ஈருறுப்புப் பரவலானது அதன் வரம்பு வடிவமாகும். இருவகைப் பரவல்: வரையறை, சூத்திரம், உதாரணங்கள்

அனைத்து வாசகர்களுக்கும் வணக்கம்!

புள்ளிவிவர பகுப்பாய்வு, நமக்குத் தெரிந்தபடி, உண்மையான தரவின் சேகரிப்பு மற்றும் செயலாக்கத்தைக் கையாள்கிறது. வணிகம் பயனுள்ளதாகவும், பெரும்பாலும் லாபகரமாகவும் இருக்கிறது, ஏனெனில்... சரியான முடிவுகள் எதிர்காலத்தில் தவறுகள் மற்றும் இழப்புகளைத் தவிர்க்க உங்களை அனுமதிக்கின்றன, சில சமயங்களில் இந்த எதிர்காலத்தை சரியாக யூகிக்கவும். சேகரிக்கப்பட்ட தரவு சில கவனிக்கப்பட்ட நிகழ்வின் நிலையை பிரதிபலிக்கிறது. தரவு பெரும்பாலும் (ஆனால் எப்பொழுதும் இல்லை) எண்கள் மற்றும் கூடுதல் தகவலைப் பிரித்தெடுக்க கணித ரீதியாக கையாளப்படலாம்.

இருப்பினும், அனைத்து நிகழ்வுகளும் 1, 2, 3 ... 100500 போன்ற அளவு அளவில் அளவிடப்படுவதில்லை ... ஒரு நிகழ்வு எப்போதும் எல்லையற்ற அல்லது பெரிய எண்ணை எடுக்க முடியாது. பல்வேறு நிபந்தனைகள். எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு நபரின் பாலினம் M அல்லது F ஆக இருக்கலாம். துப்பாக்கி சுடும் வீரர் இலக்கைத் தாக்குகிறார் அல்லது தவறவிடுகிறார். நீங்கள் "ஆதரவு" அல்லது "எதிராக" போன்றவற்றில் வாக்களிக்கலாம். மற்றும் பல. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், அத்தகைய தரவு மாற்று பண்புக்கூறின் நிலையை பிரதிபலிக்கிறது - ஒன்று "ஆம்" (நிகழ்வு நிகழ்ந்தது) அல்லது "இல்லை" (நிகழ்வு நிகழவில்லை). நிகழும் நிகழ்வு (நேர்மறையான விளைவு) "வெற்றி" என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. இத்தகைய நிகழ்வுகள் பரவலாகவும் சீரற்றதாகவும் இருக்கலாம். எனவே, அவற்றை அளவிட முடியும் மற்றும் புள்ளிவிவர ரீதியாக சரியான முடிவுகளை எடுக்க முடியும்.

அத்தகைய தரவுகளுடன் சோதனைகள் அழைக்கப்படுகின்றன பெர்னோலி திட்டம், எப்போது என்று நிறுவிய பிரபல சுவிஸ் கணிதவியலாளரின் நினைவாக அதிக எண்ணிக்கைசோதனைகள், நேர்மறை விளைவுகளின் விகிதம் மற்றும் சோதனைகளின் மொத்த எண்ணிக்கை ஆகியவை இந்த நிகழ்வின் நிகழ்தகவைக் குறிக்கின்றன.

மாற்று பண்பு மாறி

பகுப்பாய்வில் கணிதக் கருவியைப் பயன்படுத்த, அத்தகைய அவதானிப்புகளின் முடிவுகள் எண் வடிவத்தில் பதிவு செய்யப்பட வேண்டும். இதைச் செய்ய, ஒரு நேர்மறையான விளைவு எண் 1, எதிர்மறை விளைவு - 0 என ஒதுக்கப்படுகிறது. வேறுவிதமாகக் கூறினால், 0 அல்லது 1 என்ற இரண்டு மதிப்புகளை மட்டுமே எடுக்கக்கூடிய ஒரு மாறியைக் கையாளுகிறோம்.

இதனால் என்ன பலன் கிடைக்கும்? உண்மையில், சாதாரண தரவை விட குறைவாக இல்லை. எனவே, நேர்மறை விளைவுகளின் எண்ணிக்கையைக் கணக்கிடுவது எளிது - எல்லா மதிப்புகளையும் சுருக்கவும், அதாவது. அனைத்து 1 (வெற்றி). நீங்கள் மேலும் செல்லலாம், ஆனால் இதற்கு இரண்டு குறிப்புகளை அறிமுகப்படுத்த வேண்டும்.

கவனிக்க வேண்டிய முதல் விஷயம் என்னவென்றால், நேர்மறையான முடிவுகள் (அவை 1 க்கு சமமானவை) நிகழும் சில நிகழ்தகவைக் கொண்டுள்ளன. எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு நாணயத்தைத் தூக்கி எறியும்போது தலையைப் பெறுவது ½ அல்லது 0.5 ஆகும். இந்த நிகழ்தகவு பாரம்பரியமாக லத்தீன் எழுத்தால் குறிக்கப்படுகிறது ப. எனவே, ஒரு மாற்று நிகழ்வின் நிகழ்தகவு சமமாக உள்ளது 1 - ப, இது என்றும் குறிக்கப்படுகிறது கே, அது q = 1 - ப. இந்த குறிப்புகளை மாறி விநியோக அட்டவணையின் வடிவத்தில் தெளிவாக முறைப்படுத்தலாம் எக்ஸ்.

இப்போது எங்களிடம் சாத்தியமான மதிப்புகள் மற்றும் அவற்றின் நிகழ்தகவுகளின் பட்டியல் உள்ளது. ஒரு சீரற்ற மாறியின் குறிப்பிடத்தக்க பண்புகளை நாம் கணக்கிட ஆரம்பிக்கலாம் எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்புமற்றும் சிதறல். கணித எதிர்பார்ப்பு அனைத்து சாத்தியமான மதிப்புகளின் தயாரிப்புகளின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் அவற்றின் தொடர்புடைய நிகழ்தகவுகளின் கூட்டுத்தொகையாக கணக்கிடப்படுகிறது என்பதை நான் உங்களுக்கு நினைவூட்டுகிறேன்:

மேலே உள்ள அட்டவணையில் உள்ள குறியீட்டைப் பயன்படுத்தி எதிர்பார்ப்பைக் கணக்கிடுவோம்.

ஒரு மாற்று அடையாளத்தின் கணித எதிர்பார்ப்பு இந்த நிகழ்வின் நிகழ்தகவுக்கு சமம் என்று மாறிவிடும் - ப.

இப்போது மாற்று பண்புகளின் மாறுபாடு என்ன என்பதை வரையறுப்போம். சிதறல் என்பது விலகல்களின் சராசரி சதுரம் என்பதையும் உங்களுக்கு நினைவூட்டுகிறேன் கணித எதிர்பார்ப்பு. பொதுவான சூத்திரம் (தனிப்பட்ட தரவுகளுக்கு):

எனவே மாற்று பண்புக்கூறின் மாறுபாடு:

இந்த சிதறல் அதிகபட்சம் 0.25 (உடன் ப=0.5).

சராசரி நிலையான விலகல்- மாறுபாட்டின் வேர்:

அதிகபட்ச மதிப்பு 0.5 ஐ விட அதிகமாக இல்லை.

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, கணித எதிர்பார்ப்பு மற்றும் மாற்று பண்பு மாறுபாடு இரண்டும் மிகவும் கச்சிதமான வடிவம் உள்ளது.

ஒரு சீரற்ற மாறியின் இருமப் பரவல்

இப்போது நிலைமையை வேறு கோணத்தில் பார்க்கலாம். உண்மையில், ஒரு டாஸில் தலைகளின் சராசரி இழப்பு 0.5 என்று யார் கவலைப்படுகிறார்கள்? நினைத்துக் கூட பார்க்க இயலாது. கொடுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான டாஸ்களுக்குத் தோன்றும் தலைகளின் எண்ணிக்கையைப் பற்றிய கேள்வியைக் கேட்பது மிகவும் சுவாரஸ்யமானது.

வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையிலான வெற்றிகரமான நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவு குறித்து ஆராய்ச்சியாளர் பெரும்பாலும் ஆர்வமாக உள்ளார். இது சோதனை செய்யப்பட்ட தொகுப்பில் உள்ள குறைபாடுள்ள தயாரிப்புகளின் எண்ணிக்கையாக இருக்கலாம் (1 - குறைபாடுள்ளது, 0 - நல்லது) அல்லது மீட்டெடுப்புகளின் எண்ணிக்கை (1 - ஆரோக்கியமானது, 0 - நோய்வாய்ப்பட்டவை) போன்றவை. அத்தகைய "வெற்றிகளின்" எண்ணிக்கை மாறியின் அனைத்து மதிப்புகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமமாக இருக்கும் எக்ஸ், அதாவது ஒற்றை முடிவுகளின் எண்ணிக்கை.

சீரற்ற மதிப்பு பிபைனோமியல் என்று அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் 0 முதல் மதிப்புகளை எடுக்கும் n(அதில் பி= 0 - அனைத்து பகுதிகளும் பொருத்தமானவை பி = n- அனைத்து பகுதிகளும் குறைபாடுடையவை). இது அனைத்து மதிப்புகள் என்று கருதப்படுகிறது எக்ஸ்ஒருவருக்கொருவர் சுயாதீனமாக. ஒரு பைனோமியல் மாறியின் முக்கிய பண்புகளை கருத்தில் கொள்வோம், அதாவது, அதன் கணித எதிர்பார்ப்பு, சிதறல் மற்றும் விநியோகத்தை நிறுவுவோம்.

ஒரு பைனோமியல் மாறியின் எதிர்பார்ப்பு மிகவும் எளிதானது. ஒவ்வொரு கூடுதல் மதிப்பின் கணித எதிர்பார்ப்புகளின் தொகை உள்ளது என்பதை நினைவில் கொள்வோம், மேலும் இது அனைவருக்கும் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும், எனவே:

எடுத்துக்காட்டாக, 100 டாஸ்களில் கைவிடப்பட்ட தலைகளின் எண்ணிக்கையின் கணித எதிர்பார்ப்பு 100 × 0.5 = 50 ஆகும்.

இப்போது நாம் ஒரு பைனோமியல் மாறியின் சிதறலுக்கான சூத்திரத்தைப் பெறுகிறோம். மாறுபாடுகளின் கூட்டுத்தொகை ஆகும். இங்கிருந்து

முறையே நிலையான விலகல்

100 காயின் டாஸ்களுக்கு, நிலையான விலகல்

இறுதியாக, விநியோகத்தைக் கவனியுங்கள் ஈருறுப்பு மதிப்பு, அதாவது அந்த வாய்ப்பு சீரற்ற மதிப்பு பிஏற்றுக்கொள்வார்கள் வெவ்வேறு அர்த்தங்கள் கே, எங்கே 0≤k≤n. ஒரு நாணயத்தைப் பொறுத்தவரை, இந்தச் சிக்கல் இப்படித் தோன்றலாம்: 100 டாஸில் 40 தலைகளைப் பெறுவதற்கான நிகழ்தகவு என்ன?

கணக்கீட்டு முறையைப் புரிந்து கொள்ள, நாணயம் 4 முறை மட்டுமே தூக்கி எறியப்படுகிறது என்று கற்பனை செய்து பாருங்கள். ஒவ்வொரு முறையும் எந்த பக்கமும் விழலாம். 4 டாஸில் 2 தலைகள் பெறுவதற்கான நிகழ்தகவு என்ன என்று நம்மை நாமே கேட்டுக்கொள்கிறோம். ஒவ்வொரு வீசுதல் ஒன்றுக்கொன்று சார்பற்றது. எந்தவொரு கலவையையும் பெறுவதற்கான நிகழ்தகவு ஒவ்வொரு தனிப்பட்ட வீசுதலுக்கும் கொடுக்கப்பட்ட விளைவின் நிகழ்தகவுகளின் விளைபொருளுக்கு சமமாக இருக்கும் என்பதே இதன் பொருள். O என்பது தலைகளாகவும், P வால்களாகவும் இருக்கட்டும். பின்னர், எடுத்துக்காட்டாக, நமக்கு ஏற்ற கலவைகளில் ஒன்று OOPP போல் தோன்றலாம், அதாவது:

அத்தகைய கலவையின் நிகழ்தகவு தலைகளைப் பெறுவதற்கான இரண்டு நிகழ்தகவுகள் மற்றும் தலைகளைப் பெறாத மேலும் இரண்டு நிகழ்தகவுகளின் பெருக்கத்திற்கு சமம் (தலைகீழ் நிகழ்வு, கணக்கிடப்படுகிறது 1 - ப), அதாவது. 0.5×0.5×(1-0.5)×(1-0.5)=0.0625. இது நமக்கு ஏற்ற சேர்க்கைகளில் ஒன்றின் நிகழ்தகவு. ஆனால் கேள்வி கழுகுகளின் மொத்த எண்ணிக்கையைப் பற்றியது, எந்த குறிப்பிட்ட வரிசையைப் பற்றியது அல்ல. சரியாக 2 தலைகள் உள்ள அனைத்து சேர்க்கைகளின் நிகழ்தகவுகளையும் நீங்கள் சேர்க்க வேண்டும். தெளிவாக, அவை அனைத்தும் ஒரே மாதிரியானவை (காரணிகளை மாற்றும்போது தயாரிப்பு மாறாது). எனவே, நீங்கள் அவற்றின் எண்ணிக்கையைக் கணக்கிட வேண்டும், பின்னர் அத்தகைய கலவையின் நிகழ்தகவு மூலம் பெருக்க வேண்டும். RROO, RORO, ROOR, ORRO, OROR, OORR: 2 தலைகளின் 4 வீசுதல்களின் அனைத்து சேர்க்கைகளையும் எண்ணுவோம். மொத்தம் 6 விருப்பங்கள் உள்ளன.

