ஒரு எளிய நேரியல் பின்னடைவு சமன்பாட்டை கணித ரீதியாக எழுதுவது எப்படி. நேரியல் பின்னடைவு அளவுருக்களின் மதிப்பீடு

பின்னடைவு என்றால் என்ன?

இரண்டு தொடர்ச்சியான மாறிகளைக் கவனியுங்கள் x=(x 1 , x 2 , .., x n), y=(y 1 , y 2 , ..., y n).

புள்ளிகளை இரு பரிமாண சிதறல் திட்டத்தில் வைத்து, நம்மிடம் உள்ளது என்று கூறுவோம் நேரியல் உறவு, தரவு ஒரு நேர் கோட்டால் தோராயமாக இருந்தால்.

அதை நாம் நம்பினால் ஒய்பொறுத்தது எக்ஸ், மற்றும் மாற்றங்கள் ஒய்உள்ள மாற்றங்களால் துல்லியமாக ஏற்படுகிறது எக்ஸ், பின்னடைவுக் கோட்டை நாம் தீர்மானிக்க முடியும் (பின்னடைவு ஒய்அன்று எக்ஸ்), இது இந்த இரண்டு மாறிகளுக்கு இடையிலான நேரியல் உறவை சிறப்பாக விவரிக்கிறது.

பின்னடைவு என்ற வார்த்தையின் புள்ளியியல் பயன்பாடு, சர் ஃபிரான்சிஸ் கால்டன் (1889) என்பவரால் கூறப்படும், சராசரிக்கு பின்னடைவு எனப்படும் நிகழ்விலிருந்து வந்தது.

உயரமான தந்தைகள் உயரமான மகன்களைப் பெற்றெடுக்க முனைகிறார்கள் என்றாலும், மகன்களின் சராசரி உயரம் அவர்களின் உயரமான தந்தைகளை விட குறைவாக இருக்கும் என்று அவர் காட்டினார். சராசரி உயரம்மக்கள் தொகையில் உள்ள அனைத்து தந்தைகளின் சராசரி உயரத்தை நோக்கி மகன்கள் "பின்வாங்கி" மற்றும் "பின்னோக்கி நகர்ந்தனர்". எனவே, சராசரியாக, உயரமான தந்தைகளுக்கு குட்டையான (ஆனால் இன்னும் உயரமான) மகன்கள் உள்ளனர், மற்றும் குட்டையான தந்தைகளுக்கு உயரமான (ஆனால் இன்னும் மிகவும் குறுகிய) மகன்கள் உள்ளனர்.

பின்னடைவு வரி

ஒரு எளிய (ஜோடி) வரியை மதிப்பிடும் கணித சமன்பாடு நேரியல் பின்னடைவு:

எக்ஸ்சுயாதீன மாறி அல்லது முன்கணிப்பாளர் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

ஒய்- சார்பு மாறி அல்லது பதில் மாறி. இதுதான் நாம் எதிர்பார்க்கும் மதிப்பு ஒய்(சராசரியாக) மதிப்பு தெரிந்தால் எக்ஸ், அதாவது "கணிக்கப்பட்ட மதிப்பு" ஒய்»

• அ- மதிப்பீட்டு வரியின் இலவச உறுப்பினர் (குறுக்கு); இதுதான் அர்த்தம் ஒய், எப்பொழுது x=0(வரைபடம். 1).
• பி- மதிப்பிடப்பட்ட கோட்டின் சாய்வு அல்லது சாய்வு; இது எந்த அளவைக் குறிக்கிறது ஒய்நாம் அதிகரித்தால் சராசரியாக அதிகரிக்கிறது எக்ஸ்ஒரு அலகுக்கு.
• அமற்றும் பிமதிப்பிடப்பட்ட வரியின் பின்னடைவு குணகங்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன, இருப்பினும் இந்த சொல் பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படுகிறது பி.

ஜோடிவரிசை நேரியல் பின்னடைவு ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட சுயாதீன மாறிகளை சேர்க்க நீட்டிக்கப்படலாம்; இந்த வழக்கில் அது அறியப்படுகிறது பல பின்னடைவு.

வரைபடம். 1. நேரியல் பின்னடைவு கோடு இடைமறிப்பு a மற்றும் சாய்வு b (x ஒரு அலகு அதிகரிக்கும் போது Y அளவு அதிகரிக்கிறது)

குறைந்த சதுர முறை

நிறைவேற்றுகிறோம் பின்னடைவு பகுப்பாய்வு, அவதானிப்புகளின் மாதிரியைப் பயன்படுத்தி, எங்கே அமற்றும் பி- உண்மையான (பொது) அளவுருக்களின் மாதிரி மதிப்பீடுகள், α மற்றும் β, இது மக்கள்தொகையில் (பொது மக்கள் தொகையில்) நேரியல் பின்னடைவின் கோட்டை தீர்மானிக்கிறது.

பெரும்பாலானவை எளிய முறைகுணகங்களின் நிர்ணயம் அமற்றும் பிஇருக்கிறது முறை குறைந்தபட்ச சதுரங்கள் (MNC).

எஞ்சியவற்றைப் பார்த்து பொருத்தம் மதிப்பிடப்படுகிறது (கோட்டிலிருந்து ஒவ்வொரு புள்ளியின் செங்குத்து தூரம், எ.கா. எச்சம் = கவனிக்கப்பட்டது ஒய்- கணிக்கப்பட்டது ஒய், அரிசி. 2)

எச்சங்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகை குறைவாக இருக்கும் வகையில் சிறந்த பொருத்தத்தின் கோடு தேர்ந்தெடுக்கப்படுகிறது.

அரிசி. 2. ஒவ்வொரு புள்ளிக்கும் எச்சங்கள் (செங்குத்து புள்ளியிடப்பட்ட கோடுகள்) சித்தரிக்கப்படும் நேரியல் பின்னடைவு கோடு.

நேரியல் பின்னடைவு அனுமானங்கள்

எனவே, கவனிக்கப்பட்ட ஒவ்வொரு மதிப்புக்கும், எஞ்சியவை வேறுபாட்டிற்கு சமமாக இருக்கும், மேலும் ஒவ்வொரு மீதியும் நேர்மறை அல்லது எதிர்மறையாக இருக்கலாம்.

நேரியல் பின்னடைவுக்குப் பின்னால் பின்வரும் அனுமானங்களைச் சோதிக்க நீங்கள் எச்சங்களைப் பயன்படுத்தலாம்:

• எச்சங்கள் பொதுவாக பூஜ்ஜியத்தின் சராசரியுடன் விநியோகிக்கப்படுகின்றன;

நேர்கோட்டுத்தன்மை, இயல்புநிலை மற்றும்/அல்லது நிலையான மாறுபாடு ஆகியவற்றின் அனுமானங்கள் கேள்விக்குரியதாக இருந்தால், இந்த அனுமானங்கள் திருப்திகரமான ஒரு புதிய பின்னடைவு கோட்டை மாற்றலாம் அல்லது கணக்கிடலாம் (உதாரணமாக, மடக்கை மாற்றத்தைப் பயன்படுத்தவும், முதலியன).

முரண்பாடான மதிப்புகள் (வெளிப்புறங்கள்) மற்றும் செல்வாக்கு புள்ளிகள்

ஒரு "செல்வாக்குமிக்க" கவனிப்பு, தவிர்க்கப்பட்டால், ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட மாதிரி அளவுரு மதிப்பீடுகளை மாற்றுகிறது (அதாவது, சாய்வு அல்லது இடைமறிப்பு).

ஒரு அவுட்லையர் (தரவுத் தொகுப்பில் உள்ள பெரும்பாலான மதிப்புகளுடன் ஒத்துப்போகாத ஒரு கவனிப்பு) ஒரு "செல்வாக்குமிக்க" அவதானிப்பாக இருக்கலாம் மற்றும் ஒரு இருவேறு சிதறல் அல்லது எஞ்சிய சதியை ஆய்வு செய்வதன் மூலம் பார்வைக்கு எளிதாகக் கண்டறிய முடியும்.

வெளிப்புற மற்றும் "செல்வாக்கு" அவதானிப்புகள் (புள்ளிகள்) ஆகிய இரண்டிற்கும், மாதிரிகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன, அவற்றின் சேர்க்கை மற்றும் இல்லாமல், மற்றும் மதிப்பீடுகளில் (பின்னடைவு குணகங்கள்) மாற்றங்களுக்கு கவனம் செலுத்தப்படுகிறது.

ஒரு பகுப்பாய்வை நடத்தும்போது, ​​​​நீங்கள் தானாகவே புறக்கணிப்பு அல்லது செல்வாக்கு புள்ளிகளை நிராகரிக்கக்கூடாது, ஏனெனில் அவற்றை புறக்கணிப்பது பெறப்பட்ட முடிவுகளை பாதிக்கும். எப்பொழுதும் இந்த வெளிவருவதற்கான காரணங்களை ஆய்வு செய்து அவற்றை பகுப்பாய்வு செய்யுங்கள்.

நேரியல் பின்னடைவு கருதுகோள்

நேரியல் பின்னடைவை உருவாக்கும் போது, ​​பூஜ்ய கருதுகோள் பின்னடைவு கோட்டின் β இன் பொது சாய்வு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம் என்று சோதிக்கப்படுகிறது.

கோட்டின் சாய்வு பூஜ்ஜியமாக இருந்தால், மற்றும் இடையே நேரியல் உறவு இல்லை: மாற்றம் பாதிக்காது

உண்மையான சாய்வு பூஜ்ஜியமாகும் என்ற பூஜ்ய கருதுகோளைச் சோதிக்க, நீங்கள் பின்வரும் வழிமுறையைப் பயன்படுத்தலாம்:

விகிதத்திற்கு சமமான சோதனை புள்ளிவிவரத்தை கணக்கிடுங்கள் , இது சுதந்திரத்தின் அளவுகளுடன் விநியோகத்திற்கு உட்பட்டது, அங்கு குணகத்தின் நிலையான பிழை

,

- எச்சங்களின் சிதறல் மதிப்பீடு.

பொதுவாக, முக்கியத்துவ நிலையை அடைந்தால், பூஜ்ய கருதுகோள் நிராகரிக்கப்படும்.

இருபக்க சோதனையின் நிகழ்தகவைக் கொடுக்கும் சுதந்திரத்தின் அளவுகளுடன் விநியோகத்தின் சதவீதம் எங்கே உள்ளது

இது 95% நிகழ்தகவு கொண்ட பொதுவான சாய்வைக் கொண்டிருக்கும் இடைவெளியாகும்.

