0.95 நம்பகத்தன்மையுடன் நம்பிக்கை இடைவெளியை உருவாக்கவும். கணித எதிர்பார்ப்பு, மாறுபாடு, நிகழ்தகவு ஆகியவற்றுக்கான நம்பிக்கை இடைவெளிகள். பிரச்சனை தீர்வுகள்

புள்ளிவிபரங்களில் இரண்டு வகையான மதிப்பீடுகள் உள்ளன: புள்ளி மற்றும் இடைவெளி. புள்ளி மதிப்பீடுமக்கள் தொகை அளவுருவை மதிப்பிடுவதற்குப் பயன்படுத்தப்படும் ஒற்றை மாதிரி புள்ளிவிவரம். உதாரணமாக, மாதிரி சராசரி மக்கள்தொகையின் கணித எதிர்பார்ப்பு மற்றும் மாதிரி மாறுபாட்டின் புள்ளி மதிப்பீடாகும் எஸ் 2- மக்கள்தொகை மாறுபாட்டின் புள்ளி மதிப்பீடு σ 2. மாதிரி சராசரி என்பது மக்கள்தொகையின் கணித எதிர்பார்ப்பின் பாரபட்சமற்ற மதிப்பீடாகும் என்று காட்டப்பட்டுள்ளது. ஒரு மாதிரி சராசரி சார்பற்றது என அழைக்கப்படுகிறது, ஏனெனில் அனைத்து மாதிரி வழிமுறைகளின் சராசரி (ஒரே மாதிரி அளவுடன்) n) என்பது பொது மக்களின் கணித எதிர்பார்ப்புக்கு சமம்.

மாதிரி மாறுபாட்டின் பொருட்டு எஸ் 2மக்கள்தொகை மாறுபாட்டின் பாரபட்சமற்ற மதிப்பீடாக மாறியது σ 2, மாதிரி மாறுபாட்டின் வகுத்தல் சமமாக அமைக்கப்பட வேண்டும் n – 1 , இல்லை n. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், மக்கள்தொகை மாறுபாடு என்பது சாத்தியமான அனைத்து மாதிரி மாறுபாடுகளின் சராசரியாகும்.

மக்கள்தொகை அளவுருக்களை மதிப்பிடும்போது, ​​மாதிரி புள்ளிவிவரங்கள் போன்றவற்றை மனதில் கொள்ள வேண்டும் , குறிப்பிட்ட மாதிரிகள் சார்ந்தது. இந்த உண்மையை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ள, பெற இடைவெளி மதிப்பீடுபொது மக்களின் கணித எதிர்பார்ப்பு, மாதிரி வழிமுறைகளின் விநியோகத்தை பகுப்பாய்வு செய்யுங்கள் (மேலும் விவரங்களுக்கு, பார்க்கவும்). கட்டப்பட்ட இடைவெளியானது ஒரு குறிப்பிட்ட நம்பிக்கை நிலையால் வகைப்படுத்தப்படுகிறது, இது உண்மையான மக்கள்தொகை அளவுரு சரியாக மதிப்பிடப்பட்ட நிகழ்தகவைக் குறிக்கிறது. ஒரு குணாதிசயத்தின் விகிதத்தை மதிப்பிடுவதற்கு இதே போன்ற நம்பிக்கை இடைவெளிகளைப் பயன்படுத்தலாம் ஆர்மற்றும் மக்கள்தொகையின் முக்கிய விநியோகிக்கப்பட்டது.

குறிப்பைப் பதிவிறக்கவும் அல்லது வடிவத்தில், எடுத்துக்காட்டுகள் வடிவத்தில்

அறியப்பட்ட நிலையான விலகலுடன் மக்கள்தொகையின் கணித எதிர்பார்ப்புக்கான நம்பிக்கை இடைவெளியை உருவாக்குதல்

மக்கள்தொகையில் ஒரு குணாதிசயத்தின் பங்கிற்கான நம்பிக்கை இடைவெளியை உருவாக்குதல்

இந்த பிரிவு நம்பிக்கை இடைவெளியின் கருத்தை வகைப்படுத்தப்பட்ட தரவுகளுக்கு விரிவுபடுத்துகிறது. இது மக்கள்தொகையில் உள்ள பண்புகளின் பங்கை மதிப்பிட அனுமதிக்கிறது ஆர்மாதிரி பகிர்வைப் பயன்படுத்துதல் ஆர்எஸ்= X/n. குறிப்பிட்டுள்ளபடி, அளவுகள் என்றால் nஆர்மற்றும் n(1 - ப)எண் 5 ஐ விட அதிகமாக, இருவகைப் பரவல்சாதாரணமாக தோராயமாக மதிப்பிடலாம். எனவே, மக்கள்தொகையில் ஒரு குணாதிசயத்தின் பங்கை மதிப்பிடுவதற்கு ஆர்நம்பிக்கை நிலை சமமாக இருக்கும் ஒரு இடைவெளியை உருவாக்க முடியும் (1 – α)x100%.

எங்கே பஎஸ்- பண்பின் மாதிரி விகிதம் சமம் X/n, அதாவது வெற்றிகளின் எண்ணிக்கை மாதிரி அளவு மூலம் வகுக்கப்படுகிறது, ஆர்- பொது மக்களில் பண்புகளின் பங்கு, Z- தரப்படுத்தப்பட்ட இயல்பான விநியோகத்தின் முக்கிய மதிப்பு, n- மாதிரி அளவு.

