ஒரு சிக்கலான மாறியின் செயல்பாடுகளை ஒருங்கிணைத்தல்

1. அடிப்படை கருத்துக்கள் மற்றும் அறிக்கைகள்

தேற்றம் 5.1(ஒரு சிக்கலான மாறியின் செயல்பாட்டின் ஒருங்கிணைப்பு இருப்பதற்கான போதுமான நிபந்தனை). விடுங்கள் எல்- ஒரு எளிய மென்மையான வளைவு, f(z)=u(எக்ஸ்;ஒய்)+i×v(எக்ஸ்;ஒய்) தொடர்ந்து உள்ளது எல். பின்னர் உள்ளது மற்றும் பின்வரும் சமத்துவம் உள்ளது:

தேற்றம் 5.2.விடுங்கள் எல்- ஒரு எளிய மென்மையான வளைவு, அளவுருவாக வரையறுக்கப்படுகிறது: எல்:z(டி)=எக்ஸ்(டி)+i×y(டி), அ£ டி£ பி, செயல்பாடு f(z) தொடர்ந்து உள்ளது எல். பின்னர் சமத்துவம் உண்மை:

(எங்கே ). (5.2)

தேற்றம் 5.3.என்றால் f(z) துறையில் பகுப்பாய்வு டிசெயல்பாடு, பின்னர் - பகுப்பாய்வு செயல்பாடு மற்றும் F"(z)=f(z), புள்ளிகளை இணைக்கும் எந்த துண்டு துண்டான மென்மையான வளைவின் மீதும் ஒருங்கிணைப்பு எடுக்கப்படுகிறது z 0 மற்றும் z.

- நியூட்டன்-லீப்னிஸ் சூத்திரம்.

2. ஒருங்கிணைப்பைக் கணக்கிடுவதற்கான முறைகள்

முதல் வழி.உண்மையான மாறிகளின் செயல்பாடுகளின் வளைவு ஒருங்கிணைப்புகளுக்குக் குறைப்பதன் மூலம் தொடர்ச்சியான செயல்பாட்டின் ஒருங்கிணைப்புகளின் கணக்கீடு (சூத்திரத்தின் பயன்பாடு (5.1)).

1. Re Find Re f=u, இம் f=v.

2. ஒருங்கிணைப்பை எழுதவும் f(z)dzஒரு தயாரிப்பு வடிவத்தில் ( u+iv)(dx+முட்டாள்தனமான)=udx-vdy+நான்(udy+vdx).

3. படிவத்தின் வளைவு ஒருங்கிணைப்புகளைக் கணக்கிடுங்கள் இரண்டாவது வகையான வளைவு ஒருங்கிணைப்புகளை கணக்கிடுவதற்கான விதிகளின்படி.

எடுத்துக்காட்டு 5.1 . கணக்கிடுங்கள் பரவளையத்தால் y=xபுள்ளியில் இருந்து 2 zபுள்ளிக்கு 1 =0 z 2 =1+நான்.

■ ஒருங்கிணைப்பின் உண்மையான மற்றும் கற்பனையான பகுதிகளைக் கண்டுபிடிப்போம். இதைச் செய்ய, அதற்கான வெளிப்பாட்டில் மாற்றுவோம் f(z) z=x+iy:

ஏனெனில் y=x 2, பின்னர் dy= 2எக்ஸ், . அதனால் தான்

இரண்டாவது வழி.வரை குறைப்பதன் மூலம் தொடர்ச்சியான செயல்பாட்டின் ஒருங்கிணைப்புகளின் கணக்கீடு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைந்தஒருங்கிணைப்பு பாதையின் அளவுரு வரையறையின் விஷயத்தில் (சூத்திரத்தின் பயன்பாடு (5.2)).

1. வளைவின் அளவுரு சமன்பாட்டை எழுதவும் z=z(டி) மற்றும் ஒருங்கிணைப்பின் வரம்புகளை தீர்மானிக்கவும்: t=aஒருங்கிணைப்பு பாதையின் தொடக்கப் புள்ளிக்கு ஒத்திருக்கிறது, t=b- இறுதி.

2. சிக்கலான மதிப்புடைய செயல்பாட்டின் வேறுபாட்டைக் கண்டறியவும் z(டி): dz=z¢( டி)dt.

3. மாற்று z(டி) ஒரு ஒருங்கிணைப்பாக, ஒருங்கிணைப்பை வடிவத்திற்கு மாற்றவும்: .

4. இதன் விளைவாக வரும் திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பைக் கணக்கிடுங்கள்.

எடுத்துக்காட்டு 5.2 . எங்கே கணக்கிடுங்கள் உடன்- ஒரு வட்டத்தின் வளைவு, .

■ இந்த வளைவின் அளவுரு சமன்பாடு: , 0 £ ஜே£ ப. பிறகு . நாம் பெறுகிறோம்

எடுத்துக்காட்டு 5.3 . எங்கே கணக்கிடுங்கள் உடன்– வழங்கப்பட்ட வட்டத்தின் மேல் வில்: a) , b) .

■ ஒருங்கிணைப்பு வளையத்தில் செயல்பாட்டு மதிப்புகளைக் குறிப்பிடுவது, வெளிப்பாட்டின் தெளிவற்ற கிளைகளைத் தேர்ந்தெடுக்க உங்களை அனுமதிக்கிறது , k= 0,1. நம்மிடம் இருந்ததிலிருந்து, k= 0.1, பின்னர் முதல் வழக்கில் நாம் கிளையைத் தேர்ந்தெடுக்கிறோம் k= 0, மற்றும் இரண்டாவது - இருந்து k= 1.

ஒருங்கிணைப்பு விளிம்பில் உள்ள ஒருங்கிணைப்பு தொடர்ச்சியாக உள்ளது. இந்த வளைவின் அளவுரு சமன்பாடு: , 0 £ ஜே£ ப. பிறகு .

a) கிளை எப்போது தீர்மானிக்கப்படுகிறது k= 0, அதாவது, நாம் பெறுவதிலிருந்து.

b) கிளை எப்போது தீர்மானிக்கப்படுகிறது கே=1, அதாவது, நாம் பெறுவதிலிருந்து .

மூன்றாவது வழி.எளிமையாக இணைக்கப்பட்ட களங்களில் பகுப்பாய்வு செயல்பாடுகளின் ஒருங்கிணைப்புகளின் கணக்கீடு (சூத்திரத்தின் பயன்பாடு (5.3)).

ஆண்டிடெரிவேட்டிவ் கண்டுபிடிக்கவும் எஃப்(z), உண்மையான பகுப்பாய்விலிருந்து அறியப்பட்ட ஒருங்கிணைப்புகள், அட்டவணை ஒருங்கிணைப்புகள் மற்றும் முறைகளின் பண்புகளைப் பயன்படுத்துதல். நியூட்டன்-லீப்னிஸ் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தவும்: .

எடுத்துக்காட்டு 5.4 . கணக்கிடுங்கள் , எங்கே உடன்- நேராக ஏபி, z ஏ=1-நான்,z வி=2+i.

■ ஒருங்கிணைந்த செயல்பாட்டிலிருந்து - முழு சிக்கலான விமானத்திலும் பகுப்பாய்வு, பின்னர் நாங்கள் நியூட்டன்-லீப்னிஸ் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்

3. ஒருங்கிணைந்த கால்குலஸின் அடிப்படைக் கோட்பாடுகள்

ஒரு சிக்கலான மாறியின் செயல்பாடுகள்

தேற்றம் 5.4 (Cauchy).என்றால் f(z ஜிசெயல்பாடு, பின்னர் எங்கே எல்- ஏதேனும் மூடிய விளிம்பு உள்ளது ஜி.

கௌச்சியின் தேற்றம் பெருக்க இணைக்கப்பட்ட பகுதிக்கும் உள்ளது.

தேற்றம் 5.5.செயல்படட்டும் f(z) எளிமையாக இணைக்கப்பட்ட டொமைனில் பகுப்பாய்வு டி, எல்- தன்னிச்சையாக மூடப்பட்ட துண்டு துண்டாக மென்மையான விளிம்பு உள்ளே கிடக்கிறது டி. பின்னர் எந்த புள்ளிக்கும் z 0 விளிம்பின் உள்ளே கிடக்கிறது எல், சூத்திரம் சரியானது:

, (5.4)

எங்கே எல்நேர்மறையான திசையில் நகர்கிறது.

ஃபார்முலா (5.4) என்று அழைக்கப்படுகிறது Cauchy ஒருங்கிணைந்த சூத்திரம் . இது ஒரு பகுப்பாய்வின் செயல்பாட்டின் மதிப்புகளை அதன் விளிம்பில் உள்ள மதிப்புகள் மூலம் வெளிப்படுத்துகிறது.

தேற்றம் 5.6.ஒவ்வொரு செயல்பாடு f(z), துறையில் பகுப்பாய்வு டி, இந்த டொமைனில் உள்ள அனைத்து ஆர்டர்களின் வழித்தோன்றல்கள் உள்ளன, மேலும் " z 0 Î டிசூத்திரம் சரியானது:

, (5.5)

எங்கே எல்- ஒரு தன்னிச்சையான துண்டு துண்டாக மென்மையான மூடிய விளிம்பு முற்றிலும் உள்ளது டிமற்றும் உள்ளே ஒரு புள்ளியைக் கொண்டுள்ளது z 0 .

4.ஒரு மூடிய வளையத்தின் மீது ஒருங்கிணைப்புகளின் கணக்கீடு

ஒரு சிக்கலான மாறியின் செயல்பாடுகளிலிருந்து

படிவத்தின் ஒருங்கிணைப்புகளை கருத்தில் கொள்வோம் , செயல்பாடு எங்கே ஜே(z) இல் பகுப்பாய்வு, மற்றும் ஒய்(z) - மூடிய விளிம்பில் பூஜ்ஜியங்கள் இல்லாத பல்லுறுப்புக்கோவை உடன்.

விதி.பல்லுறுப்புக்கோவையின் பூஜ்ஜியங்களின் பெருக்கத்தைப் பொறுத்து படிவத்தின் ஒருங்கிணைப்புகளைக் கணக்கிடும் போது ஒய்(z) மற்றும் விளிம்புடன் தொடர்புடைய அவற்றின் இருப்பிடம் உடன் 4 வழக்குகளை வேறுபடுத்தி அறியலாம்.

1. பகுதியில் டிபல்லுறுப்புக்கோவை பூஜ்ஜியங்கள் இல்லை ஒய்(z) பின்னர் செயல்பாடு பகுப்பாய்வு மற்றும் Cauchy தேற்றம் மூலம்.

2. பகுதியில் டிஒரு எளிய பூஜ்யம் உள்ளது z=z 0 பல்லுறுப்புக்கோவை ஒய்(z) பின்னர் நாம் எங்கே என்ற வடிவத்தில் பின்னத்தை எழுதுகிறோம் f(z) என்பது Cauchy ஒருங்கிணைந்த சூத்திரத்தை (5.4) பயன்படுத்துவதில் ஒரு பகுப்பாய்வு செயல்பாடு ஆகும், நாங்கள் பெறுகிறோம்

. (5.6)

3. பகுதியில் டிஒரு பல பூஜ்யம் அமைந்துள்ளது z=z 0 பல்லுறுப்புக்கோவை ஒய்(z) (பன்மைகள் n) பின்னர் நாம் எங்கே என்ற வடிவத்தில் பின்னத்தை எழுதுகிறோம் f(z) என்பது சூத்திரத்தை (5.5) பயன்படுத்துவதில் உள்ள ஒரு பகுப்பாய்வுச் செயல்பாடு ஆகும்

4. பகுதியில் டிபல்லுறுப்புக்கோவையின் இரண்டு பூஜ்ஜியங்கள் அமைந்துள்ளன ஒய்(z) z=z 1 மற்றும் z=z 2. பின்னர் நாம் ஒருங்கிணைப்பை இரண்டு பின்னங்களின் கூட்டுத்தொகையாகவும், ஒருங்கிணைப்பை இரண்டு ஒருங்கிணைப்புகளின் கூட்டுத்தொகையாகவும் பிரதிநிதித்துவப்படுத்துகிறோம், ஒவ்வொன்றும் பிரிவு 2 அல்லது பிரிவு 3 இன் படி கணக்கிடப்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டு 5.5 . எங்கே கணக்கிடுங்கள் உடன்- வட்டம்.

■ வகுப்பின் பூஜ்ஜியங்களைக் கண்டறிதல் - ஒருங்கிணைப்பின் ஒருமைப் புள்ளிகள் . இவைதான் புள்ளிகள். அடுத்து, ஒருங்கிணைப்பு விளிம்புடன் தொடர்புடைய புள்ளிகளின் இருப்பிடத்தை நாங்கள் தீர்மானிக்கிறோம்: புள்ளியில் ஒரு மையம் மற்றும் ஆரம் 2 (அதாவது, எங்களிடம் முதல் வழக்கு உள்ளது) ஒரு வட்டத்தால் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட பகுதியில் புள்ளிகள் எதுவும் சேர்க்கப்படவில்லை. ஒவ்வொரு புள்ளியிலிருந்தும் வட்டத்தின் மையத்திற்கான தூரத்தை வரைவதன் மூலம் அல்லது தீர்மானிப்பதன் மூலம் அதை நீங்கள் சரிபார்க்கலாம் மற்றும் அதை ஆரத்துடன் ஒப்பிடலாம். எடுத்துக்காட்டாக, , எனவே வட்டத்தைச் சேர்ந்தது அல்ல.

பின்னர் செயல்பாடு வட்டத்தில் பகுப்பாய்வு, மற்றும் Cauchy தேற்றம் மூலம் .

வகுப்பின் பூஜ்ஜியங்கள் எதுவும் இல்லாத பகுதியைக் கட்டுப்படுத்தும் வேறு எந்த எல்லைக்கும் கொடுக்கப்பட்ட ஒருங்கிணைப்பானது பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமம் என்பதை நினைவில் கொள்ளவும். ■

எடுத்துக்காட்டு 5.6 . எங்கே கணக்கிடுங்கள் உடன்- வட்டம்.

