சரியான ப்ரிஸம் என்று அழைக்கப்படுகிறது? ஒரு ப்ரிஸத்தின் வரையறை மற்றும் பண்புகள்

ஸ்டீரியோமெட்ரி படிப்புக்கான பள்ளி பாடத்திட்டத்தில், படிப்பு அளவீட்டு புள்ளிவிவரங்கள்பொதுவாக ஒரு எளிய வடிவியல் உடலுடன் தொடங்குகிறது - ஒரு ப்ரிஸம் பாலிஹெட்ரான். அதன் தளங்களின் பங்கு இணையான விமானங்களில் அமைந்துள்ள 2 சம பலகோணங்களால் செய்யப்படுகிறது. ஒரு சிறப்பு வழக்கு ஒரு வழக்கமான நாற்கர ப்ரிஸம் ஆகும். அதன் தளங்கள் 2 ஒரே மாதிரியான வழக்கமான நாற்கரங்கள் ஆகும், இவற்றின் பக்கங்கள் செங்குத்தாக உள்ளன, அவை இணையான வரைபடங்களின் வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளன (அல்லது செவ்வகங்கள், ப்ரிஸம் சாய்ந்திருக்கவில்லை என்றால்).

ஒரு ப்ரிஸம் எப்படி இருக்கும்?

ஒரு வழக்கமான நாற்கர ப்ரிஸம் ஒரு அறுகோணமாகும், அதன் தளங்கள் 2 சதுரங்கள் மற்றும் பக்க முகங்கள்செவ்வகங்களால் குறிக்கப்படுகிறது. இந்த வடிவியல் உருவத்தின் மற்றொரு பெயர் நேராக இணையாக உள்ளது.

ஒரு நாற்கர ப்ரிஸத்தைக் காட்டும் ஒரு வரைபடம் கீழே காட்டப்பட்டுள்ளது.

படத்திலும் பார்க்கலாம் வடிவியல் உடலை உருவாக்கும் மிக முக்கியமான கூறுகள். இவற்றில் அடங்கும்:

சில நேரங்களில் வடிவியல் சிக்கல்களில் நீங்கள் ஒரு பிரிவின் கருத்தைக் காணலாம். வரையறை இப்படி ஒலிக்கும்: ஒரு பிரிவு என்பது ஒரு வெட்டு விமானத்திற்கு சொந்தமான ஒரு வால்யூமெட்ரிக் உடலின் அனைத்து புள்ளிகளும் ஆகும். பிரிவு செங்குத்தாக இருக்க முடியும் (90 டிகிரி கோணத்தில் உருவத்தின் விளிம்புகளை வெட்டுகிறது). ஒரு செவ்வக ப்ரிஸத்திற்கு, ஒரு மூலைவிட்ட பகுதியும் கருதப்படுகிறது ( அதிகபட்ச தொகைகட்டமைக்கக்கூடிய பிரிவுகள் - 2), அடித்தளத்தின் 2 விளிம்புகள் மற்றும் மூலைவிட்டங்கள் வழியாக செல்கிறது.

வெட்டு விமானம் தளங்கள் அல்லது பக்க முகங்களுக்கு இணையாக இல்லாத வகையில் பகுதி வரையப்பட்டால், இதன் விளைவாக துண்டிக்கப்பட்ட ப்ரிஸம் இருக்கும்.

குறைக்கப்பட்ட பிரிஸ்மாடிக் கூறுகளைக் கண்டறிய, பல்வேறு உறவுகள் மற்றும் சூத்திரங்கள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. அவற்றில் சில பிளானிமெட்ரி பாடத்திலிருந்து அறியப்படுகின்றன (உதாரணமாக, ஒரு ப்ரிஸத்தின் அடிப்பகுதியின் பகுதியைக் கண்டுபிடிக்க, ஒரு சதுரத்தின் பரப்பளவுக்கான சூத்திரத்தை நினைவில் வைத்தால் போதும்).

மேற்பரப்பு மற்றும் அளவு

சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி ஒரு ப்ரிஸத்தின் அளவைத் தீர்மானிக்க, அதன் அடித்தளம் மற்றும் உயரத்தின் பகுதியை நீங்கள் அறிந்து கொள்ள வேண்டும்:

V = Sbas h

ஒரு வழக்கமான டெட்ராஹெட்ரல் ப்ரிஸத்தின் அடிப்பகுதி பக்கத்துடன் ஒரு சதுரமாக இருப்பதால் ஒரு,நீங்கள் சூத்திரத்தை இன்னும் விரிவான வடிவத்தில் எழுதலாம்:

V = a²h

நாம் ஒரு கனசதுரத்தைப் பற்றி பேசுகிறோம் என்றால் - ஒரு வழக்கமான ப்ரிஸம் சம நீளம், அகலம் மற்றும் உயரம், தொகுதி பின்வருமாறு கணக்கிடப்படுகிறது:

ஒரு ப்ரிஸத்தின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்பதைப் புரிந்து கொள்ள, அதன் வளர்ச்சியை நீங்கள் கற்பனை செய்ய வேண்டும்.

வரைபடத்திலிருந்து பக்க மேற்பரப்பு 4 சம செவ்வகங்களால் ஆனது என்பதைக் காணலாம். அதன் பரப்பளவு அடித்தளத்தின் சுற்றளவு மற்றும் உருவத்தின் உயரத்தின் விளைவாக கணக்கிடப்படுகிறது:

பக்க = போஸ்ன் எச்

சதுரத்தின் சுற்றளவு சமமாக இருப்பதை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்வது P = 4a,சூத்திரம் வடிவம் எடுக்கிறது:

பக்கவாட்டு = 4a ம

கனசதுரத்திற்கு:

பக்க = 4a²

ப்ரிஸத்தின் மொத்த மேற்பரப்பின் பகுதியைக் கணக்கிட, பக்கவாட்டு பகுதிக்கு 2 அடிப்படை பகுதிகளைச் சேர்க்க வேண்டும்:

Sfull = Sside + 2Smain

ஒரு நாற்கர வழக்கமான ப்ரிஸம் தொடர்பாக, சூத்திரம் இதுபோல் தெரிகிறது:

மொத்த = 4a h + 2a²

ஒரு கனசதுரத்தின் பரப்பளவுக்கு:

முழு = 6a²

தொகுதி அல்லது பரப்பளவை அறிந்து, ஒரு வடிவியல் உடலின் தனிப்பட்ட கூறுகளை நீங்கள் கணக்கிடலாம்.

