ஒரு திசையன் மீது ஒரு வெக்டரின் ப்ரொஜெக்ஷனின் நீளத்தைக் கணக்கிடுங்கள். ஆன்லைன் கால்குலேட்டர் ஒரு திசையன் மீது ஒரு திசையன் கணிப்பு

அச்சு என்பது திசை. இதன் பொருள் ஒரு அச்சில் அல்லது ஒரு இயக்கப்பட்ட கோட்டின் மீது ப்ரொஜெக்ஷன் ஒரே விஷயமாகக் கருதப்படுகிறது. கணிப்பு இயற்கணிதம் அல்லது வடிவியல் இருக்க முடியும். வடிவியல் அடிப்படையில், ஒரு திசையன் அச்சில் செலுத்துவது ஒரு திசையன் என்றும், இயற்கணித அடிப்படையில் இது ஒரு எண் என்றும் புரிந்து கொள்ளப்படுகிறது. அதாவது, ஒரு திசையன் ஒரு அச்சில் ப்ரொஜெக்ஷன் மற்றும் ஒரு திசையன் ஒரு அச்சில் எண் ப்ரொஜெக்ஷன் என்ற கருத்துக்கள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

Yandex.RTB R-A-339285-1

எங்களிடம் எல் அச்சு மற்றும் பூஜ்ஜியமற்ற திசையன் A B → இருந்தால், அதன் புள்ளிகள் A 1 மற்றும் B 1 ஆகியவற்றின் கணிப்புகளைக் குறிக்கும் ஒரு திசையன் A 1 B 1 ⇀ ஐ உருவாக்கலாம்.

A 1 B → 1 என்பது திசையன் A B → L இல் ப்ராஜெக்ஷன் ஆகும்.

வரையறை 1

திசையன் அச்சில் ப்ராஜெக்ஷன்இது ஒரு திசையன் ஆகும், அதன் தொடக்கமும் முடிவும் ஆரம்பம் மற்றும் முடிவின் கணிப்புகளாகும் கொடுக்கப்பட்ட திசையன். n p L A B → → ப்ரோஜெக்ஷன் A B → L மீது குறிப்பது வழக்கம். L இல் ஒரு ப்ராஜெக்ஷனை உருவாக்க, செங்குத்துகள் L மீது கைவிடப்படுகின்றன.

எடுத்துக்காட்டு 1

ஒரு அச்சில் திசையன் முன்கணிப்புக்கான எடுத்துக்காட்டு.

O x y ஒருங்கிணைப்பு விமானத்தில், ஒரு புள்ளி M 1 (x 1, y 1) குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது. புள்ளி M 1 இன் ஆரம் வெக்டரைப் படம்பிடிக்க O x மற்றும் O y இல் கணிப்புகளை உருவாக்குவது அவசியம். திசையன்களின் (x 1, 0) மற்றும் (0, y 1) ஆயத்தொலைவுகளைப் பெறுகிறோம்.

பூஜ்ஜியம் அல்லாத b → மீது a → இன் ப்ரொஜெக்ஷன் அல்லது b → திசையில் a → இன் ப்ராஜெக்ஷன் பற்றி பேசுகிறோம் என்றால், b → திசையில் இணைந்திருக்கும் அச்சில் a → இன் ப்ராஜெக்ஷன் என்று அர்த்தம். b → ஆல் வரையறுக்கப்பட்ட கோட்டின் மீது a → இன் ப்ராஜெக்ஷன் n p b → a → → என குறிப்பிடப்படுகிறது. a → மற்றும் b → , n p b → a → → மற்றும் b → க்கு இடையே உள்ள கோணம் ஒரு திசையாகக் கருதப்படும் போது அது அறியப்படுகிறது. கோணம் மழுங்கிய நிலையில், n p b → a → → மற்றும் b → ஆகியவை எதிர் திசையில் இருக்கும். செங்குத்தாக இருக்கும் சூழ்நிலையில் a → மற்றும் b →, மற்றும் a → பூஜ்ஜியமாகும், b → திசையில் a → இன் ப்ராஜெக்ஷன் பூஜ்ஜிய திசையன் ஆகும்.

ஒரு திசையன் ஒரு அச்சில் ப்ரொஜெக்ஷன் செய்வதன் எண்ணியல் பண்பு, கொடுக்கப்பட்ட அச்சில் ஒரு திசையன் எண்ணியல் திட்டமாகும்.

வரையறை 2

திசையன் அச்சில் எண்ணியல் முன்கணிப்புகொடுக்கப்பட்ட வெக்டரின் நீளம் மற்றும் கொடுக்கப்பட்ட திசையன் மற்றும் அச்சு திசையை தீர்மானிக்கும் திசையன் இடையே உள்ள கோணத்தின் கோசைன் ஆகியவற்றின் பெருக்கத்திற்கு சமமான எண்.

எல் மீது A B → இன் எண் கணிப்பு n p L A B → என்றும், a → onto b → - n p b → a → என்றும் குறிக்கப்படுகிறது.

சூத்திரத்தின் அடிப்படையில், நாம் n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ ஐப் பெறுகிறோம், இதில் இருந்து a → என்பது திசையன் நீளம் a → , a ⇀ , b → ^ என்பது திசையன்களுக்கு இடையே உள்ள கோணம் a → மற்றும் b → .

எண் புரொஜெக்ஷனைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரத்தைப் பெறுகிறோம்: n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ . அறியப்பட்ட நீளம் a → மற்றும் b → மற்றும் அவற்றுக்கிடையேயான கோணத்திற்கு இது பொருந்தும். அறியப்பட்ட ஆய a → மற்றும் b → க்கு சூத்திரம் பொருந்தும், ஆனால் எளிமையான படிவம் உள்ளது.

எடுத்துக்காட்டு 2

b → திசையில் ஒரு நேர் கோட்டில் → இன் எண் ப்ரொஜெக்ஷனைக் கண்டறியவும், நீளம் a → 8 க்கு சமமாகவும் அவற்றுக்கிடையே 60 டிகிரி கோணமாகவும் இருக்கும். நிபந்தனையின்படி நாம் ஒரு ⇀ = 8, a ⇀, b → ^ = 60 °. இதன் பொருள் எண் மதிப்புகளை n p b ⇀ a → = a → · cos a → , b → ^ = 8 · cos 60 ° = 8 · 1 2 = 4 சூத்திரத்தில் மாற்றுகிறோம்.

பதில்: 4.

அறியப்பட்ட cos (a → , b → ^) = a ⇀ , b → a → · b → , நாம் a → மற்றும் b → இன் அளவிடல் பலனாக → , b → ஐக் கொண்டுள்ளோம். n p b → a → = a → · cos a ⇀ , b → ^ சூத்திரத்தைப் பின்பற்றி, a → திசையன் b → வழியாக இயக்கப்பட்ட எண் கணிப்பைக் கண்டறிந்து n p b → a → = a → , b → ஐப் பெறலாம். சூத்திரம் பத்தியின் தொடக்கத்தில் கொடுக்கப்பட்ட வரையறைக்கு சமமானது.

