மாறுபாடு 1. ஒரு சீரற்ற மாறியின் மாறுபாடு

தீர்வு.

மதிப்புகளின் பரவலின் அளவீடாக சீரற்ற மாறிபயன்படுத்தப்பட்டது சிதறல்

சிதறல் (சிதறல் என்ற வார்த்தையின் அர்த்தம் "சிதறல்"). சீரற்ற மாறி மதிப்புகளின் பரவலின் அளவீடுஅவளை பற்றி கணித எதிர்பார்ப்பு. சிதறல் என்பது அதன் கணித எதிர்பார்ப்பில் இருந்து ஒரு சீரற்ற மாறியின் வர்க்க விலகலின் கணித எதிர்பார்ப்பு ஆகும்.

சீரற்ற மாறியானது எல்லையற்ற ஆனால் எண்ணக்கூடிய மதிப்புகளின் தொகுப்புடன் தனித்தனியாக இருந்தால், பிறகு

சமத்துவத்தின் வலது பக்கத்தில் உள்ள தொடர் ஒன்றிணைந்தால்.

சிதறலின் பண்புகள்.

• 1. நிலையான மதிப்பின் மாறுபாடு பூஜ்ஜியமாகும்
• 2. சீரற்ற மாறிகளின் கூட்டுத்தொகையின் மாறுபாடு மாறுபாடுகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்
• 3. நிலையான காரணியை ஸ்கொயர் சிதறலின் அடையாளத்திலிருந்து எடுக்கலாம்

சீரற்ற மாறிகளின் வேறுபாட்டின் மாறுபாடு மாறுபாடுகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்

இந்த சொத்து இரண்டாவது மற்றும் மூன்றாவது பண்புகளின் விளைவாகும். மாறுபாடுகள் மட்டுமே சேர்க்க முடியும்.

சிதறலின் பண்புகளைப் பயன்படுத்தி எளிதில் பெறக்கூடிய சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி சிதறலைக் கணக்கிடுவது வசதியானது

மாறுபாடு எப்போதும் நேர்மறையானது.

மாறுபாடு உள்ளது பரிமாணம்சீரற்ற மாறியின் சதுர பரிமாணம், இது எப்போதும் வசதியாக இருக்காது. எனவே, அளவு

நிலையான விலகல் (நிலையான விலகல்அல்லது நிலையான) ஒரு சீரற்ற மாறி அழைக்கப்படுகிறது எண்கணித மதிப்புஅதன் மாறுபாட்டின் வர்க்கமூலம்

2 மற்றும் 5 ரூபிள் பிரிவுகளில் இரண்டு நாணயங்களை எறியுங்கள். நாணயம் ஒரு கோட் ஆஃப் ஆர்ம்ஸாக இறங்கினால், பூஜ்ஜிய புள்ளிகள் வழங்கப்படும், அது ஒரு எண்ணாக இறங்கினால், நாணயத்தின் மதிப்பிற்கு சமமான புள்ளிகளின் எண்ணிக்கை. புள்ளிகளின் எண்ணிக்கையின் கணித எதிர்பார்ப்பு மற்றும் மாறுபாட்டைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு.ரேண்டம் மாறி X இன் பரவலை முதலில் கண்டுபிடிப்போம் - புள்ளிகளின் எண்ணிக்கை. அனைத்து சேர்க்கைகளும் - (2;5),(2;0),(0;5),(0;0) - சமமாக சாத்தியம் மற்றும் விநியோக சட்டம்:

கணித எதிர்பார்ப்பு:

சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி மாறுபாட்டைக் காண்கிறோம்

நாம் ஏன் கணக்கிடுகிறோம்

எடுத்துக்காட்டு 2.

அறியப்படாத நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும் ஆர், நிகழ்தகவு விநியோக அட்டவணையால் குறிப்பிடப்பட்ட தனித்த சீரற்ற மாறியின் கணித எதிர்பார்ப்பு மற்றும் மாறுபாடு

கணித எதிர்பார்ப்பு மற்றும் மாறுபாட்டைக் காண்கிறோம்:

எம்(எக்ஸ்) = 00,0081 + 10,0756 + 20,2646 + 3 0,4116 + +40,2401=2,8

சிதறலைக் கணக்கிட, நாங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம் (19.4)

டி(எக்ஸ்) = 020 ,0081 + 120,0756 + 220,2646 + 320,4116 + 420,2401 - 2,82 = 8,68 -

எடுத்துக்காட்டு 3.இரண்டு சமமான வலிமையான விளையாட்டு வீரர்கள் ஒரு போட்டியை நடத்துகிறார்கள், அது அவர்களில் ஒருவரின் முதல் வெற்றி வரை அல்லது ஐந்து ஆட்டங்கள் விளையாடப்படும் வரை நீடிக்கும். ஒவ்வொரு விளையாட்டு வீரர்களுக்கும் ஒரு ஆட்டத்தில் வெற்றி பெறுவதற்கான நிகழ்தகவு 0.3, மற்றும் டிராவின் நிகழ்தகவு 0.4 ஆகும். விநியோக விதி, கணித எதிர்பார்ப்பு மற்றும் விளையாடிய கேம்களின் எண்ணிக்கையைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு.சீரற்ற மாறி எக்ஸ்- விளையாடிய விளையாட்டுகளின் எண்ணிக்கை, 1 முதல் 5 வரையிலான மதிப்புகளை எடுக்கும், அதாவது.

போட்டியை முடிப்பதற்கான சாத்தியக்கூறுகளைத் தீர்மானிப்போம். அவர்களின் விளையாட்டு வீரர்களில் ஒருவர் வெற்றி பெற்றால் போட்டி முதல் செட்டில் முடிவடையும். வெற்றி வாய்ப்பு உள்ளது

ஆர்(1) = 0,3+0,3 =0,6.

ஒரு டிரா இருந்தால் (டிராவின் நிகழ்தகவு 1 - 0.6 = 0.4), பின்னர் போட்டி தொடர்கிறது. முதல் ஆட்டம் டிராவாகி, இரண்டாவது ஆட்டத்தில் யாராவது வெற்றி பெற்றால் ஆட்டம் இரண்டாவது ஆட்டத்தில் முடிவடையும். நிகழ்தகவு

ஆர்(2) = 0,4 0,6=0,24.

அதேபோல், தொடர்ச்சியாக இரண்டு டிராக்கள் ஏற்பட்டு மீண்டும் யாராவது வெற்றி பெற்றால் மூன்றாவது ஆட்டத்தில் போட்டி முடிவடையும்

ஆர்(3) = 0,4 0,4 0,6 = 0,096. ஆர்(4)= 0,4 0,4 0,4 0,6=0,0384.

ஐந்தாவது ஆட்டம் எந்த வகையிலும் கடைசியாக இருக்கும்.

ஆர்(5)= 1 - (ஆர்(1)+ஆர்(2)+ஆர்(3)+ஆர்(4)) = 0,0256.

எல்லாவற்றையும் ஒரு அட்டவணையில் வைப்போம். "வெற்றி பெற்ற கேம்களின் எண்ணிக்கை" என்ற சீரற்ற மாறியின் விநியோக விதி வடிவம் கொண்டது

எதிர்பார்ப்பு

சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி மாறுபாட்டைக் கணக்கிடுகிறோம் (19.4)

நிலையான தனித்துவமான விநியோகங்கள்.

இருவகைப் பரவல்.பெர்னோலியின் சோதனைத் திட்டம் செயல்படுத்தப்படட்டும்: nஒரே மாதிரியான சுயாதீன சோதனைகள், ஒவ்வொன்றிலும் நிகழ்வு ஏநிலையான நிகழ்தகவுடன் தோன்றலாம் பமற்றும் நிகழ்தகவுடன் தோன்றாது

(விரிவுரை 18 ஐப் பார்க்கவும்).