ப்ரிஸம் கூறுகளைக் கண்டறிதல்

பெரும்பாலும் தொகுதி கொடுக்கப்பட்ட சிக்கல்கள் அல்லது பக்கவாட்டு மேற்பரப்பு பகுதியின் மதிப்பு அறியப்படுகிறது, அங்கு அடித்தளத்தின் பக்கத்தின் நீளம் அல்லது உயரத்தை தீர்மானிக்க வேண்டியது அவசியம். இதுபோன்ற சந்தர்ப்பங்களில், சூத்திரங்களைப் பெறலாம்:

• அடிப்படை பக்க நீளம்: a = Sside / 4h = √(V / h);
• உயரம் அல்லது பக்க விலா நீளம்: h = பக்க / 4a = V / a²;
• அடிப்படை பகுதி: Sbas = V / h;
• பக்க முக பகுதி: பக்கம் gr = பக்கவாட்டு / 4.

மூலைவிட்டப் பகுதியின் பரப்பளவு எவ்வளவு என்பதைத் தீர்மானிக்க, மூலைவிட்டத்தின் நீளம் மற்றும் உருவத்தின் உயரத்தை நீங்கள் அறிந்து கொள்ள வேண்டும். ஒரு சதுரத்திற்கு d = a√2.எனவே:

ஸ்டியாக் = ஆ√2

ப்ரிஸத்தின் மூலைவிட்டத்தைக் கணக்கிட, சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தவும்:

dprize = √(2a² + h²)

கொடுக்கப்பட்ட உறவுகளை எவ்வாறு பயன்படுத்துவது என்பதைப் புரிந்து கொள்ள, நீங்கள் பல எளிய பணிகளைப் பயிற்சி செய்து தீர்க்கலாம்.

தீர்வுகளுடன் கூடிய சிக்கல்களின் எடுத்துக்காட்டுகள்

கணிதத்தில் மாநில இறுதித் தேர்வுகளில் காணப்படும் சில பணிகள் இங்கே உள்ளன.

உடற்பயிற்சி 1.

வழக்கமான நாற்கர ப்ரிஸம் போன்ற வடிவிலான பெட்டியில் மணல் ஊற்றப்படுகிறது. அதன் மட்டத்தின் உயரம் 10 செ.மீ., அதே வடிவிலான ஒரு கொள்கலனில், ஆனால் இரண்டு மடங்கு நீளமுள்ள ஒரு கொள்கலனுக்குள் அதை நகர்த்தினால், மணல் நிலை என்னவாக இருக்கும்?

இது பின்வருமாறு நியாயப்படுத்தப்பட வேண்டும். முதல் மற்றும் இரண்டாவது கொள்கலன்களில் மணலின் அளவு மாறவில்லை, அதாவது அவற்றில் அதன் அளவு ஒன்றுதான். அடித்தளத்தின் நீளத்தை நீங்கள் குறிக்கலாம் அ. இந்த வழக்கில், முதல் பெட்டியில் பொருளின் அளவு இருக்கும்:

V₁ = ha² = 10a²

இரண்டாவது பெட்டிக்கு, அடித்தளத்தின் நீளம் 2a, ஆனால் மணல் மட்டத்தின் உயரம் தெரியவில்லை:

V₂ = h (2a)² = 4ha²

ஏனெனில் V₁ = V₂, வெளிப்பாடுகளை நாம் சமன் செய்யலாம்:

10a² = 4ha²

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் a² ஆல் குறைத்த பிறகு, நாம் பெறுகிறோம்:

அதன் விளைவாக புதிய நிலைமணல் இருக்கும் h = 10 / 4 = 2.5செ.மீ.

பணி 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ ஒரு சரியான ப்ரிஸம். BD = AB₁ = 6√2 என்று அறியப்படுகிறது. உடலின் மொத்த பரப்பளவைக் கண்டறியவும்.

எந்த உறுப்புகள் அறியப்படுகின்றன என்பதைப் புரிந்துகொள்வதை எளிதாக்க, நீங்கள் ஒரு உருவத்தை வரையலாம்.

நாம் ஒரு வழக்கமான ப்ரிஸத்தைப் பற்றி பேசுவதால், அடிவாரத்தில் 6√2 மூலைவிட்டத்துடன் ஒரு சதுரம் உள்ளது என்று முடிவு செய்யலாம். பக்க முகத்தின் மூலைவிட்டம் அதே அளவைக் கொண்டுள்ளது, எனவே, பக்க முகமும் அடித்தளத்திற்கு சமமான சதுர வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது. மூன்று பரிமாணங்களும் - நீளம், அகலம் மற்றும் உயரம் - சமம் என்று மாறிவிடும். ABCDA₁B₁C₁D₁ ஒரு கன சதுரம் என்று நாம் முடிவு செய்யலாம்.

எந்த விளிம்பின் நீளமும் அறியப்பட்ட மூலைவிட்டம் மூலம் தீர்மானிக்கப்படுகிறது:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

ஒரு கனசதுரத்திற்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி மொத்த பரப்பளவு கண்டறியப்படுகிறது:

முழு = 6a² = 6 6² = 216

பணி 3.

அறை புதுப்பிக்கப்பட்டு வருகிறது. அதன் தளம் 9 m² பரப்பளவில் ஒரு சதுர வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது என்பது அறியப்படுகிறது. அறையின் உயரம் 2.5 மீ. 1 m² க்கு 50 ரூபிள் செலவாகும் என்றால், ஒரு அறைக்கு வால்பேப்பரிங் செய்வதற்கு மிகக் குறைந்த விலை என்ன?

