அதிவேக சமன்பாடுகளின் வகைகள். அதிவேக சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது. எடுத்துக்காட்டுகள்

அதிவேக செயல்பாடு a க்கு சமமான n எண்களின் பெருக்கத்தின் பொதுமைப்படுத்தல்:
ஒய் (n) = a n = a·a·a··a,
உண்மையான எண்களின் தொகுப்பிற்கு x:
ஒய் (x) = a x.
இங்கே a என்பது ஒரு நிலையான உண்மையான எண், இது அழைக்கப்படுகிறது அதிவேக செயல்பாட்டின் அடிப்படை.
அடிப்படை a கொண்ட ஒரு அதிவேக சார்பு என்றும் அழைக்கப்படுகிறது அடிக்கு அடுக்கு a.

பொதுமைப்படுத்தல் பின்வருமாறு மேற்கொள்ளப்படுகிறது.
இயற்கை x = 1, 2, 3,... , அதிவேக செயல்பாடு என்பது x காரணிகளின் விளைபொருளாகும்:
.
மேலும், இது பண்புகளைக் கொண்டுள்ளது (1.5-8) (), இது எண்களைப் பெருக்குவதற்கான விதிகளைப் பின்பற்றுகிறது. பூஜ்ஜியத்தில் மற்றும் எதிர்மறை மதிப்புகள்முழு எண்கள், அதிவேக செயல்பாடுசூத்திரங்களால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது (1.9-10). பின்ன மதிப்புகளுக்கு x = m/n பகுத்தறிவு எண்கள், , இது சூத்திரத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது (1.11). உண்மைகளுக்கு, அதிவேக செயல்பாடு என வரையறுக்கப்படுகிறது வரிசை வரம்பு:
,
பகுத்தறிவு எண்களின் தன்னிச்சையான வரிசை x: க்கு மாறுகிறது.
இந்த வரையறையுடன், அதிவேக செயல்பாடு அனைத்திற்கும் வரையறுக்கப்படுகிறது, மேலும் இயற்கையான x ஐப் போலவே பண்புகளை (1.5-8) திருப்திப்படுத்துகிறது.

ஒரு அதிவேக செயல்பாட்டின் வரையறை மற்றும் அதன் பண்புகளின் ஆதாரத்தின் கடுமையான கணித உருவாக்கம் "ஒரு அதிவேக செயல்பாட்டின் பண்புகளின் வரையறை மற்றும் ஆதாரம்" பக்கத்தில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.

அதிவேக செயல்பாட்டின் பண்புகள்

அதிவேக செயல்பாடு y = a x உண்மையான எண்களின் தொகுப்பில் பின்வரும் பண்புகளைக் கொண்டுள்ளது:
(1.1) வரையறுக்கப்பட்ட மற்றும் தொடர்ச்சியான, , அனைவருக்கும்;
(1.2) ஒரு ≠ க்கு 1 பல அர்த்தங்கள் உள்ளன;
(1.3) இல் கண்டிப்பாக அதிகரிக்கிறது, கண்டிப்பாக குறைகிறது,
இல் நிலையானது;
(1.4) மணிக்கு ;
மணிக்கு ;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

பிற பயனுள்ள சூத்திரங்கள்.
.
வெவ்வேறு அடுக்கு அடிப்படையுடன் கூடிய அதிவேக செயல்பாட்டிற்கு மாற்றுவதற்கான சூத்திரம்:

b = e எனும்போது, ​​அதிவேக செயல்பாட்டின் வெளிப்பாட்டை அதிவேகத்தின் மூலம் பெறுகிறோம்:

தனிப்பட்ட மதிப்புகள்

, , , , .

படம் அதிவேக செயல்பாட்டின் வரைபடங்களைக் காட்டுகிறது
ஒய் (x) = a x
நான்கு மதிப்புகளுக்கு பட்டம் அடிப்படைகள்: a = 2 , a = 8 , a = 1/2 மற்றும் a = 1/8 . 1 ஒரு > என்று பார்க்கலாம் 0 < a < 1 அதிவேக செயல்பாடு ஒரே மாதிரியாக அதிகரிக்கிறது. பட்டம் a இன் பெரிய அடித்தளம், வலுவான வளர்ச்சி. மணிக்கு

அதிவேக செயல்பாடு ஒரே மாதிரியாக குறைகிறது. சிறிய அடுக்கு a, வலுவான குறைவு.

