சக்தி செயல்பாடுகளுடன் சமன்பாடுகள் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகள். அதிவேக சமன்பாடுகள் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பது

ஒரு உதாரணத்தைக் கவனியுங்கள்: சமத்துவமின்மையைத் தீர்க்கவும் (0.5) (7 - 3*x)< 4.

4 = (0.5) 2 என்பதை நினைவில் கொள்க. பின்னர் சமத்துவமின்மை (0.5)(7 - 3*x) வடிவத்தை எடுக்கும்< (0.5) (-2) . Основание показательной функции 0.5 меньше единицы, следовательно, она убывает. В этом случае надо поменять знак неравенства и не записывать только показатели.

நாம் பெறுவது: 7 - 3*x>-2.

எனவே: x<3.

பதில்: x<3.

சமத்துவமின்மையின் அடித்தளம் ஒன்றுக்கு மேற்பட்டதாக இருந்தால், அடித்தளத்திலிருந்து விடுபடும்போது, ​​சமத்துவமின்மையின் அடையாளத்தை மாற்ற வேண்டிய அவசியமில்லை.

இந்த பாடத்தில் நாம் பல்வேறு அதிவேக ஏற்றத்தாழ்வுகளைப் பார்த்து, எளிய அதிவேக ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பதற்கான நுட்பத்தின் அடிப்படையில் அவற்றை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதைக் கற்றுக்கொள்வோம்.

1. ஒரு அதிவேக செயல்பாட்டின் வரையறை மற்றும் பண்புகள்

அதிவேக செயல்பாட்டின் வரையறை மற்றும் அடிப்படை பண்புகளை நினைவுபடுத்துவோம். எல்லாவற்றுக்கும் தீர்வு என்பது பண்புகளில் தான் அதிவேக சமன்பாடுகள்மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகள்.

அதிவேக செயல்பாடுபடிவத்தின் ஒரு செயல்பாடு ஆகும், இங்கு அடிப்படையானது பட்டம் மற்றும் இங்கே x என்பது சார்பற்ற மாறி, வாதம்; y என்பது சார்பு மாறி, செயல்பாடு.

அரிசி. 1. அதிவேக செயல்பாட்டின் வரைபடம்

இந்த வரைபடம் அதிகரித்துவரும் மற்றும் குறையும் அடுக்குகளைக் காட்டுகிறது, அதிவேக செயல்பாட்டை முறையே ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட மற்றும் ஒன்றுக்கும் குறைவான ஆனால் பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமான அடித்தளத்துடன் விளக்குகிறது.

இரண்டு வளைவுகளும் புள்ளியைக் கடந்து செல்கின்றன (0;1)

அதிவேக செயல்பாட்டின் பண்புகள்:

நோக்கம்: ;

மதிப்புகளின் வரம்பு: ;

செயல்பாடு மோனோடோனிக், உடன் அதிகரிக்கிறது, குறைகிறது.

ஒரு மோனோடோனிக் செயல்பாடு அதன் ஒவ்வொரு மதிப்புகளையும் ஒரு வாத மதிப்பைக் கொடுக்கிறது.

வாதம் மைனஸிலிருந்து பிளஸ் இன்ஃபினிட்டிக்கு அதிகரிக்கும் போது, ​​செயல்பாடு பூஜ்ஜியத்திலிருந்து பிளஸ் இன்ஃபினிட்டிக்கு அதிகரிக்கிறது, அதாவது, கொடுக்கப்பட்ட வாதத்தின் மதிப்புகளுக்கு நாம் ஒரு சலிப்பான முறையில் அதிகரிக்கும் செயல்பாடு () உள்ளது. மாறாக, வாதமானது மைனஸிலிருந்து பிளஸ் இன்ஃபினிட்டிக்கு அதிகரிக்கும் போது, ​​செயல்பாடு முடிவிலியிலிருந்து பூஜ்ஜியத்தை உள்ளடக்கியதாகக் குறைகிறது, அதாவது, கொடுக்கப்பட்ட வாதத்தின் மதிப்புகளுக்கு, ஒரு சலிப்பான முறையில் குறையும் செயல்பாடு () உள்ளது.

2. எளிமையான அதிவேக ஏற்றத்தாழ்வுகள், தீர்வு முறை, உதாரணம்

மேற்கூறியவற்றின் அடிப்படையில், எளிய அதிவேக ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பதற்கான ஒரு முறையை நாங்கள் முன்வைக்கிறோம்:

ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பதற்கான நுட்பம்:

டிகிரிகளின் அடிப்படைகளை சமப்படுத்தவும்;

சமத்துவமின்மை அடையாளத்தை எதிர்மாறாக பராமரிப்பதன் மூலம் அல்லது மாற்றுவதன் மூலம் குறிகாட்டிகளை ஒப்பிடுக.

சிக்கலான அதிவேக ஏற்றத்தாழ்வுகளுக்கான தீர்வு பொதுவாக அவற்றை எளிமையான அதிவேக ஏற்றத்தாழ்வுகளுக்குக் குறைப்பதாகும்.

பட்டத்தின் அடிப்படை ஒன்று விட அதிகமாக உள்ளது, அதாவது சமத்துவமின்மை அடையாளம் பாதுகாக்கப்படுகிறது:

பட்டத்தின் பண்புகளுக்கு ஏற்ப வலது பக்கத்தை மாற்றுவோம்:

பட்டத்தின் அடிப்பகுதி ஒன்றுக்கு குறைவாக உள்ளது, சமத்துவமின்மை குறியை மாற்றியமைக்க வேண்டும்:

இருபடி சமத்துவமின்மையை தீர்க்க, தொடர்புடைய இருபடி சமன்பாட்டை நாங்கள் தீர்க்கிறோம்:

வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி நாம் வேர்களைக் காண்கிறோம்:

பரவளையத்தின் கிளைகள் மேல்நோக்கி இயக்கப்படுகின்றன.

எனவே, சமத்துவமின்மைக்கு எங்களிடம் ஒரு தீர்வு உள்ளது:

வலது பக்கமானது பூஜ்ஜியத்தின் அடுக்குடன் ஒரு சக்தியாகக் குறிப்பிடப்படலாம் என்று யூகிக்க எளிதானது:

பட்டத்தின் அடிப்படை ஒன்று விட அதிகமாக உள்ளது, சமத்துவமின்மை அடையாளம் மாறாது, நாம் பெறுகிறோம்:

அத்தகைய ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பதற்கான நுட்பத்தை நினைவுபடுத்துவோம்.

பகுதி-பகுத்தறிவு செயல்பாட்டைக் கவனியுங்கள்:

வரையறையின் களத்தைக் காண்கிறோம்:

செயல்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டறிதல்:

செயல்பாட்டிற்கு ஒற்றை ரூட் உள்ளது,

நிலையான குறியின் இடைவெளிகளைத் தேர்ந்தெடுத்து ஒவ்வொரு இடைவெளியிலும் செயல்பாட்டின் அறிகுறிகளைத் தீர்மானிக்கிறோம்:

அரிசி. 2. அடையாளத்தின் நிலைத்தன்மையின் இடைவெளிகள்

இதனால், எங்களுக்கு பதில் கிடைத்தது.

பதில்:

3. நிலையான அதிவேக ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பது

ஒரே குறிகாட்டிகள், ஆனால் வெவ்வேறு அடிப்படைகள் கொண்ட ஏற்றத்தாழ்வுகளைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

அதிவேக செயல்பாட்டின் பண்புகளில் ஒன்று, வாதத்தின் எந்த மதிப்பிற்கும் கண்டிப்பாக நேர்மறை மதிப்புகளை எடுக்கும், அதாவது இது ஒரு அதிவேக செயல்பாடாக பிரிக்கப்படலாம். கொடுக்கப்பட்ட சமத்துவமின்மையை அதன் வலது பக்கத்தால் பிரிப்போம்:

பட்டத்தின் அடிப்படை ஒன்று விட அதிகமாக உள்ளது, சமத்துவமின்மை அடையாளம் பாதுகாக்கப்படுகிறது.

தீர்வை விளக்குவோம்:

படம் 6.3 செயல்பாடுகளின் வரைபடங்களைக் காட்டுகிறது மற்றும் . வெளிப்படையாக, வாதம் பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாக இருக்கும் போது, ​​செயல்பாட்டின் வரைபடம் அதிகமாக இருக்கும், இந்த செயல்பாடு பெரியதாக இருக்கும். வாத மதிப்புகள் எதிர்மறையாக இருக்கும்போது, ​​செயல்பாடு குறைவாக இருக்கும், அது சிறியதாக இருக்கும். வாதம் சமமாக இருந்தால், செயல்பாடுகள் சமமாக இருக்கும், அதாவது கொடுக்கப்பட்ட சமத்துவமின்மைக்கு இந்த புள்ளியும் ஒரு தீர்வாகும்.

