ப்ரிஸம் அதன் அடிப்பகுதியில் வழக்கமானது என்று அழைக்கப்படுகிறது. நேரான ப்ரிஸம் - அறிவு ஹைப்பர் மார்க்கெட்

பலகோணங்கள் ABCDE மற்றும் FHKMP ஆகியவை ப்ரிஸத்தின் தளங்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன, செங்குத்தாக OO 1 தளத்தின் எந்தப் புள்ளியிலிருந்தும் மற்றொன்றின் விமானத்திற்குக் குறைக்கப்படுவது ப்ரிஸத்தின் உயரம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. இணையான வரைபடங்கள் ABHF, BCKH போன்றவை. ப்ரிஸத்தின் பக்கவாட்டு முகங்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன, மேலும் அவற்றின் பக்கங்கள் SC, DM போன்றவை, தளங்களின் தொடர்புடைய செங்குத்துகளை இணைக்கின்றன, அவை பக்கவாட்டு விளிம்புகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. ப்ரிஸம் எல்லாவற்றையும் கொண்டுள்ளது பக்கவாட்டு விலா எலும்புகள்இணை விமானங்களுக்கு இடையில் உள்ள இணை கோடுகளின் பிரிவுகளாக ஒருவருக்கொருவர் சமமாக இருக்கும்.
ஒரு ப்ரிஸம் ஒரு நேர் கோடு என்று அழைக்கப்படுகிறது ( படம் 282, பி) அல்லது சாய்ந்த ( படம்.282,சி) அதன் பக்க விலா எலும்புகள் செங்குத்தாக அல்லது தளங்களுக்கு சாய்ந்துள்ளதா என்பதைப் பொறுத்து. நேரான ப்ரிஸத்தில் பக்க முகங்கள்- செவ்வகங்கள். பக்கவாட்டு விளிம்பை அத்தகைய ப்ரிஸத்தின் உயரமாக எடுத்துக் கொள்ளலாம்.
அதன் அடிப்படைகள் வழக்கமான பலகோணங்களாக இருந்தால், வலது ப்ரிஸம் வழக்கமானது என்று அழைக்கப்படுகிறது. அத்தகைய ப்ரிஸத்தில், அனைத்து பக்க முகங்களும் சம செவ்வகங்களாக இருக்கும்.
ஒரு சிக்கலான வரைபடத்தில் ஒரு ப்ரிஸத்தை சித்தரிக்க, நீங்கள் அதைக் கொண்டிருக்கும் கூறுகளை (ஒரு புள்ளி, ஒரு நேர் கோடு, ஒரு தட்டையான உருவம்) அறிந்து சித்தரிக்க வேண்டும்.
சிக்கலான வரைபடத்தில் அவற்றின் படம் (படம் 283, a - i)

a) ஒரு ப்ரிஸத்தின் சிக்கலான வரைதல். ப்ரிஸத்தின் அடிப்பகுதி ப்ராஜெக்ஷன் விமானம் P 1 இல் அமைந்துள்ளது; ப்ரிஸத்தின் பக்க முகங்களில் ஒன்று ப்ராஜெக்ஷன் பிளேன் P 2 க்கு இணையாக உள்ளது.
b) ப்ரிஸத்தின் அடிப்பகுதிக்கு அருகில் DEF - தட்டையான உருவம்- விமானம் P1 இல் அமைந்துள்ள வழக்கமான முக்கோணம்; DE முக்கோணத்தின் பக்கமானது x-அச்சு 12 க்கு இணையாக உள்ளது - கிடைமட்டத் திட்டமானது கொடுக்கப்பட்ட அடித்தளத்துடன் இணைகிறது, எனவே, அதற்குச் சமம் இயற்கை அளவு; முன் ப்ராஜெக்ஷன் x 12 அச்சுடன் இணைகிறது மற்றும் ப்ரிஸத்தின் அடிப்பகுதிக்கு சமமாக இருக்கும்.
c) ABC ப்ரிஸத்தின் மேல் தளம் ஒரு தட்டையான உருவம் - ஒரு கிடைமட்ட விமானத்தில் அமைந்துள்ள ஒரு முக்கோணம். ப்ரிஸம் நேராக இருப்பதால், கிடைமட்டத் திட்டமானது கீழ் தளத்தின் திட்டத்துடன் ஒன்றிணைந்து அதை மூடுகிறது; முன் முனைப்பு - நேராக, x 12 அச்சுக்கு இணையாக, ப்ரிஸத்தின் உயரத்தின் தொலைவில்.
ஈ) ABED ப்ரிஸத்தின் பக்கவாட்டு முகம் ஒரு தட்டையான உருவம் - முன்பக்க விமானத்தில் கிடக்கும் ஒரு செவ்வகம். முன் முனைப்பு - முகத்தின் இயற்கையான அளவிற்கு சமமான ஒரு செவ்வகம்; கிடைமட்ட ப்ரொஜெக்ஷன் என்பது ப்ரிஸத்தின் அடிப்பகுதியின் பக்கத்திற்கு சமமான ஒரு நேர் கோடு.
e) மற்றும் f) ACFD மற்றும் CBEF ப்ரிஸங்களின் பக்கவாட்டு முகங்கள் தட்டையான உருவங்கள் - ப்ராஜெக்ஷன் பிளேன் P 2 க்கு 60° கோணத்தில் அமைந்துள்ள கிடைமட்ட ப்ராஜெக்டிங் விமானங்களில் இருக்கும் செவ்வகங்கள். கிடைமட்ட கணிப்புகள் நேர்கோடுகள், x12 அச்சில் 60° கோணத்தில் அமைந்துள்ளன, மேலும் ப்ரிஸத்தின் அடிப்பகுதியின் பக்கங்களின் இயற்கையான அளவிற்கு சமமாக இருக்கும்; முன் கணிப்புகள் செவ்வகங்களாகும், இதன் படம் வாழ்க்கை அளவை விட சிறியது: ஒவ்வொரு செவ்வகத்தின் இரண்டு பக்கங்களும் ப்ரிஸத்தின் உயரத்திற்கு சமம்.
g) ப்ரிஸத்தின் விளிம்பு AD என்பது ஒரு நேர் கோடு, இது ப்ராஜெக்ஷன் பிளேன் P 1 க்கு செங்குத்தாக உள்ளது. கிடைமட்டத் திட்டம் - புள்ளி; முன் - நேராக, x 12 அச்சுக்கு செங்குத்தாக, ப்ரிஸத்தின் பக்க விளிம்பிற்கு சமம் (ப்ரிஸம் உயரம்).
h) மேல் தளத்தின் பக்க AB நேராக, P 1 மற்றும் P 2 விமானங்களுக்கு இணையாக உள்ளது. கிடைமட்ட மற்றும் முன் கணிப்புகள் - நேராக, x 12 அச்சுக்கு இணையாக மற்றும் பக்கத்திற்கு சமம் இந்த அடிப்படையில் prisms. ப்ரிஸத்தின் உயரத்திற்குச் சமமான தொலைவில் x-அச்சு 12 இலிருந்து முன்னோக்கித் திட்டமானது இடைவெளியில் உள்ளது.
i) ப்ரிஸத்தின் முனைகள். புள்ளி E - கீழ் தளத்தின் மேற்பகுதி விமானம் P 1 இல் அமைந்துள்ளது. கிடைமட்டத் திட்டம் புள்ளியுடன் ஒத்துப்போகிறது; முன் - x 12 அச்சில் உள்ளது - மேல் தளத்தின் மேல் - விண்வெளியில் அமைந்துள்ளது. கிடைமட்டத் திட்டத்தில் ஆழம் உள்ளது; முன் - இந்த ப்ரிஸத்தின் உயரத்திற்கு சமமான உயரம்.
இது குறிக்கிறது: எந்தவொரு பாலிஹெட்ரானையும் வடிவமைக்கும்போது, ​​​​நீங்கள் அதை மனரீதியாக அதன் கூறு கூறுகளாகப் பிரித்து, தொடர்ச்சியான கிராஃபிக் செயல்பாடுகளைக் கொண்ட அவற்றின் பிரதிநிதித்துவத்தின் வரிசையை தீர்மானிக்க வேண்டும். 284 மற்றும் 285 படங்கள் ப்ரிஸங்களின் சிக்கலான வரைதல் மற்றும் காட்சிப் பிரதிநிதித்துவம் (ஆக்சோனோமெட்ரி) செய்யும் போது தொடர்ச்சியான கிராஃபிக் செயல்பாடுகளின் எடுத்துக்காட்டுகளைக் காட்டுகின்றன.
(படம் 284).