■ உதாரணம் 5.5 இல் உள்ளதைப் போல, வகுப்பின் பூஜ்ஜியங்களில் ஒன்று மட்டுமே வட்டத்தில் (இரண்டாவது வழக்கு) அமைந்திருப்பதைக் காண்கிறோம். எனவே, ஒருங்கிணைந்த செயல்பாட்டை வடிவத்தில், செயல்பாட்டில் எழுதுகிறோம் ஒரு வட்டத்தில் பகுப்பாய்வு. பின்னர் சூத்திரத்தின் படி (5.6)

.■

எடுத்துக்காட்டு 5.7 . கணக்கிடுங்கள் , எங்கே உடன்- வட்டம்.

1. அடிப்படை கருத்துக்கள்

2. ஒரு சிக்கலான மாறியின் செயல்பாடுகளின் ஒருங்கிணைப்புகளின் கணக்கீடு

3. ஒரு சிக்கலான மாறியின் செயல்பாடுகளின் ஒருங்கிணைப்புகளை கணக்கிடுவதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள்

4. ஒரு எளிய விளிம்புக்கான கௌச்சியின் முக்கிய தேற்றம்

5. ஒரு சிக்கலான விளிம்புக்கான கௌச்சியின் தேற்றம்

6. ஒருங்கிணைந்த சூத்திரம்கௌச்சி

7. ஒரு மூடிய வளையத்தின் மீது ஒருங்கிணைப்புகளின் கணக்கீடு

8. ஒரு மூடிய வளையத்தின் மீது ஒருங்கிணைப்புகளை கணக்கிடுவதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள்

அடிப்படை கருத்துக்கள்

1. ஒரு சிக்கலான மாறியின் செயல்பாட்டின் ஒருங்கிணைப்பின் கருத்து (உண்மையான டொமைனில் உள்ளதைப் போலவே) ஒருங்கிணைந்த தொகைகளின் வரிசையின் வரம்பாக அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது; செயல்பாடு சில வளைவு l இல் வரையறுக்கப்படுகிறது, வளைவு மென்மையானது அல்லது துண்டு துண்டாக மென்மையானது என்று கருதப்படுகிறது:

\int\limits_(l)f(z)\,dz= \lim_(\lambda\to0) \sum_(k=1)^(n)\bigl(f(\xi_k)\cdot \Delta z_k\bigr) ,\qquad\quad (2.43)

x_k என்பது வளைவு பகிர்வின் வில் \Delta l_k இல் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட ஒரு புள்ளியாகும்; \Delta z_k - இந்த பகிர்வு பிரிவில் செயல்பாடு வாதத்தின் அதிகரிப்பு, \lambda= \max_(k)|\Delta z_k|- பகிர்வு படி, |\Delta z_k| - வளைவின் முனைகளை இணைக்கும் நாண் நீளம் \Delta l_k ; வளைவு l தன்னிச்சையாக n பகுதிகளாக பிரிக்கப்பட்டுள்ளது \Delta l_k,~ k=1,2,\ldots,n. வளைவில் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட திசை, அதாவது. தொடக்க மற்றும் முடிவு புள்ளிகள் குறிக்கப்படுகின்றன. ஒரு மூடிய வளைவு வழக்கில் \textstyle(\left(\int\limits_(l) f(z)dz= \oint\limits_(c)f(z)dz\right))ஒருங்கிணைப்பு நேர்மறை திசையில் நிகழ்கிறது, அதாவது. இடதுபுறத்தில் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட பகுதியை விட்டுச்செல்லும் ஒரு திசையில், ஒரு விளிம்பால் கட்டுப்படுத்தப்படுகிறது.

ஃபார்முலா (2.43) தீர்மானிக்கிறது ஒரு சிக்கலான மாறியின் செயல்பாட்டின் ஒருங்கிணைந்த வரி. f(z) செயல்பாட்டின் உண்மையான மற்றும் கற்பனையான பகுதிகளை நாம் பிரித்தால், அதாவது. வடிவத்தில் எழுதுங்கள்

F(z)=u+i\,v,\qquad u=\operatorname(Re)f(z),\quad v=\operatorname(Im)f(z),\qquad u=u(x,y) ,\quad v=v(x,y),

பின்னர் ஒருங்கிணைந்த தொகையை இரண்டு சொற்களின் வடிவத்தில் எழுதலாம், இது இரண்டு உண்மையான மாறிகளின் இரண்டாவது வகையான செயல்பாடுகளின் வளைவு ஒருங்கிணைப்புகளின் ஒருங்கிணைந்த தொகையாக இருக்கும். l இல் f(z) தொடர்ச்சியாகக் கருதப்பட்டால், u(x,y),~ v(x,y) L இல் தொடர்ச்சியாக இருக்கும், எனவே தொடர்புடைய ஒருங்கிணைந்த தொகைகளில் வரம்புகள் இருக்கும். எனவே, f(z) சார்பு l இல் தொடர்ச்சியாக இருந்தால், சமத்துவத்தில் வரம்பு (2.43) உள்ளது, அதாவது. வளைவு எல் மற்றும் சூத்திரம் வைத்திருக்கும் போது f(z) செயல்பாட்டின் வளைவு ஒருங்கிணைப்பு உள்ளது

\int\limits_(l)f(z)\,dz= \int\limits_(l)u\,dx-v\,dy+ i \int\limits_(l)u\,dy+v\,dx\, .

ஒரு ஒருங்கிணைந்த அல்லது சூத்திரத்தின் வரையறை (2.44) மற்றும் இரண்டாவது வகையான வளைவு ஒருங்கிணைப்புகளின் பண்புகளைப் பயன்படுத்தி, சிக்கலான மாறியின் (உண்மையான பகுப்பாய்விலிருந்து அறியப்பட்ட பண்புகள்) செயல்பாடுகளின் வளைவு ஒருங்கிணைப்பின் பின்வரும் பண்புகளின் செல்லுபடியை சரிபார்க்க எளிதானது. .

\begin(aligned)&\bold(1.)~~ \int\limits_(l)\bigldz= c_1\int\limits_(l) f_1(z)\,dz+ c_2\int\limits_(l)f_2(z )\,dz\,.\\ &\bold(2.)~~ \int\limits_(AB)f(z)\,dz=- \int\limits_(BA)f(z)\,dz\, .\\ &\bold(3.)~~ \int\limits_(AB)f(z)\,dz= \int\limits_(AC)f(z)\,dz+ \int\limits_(CB)f( z)\,dz\,.\\ &\bold(4.)~~ \int\limits_(AB)|dz|= l_(AB).\\ &\bold(5.)~~ \left|\ int\limits_(l)f(z)\,dz \right|\leqslant \int\limits_(l)|f(z)|\,|dz|. \முடிவு(சீரமைக்கப்பட்டது)

குறிப்பாக, \textstyle(\left|\int\limits_(AB)f(z)\,dz\right|\leqslant M\cdot l_(AB)), வளைவு AB இல் செயல்பாடு அளவு குறைவாக இருந்தால், அதாவது |f(z)|\leqslant M,~ z\in l. இந்த பண்பு ஒருங்கிணைப்பின் மாடுலஸை மதிப்பிடுவதற்கான சொத்து என்று அழைக்கப்படுகிறது.

\bold(6.)~~ \int\limits_(AB)dz= z_B-z_A\,.

சூத்திரம் (2.44) ஒரு சிக்கலான மாறியின் செயல்பாட்டின் வளைவு ஒருங்கிணைப்பின் வரையறையாகவும், இரண்டு உண்மையான மாறிகளின் இரண்டாவது வகையான செயல்பாடுகளின் வளைவு ஒருங்கிணைப்புகள் மூலம் அதைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரமாகவும் கருதப்படலாம்.

கணக்கீட்டு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தவும் நினைவில் கொள்ளவும், சமத்துவம் (2.44) என்பது dz= ஆல் பெருக்குதல், f(z) செயல்பாட்டின் உண்மையான மற்றும் கற்பனையான பகுதிகளை பிரிக்கும் செயல்களின் ஒருங்கிணைந்த அடையாளத்தின் கீழ் இடது பக்கத்தில் உள்ள முறையான செயல்பாட்டிற்கு ஒத்திருப்பதை நாங்கள் கவனிக்கிறோம். dx+i\,dy மற்றும் இயற்கணித வடிவத்தில் விளைந்த தயாரிப்பை எழுதுதல்:

\int\limits_(l)f(z)\,dz= \int\limits_(l)(u+iv)(dx+i\,dy)= \int\limits_(l)u\,dx-v\ ,dy+i(u\,dy+v\,dx)= \int\limits_(l)u\,dx-v\,dy+ i\int\limits_(l)u\,dy+v\,dx\ ,.

எடுத்துக்காட்டு 2.79.ஒருங்கிணைப்புகளை கணக்கிடவும் மற்றும் \int\limits_(OA)z\,dz, எங்கே வரி OA

a) z_1=0 மற்றும் z_2=1+i ஆகிய புள்ளிகளை இணைக்கும் நேர்கோடு,
b) உடைந்த வரி OBA, எங்கே O(0;0),~ A(1;1),~ B(1;0).

▼ தீர்வு

1. ஒருங்கிணைப்பைக் கணக்கிடுங்கள் \int\limits_(OA)\overline(z)\,dz. இங்கே f(z)= \overline(z)= x-iy,~ dz=dx+i\,dy. இரண்டாவது வகையின் வளைவு ஒருங்கிணைப்புகளின் அடிப்படையில் ஒருங்கிணைப்பை எழுதுகிறோம்:

\int\limits_(OA)\overline(z)\,dz= \int\limits_(OA) (x-iy)(dx+i\,dy)= \int\limits_(OA) x\,dx+y \,dy+ i\int\limits_(OA)x\,dy-y\,dx\,

இது சூத்திரத்திற்கு ஒத்திருக்கிறது (2.44). ஒருங்கிணைப்புகளை நாங்கள் கணக்கிடுகிறோம்:

அ) ஒருங்கிணைப்பு பாதை ஒரு நேர்கோட்டுப் பிரிவாகும் \int\limits_(OA)\overline(z)\,dz= \int\limits_(0)^(1)2x\,dx=1.

b) ஒருங்கிணைப்பு பாதை என்பது இரண்டு பிரிவுகளைக் கொண்ட ஒரு உடைந்த கோடு OB= \(y=0,~ 0\leqslant x\leqslant1\)மற்றும் BA= \(x=1,~ 0\leqslant y\leqslant1\). எனவே, ஒருங்கிணைப்பை இரண்டாகப் பிரித்து கணக்கீடுகளைச் செய்தால், நாங்கள் பெறுகிறோம்

\int\limits_(OA)\overline(z)\,dz= \int\limits_(OB)\overline(z)\,dz+ \int\limits_(BA)\overline(z)\,dz= \int\ எல்லைகள்_(0)^(1)x\,dx+ \int\limits_(0)^(1)y\,dy+ i\int\limits_(0)^(1) dy=1+i.

F(z)=\overline(z) செயல்பாட்டின் ஒருங்கிணைப்பானது O மற்றும் A புள்ளிகளை இணைக்கும் ஒருங்கிணைப்பு பாதையின் தேர்வைப் பொறுத்தது.

2. ஒருங்கிணைப்பைக் கணக்கிடுங்கள் \textstyle(\int\limits_(OA)z\,dz)இங்கே f(z)=z=x+iy . இரண்டாவது வகையான வளைவு ஒருங்கிணைப்புகளின் அடிப்படையில் ஒருங்கிணைப்பை எழுதுகிறோம்

\int\limits_(OA)z\,dz= \int\limits_(OA)x\,dx-y\,dy+ i\int\limits_(OA)x\,dy+y\,dx\,.

இரண்டாவது வகையான பெறப்பட்ட ஒருங்கிணைப்புகளின் ஒருங்கிணைப்புகள் முழு வேறுபாடுகள்(நிபந்தனை (2.30) பார்க்கவும்), எனவே ஒருங்கிணைப்பு பாதையின் ஒரு விஷயத்தை கருத்தில் கொள்வது போதுமானது. எனவே, "a" என்றால், பிரிவின் சமன்பாடு y=x,~0 \leqslant x \leqslant1, விடை கிடைக்கும்

\int\limits_(OA)z\,dz=i \int\limits_(0)^(1)2x\,dx=i\,.

ஒருங்கிணைப்பு பாதையின் வடிவத்தில் இருந்து ஒருங்கிணைப்பின் சுதந்திரம் காரணமாக, இந்த விஷயத்தில் பணியை மேலும் உருவாக்க முடியும் பொதுவான பார்வை: ஒருங்கிணைந்த கணக்கிட

\int\limits_(l)z\,dzபுள்ளி z_1=0 முதல் புள்ளி z_2=1+i வரை.

அடுத்த பத்தியில் இன்னும் விரிவாகப் பார்ப்போம் இதே போன்ற வழக்குகள்ஒருங்கிணைப்பு.

2. ஒரு குறிப்பிட்ட பகுதியில் தொடர்ச்சியான செயல்பாட்டின் ஒருங்கிணைப்பானது, இந்த பகுதியில் உள்ள இரண்டு புள்ளிகளை இணைக்கும் வளைவின் வகையைச் சார்ந்து இருக்கக்கூடாது. z_0 ஐக் குறிக்கும் தொடக்கப் புள்ளியைச் சரிசெய்வோம். இறுதிப் புள்ளி ஒரு மாறி, அதை z குறிப்போம். பின்னர் ஒருங்கிணைப்பின் மதிப்பு z புள்ளியை மட்டுமே சார்ந்துள்ளது, அதாவது, குறிப்பிட்ட பகுதியில் சில செயல்பாடுகளை இது தீர்மானிக்கிறது.

எளிமையாக இணைக்கப்பட்ட டொமைனின் விஷயத்தில், இந்த டொமைனில் ஒரு ஒற்றை மதிப்புடைய செயல்பாட்டை ஒருங்கிணைக்கிறது என்ற கூற்றுக்கான நியாயத்தை கீழே தருவோம். குறியீட்டை அறிமுகப்படுத்துவோம்

\int\limits_(z_0)^(z) f(\xi)\,d\xi=F(z).

செயல்பாடு F(z) என்பது மாறி மேல் வரம்புடன் கூடிய ஒரு ஒருங்கிணைந்ததாகும்.