வரையறை 3

திசையன் a → ஒரு அச்சில் b → உடன் திசையில் ஒத்துப்போகும் எண்ணியல் திட்டமானது திசையன்களின் a → மற்றும் b → நீளம் b → வின் அளவிடல் உற்பத்தியின் விகிதமாகும். n p b → a → = a → , b → b → என்ற சூத்திரம், a → மற்றும் b → ஆயத்தொகுப்புகளுடன், b → உடன் திசையில் இணைந்திருக்கும் ஒரு கோட்டில் ஒரு → இன் எண் ப்ரொஜெக்ஷனைக் கண்டறியப் பொருந்தும்.

எடுத்துக்காட்டு 3

கொடுக்கப்பட்ட b → = (- 3 , 4) . எல் மீது ஒரு → = (1, 7) என்ற எண்ணியல் கணிப்பைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு

ஒருங்கிணைப்பு விமானத்தில் n p b → a → = a → , b → b → ஆனது n p b → a → = a → , b → b → = a x b x + a y b y b x 2 + a , a () உடன் (a) b → = b x, b y. எல் அச்சில் திசையன் a → இன் எண் ப்ரொஜெக்ஷனைக் கண்டறிய, உங்களுக்குத் தேவை: n p L a → = n p b → a → = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y b x 2 = + 1 y (- 3) + 7 · 4 (- 3) 2 + 4 2 = 5.

பதில்: 5.

எடுத்துக்காட்டு 4

→ = - 2, 3, 1 மற்றும் b → = (3, - 2, 6) இருக்கும் b → திசையுடன் ஒத்துப்போகும் L இல் → இன் ப்ராஜெக்ஷனைக் கண்டறியவும். முப்பரிமாண இடம் குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது.

தீர்வு

a → = a x , a y , a z மற்றும் b → = b x , b y , b z கொடுக்கப்பட்டால், நாம் அளவிடல் உற்பத்தியைக் கணக்கிடுகிறோம்: a ⇀ , b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z . b → நீளம் b → = b x 2 + b y 2 + b z 2 சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கண்டறியப்படுகிறது. எண்ணியல் ப்ராஜெக்ஷன் a → நிர்ணயிப்பதற்கான சூத்திரம் பின்வருமாறு: n p b → a ⇀ = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z b x 2 + b y 2 2 + z.

எண் மதிப்புகளை மாற்றவும்: n p L a → = n p b → a → = (- 2) 3 + 3 (- 2) + 1 6 3 2 + (- 2) 2 + 6 2 = - 6 49 = - 6 7 .

பதில்: - 6 7.

L இல் a → மற்றும் L இல் a → ப்ரொஜெக்ஷனின் நீளம் இடையே உள்ள தொடர்பைப் பார்ப்போம். L இல் ஒரு புள்ளியில் இருந்து a → மற்றும் b → ஐச் சேர்த்து, L என்ற அச்சை வரைவோம், அதன் பிறகு a → இலிருந்து L வரை ஒரு செங்குத்தாகக் கோட்டை வரைந்து, L மீது ஒரு ப்ராஜெக்ஷனை வரைவோம். படத்தில் 5 வேறுபாடுகள் உள்ளன:

முதலில் a → = n p b → a → → என்பது a → = n p b → a → → , எனவே n p b → a → = a → · cos (a , → b → = a → ° ^ a → n p b → a → → .

இரண்டாவதுவழக்கு n p b → a → ⇀ = a → · cos a → , b → , அதாவது n p b → a → = a → · cos (a → , b →) ^ = n p→ →

மூன்றாவதுவழக்கு விளக்குகிறது n p b → a → → = 0 → நாம் n p b ⇀ a → = a → · cos (a → , b → ^) = a → · cos 90 ° = 0 , பின்னர் n p → → மற்றும் n p b → a → = 0 = n p b → a → → .

நான்காவதுவழக்கு n p b → a → → = a → · cos (180 ° - a → , b → ^) = - a → · cos (a → , b → ^) , n p b → a → = a a → , b → ^) = - n p b → a → → .

ஐந்தாவதுவழக்கு a → = n p b → a → → காட்டுகிறது, அதாவது a → = n p b → a → → , எனவே நாம் n p b → a → = a → · cos a → , b → ° 8 ^ = ° a → = - n p b → a → .

வரையறை 4

எல் அச்சில் திசையன் a → இன் எண் ப்ரொஜெக்ஷன், இது b → ஐப் போலவே இயக்கப்படுகிறது, பின்வரும் மதிப்பைக் கொண்டுள்ளது:

• ஒரு → மற்றும் b → க்கு இடையே உள்ள கோணம் 90 டிகிரிக்கு குறைவாக அல்லது 0: n p b → a → = n p b → a → → நிபந்தனையுடன் 0 ≤ (a → , b →) ^< 90 ° ;
• a → மற்றும் b → செங்குத்தாக இருப்பதை பூஜ்ஜியம் வழங்கியது: n p b → a → = 0, எப்போது (a → , b → ^) = 90 °;
• 90 ° நிபந்தனையுடன் a → L இல் இருக்கும் திட்ட நீளம், a → மற்றும் b → திசையன்களின் மழுங்கிய அல்லது நேரான கோணம் இருக்கும்போது -1 ஆல் பெருக்கப்படுகிறது< a → , b → ^ ≤ 180 ° .

எடுத்துக்காட்டு 5

ப்ரொஜெக்ஷனின் நீளம் ஒரு → மீது L, 2க்கு சமம். கோணம் 5 π 6 ரேடியன்கள் என்று வழங்கப்பட்டுள்ள எண்ணியல் முன்கணிப்பைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு

நிபந்தனையிலிருந்து இந்த கோணம் மழுங்கியது என்பது தெளிவாகிறது: π 2< 5 π 6 < π . Тогда можем найти числовую проекцию a → на L: n p L a → = - n p L a → → = - 2 .

பதில்:- 2.

எடுத்துக்காட்டு 6

30 டிகிரி கோணத்துடன் 6 3, b → (- 2, 1, 2) க்கு சமமான திசையன் நீளம் கொண்ட விமானம் O x y z. எல் அச்சில் ஒரு → ப்ரொஜெக்ஷனின் ஆயங்களைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு

முதலில், திசையன் a →: n p L a → = n p b → a → = a → · cos (a → , b →) ^ = 6 3 · cos 30 ° = 6 3 · 3 2 = 9 என்ற எண்ணியல் கணிப்பைக் கணக்கிடுகிறோம். .

