சாத்தியமான வரம்புகளை எவ்வாறு தீர்மானிப்பது. டம்மிகளுக்கான வரம்புகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது
முதல் குறிப்பிடத்தக்க வரம்பு பின்வரும் சமத்துவம்:
\begin(சமன்பாடு)\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1 \end(சமன்பாடு)
$\alpha\to(0)$ க்கு $\sin\alpha\to(0)$ இருப்பதால், முதல் குறிப்பிடத்தக்க வரம்பு $\frac(0)(0)$ வடிவத்தின் நிச்சயமற்ற தன்மையை வெளிப்படுத்துகிறது என்று கூறுகிறார்கள். பொதுவாகச் சொன்னால், சூத்திரத்தில் (1), மாறி $\alpha$ க்குப் பதிலாக, எந்த வெளிப்பாட்டையும் சைன் அடையாளத்தின் கீழும் வகுப்பிலும் இரண்டு நிபந்தனைகள் பூர்த்தி செய்யும் வரை வைக்கலாம்:
- சைன் அடையாளத்தின் கீழ் உள்ள வெளிப்பாடுகள் மற்றும் வகுப்பில் ஒரே நேரத்தில் பூஜ்ஜியமாக இருக்கும், அதாவது. $\frac(0)(0)$ படிவத்தின் நிச்சயமற்ற தன்மை உள்ளது.
- சைன் அடையாளத்தின் கீழ் உள்ள வெளிப்பாடுகள் மற்றும் வகுப்பில் உள்ள வெளிப்பாடுகள் ஒன்றே.
முதல் ஒன்றின் தொடர்புகளும் பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. அற்புதமான வரம்பு:
\begin(சமன்பாடு) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1 \end(சமன்பாடு) \begin(சமன்பாடு) \lim_(\alpha\to(0) )\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1 \end(சமன்பாடு) \begin(சமன்பாடு) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1 \முடிவு(சமன்பாடு)
பதினொரு எடுத்துக்காட்டுகள் இந்தப் பக்கத்தில் தீர்க்கப்பட்டுள்ளன. எடுத்துக்காட்டு எண். 1 சூத்திரங்களின் (2)-(4) ஆதாரத்திற்கு அர்ப்பணிக்கப்பட்டுள்ளது. எடுத்துக்காட்டு எண். 2, எண். 3, எண். 4 மற்றும் எண். 5 ஆகியவை விரிவான கருத்துகளுடன் தீர்வுகளைக் கொண்டிருக்கின்றன. எடுத்துக்காட்டுகள் எண். 6-10 இல் எந்த கருத்தும் இல்லாத தீர்வுகள் உள்ளன, ஏனெனில் முந்தைய எடுத்துக்காட்டுகளில் விரிவான விளக்கங்கள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. தீர்வு சிலவற்றைப் பயன்படுத்துகிறது முக்கோணவியல் சூத்திரங்கள்என்று காணலாம்.
இருப்பதை நான் கவனிக்கிறேன் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள்$\frac (0) (0)$ என்ற நிச்சயமற்ற தன்மையுடன் இணைந்தது முதல் குறிப்பிடத்தக்க வரம்பின் கட்டாயப் பயன்பாட்டை இன்னும் குறிக்கவில்லை. சில நேரங்களில் எளிய முக்கோணவியல் மாற்றங்கள் போதுமானவை - எடுத்துக்காட்டாக, பார்க்கவும்.
எடுத்துக்காட்டு எண். 1
$\lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha ) என்பதை நிரூபிக்கவும் (\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$.
a) $\tg\alpha=\frac(\sin\alpha)(\cos\alpha)$ என்பதால், பின்:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg(\alpha))(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\வலது| =\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) $$
$\lim_(\alpha\to(0))\cos(0)=1$ மற்றும் $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1$ , அது:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) =\frac(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0)) \frac(\sin(\alpha))(\alpha))(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0))\cos(\alpha)) =\frac(1)(1) =1. $$
b) $\alpha=\sin(y)$ மாற்றத்தை உருவாக்குவோம். $\sin(0)=0$ என்பதால், $\alpha\to(0)$ என்ற நிலையில் இருந்து $y\to(0)$ உள்ளது. கூடுதலாக, பூஜ்ஜியத்தின் அருகில் உள்ளது, இதில் $\arcsin\alpha=\arcsin(\sin(y))=y$, எனவே:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\வலது| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\sin(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\sin(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\sin(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$
$\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1$ சமத்துவம் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.
c) மாற்றாக $\alpha=\tg(y)$ ஐ உருவாக்குவோம். $\tg(0)=0$ என்பதால், $\alpha\to(0)$ மற்றும் $y\to(0)$ ஆகிய நிபந்தனைகள் சமமானவை. கூடுதலாக, பூஜ்ஜியத்தின் அருகில் உள்ளது, இதில் $\arctg\alpha=\arctg\tg(y))=y$, எனவே, புள்ளி a இன் முடிவுகளின் அடிப்படையில், நாம் பெறுவோம்:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\வலது| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\tg(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\tg(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\tg(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$
$\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$ சமத்துவம் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.
சமன்பாடுகள் a), b), c) பெரும்பாலும் முதல் குறிப்பிடத்தக்க வரம்புடன் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.