நிகழ்வின் நிகழ்வுகளின் எண்ணிக்கை ஏஇவற்றில் nசோதனைகள் ஒரு தனித்த சீரற்ற மாறி உள்ளது எக்ஸ், சாத்தியமான மதிப்புகள்:

0; 1; 2; ... ;மீ; ... ; n

நிகழ்வின் நிகழ்தகவு மீஒரு குறிப்பிட்ட தொடரில் நிகழ்வுகள் A nசோதனைகள் மற்றும் அத்தகைய சீரற்ற மாறியின் விநியோக விதி பெர்னோலி சூத்திரத்தால் வழங்கப்படுகிறது (விரிவுரை 18 ஐப் பார்க்கவும்)

சீரற்ற மாறியின் எண்ணியல் பண்புகள் எக்ஸ்பைனாமியல் சட்டத்தின்படி விநியோகிக்கப்படுகிறது:

என்றால் nசிறந்தது (), பிறகு, எப்போது, ​​சூத்திரம் (19.6) சூத்திரத்திற்குள் செல்கிறது

மற்றும் அட்டவணைப்படுத்தப்பட்ட காஸியன் செயல்பாடு (காஸியன் செயல்பாட்டின் மதிப்புகளின் அட்டவணை விரிவுரை 18 இன் இறுதியில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது).

நடைமுறையில், பெரும்பாலும் முக்கியமானது நிகழ்வின் நிகழ்தகவு அல்ல. மீநிகழ்வுகள் ஏஒரு குறிப்பிட்ட தொடரில் இருந்து nசோதனைகள், மற்றும் நிகழ்வின் நிகழ்தகவு ஏகுறைவாக தோன்றாது

முறை மற்றும் நேரங்களுக்கு மேல் இல்லை, அதாவது X மதிப்புகளை எடுக்கும் நிகழ்தகவு

இதைச் செய்ய, நிகழ்தகவுகளை நாம் சுருக்க வேண்டும்

என்றால் nசிறந்தது (), பிறகு, சூத்திரம் (19.9) தோராயமான சூத்திரமாக மாறும்

அட்டவணைப்படுத்தப்பட்ட செயல்பாடு. விரிவுரை 18 இன் இறுதியில் அட்டவணைகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன.

அட்டவணையைப் பயன்படுத்தும் போது, ​​அதை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்வது அவசியம்

எடுத்துக்காட்டு 1. ஒரு சந்திப்பை நெருங்கும் கார் மூன்று சாலைகளில் ஏதேனும் ஒன்றில் தொடர்ந்து நகரலாம்: A, B அல்லது C சம நிகழ்தகவுடன். ஐந்து கார்கள் சந்திப்பை நெருங்குகின்றன. சாலை A இல் பயணிக்கும் கார்களின் சராசரி எண்ணிக்கையையும் B சாலையில் மூன்று கார்கள் பயணிக்கும் நிகழ்தகவையும் கண்டறியவும்.

தீர்வு.ஒவ்வொரு சாலையிலும் செல்லும் கார்களின் எண்ணிக்கை சீரற்ற மாறியாகும். குறுக்குவெட்டை அணுகும் அனைத்து கார்களும் ஒருவருக்கொருவர் சுயாதீனமாக பயணிக்கின்றன என்று நாம் கருதினால், இந்த சீரற்ற மாறியானது இருசொற் சட்டத்தின்படி விநியோகிக்கப்படுகிறது.

n= 5 மற்றும் ப = .

எனவே, சாலை A ஐப் பின்பற்றும் சராசரி கார்களின் எண்ணிக்கை சூத்திரத்தின்படி (19.7)

மற்றும் விரும்பிய நிகழ்தகவு மணிக்கு

எடுத்துக்காட்டு 2.ஒவ்வொரு சோதனையின் போதும் சாதனம் செயலிழக்கும் நிகழ்தகவு 0.1 ஆகும். சாதனத்தின் 60 சோதனைகள் மேற்கொள்ளப்படுகின்றன. சாதனம் செயலிழக்கும் நிகழ்தகவு என்ன: a) 15 முறை; b) 15 முறைக்கு மேல் இல்லையா?

ஏ.சோதனைகளின் எண்ணிக்கை 60 ஆக இருப்பதால், நாங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம் (19.8)

விரிவுரை 18 இன் பின்னிணைப்பின் அட்டவணை 1 இன் படி நாம் காண்கிறோம்

பி. நாங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம் (19.10).

விரிவுரை 18 க்கு பின் இணைப்பு அட்டவணை 2 இன் படி

• - 0,495
• 0,49995

விஷம் விநியோகம்) அரிதான நிகழ்வுகளின் சட்டம்).என்றால் nபெரிய மற்றும் ஆர்சிறிய (), மற்றும் தயாரிப்பு prஒரு நிலையான மதிப்பை வைத்திருக்கிறது, அதை நாம் l ஆல் குறிக்கிறோம்,

பின்னர் சூத்திரம் (19.6) பாய்சனின் சூத்திரமாக மாறும்

விஷ விநியோகச் சட்டம் பின்வரும் வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது:

வெளிப்படையாக, பாய்சன் விதியின் வரையறை சரியானது, ஏனெனில் விநியோகத் தொடரின் முக்கிய சொத்து

முடிந்தது, ஏனெனில் தொடரின் கூட்டுத்தொகை

செயல்பாட்டின் தொடர் விரிவாக்கம்

தேற்றம். பாய்சனின் விதியின்படி விநியோகிக்கப்படும் ஒரு சீரற்ற மாறியின் கணித எதிர்பார்ப்பு மற்றும் மாறுபாடு ஒத்துப்போகிறது மற்றும் இந்தச் சட்டத்தின் அளவுருவுடன் சமமாக இருக்கும், அதாவது.

ஆதாரம்.

உதாரணம்.சந்தையில் அதன் தயாரிப்புகளை விளம்பரப்படுத்த, நிறுவனம் வெளியிடுகிறது அஞ்சல் பெட்டிகள்ஃபிளையர்கள். முந்தைய அனுபவம், 2,000 பேரில் ஒரு வழக்கில் ஒரு ஆர்டர் பின்பற்றப்படுகிறது என்பதைக் காட்டுகிறது. 10,000 விளம்பரங்களை வைக்கும்போது, ​​குறைந்தபட்சம் ஒரு ஆர்டராவது வருவதற்கான நிகழ்தகவு, பெறப்பட்ட ஆர்டர்களின் சராசரி எண்ணிக்கை மற்றும் பெறப்பட்ட ஆர்டர்களின் எண்ணிக்கையின் மாறுபாடு ஆகியவற்றைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு. இங்கே

எதிர் நிகழ்வின் நிகழ்தகவு மூலம் குறைந்தது ஒரு ஆர்டராவது வருவதற்கான நிகழ்தகவைக் கண்டுபிடிப்போம், அதாவது.

நிகழ்வுகளின் சீரற்ற ஓட்டம்.நிகழ்வுகளின் ஸ்ட்ரீம் என்பது நிகழும் நிகழ்வுகளின் வரிசையாகும் சீரற்ற தருணங்கள்நேரம். ஓட்டங்களின் பொதுவான எடுத்துக்காட்டுகள் கணினி நெட்வொர்க்குகளில் தோல்விகள், தொலைபேசி பரிமாற்றங்களில் அழைப்புகள், உபகரணங்கள் பழுதுபார்ப்புக்கான கோரிக்கைகளின் ஓட்டம் போன்றவை.