நிபந்தனையின்படி, கோணம் கடுமையானது, பின்னர் எண்ணியல் முன்கணிப்பு a → = திசையன் a →: n p L a → = n p L a → → = 9. இந்த வழக்கு n p L a → → மற்றும் b → ஆகிய திசையன்கள் இணை இயக்கப்பட்டவை என்பதைக் காட்டுகிறது, அதாவது சமத்துவம் உண்மையாக இருக்கும் t எண் உள்ளது: n p L a → → = t · b → . இங்கிருந்து n p L a → → = t · b → , அதாவது t: t = n p L a → → b → = 9 (- 2) 2 + 1 2 + 2 2 என்ற அளவுருவின் மதிப்பைக் காணலாம் = 9 9 = 3 .

பின்னர் n p L a → → = 3 · b → திசையன் a → இன் ப்ராஜெக்ஷனின் ஆயத்தொலைவுகளுடன் b → = (- 2 , 1 , 2) க்கு சமமான L அச்சில் , மதிப்புகளை பெருக்க வேண்டியது அவசியம் 3. எங்களிடம் n p L a → → = (- 6 , 3 , 6) . பதில்: (- 6, 3, 6).

திசையன்களின் கோலினரிட்டியின் நிலை பற்றி முன்னர் கற்றுக்கொண்ட தகவலை மீண்டும் செய்வது அவசியம்.

உரையில் பிழையைக் கண்டால், அதை முன்னிலைப்படுத்தி Ctrl+Enter ஐ அழுத்தவும்

பல உடல் அளவுகள்ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணைக் குறிப்பிடுவதன் மூலம் முழுமையாக தீர்மானிக்கப்படுகிறது. இவை, எடுத்துக்காட்டாக, தொகுதி, நிறை, அடர்த்தி, உடல் வெப்பநிலை போன்றவை. இத்தகைய அளவுகள் ஸ்கேலர் எனப்படும். இதன் காரணமாக, எண்கள் சில நேரங்களில் ஸ்கேலர்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. ஆனால் ஒரு எண்ணை மட்டுமல்ல, ஒரு குறிப்பிட்ட திசையையும் குறிப்பிடுவதன் மூலம் தீர்மானிக்கப்படும் அளவுகளும் உள்ளன. உதாரணமாக, ஒரு உடல் நகரும் போது, ​​உடல் நகரும் வேகத்தை மட்டுமல்ல, இயக்கத்தின் திசையையும் குறிக்க வேண்டும். அதே வழியில், எந்தவொரு சக்தியின் செயலையும் படிக்கும் போது, ​​இந்த சக்தியின் மதிப்பை மட்டுமல்ல, அதன் செயல்பாட்டின் திசையையும் குறிப்பிடுவது அவசியம். அத்தகைய அளவுகள் அழைக்கப்படுகின்றன திசையன்.அவற்றை விவரிக்க, ஒரு திசையன் என்ற கருத்து அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது, இது கணிதத்திற்கு பயனுள்ளதாக மாறியது.

திசையன் வரையறை

விண்வெளியில் A முதல் B வரை எந்த வரிசைப்படுத்தப்பட்ட ஜோடி புள்ளிகளையும் வரையறுக்கிறது இயக்கிய பிரிவு, அதாவது அதில் குறிப்பிடப்பட்டுள்ள திசையுடன் ஒரு பிரிவு. புள்ளி A முதலாவதாக இருந்தால், அது இயக்கப்பட்ட பிரிவின் ஆரம்பம் என்றும், புள்ளி B அதன் முடிவு என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. ஒரு பிரிவின் திசையானது தொடக்கத்திலிருந்து இறுதி வரையிலான திசையாகக் கருதப்படுகிறது.

வரையறை
ஒரு இயக்கப்பட்ட பிரிவு திசையன் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

ஒரு திசையனை நாம் \(\overrightarrow(AB) \) குறியீட்டின் மூலம் குறிப்போம், முதல் எழுத்து திசையனின் தொடக்கத்தையும், இரண்டாவது - அதன் முடிவையும் குறிக்கும்.

தொடக்கமும் முடிவும் இணையும் திசையன் என்று அழைக்கப்படுகிறது பூஜ்யம்மற்றும் \(\vec(0)\) அல்லது வெறுமனே 0 ஆல் குறிக்கப்படுகிறது.

ஒரு வெக்டரின் தொடக்கத்திற்கும் முடிவிற்கும் இடையிலான தூரம் அதன் எனப்படும் நீளம்மற்றும் \(|\overrightarrow(AB)| \) அல்லது \(|\vec(a)| \) மூலம் குறிக்கப்படுகிறது.

திசையன்கள் \(\vec(a) \) மற்றும் \(\vec(b) \) என்று அழைக்கப்படுகின்றன கோலினியர், அவை ஒரே கோட்டில் அல்லது இணையான கோடுகளில் இருந்தால். கோலினியர் திசையன்கள் ஒரே அல்லது எதிர் திசைகளைக் கொண்டிருக்கலாம்.

இப்போது நாம் உருவாக்கலாம் முக்கியமான கருத்துஇரண்டு திசையன்களின் சமத்துவம்.

வரையறை
திசையன்கள் \(\vec(a) \) மற்றும் \(\vec(b) \) சமம் எனக் கூறப்படுகிறது (\(\vec(a) = \vec(b) \)) அவை கோலினியர் என்றால், ஒரே திசை மற்றும் அவற்றின் நீளம் சமம்.

படத்தில். 1 இடதுபுறத்தில் சமமற்ற திசையன்களையும், வலதுபுறத்தில் \(\vec(a) \) மற்றும் \(\vec(b) \) சம திசையன்களையும் காட்டுகிறது. திசையன்களின் சமத்துவத்தின் வரையறையிலிருந்து, கொடுக்கப்பட்ட திசையன் தனக்கு இணையாக நகர்த்தப்பட்டால், கொடுக்கப்பட்ட ஒரு திசையன் பெறப்படும். இது சம்பந்தமாக, பகுப்பாய்வு வடிவவியலில் திசையன்கள் அழைக்கப்படுகின்றன இலவசம்.

ஒரு திசையன் ஒரு அச்சில் ப்ராஜெக்ஷன்

அச்சு \(u\) மற்றும் சில திசையன் \(\overrightarrow(AB)\) விண்வெளியில் கொடுக்கப்பட வேண்டும். புள்ளிகள் A மற்றும் B மூலம் \(u\) அச்சுக்கு செங்குத்தாக விமானங்களை வரைவோம். இந்த விமானங்களை அச்சுடன் வெட்டும் புள்ளிகளை A" மற்றும் B" மூலம் குறிப்போம் (படம் 2 ஐப் பார்க்கவும்).

