தலைகீழ் அணி தீர்வைக் கண்டறியவும். தலைகீழ் அணி. மேட்ரிக்ஸ் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது

வரையறை 1:ஒரு அணி அதன் தீர்மானிப்பான் பூஜ்ஜியமாக இருந்தால் அது ஒருமை என்று அழைக்கப்படுகிறது.

வரையறை 2:ஒரு அணி அதன் தீர்மானிப்பான் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லாவிட்டால் அது ஒருமை அல்லாதது என்று அழைக்கப்படுகிறது.

அணி "A" என்று அழைக்கப்படுகிறது தலைகீழ் அணி, நிபந்தனை A*A-1 = A-1 *A = E (அலகு அணி) திருப்தி அடைந்தால்.

ஒரு சதுர அணி ஒருமையில் இல்லாதிருந்தால் மட்டுமே அது தலைகீழாக மாறும்.

தலைகீழ் மேட்ரிக்ஸைக் கணக்கிடுவதற்கான திட்டம்:

1) மேட்ரிக்ஸ் "A" ஐ தீர்மானிப்பதைக் கணக்கிடவும் ∆ A = 0, பின்னர் தலைகீழ் அணி இல்லை.

2) அனைத்தையும் கண்டுபிடி இயற்கணித சேர்த்தல்கள்அணி "A".

3) இயற்கணிதக் கூட்டல்களின் அணியை உருவாக்கவும் (Aij)

4) இயற்கணித நிரப்புகளின் அணியை மாற்றவும் (Aij )T

5) இந்த மேட்ரிக்ஸின் தீர்மானிப்பாளரின் தலைகீழ் மூலம் இடமாற்றப்பட்ட அணியைப் பெருக்கவும்.

6) சரிபார்ப்பைச் செய்யவும்:

முதல் பார்வையில் இது சிக்கலானதாக தோன்றலாம், ஆனால் உண்மையில் எல்லாம் மிகவும் எளிமையானது. அனைத்து தீர்வுகளும் எளிமையானவை எண்கணித செயல்பாடுகள், முடிவெடுக்கும் போது முக்கிய விஷயம், "-" மற்றும் "+" அறிகுறிகளுடன் குழப்பமடையக்கூடாது, அவற்றை இழக்கக்கூடாது.

இப்போது தலைகீழ் மேட்ரிக்ஸைக் கணக்கிடுவதன் மூலம் ஒரு நடைமுறைப் பணியைத் தீர்ப்போம்.

பணி: கீழே உள்ள படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள தலைகீழ் அணி "A" ஐக் கண்டறியவும்:

1. முதலில் செய்ய வேண்டியது, "A" அணியை தீர்மானிப்பதைக் கண்டுபிடிப்பதாகும்:

விளக்கம்:

அதன் அடிப்படை செயல்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி எங்கள் தீர்மானிப்பதை எளிமைப்படுத்தியுள்ளோம். முதலில், ஒரு எண்ணால் பெருக்கப்படும் முதல் வரியின் கூறுகளை 2வது மற்றும் 3வது வரிகளில் சேர்த்தோம்.

இரண்டாவதாக, தீர்மானியின் 2 மற்றும் 3 வது நெடுவரிசைகளை மாற்றினோம், அதன் பண்புகளின்படி, அதன் முன் உள்ள அடையாளத்தை மாற்றினோம்.

மூன்றாவதாக, இரண்டாவது வரியின் பொதுவான காரணியை (-1) எடுத்தோம், அதன் மூலம் மீண்டும் அடையாளத்தை மாற்றினோம், அது நேர்மறையாக மாறியது. உதாரணத்தின் தொடக்கத்தில் இருந்ததைப் போலவே நாங்கள் வரி 3 ஐ எளிதாக்கினோம்.

எங்களிடம் ஒரு முக்கோண நிர்ணயம் உள்ளது, அதன் மூலைவிட்டத்திற்கு கீழே உள்ள உறுப்புகள் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம், மற்றும் சொத்து 7 மூலம் அது மூலைவிட்ட உறுப்புகளின் பெருக்கத்திற்கு சமம். இறுதியில் கிடைத்தது ∆ A = 26, எனவே தலைகீழ் அணி உள்ளது.

A11 = 1*(3+1) = 4

A12 = -1*(9+2) = -11

A13 = 1*1 = 1

A21 = -1*(-6) = 6

A22 = 1*(3-0) = 3

A23 = -1*(1+4) = -5

A31 = 1*2 = 2

A32 = -1*(-1) = -1

A33 = 1+(1+6) = 7

3. அடுத்த படியானது, விளைந்த சேர்த்தல்களில் இருந்து ஒரு அணியை தொகுக்க வேண்டும்:

5. இந்த மேட்ரிக்ஸை தீர்மானிப்பாளரின் தலைகீழ் ஆல் பெருக்கவும், அதாவது 1/26 ஆல்:

6. இப்போது நாம் சரிபார்க்க வேண்டும்:

சோதனையின் போது, ​​நாங்கள் ஒரு அடையாள அணியைப் பெற்றோம், எனவே, தீர்வு முற்றிலும் சரியாக மேற்கொள்ளப்பட்டது.