ஓட்டம்நிகழ்வுகள் அழைக்கப்படுகிறது நிலையான, ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையிலான நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவு நேர இடைவெளியில் விழுந்தால், அது இடைவெளியின் நீளத்தை மட்டுமே சார்ந்துள்ளது மற்றும் நேர அச்சில் உள்ள நேர இடைவெளியின் இடத்தைப் பொறுத்தது அல்ல.

நிலையான நிலை கோரிக்கைகளின் ஓட்டத்தால் திருப்தி அடைகிறது, இதன் நிகழ்தகவு பண்புகள் நேரத்தை சார்ந்து இல்லை. குறிப்பாக, ஒரு நிலையான ஓட்டம் நிலையான அடர்த்தியால் வகைப்படுத்தப்படுகிறது (ஒரு யூனிட் நேரத்திற்கு கோரிக்கைகளின் சராசரி எண்ணிக்கை). நடைமுறையில், பெரும்பாலும் பயன்பாடுகளின் ஓட்டங்கள் உள்ளன (படி குறைந்தபட்சம், குறிப்பிட்ட காலத்திற்கு) நிலையானதாகக் கருதலாம். எடுத்துக்காட்டாக, 12 முதல் 13 மணி நேரம் வரையிலான காலப்பகுதியில் நகர தொலைபேசி பரிமாற்றத்தில் வரும் அழைப்புகளின் ஓட்டம் லேண்ட்லைனாகக் கருதப்படலாம். ஒரு நாள் முழுவதும் அதே ஓட்டம் இனி நிலையானதாக கருத முடியாது (இரவில் அழைப்பு அடர்த்தி பகலை விட கணிசமாக குறைவாக இருக்கும்).

ஓட்டம்நிகழ்வுகள் ஸ்ட்ரீம் என்று அழைக்கப்படுகிறது பின்விளைவு இல்லாமல், ஏதேனும் ஒன்றுடன் ஒன்று சேராத காலகட்டங்களில் நிகழ்வுகளின் எண்ணிக்கை மற்றவற்றின் மீது விழும் நிகழ்வுகளின் எண்ணிக்கையைப் பொறுத்து இருக்காது.

பின்விளைவு இல்லாத நிலை - எளிமையான ஓட்டத்திற்கு மிகவும் இன்றியமையாதது - பயன்பாடுகள் ஒருவருக்கொருவர் சுயாதீனமாக கணினியில் நுழைகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு மெட்ரோ நிலையத்திற்குள் நுழையும் பயணிகளின் ஓட்டம் பின்விளைவுகள் இல்லாத ஓட்டமாகக் கருதப்படலாம், ஏனெனில் ஒரு குறிப்பிட்ட தருணத்தில் ஒரு தனிப்பட்ட பயணியின் வருகையை தீர்மானித்த காரணங்கள் மற்றொன்று அல்ல, ஒரு விதியாக, மற்ற பயணிகளுக்கான ஒத்த காரணங்களுடன் தொடர்புடையவை அல்ல. . இருப்பினும், அத்தகைய சார்பு தோற்றத்தின் காரணமாக பின்விளைவு இல்லாத நிலை எளிதில் மீறப்படலாம். எடுத்துக்காட்டாக, ஒரே ரயிலில் வரும் பயணிகளின் வெளியேறும் தருணங்கள் ஒருவரையொருவர் சார்ந்து இருப்பதால், மெட்ரோ நிலையத்திலிருந்து வெளியேறும் பயணிகளின் ஓட்டத்தை இனி பின்விளைவு இல்லாத ஓட்டமாகக் கருத முடியாது.

ஓட்டம்நிகழ்வுகள் அழைக்கப்படுகிறது சாதாரண, இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவு குறுகிய கால இடைவெளியில் நிகழும் t ஒரு நிகழ்வின் நிகழ்தகவுடன் ஒப்பிடும்போது மிகக் குறைவாக இருந்தால் (இது சம்பந்தமாக, பாய்சனின் விதி அரிதான நிகழ்வுகளின் சட்டம் என்று அழைக்கப்படுகிறது).

ஆர்டினரிஸ் நிலை என்பது, ஆர்டர்கள் தனித்தனியாக வரும், ஜோடியாக அல்ல, மும்மடங்கு, முதலிய மாறுபாடு விலகல் பெர்னௌல்லி விநியோகம்

உதாரணமாக, சிகையலங்கார நிலையத்திற்குள் நுழையும் வாடிக்கையாளர்களின் ஓட்டம் கிட்டத்தட்ட சாதாரணமாகக் கருதப்படலாம். ஒரு அசாதாரண ஓட்டத்தில் பயன்பாடுகள் ஜோடிகளாக மட்டுமே வந்தால், மும்மடங்கு போன்றவற்றில் மட்டுமே, அசாதாரண ஓட்டம் சாதாரணமாக எளிதாகக் குறைக்கப்படும்; இதைச் செய்ய, ஒவ்வொரு கோரிக்கையும் தோராயமாக இரட்டை, மும்மடங்கு போன்றவற்றுக்குப் பதிலாக ஜோடி, மும்மடங்கு போன்றவற்றைக் கருத்தில் கொண்டால் போதும் ஒரே மாதிரியான, ஆனால் பன்முக நிகழ்வுகளின் நீரோட்டத்தை கையாள்வது.

நிகழ்வுகளின் ஸ்ட்ரீம் மூன்று பண்புகளையும் கொண்டிருந்தால் (அதாவது, நிலையானது, சாதாரணமானது மற்றும் பின்விளைவு இல்லை), அது ஒரு எளிய (அல்லது நிலையான பாய்சன்) ஸ்ட்ரீம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. பட்டியலிடப்பட்ட நிபந்தனைகள் பூர்த்தி செய்யப்பட்டால், எந்த ஒரு குறிப்பிட்ட நேர இடைவெளியில் விழும் நிகழ்வுகளின் எண்ணிக்கை விநியோகிக்கப்படும் என்பதாலேயே "பாயிசன்" என்ற பெயர் ஏற்பட்டது. பாய்சன் சட்டம்

நிகழ்வுகளின் சராசரி எண்ணிக்கை இங்கே ஏ, ஒரு யூனிட் நேரத்திற்கு தோன்றும்.

இந்த சட்டம் ஒரு அளவுரு, அதாவது. அதை அமைக்க, நீங்கள் ஒரு அளவுருவை மட்டும் தெரிந்து கொள்ள வேண்டும். பாய்சனின் விதியின் எதிர்பார்ப்பு மற்றும் மாறுபாடுகள் எண்ணிக்கையில் சமமாக இருப்பதைக் காட்டலாம்:

உதாரணம். வேலை நாளின் நடுவில் கோரிக்கைகளின் சராசரி எண்ணிக்கை வினாடிக்கு 2 என்று வைத்துக்கொள்வோம். 1) ஒரு நொடியில் விண்ணப்பங்கள் வராது, 2) இரண்டு வினாடிகளில் 10 விண்ணப்பங்கள் வந்து சேரும் நிகழ்தகவு என்ன?

தீர்வு.பாய்சனின் சட்டத்தின் செல்லுபடியாகும் தன்மை சந்தேகத்திற்கு அப்பாற்பட்டது மற்றும் அதன் அளவுரு (= 2) கொடுக்கப்பட்டிருப்பதால், பிரச்சனைக்கான தீர்வு பாய்சனின் சூத்திரத்தின் பயன்பாட்டிற்கு குறைக்கப்படுகிறது (19.11)

1) டி = 1, மீ = 0:

2) டி = 2, மீ = 10:

சட்டம் பெரிய எண்கள். சில நிலையான மதிப்புகளைச் சுற்றி ஒரு சீரற்ற மாறிக் கிளஸ்டரின் மதிப்புகள் பெரிய எண்களின் விதி என்பதற்கான கணித அடிப்படை.