பெரிய மாதிரிகளுக்கு, 1.96 மதிப்புடன் தோராயமாக மதிப்பிடலாம் (அதாவது, சோதனை புள்ளிவிவரம் பொதுவாக விநியோகிக்கப்படும்)

நேரியல் பின்னடைவின் தரத்தை மதிப்பீடு செய்தல்: குணகம் ஆர் 2

நேரியல் உறவின் காரணமாக அது மாறுகிறது என்று எதிர்பார்க்கிறோம் , மற்றும் பின்னடைவு காரணமாக அல்லது விளக்கப்பட்ட மாறுபாடு என்று அழைக்கவும். மீதமுள்ள மாறுபாடு முடிந்தவரை சிறியதாக இருக்க வேண்டும்.

இது உண்மையாக இருந்தால், பெரும்பாலான மாறுபாடுகள் பின்னடைவு மூலம் விளக்கப்படும், மேலும் புள்ளிகள் பின்னடைவுக் கோட்டிற்கு அருகில் இருக்கும், அதாவது. வரி நன்றாக தரவு பொருந்துகிறது.

பகிர் மொத்த மாறுபாடு, இது பின்னடைவு மூலம் விளக்கப்படுகிறது என்று அழைக்கப்படுகிறது நிர்ணய குணகம், பொதுவாக ஒரு சதவீதமாக வெளிப்படுத்தப்பட்டு குறிக்கப்படுகிறது ஆர் 2(ஜோடியான நேரியல் பின்னடைவில் இது அளவு ஆர் 2, தொடர்பு குணகத்தின் சதுரம்), பின்னடைவு சமன்பாட்டின் தரத்தை அகநிலையாக மதிப்பிட உங்களை அனுமதிக்கிறது.

பின்னடைவு மூலம் விளக்க முடியாத மாறுபாட்டின் சதவீதத்தை வேறுபாடு குறிக்கிறது.

மதிப்பீடு செய்ய முறையான சோதனை எதுவும் இல்லை;

முன்னறிவிப்புக்கு பின்னடைவு வரியைப் பயன்படுத்துதல்

கவனிக்கப்பட்ட வரம்பின் தீவிர முடிவில் உள்ள மதிப்பிலிருந்து மதிப்பைக் கணிக்க நீங்கள் பின்னடைவுக் கோட்டைப் பயன்படுத்தலாம் (இந்த வரம்புகளுக்கு அப்பால் ஒருபோதும் விரிவுபடுத்த வேண்டாம்).

ஒரு குறிப்பிட்ட மதிப்பைக் கொண்ட அவதானிக்கக்கூடியவற்றின் சராசரியை, அந்த மதிப்பை பின்னடைவுக் கோட்டின் சமன்பாட்டில் செருகுவதன் மூலம் கணிக்கிறோம்.

எனவே, இந்த கணிக்கப்பட்ட மதிப்பையும் அதன் மதிப்பையும் எவ்வாறு பயன்படுத்துவது என்று நாம் கணித்திருந்தால் நிலையான பிழை, மதிப்பீடு செய்ய நம்பக இடைவெளியைஉண்மைக்காக சராசரி அளவுமக்கள் தொகையில்.

வெவ்வேறு மதிப்புகளுக்கு இந்த நடைமுறையை மீண்டும் செய்வது, இந்த வரிக்கான நம்பிக்கை வரம்புகளை உருவாக்க உங்களை அனுமதிக்கிறது. இது உண்மைக் கோட்டைக் கொண்ட இசைக்குழு அல்லது பகுதி, எடுத்துக்காட்டாக 95% நம்பிக்கை அளவில்.

எளிய பின்னடைவு திட்டங்கள்

எளிய பின்னடைவு வடிவமைப்புகளில் ஒரு தொடர்ச்சியான முன்கணிப்பு உள்ளது. 7, 4, மற்றும் 9 போன்ற முன்கணிப்பு மதிப்புகள் P உடன் 3 அவதானிப்புகள் இருந்தால் மற்றும் வடிவமைப்பு முதல்-வரிசை விளைவு P ஐ உள்ளடக்கியிருந்தால், வடிவமைப்பு மேட்ரிக்ஸ் X ஆக இருக்கும்

மற்றும் X1க்கு P ஐப் பயன்படுத்தும் பின்னடைவு சமன்பாடு

Y = b0 + b1 P

ஒரு எளிய பின்னடைவு வடிவமைப்பு ஒரு விளைவைக் கொண்டிருந்தால் உயர் வரிசை P க்கு, எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு இருபடி விளைவு, பின்னர் வடிவமைப்பு மேட்ரிக்ஸில் நெடுவரிசை X1 இல் உள்ள மதிப்புகள் இரண்டாவது சக்திக்கு உயர்த்தப்படும்:

மற்றும் சமன்பாடு வடிவம் எடுக்கும்

Y = b0 + b1 P2

சிக்மா-கட்டுப்படுத்தப்பட்ட மற்றும் மிகைப்படுத்தப்பட்ட குறியீட்டு முறைகள் எளிமையான பின்னடைவு வடிவமைப்புகள் மற்றும் தொடர்ச்சியான முன்கணிப்பாளர்களைக் கொண்ட பிற வடிவமைப்புகளுக்கு பொருந்தாது (ஏனென்றால் வகைப்படுத்தப்பட்ட முன்கணிப்பாளர்கள் இல்லை). தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட குறியீட்டு முறையைப் பொருட்படுத்தாமல், தொடர்ச்சியான மாறிகளின் மதிப்புகள் அதற்கேற்ப அதிகரிக்கப்பட்டு X மாறிகளுக்கான மதிப்புகளாகப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. இந்த வழக்கில், மறுவடிவமைப்பு செய்யப்படவில்லை. கூடுதலாக, பின்னடைவுத் திட்டங்களை விவரிக்கும் போது, ​​வடிவமைப்பு அணி X ஐக் கருத்தில் கொள்ளாமல், பின்னடைவு சமன்பாட்டுடன் மட்டுமே வேலை செய்யலாம்.

எடுத்துக்காட்டு: எளிய பின்னடைவு பகுப்பாய்வு

இந்த எடுத்துக்காட்டு அட்டவணையில் வழங்கப்பட்ட தரவைப் பயன்படுத்துகிறது:

அரிசி. 3. ஆரம்ப தரவு அட்டவணை.

தோராயமாக தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட 30 மாவட்டங்களில் 1960 மற்றும் 1970 மக்கள்தொகை கணக்கெடுப்புகளின் ஒப்பீட்டிலிருந்து தரவு தொகுக்கப்பட்டது. மாவட்டப் பெயர்கள் கண்காணிப்புப் பெயர்களாக வழங்கப்படுகின்றன. ஒவ்வொரு மாறி பற்றிய தகவல் கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளது:

அரிசி. 4. மாறி விவரக்குறிப்புகளின் அட்டவணை.

ஆராய்ச்சி சிக்கல்

இந்த உதாரணத்திற்கு, வறுமைக் கோட்டுக்குக் கீழே உள்ள குடும்பங்களின் சதவீதத்தைக் கணிக்கும் வறுமை விகிதத்திற்கும் பட்டத்திற்கும் உள்ள தொடர்பு பகுப்பாய்வு செய்யப்படும். எனவே, மாறி 3 (Pt_Poor) ஐ சார்பு மாறியாகக் கருதுவோம்.

நாம் ஒரு கருதுகோளை முன்வைக்கலாம்: மக்கள் தொகையில் ஏற்படும் மாற்றங்கள் மற்றும் வறுமைக் கோட்டிற்குக் கீழே உள்ள குடும்பங்களின் சதவீதம் ஆகியவை தொடர்புடையவை. வறுமைக் கோட்டுக்குக் கீழே உள்ள மக்களின் சதவீதத்திற்கும் மக்கள்தொகை மாற்றத்திற்கும் இடையே எதிர்மறையான தொடர்பு இருக்கும். எனவே, மாறி 1 (Pop_Chng) ஐ ஒரு முன்கணிப்பு மாறியாகக் கருதுவோம்.

முடிவுகளைக் காண்க

பின்னடைவு குணகங்கள்

அரிசி. 5. Pop_Chng இல் Pt_Poor இன் பின்னடைவு குணகங்கள்.

Pop_Chng வரிசை மற்றும் பரம் நெடுவரிசையின் சந்திப்பில். Pop_Chng இல் Pt_Poor இன் பின்னடைவுக்கான தரமற்ற குணகம் -0.40374 ஆகும். அதாவது மக்கள்தொகையில் ஒவ்வொரு யூனிட் குறையும், வறுமை விகிதம் .40374 அதிகரித்து வருகிறது. இதற்கு மேல் மற்றும் கீழ் (இயல்புநிலை) 95% நம்பிக்கை வரம்புகள் இல்லை தரப்படுத்தப்பட்ட குணகம்பூஜ்ஜியத்தை சேர்க்க வேண்டாம், எனவே பின்னடைவு குணகம் p மட்டத்தில் குறிப்பிடத்தக்கது<.05 . Обратите внимание на не стандартизованный коэффициент, который также является коэффициентом корреляции Пирсона для простых регрессионных планов, равен -.65, который означает, что для каждого уменьшения стандартного отклонения численности населения происходит увеличение стандартного отклонения уровня бедности на.65.

மாறி விநியோகம்

தரவுகளில் பெரிய வெளிப்புறங்கள் இருந்தால் தொடர்பு குணகங்கள் கணிசமாக மிகைப்படுத்தப்படலாம் அல்லது குறைத்து மதிப்பிடப்படலாம். மாவட்ட வாரியாக Pt_Poor என்ற சார்பு மாறியின் பரவலைப் படிப்போம். இதைச் செய்ய, Pt_Poor என்ற மாறியின் வரைபடத்தை உருவாக்குவோம்.

அரிசி. 6. Pt_Poor மாறியின் ஹிஸ்டோகிராம்.

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, இந்த மாறியின் விநியோகம் சாதாரண விநியோகத்திலிருந்து குறிப்பிடத்தக்க அளவில் வேறுபடுகிறது. இருப்பினும், இரண்டு மாவட்டங்கள் (இரண்டு வலது நெடுவரிசைகள்) கூட சாதாரண விநியோகத்தின் கீழ் எதிர்பார்த்ததை விட வறுமைக் கோட்டிற்குக் கீழே உள்ள குடும்பங்களின் அதிக சதவீதத்தைக் கொண்டிருந்தாலும், அவை "வரம்பிற்குள்" இருப்பதாகத் தோன்றுகிறது.

அரிசி. 7. Pt_Poor மாறியின் ஹிஸ்டோகிராம்.