எடுத்துக்காட்டு 3.கடந்த மாதத்தில் நிரப்பப்பட்ட 100 இன்வாய்ஸ்களைக் கொண்ட மாதிரி தகவல் அமைப்பிலிருந்து பிரித்தெடுக்கப்பட்டது என்று வைத்துக்கொள்வோம். இதில் 10 இன்வாய்ஸ்கள் பிழைகளுடன் தொகுக்கப்பட்டவை என்று வைத்துக் கொள்வோம். இவ்வாறு, ஆர்= 10/100 = 0.1. 95% நம்பிக்கை நிலை முக்கியமான மதிப்பு Z = 1.96 க்கு ஒத்திருக்கிறது.

எனவே, 4.12% மற்றும் 15.88% இன்வாய்ஸ்களில் பிழைகள் இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு 95% ஆகும்.

கொடுக்கப்பட்ட மாதிரி அளவுக்கு நம்பிக்கை இடைவெளி, மக்கள்தொகையில் உள்ள குணாதிசயத்தின் விகிதத்தைக் கொண்டிருக்கும், தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியைக் காட்டிலும் பரந்ததாகத் தோன்றுகிறது. ஏனென்றால், தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியின் அளவீடுகள் வகைப்படுத்தப்பட்ட தரவுகளின் அளவீடுகளை விட அதிகமான தகவல்களைக் கொண்டிருக்கும். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், இரண்டு மதிப்புகளை மட்டுமே எடுக்கும் வகைப்படுத்தப்பட்ட தரவு அவற்றின் விநியோகத்தின் அளவுருக்களை மதிப்பிடுவதற்கு போதுமான தகவலைக் கொண்டிருக்கவில்லை.

INவரையறுக்கப்பட்ட மக்கள்தொகையிலிருந்து பிரித்தெடுக்கப்பட்ட மதிப்பீடுகளைக் கணக்கிடுதல்

கணித எதிர்பார்ப்பு மதிப்பீடு.இறுதி மக்கள்தொகைக்கான திருத்தக் காரணி ( fpc) ஒரு காரணி மூலம் நிலையான பிழையை குறைக்க பயன்படுத்தப்பட்டது. மக்கள் தொகை அளவுரு மதிப்பீடுகளுக்கான நம்பிக்கை இடைவெளிகளைக் கணக்கிடும் போது, ​​மாதிரிகள் திரும்பப் பெறப்படாமல் வரையப்படும் சூழ்நிலைகளில் ஒரு திருத்தக் காரணி பயன்படுத்தப்படுகிறது. எனவே, கணித எதிர்பார்ப்புக்கான நம்பிக்கை இடைவெளி சமமான நம்பிக்கை அளவைக் கொண்டுள்ளது (1 – α)x100%, சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது:

எடுத்துக்காட்டு 4.வரையறுக்கப்பட்ட மக்கள்தொகைக்கான திருத்தக் காரணியின் பயன்பாட்டை விளக்குவதற்கு, எடுத்துக்காட்டு 3 இல் மேலே விவாதிக்கப்பட்ட விலைப்பட்டியல்களின் சராசரி அளவுக்கான நம்பிக்கை இடைவெளியைக் கணக்கிடுவதில் உள்ள சிக்கலுக்குத் திரும்புவோம். ஒரு நிறுவனம் மாதத்திற்கு 5,000 இன்வாய்ஸ்களை வெளியிடுகிறது என்று வைத்துக்கொள்வோம். X̅=110.27 டாலர்கள், எஸ்= $28.95 என் = 5000, n = 100, α = 0.05, t 99 = 1.9842. சூத்திரம் (6) ஐப் பயன்படுத்தி நாம் பெறுகிறோம்:

ஒரு அம்சத்தின் பங்கின் மதிப்பீடு.திரும்பப் பெறாமல் தேர்ந்தெடுக்கும் போது, ​​பண்பின் விகிதத்திற்கான நம்பிக்கை இடைவெளிக்கு சமமான நம்பிக்கை நிலை உள்ளது (1 – α)x100%, சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது:

நம்பிக்கை இடைவெளிகள் மற்றும் நெறிமுறை சிக்கல்கள்

மக்கள்தொகையை மாதிரியாக்கி புள்ளியியல் முடிவுகளை எடுக்கும்போது, ​​நெறிமுறை சிக்கல்கள் அடிக்கடி எழுகின்றன. நம்பிக்கை இடைவெளிகள் மற்றும் புள்ளி மதிப்பீடுகள் எவ்வாறு ஒத்துக்கொள்கின்றன என்பது முக்கியமானது மாதிரி புள்ளிவிவரங்கள். தொடர்புடைய நம்பிக்கை இடைவெளிகளைக் குறிப்பிடாமல் புள்ளி மதிப்பீடுகளை வெளியிடுவது (பொதுவாக 95% நம்பிக்கை மட்டத்தில்) மற்றும் அவை பெறப்பட்ட மாதிரி அளவு குழப்பத்தை உருவாக்கலாம். மொத்த மக்கள்தொகையின் பண்புகளை கணிக்க, புள்ளி மதிப்பீடு சரியாக இருக்கும் என்ற எண்ணத்தை இது பயனருக்கு அளிக்கலாம். எனவே, எந்தவொரு ஆராய்ச்சியிலும் புள்ளி மதிப்பீடுகளில் கவனம் செலுத்தாமல், இடைவெளி மதிப்பீடுகளில் கவனம் செலுத்த வேண்டும் என்பதை புரிந்து கொள்ள வேண்டும். கூடுதலாக, சிறப்பு கவனம் செலுத்தப்பட வேண்டும் சரியான தேர்வுமாதிரி அளவுகள்.