வரலாற்று ரீதியாக, பெரிய எண்களின் சட்டத்தின் முதல் உருவாக்கம் பெர்னோலியின் தேற்றம்:

"ஒரே மாதிரியான மற்றும் சுயாதீனமான சோதனைகளின் எண்ணிக்கையில் வரம்பற்ற அதிகரிப்புடன், நிகழ்வு A நிகழ்வின் அதிர்வெண் அதன் நிகழ்தகவுடன் நிகழ்தகவில் ஒன்றிணைகிறது," அதாவது.

n சோதனைகளில் நிகழ்வு A நிகழ்வின் அதிர்வெண் எங்கே,

சாராம்சத்தில், வெளிப்பாடு (19.10) என்பது அதிக எண்ணிக்கையிலான சோதனைகள் மூலம், நிகழ்வின் அதிர்வெண் ஏஇந்த நிகழ்வின் அறியப்படாத நிகழ்தகவை மாற்ற முடியும், மேலும் அதிக எண்ணிக்கையிலான சோதனைகள் நிகழ்த்தப்பட்டால், p* க்கு நெருக்கமாக இருக்கும். சுவாரஸ்யமானது வரலாற்று உண்மை. கே. பியர்சன் ஒரு நாணயத்தை 12,000 முறை தூக்கி எறிந்தார், அவருடைய கோட் ஆஃப் ஆர்ம்ஸ் 6,019 முறை மேலே வந்தது (அதிர்வெண் 0.5016). அதே நாணயத்தை 24,000 முறை வீசியபோது, ​​அவருக்கு 12,012 கோட்டுகள் கிடைத்தன, அதாவது. அதிர்வெண் 0.5005.

பெரிய எண்களின் சட்டத்தின் மிக முக்கியமான வடிவம் செபிஷேவின் தேற்றம்: வரையறுக்கப்பட்ட மாறுபாடு மற்றும் ஒரே மாதிரியான நிலைமைகளின் கீழ் நடத்தப்படும் சுயாதீன சோதனைகளின் எண்ணிக்கையில் வரம்பற்ற அதிகரிப்புடன், சீரற்ற மாறியின் கவனிக்கப்பட்ட மதிப்புகளின் எண்கணித சராசரி அதன் கணித எதிர்பார்ப்புக்கு நிகழ்தகவில் ஒன்றிணைகிறது.. பகுப்பாய்வு வடிவத்தில், இந்த தேற்றத்தை பின்வருமாறு எழுதலாம்:

செபிஷேவின் தேற்றம், அதன் அடிப்படைக் கோட்பாட்டு முக்கியத்துவத்துடன் கூடுதலாக ஒரு முக்கியத்துவத்தையும் கொண்டுள்ளது. நடைமுறை பயன்பாடு, எடுத்துக்காட்டாக, அளவீட்டுக் கோட்பாட்டில். ஒரு குறிப்பிட்ட அளவு n அளவீடுகளை எடுத்த பிறகு எக்ஸ், வெவ்வேறு பொருந்தாத மதிப்புகளைப் பெறுங்கள் எக்ஸ் 1, எக்ஸ் 2, ..., xn. அளவிடப்பட்ட அளவின் தோராயமான மதிப்பிற்கு எக்ஸ்கவனிக்கப்பட்ட மதிப்புகளின் எண்கணித சராசரியை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள்

அதே நேரத்தில், அதிக சோதனைகள் மேற்கொள்ளப்பட்டால், முடிவு மிகவும் துல்லியமாக இருக்கும்.உண்மை என்னவென்றால், நிகழ்த்தப்பட்ட சோதனைகளின் எண்ணிக்கையின் அதிகரிப்புடன் அளவின் சிதறல் குறைகிறது, ஏனெனில்

டி(x 1) = டி(x 2)=…= டி(xn) டி(x), அது

அளவீட்டு கருவிகளின் (பெரிய மதிப்பு) அதிக துல்லியமின்மையுடன் கூட, அளவீடுகளின் எண்ணிக்கையை அதிகரிப்பதன் மூலம், தன்னிச்சையாக அதிக துல்லியத்துடன் முடிவைப் பெற முடியும் என்பதை உறவு (19.13) காட்டுகிறது.

சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி (19.10) புள்ளியியல் அதிர்வெண் நிகழ்தகவிலிருந்து விலகும் நிகழ்தகவைக் கண்டறியலாம்.

உதாரணம்.ஒவ்வொரு சோதனையிலும் ஒரு நிகழ்வின் நிகழ்தகவு 0.4 ஆகும். ஒரு நிகழ்வின் ஒப்பீட்டு அதிர்வெண் முழுமையான நிகழ்தகவிலிருந்து 0.01 க்கும் குறைவாக விலகும் என்பதை 0.8 க்கும் குறையாத நிகழ்தகவுடன் எதிர்பார்க்க, நீங்கள் எத்தனை சோதனைகளைச் செய்ய வேண்டும்?

தீர்வு.சூத்திரத்தின்படி (19.14)

எனவே, அட்டவணையின்படி இரண்டு பயன்பாடுகள் உள்ளன

எனவே, n 3932.

முந்தைய ஒன்றில், வாதங்களின் விநியோக விதிகள் அறியப்படும் போது, ​​செயல்பாடுகளின் எண் பண்புகளைக் கண்டறிய அனுமதிக்கும் பல சூத்திரங்களை நாங்கள் வழங்கினோம். இருப்பினும், பல சந்தர்ப்பங்களில், செயல்பாடுகளின் எண் பண்புகளைக் கண்டறிய, வாதங்களின் விநியோக விதிகளை கூட தெரிந்து கொள்ள வேண்டிய அவசியமில்லை, ஆனால் அவற்றின் சில எண் பண்புகளை மட்டும் தெரிந்து கொண்டால் போதும்; அதே நேரத்தில், நாங்கள் பொதுவாக விநியோக சட்டங்கள் இல்லாமல் செய்கிறோம். வாதங்களின் கொடுக்கப்பட்ட எண் குணாதிசயங்களிலிருந்து செயல்பாடுகளின் எண் பண்புகளைத் தீர்மானிப்பது நிகழ்தகவுக் கோட்பாட்டில் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது மற்றும் பல சிக்கல்களின் தீர்வை கணிசமாக எளிதாக்குகிறது. இந்த எளிமைப்படுத்தப்பட்ட முறைகளில் பெரும்பாலானவை நேரியல் செயல்பாடுகளுடன் தொடர்புடையவை; இருப்பினும், சில அடிப்படை நேரியல் அல்லாத செயல்பாடுகளும் இதே அணுகுமுறையை அனுமதிக்கின்றன.

நிகழ்காலத்தில், செயல்பாடுகளின் எண்ணியல் பண்புகள் பற்றிய பல கோட்பாடுகளை முன்வைப்போம், அவை ஒன்றாக இந்த குணாதிசயங்களைக் கணக்கிடுவதற்கான மிக எளிய கருவியாகும், இது பரந்த அளவிலான நிலைமைகளுக்கு பொருந்தும்.

1. சீரற்ற மதிப்பின் கணித எதிர்பார்ப்பு

வடிவமைக்கப்பட்ட சொத்து மிகவும் வெளிப்படையானது; நிகழ்தகவு ஒன்றுடன் ஒரு சாத்தியமான மதிப்புடன், ஒரு சிறப்பு வகை சீரற்றதாக, சீரற்ற அல்லாத மாறியைக் கருத்தில் கொண்டு அதை நிரூபிக்க முடியும்; பின்னர் கணித எதிர்பார்ப்புக்கான பொதுவான சூத்திரத்தின் படி:

.