திசையன் \(\overrightarrow(AB) \) அச்சில் \(u\) என்பது அச்சில் \(u\) இயக்கப்பட்ட A"B" பிரிவின் A"B" மதிப்பாகும். அதை உங்களுக்கு நினைவூட்டுவோம்
\(A"B" = |\overrightarrow(A"B")| \) , திசை \(\overrightarrow(A"B") \) அச்சின் திசையுடன் \(u\) இணைந்தால்
\(A"B" = -|\overrightarrow(A"B")| \) , திசை \(\overrightarrow(A"B") \) அச்சின் திசைக்கு எதிராக இருந்தால் \(u\),
திசையன் \(\overrightarrow(AB)\) அச்சில் \(u\) பின்வருமாறு குறிக்கப்படுகிறது: \(Pr_u \overrightarrow(AB)\).

தேற்றம்
திசையன் \(\overrightarrow(AB) \) அச்சில் \(u\) திசையன் \(\overrightarrow(AB) \) க்கு இடையே உள்ள கோணத்தின் கோசைன் மூலம் பெருக்கப்படும் திசையன் நீளத்திற்கு சமம். (\overrightarrow(AB) \) மற்றும் அச்சு \( u\) , i.e.

கருத்து
\(\overrightarrow(A_1B_1)=\overrightarrow(A_2B_2) \) மற்றும் சில அச்சை \(u\) குறிப்பிடலாம். இந்த ஒவ்வொரு திசையன்களுக்கும் தேற்றத்தின் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம், நாம் பெறுகிறோம்

ஒருங்கிணைப்பு அச்சுகளில் திசையன் கணிப்புகள்

ஒரு செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு Oxyz மற்றும் ஒரு தன்னிச்சையான திசையன் \(\overrightarrow(AB)\) விண்வெளியில் கொடுக்கப்பட வேண்டும். மேலும், \(X = Pr_u \overrightarrow(AB), \;\; Y = Pr_u \overrightarrow(AB), \;\; Z = Pr_u \overrightarrow(AB) \). ஆய அச்சுகளில் X, Y, Z திசையன் \(\overrightarrow(AB)\) கணிப்புகள் அழைக்கப்படுகின்றன ஒருங்கிணைப்புகள்.அதே சமயம் எழுதுகிறார்கள்
\(\overrightarrow(AB) = (X;Y;Z) \)

தேற்றம்
A(x 1; y 1; z 1) மற்றும் B(x 2; y 2; z 2) ஆகிய இரண்டு புள்ளிகள் எதுவாக இருந்தாலும், திசையன் \(\overrightarrow(AB)\) ஆயத்தொலைவுகள் பின்வரும் சூத்திரங்களால் தீர்மானிக்கப்படுகின்றன :

X = x 2 -x 1 , Y = y 2 -y 1 , Z = z 2 -z 1

கருத்து
திசையன் \(\overrightarrow(AB) \) தோற்றத்திலிருந்து வெளியேறினால், அதாவது. x 2 = x, y 2 = y, z 2 = z, பின்னர் திசையன் \(\overrightarrow(AB) \) ஆயத்தொகுதிகள் X, Y, Z அதன் முடிவின் ஆயங்களுக்குச் சமம்:
X = x, Y = y, Z = z.

வெக்டரின் திசை கோசைன்கள்

அடிப்படை வடிவவியலில் இருந்து, ஒரு செவ்வக இணைபிரிப்பின் மூலைவிட்டத்தின் நீளத்தின் சதுரம் அதன் முப்பரிமாணங்களின் நீளங்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம் என்று அறியப்படுகிறது. எனவே,
\(|OA|^2 = |OA_x|^2 + |OA_y|^2 + |OA_z|^2 \)
ஆனால் \(|OA| = |\vec(a)|, \;\; |OA_x| = |X|, \;\; |OA_y| = |Y|, \;\;|OA_z| = |Z| \); இதனால் நாம் பெறுகிறோம்
\(|\vec(a)|^2 = X^2 + Y^2 + Z^2 \)
அல்லது
\(|\vec(a)| = \sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2) \)
இந்த சூத்திரம் ஒரு தன்னிச்சையான திசையன் நீளத்தை அதன் ஆயத்தொலைவுகள் மூலம் வெளிப்படுத்துகிறது.

\(\alpha, \; \beta, \; \gamma \) திசையன் \(\vec(a) \) மற்றும் ஒருங்கிணைப்பு அச்சுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணங்களைக் குறிப்போம். வெக்டரை அச்சில் கொண்டு வருவதற்கான சூத்திரங்கள் மற்றும் திசையன் நீளம் ஆகியவற்றிலிருந்து நாம் பெறுகிறோம்
\(\cos \alpha = \frac(X)(\sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2)) \)
\(\cos \beta = \frac(Y)(\sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2)) \)
\(\cos \gamma = \frac(Z)(\sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2)) \)
\(\cos \alpha, \;\; \cos \beta, \;\; \cos \gamma \) அழைக்கப்படுகிறது திசையன் திசை கோசைன்கள் \(\vec(a) \).

முந்தைய சமத்துவங்கள் ஒவ்வொன்றின் இடது மற்றும் வலது பக்கங்களை ஸ்கொயர் செய்து, பெறப்பட்ட முடிவுகளை சுருக்கமாகக் கூறுகிறோம்
\(\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1 \)
அந்த. எந்த வெக்டரின் திசை கோசைன்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகை ஒன்றுக்கு சமம்.

திசையன்கள் மற்றும் அவற்றின் அடிப்படை பண்புகள் மீதான நேரியல் செயல்பாடுகள்

இரண்டு திசையன்கள் சேர்த்தல்

கருத்து
திசையன்களைக் கழிக்கும் செயல் கூட்டல் செயலுக்கு நேர்மாறானது, அதாவது. வேறுபாடு \(\vec(b) - \vec(a) \) திசையன்கள் \(\vec(b) \) மற்றும் \(\vec(a) \) என்பது ஒரு திசையன் ஆகும், இது திசையன் உடன் மொத்தமாக \(\ vec(a ) \) திசையன் \(\vec(b) \) கொடுக்கிறது (படம் பார்க்கவும்).

கருத்து
இரண்டு திசையன்களின் கூட்டுத்தொகையைத் தீர்மானிப்பதன் மூலம், கொடுக்கப்பட்ட திசையன்களின் எண்ணிக்கையைக் கண்டறியலாம். எடுத்துக்காட்டாக, மூன்று திசையன்களை கொடுக்கலாம் \(\vec(a),\;\; \vec(b), \;\; \vec(c) \). \(\vec(a) \) மற்றும் \(\vec(b) \) ஆகியவற்றைச் சேர்ப்பதன் மூலம், \(\vec(a) + \vec(b) \) வெக்டரைப் பெறுகிறோம். இப்போது அதனுடன் திசையன் \(\vec(c) \), நாம் திசையன் \(\vec(a) + \vec(b) + \vec(c) \)

ஒரு திசையன் மற்றும் எண்ணின் தயாரிப்பு

\(\lambda =0 \) அல்லது \(\vec(a) = \vec(0) \) எனில், \(\lambda \vec(a) \) ஆனது பூஜ்ஜிய வெக்டருக்கு சமமாக கருதப்படுகிறது.