தரை மற்றும் கூரை சதுரங்கள், அதாவது வழக்கமான நாற்கரங்கள் மற்றும் அதன் சுவர்கள் கிடைமட்ட மேற்பரப்புகளுக்கு செங்குத்தாக இருப்பதால், இது ஒரு வழக்கமான ப்ரிஸம் என்று நாம் முடிவு செய்யலாம். அதன் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பின் பகுதியை தீர்மானிக்க வேண்டியது அவசியம்.

அறையின் நீளம் a = √9 = 3மீ.

பகுதி வால்பேப்பரால் மூடப்பட்டிருக்கும் பக்க = 4 3 2.5 = 30 m².

இந்த அறைக்கு வால்பேப்பரின் குறைந்த விலை இருக்கும் 50·30 = 1500ரூபிள்

எனவே, ஒரு செவ்வக ப்ரிஸம் சம்பந்தப்பட்ட சிக்கல்களைத் தீர்க்க, ஒரு சதுரம் மற்றும் செவ்வகத்தின் பரப்பளவு மற்றும் சுற்றளவைக் கணக்கிட முடியும், அத்துடன் தொகுதி மற்றும் பரப்பளவைக் கண்டறிவதற்கான சூத்திரங்களை அறிந்து கொள்வது போதுமானது.

ஒரு கனசதுரத்தின் பகுதியை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது

ப்ரிஸத்தின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பு. வணக்கம்! இந்த வெளியீட்டில் ஸ்டீரியோமெட்ரியில் உள்ள சிக்கல்களின் குழுவை பகுப்பாய்வு செய்வோம். உடல்களின் கலவையை கருத்தில் கொள்வோம் - ஒரு ப்ரிஸம் மற்றும் ஒரு சிலிண்டர். இந்த நேரத்தில், ஸ்டீரியோமெட்ரியில் பணிகளின் வகைகளைக் கருத்தில் கொள்வது தொடர்பான கட்டுரைகளின் முழுத் தொடரையும் இந்தக் கட்டுரை நிறைவு செய்கிறது.

பணி வங்கியில் புதியவை தோன்றினால், நிச்சயமாக, எதிர்காலத்தில் வலைப்பதிவில் சேர்த்தல் இருக்கும். ஆனால் தேர்வின் ஒரு பகுதியாக ஒரு குறுகிய பதிலுடன் அனைத்து பிரச்சனைகளையும் எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதை நீங்கள் கற்றுக்கொள்வதற்கு ஏற்கனவே உள்ளவை போதுமானவை. வரவிருக்கும் ஆண்டுகளுக்குப் போதுமான பொருள் இருக்கும் (கணிதத் திட்டம் நிலையானது).

வழங்கப்பட்ட பணிகளில் ஒரு ப்ரிஸத்தின் பரப்பளவைக் கணக்கிடுவது அடங்கும். கீழே நாம் ஒரு நேரான ப்ரிஸத்தை (மற்றும், அதன்படி, ஒரு நேரான சிலிண்டர்) கருதுகிறோம் என்பதை நான் கவனிக்கிறேன்.

எந்த சூத்திரமும் தெரியாமல், ஒரு ப்ரிஸத்தின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பு அதன் பக்கவாட்டு முகங்கள் என்று புரிந்துகொள்கிறோம். ஒரு நேரான ப்ரிஸம் செவ்வக பக்க முகங்களைக் கொண்டுள்ளது.

அத்தகைய ப்ரிஸத்தின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பின் பரப்பளவு அதன் அனைத்து பக்கவாட்டு முகங்களின் (அதாவது செவ்வகங்கள்) பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம். ஒரு சிலிண்டர் பொறிக்கப்பட்ட ஒரு வழக்கமான ப்ரிஸத்தைப் பற்றி நாம் பேசுகிறோம் என்றால், இந்த ப்ரிஸத்தின் அனைத்து முகங்களும் சமமான செவ்வகங்கள் என்பது தெளிவாகிறது.

முறைப்படி, ஒரு வழக்கமான ப்ரிஸத்தின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பு பின்வருமாறு பிரதிபலிக்கப்படலாம்:

27064. ஒரு வழக்கமான நாற்கர ப்ரிஸம் ஒரு சிலிண்டரைச் சுற்றி வளைக்கப்படுகிறது, அதன் அடிப்படை ஆரம் மற்றும் உயரம் 1 க்கு சமமாக இருக்கும். ப்ரிஸத்தின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பு பகுதியைக் கண்டறியவும்.

இந்த ப்ரிஸத்தின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பு சம பரப்பில் நான்கு செவ்வகங்களைக் கொண்டுள்ளது. முகத்தின் உயரம் 1, ப்ரிஸத்தின் அடிப்பகுதியின் விளிம்பு 2 (இவை சிலிண்டரின் இரண்டு ஆரங்கள்), எனவே பக்க முகத்தின் பரப்பளவு இதற்கு சமம்:

பக்க மேற்பரப்பு:

73023. வழக்கமான பக்கவாட்டு பரப்பளவைக் கண்டறியவும் முக்கோண பட்டகம், அடிப்படை ஆரம் √0.12 ஆகவும் உயரம் 3 ஆகவும் இருக்கும் சிலிண்டரைச் சுற்றி விவரிக்கப்பட்டுள்ளது.

கொடுக்கப்பட்ட ப்ரிஸத்தின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பின் பரப்பளவு மூன்று பக்கவாட்டு முகங்களின் (செவ்வகங்கள்) பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம். பக்க முகத்தின் பகுதியைக் கண்டுபிடிக்க, அதன் உயரம் மற்றும் அடிப்படை விளிம்பின் நீளம் ஆகியவற்றை நீங்கள் அறிந்து கொள்ள வேண்டும். உயரம் மூன்று. அடிப்படை விளிம்பின் நீளத்தைக் கண்டுபிடிப்போம். முன்கணிப்பைக் கவனியுங்கள் (மேல் பார்வை):

எங்களிடம் வழக்கமான முக்கோணம் உள்ளது, அதில் √0.12 ஆரம் கொண்ட வட்டம் பொறிக்கப்பட்டுள்ளது. வலது முக்கோண AOC இலிருந்து நாம் AC ஐக் காணலாம். பின்னர் AD (AD=2AC). தொடுகோடு வரையறையின்படி:

இதன் பொருள் AD = 2AC = 1.2 எனவே, பக்கவாட்டு பரப்பளவு இதற்கு சமம்:

27066. அடிப்படை ஆரம் √75 ஆகவும் உயரம் 1 ஆகவும் இருக்கும் சிலிண்டரைச் சுற்றி வளைக்கப்பட்ட வழக்கமான அறுகோணப் பட்டகத்தின் பக்கவாட்டுப் பரப்பளவைக் கண்டறியவும்.