பெரும்பாலும், புள்ளிவிவர கையாளுதலின் பொருள்கள் சில அரசியல் பிரச்சினைகளில் மக்கள்தொகையின் சமூகவியல் ஆய்வுகளின் முடிவுகளாகும். அதே நேரத்தில், கணக்கெடுப்பு முடிவுகள் செய்தித்தாள்களின் முதல் பக்கங்களுக்கு கொண்டு வரப்படுகின்றன, மேலும் மாதிரி பிழை மற்றும் முறை புள்ளியியல் பகுப்பாய்வுநடுவில் எங்கோ அச்சிடப்பட்டது. பெறப்பட்ட புள்ளி மதிப்பீடுகளின் செல்லுபடியை நிரூபிக்க, அவை பெறப்பட்ட மாதிரி அளவு, நம்பிக்கை இடைவெளியின் எல்லைகள் மற்றும் அதன் முக்கியத்துவத்தின் நிலை ஆகியவற்றைக் குறிப்பிடுவது அவசியம்.

அடுத்த குறிப்பு

லெவின் மற்றும் பலர் மேலாளர்களுக்கான புள்ளி விவரங்கள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. – எம்.: வில்லியம்ஸ், 2004. – ப. 448–462

மத்திய வரம்பு தேற்றம்போதுமான பெரிய மாதிரி அளவுடன், கருவிகளின் மாதிரி விநியோகத்தை ஒரு சாதாரண விநியோகம் மூலம் தோராயமாக மதிப்பிட முடியும் என்று கூறுகிறது. இந்த சொத்து மக்கள்தொகையின் விநியோக வகையைச் சார்ந்தது அல்ல.

கணித எதிர்பார்ப்புக்கான நம்பிக்கை இடைவெளி - இது அறியப்பட்ட நிகழ்தகவுடன் கொண்டிருக்கும் தரவுகளிலிருந்து கணக்கிடப்பட்ட இடைவெளியாகும் கணித எதிர்பார்ப்புபொது மக்கள். கணித எதிர்பார்ப்புக்கான இயற்கையான மதிப்பீடு அதன் கவனிக்கப்பட்ட மதிப்புகளின் எண்கணித சராசரி ஆகும். எனவே, பாடம் முழுவதும் "சராசரி" மற்றும் "சராசரி மதிப்பு" என்ற சொற்களைப் பயன்படுத்துவோம். நம்பக இடைவெளியைக் கணக்கிடுவதில் உள்ள சிக்கல்களில், "சராசரி எண்ணின் நம்பக இடைவெளி [ஒரு குறிப்பிட்ட சிக்கலில்] [சிறிய மதிப்பிலிருந்து] [பெரிய மதிப்பு] வரை இருக்கும்" என்பது போன்ற பதில் பெரும்பாலும் தேவைப்படுகிறது. நம்பிக்கை இடைவெளியைப் பயன்படுத்தி, நீங்கள் சராசரி மதிப்புகளை மட்டுமல்ல, பொது மக்களின் ஒரு குறிப்பிட்ட பண்புகளின் விகிதத்தையும் மதிப்பீடு செய்யலாம். சராசரி, மாறுபாடு, நிலையான விலகல்புதிய வரையறைகள் மற்றும் சூத்திரங்களை நாம் அடையும் பிழைகள் பாடத்தில் விவாதிக்கப்படுகின்றன மாதிரி மற்றும் மக்கள்தொகையின் பண்புகள் .

சராசரியின் புள்ளி மற்றும் இடைவெளி மதிப்பீடுகள்

மக்கள்தொகையின் சராசரி மதிப்பு ஒரு எண்ணால் (புள்ளி) மதிப்பிடப்பட்டால், ஒரு குறிப்பிட்ட சராசரி, அவதானிப்புகளின் மாதிரியிலிருந்து கணக்கிடப்படுகிறது, இது மக்கள்தொகையின் அறியப்படாத சராசரி மதிப்பின் மதிப்பீடாக எடுத்துக் கொள்ளப்படுகிறது. இந்த வழக்கில், மாதிரி சராசரியின் மதிப்பு - ஒரு சீரற்ற மாறி - பொது மக்களின் சராசரி மதிப்புடன் ஒத்துப்போவதில்லை. எனவே, மாதிரி சராசரியைக் குறிக்கும் போது, ​​நீங்கள் ஒரே நேரத்தில் மாதிரி பிழையைக் குறிப்பிட வேண்டும். மாதிரி பிழையின் அளவுகோல் நிலையான பிழை, இது சராசரியாக அதே அலகுகளில் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது. எனவே, பின்வரும் குறியீடு பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படுகிறது:

