Как найти уравнения касательной плоскости и нормалик поверхности в заданной точке? Вектор нормали прямой (нормальный вектор)

Что такое нормаль? Простыми словами, нормаль – это перпендикуляр. То есть, вектор нормали прямой перпендикулярен данной прямой. Очевидно, что у любой прямой их бесконечно много (так же, как и направляющих векторов), причём все векторы нормали прямой будут коллинеарными (сонаправленными или нет – без разницы).

Разборки с ними будут даже проще, чем с направляющими векторами:

Если прямая задана общим уравнением в прямоугольной системе координат, то вектор является вектором нормали данной прямой.

Если координаты направляющего вектора приходиться аккуратно «вытаскивать» из уравнения, то координаты вектора нормали достаточно просто «снять».

Вектор нормали всегда ортогонален направляющему вектору прямой. Убедимся в ортогональности данных векторов с помощью скалярного произведения:

Приведу примеры с теми же уравнениями, что и для направляющего вектора:

Можно ли составить уравнение прямой, зная одну точку и вектор нормали? Если известен вектор нормали, то однозначно определено и направление самой прямой – это «жёсткая конструкция» с углом в 90 градусов.

Как составить уравнение прямой по точке и вектору нормали?

Если известна некоторая точка , принадлежащая прямой, и вектор нормали этой прямой, то уравнение данной прямой выражается формулой:

Составить уравнение прямой по точке и вектору нормали . Найти направляющий вектор прямой.

Решение: Используем формулу:

Общее уравнение прямой получено, выполним проверку:

1) «Снимаем» координаты вектора нормали с уравнения : – да, действительно, получен исходный вектор из условия (либо должен получиться коллинеарный исходному вектор).

2) Проверим, удовлетворяет ли точка уравнению :

Верное равенство.

После того, как мы убедились в том, что уравнение составлено правильно, выполним вторую, более лёгкую часть задания. Вытаскиваем направляющий вектор прямой:

Ответ:

На чертеже ситуация выглядит следующим образом:

В целях тренировки аналогичная задача для самостоятельного решения:

Составить уравнение прямой по точке и нормальному вектору . Найти направляющий вектор прямой.

Заключительный раздел урока будет посвящен менее распространённым, но тоже важным видам уравнений прямой на плоскости

Уравнение прямой в отрезках.
Уравнение прямой в параметрической форме

Уравнение прямой в отрезках имеет вид , где – ненулевые константы. Некоторые типы уравнений нельзя представить в таком виде, например, прямую пропорциональность (так как свободный член равен нулю и единицу в правой части никак не получить).

Это, образно говоря, «технический» тип уравнения. Обыденная задача состоит в том, чтобы общее уравнение прямой представить в виде уравнения прямой в отрезках . Чем оно удобно? Уравнение прямой в отрезках позволяет быстро найти точки пересечения прямой с координатными осями, что бывает очень важным в некоторых задачах высшей математики.

Найдём точку пересечения прямой с осью . Обнуляем «игрек», и уравнение принимает вид . Нужная точка получается автоматически: .

Аналогично с осью – точка, в которой прямая пересекает ось ординат.

Действия, которые я только что подробно разъяснил, выполняются устно.

Дана прямая . Составить уравнение прямой в отрезках и определить точки пересечения графика с координатными осями.

Решение: Приведём уравнение к виду . Сначала перенесём свободный член в правую часть:

Чтобы получить справа единицу, разделим каждый член уравнения на –11:

Делаем дроби трёхэтажными:

Точки пересечения прямой с координатными осями всплыли на поверхность:

Ответ:

Осталось приложить линеечку и провести прямую.

Легко усмотреть, что данная прямая однозначно определяется красным и зелёным отрезками, отсюда и название – «уравнение прямой в отрезках».

Конечно, точки не так трудно найти и из уравнения , но задача всё равно полезная. Рассмотренный алгоритм потребуется для нахождения точек пересечения плоскости с координатными осями, для приведения уравнения линии второго порядка к каноническому виду и в некоторых других задачах. Поэтому пара прямых для самостоятельного решения:

Составить уравнение прямой в отрезках и определить точки её пересечения с координатными осями.

