாகும் மற்றும் வேறுபட்டது. எனவே, பொதுவான தீர்வு:
.

2)

தீர்வு: ஒரு சிறப்பியல்பு சமன்பாட்டை உருவாக்குவோம்:
.

அதைத் தீர்த்த பிறகு, வேர்களைக் கண்டுபிடிப்போம்

செல்லுபடியாகும் மற்றும் ஒரே மாதிரியானது. எனவே, பொதுவான தீர்வு:
.

3)

தீர்வு: ஒரு சிறப்பியல்பு சமன்பாட்டை உருவாக்குவோம்:
.

அதைத் தீர்த்த பிறகு, வேர்களைக் கண்டுபிடிப்போம்
சிக்கலான. எனவே, பொதுவான தீர்வு வடிவம் உள்ளது :.

நிலையான குணகங்களுடன் நேரியல் ஒத்திசைவற்ற இரண்டாவது வரிசை வேறுபாடு சமன்பாடுபோல் தெரிகிறது

எங்கே
. (1)

ஒரு நேரியல் ஒத்திசைவற்ற இரண்டாம் வரிசை வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வு வடிவம் கொண்டது
, எங்கே
- இந்த சமன்பாட்டின் ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வு, - தொடர்புடைய ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வு, அதாவது. சமன்பாடுகள்

தனிப்பட்ட தீர்வு வகை
ஒத்திசைவற்ற சமன்பாடு(1) வலது பக்கத்தைப் பொறுத்து
:

நேரியல் ஒத்திசைவற்ற வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் வெவ்வேறு வகையான வலது பக்கங்களைக் கருத்தில் கொள்வோம்:

1.
, பட்டத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவை எங்கே . பின்னர் குறிப்பிட்ட தீர்வு
வடிவத்தில் தேடலாம்
, எங்கே

, ஏ - பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமான பண்புச் சமன்பாட்டின் வேர்களின் எண்ணிக்கை.

உதாரணம்

ஒரு பொதுவான தீர்வைக் கண்டறியவும்
.

தீர்வு:

.

B) சமன்பாட்டின் வலது பக்கம் முதல் பட்டத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவை மற்றும் பண்புச் சமன்பாட்டின் வேர்கள் எதுவும் இல்லை.
பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லை (
), பின்னர் நாம் ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வை வடிவில் தேடுகிறோம் மற்றும் - அறியப்படாத குணகங்கள். இருமுறை வேறுபடுத்துதல்
மற்றும் மாற்று
,
மற்றும்
அசல் சமன்பாட்டில், நாம் காண்கிறோம்.

அதே டிகிரிகளில் குணகங்களை சமன்படுத்துதல் சமன்பாட்டின் இருபுறமும்
,
, நாங்கள் கண்டுபிடிக்கிறோம்
,
. எனவே, இந்த சமன்பாட்டிற்கு ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வு வடிவம் உள்ளது
, மற்றும் அதன் பொதுவான தீர்வு.

2. வலது பக்கம் வடிவம் இருக்கட்டும்
, பட்டத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவை எங்கே . பின்னர் குறிப்பிட்ட தீர்வு
வடிவத்தில் தேடலாம்
, எங்கே
- அதே அளவு கொண்ட பல்லுறுப்புக்கோவை
, ஏ - எத்தனை முறை என்பதைக் குறிக்கும் எண் பண்புச் சமன்பாட்டின் வேர் ஆகும்.

உதாரணம்

ஒரு பொதுவான தீர்வைக் கண்டறியவும்
.

தீர்வு:

A) தொடர்புடைய ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வைக் கண்டறியவும்
. இதைச் செய்ய, நாம் ஒரு சிறப்பியல்பு சமன்பாட்டை எழுதுகிறோம்
. கடைசி சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டுபிடிப்போம்
. இதன் விளைவாக, ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வு வடிவம் கொண்டது
.

சிறப்பியல்பு சமன்பாடு

, எங்கே - அறியப்படாத குணகம். இருமுறை வேறுபடுத்துதல்
மற்றும் மாற்று
,
மற்றும்
அசல் சமன்பாட்டில், நாம் காண்கிறோம். எங்கே
, அதாவது
அல்லது
.

எனவே, இந்த சமன்பாட்டிற்கு ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வு வடிவம் உள்ளது
, மற்றும் அதன் பொதுவான தீர்வு
.