ஏறுதல், இறங்குதல்

தலைகீழ் செயல்பாடு

அடிப்படை a உடன் கூடிய அதிவேகச் செயல்பாட்டின் தலைகீழ் என்பது a அடிப்படைக்கான மடக்கை ஆகும்.

என்றால், பின்னர்
.
என்றால், பின்னர்
.

ஒரு அதிவேக செயல்பாட்டின் வேறுபாடு

ஒரு அதிவேக செயல்பாட்டை வேறுபடுத்த, அதன் அடிப்படை எண் e க்கு குறைக்கப்பட வேண்டும், டெரிவேடிவ்களின் அட்டவணை மற்றும் வேறுபாடு விதியைப் பயன்படுத்தவும் சிக்கலான செயல்பாடு.

இதைச் செய்ய, நீங்கள் மடக்கைகளின் பண்புகளைப் பயன்படுத்த வேண்டும்
மற்றும் வழித்தோன்றல்கள் அட்டவணையில் இருந்து சூத்திரம்:
.

ஒரு அதிவேக செயல்பாடு கொடுக்கப்பட வேண்டும்:
.
நாங்கள் அதை அடிப்படைக்கு கொண்டு வருகிறோம் e:

சிக்கலான செயல்பாடுகளை வேறுபடுத்தும் விதியைப் பயன்படுத்துவோம். இதைச் செய்ய, மாறியை அறிமுகப்படுத்தவும்

பிறகு

எங்களிடம் உள்ள வழித்தோன்றல்களின் அட்டவணையில் இருந்து (x மாறி z ஐ மாற்றவும்):
.
ஒரு மாறிலி என்பதால், x ஐப் பொறுத்து z இன் வழித்தோன்றல் சமம்
.
சிக்கலான செயல்பாட்டின் வேறுபாட்டின் விதியின் படி:
.

அதிவேக செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்

.
n வது வரிசையின் வழித்தோன்றல்:
.
சூத்திரங்களைப் பெறுதல் >>>

அதிவேக செயல்பாட்டை வேறுபடுத்துவதற்கான எடுத்துக்காட்டு

ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்
y= 3 5 x

தீர்வு

e என்ற எண் மூலம் அதிவேக செயல்பாட்டின் அடிப்படையை வெளிப்படுத்துவோம்.
3 = e ln 3
பிறகு
.
ஒரு மாறியை உள்ளிடவும்
.
பிறகு

வழித்தோன்றல்களின் அட்டவணையில் இருந்து நாம் காணலாம்:
.
ஏனெனில் 5ln 3ஒரு மாறிலி, பின்னர் x ஐப் பொறுத்து z இன் வழித்தோன்றல் இதற்குச் சமம்:
.
சிக்கலான செயல்பாட்டின் வேறுபாட்டின் விதியின் படி, எங்களிடம் உள்ளது:
.

பதில்

ஒருங்கிணைந்த

சிக்கலான எண்களைப் பயன்படுத்தி வெளிப்பாடுகள்

செயல்பாட்டைக் கவனியுங்கள் சிக்கலான எண் z:
f (z) = a z
எங்கே z = x + iy; 2 = - 1 .
i
மாடுலஸ் r மற்றும் வாதத்தின் அடிப்படையில் a சிக்கலான மாறிலியை வெளிப்படுத்துவோம் φ:
பிறகு


.
a = r e i φ வாதம் φ தனித்துவமாக வரையறுக்கப்படவில்லை. IN
φ = φ பொதுவான பார்வை,
0 + 2 πn இதில் n என்பது ஒரு முழு எண். எனவே செயல்பாடு f(z)
.

என்பதும் தெளிவாக இல்லை. அதன் முக்கிய முக்கியத்துவம் பெரும்பாலும் கருதப்படுகிறது

.