சராசரியின் மதிப்பீடு ஒரு குறிப்பிட்ட நிகழ்தகவுடன் தொடர்புடையதாக இருக்க வேண்டும் என்றால், மக்கள்தொகையில் ஆர்வத்தின் அளவுரு ஒரு எண்ணால் அல்ல, ஆனால் ஒரு இடைவெளியால் மதிப்பிடப்பட வேண்டும். நம்பிக்கை இடைவெளி என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட நிகழ்தகவு கொண்ட ஒரு இடைவெளி பிமதிப்பிடப்பட்ட மக்கள்தொகை காட்டி மதிப்பு காணப்படுகிறது. அது சாத்தியமான நம்பிக்கை இடைவெளி பி = 1 - α சீரற்ற மாறி காணப்படுகிறது, பின்வருமாறு கணக்கிடப்படுகிறது:

,

α = 1 - பி, இது புள்ளிவிவரங்கள் பற்றிய எந்தவொரு புத்தகத்தின் பின்னிணைப்பில் காணலாம்.

நடைமுறையில், மக்கள்தொகை சராசரி மற்றும் மாறுபாடு தெரியவில்லை, எனவே மக்கள்தொகை மாறுபாடு மாதிரி மாறுபாட்டால் மாற்றப்படுகிறது, மேலும் மக்கள் தொகை மாதிரி சராசரியால் மாற்றப்படுகிறது. எனவே, பெரும்பாலான சந்தர்ப்பங்களில் நம்பிக்கை இடைவெளி பின்வருமாறு கணக்கிடப்படுகிறது:

.

நம்பக இடைவெளி சூத்திரம் என்றால் மக்கள்தொகை சராசரியை மதிப்பிடுவதற்கு பயன்படுத்தப்படலாம்

• மக்கள்தொகையின் நிலையான விலகல் அறியப்படுகிறது;
• அல்லது மக்கள்தொகையின் நிலையான விலகல் தெரியவில்லை, ஆனால் மாதிரி அளவு 30 ஐ விட அதிகமாக உள்ளது.

மாதிரி சராசரி என்பது மக்கள்தொகை சராசரியின் பாரபட்சமற்ற மதிப்பீடாகும். இதையொட்டி, மாதிரி மாறுபாடு மக்கள்தொகை மாறுபாட்டின் பாரபட்சமற்ற மதிப்பீடு அல்ல. மாதிரி மாறுபாடு சூத்திரத்தில், மாதிரி அளவு, மக்கள் தொகை மாறுபாட்டின் நடுநிலை மதிப்பீட்டைப் பெற nமூலம் மாற்றப்பட வேண்டும் n-1.

எடுத்துக்காட்டு 1.ஒரு குறிப்பிட்ட நகரத்தில் தோராயமாக தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட 100 கஃபேக்களில் இருந்து சராசரியாக 10.5 ஊழியர்களின் எண்ணிக்கை 4.6 என்ற நிலையான விலகலுடன் இருப்பதாக தகவல் சேகரிக்கப்பட்டது. கஃபே ஊழியர்களின் எண்ணிக்கையில் 95% நம்பிக்கை இடைவெளியைத் தீர்மானிக்கவும்.

முக்கியத்துவ நிலைக்கான நிலையான இயல்பான விநியோகத்தின் முக்கியமான மதிப்பு எங்கே α = 0,05 .

எனவே, சராசரியாக ஓட்டல் ஊழியர்களின் எண்ணிக்கையில் 95% நம்பிக்கை இடைவெளி 9.6 முதல் 11.4 வரை இருந்தது.

எடுத்துக்காட்டு 2. 64 அவதானிப்புகளின் மக்கள்தொகையிலிருந்து ஒரு சீரற்ற மாதிரிக்கு, பின்வரும் மொத்த மதிப்புகள் கணக்கிடப்பட்டன:

அவதானிப்புகளில் உள்ள மதிப்புகளின் கூட்டுத்தொகை,

சராசரியிலிருந்து மதிப்புகளின் வர்க்க விலகல்களின் கூட்டுத்தொகை .

கணித எதிர்பார்ப்புக்கான 95% நம்பிக்கை இடைவெளியைக் கணக்கிடவும்.

நிலையான விலகலைக் கணக்கிடுவோம்:

,

சராசரி மதிப்பைக் கணக்கிடுவோம்:

.

நம்பிக்கை இடைவெளிக்கான வெளிப்பாட்டில் மதிப்புகளை மாற்றுகிறோம்:

முக்கியத்துவ நிலைக்கான நிலையான இயல்பான விநியோகத்தின் முக்கியமான மதிப்பு எங்கே α = 0,05 .

நாங்கள் பெறுகிறோம்:

எனவே, இந்த மாதிரியின் கணித எதிர்பார்ப்புக்கான 95% நம்பிக்கை இடைவெளி 7.484 முதல் 11.266 வரை இருந்தது.

எடுத்துக்காட்டு 3. 100 அவதானிப்புகளின் சீரற்ற மக்கள்தொகை மாதிரிக்கு, கணக்கிடப்பட்ட சராசரி 15.2 மற்றும் நிலையான விலகல் 3.2 ஆகும். எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்பிற்கான 95% நம்பிக்கை இடைவெளியைக் கணக்கிடவும், பின்னர் 99% நம்பிக்கை இடைவெளியைக் கணக்கிடவும். மாதிரி சக்தியும் அதன் மாறுபாடும் மாறாமல், நம்பிக்கைக் குணகம் அதிகரித்தால், நம்பிக்கை இடைவெளி குறுகுமா அல்லது விரிவடையும்?

