ஒரு புள்ளியை முன்னிறுத்துதல். ஒரு புள்ளியை ஒரு விமானத்தின் மீது ப்ரொஜெக்ஷன் செய்வது, ஒரு புள்ளியை ஒரு விமானத்தின் மீது செலுத்துவதை ஒருங்கிணைக்கிறது

இரண்டு திட்டத் திட்டங்களில் ஒரு புள்ளியை முன்வைத்தல்

AA 1 என்ற நேர்கோட்டுப் பிரிவின் உருவாக்கம் எந்த விமானத்திலும் புள்ளி A இன் இயக்கத்தின் விளைவாக குறிப்பிடப்படுகிறது H (படம். 84, a), மற்றும் ஒரு நேர் கோடு பிரிவு AB (படம்) இன் இயக்கமாக ஒரு விமானம் உருவாகிறது. 84, b).

ஒரு புள்ளி என்பது ஒரு கோடு மற்றும் ஒரு மேற்பரப்பின் முக்கிய வடிவியல் உறுப்பு ஆகும், எனவே ஒரு பொருளின் செவ்வக கணிப்பு பற்றிய ஆய்வு ஒரு புள்ளியின் செவ்வக கணிப்புகளின் கட்டுமானத்துடன் தொடங்குகிறது.

இரண்டு செங்குத்து விமானங்களால் உருவாக்கப்பட்ட டைஹெட்ரல் கோணத்தின் இடைவெளியில் - கணிப்புகள் V இன் முன் (செங்குத்து) விமானம் மற்றும் கணிப்புகள் H இன் கிடைமட்ட விமானம், நாம் புள்ளி A (படம் 85, a) வைக்கிறோம்.

ப்ரொஜெக்ஷன் விமானங்களின் வெட்டும் கோடு ஒரு நேர் கோடு, இது ப்ராஜெக்ஷன் அச்சு என்று அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் x என்ற எழுத்தால் குறிக்கப்படுகிறது.

V விமானம் ஒரு செவ்வகமாகவும், H விமானம் ஒரு இணையான வரைபடமாகவும் இங்கே சித்தரிக்கப்பட்டுள்ளது. இந்த இணையான வரைபடத்தின் சாய்வான பக்கம் பொதுவாக அதன் கிடைமட்ட பக்கத்திற்கு 45° கோணத்தில் வரையப்படுகிறது. சாய்ந்த பக்கத்தின் நீளம் அதன் உண்மையான நீளத்தின் 0.5 க்கு சமமாக எடுக்கப்படுகிறது.

புள்ளி A இலிருந்து, V மற்றும் H. புள்ளிகள் a" மற்றும் செங்குத்துகளின் குறுக்குவெட்டுகளின் V மற்றும் H ஆகியவை புள்ளி A இன் செவ்வக கணிப்புகளாகும். விண்வெளியில் Aaa x a" என்ற உருவம் ஒரு செவ்வகமாகும். காட்சிப் படத்தில் இந்த செவ்வகத்தின் பக்கக் கோடு 2 மடங்கு குறைக்கப்படுகிறது.

x விமானங்களின் குறுக்குவெட்டுக் கோட்டைச் சுற்றி V ஐ சுழற்றுவதன் மூலம் H விமானங்களை V விமானத்துடன் சீரமைப்போம். இதன் விளைவாக புள்ளி A இன் விரிவான வரைதல் (படம் 85, b)

சிக்கலான வரைபடத்தை எளிமைப்படுத்த, வி மற்றும் எச் திட்ட விமானங்களின் எல்லைகள் குறிப்பிடப்படவில்லை (படம் 85, சி).

புள்ளி A இலிருந்து ப்ரொஜெக்ஷன் விமானங்களுக்கு வரையப்பட்ட செங்குத்துகள் ப்ராஜெக்ஷன் கோடுகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன, மேலும் இந்த திட்டக் கோடுகளின் தளங்கள் - புள்ளிகள் a மற்றும் a" - புள்ளி A இன் கணிப்புகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன: a" என்பது புள்ளி A இன் முன் முனைப்பு, a என்பது கிடைமட்டத் திட்டம் புள்ளி ஏ.

வரி a" a என்பது திட்ட இணைப்பின் செங்குத்து கோடு என்று அழைக்கப்படுகிறது.

ஒரு சிக்கலான வரைபடத்தில் ஒரு புள்ளியின் திட்ட இடம் விண்வெளியில் இந்த புள்ளியின் நிலையைப் பொறுத்தது.

புள்ளி A ஆனது H (படம் 86, a) என்ற திட்டங்களின் கிடைமட்டத் தளத்தில் அமைந்திருந்தால், அதன் கிடைமட்டத் திட்டம் a கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியுடன் ஒத்துப்போகிறது, மேலும் முன்முனைத் திட்டம் a" அச்சில் அமைந்துள்ளது. புள்ளி B முன்பக்கத்தில் அமைந்திருக்கும் போது கணிப்புகளின் விமானம் V, அதன் முன்கணிப்பு இந்தப் புள்ளியுடன் ஒத்துப்போகிறது, மேலும் கிடைமட்டத் திட்டமானது x-அச்சு கிடைமட்ட மற்றும் முன் கணிப்புகளில் உள்ளது. கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிசி, x-அச்சு மீது பொய், இந்த புள்ளியுடன் ஒத்துப்போகிறது. A, B மற்றும் C புள்ளிகளின் விரிவான வரைபடம் படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது. 86, பி.