எனவே, 4 வீசுதல்களுக்குப் பிறகு 2 தலைகளைப் பெறுவதற்கான விரும்பிய நிகழ்தகவு 6×0.0625=0.375 ஆகும்.

இருப்பினும், இந்த வழியில் எண்ணுவது கடினமானது. ஏற்கனவே 10 நாணயங்களுக்கு, முரட்டு சக்தி மூலம் மொத்த விருப்பங்களின் எண்ணிக்கையைப் பெறுவது மிகவும் கடினமாக இருக்கும். எனவே, புத்திசாலிகள் நீண்ட காலத்திற்கு முன்பே ஒரு சூத்திரத்தைக் கண்டுபிடித்தனர், இதன் மூலம் அவர்கள் வெவ்வேறு சேர்க்கைகளின் எண்ணிக்கையைக் கணக்கிடுகிறார்கள் nமூலம் கூறுகள் கே, எங்கே n- உறுப்புகளின் மொத்த எண்ணிக்கை, கே- உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை, அவற்றின் ஏற்பாடு விருப்பங்கள் கணக்கிடப்படுகின்றன. ஃபார்முலா கலவை nமூலம் கூறுகள் கேஇதுவா:

காம்பினேட்டரிக்ஸ் பிரிவில் இதே போன்ற விஷயங்கள் நடக்கும். தங்கள் அறிவை மேம்படுத்த விரும்பும் அனைவரையும் நான் அங்கு அனுப்புகிறேன். எனவே, பைனோமியல் விநியோகத்தின் பெயர் (மேலே உள்ள சூத்திரம் நியூட்டனின் இருமத்தின் விரிவாக்கத்தில் ஒரு குணகம்).

நிகழ்தகவை நிர்ணயிப்பதற்கான சூத்திரத்தை எந்த அளவிலும் எளிதாகப் பொதுமைப்படுத்தலாம் nமற்றும் கே. இதன் விளைவாக, பைனோமியல் விநியோகத்திற்கான சூத்திரம் பின்வரும் வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது.

வார்த்தைகளில்: நிபந்தனையை சந்திக்கும் சேர்க்கைகளின் எண்ணிக்கை அவற்றில் ஒன்றின் நிகழ்தகவால் பெருக்கப்படுகிறது.

க்கு நடைமுறை பயன்பாடுஈருறுப்புப் பகிர்வுக்கான சூத்திரத்தை அறிந்தால் போதும். அல்லது உங்களுக்குத் தெரியாது - நிகழ்தகவை எவ்வாறு தீர்மானிப்பது என்பதை கீழே காண்பிக்கிறோம் எக்செல் பயன்படுத்தி. ஆனால் தெரிந்து கொள்வது நல்லது.

இந்த சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, 100 வீசுதல்களில் 40 தலைகளைப் பெறுவதற்கான நிகழ்தகவைக் கணக்கிடுகிறோம்:

அல்லது 1.08% மட்டுமே. ஒப்பிடுகையில், இந்த பரிசோதனையின் கணித எதிர்பார்ப்பின் நிகழ்தகவு, அதாவது 50 தலைகள், 7.96% க்கு சமமாக இருக்கும். ஒரு பைனோமியல் மதிப்பின் அதிகபட்ச நிகழ்தகவு கணித எதிர்பார்ப்புடன் தொடர்புடைய மதிப்புக்கு சொந்தமானது.

எக்செல் இல் பைனோமியல் விநியோகத்தின் நிகழ்தகவைக் கணக்கிடுகிறது

நீங்கள் காகிதம் மற்றும் கால்குலேட்டரை மட்டுமே பயன்படுத்தினால், பைனோமியல் விநியோக சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கீடுகள், ஒருங்கிணைப்புகள் இல்லாத போதிலும், மிகவும் கடினம். உதாரணமாக, மதிப்பு 100! - 150 க்கும் மேற்பட்ட எழுத்துக்கள் உள்ளன. இதை கைமுறையாக கணக்கிடுவது சாத்தியமில்லை. முன்பும், இப்போதும் கூட, அத்தகைய அளவுகளைக் கணக்கிட தோராயமான சூத்திரங்கள் பயன்படுத்தப்பட்டன. இந்த நேரத்தில், MS Excel போன்ற சிறப்பு மென்பொருளைப் பயன்படுத்துவது நல்லது. எனவே, எந்தவொரு பயனரும் (பயிற்சியின் மூலம் ஒரு மனிதநேயவாதி கூட) ஒரு பைனாமியாக விநியோகிக்கப்படும் சீரற்ற மாறியின் மதிப்பின் நிகழ்தகவை எளிதாகக் கணக்கிட முடியும்.

பொருளை ஒருங்கிணைக்க, எக்செல் ஒரு வழக்கமான கால்குலேட்டராகப் பயன்படுத்துவோம், அதாவது. பைனாமியல் விநியோக சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி படிப்படியான கணக்கீட்டை மேற்கொள்வோம். எடுத்துக்காட்டாக, 50 தலைகளைப் பெறுவதற்கான நிகழ்தகவைக் கணக்கிடுவோம். கணக்கீட்டு படிகள் மற்றும் இறுதி முடிவுடன் ஒரு படம் கீழே உள்ளது.

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, இடைநிலை முடிவுகள் எல்லா இடங்களிலும் பயன்படுத்தப்பட்டாலும், அவை செல்லில் பொருந்தாத அளவில் உள்ளன. எளிய செயல்பாடுகள்வகைகள்: காரணி (காரணியின் கணக்கீடு), POWER (ஒரு எண்ணை ஒரு சக்தியாக உயர்த்துதல்), அத்துடன் பெருக்கல் மற்றும் வகுத்தல் ஆபரேட்டர்கள். மேலும், இந்த கணக்கீடு மிகவும் சிக்கலானது, ஏனெனில், அது கச்சிதமாக இல்லை பல செல்கள் ஈடுபட்டுள்ளன. ஆம், உடனே கண்டுபிடிப்பது கொஞ்சம் கடினம்.

பொதுவாக, எக்செல் ஒரு பைனாமியல் விநியோகத்தின் நிகழ்தகவுகளைக் கணக்கிடுவதற்கான ஆயத்த செயல்பாட்டை வழங்குகிறது. செயல்பாடு BINOM.DIST என்று அழைக்கப்படுகிறது.

வெற்றிகளின் எண்ணிக்கை- வெற்றிகரமான சோதனைகளின் எண்ணிக்கை. அவற்றில் 50 எங்களிடம் உள்ளன.

சோதனைகளின் எண்ணிக்கை- டாஸ்களின் எண்ணிக்கை: 100 முறை.

வெற்றி வாய்ப்பு- ஒரு டாஸில் தலைகள் பெறுவதற்கான நிகழ்தகவு 0.5 ஆகும்.

ஒருங்கிணைந்த- 0 என்றால் 1 அல்லது 0 குறிக்கப்படுகிறது, பின்னர் நிகழ்தகவு கணக்கிடப்படுகிறது பி(பி=கே); 1 என்றால், பைனோமியல் விநியோக செயல்பாடு கணக்கிடப்படும், அதாவது. அனைத்து நிகழ்தகவுகளின் கூட்டுத்தொகை B=0முன் B=kஉள்ளடக்கியது.

சரி என்பதைக் கிளிக் செய்து, மேலே உள்ள அதே முடிவைப் பெறுங்கள், அனைத்தும் ஒரு செயல்பாட்டின் மூலம் மட்டுமே கணக்கிடப்பட்டது.

மிகவும் வசதியாக. பரிசோதனைக்காக, கடைசி அளவுரு 0 க்கு பதிலாக, 1 ஐ வைக்கிறோம். நமக்கு 0.5398 கிடைக்கும். அதாவது 100 காயின் டாஸ்களில், 0 முதல் 50 வரை தலைகள் வருவதற்கான நிகழ்தகவு கிட்டத்தட்ட 54% ஆகும். ஆனால் முதலில் 50% ஆக வேண்டும் என்று தோன்றியது. பொதுவாக, கணக்கீடுகள் விரைவாகவும் எளிதாகவும் செய்யப்படுகின்றன.

ஒரு உண்மையான பகுப்பாய்வாளர் செயல்பாடு எவ்வாறு செயல்படுகிறது (அதன் விநியோகம் என்ன) புரிந்து கொள்ள வேண்டும், எனவே 0 முதல் 100 வரையிலான அனைத்து மதிப்புகளுக்கான நிகழ்தகவுகளையும் கணக்கிடுவோம். அதாவது, நாங்கள் கேள்வி கேட்போம்: ஒரு தலை கூட இல்லாத நிகழ்தகவு என்ன? தோன்றும், அந்த 1 கழுகு தோன்றும், 2, 3 , 50, 90 அல்லது 100. கணக்கீடு பின்வரும் சுய-நகரும் படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது. நீலக் கோடு என்பது பைனோமியல் விநியோகம், சிவப்பு புள்ளி என்பது குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையிலான வெற்றிகளுக்கான நிகழ்தகவு k.

பைனாமியல் விநியோகம் இதைப் போன்றதா என்று ஒருவர் கேட்கலாம்... ஆம், மிகவும் ஒத்திருக்கிறது. Moivre (1733 இல்) கூட பெரிய மாதிரிகள் கொண்ட இருபக்க விநியோகம் நெருங்குகிறது என்று கூறினார் (அது என்ன அழைக்கப்பட்டது என்று எனக்குத் தெரியவில்லை), ஆனால் யாரும் அவரைக் கேட்கவில்லை. காஸ் மட்டுமே, பின்னர் லாப்லேஸ் 60-70 ஆண்டுகளுக்குப் பிறகு, சாதாரண விநியோக சட்டத்தை மீண்டும் கண்டுபிடித்து கவனமாக ஆய்வு செய்தார். அதிகபட்ச நிகழ்தகவு கணித எதிர்பார்ப்பில் விழுகிறது என்பதை மேலே உள்ள வரைபடம் தெளிவாகக் காட்டுகிறது, மேலும் அது அதிலிருந்து விலகும்போது, ​​அது கூர்மையாக குறைகிறது. சாதாரண சட்டத்தைப் போலவே.

இருவகைப் பரவல்ஒரு பெரிய உள்ளது நடைமுறை முக்கியத்துவம், அடிக்கடி ஏற்படும். பயன்படுத்தி எக்செல் கணக்கீடுகள்எளிதாகவும் விரைவாகவும் மேற்கொள்ளப்படுகிறது. எனவே நீங்கள் அதைப் பாதுகாப்பாகப் பயன்படுத்தலாம்.

இத்துடன், அடுத்த சந்திப்பு வரை விடைபெற முன்மொழிகிறேன். அனைத்து நல்வாழ்த்துக்களும், ஆரோக்கியமாக இருங்கள்!

பைனோமியல் விநியோகம் என்பது தனித்தனியாக மாறுபடும் சீரற்ற மாறியின் மிக முக்கியமான நிகழ்தகவு விநியோகங்களில் ஒன்றாகும். ஈருறுப்புப் பரவல் என்பது எண்ணின் நிகழ்தகவுப் பரவலாகும் மீஒரு நிகழ்வின் நிகழ்வு ஏவி nபரஸ்பர சுதந்திரமான அவதானிப்புகள். பெரும்பாலும் ஒரு நிகழ்வு ஏஒரு அவதானிப்பின் "வெற்றி" என்றும், எதிர் நிகழ்வு "தோல்வி" என்றும் அழைக்கப்படுகிறது, ஆனால் இந்த பதவி மிகவும் நிபந்தனைக்குட்பட்டது.

இருபக்க விநியோக நிலைமைகள்:

• மொத்தமாக மேற்கொள்ளப்பட்டது nசோதனைகள் இதில் நிகழ்வு ஏநிகழலாம் அல்லது ஏற்படாமல் போகலாம்;
• நிகழ்வு ஏஒவ்வொரு சோதனையிலும் ஒரே நிகழ்தகவுடன் நிகழலாம் ப;
• சோதனைகள் பரஸ்பரம் சுயாதீனமானவை.