இந்த மதிப்புகளை நம்பிக்கை இடைவெளிக்கான வெளிப்பாடாக மாற்றுகிறோம்:

முக்கியத்துவ நிலைக்கான நிலையான இயல்பான விநியோகத்தின் முக்கியமான மதிப்பு எங்கே α = 0,05 .

நாங்கள் பெறுகிறோம்:

.

எனவே, இந்த மாதிரியின் சராசரிக்கான 95% நம்பிக்கை இடைவெளி 14.57 முதல் 15.82 வரை இருந்தது.

நம்பிக்கை இடைவெளிக்கான வெளிப்பாடாக இந்த மதிப்புகளை மீண்டும் மாற்றுகிறோம்:

முக்கியத்துவ நிலைக்கான நிலையான இயல்பான விநியோகத்தின் முக்கியமான மதிப்பு எங்கே α = 0,01 .

நாங்கள் பெறுகிறோம்:

.

எனவே, இந்த மாதிரியின் சராசரிக்கான 99% நம்பிக்கை இடைவெளி 14.37 முதல் 16.02 வரை இருந்தது.

நாம் பார்ப்பது போல், நம்பிக்கைக் குணகம் அதிகரிக்கும் போது, ​​நிலையான இயல்பான விநியோகத்தின் முக்கிய மதிப்பும் அதிகரிக்கிறது, இதன் விளைவாக, இடைவெளியின் தொடக்க மற்றும் முடிவு புள்ளிகள் சராசரியிலிருந்து மேலும் அமைந்துள்ளன, இதனால் கணித எதிர்பார்ப்புக்கான நம்பிக்கை இடைவெளி அதிகரிக்கிறது. .

குறிப்பிட்ட ஈர்ப்பு விசையின் புள்ளி மற்றும் இடைவெளி மதிப்பீடுகள்

சில மாதிரி பண்புகளின் பங்கை இவ்வாறு விளக்கலாம் புள்ளி மதிப்பீடுகுறிப்பிட்ட ஈர்ப்பு பபொது மக்களில் அதே பண்பு. இந்த மதிப்பு நிகழ்தகவுடன் தொடர்புடையதாக இருக்க வேண்டும் என்றால், குறிப்பிட்ட ஈர்ப்பு விசையின் நம்பக இடைவெளி கணக்கிடப்பட வேண்டும். பநிகழ்தகவு கொண்ட மக்கள்தொகையில் சிறப்பியல்பு பி = 1 - α :

.

எடுத்துக்காட்டு 4.சில நகரங்களில் இரண்டு வேட்பாளர்கள் உள்ளனர் ஏமற்றும் பிமேயர் பதவிக்கு போட்டியிடுகின்றனர். 200 நகரவாசிகள் தோராயமாக கணக்கெடுக்கப்பட்டனர், அதில் 46% பேர் வேட்பாளருக்கு வாக்களிப்பதாக பதிலளித்தனர். ஏ, 26% - வேட்பாளருக்கு பிமேலும் 28% பேர் யாருக்கு வாக்களிப்போம் என்று தெரியவில்லை. வேட்பாளரை ஆதரிக்கும் நகரவாசிகளின் விகிதத்திற்கு 95% நம்பிக்கை இடைவெளியைத் தீர்மானிக்கவும் ஏ.

CB X ஒரு பொது மக்கள்தொகையை உருவாக்கி, β அறியப்படாத அளவுரு CB X ஆக இருக்கட்டும். * இல் உள்ள புள்ளிவிவர மதிப்பீடு சீராக இருந்தால், மாதிரி அளவு பெரியதாக இருந்தால், β இன் மதிப்பை மிகத் துல்லியமாகப் பெறுவோம். இருப்பினும், நடைமுறையில், எங்களிடம் மிகப் பெரிய மாதிரிகள் இல்லை, எனவே அதிக துல்லியத்திற்கு உத்தரவாதம் அளிக்க முடியாது.

b* என்பது cக்கான புள்ளிவிவர மதிப்பீடாக இருக்கட்டும். மதிப்பு |in* - in| கணிப்பு துல்லியம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. β* ஒரு சீரற்ற மாறி என்பதால், துல்லியம் CB என்பது தெளிவாகிறது. ஒரு சிறிய அமைப்போம் நேர்மறை எண் 8 மற்றும் மதிப்பீட்டின் துல்லியம் |в* - в| 8 க்கும் குறைவாக இருந்தது, அதாவது | in* - in |< 8.

நம்பகத்தன்மை g அல்லது நம்பிக்கை நிகழ்தகவு in by in * என்பது நிகழ்தகவு g ஆகும், இதில் சமத்துவமின்மை |in * - in|< 8, т. е.

பொதுவாக, நம்பகத்தன்மை g முன்கூட்டியே குறிப்பிடப்படுகிறது, மேலும் g என்பது 1 (0.9; 0.95; 0.99; ...) க்கு நெருக்கமான எண்ணாக எடுத்துக்கொள்ளப்படுகிறது.