2. சீரற்ற அளவின் மாறுபாடு

சீரற்ற மதிப்பு என்றால், பிறகு

3. கணித எதிர்பார்ப்பின் அடையாளத்திற்கு ஒரு சீரற்ற மதிப்பை மாற்றுதல்

, (10.2.1)

அதாவது, ஒரு சீரற்ற மதிப்பை கணித எதிர்பார்ப்பின் அடையாளமாக எடுத்துக் கொள்ளலாம்.

ஆதாரம்.

அ) இடைவிடாத அளவுகளுக்கு

b) தொடர்ச்சியான அளவுகளுக்கு

.

4. சிதறல் மற்றும் நிலையான விலகலின் அடையாளத்திற்கு சீரற்ற மதிப்பை மாற்றுதல்

சீரற்ற அளவாக இருந்தால், சீரற்றதாக இருந்தால்

, (10.2.2)

அதாவது, ஒரு சீரற்ற மதிப்பை ஸ்கொயர் செய்வதன் மூலம் சிதறலின் அடையாளத்திலிருந்து வெளியே எடுக்க முடியும்.

ஆதாரம். மாறுபாட்டின் வரையறை மூலம்

விளைவு

,

அதாவது, ஒரு சீரற்ற மதிப்பை அதன் முழுமையான மதிப்பின் மூலம் நிலையான விலகலின் அடையாளத்திலிருந்து எடுக்க முடியும். சூத்திரத்திலிருந்து (10.2.2) வர்க்க மூலத்தை எடுத்து, ஆர்.எஸ்.ஓ. - குறிப்பிடத்தக்க நேர்மறையான மதிப்பு.

5. சீரற்ற மாறிகளின் கூட்டுத்தொகையின் கணித எதிர்பார்ப்பு

எந்த இரண்டு ரேண்டம் மாறிகள் மற்றும் என்பதை நிரூபிப்போம்

அதாவது, இரண்டு சீரற்ற மாறிகளின் கூட்டுத்தொகையின் கணித எதிர்பார்ப்பு அவற்றின் கணித எதிர்பார்ப்புகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்.

இந்த பண்பு கணித எதிர்பார்ப்புகளின் கூட்டல் தேற்றம் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

ஆதாரம்.

a) இடைவிடாத சீரற்ற மாறிகளின் அமைப்பாக இருக்கட்டும். இரண்டு வாதங்களின் செயல்பாட்டின் கணித எதிர்பார்ப்புக்கான சீரற்ற மாறிகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு பொதுவான சூத்திரத்தை (10.1.6) பயன்படுத்துவோம்:

.

ஹோ, அளவு மதிப்பை எடுக்கும் மொத்த நிகழ்தகவைத் தவிர வேறு எதையும் குறிக்கவில்லை:

;

எனவே,

.

நாமும் அவ்வாறே நிரூபிப்போம்

,

மற்றும் தேற்றம் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

b) தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறிகளின் அமைப்பாக இருக்கட்டும். சூத்திரத்தின்படி (10.1.7)

. (10.2.4)

ஒருங்கிணைப்புகளில் முதலாவதாக மாற்றுவோம் (10.2.4):

;

இதேபோல்

,

மற்றும் தேற்றம் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

கணித எதிர்பார்ப்புகளைச் சேர்ப்பதற்கான தேற்றம் எந்த சீரற்ற மாறிகளுக்கும் செல்லுபடியாகும் என்பதை சிறப்பாகக் குறிப்பிட வேண்டும் - சார்பு மற்றும் சுயாதீனமான.

கணித எதிர்பார்ப்புகளைச் சேர்ப்பதற்கான தேற்றம் ஒரு தன்னிச்சையான சொற்களுக்குப் பொதுமைப்படுத்தப்படுகிறது:

, (10.2.5)

அதாவது, பல சீரற்ற மாறிகளின் கூட்டுத்தொகையின் கணித எதிர்பார்ப்பு அவற்றின் கணித எதிர்பார்ப்புகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்.

அதை நிரூபிக்க, முழுமையான தூண்டல் முறையைப் பயன்படுத்தினால் போதும்.

6. கணித எதிர்பார்ப்பு நேரியல் செயல்பாடு

பல சீரற்ற வாதங்களின் நேரியல் செயல்பாட்டைக் கவனியுங்கள்:

சீரற்ற குணகங்கள் எங்கே. என்பதை நிரூபிப்போம்

, (10.2.6)

அதாவது ஒரு நேரியல் செயல்பாட்டின் கணித எதிர்பார்ப்பு, வாதங்களின் கணித எதிர்பார்ப்புகளின் அதே நேரியல் செயல்பாட்டிற்கு சமம்.

ஆதாரம். m.o இன் கூட்டல் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்துதல். மற்றும் m.o. இன் அடையாளத்திற்கு வெளியே சீரற்ற அளவை வைப்பதற்கான விதி, நாங்கள் பெறுகிறோம்:

.

7. Dispஎபிசீரற்ற மாறிகளின் இந்த கூட்டுத்தொகை

இரண்டு சீரற்ற மாறிகளின் கூட்டுத்தொகையின் மாறுபாடு அவற்றின் மாறுபாடுகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம் மற்றும் இரண்டு மடங்கு தொடர்புத் தருணம்:

ஆதாரம். குறிப்போம்

கணித எதிர்பார்ப்புகளின் கூட்டல் தேற்றத்தின்படி

சீரற்ற மாறிகளிலிருந்து தொடர்புடைய மையமான மாறிகளுக்குச் செல்வோம். சமத்துவத்தை (10.2.9) காலத்தின் அடிப்படையில் சமத்துவத்திலிருந்து (10.2.8) கழித்தால், எங்களிடம் உள்ளது:

மாறுபாட்டின் வரையறை மூலம்

கே.இ.டி.

கூட்டுத்தொகையின் மாறுபாட்டிற்கான சூத்திரம் (10.2.7) எத்தனை சொற்களுக்குப் பொதுமைப்படுத்தப்படலாம்:

, (10.2.10)

அளவுகளின் தொடர்புத் தருணம் எங்கே, கூட்டுத்தொகையின் கீழ் உள்ள குறி என்பது, ரேண்டம் மாறிகளின் சாத்தியமான அனைத்து ஜோடிவரிசை சேர்க்கைகளுக்கும் கூட்டுத்தொகை நீட்டிக்கப்படுகிறது. .

ஆதாரம் முந்தையதைப் போன்றது மற்றும் பல்லுறுப்புக்கோவையின் வர்க்கத்திற்கான சூத்திரத்தில் இருந்து பின்வருமாறு.

சூத்திரம் (10.2.10) மற்றொரு வடிவத்தில் எழுதப்படலாம்:

, (10.2.11)

இரட்டைத் தொகையானது அளவுகளின் அமைப்பின் தொடர்பு மேட்ரிக்ஸின் அனைத்து உறுப்புகளுக்கும் நீட்டிக்கப்படுகிறது , தொடர்பு தருணங்கள் மற்றும் மாறுபாடுகள் இரண்டையும் கொண்டுள்ளது.

அனைத்து சீரற்ற மாறிகள் என்றால் , அமைப்பில் சேர்க்கப்பட்டுள்ளவை, தொடர்பற்றவை (அதாவது, எப்போது ), சூத்திரம் (10.2.10) வடிவத்தை எடுக்கும்:

, (10.2.12)

அதாவது, தொடர்பற்ற சீரற்ற மாறிகளின் கூட்டுத்தொகையின் மாறுபாடு, விதிமுறைகளின் மாறுபாடுகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்.

இந்த நிலை மாறுபாடுகளின் கூட்டல் தேற்றம் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

8. நேரியல் செயல்பாட்டின் மாறுபாடு

பல சீரற்ற மாறிகளின் நேரியல் செயல்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

சீரற்ற அளவுகள் எங்கே.