தேவையான பகுதி அனைத்து பக்க முகங்களின் பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம். ஒரு வழக்கமான அறுகோண ப்ரிஸம் சமமான செவ்வகங்களைக் கொண்ட பக்கவாட்டு முகங்களைக் கொண்டுள்ளது.

முகத்தின் பகுதியைக் கண்டுபிடிக்க, அதன் உயரம் மற்றும் அடிப்படை விளிம்பின் நீளம் ஆகியவற்றை நீங்கள் அறிந்து கொள்ள வேண்டும். உயரம் அறியப்படுகிறது, இது 1 க்கு சமம்.

அடிப்படை விளிம்பின் நீளத்தைக் கண்டுபிடிப்போம். முன்கணிப்பைக் கவனியுங்கள் (மேல் பார்வை):

எங்களிடம் உள்ளது வழக்கமான அறுகோணம், அதில் √75 ஆரம் கொண்ட வட்டம் பொறிக்கப்பட்டுள்ளது.

ABO என்ற வலது முக்கோணத்தைக் கவனியுங்கள். கால் OB (இது சிலிண்டரின் ஆரம்) நமக்குத் தெரியும். AOB கோணத்தையும் நாம் தீர்மானிக்க முடியும், அது 300 க்கு சமம் (முக்கோணம் AOC என்பது சமபக்கமானது, OB ஒரு இருசமமானது).

வலது முக்கோணத்தில் தொடுகோடு வரையறையைப் பயன்படுத்துவோம்:

AC = 2AB, OB என்பது இடைநிலை என்பதால், அதாவது, AC ஐ பாதியாகப் பிரிக்கிறது, அதாவது AC = 10.

எனவே, பக்க முகத்தின் பரப்பளவு 1 ∙ 10=10 மற்றும் பக்க மேற்பரப்பின் பரப்பளவு:

76485. அடிப்படை ஆரம் 8√3 ஆகவும் உயரம் 6 ஆகவும் இருக்கும் சிலிண்டரில் பொறிக்கப்பட்ட வழக்கமான முக்கோணப் பட்டகத்தின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பைக் கண்டறியவும்.

மூன்று சம அளவிலான முகங்களின் (செவ்வகங்கள்) குறிப்பிடப்பட்ட ப்ரிஸத்தின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பின் பரப்பளவு. பகுதியைக் கண்டுபிடிக்க, ப்ரிஸத்தின் அடிப்பகுதியின் விளிம்பின் நீளத்தை நீங்கள் அறிந்து கொள்ள வேண்டும் (எங்களுக்கு உயரம் தெரியும்). நாம் ப்ரொஜெக்ஷனை (மேல் பார்வை) கருத்தில் கொண்டால், ஒரு வட்டத்தில் ஒரு வழக்கமான முக்கோணம் பொறிக்கப்பட்டுள்ளது. இந்த முக்கோணத்தின் பக்கமானது ஆரம் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது:

இந்த உறவின் விவரங்கள். எனவே அது சமமாக இருக்கும்

பின்னர் பக்க முகத்தின் பரப்பளவு: 24∙6=144. மற்றும் தேவையான பகுதி:

245354. ஒரு வழக்கமான நாற்கர ப்ரிஸம் ஒரு சிலிண்டரைச் சுற்றி வளைக்கப்படுகிறது, அதன் அடிப்படை ஆரம் 2. ப்ரிஸின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பு பகுதி 48. சிலிண்டரின் உயரத்தைக் கண்டறியவும்.

இது எளிமை. சம பரப்பில் நான்கு பக்க முகங்கள் உள்ளன, எனவே ஒரு முகத்தின் பரப்பளவு 48:4=12. சிலிண்டரின் அடிப்பகுதியின் ஆரம் 2 ஆக இருப்பதால், ப்ரிஸத்தின் அடிப்பகுதியின் விளிம்பு ஆரம்ப 4 ஆக இருக்கும் - இது சிலிண்டரின் விட்டத்திற்கு சமம் (இவை இரண்டு ஆரங்கள்). முகத்தின் பரப்பளவு மற்றும் ஒரு விளிம்பு நமக்குத் தெரியும், இரண்டாவது உயரம் 12: 4 = 3 க்கு சமமாக இருக்கும்.

27065. அடிப்படை ஆரம் √3 ஆகவும் உயரம் 2 ஆகவும் இருக்கும் சிலிண்டரைச் சுற்றியிருக்கும் வழக்கமான முக்கோணப் பட்டகத்தின் பக்கவாட்டுப் பரப்பளவைக் கண்டறியவும்.

உண்மையுள்ள, அலெக்சாண்டர்.

"Get an A" என்ற வீடியோ பாடத்தில் 60-65 புள்ளிகளுடன் கணிதத்தில் ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வில் வெற்றிகரமாக தேர்ச்சி பெற தேவையான அனைத்து தலைப்புகளும் அடங்கும். கணிதத்தில் சுயவிவர ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வின் 1-13 அனைத்து பணிகளும் முழுமையாக. கணிதத்தில் அடிப்படை ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வில் தேர்ச்சி பெறவும் ஏற்றது. நீங்கள் ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வில் 90-100 புள்ளிகளுடன் தேர்ச்சி பெற விரும்பினால், நீங்கள் பகுதி 1 ஐ 30 நிமிடங்களில் மற்றும் தவறுகள் இல்லாமல் தீர்க்க வேண்டும்!