தொடர் விரிவாக்கம்
பயன்படுத்திய இலக்கியம்:

ஐ.என். ப்ரோன்ஸ்டீன், கே.ஏ. Semendyaev, பொறியாளர்கள் மற்றும் கல்லூரி மாணவர்களுக்கான கணிதக் கையேடு, "Lan", 2009. 1º.அதிவேக சமன்பாடுகள்

ஒரு அதிவேகத்தில் ஒரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாடுகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. தீர்வுஅதிவேக சமன்பாடுகள்

ஒரு பட்டத்தின் சொத்தை அடிப்படையாகக் கொண்டது: ஒரே அடித்தளத்தைக் கொண்ட இரண்டு சக்திகள் சமமாக இருக்கும் மற்றும் அவற்றின் அடுக்குகள் சமமாக இருந்தால் மட்டுமே. 2º.:

அதிவேக சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான அடிப்படை முறைகள்

1) எளிமையான சமன்பாடு ஒரு தீர்வு உள்ளது; 2) அடித்தளத்திற்கு மடக்கை வடிவத்தின் சமன்பாடு அ

வடிவம் குறைக்க;

3) படிவத்தின் சமன்பாடு சமன்பாட்டிற்கு சமம்; 4) படிவத்தின் சமன்பாடு

சமன்பாட்டிற்கு சமமானது.

5) படிவத்தின் சமன்பாடு சமன்பாட்டிற்கு மாற்றாக குறைக்கப்படுகிறது, பின்னர் எளிய அதிவேக சமன்பாடுகளின் தொகுப்பு தீர்க்கப்படுகிறது; 6) பரஸ்பரம் கொண்ட சமன்பாடு

மாற்றீடு மூலம் அவை ஒரு சமன்பாட்டிற்கு குறைக்கின்றன, பின்னர் சமன்பாடுகளின் தொகுப்பைத் தீர்க்கின்றன; 7) பொறுத்து ஒரே மாதிரியான சமன்பாடுகள்ஒரு ஜி(எக்ஸ்) மற்றும் b g(x) என்று கொடுக்கப்பட்டது மாற்றீடு மூலம் அவை ஒரு சமன்பாட்டிற்கு குறைக்கின்றன, பின்னர் சமன்பாடுகளின் தொகுப்பைத் தீர்க்கின்றன.

அதிவேக சமன்பாடுகளின் வகைப்பாடு.

1. ஒரு தளத்திற்குச் செல்வதன் மூலம் சமன்பாடுகள் தீர்க்கப்படுகின்றன.

எடுத்துக்காட்டு 18. சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும் .

தீர்வு: அதிகாரங்களின் அனைத்து அடிப்படைகளும் எண் 5 இன் சக்திகள் என்ற உண்மையைப் பயன்படுத்திக் கொள்வோம்: .

2. ஒரு அடுக்குக்கு அனுப்புவதன் மூலம் சமன்பாடுகள் தீர்க்கப்படுகின்றன.

இந்த சமன்பாடுகள் அசல் சமன்பாட்டை வடிவத்திற்கு மாற்றுவதன் மூலம் தீர்க்கப்படுகின்றன , இது விகிதாச்சாரத்தின் சொத்தைப் பயன்படுத்தி எளிமையானதாகக் குறைக்கப்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டு 19. சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்:

3. அடைப்புக்குறிக்குள் பொதுவான காரணியை எடுத்து சமன்பாடுகள் தீர்க்கப்படுகின்றன.

ஒரு சமன்பாட்டில் உள்ள ஒவ்வொரு அடுக்கும் மற்றொன்றிலிருந்து ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணால் வேறுபட்டால், சமன்பாடுகள் அடைப்புக்குறிக்கு வெளியே சிறிய அடுக்குடன் அடுக்குகளை வைப்பதன் மூலம் தீர்க்கப்படும்.

எடுத்துக்காட்டு 20. சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்.

தீர்வு: சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்தில் அடைப்புக்குறிக்குள் மிகச்சிறிய அடுக்குடன் பட்டத்தை எடுத்துக்கொள்வோம்:

எடுத்துக்காட்டு 21. சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்

தீர்வு: சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்தில், அடிப்படை 4 உடன் அதிகாரங்களைக் கொண்ட சொற்களை தனித்தனியாக தொகுக்கலாம், வலது பக்கத்தில் - அடிப்படை 3 உடன், பின்னர் அடைப்புக்குறிகளுக்கு வெளியே சிறிய அடுக்குடன் சக்திகளை வைக்கவும்:

4. இருபடி (அல்லது கனசதுரம்) சமன்பாடுகளுக்கு குறைக்கும் சமன்பாடுகள்.

பின்வரும் சமன்பாடுகள் புதிய மாறி y க்கான இருபடிச் சமன்பாட்டிற்குக் குறைக்கப்படுகின்றன:

a) மாற்று வகை, இந்த வழக்கில்;

b) மாற்று வகை , மற்றும் .