இந்த நேரியல் செயல்பாட்டின் சிதறல் சூத்திரத்தால் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது என்பதை நிரூபிப்போம்

, (10.2.13)

அளவுகளின் தொடர்புத் தருணம் எங்கே , .

ஆதாரம். குறியீட்டை அறிமுகப்படுத்துவோம்:

. (10.2.14)

வெளிப்பாட்டின் வலது பக்கம் (10.2.14) கூட்டுத்தொகையை சிதறடிப்பதற்கான சூத்திரத்தை (10.2.10) பயன்படுத்துவதன் மூலம் , நாங்கள் பெறுகிறோம்:

அளவுகளின் தொடர்புத் தருணம் எங்கே:

.

இந்த தருணத்தை கணக்கிடுவோம். எங்களிடம் உள்ளது:

;

இதேபோல்

இந்த வெளிப்பாட்டை (10.2.15) மாற்றினால், நாம் சூத்திரத்திற்கு (10.2.13) வருகிறோம்.

சிறப்பு வழக்கில் அனைத்து அளவுகள் போது தொடர்பற்றவை, சூத்திரம் (10.2.13) வடிவம் பெறுகிறது:

, (10.2.16)

அதாவது, தொடர்பற்ற சீரற்ற மாறிகளின் நேரியல் செயல்பாட்டின் மாறுபாடு, குணகங்களின் சதுரங்களின் தயாரிப்புகளின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் தொடர்புடைய வாதங்களின் மாறுபாடுகளுக்கு சமம்.

9. சீரற்ற மாறிகளின் ஒரு பொருளின் கணித எதிர்பார்ப்பு

இரண்டு சீரற்ற மாறிகளின் பெருக்கத்தின் கணித எதிர்பார்ப்பு, அவற்றின் கணித எதிர்பார்ப்புகளின் பெருக்கத்திற்கும், தொடர்புத் தருணத்திற்கும் சமம்:

ஆதாரம். தொடர்பு தருணத்தின் வரையறையிலிருந்து நாம் தொடர்வோம்:

கணித எதிர்பார்ப்பின் பண்புகளைப் பயன்படுத்தி இந்த வெளிப்பாட்டை மாற்றுவோம்:

இது வெளிப்படையாக சூத்திரத்திற்கு சமமானதாகும் (10.2.17).

சீரற்ற மாறிகள் ஒன்றோடொன்று தொடர்பில்லாததாக இருந்தால், சூத்திரம் (10.2.17) வடிவத்தை எடுக்கும்:

அதாவது, இரண்டு தொடர்பற்ற சீரற்ற மாறிகளின் பெருக்கத்தின் கணித எதிர்பார்ப்பு, அவற்றின் கணித எதிர்பார்ப்புகளின் விளைபொருளுக்குச் சமம்.

இந்த நிலை கணித எதிர்பார்ப்புகளின் பெருக்கத்தின் தேற்றம் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

ஃபார்முலா (10.2.17) என்பது இரண்டாவது கலப்பு ஆரம்ப கணம் மற்றும் கணித எதிர்பார்ப்புகள் மூலம் அமைப்பின் இரண்டாவது கலப்பு மைய தருணத்தின் வெளிப்பாடே தவிர வேறில்லை:

. (10.2.19)

ஒரு சீரற்ற மாறிக்கு மாறுபாடு பெரும்பாலும் இரண்டாவது ஆரம்ப கணம் மற்றும் கணித எதிர்பார்ப்பு மூலம் கணக்கிடப்படும் அதே வழியில் தொடர்பு தருணத்தை கணக்கிடும்போது இந்த வெளிப்பாடு பெரும்பாலும் நடைமுறையில் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

கணித எதிர்பார்ப்புகளின் பெருக்கத்தின் தேற்றம் ஒரு தன்னிச்சையான காரணிகளுக்கு பொதுமைப்படுத்தப்படுகிறது, இந்த விஷயத்தில் மட்டுமே, அதன் பயன்பாட்டிற்கு, அளவுகள் ஒன்றோடொன்று தொடர்பில்லாதது போதாது, ஆனால் சில அதிக கலப்பு தருணங்கள் தேவை, அவற்றின் எண்ணிக்கை சார்ந்தது. தயாரிப்பில் உள்ள சொற்களின் எண்ணிக்கையில், மறைந்துவிடும். தயாரிப்பில் சேர்க்கப்பட்டுள்ள சீரற்ற மாறிகள் சுயாதீனமாக இருந்தால் இந்த நிபந்தனைகள் நிச்சயமாக திருப்தி அளிக்கும். இந்த வழக்கில்

, (10.2.20)

அதாவது, சுயாதீன சீரற்ற மாறிகளின் உற்பத்தியின் கணித எதிர்பார்ப்பு அவற்றின் கணித எதிர்பார்ப்புகளின் விளைபொருளுக்கு சமம்.

இந்த முன்மொழிவை முழுமையான தூண்டல் மூலம் எளிதாக நிரூபிக்க முடியும்.

10. சுயாதீன சீரற்ற மாறிகளின் உற்பத்தியின் மாறுபாடு

அதை சுயாதீன அளவுகளுக்கு நிரூபிப்போம்

ஆதாரம். குறிப்போம். மாறுபாட்டின் வரையறை மூலம்

அளவுகள் சுயாதீனமாக இருப்பதால், மற்றும்

சுயாதீனமாக இருக்கும்போது, ​​அளவுகளும் சுயாதீனமாக இருக்கும்; எனவே,

,

ஆனால் இரண்டாவது ஆரம்ப கணத்தை விட வேறு எதுவும் இல்லை, எனவே, சிதறல் மூலம் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது:

;

இதேபோல்

.

இந்த வெளிப்பாடுகளை சூத்திரத்தில் (10.2.22) மாற்றி, ஒத்த சொற்களைக் கொண்டு, நாம் சூத்திரத்திற்கு (10.2.21) வருகிறோம்.

மையப்படுத்தப்பட்ட சீரற்ற மாறிகள் (பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமான கணித எதிர்பார்ப்புகளைக் கொண்ட மாறிகள்) பெருக்கப்படும்போது, ​​சூத்திரம் (10.2.21) வடிவத்தை எடுக்கும்:

, (10.2.23)

அதாவது, சுயாதீன மையப்படுத்தப்பட்ட சீரற்ற மாறிகளின் உற்பத்தியின் மாறுபாடு அவற்றின் மாறுபாடுகளின் பெருக்கத்திற்கு சமம்.

11. சீரற்ற மாறிகளின் கூட்டுத்தொகையின் உயர் தருணங்கள்

சில சந்தர்ப்பங்களில், சுயாதீன சீரற்ற மாறிகளின் கூட்டுத்தொகையின் மிக உயர்ந்த தருணங்களைக் கணக்கிடுவது அவசியம். இங்கு தொடர்புடைய சில உறவுகளை நிரூபிப்போம்.

1) அளவுகள் சுயாதீனமாக இருந்தால், பின்னர்

ஆதாரம்.

எங்கிருந்து, கணித எதிர்பார்ப்புகளின் பெருக்கல் தேற்றத்தின்படி

ஆனால் எந்த அளவிற்கான முதல் மைய தருணம் பூஜ்ஜியமாகும்; இரண்டு நடுத்தர சொற்கள் மறைந்துவிடும், மேலும் சூத்திரம் (10.2.24) நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

உறவு (10.2.24) தன்னிச்சையான எண்ணிக்கையிலான சுயாதீன சொற்களுக்குத் தூண்டுவதன் மூலம் எளிதில் பொதுமைப்படுத்தப்படுகிறது:

. (10.2.25)

2) இரண்டு சுயாதீன சீரற்ற மாறிகளின் கூட்டுத்தொகையின் நான்காவது மைய தருணம் சூத்திரத்தால் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது

அளவுகளின் மாறுபாடுகள் எங்கே மற்றும் .