எடுத்துக்காட்டு எண். 2
வரம்பைக் கணக்கிடவும் $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4) (x+7))$.
$\lim_(x\to(2))\frac(x^2-4)(x+7)=\frac(2^2-4)(2+7)=0$ மற்றும் $\lim_( x \to(2))\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right)=\sin(0)=0$, i.e. மற்றும் பின்னத்தின் எண் மற்றும் வகுப்பு ஒரே நேரத்தில் பூஜ்ஜியமாக இருக்கும், பின்னர் இங்கே நாம் $\frac(0)(0)$ வடிவத்தின் நிச்சயமற்ற தன்மையைக் கையாளுகிறோம், அதாவது. முடிந்தது. கூடுதலாக, சைன் அடையாளத்தின் கீழும் வகுப்பின் கீழும் உள்ள வெளிப்பாடுகள் ஒத்துப்போகின்றன என்பது தெளிவாகிறது (அதாவது, மற்றும் திருப்தியானது):
எனவே, பக்கத்தின் தொடக்கத்தில் பட்டியலிடப்பட்டுள்ள இரண்டு நிபந்தனைகளும் பூர்த்தி செய்யப்படுகின்றன. இதிலிருந்து சூத்திரம் பொருந்தும், அதாவது. $\lim_(x\to(2)) \frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x+ 7 ))=1$.
பதில்: $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\வலது))(\frac(x^2-4)(x +7))=1$.
எடுத்துக்காட்டு எண். 3
$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)$ஐக் கண்டறியவும்.
$\lim_(x\to(0))\sin(9x)=0$ மற்றும் $\lim_(x\to(0))x=0$ என்பதால், $\frac படிவத்தின் நிச்சயமற்ற தன்மையைக் கையாளுகிறோம் (0 )(0)$, அதாவது. முடிந்தது. இருப்பினும், சைன் அடையாளத்தின் கீழ் உள்ள வெளிப்பாடுகள் மற்றும் வகுப்பில் உள்ள வெளிப்பாடுகள் ஒத்துப்போவதில்லை. இங்கே நீங்கள் வகுப்பில் உள்ள வெளிப்பாட்டை சரிசெய்ய வேண்டும் தேவையான படிவம். வகுப்பில் இருக்க $9x$ என்ற வெளிப்பாடு தேவை, அது உண்மையாகிவிடும். அடிப்படையில், வகுப்பில் $9$ என்ற காரணியைக் காணவில்லை, அதை உள்ளிடுவது அவ்வளவு கடினம் அல்ல - வகுப்பில் உள்ள வெளிப்பாட்டை $9$ ஆல் பெருக்கவும். இயற்கையாகவே, $9$ ஆல் பெருக்கத்தை ஈடுசெய்ய, நீங்கள் உடனடியாக $9$ ஆல் வகுக்க வேண்டும்:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x\cdot\frac(1)(9)) =9\lim_(x\to(0))\frac(\sin (9x))(9x)$$
இப்போது வகுப்பிலும் சைன் அடையாளத்தின் கீழும் உள்ள வெளிப்பாடுகள் ஒத்துப்போகின்றன. வரம்பு $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)$க்கான இரண்டு நிபந்தனைகளும் திருப்திகரமாக உள்ளன. எனவே, $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=1$. மற்றும் இதன் பொருள்:
$$ 9\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=9\cdot(1)=9. $$
பதில்: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=9$.
எடுத்துக்காட்டு எண். 4
$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))$ஐக் கண்டறியவும்.
$\lim_(x\to(0))\sin(5x)=0$ மற்றும் $\lim_(x\to(0))\tg(8x)=0$ என்பதால், படிவத்தின் நிச்சயமற்ற தன்மையை இங்கே கையாளுகிறோம் $\frac(0)(0)$. இருப்பினும், முதல் குறிப்பிடத்தக்க வரம்பின் வடிவம் மீறப்படுகிறது. $\sin(5x)$ ஐக் கொண்ட ஒரு எண்ணுக்கு $5x$ மதிப்பிலானது தேவை. இந்த சூழ்நிலையில், எண்ணை $5x$ ஆல் வகுத்து, உடனடியாக $5x$ ஆல் பெருக்குவது எளிதான வழி. கூடுதலாக, நாங்கள் செய்வோம் ஒத்த செயல்பாடுமற்றும் வகுப்பைக் கொண்டு, $\tg(8x)$ ஐ $8x$ ஆல் பெருக்கி வகுத்தல்:
$$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x)=\left|\frac(0)(0)\வலது| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )$$
$x$ ஆல் குறைத்து, $\frac(5)(8)$ வரம்பு அடையாளத்திற்கு வெளியே மாறிலியை எடுத்துக் கொண்டால், நாம் பெறுவோம்:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))( 8x)) $$
$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x)$ முதல் குறிப்பிடத்தக்க வரம்புக்கான தேவைகளை முழுமையாக பூர்த்தி செய்கிறது. $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(8x))(8x)$ஐ கண்டுபிடிக்க, பின்வரும் சூத்திரம் பொருந்தும்:
$$ \frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))(8x . (0))\frac(\tg(8x))(8x)) =\frac(5)(8)\cdot\frac(1)(1) =\frac(5)(8). $$
பதில்: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\frac(5)(8)$.