இந்தத் தீர்ப்பு ஓரளவுக்கு அகநிலையானது. அவதானிப்பு (அல்லது அவதானிப்புகள்) இடைவெளிக்குள் வரவில்லை என்றால் (அதாவது நிலையான விலகலை விட ± 3 மடங்கு) வெளியாட்களைக் கருத்தில் கொள்ள வேண்டும் என்பது கட்டைவிரல் விதி. இந்த வழக்கில், மக்கள்தொகை உறுப்பினர்களுக்கிடையேயான தொடர்புகளில் அவை பெரிய விளைவைக் கொண்டிருக்கவில்லை என்பதை உறுதிப்படுத்த, வெளிப்புறங்களுடன் மற்றும் இல்லாமல் பகுப்பாய்வுகளை மீண்டும் செய்வது மதிப்பு.

சிதறல்

கருதுகோள்களில் ஒன்று கொடுக்கப்பட்ட மாறிகளுக்கு இடையிலான உறவைப் பற்றிய முதன்மையாக இருந்தால், அதை தொடர்புடைய சிதறல் வரைபடத்தில் சோதிப்பது பயனுள்ளது.

அரிசி. 8. சிதறல் வரைபடம்.

சிதறல் இரண்டு மாறிகளுக்கு இடையே தெளிவான எதிர்மறை தொடர்பை (-.65) காட்டுகிறது. இது பின்னடைவுக் கோட்டிற்கான 95% நம்பிக்கை இடைவெளியைக் காட்டுகிறது, அதாவது, இரண்டு புள்ளியிடப்பட்ட வளைவுகளுக்கு இடையில் பின்னடைவுக் கோடு இருப்பதற்கான 95% நிகழ்தகவு உள்ளது.

முக்கியத்துவ அளவுகோல்கள்

அரிசி. 9. முக்கியத்துவ அளவுகோல்களைக் கொண்ட அட்டவணை.

Pop_Chng பின்னடைவு குணகத்திற்கான சோதனை Pop_Chng Pt_Poor, p உடன் வலுவாக தொடர்புடையது என்பதை உறுதிப்படுத்துகிறது<.001 .

கீழ் வரி

இந்த எடுத்துக்காட்டு ஒரு எளிய பின்னடைவு வடிவமைப்பை எவ்வாறு பகுப்பாய்வு செய்வது என்பதைக் காட்டுகிறது. தரமற்ற மற்றும் தரப்படுத்தப்பட்ட பின்னடைவு குணகங்களின் விளக்கங்களும் வழங்கப்பட்டன. சார்பு மாறியின் மறுமொழி விநியோகத்தைப் படிப்பதன் முக்கியத்துவம் விவாதிக்கப்படுகிறது, மேலும் ஒரு முன்கணிப்பாளர் மற்றும் சார்பு மாறிக்கு இடையிலான உறவின் திசை மற்றும் வலிமையைத் தீர்மானிப்பதற்கான ஒரு நுட்பம் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

x ஒரு முன்கணிப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது - ஒரு சுயாதீனமான அல்லது விளக்கமளிக்கும் மாறி.

கொடுக்கப்பட்ட அளவு x க்கு, Y என்பது y மாறியின் மதிப்பாகும் (சார்பு, வெளியீடு அல்லது மறுமொழி மாறி என அழைக்கப்படுகிறது) இது மதிப்பீட்டு வரியில் உள்ளது. x இன் மதிப்பை அறிந்தால், y க்கு (சராசரியாக) நாம் எதிர்பார்க்கும் மதிப்பு இதுவாகும், மேலும் இது "y இன் கணிக்கப்பட்ட மதிப்பு" (படம் 5) என்று அழைக்கப்படுகிறது.

a என்பது மதிப்பீட்டுக் கோட்டின் இலவச சொல் (குறுக்குவெட்டு); இது x = 0 ஆக இருக்கும் போது Y இன் மதிப்பு.

b என்பது மதிப்பிடப்பட்ட கோட்டின் சாய்வு அல்லது சாய்வு; x ஐ ஒரு யூனிட்டால் அதிகரித்தால் Y சராசரியாக அதிகரிக்கும் அளவைக் குறிக்கிறது (படம் 5). குணகம் b பின்னடைவு குணகம் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

உதாரணமாக: ஒரு நபரின் உடல் வெப்பநிலை 1 o C ஆக அதிகரிக்கும் போது, ​​துடிப்பு விகிதம் நிமிடத்திற்கு சராசரியாக 10 துடிக்கிறது.

படம் 5. குணகத்தைக் காட்டும் நேரியல் பின்னடைவுக் கோடு ஏமற்றும் சாய்வு பி(அதிகரிப்பு அளவு ஒய்அதிகரிப்புடன் எக்ஸ்ஒரு யூனிட்)

கணித ரீதியாக, நேரியல் பின்னடைவு சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது, a மற்றும் b அளவுருக்களைக் கணக்கிடுவதற்குக் குறைக்கப்படுகிறது, இதனால் தொடர்பு புலத்தின் ஆரம்ப தரவுகளின் புள்ளிகள் நேரடி பின்னடைவுக்கு முடிந்தவரை நெருக்கமாக வைக்கவும் .

ஃபிரான்சிஸ் கால்டன் (1889) என்பவருக்குக் காரணமான சராசரிக்கு பின்னடைவு எனப்படும் நிகழ்விலிருந்து பின்னடைவு என்ற வார்த்தையின் புள்ளிவிவரப் பயன்பாடு வந்தது. உயரமான தந்தைகள் உயரமான மகன்களைப் பெற்றெடுக்க முனைகிறார்கள் என்றாலும், மகன்களின் சராசரி உயரம் அவர்களின் உயரமான தந்தைகளை விட குறைவாக இருக்கும் என்று அவர் காட்டினார். மகன்களின் சராசரி உயரம் மக்கள்தொகையில் உள்ள அனைத்து தந்தைகளின் சராசரி உயரத்தை நோக்கி "பின்வாங்கியது" அல்லது "பின்னோக்கி நகர்ந்தது". எனவே, சராசரியாக, உயரமான தந்தைகளுக்கு குட்டையான (ஆனால் இன்னும் உயரமான) மகன்கள் உள்ளனர், மற்றும் குட்டையான தந்தைகளுக்கு உயரமான (ஆனால் இன்னும் மிகவும் குறுகிய) மகன்கள் உள்ளனர்.

ஸ்கிரீனிங் மற்றும் மருத்துவப் பரிசோதனைகளில் சராசரியாகப் பின்னடைவைக் காண்கிறோம், அங்கு நோயாளிகளின் ஒரு துணைக்குழு சிகிச்சைக்காகத் தேர்ந்தெடுக்கப்படலாம், ஏனெனில் அவர்களின் குறிப்பிட்ட மாறுபாட்டின் அளவுகள் மிக அதிகமாக (அல்லது குறைவாக) உள்ளன. இந்த அளவீடு காலப்போக்கில் மீண்டும் மீண்டும் செய்யப்பட்டால், துணைக்குழுவிற்கான இரண்டாவது வாசிப்பின் சராசரி பொதுவாக முதல் வாசிப்பை விட குறைவாக இருக்கும், வயது மற்றும் பாலினத்துடன் பொருந்திய மக்கள்தொகை சராசரியை நோக்கி, அவர்கள் பெற்ற சிகிச்சையைப் பொருட்படுத்தாமல் . தங்கள் முதல் பரிசோதனையில் அதிக கொலஸ்ட்ரால் அளவைக் கொண்டு மருத்துவப் பரிசோதனையில் சேர்த்துக்கொள்ளப்பட்ட நோயாளிகள், இந்த காலகட்டத்தில் சிகிச்சை அளிக்காவிட்டாலும், சராசரியாக, இரண்டாவது பரிசோதனையில் கொலஸ்ட்ரால் அளவு குறைவதைக் காட்ட வாய்ப்புள்ளது.

பெரும்பாலும், பின்னடைவு பகுப்பாய்வு முறையானது நெறிமுறை அளவுகள் மற்றும் உடல் வளர்ச்சியின் தரநிலைகளை உருவாக்க பயன்படுகிறது.

ஒரு பின்னடைவுக் கோடு தரவுக்கு எவ்வளவு நன்றாகப் பொருந்துகிறது என்பதை குணகம் R (பொதுவாக ஒரு சதவீதமாக வெளிப்படுத்தப்படுகிறது மற்றும் நிர்ணய குணகம் என்று அழைக்கப்படுகிறது), இது தொடர்பு குணகத்தின் (r2) சதுரத்திற்கு சமமாக இருக்கும். இது y இல் உள்ள மாறுபாட்டின் விகிதம் அல்லது சதவீதத்தைக் குறிக்கிறது, இது x உடனான அதன் உறவால் விளக்கப்படலாம், அதாவது. ஒரு சுயாதீனமான பண்புக்கூறின் செல்வாக்கின் கீழ் உருவாக்கப்பட்ட முடிவு-பண்பின் மாறுபாட்டின் பங்கு. 0 முதல் 1 வரை அல்லது 0 முதல் 100% வரையிலான வரம்பில் மதிப்புகளை எடுக்கலாம். வேறுபாடு (100% - R) என்பது y இல் உள்ள மாறுபாட்டின் சதவீதத்தைக் குறிக்கிறது, இது இந்த இடைவினையால் விளக்க முடியாது.

உதாரணமாக

குழந்தைகளில் உயரம் (செ.மீ.யில் அளவிடப்படுகிறது) மற்றும் சிஸ்டாலிக் இரத்த அழுத்தம் (SBP, mmHg இல் அளவிடப்படுகிறது) ஆகியவற்றுக்கு இடையேயான உறவு. SBP மற்றும் உயரம் (படம் 6) இடையேயான உறவின் ஜோடி நேரியல் பின்னடைவு பகுப்பாய்வை நாங்கள் நடத்தினோம். உயரத்திற்கும் SBP க்கும் இடையே ஒரு குறிப்பிடத்தக்க நேரியல் உறவு உள்ளது.

படம் 6. சிஸ்டாலிக் இரத்த அழுத்தம் மற்றும் உயரம் இடையே உள்ள தொடர்பைக் காட்டும் இரு பரிமாண வரைபடம். மதிப்பிடப்பட்ட பின்னடைவு வரி, சிஸ்டாலிக் இரத்த அழுத்தம், சித்தரிக்கப்பட்டுள்ளது.

மதிப்பிடப்பட்ட பின்னடைவுக் கோட்டின் சமன்பாடு பின்வருமாறு:

SBP = 46.28 + 0.48 x உயரம்.

