Угол между двумя пересекающимися плоскостями – определение, примеры нахождения. Метод координат в пространстве: формулы и комментарии репетитора

Метод координат — весьма эффективный и универсальный способ нахождения любых углов или расстояний между стереометрическими объектами в пространстве. Если Ваш репетитор по математике имеет высокую квалификацию, то он должен это знать. В противном случае я бы советовал для «С» части сменить репетитора. Моя подготовка к ЕГЭ по математике С1-С6 обычно включает разбор основных алгоритмов и формул, описанных ниже.

Угол между прямыми а и b

Углом между прямыми в пространстве называется угол между любыми параллельными им пересекающимися прямыми. Этот угол равен углу между направляющими векторами данных прямых (или дополняет его до 180 град).

Какой алгоритм использует репетитор по математике для поиска угла?

1) Выбираем любые вектора и , имеющие направления прямых а и b (параллельные им).
2) Определяем координаты векторов и по соответствующим координатам их начал и концов (от координат конца вектора нужно отнять координаты начала).
3) Подставляем найденный координаты в формулу:
. Для нахождения самого угла, нужно найти арккосинус полученного результата.

Нормаль к плоскости

Нормалью к плоскости называется любой вектор, перпендикулярный к этой плоскости.
Как найти нормаль? Для поиска координат нормали достаточно узнать координаты любых трех точек M, N и K, лежащих в данной плоскости. По этим координатам находим координаты векторов и и требуем выполнения условий и . Приравнивая скалярные произведение векторов к нулю, составляем систему уравнений с тремя переменными, из которой можно найти координаты нормали.

Замечание репетитора по математике : Совсем не обязательно решать систему полностью, ибо достаточно подобрать хотя бы одну нормаль. Для этого можно подставить вместо какой-нибудь из ее неизвестных координат любое число (например единицу) и решить систему двух уравнений с оставшимися двумя неизвестными. Если она решений не имеет, то это значит, что в семействе нормалей нет той, у которой по выбранной переменной стоит единица. Тогда подставьте единицу вместо другой переменной (другой координаты) и решите новую систему. Если опять промахнетесь, то Ваша нормаль будет иметь единицу по последней координате, а сама она окажется параллельной какой-нибудь координатной плоскости (в таком случае ее легко найти и без системы).

Допустим, что нам заданы прямая и плоскость координатами направляющего вектора и нормали
Угол между прямой и плоскость вычисляется по следующей формуле:

Пусть и — две любые нормали к данным плоскостям. Тогда косинус угла между плоскостями равен модулю косинуса угла между нормалями:

Уравнение плоскости в пространстве

Точки, удовлетворяющие равенству образуют плоскость с нормалью . Коэффициент отвечает за величину отклонения (параллельного сдвига) между двумя плоскостями с одной и той же заданной нормалью . Для того, чтобы написать уравнение плоскости нужно сначала найти ее нормаль (как это описано выше), а затем подставить координаты любой точки плоскости вместе с координатами найденной нормали в уравнение и найти коэффициент .

МОУ средняя общеобразовательная школа №13

Метод координат

2008
План:

1. 
   Введение
2. 
   
3. 
   Суть метода координат
4. 
   Системы метода координат
5. 
   Основные формулы метода координат
6. 
   Задачи разного уровня сложности на тему «Метод координат»

1. 
   Заключение
2. 
   Список используемой литературы

Введение

В геометрии применяются различные методы решения задач - это синтетический (чисто геометрический) метод, метод преобразований, векторный, метод координат и другие. Они занимают различное положение в школе. Основным методом считается синтетический, а из других наиболее высокое положение занимает метод координат потому, что он тесно связан с алгеброй. Изящество синтетического метода достигается с помощью интуиции, догадок, дополнительных построений. Координатный метод этого не требует: решение задач во многом алгоритмизировано, что в большинстве случаев упрощает поиск и само решение задачи.

Метод координат - способ определять положение точки или тела с помощью чисел или других символов .

Система координат - комплекс определений, реализующий метод координат, т.е. способ определять положение точки или тела с помощью чисел или других символов.