சமத்துவமின்மை இருந்து |in * - in|< S равносильно двойному неравенству в* - S < в < в* + 8, то получаем:

இடைவெளி (* - 8 இல், * + 5 இல்) நம்பிக்கை இடைவெளி என்று அழைக்கப்படுகிறது, அதாவது நம்பிக்கை இடைவெளியானது நிகழ்தகவு y உடன் தெரியாத அளவுருவை உள்ளடக்கியது. நம்பிக்கை இடைவெளியின் முனைகள் சீரற்றவை மற்றும் மாதிரியிலிருந்து மாதிரிக்கு மாறுபடும் என்பதை நினைவில் கொள்ளவும், எனவே இடைவெளி (* - 8 இல், * + 8 இல்) உள்ள அறியப்படாத அளவுருவை உள்ளடக்கியது என்று கூறுவது மிகவும் துல்லியமானது. இடைவெளி.

விடுங்கள் மக்கள் தொகைஒரு சீரற்ற மாறி X மூலம் வழங்கப்படுகிறது, இது ஒரு சாதாரண சட்டத்தின் படி விநியோகிக்கப்படுகிறது, மற்றும் சராசரி நிலையான விலகல்ஆனால் அது அறியப்படுகிறது. தெரியாதது கணித எதிர்பார்ப்பு a = M (X). கொடுக்கப்பட்ட நம்பகத்தன்மை y க்கான நம்பக இடைவெளியைக் கண்டறிவது அவசியம்.

மாதிரி அர்த்தம்

xr = a க்கான புள்ளிவிவர மதிப்பீடு.

தேற்றம். சீரற்ற மாறி X ஒரு சாதாரண விநியோகம் மற்றும் M(XB) = a, எனில் xB க்கு இயல்பான விநியோகம் இருக்கும்.

A (XB) = a, அங்கு a = y/B (X), a = M (X). l/i

ஒருக்கான நம்பிக்கை இடைவெளி வடிவம் கொண்டது:

8ஐக் காண்கிறோம்.

விகிதத்தைப் பயன்படுத்துதல்

Ф(r) என்பது Laplace செயல்பாடாக இருந்தால், எங்களிடம் உள்ளது:

பி ( | XB - a |<8} = 2Ф

Laplace செயல்பாட்டின் மதிப்புகளின் அட்டவணை t இன் மதிப்பைக் காண்கிறோம்.

நியமிக்கப்பட்ட நிலையில்

T, நாம் F(t) = g ஐப் பெறுகிறோம், ஏனெனில் g கொடுக்கப்பட்டதால், பின்னர்

சமத்துவத்தில் இருந்து மதிப்பீடு துல்லியமானது என்பதைக் காண்கிறோம்.

இதன் பொருள், ஒருக்கான நம்பிக்கை இடைவெளியில் வடிவம் உள்ளது:

X மக்கள்தொகையிலிருந்து ஒரு மாதிரி கொடுக்கப்பட்டது

n = U1 + ... + nm, பின் நம்பக இடைவெளி:

எடுத்துக்காட்டு 6.35. மாதிரி சராசரி Xb = 10.43, மாதிரி அளவு n = 100 மற்றும் நிலையான விலகல் s = 5 ஆகியவற்றை அறிந்து, 0.95 நம்பகத்தன்மையுடன் சாதாரண விநியோகத்தின் கணித எதிர்பார்ப்பு a ஐ மதிப்பிடுவதற்கான நம்பிக்கை இடைவெளியைக் கண்டறியவும்.

சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவோம்

ஒரு சீரற்ற மாறி (பொது மக்கள்தொகையைப் பற்றி பேசலாம்) ஒரு சாதாரண சட்டத்தின்படி விநியோகிக்கப்படட்டும், இதற்கு மாறுபாடு D = 2 (> 0) அறியப்படுகிறது. பொது மக்களிடமிருந்து (ஒரு சீரற்ற மாறி தீர்மானிக்கப்படும் பொருள்களின் தொகுப்பில்), அளவு n மாதிரி செய்யப்படுகிறது. மாதிரி x 1 , x 2 ,..., x n என்பது n சார்பற்ற சீரற்ற மாறிகளின் தொகுப்பாகக் கருதப்படுகிறது (உரையில் மேலே விவரிக்கப்பட்ட அணுகுமுறை).

பின்வரும் சமத்துவங்களும் முன்னர் விவாதிக்கப்பட்டு நிரூபிக்கப்பட்டன:

Mx 1 = Mx 2 = ... = Mx n = M;

Dx 1 = Dx 2 = ... = Dx n = D;

இந்த வழக்கில் சீரற்ற மாறியும் சாதாரண சட்டத்தின்படி விநியோகிக்கப்படுகிறது என்பதை எளிமையாக நிரூபித்தாலே போதும் (ஆதாரத்தைத் தவிர்க்கிறோம்).