இந்த எடுத்துக்காட்டில், இடைமறிப்பு ஆர்வமாக இல்லை (பூஜ்ஜியத்தின் வளர்ச்சி ஆய்வில் காணப்பட்ட மதிப்புகளின் வரம்பிற்கு வெளியே தெளிவாக உள்ளது). இருப்பினும், நாம் சாய்வை விளக்கலாம்; இந்த குழந்தைகளில் SBP சராசரியாக 0.48 mmHg அதிகரிக்கும் என்று கணிக்கப்பட்டுள்ளது. ஒரு சென்டிமீட்டர் உயரத்துடன்

ஒரு குழந்தைக்கு கொடுக்கப்பட்ட உயரத்திற்கு நாம் எதிர்பார்க்கும் SBPயை கணிக்க, பின்னடைவு சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்தலாம். எடுத்துக்காட்டாக, 115 செமீ உயரமுள்ள ஒரு குழந்தைக்கு 46.28 + (0.48 x 115) = 101.48 மிமீ எச்ஜி எஸ்பிபி இருக்கும். கலை., 130 உயரமுள்ள குழந்தைக்கு 46.28 + (0.48 x 130) = 108.68 மிமீ எச்ஜி எஸ்பிபி இருக்கும். கலை.

தொடர்பு குணகத்தை கணக்கிடும் போது, ​​இது 0.55 க்கு சமமாக இருப்பது கண்டறியப்பட்டது, இது சராசரி வலிமையின் நேரடி தொடர்பைக் குறிக்கிறது. இந்த வழக்கில், தீர்மானிக்கும் குணகம் r 2 = 0.55 2 = 0.3. எனவே, குழந்தைகளில் இரத்த அழுத்தத்தின் அளவுகளில் உயரத்தின் செல்வாக்கின் பங்கு 30% ஐ விட அதிகமாக இல்லை என்று நாம் கூறலாம், மற்ற காரணிகள் 70% செல்வாக்கைக் கொண்டுள்ளன.

நேரியல் (எளிய) பின்னடைவு என்பது சார்பு மாறிக்கும் ஒரே ஒரு சார்பற்ற மாறிக்கும் இடையிலான உறவைப் பார்ப்பதற்கு மட்டுமே. ஒரு உறவில் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட சுயாதீன மாறிகள் இருந்தால், நாம் பல பின்னடைவுக்கு திரும்ப வேண்டும். அத்தகைய பின்னடைவுக்கான சமன்பாடு இதுபோல் தெரிகிறது:

y = a + bx 1 +b 2 x 2 +.... + b n x n

பதில் மாறி y இல் x 1, x 2, .., x n ஆகிய பல சார்பற்ற மாறிகளின் விளைவில் ஒருவர் ஆர்வமாக இருக்கலாம். இந்த xகள் ஒன்றுக்கொன்று சார்ந்து இருக்கலாம் என்று நாம் நம்பினால், y இல் ஒரு x இன் மதிப்பை மாற்றுவதால் ஏற்படும் விளைவை நாம் தனித்தனியாகப் பார்க்காமல், மற்ற எல்லா x களின் அளவையும் ஒரே நேரத்தில் கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ள வேண்டும்.

உதாரணமாக

குழந்தையின் உயரத்திற்கும் எடைக்கும் இடையே வலுவான உறவு இருப்பதால், குழந்தையின் எடை மற்றும் பாலினத்தை கணக்கில் எடுத்துக் கொள்ளும்போது உயரத்திற்கும் சிஸ்டாலிக் இரத்த அழுத்தத்திற்கும் இடையிலான உறவும் மாறுமா என்று ஒருவர் ஆச்சரியப்படலாம். பல நேரியல் பின்னடைவு இந்த பல சுயாதீன மாறிகளின் கூட்டு விளைவை y இல் ஆராய்கிறது.

இந்த வழக்கில் பல பின்னடைவு சமன்பாடு இப்படி இருக்கலாம்:

SBP = 79.44 - (0.03 x உயரம்) + (1.18 x எடை) + (4.23 x பாலினம்)*

* - (பாலினப் பண்புக்கான மதிப்புகள் 0 - பையன், 1 - பெண்)

இந்த சமன்பாட்டின் படி, 115 செ.மீ உயரம் மற்றும் 37 கிலோ உடல் எடை கொண்ட ஒரு பெண் கணிக்கப்படும் எஸ்.பி.பி.

SBP = 79.44 - (0.03 x 115) + (1.18 x 37) + (4.23 x 1) = 123.88 mmHg.

லாஜிஸ்டிக் பின்னடைவு நேரியல் பின்னடைவுக்கு மிகவும் ஒத்திருக்கிறது; ஆர்வத்தின் பைனரி விளைவு (அதாவது ஒரு அறிகுறி இருப்பது/இல்லாதது அல்லது நோய் உள்ள/இல்லாத ஒரு பொருள்) மற்றும் பல முன்னறிவிப்பாளர்கள் இருக்கும்போது இது பயன்படுத்தப்படுகிறது. லாஜிஸ்டிக் பின்னடைவு சமன்பாட்டிலிருந்து, எந்த முன்கணிப்பாளர்கள் விளைவைப் பாதிக்கிறார்கள் என்பதைத் தீர்மானிக்கலாம் மற்றும் நோயாளியின் முன்கணிப்பு மதிப்புகளைப் பயன்படுத்தி, அவர்/அவள் ஒரு குறிப்பிட்ட விளைவைக் கொண்டிருப்பதற்கான சாத்தியக்கூறுகளை மதிப்பிடலாம். உதாரணமாக: சிக்கல்கள் ஏற்படுமா இல்லையா, சிகிச்சை பயனுள்ளதாக இருக்குமா இல்லையா.

இரண்டு விளைவுகளைப் பிரதிநிதித்துவப்படுத்த பைனரி மாறியை உருவாக்கத் தொடங்குங்கள் (எ.கா., "நோய் உள்ளது" = 1, "நோய் இல்லை" = 0). இருப்பினும், இந்த இரண்டு மதிப்புகளையும் ஒரு நேரியல் பின்னடைவு பகுப்பாய்வில் சார்பு மாறியாகப் பயன்படுத்த முடியாது, ஏனெனில் இயல்பான அனுமானம் மீறப்பட்டுள்ளது மற்றும் பூஜ்ஜியம் அல்லது ஒன்று இல்லாத கணிக்கப்பட்ட மதிப்புகளை நாம் விளக்க முடியாது.

உண்மையில், ஒரு பொருள் சார்பு மாறியின் நெருங்கிய வகையாக (அதாவது, "நோய் உள்ளது") வகைப்படுத்தப்படுவதற்கான நிகழ்தகவை நாங்கள் எடுத்துக்கொள்கிறோம், மேலும், கணித சிக்கல்களை சமாளிக்க, பின்னடைவு சமன்பாட்டிற்கு ஒரு லாஜிஸ்டிக் மாற்றத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம் - இயற்கை "நோய்" (p) மற்றும் "நோய் இல்லை" (1-p) நிகழ்தகவு விகிதத்தின் மடக்கை.

சாதாரண பின்னடைவைக் காட்டிலும் அதிகபட்ச சாத்தியக்கூறு எனப்படும் ஒரு ஒருங்கிணைந்த செயல்முறை (நேரியல் பின்னடைவு நடைமுறையைப் பயன்படுத்த முடியாது என்பதால்), மாதிரித் தரவிலிருந்து லாஜிஸ்டிக் பின்னடைவு சமன்பாட்டின் மதிப்பீட்டை உருவாக்குகிறது.

logit (p) = a + bx 1 +b 2 x 2 +.... + b n x n

logit (p) - x 1 ... x n க்கான தனிப்பட்ட மதிப்புகளைக் கொண்ட நோயாளிக்கு ஒரு நோய் இருப்பதற்கான உண்மையான நிகழ்தகவு மதிப்பீடு;

a என்பது மாறிலியின் மதிப்பீடு (இலவச சொல், குறுக்குவெட்டு);

b 1, b 2,..., b n - லாஜிஸ்டிக் பின்னடைவு குணகங்களின் மதிப்பீடுகள்.

1. பாடத்தின் தலைப்பில் கேள்விகள்:

1. செயல்பாட்டு மற்றும் தொடர்பு இணைப்புகளை வரையறுக்கவும்.

2. நேரடி மற்றும் தலைகீழ் தொடர்புகளின் உதாரணங்களைக் கொடுங்கள்.

3. குணாதிசயங்களுக்கு இடையே பலவீனமான, நடுத்தர மற்றும் வலுவான இணைப்புகளுக்கான தொடர்பு குணகங்களின் அளவுகளைக் குறிப்பிடவும்.

4. எந்த சந்தர்ப்பங்களில் தொடர்பு குணகத்தை கணக்கிடும் தரவரிசை முறை பயன்படுத்தப்படுகிறது?

5. பியர்சன் தொடர்பு குணகத்தின் கணக்கீடு எந்த சந்தர்ப்பங்களில் பயன்படுத்தப்படுகிறது?

6. தரவரிசை முறையைப் பயன்படுத்தி தொடர்பு குணகத்தை கணக்கிடுவதற்கான முக்கிய நிலைகள் யாவை?

7. "பின்னடைவை" வரையறுக்கவும். பின்னடைவு முறையின் சாராம்சம் என்ன?

8. ஒரு எளிய நேரியல் பின்னடைவு சமன்பாட்டிற்கான சூத்திரத்தை விவரிக்கவும்.

9. பின்னடைவு குணகத்தை வரையறுக்கவும்.

10. உயரத்தின் எடையின் பின்னடைவு குணகம் 0.26 கிலோ/செமீ என்றால் என்ன முடிவு எடுக்க முடியும்?

11. பின்னடைவு சமன்பாடு சூத்திரம் எதற்காகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது?

12. தீர்மானிக்கும் குணகம் என்ன?

13. எந்த சந்தர்ப்பங்களில் பல பின்னடைவு சமன்பாடு பயன்படுத்தப்படுகிறது?

14. லாஜிஸ்டிக் பின்னடைவு முறை எதற்காகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது?

பொருள்:தொடர்பு கோட்பாட்டின் கூறுகள்

பல பொது மக்கள்தொகையின் பொருள்கள் X, Y, ... எனப் பல குணாதிசயங்களைக் கொண்டிருக்கின்றன, அவை ஒன்றோடொன்று தொடர்புடைய அளவுகளின் அமைப்பாக விளக்கப்படலாம். எடுத்துக்காட்டுகளில் பின்வருவன அடங்கும்: விலங்கின் எடை மற்றும் இரத்தத்தில் உள்ள ஹீமோகுளோபின் அளவு, ஒரு மனிதனின் உயரம் மற்றும் மார்பின் அளவு, அறையில் பணியிடங்களின் அதிகரிப்பு மற்றும் வைரஸ் தொற்றுகளின் நிகழ்வுகள், மருந்தின் அளவு மற்றும் இரத்தத்தில் அதன் செறிவு, முதலியன.