உள்ள நிகழ்தகவு nசோதனை நிகழ்வு ஏஅது சரியாக வரும் மீபெர்னோலியின் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி நேரங்களைக் கணக்கிடலாம்:

,

எங்கே ப- ஒரு நிகழ்வின் நிகழ்தகவு ஏ;

கே = 1 - ப- எதிர் நிகழ்வின் நிகழ்தகவு.

அதை கண்டுபிடிக்கலாம் மேலே விவரிக்கப்பட்ட முறையில் பெர்னௌலியின் சூத்திரத்துடன் ஏன் பைனோமியல் விநியோகம் தொடர்புடையது? . நிகழ்வு - வெற்றிகளின் எண்ணிக்கை nசோதனைகள் பல விருப்பங்களாக பிரிக்கப்பட்டுள்ளன, ஒவ்வொன்றிலும் வெற்றி அடையப்படுகிறது மீசோதனைகள், மற்றும் தோல்வி - இல் n - மீசோதனைகள். இந்த விருப்பங்களில் ஒன்றைக் கருத்தில் கொள்வோம் - பி1 . நிகழ்தகவுகளைச் சேர்ப்பதற்கான விதியைப் பயன்படுத்தி, எதிர் நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவுகளைப் பெருக்குகிறோம்:

,

மற்றும் நாம் குறிப்பிட்டால் கே = 1 - ப, அந்த

.

இதில் வேறு ஏதேனும் விருப்பம் மீவெற்றி மற்றும் n - மீதோல்விகள். அத்தகைய விருப்பங்களின் எண்ணிக்கை, ஒருவர் செய்யக்கூடிய வழிகளின் எண்ணிக்கைக்கு சமம் nசோதனை கிடைக்கும் மீவெற்றி.

அனைத்து நிகழ்தகவுகளின் கூட்டுத்தொகை மீநிகழ்வு எண்கள் ஏ(0 முதல் எண்கள் n) ஒன்றுக்கு சமம்:

ஒவ்வொரு சொல்லும் நியூட்டனின் இருபக்கத்தில் ஒரு சொல்லைக் குறிக்கும். எனவே, பரிசீலனையில் உள்ள விநியோகம் ஈருறுப்பு விநியோகம் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

நடைமுறையில், நிகழ்தகவுகளை கணக்கிடுவது பெரும்பாலும் அவசியம் "அதற்கு மேல் இல்லை மீவெற்றி nசோதனைகள்" அல்லது "குறைந்தது மீவெற்றி nசோதனைகள்". இதற்கு பின்வரும் சூத்திரங்கள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

ஒருங்கிணைந்த செயல்பாடு, அதாவது நிகழ்தகவு எஃப்(மீ) என்ன இருக்கிறது nகண்காணிப்பு நிகழ்வு ஏஇனி வராது மீஒருமுறை, சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடலாம்:

அதன் திருப்பத்தில் நிகழ்தகவு எஃப்(≥மீ) என்ன இருக்கிறது nகண்காணிப்பு நிகழ்வு ஏகுறையாமல் வரும் மீஒருமுறை, சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது:

சில நேரங்களில் நிகழ்தகவைக் கணக்கிடுவது மிகவும் வசதியானது nகண்காணிப்பு நிகழ்வு ஏஇனி வராது மீநேரங்கள், எதிர் நிகழ்வின் நிகழ்தகவு மூலம்:

.

எந்த சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவது என்பது அவற்றில் எது குறைவான சொற்களைக் கொண்டுள்ளது என்பதைப் பொறுத்தது.

பின்வரும் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி பைனோமியல் விநியோகத்தின் பண்புகள் கணக்கிடப்படுகின்றன .

எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்பு: .

சிதறல்:.

நிலையான விலகல்: .

MS Excel இல் பைனோமியல் விநியோகம் மற்றும் கணக்கீடுகள்

ஈருறுப்பு நிகழ்தகவு பி n ( மீ) மற்றும் ஒருங்கிணைந்த செயல்பாட்டின் மதிப்புகள் எஃப்(மீ) MS Excel செயல்பாட்டை BINOM.DIST ஐப் பயன்படுத்தி கணக்கிடலாம். தொடர்புடைய கணக்கீட்டிற்கான சாளரம் கீழே காட்டப்பட்டுள்ளது (பெரிதாக்க இடது கிளிக் செய்யவும்).

MS Excel நீங்கள் பின்வரும் தரவை உள்ளிட வேண்டும்:

• வெற்றிகளின் எண்ணிக்கை;
• சோதனைகளின் எண்ணிக்கை;
• வெற்றி நிகழ்தகவு;
• integral - logical value: 0 - நீங்கள் நிகழ்தகவைக் கணக்கிட வேண்டும் என்றால் பி n ( மீ) மற்றும் 1 - நிகழ்தகவு என்றால் எஃப்(மீ).

எடுத்துக்காட்டு 1.கடந்த 100 நாட்களில் விற்பனை செய்யப்பட்ட கேமராக்களின் எண்ணிக்கை குறித்த தகவலை நிறுவன மேலாளர் தொகுத்து வழங்கினார். அட்டவணை தகவலைச் சுருக்கி, ஒரு நாளைக்கு ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையிலான கேமராக்கள் விற்கப்படும் நிகழ்தகவுகளைக் கணக்கிடுகிறது.

13 அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட கேமராக்கள் விற்கப்பட்டால் நாள் லாபத்துடன் முடிகிறது. நாள் லாபகரமாக செயல்படும் நிகழ்தகவு:

ஒரு நாள் லாபம் இல்லாமல் வேலை செய்யும் நிகழ்தகவு:

ஒரு நாள் லாபத்துடன் வேலை செய்யும் நிகழ்தகவு நிலையானதாகவும் 0.61 க்கு சமமாகவும் இருக்கட்டும், மேலும் ஒரு நாளைக்கு விற்கப்படும் கேமராக்களின் எண்ணிக்கை அந்த நாளைப் பொறுத்தது அல்ல. பின்னர் நாம் நிகழ்வின் இடத்தில், இருசொல் விநியோகத்தைப் பயன்படுத்தலாம் ஏ- நாள் லாபத்துடன் வேலை செய்யும், - லாபம் இல்லாமல்.

அனைத்து 6 நாட்களும் லாபத்துடன் செயல்படுவதற்கான நிகழ்தகவு:

.

MS Excel செயல்பாடு BINOM.DIST ஐப் பயன்படுத்தி அதே முடிவைப் பெறுவோம் (ஒருங்கிணைந்த மதிப்பின் மதிப்பு 0):

பி 6 (6 ) = BINOM.DIST(6; 6; 0.61; 0) = 0.052.

6 நாட்களில் 4 அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட நாட்கள் லாபத்துடன் வேலை செய்யும் நிகழ்தகவு:

எங்கே ,

,

MS Excel செயல்பாடு BINOM.DIST ஐப் பயன்படுத்தி, 6 நாட்களில் 3 நாட்களுக்கு மேல் லாபத்துடன் முடிவடையாத நிகழ்தகவைக் கணக்கிடுகிறோம் (ஒருங்கிணைந்த மதிப்பின் மதிப்பு 1):

பி 6 (≤3 ) = BINOM.DIST(3; 6; 0.61; 1) = 0.435.

அனைத்து 6 நாட்களும் இழப்புகளுடன் வேலை செய்யும் நிகழ்தகவு:

,

MS Excel செயல்பாடு BINOM.DIST ஐப் பயன்படுத்தி அதே குறிகாட்டியை நாம் கணக்கிடலாம்:

பி 6 (0 ) = BINOM.DIST(0; 6; 0.61; 0) = 0.0035.

பிரச்சனையை நீங்களே தீர்த்து கொள்ளுங்கள், பிறகு தீர்வைப் பாருங்கள்

எடுத்துக்காட்டு 2.கலசத்தில் 2 வெள்ளை பந்துகளும் 3 கருப்பு பந்துகளும் உள்ளன. கலசத்திலிருந்து ஒரு பந்து எடுக்கப்பட்டு, வண்ணம் அமைக்கப்பட்டு மீண்டும் வைக்கப்படுகிறது. முயற்சி 5 முறை மீண்டும் மீண்டும் செய்யப்படுகிறது. வெள்ளைப் பந்துகளின் நிகழ்வுகளின் எண்ணிக்கை தனித்த சீரற்ற மாறியாகும் எக்ஸ், பினாமி சட்டத்தின் படி விநியோகிக்கப்படுகிறது. சீரற்ற மாறியின் விநியோக விதியை வரையவும். முறை, கணித எதிர்பார்ப்பு மற்றும் சிதறல் ஆகியவற்றை வரையறுக்கவும்.

தொடர்ந்து ஒன்றாக பிரச்சனைகளை தீர்ப்போம்

எடுத்துக்காட்டு 3.கூரியர் சேவையிலிருந்து நாங்கள் தளங்களுக்குச் சென்றோம் n= 5 கூரியர்கள். ஒவ்வொரு கூரியரும் வாய்ப்பு உள்ளது ப= 0.3, மற்றவர்களைப் பொருட்படுத்தாமல், பொருளுக்கு தாமதமாகிறது. தனித்த சீரற்ற மாறி எக்ஸ்- தாமதமான கூரியர்களின் எண்ணிக்கை. இந்த சீரற்ற மாறிக்கான விநியோகத் தொடரை உருவாக்கவும். அதன் கணித எதிர்பார்ப்பு, மாறுபாடு, நிலையான விலகல் ஆகியவற்றைக் கண்டறியவும். பொருள்களுக்கு குறைந்தது இரண்டு கூரியர்கள் தாமதமாக வருவதற்கான நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்.

பைனோமியல் பரவலைக் கருத்தில் கொள்வோம், அதன் கணித எதிர்பார்ப்பு, மாறுபாடு மற்றும் பயன்முறையைக் கணக்கிடுவோம். MS EXCEL செயல்பாடு BINOM.DIST() ஐப் பயன்படுத்தி, விநியோக செயல்பாடு மற்றும் நிகழ்தகவு அடர்த்தியின் வரைபடங்களை உருவாக்குவோம். விநியோக அளவுரு p, விநியோகத்தின் கணித எதிர்பார்ப்பு மற்றும் நிலையான விலகல் ஆகியவற்றை மதிப்பிடுவோம். பெர்னோலி விநியோகத்தையும் கருத்தில் கொள்வோம்.

வரையறை. அவை நடைபெறட்டும் nசோதனைகள், ஒவ்வொன்றிலும் 2 நிகழ்வுகள் மட்டுமே நிகழலாம்: நிகழ்வு "வெற்றி" நிகழ்தகவுடன் ப அல்லது நிகழ்தகவுடன் கூடிய "தோல்வி" நிகழ்வு கே =1-p (என்று அழைக்கப்படும் பெர்னோலி திட்டம்,பெர்னோலிசோதனைகள்).

சரியாகப் பெறுவதற்கான நிகழ்தகவு எக்ஸ் இவற்றில் வெற்றி n சோதனைகள் இதற்கு சமம்:

மாதிரியில் வெற்றிகளின் எண்ணிக்கை எக்ஸ் ஒரு சீரற்ற மாறி உள்ளது இருவகைப் பரவல்(ஆங்கிலம்) இருவகைவிநியோகம்) பமற்றும் n– இந்த விநியோகத்தின் அளவுருக்கள்.

அதை பயன்படுத்த நினைவில் கொள்ளவும் பெர்னோலி திட்டங்கள்மற்றும் அதற்கேற்ப இருவகைப் பரவல்,பின்வரும் நிபந்தனைகள் பூர்த்தி செய்யப்பட வேண்டும்:

• ஒவ்வொரு சோதனையும் சரியாக இரண்டு முடிவுகளைக் கொண்டிருக்க வேண்டும், வழக்கமாக "வெற்றி" மற்றும் "தோல்வி" என்று அழைக்கப்படுகிறது.
• ஒவ்வொரு சோதனையின் முடிவும் முந்தைய சோதனைகளின் முடிவுகளை (சோதனை சுதந்திரம்) சார்ந்து இருக்கக்கூடாது.
• வெற்றி நிகழ்தகவு ப அனைத்து சோதனைகளுக்கும் நிலையானதாக இருக்க வேண்டும்.

MS EXCEL இல் பைனோமியல் விநியோகம்

MS EXCEL இல், பதிப்பு 2010 இலிருந்து தொடங்குகிறது இருவகைப் பரவல்ஒரு செயல்பாடு உள்ளது BINOM.DIST(), ஆங்கிலப் பெயர் BINOM.DIST(), இது சரியாக இருக்கும் நிகழ்தகவைக் கணக்கிட உங்களை அனுமதிக்கிறது. எக்ஸ்"வெற்றி" (அதாவது. நிகழ்தகவு அடர்த்தி செயல்பாடு p(x), மேலே உள்ள சூத்திரத்தைப் பார்க்கவும்), மற்றும் ஒட்டுமொத்த விநியோக செயல்பாடு(மாதிரி இருக்கும் நிகழ்தகவு எக்ஸ்அல்லது குறைவான "வெற்றிகள்", 0 உட்பட).

