வீடு→மின்னணுவியல்→ L'Hopital விதியின்படி வரம்புகள், தீர்வுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள். வரம்புகளை ஆன்லைனில் தீர்க்கிறது

L'Hopital விதியின்படி வரம்புகள், தீர்வுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள். வரம்புகளை ஆன்லைனில் தீர்க்கிறது

வழிமுறைகள்

ஏதேனும் பின்னங்களின் வேறுபாட்டை நாம் அர்த்தப்படுத்தினால் [∞-∞] வடிவத்தின் நிச்சயமற்ற தன்மை வெளிப்படும். இந்த வேறுபாட்டை ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்குக் குறைப்பதன் மூலம், நீங்கள் செயல்பாடுகளின் ஒரு குறிப்பிட்ட விகிதத்தைப் பெறுவீர்கள்.

வகை 0^∞, 1^∞, ∞^0 ஆகியவற்றின் நிச்சயமற்ற தன்மைகள் p(x)^q(x) வகையைக் கணக்கிடும் போது எழுகின்றன. இந்த வழக்கில், ஆரம்ப வேறுபாடு பயன்படுத்தப்படுகிறது. பின்னர் விரும்பிய வரம்பு A ஆனது ஒரு தயாரிப்பின் வடிவத்தை எடுக்கும். இல்லையெனில், நீங்கள் உதாரணம் 3 இன் முறையைப் பயன்படுத்தலாம். முக்கிய விஷயம் என்னவென்றால், இறுதி பதிலை e^A வடிவத்தில் எழுத மறக்காதீர்கள் (படம் 5 ஐப் பார்க்கவும்).

தலைப்பில் வீடியோ

ஆதாரங்கள்:

2019 இல் L'Hopital விதியைப் பயன்படுத்தாமல் செயல்பாட்டின் வரம்பைக் கணக்கிடுங்கள்

வழிமுறைகள்

வரம்பு என்பது ஒரு மாறி அல்லது வெளிப்பாட்டின் மதிப்பு இருக்கும் ஒரு குறிப்பிட்ட எண். பொதுவாக மாறிகள் அல்லது செயல்பாடுகள் பூஜ்ஜியம் அல்லது முடிவிலியில் இருக்கும். வரம்பில், பூஜ்ஜியம், அளவு எண்ணற்றதாகக் கருதப்படுகிறது. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், மாறி மற்றும் பூஜ்ஜியத்தை அணுகும் அளவுகள் முடிவிலி என்று அழைக்கப்படுகின்றன. அது முடிவிலியை நோக்கிச் சென்றால், அது எல்லையற்ற வரம்பு எனப்படும். இது பொதுவாக வடிவத்தில் எழுதப்படுகிறது:
limx=+∞.

இது பல பண்புகளைக் கொண்டுள்ளது, அவற்றில் சில. கீழே முக்கியமானவை.
- ஒரு அளவு ஒரே ஒரு வரம்பு;

நிலையான மதிப்பு வரம்பு மதிப்புக்கு சமம்இந்த மாறிலி;

கூட்டு வரம்பு வரம்புகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்: lim(x+y)=lim x + lim y;

உற்பத்தியின் வரம்பு வரம்புகளின் பெருக்கத்திற்கு சமம்: lim(xy)=lim x * lim y

நிலையான காரணி வரம்பு குறிக்கு அப்பால் எடுக்கப்படலாம்: lim(Cx) = C * lim x, இதில் C=const;

விகுதியின் வரம்பு வரம்புகளின் விகுதிக்கு சமம்: lim(x/y)=lim x / lim y.

வரம்புகளின் சிக்கல்களில் எண் வெளிப்பாடுகள் மற்றும் இந்த வெளிப்பாடுகள் இரண்டும் உள்ளன. இது குறிப்பாக, இது போல் தோன்றலாம்:
லிம் xn=a (n→∞க்கு).
கீழே ஒரு எளிய வரம்பு:
லிம் 3n +1 /n+1

n→∞.
இந்த வரம்பை தீர்க்க, முழு வெளிப்பாட்டையும் n அலகுகளால் வகுக்கவும். ஒற்றுமையை ஒரு குறிப்பிட்ட மதிப்பு n→∞ ஆல் வகுத்தால், வரம்பு 1/n பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம் என்பது அறியப்படுகிறது. உரையாடலும் உண்மைதான்: n→0 என்றால், 1/0=∞. முழு உதாரணத்தையும் n ஆல் வகுத்து, அதை கீழே உள்ள படிவத்தில் எழுதி பெறவும்:
லிம் 3+1/n/1+1/n=3

வரம்புகளைத் தீர்க்கும்போது, நிச்சயமற்ற தன்மைகள் எனப்படும் முடிவுகள் எழலாம். இதுபோன்ற சந்தர்ப்பங்களில், L'Hopital விதிகள் பொருந்தும். இதைச் செய்ய, அவர்கள் செயல்பாட்டை மீண்டும் செய்கிறார்கள், இது உதாரணத்தை தீர்க்கக்கூடிய வடிவத்தில் கொண்டு வரும். இரண்டு வகையான நிச்சயமற்ற தன்மைகள் உள்ளன: 0/0 மற்றும் ∞/∞. நிச்சயமற்ற ஒரு எடுத்துக்காட்டு, குறிப்பாக, பின்வருமாறு தோன்றலாம்:
lim 1-cosx/4x^2=(0/0)=lim sinx/8x=(0/0)=lim cosx/8=1/8