தலைகீழ் அணி கணக்கிட 2 வழி.

1. எலிமெண்டரி மேட்ரிக்ஸ் மாற்றம்

2. தலைகீழ் அணிஒரு அடிப்படை மாற்றி மூலம்.

எலிமெண்டரி மேட்ரிக்ஸ் மாற்றம் அடங்கும்:

1. ஒரு சரத்தை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லாத எண்ணால் பெருக்குதல்.

2. எந்த வரியையும் கூட்டினால் ஒரு எண்ணால் பெருக்கப்படும் மற்றொரு வரி.

3. மேட்ரிக்ஸின் வரிசைகளை மாற்றவும்.

4. ஒரு சங்கிலியைப் பயன்படுத்துதல் அடிப்படை மாற்றங்கள், நாம் மற்றொரு அணியைப் பெறுகிறோம்.

ஏ -1 = ?

1. (A|E) ~ (E|A -1 )

2.ஏ -1 * ஏ = ஈ

இதைப் பார்ப்போம் நடைமுறை உதாரணம்உண்மையான எண்களுடன்.

உடற்பயிற்சி:தலைகீழ் மேட்ரிக்ஸைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு:

சரிபார்ப்போம்:

தீர்வு பற்றி ஒரு சிறிய தெளிவு:

முதலில், மேட்ரிக்ஸின் 1 மற்றும் 2 வரிசைகளை மறுசீரமைத்தோம், பின்னர் முதல் வரிசையை (-1) பெருக்கினோம்.

அதன் பிறகு, முதல் வரிசையை (-2) ஆல் பெருக்கி, அதை மேட்ரிக்ஸின் இரண்டாவது வரிசையுடன் சேர்த்தோம். பின்னர் நாம் வரி 2 ஐ 1/4 ஆல் பெருக்கினோம்.

உருமாற்றத்தின் இறுதி கட்டம் இரண்டாவது வரியை 2 ஆல் பெருக்கி முதல் வரியுடன் சேர்ப்பதாகும். இதன் விளைவாக, இடதுபுறத்தில் அடையாள அணி உள்ளது, எனவே, தலைகீழ் அணி என்பது வலதுபுறத்தில் உள்ள அணி ஆகும்.

சரிபார்த்த பிறகு, முடிவு சரியானது என்று நாங்கள் நம்பினோம்.

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, தலைகீழ் மேட்ரிக்ஸைக் கணக்கிடுவது மிகவும் எளிது.

இந்த விரிவுரையின் முடிவில், அத்தகைய மேட்ரிக்ஸின் பண்புகளில் சிறிது நேரம் செலவிட விரும்புகிறேன்.

மேட்ரிக்ஸ் பெருக்கத்தின் தலைகீழ் செயல்பாட்டை வரையறுப்பதில் சிக்கலைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

A என்பது n வரிசையின் சதுர அணியாக இருக்கட்டும். மேட்ரிக்ஸ் A^(-1) திருப்தி அளிக்கிறது, கொடுக்கப்பட்ட அணி A உடன், சமத்துவங்கள்:

A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E,

வரையறையில் இருந்து, தலைகீழ் அணி A^(-1) இருந்தால், அது A இன் அதே வரிசையின் சதுரமாகும். இருப்பினும், அனைவருக்கும் இல்லை சதுர அணிஎதிர் உள்ளது. ஒரு அணி A இன் நிர்ணயம் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால் (\det(A)=0), அதற்கு நேர்மாறானது இல்லை. உண்மையில், E=A^(-1)A என்ற அடையாள அணிக்கு அணிகளின் பெருக்கத்தின் நிர்ணயிப்பதில் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தினால், நாம் ஒரு முரண்பாட்டைப் பெறுகிறோம்.

\det(E)=\det(A^(-1)\cdot A)=\det(A^(-1))\det(A)=\det(A^(-1))\cdot0=0

தலைகீழ் மேட்ரிக்ஸின் இருப்பு மற்றும் தனித்தன்மை பற்றிய தேற்றம் 4.1. சதுர அணி A=\begin(pmatrix)a_(11)&\cdots&a_(1n)\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_(n1)&\cdots&a_(nn) \end(pmatrix), பூஜ்ஜியம் அல்லாத நிர்ணயம், தலைகீழ் அணி மற்றும், மேலும், ஒரே ஒரு அணி:

A^(-1)=\frac(1)(\det(A))\cdot\! \begin(pmatrix)A_(11)&A_(21)&\cdots&A_(1n)\\ A_(12)&A_(22)&\cdots&A_(n2)\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ A_(1n )&A_(2n)&\cdots&A_(nn) \end(pmatrix)= \frac(1)(\det(A))\cdot A^(+),

இதில் A^(+) என்பது அணி A இன் உறுப்புகளின் இயற்கணித நிரப்புகளால் ஆன அணிக்கு மாற்றப்பட்ட அணி ஆகும்.

அணி A^(+) என்று அழைக்கப்படுகிறது இணை அணிஅணி A ஐப் பொறுத்தவரை.

