ரூட் என்பது செயல்பாடுகளின் சதுர தோராயமாகும்

பெரும்பாலும் இடைக்கணிப்பு செயல்பாட்டின் மதிப்புகள் ஒய், ஒய்2 , ..., y„ சில பிழைகள் மூலம் சோதனை மூலம் தீர்மானிக்கப்படுகிறது, எனவே இடைக்கணிப்பு முனைகளில் சரியான தோராயத்தைப் பயன்படுத்துவது நியாயமற்றது. இந்த விஷயத்தில், செயல்பாட்டை புள்ளிகளால் அல்ல, மாறாக தோராயமாக மதிப்பிடுவது மிகவும் இயல்பானது சராசரி,அதாவது, விதிமுறைகளில் ஒன்றில் L p.

விண்வெளி 1 ப - பல செயல்பாடுகள் d(x),பிரிவில் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது [a, b]மற்றும் தொகுதி-ஒருங்கிணைக்கக்கூடிய p-வது சக்தி, விதிமுறை தீர்மானிக்கப்பட்டால்

அத்தகைய நெறிமுறையில் ஒன்றிணைவது ஒன்றிணைதல் எனப்படும் சராசரிவிண்வெளி 1,2 ஹில்பர்ட் என்று அழைக்கப்படுகிறது, மேலும் அதில் உள்ள ஒன்றிணைவு வேர் என்றால் சதுரம்.

ஒரு சார்பு Dx) மற்றும் செயல்பாடுகளின் தொகுப்பு φ(x) சில நேரியல் நெறிமுறை இடத்திலிருந்து கொடுக்கப்பட வேண்டும். இடைக்கணிப்பு, தோராயம் மற்றும் தோராயப்படுத்தல் ஆகியவற்றின் பிரச்சனையின் பின்னணியில், பின்வரும் இரண்டு சிக்கல்களை உருவாக்கலாம்.

முதல் பணிகொடுக்கப்பட்ட துல்லியத்துடன் தோராயமாக, அதாவது, கொடுக்கப்பட்ட படி இசமத்துவமின்மை |[Dx) - φ(x)|| φ(x) ஐக் கண்டறியவும் ஜி..

இரண்டாவது பணி- இது ஒரு தேடல் சிறந்த தோராயம்அதாவது, உறவை திருப்திப்படுத்தும் φ*(x) செயல்பாட்டைத் தேடுகிறது:

சிறந்த தோராயத்தின் இருப்புக்கான போதுமான நிபந்தனையை ஆதாரம் இல்லாமல் வரையறுப்போம். இந்த நோக்கத்திற்காக நேரியல் வெளிசெயல்பாடுகளில், வெளிப்பாட்டின் மூலம் அளவுருக் கொண்ட ஒரு தொகுப்பைத் தேர்ந்தெடுக்கிறோம்

இதில் φ[(x), ..., φ„(x) செயல்பாடுகளின் தொகுப்பு நேரியல் சார்பற்றதாகக் கருதப்படும்.

எந்த நெறிப்படுத்தப்பட்ட இடத்திலும் அதைக் காட்டலாம் நேரியல் தோராயம்(2.16) சிறந்த தோராயம் உள்ளது, இருப்பினும் இது எந்த நேரியல் இடத்திலும் தனிப்பட்டதாக இல்லை.

எடை p(x) > 0 இல் [, ஸ்கேலர் தயாரிப்பு ( g,h) தீர்மானிக்கப்படுகிறது

சூத்திரம்:

நேர்கோட்டு கலவையை (2.16) சிறந்த தோராயத்திற்கான நிபந்தனையாக மாற்றுவது, நாங்கள் காண்கிறோம்

குணகங்களைப் பொறுத்து வழித்தோன்றல்களை சமன் செய்தல் (D, கே= 1, ..., பி, நாங்கள் கணினியைப் பெறுகிறோம் நேரியல் சமன்பாடுகள்

சமன்பாடுகளின் அமைப்பின் தீர்மானிப்பான் (2.17) கிராம் தீர்மானிப்பான் என்று அழைக்கப்படுகிறது. φ[(x), ..., φ„(x) செயல்பாடுகளின் அமைப்பு நேரியல் சார்பற்றது என்று கருதப்படுவதால், கிராம் தீர்மானிப்பான் பூஜ்ஜியமாக இல்லை.

எனவே, சிறந்த தோராயம் உள்ளது மற்றும் தனித்துவமானது. அதைப் பெற, சமன்பாடுகளின் அமைப்பை (2.17) தீர்க்க வேண்டியது அவசியம். செயல்பாடுகளின் அமைப்பு φ1(x), ..., φ„(x) ஆர்த்தோகனலைஸ் செய்யப்பட்டால், அதாவது (φ/,φ,) = 5y, இங்கு 5, = 1, 8y = 0, SCH,ij = 1, ..., ப,பின்னர் சமன்பாடுகளின் அமைப்பை வடிவத்தில் தீர்க்க முடியும்:

(2.18) படி காணப்படும் குணகங்கள் கே, ..., தபொதுமைப்படுத்தப்பட்ட ஃபோரியர் தொடரின் குணகங்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

செயல்பாடுகளின் தொகுப்பு φ t (X),..., φ„(x),... ஒரு முழுமையான அமைப்பை உருவாக்கினால், பார்செவலின் சமத்துவத்தின் மூலம் P -» co ஆக பிழையின் விதிமுறை வரம்பில்லாமல் குறைகிறது. இதன் பொருள், சிறந்த தோராயமானது ரூட்-சராசரி-சதுரத்தை Dx) எந்த கொடுக்கப்பட்ட துல்லியத்துடன் ஒன்றிணைக்கிறது.