மூன்று திட்டத் திட்டங்களில் ஒரு புள்ளியை முன்வைத்தல்

இரண்டு கணிப்புகளிலிருந்து ஒரு பொருளின் வடிவத்தை கற்பனை செய்ய முடியாத சந்தர்ப்பங்களில், அது மூன்று திட்ட விமானங்களில் திட்டமிடப்படுகிறது. இந்த வழக்கில், வி மற்றும் எச் விமானங்களுக்கு செங்குத்தாக ஒரு சுயவிவர ப்ரொஜெக்ஷன் பிளேன் W அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது. மூன்று திட்ட விமானங்களின் அமைப்பின் காட்சி பிரதிநிதித்துவம் படம். 87, ஏ.

ஒரு ட்ரைஹெட்ரல் கோணத்தின் விளிம்புகள் (புரொஜெக்ஷன் பிளேன்களின் குறுக்குவெட்டு) ப்ராஜெக்ஷன் அச்சுகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன மற்றும் அவை x, y மற்றும் z என குறிப்பிடப்படுகின்றன. ப்ரொஜெக்ஷன் அச்சுகளின் குறுக்குவெட்டு ப்ராஜெக்ஷன் அச்சுகளின் ஆரம்பம் என்று அழைக்கப்படுகிறது, மேலும் இது O என்ற எழுத்தால் குறிக்கப்படுகிறது. A புள்ளியிலிருந்து ஒரு செங்குத்தாக ப்ரோஜெக்ஷன் விமானம் W க்கு விடுவோம், மேலும் செங்குத்தாக "a" என்ற எழுத்தைக் குறிக்கும். புள்ளி A இன் சுயவிவரத் திட்டத்தைப் பெறவும்.

புள்ளி A இன் சிக்கலான வரைபடத்தைப் பெற, H மற்றும் W விமானங்கள் V உடன் இணைக்கப்பட்டு, அவற்றை Ox மற்றும் Oz அச்சுகளைச் சுற்றி சுழற்றுகின்றன. புள்ளி A இன் விரிவான வரைபடம் படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது. 87, பி மற்றும் சி.

புள்ளி A இலிருந்து ப்ரொஜெக்ஷன் விமானங்கள் வரையிலான ப்ரொஜெக்டிங் கோடுகளின் பிரிவுகள் புள்ளி A இன் ஆயத்தொலைவுகள் என அழைக்கப்படுகின்றன மற்றும் அவை நியமிக்கப்படுகின்றன: x A, y A மற்றும் z A.

எடுத்துக்காட்டாக, புள்ளி A இன் ஒருங்கிணைப்பு z A, பிரிவு a"a x (படம் 88, a மற்றும் b) க்கு சமமான புள்ளி A இலிருந்து கிடைமட்ட ப்ராஜெக்ஷன் விமானம் H. புள்ளி A இன் ஒருங்கிணைப்பு y, க்கு சமம் பிரிவு aa x, புள்ளி A இலிருந்து கணிப்புகளின் முன் விமானத்திற்கான தூரம் V. ஒருங்கிணைப்பு x A, பகுதி aa y க்கு சமம் - புள்ளி A இலிருந்து கணிப்புகளின் சுயவிவரத் தளத்திற்கான தூரம் W.

எனவே, ஒரு புள்ளியின் முன்கணிப்புக்கும் திட்ட அச்சுக்கும் இடையிலான தூரம் புள்ளியின் ஆயங்களை தீர்மானிக்கிறது மற்றும் அதன் சிக்கலான வரைபடத்தைப் படிக்க முக்கியமானது. ஒரு புள்ளியின் இரண்டு கணிப்புகளிலிருந்து, புள்ளியின் மூன்று ஆயங்களையும் தீர்மானிக்க முடியும்.

புள்ளி A இன் ஆயங்கள் கொடுக்கப்பட்டால் (உதாரணமாக, x A = 20 mm, y A = 22 mm மற்றும் z A = 25 mm), இந்த புள்ளியின் மூன்று கணிப்புகளை உருவாக்கலாம்.

இதைச் செய்ய, Oz அச்சின் திசையில் உள்ள ஆயத்தொலைவுகளின் தோற்றத்திலிருந்து, ஆயத்தொலைவு z A அமைக்கப்பட்டது மற்றும் y A ஆயத்தொலைவு பிரிவுகளின் முனைகளில் இருந்து - புள்ளிகள் a z மற்றும் a y (படம் 10). .

A" மற்றும் A இன் இரண்டு கணிப்புகளைப் பயன்படுத்தி, அதன் சுயவிவரத் திட்டத்தை மூன்று வழிகளில் உருவாக்கலாம்:

1) ஆயத்தொகுப்புகளின் தோற்றத்திலிருந்து, Oa y ஆய ஆரம் கொண்ட ஒரு துணை வளைவை வரையவும் (படம். 87, b மற்றும் c), இதன் விளைவாக வரும் புள்ளியிலிருந்து y1 ஆனது Oz அச்சுக்கு இணையாக ஒரு நேர் கோட்டை வரைந்து, இடுங்கள். z A க்கு சமமான பிரிவு;

2) புள்ளி a y இலிருந்து Oy அச்சுக்கு 45° கோணத்தில் துணை நேர்கோட்டை வரையவும் (படம் 88, a), புள்ளி a y1 போன்றவற்றைப் பெறவும்.

3) தோற்றம் O இலிருந்து, Oy அச்சுக்கு 45° கோணத்தில் துணை நேர்கோட்டை வரையவும் (படம் 88, b), புள்ளி a y1 போன்றவற்றைப் பெறவும்.