உண்மையில், அணி \frac(1)(\det(A))\,A^(+)\det(A)\ne0 நிபந்தனையின் கீழ் உள்ளது. இது A க்கு நேர்மாறானது என்பதைக் காட்டுவது அவசியம், அதாவது. இரண்டு நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்கிறது:

\begin(aligned)\mathsf(1))&~A\cdot\!\left(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\right)=E;\\ \mathsf (2))&~ \!\left(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\right)\!\cdot A=E.\end(சீரமைக்கப்பட்டது)

முதல் சமத்துவத்தை நிரூபிப்போம். கருத்துக்கள் 2.3 இன் பத்தி 4 இன் படி, தீர்மானிப்பவரின் பண்புகளிலிருந்து அது பின்வருமாறு. AA^(+)=\det(A)\cdot E. அதனால் தான்

A\cdot\!\left(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\right)= \frac(1)(\det(A))\cdot AA^(+) = \frac(1)(\det(A))\cdot \det(A)\cdot E=E,

காட்டவேண்டியது எது. இரண்டாவது சமத்துவம் இதே வழியில் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது. எனவே, நிபந்தனையின் கீழ் \det(A)\ne0, அணி A தலைகீழ் உள்ளது

A^(-1)=\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+).

தலைகீழ் மேட்ரிக்ஸின் தனித்துவத்தை முரண்பாட்டின் மூலம் நிரூபிப்போம். A^(-1) அணிக்கு கூடுதலாக, AB=E போன்ற மற்றொரு தலைகீழ் அணி B\,(B\ne A^(-1)) இருக்கட்டும். இந்த சமத்துவத்தின் இரு பக்கங்களையும் இடதுபுறத்தில் இருந்து அணி A^(-1) ஆல் பெருக்கினால், நமக்கு கிடைக்கும் \underbrace(A^(-1)AB)_(E)=A^(-1)E. எனவே B=A^(-1) , இது B\ne A^(-1) அனுமானத்திற்கு முரணானது. எனவே, தலைகீழ் அணி தனித்துவமானது.

குறிப்புகள் 4.1

1. வரையறையில் இருந்து, A மற்றும் A^(-1) மெட்ரிக்குகள் மாற்றத்தக்கவை.

2. ஒருமை அல்லாத மூலைவிட்ட மேட்ரிக்ஸின் தலைகீழ் மூலைவிட்டமானது:

\Bigl[\operatorname(diag)(a_(11),a_(22),\ldots,a_(nn))\Bigr]^(-1)= \operatorname(diag)\!\left(\frac(1) )(a_(11)),\,\frac(1)(a_(22)),\,\ldots,\,\frac(1)(a_(nn))\வலது)\!.

3. ஒருமை அல்லாத கீழ் (மேல்) முக்கோண மேட்ரிக்ஸின் தலைகீழ் கீழ் (மேல்) முக்கோணமாகும்.

4. எலிமெண்டரி மெட்ரிக்குகளில் தலைகீழ் உள்ளது, அவையும் அடிப்படையானவை (கருத்துகள் 1.11 இன் பத்தி 1 ஐப் பார்க்கவும்).

தலைகீழ் மேட்ரிக்ஸின் பண்புகள்

மேட்ரிக்ஸ் தலைகீழ் செயல்பாடு பின்வரும் பண்புகளைக் கொண்டுள்ளது:

\begin(aligned)\bold(1.)&~~ (A^(-1))^(-1)=A\,;\\ \bold(2.)&~~ (AB)^(-1 )=B^(-1)A^(-1)\,;\\ \bold(3.)&~~ (A^T)^(-1)=(A^(-1))^T\ ,;\\ \bold(4.)&~~ \det(A^(-1))=\frac(1)(\det(A))\,;\\ \bold(5.)&~~ E^(-1)=E\,. \முடிவு(சீரமைக்கப்பட்டது)

சொத்து 2 ஐ நிரூபிப்போம்: ஒரே வரிசையின் ஒற்றை அல்லாத சதுர மெட்ரிக்ஸின் தயாரிப்பு AB ஒரு தலைகீழ் அணியைக் கொண்டிருந்தால், பின்னர் (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1).

உண்மையில், மெட்ரிக்ஸின் AB இன் பெருக்கத்தின் நிர்ணயம் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்காது

\det(A\cdot B)=\det(A)\cdot\det(B), எங்கே \det(A)\ne0,~\det(B)\ne0

எனவே, தலைகீழ் அணி (AB)^(-1) உள்ளது மற்றும் தனித்துவமானது. அணி B^(-1)A^(-1) அணி AB இன் தலைகீழ் என்று வரையறையின்படி காட்டுவோம். உண்மையில்.

மெட்ரிக்குகளுடன் செயல்கள் பற்றிய உரையாடலைத் தொடரலாம். அதாவது, இந்த விரிவுரையின் போது தலைகீழ் மேட்ரிக்ஸை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்பதை நீங்கள் கற்றுக் கொள்வீர்கள். கற்றுக்கொள்ளுங்கள். கணிதம் கடினமாக இருந்தாலும்.