3. வலது பக்கம் வடிவம் இருக்கட்டும் , எங்கே
மற்றும் - கொடுக்கப்பட்ட எண்கள். பின்னர் குறிப்பிட்ட தீர்வு
என்ற வடிவத்தில் தேடலாம் மற்றும் அறியப்படாத குணகங்கள், மற்றும் - குணாதிசய சமன்பாட்டின் வேர்களின் எண்ணிக்கைக்கு சமமான எண்
. செயல்பாடு வெளிப்பாட்டில் இருந்தால்
செயல்பாடுகளில் குறைந்தபட்சம் ஒன்று சேர்க்கப்பட்டுள்ளது
அல்லது
, பின்னர் உள்ளே
எப்போதும் உள்ளிட வேண்டும் இரண்டும்செயல்பாடுகள்.

உதாரணம்

ஒரு பொதுவான தீர்வைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு:

A) தொடர்புடைய ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வைக் கண்டறியவும்
. இதைச் செய்ய, நாம் ஒரு சிறப்பியல்பு சமன்பாட்டை எழுதுகிறோம்
. கடைசி சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டுபிடிப்போம்
. இதன் விளைவாக, ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வு வடிவம் கொண்டது
.

B) சமன்பாட்டின் வலது பக்கம் ஒரு செயல்பாடு என்பதால்
, பின்னர் இந்த சமன்பாட்டின் கட்டுப்பாட்டு எண், அது வேர்களுடன் ஒத்துப்போவதில்லை
சிறப்பியல்பு சமன்பாடு
. பின்னர் வடிவத்தில் ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வைத் தேடுகிறோம்

எங்கே மற்றும் - அறியப்படாத குணகங்கள். இரண்டு முறை வேறுபடுத்தி, நாம் பெறுகிறோம். மாற்றுதல்
,
மற்றும்
அசல் சமன்பாட்டில், நாம் காண்கிறோம்

.

ஒத்த சொற்களைக் கொண்டு, நாங்கள் பெறுகிறோம்

.

குணகங்களை நாம் சமன் செய்கிறோம்
மற்றும்
சமன்பாட்டின் வலது மற்றும் இடது பக்கங்களில் முறையே. நாங்கள் அமைப்பைப் பெறுகிறோம்
. அதைத் தீர்ப்பது, நாங்கள் கண்டுபிடிப்போம்
,
.

எனவே, அசல் வேறுபாடு சமன்பாட்டிற்கு ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வு வடிவம் உள்ளது.

அசல் வேறுபாடு சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வு வடிவம் கொண்டது.

கல்வி நிறுவனம் "பெலாரசிய மாநிலம்

வேளாண் அகாடமி"

உயர் கணிதத் துறை

வழிகாட்டுதல்கள்

கடிதக் கல்வியின் (NISPO) கணக்கியல் பீடத்தின் மாணவர்களால் "இரண்டாம் வரிசையின் நேரியல் வேறுபாடு சமன்பாடுகள்" என்ற தலைப்பைப் படிக்க

கோர்கி, 2013

நேரியல் வேறுபாடு சமன்பாடுகள்

மாறிலிகளுடன் இரண்டாவது வரிசைகுணகங்கள்

நேரியல் ஒரேவிதமான வேறுபாடு சமன்பாடுகள்

நிலையான குணகங்களுடன் இரண்டாவது வரிசையின் நேரியல் வேறுபாடு சமன்பாடு வடிவத்தின் சமன்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது

அந்த. விரும்பிய செயல்பாடு மற்றும் அதன் வழித்தோன்றல்களை முதல் நிலை வரை மட்டுமே கொண்டிருக்கும் மற்றும் அவற்றின் தயாரிப்புகளைக் கொண்டிருக்காத ஒரு சமன்பாடு. இந்த சமன்பாட்டில் மற்றும்
- சில எண்கள் மற்றும் ஒரு செயல்பாடு
ஒரு குறிப்பிட்ட இடைவெளியில் கொடுக்கப்பட்டது
.

என்றால்
இடைவெளியில்
, பின்னர் சமன்பாடு (1) வடிவம் எடுக்கும்

, (2)

மற்றும் அழைக்கப்படுகிறது நேரியல் ஒரே மாதிரியான . இல்லையெனில், சமன்பாடு (1) அழைக்கப்படுகிறது நேரியல் சீரற்ற .