விண்வெளியில் வடிவியல் சிக்கல்களை தீர்க்கும் போது, ​​ஒரு விமானத்திற்கும் ஒரு புள்ளிக்கும் இடையே உள்ள தூரத்தை தீர்மானிப்பதில் சிக்கல் அடிக்கடி எழுகிறது. சில சந்தர்ப்பங்களில் இது ஒரு விரிவான தீர்வுக்கு அவசியம். இந்த மதிப்பை புள்ளியின் விமானத்தில் கணிப்பதன் மூலம் கணக்கிடலாம். கட்டுரையில் இந்த சிக்கலை இன்னும் விரிவாகப் பார்ப்போம்.

ஒரு விமானத்தை விவரிக்க சமன்பாடு

ஒரு விமானத்தில் ஒரு புள்ளியின் திட்டத்தை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்ற கேள்வியைக் கருத்தில் கொள்வதற்கு முன், முப்பரிமாண இடத்தில் பிந்தையதை வரையறுக்கும் சமன்பாடுகளின் வகைகளை நீங்கள் நன்கு அறிந்திருக்க வேண்டும். மேலும் விவரங்கள் கீழே.

கொடுக்கப்பட்ட விமானத்திற்குச் சொந்தமான அனைத்து புள்ளிகளையும் வரையறுக்கும் பொதுவான சமன்பாடு பின்வருமாறு:

A*x + B*y + C*z + D = 0.

முதல் மூன்று குணகங்கள் வெக்டரின் ஆயத்தொலைவுகள் ஆகும், இது விமானத்திற்கான வழிகாட்டி என்று அழைக்கப்படுகிறது. இது இயல்பானதுடன் ஒத்துப்போகிறது, அதாவது செங்குத்தாக உள்ளது. இந்த திசையன் n¯(A; B; C) ஆல் குறிக்கப்படுகிறது. இலவச குணகம் D என்பது விமானத்திற்கு சொந்தமான எந்த புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகளின் அறிவிலிருந்து தனித்துவமாக தீர்மானிக்கப்படுகிறது.

புள்ளி திட்ட கருத்து மற்றும் அதன் கணக்கீடு

சில புள்ளி P(x 1 ; y 1 ; z 1) மற்றும் ஒரு விமானம் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம். உள்ள சமன்பாட்டால் வரையறுக்கப்படுகிறது பொதுவான பார்வை. நாம் P இலிருந்து ஒரு செங்குத்தாக நேர்க்கோட்டை வரைந்தால் கொடுக்கப்பட்ட விமானம், பின்னர் அது ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளி Q (x 2; y 2; z 2) இல் பிந்தையதை வெட்டும் என்பது வெளிப்படையானது. Q பரிசீலனையில் உள்ள விமானத்தின் மீது P இன் ப்ரொஜெக்ஷன் என்று அழைக்கப்படுகிறது. PQ பிரிவின் நீளம் புள்ளி P இலிருந்து விமானத்திற்கான தூரம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. இதனால் PQ தானே விமானத்திற்கு செங்குத்தாக உள்ளது.

ஒரு விமானத்தின் மீது ஒரு புள்ளியின் முன்கணிப்பின் ஆயத்தொலைவுகளை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது? இதைச் செய்வது கடினம் அல்ல. முதலில், நீங்கள் ஒரு நேர்கோட்டிற்கான சமன்பாட்டை உருவாக்க வேண்டும், அது விமானத்திற்கு செங்குத்தாக இருக்கும். இந்த வரியின் சாதாரண வெக்டார் n¯(A; B; C) இணையாக இருக்க வேண்டும் என்பதால், அதற்கான சமன்பாடு பின்வருமாறு எழுதப்படும்.

(x; y; z) = (x 1; y 1; z 1) + λ*(A; B; C).

λ என்பது ஒரு உண்மையான எண், இது பொதுவாக சமன்பாட்டின் அளவுரு என்று அழைக்கப்படுகிறது. அதை மாற்றுவதன் மூலம், நீங்கள் வரியில் எந்த புள்ளியையும் பெறலாம்.

விமானத்திற்கு செங்குத்தாக ஒரு கோட்டிற்கான திசையன் சமன்பாடு எழுதப்பட்ட பிறகு, பரிசீலனையில் உள்ள வடிவியல் பொருள்களுக்கான பொதுவான குறுக்குவெட்டு புள்ளியைக் கண்டறிவது அவசியம். அதன் ஆயத்தொகுப்புகள் ப்ரொஜெக்ஷன் பி. அவை இரண்டு சமத்துவங்களையும் (கோட்டிற்கும் விமானத்திற்கும்) பூர்த்தி செய்ய வேண்டும் என்பதால், நேரியல் சமன்பாடுகளின் தொடர்புடைய அமைப்பைத் தீர்ப்பதில் சிக்கல் குறைக்கப்படுகிறது.

ப்ரொஜெக்ஷன் என்ற கருத்து பெரும்பாலும் வரைபடங்களின் ஆய்வில் பயன்படுத்தப்படுகிறது. அவை zy, zx மற்றும் xy விமானங்களில் உள்ள பகுதியின் பக்கவாட்டு மற்றும் கிடைமட்ட கணிப்புகளை சித்தரிக்கின்றன.