ஆதாரம் முந்தையதைப் போலவே உள்ளது.

முழுமையான தூண்டல் முறையைப் பயன்படுத்தி, சூத்திரத்தின் பொதுமைப்படுத்தலை (10.2.26) தன்னிச்சையான எண்ணிக்கையிலான சுயாதீன சொற்களுக்கு நிரூபிப்பது எளிது.

1.மாறிலி C இன் மாறுபாடு சமம் 0,DC = 0, உடன் = நிலையான.

ஆதாரம்.DC = எம்(உடன்– எம்.சி.) 2 = எம்(உடன்– உடன்) = 0.

2.டி(CX) = உடன் 2 DX.

ஆதாரம். டி(CX) = எம்(CX) 2 – எம் 2 (CX) = சி 2 MX 2 – சி 2 (MX) 2 = சி 2 (MX 2 – எம் 2 எக்ஸ்) = உடன் 2 DX.

3. X மற்றும் Y என்றால் – சுயாதீன சீரற்ற மாறிகள், என்று

ஆதாரம்.

4. எக்ஸ் என்றால் 1 , எக்ஸ் 2 , … சார்ந்து இல்லை .

சொத்து 3 ஐப் பயன்படுத்தி தூண்டல் மூலம் இந்த சொத்தை நிரூபிக்க முடியும்.

ஆதாரம். D(X – Y) = DX + D(–Y) = DX + (–1) 2 D(Y) = DX + D(Y).

6.

ஆதாரம். D(C+X) = M(X+C-M(X+C)) 2 = M(X+C-MX-MC) 2 = M(X+C-MX-C) 2 = M(X- MX) 2 = DX.

சுயாதீன சீரற்ற மாறிகளாக இருக்கட்டும், மற்றும் .

ஒரு புதிய சீரற்ற மாறியை உருவாக்குவோம், கணித எதிர்பார்ப்பு மற்றும் மாறுபாட்டைக் கண்டறியவும் ஒய்.

; .

அதாவது, எப்போது n®¥ n இன் சார்பற்ற ஒத்ததாக விநியோகிக்கப்படும் சீரற்ற மாறிகளின் எண்கணித சராசரியின் கணித எதிர்பார்ப்பு மாறாமல் உள்ளது, இது கணித எதிர்பார்ப்பு a க்கு சமமாக இருக்கும், அதே சமயம் மாறுபாடு பூஜ்ஜியமாக இருக்கும்.

எண்கணித சராசரியின் புள்ளிவிவர நிலைத்தன்மையின் இந்த சொத்து பெரிய எண்களின் சட்டத்தின் அடிப்படையில் உள்ளது.

சிதறலின் பண்புகள் - கருத்து மற்றும் வகைகள். வகைப்பாடு மற்றும் அம்சங்கள் "சிதறல் பண்புகள்" 2017, 2018.

ஆதாரம். .

பல சீரற்ற மாறிகள் ஒரே கணித எதிர்பார்ப்பைக் கொண்டுள்ளன, ஆனால் வெவ்வேறு சாத்தியமான மதிப்புகள். எனவே, ஒரு சீரற்ற மாறியை வகைப்படுத்த ஒரு கணித எதிர்பார்ப்பு போதாது.

வருமானம் வரட்டும் எக்ஸ்மற்றும் ஒய்(டாலர்களில்) இரண்டு நிறுவனங்களின் விநியோகங்கள் வழங்கப்படுகின்றன:

சில நேரங்களில் மற்றொரு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவது வசதியானது, இது கணித எதிர்பார்ப்பின் பண்புகளைப் பயன்படுத்தினால் பெறலாம்,

தொடர் (முறையே, ஒருங்கிணைந்த) ஒன்றிணைந்தால் சிதறல் உள்ளது.

எதிர்மறை அல்லாத எண் அழைக்கப்பட்டது நிலையான விலகல்சீரற்ற மாறி எக்ஸ்.இது ஒரு சீரற்ற மாறியின் பரிமாணத்தைக் கொண்டுள்ளது எக்ஸ்மற்றும் சில நிலையான ரூட்-சராசரி-சதுர சிதறல் இடைவெளியை தீர்மானிக்கிறது, கணித எதிர்பார்ப்புடன் சமச்சீர். மதிப்பு சில நேரங்களில் நிலையான விலகல் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

சீரற்ற மாறி அழைக்கப்படுகிறது மையம் கொண்டது, என்றால். சீரற்ற மாறி அழைக்கப்படுகிறது இயல்பாக்கப்பட்டது(தரநிலை) என்றால்.

உதாரணத்தைத் தொடர்வோம். இரண்டு நிறுவனங்களின் வருமானத்தின் பரவலைக் கணக்கிடுவோம்:

சிதறலை ஒப்பிடுகையில், இரண்டாவது நிறுவனத்தின் வருமானம் முதல் நிறுவனத்தை விட அதிகமாக வேறுபடுவதைக் காண்கிறோம்.

சிதறல் பண்புகள்.

1. நிலையான மதிப்பின் மாறுபாடு பூஜ்ஜியமாகும், அதாவது. , என்றால் நிலையான. இது வெளிப்படையானது, ஏனெனில் ஒரு நிலையான மதிப்பு ஒரு நிலையான மதிப்புக்கு சமமான கணித எதிர்பார்ப்பைக் கொண்டுள்ளது, அதாவது. .

2. நிலையான பெருக்கி சிமுதலில் ஸ்கொயர் செய்வதன் மூலம் சிதறல் அடையாளத்திலிருந்து வெளியே எடுக்கலாம்.

உண்மையில்,

3. மாறுபாடு இயற்கணிதத் தொகைஇரண்டு சுயாதீன சீரற்ற மாறிகள் அவற்றின் மாறுபாட்டின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம், அதாவது.

வெளிப்பாடு அழைக்கப்படுகிறது X மற்றும் Y மதிப்புகளின் இணை வேறுபாடு(தலைப்பு 4, §2 ஐப் பார்க்கவும்). சுயாதீன சீரற்ற மாறிகளுக்கு, கோவாரியன்ஸ் பூஜ்ஜியமாகும், அதாவது.

இந்த சமத்துவத்தைப் பயன்படுத்தி, நீங்கள் கணித எதிர்பார்ப்பின் பண்புகளின் பட்டியலில் சேர்க்கலாம். சீரற்ற மாறிகள் X மற்றும் Y ஆகியவை சுயாதீனமாக இருந்தால், பின்னர் உற்பத்தியின் கணித எதிர்பார்ப்பு கணித எதிர்பார்ப்புகளின் தயாரிப்புக்கு சமம், அதாவது:

சீரற்ற மாறி நேர்கோட்டில் மாற்றப்பட்டால், அதாவது. , அது

.

உதாரணம் 1. அது நடக்கட்டும் nசுயாதீன சோதனைகள், ஒரு நிகழ்வின் நிகழ்தகவு ஏஒவ்வொன்றிலும் நிலையானது மற்றும் சமமானது ப. ஒரு நிகழ்வின் நிகழ்வுகளின் எண்ணிக்கையின் மாறுபாடு என்ன? ஏஇந்த சோதனைகளில்?