MS EXCEL 2010 க்கு முன், EXCEL ஆனது BINOMDIST() செயல்பாட்டைக் கொண்டிருந்தது, இது உங்களைக் கணக்கிடவும் அனுமதிக்கிறது. விநியோக செயல்பாடுமற்றும் நிகழ்தகவு அடர்த்தி p(x) BINOMIST() ஆனது MS EXCEL 2010 இல் பொருந்தக்கூடியதாக உள்ளது.

எடுத்துக்காட்டு கோப்பில் வரைபடங்கள் உள்ளன நிகழ்தகவு அடர்த்தி பரவல்மற்றும் .

இருவகைப் பரவல்பதவி உள்ளது பி(n; ப) .

குறிப்பு: கட்டிடத்திற்கு ஒட்டுமொத்த விநியோக செயல்பாடுசரியான வகை வரைபடம் அட்டவணை, க்கு விநியோக அடர்த்தி – குழுவுடன் கூடிய ஹிஸ்டோகிராம். விளக்கப்படங்களை உருவாக்குவது பற்றிய கூடுதல் தகவலுக்கு, விளக்கப்படங்களின் அடிப்படை வகைகள் என்ற கட்டுரையைப் படிக்கவும்.

குறிப்பு: சூத்திரங்களை எழுதும் வசதிக்காக, உதாரணக் கோப்பில் அளவுருக்களுக்கான பெயர்கள் உருவாக்கப்பட்டுள்ளன இருவகைப் பரவல்: n மற்றும் p.

எடுத்துக்காட்டு கோப்பு MS EXCEL செயல்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி பல்வேறு நிகழ்தகவு கணக்கீடுகளைக் காட்டுகிறது:

மேலே உள்ள படத்தில் நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, இது கருதப்படுகிறது:

• மாதிரி எடுக்கப்பட்ட எல்லையற்ற மக்கள்தொகையில் 10% (அல்லது 0.1) செல்லுபடியாகும் கூறுகள் (அளவுருக்கள்) உள்ளன ப, செயல்பாட்டின் மூன்றாவது வாதம் = BINOM.DIST() )
• 10 தனிமங்களின் மாதிரியில் நிகழ்தகவைக் கணக்கிட (அளவுரு n, செயல்பாட்டின் இரண்டாவது வாதம்) சரியாக 5 சரியான கூறுகள் இருக்கும் (முதல் வாதம்), நீங்கள் சூத்திரத்தை எழுத வேண்டும்: =BINOM.DIST(5, 10, 0.1, FALSE)
• கடைசி, நான்காவது உறுப்பு அமைக்கப்பட்டது = FALSE, அதாவது. செயல்பாட்டின் மதிப்பை வழங்குகிறது விநியோக அடர்த்தி.

நான்காவது மதிப்புருவின் மதிப்பு = TRUE எனில், BINOM.DIST() செயல்பாடு மதிப்பை வழங்கும் ஒட்டுமொத்த விநியோக செயல்பாடுஅல்லது வெறுமனே விநியோக செயல்பாடு. இந்த வழக்கில், ஒரு மாதிரியில் உள்ள நல்ல உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை ஒரு குறிப்பிட்ட வரம்பில் இருக்கும் நிகழ்தகவை நீங்கள் கணக்கிடலாம், எடுத்துக்காட்டாக, 2 அல்லது அதற்கும் குறைவாக (0 உட்பட).

இதைச் செய்ய, நீங்கள் சூத்திரத்தை எழுத வேண்டும்:
= BINOM.DIST(2; 10; 0.1; உண்மை)

குறிப்பு: x இன் முழு எண் அல்லாத மதிப்பிற்கு, . எடுத்துக்காட்டாக, பின்வரும் சூத்திரங்கள் அதே மதிப்பை வழங்கும்:
=BINOM.DIST( 2 ; 10; 0.1; உண்மை)
=BINOM.DIST( 2,9 ; 10; 0.1; உண்மை)

குறிப்பு: உதாரணக் கோப்பில் நிகழ்தகவு அடர்த்திமற்றும் விநியோக செயல்பாடு NUMBERCOMB() என்ற வரையறை மற்றும் செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகிறது.

விநியோக குறிகாட்டிகள்

IN பணித்தாளில் எடுத்துக்காட்டு கோப்பு எடுத்துக்காட்டுசில விநியோக குறிகாட்டிகளைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரங்கள் உள்ளன:

• =n*p;
• (தரநிலை விலகல் சதுரம்) = n*p*(1-p);
• = (n+1)*p;
• =(1-2*p)*ROOT(n*p*(1-p)).

சூத்திரத்தைப் பெறுவோம் கணித எதிர்பார்ப்பு இருவகைப் பரவல்பயன்படுத்தி பெர்னோலி சுற்று.

வரையறையின்படி, சீரற்ற மாறி X in பெர்னோலி திட்டம்(Bernoulli random variable) உள்ளது விநியோக செயல்பாடு:

இந்த விநியோகம் என்று அழைக்கப்படுகிறது பெர்னோலி விநியோகம்.

குறிப்பு: பெர்னோலி விநியோகம் – சிறப்பு வழக்கு இருவகைப் பரவல் n=1 அளவுருவுடன்.

வெற்றிக்கான வெவ்வேறு நிகழ்தகவுகளுடன் ஒவ்வொன்றும் 100 எண்களின் 3 வரிசைகளை உருவாக்குவோம்: 0.1; 0.5 மற்றும் 0.9. சாளரத்தில் இதைச் செய்ய தலைமுறை சீரற்ற எண்கள் ஒவ்வொரு நிகழ்தகவு pக்கும் பின்வரும் அளவுருக்களை அமைப்போம்:

குறிப்பு: நீங்கள் விருப்பத்தை அமைத்தால் சீரற்ற சிதறல் (சீரற்ற விதை), பின்னர் நீங்கள் உருவாக்கப்பட்ட எண்களின் குறிப்பிட்ட சீரற்ற தொகுப்பைத் தேர்ந்தெடுக்கலாம். எடுத்துக்காட்டாக, இந்த விருப்பத்தை =25 அமைப்பதன் மூலம், வெவ்வேறு கணினிகளில் ஒரே சீரற்ற எண்களை உருவாக்கலாம் (நிச்சயமாக, மற்ற விநியோக அளவுருக்கள் ஒரே மாதிரியாக இருந்தால்). விருப்ப மதிப்பு 1 முதல் 32,767 வரையிலான முழு எண் மதிப்புகளை எடுக்கலாம் சீரற்ற சிதறல்குழப்பமாக இருக்கலாம். என மொழிபெயர்த்தால் நன்றாக இருக்கும் சீரற்ற எண்களுடன் எண்ணை டயல் செய்யவும்.

இதன் விளைவாக, எங்களிடம் 100 எண்களின் 3 நெடுவரிசைகள் இருக்கும், அதன் அடிப்படையில் நாம் வெற்றியின் நிகழ்தகவை மதிப்பிடலாம். பசூத்திரத்தின் படி: வெற்றிகளின் எண்ணிக்கை/100(செ.மீ. எடுத்துக்காட்டாக கோப்பு தாள் தலைமுறை பெர்னௌல்லி).

குறிப்பு: க்கு பெர்னோலி விநியோகங்கள் p=0.5 உடன் நீங்கள் =RANDBETWEEN(0;1) என்ற சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தலாம்.

சீரற்ற எண் உருவாக்கம். இருவகைப் பரவல்

மாதிரியில் 7 குறைபாடுள்ள பொருட்கள் உள்ளன என்று வைத்துக்கொள்வோம். குறைபாடுள்ள தயாரிப்புகளின் விகிதம் மாறியிருப்பது "மிகவும் சாத்தியம்" என்பதே இதன் பொருள் ப, இது எங்களின் சிறப்பியல்பு உற்பத்தி செயல்முறை. அத்தகைய சூழ்நிலை "மிகவும் சாத்தியம்" என்றாலும், ஒரு வாய்ப்பு உள்ளது (ஆல்பா ஆபத்து, வகை 1 பிழை, "தவறான எச்சரிக்கை") பமாறாமல் இருந்தது, மேலும் குறைபாடுள்ள தயாரிப்புகளின் எண்ணிக்கை சீரற்ற மாதிரியின் காரணமாக இருந்தது.

கீழே உள்ள படத்தில் காணலாம், 7 என்பது அதே மதிப்பில் p=0.21 கொண்ட செயல்முறைக்கு ஏற்றுக்கொள்ளக்கூடிய குறைபாடுள்ள தயாரிப்புகளின் எண்ணிக்கையாகும். ஆல்பா. ஒரு மாதிரியில் குறைபாடுள்ள பொருட்களின் வரம்பு மதிப்பை மீறும் போது இது விளக்குகிறது, ப"பெரும்பாலும்" அதிகரித்துள்ளது. "பெரும்பாலும்" என்ற சொற்றொடரின் அர்த்தம், 10% நிகழ்தகவு (100%-90%) மட்டுமே உள்ளது என்று அர்த்தம், வாசலுக்கு மேலே உள்ள குறைபாடுள்ள பொருட்களின் சதவீதத்தின் விலகல் சீரற்ற காரணங்களால் மட்டுமே.

எனவே, மாதிரியில் உள்ள குறைபாடுள்ள தயாரிப்புகளின் வரம்பு எண்ணிக்கையை மீறுவது, செயல்முறை வருத்தமடைந்து பயன்படுத்தப்பட்ட தயாரிப்புகளை உற்பத்தி செய்யத் தொடங்கியுள்ளது என்பதற்கான சமிக்ஞையாக செயல்படும். ஓகுறைபாடுள்ள பொருட்களின் அதிக சதவீதம்.

குறிப்பு: MS EXCEL 2010க்கு முன், EXCEL ஆனது BINOM.INV() க்கு சமமான CRITBINOM() செயல்பாட்டைக் கொண்டிருந்தது. CRITBINOM() ஆனது MS EXCEL 2010 இல் விடப்பட்டுள்ளது மற்றும் இணக்கத்தன்மைக்கு அதிகமாக உள்ளது.

மற்ற விநியோகங்களுக்கு இருபக்க விநியோகத்தின் உறவு

அளவுரு என்றால் n இருவகைப் பரவல்முடிவிலிக்கு முனைகிறது, மற்றும் ப 0 ஆக இருக்கும், பின்னர் இந்த விஷயத்தில் இருவகைப் பரவல்தோராயமாக மதிப்பிட முடியும்.
தோராயமாக இருக்கும் போது நாம் நிபந்தனைகளை உருவாக்கலாம் விஷம் விநியோகம்நன்றாக வேலை செய்கிறது:

• ப<0,1 (குறைவானது பஇன்னமும் அதிகமாக n, மிகவும் துல்லியமான தோராயம்);
• ப>0,9 (அதைக் கருத்தில் கொண்டு கே=1- ப, இந்த வழக்கில் கணக்கீடுகள் மூலம் செய்யப்பட வேண்டும் கே(ஏ எக்ஸ்உடன் மாற்றப்பட வேண்டும் n- எக்ஸ்) எனவே, குறைவாக கேஇன்னமும் அதிகமாக n, மிகவும் துல்லியமான தோராயம்).

0.1 இல்<=p<=0,9 и n*p>10 இருவகைப் பரவல்தோராயமாக மதிப்பிட முடியும்.

அதையொட்டி, இருவகைப் பரவல்மக்கள் தொகை N ஆக இருக்கும் போது ஒரு நல்ல தோராயமாக இருக்கலாம் ஹைபர்ஜியோமெட்ரிக் விநியோகம்மாதிரி அளவை விட n (அதாவது, N>>n அல்லது n/N<<1).

மேலே உள்ள விநியோகங்களுக்கு இடையிலான உறவைப் பற்றிய கூடுதல் விவரங்களைக் கட்டுரையில் காணலாம். தோராயமான எடுத்துக்காட்டுகளும் உள்ளன, அது எப்போது சாத்தியமாகும் மற்றும் என்ன துல்லியத்துடன் விளக்கப்படுகிறது என்பதற்கான நிபந்தனைகள் உள்ளன.

ஆலோசனை: கட்டுரையில் மற்ற MS EXCEL விநியோகங்களைப் பற்றி நீங்கள் படிக்கலாம்.