வழித்தோன்றலின் வரையறையைப் பயன்படுத்தி, அதாவது. கருத்தில் \lim_(\Delta z\to0)\frac(\Delta F)(\Delta z), வரையறையின் களத்தில் எந்தப் புள்ளியிலும் F(z) ஒரு வழித்தோன்றலைக் கொண்டிருப்பதைச் சரிபார்ப்பது எளிது, எனவே அதில் பகுப்பாய்வு உள்ளது. இந்த வழக்கில், வழித்தோன்றலுக்கு நாம் சூத்திரத்தைப் பெறுகிறோம்

F"(z)=f(z).

மாறி மேல் வரம்பைக் கொண்ட ஒரு ஒருங்கிணைப்பின் வழித்தோன்றல் மேல் வரம்பில் உள்ள ஒருங்கிணைப்பின் மதிப்புக்கு சமம்.

சமத்துவத்திலிருந்து (2.46), குறிப்பாக, (2.45) இல் உள்ள ஒருங்கிணைக்கப்பட்ட செயல்பாடு f(z) ஒரு பகுப்பாய்வுச் சார்பாகும், ஏனெனில் அத்தகைய செயல்பாடுகளின் பண்புகளின் மூலம் F(z) பகுப்பாய்வுச் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் F"(z) (அறிக்கை 2.28 ஐப் பார்க்கவும்) - பகுப்பாய்வு செயல்பாடு.

3. சமத்துவம் (2.46) வைத்திருக்கும் F(z) சார்பு, எளிமையாக இணைக்கப்பட்ட டொமைனில் f(z) செயல்பாட்டிற்கான ஆண்டிடெரிவேட்டிவ் என அழைக்கப்படுகிறது, மேலும் \Phi(z)=F(z)+c, எங்கே c=\text(const) , - காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பு f(z) செயல்பாட்டிலிருந்து.

புள்ளிகள் 2 மற்றும் 3 இலிருந்து பின்வரும் அறிக்கையைப் பெறுகிறோம்.

அறிக்கை 2.25

1. மாறி மேல் வரம்புடன் ஒருங்கிணைந்த \textstyle(\int\limits_(z_0)^(z) f(\xi)\,d\xi)எளிமையாக இணைக்கப்பட்ட களத்தில் ஒரு செயல்பாடு பகுப்பாய்வு இருந்து இந்த டொமைனில் ஒரு செயல்பாடு பகுப்பாய்வு ஆகும்; இந்தச் செயல்பாடு ஒருங்கிணைப்பின் எதிர்ப்பொருளாகும்.

2. எளிமையாக இணைக்கப்பட்ட டொமைனில் உள்ள எந்த ஒரு பகுப்பாய்வுச் செயல்பாடும் அதில் ஒரு ஆண்டிடெரிவேட்டிவ் (ஆண்டிடெரிவேட்டிவ் இருப்பது) உள்ளது.

உண்மையான பகுப்பாய்வைப் போலவே, எளிமையாக இணைக்கப்பட்ட களங்களில் பகுப்பாய்வு செயல்பாடுகளின் ஆன்டிடெரிவேடிவ்கள் காணப்படுகின்றன: ஒருங்கிணைப்புகளின் பண்புகள், ஒருங்கிணைப்புகளின் அட்டவணை மற்றும் ஒருங்கிணைப்பு விதிகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

உதாரணத்திற்கு, \int e^z\,dz=e^z+c,~~ \int\cos z\,dz=\sin z+c..

ஒரு பகுப்பாய்வு செயல்பாட்டின் வளைவு ஒருங்கிணைப்பு மற்றும் அதன் ஆண்டிடெரிவேட்டிவ் ஆகியவற்றுக்கு இடையே ஒரு எளிமையாக இணைக்கப்பட்ட டொமைனில் உண்மையான பகுப்பாய்விலிருந்து நியூட்டன்-லீப்னிஸ் சூத்திரத்தைப் போன்ற ஒரு சூத்திரம் உள்ளது:

\int\limits_(z_1)^(z_2)f(z)\,dz= \Bigl.(F(z))\Bigr|_(z_1)^(z_2)= F(z_2)-F(z_1).

4. உண்மையான பகுப்பாய்வைப் போலவே, சிக்கலான டொமைனில், ஒருங்கிணைப்பு வரம்புகளுக்குள் ஒரு அளவுருவைக் கொண்ட ஒருங்கிணைப்புகளுக்கு கூடுதலாக (சூத்திரம் (2.45) கொடுக்கிறது எளிய உதாரணம்அத்தகைய ஒருங்கிணைப்புகள்), ஒருங்கிணைப்பில் உள்ள அளவுருவைப் பொறுத்தது: \textstyle(\int\limits_(l)f(\xi,z)\,d\xi). அத்தகைய ஒருங்கிணைப்புகளில் முக்கியமான இடம்சிக்கலான ஒருங்கிணைப்பு மற்றும் பயன்பாடுகளின் கோட்பாடு மற்றும் நடைமுறையில், இது படிவத்தின் ஒருங்கிணைப்பால் ஆக்கிரமிக்கப்பட்டுள்ளது. \textstyle(\int\limits_(l)\dfrac(f(\xi))(\xi-z)\,d\xi).

l வரியில் f(z) தொடர்ச்சியாக இருக்க வேண்டும் என்று வைத்துக் கொண்டால், z l ஐச் சேராத எந்தப் புள்ளிக்கும், integral உள்ளது மற்றும் l இல்லாத எந்த டொமைனிலும் ஒரு குறிப்பிட்ட செயல்பாட்டை வரையறுக்கிறது.

\frac(1)(2\pi\,i) \int\limits_(l) \frac(f(\xi))(\xi-z)\,d\xi=F(z).

ஒருங்கிணைந்த (2.48) ஒரு Cauchy வகை ஒருங்கிணைப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது; கட்டமைக்கப்பட்ட செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்துவதற்கான வசதிக்காக \frac(1)(2\pi\,i) காரணி அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது.

இந்தச் செயல்பாட்டிற்கு, சமத்துவத்தால் (2.45) வரையறுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டைப் பொறுத்தவரை, இது வரையறையின் களத்தில் எல்லா இடங்களிலும் பகுப்பாய்வு செய்யப்படுகிறது என்பது நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது. மேலும், ஒருங்கிணைந்த (2.45) போலல்லாமல், இங்கே உருவாக்கும் செயல்பாடு f(z) பகுப்பாய்வாக இருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை, அதாவது. வகுப்பில் சூத்திரம் (2.48) படி தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகள்சிக்கலான மாறி, பகுப்பாய்வு செயல்பாடுகளின் ஒரு வகுப்பு கட்டமைக்கப்படுகிறது. ஒருங்கிணைப்பின் வழித்தோன்றல் (2.48) சூத்திரத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது

F"(z)= \frac(1)(2\pi\,i) \int\limits_(l) \frac(f(\xi))((\xi-z)^2)\,d\xi \,.

சூத்திரத்தை (2.49) நிரூபிக்கவும், எனவே, Cauchy வகை ஒருங்கிணைந்த பகுப்பாய்வு பற்றிய அறிக்கை, சமத்துவமின்மையின் செல்லுபடியை நிறுவ, வழித்தோன்றலின் வரையறையின்படி போதுமானது.

\left|\frac(\Delta F)(\Delta z)-F"(z)\right|<\varepsilon,\qquad |\Delta z|<\delta(\varepsilon)

F(z) செயல்பாட்டின் வரையறையின் டொமைனில் இருந்து எந்த \varepsilon>0 மற்றும் எந்த z க்கும்.

அதே முறையைப் பயன்படுத்தி, சமத்துவத்தால் வரையறுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் இருப்பதைக் காட்டலாம் (2.49), அதாவது. F""(z) , மற்றும் சூத்திரம் செல்லுபடியாகும்

F""(z)= \frac(1)(\pi\,i) \int\limits_(l) \frac(f(\xi))((\xi-z)^3)\,d\xi \,.

F(z)\colon செயல்பாட்டின் எந்த வரிசையின் வழித்தோன்றலுக்கான சூத்திரத்தை தூண்டுவதன் மூலம் செயல்முறையைத் தொடரலாம் மற்றும் நிரூபிக்கலாம்

F^((n))(z)= \frac(n{2\pi\,i} \int\limits_{l} \frac{f(\xi)}{(\xi-z)^{n+1}}\,d\xi\,. !}

சூத்திரங்களை (2.48) மற்றும் (2.49) பகுப்பாய்வு செய்வதன் மூலம், ஒருங்கிணைக்கப்பட்ட கையொப்பத்தின் (2.48) கீழ் உள்ள அளவுருவைப் பொறுத்து வேறுபடுத்துவதன் மூலம் வழித்தோன்றல் F(z) முறையாகப் பெறப்படுவதைச் சரிபார்க்க எளிதானது:

F"(z)= \frac(d)(dz)\! \left(\frac(1)(2\pi\,i) \int\limits_(l) \frac(f(\xi))(\ xi-z)\,d\xi\right)= \frac(1)(2\pi\,i) \int\limits_(l) \frac(d)(dz)\! xi-z)\right)\!d\xi= \frac(1)(2\pi\,i) \int\limits_(l) \frac(f(\xi))( (\xi-z)^ 2)\,d\xi\,.

n முறை அளவுருவைப் பொறுத்து ஒருங்கிணைப்பை வேறுபடுத்துவதற்கான விதியை முறையாகப் பயன்படுத்தினால், நாம் சூத்திரத்தைப் பெறுகிறோம் (2.50).

இந்த பிரிவில் பெறப்பட்ட முடிவுகளை அறிக்கை வடிவில் எழுதுகிறோம்.

அறிக்கை 2.26. ஒருங்கிணைந்த \frac(1)(2\pi\,i) \int\limits_(l) \frac(f(\xi))(\xi-z)\,d\xiஒரு வளைவில் f(z) தொடர்ச்சியான செயல்பாட்டின், l இல்லாத எந்த டொமைனிலும் D பகுப்பாய்வாக இருக்கும் செயல்பாடு; இந்தச் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்கள் ஒருங்கிணைந்த குறியின் கீழ் உள்ள அளவுருவைப் பொறுத்து வேறுபடுத்துவதன் மூலம் பெறலாம்.

ஒரு சிக்கலான மாறியின் செயல்பாடுகளின் ஒருங்கிணைப்புகளின் கணக்கீடு

மேலே ஒரு சிக்கலான மாறியின் செயல்பாடுகளின் ஒருங்கிணைப்புகளைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரங்களைப் பெற்றோம் - சூத்திரங்கள் (2.44) மற்றும் (2.47).

சூத்திரத்தில் உள்ள வளைவு l (2.44) அளவுருவாக குறிப்பிடப்பட்டால்: z=z(t),~ \alpha\leqslant t\leqslant\betaஅல்லது, இது உண்மையான வடிவத்திற்கு ஒத்திருக்கிறது: \begin(cases) x=x(t),\\ y=y(t),\end(cases)\!\!\alpha\leqslant t\leqslant\beta, பின்னர், ஒரு வளைவின் அளவுரு வரையறையின் விஷயத்தில் இரண்டாவது வகையான ஒருங்கிணைப்புகளைக் கணக்கிடுவதற்கான விதிகளைப் பயன்படுத்தி, சூத்திரத்தை (2.44) வடிவத்திற்கு மாற்றலாம்.

\int\limits_(l)f(z)\,dz= \int\limits_(\alpha)^(\beta)f\bigl(z(t)\bigr)z"(t)\,dt\,.

முந்தைய விரிவுரையில் பெறப்பட்ட முடிவு மற்றும் பெறப்பட்ட முடிவுகளை செயல்களின் வரிசையாக எழுதுவோம்.

ஒருங்கிணைப்புகளை கணக்கிடுவதற்கான முறைகள் \textstyle(\int\limits_(l)f(z)\,dz).

முதல் வழி.ஒருங்கிணைப்புகளின் கணக்கீடு \textstyle(\int\limits_(l)f(z)\,dz)உண்மையான மாறிகளின் செயல்பாடுகளின் வளைவு ஒருங்கிணைப்புகளைக் குறைப்பதன் மூலம் தொடர்ச்சியான செயல்பாட்டிலிருந்து - சூத்திரத்தின் பயன்பாடு (2.44).

1. கண்டுபிடி \operatorname(Re)f(z)=u,~ \operatorname(Im)f(z)=v.

2. ஒருங்கிணைப்பு f(z)dz ஐ ஒரு தயாரிப்பாக எழுதவும் (u+iv)(dx+i\,dy) அல்லது, பெருக்குதல், u\,dx-v\,dy+i(u\,dy+v\,dx).

3. படிவத்தின் வளைவு ஒருங்கிணைப்புகளைக் கணக்கிடுங்கள் \textstyle(\int\limits_(l)P\,dx+Q\,dy), எங்கே P=P(x,y),~ Q=Q(x,y)இரண்டாவது வகையான வளைவு ஒருங்கிணைப்புகளை கணக்கிடுவதற்கான விதிகளின்படி.

இரண்டாவது வழி.ஒருங்கிணைப்புகளின் கணக்கீடு \textstyle(\int\limits_(l) f(z)\,dz)ஒருங்கிணைப்பு பாதையின் அளவுரு வரையறையின் விஷயத்தில் ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்புக்கு குறைப்பதன் மூலம் தொடர்ச்சியான செயல்பாட்டிலிருந்து - சூத்திரத்தின் பயன்பாடு (2.51).

.

2. சிக்கலான மதிப்புடைய செயல்பாட்டின் வேறுபாட்டைக் கண்டறியவும் z(t)\colon\, dz=z"(t)dt.
3. z(t) ஐ ஒருங்கிணைப்பில் மாற்றவும் மற்றும் ஒருங்கிணைப்பை மாற்றவும்

\int\limits_(\alpha)^(\beta)f \bigl(z(t)\bigr)\cdot z"(t)\,dt= \int\limits_(\alpha)^(\beta)\varphi (t)\,dt\,.

4. படி 3 இல் பெறப்பட்ட உண்மையான மாறியின் சிக்கலான மதிப்புடைய செயல்பாட்டின் திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பைக் கணக்கிடுங்கள்.