தலைகீழ் அணி என்றால் என்ன? இங்கே நாம் ஒரு ஒப்புமையை வரையலாம் பரஸ்பர எண்கள்: உதாரணமாக, நம்பிக்கையான எண் 5 மற்றும் அதன் தலைகீழ் எண் ஆகியவற்றைக் கவனியுங்கள். இந்த எண்களின் பலன் ஒன்றுக்கு சமம்: . மெட்ரிக்குகளுடன் எல்லாம் ஒத்திருக்கிறது! ஒரு அணி மற்றும் அதன் தலைகீழ் அணியின் பலன் சமம் - அடையாள அணி, இது எண் அலகின் மேட்ரிக்ஸ் அனலாக் ஆகும். இருப்பினும், முதல் விஷயங்கள் முதலில் - முதலில் முக்கியமான ஒன்றைத் தீர்ப்போம். நடைமுறை கேள்வி, அதாவது, இந்த தலைகீழ் மேட்ரிக்ஸை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்பதைக் கற்றுக்கொள்வோம்.

தலைகீழ் மேட்ரிக்ஸைக் கண்டுபிடிக்க நீங்கள் என்ன தெரிந்து கொள்ள வேண்டும் மற்றும் செய்ய முடியும்? நீங்கள் முடிவு செய்ய வேண்டும் தகுதி பெற்றவர்கள். அது என்ன என்பதை நீங்கள் புரிந்து கொள்ள வேண்டும் அணிஅவர்களுடன் சில செயல்களைச் செய்ய முடியும்.

தலைகீழ் மேட்ரிக்ஸைக் கண்டறிய இரண்டு முக்கிய முறைகள் உள்ளன:
பயன்படுத்தி இயற்கணித சேர்த்தல்கள்மற்றும் அடிப்படை மாற்றங்களைப் பயன்படுத்துதல்.

இன்று நாம் முதல், எளிமையான முறையைப் படிப்போம்.

மிகவும் பயங்கரமான மற்றும் புரிந்துகொள்ள முடியாதவற்றுடன் ஆரம்பிக்கலாம். கருத்தில் கொள்வோம் சதுரம்அணி தலைகீழ் அணியை பின்வரும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி காணலாம்:

மேட்ரிக்ஸின் நிர்ணயம் எங்குள்ளது, இது மேட்ரிக்ஸின் தொடர்புடைய உறுப்புகளின் இயற்கணித நிரப்புகளின் இடமாற்ற அணி ஆகும்.

தலைகீழ் அணி என்ற கருத்து சதுர அணிகளுக்கு மட்டுமே உள்ளது, மெட்ரிக்குகள் "இரண்டு இரண்டு", "மூன்று மூன்று", போன்றவை.

பதவிகள்: நீங்கள் ஏற்கனவே கவனித்தபடி, தலைகீழ் அணி ஒரு சூப்பர்ஸ்கிரிப்ட் மூலம் குறிக்கப்படுகிறது

எளிமையான வழக்கில் தொடங்குவோம் - இரண்டு-இரண்டு அணி. பெரும்பாலும், நிச்சயமாக, "மூன்று மூன்று" தேவைப்படுகிறது, இருப்பினும், தேர்ச்சி பெற ஒரு எளிய பணியைப் படிக்க நான் கடுமையாக பரிந்துரைக்கிறேன். பொது கொள்கைதீர்வுகள்.

எடுத்துக்காட்டு:

மேட்ரிக்ஸின் தலைகீழ் நிலையைக் கண்டறியவும்

முடிவு செய்வோம். செயல்களின் வரிசையை புள்ளிக்கு புள்ளியாக உடைப்பது வசதியானது.

1) முதலில் மேட்ரிக்ஸின் தீர்மானிப்பதைக் கண்டுபிடிப்போம்.

இந்த செயலைப் பற்றிய உங்கள் புரிதல் நன்றாக இல்லை என்றால், பொருளைப் படியுங்கள் தீர்மானிப்பதை எவ்வாறு கணக்கிடுவது?

முக்கியமானது!மேட்ரிக்ஸின் தீர்மானிப்பான் சமமாக இருந்தால் ZERO- தலைகீழ் அணி இல்லை.

கருத்தில் உள்ள எடுத்துக்காட்டில், அது மாறியது போல், , அதாவது எல்லாம் ஒழுங்காக உள்ளது.

2) சிறார்களின் மேட்ரிக்ஸைக் கண்டறியவும்.

எங்கள் சிக்கலைத் தீர்க்க, மைனர் என்றால் என்ன என்பதைத் தெரிந்து கொள்ள வேண்டிய அவசியமில்லை, இருப்பினும், கட்டுரையைப் படிப்பது நல்லது தீர்மானிப்பதை எவ்வாறு கணக்கிடுவது.

சிறார்களின் மேட்ரிக்ஸ் மேட்ரிக்ஸின் அதே பரிமாணங்களைக் கொண்டுள்ளது, அதாவது இந்த விஷயத்தில்.
நான்கு எண்களைக் கண்டுபிடித்து அவற்றை நட்சத்திரங்களுக்குப் பதிலாக வைப்பதுதான் மிச்சம்.