10-11 வகுப்புகளுக்கான ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வுக்கான தயாரிப்பு பாடநெறி, அத்துடன் ஆசிரியர்களுக்கும். கணிதத்தில் ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வின் பகுதி 1 (முதல் 12 சிக்கல்கள்) மற்றும் சிக்கல் 13 (முக்கோணவியல்) ஆகியவற்றில் நீங்கள் தீர்க்க வேண்டிய அனைத்தும். இது ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வில் 70 புள்ளிகளுக்கு மேல் உள்ளது, மேலும் 100-புள்ளி மாணவரோ அல்லது மனிதநேய மாணவரோ அவர்கள் இல்லாமல் செய்ய முடியாது.

அனைத்து தேவையான கோட்பாடு. விரைவான வழிகள்ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வின் தீர்வுகள், ஆபத்துகள் மற்றும் ரகசியங்கள். FIPI பணி வங்கியின் பகுதி 1 இன் அனைத்து தற்போதைய பணிகளும் பகுப்பாய்வு செய்யப்பட்டுள்ளன. ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வு 2018 இன் தேவைகளுடன் பாடநெறி முழுமையாக இணங்குகிறது.

பாடநெறி 5 பெரிய தலைப்புகளைக் கொண்டுள்ளது, ஒவ்வொன்றும் 2.5 மணிநேரம். ஒவ்வொரு தலைப்பும் புதிதாக, எளிமையாகவும் தெளிவாகவும் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.

நூற்றுக்கணக்கான ஒருங்கிணைந்த மாநில தேர்வு பணிகள். வார்த்தை சிக்கல்கள் மற்றும் நிகழ்தகவு கோட்பாடு. சிக்கலைத் தீர்ப்பதற்கான எளிய மற்றும் எளிதாக நினைவில் கொள்ளக்கூடிய அல்காரிதம்கள். வடிவியல். கோட்பாடு, குறிப்பு பொருள், அனைத்து வகையான ஒருங்கிணைந்த மாநில தேர்வு பணிகளின் பகுப்பாய்வு. ஸ்டீரியோமெட்ரி. தந்திரமான தீர்வுகள், பயனுள்ள ஏமாற்றுத் தாள்கள், இடஞ்சார்ந்த கற்பனையின் வளர்ச்சி. முக்கோணவியல் முதல் பிரச்சனை வரை 13. சிக்கலுக்கு பதிலாக புரிந்து கொள்ளுதல். சிக்கலான கருத்துகளின் தெளிவான விளக்கங்கள். இயற்கணிதம். வேர்கள், சக்திகள் மற்றும் மடக்கைகள், செயல்பாடு மற்றும் வழித்தோன்றல். ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வின் பகுதி 2 இன் சிக்கலான சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான அடிப்படை.

நேரான ப்ரிஸம் பற்றிய பொதுவான தகவல்கள்

ஒரு ப்ரிஸத்தின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பு (இன்னும் துல்லியமாக, பக்கவாட்டு மேற்பரப்பு பகுதி) அழைக்கப்படுகிறது தொகைபக்க முகங்களின் பகுதிகள். ப்ரிஸத்தின் மொத்த மேற்பரப்பு பக்கவாட்டு மேற்பரப்பு மற்றும் தளங்களின் பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்.

தேற்றம் 19.1. நேரான ப்ரிஸத்தின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பு அடித்தளத்தின் சுற்றளவு மற்றும் ப்ரிஸத்தின் உயரத்தின் தயாரிப்புக்கு சமம், அதாவது, பக்க விளிம்பின் நீளம்.

ஆதாரம். நேரான ப்ரிஸத்தின் பக்கவாட்டு முகங்கள் செவ்வகங்களாகும். இந்த செவ்வகங்களின் தளங்கள் ப்ரிஸத்தின் அடிப்பகுதியில் அமைந்துள்ள பலகோணத்தின் பக்கங்களாகும், மேலும் உயரங்கள் பக்க விளிம்புகளின் நீளத்திற்கு சமமாக இருக்கும். ப்ரிஸத்தின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பு சமமாக இருப்பதைப் பின்தொடர்கிறது

S = a 1 l + a 2 l + ... + a n l = pl,

இதில் a 1 மற்றும் n என்பது அடிப்படை விளிம்புகளின் நீளம், p என்பது ப்ரிஸத்தின் அடிப்பகுதியின் சுற்றளவு, மற்றும் I என்பது பக்க விளிம்புகளின் நீளம். தேற்றம் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

நடைமுறை பணி

சிக்கல் (22) . ஒரு சாய்ந்த ப்ரிஸத்தில் அது மேற்கொள்ளப்படுகிறது பிரிவு, பக்க விலா எலும்புகளுக்கு செங்குத்தாக மற்றும் அனைத்து பக்க விலா எலும்புகளையும் வெட்டும். குறுக்குவெட்டு சுற்றளவு p க்கு சமமாகவும் பக்க விளிம்புகள் l க்கு சமமாகவும் இருந்தால் ப்ரிஸத்தின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு. வரையப்பட்ட பிரிவின் விமானம் ப்ரிஸத்தை இரண்டு பகுதிகளாக பிரிக்கிறது (படம் 411). ப்ரிஸத்தின் அடிப்படைகளை இணைத்து, அவற்றில் ஒன்றை இணை மொழிபெயர்ப்புக்கு உட்படுத்துவோம். இந்த வழக்கில், நாம் ஒரு நேரான ப்ரிஸத்தைப் பெறுகிறோம், இதன் அடிப்படையானது அசல் ப்ரிஸத்தின் குறுக்குவெட்டு ஆகும், மேலும் பக்க விளிம்புகள் l க்கு சமமாக இருக்கும். இந்த ப்ரிஸம் அசல் ஒன்றின் அதே பக்கவாட்டு மேற்பரப்பைக் கொண்டுள்ளது. எனவே, அசல் ப்ரிஸத்தின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பு pl க்கு சமம்.

மூடப்பட்ட தலைப்பின் சுருக்கம்

இப்போது நாம் ப்ரிஸம் பற்றிய தலைப்பைச் சுருக்கமாகக் கூற முயற்சிப்போம் மற்றும் ஒரு ப்ரிஸம் என்ன பண்புகளைக் கொண்டுள்ளது என்பதை நினைவில் கொள்வோம்.