ஆய்வு செய்யப்படும் பாடங்களின் மாதிரியில் ஒரு மாறியின் நடத்தையை விவரிக்கும் இயல்பான மற்றும் சீரான விநியோகங்களைப் போலல்லாமல், இருவகைப் பரவல் மற்ற நோக்கங்களுக்காகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது. ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையிலான சுயாதீன சோதனைகளில் இரண்டு பரஸ்பர பிரத்தியேக நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவைக் கணிக்க இது உதவுகிறது. ஒரு கடினமான மேற்பரப்பில் தரையிறங்கும் ஒரு நாணயத்தை தூக்கி எறிவது ஒரு பைனோமியல் விநியோகத்தின் ஒரு சிறந்த எடுத்துக்காட்டு. இரண்டு முடிவுகள் (நிகழ்வுகள்) சமமாக சாத்தியம்: 1) நாணயம் தலையில் விழுகிறது (நிகழ்தகவு ஆர்) அல்லது 2) நாணயம் "வால்கள்" (நிகழ்தகவு கே) மூன்றாவது முடிவு இல்லை என்றால் ப = கே= 0.5 மற்றும் ப + கே= 1. பைனோமியல் விநியோக சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, 50 சோதனைகளில் (ஒரு நாணயத்தின் டாஸ்களின் எண்ணிக்கை), பிந்தையது 25 முறை தலையில் இறங்கும் நிகழ்தகவு என்ன என்பதை நீங்கள் தீர்மானிக்கலாம்.

மேலும் விவாதத்திற்கு, பொதுவாக ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்ட குறிப்பை நாங்கள் அறிமுகப்படுத்துகிறோம்:

n- அவதானிப்புகளின் மொத்த எண்ணிக்கை;

நான்- எங்களுக்கு ஆர்வமுள்ள நிகழ்வுகளின் எண்ணிக்கை (விளைவுகள்);

n – நான்- மாற்று நிகழ்வுகளின் எண்ணிக்கை;

ப- அனுபவ ரீதியாக தீர்மானிக்கப்பட்ட (சில நேரங்களில் மதிப்பிடப்பட்ட) எங்களுக்கு ஆர்வமுள்ள நிகழ்வின் நிகழ்தகவு;

கே- ஒரு மாற்று நிகழ்வின் நிகழ்தகவு;

பி n ( நான்) - எங்களுக்கு ஆர்வமுள்ள நிகழ்வின் நிகழ்தகவு கணிக்கப்பட்டுள்ளது நான்குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையிலான அவதானிப்புகளுக்கு n.

இருவகைப் பரவல் சூத்திரம்:

நிகழ்வுகளின் சமமான சாத்தியமான விளைவு ஏற்பட்டால் ( ப = கே) நீங்கள் ஒரு எளிமையான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தலாம்:

(6.8)

உளவியல் ஆராய்ச்சியில் பைனோமியல் விநியோக சூத்திரங்களின் பயன்பாட்டை விளக்கும் மூன்று எடுத்துக்காட்டுகளைப் பார்ப்போம்.

எடுத்துக்காட்டு 1

3 மாணவர்கள் அதிகரித்த சிக்கலான சிக்கலை தீர்க்கிறார்கள் என்று வைத்துக்கொள்வோம். அவை ஒவ்வொன்றிற்கும், 2 முடிவுகள் சமமாக சாத்தியமாகும்: (+) - தீர்வு மற்றும் (-) - சிக்கலைத் தீர்ப்பதில் தோல்வி. மொத்தம் 8 வெவ்வேறு முடிவுகள் சாத்தியமாகும் (2 3 = 8).

ஒரு மாணவர் கூட பணியைச் சமாளிக்க முடியாத நிகழ்தகவு 1/8 (விருப்பம் 8); 1 மாணவர் பணியைச் சமாளிப்பார்: பி= 3/8 (விருப்பங்கள் 4, 6, 7); 2 மாணவர்கள் - பி= 3/8 (விருப்பங்கள் 2, 3, 5) மற்றும் 3 மாணவர்கள் - பி=1/8 (விருப்பம் 1).

5 மாணவர்களில் மூன்று பேர் இந்த பணியை வெற்றிகரமாக சமாளிக்கும் நிகழ்தகவை தீர்மானிக்க வேண்டியது அவசியம்.

தீர்வு

மொத்த சாத்தியமான விளைவுகள்: 2 5 = 32.

3(+) மற்றும் 2(-) விருப்பங்களின் மொத்த எண்ணிக்கை

எனவே, எதிர்பார்க்கப்படும் விளைவின் நிகழ்தகவு 10/32 »0.31.

எடுத்துக்காட்டு 3

உடற்பயிற்சி

10 சீரற்ற பாடங்களைக் கொண்ட குழுவில் 5 எக்ஸ்ட்ரோவர்ட்கள் இருப்பதற்கான நிகழ்தகவைத் தீர்மானிக்கவும்.

தீர்வு

1. குறிப்பை உள்ளிடவும்: p = q = 0,5; n= 10; நான் = 5; பி 10 (5) = ?

2. நாங்கள் எளிமையான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம் (மேலே காண்க):

முடிவுரை

10 சீரற்ற பாடங்களில் 5 எக்ஸ்ட்ரோவர்ட்கள் இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு 0.246 ஆகும்.

குறிப்புகள்

1. போதுமான எண்ணிக்கையிலான சோதனைகளுக்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கீடு செய்வது மிகவும் உழைப்பு மிகுந்ததாகும், எனவே இந்த சந்தர்ப்பங்களில் பைனாமியல் விநியோக அட்டவணைகளைப் பயன்படுத்த பரிந்துரைக்கப்படுகிறது.

2. சில சந்தர்ப்பங்களில் மதிப்புகள் பமற்றும் கேஆரம்பத்தில் அமைக்கலாம், ஆனால் எப்போதும் இல்லை. ஒரு விதியாக, அவை பூர்வாங்க சோதனைகளின் (பைலட் ஆய்வுகள்) முடிவுகளின் அடிப்படையில் கணக்கிடப்படுகின்றன.

3. ஒரு கிராஃபிக் படத்தில் (ஆயங்களில் Pn(நான்) = f(நான்)) இருவகைப் பரவல் வெவ்வேறு வடிவங்களைக் கொண்டிருக்கலாம்: வழக்கில் ப = கேவிநியோகம் சமச்சீர் மற்றும் சாதாரண காஸியன் விநியோகத்தை ஒத்திருக்கிறது; நிகழ்தகவுகளுக்கு இடையே உள்ள வேறுபாடு, விநியோகத்தின் சமச்சீரற்ற தன்மை அதிகமாகும் பமற்றும் கே.

விஷம் விநியோகம்

பாய்சன் விநியோகம் என்பது பைனோமியல் விநியோகத்தின் ஒரு சிறப்பு நிகழ்வாகும், இது நமக்கு ஆர்வமுள்ள நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவு மிகவும் குறைவாக இருக்கும்போது பயன்படுத்தப்படுகிறது. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், இந்த விநியோகம் அரிதான நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவை விவரிக்கிறது. பாய்சனின் சூத்திரத்தை எப்போது பயன்படுத்தலாம் ப < 0,01 и கே ≥ 0,99.

பாய்சன் சமன்பாடு தோராயமான ஒன்று மற்றும் பின்வரும் சூத்திரத்தால் விவரிக்கப்படுகிறது:

(6.9)

இதில் μ என்பது ஒரு நிகழ்வின் சராசரி நிகழ்தகவு மற்றும் அவதானிப்புகளின் எண்ணிக்கையின் விளைபொருளாகும்.

உதாரணமாக, பின்வரும் சிக்கலைத் தீர்ப்பதற்கான ஒரு வழிமுறையைக் கவனியுங்கள்.

பணி

பல ஆண்டுகளாக, ரஷ்யாவில் 21 பெரிய கிளினிக்குகள் டவுன் சிண்ட்ரோம் (மாதிரி சராசரியாக ஒவ்வொரு கிளினிக்கிலும் 1000 புதிதாகப் பிறந்த குழந்தைகள்) புதிதாகப் பிறந்த குழந்தைகளின் வெகுஜன பரிசோதனையை நடத்தியது. பின்வரும் தரவு பெறப்பட்டது:

உடற்பயிற்சி

1. நோயின் சராசரி நிகழ்தகவை (புதிதாகப் பிறந்த குழந்தைகளின் எண்ணிக்கையின் அடிப்படையில்) தீர்மானிக்கவும்.

2. ஒரு நோயுடன் பிறந்த குழந்தைகளின் சராசரி எண்ணிக்கையை தீர்மானிக்கவும்.

3. தோராயமாக தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட 100 புதிதாகப் பிறந்த குழந்தைகளில், டவுன் சிண்ட்ரோம் கொண்ட 2 குழந்தைகள் இருப்பதற்கான நிகழ்தகவைத் தீர்மானிக்கவும்.

தீர்வு

1. நோய்க்கான சராசரி நிகழ்தகவைத் தீர்மானிக்கவும். அவ்வாறு செய்யும்போது, ​​பின்வரும் கருத்தாய்வுகளால் நாம் வழிநடத்தப்பட வேண்டும். 21 கிளினிக்குகளில் 10 கிளினிக்குகளில் மட்டுமே டவுன் நோய் பதிவு செய்யப்பட்டுள்ளது. 11 கிளினிக்குகளில் எந்த நோய்களும் கண்டறியப்படவில்லை, 6 கிளினிக்குகளில் 1 வழக்கு, 2 கிளினிக்குகளில் 2 வழக்குகள், 1 கிளினிக்கில் 3 மற்றும் 1 கிளினிக்கில் 4 நோய் வழக்குகள் பதிவு செய்யப்பட்டுள்ளன. எந்த கிளினிக்கிலும் 5 நோய் வழக்குகள் கண்டறியப்படவில்லை. நோயின் சராசரி நிகழ்தகவைத் தீர்மானிக்க, புதிதாகப் பிறந்த குழந்தைகளின் மொத்த எண்ணிக்கையால் (21000) மொத்த வழக்குகளின் எண்ணிக்கையை (6 1 + 2 2 + 1 3 + 1 4 = 17) வகுக்க வேண்டியது அவசியம்:

2. ஒரு நோய்க்கு புதிதாகப் பிறந்த குழந்தைகளின் எண்ணிக்கை தலைகீழ் சராசரி நிகழ்தகவு ஆகும், அதாவது பதிவு செய்யப்பட்ட வழக்குகளின் எண்ணிக்கையால் வகுக்கப்படும் மொத்த பிறந்த குழந்தைகளின் எண்ணிக்கைக்கு சமம்:

3. மதிப்புகளை மாற்றவும் ப = 0,00081, n= 100 மற்றும் நான்= 2 பாய்சன் சூத்திரத்தில்:

பதில்

தோராயமாக தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட 100 புதிதாகப் பிறந்த குழந்தைகளில், டவுன் சிண்ட்ரோம் கொண்ட 2 குழந்தைகள் இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு 0.003 (0.3%).

தலைப்பில் பணிகள்

சிக்கல் 6.1

உடற்பயிற்சி

சென்சார்மோட்டர் எதிர்வினை நேரத்தில் பணி 5.1 இல் உள்ள தரவைப் பயன்படுத்தி, விஆர் விநியோகத்தின் சமச்சீரற்ற தன்மை மற்றும் குர்டோசிஸைக் கணக்கிடுங்கள்.

சிக்கல் 6.2

200 பட்டதாரி மாணவர்களின் அறிவுத்திறன் அளவு சோதிக்கப்பட்டது ( IQ) இதன் விளைவாக விநியோகத்தை இயல்பாக்கிய பிறகு IQநிலையான விலகலின் அடிப்படையில், பின்வரும் முடிவுகள் பெறப்பட்டன:

உடற்பயிற்சி

கோல்மோகோரோவ் மற்றும் சி-சதுர சோதனைகளைப் பயன்படுத்தி, குறிகாட்டிகளின் விளைவாக விநியோகிக்கப்படுகிறதா என்பதைத் தீர்மானிக்கவும். IQசாதாரண.

சிக்கல் 6.3

வயது வந்தோருக்கான பாடத்தில் (25 வயதுடைய ஆண்), 1 kHz நிலையான அதிர்வெண் மற்றும் 40 dB இன் தீவிரம் கொண்ட ஒலி தூண்டுதலுக்கு பதிலளிக்கும் வகையில் ஒரு எளிய சென்சார்மோட்டர் எதிர்வினையின் (SR) நேரம் ஆய்வு செய்யப்பட்டது. தூண்டுதல் 3-5 விநாடிகளின் இடைவெளியில் நூறு முறை வழங்கப்பட்டது. 100 பிரதிகளுக்கான தனிப்பட்ட BP மதிப்புகள் பின்வருமாறு விநியோகிக்கப்பட்டன:

உடற்பயிற்சி

1. VR விநியோகத்தின் அதிர்வெண் வரைபடத்தை உருவாக்குதல்; சராசரி BP மதிப்பு மற்றும் நிலையான விலகலை தீர்மானிக்கவும்.

2. சமச்சீரற்ற குணகம் மற்றும் BP விநியோகத்தின் குர்டோசிஸ் காட்டி ஆகியவற்றைக் கணக்கிடுங்கள்; பெறப்பட்ட மதிப்புகளின் அடிப்படையில் எனமற்றும் Exகொடுக்கப்பட்ட விநியோகத்தின் இணங்குதல் அல்லது இணங்காமல் இருப்பது பற்றி ஒரு முடிவை எடுக்கவும்.