எடுத்துக்காட்டு எண். 5
$\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)$ என்பதைக் கண்டறியவும்.
$\lim_(x\to(0))(\cos(5x)-\cos^3(5x))=1-1=0$ ($\cos(0)=1$) மற்றும் $\ என்பதிலிருந்து lim_(x\to(0))x^2=0$, பிறகு $\frac(0)(0)$ படிவத்தின் நிச்சயமற்ற தன்மையைக் கையாளுகிறோம். இருப்பினும், முதல் குறிப்பிடத்தக்க வரம்பைப் பயன்படுத்துவதற்கு, நீங்கள் நியூமரேட்டரில் உள்ள கோசைனை அகற்ற வேண்டும், சைன்கள் (பின்னர் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவதற்காக) அல்லது டேன்ஜென்ட்களுக்கு (பின்னர் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவதற்காக) செல்ல வேண்டும். பின்வரும் மாற்றத்தின் மூலம் இதைச் செய்யலாம்:
$$\cos(5x)-\cos^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)$$ $$\cos(5x)-\cos ^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)=\cos(5x)\cdot\sin^2(5x).$$
வரம்புக்கு திரும்புவோம்:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=\left|\frac(0)(0)\வலது| =\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)\cdot\sin^2(5x))(x^2) =\lim_(x\to(0))\left(\cos (5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\வலது) $$
$\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ என்ற பின்னம் ஏற்கனவே முதல் குறிப்பிடத்தக்க வரம்பிற்கு தேவையான படிவத்திற்கு அருகில் உள்ளது. $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ என்ற பின்னத்துடன் சிறிது வேலை செய்வோம், அதை முதல் குறிப்பிடத்தக்க வரம்பிற்குச் சரிசெய்வோம் (எண் மற்றும் சைனின் கீழ் உள்ள வெளிப்பாடுகள் பொருந்த வேண்டும் என்பதை நினைவில் கொள்ளவும்):
$$\frac(\sin^2(5x))(x^2)=\frac(\sin^2(5x))(25x^2\cdot\frac(1)(25))=25\cdot\ frac(\sin^2(5x))(25x^2)=25\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\வலது)^2$$
பரிசீலனையில் உள்ள வரம்புக்கு திரும்புவோம்:
$$ \lim_(x\to(0))\left(\cos(5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) =\lim_(x\to(0) ))\left(25\cos(5x)\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2\right)=\\ =25\cdot\lim_(x\to( 0))\cos(5x)\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2 =25\cdot(1)\cdot( 1^2) =25. $$
பதில்: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=25$.
எடுத்துக்காட்டு எண். 6
வரம்பைக் கண்டறியவும் $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))$.
$\lim_(x\to(0))(1-\cos(6x))=0$ மற்றும் $\lim_(x\to(0))(1-\cos(2x))=0$, பின்னர் $\frac(0)(0)$ நிச்சயமற்ற தன்மையைக் கையாளுகிறோம். முதல் குறிப்பிடத்தக்க வரம்பின் உதவியுடன் அதை வெளிப்படுத்துவோம். இதைச் செய்ய, கோசைன்களிலிருந்து சைன்களுக்குச் செல்லலாம். $1-\cos(2\alpha)=2\sin^2(\alpha)$ என்பதால், பின்:
$$1-\cos(6x)=2\sin^2(3x);\;1-\cos(2x)=2\sin^2(x).$$
கொடுக்கப்பட்ட வரம்பில் சைன்களுக்குச் சென்றால், எங்களிடம் இருக்கும்:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=\left|\frac(0)(0)\வலது| =\lim_(x\to(0))\frac(2\sin^2(3x))(2\sin^2(x)) =\lim_(x\to(0))\frac(\sin^ 2(3x))(\sin^2(x))=\\ =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin^2(3x))((3x)^2)\ cdot(3x)^2)(\frac(\sin^2(x))(x^2)\cdot(x^2)) =\lim_(x\to(0))\frac(\left(\\ frac(\sin(3x))(3x)\வலது)^2\cdot(9x^2))(\இடது(\frac(\sin(x))(x)\வலது)^2\cdot(x^ 2)) =9\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(3x))(3x)\right)^2)(\displaystyle\lim_(x \to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2) =9\cdot\frac(1^2)(1^2) =9. $$
பதில்: $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=9$.
எடுத்துக்காட்டு எண். 7
வரம்பைக் கணக்கிடவும் $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x))(x^2)$ $\alpha\neqக்கு உட்பட்டது \ பீட்டா $.