ப்ரிஸம் பண்புகள்

முதலாவதாக, ஒரு ப்ரிஸம் அதன் அனைத்து அடிப்படைகளையும் சம பலகோணங்களாகக் கொண்டுள்ளது;
இரண்டாவதாக, ஒரு ப்ரிஸத்தில் அதன் பக்கவாட்டு முகங்கள் அனைத்தும் இணையான வரைபடங்கள்;
மூன்றாவதாக, ஒரு ப்ரிஸம் போன்ற பன்முக உருவத்தில், அனைத்து பக்கவாட்டு விளிம்புகளும் சமமாக இருக்கும்;

மேலும், ப்ரிஸம் போன்ற பாலிஹெட்ரா நேராகவோ அல்லது சாய்வாகவோ இருக்கலாம் என்பதை நினைவில் கொள்ள வேண்டும்.

எந்த ப்ரிஸம் நேரான ப்ரிஸம் என்று அழைக்கப்படுகிறது?

ப்ரிஸம் என்றால் பக்க விலா எலும்புஅதன் தளத்தின் விமானத்திற்கு செங்குத்தாக அமைந்துள்ளது, பின்னர் அத்தகைய ப்ரிஸம் ஒரு நேர் கோடு என்று அழைக்கப்படுகிறது.

நேரான ப்ரிஸத்தின் பக்க முகங்கள் செவ்வகங்கள் என்பதை நினைவுபடுத்துவது மிதமிஞ்சியதாக இருக்காது.

எந்த வகையான ப்ரிஸம் சாய்வு என்று அழைக்கப்படுகிறது?

ஆனால் ஒரு ப்ரிஸத்தின் பக்க விளிம்பு அதன் அடித்தளத்தின் விமானத்திற்கு செங்குத்தாக அமைந்திருக்கவில்லை என்றால், அது ஒரு சாய்ந்த ப்ரிஸம் என்று நாம் பாதுகாப்பாக சொல்லலாம்.

எந்த ப்ரிஸம் சரியானது என்று அழைக்கப்படுகிறது?

ஒரு வழக்கமான பலகோணம் நேரான ப்ரிஸத்தின் அடிப்பகுதியில் இருந்தால், அத்தகைய ப்ரிஸம் வழக்கமானது.

இப்போது வழக்கமான ப்ரிஸம் கொண்டிருக்கும் பண்புகளை நினைவில் கொள்வோம்.

வழக்கமான ப்ரிஸத்தின் பண்புகள்

முதலாவதாக, வழக்கமான பலகோணங்கள் எப்போதும் ஒரு வழக்கமான ப்ரிஸத்தின் அடிப்படைகளாக செயல்படுகின்றன;
இரண்டாவதாக, ஒரு வழக்கமான ப்ரிஸத்தின் பக்க முகங்களைக் கருத்தில் கொண்டால், அவை எப்போதும் சமமான செவ்வகங்களாக இருக்கும்;
மூன்றாவதாக, நீங்கள் பக்க விலா எலும்புகளின் அளவை ஒப்பிட்டுப் பார்த்தால், வழக்கமான ப்ரிஸத்தில் அவை எப்போதும் சமமாக இருக்கும்.
நான்காவதாக, சரியான ப்ரிஸம் எப்போதும் நேராக இருக்கும்;
ஐந்தாவது, ஒரு வழக்கமான ப்ரிஸத்தில் பக்கவாட்டு முகங்கள் சதுர வடிவத்தைக் கொண்டிருந்தால், அத்தகைய உருவம் பொதுவாக அரை-வழக்கமான பலகோணம் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

ப்ரிஸம் குறுக்குவெட்டு

இப்போது ப்ரிஸத்தின் குறுக்குவெட்டைப் பார்ப்போம்:

வீட்டு பாடம்

இப்போது சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதன் மூலம் நாம் கற்றுக்கொண்ட தலைப்பை ஒருங்கிணைக்க முயற்சிப்போம்.

ஒரு சாய்ந்த முக்கோண ப்ரிஸத்தை வரைவோம், அதன் விளிம்புகளுக்கு இடையே உள்ள தூரம் சமமாக இருக்கும்: 3 செ.மீ., 4 செ.மீ மற்றும் 5 செ.மீ., இந்த ப்ரிஸத்தின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பு 60 செ.மீ 2 க்கு சமமாக இருக்கும். இந்த அளவுருக்கள் இருந்தால், இந்த ப்ரிஸத்தின் பக்க விளிம்பைக் கண்டறியவும்.

உனக்கு அது தெரியுமா வடிவியல் உருவங்கள்தொடர்ந்து வடிவியல் பாடங்களில் மட்டுமல்ல, உள்ளேயும் நம்மைச் சுற்றி வருகிறது அன்றாட வாழ்க்கைஒன்று அல்லது மற்றொரு வடிவியல் உருவத்தை ஒத்த பொருள்கள் உள்ளன.

ஒவ்வொரு வீட்டிலும், பள்ளியிலும் அல்லது வேலையிலும் ஒரு கணினி உள்ளது, அதன் கணினி அலகு நேரான ப்ரிஸம் போல வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது.

நீங்கள் ஒரு எளிய பென்சிலை எடுத்தால், பென்சிலின் முக்கிய பகுதி ஒரு ப்ரிஸமாக இருப்பதைக் காண்பீர்கள்.

நகரின் மையத் தெருவில் நடந்து செல்லும்போது, ​​​​எங்கள் காலடியில் ஒரு அறுகோண ப்ரிஸத்தின் வடிவத்தைக் கொண்ட ஒரு ஓடு இருப்பதைக் காண்கிறோம்.

A. V. Pogorelov, 7-11 ஆம் வகுப்புகளுக்கான வடிவியல், கல்வி நிறுவனங்களுக்கான பாடநூல்

வெவ்வேறு ப்ரிஸங்கள் ஒன்றுக்கொன்று வேறுபட்டவை. அதே நேரத்தில், அவர்களுக்கு நிறைய பொதுவானது. ப்ரிஸத்தின் அடித்தளத்தின் பகுதியைக் கண்டுபிடிக்க, அது எந்த வகையைச் சேர்ந்தது என்பதை நீங்கள் புரிந்து கொள்ள வேண்டும்.