சிக்கல் 6.4

1998 இல், 14 பேர் (5 சிறுவர்கள் மற்றும் 9 பெண்கள்) நிஸ்னி தாகில் பள்ளிகளில் தங்கப் பதக்கங்களுடன் பட்டம் பெற்றனர், மேலும் 26 பேர் (8 சிறுவர்கள் மற்றும் 18 பெண்கள்) வெள்ளிப் பதக்கங்களுடன் பட்டம் பெற்றனர்.

கேள்வி

சிறுவர்களை விட பெண்கள் அடிக்கடி பதக்கங்களைப் பெறுகிறார்கள் என்று சொல்ல முடியுமா?

குறிப்பு

பொது மக்கள் தொகையில் சிறுவர் மற்றும் சிறுமிகளின் எண்ணிக்கையின் விகிதம் சமமாக கருதப்படுகிறது.

சிக்கல் 6.5

ஒரே மாதிரியான பாடங்களில் உள்ள புறம்போக்கு மற்றும் உள்முக சிந்தனையாளர்களின் எண்ணிக்கை தோராயமாக ஒரே மாதிரியாக இருக்கும் என்று நம்பப்படுகிறது.

உடற்பயிற்சி

தோராயமாக தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட 10 பாடங்களைக் கொண்ட குழுவில் 0, 1, 2, ..., 10 எக்ஸ்ட்ரோவர்ட்கள் இருப்பதற்கான நிகழ்தகவைத் தீர்மானிக்கவும். கொடுக்கப்பட்ட குழுவில் 0, 1, 2, ..., 10 எக்ஸ்ட்ரோவர்ட்களைக் கண்டறியும் நிகழ்தகவு விநியோகத்தின் வரைகலை வெளிப்பாட்டை உருவாக்கவும்.

சிக்கல் 6. 6

உடற்பயிற்சி

நிகழ்தகவைக் கணக்கிடுங்கள் Pn(i) பைனோமியல் விநியோக செயல்பாடுகள் ப= 0.3 மற்றும் கேமதிப்புகளுக்கு = 0.7 n= 5 மற்றும் நான்= 0, 1, 2, ..., 5. சார்புநிலையின் வரைகலை வெளிப்பாட்டைக் கட்டமைக்கவும் Pn(நான்) = f(நான்) .

சிக்கல் 6. 7

சமீபத்திய ஆண்டுகளில், ஜோதிட கணிப்புகள் மீதான நம்பிக்கை ஒரு குறிப்பிட்ட பகுதி மக்களிடையே நிறுவப்பட்டுள்ளது. பூர்வாங்க ஆய்வுகளின் முடிவுகளின்படி, சுமார் 15% மக்கள் ஜோதிடத்தை நம்புகிறார்கள் என்று கண்டறியப்பட்டது.

உடற்பயிற்சி

தோராயமாக தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட 10 பதிலளிப்பவர்களில் 1, 2 அல்லது 3 பேர் ஜோதிட கணிப்புகளை நம்பும் நிகழ்தகவைத் தீர்மானிக்கவும்.

சிக்கல் 6.8

பணி

யெகாடெரின்பர்க் மற்றும் ஸ்வெர்ட்லோவ்ஸ்க் பிராந்தியத்தில் உள்ள 42 மேல்நிலைப் பள்ளிகளில் (மொத்த மாணவர்களின் எண்ணிக்கை 12,260 பேர்), பல ஆண்டுகளாக பள்ளி மாணவர்களிடையே பின்வரும் மனநோய் வழக்குகள் அடையாளம் காணப்பட்டன:

உடற்பயிற்சி

1000 பள்ளிக்குழந்தைகளை மாதிரி எடுக்கலாம். இந்த ஆயிரம் பள்ளி மாணவர்களில் 1, 2 அல்லது 3 மனநலம் பாதிக்கப்பட்ட குழந்தைகள் அடையாளம் காணப்படுவதற்கான நிகழ்தகவு என்ன என்பதைக் கணக்கிடுங்கள்?

பிரிவு 7. வேறுபாடுகளின் அளவீடுகள்

சிக்கலை உருவாக்குதல்

பாடங்களின் இரண்டு சுயாதீன மாதிரிகள் எங்களிடம் உள்ளன என்று வைத்துக்கொள்வோம் எக்ஸ்மற்றும் மணிக்கு. சுதந்திரமானஒரு மாதிரியில் ஒரே பொருள் (பொருள்) தோன்றும்போது மாதிரிகள் கருதப்படுகின்றன. இந்த மாதிரிகளை (இரண்டு தொடர் மாறிகள்) அவற்றின் வேறுபாடுகளுக்காக ஒன்றோடொன்று ஒப்பிடுவதே பணி. இயற்கையாகவே, முதல் மற்றும் இரண்டாவது மாதிரிகளில் உள்ள மாறிகளின் மதிப்புகள் எவ்வளவு நெருக்கமாக இருந்தாலும், சில, சிறியதாக இருந்தாலும், அவற்றுக்கிடையேயான வேறுபாடுகள் கண்டறியப்படும். கணித புள்ளிவிவரங்களின் பார்வையில், இந்த மாதிரிகளுக்கு இடையிலான வேறுபாடுகள் புள்ளிவிவர ரீதியாக நம்பகமானவை (புள்ளியியல் முக்கியத்துவம் வாய்ந்தவை) அல்லது நம்பகத்தன்மையற்றவை (சீரற்றவை) என்ற கேள்வியில் நாங்கள் ஆர்வமாக உள்ளோம்.

மாதிரிகளுக்கு இடையிலான வேறுபாடுகளின் நம்பகத்தன்மைக்கான பொதுவான அளவுகோல்கள் வேறுபாடுகளின் அளவுரு அளவீடுகள் - மாணவர்களின் டி டெஸ்ட்மற்றும் ஃபிஷர் சோதனை. சில சந்தர்ப்பங்களில், அளவுகோல் அல்லாத அளவுகோல்கள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன - ரோசன்பாமின் Q சோதனை, மான்-விட்னி U சோதனைமுதலியன ஒரு சிறப்பு இடம் ஆக்கிரமிக்கப்பட்டுள்ளது ஃபிஷர் கோண மாற்றம் φ*, சதவீதம் (சதவிகிதங்கள்) என வெளிப்படுத்தப்பட்ட மதிப்புகளை ஒருவருக்கொருவர் ஒப்பிட்டுப் பார்க்க உங்களை அனுமதிக்கிறது. மேலும், இறுதியாக, ஒரு சிறப்பு நிகழ்வாக, மாதிரிகளை ஒப்பிட்டுப் பார்க்க, மாதிரி விநியோகங்களின் வடிவத்தை வகைப்படுத்தும் அளவுகோல்களைப் பயன்படுத்தலாம் - பியர்சனின் χ2 சோதனைமற்றும் கோல்மோகோரோவ்-ஸ்மிர்னோவ் λ அளவுகோல்.

இந்த தலைப்பை நன்கு புரிந்துகொள்ள, பின்வருவனவற்றைச் செய்வோம். ரோசன்பாம், மான்-விட்னி, மாணவர் மற்றும் ஃபிஷர் ஆகிய நான்கு வெவ்வேறு அளவுகோல்களைப் பயன்படுத்தி நான்கு முறைகளைப் பயன்படுத்தி ஒரே சிக்கலைத் தீர்ப்போம்.

பணி

பரீட்சை அமர்வின் போது, ​​30 மாணவர்கள் (14 சிறுவர்கள் மற்றும் 16 பெண்கள்) ஸ்பீல்பெர்கர் சோதனையைப் பயன்படுத்தி எதிர்வினை பதட்டத்தின் நிலைக்கு சோதிக்கப்பட்டனர். பின்வரும் முடிவுகள் பெறப்பட்டன (அட்டவணை 7.1):

அட்டவணை 7.1

உடற்பயிற்சி

சிறுவர்கள் மற்றும் சிறுமிகளில் எதிர்வினை கவலையின் மட்டத்தில் உள்ள வேறுபாடுகள் புள்ளிவிவர ரீதியாக குறிப்பிடத்தக்கவையா என்பதை தீர்மானிக்க.

கல்வி உளவியல் துறையில் நிபுணத்துவம் பெற்ற ஒரு உளவியலாளருக்கு இந்தப் பணி மிகவும் பொதுவானதாகத் தெரிகிறது: தேர்வு அழுத்தத்தை யார் அதிகமாக அனுபவிக்கிறார்கள் - சிறுவர்கள் அல்லது பெண்கள்? மாதிரிகளுக்கு இடையிலான வேறுபாடுகள் புள்ளிவிவர ரீதியாக குறிப்பிடத்தக்கதாக இருந்தால், இந்த அம்சத்தில் குறிப்பிடத்தக்க பாலின வேறுபாடுகள் உள்ளன; வேறுபாடுகள் சீரற்றதாக இருந்தால் (புள்ளியியல் ரீதியாக நம்பமுடியாதது), இந்த அனுமானம் கைவிடப்பட வேண்டும்.

7. 2. அளவற்ற சோதனை கேரோசன்பாம்

கே-Rosenbaum இன் அளவுகோல் இரண்டு சுயாதீன மாறிகளின் தரவரிசைத் தொடர் மதிப்புகளின் ஒப்பீட்டை அடிப்படையாகக் கொண்டது. இந்த வழக்கில், ஒவ்வொரு வரிசையிலும் உள்ள சிறப்பியல்புகளின் பரவலின் தன்மை பகுப்பாய்வு செய்யப்படவில்லை - இந்த விஷயத்தில், இரண்டு தரவரிசை வரிசைகளின் ஒன்றுடன் ஒன்று அல்லாத பிரிவுகளின் அகலம் மட்டுமே முக்கியமானது. இரண்டு தரவரிசை மாறிகளை ஒப்பிடும்போது, ​​3 விருப்பங்கள் சாத்தியமாகும்:

1. வரிசைப்படுத்தப்பட்ட வரிசைகள் எக்ஸ்மற்றும் ஒய்மேல்படிப்பு பகுதி இல்லை, அதாவது முதல் தரவரிசையின் அனைத்து மதிப்புகளும் ( எக்ஸ்) இரண்டாம் தரவரிசையின் அனைத்து மதிப்புகளையும் விட அதிகமாக உள்ளது( ஒய்):

இந்த வழக்கில், எந்த புள்ளிவிவர அளவுகோல் மூலம் நிர்ணயிக்கப்பட்ட மாதிரிகள் இடையே வேறுபாடுகள் நிச்சயமாக நம்பகமானவை, மேலும் ரோசன்பாமின் சோதனையின் பயன்பாடு தேவையில்லை. இருப்பினும், நடைமுறையில் இந்த விருப்பம் மிகவும் அரிதானது.

2. வரிசைப்படுத்தப்பட்ட வரிசைகள் முற்றிலும் ஒன்றுடன் ஒன்று ஒன்றுடன் ஒன்று (ஒரு விதியாக, வரிசைகளில் ஒன்று மற்றொன்றுக்குள் உள்ளது), ஒன்றுடன் ஒன்று அல்லாத மண்டலங்கள் இல்லை. இந்த வழக்கில், Rosenbaum அளவுகோல் பொருந்தாது.

3. ஒன்றுடன் ஒன்று வரிசைகள் உள்ளன, அதே போல் இரண்டு ஒன்றுடன் ஒன்று அல்லாத பகுதிகள் உள்ளன ( N 1மற்றும் N 2), தொடர்புடைய வெவ்வேறுவரிசைப்படுத்தப்பட்ட வரிசைகள் (குறிப்பு எக்ஸ்- வரிசை பெரியவற்றை நோக்கி மாற்றப்பட்டது, ஒய்- குறைந்த மதிப்புகளை நோக்கி):

இந்த வழக்கு Rosenbaum அளவுகோலைப் பயன்படுத்துவதற்கு பொதுவானது, அதைப் பயன்படுத்தும் போது பின்வரும் நிபந்தனைகள் பூர்த்தி செய்யப்பட வேண்டும்:

1. ஒவ்வொரு மாதிரியின் அளவும் குறைந்தது 11 ஆக இருக்க வேண்டும்.

2. மாதிரி அளவுகள் ஒருவருக்கொருவர் கணிசமாக வேறுபடக்கூடாது.