எடுத்துக்காட்டு 22. சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும் .

தீர்வு: மாறி மாறி தீர்க்கலாம் இருபடி சமன்பாடு:

.

பதில்: 0; 1.

5. அதிவேகச் செயல்பாடுகளைப் பொறுத்து ஒரே மாதிரியான சமன்பாடுகள்.

வடிவத்தின் சமன்பாடு ஆகும் ஒரே மாதிரியான சமன்பாடுதெரியாதவர்களுடன் ஒப்பிடும்போது இரண்டாம் நிலை ஒரு xஒரு ஜி(எக்ஸ்) b x. இத்தகைய சமன்பாடுகள் முதலில் இரு பக்கங்களையும் பிரித்து பின்னர் இருபடி சமன்பாடுகளாக மாற்றுவதன் மூலம் குறைக்கப்படுகின்றன.

எடுத்துக்காட்டு 23. சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்.

தீர்வு: சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் பின்வருமாறு பிரிக்கவும்:

வைத்து, நாம் வேர்களுடன் ஒரு இருபடி சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்.

இப்போது சிக்கல் சமன்பாடுகளின் தொகுப்பைத் தீர்ப்பதில் வருகிறது . முதல் சமன்பாட்டிலிருந்து நாம் அதைக் காண்கிறோம். இரண்டாவது சமன்பாட்டிற்கு வேர்கள் இல்லை, ஏனெனில் எந்த மதிப்புக்கும் x.

பதில்: -1/2.

6. அதிவேக சார்புகள் தொடர்பான பகுத்தறிவு சமன்பாடுகள்.

எடுத்துக்காட்டு 24. சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்.

தீர்வு: பின்னத்தின் எண் மற்றும் வகுப்பினை வகுக்கவும் 3 xஇரண்டுக்கு பதிலாக ஒரு அதிவேக செயல்பாட்டைப் பெறுகிறோம்:

7. படிவத்தின் சமன்பாடுகள் .

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களின் மடக்கையை எடுத்துக்கொள்வதன் மூலம் நிபந்தனையால் தீர்மானிக்கப்படும் ஏற்றுக்கொள்ளக்கூடிய மதிப்புகள் (APV) கொண்ட அத்தகைய சமன்பாடுகள் சமமான சமன்பாட்டிற்கு குறைக்கப்படுகின்றன, அவை இரண்டு சமன்பாடுகளின் தொகுப்பிற்கு சமமானவை அல்லது.

எடுத்துக்காட்டு 25. சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்: .

.

டிடாக்டிக் பொருள்.

சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கவும்:

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. ; 6. ;

9. ; 10. ; 11. ;

14. ; 15. ;

16. ; 17. ;

18. ; 19. ;

20. ; 21. ;

22. ; 23. ;

24. ; 25. .

26. சமன்பாட்டின் வேர்களின் பலனைக் கண்டறியவும் .

27. சமன்பாட்டின் வேர்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டறியவும் .

வெளிப்பாட்டின் பொருளைக் கண்டறியுங்கள்:

28., எங்கே x 0- சமன்பாட்டின் வேர்;

29., எங்கே x 0- சமன்பாட்டின் முழு வேர் .

சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்:

31. ; 32. .

பதில்கள்: 1. 0; 2. -2/9; 3. 1/36; 4. 0, 0.5; 5.0; 6.0; 7. -2; 8.2; 9. 1, 3; 10. 8; 11.5; 12.1; 13. ¼; 14.2; 15. -2, -1; 16. -2, 1; 17.0; 18.1; 19.0; 20. -1, 0; 21. -2, 2; 22. -2, 2; 23.4; 24. -1, 2; 25. -2, -1, 3; 26. -0.3; 27.3; 28.11; 29.54; 30. -1, 0, 2, 3; 31. ; 32.

தலைப்பு எண் 8.

அதிவேக ஏற்றத்தாழ்வுகள்.

1º. அதிவேகத்தில் ஒரு மாறியைக் கொண்ட சமத்துவமின்மை அழைக்கப்படுகிறது அதிவேக சமத்துவமின்மை.

2º. தீர்வு அதிவேக ஏற்றத்தாழ்வுகள்வகை பின்வரும் அறிக்கைகளை அடிப்படையாகக் கொண்டது:

என்றால், சமத்துவமின்மை சமமானதாகும்;

என்றால், சமத்துவமின்மை சமமானதாகும்.