தலைப்பில் வீடியோ

வரம்புகளின் கணக்கீடு செயல்பாடுகள்- அடித்தளம் கணித பகுப்பாய்வு, பாடப்புத்தகங்களில் பல பக்கங்கள் ஒதுக்கப்பட்டுள்ளன. இருப்பினும், சில நேரங்களில் வரையறை மட்டுமல்ல, வரம்பின் சாராம்சமும் தெளிவாக இல்லை. பேசுவது எளிய மொழியில், ஒரு வரம்பு என்பது ஒரு மாறி அளவின் அணுகுமுறையாகும், இது மற்றொன்றைச் சார்ந்தது, மற்ற அளவு மாறும்போது சில குறிப்பிட்ட ஒற்றை மதிப்புக்கு. வெற்றிகரமான கணக்கீடுகளுக்கு, ஒரு எளிய தீர்வு வழிமுறையை மனதில் வைத்தால் போதும்.

L'Hopital விதி (p. L.) செயல்பாடுகளின் வரம்புகளைக் கணக்கிட உதவுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு செயல்பாட்டின் வரம்பை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும், இது பூஜ்ஜியத்திற்கு செல்லும் செயல்பாடுகளின் விகிதமாகும். அந்த. செயல்பாடுகளின் விகிதம் நிச்சயமற்ற தன்மை 0/0 ஆகும். அதை திறக்க உதவும். வரம்பில், செயல்பாடுகளின் விகிதத்தை இந்த செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றல்களின் விகிதத்தால் மாற்றலாம். அந்த. நீங்கள் எண்ணின் வழித்தோன்றலை வகுப்பின் வழித்தோன்றலால் வகுத்து, இந்த பின்னத்திலிருந்து வரம்பை எடுக்க வேண்டும்.

1. நிச்சயமற்ற தன்மை 0/0. முதல் பி.எல்.

= 0 என்றால், பின்னர் , பிந்தையது இருந்தால்.

2. படிவத்தின் நிச்சயமற்ற தன்மை ∞/∞ இரண்டாவது பத்தி எல்.

இந்த வகையான வரம்புகளைக் கண்டறிவது நிச்சயமற்ற கண்டுபிடிப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது.

= ∞ என்றால், பிந்தையது இருந்தால்.

3. நிச்சயமற்ற தன்மைகள் 0⋅∞, ∞-∞, 1 ∞ மற்றும் 0 0 ஆகியவை உருமாற்றங்களால் நிச்சயமற்ற தன்மைகள் 0/0 மற்றும் ∞/∞ ஆக குறைக்கப்படுகின்றன. இந்த குறியீடானது வரம்பைக் கண்டறியும் போது வழக்கை சுருக்கமாகக் குறிப்பிட உதவுகிறது. ஒவ்வொரு நிச்சயமற்ற தன்மையும் அதன் சொந்த வழியில் வெளிப்படுகிறது. நிச்சயமற்ற தன்மையிலிருந்து விடுபடும் வரை எல்'ஹோபிட்டலின் விதி பல முறை பயன்படுத்தப்படலாம். L'Hopital விதியின் பயன்பாடு, செயல்பாடுகளின் விகிதத்தை விட வழித்தோன்றல்களின் விகிதத்தை மிகவும் வசதியான வடிவத்திற்கு மாற்றும் போது பயனுள்ளதாக இருக்கும்.

0⋅∞ என்பது இரண்டு செயல்பாடுகளின் விளைபொருளாகும், முதலாவது பூஜ்ஜியத்திற்கும், இரண்டாவது முடிவிலிக்கும்;
∞- ∞ முடிவிலியை நோக்கிய செயல்பாடுகளின் வேறுபாடு;
1 ∞ பட்டம், அதன் அடித்தளம் ஒருமைப்பாடு மற்றும் அதன் அடுக்கு முடிவிலிக்கு முனைகிறது;
∞ 0 டிகிரி, அதன் அடிப்பகுதி முடிவிலிக்கு முனைகிறது, மேலும் அதன் பட்டம் பூஜ்ஜியமாக இருக்கும்;
0 0 டிகிரி, அதன் அடிப்பகுதி 0 ஆகவும், அடுக்கு பூஜ்ஜியமாகவும் இருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டு 1: இந்த எடுத்துக்காட்டில் நிச்சயமற்ற தன்மை 0/0 ஆகும்

எடுத்துக்காட்டு 2. இங்கே ∞/∞

இந்த எடுத்துக்காட்டுகளில், எண்களின் வழித்தோன்றல்களை வகுப்பின் வழித்தோன்றல்களால் வகுக்கிறோம் மற்றும் x க்கு மாற்றியமைக்கிறோம்.

எடுத்துக்காட்டு 3. நிச்சயமற்ற வகை 0⋅∞ .

நிச்சயமற்ற தன்மையை 0⋅∞ ∞/∞ ஆக மாற்றுகிறோம், இதற்காக x ஐ பிரிவின் 1/x வடிவில் மாற்றுகிறோம், எண்களில் எண்களின் வழித்தோன்றலை எழுதுகிறோம் .