Решения и ответы в конце. Не забывайте, что при желании всё можно начертить.

Как составить параметрические уравнениЯ прямой?

Параметрические уравнения прямой больше актуальны для прямых в пространстве, но без них наш конспект осиротеет.

Если известна некоторая точка , принадлежащая прямой, и направляющий вектор этой прямой, то параметрические уравнения данной прямой задаются системой:

Составить параметрические уравнения прямой по точке и направляющему вектору

Решение закончилось, не успев начаться:

Параметр «тэ» может принимать любые значения от «минус бесконечности» до «плюс бесконечности», и каждому значению параметра соответствует конкретная точка плоскости. Например, если , то получаем точку .

Обратная задача: как проверить, будет ли точка условия принадлежать данной прямой?

Подставим координаты точки в полученные параметрические уравнения:

Из обоих уравнений следует, что , то есть, система совместна и имеет единственное решение.

Рассмотрим более содержательные задания:

Составить параметрические уравнения прямой

Решение: По условию прямая задана в общем виде. Для того чтобы составить параметрические уравнения прямой, нужно знать её направляющий вектор и какую-нибудь точку, принадлежащую данной прямой.

Найдём направляющий вектор:

Теперь нужно найти какую-нибудь точку, принадлежащую прямой (подойдёт любая), в этих целях общее уравнение удобно переписать в виде уравнения с угловым коэффициентом:

Напрашивается, конечно, точка

Составим параметрические уравнения прямой:

И напоследок небольшая творческая задача для самостоятельного решения.

Составить параметрические уравнения прямой, если известна принадлежащая ей точка и вектор нормали

Задачу можно оформить не единственным способом. Одна из версий решения и ответ в конце.

Решения и ответы:

Пример 2: Решение: Найдём угловой коэффициент:

Уравнение прямой составим по точке и угловому коэффициенту :

Ответ:

Пример 4: Решение: Уравнение прямой составим по формуле:

Ответ:

Пример 6: Решение: Используем формулу:

Ответ : (ось ординат)

Пример 8: Решение : Составим уравнение прямой по двум точкам:

Умножаем обе части на –4:

И делим на 5:

Ответ :

Пример 10: Решение : Используем формулу:

Сокращаем на –2:

Направляющий вектор прямой:
Ответ :

Пример 12:
а) Решение : Преобразуем уравнение:

Таким образом:

Ответ :

б) Решение : Преобразуем уравнение:

Таким образом:

Ответ :

Пример 15: Решение : Сначала составим общее уравнение прямой по точке и вектору нормали :

Умножаем на 12:

Умножаем ещё на 2, чтобы после раскрытия второй скобки избавиться от дроби:

Направляющий вектор прямой:
Параметрические уравнения прямой составим по точке и направляющему вектору :
Ответ :

Простейшие задачи с прямой на плоскости.
Взаимное расположение прямых. Угол между прямыми

Продолжаем рассматривать эти бесконечные-бесконечные прямые.

Как найти расстояние от точки до прямой?
Как найти расстояние между двумя параллельными прямыми?
Как найти угол между двумя прямыми?

Взаимное расположение двух прямых

Рассмотрим две прямые, заданные уравнениями в общем виде:

Тот случай, когда зал подпевает хором. Две прямые могут:

1) совпадать;

2) быть параллельными: ;

3) или пересекаться в единственной точке: .

Пожалуйста, запомните математический знак пересечения , он будет встречаться очень часто. Запись обозначает, что прямая пересекается с прямой в точке .

Как определить взаимное расположение двух прямых?

Начнём с первого случая:

Две прямые совпадают, тогда и только тогда, когда их соответствующие коэффициенты пропорциональны, то есть, существует такое число «лямбда», что выполняются равенства

Рассмотрим прямые и составим три уравнения из соответствующих коэффициентов: . Из каждого уравнения следует, что , следовательно, данные прямые совпадают.

Действительно, если все коэффициенты уравнения умножить на –1 (сменить знаки), и все коэффициенты уравнения сократить на 2, то получится одно и то же уравнение: .