இந்த அளவுகளுக்கு இடையே ஒரு தொடர்பு உள்ளது என்பது வெளிப்படையானது, ஆனால் இது ஒரு கடுமையான செயல்பாட்டு சார்பு இருக்க முடியாது, ஏனெனில் அளவுகளில் ஒன்றில் மாற்றம் இரண்டாவது அளவு மாற்றத்தால் மட்டுமல்ல, பிற காரணிகளாலும் பாதிக்கப்படுகிறது. இதுபோன்ற சந்தர்ப்பங்களில், இரண்டு அளவுகளும் தொடர்புடையதாகக் கூறப்படுகிறது தோராயம்(அதாவது சீரற்ற) சார்பு. சீரற்ற சார்பு பற்றிய ஒரு சிறப்பு வழக்கை நாங்கள் படிப்போம் - தொடர்பு சார்பு.

வரையறை:தோராயம், அவற்றில் ஒன்றின் மாற்றம் இரண்டாவது அளவு மாற்றத்தால் மட்டுமல்ல, பிற காரணிகளாலும் பாதிக்கப்படுகிறது.

வரையறை:சீரற்ற மாறிகளின் சார்பு அழைக்கப்படுகிறது புள்ளியியல்,அவற்றில் ஒன்றில் மாற்றங்கள் ஏற்பட்டால் மற்றொன்றின் விநியோகச் சட்டத்தில் மாற்றம் ஏற்படும்.

வரையறை:சீரற்ற மாறிகளில் ஒன்றில் ஏற்படும் மாற்றம் மற்றொரு சீரற்ற மாறியின் சராசரியில் மாற்றத்தை ஏற்படுத்தினால், புள்ளியியல் சார்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது. தொடர்பு.

எடுத்துக்காட்டுகள் தொடர்பு சார்புஇடையே உள்ள தொடர்புகள்:

உடல் எடை மற்றும் உயரம்;

அயனியாக்கும் கதிர்வீச்சின் அளவு மற்றும் பிறழ்வுகளின் எண்ணிக்கை;

மனித முடி நிறமி மற்றும் கண் நிறம்;

மக்களின் வாழ்க்கைத் தரம் மற்றும் இறப்பு விகிதம் ஆகியவற்றின் குறிகாட்டிகள்;

மாணவர்கள் தவறவிட்ட விரிவுரைகளின் எண்ணிக்கை மற்றும் தேர்வு தரம் போன்றவை.

பரஸ்பர செல்வாக்கு மற்றும் பலவிதமான பல்வேறு காரணிகளின் நெருக்கமான இடைவெளி காரணமாக இயற்கையில் பெரும்பாலும் காணப்படும் தொடர்பு சார்புகள், ஆய்வு செய்யப்படும் குறிகாட்டிகளின் மதிப்புகளை தீர்மானிக்கின்றன.

ஒரு குறிப்பிட்ட உயிரியல் பொருளின் மீது மேற்கொள்ளப்படும் அவதானிப்புகளின் முடிவுகள், Y மற்றும் X ஆகியவை செவ்வக ஆய அமைப்பை உருவாக்குவதன் மூலம் ஒரு விமானத்தில் புள்ளிகளாக சித்தரிக்கப்படலாம். இதன் விளைவாக ஒரு வகையான சிதறல் வரைபடமாகும், இது பல்வேறு குணாதிசயங்களுக்கிடையேயான உறவின் வடிவம் மற்றும் நெருக்கத்தை தீர்மானிக்க அனுமதிக்கிறது.

இந்த உறவை சில வளைவுகளால் தோராயமாக மதிப்பிட முடிந்தால், ஒரு அளவுருவில் மாற்றத்தை மற்றொரு அளவுருவில் இலக்கு மாற்றத்துடன் கணிக்க முடியும்.

தொடர்பு சார்புஇருந்து
படிவத்தின் சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்தி விவரிக்கலாம்

(1)

ஜி
de
நிபந்தனை சராசரிஅளவுகள் , மதிப்புடன் தொடர்புடையது அளவுகள்
, ஏ
சில செயல்பாடு. சமன்பாடு (1) அழைக்கப்படுகிறது அன்று
.

வரைபடம். 1. நேரியல் பின்னடைவு குறிப்பிடத்தக்கது. மாதிரி
.

செயல்பாடு
அழைக்கப்பட்டது மாதிரி பின்னடைவு அன்று
, மற்றும் அதன் வரைபடம் மாதிரி பின்னடைவு வரி அன்று
.

ஏறக்குறைய ஒரே மாதிரியான மாதிரி பின்னடைவு சமன்பாடு
அன்று என்பது சமன்பாடு
.

பின்னடைவு சமன்பாட்டின் வகை மற்றும் தொடர்புடைய பின்னடைவு கோட்டின் வடிவத்தைப் பொறுத்து, பரிசீலனையில் உள்ள அளவுகளுக்கு இடையிலான தொடர்பு வடிவம் தீர்மானிக்கப்படுகிறது - நேரியல், இருபடி, அதிவேக, அதிவேக.

மிக முக்கியமான கேள்வி பின்னடைவு செயல்பாட்டின் வகையின் தேர்வு ஆகும்
[அல்லது
], எடுத்துக்காட்டாக நேரியல் அல்லது நேரியல் அல்லாத (அதிவேக, மடக்கை, முதலியன)

நடைமுறையில், கிடைக்கக்கூடிய அனைத்து ஜோடி அவதானிப்புகளுக்கும் ஒத்த புள்ளிகளின் தொகுப்பை ஒருங்கிணைப்பு விமானத்தில் உருவாக்குவதன் மூலம் பின்னடைவு செயல்பாட்டின் வகையை தீர்மானிக்க முடியும் (
).

அரிசி. 2. நேரியல் பின்னடைவு குறிப்பிடத்தக்கதாக இல்லை. மாதிரி
.

ஆர்
இருக்கிறது. 3. நேரியல் அல்லாத மாதிரி
.

உதாரணமாக, படம் 1 இல். மதிப்புகள் அதிகரிக்கும் ஒரு புலப்படும் போக்கு உள்ளது வளர்ச்சியுடன்
, அதே சமயம் சராசரி மதிப்புகள் பார்வை ஒரு நேர் கோட்டில் அமைந்துள்ளது. நேரியல் மாதிரியைப் பயன்படுத்துவது அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கிறது (சார்பு வகை இருந்து
பொதுவாக சார்பு மாதிரி என்று அழைக்கப்படுகிறது இருந்து
.

படம்.2 இல். சராசரி மதிப்புகள் சார்ந்து இல்லை , எனவே நேரியல் பின்னடைவு முக்கியமற்றது (பின்னடைவு செயல்பாடு நிலையானது மற்றும் சமமானது ).

படத்தில். 3. மாதிரிக்கு நேரியல் இல்லாத ஒரு போக்கு உள்ளது.

நேரியல் சார்புக்கான எடுத்துக்காட்டுகள்:

உட்கொள்ளும் அயோடின் அளவை அதிகரிப்பது மற்றும் கோயிட்டர் நிகழ்வைக் குறைத்தல்,

பணியாளரின் சேவையின் நீளத்தை அதிகரிப்பது மற்றும் உற்பத்தித்திறனை அதிகரிப்பது.

வளைவு சார்புக்கான எடுத்துக்காட்டுகள்:

மழைப்பொழிவு அதிகரிக்கும் போது, ​​விளைச்சல் அதிகரிக்கிறது, ஆனால் இது ஒரு குறிப்பிட்ட மழை வரம்பு வரை நிகழ்கிறது. முக்கியமான கட்டத்திற்குப் பிறகு, மழைப்பொழிவு ஏற்கனவே அதிகமாக உள்ளது, மண் சதுப்பு நிலமாகி, மகசூல் குறைகிறது,

நீரை கிருமி நீக்கம் செய்ய பயன்படுத்தப்படும் குளோரின் அளவுக்கும் 1 மிலி பாக்டீரியாவின் எண்ணிக்கைக்கும் இடையே உள்ள தொடர்பு. தண்ணீர். குளோரின் அளவு அதிகரிக்கும் போது, ​​தண்ணீரில் பாக்டீரியாக்களின் எண்ணிக்கை குறைகிறது, ஆனால் ஒரு முக்கியமான புள்ளியை அடைந்தவுடன், குளோரின் அளவை நாம் எவ்வளவு அதிகரித்தாலும் பாக்டீரியாக்களின் எண்ணிக்கை மாறாமல் இருக்கும் (அல்லது முற்றிலும் இல்லாமல்).

நேரியல் பின்னடைவு

பின்னடைவு செயல்பாட்டின் வகையைத் தேர்ந்தெடுத்த பிறகு, அதாவது. பரிசீலனையில் உள்ள சார்பு மாதிரி வகை X இலிருந்து (அல்லது Y இலிருந்து X), எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு நேரியல் மாதிரி
, மாதிரி குணகங்களின் குறிப்பிட்ட மதிப்புகளை தீர்மானிக்க வேண்டியது அவசியம்.

வெவ்வேறு மதிப்புகளுக்கு ஏமற்றும்
நீங்கள் படிவத்தின் எண்ணற்ற சார்புகளை உருவாக்கலாம்
அதாவது, ஒருங்கிணைப்பு விமானத்தில் எண்ணற்ற நேர்கோடுகள் உள்ளன, ஆனால் கவனிக்கப்பட்ட மதிப்புகளுக்கு மிகவும் பொருத்தமான ஒரு சார்பு நமக்குத் தேவை. எனவே, பணி சிறந்த குணகங்களைத் தேர்ந்தெடுப்பதில் இறங்குகிறது.

குறைந்த சதுர முறை (LS)

நேரியல் செயல்பாடு
ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையிலான அவதானிப்புகளின் அடிப்படையில் மட்டுமே நாங்கள் தேடுகிறோம். கவனிக்கப்பட்ட மதிப்புகளுக்கு சிறந்த பொருத்தத்துடன் செயல்பாட்டைக் கண்டறிய, நாங்கள் பயன்படுத்துகிறோம் குறைந்த சதுர முறை.

படம்.4. குறைந்த சதுரங்கள் முறையைப் பயன்படுத்தி குணகங்களை மதிப்பிடுவதற்கான விளக்கம்

குறிப்போம்: - சமன்பாட்டிலிருந்து கணக்கிடப்பட்ட மதிப்பு

- அளவிடப்பட்ட மதிப்பு,

- சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்தி அளவிடப்பட்ட மற்றும் கணக்கிடப்பட்ட மதிப்புகளுக்கு இடையிலான வேறுபாடு,

.

IN குறைந்த சதுர முறைஅது தேவைப்படுகிறது , அளவிடப்பட்ட இடையே வேறுபாடு மற்றும் சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படும் மதிப்புகள் , குறைவாக இருந்தது. எனவே, குணகங்களைக் காணலாம் ஏமற்றும் எனவே நேரான பின்னடைவுக் கோட்டில் உள்ள மதிப்புகளிலிருந்து கவனிக்கப்பட்ட மதிப்புகளின் வர்க்க விலகல்களின் கூட்டுத்தொகை மிகச் சிறியது:

அளவுருக்கள் இருந்தால் இந்த நிலை அடையப்படுகிறது ஏமற்றும் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படும்:

அழைக்கப்பட்டது பின்னடைவு குணகம்; அழைக்கப்பட்டது இலவச உறுப்பினர்பின்னடைவு சமன்பாடுகள்.