Придавая геометрическим исследованиям алгебраический характер, метод координат переносит в геометрию наиболее важную особенность алгебры - единообразие способов решения задач. Если в арифметике и элементарной геометрии приходится, как правило, искать для каждой задачи особый путь решения, то в алгебре и аналитической геометрии решения проводятся по общему для всех задач плану, легко приспособляемому к любой задаче. Перенесение в геометрию свойственных алгебре и поэтому обладающих большой общностью способов решения задач составляет главную ценность метода координат. Другое достоинство метода координат состоит в том, что его применение избавляет от необходимости прибегать к наглядному представлению сложных пространственных изображений.

Цели изучения метода координат

Можно выделить следующие цели изучения метода координат в школьном курсе геометрии:

• 
  дать учащимся эффективный метод решения задач и доказательства ряда теорем;
• 
  показать на основе этого метода тесную связь алгебры и геометрии;
• 
  способствовать развитию вычислительной и графической культуры учащихся.

Суть метода координат

Сущность метода координат как метода решения задач состоит в том, что, задавая фигуры уравнениями и выражая в координатах различные геометрические соотношения, мы можем решать геометрическую задачу средствами алгебры. Обратно, пользуясь координатами, можно истолковывать алгебраические и аналитические соотношения и факты геометрически и таким образом применять геометрию к решению алгебраических задач.

Метод координат - это универсальный метод.

В отношении школьного курса геометрии можно сказать, что в некоторых случаях метод координат дает возможность строить доказательства и решать многие задачи более рационально, красиво, чем чисто геометрическими способами. Метод координат связан, правда, с одной геометрической сложностью. Одна и та же задача получает различное аналитическое представление в зависимости от того или иного выбора системы координат. И только достаточный опыт позволяет выбирать систему координат наиболее целесообразно.

Родился в Турине в зажиточной дворянской семье. Через несколько дней от чахотки умерла его мать, выходила и сохранила ему жизнь кормилица. В 8 лет Рене отдали на полное попечение в одну из лучших иезуитских коллегий. С детства Декарт любил решать задачи и все свое свободное время посвящал изучению математики. Декарт изучал философию, математику, физику, астрономию, филологию. Декарт впервые показал, как можно применить математику для наглядного изображения и математического анализа для самых разнообразных явлений природы и общества.

В его работах впервые появляются:

1. 
   переменные величины
2. 
   строгие законы геометрии переведены на алгебраический язык
3. 
   предложено изображать связи между явлениями природы кривыми линиями, а записывать их алгебраическими выражениями
4. 
   введены латинские буквы постоянных и переменных величин, а также обозначения степеней

3. Полярная система координат . Полярные координаты точки определяются следующим образом: на плоскости задается числовой луч ОХ. Начало луча, точка О, называется полюсом, а ось ОХ – полярной осью. Для определения положения точки М в полярной системе координат указывают расстояние от полюса до этой точки и направление, в котором она находится. Расстояние от точки до полюса называется полярным радиусом точки и обозначается буквой (произносится “ро”).

Направление задается углом поворота от луча ОХ до луча ОМ

Метод координат

формулы

Длина вектора по его координатам

Формула для нахождения координат середины отрезка

Расстояние между двумя точками

Уравнение окружности ,(центр окружности
,радиус r)

Уравнение прямой
, при условии
(уравнением прямой в прямоугольной системе координат является уравнение первой степени)

Каждая прямая задается уравнением. При этом числа a,b,c определяются для каждой прямой однозначно с точностью до пропорциональности (если умножить их на одно и то же число
, то полученное уравнение
будет определять ту же прямую).

Расстояние от точки
до прямой m
,равно

Расстояние от точки
до плоскости
, равно

Вывод формулы
.

Опустим из точки
перпендикуляр АВ на плоскость , заданную уравнением
.Пусть
- точка пересечения этого перпендикуляра с плоскостью . Тогда
- расстояние от точки
до плоскости .Поскольку вектор перпендикулярен плоскости ,он коллинеарен вектору
.Это означает, что
,если
, или
,если
, то есть
.Перепишем это равенство в координатах: .Но точка
, поэтому
и
=
.
(теорема Стюарта)

Если дан треугольник АВС и на его основании точка D , лежащая между точками В и С, то справедливо равенство:

Доказательство:

Выберем систему координат как показано на рисунке.

В выбранной системе координат вершины треугольника АВС будут иметь следующие координаты:

A(x 1 ;y 1 ), B(x 2 ;0), C(0;0) и точка D(x 3 ;0) .