கருத்து
வெக்டரை எண்ணால் பெருக்குவதற்கான வரையறையைப் பயன்படுத்தி, திசையன்கள் \(\vec(a) \) மற்றும் \(\vec(b) \) கோலினியர் மற்றும் \(\vec(a) \) என்பதை நிரூபிப்பது எளிது neq \vec(0) \), பின்னர் உள்ளது (மற்றும் ஒரே ஒரு) எண் \(\லாம்ப்டா \) அதாவது \(\vec(b) = \lambda \vec(a) \)

நேரியல் செயல்பாடுகளின் அடிப்படை பண்புகள்

1. கூட்டல் பரிமாற்ற சொத்து
\(\vec(a) + \vec(b) = \vec(b) + \vec(a) \)

2. கூட்டுச் சொத்து
\((\vec(a) + \vec(b))+ \vec(c) = \vec(a) + (\vec(b)+ \vec(c)) \)

3. பெருக்கத்தின் கூட்டுப் பண்பு
\(\lambda (\mu \vec(a)) = (\lambda \mu) \vec(a) \)

4. எண்களின் கூட்டுத்தொகையைப் பற்றிய பகிர்ந்தளிக்கும் சொத்து
\((\lambda +\mu) \vec(a) = \lambda \vec(a) + \mu \vec(a) \)

5. திசையன்களின் கூட்டுத்தொகையைப் பொறுத்து பகிர்ந்தளிக்கும் சொத்து
\(\லாம்ப்டா (\vec(a)+\vec(b)) = \lambda \vec(a) + \lambda \vec(b) \)

கருத்து
நேரியல் செயல்பாடுகளின் இந்த பண்புகள் அடிப்படை முக்கியத்துவம் வாய்ந்தவை, ஏனெனில் அவை திசையன்களில் சாதாரண இயற்கணித செயல்பாடுகளைச் செய்வதை சாத்தியமாக்குகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, பண்புகள் 4 மற்றும் 5 காரணமாக, நீங்கள் ஒரு அளவுகோல் பல்லுறுப்புக்கோவையை ஒரு திசையன் பல்லுறுப்புக்கோவை "காலத்தின் அடிப்படையில்" பெருக்கலாம்.

வெக்டர் ப்ரொஜெக்ஷன் தேற்றங்கள்

தேற்றம்
ஒரு அச்சில் இரண்டு திசையன்களின் கூட்டுத்தொகை இந்த அச்சில் அவற்றின் கணிப்புகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம், அதாவது.
\(Pr_u (\vec(a) + \vec(b)) = Pr_u \vec(a) + Pr_u \vec(b) \)

தேற்றத்தை எத்தனை சொற்களின் வழக்குக்கும் பொதுமைப்படுத்தலாம்.

தேற்றம்
திசையன் \(\vec(a) \) எண்ணை \(\lambda \) பெருக்கினால், அச்சில் அதன் திட்டமும் இந்த எண்ணால் பெருக்கப்படுகிறது, அதாவது. \(Pr_u \lambda \vec(a) = \lambda Pr_u \vec(a) \)

விளைவு
\(\vec(a) = (x_1;y_1;z_1) \) மற்றும் \(\vec(b) = (x_2;y_2;z_2) \), பிறகு
\(\vec(a) + \vec(b) = (x_1+x_2; \; y_1+y_2; \; z_1+z_2) \)

விளைவு
\(\vec(a) = (x;y;z) \), பிறகு \(\lambda \vec(a) = (\lambda x; \; \lambda y; \; \lambda z) \) எந்த எண் \(\lambda \)

இங்கிருந்து அனுமானிப்பது எளிது ஆயத்தொலைவுகளில் இரண்டு திசையன்களின் இணைநிலையின் நிலை.
உண்மையில், சமத்துவம் \(\vec(b) = \lambda \vec(a) \) சமத்துவங்கள் \(x_2 = \lambda x_1, \; y_2 = \lambda y_1, \; z_2 = \lambda z_1 \ ) அல்லது
\(\frac(x_2)(x_1) = \frac(y_2)(y_1) = \frac(z_2)(z_1) \) அதாவது. திசையன்கள் \(\vec(a) \) மற்றும் \(\vec(b) \) ஆகியவை அவற்றின் ஆயத்தொலைவுகள் விகிதாசாரமாக இருந்தால் மட்டுமே கோலினியர் ஆகும்.

ஒரு திசையன் ஒரு அடிப்படையாக சிதைவு

திசையன்கள் \(\vec(i), \; \vec(j), \; \vec(k) \) ஆக இருக்கட்டும் அலகு திசையன்கள்ஒருங்கிணைப்பு அச்சுகள், அதாவது. \(|\vec(i)| = |\vec(j)| = |\vec(k)| = 1 \), மேலும் அவை ஒவ்வொன்றும் தொடர்புடைய ஆய அச்சுடன் சமமாக இயக்கப்படுகின்றன (படத்தைப் பார்க்கவும்). மூன்று திசையன்கள் \(\vec(i), \; \vec(j), \; \vec(k) \) எனப்படும். அடிப்படையில்.
பின்வரும் தேற்றம் உள்ளது.

தேற்றம்
எந்த திசையன் \(\vec(a) \) அடிப்படையில் \(\vec(i), \; \vec(j), \; \vec(k)\; \), i.e. என வழங்கப்பட்டது
\(\vec(a) = \lambda \vec(i) + \mu \vec(j) + \nu \vec(k) \)
இங்கு \(\lambda, \;\; \mu, \;\; \nu \) சில எண்கள்.