சமன்பாடுகளின் அமைப்பை (2.17) தீர்ப்பதன் மூலம் சிறந்த தோராயத்தின் குணகங்களுக்கான தேடலை செயல்படுத்துவது நடைமுறையில் சாத்தியமற்றது என்பதை நினைவில் கொள்க, ஏனெனில் கிராம் மேட்ரிக்ஸின் வரிசை அதிகரிக்கும் போது, ​​அதன் நிர்ணயம் விரைவில் பூஜ்ஜியமாக மாறும், மேலும் மேட்ரிக்ஸ் மோசமாகிவிடும். அத்தகைய மேட்ரிக்ஸுடன் நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்ப்பது துல்லியத்தின் குறிப்பிடத்தக்க இழப்புக்கு வழிவகுக்கும். சரி பார்க்கலாம்.

டிகிரிகளை φ„ i =1, ..., П, அதாவது φ* = X 1 ", 1 = 1, ..., செயல்பாடுகளின் அமைப்பாக தேர்ந்தெடுக்கலாம். ப,பின்னர், பிரிவை தோராயமான பிரிவாகக் கருதி, கிராம் மேட்ரிக்ஸைக் காணலாம்

படிவத்தின் கிராம் மேட்ரிக்ஸ் (2.19) ஹில்பர்ட் மேட்ரிக்ஸ் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. மோசமான நிபந்தனைக்குட்பட்ட மேட்ரிக்ஸ் என்று அழைக்கப்படுவதற்கு இது ஒரு சிறந்த எடுத்துக்காட்டு.

MATLAB ஐப் பயன்படுத்தி, சில முதல் மதிப்புகளுக்கு (2.19) படிவத்தில் ஹில்பர்ட் மேட்ரிக்ஸின் தீர்மானிப்பதைக் கணக்கிடுகிறோம். ப.பட்டியல் 2.5 தொடர்புடைய நிரலுக்கான குறியீட்டைக் காட்டுகிறது.

பட்டியல் 23

%ஹில்பர்ட் மெட்ரிக்ஸின் நிர்ணயிப்பைக் கணக்கிடுதல் %பணிப் பகுதியை அழிக்கிறதுஅனைத்தையும் அழிக்கவும்;

%ஹில்பர்ட் மேட்ரிக்ஸின் அதிகபட்ச வரிசை மதிப்பைத் தேர்ந்தெடுக்கவும் ptah =6;

%ஹில்பர்ட் மெட்ரிக்குகளை உருவாக்க மற்றும் அவற்றின் தீர்மானங்களை கணக்கிட ஒரு வளையத்தை உருவாக்கவும்

n = 1க்கு: ptah d(n)=det(hi I b(n)); முடிவு

%ஹில்பர்ட் மெட்ரிக்ஸின் தீர்மானிகளின் மதிப்புகளை அச்சிடு

f o g t குறுகிய முடிவு

பட்டியல் 2.5 இல் குறியீட்டை இயக்கிய பிறகு, MATLAB கட்டளை சாளரம் முதல் ஆறு மெட்ரிக்குகளுக்கான ஹில்பர்ட் மெட்ரிக்ஸின் தீர்மானிகளின் மதிப்புகளைக் காட்ட வேண்டும். கீழே உள்ள அட்டவணை, மெட்ரிக்குகள் (n) மற்றும் அவற்றின் தீர்மானிப்பான்களின் (d) வரிசைகளின் தொடர்புடைய எண் மதிப்புகளைக் காட்டுகிறது. ஆர்டர் அதிகரிக்கும் போது ஹில்பர்ட் மேட்ரிக்ஸின் தீர்மானிப்பான் பூஜ்ஜியத்திற்கு எவ்வளவு விரைவாக செல்கிறது என்பதை அட்டவணை தெளிவாகக் காட்டுகிறது, மேலும் ஆர்டர்கள் 5 மற்றும் 6 இலிருந்து தொடங்கி, அது ஏற்றுக்கொள்ள முடியாத அளவு சிறியதாகிறது.

ஹில்பர்ட் மெட்ரிக்ஸை நிர்ணயிப்பவரின் மதிப்புகளின் அட்டவணை

φ, i = 1, ..., П செயல்பாடுகளின் அமைப்பின் எண்ணியல் ஆர்த்தோகனலைசேஷன் துல்லியம் குறிப்பிடத்தக்க இழப்புக்கு வழிவகுக்கிறது, எனவே, விரிவாக்கத்தில் (2.16) அதிக எண்ணிக்கையிலான சொற்களை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்வதற்கு இது அவசியம். ஆர்த்தோகனலைசேஷன் பகுப்பாய்வு முறையில் மேற்கொள்ள, அதாவது, சரியாக, அல்லது ஆர்த்தோகனல் செயல்பாடுகளின் ஆயத்த அமைப்பைப் பயன்படுத்த.