ஒரு உண்மையான மாறியின் சிக்கலான மதிப்புடைய செயல்பாட்டை ஒருங்கிணைப்பது உண்மையான மதிப்புடைய செயல்பாட்டை ஒருங்கிணைப்பதில் இருந்து வேறுபட்டதல்ல என்பதை நினைவில் கொள்க; ஒரே வித்தியாசம் என்னவென்றால், காரணி i இன் முதல் வழக்கில் இருப்பது, இயற்கையாகவே, ஒரு மாறிலியாகக் கருதப்படும் செயல்கள். உதாரணத்திற்கு,

\int\limits_(-1)^(1)e^(2it)dt= \left.(\frac(e^(2it))(2i))\right|_(-1)^(1)= \\ frac(1)(2i)(e^(2i)-e^(-2i))= \sin2\,.

மூன்றாவது வழி.எளிமையாக இணைக்கப்பட்ட களங்களில் பகுப்பாய்வு செயல்பாடுகளின் ஒருங்கிணைப்புகளின் கணக்கீடு - சூத்திரத்தின் பயன்பாடு (2.47).

1. உண்மையான பகுப்பாய்விலிருந்து அறியப்பட்ட ஒருங்கிணைப்புகள், அட்டவணை ஒருங்கிணைப்புகள் மற்றும் முறைகளின் பண்புகளைப் பயன்படுத்தி எதிர்வழி F(z) ஐக் கண்டறியவும்.

2. சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்து (2.47): \int\limits_(z_1)^(z_2)f(z)\,dz= F(z_2)-F(z_1).

குறிப்புகள் 2.10

1. பெருக்கி இணைக்கப்பட்ட பகுதியில், வெட்டுக்கள் செய்யப்படுகின்றன, இதனால் ஒரு ஒற்றை மதிப்புடைய செயல்பாடு F(z) ஐப் பெற முடியும்.

2. பல மதிப்புள்ள செயல்பாடுகளின் ஒற்றை மதிப்புள்ள கிளைகளை ஒருங்கிணைக்கும் போது, ​​ஒருங்கிணைப்பு வளைவில் ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளியில் செயல்பாட்டின் மதிப்பைக் குறிப்பிடுவதன் மூலம் கிளை வேறுபடுத்தப்படுகிறது. வளைவு மூடப்பட்டால், ஒருங்கிணைப்பு பாதையின் தொடக்க புள்ளியானது ஒருங்கிணைப்பின் மதிப்பு கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியாக கருதப்படுகிறது. ஒருங்கிணைப்பின் மதிப்பு இந்த புள்ளியின் தேர்வைப் பொறுத்தது.

▼ ஒரு சிக்கலான மாறியின் செயல்பாடுகளின் ஒருங்கிணைப்புகளை கணக்கிடுவதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள் 2.80-2.86

எடுத்துக்காட்டு 2.80.கணக்கிடுங்கள் \int\limits_(l)\operatorname(Re)z\,dz, l என்பது z_1=0 புள்ளியை z_2=1+i\colon இணைக்கும் கோடு

a) l - நேராக; b) l - உடைந்த வரி OBA, எங்கே O(0;0),~ B(1;0),~ A(1;1).

▼ தீர்வு

அ) நாங்கள் முதல் முறையைப் பயன்படுத்துகிறோம் - (சூத்திரம் (2.44)).

1.2 ஒருங்கிணைப்புக்கு வடிவம் உள்ளது \operatorname(Re)z\,dz= x(dx+i\,dy). அதனால் தான்

\int\limits_(l)\operatorname(Re)z\,dz= \int\limits_(l)x\,dx+ i\int\limits_(l)x\,dy\,.

3. உள்ள ஒருங்கிணைப்புகளைக் கணக்கிடுங்கள் y=x,~ 0\leqslant x\leqslant1(Z_1 மற்றும் z_2 புள்ளிகளை இணைக்கும் OA பிரிவின் சமன்பாடு). நாம் பெறுகிறோம்

\int\limits_(l)\operatorname(Re)z\,dz= \int\limits_(l)x\,dx+ i\int\limits_(l)x\,dy= \int\limits_(0)^( 1)x\,dx+ i\int\limits_(0)^(1)x\,dx= \frac(1+i)(2)\,.

b) ஒருங்கிணைப்பு பாதை இரண்டு பிரிவுகளைக் கொண்டிருப்பதால், இரண்டு ஒருங்கிணைப்புகளின் கூட்டுத்தொகையாக நாம் ஒருங்கிணைப்பை எழுதுகிறோம்:

\int\limits_(l)\operatorname(Re)z\,dz= \int\limits_(OB)\operatorname(Re)z\,dz+ \int\limits_(BA)\operatorname(Re)z\,dz

முந்தைய பத்தியில் உள்ளதைப் போலவே ஒவ்வொன்றையும் கணக்கிடுகிறோம். மேலும், எங்களிடம் உள்ள OB பிரிவுக்கு

\begin(cases)y=0,\\ 0 \leqslant x \leqslant1,\end(cases)மற்றும் பிரிவுக்கு BA\colon \begin(cases)x=1,\\ 0 \leqslant y \leqslant1.\end(cases)

நாங்கள் கணக்கீடுகளை செய்கிறோம்:

\int\limits_(l)\operatorname(Re)z\,dz= \int\limits_(OB)x\,dx+ i\,x\,dy+ \int\limits_(BA) x\,dx+i\, x\,dy= \int\limits_(0)^(1)x\,dx+ i \int\limits_(0)^(1)1\cdot dy= \frac(1)(2)+i.

இந்த எடுத்துக்காட்டில் உள்ள ஒருங்கிணைப்பு ஒரு பகுப்பாய்வு செயல்பாடு அல்ல என்பதை நினைவில் கொள்க, எனவே கொடுக்கப்பட்ட இரண்டு புள்ளிகளை இணைக்கும் இரண்டு வெவ்வேறு வளைவுகளில் உள்ள ஒருங்கிணைப்புகள் இந்த எடுத்துக்காட்டில் விளக்கப்பட்டுள்ளபடி வெவ்வேறு மதிப்புகளைக் கொண்டிருக்கலாம்.

எடுத்துக்காட்டு 2.81.கணக்கிடுங்கள் \int\limits_(l)|z| \overline(z)\,dz, l என்பது மேல் அரை வட்டம் |z|=1, l வளைவை எதிரெதிர் திசையில் கடக்கிறது.

▼ தீர்வு

வளைவு ஒரு எளிய அளவுரு சமன்பாட்டைக் கொண்டுள்ளது z=e^(it),~ 0\leqslant t\leqslant\pi, எனவே இரண்டாவது முறையைப் பயன்படுத்துவது வசதியானது (சூத்திரம் (2.51)). இங்கு உள்ள ஒருங்கிணைப்பு என்பது ஒரு தொடர்ச்சியான செயல்பாடு மற்றும் பகுப்பாய்வு அல்ல.

1.2 z=e^(it) க்கு நாம் கண்டுபிடிக்கிறோம் \overline(z)=e^(-it),~ |z|=1,~ dz=i\,e^(it)dt.

3.4 ஒருங்கிணைப்பில் மாற்றவும். ஒருங்கிணைப்பைக் கணக்கிடுங்கள்

\int\limits_(l)|z| \overline(z)\,dz= \int\limits_(0)^(\pi)1\cdot e^(-it)\cdot i\,e^(it)dt= \int\limits_(0)^ (\pi)i\,dt=i\,\pi.

எடுத்துக்காட்டு 2.82.பகுப்பாய்வு செயல்பாடுகளின் ஒருங்கிணைப்புகளைக் கணக்கிடுங்கள்:

A) \int\limits_(0)^(i)\sin^2z\,dz; b) \int\limits_(-i)^(1)\frac(dz)((z-i)^2), ஒருங்கிணைப்பு பாதை புள்ளி i வழியாக செல்லவில்லை.

▼ தீர்வு

a) சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தவும் (2.47) (மூன்றாவது விதி); உண்மையான பகுப்பாய்வை ஒருங்கிணைக்கும் முறைகளைப் பயன்படுத்தி நாம் எதிர்ப்பொருளைக் காண்கிறோம்:

\int\limits_()^()\sin^2z\,dz= \frac(1)(2) \int\limits_(0)^(i)(1-\cos2z)\,dz= \left.( \frac(1)(2) \left(z-\frac(1)(2)\sin2z\right))\right|_(0)^(i)= \frac(1)(2)\,i -\frac(1)(4)\sin2i= \frac(1)(2)\,i-i\,\frac(\operatorname(sh)2)(4)= \frac(i)(4)(2- \operatorname(sh)2).

b) புள்ளி i ஐத் தவிர எல்லா இடங்களிலும் ஒருங்கிணைப்பு பகுப்பாய்வு ஆகும். புள்ளி i இலிருந்து \infty வரை கதிரை வழியாக விமானத்தை வெட்டுவதன் மூலம், செயல்பாடு பகுப்பாய்வு மற்றும் ஒருங்கிணைப்பு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படும் ஒரு எளிமையாக இணைக்கப்பட்ட பகுதியைப் பெறுகிறோம் (2.47). எனவே, புள்ளி i வழியாக செல்லாத எந்த வளைவுக்கும், நீங்கள் சூத்திரத்தை (2.47) பயன்படுத்தி ஒருங்கிணைப்பைக் கணக்கிடலாம், மேலும் கொடுக்கப்பட்ட இரண்டு புள்ளிகளுக்கு அது ஒரே மதிப்பைக் கொண்டிருக்கும்.

படத்தில். படம் 2.44 வெட்டுக்கள் செய்யும் இரண்டு நிகழ்வுகளைக் காட்டுகிறது. ஒருங்கிணைந்த பகுதிகள் பகுப்பாய்வாக இருக்கும், வெறுமனே இணைக்கப்பட்ட பகுதிகளின் எல்லையைக் கடக்கும் திசை அம்புகளால் குறிக்கப்படுகிறது. நாங்கள் ஒருங்கிணைப்பைக் கணக்கிடுகிறோம்:

\int\limits_(-i)^(1)\frac(dz)((z-i)^2)= \இடது.(\frac(-1)(z-i))\right|_(-i)^(1 )= -\frac(1)(1-i)-\frac(1)(2i)=-\frac(1+i)(2)+\frac(i)(2)= -\frac(1) (2)\,.

எடுத்துக்காட்டு 2.83.ஒருங்கிணைந்த கணக்கீடு \int\limits_(0)^(1+i)z\,dz.

▼ தீர்வு

\mathbb(C) இல் அனைத்து இடங்களிலும் ஒருங்கிணைப்பு பகுப்பாய்வு ஆகும். நாங்கள் மூன்றாவது முறையைப் பயன்படுத்துகிறோம், சூத்திரம் (2.47):

\int\liits_(0)^(1+i)z\,dz= \left.(\frac(z^2)(2))\right|_(0)^(1+i)= \frac( 1)(2)(1+i)^2=i.

இந்த முடிவு முதல் முறையின்படி எடுத்துக்காட்டு 2.78 இல் பெறப்பட்டது.

எடுத்துக்காட்டு 2.84.ஒருங்கிணைந்த கணக்கீடு \oint\limits_(C)\frac(dz)((z-a)^n), C என்பது வட்டம் |z-a|=R.

▼ தீர்வு

இரண்டாவது முறையைப் பயன்படுத்துவோம்.

1. வட்டத்தின் சமன்பாட்டை அளவுரு வடிவத்தில் எழுதுகிறோம்: z-a=R\,e^(it) , அல்லது z=a+R\,e^(it),~ 0\leqslant t\leqslant2\pi.
2. வேறுபாட்டைக் கண்டறியவும் dz=R\,i\,e^(it)\,dt.
3. z=a+R\,e^(it) மற்றும் dz ஐ ஒருங்கிணைப்பில் மாற்றவும்:

\oint\limits_(C)\frac(dz)((z-a)^n)= \int\limits_(0)^(2\pi) \frac(R\,i\,e^(it))(R ^n e^(int))\,dt= \frac(i)(R^(n-1)) \int\limits_(0)^(2\pi) e^(it(1-n))dt\ ,.

இதன் விளைவாக வரும் திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பை நாங்கள் கணக்கிடுகிறோம். n\ne1க்கு நாங்கள் பெறுகிறோம்

\int\limits_(0)^(2\pi) e^(it(1-n))dt= \frac(1)(i(1-n)) \Bigl.(e^(it(1-n) )))\Bigr|_(0)^(2\pi)= \frac(1)((n-1)i) \bigl(1-e^(2\pi\,i(n-1)) \பெரிய).

ஏனெனில் e^(2\pi\,i(n-1))= e^(2k\pi\,i)=1, அதனால் தான் \oint\limits_(C)\frac(dz)((z-a)^n) =0 n\ne1 இல். n=1க்கு நாம் பெறுவோம் \oint\limits_(C)\frac(dz)(z-a)= i\int\limits_(0)^(2\pi)dt=2\pi\,i\,..

முடிவை ஒரு சூத்திரமாக எழுதுவோம்:

\oint\limits_(|z-a|=R)\frac(dz)((z-a)^n)=0,\quad n\ne1;\qquad \oint\limits_(|z-a|=R)\frac(dz) (z-a)=2\pi\,i\,.

குறிப்பாக, \textstyle(\oint\limits_(|z|=R)\frac(dz)(z)=2\pi i). C\colon |z-a|=R வட்டம் k முறைகளால் கடந்து சென்றால், வாதம் (அளவுரு) 0 இலிருந்து 2\pi k (k>0) க்கு மாறுகிறது என்பதை நினைவில் கொள்க , மற்றும் கே<0 - обход по часовой стрелке). Поэтому

\oint\limits_(C)\frac(dz)(z-a)= i \int\limits_(0)^(2\pi k)dt= 2k\pi i,\qquad \oint\limits_(C) \frac( dz)(z)=2k\pi i.

எடுத்துக்காட்டு 2.85.ஒரு சிக்கலான மாறியின் செயல்பாட்டின் ஒருங்கிணைப்பைக் கணக்கிடுங்கள் \int\limits_(1)^(z)\frac(d\xi)(\xi):

a) ஒருங்கிணைப்பு பாதையானது z=0 என்ற புள்ளியைக் கடக்காது மற்றும் அதைச் சுற்றிச் செல்லாது, -\pi<\arg z \leqslant\pi ;

b) ஒருங்கிணைப்புப் பாதையானது z=0 என்ற புள்ளியைக் கடக்காது, ஆனால் வட்டத்தை எதிரெதிர் திசையில் சுற்றி n முறை செல்கிறது.