திசையன் மற்றும் ப்ராஜெக்ஷன் அச்சுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தைக் குறிப்போம் மற்றும் திசையனை மாற்றுவோம்

அதனால் அதன் தோற்றம் அச்சில் சில புள்ளிகளுடன் ஒத்துப்போகிறது. திசையன் கூறு மற்றும் அச்சின் திசைகள் ஒரே மாதிரியாக இருந்தால், கோணம் கடுமையானதாக இருக்கும் மற்றும் படம் 2 இல் இருந்து பார்க்க முடியும். 24, ஏ,

இதில் a என்பது திசையன் a இன் தொகுதி. திசையன் மற்றும் அச்சின் திசைகள் எதிர்மாறாக இருந்தால், திட்டத்தின் அடையாளத்தை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்வது (படம் 24, b ஐப் பார்க்கவும்)

அதாவது முந்தைய வெளிப்பாடு (இந்த விஷயத்தில் கோணம் a மழுங்கியது என்பதை நீங்கள் நினைவில் கொள்ள வேண்டும்

எனவே, அச்சில் திசையன் ப்ரொஜெக்ஷன் என்பது திசையன் மற்றும் அச்சுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தின் கொசைன் மற்றும் திசையன் மாடுலஸின் தயாரிப்புக்கு சமம்:

இந்த மிக முக்கியமான சூத்திரத்துடன் கூடுதலாக, ஒரு திசையன் ஒரு அச்சில் முன்வைக்க, மேலும் ஒரு மிக முக்கியமான ஒன்றைக் கொடுக்கலாம்: எளிய சூத்திரம். அச்சில் மூலத்தை அமைத்து, திசையன்களின் அளவிற்குப் பொதுவான அளவைத் தேர்வு செய்வோம். அறியப்பட்டபடி, ஒரு புள்ளியின் ஒருங்கிணைப்பு என்பது தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட அளவில், அச்சின் தோற்றத்திலிருந்து கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியின் முன்கணிப்பு வரையிலான தூரத்தை அச்சில் வெளிப்படுத்தும் எண்ணாகும், மேலும் இந்த எண் கூட்டல் குறியுடன் எடுக்கப்பட்டால் புள்ளியின் ப்ரொஜெக்ஷன் அச்சின் திசையில் தோற்றத்திலிருந்து அகற்றப்படுகிறது, இல்லையெனில் ஒரு மைனஸ் அடையாளத்துடன். எனவே, எடுத்துக்காட்டாக, புள்ளி A இன் ஒருங்கிணைப்பு (படம் 23, b) பிரிவின் நீளத்தை வெளிப்படுத்தும் கையொப்பமிடப்பட்ட எண்ணாகவும், புள்ளி B இன் ஒருங்கிணைப்பு பிரிவின் நீளத்தை தீர்மானிக்கும் கையொப்பமிடப்பட்ட எண்ணாகவும் இருக்கும் (நாங்கள் செய்கிறோம் இதில் தங்க வேண்டாம்

இன்னும் விரிவாக, தொடக்கக் கணிதத்தில் ஒரு பாடத்தில் இருந்து ஒரு புள்ளியின் ஆயத்தொகுப்புகளின் கருத்தை வாசகருக்கு நன்கு தெரியும் என்று வைத்துக்கொள்வோம்).

தொடக்கத்தின் ஒருங்கிணைப்பு மற்றும் x- அச்சில் உள்ள திசையன் முடிவின் ஒருங்கிணைப்பு மூலம் குறிப்போம். பின்னர், படத்தில் இருந்து பார்க்க முடியும். 23, ஆ, எங்களிடம் இருக்கும்

x அச்சில் வெக்டரின் ப்ரொஜெக்ஷன் சமமாக இருக்கும்

அல்லது, முந்தைய சமத்துவங்களை கணக்கில் எடுத்து,

இந்த சூத்திரம் ஒரு பொதுவான இயல்புடையது மற்றும் அச்சு மற்றும் தோற்றத்துடன் தொடர்புடைய திசையன் இருப்பிடத்தை சார்ந்தது அல்ல என்பதைக் காண்பது எளிது. உண்மையில், படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள வழக்கைக் கவனியுங்கள். 23, பி. புள்ளிகளின் ஆய வரையறை மற்றும் திசையன்களின் திட்டத்திலிருந்து நாம் தொடர்ச்சியாகப் பெறுகிறோம்

(வாசகர் சூத்திரத்தின் செல்லுபடியை மற்றும் அச்சு மற்றும் தோற்றத்துடன் தொடர்புடைய திசையன் வேறு இடத்தில் எளிதாக சரிபார்க்க முடியும்).

(6.11) இலிருந்து, திசையன் அச்சில் ப்ராஜெக்ட் செய்வது, திசையனின் முடிவு மற்றும் தொடக்கத்தின் ஒருங்கிணைப்புகளுக்கு இடையிலான வேறுபாட்டிற்கு சமம்.

ஒரு அச்சில் திசையன் கணிப்பைக் கணக்கிடுவது பல்வேறு சிக்கல்களில் அடிக்கடி நிகழ்கிறது. எனவே, கணிப்புகளை கணக்கிடுவதில் திடமான திறன்களை வளர்ப்பது அவசியம். கணிப்புகளை கணக்கிடுவதற்கான செயல்முறையை எளிதாக்கும் சில நுட்பங்களை நீங்கள் குறிப்பிடலாம்.

1. அச்சில் திசையன் ப்ரொஜெக்ஷனின் அடையாளம், ஒரு விதியாக, வரைபடத்திலிருந்து நேரடியாக தீர்மானிக்கப்படலாம், மேலும் ப்ரொஜெக்ஷன் மாடுலஸை சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடலாம்

எங்கே - கடுமையான கோணம்திசையன் மற்றும் கணிப்புகளின் அச்சுக்கு இடையில் - இந்த நுட்பம், அடிப்படையில் புதிதாக எதையும் அறிமுகப்படுத்தாமல், ஓரளவு

முக்கோணவியல் உருமாற்றங்கள் தேவையில்லை என்பதால், கணிப்பு கணக்கீட்டை எளிதாக்குகிறது.

2. நீங்கள் ஒரு திசையனின் கணிப்புகளை இரண்டு பரஸ்பர செங்குத்து அச்சுகள் x மற்றும் y மீது தீர்மானிக்க வேண்டும் என்றால் (திசையன் இந்த அச்சுகளின் விமானத்தில் உள்ளது என்று கருதப்படுகிறது) மற்றும் திசையன் மற்றும் x அச்சுக்கு இடையே உள்ள தீவிர கோணம், பின்னர்

(கணிப்புகளின் அடையாளம் வரைபடத்திலிருந்து தீர்மானிக்கப்படுகிறது).