எடுத்துக்காட்டு 4 ஒரு செயல்பாட்டின் வரம்பை கணக்கிடவும்

இங்கே நிச்சயமற்ற தன்மை ∞ 0 வடிவத்தில் உள்ளது, முதலில், நாம் செயல்பாட்டை மடக்கை செய்து, அதன் வரம்பைக் கண்டறியவும்

பதிலைப் பெற, நீங்கள் e ஐ சக்தி -1 க்கு உயர்த்த வேண்டும், நாங்கள் e -1 ஐப் பெறுகிறோம்.

எடுத்துக்காட்டு 5. x → 0 இலிருந்து வரம்பைக் கணக்கிடவும்

தீர்வு. நிச்சயமற்ற வகை ∞ -∞ ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்கு பின்னத்தை கொண்டு வந்த பிறகு, நாம் ∞-∞ இலிருந்து 0/0 க்கு நகர்கிறோம். L'Hopital விதியைப் பயன்படுத்துவோம். தீர்வு இதுபோல் தெரிகிறது:

= = = =
= =

எடுத்துக்காட்டு 6 தீர்வு

தீர்வு. நிச்சயமற்ற வகை ∞/∞, அதை விரிவாக்குவதன் மூலம் நாம் பெறுகிறோம்

வழக்குகள் 3), 4), 5), செயல்பாடு முதலில் மடக்கை மயமாக்கப்பட்டு மடக்கையின் வரம்பு கண்டறியப்படுகிறது, பின்னர் விரும்பிய வரம்பு e விளைவாக வரும் சக்திக்கு உயர்த்தப்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டு 7: வரம்பைக் கணக்கிடுங்கள்

தீர்வு. இங்கே நிச்சயமற்ற வகை 1∞. A = ஐ குறிப்போம்

பின்னர் lnA = = = = 2.

மடக்கையின் அடிப்பகுதி e ஆகும், எனவே நீங்கள் e ஐ சதுரம் செய்ய வேண்டிய பதிலைப் பெற, நாம் e 2 ஐப் பெறுகிறோம்.

சில சமயங்களில் செயல்பாடுகளின் விகிதத்திற்கு வரம்பு இருக்கும், வழித்தோன்றல்களின் விகிதத்தைப் போலல்லாமல், இல்லை.

ஒரு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்:

ஏனெனில் sinx வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது, மற்றும் x வரம்பில்லாமல் வளர்கிறது, இரண்டாவது சொல் 0 க்கு சமம்.

இந்த செயல்பாட்டிற்கு வரம்பு இல்லை, ஏனெனில்... இது 0 மற்றும் 2 க்கு இடையில் தொடர்ந்து ஏற்ற இறக்கமாக உள்ளது, இந்த உதாரணத்திற்கு பொருந்தாது.

$x\ to a$ க்கு $f(x)$ மற்றும் $\varphi(x)$ ஆகிய இரண்டும் எண்ணற்றதாகவோ அல்லது எண்ணற்ற பெரியதாகவோ இருக்கட்டும். பின்னர் அவற்றின் உறவு $x=a$ என்ற புள்ளியில் வரையறுக்கப்படவில்லை, இதில் இது $\left[\frac(0)\right]$ அல்லது முறையே வகையின் நிச்சயமற்ற தன்மையைக் குறிக்கிறது. இந்த உறவு வரையறுக்கப்பட்டதாக இருக்கலாம் அல்லது எல்லையற்ற வரம்புபுள்ளி $x=a$ . இந்த வரம்பைக் கண்டறிவது நிச்சயமற்ற தன்மையைக் கண்டறிதல் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

t_E1_p217_1
தேற்றம்(L'Hopital-Bernoulli தேற்றம்.)
$P$ இன் சில சுற்றுப்புறங்களில் $x=a$ என்ற புள்ளிகள் $f(x)$ மற்றும் $g(x)$ ஆகிய செயல்பாடுகள் எல்லா இடங்களிலும் வேறுபடக்கூடியதாக இருக்கட்டும், ஒருவேளை, $x=a$ என்ற புள்ளியைத் தவிர, $g ஐ விடலாம். "(x )\neq0$ $P$ இல் . $f(x)$ மற்றும் $\varphi(x)$ ஆகிய செயல்பாடுகள் ஒரே நேரத்தில் $x\ to a$ க்கு எல்லையற்ற அல்லது எல்லையற்ற பெரியதாக இருந்தால் மற்றும் வரம்பு இருந்தால் விகிதம் $\frac (f"(x))(\varphi"(x))$ $x\ to a$ க்கு, $\frac(f(x)))( g(x))$ தங்களின் செயல்பாடுகள், மற்றும்

(1)

\begin(align) \lim\limits_(x\ to a)\frac(f(x))(g(x)=\lim\limits_(x\to a)\frac(f"(x))( g"(x)). \முடிவு(சீரமை)

விதி () $a=\infty$ க்கும் பொருந்தும்.