சிக்கலான செயல்பாட்டைக் கவனியுங்கள்

, (3)

எங்கே
மற்றும்
- உண்மையான செயல்பாடுகள். செயல்பாடு (3) சமன்பாட்டிற்கு (2) ஒரு சிக்கலான தீர்வாக இருந்தால், உண்மையான பகுதி
, மற்றும் கற்பனை பகுதி
தீர்வுகள்
தனித்தனியாக ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டின் தீர்வுகள். எனவே, சமன்பாட்டிற்கான எந்தவொரு சிக்கலான தீர்வும் (2) இந்த சமன்பாட்டிற்கு இரண்டு உண்மையான தீர்வுகளை உருவாக்குகிறது.

ஒரே மாதிரியான நேரியல் சமன்பாட்டின் தீர்வுகள் பின்வரும் பண்புகளைக் கொண்டுள்ளன:

என்றால் சமன்பாட்டிற்கான தீர்வு (2), பின்னர் செயல்பாடு
, எங்கே உடன்- ஒரு தன்னிச்சையான மாறிலி சமன்பாட்டிற்கு ஒரு தீர்வாகவும் இருக்கும் (2);

என்றால் மற்றும் சமன்பாட்டிற்கு தீர்வுகள் உள்ளன (2), பின்னர் செயல்பாடு
சமன்பாட்டிற்கு (2) தீர்வாகவும் இருக்கும்;

என்றால் மற்றும் சமன்பாட்டிற்கு தீர்வுகள் உள்ளன (2), பின்னர் அவற்றின் நேரியல் சேர்க்கை
சமன்பாடு (2) க்கு தீர்வாகவும் இருக்கும், எங்கே மற்றும்
- தன்னிச்சையான மாறிலிகள்.

செயல்பாடுகள்
மற்றும்
அழைக்கப்படுகின்றன நேரியல் சார்ந்தது இடைவெளியில்
, அத்தகைய எண்கள் இருந்தால் மற்றும்
, அதே நேரத்தில் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லை, இந்த இடைவெளியில் சமத்துவம்

சமத்துவம் என்றால் (4) எப்போது மட்டுமே ஏற்படும்
மற்றும்
, பின்னர் செயல்பாடுகள்
மற்றும்
அழைக்கப்படுகின்றன நேரியல் சார்பற்றது இடைவெளியில்
.

எடுத்துக்காட்டு 1 . செயல்பாடுகள்
மற்றும்
நேரியல் சார்ந்து, இருந்து
முழு எண் வரிசையில். இந்த எடுத்துக்காட்டில்
.

எடுத்துக்காட்டு 2 . செயல்பாடுகள்
மற்றும்
சமத்துவம் என்பதால் எந்த இடைவெளியிலும் நேரியல் சார்பற்றவை
சந்தர்ப்பத்தில் மட்டுமே சாத்தியமாகும்
, மற்றும்
.

ஒரு நேரியல் ஒரே மாதிரியான பொதுவான தீர்வுக்கான கட்டுமானம்

சமன்பாடுகள்

சமன்பாடு (2) க்கு ஒரு பொதுவான தீர்வைக் கண்டுபிடிக்க, நீங்கள் இரண்டு நேரியல் சுயாதீன தீர்வுகளைக் கண்டறிய வேண்டும். மற்றும் . இந்த தீர்வுகளின் நேரியல் கலவை
, எங்கே மற்றும்
அவை தன்னிச்சையான மாறிலிகள் மற்றும் நேரியல் ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டிற்கு பொதுவான தீர்வைக் கொடுக்கும்.

வடிவத்தில் சமன்பாடு (2) க்கு நேரியல் சார்பற்ற தீர்வுகளைத் தேடுவோம்

, (5)

எங்கே - ஒரு குறிப்பிட்ட எண். பிறகு
,
. இந்த வெளிப்பாடுகளை சமன்பாட்டிற்கு மாற்றுவோம் (2):

அல்லது
.

ஏனெனில்
, அது
. எனவே செயல்பாடு
சமன்பாட்டிற்கு (2) தீர்வாக இருக்கும் என்றால் சமன்பாட்டை திருப்திப்படுத்தும்

. (6)

சமன்பாடு (6) அழைக்கப்படுகிறது சிறப்பியல்பு சமன்பாடு சமன்பாட்டிற்கு (2). இந்த சமன்பாடு ஒரு இயற்கணித இருபடி சமன்பாடு ஆகும்.