ஒரு விமானத்திலிருந்து ஒரு புள்ளிக்கான தூரத்தைக் கணக்கிடுதல்

மேலே குறிப்பிட்டுள்ளபடி, ஒரு புள்ளியின் விமானத்தில் ப்ரொஜெக்ஷனின் ஆயங்களை அறிவது அவற்றுக்கிடையேயான தூரத்தை தீர்மானிக்க உங்களை அனுமதிக்கிறது. முந்தைய பத்தியில் அறிமுகப்படுத்தப்பட்ட குறியீட்டைப் பயன்படுத்தி, தேவையான தூரம் PQ பிரிவின் நீளத்திற்கு சமமாக இருப்பதைக் காண்கிறோம். அதைக் கணக்கிட, திசையன் PQ¯ இன் ஆயத்தொலைவுகளைக் கண்டறிவது போதுமானது, பின்னர் அறியப்பட்ட சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி அதன் தொகுதியைக் கணக்கிடுங்கள். P புள்ளிக்கும் விமானத்திற்கும் இடையிலான d தூரத்திற்கான இறுதி வெளிப்பாடு வடிவம் பெறுகிறது:

d = |PQ¯| = √((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2).

தற்போதைய கார்ட்டீசியன் xyz ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு குறிப்பிடப்பட்டுள்ள அலகுகளில் d இன் விளைவான மதிப்பு வழங்கப்படுகிறது.

மாதிரி பணி

ஒரு புள்ளி N(0; -2; 3) மற்றும் ஒரு விமானம் உள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம், இது பின்வரும் சமன்பாட்டின் மூலம் விவரிக்கப்படுகிறது:

நீங்கள் விமானத்தில் திட்ட புள்ளிகளைக் கண்டுபிடித்து அவற்றுக்கிடையேயான தூரத்தைக் கணக்கிட வேண்டும்.

முதலில், 90 o கோணத்தில் விமானத்தை வெட்டும் ஒரு நேர்கோட்டிற்கான சமன்பாட்டை உருவாக்குவோம். எங்களிடம் உள்ளது:

(x; y; z) = (0; -2; 3) + λ*(2; -1; 1).

இந்த சமத்துவத்தை வெளிப்படையாக எழுதுவதன் மூலம், பின்வரும் சமன்பாடுகளின் அமைப்புக்கு வருகிறோம்:

முதல் மூன்று சமத்துவங்களிலிருந்து நான்காவதாக உள்ள ஒருங்கிணைப்பு மதிப்புகளை மாற்றுவதன் மூலம், நாம் மதிப்பு λ ஐப் பெறுகிறோம், இது கோட்டின் பொதுவான புள்ளி மற்றும் விமானத்தின் ஆயங்களை தீர்மானிக்கிறது:

2*(2*λ) - (-2 - λ) + λ + 3 + 4 = 0 =>

6*λ + 9 = 0 =>

λ = 9/6 = 3/2 = 1.5.

கண்டுபிடிக்கப்பட்ட அளவுருவை மாற்றியமைப்போம் மற்றும் விமானத்தில் தொடக்கப் புள்ளியின் திட்ட ஆயத்தொலைவுகளைக் கண்டுபிடிப்போம்:

(x; y; z) = (0; -2; 3) + 1.5*(2; -1; 1) = (3; -3.5; 4.5).

சிக்கல் அறிக்கையில் குறிப்பிடப்பட்டுள்ள வடிவியல் பொருள்களுக்கு இடையிலான தூரத்தைக் கணக்கிட, dக்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

d = √((3 - 0) 2 + (-3.5 + 2) 2 + (4.5 - 3) 2) = 3.674.

இந்தச் சிக்கலில், ஒரு தன்னிச்சையான விமானத்தில் ஒரு புள்ளியின் முன்கணிப்பை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது மற்றும் அவற்றுக்கிடையேயான தூரத்தை எவ்வாறு கணக்கிடுவது என்பதைக் காண்பித்தோம்.

ப்ரொஜெக்ஷன் முறை என்பது பொறியியல் கிராபிக்ஸில் வரைதல் படங்களை உருவாக்கும் கோட்பாட்டின் அடிப்படையாகும். ஒரு விமானத்தில் ஒரு உடலின் படத்தை அதன் திட்ட வடிவத்தில் கண்டுபிடிக்க அல்லது விண்வெளியில் அதன் நிலை பற்றிய தரவைப் பெறுவதற்கு இது பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

வழிமுறைகள்

• பல பரிமாண இடைவெளியில், ஒரு விமானத்தில் ஒரு பொருளின் எந்த படத்தையும் ப்ரொஜெக்ஷன் பயன்படுத்தி பெறலாம். இருப்பினும், ஒருவர் தீர்ப்பளிக்கக்கூடாது வடிவியல் வடிவம்உடல்கள் அல்லது ஒரு புள்ளியின் ஒற்றைக் கணிப்பு அடிப்படையில் வடிவவியலில் எளிமையான உருவங்களின் வடிவம். பெரும்பாலானவை முழு தகவல்ஒரு வடிவியல் உடலின் படத்தைப் பற்றி பல புள்ளிகளின் கணிப்புகளை அளிக்கிறது. குறைந்தது இரண்டு விமானங்களில் உடல் புள்ளிகளின் கணிப்புகளை ஏன் பயன்படுத்த வேண்டும்?
• உதாரணமாக, கட்டமைக்க வேண்டியது அவசியம் கணிப்புபுள்ளி A. இதைச் செய்ய, இரண்டு விமானங்களை ஒருவருக்கொருவர் செங்குத்தாக வைக்கவும். ஒன்று கிடைமட்டமானது, அதை கிடைமட்டமாக அழைக்கிறது விமானம்மற்றும் குறியீட்டு 1 உடன் உறுப்புகளின் அனைத்து கணிப்புகளையும் குறிக்கிறது. இரண்டாவது செங்குத்து. அதற்கேற்ப முன்பக்கம் அழைக்கவும். விமானம், மற்றும் தனிமங்களின் கணிப்புகளுக்கு குறியீட்டு 2 ஐ ஒதுக்கவும். அவற்றின் குறுக்குவெட்டுகளின் கோடு OX ஒருங்கிணைப்பு அச்சாக மாறுகிறது.
• திட்ட விமானங்களுக்கு இடையிலான இடைவெளி வழக்கமாக காலாண்டுகளாக பிரிக்கப்பட்டுள்ளது என்பதை ஒரு உண்மையாக ஏற்றுக்கொள்ளுங்கள். நீங்கள் முதல் காலாண்டில் இருக்கிறீர்கள், அந்த இருமுனைப் பகுதியில் இருக்கும் கோடுகளையும் புள்ளிகளையும் மட்டுமே பார்க்கிறீர்கள்.
• ப்ரொஜெக்ஷன் செயல்முறையின் சாராம்சம், கதிர் சந்திக்கும் வரை கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியின் வழியாக ஒரு கதிரை அனுப்புவதாகும் விமானம்கணிப்புகள். இந்த முறைஆர்த்தோகனல் ப்ரொஜெக்ஷன் முறை என்று அழைக்கப்படுகிறது. அதன் படி, புள்ளி A இலிருந்து கிடைமட்ட மற்றும் முன் விமானத்திற்கு செங்குத்தாக குறைக்கவும். இந்த செங்குத்தாக அடிப்படையானது புள்ளி A1 இன் கிடைமட்டத் திட்டமாகவோ அல்லது புள்ளி A2 இன் முன் முனைப்பாகவோ இருக்கும். இந்த வழியில் நீங்கள் கொடுக்கப்பட்ட திட்ட விமானங்களின் இடத்தில் இந்த புள்ளியின் நிலையைப் பெறுவீர்கள்.

இந்த கட்டுரையில், ஒரு புள்ளியின் திட்டத்தை ஒரு விமானத்தில் எவ்வாறு உருவாக்குவது மற்றும் இந்த திட்டத்தின் ஆயங்களை எவ்வாறு தீர்மானிப்பது என்பது பற்றிய கேள்விகளுக்கான பதில்களைக் காண்போம். கோட்பாட்டுப் பகுதியில் நாம் ப்ரொஜெக்ஷன் என்ற கருத்தை நம்பியிருப்போம். நாங்கள் விதிமுறைகளை வரையறுத்து, விளக்கப்படங்களுடன் தகவலை வழங்குவோம். எடுத்துக்காட்டுகளைத் தீர்ப்பதன் மூலம் பெற்ற அறிவை ஒருங்கிணைப்போம்.

Yandex.RTB R-A-339285-1

ப்ரொஜெக்ஷன், ப்ரொஜெக்ஷன் வகைகள்

இடஞ்சார்ந்த உருவங்களைப் பார்க்கும் வசதிக்காக, இந்த உருவங்களை சித்தரிக்கும் வரைபடங்கள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

வரையறை 1

ஒரு விமானத்தின் மீது ஒரு உருவத்தின் திட்டம்- ஒரு இடஞ்சார்ந்த உருவம் வரைதல்.

வெளிப்படையாக, ஒரு திட்டத்தை உருவாக்க பல விதிகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

வரையறை 2

ப்ரொஜெக்ஷன்- கட்டுமான விதிகளைப் பயன்படுத்தி ஒரு விமானத்தில் ஒரு இடஞ்சார்ந்த உருவத்தின் வரைபடத்தை உருவாக்கும் செயல்முறை.

திட்ட விமானம்- இது படம் கட்டப்பட்ட விமானம்.

சில விதிகளின் பயன்பாடு திட்ட வகையை தீர்மானிக்கிறது: மத்தியஅல்லது இணையான.

இணையான ப்ரொஜெக்ஷனின் ஒரு சிறப்பு வழக்கு செங்குத்தாக ப்ரொஜெக்ஷன் அல்லது ஆர்த்தோகனல்: வடிவவியலில் இது முக்கியமாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது. இந்த காரணத்திற்காக, "செங்குத்தாக" என்ற பெயரடை பெரும்பாலும் பேச்சில் தவிர்க்கப்படுகிறது: வடிவவியலில் அவை "ஒரு உருவத்தின் ப்ராஜெக்ஷன்" என்று வெறுமனே கூறுகின்றன, இதன் மூலம் அவை செங்குத்தாகத் திட்டமிடல் முறையைப் பயன்படுத்தி ஒரு திட்டத்தை உருவாக்குவதைக் குறிக்கின்றன. சிறப்பு சந்தர்ப்பங்களில், நிச்சயமாக, வேறு ஏதாவது ஒப்புக்கொள்ளப்படலாம்.

ஒரு விமானத்தின் மீது ஒரு உருவத்தை முன்னிறுத்துவது அடிப்படையில் இந்த உருவத்தின் அனைத்து புள்ளிகளின் திட்டமாகும் என்ற உண்மையை நாம் கவனிக்கலாம். எனவே, ஒரு வரைபடத்தில் ஒரு இடஞ்சார்ந்த உருவத்தைப் படிக்க, ஒரு புள்ளியை ஒரு விமானத்தில் முன்வைக்கும் அடிப்படைத் திறனைப் பெறுவது அவசியம். நாம் கீழே என்ன பேசுவோம்.

பெரும்பாலும் வடிவவியலில், ஒரு விமானத்தில் ப்ரொஜெக்ஷன் பற்றி பேசும்போது, ​​​​அவை செங்குத்தாக ப்ரொஜெக்ஷனைப் பயன்படுத்துவதைக் குறிக்கின்றன என்பதை நினைவில் கொள்வோம்.

ஒரு விமானத்தில் ஒரு புள்ளியின் முன்கணிப்புக்கான வரையறையைப் பெறுவதற்கான வாய்ப்பை வழங்கும் கட்டுமானங்களை உருவாக்குவோம்.

ஒரு முப்பரிமாண இடைவெளி கொடுக்கப்பட்டுள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம், அதில் ஒரு விமானம் α மற்றும் ஒரு புள்ளி M 1 விமானத்திற்கு சொந்தமானது அல்ல. கொடுக்கப்பட்ட புள்ளி எம் வழியாக ஒரு நேர்கோட்டை வரையவும் ஏகொடுக்கப்பட்ட விமானத்திற்கு செங்குத்தாக α. நாம் நேர்கோடு a மற்றும் விமானம் α வெட்டும் புள்ளியை H 1 என குறிப்பிடுகிறோம், இது புள்ளி M 1 இலிருந்து விமானம் α க்கு செங்குத்தாக கைவிடப்பட்டது.

ஒரு புள்ளி M 2 கொடுக்கப்பட்டால், கொடுக்கப்பட்ட விமானம் α க்கு சொந்தமானது, பின்னர் M 2 விமானம் α மீது ஒரு திட்டமாக செயல்படும்.

வரையறை 3

- இது புள்ளி தானே (இது கொடுக்கப்பட்ட விமானத்திற்கு சொந்தமானது என்றால்), அல்லது கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியிலிருந்து கொடுக்கப்பட்ட விமானத்திற்கு செங்குத்தாக கைவிடப்பட்டது.

ஒரு விமானத்தில் ஒரு புள்ளியின் முன்கணிப்பின் ஆயங்களைக் கண்டறிதல், எடுத்துக்காட்டுகள்

பின்வருவனவற்றை முப்பரிமாண இடைவெளியில் கொடுக்கலாம்: ஒரு செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு O x y z, ஒரு விமானம் α, ஒரு புள்ளி M 1 (x 1, y 1, z 1). கொடுக்கப்பட்ட விமானத்தில் புள்ளி M 1 இன் திட்ட ஆயத்தொலைவுகளைக் கண்டறிவது அவசியம்.

ஒரு புள்ளியை ஒரு விமானத்தின் மீது செலுத்துவதற்கு மேலே கொடுக்கப்பட்டுள்ள வரையறையிலிருந்து தீர்வு தெளிவாகப் பின்பற்றப்படுகிறது.

புள்ளி M 1 இன் ப்ராஜெக்ஷனை விமானத்தில் α H 1 ஆகக் குறிப்போம். வரையறையின்படி, H 1 என்பது கொடுக்கப்பட்ட விமானத்தின் குறுக்குவெட்டு புள்ளியாகும் α மற்றும் ஒரு நேர் கோடு புள்ளி M 1 (விமானத்திற்கு செங்குத்தாக) வழியாக வரையப்பட்டது. அந்த. நமக்குத் தேவையான புள்ளி M 1 இன் திட்ட ஆயத்தொலைவுகள் நேர் கோடு a மற்றும் விமானம் α வெட்டும் புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகள் ஆகும்.

எனவே, ஒரு புள்ளியின் திட்ட ஆயங்களை ஒரு விமானத்தில் கண்டுபிடிக்க இது அவசியம்:

விமானத்தின் சமன்பாட்டைப் பெறவும் α (அது குறிப்பிடப்படவில்லை என்றால்). விமான சமன்பாடுகளின் வகைகளைப் பற்றிய ஒரு கட்டுரை உங்களுக்கு இங்கே உதவும்;

ஒரு புள்ளி M 1 மற்றும் விமானம் α க்கு செங்குத்தாக கடந்து செல்லும் ஒரு நேர் கோட்டின் சமன்பாட்டைத் தீர்மானிக்கவும் (கொடுக்கப்பட்ட விமானத்திற்கு செங்குத்தாக கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியின் வழியாக செல்லும் ஒரு நேர் கோட்டின் சமன்பாடு பற்றிய தலைப்பைப் படிக்கவும்);

நேர்கோடு a மற்றும் விமானம் α வெட்டும் புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகளைக் கண்டறியவும் (கட்டுரை - விமானம் மற்றும் கோட்டின் வெட்டும் புள்ளியின் ஆயங்களை கண்டறிதல்). பெறப்பட்ட தரவு, விமானம் α மீது புள்ளி M 1 இன் திட்டத்திற்கு நமக்கு தேவையான ஆயத்தொலைவுகளாக இருக்கும்.

நடைமுறை எடுத்துக்காட்டுகளுடன் கோட்பாட்டைப் பார்ப்போம்.

எடுத்துக்காட்டு 1

2 x – 3 y + z - 2 = 0 என்ற புள்ளியில் M 1 (- 2, 4, 4) இன் ப்ரொஜெக்ஷனின் ஆயங்களைத் தீர்மானிக்கவும்.

தீர்வு

நாம் பார்க்கிறபடி, விமானத்தின் சமன்பாடு நமக்கு வழங்கப்படுகிறது, அதாவது. அதை தொகுக்க வேண்டிய அவசியம் இல்லை.