அளவுகோல் கேரோசன்பாம் ஒன்றுடன் ஒன்று அல்லாத மதிப்புகளின் எண்ணிக்கையை ஒத்துள்ளது: கே = என் 1 +என் 2 . மாதிரிகளுக்கு இடையிலான வேறுபாடுகளின் நம்பகத்தன்மை பற்றி ஒரு முடிவு எடுக்கப்பட்டால் கே> கே cr . இந்த வழக்கில், மதிப்புகள் கே kr சிறப்பு அட்டவணையில் உள்ளன (பின் இணைப்பு, அட்டவணை VIII ஐப் பார்க்கவும்).

நம் பணிக்குத் திரும்புவோம். பின்வரும் குறியீட்டை அறிமுகப்படுத்துவோம்: எக்ஸ்- சிறுமிகளின் மாதிரி, ஒய்- இளைஞர்களின் மாதிரி. ஒவ்வொரு மாதிரிக்கும் நாங்கள் ஒரு தரவரிசை தொடரை உருவாக்குகிறோம்:

எக்ஸ்: 28 30 34 34 35 36 37 39 40 41 42 42 43 44 45 46

ஒய்: 26 28 32 32 33 34 35 38 39 40 41 42 43 44

தரவரிசைப்படுத்தப்பட்ட தொடரின் ஒன்றுடன் ஒன்று சேராத பகுதிகளில் உள்ள மதிப்புகளின் எண்ணிக்கையை நாங்கள் கணக்கிடுகிறோம். ஒரு வரிசையில் எக்ஸ்ஒன்றுடன் ஒன்று அல்லாத மதிப்புகள் 45 மற்றும் 46, அதாவது. என் 1 = 2; ஒரு வரிசையில் ஒய் 1 மட்டும் ஒன்றுடன் ஒன்று அல்லாத மதிப்பு 26, அதாவது. என் 2 = 1. எனவே, கே = என் 1 +என் 2 = 1 + 2 = 3.

அட்டவணையில் VIII பிற்சேர்க்கை நாம் அதைக் காண்கிறோம் கே cr . = 7 (முக்கியத்துவம் நிலை 0.95) மற்றும் கே cr = 9 (0.99 இன் முக்கியத்துவ நிலைக்கு).

முடிவுரை

ஏனெனில் கே<கே kr, பின்னர் Rosenbaum அளவுகோலின் படி, மாதிரிகளுக்கு இடையிலான வேறுபாடுகள் புள்ளிவிவர ரீதியாக குறிப்பிடத்தக்கவை அல்ல.

குறிப்பு

மாறிகளின் விநியோகத்தின் தன்மையைப் பொருட்படுத்தாமல் Rosenbaum அளவுகோலைப் பயன்படுத்தலாம், அதாவது இந்த விஷயத்தில் பியர்சனின் χ 2 மற்றும் Kolmogorov இன் λ சோதனைகளைப் பயன்படுத்த வேண்டிய அவசியமில்லை.

7. 3. யு-மான்-விட்னி சோதனை

ரோசன்பாமின் அளவுகோல் போலல்லாமல், யுமேன்-விட்னி சோதனையானது, இரண்டு தரவரிசைத் தொடர்களுக்கு இடையே உள்ள ஒன்றுடன் ஒன்று மண்டலத்தை தீர்மானிப்பதை அடிப்படையாகக் கொண்டது, அதாவது, சிறிய மேலடுக்கு மண்டலம், மாதிரிகளுக்கு இடையிலான வேறுபாடுகள் மிகவும் நம்பகமானவை. இந்த நோக்கத்திற்காக, இடைவெளி அளவீடுகளை ரேங்க் அளவுகளாக மாற்ற ஒரு சிறப்பு செயல்முறை பயன்படுத்தப்படுகிறது.

படி கணக்கீடு அல்காரிதம் கருதுவோம் யுமுந்தைய சிக்கலின் உதாரணத்தை அடிப்படையாகக் கொண்ட அளவுகோல்.

அட்டவணை 7.2

1. இரண்டு சுயாதீன மாதிரிகளிலிருந்து ஒரு தரவரிசைத் தொடரை உருவாக்குகிறோம். இந்த வழக்கில், இரண்டு மாதிரிகளின் மதிப்புகள் கலக்கப்படுகின்றன, நெடுவரிசை 1 ( எக்ஸ், ஒய்) மேலும் பணியை எளிதாக்குவதற்கு (கணினி பதிப்பு உட்பட), வெவ்வேறு மாதிரிகளுக்கான மதிப்புகள் வேறு எழுத்துருவில் (அல்லது வேறு நிறத்தில்) குறிக்கப்பட வேண்டும், எதிர்காலத்தில் அவற்றை வெவ்வேறு நெடுவரிசைகளில் விநியோகிப்போம் என்ற உண்மையை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ள வேண்டும்.

2. மதிப்புகளின் இடைவெளி அளவை ஒரு வரிசையாக மாற்றவும் (இதைச் செய்ய, அனைத்து மதிப்புகளையும் 1 முதல் 30 வரையிலான வரிசை எண்களாக மறுவடிவமைப்பு செய்கிறோம், நெடுவரிசை 2 ( ஆர் xy)).

3. தொடர்புடைய தரவரிசைகளுக்கான திருத்தங்களை நாங்கள் அறிமுகப்படுத்துகிறோம் (மாறியின் அதே மதிப்புகள் அதே தரத்தால் குறிக்கப்படுகின்றன, தரவரிசைகளின் கூட்டுத்தொகை மாறாமல் இருந்தால், நெடுவரிசை 3 ( ஆர் xy *). இந்த கட்டத்தில், 2 வது மற்றும் 3 வது நெடுவரிசைகளில் உள்ள ரேங்க்களின் தொகைகளை கணக்கிட பரிந்துரைக்கப்படுகிறது (அனைத்து திருத்தங்களும் சரியாக உள்ளிடப்பட்டால், இந்த தொகைகள் சமமாக இருக்க வேண்டும்).

4. தரவரிசை எண்களை ஒரு குறிப்பிட்ட மாதிரிக்கு (நெடுவரிசைகள் 4 மற்றும் 5 க்கு ஏற்ப) விநியோகிக்கிறோம். ஆர் x மற்றும் ஆர் y)).

5. நாங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கீடுகளை மேற்கொள்கிறோம்:

(7.1)

எங்கே டி x - தரவரிசைத் தொகைகளில் மிகப்பெரியது ; n x மற்றும் n y, முறையே, மாதிரி அளவுகள். இந்த வழக்கில், அதை மனதில் வைத்து கொள்ள வேண்டும் என்றால் டிஎக்ஸ்< டி y , பின்னர் குறிப்புகள் எக்ஸ்மற்றும் ஒய்தலைகீழாக மாற்றப்பட வேண்டும்.

6. பெறப்பட்ட மதிப்பை அட்டவணை ஒன்றுடன் ஒப்பிடுகிறோம் (பின் இணைப்புகள், அட்டவணை IX ஐப் பார்க்கவும்). யு ex.< யு cr. .

எங்கள் உதாரணத்தில் யு ex. = 83.5 > U cr. = 71.

முடிவுரை

மான்-விட்னி சோதனையின்படி இரண்டு மாதிரிகளுக்கு இடையிலான வேறுபாடுகள் புள்ளிவிவர ரீதியாக குறிப்பிடத்தக்கவை அல்ல.

குறிப்புகள்

1. மான்-விட்னி அளவுகோலுக்கு நடைமுறையில் எந்த கட்டுப்பாடுகளும் இல்லை; ஒப்பிடப்படும் மாதிரிகளின் குறைந்தபட்ச அளவுகள் 2 மற்றும் 5 நபர்களாகும் (பின் இணைப்பு IXஐப் பார்க்கவும்).

2. Rosenbaum சோதனையைப் போலவே, விநியோகத்தின் தன்மையைப் பொருட்படுத்தாமல், எந்த மாதிரிகள் தொடர்பாகவும் Mann-Whitney சோதனையைப் பயன்படுத்தலாம்.

மாணவர்களின் டி டெஸ்ட்

Rosenbaum மற்றும் Mann-Whitney அளவுகோல்களுக்கு மாறாக, அளவுகோல் டிமாணவர்களின் t சோதனை அளவுருவாக உள்ளது, அதாவது, இது முக்கிய புள்ளியியல் குறிகாட்டிகளின் நிர்ணயத்தை அடிப்படையாகக் கொண்டது - ஒவ்வொரு மாதிரியின் சராசரி மதிப்புகள் ( மற்றும் ) மற்றும் அவற்றின் மாறுபாடுகள் (கள் 2 x மற்றும் s 2 y), நிலையான சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகிறது (பார்க்க பிரிவு 5).

மாணவர்களின் டி-டெஸ்ட்டைப் பயன்படுத்தி பின்வரும் நிபந்தனைகள் பூர்த்தி செய்யப்படுகின்றன என்று கருதுகிறது:

1. இரண்டு மாதிரிகளுக்கான மதிப்புகளின் விநியோகம் சாதாரண விநியோக சட்டத்திற்கு ஒத்திருக்க வேண்டும் (பிரிவு 6 ஐப் பார்க்கவும்).

2. மொத்த மாதிரி அளவு குறைந்தது 30 (β 1 = 0.95 க்கு) மற்றும் குறைந்தபட்சம் 100 (β 2 = 0.99 க்கு) இருக்க வேண்டும்.

3. இரண்டு மாதிரிகளின் தொகுதிகள் ஒருவருக்கொருவர் கணிசமாக வேறுபடக்கூடாது (1.5 ÷ 2 மடங்குக்கு மேல் இல்லை).

மாணவர்களின் டி டெஸ்ட் யோசனை மிகவும் எளிமையானது. மாதிரிகள் ஒவ்வொன்றிலும் உள்ள மாறிகளின் மதிப்புகள் சாதாரண சட்டத்தின்படி விநியோகிக்கப்படுகின்றன என்று வைத்துக்கொள்வோம், அதாவது, சராசரி மதிப்புகள் மற்றும் மாறுபாடுகளில் (மற்றும் , மற்றும் , முறையே, படம் 7.1 பார்க்கவும்).

கள் எக்ஸ்கள் ஒய்

அரிசி. 7.1. இரண்டு சுயாதீன மாதிரிகளுக்கு இடையிலான வேறுபாடுகளின் மதிப்பீடு: மற்றும் - மாதிரி சராசரிகள் எக்ஸ்மற்றும் ஒய்; s x மற்றும் s y - நிலையான விலகல்கள்

இரண்டு மாதிரிகளுக்கு இடையிலான வேறுபாடுகள் அதிகமாக இருக்கும், வழிமுறைகளுக்கு இடையே உள்ள வேறுபாடு மற்றும் அவற்றின் சிறிய மாறுபாடுகள் (அல்லது நிலையான விலகல்கள்) ஆகியவற்றைப் புரிந்துகொள்வது எளிது.

சுயாதீன மாதிரிகளின் விஷயத்தில், மாணவர் குணகம் சூத்திரத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது:

(7.2)

எங்கே n x மற்றும் n y - முறையே, மாதிரிகளின் எண்ணிக்கை எக்ஸ்மற்றும் ஒய்.

நிலையான (முக்கியமான) மதிப்புகளின் அட்டவணையில் மாணவர் குணகத்தைக் கணக்கிட்ட பிறகு டி(இணைப்பு, அட்டவணை X ஐப் பார்க்கவும்) சுதந்திரத்தின் டிகிரி எண்ணிக்கையுடன் தொடர்புடைய மதிப்பைக் கண்டறியவும் n = n x+ n y - 2, மற்றும் சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்பட்டதை ஒப்பிடவும். என்றால் டி ex. £ டி cr. , பின்னர் மாதிரிகளுக்கு இடையிலான வேறுபாடுகளின் நம்பகத்தன்மை பற்றிய கருதுகோள் நிராகரிக்கப்படுகிறது, என்றால் டி ex. > டி cr. , பின்னர் அது ஏற்றுக்கொள்ளப்படுகிறது. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்பட்ட மாணவர் குணகம் தொடர்புடைய முக்கியத்துவ நிலைக்கு அட்டவணை மதிப்பை விட அதிகமாக இருந்தால் மாதிரிகள் ஒருவருக்கொருவர் கணிசமாக வேறுபடுகின்றன.

நாம் முன்பு கருதிய சிக்கலில், சராசரி மதிப்புகள் மற்றும் மாறுபாடுகளைக் கணக்கிடுவது பின்வரும் மதிப்புகளைக் கொடுக்கிறது: எக்ஸ்திருமணம் செய் = 38.5; σ x 2 = 28.40; மணிக்குதிருமணம் செய் = 36.2; σ y 2 = 31.72.

சிறுவர்களின் குழுவை விட பெண்கள் குழுவில் சராசரி கவலை மதிப்பு அதிகமாக இருப்பதைக் காணலாம். இருப்பினும், இந்த வேறுபாடுகள் மிகவும் சிறியவை, அவை புள்ளிவிவர ரீதியாக குறிப்பிடத்தக்கதாக இருக்க வாய்ப்பில்லை. சிறுவர்களுக்கான மதிப்புகளின் சிதறல், மாறாக, சிறுமிகளை விட சற்று அதிகமாக உள்ளது, ஆனால் சிதறல்களுக்கு இடையிலான வேறுபாடுகளும் சிறியவை.