m_KR_p156_1
முறை(L'Hopital விதி. $\left[\frac(0)\right]$ மற்றும் வகையின் நிச்சயமற்ற தன்மைகளை வெளிப்படுத்துதல் $\இடது[\frac(\infty)(\infty)\வலது]$.)
தேற்றம் (), சமத்துவத்தின் அடிப்படையில் இரண்டு செயல்பாடுகளின் விகிதத்தின் வரம்பைக் கண்டறிய ஒரு பொதுவான வழி உள்ளது.
$$\lim\limits_(x\to a)\frac(f(x))(g(x))=\lim\limits_(x\to a)\frac(f"(x))(g"( x)).$$
இந்த முறை அழைக்கப்படுகிறது L'Hopital விதி .
தேற்றத்தின் () நிபந்தனைகள் $f"(x)$ மற்றும் $g"(x)$ ஆகிய வழித்தோன்றல்களுக்கு திருப்தியாக இருந்தால், L'Hopital விதியை மீண்டும் பயன்படுத்தலாம்:
$$\lim\limits_(x\to a)\frac(f(x))(g(x))=\lim\limits_(x\to a)\frac(f"(x))(g"( x))=\lim\limits_(x\to a)\frac(f""(x))(g""(x)).$$
இந்த வழக்கில், L'Hopital விதியைப் பயன்படுத்துவதற்கான ஒவ்வொரு கட்டத்திலும், உறவை எளிதாக்கும் ஒரே மாதிரியான மாற்றங்களைப் பயன்படுத்த வேண்டும், மேலும் வரம்புகளைக் கணக்கிடுவதற்கான வேறு எந்த முறைகளுடனும் இந்த விதியை இணைக்க வேண்டும்.

e_E1_p218_1

உதாரணம்
கண்டுபிடி $$\lim\limits_(x\to0)\frac(e^(2x)-1)(\arctan5x).$$
சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி (), நாம் பெறுகிறோம்: $$\lim\limits_(x\to0)\frac(e^(2x)-1)(\arctan5x)=\left[\frac(0)(0)\right]=\lim\liits_(x\to0) )\frac(2e^(2x))(\frac(1)(1+25x^2)\cdot5)=\frac(2)(5),$$$x\to0$ இல் $e^(2x)\to1$ மற்றும் $\frac(1)(1+25x^2)\to1$.

e_E1_p218_1

உதாரணம்
கண்டுபிடி $$\lim\limits_(x\to\infty)\frac(\ln2x)(x^3).$$
சூத்திரத்தை () இரண்டு முறை பயன்படுத்தினால், நாம் பெறுகிறோம்: $$\lim\limits_(x\to+\infty)\frac(\ln^2x)(x^3)=\left[\frac(\infty)(\infty)\right]=\lim\limits_(x \to+\infty)\frac(\frac(2\ln x)(x))(3x^2)=\frac(2)(3)\lim\limits_(x\to+\infty)\frac(\ln x)(x^3)=\frac(2)(3)\lim\limits_(x\to+\infty)\frac(\frac(1)(x))(3x^2)=0.$$

e_E1_p218_1

உதாரணம்
கண்டுபிடி $$\lim\limits_(x\to0)\frac(\tan x-\sin x)(x^3).$$
நாங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்: $$\lim\limits_(x\to0)\frac(\tan x-\sin x)(x^3)=\lim\limits_(x\to 0)\frac(\frac(1)(\cos^ 2x)-\cos x)(3x^2)=\frac(1)(3)\lim\limits_(x\to0)\frac(1-\cos^3x)(x^2\cos^2x). $$
$\cos^2x$ என்ற காரணியிலிருந்து பின்னத்தின் வகுப்பினை விடுவிப்போம், ஏனெனில் அது $x\to0$ இல் $1$ வரம்பைக் கொண்டுள்ளது. நியூமரேட்டரில் உள்ள கனசதுரங்களின் வேறுபாட்டை விரிவுபடுத்தி, $x\to0$ இல் $3$ வரம்பைக் கொண்ட $(1+\cos x+\cos^2x)$ என்ற காரணியிலிருந்து நியூமரேட்டரை விடுவிப்போம். இந்த எளிமைப்படுத்தலுக்குப் பிறகு நாம் பெறுகிறோம் $$\lim\limits_(x\to0)\frac(\tan x-\sin x)(x^3)=\lim\limits_(x\to0)\frac(1-\cos x)(x^2 ).$$
() சூத்திரத்தை மீண்டும் பயன்படுத்துவோம்: $$\lim\limits_(x\to0)\frac(\tan x-\sin x)(x^3)=\lim\limits_(x\to0)\frac(1-\cos x)(x^2 )=\lim\limits_(x\to0)\frac(\sin x)(2x).$$
முதல் பயன்படுத்தி அற்புதமான வரம்பு, L'Hopital விதியை நாடாமல் $\frac(1)(2)$ என்ற இறுதி பதிலைப் பெறுகிறோம்.

m_E1_p219_1
முறை(L'Hopital விதி. $\left$ வகையின் நிச்சயமற்ற தன்மையை விரிவுபடுத்துகிறது.)
கணக்கிட $\lim\limits_(x\to a)f(x)g(x)$, $f(x)$ என்பது முடிவிலி மற்றும் $g(x)$ என்பது $x\ to a$ க்கு எல்லையற்ற பெரிய செயல்பாடாக இருந்தால், தயாரிப்பு $\frac(f(x))(1) வடிவத்திற்கு மாற்றப்பட வேண்டும். /g( x))$ ($\இடதுபுறம்[\frac(0)(0)\வலது]$ ) வகையின் நிச்சயமற்ற தன்மை அல்லது $\frac(g(x))(1/f(x)) $ (வகையின் நிச்சயமற்ற தன்மை $\இடது[\frac(\infty)(\infty)\வலது]$) பின்னர் L'Hopital விதியைப் பயன்படுத்தவும்.