M 1 என்ற புள்ளியின் வழியே செல்லும் ஒரு நேர் கோட்டின் நியதிச் சமன்பாடுகளையும் கொடுக்கப்பட்ட விமானத்திற்கு செங்குத்தாக எழுதுவோம். இந்த நோக்கங்களுக்காக, ஒரு நேர் கோட்டின் இயக்கும் திசையனின் ஆயங்களை நாங்கள் தீர்மானிக்கிறோம். வரி a கொடுக்கப்பட்ட விமானத்திற்கு செங்குத்தாக இருப்பதால், a கோட்டின் திசை திசையன் 2 x - 3 y + z - 2 = 0 விமானத்தின் சாதாரண திசையன் ஆகும். இவ்வாறு, a → = (2, - 3, 1) – நேர்கோட்டின் திசை திசையன் a.

இப்போது M 1 (- 2, 4, 4) புள்ளியைக் கடந்து ஒரு திசை வெக்டரைக் கொண்ட ஒரு கோட்டின் நியதிச் சமன்பாடுகளை உருவாக்குவோம். a → = (2 , - 3 , 1) :

x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1

தேவையான ஆயங்களை கண்டுபிடிக்க, அடுத்த கட்டமாக x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1 மற்றும் விமானத்தின் குறுக்குவெட்டு புள்ளியின் ஆயங்களை தீர்மானிக்க வேண்டும். 2 x - 3 y + z - 2 = 0 . இந்த நோக்கங்களுக்காக, நாங்கள் இருந்து நகர்கிறோம் நியமன சமன்பாடுகள்இரண்டு வெட்டும் விமானங்களின் சமன்பாடுகளுக்கு:

x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1 ⇔ - 3 · (x + 2) = 2 · (y - 4) 1 · (x + 2) = 2 · (z - 4) 1 · ( y - 4) = - 3 (z + 4) ⇔ 3 x + 2 y - 2 = 0 x - 2 z + 10 = 0

சமன்பாடுகளின் அமைப்பை உருவாக்குவோம்:

3 x + 2 y - 2 = 0 x - 2 z + 10 = 0 2 x - 3 y + z - 2 = 0 ⇔ 3 x + 2 y = 2 x - 2 z = - 10 2 x - 3 y + z = 2

கிராமர் முறையைப் பயன்படுத்தி அதைத் தீர்ப்போம்:

∆ = 3 2 0 1 0 - 2 2 - 3 1 = - 28 ∆ x = 2 2 0 - 10 0 - 2 2 - 3 1 = 0 ⇒ x = ∆ x ∆ = 0 - 28 = 0 ∆ y = 0 1 - 10 - 2 2 2 1 = - 28 ⇒ y = ∆ y ∆ = - 28 - 28 = 1 ∆ z = 3 2 2 1 0 - 10 2 - 3 2 = - 140 ⇒ z = ∆ 140 - 28 = 5

எனவே, கொடுக்கப்பட்ட விமானத்தில் α கொடுக்கப்பட்ட புள்ளி M 1 இன் தேவையான ஆயத்தொகுப்புகள்: (0, 1, 5).

பதில்: (0 , 1 , 5) .

எடுத்துக்காட்டு 2

ஒரு செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் O x y z முப்பரிமாண இடைவெளியில், A (0, 0, 2) புள்ளிகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன; பி (2, - 1, 0); C (4, 1, 1) மற்றும் M 1 (-1, -2, 5). விமானம் A B C மீது M 1 ப்ரொஜெக்ஷனின் ஆயங்களை கண்டுபிடிப்பது அவசியம்

தீர்வு

முதலில், கொடுக்கப்பட்ட மூன்று புள்ளிகள் வழியாக செல்லும் விமானத்தின் சமன்பாட்டை எழுதுகிறோம்:

x - 0 y - 0 z - 0 2 - 0 - 1 - 0 0 - 2 4 - 0 1 - 0 1 - 2 = 0 ⇔ x y z - 2 2 - 1 - 2 4 1 - 1 = 0 ⇔ ⇔ 3 x - 6 y + 6 z - 12 = 0 ⇔ x - 2 y + 2 z - 4 = 0

A கோட்டின் அளவுரு சமன்பாடுகளை எழுதுவோம், இது A B C விமானத்திற்கு செங்குத்தாக M 1 புள்ளியின் வழியாக செல்லும். விமானம் x – 2 y + 2 z – 4 = 0 ஆனது ஆயத்தொலைவுகளுடன் (1, -) ஒரு சாதாரண வெக்டரைக் கொண்டுள்ளது. 2, 2), அதாவது. திசையன் a → = (1, - 2, 2) – நேர்கோட்டின் திசை திசையன் a.

இப்போது, ​​கோட்டின் M 1 இன் புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகள் மற்றும் இந்த வரியின் திசை திசையன் ஆயத்தொலைவுகளைக் கொண்டு, கோட்டின் அளவுரு சமன்பாடுகளை விண்வெளியில் எழுதுகிறோம்:

x - 2 y + 2 z - 4 = 0 மற்றும் நேர் கோட்டின் குறுக்குவெட்டு புள்ளியின் ஆயங்களை நாங்கள் தீர்மானிக்கிறோம்

x = - 1 + λ y = - 2 - 2 λ z = 5 + 2 λ

இதைச் செய்ய, நாங்கள் விமானத்தின் சமன்பாட்டில் மாற்றுகிறோம்:

x = - 1 + λ, y = - 2 - 2 λ, z = 5 + 2 λ

இப்போது, ​​x = - 1 + λ y = - 2 - 2 · λ z = 5 + 2 · λ என்ற அளவுரு சமன்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி, λ = - 1: x = x, y மற்றும் z மாறிகளின் மதிப்புகளைக் காண்கிறோம். - 1 + (- 1) y = - 2 - 2 · (- 1) z = 5 + 2 · (- 1) ⇔ x = - 2 y = 0 z = 3

எனவே, புள்ளி M 1 இன் திட்டமானது A B C விமானத்தின் மீது ஆயத்தொலைவுகளைக் கொண்டிருக்கும் (- 2, 0, 3).

பதில்: (- 2 , 0 , 3) .

ஒருங்கிணைப்பு விமானங்கள் மற்றும் ஒருங்கிணைப்பு விமானங்களுக்கு இணையான விமானங்கள் மீது ஒரு புள்ளியின் திட்ட ஆயங்களை கண்டுபிடிப்பதில் தனித்தனியாக வாழ்வோம்.

புள்ளிகள் M 1 (x 1, y 1, z 1) மற்றும் ஒருங்கிணைப்பு விமானங்கள் O x y, O x z மற்றும் O y z கொடுக்கப்பட வேண்டும். இந்த விமானங்களின் மீது இந்த புள்ளியின் திட்ட ஆயத்தொகுப்புகள் முறையே: (x 1, y 1, 0), (x 1, 0, z 1) மற்றும் (0, y 1, z 1). கொடுக்கப்பட்ட ஒருங்கிணைப்பு விமானங்களுக்கு இணையான விமானங்களையும் கருத்தில் கொள்வோம்:

C z + D = 0 ⇔ z = - D C , B y + D = 0 ⇔ y = - D B

இந்த விமானங்களில் கொடுக்கப்பட்ட புள்ளி M 1 இன் கணிப்புகள் x 1, y 1, - DC, x 1, - D B, z 1 மற்றும் - D A, y 1, z 1 ஆகிய ஆயங்களைக் கொண்ட புள்ளிகளாக இருக்கும்.

இந்த முடிவு எவ்வாறு கிடைத்தது என்பதை விளக்குவோம்.

எடுத்துக்காட்டாக, புள்ளி M 1 (x 1, y 1, z 1) விமானம் A x + D = 0 இன் ப்ராஜெக்ஷனை வரையறுப்போம். மீதமுள்ள வழக்குகள் ஒத்தவை.

கொடுக்கப்பட்ட விமானம் O y z ஒருங்கிணைப்பு விமானத்திற்கு இணையாக உள்ளது மற்றும் i → = (1, 0, 0) அதன் இயல்பான திசையன் ஆகும். அதே திசையன் O y z விமானத்திற்கு செங்குத்தாக கோட்டின் திசை திசையனாக செயல்படுகிறது. பின்னர் M 1 புள்ளியின் வழியாக வரையப்பட்ட ஒரு நேர் கோட்டின் அளவுரு சமன்பாடுகள் மற்றும் கொடுக்கப்பட்ட விமானத்திற்கு செங்குத்தாக இருக்கும்:

x = x 1 + λ y = y 1 z = z 1

இந்த கோட்டின் குறுக்குவெட்டு புள்ளி மற்றும் கொடுக்கப்பட்ட விமானத்தின் ஆயங்களை கண்டுபிடிப்போம். முதலில் சமன்பாடுகளை A x + D = 0: x = x 1 + λ , y = y 1 , z = z 1 எனப் பெறுவோம்: A · (x 1 + λ) + D = 0 ⇒ λ = - டி ஏ - x 1

λ = - D A - x 1 உடன் நேர்கோட்டின் அளவுரு சமன்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி தேவையான ஆயங்களை கணக்கிடுகிறோம்:

x = x 1 + - D A - x 1 y = y 1 z = z 1 ⇔ x = - D A y = y 1 z = z 1

அதாவது, விமானத்தின் மீது புள்ளி M 1 (x 1, y 1, z 1) இன் ப்ராஜெக்ஷன் ஆயத்தொலைவுகளுடன் ஒரு புள்ளியாக இருக்கும் - D A, y 1, z 1.

எடுத்துக்காட்டு 2

புள்ளி M 1 (- 6, 0, 1 2) இன் ப்ரொஜெக்ஷனின் ஆயங்களைத் தீர்மானிக்க வேண்டியது அவசியம் ஒருங்கிணைப்பு விமானம் O x y மற்றும் விமானத்திற்கு 2 y - 3 = 0.

தீர்வு

ஒருங்கிணைப்பு விமானம் O x y முழுமையடையாமல் ஒத்திருக்கும் பொது சமன்பாடுவிமானம் z = 0. z = 0 என்ற விமானத்தின் மீது புள்ளி M 1 இன் ப்ரொஜெக்ஷன் ஆயத்தொலைவுகளைக் கொண்டிருக்கும் (- 6, 0, 0).

விமானச் சமன்பாடு 2 y - 3 = 0 ஐ y = 3 2 2 என எழுதலாம். இப்போது புள்ளி M 1 (- 6, 0, 1 2) இன் ப்ரொஜெக்ஷனின் ஆயங்களை y = 3 2 2 விமானத்தில் எழுதவும்:

6 , 3 2 2 , 1 2

பதில்:(- 6 , 0 , 0) மற்றும் - 6 , 3 2 2 , 1 2

உரையில் பிழையை நீங்கள் கண்டால், அதை முன்னிலைப்படுத்தி Ctrl+Enter ஐ அழுத்தவும்