விடுங்கள் மற்றும் இந்த சமன்பாட்டின் வேர்கள் உள்ளன. அவை உண்மையானதாகவும் வேறுபட்டதாகவும் அல்லது சிக்கலானதாகவும் அல்லது உண்மையானதாகவும் சமமாகவும் இருக்கலாம். இந்த வழக்குகளை கருத்தில் கொள்வோம்.

வேர்களை விடுங்கள் மற்றும் சிறப்பியல்பு சமன்பாடுகள் உண்மையானவை மற்றும் வேறுபட்டவை. பின்னர் சமன்பாட்டிற்கான தீர்வுகள் (2) செயல்பாடுகளாக இருக்கும்
மற்றும்
. சமத்துவம் என்பதால் இந்த தீர்வுகள் நேரியல் சார்பற்றவை
எப்போது மட்டுமே மேற்கொள்ள முடியும்
, மற்றும்
. எனவே, சமன்பாட்டிற்கான பொதுவான தீர்வு (2) வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது

,

எங்கே மற்றும்
- தன்னிச்சையான மாறிலிகள்.

எடுத்துக்காட்டு 3
.

தீர்வு . இந்த வேறுபாட்டிற்கான சிறப்பியல்பு சமன்பாடு இருக்கும்
. இந்த இருபடி சமன்பாட்டைத் தீர்த்த பிறகு, அதன் வேர்களைக் காண்கிறோம்
மற்றும்
. செயல்பாடுகள்
மற்றும்
வேறுபாடு சமன்பாட்டிற்கான தீர்வுகள். இந்த சமன்பாட்டிற்கான பொதுவான தீர்வு
.

சிக்கலான எண் வடிவத்தின் வெளிப்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது
, எங்கே மற்றும் உண்மையான எண்கள், மற்றும்
கற்பனை அலகு என்று அழைக்கப்படுகிறது. என்றால்
, பின்னர் எண்
முற்றிலும் கற்பனை என்று அழைக்கப்படுகிறது. என்றால்
, பின்னர் எண்
உண்மையான எண்ணுடன் அடையாளம் காணப்பட்டது .

எண் ஒரு கலப்பு எண்ணின் உண்மையான பகுதி என்று அழைக்கப்படுகிறது, மற்றும் - கற்பனை பகுதி. இரண்டு கலப்பு எண்கள் கற்பனைப் பகுதியின் அடையாளத்தால் மட்டுமே ஒருவருக்கொருவர் வேறுபடுகின்றன என்றால், அவை கூட்டு என்று அழைக்கப்படுகின்றன:
,
.

எடுத்துக்காட்டு 4 . இருபடி சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்
.

தீர்வு . பாரபட்சமான சமன்பாடு
. பிறகு. அதேபோல்,
. எனவே, இந்த இருபடிச் சமன்பாடு சிக்கலான வேர்களைக் கொண்டுள்ளது.

சிறப்பியல்பு சமன்பாட்டின் வேர்கள் சிக்கலானதாக இருக்கட்டும், அதாவது.
,
, எங்கே
.
,
அல்லது
,
சமன்பாட்டின் தீர்வுகள் (2) வடிவத்தில் எழுதப்படலாம்

,
.

.
மற்றும்
ஆய்லரின் சூத்திரங்களின்படி

பின்னர்,. அறியப்பட்டபடி, ஒரு சிக்கலான செயல்பாடு நேரியல் ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டிற்கான தீர்வாக இருந்தால், இந்த சமன்பாட்டிற்கான தீர்வுகள் இந்த செயல்பாட்டின் உண்மையான மற்றும் கற்பனையான பகுதிகளாகும். எனவே, சமன்பாட்டிற்கான தீர்வுகள் (2) செயல்பாடுகளாக இருக்கும்
மற்றும்
. சமத்துவம் இருந்து

எங்கே மற்றும்
- தன்னிச்சையான மாறிலிகள்.

இருந்தால் மட்டுமே செயல்படுத்த முடியும் , இந்த தீர்வுகள் நேரியல் சார்பற்றவை. எனவே, சமன்பாட்டிற்கான பொதுவான தீர்வு (2) வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது
.