நமது அணிக்கு திரும்புவோம்
முதலில் மேல் இடது உறுப்பைப் பார்ப்போம்:

அதை எப்படி கண்டுபிடிப்பது சிறிய?
இது இவ்வாறு செய்யப்படுகிறது: இந்த உறுப்பு அமைந்துள்ள வரிசை மற்றும் நெடுவரிசையை மனதளவில் கடக்கவும்:

மீதமுள்ள எண் இந்த உறுப்பு சிறியது, மைனர்களின் மேட்ரிக்ஸில் நாங்கள் எழுதுகிறோம்:

பின்வரும் மேட்ரிக்ஸ் உறுப்பைக் கவனியுங்கள்:

இந்த உறுப்பு தோன்றும் வரிசை மற்றும் நெடுவரிசையை மனதளவில் கடக்கவும்:

எஞ்சியிருப்பது இந்த உறுப்பின் சிறியது, அதை நாம் நமது மேட்ரிக்ஸில் எழுதுகிறோம்:

இதேபோல், இரண்டாவது வரிசையின் கூறுகளை நாங்கள் கருத்தில் கொள்கிறோம் மற்றும் அவர்களின் சிறார்களைக் கண்டறிகிறோம்:


தயார்.

இது எளிமையானது. உங்களுக்கு தேவையான சிறார்களின் மேட்ரிக்ஸில் அறிகுறிகளை மாற்றவும்இரண்டு எண்கள்:

நான் வட்டமிட்ட எண்கள் இவை!

- மேட்ரிக்ஸின் தொடர்புடைய உறுப்புகளின் இயற்கணித சேர்த்தல்களின் அணி.

மற்றும் வெறும்...

4) இயற்கணிதக் கூட்டல்களின் மாற்றப்பட்ட அணியைக் கண்டறியவும்.

- மேட்ரிக்ஸின் தொடர்புடைய உறுப்புகளின் இயற்கணித நிரப்புகளின் இடமாற்ற அணி.

5) பதில்.

எங்கள் சூத்திரத்தை நினைவில் கொள்வோம்
எல்லாம் கிடைத்துவிட்டது!

எனவே தலைகீழ் அணி:

பதிலை அப்படியே விட்டுவிடுவது நல்லது. தேவை இல்லைமேட்ரிக்ஸின் ஒவ்வொரு உறுப்பையும் 2 ஆல் வகுக்கவும் பின்ன எண்கள். இந்த நுணுக்கம் அதே கட்டுரையில் இன்னும் விரிவாக விவாதிக்கப்படுகிறது. மெட்ரிக்குகளுடன் செயல்கள்.

தீர்வை எவ்வாறு சரிபார்க்கலாம்?

நீங்கள் அணி பெருக்கல் செய்ய வேண்டும் அல்லது

தேர்வு:

ஏற்கனவே குறிப்பிடப்பட்ட பெறப்பட்டது அடையாள அணிமூலம் ஒரு அணி முக்கிய மூலைவிட்டம்மற்ற இடங்களில் பூஜ்ஜியங்கள்.

எனவே, தலைகீழ் அணி சரியாகக் காணப்படுகிறது.

நீங்கள் செயலைச் செய்தால், இதன் விளைவாக ஒரு அடையாள அணியாகவும் இருக்கும். மேட்ரிக்ஸ் பெருக்கல் வரிசைமாற்றக்கூடிய சில நிகழ்வுகளில் இதுவும் ஒன்றாகும், மேலும் விரிவான தகவல்கட்டுரையில் காணலாம் மெட்ரிக்குகளில் செயல்பாடுகளின் பண்புகள். மேட்ரிக்ஸ் வெளிப்பாடுகள். காசோலையின் போது, ​​மாறிலி (பின்னம்) முன்னோக்கி கொண்டு வரப்பட்டு இறுதியில் செயலாக்கப்படுகிறது - மேட்ரிக்ஸ் பெருக்கத்திற்குப் பிறகு. இது ஒரு நிலையான நுட்பமாகும்.

நடைமுறையில் மிகவும் பொதுவான வழக்குக்கு செல்லலாம் - மூன்று-மூன்று-மூன்று அணி:

எடுத்துக்காட்டு:

மேட்ரிக்ஸின் தலைகீழ் நிலையைக் கண்டறியவும்

அல்காரிதம் "டூ பை டூ" வழக்கைப் போலவே உள்ளது.

சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி தலைகீழ் மேட்ரிக்ஸைக் காண்கிறோம்: , மேட்ரிக்ஸின் தொடர்புடைய உறுப்புகளின் இயற்கணித நிரப்புகளின் இடமாற்ற அணி எங்கே.

1) மேட்ரிக்ஸின் தீர்மானிப்பாளரைக் கண்டறியவும்.

இங்கே தீர்மானம் வெளிப்படுகிறது முதல் வரியில்.

மேலும், அதை மறந்துவிடாதீர்கள், அதாவது எல்லாம் நன்றாக இருக்கிறது - தலைகீழ் அணி உள்ளது.