e_E1_p219_1

உதாரணம்
கண்டுபிடி $$\lim\limits_(x\to1)\sin(x-1)\cdot\tan\frac(\pi x)(2).$$
எங்களிடம் உள்ளது: $$\begin(array)(c)\lim\limits_(x\to1)\sin(x-1)\cdot\tan\frac(\pi x)(2)=\left=\lim\limits_(x \to1)\frac(\sin(x-1))(\cot\frac(\pi x)(2))=\left[\frac(0)(0)\right]=\\=\lim\ வரம்புகள்_(x\to1)\frac(\cos(x-1))(-\frac(\pi)(2)\frac(1)(\sin^2\frac(\pi x)(2))) =-\frac(2)(\pi)\lim\limits_(x\to1)\cos(x-1)\sin^2\frac(\pi x)(2)=-\frac(2)(\ pi).\end(array)$$

m_E1_p220_1
முறை(L'Hopital's rule. $\left[\infty-\infty\right]$ வகையின் நிச்சயமற்ற தன்மையை விரிவுபடுத்துகிறது.)
கணக்கிட $\lim\limits_(x\to a)(f(x)-g(x))$, $f(x)$ மற்றும் $g(x)$ ஆகியவை $x\ to a$ க்கு எல்லையற்ற பெரிய செயல்பாடுகளாக இருந்தால், வேறுபாடு படிவத்திற்கு மாற்றப்பட வேண்டும். $f(x)\இடது(1-\frac(g(x))(f(x))\வலது)$, பின்னர் $\frac(g(x))(f(x))$ வகையின் நிச்சயமற்ற தன்மையை வெளிப்படுத்தவும் $\இடது[\frac(\infty)(\infty)\வலது]$. என்றால் $\lim\ வரம்புகள்_(x\ to a)\frac(g(x))(f(x))\neq1$, அது $\lim\limits_(x\ to a)(f(x)-\varphi(x))=\infty$. என்றால் $\lim\limits_(x\to a)\frac(\varphi(x))(f(x))=1$, பின்னர் நாம் முன்னர் கருதப்பட்ட $[\infty\cdot0]$ வகையின் நிச்சயமற்ற தன்மையைப் பெறுகிறோம்.

e_E1_p220_1

உதாரணம்
கண்டுபிடி $$\lim\limits_(x\to+\infty)(x-\ln^3x).$$
எங்களிடம் உள்ளது: $$\lim\limits_(x\to+\infty)(x-\ln^3x)=[\infty-\infty]=\lim\limits_(x\to+\infty)x\left(1-\frac( \ln^3x)(x)\வலது).$$
ஏனெனில் $$\begin(array)(c)\lim\limits_(x\to+\infty)\frac(\ln^3x)(x)=\left[\frac(\infty)(\infty)\right]= \lim\limits_(x\to+\infty)\frac(3\ln^2x\cdot\frac(1)(x))(1)=3\lim\எல்லைகள்_(x\to+\infty)\frac(\ ln^2x)(x)=\\=3\lim\limits_(x\to+\infty)\frac(2\ln x\cdot\frac(1)(x))(1)=6\lim\limits_ (x\to+\infty)\frac(\ln x)(x)=6\lim\limits_(x\to+\infty)\frac(\frac(1)(x))(1)=6\lim\ எல்லைகள்_(x\to+\infty)\frac(1)(x)=0,\end(array)$$என்று $$\lim\limits_(x\to+\infty)(x-\ln^3x)=+\infty.$$

m_E1_p221_1
முறை(L'Hopital's விதி
மூன்று நிகழ்வுகளிலும், $\left(f(x)\right)^(g(x))$ என்ற வெளிப்பாட்டின் வரம்பை கணக்கிடுவதைக் குறிக்கிறோம், இதில் $f(x)$ முதல் வழக்கில் எண்ணற்ற அளவில் உள்ளது. இரண்டாவது வழக்கு, மூன்றாவது வழக்கில், ஒன்றுக்கு சமமான வரம்பைக் கொண்ட ஒரு செயல்பாடு. முதல் இரண்டு நிகழ்வுகளில் $g(x)$ செயல்பாடு எல்லையற்றது, மூன்றாவது வழக்கில் அது எல்லையற்ற பெரியது.
$\left(f(x)\right)^(g(x))$ என்ற வெளிப்பாட்டின் மடக்கையை எடுத்துக் கொண்டால், சமத்துவத்தைப் பெறுகிறோம்
$$\ln y=g(x)\ln f(x).$$
$\ln y$ வரம்பைக் கண்டுபிடிப்போம், அதன் பிறகு $y$ வரம்பைக் கண்டுபிடிப்போம். மூன்று நிகழ்வுகளிலும், $\ln y$ என்பது $$ வகையின் நிச்சயமற்ற தன்மையாகும், இதை வெளிப்படுத்தும் முறை முன்பு கோடிட்டுக் காட்டப்பட்டது.