இதன் விளைவாக வரும் நேர்கோடு கோட்பாட்டு பின்னடைவுக் கோட்டிற்கான மதிப்பீடாகும். எங்களிடம் உள்ளது

அதனால்,
இருக்கிறது நேரியல் பின்னடைவு சமன்பாடு.

பின்னடைவு நேரடியாக இருக்கலாம்
மற்றும் தலைகீழாக
.

வரையறை: பின்னோக்கி பின்னடைவு ஒரு அளவுரு அதிகரிக்கும் போது, ​​மற்றொரு அளவுருவின் மதிப்புகள் குறையும்.

பின்னடைவு கோடு என்பது நிகழ்வுகளுக்கு இடையிலான உறவின் வரைகலை பிரதிபலிப்பாகும். எக்செல் இல் நீங்கள் மிகவும் தெளிவாக ஒரு பின்னடைவு வரியை உருவாக்க முடியும்.

இதைச் செய்ய உங்களுக்குத் தேவை:

1. Excel ஐ திறக்கவும்

2.தரவு நெடுவரிசைகளை உருவாக்கவும். எங்கள் எடுத்துக்காட்டில், முதல் வகுப்பு மாணவர்களின் ஆக்கிரமிப்பு மற்றும் சுய சந்தேகத்திற்கு இடையில் ஒரு பின்னடைவு கோட்டை அல்லது உறவை உருவாக்குவோம். சோதனையில் 30 குழந்தைகள் பங்கேற்றனர், தரவு எக்செல் அட்டவணையில் வழங்கப்படுகிறது:

1 நெடுவரிசை - பொருள் எண்

2 நெடுவரிசை - ஆக்கிரமிப்புபுள்ளிகளில்

3 நெடுவரிசை - வேறுபாடுபுள்ளிகளில்

3.பின்னர் நீங்கள் இரண்டு நெடுவரிசைகளையும் தேர்ந்தெடுக்க வேண்டும் (நெடுவரிசையின் பெயர் இல்லாமல்), தாவலைக் கிளிக் செய்யவும் செருகு , தேர்வு புள்ளி , மற்றும் முன்மொழியப்பட்ட தளவமைப்புகளிலிருந்து முதல் ஒன்றைத் தேர்ந்தெடுக்கவும் குறிப்பான்கள் கொண்ட புள்ளி .

4. எங்களிடம் பின்னடைவு வரிக்கான டெம்ப்ளேட் உள்ளது - என்று அழைக்கப்படும் - சிதறல் சதி. பின்னடைவு வரிக்குச் செல்ல, அதன் விளைவாக வரும் படத்தில் கிளிக் செய்து தாவலை அழுத்தவும் கட்டமைப்பாளர், பேனலில் கண்டுபிடிக்கவும் விளக்கப்பட தளவமைப்புகள் மற்றும் தேர்ந்தெடுக்கவும் எம் ஏ ket9 , என்றும் கூறுகிறது f(x)

5. எனவே, எங்களிடம் ஒரு பின்னடைவு வரி உள்ளது. வரைபடம் அதன் சமன்பாடு மற்றும் தொடர்பு குணகத்தின் சதுரத்தையும் காட்டுகிறது

6. வரைபடத்தின் பெயரையும் அச்சுகளின் பெயரையும் சேர்ப்பது மட்டுமே மீதமுள்ளது. மேலும், விரும்பினால், நீங்கள் புராணத்தை அகற்றலாம், கிடைமட்ட கட்டக் கோடுகளின் எண்ணிக்கையைக் குறைக்கலாம் (தாவல் தளவமைப்பு , பிறகு நிகர ) தாவலில் அடிப்படை மாற்றங்கள் மற்றும் அமைப்புகள் செய்யப்பட்டுள்ளன தளவமைப்பு

பின்னடைவு வரி MS Excel இல் கட்டப்பட்டது. இப்போது நீங்கள் அதை வேலையின் உரையில் சேர்க்கலாம்.

பின்னடைவு கருத்து. மாறிகள் இடையே சார்பு எக்ஸ்மற்றும் ஒய்வெவ்வேறு வழிகளில் விவரிக்க முடியும். குறிப்பாக, எந்த வகையான இணைப்பும் பொதுவான சமன்பாட்டின் மூலம் வெளிப்படுத்தப்படலாம் ஒய்சார்பு மாறியாகக் கருதப்படுகிறது, அல்லது செயல்பாடுகள்இன்னொன்றிலிருந்து - சார்பற்ற மாறி x, அழைக்கப்படுகிறது வாதம். ஒரு வாதத்திற்கும் செயல்பாட்டிற்கும் இடையிலான கடிதப் பரிமாற்றத்தை அட்டவணை, சூத்திரம், வரைபடம் போன்றவற்றால் குறிப்பிடலாம். ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட வாதங்களில் ஏற்படும் மாற்றத்தைப் பொறுத்து ஒரு செயல்பாட்டை மாற்றுவது என்று அழைக்கப்படுகிறது பின்னடைவு. தொடர்புகளை விவரிக்கப் பயன்படுத்தப்படும் அனைத்து வழிமுறைகளும் உள்ளடக்கத்தை உருவாக்குகின்றன பின்னடைவு பகுப்பாய்வு.

பின்னடைவு, தொடர்பு சமன்பாடுகள் அல்லது பின்னடைவு சமன்பாடுகள், அனுபவ மற்றும் கோட்பாட்டளவில் கணக்கிடப்பட்ட பின்னடைவு தொடர்களை வெளிப்படுத்த, அவற்றின் வரைபடங்கள், பின்னடைவு கோடுகள் எனப்படும், அத்துடன் நேரியல் மற்றும் நேரியல் அல்லாத பின்னடைவு குணகங்களும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

பின்னடைவு குறிகாட்டிகள் பண்பின் சராசரி மதிப்புகளில் ஏற்படும் மாற்றங்களை கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டு, இருதரப்பு உறவுமுறையை வெளிப்படுத்துகின்றன. ஒய்மதிப்புகளை மாற்றும் போது எக்ஸ் நான்அடையாளம் எக்ஸ், மற்றும், மாறாக, பண்புகளின் சராசரி மதிப்புகளில் மாற்றத்தைக் காட்டுகிறது எக்ஸ்மாற்றப்பட்ட மதிப்புகளின் படி ஒய் நான்அடையாளம் ஒய். விதிவிலக்கு நேரத் தொடர் அல்லது நேரத் தொடர், காலப்போக்கில் பண்புகளில் ஏற்படும் மாற்றங்களைக் காட்டுகிறது. இத்தகைய தொடர்களின் பின்னடைவு ஒருதலைப்பட்சமானது.

பலவிதமான வடிவங்கள் மற்றும் தொடர்பு வகைகள் உள்ளன. ஒவ்வொரு குறிப்பிட்ட விஷயத்திலும் இணைப்பின் வடிவத்தை அடையாளம் கண்டு, அதனுடன் தொடர்புடைய சமன்பாட்டுடன் அதை வெளிப்படுத்தும் பணி வருகிறது, இது ஒரு குணாதிசயத்தில் சாத்தியமான மாற்றங்களை எதிர்பார்க்க அனுமதிக்கிறது. ஒய்மற்றொன்றில் அறியப்பட்ட மாற்றங்களின் அடிப்படையில் எக்ஸ், முதல் தொடர்புடன் தொடர்புடையது.

12.1 நேரியல் பின்னடைவு

பின்னடைவு சமன்பாடு.தொடர்புடைய பண்புகளின் அடிப்படையில் ஒரு குறிப்பிட்ட உயிரியல் பொருளின் மீது மேற்கொள்ளப்பட்ட அவதானிப்புகளின் முடிவுகள் எக்ஸ்மற்றும் ஒய், செவ்வக ஆய அமைப்பை உருவாக்குவதன் மூலம் ஒரு விமானத்தில் புள்ளிகளால் குறிப்பிடப்படலாம். இதன் விளைவாக ஒரு வகையான சிதறல் வரைபடமாகும், இது பல்வேறு குணாதிசயங்களுக்கிடையேயான உறவின் வடிவம் மற்றும் நெருக்கத்தை தீர்மானிக்க அனுமதிக்கிறது. பெரும்பாலும் இந்த உறவு ஒரு நேர் கோடு போல் தெரிகிறது அல்லது ஒரு நேர் கோட்டால் தோராயமாக இருக்கலாம்.

மாறிகள் இடையே நேரியல் உறவு எக்ஸ்மற்றும் ஒய்ஒரு பொதுவான சமன்பாடு மூலம் விவரிக்கப்படுகிறது, எங்கே ஏ பி சி டி,... – சமன்பாட்டின் அளவுருக்கள் வாதங்களுக்கு இடையிலான உறவுகளை தீர்மானிக்கின்றன எக்ஸ் 1 , எக்ஸ் 2 , எக்ஸ் 3 , …, எக்ஸ் மீமற்றும் செயல்பாடுகள்.

நடைமுறையில், சாத்தியமான அனைத்து வாதங்களும் கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளப்படுவதில்லை, ஆனால் எளிமையான வழக்கில் சில வாதங்கள் மட்டுமே:

நேரியல் பின்னடைவு சமன்பாட்டில் (1) அஇலவச சொல், மற்றும் அளவுரு பிசெவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அச்சுகளுடன் தொடர்புடைய பின்னடைவு கோட்டின் சாய்வை தீர்மானிக்கிறது. பகுப்பாய்வு வடிவவியலில் இந்த அளவுரு அழைக்கப்படுகிறது சாய்வு, மற்றும் பயோமெட்ரிக்ஸில் - பின்னடைவு குணகம். இந்த அளவுருவின் காட்சி பிரதிநிதித்துவம் மற்றும் பின்னடைவு கோடுகளின் நிலை ஒய்மூலம் எக்ஸ்மற்றும் எக்ஸ்மூலம் ஒய்செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் படம் 1 கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.