2) சிறார்களின் மேட்ரிக்ஸைக் கண்டறியவும்.

சிறார்களின் அணி "மூன்று மூன்று" பரிமாணத்தைக் கொண்டுள்ளது , மற்றும் நாம் ஒன்பது எண்களைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.

இரண்டு சிறார்களை நான் கூர்ந்து கவனிப்பேன்:

பின்வரும் மேட்ரிக்ஸ் உறுப்பைக் கவனியுங்கள்:

இந்த உறுப்பு அமைந்துள்ள வரிசை மற்றும் நெடுவரிசையை மனதளவில் கடக்கவும்:

மீதமுள்ள நான்கு எண்களை "இரண்டு இரண்டு" தீர்மானிப்பதில் எழுதுகிறோம்.

இந்த டூ-பை-டூ தீர்மானி மற்றும் இந்த உறுப்பு சிறியது. இது கணக்கிடப்பட வேண்டும்:


அவ்வளவுதான், மைனர் கண்டுபிடிக்கப்பட்டார், அதை எங்கள் சிறார்களின் மேட்ரிக்ஸில் எழுதுகிறோம்:

ஒருவேளை நீங்கள் யூகித்தபடி, நீங்கள் ஒன்பது இரண்டு-இரண்டு தீர்மானங்களை கணக்கிட வேண்டும். செயல்முறை, நிச்சயமாக, கடினமானது, ஆனால் வழக்கு மிகவும் கடுமையானது அல்ல, அது மோசமாக இருக்கலாம்.

சரி, ஒருங்கிணைக்க - படங்களில் மற்றொரு சிறியவரைக் கண்டறிதல்:

மீதமுள்ள சிறார்களை நீங்களே கணக்கிட முயற்சிக்கவும்.

இறுதி முடிவு:
- மேட்ரிக்ஸின் தொடர்புடைய உறுப்புகளின் சிறார்களின் அணி.

அனைத்து சிறார்களும் எதிர்மறையாக மாறியது முற்றிலும் விபத்து.

3) இயற்கணிதக் கூட்டல்களின் அணியைக் கண்டறியவும்.

சிறார்களின் மேட்ரிக்ஸில் இது அவசியம் அறிகுறிகளை மாற்றவும்கண்டிப்பாக பின்வரும் கூறுகளுக்கு:

இந்த வழக்கில்:

"நான்கு நான்கு" மேட்ரிக்ஸிற்கான தலைகீழ் அணியைக் கண்டுபிடிப்பதை நாங்கள் கருத்தில் கொள்ள மாட்டோம், ஏனெனில் ஒரு துன்பகரமான ஆசிரியர் மட்டுமே அத்தகைய பணியை வழங்க முடியும் (மாணவர் ஒரு "நான்கிலிருந்து நான்கு" தீர்மானிப்பையும் 16 "மூன்று மூன்று" தீர்மானிப்பையும் கணக்கிட வேண்டும்). என் நடைமுறையில், அத்தகைய ஒரு வழக்கு மட்டுமே இருந்தது, மற்றும் வாடிக்கையாளர் சோதனை வேலைஎன் வேதனைக்கு மிகவும் விலை உயர்ந்தது =).

பல பாடப்புத்தகங்கள் மற்றும் கையேடுகளில் தலைகீழ் மேட்ரிக்ஸைக் கண்டுபிடிப்பதற்கு சற்று வித்தியாசமான அணுகுமுறையைக் காணலாம், ஆனால் மேலே குறிப்பிட்டுள்ள தீர்வு வழிமுறையைப் பயன்படுத்த பரிந்துரைக்கிறேன். ஏன்? ஏனெனில் கணக்கீடுகள் மற்றும் அறிகுறிகளில் குழப்பம் ஏற்படுவதற்கான வாய்ப்பு மிகவும் குறைவு.

எந்த ஒருமை அல்லாத அணி A-க்கும் ஒரு தனி அணி A -1 உள்ளது

A*A -1 =A -1 *A = E,

இதில் E என்பது A போன்ற அதே வரிசைகளின் அடையாள அணியாகும். A -1 அணி A இன் தலைகீழ் என அழைக்கப்படுகிறது.

யாராவது மறந்துவிட்டால், அடையாள அணியில், மூலைவிட்டம் நிரப்பப்பட்டதைத் தவிர, மற்ற எல்லா நிலைகளும் பூஜ்ஜியங்களால் நிரப்பப்படும், அடையாள அணிக்கு எடுத்துக்காட்டு:

அட்ஜோயிண்ட் மேட்ரிக்ஸ் முறையைப் பயன்படுத்தி தலைகீழ் அணியைக் கண்டறிதல்

தலைகீழ் அணி சூத்திரத்தால் வரையறுக்கப்படுகிறது:

எங்கே A ij - உறுப்புகள் a ij.