e_E1_p221_1

உதாரணம்
கண்டுபிடி $$\lim\limits_(x\to+\infty)\left(1+\frac(1)(x)\right)^(2x).$$
குறியீட்டை அறிமுகப்படுத்துவோம் $y=\left(1+\frac(1)(x)\right)^(2x)$. பிறகு $\ln y=2x\ln\left(1+\frac(1)(x)\வலது)$நிச்சயமற்ற $[\infty\cdot0]$ . $\ln y$ என்ற வெளிப்பாட்டை படிவத்திற்கு மாற்றுகிறது $\ln y=2\frac(\ln\left(1+\frac(1)(x)\right))(1/x)$, L'Hopital விதியைப் பயன்படுத்துவதைக் காண்கிறோம் $$\lim\limits_(x\to+\infty)\ln y=2\lim\limits_(x\to+\infty)\frac(\frac(1)(1+\frac(1)(x))\ இடது(-\frac(1)(x^2)\வலது))(-\frac(1)(x^2))=2\lim\limits_(x\to+\infty)\frac(1)(1 +\frac(1)(x))=2.$$
எனவே, $$\lim\limits_(x\to+\infty)y=\lim\limits_(x\to+\infty)\left(1+\frac(1)(x)\right)^(2x)=e^2 .$$

0/0 அல்லது ∞/∞ படிவத்தின் நிச்சயமற்ற தன்மைகள் மற்றும் கணக்கீட்டின் போது எழும் வேறு சில நிச்சயமற்ற தன்மைகளை வெளிப்படுத்துதல் வரம்புஇரண்டு முடிவிலிகள் அல்லது முடிவிலிகளின் விகிதம் பெரிய செயல்பாடுகள் L'Hopital's விதியைப் பயன்படுத்தி பெரிதும் எளிமைப்படுத்தப்பட்டது (உண்மையில் இரண்டு விதிகள் மற்றும் அவற்றுக்கான கருத்துகள்).

சாரம் L'Hopital விதிகள் இரண்டு எண்ணற்ற அல்லது எல்லையற்ற பெரிய செயல்பாடுகளின் விகிதத்தின் வரம்பைக் கணக்கிடும் போது 0/0 அல்லது ∞/∞ வடிவத்தின் நிச்சயமற்ற தன்மையைக் கொடுக்கும் போது, இரண்டு செயல்பாடுகளின் விகிதத்தின் வரம்பை விகிதத்தின் வரம்பால் மாற்றலாம் அவர்களின் வழித்தோன்றல்கள்இதனால் ஒரு குறிப்பிட்ட முடிவு கிடைக்கும்.

L'Hopital விதிகளை உருவாக்குவதற்கு செல்லலாம்.

இரண்டு எண்ணற்ற அளவுகளின் வரம்புக்கான L'Hopital விதி. செயல்பாடுகள் என்றால் f(x) மற்றும் g(x அஅ, மற்றும் இந்த அருகாமையில் g"(x அஒன்றுக்கொன்று சமமானவை மற்றும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்

().

இரண்டு எண்ணற்ற பெரிய அளவுகளின் வரம்புக்கான L'Hopital விதி. செயல்பாடுகள் என்றால் f(x) மற்றும் g(x) புள்ளியின் சில சுற்றுப்புறங்களில் வேறுபடுகின்றன அ, ஒருவேளை புள்ளி தன்னை தவிர அ, மற்றும் இந்த அருகாமையில் g"(x)≠0 மற்றும் இந்த செயல்பாடுகளின் வரம்புகள் x ஆக இருந்தால், புள்ளியில் உள்ள செயல்பாட்டின் மதிப்பு அஒன்றுக்கொன்று சமமானது மற்றும் முடிவிலிக்கு சமமானது

(),

இந்த செயல்பாடுகளின் விகிதத்தின் வரம்பு அவற்றின் வழித்தோன்றல்களின் விகிதத்தின் வரம்பிற்கு சமம்

().

வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், 0/0 அல்லது ∞/∞ வடிவத்தின் நிச்சயமற்ற தன்மைகளுக்கு, இரண்டு சார்புகளின் விகிதத்தின் வரம்பு, பிந்தையது இருந்தால் (கட்டுப்பட்ட அல்லது எல்லையற்றது) அவற்றின் வழித்தோன்றல்களின் விகிதத்தின் வரம்புக்கு சமமாக இருக்கும்.

குறிப்புகள்.

1. செயல்பாடுகளின் போது L'Hopital விதிகளும் பொருந்தும் f(x) மற்றும் g(x) எப்போது வரையறுக்கப்படவில்லை x = அ.

2. செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றல்களின் விகிதத்தின் வரம்பைக் கணக்கிடும்போது f(x) மற்றும் g(x) மீண்டும் 0/0 அல்லது ∞/∞ படிவத்தின் நிச்சயமற்ற நிலைக்கு வருவோம், பிறகு L'Hopital விதிகள் மீண்டும் மீண்டும் பயன்படுத்தப்பட வேண்டும் (குறைந்தது இரண்டு முறை).

3. L'Hopital விதிகள் செயல்பாடுகளின் வாதம் (x) ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணாக இல்லாதபோதும் பொருந்தும். அ, மற்றும் முடிவிலிக்கு ( x → ∞).