உதாரணம். படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள விசையின் x மற்றும் y ஒருங்கிணைப்பு அச்சுகளின் கணிப்புகளைக் கண்டறியவும். 25. இரண்டு கணிப்புகளும் எதிர்மறையாக இருக்கும் என்பது வரைபடத்திலிருந்து தெளிவாகிறது. எனவே,

3. சில நேரங்களில் இரட்டை வடிவமைப்பு விதி பயன்படுத்தப்படுகிறது, இது பின்வருமாறு. ஒரு திசையன் கொடுக்கப்பட்டு, ஒரு அச்சு விமானத்தில் கிடக்கட்டும், திசையன் முடிவில் இருந்து விமானம் மற்றும் நேர் கோட்டில் செங்குத்தாக விடுவோம், பின்னர் செங்குத்துகளின் தளங்களை ஒரு நேர் கோடு பிரிவுடன் இணைப்போம் (படம் 26). திசையன் மற்றும் விமானத்திற்கு இடையே உள்ள கோணத்தை இடையே மற்றும் மூலம் மற்றும் திசையன் மற்றும் கணிப்புகளின் அச்சுக்கு இடையே உள்ள கோணம் a மூலம் குறிப்போம். கோணம் சரியாக இருப்பதால் (கட்டுமானத்தால்), பிறகு

மற்றும் ஒரு அச்சில் அல்லது வேறு சில திசையன்களில் அதன் வடிவியல் முன்கணிப்பு மற்றும் எண்ணியல் (அல்லது இயற்கணிதம்) கணிப்பு பற்றிய கருத்துக்கள் உள்ளன. ஒரு வடிவியல் ப்ரொஜெக்ஷனின் முடிவு ஒரு திசையனாக இருக்கும், மேலும் இயற்கணிதத் திட்டத்தின் விளைவாக எதிர்மறையான உண்மையான எண்ணாக இருக்கும். ஆனால் இந்த கருத்துக்களுக்குச் செல்வதற்கு முன், நினைவில் கொள்வோம் தேவையான தகவல்.

முதற்கட்ட தகவல்

முக்கிய கருத்து ஒரு திசையன் தன்னை கருத்து ஆகும். வடிவியல் திசையன் வரையறையை அறிமுகப்படுத்த, ஒரு பிரிவு என்றால் என்ன என்பதை நினைவில் கொள்வோம். பின்வரும் வரையறையை அறிமுகப்படுத்துவோம்.

வரையறை 1

ஒரு பிரிவு என்பது புள்ளிகளின் வடிவத்தில் இரண்டு எல்லைகளைக் கொண்ட ஒரு கோட்டின் ஒரு பகுதியாகும்.

ஒரு பிரிவில் 2 திசைகள் இருக்கலாம். திசையைக் குறிக்க, பிரிவின் எல்லைகளில் ஒன்றை அதன் ஆரம்பம் என்றும், மற்ற எல்லையை அதன் முடிவு என்றும் அழைப்போம். திசை அதன் தொடக்கத்திலிருந்து பிரிவின் இறுதி வரை குறிக்கப்படுகிறது.

வரையறை 2

ஒரு திசையன் அல்லது இயக்கப்பட்ட பிரிவு என்று அழைக்கிறோம், அந்த பிரிவின் எல்லைகளில் எது தொடக்கமாகக் கருதப்படுகிறது மற்றும் அதன் முடிவு எது என்பதை அறியலாம்.

பதவி: இரண்டு எழுத்துக்களில்: $\overline(AB)$ – (இங்கு $A$ அதன் ஆரம்பம் மற்றும் $B$ அதன் முடிவு).

ஒரு சிறிய கடிதத்தில்: $\overline(a)$ (படம் 1).

வெக்டரின் கருத்துடன் தொடர்புடைய மேலும் சில கருத்துக்களை அறிமுகப்படுத்துவோம்.

வரையறை 3

இரண்டு பூஜ்ஜியமற்ற வெக்டார்களை ஒரே கோட்டில் அல்லது ஒன்றுக்கொன்று இணையான கோடுகளில் அமைந்தால் கோலினியர் என்று அழைப்போம் (படம் 2).

வரையறை 4

பூஜ்ஜியம் அல்லாத இரண்டு திசையன்கள் இரண்டு நிபந்தனைகளைப் பூர்த்தி செய்தால் அவை இணைதிசை என்று அழைப்போம்:

1. இந்த திசையன்கள் கோலினியர்.
2. அவர்கள் ஒரு திசையில் இயக்கப்பட்டிருந்தால் (படம் 3).

குறிப்பு: $\overline(a)\overline(b)$

வரையறை 5

பூஜ்ஜியம் அல்லாத இரண்டு திசையன்கள் இரண்டு நிபந்தனைகளைப் பூர்த்தி செய்தால் எதிர் திசையில் இயக்கப்படும்.

1. இந்த திசையன்கள் கோலினியர்.
2. அவர்கள் இயக்கப்பட்டால் வெவ்வேறு பக்கங்கள்(படம் 4).

குறிப்பு: $\overline(a)↓\overline(d)$

வரையறை 6

திசையன் $\overline(a)$ இன் நீளம் $a$ பிரிவின் நீளமாக இருக்கும்.

குறிப்பு: $|\overline(a)|$

இரண்டு திசையன்களின் சமத்துவத்தை தீர்மானிக்க செல்லலாம்

வரையறை 7

இரண்டு நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்தால் இரண்டு திசையன்களை சமமாக அழைப்போம்:

1. அவர்கள் இணை திசைகள்;
2. அவற்றின் நீளம் சமம் (படம் 5).

வடிவியல் கணிப்பு

நாம் முன்பு கூறியது போல், ஒரு வடிவியல் திட்டத்தின் விளைவாக ஒரு திசையன் இருக்கும்.

வரையறை 8

திசையன் $\overline(AB)$ ஒரு அச்சில் உள்ள வடிவியல் திட்டமானது பின்வருமாறு பெறப்படும் ஒரு திசையன் ஆகும்: $A$ திசையன் மூலப் புள்ளி இந்த அச்சில் திட்டமிடப்பட்டுள்ளது. நாம் $A"$ புள்ளியைப் பெறுகிறோம் - விரும்பிய வெக்டரின் தொடக்கம். திசையன் $B$ இன் இறுதிப் புள்ளி இந்த அச்சில் திட்டமிடப்பட்டுள்ளது. நாம் $B"$ புள்ளியைப் பெறுகிறோம் - விரும்பிய திசையனின் முடிவு. திசையன் $\overline(A"B")$ விரும்பிய வெக்டராக இருக்கும்.

சிக்கலைக் கருத்தில் கொள்வோம்:

எடுத்துக்காட்டு 1

படம் 6 இல் காட்டப்பட்டுள்ள $l$ அச்சில் $\overline(AB)$ வடிவியல் ப்ரொஜெக்ஷனை உருவாக்கவும்.

$A$ இலிருந்து அச்சுக்கு $l$ வரை செங்குத்தாக வரைவோம், அதில் $A"$ என்ற புள்ளியைப் பெறுவோம். அடுத்து, $B$ இலிருந்து அச்சுக்கு $l$ வரை செங்குத்தாக வரையவும், $B புள்ளியைப் பெறுகிறோம். "$ அதில் (படம் 7).

Pr a b = |b|cos(a,b) அல்லது

ஒரு b என்பது வெக்டார்களின் ஸ்கேலர் தயாரிப்பு ஆகும், |a| - திசையன் a மாடுலஸ்.