அரிசி. 1 கணினியில் Y ஆல் X மற்றும் X ஆல் Y இன் பின்னடைவு கோடுகள்

செவ்வக ஆயங்கள்

பின்னடைவு கோடுகள், படம் 1 இல் காட்டப்பட்டுள்ளபடி, புள்ளி O (,) இல் வெட்டுகின்றன, இது ஒன்றோடொன்று தொடர்புடைய குணாதிசயங்களின் எண்கணித சராசரி மதிப்புகளுடன் தொடர்புடையது ஒய்மற்றும் எக்ஸ். பின்னடைவு வரைபடங்களை உருவாக்கும்போது, ​​​​சுதந்திர மாறி X இன் மதிப்புகள் abscissa அச்சில் திட்டமிடப்படுகின்றன, மேலும் சார்பு மாறியின் மதிப்புகள், அல்லது Y செயல்பாடு, புள்ளி O (,) வழியாக செல்லும் ஆர்டினேட் அச்சில் திட்டமிடப்படுகின்றன. ) மாறிகளுக்கு இடையிலான முழுமையான (செயல்பாட்டு) உறவை ஒத்துள்ளது ஒய்மற்றும் எக்ஸ், தொடர்பு குணகம் போது. இடையே உள்ள தொடர்பு வலுவானது ஒய்மற்றும் எக்ஸ், பின்னடைவு கோடுகள் AB க்கு நெருக்கமாக இருக்கும், மாறாக, இந்த அளவுகளுக்கிடையேயான இணைப்பு பலவீனமாக இருந்தால், பின்னடைவு கோடுகள் AB இலிருந்து அதிக தொலைவில் இருக்கும். குணாதிசயங்களுக்கு இடையே எந்த தொடர்பும் இல்லை என்றால், பின்னடைவு கோடுகள் ஒன்றுக்கொன்று செங்கோணத்தில் இருக்கும் மற்றும் .

பின்னடைவு குறிகாட்டிகள் இருதரப்பு தொடர்பு உறவை வெளிப்படுத்துவதால், பின்னடைவு சமன்பாடு (1) பின்வருமாறு எழுதப்பட வேண்டும்:

முதல் சூத்திரம் பண்பு மாறும்போது சராசரி மதிப்புகளை தீர்மானிக்கிறது எக்ஸ்ஒரு யூனிட் அளவீடு, இரண்டாவது - சராசரி மதிப்புகள் பண்புக்கூறு அளவீட்டின் ஒரு அலகு மூலம் மாறும் போது ஒய்.

பின்னடைவு குணகம்.பின்னடைவு குணகம் சராசரியாக ஒரு குணாதிசயத்தின் மதிப்பு எவ்வளவு என்பதைக் காட்டுகிறது ஒய்மற்றொன்றின் அளவு, ஒன்றோடு தொடர்புடையது, ஒன்றால் மாறும்போது மாறுகிறது ஒய்அடையாளம் எக்ஸ். இந்த காட்டி சூத்திரத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது

இங்கே மதிப்புகள் உள்ளன கள்வகுப்பு இடைவெளிகளின் அளவால் பெருக்கப்படுகிறது λ , அவை மாறுபாடு தொடர் அல்லது தொடர்பு அட்டவணையில் இருந்து கண்டறியப்பட்டால்.

நிலையான விலகல்களைக் கணக்கிடாமல் பின்னடைவு குணகத்தை கணக்கிட முடியும் கள் ஒய்மற்றும் கள் எக்ஸ்சூத்திரத்தின் படி

தொடர்பு குணகம் தெரியவில்லை என்றால், பின்னடைவு குணகம் பின்வருமாறு தீர்மானிக்கப்படுகிறது:

பின்னடைவு மற்றும் தொடர்பு குணகங்களுக்கு இடையிலான உறவு.சூத்திரங்களை (11.1) (தலைப்பு 11) மற்றும் (12.5) ஒப்பிடுகையில், நாம் பார்க்கிறோம்: அவற்றின் எண் ஒரே மதிப்பைக் கொண்டுள்ளது, இது இந்த குறிகாட்டிகளுக்கு இடையிலான தொடர்பைக் குறிக்கிறது. இந்த உறவு சமத்துவத்தால் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது

எனவே, தொடர்பு குணகம் குணகங்களின் வடிவியல் சராசரிக்கு சமம் பி yxமற்றும் பி xy. ஃபார்முலா (6) முதலில், பின்னடைவு குணகங்களின் அறியப்பட்ட மதிப்புகளின் அடிப்படையில் அனுமதிக்கிறது பி yxமற்றும் பி xyபின்னடைவு குணகத்தை தீர்மானிக்கவும் ஆர் xy, இரண்டாவதாக, இந்த தொடர்பு குறிகாட்டியின் கணக்கீட்டின் சரியான தன்மையை சரிபார்க்கவும் ஆர் xyமாறுபட்ட பண்புகளுக்கு இடையில் எக்ஸ்மற்றும் ஒய்.

தொடர்பு குணகத்தைப் போலவே, பின்னடைவு குணகம் ஒரு நேரியல் உறவை மட்டுமே வகைப்படுத்துகிறது மற்றும் நேர்மறை உறவுக்கான கூட்டல் குறி மற்றும் எதிர்மறை உறவுக்கான கழித்தல் குறி ஆகியவற்றுடன் இருக்கும்.

நேரியல் பின்னடைவு அளவுருக்களை தீர்மானித்தல்.வர்க்க விலகல்களின் கூட்டுத்தொகை ஒரு மாறுபாடு என்று அறியப்படுகிறது எக்ஸ் நான்சராசரியிலிருந்து மிகச்சிறிய மதிப்பு, அதாவது இந்த தேற்றம் குறைந்த சதுர முறையின் அடிப்படையை உருவாக்குகிறது. நேரியல் பின்னடைவு குறித்து [பார்க்க சூத்திரம் (1)] இந்த தேற்றத்தின் தேவை ஒரு குறிப்பிட்ட சமன்பாடுகளால் பூர்த்தி செய்யப்படுகிறது சாதாரண:

அளவுருக்கள் தொடர்பாக இந்த சமன்பாடுகளின் கூட்டு தீர்வு அமற்றும் பிபின்வரும் முடிவுகளுக்கு வழிவகுக்கிறது:

;

;

, எங்கிருந்து மற்றும்.

மாறிகளுக்கு இடையிலான உறவின் இருவழித் தன்மையைக் கருத்தில் கொண்டு ஒய்மற்றும் எக்ஸ், அளவுருவை தீர்மானிப்பதற்கான சூத்திரம் ஏஇவ்வாறு வெளிப்படுத்த வேண்டும்:

மற்றும் . (7)

அளவுரு பி, அல்லது பின்னடைவு குணகம், பின்வரும் சூத்திரங்களால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது:

அனுபவ பின்னடைவு தொடரின் கட்டுமானம்.அதிக எண்ணிக்கையிலான அவதானிப்புகள் இருந்தால், பின்னடைவு பகுப்பாய்வு அனுபவப் பின்னடைவுத் தொடரின் கட்டுமானத்துடன் தொடங்குகிறது. அனுபவ பின்னடைவு தொடர்ஒரு மாறுபட்ட குணாதிசயத்தின் மதிப்புகளிலிருந்து கணக்கிடுவதன் மூலம் உருவாகிறது எக்ஸ்மற்றொன்றின் சராசரி மதிப்புகள், தொடர்புடையது எக்ஸ்அடையாளம் ஒய். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், அனுபவப் பின்னடைவுத் தொடரின் கட்டுமானமானது Y மற்றும் X பண்புகளின் தொடர்புடைய மதிப்புகளிலிருந்து குழு சராசரிகளைக் கண்டறிவதாகும்.

ஒரு அனுபவ பின்னடைவு தொடர் என்பது ஒரு விமானத்தில் உள்ள புள்ளிகளால் குறிக்கப்படும் எண்களின் இரட்டை தொடர் ஆகும், பின்னர், இந்த புள்ளிகளை நேர்கோட்டு பிரிவுகளுடன் இணைப்பதன் மூலம், ஒரு அனுபவ பின்னடைவு கோட்டைப் பெறலாம். அனுபவப் பின்னடைவுத் தொடர்கள், குறிப்பாக அவற்றின் வரைபடங்கள் என அழைக்கப்படுகின்றன பின்னடைவு கோடுகள், மாறுபட்ட குணாதிசயங்களுக்கிடையே உள்ள தொடர்பின் வடிவம் மற்றும் நெருக்கம் பற்றிய தெளிவான யோசனையை வழங்கவும்.

அனுபவப் பின்னடைவு தொடர்களின் சீரமைப்பு.அனுபவப் பின்னடைவு தொடரின் வரைபடங்கள், ஒரு விதியாக, மென்மையானவை அல்ல, ஆனால் உடைந்த கோடுகள். தொடர்புள்ள குணாதிசயங்களின் மாறுபாட்டின் பொதுவான வடிவத்தை தீர்மானிக்கும் முக்கிய காரணங்களுடன், பின்னடைவின் முனைப்புள்ளிகளில் சீரற்ற ஏற்ற இறக்கங்களை ஏற்படுத்தும் பல இரண்டாம் நிலை காரணங்களின் செல்வாக்கால் அவற்றின் அளவு பாதிக்கப்படுகிறது என்பதன் மூலம் இது விளக்கப்படுகிறது. தொடர்புள்ள குணாதிசயங்களின் இணை மாறுபாட்டின் முக்கிய போக்கை (போக்கை) அடையாளம் காண, உடைந்த கோடுகளை மென்மையான, சீராக இயங்கும் பின்னடைவு கோடுகளுடன் மாற்றுவது அவசியம். உடைந்த கோடுகளை மென்மையானவற்றுடன் மாற்றும் செயல்முறை அழைக்கப்படுகிறது அனுபவ தொடர்களின் சீரமைப்புமற்றும் பின்னடைவு கோடுகள்.

வரைகலை சீரமைப்பு முறை.கணக்கீட்டு வேலை தேவையில்லாத எளிய முறை இதுவாகும். அதன் சாராம்சம் பின்வருவனவற்றில் கொதிக்கிறது. அனுபவ பின்னடைவு தொடர் ஒரு செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் ஒரு வரைபடமாக சித்தரிக்கப்படுகிறது. பின்னர் பின்னடைவின் நடுப்புள்ளிகள் பார்வைக்கு கோடிட்டுக் காட்டப்படுகின்றன, அதனுடன் ஒரு ஆட்சியாளர் அல்லது வடிவத்தைப் பயன்படுத்தி ஒரு திடமான கோடு வரையப்படுகிறது. இந்த முறையின் தீமை வெளிப்படையானது: அனுபவ பின்னடைவு கோடுகளின் சீரமைப்பு முடிவுகளில் ஆராய்ச்சியாளரின் தனிப்பட்ட பண்புகளின் செல்வாக்கை இது விலக்கவில்லை. எனவே, உடைந்த பின்னடைவு கோடுகளை மென்மையானவற்றுடன் மாற்றும்போது அதிக துல்லியம் தேவைப்படும் சந்தர்ப்பங்களில், அனுபவத் தொடர்களை சீரமைப்பதற்கான பிற முறைகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

நகரும் சராசரி முறை.இந்த முறையின் சாராம்சம் அனுபவத் தொடரின் இரண்டு அல்லது மூன்று அருகிலுள்ள சொற்களிலிருந்து எண்கணித சராசரிகளின் வரிசையான கணக்கீட்டிற்கு வருகிறது. அனுபவத் தொடர்கள் அதிக எண்ணிக்கையிலான சொற்களால் குறிப்பிடப்படும் சந்தர்ப்பங்களில் இந்த முறை மிகவும் வசதியானது, இதனால் அவற்றில் இரண்டின் இழப்பு - தீவிரமானது, இந்த சீரமைப்பு முறையால் தவிர்க்க முடியாதது, அதன் கட்டமைப்பை குறிப்பிடத்தக்க வகையில் பாதிக்காது.