மற்ற வகைகளின் நிச்சயமற்ற தன்மைகள் 0/0 மற்றும் ∞/∞ வகைகளின் நிச்சயமற்ற தன்மைகளாகவும் குறைக்கப்படலாம்.

"பூஜ்ஜியத்தால் வகுக்கப்பட்ட பூஜ்யம்" மற்றும் "முடிவிலியை முடிவிலியால் வகுத்தல்" வகைகளின் நிச்சயமற்ற தன்மைகளை வெளிப்படுத்துதல்

எடுத்துக்காட்டு 1.

x=2 0/0 படிவத்தின் நிச்சயமற்ற தன்மைக்கு வழிவகுக்கிறது. எனவே, ஒவ்வொரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் பெறப்படுகிறது

பல்லுறுப்புக்கோவையின் வழித்தோன்றல் எண்ணில் கணக்கிடப்பட்டது, மற்றும் வகுப்பில் - சிக்கலான மடக்கைச் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல். கடைசி சம அடையாளத்திற்கு முன், வழக்கமானது வரம்பு, X க்குப் பதிலாக இரண்டை மாற்றுதல்.

எடுத்துக்காட்டு 2. L'Hopital விதியைப் பயன்படுத்தி இரண்டு செயல்பாடுகளின் விகிதத்தின் வரம்பைக் கணக்கிடவும்:

தீர்வு. மாற்று கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாடுமதிப்புகள் x

எடுத்துக்காட்டு 3. L'Hopital விதியைப் பயன்படுத்தி இரண்டு செயல்பாடுகளின் விகிதத்தின் வரம்பைக் கணக்கிடவும்:

தீர்வு. கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டில் மதிப்பை மாற்றுதல் x=0 0/0 படிவத்தின் நிச்சயமற்ற தன்மைக்கு வழிவகுக்கிறது. எனவே, எண் மற்றும் வகுப்பில் உள்ள செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றல்களைக் கணக்கிட்டு, பெறுகிறோம்:

எடுத்துக்காட்டு 4.கணக்கிடுங்கள்

தீர்வு. கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டில் x க்கு சமமான பிளஸ் இன்ஃபினிட்டியை மாற்றுவது ∞/∞ படிவத்தின் நிச்சயமற்ற தன்மைக்கு வழிவகுக்கிறது. எனவே, நாங்கள் L'Hopital விதியைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

கருத்து. முதல் வழித்தோன்றல்களின் விகிதத்தின் வரம்பு படிவம் 0 இன் நிச்சயமற்ற தன்மை என்பதால், L'Hopital விதியை இரண்டு முறை பயன்படுத்த வேண்டிய எடுத்துக்காட்டுகளுக்குச் செல்வோம், அதாவது இரண்டாவது வழித்தோன்றல்களின் விகிதத்தின் வரம்புக்கு வர வேண்டும். /0 அல்லது ∞/∞.

L'Hopital's விதியை நீங்களே பயன்படுத்துங்கள், பிறகு தீர்வு காணவும்

"பூஜ்ஜிய நேர முடிவிலி" வடிவத்தின் நிச்சயமற்ற தன்மைகளை வெளிப்படுத்துதல்

எடுத்துக்காட்டு 12.கணக்கிடுங்கள்

தீர்வு. நாம் பெறுகிறோம்

இந்த எடுத்துக்காட்டு முக்கோணவியல் அடையாளத்தைப் பயன்படுத்துகிறது.

"பூஜ்ஜியத்தின் சக்திக்கு பூஜ்யம்", "பூஜ்ஜியத்தின் சக்திக்கு முடிவிலி" மற்றும் "முடிவிலியின் சக்திக்கு ஒன்று" வகைகளின் நிச்சயமற்ற தன்மைகளை வெளிப்படுத்துதல்

படிவத்தின் நிச்சயமற்ற தன்மைகள், அல்லது பொதுவாக படிவத்தின் செயல்பாட்டின் மடக்கையை எடுத்து 0/0 அல்லது ∞/∞ வடிவத்தில் குறைக்கப்படுகின்றன

ஒரு வெளிப்பாட்டின் வரம்பைக் கணக்கிட, நீங்கள் மடக்கை அடையாளத்தைப் பயன்படுத்த வேண்டும், இது மடக்கையின் பண்பு ஆகும். .

மடக்கை அடையாளம் மற்றும் செயல்பாட்டின் தொடர்ச்சியின் பண்புகளைப் பயன்படுத்தி (வரம்பு அடையாளத்தை கடக்க), வரம்பை பின்வருமாறு கணக்கிட வேண்டும்:

தனித்தனியாக, எக்ஸ்போனெண்டில் உள்ள வெளிப்பாட்டின் வரம்பை நீங்கள் கண்டுபிடித்து உருவாக்க வேண்டும் இகண்டுபிடிக்கப்பட்ட அளவிற்கு.

எடுத்துக்காட்டு 13.