Вычислим все величины, входящие в равенство :

Подставим все эти значения в левую часть равенства:

что и требовалось доказать.

Задача 1. Найти расстояние от точки А(-1,3,0) до плоскости , заданной уравнением x -3y -2z +5=0.

Решение. По формуле
получаем:

.

Ответ:
.

Решение. По свойству скалярного произведения раскроем скобки:

=

Из определения скалярного произведения получаем:
(так как и перпендикулярны);

Подставляя эти значения в выражение
=, находим скалярное произведение:
=0 – 50+9 12 -120=-62

Ответ:
=0 – 50+9 12 -120=-62
Задача 3 .Дан квадрат ABCD со стороной а . Определите расстояние между серединой отрезка АМ , где М – середина ВС , и точкой N на стороне CD , делящей ее так, что CN:ND=3:1 .

Решение:

Тогда точки M и N , согласно условию, будут иметь координаты:

соответственно.

Так как Е – середина АМ , то ее координаты будут следующими:

Значит, Е .

Найдем расстояние между точками E и N :

Ответ: ЕN =

Решение.

Введем систему координат с центром в вершине В.Тогда
Найдем уравнение плоскости . Пусть это уравнение . Заметим, что не проходит через начало координат, поэтому
и уравнение можно разделить на D; получим следующее уравнение:
или ax + by + cz +1=0

Для определения неизвестных коэффициентов a, b и c подставим в уравнение ax + by + cz +1=0 координаты трех точек Е, F и О, удовлетворяющие этому уравнению (так как эти точки лежат в плоскости ).Получим систему уравнений:
Преобразуем систему, умножив первое уравнение на 3,второе на 4,а третье на -6 и сложив первое уравнение с третьим получаем
, b=-4,
.Итак уравнение плоскости имеет вид:

5x + 8y - 9z – 2 =0. Теперь находим расстояние от точки В1(0,0,1) до плоскости
.

Ответ:
.

В данной статье на примере решения задачи C2 из ЕГЭ разобран способ нахождения с помощью метода координат. Напомним, что прямые являются скрещивающи-мися, если они не лежат в одной плоскости. В частности, если одна прямая лежит в плоскости, а вторая прямая пересекает эту плоскость в точке, которая не лежит на первой прямой, то такие прямые являются скрещивающимися (см. рисунок).

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми необходимо:

1. Провести через одну из скрещивающихся прямых плоскость, которая параллельна другой скрещивающейся прямой.
2. Опустить перпендикуляр из любой точки второй прямой на полученную плоскость. Длина этого перпендикуляра будет являться искомым расстоянием между прямыми.

Разберем данный алгоритм подробнее на примере решения задачи C2 из ЕГЭ по математике.

Расстояние между прямыми в пространстве

Задача. В единичном кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 найдите расстояние между прямыми BA 1 и DB 1 .

Рис. 1. Чертеж к задаче

Решение. Через середину диагонали куба DB 1 (точку O ) проведем прямую, параллельную прямой A 1 B . Точки пересечения данной прямой с ребрами BC и A 1 D 1 обозначаем соответственно N и M . Прямая MN лежит в плоскости MNB 1 и параллельна прямой A 1 B , которая в этой плоскости не лежит. Это означает, что прямая A 1 B параллельна плоскости MNB 1 по признаку параллельности прямой и плоскости (рис. 2).

Рис. 2. Искомое расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию от любой точки выделенной прямой до изображенной плоскости

Ищем теперь расстояние от какой-нибудь точки прямой A 1 B до плоскости MNB 1 . Это расстояние по определению будет являться искомым расстоянием между скрещивающимися прямыми.

Для нахождения этого расстояния воспользуемся методом координат. Введем прямоугольную декартову систему координат таким образом, чтобы ее начало совпало с точкой B, ось X была направлена вдоль ребра BA , ось Y — вдоль ребра BC , ось Z — вдоль ребра BB 1 (рис. 3).

Рис. 3. Прямоугольную декартову систему координат выберем так, как показано на рисунке

Находим уравнение плоскости MNB 1 в данной системе координат. Для этого определяем сперва координаты точек M , N и B 1: Полученные координаты подставляем в общее уравнение прямой и получаем следующую систему уравнений:

Из второго уравнения системы получаем из третьего получаем после чего из первого получаем Подставляем полученные значения в общее уравнение прямой:

Замечаем, что иначе плоскость MNB 1 проходила бы через начало координат. Делим обе части этого уравнения на и получаем:

Расстояние от точки до плоскости определяется по формуле.