அதிவேக ஏற்றத்தாழ்வுகளை தீர்க்கும் போது, ​​அதிவேக சமன்பாடுகளை தீர்க்கும் போது அதே நுட்பங்கள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

எடுத்துக்காட்டு 26. சமத்துவமின்மையை தீர்க்கவும் (ஒரு தளத்திற்கு மாற்றும் முறை).

தீர்வு: ஏனெனில் , கொடுக்கப்பட்ட சமத்துவமின்மையை இவ்வாறு எழுதலாம்: . இருந்து, இந்த சமத்துவமின்மை சமத்துவமின்மைக்கு சமம் .

கடைசி சமத்துவமின்மையைத் தீர்ப்பது, நாம் பெறுகிறோம்.

எடுத்துக்காட்டு 27. சமத்துவமின்மையைத் தீர்க்கவும்: ( அடைப்புக்குறிக்குள் இருந்து பொதுவான காரணியை எடுத்துக்கொள்வதன் மூலம்).

தீர்வு: சமத்துவமின்மையின் இடது பக்கத்தில், சமத்துவமின்மையின் வலது பக்கத்தில் அடைப்புக்குறிகளை எடுத்து, சமத்துவமின்மையின் இரு பக்கங்களையும் (-2) பிரித்து, சமத்துவமின்மையின் அடையாளத்தை எதிர்மாறாக மாற்றுவோம்:

, பின்னர் குறிகாட்டிகளின் சமத்துவமின்மைக்கு நகரும் போது, ​​சமத்துவமின்மையின் அடையாளம் மீண்டும் எதிர்மாறாக மாறுகிறது. நாம் பெறுகிறோம். எனவே, இந்த சமத்துவமின்மைக்கான அனைத்து தீர்வுகளின் தொகுப்பு இடைவெளி ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு 28. சமத்துவமின்மையை தீர்க்கவும் ( ஒரு புதிய மாறியை அறிமுகப்படுத்துவதன் மூலம்).

தீர்வு: விடுங்கள். பின்னர் இந்த சமத்துவமின்மை வடிவம் எடுக்கும்: அல்லது , யாருடைய தீர்வு இடைவேளை .

இங்கிருந்து. செயல்பாடு அதிகரிப்பதால், பின்னர் .

டிடாக்டிக் பொருள்.

சமத்துவமின்மைக்கான தீர்வுகளின் தொகுப்பைக் குறிப்பிடவும்:

1. ; 2. ; 3. ;

6. என்ன மதிப்புகள் xசெயல்பாட்டு வரைபடத்தில் உள்ள புள்ளிகள் நேர் கோட்டிற்கு கீழே உள்ளதா?

7. என்ன மதிப்புகள் xசெயல்பாட்டின் வரைபடத்தில் உள்ள புள்ளிகள் குறைந்தபட்சம் நேர்கோட்டில் உள்ளதா?

சமத்துவமின்மையை தீர்க்க:

8. ; 9. ; 10. ;

13. சமத்துவமின்மைக்கான மிகப்பெரிய முழு எண் தீர்வைக் குறிப்பிடவும் .

14. சமத்துவமின்மைக்கான மிகப்பெரிய முழு எண் மற்றும் சிறிய முழு எண்களின் தீர்வைக் கண்டறியவும் .

சமத்துவமின்மையை தீர்க்க:

15. ; 16. ; 17. ;

18. ; 19. ; 20. ;

21. ; 22. ; 23. ;

24. ; 25. ; 26. .

செயல்பாட்டின் டொமைனைக் கண்டறியவும்:

27. ; 28. .

29. ஒவ்வொரு செயல்பாடுகளின் மதிப்புகள் 3 ஐ விட அதிகமாக இருக்கும் வாத மதிப்புகளின் தொகுப்பைக் கண்டறியவும்:

ஒரு ஜி(எக்ஸ்) .

பதில்கள்: 11.3; 12.3; 13. -3; 14.1; 15. (0; 0.5); 16. ; 17. (-1; 0)U(3; 4); 18. [-2; 2]; 19. (0; +∞); 20. (0; 1); 21. (3; +∞); 22. (-∞; 0)U(0.5; +∞); 23. (0; 1); 24. (-1; 1); 25. (0; 2]; 26. (3; 3.5)U (4; +∞); 27. (-∞; 3)U (5); 28. )