அரிசி. 3. எடுத்துக்காட்டு 4

கொடுக்கப்பட்ட சமத்துவமின்மையை பட்டத்தின் பண்புகளுக்கு ஏற்ப மாற்றுவோம்:

இங்கே சில ஒத்த சொற்கள் உள்ளன:

இரண்டு பகுதிகளையும் பிரிப்போம்:

இப்போது நாம் உதாரணம் 4 ஐப் போலவே தீர்க்கிறோம், இரு பகுதிகளையும் பிரிக்கவும்:

பட்டத்தின் அடிப்படை ஒன்று விட அதிகமாக உள்ளது, சமத்துவமின்மை அடையாளம் உள்ளது:

4. அதிவேக ஏற்றத்தாழ்வுகளின் வரைகலை தீர்வு

எடுத்துக்காட்டு 6 - சமத்துவமின்மையை வரைபடமாகத் தீர்க்கவும்:

இடது மற்றும் வலது பக்கங்களில் உள்ள செயல்பாடுகளைப் பார்த்து, அவை ஒவ்வொன்றிற்கும் ஒரு வரைபடத்தை உருவாக்குவோம்.

செயல்பாடு அதிவேகமானது மற்றும் அதன் வரையறையின் முழு டொமைன் மீதும் அதிகரிக்கிறது, அதாவது வாதத்தின் அனைத்து உண்மையான மதிப்புகளுக்கும்.

செயல்பாடு நேரியல் மற்றும் அதன் வரையறையின் முழு களத்திலும் குறைகிறது, அதாவது வாதத்தின் அனைத்து உண்மையான மதிப்புகளுக்கும்.

இந்த செயல்பாடுகள் வெட்டினால், அதாவது, கணினிக்கு ஒரு தீர்வு உள்ளது, அத்தகைய தீர்வு தனித்துவமானது மற்றும் எளிதில் யூகிக்க முடியும். இதைச் செய்ய, முழு எண்களுக்கு மேல் மீண்டும் செய்கிறோம் ()

இந்த அமைப்பின் வேர்:

இவ்வாறு, செயல்பாடுகளின் வரைபடங்கள் ஒரு புள்ளியில் ஒன்றிற்கு சமமான வாதத்துடன் வெட்டுகின்றன.

இப்போது நாம் ஒரு பதிலைப் பெற வேண்டும். கொடுக்கப்பட்ட சமத்துவமின்மையின் பொருள் என்னவென்றால், அடுக்கு நேரியல் செயல்பாட்டை விட அதிகமாகவோ அல்லது சமமாகவோ இருக்க வேண்டும், அதாவது அதிகமாகவோ அல்லது அதனுடன் இணைந்ததாகவோ இருக்க வேண்டும். பதில் வெளிப்படையானது: (படம் 6.4)

அரிசி. 4. உதாரணத்திற்கு விளக்கம் 6

எனவே, பல்வேறு நிலையான அதிவேக ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பதைப் பார்த்தோம். அடுத்து நாம் மிகவும் சிக்கலான அதிவேக ஏற்றத்தாழ்வுகளைக் கருத்தில் கொள்கிறோம்.

குறிப்புகள்

மொர்ட்கோவிச் ஏ.ஜி. இயற்கணிதம் மற்றும் கணித பகுப்பாய்வின் ஆரம்பம். - எம்.: மெமோசைன். முராவின் ஜி.கே., முராவின் ஓ.வி. இயற்கணிதம் மற்றும் கணிதப் பகுப்பாய்வின் ஆரம்பம். - எம்.: பஸ்டர்ட். கோல்மோகோரோவ் ஏ.என்., அப்ரமோவ் ஏ.எம்., டுட்னிட்சின் யூ மற்றும் பலர். - எம்.: அறிவொளி.

கணிதம். எம்.டி. கணிதம்-மீண்டும். com. டிஃபர். கெம்சு. ru.

வீட்டுப்பாடம்

1. இயற்கணிதம் மற்றும் பகுப்பாய்வின் ஆரம்பம், தரங்கள் 10-11 (A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn) 1990, எண். 472, 473;

2. சமத்துவமின்மையைத் தீர்க்கவும்:

3. சமத்துவமின்மையை தீர்க்கவும்.

அதிவேக சமன்பாடுகள் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகள் என்பது அதிவேகத்தில் அறியப்படாதவை உள்ளடங்கியவை.

அதிவேக சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது பெரும்பாலும் a x = a b என்ற சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதில் வரும், இங்கு a > 0, a ≠ 1, x என்பது தெரியவில்லை. பின்வரும் தேற்றம் உண்மையாக இருப்பதால், இந்த சமன்பாடு x = b என்ற ஒற்றை மூலத்தைக் கொண்டுள்ளது:

தேற்றம். a > 0, a ≠ 1 மற்றும் a x 1 = a x 2 எனில், x 1 = x 2.

பரிசீலிக்கப்பட்ட அறிக்கையை உறுதிப்படுத்துவோம்.

சமத்துவம் x 1 = x 2 இல்லை என்று வைத்துக்கொள்வோம், அதாவது. x 1< х 2 или х 1 = х 2 . Пусть, например, х 1 < х 2 . Тогда если а >1, பின்னர் அதிவேக செயல்பாடு y = a x அதிகரிக்கிறது, எனவே சமத்துவமின்மை a x 1 பூர்த்தி செய்யப்பட வேண்டும்< а х 2 ; если 0 < а < 1, то функция убывает и должно выполняться неравенство а х 1 >ஒரு x 2. இரண்டு சந்தர்ப்பங்களிலும் a x 1 = a x 2 நிபந்தனைக்கு முரண்பாட்டைப் பெற்றோம்.

பல சிக்கல்களைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

சமன்பாடு 4 ∙ 2 x = 1 ஐ தீர்க்கவும்.

தீர்வு.

சமன்பாட்டை 2 2 ∙ 2 x = 2 0 – 2 x+2 = 2 0 வடிவத்தில் எழுதுவோம், அதில் இருந்து x + 2 = 0 ஐப் பெறுகிறோம், அதாவது. x = -2.

பதில். x = -2.

சமன்பாடு 2 3x ∙ 3 x = 576 ஐ தீர்க்கவும்.

தீர்வு.

2 3x = (2 3) x = 8 x, 576 = 24 2 என்பதால், சமன்பாட்டை 8 x ∙ 3 x = 24 2 அல்லது 24 x = 24 2 என எழுதலாம்.

இங்கிருந்து நாம் x = 2 ஐப் பெறுகிறோம்.

பதில். x = 2.

3 x+1 – 2∙3 x - 2 = 25 சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்.

தீர்வு.

இடதுபுறத்தில் உள்ள அடைப்புக்குறிக்குள் 3 x - 2 என்ற பொதுவான காரணியை எடுத்துக் கொண்டால், 3 x - 2 ∙ (3 3 – 2) = 25 – 3 x - 2 ∙ 25 = 25,

எங்கிருந்து 3 x - 2 = 1, அதாவது. x – 2 = 0, x = 2.

பதில். x = 2.

3 x = 7 x சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்.

தீர்வு.

7 x ≠ 0 என்பதால், சமன்பாட்டை 3 x /7 x = 1, எங்கிருந்து (3/7) x = 1, x = 0 என எழுதலாம்.

பதில். x = 0.

9 x – 4 ∙ 3 x – 45 = 0 சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்.

தீர்வு.

3 x = a ஐ மாற்றுவதன் மூலம் இந்த சமன்பாடு குறைகிறது இருபடி சமன்பாடு a 2 – 4a – 45 = 0.

இந்த சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதன் மூலம், அதன் வேர்களைக் காண்கிறோம்: a 1 = 9, மற்றும் 2 = -5, எங்கிருந்து 3 x = 9, 3 x = -5.

3 x = 9 என்ற சமன்பாட்டில் ரூட் 2 உள்ளது, மேலும் 3 x = -5 சமன்பாட்டிற்கு வேர்கள் இல்லை, ஏனெனில் அதிவேக செயல்பாடு எதிர்மறை மதிப்புகளை எடுக்க முடியாது.

பதில். x = 2.

அதிவேக ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பது பெரும்பாலும் ஒரு x > a b அல்லது a x சமத்துவமின்மைகளைத் தீர்ப்பதில் வருகிறது.< а b . Эти неравенства решаются с помощью свойства возрастания или убывания показательной функции.

சில பிரச்சனைகளைப் பார்ப்போம்.

சமத்துவமின்மையை 3 x தீர்க்கவும்< 81.

தீர்வு.

சமத்துவமின்மையை 3 x படிவத்தில் எழுதுவோம்< 3 4 . Так как 3 >1, பின்னர் செயல்பாடு y = 3 x அதிகரித்து வருகிறது.

எனவே, x க்கு< 4 выполняется неравенство 3 х < 3 4 , а при х ≥ 4 выполняется неравенство 3 х ≥ 3 4 .

எனவே, x இல்< 4 неравенство 3 х < 3 4 является верным, а при х ≥ 4 – неверным, т.е. неравенство
3 x< 81 выполняется тогда и только тогда, когда х < 4.

பதில். எக்ஸ்< 4.

சமத்துவமின்மையை 16 x +4 x – 2 > 0 தீர்க்கவும்.

தீர்வு.

4 x = t ஐக் குறிப்போம், பின்னர் இருபடி சமத்துவமின்மை t2 + t – 2 > 0 ஐப் பெறுகிறோம்.

இந்த சமத்துவமின்மை டி< -2 и при t > 1.

t = 4 x என்பதால், 4 x என்ற இரண்டு ஏற்றத்தாழ்வுகளைப் பெறுகிறோம்< -2, 4 х > 1.

அனைத்து x € Rக்கும் 4 x > 0 என்பதால் முதல் சமத்துவமின்மைக்கு தீர்வுகள் இல்லை.

இரண்டாவது சமத்துவமின்மையை 4 x > 4 0 வடிவத்தில் எழுதுகிறோம், எங்கிருந்து x > 0.

பதில். x > 0.

(1/3) x = x – 2/3 என்ற சமன்பாட்டை வரைபடமாகத் தீர்க்கவும்.

தீர்வு.

1) y = (1/3) x மற்றும் y = x – 2/3 செயல்பாடுகளின் வரைபடங்களை உருவாக்குவோம்.

2) எங்கள் உருவத்தின் அடிப்படையில், கருதப்படும் செயல்பாடுகளின் வரைபடங்கள் அப்சிஸ்ஸா x ≈ 1 புள்ளியில் வெட்டுகின்றன என்று முடிவு செய்யலாம். சரிபார்ப்பது அதை நிரூபிக்கிறது

x = 1 என்பது இந்த சமன்பாட்டின் வேர்:

(1/3) 1 = 1/3 மற்றும் 1 - 2/3 = 1/3.

வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், சமன்பாட்டின் வேர்களில் ஒன்றைக் கண்டுபிடித்துள்ளோம்.

3) வேறு வேர்களைக் கண்டுபிடிப்போம் அல்லது எதுவும் இல்லை என்பதை நிரூபிப்போம். செயல்பாடு (1/3) x குறைகிறது, மேலும் செயல்பாடு y = x - 2/3 அதிகரித்து வருகிறது. எனவே, x > 1 க்கு, முதல் செயல்பாட்டின் மதிப்புகள் 1/3 க்கும் குறைவாகவும், இரண்டாவது - 1/3 க்கும் அதிகமாகவும் இருக்கும்; x இல்< 1, наоборот, значения первой функции больше 1/3, а второй – меньше 1/3. Геометрически это означает, что графики этих функций при х >1 மற்றும் x< 1 «расходятся» и потому не могут иметь точек пересечения при х ≠ 1.

பதில். x = 1.

இந்த சிக்கலின் தீர்விலிருந்து, குறிப்பாக, சமத்துவமின்மை (1/3) x > x – 2/3 x க்கு திருப்தி அடைகிறது என்பதை நினைவில் கொள்க.< 1, а неравенство (1/3) х < х – 2/3 – при х > 1.

இணையதளம், உள்ளடக்கத்தை முழுமையாகவோ அல்லது பகுதியாகவோ நகலெடுக்கும்போது, ​​மூலத்திற்கான இணைப்பு தேவை.