Второй случай, когда прямые параллельны:

Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда их коэффициенты при переменных пропорциональны: , но .

В качестве примера рассмотрим две прямые . Проверяем пропорциональность соответствующих коэффициентов при переменных :

Однако совершенно очевидно, что .

И третий случай, когда прямые пересекаются:

Две прямые пересекаются, тогда и только тогда, когда их коэффициенты при переменных НЕ пропорциональны, то есть НЕ существует такого значения «лямбда», чтобы выполнялись равенства

Так, для прямых составим систему:

Из первого уравнения следует, что , а из второго уравнения: , значит, система несовместна (решений нет). Таким образом, коэффициенты при переменных не пропорциональны.

Вывод: прямые пересекаются

В практических задачах можно использовать только что рассмотренную схему решения. Она, кстати, весьма напоминает алгоритм проверки векторов на коллинеарность. Но существует более цивилизованная упаковка:

Выяснить взаимное расположение прямых:

Решение основано на исследовании направляющих векторов прямых:

а) Из уравнений найдём направляющие векторы прямых: .

, значит, векторы не коллинеарны и прямые пересекаются.

б) Найдем направляющие векторы прямых :

Прямые имеют один и тот же направляющий вектор, значит, они либо параллельны, либо совпадают. Тут и определитель считать не надо.

Очевидно, что коэффициенты при неизвестных пропорциональны, при этом .

Выясним, справедливо ли равенство :

Таким образом,

в) Найдем направляющие векторы прямых :

Вычислим определитель, составленный из координат данных векторов:
, следовательно, направляющие векторы коллинеарны. Прямые либо параллельны, либо совпадают.

Коэффициент пропорциональности «лямбда» можно узнать прямо соотношения коллинеарных направляющих векторов . Впрочем, можно и через коэффициенты самих уравнений: .

Теперь выясним, справедливо ли равенство . Оба свободных члена нулевые, поэтому:

Полученное значение удовлетворяет данному уравнению (ему удовлетворяет вообще любое число).

Таким образом, прямые совпадают.

Как построить прямую, параллельную данной?

Прямая задана уравнением . Составить уравнение параллельной прямой, которая проходит через точку .

Решение: Обозначим неизвестную прямую буквой . Что о ней сказано в условии? Прямая проходит через точку . А если прямые параллельны, то очевидно, что направляющий вектор прямой «цэ» подойдёт и для построения прямой «дэ».

Вытаскиваем направляющий вектор из уравнения :

Геометрия примера выглядит незатейливо:

Аналитическая же проверка состоит в следующих шагах:

1) Проверяем, что у прямых один и тот же направляющий вектор (если уравнение прямой не упрощено должным образом, то векторы будут коллинеарны).

2) Проверяем, удовлетворяет ли точка полученному уравнению .

Аналитическую проверку в большинстве случаев легко выполнить устно. Посмотрите на два уравнения, и многие из вас быстро определят параллельность прямых безо всякого чертежа.

Примеры для самостоятельного решения сегодня будут творческими.

Составить уравнение прямой, проходящей через точку , параллельную прямой , если

Самый короткий путь – в конце.

Как найти точку пересечения двух прямых?

Если прямые пересекаются в точке , то её координаты являются решением системы линейных уравнений

Как найти точку пересечения прямых? Решить систему.

Вот вам и геометрический смысл системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными – это две пересекающиеся (чаще всего) прямые на плоскости.

Найти точку пересечения прямых

Решение: Существуют два способа решения – графический и аналитический.

Графический способ состоит в том, чтобы просто начертить данные прямые и узнать точку пересечения непосредственно из чертежа:

Вот наша точка: . Для проверки следует подставить её координаты в каждое уравнение прямой, они должны подойти и там, и там. Иными словами, координаты точки являются решением системы . По сути, мы рассмотрели графический способ решения системы линейных уравнений с двумя уравнениями, двумя неизвестными.

Графический способ, конечно, неплох, но существует заметные минусы. Нет, дело не в том, что так решают семиклассники, дело в том, что на правильный и ТОЧНЫЙ чертёж уйдёт время. Кроме того, некоторые прямые построить не так-то просто, да и сама точка пересечения может находиться где-нибудь в тридесятом царстве за пределами тетрадного листа.

Поэтому точку пересечения целесообразнее искать аналитическим методом. Решим систему:

Для решения системы использован метод почленного сложения уравнений.

Проверка тривиальна – координаты точки пересечения должны удовлетворять каждому уравнению системы.

Найти точку пересечения прямых в том случае, если они пересекаются.

Это пример для самостоятельного решения. Задачу удобно разбить на несколько этапов. Анализ условия подсказывает, что необходимо:
1) Составить уравнение прямой .
2) Составить уравнение прямой .
3) Выяснить взаимное расположение прямых .
4) Если прямые пересекаются, то найти точку пересечения.

Разработка алгоритма действий типична для многих геометрических задач, и я на этом буду неоднократно заострять внимание.

Полное решение и ответ в конце:

Перпендикулярные прямые. Расстояние от точки до прямой.
Угол между прямыми

Как построить прямую, перпендикулярную данной?

Прямая задана уравнением . Составить уравнение перпендикулярной прямой , проходящей через точку .

Решение: По условию известно, что . Неплохо бы найти направляющий вектор прямой . Поскольку прямые перпендикулярны, фокус прост:

Из уравнения «снимаем» вектор нормали: , который и будет направляющим вектором прямой .

Уравнение прямой составим по точке и направляющему вектору :

Ответ:

Развернём геометрический этюд:

Аналитическая проверка решения:

1) Из уравнений вытаскиваем направляющие векторы и с помощью скалярного произведения векторов приходим к выводу, что прямые действительно перпендикулярны: .

Кстати, можно использовать векторы нормали, это даже проще.

2) Проверяем, удовлетворяет ли точка полученному уравнению .

Проверку, опять же, легко выполнить устно.

Найти точку пересечения перпендикулярных прямых , если известно уравнение и точка .

Это пример для самостоятельного решения. В задаче несколько действий, поэтому решение удобно оформить по пунктам.

Расстояние от точки до прямой

Расстояние в геометрии традиционно обозначают греческой буквой «р», например: – расстояние от точки «м» до прямой «д».

Расстояние от точки до прямой выражается формулой

Найти расстояние от точки до прямой

Решение: всё что нужно, это аккуратно подставить числа в формулу и провести вычисления:

Ответ:

Выполним чертёж:

Найденное расстояние от точки до прямой – это в точности длина красного отрезка. Если оформить чертёж на клетчатой бумаге в масштабе 1 ед. = 1 см (2 клетки), то расстояние можно измерить обыкновенной линейкой.

Рассмотрим ещё одно задание по этому же чертежу:

Как построить точку, симметричную относительно прямой?

Задача состоит в том, чтобы найти координаты точки , которая симметрична точке относительно прямой . Предлагаю выполнить действия самостоятельно, однако обозначу алгоритм решения с промежуточными результатами:

1) Находим прямую , которая перпендикулярна прямой .

2) Находим точку пересечения прямых: .

В геометрии за угол между двумя прямыми принимается МЕНЬШИЙ угол, из чего автоматически следует, что он не может быть тупым. На рисунке угол, обозначенный красной дугой, не считается углом между пересекающимися прямыми. А считается таковым его «зелёный» сосед или противоположно ориентированный «малиновый» угол .

Если прямые перпендикулярны, то за угол между ними можно принимать любой из 4-х углов.

Чем отличаются углы ? Ориентацией. Во-первых, принципиально важным является направление «прокрутки» угла. Во-вторых, отрицательно ориентированный угол записывается со знаком «минус», например, если .

Зачем я это рассказал? Вроде бы можно обойтись и обычным понятием угла. Дело в том, что в формулах, по которым мы будем находить углы, запросто может получиться отрицательный результат, и это не должно застать вас врасплох. Угол со знаком «минус» ничем не хуже, и имеет вполне конкретный геометрический смысл. На чертеже для отрицательного угла следует обязательно указывать стрелкой его ориентацию (по часовой стрелке).