வழிமுறைகள். திசையன் Pr a b இன் ப்ராஜெக்ஷனை ஆன்லைனில் கண்டுபிடிக்க, நீங்கள் திசையன்கள் a மற்றும் b இன் ஆயங்களை குறிப்பிட வேண்டும். இந்த வழக்கில், திசையன் விமானத்தில் (இரண்டு ஆயங்கள்) மற்றும் விண்வெளியில் (மூன்று ஆயங்கள்) குறிப்பிடப்படலாம். இதன் விளைவாக தீர்வு வேர்ட் கோப்பில் சேமிக்கப்படும். புள்ளிகளின் ஆயத்தொலைவுகள் மூலம் திசையன்கள் குறிப்பிடப்பட்டால், நீங்கள் இந்த கால்குலேட்டரைப் பயன்படுத்த வேண்டும்.

திசையன் கணிப்புகளின் வகைப்பாடு

திசையன் ப்ரொஜெக்ஷன் வரையறையின்படி கணிப்புகளின் வகைகள்

ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பின் படி கணிப்புகளின் வகைகள்

திசையன் திட்ட பண்புகள்

1. ஒரு திசையன் வடிவியல் திட்டமானது ஒரு திசையன் (ஒரு திசையைக் கொண்டுள்ளது).
2. வெக்டரின் இயற்கணிதத் திட்டம் ஒரு எண்.

வெக்டர் ப்ரொஜெக்ஷன் தேற்றங்கள்

Pr a b = |b|cos(a,b)

திசையன் கணிப்புகளின் வகைகள்

1. OX அச்சில் ப்ரொஜெக்ஷன்.
2. OY அச்சில் ப்ரொஜெக்ஷன்.
3. ஒரு திசையன் மீது ப்ரொஜெக்ஷன்.

OX அச்சில் கணிப்பு	OY அச்சில் கணிப்பு	வெக்டருக்கு ப்ரொஜெக்ஷன்
திசையன் A'B' இன் திசை OX அச்சின் திசையுடன் இணைந்தால், திசையன் A'B' இன் ப்ராஜெக்ஷன் நேர்மறையான அடையாளத்தைக் கொண்டுள்ளது.	திசையன் A'B' இன் திசை OY அச்சின் திசையுடன் இணைந்தால், திசையன் A'B' இன் ப்ராஜெக்ஷன் நேர்மறையான அடையாளத்தைக் கொண்டுள்ளது.	திசையன் A'B' இன் திசையானது திசையன் NM இன் திசையுடன் இணைந்தால், திசையன் A'B' இன் ப்ராஜெக்ஷன் நேர்மறையான அடையாளத்தைக் கொண்டுள்ளது.
திசையன் திசையானது OX அச்சின் திசைக்கு நேர்மாறாக இருந்தால், திசையன் A'B' இன் திட்டமானது எதிர்மறையான அடையாளத்தைக் கொண்டுள்ளது.	திசையன் A'B' இன் திசை OY அச்சின் திசைக்கு நேர்மாறாக இருந்தால், திசையன் A'B' இன் ப்ராஜெக்ஷன் எதிர்மறை அடையாளத்தைக் கொண்டுள்ளது.	திசையன் A'B' இன் திசையானது திசையன் NM இன் திசைக்கு நேர்மாறாக இருந்தால், திசையன் A'B' இன் ப்ராஜெக்ஷன் எதிர்மறை அடையாளத்தைக் கொண்டுள்ளது.
திசையன் AB அச்சுக்கு இணையாக இருந்தால், திசையன் A'B' இன் ப்ராஜெக்ஷன் திசையன் AB இன் முழுமையான மதிப்புக்கு சமம்.	திசையன் AB OY அச்சுக்கு இணையாக இருந்தால், திசையன் A'B' இன் ப்ராஜெக்ஷன் திசையன் AB இன் முழுமையான மதிப்புக்கு சமமாக இருக்கும்.	திசையன் AB திசையன் NM க்கு இணையாக இருந்தால், திசையன் A'B' இன் ப்ராஜெக்ஷன் திசையன் AB இன் முழுமையான மதிப்புக்கு சமமாக இருக்கும்.
திசையன் AB ஆனது OX க்கு செங்குத்தாக இருந்தால், A'B' என்பது பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும் (பூஜ்ய திசையன்).	திசையன் AB OY அச்சுக்கு செங்குத்தாக இருந்தால், A'B' என்பது பூஜ்ஜியத்திற்கு (பூஜ்ய திசையன்) சமமாக இருக்கும்.	திசையன் AB ஆனது திசையன் NM க்கு செங்குத்தாக இருந்தால், A'B' என்பது பூஜ்ஜியத்திற்கு (பூஜ்ய திசையன்) சமமாக இருக்கும்.

1. கேள்வி: ஒரு வெக்டரின் கணிப்பு எதிர்மறையான அடையாளத்தைக் கொண்டிருக்குமா? பதில்: ஆம், ப்ரொஜெக்ஷன் வெக்டார் எதிர்மறை மதிப்பாக இருக்கலாம். இந்த வழக்கில், திசையன் எதிர் திசையில் உள்ளது (OX அச்சு மற்றும் AB திசையன் எவ்வாறு இயக்கப்படுகிறது என்பதைப் பார்க்கவும்)
2. கேள்வி: வெக்டரின் கணிப்பு வெக்டரின் முழுமையான மதிப்புடன் ஒத்துப் போகுமா? பதில்: ஆம், முடியும். இந்த வழக்கில், திசையன்கள் இணையாக இருக்கும் (அல்லது அதே வரியில் பொய்).
3. கேள்வி: வெக்டரின் கணிப்பு பூஜ்ஜியத்திற்கு (பூஜ்ய திசையன்) சமமாக இருக்க முடியுமா? பதில்: ஆம், முடியும். இந்த வழக்கில், திசையன் தொடர்புடைய அச்சுக்கு (திசையன்) செங்குத்தாக உள்ளது.

உதாரணம் 1. திசையன் (படம் 1) OX அச்சுடன் 60° கோணத்தை உருவாக்குகிறது (இது திசையன் a ஆல் குறிப்பிடப்படுகிறது). OE என்பது அளவின் ஒரு அலகு என்றால், |b|=4, எனவே .

உண்மையில், திசையன் நீளம் (ஜியோமெட்ரிக் ப்ரொஜெக்ஷன் b) 2 க்கு சமம், மேலும் திசை OX அச்சின் திசையுடன் ஒத்துப்போகிறது.

எடுத்துக்காட்டு 2. திசையன் (படம் 2) OX அச்சுடன் (திசையன் a உடன்) ஒரு கோணத்தை (a,b) = 120 o உருவாக்குகிறது. நீளம் |b| திசையன் b என்பது 4 க்கு சமம், எனவே pr a b=4·cos120 o = -2.

உண்மையில், திசையன் நீளம் 2 ஆகும், மேலும் திசையானது அச்சின் திசைக்கு எதிரானது.