அந்த. தலைகீழ் மேட்ரிக்ஸைக் கணக்கிட, இந்த மேட்ரிக்ஸின் தீர்மானிப்பதை நீங்கள் கணக்கிட வேண்டும். பின்னர் அதன் அனைத்து உறுப்புகளுக்கும் இயற்கணித நிரப்பிகளைக் கண்டறிந்து அவற்றிலிருந்து ஒரு புதிய அணியை உருவாக்கவும். அடுத்து இந்த மேட்ரிக்ஸை நீங்கள் கொண்டு செல்ல வேண்டும். புதிய மேட்ரிக்ஸின் ஒவ்வொரு உறுப்பையும் அசல் மேட்ரிக்ஸின் தீர்மானிப்பாளரால் வகுக்கவும்.

ஒரு சில உதாரணங்களைப் பார்ப்போம்.

ஒரு அணிக்கு A -1 ஐக் கண்டறியவும்

அட்ஜோயிண்ட் மேட்ரிக்ஸ் முறையைப் பயன்படுத்தி A -1 ஐக் கண்டுபிடிப்போம். எங்களிடம் det A = 2 உள்ளது. அணி A இன் தனிமங்களின் இயற்கணித நிரப்புகளைக் கண்டுபிடிப்போம். இந்த விஷயத்தில், மேட்ரிக்ஸ் உறுப்புகளின் இயற்கணித நிரப்புகள், சூத்திரத்தின்படி ஒரு அடையாளத்துடன் எடுக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸின் தொடர்புடைய கூறுகளாக இருக்கும்.

எங்களிடம் A 11 = 3, A 12 = -4, A 21 = -1, A 22 = 2. நாங்கள் இணை அணியை உருவாக்குகிறோம்

நாங்கள் அணி A* ஐக் கொண்டு செல்கிறோம்:

சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி தலைகீழ் மேட்ரிக்ஸைக் காண்கிறோம்:

நாங்கள் பெறுகிறோம்:

அட்ஜோயிண்ட் மேட்ரிக்ஸ் முறையைப் பயன்படுத்தி, A -1 ஐக் கண்டறியவும்

தீர்வு முதலில், தலைகீழ் மேட்ரிக்ஸின் இருப்பை சரிபார்க்க இந்த மேட்ரிக்ஸின் வரையறையை கணக்கிடுகிறோம். எங்களிடம் உள்ளது

இங்கே நாம் இரண்டாவது வரிசையின் உறுப்புகளில் மூன்றாவது வரிசையின் கூறுகளைச் சேர்த்துள்ளோம், முன்பு (-1) பெருக்கப்பட்டது, பின்னர் இரண்டாவது வரிசைக்கான தீர்மானிப்பதை விரிவுபடுத்தினோம். இந்த மேட்ரிக்ஸின் வரையறை பூஜ்ஜியத்திலிருந்து வேறுபட்டது என்பதால், அதன் தலைகீழ் அணி உள்ளது. இணை அணியை உருவாக்க, இந்த மேட்ரிக்ஸின் தனிமங்களின் இயற்கணித நிரப்புகளைக் காண்கிறோம். எங்களிடம் உள்ளது

சூத்திரத்தின் படி

போக்குவரத்து அணி A*:

பின்னர் சூத்திரத்தின் படி

அடிப்படை மாற்றங்களின் முறையைப் பயன்படுத்தி தலைகீழ் மேட்ரிக்ஸைக் கண்டறிதல்

தலைகீழ் அணியைக் கண்டறியும் முறைக்கு கூடுதலாக, சூத்திரத்திலிருந்து (அட்ஜண்ட் மேட்ரிக்ஸ் முறை) பின்வருபவை, தலைகீழ் மேட்ரிக்ஸைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான ஒரு முறை உள்ளது, இது அடிப்படை மாற்றங்களின் முறை என்று அழைக்கப்படுகிறது.

எலிமெண்டரி மேட்ரிக்ஸ் மாற்றங்கள்

பின்வரும் மாற்றங்கள் எலிமெண்டரி மேட்ரிக்ஸ் உருமாற்றங்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன:

1) வரிசைகளின் மறுசீரமைப்பு (நெடுவரிசைகள்);

2) ஒரு வரிசையை (நெடுவரிசையை) பூஜ்ஜியத்தைத் தவிர வேறு எண்ணால் பெருக்குதல்;

3) ஒரு வரிசையின் உறுப்புகளுடன் (நெடுவரிசை) மற்றொரு வரிசையின் (நெடுவரிசை) தொடர்புடைய கூறுகளைச் சேர்ப்பது, முன்பு ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணால் பெருக்கப்பட்டது.

அணி A -1 ஐ கண்டுபிடிக்க நாம் கட்டமைக்கிறோம் செவ்வக அணிஆர்டர்களின் B = (A|E) (n; 2n), வலதுபுறத்தில் உள்ள அணி A க்கு பிரிக்கும் கோட்டின் மூலம் அடையாள அணி E ஐ ஒதுக்குகிறது:

ஒரு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்.

அடிப்படை மாற்றங்களின் முறையைப் பயன்படுத்தி, A -1 ஐக் கண்டறியவும்

நாங்கள் மேட்ரிக்ஸ் B ஐ உருவாக்குகிறோம்.