Буду кратким. Угол между двумя прямыми равен углу между их направляющими векторами. Таким образом, если вам удастся найти координаты направляющих векторов a = (x 1 ; y 1 ; z 1) и b = (x 2 ; y 2 ; z 2), то сможете найти угол. Точнее, косинус угла по формуле:

Посмотрим, как эта формула работает на конкретных примерах:

Задача. В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 отмечены точки E и F - середины ребер A 1 B 1 и B 1 C 1 соответственно. Найдите угол между прямыми AE и BF.

Поскольку ребро куба не указано, положим AB = 1. Введем стандартную систему координат: начало в точке A, оси x, y, z направим вдоль AB, AD и AA 1 соответственно. Единичный отрезок равен AB = 1. Теперь найдем координаты направляющих векторов для наших прямых.

Найдем координаты вектора AE. Для этого нам потребуются точки A = (0; 0; 0) и E = (0,5; 0; 1). Поскольку точка E - середина отрезка A 1 B 1 , ее координаты равны среднему арифметическому координат концов. Заметим, что начало вектора AE совпадает с началом координат, поэтому AE = (0,5; 0; 1).

Теперь разберемся с вектором BF. Аналогично, разбираем точки B = (1; 0; 0) и F = (1; 0,5; 1), т.к. F - середина отрезка B 1 C 1 . Имеем:
BF = (1 − 1; 0,5 − 0; 1 − 0) = (0; 0,5; 1).

Итак, направляющие векторы готовы. Косинус угла между прямыми - это косинус угла между направляющими векторами, поэтому имеем:

Задача. В правильной трехгранной призме ABCA 1 B 1 C 1 , все ребра которой равны 1, отмечены точки D и E - середины ребер A 1 B 1 и B 1 C 1 соответственно. Найдите угол между прямыми AD и BE.

Введем стандартную систему координат: начало координат в точке A, ось x направим вдоль AB, z - вдоль AA 1 . Ось y направим так, чтобы плоскость OXY совпадала с плоскостью ABC. Единичный отрезок равен AB = 1. Найдем координаты направляющих векторов для искомых прямых.

Для начала найдем координаты вектора AD. Рассмотрим точки: A = (0; 0; 0) и D = (0,5; 0; 1), т.к. D - середина отрезка A 1 B 1 . Поскольку начало вектора AD совпадает с началом координат, получаем AD = (0,5; 0; 1).

Теперь найдем координаты вектора BE. Точка B = (1; 0; 0) считается легко. С точкой E - серединой отрезка C 1 B 1 - чуть сложнее. Имеем:

Осталось найти косинус угла:

Задача. В правильной шестигранной призме ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , все ребра которой равны 1, отмечены точки K и L - середины ребер A 1 B 1 и B 1 C 1 соответственно. Найдите угол между прямыми AK и BL.

Введем стандартную для призмы систему координат: начало координат поместим в центр нижнего основания, ось x направим вдоль FC, ось y - через середины отрезков AB и DE, а ось z - вертикально вверх. Единичный отрезок снова равен AB = 1. Выпишем координаты интересующих нас точек:

Точки K и L - середины отрезков A 1 B 1 и B 1 C 1 соответственно, поэтому их координаты находятся через среднее арифметическое. Зная точки, найдем координаты направляющих векторов AK и BL:

Теперь найдем косинус угла:

Задача. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, отмечены точки E и F - середины сторон SB и SC соответственно. Найдите угол между прямыми AE и BF.

Введем стандартную систему координат: начало в точке A, оси x и y направим вдоль AB и AD соответственно, а ось z направим вертикально вверх. Единичный отрезок равен AB = 1.

Точки E и F - середины отрезков SB и SC соответственно, поэтому их координаты находятся как среднее арифметическое концов. Выпишем координаты интересующих нас точек:
A = (0; 0; 0); B = (1; 0; 0)

Зная точки, найдем координаты направляющих векторов AE и BF:

Координаты вектора AE совпадают с координатами точки E, поскольку точка A - начало координат. Осталось найти косинус угла: