ஆயத்தொகுப்புகளால் ஒரு பிரிவின் நீளத்தைக் கண்டறிதல். ஒரு பிரிவின் நடுப்புள்ளியின் ஆயங்களை கண்டறிதல்: எடுத்துக்காட்டுகள், தீர்வுகள்

ஒரு பிரிவின் நீளத்தை தீர்மானிக்க முடியும் வேவ்வேறான வழியில். ஒரு பிரிவின் நீளத்தை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்பதைக் கண்டறிய, ஒரு ஆட்சியாளர் அல்லது கணக்கீட்டிற்கான சிறப்பு சூத்திரங்களை அறிந்தால் போதும்.

ரூலரைப் பயன்படுத்தும் ஒரு பிரிவின் நீளம்

இதைச் செய்ய, விமானத்தில் கட்டப்பட்ட பிரிவுக்கு மில்லிமீட்டர் பிரிவுகளுடன் ஒரு ஆட்சியாளரைப் பயன்படுத்துகிறோம், மேலும் தொடக்க புள்ளியானது ஆட்சியாளர் அளவின் பூஜ்ஜியத்துடன் சீரமைக்கப்பட வேண்டும். இந்த அளவில் இறுதிப் புள்ளியின் இருப்பிடத்தைக் குறிக்க வேண்டும் இந்த பிரிவு. முழு அளவிலான பிரிவுகளின் விளைவாக செ.மீ மற்றும் மிமீ வெளிப்படுத்தப்படும் பிரிவின் நீளம் இருக்கும்.

விமான ஒருங்கிணைப்பு முறை

பிரிவின் ஆயத்தொகுப்புகள் (x1;y1) மற்றும் (x2;y2) தெரிந்தால், அதன் நீளம் பின்வருமாறு கணக்கிடப்பட வேண்டும். முதல் புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகள் இரண்டாவது புள்ளியின் விமானத்தில் உள்ள ஆயத்தொலைவுகளிலிருந்து கழிக்கப்பட வேண்டும். முடிவு இரண்டு எண்களாக இருக்க வேண்டும். இந்த எண்கள் ஒவ்வொன்றும் வர்க்கப்படுத்தப்பட வேண்டும், பின்னர் இந்த சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகை கண்டுபிடிக்கப்பட வேண்டும். இதன் விளைவாக வரும் எண்ணிலிருந்து நீங்கள் பிரித்தெடுக்க வேண்டும் சதுர வேர், இது புள்ளிகளுக்கு இடையிலான தூரமாக இருக்கும். இந்த புள்ளிகள் பிரிவின் முனைகளாக இருப்பதால், இந்த மதிப்பு அதன் நீளமாக இருக்கும்.

ஒருங்கிணைப்புகளைப் பயன்படுத்தி ஒரு பிரிவின் நீளத்தை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்பதற்கான உதாரணத்தைப் பார்ப்போம். இரண்டு புள்ளிகள் (-1;2) மற்றும் (4;7) ஆயங்கள் உள்ளன. புள்ளிகளின் ஒருங்கிணைப்புகளுக்கு இடையிலான வேறுபாட்டைக் கண்டறியும் போது, ​​பின்வரும் மதிப்புகளைப் பெறுகிறோம்: x = 5, y = 5. இதன் விளைவாக வரும் எண்கள் பிரிவின் ஆயத்தொலைவுகளாக இருக்கும். பின்னர் ஒவ்வொரு எண்ணையும் சதுரப்படுத்தி, முடிவுகளின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டுபிடிக்கிறோம், அது 50 க்கு சமம். இந்த எண்ணின் வர்க்க மூலத்தை நாம் எடுத்துக்கொள்கிறோம். முடிவு: 2 இன் 5 வேர்கள். இது பிரிவின் நீளம்.

விண்வெளியில் ஒருங்கிணைக்கும் முறை

இதைச் செய்ய, திசையன் நீளத்தை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்பதை நாம் கருத்தில் கொள்ள வேண்டும். இது யூக்ளிடியன் விண்வெளியில் ஒரு பிரிவாக இருக்கும். இது ஒரு விமானத்தில் ஒரு பிரிவின் நீளத்தைப் போலவே கிட்டத்தட்ட அதே வழியில் காணப்படுகிறது. திசையன் வெவ்வேறு விமானங்களில் கட்டப்பட்டுள்ளது. திசையன் நீளத்தை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது?

1. வெக்டரின் ஆயத்தொலைவுகளைக் கண்டறியவும், அதன் தொடக்கப் புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகளை அதன் இறுதிப் புள்ளியிலிருந்து கழிக்க வேண்டும்.
2. இதற்குப் பிறகு, நீங்கள் ஒவ்வொரு திசையன் ஒருங்கிணைப்பையும் சதுரப்படுத்த வேண்டும்.
3. பின்னர் ஆயங்களின் சதுரங்களைச் சேர்க்கிறோம்.
4. திசையனின் நீளத்தைக் கண்டறிய, ஆயங்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகையின் வர்க்க மூலத்தை நீங்கள் எடுக்க வேண்டும்.

ஒரு உதாரணத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கீட்டு வழிமுறையைப் பார்ப்போம். திசையன் AB இன் ஆயத்தொலைவுகளைக் கண்டறிவது அவசியம். A மற்றும் B புள்ளிகள் பின்வரும் ஆயத்தொலைவுகளைக் கொண்டுள்ளன: A (1;6;3) மற்றும் B (3;-1;7). திசையனின் ஆரம்பம் புள்ளி A இல் உள்ளது, முடிவு B புள்ளியில் அமைந்துள்ளது. எனவே, அதன் ஆயங்களை கண்டுபிடிக்க, புள்ளி B இன் ஆயத்தொலைவுகளிலிருந்து புள்ளி A இன் ஆயத்தொலைவுகளை கழிக்க வேண்டும்: (3 - 1; -1 - 6;7 - 3) = (2;- 7:4).

இப்போது நாம் ஒவ்வொரு ஒருங்கிணைப்பையும் சதுரப்படுத்தி அவற்றைச் சேர்க்கிறோம்: 4+49+16=69. இறுதியாக, வர்க்க மூலத்தை எடுக்கிறது கொடுக்கப்பட்ட எண். பிரித்தெடுப்பது கடினம், எனவே முடிவை இவ்வாறு எழுதுகிறோம்: திசையன் நீளம் 69 இன் மூலத்திற்கு சமம்.

பிரிவுகள் மற்றும் திசையன்களின் நீளத்தை நீங்களே கணக்கிடுவது உங்களுக்கு முக்கியமல்ல, ஆனால் முடிவு தேவைப்பட்டால், நீங்கள் ஆன்லைன் கால்குலேட்டரைப் பயன்படுத்தலாம், எடுத்துக்காட்டாக, இது.

இப்போது, ​​​​இந்த முறைகளைப் படித்து, வழங்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகளைக் கருத்தில் கொண்டு, எந்தவொரு சிக்கலிலும் ஒரு பிரிவின் நீளத்தை நீங்கள் எளிதாகக் கண்டறியலாம்.

வடிவியல், கோட்பாட்டு இயக்கவியல் மற்றும் இயற்பியலின் பிற கிளைகளில் மூன்று முக்கிய ஒருங்கிணைப்பு அமைப்புகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன: கார்ட்டீசியன், துருவ மற்றும் கோள. இந்த ஒருங்கிணைப்பு அமைப்புகளில், முழு புள்ளியும் மூன்று ஆயங்களைக் கொண்டுள்ளது. 2 புள்ளிகளின் ஆயங்களை அறிந்து, இந்த இரண்டு புள்ளிகளுக்கு இடையிலான தூரத்தை நீங்கள் தீர்மானிக்கலாம்.

உனக்கு தேவைப்படும்

• ஒரு பிரிவின் முனைகளின் கார்ட்டீசியன், துருவ மற்றும் கோள ஆயத்தொகுப்புகள்

வழிமுறைகள்

1. முதலில், ஒரு செவ்வக கார்ட்டீசியன் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பைக் கவனியுங்கள். இந்த ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் விண்வெளியில் ஒரு புள்ளியின் இடம் தீர்மானிக்கப்படுகிறது ஒருங்கிணைப்புகள் x,y மற்றும் z. ஒரு ஆரம் திசையன் தோற்றத்திலிருந்து புள்ளி வரை வரையப்படுகிறது. இந்த ஆரம் வெக்டரின் கணிப்புகள் ஒருங்கிணைப்பு அச்சுகளில் இருக்கும் ஒருங்கிணைப்புகள்இந்த புள்ளியில் நீங்கள் இப்போது இரண்டு புள்ளிகளை வைத்திருக்கலாம் ஒருங்கிணைப்புகள்முறையே x1,y1,z1 மற்றும் x2,y2 மற்றும் z2. முதல் மற்றும் 2வது புள்ளிகளின் ஆரம் திசையன்களை முறையே r1 மற்றும் r2 ஆல் குறிக்கவும். வெளிப்படையாக, இந்த இரண்டு புள்ளிகளுக்கும் இடையே உள்ள தூரம் திசையன் r = r1-r2 மாடுலஸுக்கு சமமாக இருக்கும், அங்கு (r1-r2) திசையன் வித்தியாசம் r இன் ஆயத்தொலைவுகள் பின்வருமாறு இருக்கும்: x1-x2, y1-y2, z1-z2. பின்னர் திசையன் r இன் அளவு அல்லது இரண்டு புள்ளிகளுக்கு இடையிலான தூரம் சமமாக இருக்கும்: r = sqrt(((x1-x2)^2)+((y1-y2)^2)+((z1-z2)^2 )).

2. இப்போது ஒரு துருவ ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பைக் கவனியுங்கள், இதில் ஒரு புள்ளியின் ஒருங்கிணைப்பு ரேடியல் ஒருங்கிணைப்பு r (XY விமானத்தில் ஆரம் திசையன்), கோண ஒருங்கிணைப்பு மூலம் வழங்கப்படும்? (திசையன் r மற்றும் X அச்சுக்கு இடையே உள்ள கோணம்) மற்றும் z ஆயத்தொகுப்பு, கார்ட்டீசியன் அமைப்பில் உள்ள z ஆயத்தொகுப்பைப் போன்றது, ஒரு புள்ளியின் துருவ ஆயங்களை பின்வரும் வழியில் கார்ட்டீசியன் ஆயங்களாக மாற்றலாம்: x = r*cos? , y = r*sin?, z = z. பின்னர் இரண்டு புள்ளிகளுக்கு இடையே உள்ள தூரம் ஒருங்கிணைப்புகள் r1, ?1 ,z1 மற்றும் r2, ?2, z2 ஆனது R = sqrt(((r1*cos?1-r2*cos?2)^2)+((r1*sin?1-r2*sin)க்கு சமமாக இருக்கும் ?2 )^2)+((z1-z2)^2)) = sqrt((r1^2)+(r2^2)-2r1*r2(cos?1*cos?2+sin?1*sin? 2) +((z1-z2)^2))

3. இப்போது கோள ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பைப் பாருங்கள். அதில், புள்ளியின் இடம் மூன்றால் குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது ஒருங்கிணைப்புகள் r,? மற்றும்?. r - தோற்றத்திலிருந்து புள்ளி வரையிலான தூரம், ? மற்றும்? – முறையே அசிமுதல் மற்றும் உச்ச கோணம். மூலை? அதே பதவியில் உள்ள கோணத்தைப் போன்றது துருவ அமைப்புஒருங்கிணைப்புகள், இல்லையா? - ஆரம் திசையன் r மற்றும் Z அச்சுக்கு இடையே உள்ள கோணம், 0<= ? <= pi.Переведем сферические координаты в декартовы: x = r*sin?*cos?, y = r*sin?*sin?*sin?, z = r*cos?. Расстояние между точками с ஒருங்கிணைப்புகள் r1, ?1, ?1 மற்றும் r2, ?2 மற்றும் ?2 ஆகியவை R = sqrt(((r1*sin?1*cos?1-r2*sin?2*cos?2)^2)+( (r1 *sin?1*sin?1-r2*sin?2*sin?2)^2)+((r1*cos?1-r2*cos?2)^2)) = (((r1*sin?) ?1 )^2)+((r2*sin?2)^2)-2r1*r2*sin?1*sin?2*(cos?1*cos?2+sin?1*sin?2)+( (r1 *cos?1-r2*cos?2)^2))

தலைப்பில் வீடியோ

நன்கு கூர்மையான பென்சிலுடன் ஒரு நோட்புக் தாளைத் தொட்டால், புள்ளியின் யோசனையைத் தரும் ஒரு சுவடு இருக்கும். (படம் 3).

ஒரு காகிதத்தில் இரண்டு புள்ளிகள் A மற்றும் B ஐக் குறிப்போம், இந்த புள்ளிகள் பல்வேறு கோடுகளால் இணைக்கப்படலாம் (படம் 4). A மற்றும் B புள்ளிகளை குறுகிய வரியுடன் இணைப்பது எப்படி? இது ஒரு ஆட்சியாளரைப் பயன்படுத்தி செய்யப்படலாம் (படம் 5). இதன் விளைவாக வரும் வரி அழைக்கப்படுகிறது பிரிவு.

புள்ளி மற்றும் வரி - எடுத்துக்காட்டுகள் வடிவியல் வடிவங்கள்.

A மற்றும் B புள்ளிகள் அழைக்கப்படுகின்றன பிரிவின் முனைகள்.

ஒரு பிரிவு உள்ளது, அதன் முனைகள் A மற்றும் B புள்ளிகளாகும். எனவே, ஒரு பிரிவு அதன் முனைகளாக இருக்கும் புள்ளிகளை எழுதுவதன் மூலம் குறிக்கப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, படம் 5 இல் உள்ள பிரிவு இரண்டு வழிகளில் ஒன்றில் குறிக்கப்படுகிறது: AB அல்லது BA. படிக்கவும்: "பிரிவு ஏபி" அல்லது "பிஏ பிரிவு".

படம் 6 மூன்று பிரிவுகளைக் காட்டுகிறது. AB பிரிவின் நீளம் MN பிரிவில் சரியாக மூன்று முறையும், EF பிரிவில் சரியாக 4 முறையும் பொருந்துகிறது. என்று சொல்லலாம் பிரிவு நீளம் MN 3 செ.மீ.க்கு சமம், மற்றும் EF பிரிவின் நீளம் 4 செ.மீ.

"பிரிவு MN 3 செ.மீ.," "பிரிவு EF 4 செ.மீ." என்று சொல்வதும் வழக்கம். அவர்கள் எழுதுகிறார்கள்: MN = 3 செ.மீ., EF = 4 செ.மீ.

MN மற்றும் EF பிரிவுகளின் நீளத்தை அளந்தோம் ஒற்றை பிரிவு, இதன் நீளம் 1 செ.மீ ஆகும் நீள அலகுகள், எடுத்துக்காட்டாக: 1 மிமீ, 1 டிஎம், 1 கிமீ. படம் 7 இல், பிரிவின் நீளம் 17 மிமீ ஆகும். இது ஒரு ஒற்றைப் பிரிவால் அளவிடப்படுகிறது, இதன் நீளம் 1 மிமீ, பட்டம் பெற்ற ஆட்சியாளரைப் பயன்படுத்தி. மேலும், ஒரு ஆட்சியாளரைப் பயன்படுத்தி, கொடுக்கப்பட்ட நீளத்தின் ஒரு பகுதியை நீங்கள் உருவாக்கலாம் (வரையலாம்) (படம் 7 ஐப் பார்க்கவும்).

அனைத்தும், ஒரு பிரிவை அளவிடுவது என்பது அதில் எத்தனை அலகு பிரிவுகள் பொருந்துகின்றன என்பதைக் கணக்கிடுவது.

ஒரு பிரிவின் நீளம் பின்வரும் பண்புகளைக் கொண்டுள்ளது.

AB பிரிவில் புள்ளி C ஐக் குறித்தால், AB பிரிவின் நீளம் AC மற்றும் CB ஆகிய பிரிவுகளின் நீளங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமமாக இருக்கும்.(படம் 8).

எழுது: AB = AC + CB.

படம் 9 AB மற்றும் CD ஆகிய இரண்டு பிரிவுகளைக் காட்டுகிறது. இந்த பிரிவுகள் மிகைப்படுத்தப்படும் போது ஒத்துப்போகும்.

இரண்டு பிரிவுகள் மிகைப்படுத்தப்பட்டால் அவை சமமாக இருக்கும்.

எனவே AB மற்றும் CD பிரிவுகள் சமமாக இருக்கும். அவர்கள் எழுதுகிறார்கள்: AB = CD.

சம பிரிவுகள் சம நீளம் கொண்டவை.

இரண்டு சமமற்ற பிரிவுகளில், நீளம் கொண்ட ஒன்றைப் பெரியதாகக் கருதுவோம். எடுத்துக்காட்டாக, படம் 6 இல், பிரிவு EF பிரிவு MN ஐ விட பெரியது.

AB பிரிவின் நீளம் அழைக்கப்படுகிறது தூரம் A மற்றும் B புள்ளிகளுக்கு இடையில்

படம் 10 இல் காட்டப்பட்டுள்ளபடி பல பிரிவுகள் அமைக்கப்பட்டால், நீங்கள் ஒரு வடிவியல் உருவத்தைப் பெறுவீர்கள் உடைந்த கோடு. படம் 11 இல் உள்ள அனைத்து பிரிவுகளும் உடைந்த கோட்டை உருவாக்கவில்லை என்பதை நினைவில் கொள்க. முதல் பிரிவின் முடிவு இரண்டாவது பிரிவின் முடிவுடன் இணைந்தால், பிரிவுகள் உடைந்த கோடுகளாகக் கருதப்படுகின்றன, மேலும் இரண்டாவது பிரிவின் மற்ற முனை மூன்றாவது முடிவின் முடிவாகும்.

புள்ளிகள் A, B, C, D, E - உடைந்த கோட்டின் முனைகள் ABCDE, புள்ளிகள் A மற்றும் E - பாலிலைன் முனைகள், மற்றும் AB, BC, CD, DE ஆகிய பிரிவுகள் அதன் இணைப்புகள்(படம் 10 ஐப் பார்க்கவும்).

வரி நீளம்அதன் அனைத்து இணைப்புகளின் நீளங்களின் கூட்டுத்தொகையை அழைக்கவும்.

படம் 12 இரண்டு உடைந்த கோடுகளைக் காட்டுகிறது, அதன் முனைகள் ஒத்துப்போகின்றன. இத்தகைய உடைந்த கோடுகள் அழைக்கப்படுகின்றன மூடப்பட்டது.

உதாரணமாக 1 . BC பிரிவு AB பிரிவை விட 3 செமீ சிறியது, அதன் நீளம் 8 செமீ (படம் 13). ஏசி பிரிவின் நீளத்தைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு. எங்களிடம் உள்ளது: BC = 8 - 3 = 5 (cm).

ஒரு பிரிவின் நீளத்தின் பண்புகளைப் பயன்படுத்தி, AC = AB + BC என எழுதலாம். எனவே AC = 8 + 5 = 13 (cm).

பதில்: 13 செ.மீ.

உதாரணமாக 2 . MK = 24 cm, NP = 32 cm, MP = 50 cm (படம் 14) என்று அறியப்படுகிறது. NK பிரிவின் நீளத்தைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு. எங்களிடம் உள்ளது: MN = MP - NP.

எனவே MN = 50 - 32 = 18 (cm).

எங்களிடம் உள்ளது: NK = MK - MN.

எனவே NK = 24 - 18 = 6 (cm).

பதில்: 6 செ.மீ.

ஒரு பிரிவின் தீவிர புள்ளிகளின் ஆயத்தொலைவுகள் ஆரம்ப தரவுகளாக இருந்தால், அதன் நடுப்பகுதியின் ஆயத்தொலைவுகளைக் கண்டறிவதில் உள்ள சிக்கல்களைக் கீழே உள்ள கட்டுரை உள்ளடக்கும். ஆனால் சிக்கலைப் படிக்கத் தொடங்குவதற்கு முன், பல வரையறைகளை அறிமுகப்படுத்துவோம்.

Yandex.RTB R-A-339285-1 வரையறை 1

கோட்டு பகுதி- ஒரு பிரிவின் முனைகள் எனப்படும் இரண்டு தன்னிச்சையான புள்ளிகளை இணைக்கும் ஒரு நேர் கோடு. உதாரணமாக, இவை புள்ளிகள் A மற்றும் B ஆகவும், அதன்படி, பிரிவு A B ஆகவும் இருக்கட்டும்.

A B பிரிவு A மற்றும் B புள்ளிகளிலிருந்து இரு திசைகளிலும் தொடர்ந்தால், A B என்ற நேர்கோட்டைப் பெறுவோம். பின்னர் பிரிவு A B ஆனது நேர்கோட்டின் ஒரு பகுதியாகும், இது A மற்றும் B புள்ளிகளால் கட்டுப்படுத்தப்படுகிறது. பிரிவு A B புள்ளிகள் A மற்றும் B ஐ ஒருங்கிணைக்கிறது, அவை அதன் முனைகளாகும், அத்துடன் இடையே உள்ள புள்ளிகளின் தொகுப்பையும் இணைக்கிறது. எடுத்துக்காட்டாக, A மற்றும் B புள்ளிகளுக்கு இடையில் இருக்கும் தன்னிச்சையான புள்ளி K ஐ எடுத்துக் கொண்டால், K புள்ளி A B பிரிவில் உள்ளது என்று கூறலாம்.

வரையறை 2

பகுதி நீளம்- கொடுக்கப்பட்ட அளவில் ஒரு பிரிவின் முனைகளுக்கு இடையே உள்ள தூரம் (அலகு நீளத்தின் ஒரு பகுதி). A B பிரிவின் நீளத்தை பின்வருமாறு குறிப்போம்: A B .

வரையறை 3

பிரிவின் நடுப்பகுதி- ஒரு புள்ளி ஒரு பிரிவில் கிடக்கிறது மற்றும் அதன் முனைகளிலிருந்து சமமான தொலைவில் உள்ளது. A B பிரிவின் நடுப்பகுதி C புள்ளியால் குறிக்கப்பட்டால், சமத்துவம் உண்மையாக இருக்கும்: A C = C B

ஆரம்பத் தரவு: ஆயக் கோடு O x மற்றும் அதில் பொருந்தாத புள்ளிகள்: A மற்றும் B. இந்த புள்ளிகள் உண்மையான எண்களுக்கு ஒத்திருக்கும் x A மற்றும் x பி. புள்ளி C என்பது A B பிரிவின் நடுவில் உள்ளது: ஒருங்கிணைப்பை தீர்மானிக்க வேண்டியது அவசியம் x சி.

புள்ளி C என்பது A B பிரிவின் நடுப்புள்ளி என்பதால், சமத்துவம் உண்மையாக இருக்கும்: | ஏ சி | = | சி பி | . புள்ளிகளுக்கு இடையிலான தூரம் அவற்றின் ஆயங்களில் உள்ள வேறுபாட்டின் மாடுலஸால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது, அதாவது.

| ஏ சி | = | சி பி | ⇔ x C - x A = x B - x C

பின்னர் இரண்டு சமத்துவங்கள் சாத்தியமாகும்: x C - x A = x B - x C மற்றும் x C - x A = - (x B - x C)

முதல் சமத்துவத்திலிருந்து நாம் புள்ளி C இன் ஆயங்களுக்கான சூத்திரத்தைப் பெறுகிறோம்: x C = x A + x B 2 (பிரிவின் முனைகளின் ஆயத்தொகையின் பாதித் தொகை).

இரண்டாவது சமத்துவத்திலிருந்து நாம் பெறுகிறோம்: x A = x B, இது சாத்தியமற்றது, ஏனெனில் மூல தரவுகளில் - பொருந்தாத புள்ளிகள். இதனால், A (x A) மற்றும் முனைகளுடன் A B பிரிவின் நடுவில் உள்ள ஆயங்களை நிர்ணயிப்பதற்கான சூத்திரம்பி(xB):

இதன் விளைவாக வரும் சூத்திரம் ஒரு விமானத்தில் அல்லது விண்வெளியில் ஒரு பிரிவின் நடுப்பகுதியின் ஆயங்களை தீர்மானிக்க அடிப்படையாக இருக்கும்.

ஆரம்ப தரவு: O x y விமானத்தில் செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு, A x A, y A மற்றும் B x B, y B கொடுக்கப்பட்ட ஆயத்தொலைவுகளுடன் இரண்டு தன்னிச்சையான தற்செயல் அல்லாத புள்ளிகள். புள்ளி C என்பது A B பிரிவின் நடுப்பகுதி. புள்ளி Cக்கான x C மற்றும் y C ஆயங்களைத் தீர்மானிக்க வேண்டியது அவசியம்.

A மற்றும் B புள்ளிகள் இணையாதபோதும், ஒரே ஆயக் கோட்டில் அல்லது அச்சுகளில் ஒன்றிற்கு செங்குத்தாக ஒரு கோட்டில் அமையாதபோதும் இந்த வழக்கை பகுப்பாய்வு செய்வோம். A x, A y; B x, B y மற்றும் C x, C y - ஆய அச்சுகளில் A, B மற்றும் C புள்ளிகளின் கணிப்புகள் (நேராக கோடுகள் O x மற்றும் O y).

கட்டுமானத்தின் படி, A A x, B B x, C C x கோடுகள் இணையானவை; கோடுகள் ஒன்றுக்கொன்று இணையாக இருக்கும். இதனுடன் சேர்ந்து, தேல்ஸின் தேற்றத்தின்படி, A C = C B என்ற சமத்துவத்திலிருந்து சமத்துவங்கள் பின்வருமாறு: A x C x = C x B x மற்றும் A y C y = C y B y, மேலும் அவை C x என்பது புள்ளியைக் குறிக்கின்றன. A x B x பிரிவின் நடுப்பகுதி, மற்றும் C y என்பது A y B y பிரிவின் நடுப்பகுதி. பின்னர், முன்னர் பெறப்பட்ட சூத்திரத்தின் அடிப்படையில், நாம் பெறுகிறோம்:

x C = x A + x B 2 மற்றும் y C = y A + y B 2

A மற்றும் B புள்ளிகள் ஒரே ஆயக் கோட்டில் அல்லது அச்சுகளில் ஒன்றிற்கு செங்குத்தாக இருக்கும் போது அதே சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தலாம். இந்த வழக்கின் விரிவான பகுப்பாய்வை நாங்கள் நடத்த மாட்டோம், அதை வரைபடமாக மட்டுமே கருதுவோம்:

மேலே உள்ள அனைத்தையும் சுருக்கமாக, முனைகளின் ஆயத்தொலைவுகளுடன் விமானத்தில் A B பிரிவின் நடுவில் உள்ள ஒருங்கிணைப்புகள் A (x A, y A) மற்றும்பி(xB, yB) என வரையறுக்கப்படுகின்றன:

(x A + x B 2, y A + y B 2)

ஆரம்ப தரவு: ஆய அமைப்பு O x y z மற்றும் கொடுக்கப்பட்ட ஆயத்தொகுதிகள் A (x A, y A, z A) மற்றும் B (x B, y B, z B) கொண்ட இரண்டு தன்னிச்சையான புள்ளிகள். புள்ளி C இன் ஆயங்களைத் தீர்மானிக்க வேண்டியது அவசியம், இது A B பிரிவின் நடுவில் உள்ளது.

A x, A y, A z; B x , B y , B z மற்றும் C x , C y , C z - ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பின் அச்சுகளில் கொடுக்கப்பட்ட அனைத்து புள்ளிகளின் கணிப்புகள்.

தேல்ஸின் தேற்றத்தின்படி, பின்வரும் சமத்துவங்கள் உண்மை: A x C x = C x B x , A y C y = C y B y , A z C z = C z B z

எனவே, புள்ளிகள் C x , C y , C z ஆகியவை முறையே A x B x , A y B y , A z B z ஆகிய பிரிவுகளின் நடுப்புள்ளிகளாகும். பிறகு, விண்வெளியில் ஒரு பிரிவின் நடுப்பகுதியின் ஆயங்களைத் தீர்மானிக்க, பின்வரும் சூத்திரங்கள் சரியானவை:

x C = x A + x B 2, y c = y A + y B 2, z c = z A + Z B 2

இதன் விளைவாக வரும் சூத்திரங்கள் A மற்றும் B புள்ளிகள் ஆயக் கோடுகளில் ஒன்றில் இருக்கும் நிகழ்வுகளிலும் பொருந்தும்; அச்சுகளில் ஒன்றிற்கு செங்குத்தாக ஒரு நேர் கோட்டில்; ஒரு ஆய விமானம் அல்லது ஆய விமானங்களில் ஒன்றிற்கு செங்குத்தாக ஒரு விமானம்.

ஒரு பிரிவின் நடுப்பகுதியின் ஆயங்களை அதன் முனைகளின் ஆரம் திசையன்களின் ஆயத்தொலைவுகள் மூலம் தீர்மானித்தல்

திசையன்களின் இயற்கணித விளக்கத்தின்படி ஒரு பிரிவின் நடுப்பகுதியின் ஆயத்தொலைவுகளைக் கண்டறிவதற்கான சூத்திரத்தையும் பெறலாம்.

உள்ளீடு தரவு: செவ்வக கார்ட்டீசியன் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு O x y, கொடுக்கப்பட்ட ஆயத்தொகுதிகள் A (x A, y A) மற்றும் B (x B, x B) கொண்ட புள்ளிகள். புள்ளி C என்பது A B பிரிவின் நடுப்பகுதி.

திசையன்கள் மீதான செயல்களின் வடிவியல் வரையறையின்படி, பின்வரும் சமத்துவம் உண்மையாக இருக்கும்: O C → = 1 2 · O A → + O B → . இந்த வழக்கில் புள்ளி C என்பது O A → மற்றும் O B → திசையன்களின் அடிப்படையில் கட்டப்பட்ட ஒரு இணையான வரைபடத்தின் மூலைவிட்டங்களின் குறுக்குவெட்டு புள்ளியாகும், அதாவது. மூலைவிட்டங்களின் நடுப்பகுதியின் ஆயப் புள்ளிகள் புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகளுக்குச் சமம், பின்னர் சமத்துவங்கள் உண்மை: O A → = (x A, y A), O B → = (x B. , y B). ஆயத்தொலைவுகளில் திசையன்களில் சில செயல்பாடுகளைச் செய்து பெறுவோம்:

O C → = 1 2 · O A → + O B → = x A + x B 2 , y A + y B 2

எனவே, புள்ளி C ஆயத்தொலைவுகளைக் கொண்டுள்ளது:

x A + x B 2, y A + y B 2

ஒப்புமை மூலம், விண்வெளியில் ஒரு பிரிவின் நடுவில் உள்ள ஆயங்களை கண்டுபிடிப்பதற்கு ஒரு சூத்திரம் தீர்மானிக்கப்படுகிறது:

C (x A + x B 2, y A + y B 2, z A + z B 2)

ஒரு பிரிவின் நடுப்புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகளைக் கண்டறிவதில் சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள்

மேலே பெறப்பட்ட சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துவதில் உள்ள சிக்கல்களில், பிரிவின் நடுப்பகுதியின் ஆயங்களை கணக்கிடுவது நேரடி கேள்வி மற்றும் இந்த கேள்விக்கு கொடுக்கப்பட்ட நிபந்தனைகளை கொண்டு வருவதை உள்ளடக்கியது: "சராசரி" என்ற சொல் பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படுகிறது, ஒரு பிரிவின் முனைகளிலிருந்து ஒன்றின் ஆயத்தொலைவுகளைக் கண்டறிவதே குறிக்கோள், மேலும் சமச்சீர் சிக்கல்களும் பொதுவானவை, பொதுவாக இந்தத் தலைப்பைப் படித்த பிறகு அதன் தீர்வு சிரமங்களை ஏற்படுத்தக்கூடாது. வழக்கமான உதாரணங்களைப் பார்ப்போம்.

எடுத்துக்காட்டு 1

ஆரம்ப தரவு:விமானத்தில் - கொடுக்கப்பட்ட ஆயத்தொகுதிகள் A (- 7, 3) மற்றும் B (2, 4) கொண்ட புள்ளிகள். A B பிரிவின் நடுப்புள்ளியின் ஆயங்களை கண்டறிவது அவசியம்.

தீர்வு

A B பிரிவின் நடுப்பகுதியை C புள்ளியால் குறிப்போம். அதன் ஆயத்தொலைவுகள் பிரிவின் முனைகளின் ஆயத்தொகையின் பாதியாக தீர்மானிக்கப்படும், அதாவது. புள்ளிகள் ஏ மற்றும் பி.

x C = x A + x B 2 = - 7 + 2 2 = - 5 2 y C = y A + y B 2 = 3 + 4 2 = 7 2

பதில்: A B - 5 2, 7 2 பிரிவின் நடுப்பகுதியின் ஆயத்தொலைவுகள்.

எடுத்துக்காட்டு 2

ஆரம்ப தரவு: A B C முக்கோணத்தின் ஆயத்தொலைவுகள் அறியப்படுகின்றன: A (- 1, 0), B (3, 2), C (9, - 8). A M இன் சராசரி நீளத்தைக் கண்டறிவது அவசியம்.

தீர்வு

1. சிக்கலின் நிபந்தனைகளின்படி, A M என்பது இடைநிலை, அதாவது M என்பது B C பிரிவின் நடுப்புள்ளி. முதலில், B C பிரிவின் நடுவில் உள்ள ஆயங்களை கண்டுபிடிப்போம், அதாவது. எம் புள்ளிகள்:

x M = x B + x C 2 = 3 + 9 2 = 6 y M = y B + y C 2 = 2 + (- 8) 2 = - 3

1. இடைநிலையின் (புள்ளிகள் A மற்றும் M) இரு முனைகளின் ஆயத்தொலைவுகளை நாம் இப்போது அறிந்திருப்பதால், புள்ளிகளுக்கு இடையே உள்ள தூரத்தைக் கண்டறியவும், சராசரி A M இன் நீளத்தைக் கணக்கிடவும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தலாம்:

A M = (6 - (- 1)) 2 + (- 3 - 0) 2 = 58

பதில்: 58

எடுத்துக்காட்டு 3

ஆரம்ப தரவு:முப்பரிமாண இடத்தின் ஒரு செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில், ஒரு இணையான A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. புள்ளி C 1 (1, 1, 0) இன் ஆயத்தொலைவுகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன, மேலும் புள்ளி M என்பதும் வரையறுக்கப்படுகிறது, இது மூலைவிட்ட B D 1 இன் மையப்புள்ளி மற்றும் M (4, 2, - 4) ஆயங்களைக் கொண்டுள்ளது. புள்ளி A இன் ஆயங்களை கணக்கிடுவது அவசியம்.

தீர்வு

அனைத்து மூலைவிட்டங்களின் நடுப்புள்ளியாக இருக்கும் ஒரு புள்ளியில் இணையான குழாய்களின் மூலைவிட்டங்கள் வெட்டுகின்றன. இந்த அறிக்கையின் அடிப்படையில், சிக்கலின் நிலைமைகளிலிருந்து அறியப்பட்ட புள்ளி M என்பது பிரிவின் A C 1 இன் மையப்புள்ளி என்பதை நாம் நினைவில் கொள்ளலாம். விண்வெளியில் ஒரு பிரிவின் நடுவில் உள்ள ஆயங்களை கண்டுபிடிப்பதற்கான சூத்திரத்தின் அடிப்படையில், புள்ளி A: x M = x A + x C 1 2 ⇒ x A = 2 x M - x C 1 = 2 4 - 1 + 7 y M = y A + y C 1 2 ⇒ y A = 2 y M - y C 1 = 2 2 - 1 = 3 z M = z A + z C 1 2 ⇒ z A = 2 z M - z சி 1 = 2 · (- 4) - 0 = - 8

பதில்:புள்ளி A இன் ஆயத்தொலைவுகள் (7, 3, - 8).

உரையில் பிழையை நீங்கள் கண்டால், அதை முன்னிலைப்படுத்தி Ctrl+Enter ஐ அழுத்தவும்

நீளம், ஏற்கனவே குறிப்பிட்டுள்ளபடி, மாடுலஸ் அடையாளத்தால் குறிக்கப்படுகிறது.

விமானத்தின் இரண்டு புள்ளிகள் கொடுக்கப்பட்டிருந்தால் மற்றும் , பிரிவின் நீளத்தை சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடலாம்

விண்வெளியில் இரண்டு புள்ளிகள் கொடுக்கப்பட்டிருந்தால், பிரிவின் நீளத்தை சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடலாம்

குறிப்பு: தொடர்புடைய ஆயங்கள் மாற்றப்பட்டால் சூத்திரங்கள் சரியாக இருக்கும்: மற்றும் , ஆனால் முதல் விருப்பம் மிகவும் நிலையானது

எடுத்துக்காட்டு 3

தீர்வு:பொருத்தமான சூத்திரத்தின் படி:

பதில்:

தெளிவுக்காக, நான் ஒரு வரைபடத்தை உருவாக்குவேன்

கோட்டு பகுதி - இது ஒரு திசையன் அல்ல, மற்றும், நிச்சயமாக, நீங்கள் அதை எங்கும் நகர்த்த முடியாது. கூடுதலாக, நீங்கள் அளவுகோலுக்கு வரைந்தால்: 1 அலகு. = 1 செமீ (இரண்டு நோட்புக் செல்கள்), அதன் விளைவாக வரும் பதிலை, பிரிவின் நீளத்தை நேரடியாக அளவிடுவதன் மூலம் வழக்கமான ஆட்சியாளருடன் சரிபார்க்கலாம்.

ஆம், தீர்வு குறுகியது, ஆனால் அதில் இன்னும் இரண்டு முக்கியமான புள்ளிகள் உள்ளன, அதை நான் தெளிவுபடுத்த விரும்புகிறேன்:

முதலில், பதிலில் நாம் பரிமாணத்தை வைக்கிறோம்: "அலகுகள்". அது என்ன, மில்லிமீட்டர்கள், சென்டிமீட்டர்கள், மீட்டர்கள் அல்லது கிலோமீட்டர்கள் என்று நிபந்தனை கூறவில்லை. எனவே, கணித ரீதியாக சரியான தீர்வு என்பது பொதுவான உருவாக்கம் ஆகும்: "அலகுகள்" - சுருக்கமாக "அலகுகள்".

இரண்டாவதாக, பள்ளிப் பொருளை மீண்டும் செய்வோம், இது கருதப்படும் பணிக்கு மட்டுமல்ல:

கவனம் செலுத்த முக்கியமான நுட்பம் – வேரின் கீழ் இருந்து பெருக்கியை நீக்குகிறது. கணக்கீடுகளின் விளைவாக, எங்களிடம் ஒரு முடிவு உள்ளது மற்றும் நல்ல கணித பாணி மூலத்தின் கீழ் இருந்து காரணியை அகற்றுவதை உள்ளடக்கியது (முடிந்தால்). இன்னும் விரிவாக, செயல்முறை இதுபோல் தெரிகிறது: . நிச்சயமாக, பதிலை அப்படியே விட்டுவிடுவது தவறல்ல - ஆனால் அது நிச்சயமாக ஒரு குறையாகவும், ஆசிரியர் தரப்பிலிருந்து ஒரு பாரமான வாதமாகவும் இருக்கும்.

மற்ற பொதுவான வழக்குகள் இங்கே:

பெரும்பாலும் ரூட் ஒரு பெரிய எண்ணிக்கையை உருவாக்குகிறது, எடுத்துக்காட்டாக . இதுபோன்ற சந்தர்ப்பங்களில் என்ன செய்வது? கால்குலேட்டரைப் பயன்படுத்தி, எண் 4: ஆல் வகுபடுமா என்பதைச் சரிபார்க்கிறோம். ஆம், இது முற்றிலும் பிரிக்கப்பட்டது, இவ்வாறு: . அல்லது எண்ணை மீண்டும் 4 ஆல் வகுக்கலாமா? . இதனால்: . எண்ணின் கடைசி இலக்கம் ஒற்றைப்படை, எனவே மூன்றாவது முறையாக 4 ஆல் வகுத்தால் வேலை செய்யாது. ஒன்பதால் வகுக்க முயற்சிப்போம்: . அதன் விளைவாக:
தயார்.

முடிவுரை:ரூட்டின் கீழ் ஒட்டுமொத்தமாக பிரித்தெடுக்க முடியாத எண்ணைப் பெற்றால், மூலத்தின் கீழ் இருந்து காரணியை அகற்ற முயற்சிக்கிறோம் - ஒரு கால்குலேட்டரைப் பயன்படுத்தி எண் 4, 9, 16, 25, 36, 49, முதலியன

பல்வேறு சிக்கல்களைத் தீர்க்கும் போது, ​​​​வேர்களின் கீழ் இருந்து காரணிகளைப் பிரித்தெடுக்க முயற்சிக்கவும், குறைந்த தரம் மற்றும் ஆசிரியரின் கருத்துகளின் அடிப்படையில் உங்கள் தீர்வுகளை இறுதி செய்வதில் தேவையற்ற சிக்கல்களைத் தவிர்க்கவும்.

சதுர வேர்கள் மற்றும் பிற சக்திகளை மீண்டும் செய்வோம்:

பொது வடிவத்தில் அதிகாரங்களுடன் செயல்படுவதற்கான விதிகள் பள்ளி இயற்கணிதம் பாடப்புத்தகத்தில் காணப்படுகின்றன, ஆனால் கொடுக்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகளிலிருந்து எல்லாம் அல்லது கிட்டத்தட்ட எல்லாமே ஏற்கனவே தெளிவாக உள்ளன என்று நான் நினைக்கிறேன்.

விண்வெளியில் ஒரு பிரிவுடன் சுயாதீன தீர்வுக்கான பணி:

எடுத்துக்காட்டு 4

புள்ளிகள் மற்றும் வழங்கப்படும். பிரிவின் நீளத்தைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு மற்றும் பதில் பாடத்தின் முடிவில் உள்ளது.