விரிவான விளக்கங்கள் முன்பே கொடுக்கப்பட்டன, ஆனால் இங்கே மீண்டும் நிச்சயமற்ற $\frac(0)(0)$ இருப்பதைக் கவனிக்கிறோம். சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கோசைன்களிலிருந்து சைன்களுக்கு நகர்வோம்
$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\sin\frac(\alpha-\beta)(2).$$
இந்த சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, நாம் பெறுகிறோம்:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\left|\frac(0)( 0)\வலது| =\lim_(x\to(0))\frac(-2\sin\frac(\alpha(x)+\beta(x))(2)\cdot\sin\frac(\alpha(x)-\ பீட்டா(x))(2))(x^2)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta) )(2)\வலது)\cdot\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x^2) =-2\cdot\lim_(x\to( 0))\left(\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x)\cdot\frac(\sin\left(x\cdot\frac (\alpha-\beta)(2)\வலது))(x)\வலது)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin\left(x) \cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\frac (\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2))\cdot\frac(\alpha- \beta)(2)\வலது)=\\ =-\frac((\alpha+\beta)\cdot(\alpha-\beta))(2)\lim_(x\to(0))\frac(\ sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\lim_(x\to(0)) \frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)) =-\frac(\ alpha^2-\beta^2)(2)\cdot(1)\cdot(1) =\frac(\beta^2-\alpha^2)(2). $$
பதில்: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\frac(\beta^2-\ ஆல்பா^2)(2)$.
எடுத்துக்காட்டு எண். 8
வரம்பைக் கண்டறியவும் $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)$.
$\lim_(x\to(0))(\tg(x)-\sin(x))=0$ என்பதால் ($\sin(0)=\tg(0)=0$) மற்றும் $\ lim_(x\to(0))x^3=0$, பின்னர் இங்கே நாம் $\frac(0)(0)$ படிவத்தின் நிச்சயமற்ற தன்மையைக் கையாளுகிறோம். அதை பின்வருமாறு உடைப்போம்:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\left|\frac(0)(0)\வலது| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(x))(\cos(x))-\sin(x))(x^3) =\lim_(x\to( 0))\frac(\sin(x)\cdot\left(\frac(1)(\cos(x)-1\right))(x^3) =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot\left(1-\cos(x)\right))(x^3\cdot\cos(x))=\\ =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot(2)\sin^2\frac(x)(2))(x^3\cdot\cos(x)) =\frac(1)(2)\cdot\ lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)( 2))\வலது)^2\cdot\frac(1)(\cos(x))\right) =\frac(1)(2)\cdot(1)\cdot(1^2)\cdot(1 ) =\frac(1)(2). $$
பதில்: $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\frac(1)(2)$.
எடுத்துக்காட்டு எண். 9
வரம்பைக் கண்டறியவும் $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))$.
$\lim_(x\to(3))(1-\cos(x-3))=0$ மற்றும் $\lim_(x\to(3))(x-3)\tg\frac(x - 3)(2)=0$, பின்னர் $\frac(0)(0)$ படிவத்தின் நிச்சயமற்ற தன்மை உள்ளது. அதன் விரிவாக்கத்திற்குச் செல்வதற்கு முன், புதிய மாறி பூஜ்ஜியமாக இருக்கும் வகையில் மாறியை மாற்றுவது வசதியானது (சூத்திரங்களில் மாறி $\alpha \to 0$ என்பதைக் கவனத்தில் கொள்ளவும்). $t=x-3$ என்ற மாறியை அறிமுகப்படுத்துவதே எளிதான வழி. இருப்பினும், மேலும் மாற்றங்களின் வசதிக்காக (இந்தப் பலனை கீழே உள்ள தீர்வின் போக்கில் காணலாம்), பின்வரும் மாற்றீடு செய்வது மதிப்பு: $t=\frac(x-3)(2)$. இந்த விஷயத்தில் இரண்டு மாற்றீடுகளும் பொருந்தும் என்பதை நான் கவனிக்கிறேன், இரண்டாவது மாற்றீடு பின்னங்களுடன் குறைவாக வேலை செய்ய உங்களை அனுமதிக்கும். $x\to(3)$ என்பதிலிருந்து, $t\to(0)$.
$$ \lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=\இடது|\frac (0)(0)\வலது| =\இடது|\தொடங்கு(சீரமைக்கப்பட்டது)&t=\frac(x-3)(2);\\&t\to(0)\end(சீரமைக்கப்பட்டது)\வலது| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\cos(2t))(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^ 2t)(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\tg(t))=\\ =\lim_(t\ to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\frac(\sin(t))(\cos(t))) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin (t)\cos(t))(t) =\lim_(t\to(0))\left(\frac(\sin(t))(t)\cdot\cos(t)\right) =\ lim_(t\to(0))\frac(\sin(t))(t)\cdot\lim_(t\to(0))\cos(t) =1\cdot(1) =1. $$
பதில்: $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=1$.
எடுத்துக்காட்டு எண். 10
வரம்பைக் கண்டறியவும் $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^ 2)$.
மீண்டும் நாங்கள் நிச்சயமற்ற $\frac(0)(0)$ உடன் கையாளுகிறோம். அதன் விரிவாக்கத்திற்குச் செல்வதற்கு முன், புதிய மாறி பூஜ்ஜியத்திற்குச் செல்லும் வகையில் மாறியை மாற்றுவது வசதியானது (சூத்திரங்களில் மாறி $\alpha\to(0)$ என்பதை நினைவில் கொள்ளவும்). $t=\frac(\pi)(2)-x$ என்ற மாறியை அறிமுகப்படுத்துவதே எளிதான வழி. $x\to\frac(\pi)(2)$ என்பதால், $t\to(0)$:
$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\இடது|\frac(0)(0)\வலது| =\ இடது| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\sin\left(\frac(\pi)(2)-t\right))(t^2) =\lim_(t\to(0) ))\frac(1-\cos(t))(t^2)=\\ =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^2\frac(t)(2))( t^2) =2\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2\frac(t)(2))(t^2) =2\lim_(t\to(0))\ frac(\sin^2\frac(t)(2))(\frac(t^2)(4)\cdot(4)) =\frac(1)(2)\cdot\lim_(t\to( 0))\இடது(\frac(\sin\frac(t)(2))(\frac(t)(2))\வலது)^2 =\frac(1)(2)\cdot(1^2 ) =\frac(1)(2). $$
பதில்: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\frac(1)(2)$.
எடுத்துக்காட்டு எண். 11
வரம்புகள் $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)$, $\lim_(x\to\frac(2) \ pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)$.
இந்த விஷயத்தில் நாம் முதல் அற்புதமான வரம்பை பயன்படுத்த வேண்டியதில்லை. முதல் மற்றும் இரண்டாவது வரம்புகளில் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள் மற்றும் எண்கள் மட்டுமே உள்ளன என்பதை நினைவில் கொள்ளவும். பெரும்பாலும் இந்த வகையான எடுத்துக்காட்டுகளில் வரம்பு அடையாளத்தின் கீழ் அமைந்துள்ள வெளிப்பாட்டை எளிமைப்படுத்த முடியும். மேலும், மேற்கூறிய சில காரணிகளின் எளிமைப்படுத்தல் மற்றும் குறைப்புக்குப் பிறகு, நிச்சயமற்ற தன்மை மறைந்துவிடும். நான் இந்த உதாரணத்தை ஒரே ஒரு நோக்கத்திற்காக மட்டுமே கொடுத்தேன்: வரம்பு அடையாளத்தின் கீழ் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள் இருப்பது முதல் குறிப்பிடத்தக்க வரம்பைப் பயன்படுத்த வேண்டிய அவசியமில்லை என்பதைக் காட்ட.
$\lim_(x\to\frac(\pi)(2))(1-\sin(x))=0$ ($\sin\frac(\pi)(2)=1$ ) மற்றும் $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\cos^2x=0$ ($\cos\frac(\pi)(2)=0$ என்பதை உங்களுக்கு நினைவூட்டுகிறேன், பிறகு எங்களிடம் உள்ளது $\frac(0)(0)$ படிவத்தின் நிச்சயமற்ற தன்மையைக் கையாளுதல். இருப்பினும், முதல் அற்புதமான வரம்பை நாம் பயன்படுத்த வேண்டும் என்று இது அர்த்தப்படுத்துவதில்லை. நிச்சயமற்ற தன்மையை வெளிப்படுத்த, $\cos^2x=1-\sin^2x$:
$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x) =\left|\frac(0)(0)\வலது| =\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(1-\sin^2x) =\lim_(x\to\frac(\pi)( 2))\frac(1-\sin(x))((1-\sin(x))(1+\sin(x))) =\lim_(x\to\frac(\pi)(2) )\frac(1)(1+\sin(x)) =\frac(1)(1+1) =\frac(1)(2). $$
டெமிடோவிச்சின் தீர்வு புத்தகத்தில் (எண். 475) இதே போன்ற தீர்வு உள்ளது. இரண்டாவது வரம்பைப் பொறுத்தவரை, இந்தப் பிரிவில் உள்ள முந்தைய எடுத்துக்காட்டுகளைப் போலவே, $\frac(0)(0)$ படிவத்தின் நிச்சயமற்ற தன்மையைக் கொண்டுள்ளோம். ஏன் எழுகிறது? $\tg\frac(2\pi)(3)=-\sqrt(3)$ மற்றும் $2\cos\frac(2\pi)(3)=-1$ என்பதால் இது எழுகிறது. எண் மற்றும் வகுப்பில் உள்ள வெளிப்பாடுகளை மாற்ற இந்த மதிப்புகளைப் பயன்படுத்துகிறோம். எங்கள் செயல்களின் குறிக்கோள், தொகையை எண் மற்றும் வகுப்பில் ஒரு தயாரிப்பாக எழுதுவதாகும். மூலம், பெரும்பாலும் ஒரே மாதிரியான வகைக்குள், புதிய மாறி பூஜ்ஜியமாக இருக்கும் வகையில் உருவாக்கப்பட்ட மாறியை மாற்றுவது வசதியானது (எடுத்துக்காட்டாக, இந்த பக்கத்தில் எடுத்துக்காட்டு எண். 9 அல்லது எண். 10 ஐப் பார்க்கவும்). இருப்பினும், இல் இந்த எடுத்துக்காட்டில்அதை மாற்றுவதில் எந்த அர்த்தமும் இல்லை, இருப்பினும் $t=x-\frac(2\pi)(3)$ மாறியை மாற்றுவது செயல்படுத்த கடினமாக இல்லை.
$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1) =\lim_(x\ to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cdot\left(\cos(x)+\frac(1)(2)\வலது )) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)-\tg\frac(2\pi)(3))(2\cdot\left(\\ cos(x)-\cos\frac(2\pi)(3)\right))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\frac(\sin) \left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)))(-4\sin\frac(x+\frac) (2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3) ))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\ sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))=\\ =\lim_(x\to\frac) (2\pi)(3))\frac(2\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos\frac(x-\frac(2\pi)(3 ))(2))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\cos\frac(x-\frac(2) \pi)(3))(2))(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3 . -\frac(1)(2)\வலது)) =-\frac(4)(\sqrt(3)). $$
நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, முதல் அற்புதமான வரம்பை நாங்கள் பயன்படுத்த வேண்டியதில்லை. நிச்சயமாக, நீங்கள் விரும்பினால் இதைச் செய்யலாம் (கீழே உள்ள குறிப்பைப் பார்க்கவும்), ஆனால் அது தேவையில்லை.
முதல் குறிப்பிடத்தக்க வரம்பை பயன்படுத்தி தீர்வு என்ன? காட்டு\மறை
முதல் குறிப்பிடத்தக்க வரம்பைப் பயன்படுத்தி நாம் பெறுகிறோம்:
$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac (x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi) )(3))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\இடது(\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3))\ வலது))(x-\frac(2\pi)(3))\cdot\frac(1)(\frac(\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) (\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)))\cdot\frac(1)(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))( 2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))\right) =1\cdot(1)\cdot\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3) )(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt( 3)). $$
பதில்: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)=\frac(1)(2)$, $\lim_( x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)=-\frac(4)(\sqrt( 3))$.
வகை மற்றும் இனங்களின் நிச்சயமற்ற தன்மை என்பது வரம்புகளைத் தீர்க்கும் போது வெளிப்படுத்தப்பட வேண்டிய பொதுவான நிச்சயமற்ற தன்மைகள் ஆகும்.
மாணவர்கள் எதிர்கொள்ளும் வரம்புப் பிரச்சனைகளில் பெரும்பாலானவை இத்தகைய நிச்சயமற்ற தன்மைகளைக் கொண்டிருக்கின்றன. அவற்றை வெளிப்படுத்த அல்லது, இன்னும் துல்லியமாக, நிச்சயமற்ற தன்மைகளைத் தவிர்க்க, வரம்பு அடையாளத்தின் கீழ் வெளிப்பாட்டின் வகையை மாற்றுவதற்கு பல செயற்கை நுட்பங்கள் உள்ளன. இந்த நுட்பங்கள் பின்வருமாறு: மாறியின் அதிக சக்தியால் எண் மற்றும் வகுப்பின் கால வாரியாகப் பிரித்தல், கூட்டு வெளிப்பாடு மூலம் பெருக்கல் மற்றும் தீர்வுகளைப் பயன்படுத்தி அடுத்தடுத்த குறைப்புக்கான காரணியாக்கம் இருபடி சமன்பாடுகள்மற்றும் சுருக்கமான பெருக்கல் சூத்திரங்கள்.
இனங்கள் நிச்சயமற்ற தன்மை
எடுத்துக்காட்டு 1.
n 2 க்கு சமம். எனவே, நாம் எண் மற்றும் வகுப்பின் சொல்லை காலத்தால் பிரிக்கிறோம்:
.
வெளிப்பாட்டின் வலது பக்கத்தில் கருத்து. அம்புகள் மற்றும் எண்கள் பின்னங்கள் மாற்றியமைக்கப்பட்ட பிறகு எங்கு செல்கின்றன என்பதைக் குறிக்கின்றன nமுடிவிலி என்று பொருள். இங்கே, எடுத்துக்காட்டாக 2, பட்டம் nஎண்களை விட வகுப்பில் அதிகம் உள்ளது, இதன் விளைவாக முழு பின்னமும் முடிவிலிக்கு செல்கிறது சிறிய அளவுஅல்லது "சூப்பர் சிறிய எண்".
நாம் பதிலைப் பெறுகிறோம்: இந்தச் செயல்பாட்டின் வரம்பு முடிவிலிக்கு சமமாக உள்ளது.
எடுத்துக்காட்டு 2. .
தீர்வு. இங்கே மாறியின் மிக உயர்ந்த சக்தி x 1 க்கு சமம். எனவே, நாம் எண் மற்றும் வகுப்பின் சொல்லை காலத்தால் பிரிக்கிறோம் x:
.
முடிவின் முன்னேற்றம் பற்றிய கருத்து. நியூமரேட்டரில் நாம் "x" ஐ மூன்றாம் பட்டத்தின் மூலத்தின் கீழ் இயக்குகிறோம், அதனால் அதன் அசல் பட்டம் (1) மாறாமல் இருக்கும், அதற்கு ரூட்டின் அதே பட்டத்தை ஒதுக்குகிறோம், அதாவது 3. அம்புகள் அல்லது கூடுதல் எண்கள் இல்லை. இந்த பதிவில், அதை மனதளவில் முயற்சிக்கவும், ஆனால் முந்தைய உதாரணத்துடன் ஒப்பிடுவதன் மூலம், "x" க்கு பதிலாக முடிவிலியை மாற்றிய பின் எண் மற்றும் வகுப்பில் உள்ள வெளிப்பாடுகள் என்னவாக இருக்கும் என்பதை தீர்மானிக்கவும்.
நாங்கள் பதிலைப் பெற்றோம்: இந்தச் செயல்பாட்டின் வரம்பு முடிவிலிக்கு சமமாக இருக்கும் மாறியைக் கொண்டது.
இனங்கள் நிச்சயமற்ற தன்மை
எடுத்துக்காட்டு 3.நிச்சயமற்ற தன்மையைக் கண்டுபிடித்து வரம்பைக் கண்டறியவும்.
தீர்வு. எண் என்பது கனசதுரங்களின் வித்தியாசம். பள்ளிக் கணிதப் பாடத்தின் சுருக்கமான பெருக்கல் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி அதை காரணியாக்குவோம்:
வகுப்பில் இருபடி சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதன் மூலம் நாம் காரணியாக்குவோம் (மீண்டும் இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான இணைப்பு):
மாற்றங்களின் விளைவாக பெறப்பட்ட வெளிப்பாட்டை எழுதுவோம் மற்றும் செயல்பாட்டின் வரம்பை கண்டுபிடிப்போம்:
எடுத்துக்காட்டு 4.நிச்சயமற்ற தன்மையைத் திறந்து வரம்பைக் கண்டறியவும்
தீர்வு. காரணம் வரம்பு தேற்றம் இங்கு பொருந்தாது
எனவே, நாம் பின்னத்தை ஒரே மாதிரியாக மாற்றுகிறோம்: எண் மற்றும் வகுப்பினை இருசொல் இணைப்பால் வகுப்பிற்குப் பெருக்கி, குறைத்தல் x+1. தேற்றம் 1 இன் முடிவின்படி, நாம் ஒரு வெளிப்பாட்டைப் பெறுகிறோம், அதைத் தீர்ப்பதன் மூலம் நாம் விரும்பிய வரம்பைக் காண்கிறோம்:
எடுத்துக்காட்டு 5.நிச்சயமற்ற தன்மையைத் திறந்து வரம்பைக் கண்டறியவும்
தீர்வு. நேரடி மதிப்பு மாற்று x= 0 வி கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாடு 0/0 படிவத்தின் நிச்சயமற்ற தன்மைக்கு வழிவகுக்கிறது. அதை வெளிப்படுத்த, நாங்கள் ஒரே மாதிரியான மாற்றங்களைச் செய்து இறுதியில் விரும்பிய வரம்பைப் பெறுகிறோம்: 
எடுத்துக்காட்டு 6.கணக்கிடுங்கள் 
தீர்வு:வரம்புகளில் தேற்றங்களைப் பயன்படுத்துவோம்
பதில்: 11
எடுத்துக்காட்டு 7.கணக்கிடுங்கள் 
தீர்வு:இந்த எடுத்துக்காட்டில் உள்ள எண் மற்றும் வகுப்பின் வரம்புகள் 0 க்கு சமம்:
; 
. நாங்கள் பெற்றுள்ளோம், எனவே, கோட்பாட்டின் வரம்பு குறித்த தேற்றத்தைப் பயன்படுத்த முடியாது.
பூஜ்ஜியத்தை நோக்கிச் செல்லும் பொதுவான காரணியால் பின்னத்தைக் குறைக்க, எண் மற்றும் வகுப்பினை காரணியாக்குவோம், எனவே, தேற்றம் 3ஐப் பயன்படுத்துவதை சாத்தியமாக்குவோம்.
x 1 மற்றும் x 2 ஆகியவை முக்கோணத்தின் வேர்களாக இருக்கும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி எண்களில் சதுர முக்கோணத்தை விரிவுபடுத்துவோம். காரணியாக்கப்பட்ட மற்றும் வகுப்பினைக் கொண்டு, பின்னத்தை (x-2) ஆல் குறைக்கவும், பின்னர் தேற்றம் 3 ஐப் பயன்படுத்தவும்.
பதில்:
எடுத்துக்காட்டு 8.கணக்கிடுங்கள்
தீர்வு:எண் மற்றும் வகுத்தல் முடிவிலியை நோக்கிச் செல்லும் போது, தேற்றம் 3 ஐ நேரடியாகப் பயன்படுத்தும்போது, நிச்சயமற்ற தன்மையைக் குறிக்கும் வெளிப்பாட்டைப் பெறுகிறோம். இந்த வகையின் நிச்சயமற்ற தன்மையிலிருந்து விடுபட, நீங்கள் வாதத்தின் மிக உயர்ந்த சக்தியால் எண் மற்றும் வகுப்பினைப் பிரிக்க வேண்டும். இந்த எடுத்துக்காட்டில், நீங்கள் வகுக்க வேண்டும் எக்ஸ்:
பதில்:
எடுத்துக்காட்டு 9.கணக்கிடுங்கள் 
தீர்வு: x 3:
பதில்: 2
எடுத்துக்காட்டு 10.கணக்கிடுங்கள் 
தீர்வு:எண் மற்றும் வகுத்தல் முடிவிலிக்கு முனையும்போது. வாதத்தின் மிக உயர்ந்த சக்தியால் எண் மற்றும் வகுப்பினைப் பிரிப்போம், அதாவது. x 5:
= 
பின்னத்தின் எண் 1 ஆகவும், வகுத்தல் 0 ஆகவும் இருக்கும், எனவே பின்னம் முடிவிலியை நோக்கி செல்கிறது.
பதில்:
எடுத்துக்காட்டு 11.கணக்கிடுங்கள்
தீர்வு:எண் மற்றும் வகுத்தல் முடிவிலிக்கு முனையும்போது. வாதத்தின் மிக உயர்ந்த சக்தியால் எண் மற்றும் வகுப்பினைப் பிரிப்போம், அதாவது. x 7:
பதில்: 0
வழித்தோன்றல்.
y = f(x) செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் x வாதத்தைப் பொறுத்துவாதத்தின் அதிகரிப்பு பூஜ்ஜியமாக இருக்கும் போது, அதன் அதிகரிப்பு y மற்றும் வாதத்தின் அதிகரிப்பு x விகிதத்தின் வரம்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது: . இந்த வரம்பு வரையறுக்கப்பட்டதாக இருந்தால், செயல்பாடு y = f(x) x இல் வேறுபடுத்தக்கூடியது என்று கூறப்படுகிறது. இந்த வரம்பு இருந்தால், செயல்பாடு என்று கூறுகிறார்கள் y = f(x)புள்ளி x இல் எல்லையற்ற வழித்தோன்றல் உள்ளது.
அடிப்படையின் வழித்தோன்றல்கள் அடிப்படை செயல்பாடுகள்:
1. (கான்ஸ்ட்)=0 9. 
3. 11. 
4. 
12. 
5. 13. 
6. 
14. 
வேறுபாடு விதிகள்:
a) 
V) 
எடுத்துக்காட்டு 1.ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும் 
தீர்வு:பின்னங்களின் வேறுபாட்டின் விதியைப் பயன்படுத்தி இரண்டாவது காலத்தின் வழித்தோன்றல் கண்டறியப்பட்டால், முதல் சொல் ஒரு சிக்கலான செயல்பாடாகும், இதன் வழித்தோன்றல் சூத்திரத்தால் கண்டறியப்படுகிறது:
, எங்கே 
, பிறகு
தீர்க்கும் போது பின்வரும் சூத்திரங்கள் பயன்படுத்தப்பட்டன: 1,2,10,a,c,d.
பதில்:
எடுத்துக்காட்டு 21.ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும் 
தீர்வு:இரண்டு விதிமுறைகள் - சிக்கலான செயல்பாடுகள், எங்கே முதல் , , மற்றும் இரண்டாவது , , பின்னர்
பதில்: 
வழித்தோன்றல் பயன்பாடுகள்.
1. வேகம் மற்றும் முடுக்கம்
செயல்பாடு s(t) விவரிக்கட்டும் நிலைசில ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் உள்ள பொருள் நேரத்தில் t. பின்னர் s(t) செயல்பாட்டின் முதல் வழித்தோன்றல் உடனடியாக இருக்கும் வேகம்பொருள்:
v=s′=f′(t)
s(t) செயல்பாட்டின் இரண்டாவது வழித்தோன்றல் உடனடியைக் குறிக்கிறது முடுக்கம்பொருள்:
w=v′=s′′=f′′(t)
2. தொடு சமன்பாடு
y−y0=f′(x0)(x−x0),
இதில் (x0,y0) என்பது தொடு புள்ளியின் ஆயத்தொகுப்புகள், f′(x0) என்பது தொடு புள்ளியில் f(x) செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலின் மதிப்பு.
3. இயல்பான சமன்பாடு
y−y0=−1f′(x0)(x−x0),
இதில் (x0,y0) என்பது இயல்பான வரையப்பட்ட புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகள், f′(x0) என்பது இந்த புள்ளியில் f(x) செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலின் மதிப்பு.
4. செயல்பாடு அதிகரிப்பு மற்றும் குறைதல்
f′(x0)>0 எனில், செயல்பாடு x0 புள்ளியில் அதிகரிக்கிறது. கீழே உள்ள படத்தில் செயல்பாடு x ஆக அதிகரித்து வருகிறது
f′(x0) என்றால்<0, то функция убывает в точке x0 (интервал x1
5. ஒரு செயல்பாட்டின் உள்ளூர் உச்சநிலை
f(x) செயல்பாடு உள்ளது உள்ளூர் அதிகபட்சம்புள்ளி x1 இல், x1 புள்ளியின் அக்கம் இருந்தால், இந்த அண்டையிலிருந்து அனைத்து x க்கும் சமத்துவமின்மை f(x1)≥f(x) இருக்கும்.
இதேபோல், f(x) செயல்பாடு உள்ளது உள்ளூர் குறைந்தபட்சம்புள்ளி x2 இல், x2 புள்ளியின் அக்கம் இருந்தால், இந்த அண்டையிலிருந்து அனைத்து x க்கும் சமத்துவமின்மை f(x2)≤f(x) இருக்கும்.
6. முக்கியமான புள்ளிகள்
புள்ளி x0 ஆகும் முக்கியமான புள்ளி f(x) செயல்பாடு, அதில் உள்ள f′(x0) என்பது பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால் அல்லது இல்லை.
7. ஒரு உச்சநிலை இருப்பதற்கான முதல் போதுமான அறிகுறி
சில இடைவெளியில் (a,x1] அனைத்து x க்கும் f(x) செயல்பாடு அதிகரித்து (f′(x)>0) குறைந்தால் (f′(x)<0) для всех x в интервале и возрастает (f′(x)>0) எல்லா xக்கும் இடைவெளியில் இருந்து)