குறைந்த சதுர முறை.இந்த முறை 19 ஆம் நூற்றாண்டின் தொடக்கத்தில் ஏ.எம். புராணக்கதை மற்றும், அவரைச் சார்ந்து இல்லாமல், கே. காஸ். அனுபவத் தொடர்களை மிகத் துல்லியமாக சீரமைக்க இது உங்களை அனுமதிக்கிறது. இந்த முறை, மேலே காட்டப்பட்டுள்ளபடி, வர்க்க விலகல்களின் கூட்டுத்தொகை ஒரு மாறுபாடு என்ற அனுமானத்தின் அடிப்படையில் அமைந்துள்ளது. எக்ஸ் நான் அவற்றின் சராசரியிலிருந்து குறைந்தபட்ச மதிப்பு உள்ளது, அதாவது முறையின் பெயர், இது சூழலியல் மட்டுமல்ல, தொழில்நுட்பத்திலும் பயன்படுத்தப்படுகிறது. குறைந்த சதுரங்கள் முறையானது புறநிலை மற்றும் உலகளாவியது;

குறைந்த சதுரங்கள் முறையின் தேவை என்னவென்றால், பின்னடைவுக் கோட்டின் கோட்பாட்டுப் புள்ளிகள் அனுபவ அவதானிப்புகளுக்கு இந்தப் புள்ளிகளிலிருந்து ஸ்கொயர் விலகல்களின் கூட்டுத்தொகையைப் பெற வேண்டும். ஒய் நான்குறைவாக இருந்தது, அதாவது.

கணித பகுப்பாய்வின் கொள்கைகளுக்கு இணங்க இந்த வெளிப்பாட்டின் குறைந்தபட்சத்தைக் கணக்கிட்டு, அதை ஒரு குறிப்பிட்ட வழியில் மாற்றுவதன் மூலம், ஒருவர் என்று அழைக்கப்படும் ஒரு அமைப்பைப் பெறலாம். சாதாரண சமன்பாடுகள், இதில் அறியப்படாத மதிப்புகள் பின்னடைவு சமன்பாட்டின் தேவையான அளவுருக்கள் ஆகும், மேலும் அறியப்பட்ட குணகங்கள் பண்புகளின் அனுபவ மதிப்புகளால் தீர்மானிக்கப்படுகின்றன, பொதுவாக அவற்றின் மதிப்புகள் மற்றும் அவற்றின் குறுக்கு தயாரிப்புகளின் தொகைகள்.

பல நேரியல் பின்னடைவு.பல மாறிகளுக்கு இடையிலான உறவு பொதுவாக பல பின்னடைவு சமன்பாட்டால் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது, இது இருக்கலாம் நேரியல்மற்றும் நேரியல் அல்லாத. அதன் எளிமையான வடிவத்தில், பல பின்னடைவு இரண்டு சுயாதீன மாறிகள் கொண்ட சமன்பாட்டாக வெளிப்படுத்தப்படுகிறது ( எக்ஸ், z):

எங்கே அ- சமன்பாட்டின் இலவச சொல்; பிமற்றும் c- சமன்பாட்டின் அளவுருக்கள். சமன்பாட்டின் அளவுருக்களைக் கண்டறிய (10) (குறைந்த சதுரங்கள் முறையைப் பயன்படுத்தி), பின்வரும் சாதாரண சமன்பாடுகளின் அமைப்பு பயன்படுத்தப்படுகிறது:

டைனமிக் தொடர். வரிசைகளின் சீரமைப்பு.காலப்போக்கில் குணாதிசயங்களில் ஏற்படும் மாற்றங்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன நேரத் தொடர்அல்லது இயக்கவியல் தொடர். அத்தகைய தொடரின் சிறப்பியல்பு அம்சம் என்னவென்றால், இங்குள்ள சார்பற்ற மாறி X எப்போதும் நேரக் காரணியாகும், மேலும் சார்பு மாறி Y என்பது மாறும் அம்சமாகும். பின்னடைவுத் தொடரைப் பொறுத்து, X மற்றும் Y மாறிகளுக்கு இடையிலான உறவு ஒருதலைப்பட்சமானது, ஏனெனில் நேரக் காரணி குணாதிசயங்களின் மாறுபாட்டைச் சார்ந்து இருக்காது. இந்த அம்சங்கள் இருந்தபோதிலும், டைனமிக்ஸ் தொடரை பின்னடைவு தொடருடன் ஒப்பிடலாம் மற்றும் அதே முறைகளைப் பயன்படுத்தி செயலாக்கலாம்.

பின்னடைவுத் தொடர்களைப் போலவே, அனுபவ இயக்கவியல் தொடர்களும் முக்கியவற்றால் மட்டுமல்ல, பல இரண்டாம் நிலை (சீரற்ற) காரணிகளாலும் பாதிக்கப்படுகின்றன, அவை குணாதிசயங்களின் மாறுபாட்டின் முக்கிய போக்கை மறைக்கின்றன, இது புள்ளிவிவரங்களின் மொழியில் அழைக்கப்படுகிறது. போக்கு.

நேரத் தொடரின் பகுப்பாய்வு போக்கின் வடிவத்தை அடையாளம் காண்பதில் தொடங்குகிறது. இதைச் செய்ய, நேரத் தொடர் ஒரு செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் ஒரு வரி வரைபடமாக சித்தரிக்கப்படுகிறது. இந்த வழக்கில், நேரப் புள்ளிகள் (ஆண்டுகள், மாதங்கள் மற்றும் நேரத்தின் பிற அலகுகள்) abscissa அச்சில் திட்டமிடப்படுகின்றன, மேலும் X மாறிகளுக்கு இடையே ஒரு நேரியல் உறவு இருந்தால், சார்பு மாறி Y இன் மதிப்புகள் திட்டமிடப்படுகின்றன மற்றும் Y (நேரியல் போக்கு), குறைந்தபட்ச சதுரங்கள் முறையானது நேரத் தொடரை சீரமைக்க மிகவும் பொருத்தமானது, இது சார்பு மாறி Y தொடரின் விதிமுறைகளின் விலகல் வடிவில் ஒரு பின்னடைவு சமன்பாடு ஆகும். மாறி X:

இங்கே நேரியல் பின்னடைவு அளவுரு உள்ளது.

இயக்கவியல் தொடரின் எண்ணியல் பண்புகள்.இயக்கவியல் தொடரின் முக்கிய பொதுமைப்படுத்தும் எண் பண்புகள் அடங்கும் வடிவியல் சராசரிமற்றும் அதற்கு நெருக்கமான ஒரு எண்கணிதம். குறிப்பிட்ட கால இடைவெளியில் சார்பு மாறியின் மதிப்பு மாறுகின்ற சராசரி விகிதத்தை அவை வகைப்படுத்துகின்றன:

இயக்கவியல் தொடரின் உறுப்பினர்களின் மாறுபாட்டின் மதிப்பீடு நிலையான விலகல். நேரத் தொடரை விவரிக்க பின்னடைவு சமன்பாடுகளைத் தேர்ந்தெடுக்கும்போது, ​​போக்கின் வடிவம் கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளப்படுகிறது, இது நேரியல் (அல்லது நேரியல் வரை குறைக்கப்பட்டது) மற்றும் நேரியல் அல்லாததாக இருக்கலாம். பின்னடைவு சமன்பாட்டின் சரியான தேர்வு பொதுவாக அனுபவ ரீதியாக கவனிக்கப்பட்ட மற்றும் சார்பு மாறியின் கணக்கிடப்பட்ட மதிப்புகளின் ஒற்றுமையால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது. இந்த சிக்கலுக்கு மிகவும் துல்லியமான தீர்வு மாறுபாடு முறையின் பின்னடைவு பகுப்பாய்வு ஆகும் (தலைப்பு 12, பத்தி 4).

நேரத் தொடரின் தொடர்பு.சில பொதுவான நிபந்தனைகளால் ஒருவருக்கொருவர் தொடர்புடைய இணையான நேரத் தொடரின் இயக்கவியலை ஒப்பிடுவது பெரும்பாலும் அவசியம், எடுத்துக்காட்டாக, விவசாய உற்பத்திக்கும் ஒரு குறிப்பிட்ட காலத்திற்கு கால்நடைகளின் எண்ணிக்கையின் வளர்ச்சிக்கும் இடையிலான உறவைக் கண்டறிய. இதுபோன்ற சந்தர்ப்பங்களில், X மற்றும் Y மாறிகளுக்கு இடையிலான உறவின் சிறப்பியல்பு தொடர்பு குணகம் R xy (ஒரு நேரியல் போக்கு முன்னிலையில்).

நேரத் தொடரின் போக்கு, ஒரு விதியாக, சார்பு மாறி Y இன் தொடரின் ஏற்ற இறக்கங்களால் மறைக்கப்பட்டுள்ளது என்பது அறியப்படுகிறது. இது இருமடங்கு சிக்கலைத் தோற்றுவிக்கிறது: ஒப்பிடப்பட்ட தொடர்களுக்கு இடையே உள்ள சார்பை அளவிடுதல், போக்கை விலக்காமல், மற்றும் அளவிடுதல் போக்கைத் தவிர்த்து, அதே தொடரின் அண்டை உறுப்பினர்களிடையே சார்ந்திருத்தல். முதல் வழக்கில், ஒப்பிடப்பட்ட நேரத் தொடருக்கு இடையிலான இணைப்பின் நெருக்கத்தின் காட்டி தொடர்பு குணகம்(உறவு நேரியல் என்றால்), இரண்டாவது - தன்னியக்க தொடர்பு குணகம். இந்த குறிகாட்டிகள் வெவ்வேறு அர்த்தங்களைக் கொண்டுள்ளன, இருப்பினும் அவை ஒரே சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகின்றன (தலைப்பு 11 ஐப் பார்க்கவும்).

சார்பு மாறியின் தொடர் உறுப்பினர்களின் மாறுபாட்டால் தன்னியக்கத் தொடர்பு குணகத்தின் மதிப்பு பாதிக்கப்படுவதைப் பார்ப்பது எளிது: தொடர் உறுப்பினர்கள் போக்கில் இருந்து விலகிச் செல்கின்றனர், அதிக தன்னியக்க குணகம், மற்றும் நேர்மாறாகவும்.