▼ தீர்வு

a) இந்த ஒருங்கிணைப்பு - ஒரு மாறி மேல் வரம்புடன் கூடிய ஒரு ஒருங்கிணைப்பு - எளிமையாக இணைக்கப்பட்ட எந்த டொமைனிலும் ஒற்றை மதிப்புடைய பகுப்பாய்வு செயல்பாட்டை வரையறுக்கிறது (பார்க்க 2.45)). இந்தச் செயல்பாட்டிற்கான ஒரு பகுப்பாய்வு வெளிப்பாட்டைக் கண்டுபிடிப்போம் - f(z)=\frac(1)(z) க்கு எதிர்ப்பொருள். ஒருங்கிணைந்த உண்மையான மற்றும் கற்பனை பகுதிகளை பிரித்தல் \int\limits_(l)\frac(dz)(z)(சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி (2.44)), இரண்டாவது வகையான ஒருங்கிணைப்புகளின் ஒருங்கிணைப்புகள் முழுமையான வேறுபாடுகள் என்பதைச் சரிபார்க்க எளிதானது, எனவே, ஒருங்கிணைந்த \frac(d\xi)(\xi) வளைவின் வகையைச் சார்ந்தது அல்ல z_1=1 மற்றும் z புள்ளிகளை இணைக்கிறது. z_1=1 புள்ளியில் இருந்து z_2=r புள்ளி வரை, r=|z| , மற்றும் ஒரு வட்டத்தின் வளைவுகள் l. z_2 ஐ z க்கு இணைக்கிறது (படம் 2.45, a).

ஒருங்கிணைப்பை ஒரு தொகையாக எழுதுகிறோம்: \int\limits_(1)^(z) \frac(d\xi)(\xi)= \int\limits_(1)^(r) \frac(dx)(x)+ \int\limits_(l) \frac(d\xi)(\xi). ஒரு வட்ட வளைவின் மேல் உள்ள ஒருங்கிணைப்பைக் கணக்கிட, நாம் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம் (2.51), வில் சமன்பாட்டைக் கொண்டுள்ளது. \xi=r\,e^(it),~ 0\leqslant t\leqslant\arg z. நாம் பெறுகிறோம் \int\limits_(l)\frac(d\xi)(\xi)= \int\limits_(0)^(\arg z) \frac(ri\,e^(it))(r\,e^ (அது))\,dt=i\arg z; அதன் விளைவாக

\int\limits_(1)^(z)\frac(d\xi)(\xi)=\ln r+i\arg z,\,-\pi<\arg z \leqslant\pi

சமத்துவத்தின் வலது பக்கம் ஒற்றை மதிப்புடைய செயல்பாட்டை வரையறுக்கிறது \ln z - மடக்கையின் முதன்மை மதிப்பு. படிவத்தில் பதிலைப் பெறுகிறோம்

\int\limits_(1)^(z)\frac(d\xi)(\xi)=\ln z\,.

இதன் விளைவாக வரும் சமத்துவத்தை ஒரு ஒற்றை மதிப்புடைய செயல்பாட்டின் வரையறையாக எடுத்துக்கொள்ளலாம் என்பதை நினைவில் கொள்ளவும் \ln z ஒரு எளிமையாக இணைக்கப்பட்ட டொமைனில் - எதிர்மறை உண்மையான அரை-அச்சு (-\infty;0] உடன் வெட்டப்பட்ட ஒரு விமானம்.

b) ஒருங்கிணைப்பை ஒரு தொகையாக எழுதலாம்: \int\limits_(1)^(z)\frac(d\xi)(\xi)= \oint\limits_(c) \frac(dz)(z)+ \int\limits_(l)\frac(d \xi)(\xi), c என்பது ஒரு வட்டம் |z|=1 n முறை எதிரெதிர் திசையில் பயணிக்கிறது, மேலும் l என்பது z_1 மற்றும் z புள்ளிகளை இணைக்கும் மற்றும் z=0 புள்ளியை உள்ளடக்காத வளைவு ஆகும் (படம் 2.45,b).

முதல் சொல் 2n\pi iக்கு சமம் (எடுத்துக்காட்டு 2.84 ஐப் பார்க்கவும்), இரண்டாவது \ln(z) - சூத்திரம் (2.53). முடிவைப் பெறுகிறோம் \int\limits_(1)^(z)\frac(d\xi)(\xi)=\ln z+2n\pi i.

எடுத்துக்காட்டு 2.86.ஒருங்கிணைந்த கணக்கீடு \int\limits_(l)\frac(dz)(\sqrt(z))வட்டத்தின் மேல் வளைவுடன் |z|=1 வழங்கப்பட்டுள்ளது: a) \sqrt(1)=1 ; b) \sqrt(1)=-1 .

▼ தீர்வு

ஒருங்கிணைப்பு விளிம்பில் ஒரு கட்டத்தில் \sqrt(z) செயல்பாட்டின் மதிப்புகளை அமைப்பது வெளிப்பாட்டின் தெளிவற்ற கிளைகளைத் தேர்ந்தெடுக்க உங்களை அனுமதிக்கிறது. \sqrt(z)= \sqrt(|z|)\exp\!\left(\frac(i)(2)\arg z+ik\pi\right)\!,~ k=0;1(எடுத்துக்காட்டு 2.6 ஐப் பார்க்கவும்). வெட்டு ஒரு கற்பனை எதிர்மறை அரை அச்சில், எடுத்துக்காட்டாக, செய்யப்படலாம். z=1 க்கு எங்களிடம் உள்ளது \sqrt(1)=e^(ik\pi),~k=0;1, பின்னர் முதல் வழக்கில் k=0 உடன் கிளை தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டது, இரண்டாவது - k=1 உடன். ஒருங்கிணைப்பு விளிம்பில் உள்ள ஒருங்கிணைப்பு தொடர்ச்சியாக உள்ளது. தீர்க்க நாம் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம் (2.51), சமன்பாட்டின் மூலம் வளைவை வரையறுக்கவும் z=e^(it),~0\leqslant t\leqslant\pi.

a) கிளை k=0 இல் தீர்மானிக்கப்படுகிறது, அதாவது. நாம் பெறும் ஒருங்கிணைப்புக்கு z=e^(it) இலிருந்து \sqrt(z)=e^(\frac(i)(2)t). நாங்கள் ஒருங்கிணைப்பைக் கணக்கிடுகிறோம்:

\int\limits_(l)\frac(dz)(\sqrt(z))= \int\limits_(0)^(\pi) \frac(i\,e^(it))(e^(i\ ,\frac(t)(2) ))\,dt= i \int\limits_(0)^(\pi)e^(i\,\frac(t)(2))dt= \Bigl.(2 \,e^(i\,\frac(t)(2))\Bigr|_(0)^(\pi)= 2\! \left(e^(i\,\frac(\pi)(2))-1\right)= 2(i-1).

b) கிளை k=1 இல் தீர்மானிக்கப்படுகிறது, அதாவது. z=e^(it) இலிருந்து நம்மிடம் உள்ள ஒருங்கிணைப்புக்கு \sqrt(z)= e^(i \left(\frac(t)(2)+\pi\right))=-e^(i\,\frac(t)(2)). நாங்கள் ஒருங்கிணைப்பைக் கணக்கிடுகிறோம்:

\int\limits_(l)\frac(dz)(\sqrt(z))= \int\limits_(0)^(\pi)\frac(i\,e^(it))(-e^(i) \,\frac(t)(2)))\,dt= \ldots= 2(1-i).

கோட்பாடு மற்றும் நடைமுறையில், ஒரு சிக்கலான மாறியின் செயல்பாடுகளின் ஒருங்கிணைந்த கால்குலஸின் பயன்பாடுகளில், எல்லைக்குட்பட்ட பகுதிகளில் அல்லது தனிப்பட்ட புள்ளிகளுக்கு அருகில் உள்ள செயல்பாடுகளின் நடத்தையைப் படிக்கும் போது, ​​​​ஒருங்கிணைந்த வளைவுகள் - பகுதிகளின் எல்லைகள், குறிப்பாக சுற்றுப்புறங்களில் கருதப்படுகின்றன. புள்ளிகள். ஒருங்கிணைப்புகளை நாங்கள் கருத்தில் கொள்வோம் \oint\limits_(C)f(z)dz, சில c பிராந்தியத்தில் f(z) பகுப்பாய்வாக இருக்கும், தனிப்பட்ட புள்ளிகளைத் தவிர, C என்பது பிராந்தியத்தின் எல்லை அல்லது இந்தப் பகுதியில் உள்ள உள் எல்லை.

ஒரு எளிய வரையறைக்கான கௌச்சியின் அடிப்படை தேற்றம்

தேற்றம் 2.1 (ஒரு எளிய விளிம்புக்கான கௌச்சியின் தேற்றம்). எளிமையாக இணைக்கப்பட்ட டொமைனில் f(z) பகுப்பாய்வாக இருந்தால், இந்த டொமைனைச் சேர்ந்த எந்த ஒரு எல்லை C க்கும் பின்வரும் சமத்துவம் உள்ளது:

\oint\limits_(C)f(z)dz=0.

தேற்றத்தின் ஆதாரம் பகுப்பாய்வு செயல்பாடுகளின் பண்புகளின் அடிப்படையில் பெற எளிதானது, அதன் படி ஒரு பகுப்பாய்வு சார்பு எந்த வரிசையின் வழித்தோன்றல்களைக் கொண்டுள்ளது (அறிக்கை 2.28 ஐப் பார்க்கவும்). இந்த சொத்து பகுதி வழித்தோன்றல்களின் தொடர்ச்சியை உறுதி செய்கிறது \operatorname(Re)f(z)மற்றும் \operatorname(Im)f(z), எனவே, நாம் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தினால் (2.44), இரண்டாவது வகையான வளைவு ஒருங்கிணைப்புகளில் உள்ள ஒவ்வொரு ஒருங்கிணைப்புக்கும், பகுப்பாய்வு செயல்பாடுகளின் Cauchy-Riemann நிபந்தனைகளைப் போல, மொத்த வேறுபாட்டின் நிபந்தனைகள் திருப்தி அடைவதைக் காண்பது எளிது. மற்றும் மொத்த வேறுபாடுகளிலிருந்து மூடிய வளைவுகளின் மீதான ஒருங்கிணைப்புகள் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்.

கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ள அனைத்து கோட்பாட்டு நிலைகளும் இறுதியில் இந்த முக்கியமான தேற்றத்தை அடிப்படையாகக் கொண்டவை என்பதை நினைவில் கொள்ளவும், பகுப்பாய்வு செயல்பாடுகளின் மேலே குறிப்பிடப்பட்ட பண்பு உட்பட. விளக்கக்காட்சியின் சரியான தன்மை குறித்து எந்த சந்தேகமும் இல்லை, பகுப்பாய்வு செயல்பாட்டின் வரையறையின் அடிப்படையில் மட்டுமே தேற்றம் அதன் வழித்தோன்றல்களின் இருப்பைக் குறிப்பிடாமல் நிரூபிக்க முடியும் என்பதை நாங்கள் கவனிக்கிறோம்.

தேற்றம் 2.1 இலிருந்து தொடர்புகள்

1. C என்பது டொமைன் D இன் எல்லையாக இருந்தால் தேற்றமும் செல்லுபடியாகும், மேலும் f(z) செயல்பாடு களத்திலும் எல்லையிலும் பகுப்பாய்வாக இருந்தால், அதாவது. \overline(D) இல், வரையறையின்படி, \overline(D) இல் உள்ள பகுப்பாய்வு என்பது சில டொமைன் B உள்ள செயல்பாட்டின் பகுப்பாய்வைக் குறிக்கிறது. D~(B\supset\overline(D)), மற்றும் C ஆனது B இன் உள் விளிம்பாக இருக்கும்.

2. ஒரு செயல்பாட்டின் பகுப்பாய்வின் எளிமையாக இணைக்கப்பட்ட களத்தில் உள்ள பல்வேறு வளைவுகளின் ஒருங்கிணைப்புகள் மற்றும் இந்த டொமைனின் இரண்டு புள்ளிகளை இணைப்பது ஒன்றுக்கொன்று சமமாக இருக்கும், அதாவது. \int\limits_(l_1)f(z)dz= \int\limits_(l_2)f(z)dz, l_1 மற்றும் l_2 ஆகியவை z_1 மற்றும் z_2 புள்ளிகளை இணைக்கும் தன்னிச்சையான வளைவுகள் (படம் 2.46).

அதை நிரூபிக்க, வளைவு l_1 (புள்ளி z_1 இலிருந்து z_2 வரை) மற்றும் வளைவு l_2 (புள்ளி z_2 இலிருந்து z_1 வரை) ஆகியவற்றைக் கொண்ட விளிம்பு C ஐக் கருத்தில் கொண்டால் போதும். சொத்தை பின்வருமாறு உருவாக்கலாம். ஒரு பகுப்பாய்வு செயல்பாட்டின் ஒருங்கிணைப்பானது, செயல்பாட்டின் பகுப்பாய்வு களத்தில் இரண்டு புள்ளிகளை இணைக்கும் ஒருங்கிணைப்பு வளைவின் வகையைச் சார்ந்தது அல்ல, மேலும் இந்த டொமைனை விட்டு வெளியேறாது.

இது ஒருங்கிணைப்பின் பண்புகள் பற்றி மேலே கொடுக்கப்பட்ட அறிக்கை 2.25 க்கு ஒரு நியாயத்தை வழங்குகிறது \int\limits_(z_0)^(z)f(\xi)d\xiமற்றும் ஒரு பழமையான பகுப்பாய்வு செயல்பாட்டின் இருப்பு பற்றி.

ஒரு சிக்கலான விளிம்புக்கான கௌச்சியின் தேற்றம்

தேற்றம் 2.2 (Cauchy's theorem for a complex contour). f(z) சார்பு ஒரு சிக்கலான விளிம்பால் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட பெருக்கி இணைக்கப்பட்ட டொமைனில் பகுப்பாய்வாக இருந்தால், மற்றும் இந்த விளிம்பில், டொமைனின் எல்லையில் உள்ள செயல்பாட்டின் ஒருங்கிணைப்பானது பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும், அதாவது C என்பது சிக்கலான விளிம்பாக இருந்தால் - டொமைனின் எல்லை, பின்னர் சூத்திரம் (2.54) செல்லுபடியாகும் ).

(n+1) க்கான சிக்கலான விளிம்பு C - இணைக்கப்பட்ட பகுதியானது வெளிப்புற விளிம்பு \காமா மற்றும் உள்- C_i,~i=1,2,\ldots,n; விளிம்புகள் ஜோடிகளாக வெட்டுவதில்லை, எல்லை மாற்றுப்பாதை நேர்மறையாக உள்ளது (படம் 2.47, n=3 இல்).

தேற்றம் 2.2 ஐ நிரூபிக்க, பிராந்தியத்தில் வெட்டுக்களை (படம் 2.47 இல் புள்ளியிடப்பட்ட கோடு) செய்தால் போதுமானது, இதனால் இரண்டு வெறுமனே இணைக்கப்பட்ட பகுதிகள் பெறப்பட்டு தேற்றம் 2.1 ஐப் பயன்படுத்தவும்.

தேற்றம் 2.2 இலிருந்து தொடர்புகள்

1. தேற்றம் 2.2 இன் நிபந்தனைகள் பூர்த்தி செய்யப்படும்போது, ​​வெளிப்புற விளிம்பின் மேல் உள்ள ஒருங்கிணைப்பானது உள் வரையறைகளின் மேல் உள்ள ஒருங்கிணைப்புகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமமாக இருக்கும்; ஒரு திசையில் அனைத்து சுற்றுகளிலும் பைபாஸ் (படம் 2.48, n=2 இல்):

\oint\limits_(\Gamma)f(z)\,dz= \sum_(k=1)^(n) \oint\limits_(C_k)f(z)\,dz\,.

2. இந்த டொமைனின் புள்ளி a ஐத் தவிர்த்து, எளிமையாக இணைக்கப்பட்ட டொமைன் D மற்றும் டொமைனின் எல்லையில் f(z) பகுப்பாய்வாக இருந்தால், D டொமைனில் இருக்கும் பல்வேறு மூடிய வளைவுகளின் மீதான ஒருங்கிணைப்புகள் மற்றும் புள்ளி a கொண்ட களங்கள் தங்களுக்குள் சமமாக இருக்கும் (படம் 2.49):

\oint\limits_(C_k)f(z)\,dz= \oint\limits_(C_m)f(z)\,dz\,.

ஆதாரம் வெளிப்படையானது, ஏனெனில் இதுபோன்ற ஒவ்வொரு விளிம்பையும் இரட்டிப்பாக இணைக்கப்பட்ட பகுதியின் உள் எல்லையாகக் கருதலாம், இதன் வெளிப்புற எல்லையானது D பகுதியின் எல்லையாகும். n=1க்கான சூத்திரத்தின் (2.55) படி, அத்தகைய எந்த ஒரு ஒருங்கிணைப்பும் D எல்லைக்கு மேல் உள்ள ஒருங்கிணைப்புக்கு சமம்.

தேற்றம் 2.2 மற்றும் கோரோலரி 1 ஆகியவற்றின் சூத்திரங்களை தேற்றம் 2.1 இலிருந்து ஒப்பிட்டுப் பார்த்தால், பின்வரும் அறிக்கையின் வடிவத்தில் நாம் எழுதும் ஒரு பொதுமைப்படுத்தலைச் செய்ய அனுமதிக்கிறது.

அறிக்கை 2.27. D இல் f(z) பகுப்பாய்வாக இருந்தால், , C என்பது D டொமைனின் எல்லையாகும் (எளிய அல்லது சிக்கலான விளிம்பு).

ஒருங்கிணைந்த Cauchy சூத்திரம்

அடுத்த தேற்றம், முந்தைய இரண்டுக்கு மாறாக, ஒரு செயல்பாட்டின் ஒருங்கிணைப்பைக் கருதுகிறது, இது ஒருங்கிணைப்பு விளிம்பால் வரையறுக்கப்பட்ட பகுதியில் பகுப்பாய்வு செய்யாமல், ஒரு சிறப்பு வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது.

தேற்றம் 2.3. F(z) சார்பு D டொமைன் மற்றும் அதன் எல்லை C இல் பகுப்பாய்வாக இருந்தால், டொமைனின் எந்த ஒரு உள் புள்ளிக்கும் (a\in D) சமத்துவம் உள்ளது

F(a)= \frac(1)(2\pi i) \oint\limits_(C)\frac(f(z))(z-a)\,dz\,.

D பிராந்தியத்தை எளிமையாக இணைக்கலாம் அல்லது பெருக்கி இணைக்கலாம், மேலும் பிராந்தியத்தின் எல்லை ஒரு எளிய அல்லது சிக்கலான விளிம்பாக இருக்கலாம்.

எளிமையாக இணைக்கப்பட்ட டொமைனுக்கான ஆதாரம் தேற்றம் 2.1 இன் முடிவை அடிப்படையாகக் கொண்டது, மேலும் ஒரு பெருக்கல் இணைக்கப்பட்ட டொமைனுக்கு அது குறைக்கப்படாத வெட்டுக்களைச் செய்வதன் மூலம் (தேற்றம் 2.2 இன் ஆதாரத்தைப் போல) இணைக்கப்பட்ட டொமைன்களாக குறைக்கப்படுகிறது. புள்ளி a வழியாக செல்லவும்.

புள்ளி a பிராந்தியத்தின் எல்லைக்கு சொந்தமானது அல்ல, எனவே ஒருங்கிணைப்பு C இல் தொடர்ச்சியாக உள்ளது மற்றும் ஒருமைப்பாடு உள்ளது என்பதை கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும்.

தேற்றம் முக்கியமான பயன்பாட்டு ஆர்வத்தை கொண்டுள்ளது, அதாவது, சூத்திரத்தின் படி (2.57), செயல்பாட்டுக் கோட்பாட்டின் எல்லை மதிப்பு சிக்கல் என்று அழைக்கப்படுவது தீர்க்கப்படுகிறது: டொமைனின் எல்லையில் உள்ள செயல்பாட்டின் மதிப்புகளிலிருந்து, எந்த உள்நிலையிலும் அதன் மதிப்பு புள்ளி தீர்மானிக்கப்படுகிறது.

குறிப்பு 2.11.தேற்றத்தின் நிபந்தனைகளின் கீழ், ஒருங்கிணைந்த \frac(1)(2\pi i) \oint\limits_(C)\frac(f(\xi))(\xi-a)\,d\xiஎந்தப் புள்ளியிலும் z ஒரு பகுப்பாய்வுச் செயல்பாட்டை வரையறுக்கிறது. D) இது காச்சியின் தேற்றத்தின் அடிப்படையில் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம். இந்த ஒருங்கிணைப்பு, Cauchy integral எனப்படும், Cauchy வகை ஒருங்கிணைப்பின் (2.48) ஒரு சிறப்பு வழக்கு. இங்கே (2.48) உள்ள தன்னிச்சையான ஒன்றுக்கு மாறாக, விளிம்பு மூடப்பட்டுள்ளது, மேலும் f(z) செயல்பாடு பகுப்பாய்வு ஆகும், இது l இன் (2.48) இல் தொடர்வதற்கு மாறாக உள்ளது. எனவே, Cauchy இன்டெக்ரலுக்கு, Cauchy வகையின் ஒருங்கிணைப்புக்காக வடிவமைக்கப்பட்ட வழித்தோன்றல்களின் இருப்பு பற்றிய அறிக்கை 2.26 செல்லுபடியாகும். இதன் அடிப்படையில், பின்வரும் அறிக்கையை உருவாக்கலாம்.

அறிக்கை 2.28

1. பகுப்பாய்வின் எந்தப் புள்ளியிலும் உள்ள பகுப்பாய்வு செயல்பாடு ஒரு ஒருங்கிணைந்ததாக எழுதப்படலாம்

F(z)= \frac(1)(2\pi i) \oint\limits_(C)\frac(f(\xi))(\xi-z)\,d\xi,\quad z\in D \,.

2. ஒரு பகுப்பாய்வு செயல்பாடு எந்த வரிசையின் வழித்தோன்றல்களைக் கொண்டுள்ளது, அதற்கான சூத்திரம் செல்லுபடியாகும்

F^((n))(z)= \frac(n{2\pi i} \oint\limits_{C}\frac{f(\xi)}{(\xi-z)^{n+1}}\,d\xi\,. !}

ஃபார்முலா (2.59) பகுப்பாய்வு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்களின் ஒருங்கிணைந்த பிரதிநிதித்துவத்தை அளிக்கிறது.

மூடிய வளைய ஒருங்கிணைப்புகளைக் கணக்கிடுகிறது

படிவத்தின் ஒருங்கிணைப்புகளை நாங்கள் கருத்தில் கொள்வோம் \oint\limits_(C)\frac(\varphi(z))(\psi(z))\,dz, இங்கு \varphi(z) சார்பு D இல் பகுப்பாய்வாக உள்ளது, மேலும் \psi(z) என்பது ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை ஆகும், இது C விளிம்பில் பூஜ்ஜியங்கள் இல்லை. ஒருங்கிணைப்புகளைக் கணக்கிட, முந்தைய விரிவுரையின் கோட்பாடுகள் மற்றும் அவற்றின் தொடர்புகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

விதி 2.6. படிவத்தின் ஒருங்கிணைப்புகளை கணக்கிடும் போது \oint\limits_(C)f(z)\,dzபல்லுறுப்புக்கோவை \psi(z) பூஜ்ஜியங்களின் தன்மை (பெருக்கம்) மற்றும் அதன் எல்லை C உடன் தொடர்புடைய இருப்பிடத்தைப் பொறுத்து, நான்கு நிகழ்வுகளை வேறுபடுத்தி அறியலாம்.

1. D டொமைனில் \psi(z) பல்லுறுப்புக்கோவையின் பூஜ்ஜியங்கள் இல்லை. பிறகு f(z)= \frac(\varphi(z))(\psi(z))செயல்பாடு பகுப்பாய்வு மற்றும், Cauchy இன் அடிப்படைத் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம், எங்களிடம் முடிவு உள்ளது \oint\limits_(C)f(z)\,dz=0.

2. D பகுதியில் ஒரு எளிய பூஜ்ஜியம் z=a பல்லுறுப்புக்கோவையின் \psi(z) . பின் நாம் \frac(f(z))(z-a) வடிவத்தில் பின்னத்தை எழுதுகிறோம், இங்கு f(z) என்பது \overline(D) இல் பகுப்பாய்வு செய்யக்கூடிய ஒரு செயல்பாடாகும். ஒருங்கிணைந்த சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம், முடிவைப் பெறுகிறோம்:

\oint\limits_(C)\frac(\varphi(z))(\psi(z))\,dz= \oint\limits_(C)\frac(f(z))(z-a)\,dz= 2 \pi i\cdot f(a).

3. D பகுதியில் ஒரு பல பூஜ்ஜியம் z=a பல்லுறுப்புக்கோவை \psi(z) (பல n) உள்ளது. பின்னர் நாம் பின்னத்தை வடிவத்தில் எழுதுகிறோம் \frac(f(z))((z-a)^n), f(z) என்பது \overline(D) இல் உள்ள பகுப்பாய்வு ஆகும். சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் (2.59), நாங்கள் முடிவைப் பெறுகிறோம்

\oint\limits_(C)\frac(f(z))((z-a)^n)\,dz= \frac(2\pi i)((n-1)f^{(n-1)}(a). !}

4. பகுதி D பல்லுறுப்புக்கோவையின் இரண்டு பூஜ்ஜியங்களைக் கொண்டுள்ளது \psi(z)\colon\,z_1=aமற்றும் z_2=b . பின்னர், தேற்றம் 2.2 இலிருந்து கோரோலரி 1 ஐப் பயன்படுத்தி, \oint\limits_(C)\frac(dz)(z-a) வடிவத்தில் ஒருங்கிணைப்பை எழுதுகிறோம், இதில் C என்பது புள்ளி a கொண்ட பகுதியைக் கட்டுப்படுத்தும் தன்னிச்சையான விளிம்பு ஆகும்.

▼ தீர்வு

இரட்டிப்பாக இணைக்கப்பட்ட பகுதியைக் கவனியுங்கள், அதன் ஒரு எல்லையானது விளிம்பு C ஆகும், மற்றொன்று வட்டம் |z-a|=R. தேற்றம் 2.2 இலிருந்து முடிவு 2 (பார்க்க (2.56)) எங்களிடம் உள்ளது

\oint\limits_(C)\frac(dz)(z-a)= \oint\limits_(|z-a|=R)\frac(dz)(z-a)\,.

உதாரணம் 2.84 (சூத்திரம் (2.52)) தீர்க்கும் முடிவை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்வதன் மூலம், நாங்கள் பதிலைப் பெறுகிறோம் \oint\limits_(C) \frac(dz)(z-a)=2\pi i.

F(z)=1 உடன் Cauchy ஒருங்கிணைந்த சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் தீர்வைப் பெறலாம் என்பதை நினைவில் கொள்ளவும். குறிப்பாக, நாம் பெறுகிறோம் \oint\limits_(C)\frac(dz)(z)=2\pi i, C ஆனது z=0 என்ற புள்ளியை ஒரு முறை சுற்றி வருவதால். விளிம்பு C புள்ளியை z=0 k முறை நேர்மறை (k>0) அல்லது எதிர்மறை திசையில் (k<0) , то \oint\limits_(C)\frac(dz)(z)=2k\pi i.

எடுத்துக்காட்டு 2.88.கணக்கிடுங்கள் \oint\limits_(l)\frac(dz)(z), l என்பது புள்ளிகள் 1 மற்றும் z ஐ இணைக்கும் வளைவு, ஒரு முறை மூலத்தை சுற்றி செல்லும்.

▼ தீர்வு

ஒருங்கிணைப்பு வளைவில் தொடர்ச்சியாக உள்ளது - ஒருமைப்பாடு உள்ளது. கணக்கீட்டிற்கு, முந்தைய எடுத்துக்காட்டு மற்றும் எடுத்துக்காட்டு 2.85 இன் முடிவுகளைப் பயன்படுத்துகிறோம். இதை செய்ய, ஒரு மூடிய வளையத்தை கருத்தில் கொண்டு, இணைக்கும், எடுத்துக்காட்டாக, புள்ளி 1 உடன் புள்ளி A (படம் 2.50). புள்ளி 1 முதல் புள்ளி z வரையிலான புள்ளி A வரையிலான ஒருங்கிணைப்பு பாதை இப்போது இரண்டு வளைவுகளைக் கொண்டதாகக் குறிப்பிடப்படுகிறது - ஒரு மூடிய விளிம்பு C (வளைவு BDEFAB) மற்றும் ஒரு வளைவு l_0 இணைக்கும் புள்ளிகள் 1 மற்றும் z மூலம் புள்ளி A\colon

\oint\limits_(l)\frac(dz)(z)= \oint\limits_(C)\frac(dz)(z)+ \oint\limits_(l_0) \frac(dz)(z)\,.

எடுத்துக்காட்டுகள் 2.85 மற்றும் 2.87 இன் முடிவுகளைப் பயன்படுத்தி, நாங்கள் பதிலைப் பெறுகிறோம்:

\oint\limits_(l)\frac(dz)(z)= \int\limits_(1)^(z)\frac(1)(z)=\ln z+2\pi i\,.

வடிவியல் படத்தை மாற்றாமல், வளைவு தோற்றம் n முறை சுற்றி செல்லும் போது நாம் வழக்கை கருத்தில் கொள்ளலாம். முடிவைப் பெறுவோம்

\oint\limits_(l)\frac(dz)(z)= \int\limits_(1)^(z)\frac(1)(z)=\ln z+2n\pi i\,.

இதன் விளைவாக வரும் வெளிப்பாடு ஒரு பன்முக மதிப்புடைய செயல்பாட்டை வரையறுக்கிறது \operatorname(Ln)z= \int\limits_(1)^(z)\frac(dz)(z), ஒருங்கிணைப்பு பாதை தோற்றம் வழியாக செல்லவில்லை. ஒரு பல்மதிப்பு வெளிப்பாட்டின் கிளையின் தேர்வு சில புள்ளியில் செயல்பாட்டின் மதிப்பைக் குறிப்பிடுவதன் மூலம் தீர்மானிக்கப்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டு 2.89.கண்டுபிடி \ln2i= \int\limits_(1)^(2i)\frac(1)(z), என்றால் \ln1=4\pi i .

▼ தீர்வு

வகுப்பின் பூஜ்ஜியங்களைக் காண்கிறோம் - ஒருங்கிணைப்பின் ஒருமைப் புள்ளிகள். இவைதான் புள்ளிகள் z_1=0,~ z_(2,3)=\pm4i. அடுத்து, ஒருங்கிணைப்பு விளிம்புடன் தொடர்புடைய புள்ளிகளின் இருப்பிடத்தை நீங்கள் தீர்மானிக்க வேண்டும். இரண்டு சந்தர்ப்பங்களிலும், விளிம்பால் வரையறுக்கப்பட்ட பகுதியில் புள்ளிகள் எதுவும் சேர்க்கப்படவில்லை. வரைபடத்தைப் பயன்படுத்தி இதைச் சரிபார்க்கலாம். இரண்டு வரையறைகளும் வட்டங்கள், முதல் மையமானது z_0=2+i மற்றும் ஆரம் R=2; இரண்டாவது z_0=-2i மற்றும் R=1 இன் மையம். ஒரு புள்ளி ஒரு பிராந்தியத்திற்கு வேறுபட்டதா என்பதை நீங்கள் தீர்மானிக்கலாம், அதாவது, வட்டத்தின் மையத்திலிருந்து அதன் தூரத்தை தீர்மானித்து அதை ஆரம் மதிப்புடன் ஒப்பிடலாம். எடுத்துக்காட்டாக, புள்ளி z_2=4iக்கு இந்த தூரம் சமம் |4i-2-i|=|3i-2|=\sqrt(13), இது ஆரம் (\sqrt(13)>2) ஐ விட பெரியது, எனவே z_2=4i வட்டம் |z-2-i|<2 . В обоих случаях подынтегральная функция является, аналитической в соответствующих кругах. Следовательно, согласно теореме Коши (пункт 1 правил 2.6), интеграл равен нулю. Заметим, что заданный интеграл равен нулю и для любого другого контура, ограничивающего область, в которую не входят ни одна из особых точек - нулей знаменателя.

எடுத்துக்காட்டு 2.91.பின்வரும் நிகழ்வுகளில் C\colon a) |z|=2 ; b) |z+1+i|=2 .

▼ தீர்வு

முந்தைய எடுத்துக்காட்டில் உள்ளதைப் போலவே, இரண்டு நிகழ்வுகளிலும் z_1=0 என்ற ஒற்றை புள்ளிகளில் ஒன்று மட்டுமே வட்டங்களுக்குள் அமைந்திருப்பதைக் காண்கிறோம். எனவே, விதிகள் 2.6 (Cauchy integral formula) இன் பத்தி 2 ஐப் பயன்படுத்தி, ஒருங்கிணைந்த செயல்பாட்டை ஒரு பின்னமாக எழுதுகிறோம். \frac(1)(z)\cdot \frac(\sin z)(z^2+16), எங்கே எண் f(z)= \frac(\sin z)(z^2+16)- இந்த வட்டங்களில் பகுப்பாய்வு செய்யும் ஒரு செயல்பாடு. இரண்டு நிகழ்வுகளுக்கும் ஒரே பதில்:

\oint\limits_(C)\frac(\sin z)(z(z^2+16))\,dz= \left.(2\pi i \cdot \frac(\sin z)(z^2+ 16))\வலது|_(z=0)=0.

எடுத்துக்காட்டு 2.92.கணக்கிடுங்கள் \oint\limits_(C)\frac(\sin z)(z^3+16z)\,dz C\colon a) |z+4i|=2 ; b) |z-1+3i|=2 .

▼ தீர்வு

ஒருங்கிணைப்பு வரையறைகள் மேலே உள்ளவாறு வட்டங்களாகும், மேலும் "a" புள்ளியில் மையம் z_0=-4i,~R=2, வழக்கில் "b" - புள்ளி z_0=1-3i,~R=2.nIn இரண்டு சந்தர்ப்பங்களிலும், ஒரு புள்ளி z_0=-4i தொடர்புடைய வட்டங்களுக்குள் வரும். விதிகள் 2.6 இன் பிரிவு 2 ஐப் பயன்படுத்துவதன் மூலம், ஒருங்கிணைந்த செயல்பாட்டைப் படிவத்தில் எழுதுகிறோம் \frac(1)(z+4i)\frac(\sin z)(z(z-4i)), எங்கே எண் f(z)=\frac(\sin z)(z(z-4i))பரிசீலனையில் உள்ள பகுதிகளில் ஒரு பகுப்பாய்வு செயல்பாடு ஆகும். ஒருங்கிணைந்த சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம், நாங்கள் பதிலைப் பெறுகிறோம்:

\oint\limits_(C)\frac(\sin z)(z^3+16z)\,dz= \left.(2\pi i\cdot \frac(\sin z)(z(z-4i)) )\right|_(z=-4i)= 2\pi i\cdot \frac(-\sin4i)(-32)= \frac(\pi i\cdot i \operatorname(sh)1)(16)= -\frac(\pi \operatorname(sh)1)(16)\,.

எடுத்துக்காட்டு 2.93.விளிம்பைக் குறிப்பிடும் பின்வரும் நிகழ்வுகளில் ஒருங்கிணைப்பைக் கணக்கிடவும்: a) |z+i|=1 ; b) |z+2+i|=2 .

▼ தீர்வு

ஒருமைப்பாட்டின் ஒருமைப் புள்ளிகளைக் காண்கிறோம் - z_1=i,~z_2=-2 என்ற வகுப்பின் பூஜ்ஜியங்கள். புள்ளிகள் தொடர்புடைய பகுதிகளைச் சேர்ந்தவை என்பதை நாங்கள் தீர்மானிக்கிறோம். வட்டத்தில் "a" வழக்கில் |z+i|<1 не входит ни одна точка. Следовательно, интеграл в этом случае равен нулю.

வட்டத்தில் "b" என்றால் |z+2+i|<2 радиуса 2 с центром в точке z_0=-2-i входит одна точка: z=-2 . Записываем дробь в виде \frac(1)(z+2)\frac(e^z)((z-i)^2), எங்கே f(z)=\frac(e^z)((z-i)^2)- வட்டத்தில் பகுப்பாய்வு செயல்பாடு |z+2+i|<2 . Вычисляем интеграл:

\oint\limits_(C)\frac(e^z\,dz)((z-i)^2(z+2))= 2\pi i\cdot \frac(e^(-2))((2+ i)^2)= \frac(2\pi)(25)e^(-2)(4+3i).

எடுத்துக்காட்டு 2.94.ஒருங்கிணைந்த கணக்கீடு \oint\limits_(C)\frac(e^z\,dz)((z-i)^2(z+2))ஒரு விளிம்பைக் குறிப்பிடும் பின்வரும் நிகழ்வுகளில்: a) |z-i|=2 ; b) |z+2-i|=3 .

▼ தீர்வு

அ) வட்டத்திற்குள் |z-i|<2 попадает точка z=i . Записываем функцию \frac(1)((z-i)^2)\frac(e^z)(z+2)மற்றும் விதிகள் 2.6 இன் பிரிவு 3ஐ m=2 மற்றும் a=i உடன் பயன்படுத்தவும். நாங்கள் ஒருங்கிணைப்பைக் கணக்கிடுகிறோம்:

\oint\limits_(C)\frac(e^z\,dz)((z-i)^2(z+2))= \left.(2\pi i \left(\frac(e^z)(z+ 2)\right)")\right|_(z=i)= \left.(2\pi i\cdot \frac(e^z(z+2)-e^z)((z+2)^ 2))\right|_(z=i)= \left.(2\pi i\cdot \frac(e^z(1+z))((z+2)^2))\right|_( z=i)= \frac(2\pi i(1+i))((2+i)^2)\,e^(i).

b) வட்டத்திற்குள் |z+2-i|<3 входят обе точки z_1=i,~z_2=-2 . Решаем в соответствии с п. 4 правил 2.6. Записываем интеграл в виде суммы двух интегралов:

\oint\limits_(C)f(z)\,dz= \oint\limits_(C_1)f(z)\,dz+ \oint\limits_(C_2) f(z)\,dz\,.

C_1 மற்றும் C_2 ஒவ்வொரு வரையறைகளும் ஒரு புள்ளியை மட்டுமே உள்ளடக்கும். குறிப்பாக, "a" என்ற முந்தைய வழக்கின் வட்டத்தை C_1 விளிம்பாக எடுத்துக் கொள்ளலாம்; C_2 - உதாரணம் 2.93 "b" இலிருந்து வட்டம், அதாவது. பெறப்பட்ட முடிவுகளை நீங்கள் பயன்படுத்தலாம். நாங்கள் பதிலை எழுதுகிறோம்:

\oint\limits_(C)\frac(e^z\,dz)((z-i)^2(z+2))= 2\pi i\cdot \frac(e^(-2))((2+ i)^2)+ 2\pi i\cdot \frac(1+i)((2+i)^2)\,e^(i)= \frac(2\pi i)((2+i) ^2)\bigl(e^(-2)+e^(i)(1+i)\bigr).

உங்கள் உலாவியில் Javascript முடக்கப்பட்டுள்ளது.
கணக்கீடுகளைச் செய்ய, நீங்கள் ActiveX கட்டுப்பாடுகளை இயக்க வேண்டும்!

கால்குலேட்டர் ரஷ்ய மொழியில் மற்றும் இலவசமாக செயல்களின் விளக்கத்துடன் ஒருங்கிணைப்புகளைத் தீர்க்கிறது!

காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்புகளைத் தீர்ப்பது

இது ஒரு ஆன்லைன் சேவை ஒரு படி:

திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்புகளைத் தீர்ப்பது

இது ஒரு ஆன்லைன் சேவை ஒரு படி:

• ஒருங்கிணைந்த வெளிப்பாட்டை உள்ளிடவும் (ஒருங்கிணைந்த செயல்பாடு)
• ஒருங்கிணைப்புக்கு குறைந்த வரம்பை உள்ளிடவும்
• ஒருங்கிணைப்புக்கான மேல் வரம்பை உள்ளிடவும்

இரட்டை ஒருங்கிணைப்புகளைத் தீர்ப்பது

• ஒருங்கிணைந்த வெளிப்பாட்டை உள்ளிடவும் (ஒருங்கிணைந்த செயல்பாடு)

முறையற்ற ஒருங்கிணைப்புகளைத் தீர்ப்பது

• ஒருங்கிணைந்த வெளிப்பாட்டை உள்ளிடவும் (ஒருங்கிணைந்த செயல்பாடு)
• ஒருங்கிணைப்பின் மேல் வரம்பை உள்ளிடவும் (அல்லது + முடிவிலி)
• ஒருங்கிணைப்பின் கீழ் பகுதியை உள்ளிடவும் (அல்லது - முடிவிலி)

மூன்று ஒருங்கிணைப்புகளைத் தீர்ப்பது

• ஒருங்கிணைந்த வெளிப்பாட்டை உள்ளிடவும் (ஒருங்கிணைந்த செயல்பாடு)
• முதல் ஒருங்கிணைப்பு பகுதிக்கான கீழ் மற்றும் மேல் வரம்புகளை உள்ளிடவும்
• இரண்டாவது ஒருங்கிணைப்பு பகுதிக்கான கீழ் மற்றும் மேல் வரம்பை உள்ளிடவும்
• ஒருங்கிணைப்பின் மூன்றாவது பகுதிக்கான கீழ் மற்றும் மேல் வரம்பை உள்ளிடவும்

இந்த சேவை உங்களை சரிபார்க்க அனுமதிக்கிறது கணக்கீடுகள்சரியான தன்மைக்காக

சாத்தியங்கள்

• சாத்தியமான அனைத்து கணித செயல்பாடுகளையும் ஆதரிக்கிறது: சைன், கொசைன், எக்ஸ்போனென்ட், டேன்ஜென்ட், கோட்டான்ஜென்ட், ஸ்கொயர் மற்றும் க்யூபிக் வேர்கள், பவர்ஸ், எக்ஸ்போனென்ஷியல்ஸ் மற்றும் பிற.
• உள்ளீட்டிற்கான எடுத்துக்காட்டுகள் உள்ளன, காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்புகள் மற்றும் முறையற்ற மற்றும் திட்டவட்டமானவை.
• நீங்கள் உள்ளிடும் வெளிப்பாடுகளில் உள்ள பிழைகளை சரிசெய்து, உள்ளீட்டிற்கான உங்கள் சொந்த விருப்பங்களை வழங்குகிறது.
• திட்டவட்டமான மற்றும் முறையற்ற ஒருங்கிணைப்புக்கான எண் தீர்வு (இரட்டை மற்றும் மூன்று ஒருங்கிணைப்புகள் உட்பட).
• சிக்கலான எண்கள் மற்றும் பல்வேறு அளவுருக்களுக்கான ஆதரவு (நீங்கள் ஒருங்கிணைப்பு மாறியை மட்டும் குறிப்பிடலாம், ஆனால் ஒருங்கிணைக்கப்பட்ட வெளிப்பாட்டில் உள்ள மற்ற அளவுரு மாறிகளையும் குறிப்பிடலாம்)

அளவுரு சமன்பாடுகளால் வரையறுக்கப்பட்ட சிக்கலான விமானத்தில் ஒரு மென்மையான வளைவைக் கருத்தில் கொள்வோம்

(ஒரு மென்மையான வளைவின் வரையறை §8 இன் தொடக்கத்தில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது). § 8 இல் குறிப்பிட்டுள்ளபடி, இந்த சமன்பாடுகளை ஒரு சிறிய வடிவத்தில் எழுதலாம்:

அளவுருவை மாற்றும்போது டிஇருந்து ஏ/3 தொடர்புடைய புள்ளி z(t)வளைவு Г உடன் நகரும் எனவே, சமன்பாடுகள் (15.1) மற்றும் (15.2) வளைவின் புள்ளிகளைத் தீர்மானிப்பது மட்டுமல்லாமல், இந்த வளைவின் பயணத்தின் திசையையும் குறிப்பிடுகின்றன. ஒரு வளைவு Г அதன் பயணத்தின் கொடுக்கப்பட்ட திசையுடன் அழைக்கப்படுகிறது சார்ந்த வளைவு.

பகுதியில் விடுங்கள் டி C C க்கு தொடர்ச்சியான செயல்பாடு /(r) = = வழங்கப்படுகிறது u(x, y) + iv(x. y),மற்றும் G வளைவு உள்ளே இருக்கட்டும் டி.ஒருங்கிணைந்த கருத்தை அறிமுகப்படுத்த [f(z)dzசெயல்பாட்டில் இருந்து f(z)வளைவில் Г, நாங்கள் r ஐ தீர்மானிக்கிறோம்

வித்தியாசமான dzசமத்துவம் dz = dx + ஐடி.ஒருங்கிணைந்த வெளிப்பாடு வடிவத்திற்கு மாற்றப்படுகிறது

இவ்வாறு, சிக்கலான செயல்பாட்டின் ஒருங்கிணைப்பு f(z)வளைவில் Г சமத்துவத்தால் வரையறுப்பது இயற்கையானது

இதன் வலது பக்கம் இரண்டாவது வகையான உண்மையான செயல்பாடுகளின் இரண்டு உண்மையான வளைவு ஒருங்கிணைப்புகளை உள்ளடக்கியது மற்றும்மற்றும் மற்றும்.இந்த ஒருங்கிணைப்புகளை கணக்கிட, அதற்கு பதிலாக எக்ஸ்மற்றும் மணிக்குமாற்று செயல்பாடுகள் x(t)மற்றும் t/(/), மற்றும் அதற்கு பதிலாக dxமற்றும் dy-இந்த செயல்பாடுகளின் வேறுபாடுகள் dx = x"(t)dtமற்றும் dy = y"(t)dt.பின்னர் (15.3) இன் வலது பக்கத்தில் உள்ள ஒருங்கிணைப்புகள் ஒரு உண்மையான மாறியின் செயல்பாடுகளின் இரண்டு ஒருங்கிணைப்புகளாக குறைக்கப்படும். டி

நாம் இப்போது பின்வரும் வரையறையை கொடுக்க தயாராக இருக்கிறோம்.

ஒரு வளைவுடன் ஒருங்கிணைந்தஜி ஒரு சிக்கலான மாறி f(z) செயல்பாட்டின் மீதுஎன்பது குறிக்கப்படும் எண் J" f(z)dzமற்றும் மூலம் கணக்கிடப்படுகிறது

எங்கே z(t) = x(t) + iy(t), a ^ t ^ ft, -வளைவின் சமன்பாடு Г, a z"(t) = = x"(டி) + iy"(t).

எடுத்துக்காட்டு 15.1. ஒரு செயல்பாட்டின் ஒருங்கிணைப்பைக் கணக்கிடுங்கள் f(z) = (g - a) பமைய a உடன் r ஆரம் கொண்ட ஒரு வட்டத்துடன், அதன் திசை எதிரெதிர் திசையில் உள்ளது.

தீர்வு: ஒரு வட்டத்தின் சமன்பாடு z - a= r இருக்கும் z - a = geஒரு, அல்லது

அது மாறும் போது டி. 0 முதல் 2 டிஜி புள்ளி வரை z(t.) G வட்டத்தில் எதிரெதிர் திசையில் நகரும். பிறகு

சமத்துவம் (15.5) மற்றும் Moivre இன் சூத்திரம் (2.10) ஆகியவற்றைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம், நாங்கள் பெறுகிறோம்

மேலும் விவாதத்திற்கு முக்கியமான முடிவைப் பெற்றுள்ளோம்:

ஒருங்கிணைப்பின் மதிப்பு ஆரம் சார்ந்து இல்லை என்பதை நினைவில் கொள்ளவும் ஜிவட்டங்கள்.

எடுத்துக்காட்டு 15.2. ஒரு செயல்பாட்டின் ஒருங்கிணைப்பைக் கணக்கிடுங்கள் f(z) = 1 ஆனால் புள்ளியில் தொடக்கத்துடன் ஒரு மென்மையான வளைவு Г ஏமற்றும் ஒரு புள்ளியில் முடிவடையும் பி.

வளைவு Г சமன்பாட்டின் மூலம் கொடுக்கப்படும் z(t.) = x(t) + + iy(t), மற்றும் ^ டி^ /3, மற்றும் ஏ= -g(a), பி = z((3).ஃபார்முலா (15.5) மற்றும் நியூட்டனின் லீப்னிஸ் ஃபார்முலா ஆகியவற்றைப் பயன்படுத்தி உண்மையான செயல்பாடுகளின் ஒருங்கிணைப்புகளைக் கணக்கிடுகிறோம்.

ஒருங்கிணைப்பு என்று பார்க்கிறோம் f 1 dz G, இணைக்கும் பாதையின் வகையைச் சார்ந்தது அல்ல

பொதுவான புள்ளிகள் a மற்றும் 6, a இறுதிப் புள்ளிகளை மட்டுமே சார்ந்துள்ளது.

ஒரு சிக்கலான செயல்பாட்டின் ஒருங்கிணைப்பை தீர்மானிப்பதற்கான மற்றொரு அணுகுமுறையை சுருக்கமாக கோடிட்டுக் காட்டுவோம் f(z)ஒரு வளைவுடன், ஒரு பிரிவின் மீது ஒரு உண்மையான செயல்பாட்டின் ஒருங்கிணைப்பின் வரையறையைப் போன்றது.

வளைவை Г தன்னிச்சையாக பிரிப்போம் பிபுள்ளிகள் கொண்ட அடுக்குகள் zq = a, z 1, ..., z n-ь z n = b,தொடக்கப் புள்ளியிலிருந்து இறுதிப் புள்ளி வரை இயக்கத்தின் திசையில் எண்ணப்பட்டது (படம் 31). குறிப்போம் z - zo = = Az> ... , Zlc - Zk-l = Az/c, z n -Zn- 1 = = அஸ்ன்.(எண் அஸ்க்புள்ளியில் இருந்து வரும் திசையன் மூலம் குறிப்பிடப்படுகிறது zi L_i in Zk-)ஒவ்வொரு தளத்திலும் (zk-i,Zk)வளைவின் தன்னிச்சையான புள்ளியை (d-) தேர்ந்தெடுத்து, கூட்டுத்தொகையை உருவாக்கவும்

இந்த தொகை அழைக்கப்படுகிறது ஒருங்கிணைந்த தொகை.வளைவு G வகுக்கப்பட்டுள்ள பிரிவுகளின் மிகப்பெரிய நீளத்தை A ஆல் குறிப்பிடுவோம், எந்த A -க்கான பகிர்வுகளின் வரிசையைக் கருத்தில் கொள்வோம். 0 (அதே நேரத்தில் பி-* oo).

பகிர்வின் மிகப்பெரிய பிரிவின் நீளம் பூஜ்ஜியமாக இருக்கும் என்ற நிபந்தனையின் கீழ் கணக்கிடப்படும் ஒருங்கிணைந்த தொகைகளின் அலகு, எனப்படும் செயல்பாட்டின் ஒருங்கிணைந்த/(ஜி) வளைவுடன்ஜி மற்றும் ஜி ஆல் குறிக்கப்படுகிறது f(z)dz:

இந்த வரையறை நம்மை சூத்திரத்திற்கு (15.3) இட்டுச் செல்கிறது என்றும், எனவே மேலே கொடுக்கப்பட்ட வரையறைக்கு (15.5) சமமானது என்றும் காட்டலாம்.

ஒருங்கிணைப்பின் அடிப்படை பண்புகளை நிறுவுவோம் / f(z)dz.

1°. நேர்கோட்டுத்தன்மை. எந்த சிக்கலான மாறிலிகளுக்கும் a மற்றும் b

இந்த சொத்து சமத்துவம் (15.5) மற்றும் ஒரு பிரிவின் மேல் உள்ள ஒருங்கிணைப்பின் தொடர்புடைய பண்புகளிலிருந்து பின்பற்றப்படுகிறது.

2°. சேர்க்கை. வளைவு என்றால்ஜி பிரிவுகளாக பிரிக்கப்பட்டுள்ளது Tiமீ ஜி2, அந்த

ஆதாரம். வளைவு G ஆனது a முனைகளுடன் இருக்கட்டும், பிபுள்ளி c மூலம் இரண்டு பகுதிகளாகப் பிரிக்கவும்: வளைவு Gi முனைகளுடன் a, உடன்மற்றும் வளைவு GG முனைகளுடன் c, பி.Γ ஐ சமன்பாட்டின் மூலம் கொடுக்கலாம் z = z(t), ஏ ^ டி ^ வி.மற்றும் ஏ= 2(a), பி = z(அடி), c = 2(7). பின்னர் வளைவுகளின் சமன்பாடுகள் Г1 மற்றும் Гг இருக்கும் z = z(t),எங்கே ஏ ^ டி Ti மற்றும் 7^க்கு ^7 டி^/? Ggக்கு. வரையறை (15.5) மற்றும் ஒரு பிரிவின் மேல் உள்ள ஒருங்கிணைந்த பண்புகளைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம், நாங்கள் பெறுகிறோம்

கே.இ.டி.

பண்பு 2°, மென்மையான வளைவுகளுக்கு மேல் மட்டுமல்லாமல், அதற்கு மேல் உள்ள ஒருங்கிணைப்புகளையும் கணக்கிட உங்களை அனுமதிக்கிறது துண்டு துண்டாக மென்மையானது, அதாவது வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான மென்மையான பிரிவுகளாகப் பிரிக்கக்கூடிய வளைவுகள்.

3°. வளைவின் திசையை மாற்றும் போது, ​​ஒருங்கிணைந்த மாற்றங்கள் அடையாளம்.

l s t v o இன் ஆதாரம். வளைவு Г முனைகளுடன் இருக்கட்டும் ஏமற்றும் பிசமன்பாடு r = r(?), o ^ மூலம் வழங்கப்படுகிறது டி ^ $. Γ போன்ற அதே புள்ளிகளைக் கொண்ட ஒரு வளைவு, ஆனால் Γ இலிருந்து மாறுபடும் திசையில் (நோக்குநிலை) Γ" ஆல் குறிக்கப்படும். பின்னர் Г - சமன்பாட்டால் வழங்கப்படுகிறது z= 2i(J)> எங்கே z(t)= 2(0 -I - fi - t),உண்மையில், ஒரு புதிய மாறி r = a + ஐ அறிமுகப்படுத்துவோம் - டி.அது மாறும் போது டிஒரு முதல் வரை (dமாறி g மாறுபடும் (5 ஒரு. இதன் விளைவாக, புள்ளி r(t) வளைவு Γ உடன் இயங்கும்."

3° சொத்து நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது. (ஒருங்கிணைந்த (15.8) வரையறையில் இருந்து இந்தப் பண்பு நேரடியாகப் பின்தொடர்கிறது: வளைவின் நோக்குநிலை மாறும்போது, ​​அனைத்து அதிகரிப்புகளும் AZkமாற்றம் அடையாளம்.)

4°. ஒருங்கிணைந்த f(z)dz இன் மாடுலஸ் வளைவின் மதிப்பை விட அதிகமாக இல்லைஜி

வளைவு s நீளத்துடன் செயல்பாட்டின் மாடுலஸின் நேரியல் ஒருங்கிணைப்பு (முதல் வகையான f(z) இன் வளைவு ஒருங்கிணைப்பு):

அதைப் பார்ப்பது எளிது z[(t) = g" g (t)(a + - t)ஜே = -z" t (t), dt = -dr

ஆதாரம். ஒரு பிரிவின் மீதான ஒருங்கிணைப்புக்கு என்ற உண்மையைப் பயன்படுத்துவோம்

(இந்த சமத்துவமின்மை ஒரு பிரிவின் மேல் உள்ள ஒருங்கிணைப்பின் வரையறையிலிருந்து ஒருங்கிணைந்த தொகைகளின் வரம்பிலிருந்து உடனடியாகப் பின்பற்றப்படுகிறது). இங்கிருந்து மற்றும் (15.5) எங்களிடம் உள்ளது