அறியப்படாத M ஐ a ஆல் குறிப்போம் மற்றும் கொடுக்கப்பட்ட நம்பகத்தன்மையின் அடிப்படையில், d > 0 என்ற எண்ணைத் தேர்ந்தெடுக்கவும், இதனால் நிபந்தனை திருப்தி அடையும்:

பி(- ஏ< d) = (1)

கணித எதிர்பார்ப்பு M = M = a மற்றும் மாறுபாடு D = D / n = 2 /n ஆகியவற்றுடன் சாதாரண சட்டத்தின் படி சீரற்ற மாறி விநியோகிக்கப்படுவதால், நாம் பெறுகிறோம்:

பி(- ஏ< d) =P(a - d < < a + d) =

சமத்துவத்தை நிலைநிறுத்தக்கூடிய d ஐத் தேர்ந்தெடுப்பது உள்ளது

எவருக்கும், டேபிளைப் பயன்படுத்தி t எண்ணைக் கண்டறியலாம் (t)= / 2. இந்த எண் t சில நேரங்களில் அழைக்கப்படுகிறது அளவு.

இப்போது சமத்துவத்திலிருந்து

d இன் மதிப்பை நிர்ணயிப்போம்:

படிவத்தில் சூத்திரத்தை (1) வழங்குவதன் மூலம் இறுதி முடிவைப் பெறுகிறோம்:

கடைசி சூத்திரத்தின் பொருள் பின்வருமாறு: நம்பகத்தன்மையுடன், நம்பிக்கை இடைவெளி

மக்கள்தொகையின் அறியப்படாத அளவுரு a = M ஐ உள்ளடக்கியது. நாம் வேறுவிதமாகக் கூறலாம்: புள்ளி மதிப்பீடு M அளவுருவின் மதிப்பை துல்லியமாக d= t / மற்றும் நம்பகத்தன்மையுடன் தீர்மானிக்கிறது.

பணி. 6.25 க்கு சமமான மாறுபாட்டுடன் ஒரு சாதாரண சட்டத்தின்படி விநியோகிக்கப்படும் ஒரு குறிப்பிட்ட பண்புடன் ஒரு பொது மக்கள் இருக்கட்டும். ஒரு மாதிரி அளவு n = 27 எடுக்கப்பட்டது மற்றும் குணாதிசயத்தின் சராசரி மாதிரி மதிப்பு பெறப்பட்டது = 12. நம்பகத்தன்மை = 0.99 உடன் பொது மக்களின் ஆய்வு பண்பின் அறியப்படாத கணித எதிர்பார்ப்புகளை உள்ளடக்கிய நம்பிக்கை இடைவெளியைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு. முதலில், லாப்லேஸ் செயல்பாட்டிற்கான அட்டவணையைப் பயன்படுத்தி, சமத்துவம் (t) =/ 2 = 0.495 இலிருந்து t இன் மதிப்பைக் காண்கிறோம். பெறப்பட்ட மதிப்பின் அடிப்படையில் t = 2.58, மதிப்பீட்டின் துல்லியத்தை நாங்கள் தீர்மானிக்கிறோம் (அல்லது நம்பக இடைவெளியின் பாதி நீளம்) d: d = 2.52.58 / 1.24. இங்கிருந்து நாம் விரும்பிய நம்பிக்கை இடைவெளியைப் பெறுகிறோம்: (10.76; 13.24).

புள்ளிவிவர கருதுகோள் பொதுவான மாறுபாடு

அறியப்படாத மாறுபாட்டுடன் கூடிய சாதாரண விநியோகத்தின் கணித எதிர்பார்ப்புக்கான நம்பிக்கை இடைவெளி

அறியப்படாத கணித எதிர்பார்ப்பு M உடன் ஒரு சாதாரண சட்டத்தின்படி விநியோகிக்கப்படும் சீரற்ற மாறியாக இருக்கட்டும், இதை நாம் a என்ற எழுத்தால் குறிப்பிடுகிறோம். தொகுதி n மாதிரியை உருவாக்குவோம். அறியப்பட்ட சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி சராசரி மாதிரி மற்றும் சரி செய்யப்பட்ட மாதிரி மாறுபாடுகள் s 2 ஐ தீர்மானிப்போம்.

சீரற்ற மாறி

n - 1 டிகிரி சுதந்திரத்துடன் மாணவர் சட்டத்தின்படி விநியோகிக்கப்படுகிறது.

கொடுக்கப்பட்ட நம்பகத்தன்மைக்கு t என்ற எண்ணையும், சுதந்திரத்தின் அளவு n - 1ஐயும் கண்டுபிடிப்பதே பணியாகும்.

அல்லது சமமான சமத்துவம்

இங்கே அடைப்புக்குறிக்குள் தெரியாத அளவுரு a இன் மதிப்பு ஒரு குறிப்பிட்ட இடைவெளிக்கு சொந்தமானது என்ற நிபந்தனை எழுதப்பட்டுள்ளது, இது நம்பிக்கை இடைவெளி. அதன் வரம்புகள் நம்பகத்தன்மை மற்றும் மாதிரி அளவுருக்கள் மற்றும் s ஆகியவற்றைப் பொறுத்தது.

t இன் மதிப்பை அளவு மூலம் தீர்மானிக்க, சமத்துவத்தை (2) வடிவத்திற்கு மாற்றுகிறோம்:

இப்போது, ​​மாணவர் சட்டத்தின்படி விநியோகிக்கப்படும் சீரற்ற மாறி t க்கான அட்டவணையைப் பயன்படுத்தி, நிகழ்தகவு 1 - மற்றும் சுதந்திரத்தின் டிகிரி எண்ணிக்கை n - 1 ஆகியவற்றைப் பயன்படுத்தி, t ஐக் காணலாம். சூத்திரம் (3) முன்வைக்கப்பட்ட பிரச்சனைக்கான பதிலை அளிக்கிறது.