பொது கோட்பாடு

ஒரு ப்ரிஸம் என்பது பாலிஹெட்ரான் ஆகும், அதன் பக்கங்கள் ஒரு இணையான வரைபடத்தின் வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளன. மேலும், அதன் அடிப்படை எந்த பாலிஹெட்ரானாகவும் இருக்கலாம் - ஒரு முக்கோணத்திலிருந்து ஒரு n-gon வரை. மேலும், ப்ரிஸத்தின் அடிப்படைகள் எப்போதும் ஒருவருக்கொருவர் சமமாக இருக்கும். பக்க முகங்களுக்கு பொருந்தாதது என்னவென்றால், அவை கணிசமாக அளவு மாறுபடும்.

சிக்கல்களைத் தீர்க்கும் போது, ​​ப்ரிஸத்தின் அடிப்பகுதியின் பகுதி மட்டுமல்ல. இதற்கு பக்கவாட்டு மேற்பரப்பு பற்றிய அறிவு தேவைப்படலாம், அதாவது, தளங்கள் இல்லாத அனைத்து முகங்களும். முழு மேற்பரப்புப்ரிஸத்தை உருவாக்கும் அனைத்து முகங்களின் ஒன்றியம் ஏற்கனவே இருக்கும்.

சில நேரங்களில் பிரச்சினைகள் உயரம் சம்பந்தப்பட்டவை. இது தளங்களுக்கு செங்குத்தாக உள்ளது. ஒரு பாலிஹெட்ரானின் மூலைவிட்டமானது, ஒரே முகத்திற்குச் சொந்தமில்லாத எந்த இரண்டு முனைகளையும் ஜோடிகளாக இணைக்கும் ஒரு பிரிவாகும்.

நேராக அல்லது சாய்ந்த ப்ரிஸத்தின் அடிப்படை பகுதி அவற்றுக்கும் பக்க முகங்களுக்கும் இடையிலான கோணத்தைப் பொறுத்தது அல்ல என்பதை கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும். மேல் மற்றும் கீழ் முகங்களில் ஒரே மாதிரியான உருவங்கள் இருந்தால், அவற்றின் பகுதிகள் சமமாக இருக்கும்.

முக்கோண பட்டகம்

அதன் அடிவாரத்தில் மூன்று செங்குத்துகள் கொண்ட ஒரு உருவம் உள்ளது, அதாவது ஒரு முக்கோணம். உங்களுக்குத் தெரியும், இது வித்தியாசமாக இருக்கலாம். அப்படியானால், அதன் பகுதி கால்களின் பாதி உற்பத்தியால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது என்பதை நினைவில் கொள்வது போதுமானது.

கணிதக் குறியீடு இதுபோல் தெரிகிறது: S = ½ av.

அடித்தளத்தின் பரப்பளவைக் கண்டறிய பொதுவான பார்வை, சூத்திரங்கள் பயனுள்ளதாக இருக்கும்: ஹெரான் மற்றும் பக்கத்தின் பாதி அதை வரையப்பட்ட உயரத்திற்கு எடுக்கப்பட்ட ஒன்று.

முதல் சூத்திரம் பின்வருமாறு எழுதப்பட வேண்டும்: S = √(р (р-а) (р-в) (р-с)). இந்த குறியீட்டில் அரை சுற்றளவு (p) உள்ளது, அதாவது, மூன்று பக்கங்களின் கூட்டுத்தொகை இரண்டால் வகுக்கப்படுகிறது.

இரண்டாவது: S = ½ n a * a.

ஒரு முக்கோண ப்ரிஸத்தின் அடிப்பகுதியின் பகுதியை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க விரும்பினால், இது வழக்கமானது, பின்னர் முக்கோணம் சமபக்கமாக மாறும். இதற்கு ஒரு சூத்திரம் உள்ளது: S = ¼ a 2 * √3.

நாற்கர ப்ரிஸம்

அதன் அடிப்படை அறியப்பட்ட நாற்கரங்களில் ஏதேனும் ஒன்று. இது ஒரு செவ்வகமாகவோ அல்லது சதுரமாகவோ, இணையாகவோ அல்லது ரோம்பஸாகவோ இருக்கலாம். ஒவ்வொரு சந்தர்ப்பத்திலும், ப்ரிஸத்தின் அடித்தளத்தின் பகுதியைக் கணக்கிட, உங்களுக்கு உங்கள் சொந்த சூத்திரம் தேவைப்படும்.

அடித்தளம் ஒரு செவ்வகமாக இருந்தால், அதன் பகுதி பின்வருமாறு தீர்மானிக்கப்படுகிறது: S = ab, இங்கு a, b ஆகியவை செவ்வகத்தின் பக்கங்களாகும்.

ஒரு நாற்கர ப்ரிஸத்திற்கு வரும்போது, ​​ஒரு வழக்கமான ப்ரிஸத்தின் அடிப்பகுதியின் பரப்பளவு ஒரு சதுரத்திற்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகிறது. ஏனென்றால் அஸ்திவாரத்தில் கிடப்பது அவர்தான். S = a 2.

அடித்தளம் இணையாக இருக்கும் போது, ​​பின்வரும் சமத்துவம் தேவைப்படும்: S = a * n a. இது ஒரு parallelepiped மற்றும் கோணங்களில் ஒரு பக்க கொடுக்கப்பட்ட என்று நடக்கும். பின்னர், உயரத்தைக் கணக்கிட, நீங்கள் ஒரு கூடுதல் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த வேண்டும்: n a = b * sin A. மேலும், A கோணம் "b" பக்கத்திற்கு அருகில் உள்ளது, மேலும் உயரம் n இந்த கோணத்திற்கு எதிரே உள்ளது.