அணி B இன் வரிசைகளை α 1, α 2, α 3 ஆல் குறிப்போம். மேட்ரிக்ஸ் B இன் வரிசைகளில் பின்வரும் மாற்றங்களைச் செய்வோம்.

A*A -1 = E என்றால் மேட்ரிக்ஸ் A-ஐப் பொறுத்து அணி A -1 தலைகீழ் அணி என அழைக்கப்படுகிறது, இங்கு E என்பது n வது வரிசையின் அடையாள அணி. ஒரு தலைகீழ் அணி சதுர அணிகளுக்கு மட்டுமே இருக்க முடியும்.

சேவையின் நோக்கம். இந்தச் சேவையை ஆன்லைனில் பயன்படுத்துவதன் மூலம் இயற்கணித நிரப்பிகள், இடமாற்ற அணி A T, இணைந்த அணி மற்றும் தலைகீழ் அணி ஆகியவற்றைக் காணலாம். முடிவு நேரடியாக இணையதளத்தில் (ஆன்லைனில்) மேற்கொள்ளப்படுகிறது மற்றும் இலவசம். கணக்கீட்டு முடிவுகள் வேர்ட் மற்றும் எக்செல் வடிவத்தில் ஒரு அறிக்கையில் வழங்கப்படுகின்றன (அதாவது, தீர்வை சரிபார்க்க முடியும்). வடிவமைப்பு உதாரணத்தைப் பார்க்கவும்.

வழிமுறைகள். ஒரு தீர்வைப் பெற, மேட்ரிக்ஸின் பரிமாணத்தைக் குறிப்பிடுவது அவசியம். அடுத்து, புதிய உரையாடல் பெட்டியில் மேட்ரிக்ஸ் A ஐ நிரப்பவும்.

ஜோர்டானோ-காஸ் முறையைப் பயன்படுத்தி தலைகீழ் அணியையும் பார்க்கவும்

தலைகீழ் அணியைக் கண்டறிவதற்கான அல்காரிதம்

1. மாற்றப்பட்ட அணி A T ஐக் கண்டறிதல்.
2. இயற்கணித நிரப்புகளின் வரையறை. மேட்ரிக்ஸின் ஒவ்வொரு உறுப்பையும் அதன் இயற்கணித நிரப்புதலுடன் மாற்றவும்.
3. இயற்கணிதக் கூட்டல்களிலிருந்து தலைகீழ் மேட்ரிக்ஸைத் தொகுத்தல்: இதன் விளைவாக வரும் மேட்ரிக்ஸின் ஒவ்வொரு உறுப்பும் அசல் மேட்ரிக்ஸின் தீர்மானிப்பாளரால் வகுக்கப்படுகிறது. இதன் விளைவாக வரும் அணி அசல் மேட்ரிக்ஸின் தலைகீழ் ஆகும்.

1. அணி சதுரமாக உள்ளதா என்பதைத் தீர்மானிக்கவும். இல்லையென்றால், அதற்கு தலைகீழ் அணி இல்லை.
2. அணி A இன் நிர்ணயிப்பாளரின் கணக்கீடு. பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லாவிட்டால், தீர்வைத் தொடர்கிறோம், இல்லையெனில் தலைகீழ் அணி இல்லை.
3. இயற்கணித நிரப்புகளின் வரையறை.
4. தொழிற்சங்கத்தை நிரப்புதல் (பரஸ்பர, இணைந்த) அணி சி .
5. இயற்கணிதக் கூட்டல்களில் இருந்து ஒரு தலைகீழ் அணியை தொகுத்தல்: இணை அணி C இன் ஒவ்வொரு உறுப்பும் அசல் மேட்ரிக்ஸின் தீர்மானிப்பாளரால் வகுக்கப்படுகிறது. இதன் விளைவாக வரும் அணி அசல் மேட்ரிக்ஸின் தலைகீழ் ஆகும்.
6. அவர்கள் ஒரு காசோலை செய்கிறார்கள்: அவை அசல் மற்றும் அதன் விளைவாக வரும் மெட்ரிக்குகளை பெருக்குகின்றன. முடிவு ஒரு அடையாள அணியாக இருக்க வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டு எண். 1. மேட்ரிக்ஸை வடிவத்தில் எழுதுவோம்:

தலைகீழ் மேட்ரிக்ஸைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான மற்றொரு அல்காரிதம்

1. கொடுக்கப்பட்ட சதுர அணி A இன் தீர்மானிப்பாளரைக் கண்டறியவும்.
2. மேட்ரிக்ஸ் A இன் அனைத்து உறுப்புகளுக்கும் இயற்கணித நிரப்புதல்களைக் காண்கிறோம்.
3. நெடுவரிசைகளுக்கு (இடமாற்றம்) வரிசை உறுப்புகளின் இயற்கணித சேர்த்தல்களை எழுதுகிறோம்.
4. விளைந்த மேட்ரிக்ஸின் ஒவ்வொரு உறுப்பையும் மேட்ரிக்ஸ் A இன் தீர்மானிப்பாளரால் பிரிக்கிறோம்.

சிறப்பு வழக்கு: அடையாள அணி E இன் தலைகீழ் அடையாள அணி E ஆகும்.