முடிவுரை

டி ex. = 1.14< டி cr. = 2.05 (β 1 = 0.95). ஒப்பிடப்பட்ட இரண்டு மாதிரிகளுக்கு இடையிலான வேறுபாடுகள் புள்ளிவிவர ரீதியாக குறிப்பிடத்தக்கவை அல்ல. இந்த முடிவு Rosenbaum மற்றும் Mann-Whitney அளவுகோல்களைப் பயன்படுத்தி பெறப்பட்ட முடிவுகளுடன் மிகவும் ஒத்துப்போகிறது.

மாணவர்களின் t சோதனையைப் பயன்படுத்தி இரண்டு மாதிரிகளுக்கு இடையிலான வேறுபாடுகளைத் தீர்மானிக்க மற்றொரு வழி, நிலையான விலகல்களின் நம்பிக்கை இடைவெளியைக் கணக்கிடுவதாகும். நம்பிக்கை இடைவெளி என்பது மாதிரி அளவின் வர்க்க மூலத்தால் வகுக்கப்பட்டு, மாணவர் குணகத்தின் நிலையான மதிப்பால் பெருக்கப்படும் சராசரி சதுர (தரநிலை) விலகல் ஆகும். n- 1 டிகிரி சுதந்திரம் (முறையே, மற்றும் ).

குறிப்பு

மதிப்பு = மீ xரூட் சராசரி சதுரப் பிழை என்று அழைக்கப்படுகிறது (பிரிவு 5 ஐப் பார்க்கவும்). எனவே, நம்பிக்கை இடைவெளி என்பது கொடுக்கப்பட்ட மாதிரி அளவுக்கான மாணவர் குணகத்தால் பெருக்கப்படும் மூல சராசரி சதுரப் பிழையாகும், அங்கு சுதந்திரத்தின் டிகிரி எண்ணிக்கை ν = n- 1, மற்றும் கொடுக்கப்பட்ட முக்கியத்துவ நிலை.

ஒன்றுக்கொன்று சார்பற்ற இரண்டு மாதிரிகள் கணிசமாக வேறுபட்டால் நம்பக இடைவெளிகள்இந்த மாதிரிகள் ஒன்றுடன் ஒன்று ஒன்றுடன் ஒன்று இல்லை. எங்கள் விஷயத்தில், முதல் மாதிரி 38.5 ± 2.84, இரண்டாவது 36.2 ± 3.38.

எனவே, சீரற்ற மாறுபாடுகள் x i 35.66 ¸ 41.34 வரம்பில் உள்ளது, மற்றும் மாறுபாடுகள் ஒய் ஐ– 32.82 ¸ 39.58 வரம்பில். இதன் அடிப்படையில், மாதிரிகளுக்கு இடையிலான வேறுபாடுகள் என்று கூறலாம் எக்ஸ்மற்றும் ஒய்புள்ளிவிவர ரீதியாக நம்பமுடியாதது (மாறுபாடு வரம்புகள் ஒன்றுடன் ஒன்று ஒன்றுடன் ஒன்று). இந்த விஷயத்தில் ஒன்றுடன் ஒன்று மண்டலத்தின் அகலம் ஒரு பொருட்டல்ல என்பதை நினைவில் கொள்ள வேண்டும் (நம்பிக்கை இடைவெளிகளின் ஒன்றுடன் ஒன்று மட்டுமே முக்கியமானது).

ஒன்றையொன்று சார்ந்த மாதிரிகளுக்கான மாணவர் முறை (உதாரணமாக, ஒரே மாதிரியான பாடங்களில் மீண்டும் மீண்டும் சோதனை செய்வதன் மூலம் பெறப்பட்ட முடிவுகளை ஒப்பிடுவதற்கு) மிகவும் அரிதாகவே பயன்படுத்தப்படுகிறது, ஏனெனில் இந்த நோக்கங்களுக்காக மற்ற, அதிக தகவல் தரும் புள்ளிவிவர நுட்பங்கள் உள்ளன (பிரிவு 10 ஐப் பார்க்கவும்). இருப்பினும், இந்த நோக்கத்திற்காக, முதல் தோராயமாக, நீங்கள் மாணவர் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தலாம் பின்வரும் வகை:

(7.3)

பெறப்பட்ட முடிவு அட்டவணை மதிப்புடன் ஒப்பிடப்படுகிறது n- 1 டிகிரி சுதந்திரம், எங்கே n- மதிப்புகளின் ஜோடிகளின் எண்ணிக்கை எக்ஸ்மற்றும் ஒய். ஒப்பீட்டு முடிவுகள் இரண்டு சுயாதீன மாதிரிகளுக்கு இடையிலான வேறுபாடுகளைக் கணக்கிடுவதைப் போலவே விளக்கப்படுகின்றன.

ஃபிஷர் அளவுகோல்

மீனவர் அளவுகோல் ( எஃப்) மாணவர் சோதனையின் அதே கொள்கையை அடிப்படையாகக் கொண்டது, அதாவது ஒப்பிடப்பட்ட மாதிரிகளில் சராசரி மதிப்புகள் மற்றும் மாறுபாடுகளின் கணக்கீடு இதில் அடங்கும். சமமற்ற அளவு (எண்ணிக்கையில் வேறுபட்டது) மாதிரிகளை ஒருவருக்கொருவர் ஒப்பிடும் போது இது பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படுகிறது. ஃபிஷர் சோதனையானது மாணவர் சோதனையை விட சற்றே கடுமையானது, எனவே வேறுபாடுகளின் முக்கியத்துவம் குறித்து சந்தேகம் இருக்கும் சந்தர்ப்பங்களில் மிகவும் விரும்பத்தக்கது (உதாரணமாக, மாணவர் சோதனையின்படி, வேறுபாடுகள் பூஜ்ஜியத்தில் குறிப்பிடத்தக்கவை மற்றும் நம்பகத்தன்மையற்றவை. முக்கியத்துவத்தின் முதல் நிலை).

ஃபிஷரின் சூத்திரம் இதுபோல் தெரிகிறது:

(7.4)

எங்கே மற்றும் (7.5, 7.6)

பிரச்சனையில் நாங்கள் பரிசீலித்து வருகிறோம் ஈ 2= 5.29; σ z 2 = 29.94.

சூத்திரத்தில் மதிப்புகளை மாற்றவும்:

அட்டவணையில் XI பின் இணைப்பு முக்கியத்துவம் நிலை β 1 = 0.95 மற்றும் ν = n x+ n y – 2 = 28 முக்கிய மதிப்பு 4.20.

முடிவுரை

எஃப் = 1,32 < F cr.= 4.20. மாதிரிகளுக்கு இடையிலான வேறுபாடுகள் புள்ளிவிவர ரீதியாக குறிப்பிடத்தக்கவை அல்ல.

குறிப்பு

ஃபிஷர் சோதனையைப் பயன்படுத்தும் போது, ​​மாணவர் t சோதனைக்கான அதே நிபந்தனைகள் பூர்த்தி செய்யப்பட வேண்டும் (துணைப் பிரிவு 7.4 ஐப் பார்க்கவும்). இருப்பினும், மாதிரி அளவுகளில் இரண்டு மடங்குக்கும் அதிகமான வேறுபாடு அனுமதிக்கப்படுகிறது.

இவ்வாறு, அதே சிக்கலை நான்குடன் தீர்க்கும் போது பல்வேறு முறைகள்இரண்டு அளவுரு அல்லாத மற்றும் இரண்டு அளவுரு அளவுகோல்களைப் பயன்படுத்தி, எதிர்வினை கவலையின் மட்டத்தில் பெண்கள் குழுவிற்கும் சிறுவர்களின் குழுவிற்கும் இடையிலான வேறுபாடுகள் குறிப்பிடத்தக்கவை அல்ல (அதாவது, அவை சீரற்ற மாறுபாடுகளின் வரம்பிற்குள் உள்ளன) என்ற தெளிவற்ற முடிவுக்கு வந்தோம். இருப்பினும், ஒரு தெளிவான முடிவை எடுக்க முடியாத சந்தர்ப்பங்களும் இருக்கலாம்: சில அளவுகோல்கள் நம்பகமானவை, மற்றவை நம்பமுடியாத வேறுபாடுகள். இந்த சந்தர்ப்பங்களில், அளவுரு அளவுகோல்களுக்கு முன்னுரிமை அளிக்கப்படுகிறது (போதுமான மாதிரி அளவு மற்றும் ஆய்வு செய்யப்பட்ட மதிப்புகளின் இயல்பான விநியோகத்திற்கு உட்பட்டது).

7. 6. அளவுகோல் j* - ஃபிஷர் கோண மாற்றம்

j*Fisher அளவுகோல் இரண்டு மாதிரிகளை ஆராய்ச்சியாளருக்கு ஏற்படும் ஆர்வத்தின் விளைவின் அதிர்வெண்ணின் படி ஒப்பிடுவதை நோக்கமாகக் கொண்டுள்ளது. வட்டி விளைவு பதிவு செய்யப்பட்ட இரண்டு மாதிரிகளின் சதவீதங்களுக்கு இடையிலான வேறுபாடுகளின் முக்கியத்துவத்தை இது மதிப்பிடுகிறது. அதே மாதிரிக்குள் சதவீதங்களை ஒப்பிடவும் முடியும்.

சாரம் கோண மாற்றம்பிஷ்ஷர் சதவீதங்களை மைய கோண மதிப்புகளாக மாற்றுவதைக் கொண்டுள்ளது, அவை ரேடியன்களில் அளவிடப்படுகின்றன. ஒரு பெரிய சதவீதம் பெரிய கோணத்திற்கு ஒத்திருக்கும் ஜே, மற்றும் ஒரு சிறிய பங்கு - ஒரு சிறிய கோணம், ஆனால் இங்குள்ள உறவு நேரியல் அல்ல:

எங்கே ஆர்- சதவீதம், ஒரு அலகு பின்னங்களில் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது.

கோணங்கள் j 1 மற்றும் j 2 ஆகியவற்றுக்கு இடையே உள்ள முரண்பாடு அதிகரிக்கும் மற்றும் மாதிரிகளின் எண்ணிக்கை அதிகரிக்கும் போது, ​​அளவுகோலின் மதிப்பு அதிகரிக்கிறது.

ஃபிஷர் அளவுகோல் பின்வரும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகிறது:

இதில் j 1 என்பது பெரிய சதவீதத்துடன் தொடர்புடைய கோணம்; j 2 - சிறிய சதவீதத்துடன் தொடர்புடைய கோணம்; n 1 மற்றும் n 2 - முறையே, முதல் மற்றும் இரண்டாவது மாதிரிகளின் அளவு.

சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்பட்ட மதிப்பு தரநிலையுடன் ஒப்பிடப்படுகிறது (b 1 = 0.95 க்கு j* st = 1.64 மற்றும் b 2 = 0.99 க்கு j* st = 2.31. j*> j* எனில் இரண்டு மாதிரிகளுக்கு இடையிலான வேறுபாடுகள் புள்ளியியல் ரீதியாக முக்கியத்துவம் வாய்ந்ததாகக் கருதப்படுகிறது. கொடுக்கப்பட்ட முக்கியத்துவ நிலைக்கு st.

உதாரணமாக

இரண்டு குழுக்களின் மாணவர்கள் மிகவும் சிக்கலான பணியை முடிப்பதில் அவர்களின் வெற்றியில் வேறுபடுகிறார்களா என்பதில் நாங்கள் ஆர்வமாக உள்ளோம். 20 பேர் கொண்ட முதல் குழுவில், 12 மாணவர்கள் அதைச் சமாளித்தனர், இரண்டாவது - 25 பேரில் 10 பேர்.

தீர்வு

1. குறிப்பை உள்ளிடவும்: n 1 = 20, n 2 = 25.

2. சதவீதங்களைக் கணக்கிடுங்கள் ஆர் 1 மற்றும் ஆர் 2: ஆர் 1 = 12 / 20 = 0,6 (60%), ஆர் 2 = 10 / 25 = 0,4 (40%).

3. அட்டவணையில். XII பின் இணைப்பு φ இன் தொடர்புடைய சதவீத மதிப்புகளைக் காண்கிறோம்: j 1 = 1.772, j 2 = 1.369.

முடிவுரை

குழுக்களுக்கு இடையிலான வேறுபாடுகள் புள்ளிவிவர ரீதியாக குறிப்பிடத்தக்கவை அல்ல, ஏனெனில் j*< j* ст для 1-го и тем более для 2-го уровня значимости.

7.7. பியர்சனின் χ2 சோதனை மற்றும் கோல்மோகோரோவின் λ சோதனையைப் பயன்படுத்துதல்