தீர்வு. நாம் பெறுகிறோம்

எடுத்துக்காட்டு 14. L'Hopital விதியைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடுங்கள்

தீர்வு. நாம் பெறுகிறோம்

அதிவேகத்தில் வெளிப்பாட்டின் வரம்பைக் கணக்கிடுங்கள்

எடுத்துக்காட்டு 15. L'Hopital விதியைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடுங்கள்

L'Hopital விதி மற்றும் நிச்சயமற்ற தன்மைகளை வெளிப்படுத்துதல்
"பூஜ்ஜியத்தால் வகுக்கப்பட்ட பூஜ்யம்" மற்றும் "முடிவிலியை முடிவிலியால் வகுத்தல்" வகைகளின் நிச்சயமற்ற தன்மைகளை வெளிப்படுத்துதல்
"பூஜ்ஜிய நேர முடிவிலி" வடிவத்தின் நிச்சயமற்ற தன்மைகளை வெளிப்படுத்துதல்
"பூஜ்ஜியத்தின் சக்திக்கு பூஜ்யம்", "பூஜ்ஜியத்தின் சக்திக்கு முடிவிலி" மற்றும் "முடிவிலியின் சக்திக்கு ஒன்று" வகைகளின் நிச்சயமற்ற தன்மைகளை வெளிப்படுத்துதல்
"முடிவிலி கழித்தல் முடிவிலி" வடிவத்தின் நிச்சயமற்ற தன்மைகளை வெளிப்படுத்துதல்

L'Hopital விதி மற்றும் நிச்சயமற்ற தன்மைகளை வெளிப்படுத்துதல்

0/0 அல்லது ∞/∞ படிவத்தின் நிச்சயமற்ற தன்மைகளை வெளிப்படுத்துதல் மற்றும் வேறு சில நிச்சயமற்ற தன்மைகள் L'Hopital விதியைப் பயன்படுத்தி பெரிதும் எளிமைப்படுத்தப்படுகிறது.

சாரம் L'Hopital விதிகள் இரண்டு சார்புகளின் விகிதத்தின் வரம்பை கணக்கிடும் போது 0/0 அல்லது ∞/∞ படிவத்தின் நிச்சயமற்ற தன்மையை வழங்கினால், இரண்டு செயல்பாடுகளின் விகிதத்தின் வரம்பை அவற்றின் வழித்தோன்றல்களின் விகிதத்தின் வரம்பால் மாற்றலாம் மற்றும் , இதனால், ஒரு குறிப்பிட்ட முடிவைப் பெறுங்கள்.

பொதுவாக, L'Hopital விதிகள் என்பது பின்வரும் ஒற்றை உருவாக்கத்தில் வெளிப்படுத்தக்கூடிய பல கோட்பாடுகளைக் குறிக்கிறது.

L'Hopital விதி. செயல்பாடுகள் என்றால் f(x) மற்றும் g(x) புள்ளியின் ஒரு குறிப்பிட்ட சுற்றுப்புறத்தில் வேறுபடக்கூடியவை , புள்ளியின் சாத்தியமான விதிவிலக்கு மற்றும் இந்த சுற்றுப்புறத்தில்

(1)

சமத்துவத்தில் (1), மாறியின் மதிப்பு ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணாகவோ அல்லது முடிவிலியாகவோ அல்லது கழித்தல் முடிவிலியாகவோ இருக்கலாம்.

"பூஜ்ஜியத்தால் வகுக்கப்பட்ட பூஜ்யம்" மற்றும் "முடிவிலியை முடிவிலியால் வகுத்தல்" வகைகளின் நிச்சயமற்ற தன்மைகளை வெளிப்படுத்துதல்

எடுத்துக்காட்டு 1.கணக்கிடுங்கள்

x=2 0/0 படிவத்தின் நிச்சயமற்ற தன்மைக்கு வழிவகுக்கிறது. எனவே, நாங்கள் L'Hopital விதியைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

எடுத்துக்காட்டு 2.கணக்கிடுங்கள்

தீர்வு. கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டில் மதிப்பை மாற்றுதல் x

எடுத்துக்காட்டு 3.கணக்கிடுங்கள்

தீர்வு. கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டில் மதிப்பை மாற்றுதல் x=0 0/0 படிவத்தின் நிச்சயமற்ற தன்மைக்கு வழிவகுக்கிறது. எனவே, நாங்கள் L'Hopital விதியைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

எடுத்துக்காட்டு 4.கணக்கிடுங்கள்

கருத்து. வழித்தோன்றல் விகிதத்தின் வரம்பு 0/0 அல்லது ∞/∞ படிவத்தின் நிச்சயமற்றதாக இருந்தால், L'Hopital விதியை மீண்டும் பயன்படுத்தலாம், அதாவது. இரண்டாவது வழித்தோன்றல்கள் போன்றவற்றின் விகிதத்தின் வரம்பிற்குச் செல்லவும்.

எடுத்துக்காட்டு 5.கணக்கிடுங்கள்

தீர்வு. கண்டுபிடிக்கிறோம்

இங்கே L'Hopital விதி இரண்டு முறை பயன்படுத்தப்படுகிறது, ஏனெனில் செயல்பாடுகளின் விகிதத்தின் வரம்பு மற்றும் வழித்தோன்றல்களின் விகிதத்தின் வரம்பு இரண்டும் ∞/∞ படிவத்தின் நிச்சயமற்ற தன்மையைக் கொடுக்கும்.

எடுத்துக்காட்டு 6.கணக்கிடுங்கள்