கொடுக்கப்பட்டது:
1. அடிப்படையானது ப்ராஜெக்ஷன் விமானம் P 1 இல் அமைந்துள்ளது.
2. அடித்தளத்தின் எந்தப் பக்கமும் x-அச்சு 12 க்கு இணையாக இல்லை.
I. சிக்கலான வரைதல்.
நான், ஏ. நாங்கள் கீழ் தளத்தை வடிவமைக்கிறோம் - ஒரு பலகோணம், இது நிபந்தனையின்படி, P1 விமானத்தில் உள்ளது.
நான், பி. நாங்கள் மேல் தளத்தை வடிவமைக்கிறோம் - கீழ் தளத்திற்கு இணையான பக்கங்களைக் கொண்ட கீழ் தளத்திற்கு சமமான பலகோணம், கொடுக்கப்பட்ட ப்ரிஸத்தின் உயரம் H மூலம் கீழ் அடித்தளத்திலிருந்து இடைவெளி.
ஓ அப்படியா.
நான், ஜி. கொடுக்கப்பட்டவை: மேல் தளத்தில் F புள்ளியின் கிடைமட்ட ப்ராஜெக்ஷன் F 1 மற்றும் பக்க முகத்தில் K இன் முன் முனைப்பு K 2. அவற்றின் இரண்டாவது கணிப்புகளின் இடங்களைத் தீர்மானிக்க வேண்டியது அவசியம்.
புள்ளி F க்கு. புள்ளி F இன் இரண்டாவது (முன்) ப்ராஜெக்ஷன் F 2 இந்த தளத்தின் விமானத்தில் இருக்கும் ஒரு புள்ளியாக, மேல் தளத்தின் திட்டத்துடன் ஒத்துப்போகும்; அதன் இடம் செங்குத்து தொடர்பு வரியால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது.
புள்ளி K க்கு - புள்ளி K இன் இரண்டாவது (கிடைமட்ட) ப்ராஜெக்ஷன் K 1 முகத்தின் விமானத்தில் இருக்கும் ஒரு புள்ளியாக, பக்க முகத்தின் கிடைமட்டத் திட்டத்துடன் ஒத்துப்போகும்; அதன் இடம் செங்குத்து தொடர்பு வரியால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது.
II. ப்ரிஸம் மேற்பரப்பு வளர்ச்சி- பக்க முகங்களால் ஆன ஒரு தட்டையான உருவம் - செவ்வகங்கள், இதில் இரண்டு பக்கங்களும் ப்ரிஸத்தின் உயரத்திற்கு சமம், மற்ற இரண்டும் அடித்தளத்தின் தொடர்புடைய பக்கங்களுக்கு சமம், மற்றும் இரண்டு தளங்களிலிருந்து ஒன்றுக்கொன்று சமமானவை - ஒழுங்கற்ற பலகோணங்கள் .
வளர்ச்சியை நிர்மாணிப்பதற்குத் தேவையான முகங்களின் தளங்கள் மற்றும் பக்கங்களின் இயற்கையான பரிமாணங்கள் கணிப்புகளில் வெளிப்படுத்தப்படுகின்றன; நாங்கள் அவர்கள் மீது கட்டுகிறோம்; ஒரு நேர் கோட்டில், பலகோணத்தின் AB, BC, CD, DE மற்றும் EA ஆகிய பக்கங்களை வரிசையாகத் திட்டமிடுகிறோம் - ப்ரிஸத்தின் தளங்கள், கிடைமட்டத் திட்டத்திலிருந்து எடுக்கப்பட்டவை. புள்ளிகள் A, B, C, D, E மற்றும் A ஆகியவற்றிலிருந்து வரையப்பட்ட செங்குத்துகளில், இந்த ப்ரிஸத்தின் உயரம் H ஐ முன் திட்டத்திலிருந்து எடுத்து, மதிப்பெண்கள் வழியாக ஒரு நேர் கோட்டை வரைகிறோம். இதன் விளைவாக, ப்ரிஸத்தின் பக்க முகங்களின் ஸ்கேன் பெறுகிறோம்.
இந்த வளர்ச்சியுடன் ப்ரிஸத்தின் அடிப்படைகளை இணைத்தால், ப்ரிஸத்தின் முழு மேற்பரப்பின் வளர்ச்சியைப் பெறுகிறோம். முக்கோண முறையைப் பயன்படுத்தி ப்ரிஸத்தின் தளங்கள் தொடர்புடைய பக்க முகத்துடன் இணைக்கப்பட வேண்டும்.
ப்ரிஸத்தின் மேல் தளத்தில், ஆரம் R மற்றும் R 1 ஐப் பயன்படுத்தி, புள்ளி F இன் இருப்பிடத்தை நாங்கள் தீர்மானிக்கிறோம், மேலும் பக்க முகத்தில், ஆரம் R 3 மற்றும் H 1 ஐப் பயன்படுத்தி, புள்ளி K ஐ தீர்மானிக்கிறோம்.
III. டைமெட்ரியில் ஒரு ப்ரிஸத்தின் காட்சிப் பிரதிநிதித்துவம்.
III, ஏ. A, B, C, D மற்றும் E (படம் 284 I, a) புள்ளிகளின் ஆயத்தொலைவுகளின் படி ப்ரிஸத்தின் கீழ் தளத்தை சித்தரிக்கிறோம்.
III, பி. மேல் தளத்தை கீழ் ஒன்றிற்கு இணையாக சித்தரிக்கிறோம், அதிலிருந்து ப்ரிஸத்தின் உயரம் H ஆல் இடைவெளி உள்ளது.
III, சி. தளங்களின் தொடர்புடைய செங்குத்துகளை நேர் கோடுகளுடன் இணைப்பதன் மூலம் பக்க விளிம்புகளை சித்தரிக்கிறோம். ப்ரிஸத்தின் புலப்படும் மற்றும் கண்ணுக்கு தெரியாத கூறுகளை நாங்கள் தீர்மானித்து, அவற்றை தொடர்புடைய வரிகளுடன் கோடிட்டுக் காட்டுகிறோம்,
III, டி. புள்ளி K - பக்க முகத்தில் i 1 மற்றும் H" .
ப்ரிஸத்தின் ஐசோமெட்ரிக் படத்திற்கும் F மற்றும் K புள்ளிகளின் இருப்பிடங்களைத் தீர்மானிப்பதற்கும், அதே வரிசையைப் பின்பற்ற வேண்டும்.
படம்.285).

கொடுக்கப்பட்டது:
1. தளம் P 1 விமானத்தில் அமைந்துள்ளது.
2. பக்க விலா எலும்புகள் P 2 விமானத்திற்கு இணையாக இருக்கும்.
3. அடித்தளத்தின் எந்தப் பக்கமும் x 12 அச்சுக்கு இணையாக இல்லை
I. சிக்கலான வரைதல்.
நான், ஏ. இந்த நிபந்தனையின்படி நாங்கள் வடிவமைக்கிறோம்: கீழ் அடித்தளம் P1 விமானத்தில் உள்ள பலகோணமாகும், மேலும் பக்க விளிம்பு P2 விமானத்திற்கு இணையான மற்றும் P1 விமானத்திற்குச் சாய்ந்த ஒரு பிரிவாகும்.
நான், பி. மீதமுள்ள பக்க விளிம்புகளை நாங்கள் வடிவமைக்கிறோம் - முதல் விளிம்பு SE க்கு சமமான மற்றும் இணையான பிரிவுகள்.
ஓ அப்படியா.
ப்ரிஸத்தின் மேல் தளத்தை பலகோணமாக, கீழ் தளத்திற்கு சமமாகவும் இணையாகவும் வடிவமைத்து, ப்ரிஸத்தின் சிக்கலான வரைபடத்தைப் பெறுகிறோம்.
கணிப்புகளில் கண்ணுக்கு தெரியாத கூறுகளை நாங்கள் அடையாளம் காண்கிறோம். VM இன் விளிம்பின் முன் ப்ராஜெக்ஷன் மற்றும் அடிப்படை குறுவட்டின் பக்கத்தின் கிடைமட்ட ப்ரொஜெக்ஷன் ஆகியவை கண்ணுக்கு தெரியாத கோடுகளால் சித்தரிக்கப்படுகின்றன.
I, g கொடுக்கப்பட்ட Q 2 புள்ளியின் முன் பக்க முகத்தின் A 2 K 2 F 2 D 2; அதன் கிடைமட்டத் திட்டத்தை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். இதைச் செய்ய, இந்த முகத்தின் பக்க விளிம்புகளுக்கு இணையாக, ப்ரிஸம் முகத்தின் A 2 K 2 F 2 D 2 ப்ரொஜெக்ஷனில் Q 2 புள்ளி மூலம் ஒரு துணைக் கோட்டை வரையவும். துணைக் கோட்டின் கிடைமட்டத் திட்டத்தைக் கண்டறிந்து, அதன் மீது, செங்குத்து இணைப்புக் கோட்டைப் பயன்படுத்தி, Q 1 புள்ளியின் விரும்பிய கிடைமட்டத் திட்டத்தின் இருப்பிடத்தை நாங்கள் தீர்மானிக்கிறோம்.
II. ப்ரிஸம் மேற்பரப்பு வளர்ச்சி.
கிடைமட்டத் திட்டத்தில் அடித்தளத்தின் பக்கங்களின் இயற்கையான பரிமாணங்கள் மற்றும் முன் திட்டத்தில் விலா எலும்புகளின் பரிமாணங்களைக் கொண்டிருப்பதால், கொடுக்கப்பட்ட ப்ரிஸத்தின் மேற்பரப்பின் முழுமையான வளர்ச்சியை உருவாக்க முடியும்.
நாம் ப்ரிஸத்தை உருட்டுவோம், ஒவ்வொரு முறையும் அதை பக்க விளிம்பில் சுழற்றுவோம், பின்னர் விமானத்தில் உள்ள ப்ரிஸத்தின் ஒவ்வொரு பக்க முகமும் அதன் இயற்கையான அளவுக்கு சமமான ஒரு தடயத்தை (இணையான வரைபடம்) விட்டுவிடும். பின்வரும் வரிசையில் பக்க ஸ்கேனை உருவாக்குவோம்:
a) A 2, B 2, D 2 புள்ளிகளிலிருந்து. . . E 2 (தளங்களின் முனைகளின் முன் கணிப்புகள்) விலா எலும்புகளின் கணிப்புகளுக்கு செங்குத்தாக துணை நேர் கோடுகளை வரைகிறோம்;
b) ஆரம் R (அடிப்படை குறுவட்டு பக்கத்திற்கு சமம்), புள்ளி D2 இலிருந்து வரையப்பட்ட துணை நேர்கோட்டில் D புள்ளியில் ஒரு உச்சநிலையை உருவாக்குகிறோம்; நேரான புள்ளிகள் C 2 மற்றும் D ஐ இணைப்பதன் மூலம் மற்றும் E 2 C 2 மற்றும் C 2 D க்கு இணையாக நேர் கோடுகளை வரைவதன் மூலம், நாம் பக்க முக CEFD ஐப் பெறுகிறோம்;
c) பின்னர், பின்வரும் பக்க முகங்களை இதேபோல் வரிசைப்படுத்துவதன் மூலம், ப்ரிஸத்தின் பக்க முகங்களின் வளர்ச்சியைப் பெறுகிறோம். இந்த ப்ரிஸத்தின் மேற்பரப்பின் முழுமையான வளர்ச்சியைப் பெற, அதை அடித்தளத்தின் தொடர்புடைய முகங்களுடன் இணைக்கிறோம்.
III. ஐசோமெட்ரியில் ப்ரிஸத்தின் காட்சிப் பிரதிநிதித்துவம்.

1. III, ஏ. நாம் (மிகச்சிறிய எண்

டெட்ராஹெட்ரான் 6 விளிம்புகளைக் கொண்டுள்ளது.

2. ஒரு ப்ரிஸம் n முகங்களைக் கொண்டுள்ளது. அதன் அடிப்பகுதியில் என்ன பலகோணம் உள்ளது?

3. ஒரு ப்ரிஸம் அதன் இரண்டு அருகில் உள்ள பக்க முகங்கள் அடித்தளத்தின் விமானத்திற்கு செங்குத்தாக இருந்தால் நேராக உள்ளதா?

ஆம் அதுதான்.

4. எந்த ப்ரிஸத்தில் பக்கவாட்டு விளிம்புகள் அதன் உயரத்திற்கு இணையாக உள்ளன?

நேரான ப்ரிஸத்தில்.

5. ப்ரிஸம் அதன் அனைத்து விளிம்புகளும் ஒன்றுக்கொன்று சமமாக இருந்தால் வழக்கமானதா?

இல்லை, அது நேரடியாக இல்லாமல் இருக்கலாம்.

6. சாய்ந்த ப்ரிஸத்தின் பக்க முகங்களில் ஒன்றின் உயரமும் ப்ரிஸத்தின் உயரமாக இருக்க முடியுமா?

ஆம், இந்த முகம் அடித்தளத்திற்கு செங்குத்தாக இருந்தால்.

7. இதில் ஒரு ப்ரிஸம் உள்ளதா: a) பக்க விளிம்பு அடித்தளத்தின் ஒரே ஒரு விளிம்பிற்கு செங்குத்தாக உள்ளது; b) ஒரு பக்க முகம் மட்டும் அடித்தளத்திற்கு செங்குத்தாக உள்ளதா?

a) ஆம். b) இல்லை.

8. ஒரு வழக்கமான முக்கோண ப்ரிஸம் தளங்களின் நடுப்பகுதி வழியாக செல்லும் ஒரு விமானத்தால் இரண்டு ப்ரிஸங்களாக பிரிக்கப்பட்டுள்ளது. இந்த ப்ரிஸங்களின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பு பகுதிகளின் விகிதம் என்ன?

தேற்றம் 27 மூலம் பக்கவாட்டு மேற்பரப்புகள் 5: 3 என்ற விகிதத்தில் இருப்பதைக் காண்கிறோம்

9. அதன் பக்க முகங்கள் வழக்கமான முக்கோணமாக இருந்தால் பிரமிடு சீராக இருக்குமா?

10. ஒரு பிரமிடு அடித்தளத்தின் விமானத்திற்கு செங்குத்தாக எத்தனை முகங்களைக் கொண்டிருக்கலாம்?

11. நாற்கர பிரமிடு உள்ளதா? அதன் எதிர் பக்க முகங்கள் அடித்தளத்திற்கு செங்குத்தாக உள்ளனவா?

இல்லை, இல்லையெனில் பிரமிட்டின் மேற்புறத்தில் தளங்களுக்கு செங்குத்தாக குறைந்தது இரண்டு நேர்கோடுகள் இருக்கும்.

12. முக்கோண பிரமிட்டின் அனைத்து முகங்களும் நேர் முக்கோணமாக இருக்க முடியுமா?

ஆம் (படம் 183).

பாலிஹெட்ரா

ஸ்டீரியோமெட்ரியின் ஆய்வின் முக்கிய பொருள் இடஞ்சார்ந்த உடல்கள். உடல்ஒரு குறிப்பிட்ட மேற்பரப்பால் வரையறுக்கப்பட்ட இடத்தின் ஒரு பகுதியைக் குறிக்கிறது.

பாலிஹெட்ரான்தட்டையான பலகோணங்களின் வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையைக் கொண்ட ஒரு உடல். ஒரு பாலிஹெட்ரான் அதன் மேற்பரப்பில் உள்ள ஒவ்வொரு பலகோணத்தின் விமானத்தின் ஒரு பக்கத்தில் அமைந்திருந்தால் அது குவிவு என்று அழைக்கப்படுகிறது. அத்தகைய விமானத்தின் பொதுவான பகுதி மற்றும் ஒரு பாலிஹெட்ரானின் மேற்பரப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது விளிம்பு. குவிந்த பாலிஹெட்ரானின் முகங்கள் தட்டையான குவிந்த பலகோணங்களாகும். முகங்களின் பக்கங்கள் அழைக்கப்படுகின்றன பாலிஹெட்ரானின் விளிம்புகள், மற்றும் செங்குத்துகள் உள்ளன பாலிஹெட்ரானின் முனைகள்.

உதாரணமாக, ஒரு கனசதுரம் ஆறு சதுரங்களைக் கொண்டுள்ளது, அவை அதன் முகங்கள். இதில் 12 விளிம்புகள் (சதுரங்களின் பக்கங்கள்) மற்றும் 8 செங்குத்துகள் (சதுரங்களின் மேல்) உள்ளன.

எளிமையான பாலிஹெட்ரா ப்ரிஸங்கள் மற்றும் பிரமிடுகள் ஆகும், அவை நாம் மேலும் படிப்போம்.

ப்ரிஸம்

ஒரு ப்ரிஸத்தின் வரையறை மற்றும் பண்புகள்

ப்ரிஸம்இணையான மொழிபெயர்ப்பால் இணைக்கப்பட்ட இரண்டு தட்டையான பலகோணங்களைக் கொண்ட ஒரு பாலிஹெட்ரான், மற்றும் இந்த பலகோணங்களின் தொடர்புடைய புள்ளிகளை இணைக்கும் அனைத்து பிரிவுகளும். பலகோணங்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன ப்ரிஸம் அடிப்படைகள், மற்றும் பலகோணங்களின் தொடர்புடைய செங்குத்துகளை இணைக்கும் பிரிவுகள் ப்ரிஸத்தின் பக்கவாட்டு விளிம்புகள்.

ப்ரிஸம் உயரம்அதன் தளங்களின் விமானங்களுக்கு இடையிலான தூரம் () என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஒரே முகத்திற்குச் சொந்தமில்லாத ஒரு ப்ரிஸத்தின் இரண்டு செங்குத்துகளை இணைக்கும் ஒரு பிரிவு அழைக்கப்படுகிறது ப்ரிஸம் மூலைவிட்டம்(). ப்ரிஸம் என்று அழைக்கப்படுகிறது n-கார்பன், அதன் அடிப்பகுதியில் n-gon இருந்தால்.

எந்த ப்ரிஸமும் பின்வரும் பண்புகளைக் கொண்டுள்ளது, இதன் விளைவாக ப்ரிஸத்தின் அடிப்படைகள் இணையான மொழிபெயர்ப்பால் இணைக்கப்படுகின்றன:

1. ப்ரிஸத்தின் அடிப்படைகள் சமம்.

2. ப்ரிஸத்தின் பக்கவாட்டு விளிம்புகள் இணையாகவும் சமமாகவும் இருக்கும்.

ப்ரிஸத்தின் மேற்பரப்பு தளங்களைக் கொண்டுள்ளது மற்றும் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பு. பக்க மேற்பரப்புஒரு ப்ரிஸம் இணையான வரைபடங்களைக் கொண்டுள்ளது (இது ஒரு ப்ரிஸத்தின் பண்புகளைப் பின்பற்றுகிறது). ஒரு ப்ரிஸத்தின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பின் பரப்பளவு என்பது பக்கவாட்டு முகங்களின் பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகையாகும்.

நேரான ப்ரிஸம்

ப்ரிஸம் என்று அழைக்கப்படுகிறது நேராக, அதன் பக்கவாட்டு விளிம்புகள் தளங்களுக்கு செங்குத்தாக இருந்தால். இல்லையெனில் ப்ரிசம் என்று அழைக்கப்படுகிறது சாய்ந்திருக்கும்.

வலது ப்ரிஸத்தின் முகங்கள் செவ்வகங்களாகும். நேரான ப்ரிஸத்தின் உயரம் அதன் பக்க முகங்களுக்கு சமம்.

முழு மேற்பரப்பு prismsபக்கவாட்டு மேற்பரப்பு மற்றும் தளங்களின் பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகை என்று அழைக்கப்படுகிறது.

சரியான ப்ரிஸத்துடன்அதன் அடிப்பகுதியில் வழக்கமான பலகோணத்துடன் வலது ப்ரிஸம் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

தேற்றம் 13.1. நேரான ப்ரிஸத்தின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பின் பரப்பளவு சுற்றளவு மற்றும் ப்ரிஸத்தின் உயரத்திற்கு சமம் (அல்லது, பக்கவாட்டு விளிம்பால்).

ஆதாரம். வலது ப்ரிஸத்தின் பக்கவாட்டு முகங்கள் செவ்வகங்களாகும், அவற்றின் தளங்கள் ப்ரிஸத்தின் அடிப்பகுதியில் உள்ள பலகோணங்களின் பக்கங்களாகவும், உயரங்கள் ப்ரிஸத்தின் பக்கவாட்டு விளிம்புகளாகவும் இருக்கும். பின்னர், வரையறையின்படி, பக்கவாட்டு மேற்பரப்பு பகுதி:

,

நேரான ப்ரிஸத்தின் அடிப்பகுதியின் சுற்றளவு எங்கே.

இணையான குழாய்

ப்ரிஸத்தின் அடிப்பகுதியில் இணையான வரைபடங்கள் இருந்தால், அது அழைக்கப்படுகிறது இணையான குழாய். இணையான குழாய்களின் அனைத்து முகங்களும் இணையான வரைபடங்கள். இந்த வழக்கில், parallelepiped எதிர் முகங்கள் இணை மற்றும் சமமாக இருக்கும்.

தேற்றம் 13.2. இணையான குழாய்களின் மூலைவிட்டங்கள் ஒரு புள்ளியில் வெட்டுகின்றன மற்றும் வெட்டுப் புள்ளியால் பாதியாக பிரிக்கப்படுகின்றன.

ஆதாரம். இரண்டு தன்னிச்சையான மூலைவிட்டங்களைக் கவனியுங்கள், எடுத்துக்காட்டாக, மற்றும் . ஏனெனில் ஒரு இணைக்குழாயின் முகங்கள் இணையான வரைபடங்கள், பின்னர் மற்றும் , அதாவது To இன் படி மூன்றிற்கு இணையாக இரண்டு நேர்கோடுகள் உள்ளன. கூடுதலாக, இதன் பொருள் நேர் கோடுகள் மற்றும் ஒரே விமானத்தில் (விமானம்) பொய். இந்த விமானம் இணையான விமானங்கள் மற்றும் இணையான கோடுகளுடன் வெட்டுகிறது. எனவே, ஒரு நாற்கரமானது ஒரு இணையான வரைபடம், மற்றும் ஒரு இணையான வரைபடத்தின் பண்புகளால், அதன் மூலைவிட்டங்கள் வெட்டுகின்றன மற்றும் குறுக்குவெட்டு புள்ளியால் பாதியாக பிரிக்கப்படுகின்றன, இது நிரூபிக்கப்பட வேண்டிய ஒன்று.

ஒரு செவ்வகத்தின் அடிப்பாகம் இருக்கும் ஒரு வலது இணையான குழாய் அழைக்கப்படுகிறது செவ்வக இணை குழாய். ஒரு செவ்வக இணைக் குழாய்களின் அனைத்து முகங்களும் செவ்வகங்களாகும். ஒரு செவ்வக இணையாக இல்லாத விளிம்புகளின் நீளம் அதன் நேரியல் பரிமாணங்கள் (பரிமாணங்கள்) எனப்படும். அத்தகைய மூன்று அளவுகள் உள்ளன (அகலம், உயரம், நீளம்).

தேற்றம் 13.3. ஒரு செவ்வக இணைக்குழாயில், எந்த மூலைவிட்டத்தின் சதுரமும் அதன் முப்பரிமாணங்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமமாக இருக்கும். (பித்தகோரியன் டி இருமுறை பயன்படுத்துவதன் மூலம் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது).

அனைத்து விளிம்புகளும் சமமாக இருக்கும் ஒரு செவ்வக இணையாக அழைக்கப்படுகிறது கன.

பணிகள்

13.1 இது எத்தனை மூலைவிட்டங்களைக் கொண்டுள்ளது? n- கார்பன் ப்ரிஸம்

13.2 சாய்ந்த முக்கோண ப்ரிஸத்தில், பக்க விளிம்புகளுக்கு இடையே உள்ள தூரம் 37, 13 மற்றும் 40. பெரிய பக்க விளிம்புக்கும் எதிர் பக்க விளிம்புக்கும் இடையே உள்ள தூரத்தைக் கண்டறியவும்.

13.3 ஒரு விமானம் வழக்கமான முக்கோண ப்ரிஸத்தின் கீழ் தளத்தின் பக்கத்தின் வழியாக வரையப்படுகிறது, பக்க முகங்களை அவற்றுக்கிடையே ஒரு கோணத்துடன் பிரிவுகளுடன் வெட்டுகிறது. ப்ரிஸத்தின் அடிப்பகுதிக்கு இந்த விமானத்தின் சாய்வின் கோணத்தைக் கண்டறியவும்.

வெவ்வேறு ப்ரிஸங்கள் ஒன்றுக்கொன்று வேறுபட்டவை. அதே நேரத்தில், அவர்களுக்கு நிறைய பொதுவானது. ப்ரிஸத்தின் அடித்தளத்தின் பகுதியைக் கண்டுபிடிக்க, அது எந்த வகையைச் சேர்ந்தது என்பதை நீங்கள் புரிந்து கொள்ள வேண்டும்.

பொது கோட்பாடு

ஒரு ப்ரிஸம் என்பது பாலிஹெட்ரான் ஆகும், அதன் பக்கங்கள் ஒரு இணையான வரைபடத்தின் வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளன. மேலும், அதன் அடிப்படை எந்த பாலிஹெட்ரானாகவும் இருக்கலாம் - ஒரு முக்கோணத்திலிருந்து ஒரு n-gon வரை. மேலும், ப்ரிஸத்தின் அடிப்படைகள் எப்போதும் ஒருவருக்கொருவர் சமமாக இருக்கும். பக்க முகங்களுக்கு பொருந்தாதது என்னவென்றால், அவை கணிசமாக அளவு மாறுபடும்.

சிக்கல்களைத் தீர்க்கும் போது, ​​ப்ரிஸத்தின் அடிப்பகுதியின் பகுதி மட்டுமல்ல. இதற்கு பக்கவாட்டு மேற்பரப்பு பற்றிய அறிவு தேவைப்படலாம், அதாவது, தளங்கள் இல்லாத அனைத்து முகங்களும். முழுமையான மேற்பரப்பு ப்ரிஸத்தை உருவாக்கும் அனைத்து முகங்களின் ஒன்றியமாக இருக்கும்.

சில நேரங்களில் பிரச்சினைகள் உயரம் சம்பந்தப்பட்டவை. இது தளங்களுக்கு செங்குத்தாக உள்ளது. ஒரு பாலிஹெட்ரானின் மூலைவிட்டமானது, ஒரே முகத்திற்குச் சொந்தமில்லாத எந்த இரண்டு முனைகளையும் ஜோடிகளாக இணைக்கும் ஒரு பிரிவாகும்.

நேராக அல்லது சாய்ந்த ப்ரிஸத்தின் அடிப்படை பகுதி அவற்றுக்கும் பக்க முகங்களுக்கும் இடையிலான கோணத்தைப் பொறுத்தது அல்ல என்பதை கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும். மேல் மற்றும் கீழ் முகங்களில் ஒரே மாதிரியான உருவங்கள் இருந்தால், அவற்றின் பகுதிகள் சமமாக இருக்கும்.

முக்கோண பட்டகம்

அதன் அடிவாரத்தில் மூன்று செங்குத்துகள் கொண்ட ஒரு உருவம் உள்ளது, அதாவது ஒரு முக்கோணம். உங்களுக்குத் தெரியும், இது வித்தியாசமாக இருக்கலாம். அப்படியானால், அதன் பகுதி கால்களின் பாதி உற்பத்தியால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது என்பதை நினைவில் கொள்வது போதுமானது.

கணிதக் குறியீடு இதுபோல் தெரிகிறது: S = ½ av.

அடித்தளத்தின் பரப்பளவைக் கண்டறிய பொதுவான பார்வை, சூத்திரங்கள் பயனுள்ளதாக இருக்கும்: ஹெரான் மற்றும் பக்கத்தின் பாதியை அது வரையப்பட்ட உயரத்திற்கு எடுத்துச் செல்லப்படும்.

முதல் சூத்திரம் பின்வருமாறு எழுதப்பட வேண்டும்: S = √(р (р-а) (р-в) (р-с)). இந்த குறியீட்டில் அரை சுற்றளவு (p) உள்ளது, அதாவது, மூன்று பக்கங்களின் கூட்டுத்தொகை இரண்டால் வகுக்கப்படுகிறது.

இரண்டாவது: S = ½ n a * a.

ஒரு முக்கோண ப்ரிஸின் அடிப்பகுதியின் பகுதியை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க விரும்பினால், இது வழக்கமானது, பின்னர் முக்கோணம் சமபக்கமாக மாறும். இதற்கு ஒரு சூத்திரம் உள்ளது: S = ¼ a 2 * √3.

நாற்கர ப்ரிஸம்

அதன் அடிப்படை அறியப்பட்ட நாற்கரங்களில் ஏதேனும் ஒன்று. இது ஒரு செவ்வகமாகவோ அல்லது சதுரமாகவோ, இணையாகவோ அல்லது ரோம்பஸாகவோ இருக்கலாம். ஒவ்வொரு சந்தர்ப்பத்திலும், ப்ரிஸத்தின் அடிப்பகுதியின் பகுதியைக் கணக்கிட, உங்களுக்கு உங்கள் சொந்த சூத்திரம் தேவைப்படும்.

அடித்தளம் ஒரு செவ்வகமாக இருந்தால், அதன் பகுதி பின்வருமாறு தீர்மானிக்கப்படுகிறது: S = ab, இங்கு a, b ஆகியவை செவ்வகத்தின் பக்கங்களாகும்.

ஒரு நாற்கர ப்ரிஸத்திற்கு வரும்போது, ​​ஒரு சதுரத்திற்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி வழக்கமான ப்ரிஸத்தின் அடிப்பகுதியின் பரப்பளவு கணக்கிடப்படுகிறது. ஏனென்றால் அஸ்திவாரத்தில் கிடப்பது அவர்தான். S = a 2.

அடித்தளம் இணையாக இருக்கும் போது, ​​பின்வரும் சமத்துவம் தேவைப்படும்: S = a * n a. இது ஒரு parallelepiped மற்றும் கோணங்களில் ஒரு பக்க கொடுக்கப்பட்ட என்று நடக்கும். பின்னர், உயரத்தைக் கணக்கிட, நீங்கள் ஒரு கூடுதல் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த வேண்டும்: n a = b * sin A. மேலும், A கோணம் "b" பக்கத்திற்கு அருகில் உள்ளது, மேலும் உயரம் n இந்த கோணத்திற்கு எதிரே உள்ளது.

ப்ரிஸத்தின் அடிப்பகுதியில் ஒரு ரோம்பஸ் இருந்தால், அதன் பகுதியைத் தீர்மானிக்க, உங்களுக்கு இணையான வரைபடத்தைப் போன்ற அதே சூத்திரம் தேவைப்படும் (இது ஒரு சிறப்பு வழக்கு என்பதால்). ஆனால் நீங்கள் இதையும் பயன்படுத்தலாம்: S = ½ d 1 d 2. இங்கே d 1 மற்றும் d 2 ஆகியவை ரோம்பஸின் இரண்டு மூலைவிட்டங்கள்.

வழக்கமான பென்டகோனல் ப்ரிஸம்

இந்த வழக்கில் பலகோணத்தை முக்கோணங்களாகப் பிரிப்பதை உள்ளடக்கியது, அதன் பகுதிகளை எளிதாகக் கண்டறியலாம். புள்ளிவிவரங்கள் வெவ்வேறு எண்ணிக்கையிலான செங்குத்துகளைக் கொண்டிருக்கலாம் என்றாலும்.

ப்ரிஸத்தின் அடிப்பகுதி ஒரு வழக்கமான பென்டகன் என்பதால், அதை ஐந்து சமபக்க முக்கோணங்களாகப் பிரிக்கலாம். பின்னர் ப்ரிஸத்தின் அடிப்பகுதியின் பரப்பளவு அத்தகைய ஒரு முக்கோணத்தின் பகுதிக்கு சமமாக இருக்கும் (சூத்திரத்தை மேலே காணலாம்), ஐந்தால் பெருக்கப்படுகிறது.

வழக்கமான அறுகோண ப்ரிஸம்

ஒரு பென்டகோனல் ப்ரிஸத்திற்கு விவரிக்கப்பட்டுள்ள கொள்கையின்படி, அடித்தளத்தின் அறுகோணத்தை 6 சமபக்க முக்கோணங்களாகப் பிரிக்க முடியும். அத்தகைய ப்ரிஸத்தின் அடிப்படை பகுதிக்கான சூத்திரம் முந்தையதைப் போன்றது. அதை மட்டும் ஆறால் பெருக்க வேண்டும்.

சூத்திரம் இப்படி இருக்கும்: S = 3/2 a 2 * √3.

பணிகள்

எண் 1. ஒரு வழக்கமான நேர்கோட்டில் கொடுக்கப்பட்டால், அதன் மூலைவிட்டமானது 22 செ.மீ., பாலிஹெட்ரானின் உயரம் 14 செ.மீ.

தீர்வு.ப்ரிஸத்தின் அடிப்பகுதி ஒரு சதுரம், ஆனால் அதன் பக்கம் தெரியவில்லை. சதுரத்தின் (x) மூலைவிட்டத்திலிருந்து அதன் மதிப்பை நீங்கள் காணலாம், இது ப்ரிஸத்தின் மூலைவிட்டம் (d) மற்றும் அதன் உயரம் (h) ஆகியவற்றுடன் தொடர்புடையது. x 2 = d 2 - n 2. மறுபுறம், இந்த பிரிவு "x" என்பது ஒரு முக்கோணத்தில் உள்ள ஹைபோடென்யூஸ் ஆகும், அதன் கால்கள் சதுரத்தின் பக்கத்திற்கு சமமாக இருக்கும். அதாவது x 2 = a 2 + a 2. எனவே அது ஒரு 2 = (d 2 - n 2)/2 என்று மாறிவிடும்.

d க்கு பதிலாக 22 என்ற எண்ணை மாற்றவும், அதன் மதிப்புடன் "n" ஐ மாற்றவும் - 14, சதுரத்தின் பக்கம் 12 செமீ என்று மாறிவிடும்: 12 * 12 = 144 செ.மீ 2.

முழு மேற்பரப்பின் பரப்பளவைக் கண்டறிய, நீங்கள் அடிப்படை பகுதியை இரண்டு மடங்கு சேர்த்து பக்க பகுதியை நான்கு மடங்காக அதிகரிக்க வேண்டும். பிந்தையதை ஒரு செவ்வகத்திற்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி எளிதாகக் காணலாம்: பாலிஹெட்ரானின் உயரத்தையும் அடித்தளத்தின் பக்கத்தையும் பெருக்கவும். அதாவது, 14 மற்றும் 12, இந்த எண் 168 செமீ 2 க்கு சமமாக இருக்கும். ப்ரிஸத்தின் மொத்த பரப்பளவு 960 செமீ 2 ஆக இருக்கும்.

பதில்.ப்ரிஸத்தின் அடிப்பகுதியின் பரப்பளவு 144 செமீ 2 ஆகும். முழு மேற்பரப்பு 960 செமீ 2 ஆகும்.

எண் 2. அடிவாரத்தில் 6 செமீ பக்கத்துடன் ஒரு முக்கோணம் உள்ளது, பக்க முகத்தின் மூலைவிட்டம் 10 செ.மீ.

தீர்வு.ப்ரிஸம் வழக்கமானதாக இருப்பதால், அதன் அடிப்பகுதி ஒரு சமபக்க முக்கோணமாகும். எனவே, அதன் பரப்பளவு 6 சதுரமாக மாறி, ¼ மற்றும் 3 இன் வர்க்க மூலத்தால் பெருக்கப்படுகிறது. ஒரு எளிய கணக்கீடு முடிவுக்கு வழிவகுக்கிறது: 9√3 cm 2. இது ப்ரிஸத்தின் ஒரு தளத்தின் பகுதி.

அனைத்து பக்க முகங்களும் ஒரே மாதிரியானவை மற்றும் 6 மற்றும் 10 செமீ பக்கங்களைக் கொண்ட செவ்வகங்களாக உள்ளன, அவற்றின் பகுதிகளைக் கணக்கிட, இந்த எண்களைப் பெருக்கவும். பின்னர் அவற்றை மூன்றால் பெருக்கவும், ஏனெனில் ப்ரிஸம் சரியாக பல பக்க முகங்களைக் கொண்டுள்ளது. பின்னர் காயத்தின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பு 180 செமீ 2 ஆக மாறும்.

பதில்.பகுதிகள்: அடித்தளம் - 9√3 செமீ 2, ப்ரிஸத்தின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பு - 180 செமீ 2.