தீர்வு எடுத்துக்காட்டு 5
. வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்கான பொதுவான தீர்வைக் கண்டறியவும்
,
. செயல்பாடுகள்
மற்றும்
. சமன்பாடு

கொடுக்கப்பட்ட வேறுபாட்டின் சிறப்பியல்பு. அதைத் தீர்த்து சிக்கலான வேர்களைப் பெறுவோம்
வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் நேர்கோட்டு சுயாதீன தீர்வுகள். இந்த சமன்பாட்டிற்கான பொதுவான தீர்வு:
மற்றும்
சிறப்பியல்பு சமன்பாட்டின் வேர்கள் உண்மையானதாகவும் சமமாகவும் இருக்கட்டும், அதாவது.
மற்றும்
. பின்னர் சமன்பாட்டிற்கான தீர்வுகள் (2) செயல்பாடுகளாகும்
.

. இந்த தீர்வுகள் நேரியல் சார்பற்றவை, ஏனெனில் வெளிப்பாடு பூஜ்ஜியத்திற்கு ஒரே மாதிரியாக சமமாக இருக்கும் , இந்த தீர்வுகள் நேரியல் சார்பற்றவை. எனவே, சமன்பாட்டிற்கான பொதுவான தீர்வு (2) வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது
.

தீர்வு . எனவே, சமன்பாட்டிற்கான பொதுவான தீர்வு (2) வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது
எடுத்துக்காட்டு 6
. சிறப்பியல்பு சமன்பாடு
மற்றும்
சம வேர்களைக் கொண்டுள்ளது
.

நிலையான குணகங்களுடன் இரண்டாவது வரிசையின் ஒத்திசைவற்ற நேரியல் வேறுபாடு சமன்பாடுகள்

மற்றும் சிறப்பு வலது பக்கம்

நேரியல் ஒத்திசைவற்ற சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வு (1) பொது தீர்வின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்
தொடர்புடைய ஒரே மாதிரியான சமன்பாடு மற்றும் ஏதேனும் குறிப்பிட்ட தீர்வு
சீரற்ற சமன்பாடு:
.

சில சந்தர்ப்பங்களில், ஒரு சீரற்ற சமன்பாட்டிற்கான ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வை வலது பக்க வடிவத்தின் மூலம் மிகவும் எளிமையாகக் காணலாம்.
சமன்பாடு (1). இது சாத்தியமான நிகழ்வுகளைப் பார்ப்போம்.

அந்த. சீரற்ற சமன்பாட்டின் வலது பக்கம் பட்டத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவை ஆகும் மீ. என்றால்
சிறப்பியல்பு சமன்பாட்டின் வேர் அல்ல, பின்னர் சீரற்ற சமன்பாட்டிற்கான ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வு பட்டத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவை வடிவத்தில் தேடப்பட வேண்டும். மீ, அதாவது

முரண்பாடுகள்
ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வைக் கண்டுபிடிக்கும் செயல்பாட்டில் தீர்மானிக்கப்படுகிறது.

என்றால்
குணாதிசய சமன்பாட்டின் வேர், பின்னர் சீரற்ற சமன்பாட்டிற்கு ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வு வடிவத்தில் தேடப்பட வேண்டும்

எடுத்துக்காட்டு 7 , இந்த தீர்வுகள் நேரியல் சார்பற்றவை. எனவே, சமன்பாட்டிற்கான பொதுவான தீர்வு (2) வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது
.

தீர்வு . இந்த சமன்பாட்டிற்கான தொடர்புடைய ஒரே மாதிரியான சமன்பாடு
. அதன் சிறப்பியல்பு சமன்பாடு
வேர்களைக் கொண்டுள்ளது
மற்றும்
. ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வு வடிவம் கொண்டது
.

ஏனெனில்
சிறப்பியல்பு சமன்பாட்டின் வேர் அல்ல, பின்னர் ஒரு சார்பின் வடிவத்தில் ஒத்திசைவற்ற சமன்பாட்டின் ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வைத் தேடுவோம்
. இந்த செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்களைக் கண்டுபிடிப்போம்
,
இந்த சமன்பாட்டில் அவற்றை மாற்றவும்:

அல்லது . இதற்கான குணகங்களை சமன் செய்வோம் மற்றும் இலவச உறுப்பினர்கள்:
முடிவு செய்து கொண்டு இந்த அமைப்பு, நாம் பெறுகிறோம்
,
. பின்னர் ஒத்திசைவற்ற சமன்பாட்டின் ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வு வடிவம் கொண்டது
, மற்றும் கொடுக்கப்பட்ட ஒத்திசைவற்ற சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வு, தொடர்புடைய ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வு மற்றும் ஒத்திசைவற்ற ஒன்றின் குறிப்பிட்ட தீர்வு ஆகியவற்றின் கூட்டுத்தொகையாக இருக்கும்:
.

ஒத்திசைவற்ற சமன்பாடு வடிவத்தைக் கொண்டிருக்கட்டும்

என்றால்
குணாதிசய சமன்பாட்டின் ஒரு வேர் அல்ல, பின்னர் ஒத்திசைவற்ற சமன்பாட்டிற்கு ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வு வடிவத்தில் தேடப்பட வேண்டும். என்றால்
பண்பு பெருக்கல் சமன்பாட்டின் வேர் ஆகும் கே (கே=1 அல்லது கே=2), பின்னர் இந்த வழக்கில் ஒத்திசைவற்ற சமன்பாட்டின் ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வு வடிவம் கொண்டிருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டு 8 , இந்த தீர்வுகள் நேரியல் சார்பற்றவை. எனவே, சமன்பாட்டிற்கான பொதுவான தீர்வு (2) வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது
.

தீர்வு . தொடர்புடைய ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டிற்கான சிறப்பியல்பு சமன்பாடு வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது
. அதன் வேர்கள்
,
. இந்த வழக்கில், தொடர்புடைய ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வு வடிவத்தில் எழுதப்பட்டுள்ளது
.

எண் 3 என்பது சிறப்பியல்பு சமன்பாட்டின் வேர் அல்ல என்பதால், சீரற்ற சமன்பாட்டிற்கு ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வு வடிவத்தில் தேடப்பட வேண்டும்.
. முதல் மற்றும் இரண்டாவது ஆர்டர்களின் வழித்தோன்றல்களைக் கண்டுபிடிப்போம்:

வேறுபட்ட சமன்பாட்டில் மாற்றுவோம்:
+ +,
+,.

இதற்கான குணகங்களை சமன் செய்வோம் மற்றும் இலவச உறுப்பினர்கள்:

இங்கிருந்து
,
. இந்த சமன்பாட்டிற்கு ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வு வடிவம் உள்ளது
, மற்றும் பொதுவான தீர்வு

.

தன்னிச்சையான மாறிலிகளின் மாறுபாட்டின் லாக்ரேஞ்ச் முறை

மாறுபட்ட தன்னிச்சையான மாறிலிகளின் முறையானது, வலது பக்க வகையைப் பொருட்படுத்தாமல், நிலையான குணகங்களுடன் எந்த ஒரு சீரற்ற நேரியல் சமன்பாட்டிற்கும் பயன்படுத்தப்படலாம். தொடர்புடைய ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டிற்கான பொதுவான தீர்வு அறியப்பட்டால், இந்த முறையானது ஒத்திசைவற்ற சமன்பாட்டிற்கான பொதுவான தீர்வை எப்போதும் கண்டறிய அனுமதிக்கிறது.

விடுங்கள்
மற்றும்
சமன்பாட்டின் நேரியல் சார்பற்ற தீர்வுகள் (2). பின்னர் இந்த சமன்பாட்டிற்கான பொதுவான தீர்வு
, எங்கே மற்றும்
- தன்னிச்சையான மாறிலிகள். தன்னிச்சையான மாறிலிகளை மாற்றும் முறையின் சாராம்சம் என்னவென்றால், சமன்பாட்டிற்கான பொதுவான தீர்வு (1) வடிவத்தில் தேடப்படுகிறது.

எங்கே
மற்றும்
- கண்டுபிடிக்கப்பட வேண்டிய புதிய அறியப்படாத செயல்பாடுகள். அறியப்படாத இரண்டு செயல்பாடுகள் இருப்பதால், அவற்றைக் கண்டுபிடிக்க, இந்த செயல்பாடுகளைக் கொண்ட இரண்டு சமன்பாடுகள் தேவை. இந்த இரண்டு சமன்பாடுகளும் அமைப்பை உருவாக்குகின்றன

இது ஒரு நேரியல் இயற்கணித அமைப்பாகும்
மற்றும்
. இந்த அமைப்பைத் தீர்ப்பது, நாம் காண்கிறோம்
மற்றும்
. பெறப்பட்ட சமத்துவங்களின் இரு பக்கங்களையும் ஒருங்கிணைத்து, நாம் காண்கிறோம்

மற்றும்
.

இந்த வெளிப்பாடுகளை (9) மாற்றுவதன் மூலம், ஒத்திசைவற்ற நேரியல் சமன்பாட்டிற்கு (1) பொதுவான தீர்வைப் பெறுகிறோம்.

எடுத்துக்காட்டு 9 , இந்த தீர்வுகள் நேரியல் சார்பற்றவை. எனவே, சமன்பாட்டிற்கான பொதுவான தீர்வு (2) வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது
.

தீர்வு. கொடுக்கப்பட்ட வேறுபட்ட சமன்பாட்டுடன் தொடர்புடைய ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டிற்கான சிறப்பியல்பு சமன்பாடு
. அதன் வேர்கள் சிக்கலானவை
,
. ஏனெனில்
மற்றும்
, அது
,
, மற்றும் ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வு வடிவம் கொண்டது. பின்னர் இந்த ஒத்திசைவற்ற சமன்பாட்டிற்கான பொதுவான தீர்வை எங்கே என்ற வடிவத்தில் தேடுவோம்
மற்றும்
- அறியப்படாத செயல்பாடுகள்.

இந்த அறியப்படாத செயல்பாடுகளைக் கண்டறிவதற்கான சமன்பாடுகளின் அமைப்பு வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது

இந்த அமைப்பைத் தீர்த்த பிறகு, நாங்கள் கண்டுபிடிக்கிறோம்
,
. பிறகு

,
. இதன் விளைவாக வரும் வெளிப்பாடுகளை பொதுவான தீர்வுக்கான சூத்திரத்தில் மாற்றுவோம்:

லாக்ரேஞ்ச் முறையைப் பயன்படுத்தி பெறப்பட்ட இந்த வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்கான பொதுவான தீர்வு இதுவாகும்.

அறிவின் சுய கட்டுப்பாட்டிற்கான கேள்விகள்

எந்த வேறுபாடு சமன்பாடு நிலையான குணகங்களுடன் இரண்டாவது வரிசை நேரியல் வேறுபாடு சமன்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது?

எந்த நேரியல் வேறுபாடு சமன்பாடு ஒரே மாதிரியானது என்றும், இது ஒத்திசைவற்றது என்றும் அழைக்கப்படுகிறது?

நேரியல் ஒரே மாதிரியான சமன்பாடு என்ன பண்புகளைக் கொண்டுள்ளது?

ஒரு நேரியல் வேறுபாடு சமன்பாட்டிற்கு என்ன சமன்பாடு பண்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் அது எவ்வாறு பெறப்படுகிறது?

பண்பியல் சமன்பாட்டின் வெவ்வேறு வேர்களில் நிலையான குணகங்களுடன் கூடிய நேரியல் ஒரே மாதிரியான வேறுபாடு சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வு எந்த வடிவத்தில் எழுதப்படுகிறது?

பண்பியல் சமன்பாட்டின் சம வேர்களில் நிலையான குணகங்களைக் கொண்ட நேரியல் ஒரே மாதிரியான வேறுபாடு சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வு எந்த வடிவத்தில் எழுதப்படுகிறது?

பண்பியல் சமன்பாட்டின் சிக்கலான வேர்களின் விஷயத்தில் நிலையான குணகங்களுடன் கூடிய நேரியல் ஒரேவிதமான வேறுபாடு சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வு எந்த வடிவத்தில் எழுதப்படுகிறது?

நேரியல் ஒத்திசைவற்ற சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வு எவ்வாறு எழுதப்படுகிறது?

சிறப்பியல்பு சமன்பாட்டின் வேர்கள் வேறுபட்டதாகவும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லாமலும் இருந்தால், சமன்பாட்டின் வலது பக்கம் பட்டத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவையாக இருந்தால், ஒரு நேரியல் ஒத்திசைவற்ற சமன்பாட்டிற்கு ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வு எந்த வடிவத்தில் உள்ளது மீ?

குணாதிசய சமன்பாட்டின் வேர்களில் ஒரு பூஜ்ஜியம் இருந்தால், சமன்பாட்டின் வலது பக்கம் பட்டத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவையாக இருந்தால், ஒரு நேரியல் ஒத்திசைவற்ற சமன்பாட்டிற்கு ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வு எந்த வடிவத்தில் உள்ளது மீ?

லாக்ரேஞ்ச் முறையின் சாராம்சம் என்ன?