தீர்வு. நிகழ்வின் நிகழ்வுகளின் எண்ணிக்கையாக இருக்கட்டும் ஏமுதல் சோதனையில், நிகழ்வின் நிகழ்வுகளின் எண்ணிக்கை ஏஇரண்டாவது சோதனை, முதலியன பின்னர் நிகழ்வின் மொத்த நிகழ்வுகளின் எண்ணிக்கை ஏவி nசோதனைகள் சமம்

சிதறலின் சொத்து 3 ஐப் பயன்படுத்தி, நாங்கள் பெறுகிறோம்

இங்கே நாம் அந்த உண்மையைப் பயன்படுத்திக் கொண்டோம் , i= (உதாரணங்கள் 1 மற்றும் 2, பிரிவு 3.3.1 ஐப் பார்க்கவும்.).

உதாரணம் 2. விடுங்கள் X -வங்கியில் வைப்புத்தொகை (டாலர்களில்) நிகழ்தகவு விநியோகத்தால் வழங்கப்படுகிறது

சராசரி வைப்புத் தொகை மற்றும் மாறுபாட்டைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு. சராசரி வைப்புத் தொகை கணித எதிர்பார்ப்புக்கு சமம்

மாறுபாட்டைக் கணக்கிட, சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்

D(X) = 8196 – 7849.96 = 348.04.

சராசரி நிலையான விலகல்

தருணங்கள்.

சீரற்ற மாறியின் சாத்தியமான மதிப்புகளின் கணித எதிர்பார்ப்பு மீதான தாக்கத்தை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்வதற்காக எக்ஸ், அவை பெரியவை ஆனால் குறைந்த நிகழ்தகவு கொண்டவை, ஒரு சீரற்ற மாறியின் நேர்மறை முழு எண் சக்தியின் கணித எதிர்பார்ப்புகளைக் கருத்தில் கொள்வது நல்லது.

தலைப்பு 8.12. சீரற்ற மாறியின் மாறுபாடு.

பற்றி.ஒரு சீரற்ற மாறியின் மாறுபாடு என்பது அதன் கணித எதிர்பார்ப்பில் இருந்து ஒரு சீரற்ற மாறியின் வர்க்க விலகலின் கணித எதிர்பார்ப்பு ஆகும்.

சிதறல் என்பது அதன் கணித எதிர்பார்ப்புடன் தொடர்புடைய ஒரு சீரற்ற மாறியின் மதிப்புகளின் சிதறலின் அளவை வகைப்படுத்துகிறது. ஒரு சீரற்ற மாறியின் அனைத்து மதிப்புகளும் அதன் கணித எதிர்பார்ப்பைச் சுற்றி நெருக்கமாக குவிந்திருந்தால் மற்றும் கணித எதிர்பார்ப்பில் இருந்து பெரிய விலகல்கள் சாத்தியமில்லை என்றால், அத்தகைய சீரற்ற மாறி குறைந்த சிதறலைக் கொண்டுள்ளது. ஒரு சீரற்ற மாறியின் மதிப்புகள் சிதறி, கணித எதிர்பார்ப்பில் இருந்து பெரிய விலகல்களின் அதிக நிகழ்தகவு இருந்தால், அத்தகைய சீரற்ற மாறி ஒரு பெரிய சிதறலைக் கொண்டுள்ளது.

சிதறலின் வரையறையைப் பயன்படுத்தி, ஒரு தனித்துவமான சீரற்ற மாறிக்கு, சிதறலைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரம் பின்வருமாறு வழங்கப்படலாம்:

மாறுபாட்டைக் கணக்கிடுவதற்கு நீங்கள் மற்றொரு சூத்திரத்தைப் பெறலாம்:

எனவே, ஒரு சீரற்ற மாறியின் மாறுபாடு, ரேண்டம் மாறியின் சதுரத்தின் கணித எதிர்பார்ப்புக்கும் அதன் கணித எதிர்பார்ப்பின் வர்க்கத்திற்கும் இடையிலான வேறுபாட்டிற்கு சமம்.

சிதறலின் பண்புகள்.

இந்தச் சொத்தை ஆதாரம் இல்லாமல் விட்டுவிடுகிறோம்.

இருபக்க விநியோக சட்டம்.

எண்களைக் கொடுக்கலாம் n சொந்தமானது என்மற்றும் ப(0 <ப< 1) பின்னர் இடைவெளியில் உள்ள ஒவ்வொரு முழு எண்ணையும் பெர்னோலியின் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்பட்ட நிகழ்தகவுடன் தொடர்புபடுத்தலாம். சீரற்ற மாறியின் விநியோக விதியைப் பெறுவோம் (அதை B(beta) என்று அழைப்போம்)

ரேண்டம் மாறி பெர்னோலியின் சட்டத்தின்படி விநியோகிக்கப்படுகிறது என்று கூறுவோம். அத்தகைய சீரற்ற மாறி என்பது நிகழ்வு A இன் நிகழ்வின் அதிர்வெண் ஆகும் nமீண்டும் மீண்டும் சுயாதீன சோதனைகள், ஒவ்வொரு சோதனை நிகழ்விலும் A நிகழ்தகவுடன் ஏற்பட்டால் ப.

தனித்தனியாகக் கருதுவோம் i- இ சோதனை. அதற்கான அடிப்படை விளைவுகளின் இடம் வடிவம் கொண்டது

ஒரு சீரற்ற மாறியின் விநியோக சட்டம் முந்தைய தலைப்பில் விவாதிக்கப்பட்டது

க்கு i= 1,2, ... , nநாங்கள் அமைப்பைப் பெறுகிறோம் nஒரே விநியோகச் சட்டங்களைக் கொண்ட சுயாதீன சீரற்ற மாறிகள்.

உதாரணம்.

கட்டுப்பாட்டுக்காக தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட 20 தயாரிப்பு மாதிரிகளில், 4 தரமற்றதாக மாறியது. தோராயமாக தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட தயாரிப்பு விகிதத்துடன் தரத்தை பூர்த்தி செய்யாத நிகழ்தகவை மதிப்பிடுவோம் ப*= 4/20 = 0,2.

ஏனெனில் எக்ஸ்சீரற்ற மாறி ப*- ஒரு சீரற்ற மாறி. மதிப்புகள் ப*ஒரு பரிசோதனையில் இருந்து மற்றொன்றுக்கு மாறுபடலாம் (பரிசோதனையின் கீழ், சோதனையானது 20 தயாரிப்புகளின் ரேண்டம் தேர்வு மற்றும் கட்டுப்பாடு ஆகும்). கணித எதிர்பார்ப்பு என்ன ப*? ஏனெனில் எக்ஸ்வெற்றிகளின் எண்ணிக்கையைக் குறிக்கும் சீரற்ற மாறி ஆகும் nபெர்னோலி திட்டத்தின் படி சோதனைகள், எம்( x) = என்.பி.. ஒரு சீரற்ற மாறியின் கணித எதிர்பார்ப்புக்கு ஆர்* வரையறையின்படி நாம் பெறுகிறோம்: எம்(ப*) = M(x/n), ஆனால் nஇங்கே ஒரு நிலையானது, எனவே, கணித எதிர்பார்ப்பு பண்பு மூலம்

எம்(ப*) = 1/n*M(x)=1/n np=p

இதனால், "சராசரியாக" உண்மையான மதிப்பு பெறப்படுகிறது ஆர், இது எதிர்பார்க்கப்படுகிறது. இது மதிப்பீட்டு சொத்து ப*அளவுகள் ஆர்ஒரு பெயர் உள்ளது: ப*உள்ளது இடம்பெயராதக்கான மதிப்பீடு ஆர். மதிப்பிடப்பட்ட அளவுருவின் மதிப்பிலிருந்து முறையான விலகல் இல்லை ஆர்மதிப்பைப் பயன்படுத்துவதற்கான சாத்தியத்தை உறுதிப்படுத்துகிறது ப*ஒரு மதிப்பீடாக. மதிப்பீட்டின் துல்லியம் குறித்த கேள்வியை இப்போதைக்கு திறந்து விடுகிறோம்.