இடைக்கணிப்பின் போது அவை வழக்கமாக டிகிரிகளை அடிப்படைச் செயல்பாடுகளின் அமைப்பாகப் பயன்படுத்தினால், சராசரியாக தோராயமாக மதிப்பிடும்போது, ​​கொடுக்கப்பட்ட எடையுடன் கூடிய பல்லுறுப்புக்கோவைகள் அடிப்படைச் செயல்பாடுகளாகத் தேர்ந்தெடுக்கப்படுகின்றன. அவற்றில் பொதுவாகப் பயன்படுத்தப்படுவது ஜாகோபி பல்லுறுப்புக்கோவைகள் ஆகும், இதில் லெஜண்ட்ரே மற்றும் செபிஷேவ் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் உள்ளன. Lagsr மற்றும் Hermite பல்லுறுப்புக்கோவைகளும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. இந்த பல்லுறுப்புக்கோவைகளைப் பற்றிய கூடுதல் விவரங்களைக் காணலாம், எடுத்துக்காட்டாக, பின்னிணைப்பில் ஆர்த்தோகனல் பல்லுறுப்புக்கோவைகள்புத்தகங்கள்

மற்ற நாள் நான் பவர்-லா அடிப்படையைப் பயன்படுத்தி ஒரு அட்டவணையில் கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டின் ரூட்-சராசரி-சதுர தோராயத்தைக் கணக்கிடும் ஒரு நிரலை எழுத வேண்டியிருந்தது. குறைந்தபட்ச சதுரங்கள். முக்கோணவியல் அடிப்படையை நான் கருத்தில் கொள்ளவில்லை என்றும் அதை இந்தக் கட்டுரையில் எடுத்துக்கொள்ள மாட்டேன் என்றும் இப்போதே முன்பதிவு செய்கிறேன். கட்டுரையின் முடிவில் நீங்கள் C# நிரலின் மூலக் குறியீட்டைக் காணலாம்.

கோட்பாடு

ரூட்-சராசரி-சதுர தோராய பிரச்சனைக்கும் இடைக்கணிப்பு பிரச்சனைக்கும் இடையே உள்ள அடிப்படை வேறுபாடு கணுக்களின் எண்ணிக்கை அளவுருக்களின் எண்ணிக்கையை மீறுவதாகும். இந்த வழக்கில், தோராயமான செயல்பாட்டின் மதிப்புகள் அனைத்து முனைகளிலும் தோராயமான செயல்பாட்டின் மதிப்புகளுடன் ஒத்துப்போகும் அளவுரு திசையன் எப்போதும் இல்லை.

இந்த வழக்கில், தோராயமான சிக்கல், அளவுருக்களின் அத்தகைய திசையன் கண்டுபிடிப்பதில் சிக்கலாக முன்வைக்கப்படுகிறது. c = (c 0, ..., c n) T, இதில் தோராயமான செயல்பாட்டின் மதிப்புகள் தோராயமான செயல்பாட்டின் மதிப்புகளிலிருந்து முடிந்தவரை குறைவாகவே விலகும். F(x, c)அனைத்து முனைகளின் மொத்தத்தில்.

வரைபட ரீதியாக சிக்கலை பின்வருமாறு குறிப்பிடலாம்

குறைந்தபட்ச சதுரங்கள் முறைக்கான சராசரி சதுர தோராயத்திற்கான அளவுகோலை எழுதுவோம்:
J(c) = √ (Σ i=0 N 2) →min

தீவிர வெளிப்பாடு ஆகும் இருபடி செயல்பாடுதோராயமான பல்லுறுப்புக்கோவையின் குணகங்களுடன் தொடர்புடையது. இது தொடர்ச்சியானது மற்றும் வேறுபட்டது c 0, ..., c n. வெளிப்படையாக, அனைத்து பகுதி வழித்தோன்றல்களும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும் இடத்தில் அதன் குறைந்தபட்சம் உள்ளது. பகுதி வழித்தோன்றல்களை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமன் செய்து, சிறந்த தோராயமான பல்லுறுப்புக்கோவையின் அறியப்படாத (தேடப்பட்ட) குணகங்களுக்கான நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் அமைப்பைப் பெறுகிறோம்.

குறைந்த சதுரங்கள் முறையை பல்வேறு வகைகளுக்குப் பயன்படுத்தலாம் அளவுரு செயல்பாடுகள், ஆனால் பெரும்பாலும் பொறியியல் நடைமுறையில் சில நேரியல் சார்பற்ற அடிப்படையில் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் தோராயமான செயல்பாடாகப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன ( φ கே(x), k=0,...,n}:
F(x, c)= Σ k=0 n [ c k φ கே(x)] .

இந்த வழக்கில், குணகங்களை நிர்ணயிப்பதற்கான நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் அமைப்பு மிகவும் குறிப்பிட்ட வடிவத்தைக் கொண்டிருக்கும்:

…

இந்த அமைப்பு ஒரு தனித்துவமான தீர்வைப் பெறுவதற்கு, அணி A (கிராம் தீர்மானிப்பான்) இன் நிர்ணயம் பூஜ்ஜியத்திலிருந்து வேறுபட்டதாக இருப்பது அவசியமானது மற்றும் போதுமானது. ஒரு அமைப்பு தனித்துவமான தீர்வைப் பெறுவதற்கு, அடிப்படை அமைப்பு செயல்படுவது அவசியம் மற்றும் போதுமானது φ கே(x), k=0,...,nதோராயமான கணுக்களின் தொகுப்பில் நேரியல் சார்பற்றதாக இருந்தது.

இக்கட்டுரையானது பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் மூல சராசரி சதுர தோராயத்தை ஆற்றல் அடிப்படையில் கருதுகிறது ( φ கே(x) = x k, k=0,...,n}.