ப்ரிஸத்தின் அடிப்பகுதியில் ஒரு ரோம்பஸ் இருந்தால், அதன் பரப்பளவைத் தீர்மானிக்க, உங்களுக்கு இணையான வரைபடத்தைப் போன்ற அதே சூத்திரம் தேவைப்படும் (இது ஒரு சிறப்பு வழக்கு என்பதால்). ஆனால் நீங்கள் இதையும் பயன்படுத்தலாம்: S = ½ d 1 d 2. இங்கே d 1 மற்றும் d 2 ஆகியவை ரோம்பஸின் இரண்டு மூலைவிட்டங்கள்.

வழக்கமான பென்டகோனல் ப்ரிஸம்

இந்த வழக்கில் பலகோணத்தை முக்கோணங்களாகப் பிரிப்பதை உள்ளடக்கியது, அதன் பகுதிகளை எளிதாகக் கண்டறியலாம். புள்ளிவிவரங்கள் வெவ்வேறு எண்ணிக்கையிலான செங்குத்துகளைக் கொண்டிருக்கலாம் என்றாலும்.

ப்ரிஸத்தின் அடிப்பகுதி ஒரு வழக்கமான பென்டகன் என்பதால், அதை ஐந்து சமபக்க முக்கோணங்களாகப் பிரிக்கலாம். பின்னர் ப்ரிஸத்தின் அடிப்பகுதியின் பரப்பளவு அத்தகைய ஒரு முக்கோணத்தின் பகுதிக்கு சமமாக இருக்கும் (சூத்திரத்தை மேலே காணலாம்), ஐந்தால் பெருக்கப்படுகிறது.

வழக்கமான அறுகோண ப்ரிஸம்

ஒரு பென்டகோனல் ப்ரிஸத்திற்கு விவரிக்கப்பட்டுள்ள கொள்கையின்படி, அடித்தளத்தின் அறுகோணத்தை 6 சமபக்க முக்கோணங்களாகப் பிரிக்க முடியும். அத்தகைய ப்ரிஸத்தின் அடிப்படை பகுதிக்கான சூத்திரம் முந்தையதைப் போன்றது. அதை மட்டும் ஆறால் பெருக்க வேண்டும்.

சூத்திரம் இப்படி இருக்கும்: S = 3/2 a 2 * √3.

பணிகள்

எண் 1. ஒரு வழக்கமான நேர்கோட்டில் கொடுக்கப்பட்டால், அதன் மூலைவிட்டமானது 22 செ.மீ., பாலிஹெட்ரானின் உயரம் 14 செ.மீ.

தீர்வு.ப்ரிஸத்தின் அடிப்பகுதி ஒரு சதுரம், ஆனால் அதன் பக்கம் தெரியவில்லை. ப்ரிஸத்தின் மூலைவிட்டம் (d) மற்றும் அதன் உயரம் (h) ஆகியவற்றுடன் தொடர்புடைய சதுரத்தின் (x) மூலைவிட்டத்திலிருந்து அதன் மதிப்பை நீங்கள் காணலாம். x 2 = d 2 - n 2. மறுபுறம், இந்த பிரிவு "x" என்பது ஒரு முக்கோணத்தில் உள்ள ஹைப்போடென்யூஸ் ஆகும், அதன் கால்கள் சதுரத்தின் பக்கத்திற்கு சமமாக இருக்கும். அதாவது, x 2 = a 2 + a 2. எனவே அது ஒரு 2 = (d 2 - n 2)/2 என்று மாறிவிடும்.

d க்கு பதிலாக 22 என்ற எண்ணை மாற்றவும், அதன் மதிப்புடன் "n" ஐ மாற்றவும் - 14, சதுரத்தின் பக்கம் 12 செமீ என்று மாறிவிடும்: 12 * 12 = 144 செ.மீ 2.

முழு மேற்பரப்பின் பரப்பளவைக் கண்டறிய, நீங்கள் அடிப்படை பகுதியை இரண்டு மடங்கு சேர்த்து பக்க பகுதியை நான்கு மடங்காக அதிகரிக்க வேண்டும். பிந்தையதை ஒரு செவ்வகத்திற்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி எளிதாகக் காணலாம்: பாலிஹெட்ரானின் உயரத்தையும் அடித்தளத்தின் பக்கத்தையும் பெருக்கவும். அதாவது, 14 மற்றும் 12, இந்த எண் 168 செமீ 2 க்கு சமமாக இருக்கும். ப்ரிஸத்தின் மொத்த பரப்பளவு 960 செமீ 2 ஆக இருக்கும்.

பதில்.ப்ரிஸத்தின் அடிப்பகுதியின் பரப்பளவு 144 செமீ 2 ஆகும். முழு மேற்பரப்பு 960 செமீ 2 ஆகும்.

எண் 2. அடிவாரத்தில் 6 செமீ பக்கத்துடன் ஒரு முக்கோணம் உள்ளது, பக்க முகத்தின் மூலைவிட்டம் 10 செ.மீ.

தீர்வு.ப்ரிஸம் வழக்கமானதாக இருப்பதால், அதன் அடிப்பகுதி ஒரு சமபக்க முக்கோணமாகும். எனவே, அதன் பரப்பளவு 6 சதுரத்திற்கு சமமாக மாறி, ¼ மற்றும் 3 இன் வர்க்க மூலத்தால் பெருக்கப்படுகிறது. ஒரு எளிய கணக்கீடு முடிவுக்கு வழிவகுக்கிறது: 9√3 cm 2. இது ப்ரிஸத்தின் ஒரு தளத்தின் பகுதி.

அனைத்து பக்க முகங்களும் ஒரே மாதிரியானவை மற்றும் 6 மற்றும் 10 செமீ பக்கங்களைக் கொண்ட செவ்வகங்களாக உள்ளன, அவற்றின் பகுதிகளை கணக்கிட, இந்த எண்களை பெருக்கவும். பின்னர் அவற்றை மூன்றால் பெருக்கவும், ஏனெனில் ப்ரிஸம் சரியாக பல பக்க முகங்களைக் கொண்டுள்ளது. பின்னர் காயத்தின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பு 180 செமீ 2 ஆக மாறும்.

பதில்.பகுதிகள்: அடித்தளம் - 9√3 செமீ 2, ப்ரிஸத்தின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பு - 180 செமீ 2.