பணி. 20 மின் விளக்குகளின் கட்டுப்பாட்டு சோதனைகளில், அவற்றின் செயல்பாட்டின் சராசரி கால அளவு 2000 மணிநேரத்திற்கு சமமான நிலையான விலகல் (சரிசெய்யப்பட்ட மாதிரி மாறுபாட்டின் வர்க்க மூலமாக கணக்கிடப்படுகிறது) 11 மணிநேரத்திற்கு சமமாக இருந்தது. ஒரு விளக்கின் இயக்க நேரம் பொதுவாக விநியோகிக்கப்படும் சீரற்ற மாறி என்று அறியப்படுகிறது. இந்த சீரற்ற மாறியின் கணித எதிர்பார்ப்புக்கு 0.95 நம்பகத்தன்மையுடன் ஒரு நம்பிக்கை இடைவெளியைத் தீர்மானிக்கவும்.

தீர்வு. மதிப்பு 1 - இந்த வழக்கில் 0.05 க்கு சமம். மாணவர் விநியோக அட்டவணையின்படி, சுதந்திரத்தின் டிகிரி எண்ணிக்கை 19 க்கு சமமாக, நாம் காண்கிறோம்: t = 2.093. மதிப்பீட்டின் துல்லியத்தை இப்போது கணக்கிடுவோம்: 2.093121/ = 56.6. இங்கிருந்து நாம் தேவையான நம்பிக்கை இடைவெளியைப் பெறுகிறோம்: (1943.4; 2056.6).

தொடங்குவதற்கு, பின்வரும் வரையறையை நினைவுபடுத்தவும்:

பின்வரும் சூழ்நிலையை கருத்தில் கொள்வோம். மக்கள்தொகை மாறுபாடுகள் கணித எதிர்பார்ப்பு $a$ மற்றும் நிலையான விலகல் $\sigma$ உடன் இயல்பான பரவலைக் கொண்டிருக்கட்டும். இந்த வழக்கில் மாதிரி சராசரி ஒரு சீரற்ற மாறியாகக் கருதப்படும். $X$ அளவு பொதுவாக விநியோகிக்கப்படும் போது, ​​மாதிரி சராசரியும் பொதுவாக அளவுருக்களுடன் விநியோகிக்கப்படும்

$\gamma $ நம்பகத்தன்மையுடன் $a$ மதிப்பை உள்ளடக்கிய ஒரு நம்பிக்கை இடைவெளியைக் கண்டுபிடிப்போம்.

இதைச் செய்ய, எங்களுக்கு சமத்துவம் தேவை

அதிலிருந்து நாம் பெறுகிறோம்

இங்கிருந்து, செயல்பாட்டு மதிப்புகளின் அட்டவணையில் இருந்து $t$ ஐ எளிதாகக் கண்டறியலாம் $Ф\இடது(t\வலது)$ மற்றும், அதன் விளைவாக, $\delta $ஐக் கண்டறியலாம்.

$Ф\left(t\right)$ செயல்பாட்டின் மதிப்புகளின் அட்டவணையை நினைவுபடுத்துவோம்:

படம் 1. செயல்பாட்டு மதிப்புகளின் அட்டவணை $Ф\இடது(t\வலது).$

அறியப்படாத $(\mathbf \sigma )$க்கான கணித எதிர்பார்ப்பை மதிப்பிடுவதற்கான நம்பிக்கை ஒருங்கிணைப்பு

இந்த வழக்கில், சரி செய்யப்பட்ட மாறுபாடு மதிப்பான $S^2$ ஐப் பயன்படுத்துவோம். மேலே உள்ள சூத்திரத்தில் $\sigma $ ஐ $S$ உடன் மாற்றினால், நாம் பெறுகிறோம்:

நம்பிக்கை இடைவெளியைக் கண்டறிவதற்கான எடுத்துக்காட்டுச் சிக்கல்கள்

எடுத்துக்காட்டு 1

$\sigma =4$ என்ற மாறுபாட்டுடன் $X$ அளவு சாதாரண விநியோகத்தைக் கொண்டிருக்கட்டும். மாதிரி அளவு $n=64$ ஆகவும், நம்பகத்தன்மை $\gamma =0.95$ ஆகவும் இருக்கட்டும். இந்த விநியோகத்தின் கணித எதிர்பார்ப்பை மதிப்பிடுவதற்கான நம்பிக்கை இடைவெளியைக் கண்டறியவும்.

நாம் இடைவெளியைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் ($\overline(x)-\delta ,\overline(x)+\delta)$.

நாம் மேலே பார்த்தபடி

\[\டெல்டா =\frac(\sigma t)(\sqrt(n))=\frac(4t)(\sqrt(64))=\frac(\t)(2)\]

சூத்திரத்திலிருந்து $t$ அளவுருவைக் காண்கிறோம்

\[Ф\left(t\right)=\frac(\gamma )(2)=\frac(0.95)(2)=0.475\]

அட்டவணை 1ல் இருந்து $t=1.96$ என்று காண்கிறோம்.