உதாரணம்

குணகங்களை நிர்ணயிப்பதற்கான சமன்பாடுகளின் அமைப்பு:
a 00 c 0 + a 01 c 1 +… + a 0n c n = b 0
a 10 c 0 + a 11 c 1 +… + a 1n c n = b 1
…
a n0 c 0 + a n1 c 1 +… + a nn c n = b n

a kj = Σ i=0 N [φ k (x i)φ j (x i) ], b j = Σ i=0 N

குணகங்கள் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகின்றன:
a 00 = N + 1 = 5, a 01 = Σ i=0 N x i = 11.25, a 02 = Σ i=0 N x i 2 = 30.94
a 10 = Σ i=0 N x i = 11.25, a 11 = Σ i=0 N x i 2 = 30.94, a 12 = Σ i=0 N x i 3 = 94.92
a 20 = Σ i=0 N x i 2 = 30.94, a 21 = Σ i=0 N x i 3 = 94.92, a 22 = Σ i=0 N x i 4 = 303.76
b 0 = Σ i = 0 N y i = 11.25, b 1 = Σ i = 0 N x i y i = 29, b 2 = Σ i = 0 N x i 2 y i = 90.21

நாங்கள் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்த்து, பின்வரும் குணக மதிப்புகளைப் பெறுகிறோம்:
c0 = 4.822, c1 = -3.882, c2 = 0.999

இவ்வாறு
y = 4.8 - 3.9x + x 2

விளைந்த செயல்பாட்டின் வரைபடம்

C# இல் செயல்படுத்துதல்

முதலில், ஒரு மேட்ரிக்ஸுக்கு நினைவகம் ஒதுக்கப்படுகிறது, இதில் நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்ப்பதற்கான குணகங்கள் எழுதப்படும். பின்னர், உண்மையில், நாங்கள் ஒரு மேட்ரிக்ஸை உருவாக்குகிறோம் - AIj குணகங்களின் மதிப்புகள் sumA, bi இல் sumB இல் எழுதப்பட்டுள்ளன, இவை அனைத்தும் கோட்பாட்டுப் பகுதியில் மேலே சுட்டிக்காட்டப்பட்ட சூத்திரத்தின்படி.

நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் தொகுக்கப்பட்ட அமைப்பைத் தீர்க்க, எனது நிரல் காஸ் முறையைப் பயன்படுத்துகிறது. திட்டத்துடன் கூடிய காப்பகத்தை பதிவிறக்கம் செய்யலாம்

முந்தைய அத்தியாயம் தோராயமான செயல்பாடுகளின் பொதுவான முறைகளில் ஒன்றை விரிவாகப் பற்றி விவாதிக்கிறது - இடைக்கணிப்பு. ஆனால் இந்த முறை மட்டும் இல்லை. பல்வேறு பயன்பாட்டு சிக்கல்களைத் தீர்க்கும் போது மற்றும் கணக்கீட்டு சுற்றுகளை உருவாக்கும்போது, ​​பிற முறைகள் பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. இந்த அத்தியாயத்தில் ரூட் சராசரி சதுர தோராயங்களைப் பெறுவதற்கான வழிகளைப் பார்ப்போம். தோராயங்களின் பெயர் மெட்ரிக் இடைவெளிகளுடன் தொடர்புடையது, இதில் ஒரு செயல்பாட்டை தோராயமாக்குவதில் சிக்கல் கருதப்படுகிறது. அத்தியாயம் 1 இல், "மெட்ரிக் லீனியர் நெறிப்படுத்தப்பட்ட இடம்" மற்றும் "மெட்ரிக் யூக்ளிடியன் ஸ்பேஸ்" ஆகிய கருத்துகளை நாங்கள் அறிமுகப்படுத்தினோம், தோராயமான பிரச்சனை கருதப்படும் இடத்தின் மெட்ரிக் மூலம் தோராய பிழை தீர்மானிக்கப்படுகிறது. வெவ்வேறு இடங்களில், பிழை என்ற கருத்து வெவ்வேறு அர்த்தங்களைக் கொண்டுள்ளது. இடைச்செருகல் பிழையை கருத்தில் கொள்ளும்போது, ​​நாங்கள் இதில் கவனம் செலுத்தவில்லை. இந்த அத்தியாயத்தில் இந்த சிக்கலை இன்னும் விரிவாகக் கையாள வேண்டும்.

5.1 முக்கோணவியல் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் மற்றும் Legendre polynomials Space l2 ஆகியவற்றின் தோராயங்கள்

இடைவெளியில் ஒருங்கிணைக்கக்கூடிய Lebesgue சதுரமாக இருக்கும் செயல்பாடுகளின் தொகுப்பைக் கருத்தில் கொள்வோம்
, அதாவது, ஒருங்கிணைந்த இருக்க வேண்டும்
.

வெளிப்படையான சமத்துவமின்மை இருப்பதால், செயல்பாடுகளின் சதுரத்துடன் ஒருங்கிணைப்பு இருந்து
மற்றும்
அவற்றின் எந்த நேரியல் கலவையும் சதுர ஒருங்கிணைக்கக்கூடியதாக இருக்க வேண்டும்
, (எங்கே
மற்றும்
 ஏதேனும் உண்மையான எண்கள்), அத்துடன் உற்பத்தியின் ஒருங்கிணைப்பு
.

இடைவெளியில் ஒருங்கிணைக்கக்கூடிய Lebesgue சதுர செயல்பாடுகளின் தொகுப்பில் அறிமுகப்படுத்துவோம்
, ஸ்கேலர் தயாரிப்பு செயல்பாடு

. (5.1.1)

ஒருங்கிணைப்பின் பண்புகளில் இருந்து, அளவிடல் உற்பத்தியின் அறிமுகப்படுத்தப்பட்ட செயல்பாடு யூக்ளிடியன் இடத்தில் அளவிடல் உற்பத்தியின் கிட்டத்தட்ட அனைத்து பண்புகளையும் கொண்டுள்ளது (பத்தி 1.10, ப. 57 ஐப் பார்க்கவும்):

முதல் சொத்து மட்டும் முழுமையாக திருப்தி அடையவில்லை, அதாவது நிபந்தனை பூர்த்தி செய்யப்படாது.

உண்மையில், என்றால்
, பிறகு அதை பின்பற்றவில்லை
பிரிவில்
. அறிமுகப்படுத்தப்பட்ட செயல்பாட்டிற்கு இந்தச் சொத்து இருக்க வேண்டும் என்பதற்காக, எதிர்காலத்தில் செயல்பாடுகளை வேறுபடுத்திப் பார்க்க வேண்டாம் (சமமானதாகக் கருதுவோம்) ஒப்புக்கொள்வோம்
மற்றும்
, எதற்காக

.

கடைசிக் குறிப்பைக் கருத்தில் கொண்டு, Lebesgue சதுர ஒருங்கிணைப்பு செயல்பாடுகளின் தொகுப்பு (இன்னும் துல்லியமாக, சமமான சார்புகளின் வகுப்புகளின் தொகுப்பு) யூக்ளிடியன் இடத்தை உருவாக்குகிறது, இதில் ஸ்கேலர் தயாரிப்பு செயல்பாடு சூத்திரத்தால் வரையறுக்கப்படுகிறது (5.1.1). இந்த இடம் Lebesgue space என்று அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் குறிக்கப்படுகிறது
அல்லது குறுகிய .

ஒவ்வொரு யூக்ளிடியன் இடமும் தானாகவே நெறிமுறை மற்றும் மெட்ரிக் ஆகிய இரண்டும் இருப்பதால், இடைவெளி
ஒரு விதிமுறை மற்றும் மெட்ரிக் இடமாகவும் உள்ளது. விதிமுறை (உறுப்பின் அளவு) மற்றும் மெட்ரிக் (உறுப்புகளுக்கு இடையிலான தூரம்) பொதுவாக நிலையான வழியில் உள்ளிடப்படுகின்றன:

(5.1.2)

(5.1.3)

விதிமுறை மற்றும் அளவீட்டின் பண்புகள் (கோட்பாடுகள்) பிரிவு 1.10 இல் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. விண்வெளியின் கூறுகள்
செயல்பாடுகள் அல்ல, ஆனால் சமமான செயல்பாடுகளின் வகுப்புகள். ஒரே வகுப்பைச் சேர்ந்த செயல்பாடுகள் இருக்கலாம் வெவ்வேறு அர்த்தங்கள்வரையறுக்கப்பட்ட அல்லது எண்ணக்கூடிய துணைக்குழுவில்
. எனவே, விண்வெளியில் தோராயங்கள்
தெளிவற்ற முறையில் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளன. விண்வெளியின் இந்த விரும்பத்தகாத அம்சம்
ஸ்கேலர் தயாரிப்பைப் பயன்படுத்துவதற்கான வசதியின் காரணமாக செலுத்துகிறது.

ஆய்வக வேலை

குறைந்த சதுர முறையைப் பயன்படுத்தி அட்டவணைச் செயல்பாடுகளின் சராசரி சதுர தோராயம்

இலக்கு: அட்டவணையில் இடைக்கணிப்பு மற்றும் தோராயமான அடிப்படை முறைகளை மாணவர்களுக்கு அறிமுகப்படுத்துதல் குறிப்பிட்ட செயல்பாடுகள். அத்தகைய செயல்பாடுகளின் தோராயமான துறையில் பெற்ற அறிவை நடைமுறையில் ஒருங்கிணைத்தல்.

பணி: மாணவர்களுக்கு கற்பிக்கவும் நடைமுறை பயன்பாடுபல்லுறுப்புக்கோவைகளைக் கொண்டு சோதனை முடிவுகளை மென்மையாக்கும் சிக்கல்களைத் தீர்க்கும் போது, ​​அத்தகைய சிக்கல்களின் வழிமுறை மற்றும் அவற்றின் நிரலாக்கத்தில் கோட்பாட்டு அறிவைப் பெற்றது.

கோட்பாட்டு விதிகள்

இடைக்கணிப்பு மற்றும் தோராயம்

நடைமுறையில், சில செயல்பாட்டின் போது ஒரு சூழ்நிலை அடிக்கடி ஏற்படுகிறது f(x) தனிப்பட்ட புள்ளிகளில் அதன் மதிப்புகளின் அட்டவணையால் வழங்கப்படுகிறது எக்ஸ் = x 0 , x 1 , … , x n [அ, பி], எடுத்துக்காட்டாக, காலப்போக்கில் ஒரு சாதனத்தின் தனித்துவமான அளவீடுகள், ஆனால் செயல்பாடு கணக்கிடப்பட வேண்டும் f(x) சில இடைநிலை புள்ளிகளில். செயல்பாட்டை மாற்றுவதன் மூலம் இந்த சிக்கலை தோராயமாக தீர்க்க முடியும் f(x) எளிமையானது தொடர்ச்சியான செயல்பாடு எஃப்(x) அத்தகைய மாற்றீட்டிற்கு இரண்டு முக்கிய வழிகள் உள்ளன: இடைச்செருகல்மற்றும் தோராயம்.

சாரம் இடைச்செருகல்- அத்தகைய எளிதில் கணக்கிடப்பட்ட செயல்பாட்டைக் கட்டமைப்பதில் எஃப்(x), இது செயல்பாட்டுடன் ஒத்துப்போகிறது f(x) புள்ளிகளில் எக்ஸ் = x 0 , x 1 , … , x n. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், செயல்பாட்டின் வரைபடம் எஃப்(x) விமானத்தில் ஓஹூபுள்ளிகளை கடக்க வேண்டும் எக்ஸ் = x 0 , x 1 , … , x n, இதில் செயல்பாடு குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது f(x) அதே நேரத்தில், புள்ளிகள் எக்ஸ் = x 0 , x 1 , … , x nஇடைக்கணிப்பு முனைகள் மற்றும் செயல்பாடு என்று அழைக்கப்படுகின்றன எஃப்(x) - இடைச்செருகல். பெரும்பாலான சந்தர்ப்பங்களில், இடைக்கணிப்பு செயல்பாடாக பல்லுறுப்புக்கோவைகள் தேர்ந்தெடுக்கப்படுகின்றன. எனவே, நேரியல் இடைச்செருகல்எளிமையானது தொடர் இணைப்புபுள்ளிகள் ( x 0 , f(x 0)), (x 1 , f(x 1)), … ,

(x n, f(x n)) நேரான பிரிவுகளால், அதாவது. கட்டுமானத்தில் nமுதல் பட்டத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவைகள். செயல்பாட்டு மதிப்பு f(x) புள்ளியில் எக்ஸ்*, எங்கே எக்ஸ்* (x i,x i +1), i = 0, 1, … , n- 1, இந்த வழக்கில் மிகவும் எளிமையாக கணக்கிடப்படுகிறது:

f(x*) = f(x i) + · ( எக்ஸ்*–x i).

இருபடி இடைக்கணிப்பு என்பது பரபோலாக்களால் இடைக்கணிப்பு முனைகளின் தொடர்ச்சியான மும்மடங்குகளை இணைப்பதைக் கொண்டுள்ளது. கனசதுர இடைக்கணிப்பு – நான்கு மடங்குகள் – கனபரவிளக்குகள், முதலியன. பட்டத்தின் இடைக்கணிப்பு பல்லுறுப்புக்கோவைகள் ( n- 1) அனைத்து இடைக்கணிப்பு முனைகளிலும் மென்மையான செயல்பாடுகள் உள்ளன. செயல்பாட்டு இணைப்பில் கூடுதல் நிபந்தனைகளை விதிக்கும்போது எஃப்(xபுள்ளிகளில் ( x 1 , f(x 1)), (x 2 , f(x 2)), … , (x n -1 , f(x n-1)) என்று அழைக்கப்படுவதைப் பெறுகிறோம் spline இடைச்செருகல். இடைக்கணிப்பு பல்லுறுப்புக்கோவைகளை உருவாக்க பல முறைகள் உருவாக்கப்பட்டுள்ளன: நியூட்டன், ஸ்டிர்லிங், லாக்ரேஞ்ச் போன்றவை.

பல சந்தர்ப்பங்களில், செயல்பாட்டு மதிப்புகளைக் கொண்டுள்ளது n+ 1 முனைகள், இடைக்கணிப்பு பல்லுறுப்புக்கோவைக்குப் பதிலாக பட்டத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவையைக் கண்டறிவது வசதியானது மீ<n, இது கேள்விக்குரிய செயல்பாட்டை தோராயமாக (தோராயமாக) மதிப்பிடும். அதே நேரத்தில், செயல்பாடுகளின் தற்செயல் தேவை f(x) மற்றும் எஃப்(x) புள்ளிகளில் ( x 0 , f(x 0)), (x 1 , f(x 1)), … , (x n, f(x n)) செயல்பாட்டு மதிப்புகளுக்கு இடையிலான மொத்த விலகலைக் குறைப்பதற்கான தேவையால் மாற்றப்படுகிறது f(x) மற்றும் எஃப்(x) புள்ளிகளில் எக்ஸ் = x 0 , x 1 , … , x n.

கட்டுமானத்தின் முக்கிய முறைகளில் ஒன்று தோராயம்பல்லுறுப்புக்கோவை என்பது குறைந்த சதுரங்கள் முறையாகும், இதற்கு செயல்பாட்டின் மதிப்புகள் மற்றும் முனைகளில் தோராயமான செயல்பாட்டின் மதிப்புகள் இடையே உள்ள ஸ்கொயர் விலகல்களின் கூட்டுத்தொகை குறைவாக இருக்க வேண்டும். ஏன் சதுரங்கள்? ஏனெனில் செயல்பாட்டு மதிப்புகளுக்கு இடையிலான விலகல்கள் நேர்மறை மற்றும் எதிர்மறையாக இருக்கலாம், மேலும் நேர்மறை மற்றும் எதிர்மறை மதிப்புகளின் இழப்பீடு காரணமாக அவற்றின் கூட்டுத்தொகை செயல்பாடுகளுக்கு இடையிலான வேறுபாட்டைப் பற்றிய உண்மையான யோசனையை வழங்காது. விலகல்களின் தொகுதிகளை நீங்கள் எடுக்கலாம், ஆனால் இந்த விலகல்களின் நேர்மறை சதுரங்கள் பயன்படுத்த மிகவும் வசதியானவை.

அட்டவணை-குறிப்பிட்ட செயல்பாடுகளின் சராசரி சதுர தோராயம்

(குறைந்த சதுர முறை)

முனைகளில் விடுங்கள் x 0 , x 1 , … , x nஎங்களிடம் மதிப்புகள் உள்ளன மணிக்கு 0 , மணிக்கு 1 , … , ஒய் என்செயல்பாடுகள் f(x) பல்லுறுப்புக்கோவைகளில் மீவது பட்டம் ( மீ<n)

மாலை(x) = அ 0 + அ 1 x + அ 2 x 2 + … + ஒரு மீ x மீ(1)

வெளிப்பாட்டிற்கு குறைந்தபட்சம் கொடுக்கும் ஒன்றைக் கண்டறியவும்

எஸ்= .(2)

பல்லுறுப்புக்கோவையின் குணகங்கள் (1) தெரியவில்லை. கூட்டுத்தொகை (2) என்பது இந்த குணகங்களின் இருபடி வடிவமாகும். கூடுதலாக, சூத்திரம் (2) செயல்பாட்டைக் காட்டுகிறது எஸ் = எஸ்(அ 0 , அ 1 , … , ஒரு மீ) எதிர்மறை மதிப்புகளை எடுக்க முடியாது. எனவே, செயல்பாட்டின் குறைந்தபட்சம் எஸ்உள்ளது.

செயல்பாட்டின் உச்சநிலைக்கு தேவையான நிபந்தனைகளைப் பயன்படுத்துதல் எஸ் = எஸ்(அ 0 , அ 1 , … , ஒரு மீ), குணகங்களைத் தீர்மானிக்க நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் அமைப்பைப் பெறுகிறோம் அ 0 , அ 1 , … , ஒரு மீ:

, (கே = 0, 1, 2, … , மீ)(3)

நம்புவது p உடன் = , d p = , கணினி (3) ஐ மேட்ரிக்ஸ் வடிவத்தில் எழுதுகிறோம்

உடன்அ = ஈ , (4)

உடன் = - கணினி அணி, ஏ = {அ 0 , அ 1 , … , ஒரு மீ} டி- தெரியாத திசையன், ஈ = {ஈ 0 , ஈ 1 , … , டி எம்} டி- அமைப்பின் சரியான பகுதிகளின் திசையன்.

முனைகளுக்கு மத்தியில் என்றால் x 0 , x 1 , … , x nபொருத்தம் இல்லை மற்றும் மீ ≤ n, பின்னர் அமைப்பு (4) ஒரு தனிப்பட்ட தீர்வு உள்ளது அ 0 = ,அ 1 = , … , ஒரு மீ= பிறகு பல்லுறுப்புக்கோவை

= + x + x 2 + … + x மீ

பட்டத்தின் ஒரே பல்லுறுப்புக்கோவை ஆகும் மீ, குறைந்தபட்ச சதுர விலகல் கொண்டது எஸ்* = எஸ்நிமிடம்

செயல்பாட்டின் ரூட்-சராசரி-சதுர தோராயத்தின் பிழை மதிப்பால் வகைப்படுத்தப்படுகிறது δ = .

ஒரு செயல்பாட்டின் எளிமையான மற்றும் அடிக்கடி பயன்படுத்தப்படும் தோராய வகை (சராசரி சதுர தோராயம்) நேரியல் ஆகும். தரவு தோராயமான ( x i, ஒய் ஐ) ஒரு நேரியல் செயல்பாடு மூலம் மேற்கொள்ளப்படுகிறது ஒய்(எக்ஸ்)= கோடாரி+ஆ. ஒருங்கிணைப்பு விமானத்தில் ( x, ஒய்) ஒரு நேரியல் செயல்பாடு, அறியப்பட்டபடி, ஒரு நேர் கோட்டால் குறிக்கப்படுகிறது.

உதாரணம். ஒரு நேர் கோட்டில் புள்ளிகளின் அமைப்பை மென்மையாக்குங்கள் ஒய்= கோடாரி+ஆ.

ஒரு பணித்தாள் உருவாக்குதல்.

இருபடி தோராயம்

சிதறல் சதி ஒரு பரவளையமாகத் தெரிந்தால், இருபடி முக்கோண வடிவில் அனுபவ சூத்திரத்தைத் தேடுவோம். நெருங்கி வரும் வளைவு ஒரு பரவளையத்தைப் போன்றது, ஆர்டினேட்டைப் பற்றிய சமச்சீரானது என்று வைத்துக்கொள்வோம். பின்னர் பரவளையமானது எளிமையான வடிவத்தை எடுக்கும்

அரை இருபடி ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பை எடுத்துக் கொள்வோம். இது ஒரு ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பாகும், இதில் அப்சிஸ்ஸா அச்சில் உள்ள அளவு இருபடி ஆகும், அதாவது, பிரிவுகளின் மதிப்புகள் வெளிப்பாட்டின் படி திட்டமிடப்படுகின்றன, இங்கே மீ -நீளத்தின் சில அலகுகளில் அளவிடவும், எடுத்துக்காட்டாக, செ.மீ.

வெளிப்பாட்டிற்கு ஏற்ப ஒரு நேரியல் அளவுகோல் ஆர்டினேட் அச்சில் திட்டமிடப்பட்டுள்ளது

இந்த ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் சோதனைப் புள்ளிகளைத் திட்டமிடுவோம். இந்த வரைபடத்தின் புள்ளிகள் தோராயமாக ஒரு நேர்கோட்டில் அமைந்திருந்தால், இது சார்பு என்ற நமது அனுமானத்தை உறுதிப்படுத்துகிறது. ஒய்இருந்து xபடிவத்தின் செயல்பாட்டின் மூலம் நன்கு வெளிப்படுத்தப்படுகிறது (4.4). குணகங்களைக் கண்டறிய அமற்றும் பிமேலே விவாதிக்கப்பட்ட முறைகளில் ஒன்றை நீங்கள் இப்போது பயன்படுத்தலாம்: நீட்டிக்கப்பட்ட நூல் முறை, தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் முறை அல்லது சராசரி முறை.

இறுக்கமான நூல் முறைஒரு நேரியல் செயல்பாட்டிற்கு அதே வழியில் பொருந்தும்.

தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் முறைநாம் இதை இப்படி விண்ணப்பிக்கலாம். ஒரு நேர்கோட்டு வரைபடத்தில், இரண்டு புள்ளிகளை (ஒருவருக்கொருவர் வெகு தொலைவில்) எடுத்துக் கொள்ளுங்கள். இந்த புள்ளிகளின் ஒருங்கிணைப்புகளை நாங்கள் குறிக்கிறோம் மற்றும் ( x, y) அப்புறம் எழுதலாம்

கொடுக்கப்பட்ட இரண்டு சமன்பாடுகளின் அமைப்பிலிருந்து நாம் காண்கிறோம் அமற்றும் பிமற்றும் அவற்றை சூத்திரத்தில் (4.4) மாற்றவும் மற்றும் அனுபவ சூத்திரத்தின் இறுதி வடிவத்தைப் பெறவும்.

நீங்கள் ஒரு நேரியல் வரைபடத்தை உருவாக்க வேண்டியதில்லை, ஆனால் எண்களை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள், ( x,y) அட்டவணையில் இருந்து நேரடியாக. இருப்பினும், அத்தகைய புள்ளிகளின் தேர்வு மூலம் பெறப்பட்ட சூத்திரம் குறைவான துல்லியமாக இருக்கும்.

ஒரு வளைந்த வரைபடத்தை நேராக வரைபடமாக மாற்றும் செயல்முறை பிளாட்டென்னிங் எனப்படும்.

நடுத்தர முறை. இது ஒரு நேரியல் சார்பு விஷயத்தில் அதே வழியில் பயன்படுத்தப்படுகிறது. ஒவ்வொரு குழுவிலும் உள்ள அதே (அல்லது ஏறக்குறைய அதே) புள்ளிகளைக் கொண்ட இரண்டு குழுக்களாக சோதனைப் புள்ளிகளைப் பிரிக்கிறோம். சமத்துவத்தை (4.4) பின்வருமாறு மீண்டும் எழுதுகிறோம்

(4.5)

முதல் குழுவின் புள்ளிகளுக்கான எச்சங்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டறிந்து அவற்றை பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமன் செய்கிறோம். இரண்டாவது குழுவின் புள்ளிகளுக்கும் நாங்கள் அவ்வாறே செய்கிறோம். தெரியாதவற்றுடன் இரண்டு சமன்பாடுகளைப் பெறுகிறோம் அமற்றும் பி. சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்ப்பது, நாம் காண்கிறோம் அமற்றும் பி.

இந்த முறையைப் பயன்படுத்தும் போது தோராயமான நேர்கோட்டை உருவாக்க வேண்டிய அவசியமில்லை என்பதை நினைவில் கொள்க. படிவத்தின் செயல்பாடு (4.4) அனுபவ சூத்திரத்திற்கு ஏற்றதா என்பதைச் சரிபார்க்க மட்டுமே அரை-குபடி ஆய அமைப்பில் ஒரு சிதறல் சதி தேவைப்படுகிறது.

உதாரணம். காலமானியின் இயக்கத்தில் வெப்பநிலையின் தாக்கத்தைப் படிக்கும் போது, ​​பின்வரும் முடிவுகள் பெறப்பட்டன:

இந்த விஷயத்தில், நாம் வெப்பநிலையில் ஆர்வம் காட்டவில்லை, ஆனால் அதன் விலகலில் இருந்து . எனவே, நாங்கள் ஒரு வாதமாக எடுத்துக்கொள்கிறோம், எங்கே டி- வழக்கமான அளவில் டிகிரி செல்சியஸ் வெப்பநிலை.

கார்ட்டீசியன் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் தொடர்புடைய புள்ளிகளை வரைந்த பிறகு, ஆர்டினேட் அச்சுக்கு இணையான அச்சைக் கொண்ட ஒரு பரவளையத்தை தோராயமான வளைவாக எடுத்துக் கொள்ளலாம் (படம் 4). ஒரு அரை இருபடி ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பை எடுத்து அதன் மீது சோதனை புள்ளிகளை திட்டமிடுவோம். இந்த புள்ளிகள் நேர் கோட்டில் நன்றாக பொருந்துவதை நாங்கள் காண்கிறோம். எனவே, அனுபவ சூத்திரம்

(4.4) வடிவத்தில் தேடலாம்.

குணகங்களைத் தீர்மானிப்போம் அமற்றும் பிசராசரி முறையைப் பயன்படுத்தி. இதைச் செய்ய, சோதனை புள்ளிகளை இரண்டு குழுக்களாகப் பிரிக்கிறோம்: முதல் குழுவில் - முதல் மூன்று புள்ளிகள், இரண்டாவது - மீதமுள்ள நான்கு புள்ளிகள். சமத்துவத்தைப் பயன்படுத்தி (4.5), ஒவ்வொரு குழுவிற்கும் எச்சங்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டறிந்து, ஒவ்வொரு தொகையையும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமன் செய்கிறோம்.