Исходя из вышесказанного, решение удобно оформить в два шага:

1) Вычислим скалярное произведение направляющих векторов прямых:
, значит, прямые не перпендикулярны.

2) Угол между прямыми найдём по формуле:

С помощью обратной функции легко найти и сам угол. При этом используем нечётность арктангенса:

Ответ:

В ответе указываем точное значение, а также приближённое значение (желательно и в градусах, и в радианах), вычисленное с помощью калькулятора.

Ну, минус, так минус, ничего страшного. Вот геометрическая иллюстрация:

Неудивительно, что угол получился отрицательной ориентации, ведь в условии задачи первым номером идёт прямая и «открутка» угла началась именно с неё.

Есть и третий способ решения. Идея состоит в том, чтобы вычислить угол между направляющими векторами прямых:

Здесь уже речь идёт не об ориентированном угле, а «просто об угле», то есть результат заведомо будет положительным. Загвоздка состоит в том, что может получиться тупой угол (не тот, который нужен). В этом случае придётся делать оговорку, что угол между прямыми – это меньший угол, и из «пи» радиан (180-ти градусов) вычитать получившийся арккосинус.

Найти угол между прямыми .

Это пример для самостоятельного решения. Попробуйте решить его двумя способами.

Решения и ответы:

Пример 3: Решение: Найдём направляющий вектор прямой :

Уравнение искомой прямой составим по точке и направляющему вектору

Примечание: здесь первое уравнение системы умножено на 5, затем из 1-го уравнения почленно вычтено 2-ое.
Ответ:

Вектор нормали к поверхности в точке совпадает с нормалью к касательной плоскости в этой точке.

Вектор нормали к поверхности в данной точке - это единичный вектор , приложенный к данной точке и параллельный направлению нормали. Для каждой точки гладкой поверхности можно задать два нормальных вектора, отличающихся направлением. Если на поверхности можно задать непрерывное поле нормальных векторов, то говорят, что это поле задает ориентацию поверхности (то есть выделяет одну из сторон). Если этого сделать нельзя, поверхность называется неориентируемой .

Аналогично определяется вектор нормали к кривой в данной точке. Очевидно, что к кривой к данной точке можно приложить бесконечно много не параллельных векторов нормали (аналогично тому, как к поверхности можно приложить бесконечно много не параллельных касательных векторов). Среди них выбирают два, ортогональных друг к другу: вектор главной нормали, и вектор бинормали .

См. также

Литература

• Погорелов А. И. Дифференциальная геометрия (6-е издание). М.: Наука, 1974 (djvu)

Wikimedia Foundation . 2010 .

• Битва при Треббии (1799)
• Граммонит

Смотреть что такое "Нормаль" в других словарях:

НОРМАЛЬ - (фр.). Перпендикуляр к касательной, проведенной к кривой, в данной точке, нормаль которой отыскивается. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. НОРМАЛЬ перпендикулярная линия к касательной, проведенной к… … Словарь иностранных слов русского языка

нормаль - и, ж. normale f. <лат. normalis. 1. мат. Перпендикуляр к касательной прямой или плоскости, проходящий через точку касания. БАС 1. Нормальная линия, или нормаль. В аналитической геометрии так называется прямая линия, перпендикулярная к… … Исторический словарь галлицизмов русского языка

нормаль - перпендикуляр. Ant. параллель Словарь русских синонимов. нормаль сущ., кол во синонимов: 3 бинормаль (1) … Словарь синонимов

НОРМАЛЬ - (от лат. normalis прямой) к кривой линии (поверхности) в данной ее точке прямая, проходящая через эту точку и перпендикулярная к касательной прямой (касательной плоскости) в этой точке …

НОРМАЛЬ - устаревшее название стандарта … Большой Энциклопедический словарь

НОРМАЛЬ - НОРМАЛЬ, нормали, жен. 1. Перпендикуляр к касательной прямой или плоскости, проходящий через точку касания (мат.). 2. Деталь установленного заводом образца (тех.). Толковый словарь Ушакова. Д.Н. Ушаков. 1935 1940 … Толковый словарь Ушакова

нормаль - нормальный вертикальный стандартный реальный — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом Синонимы нормальныйвертикальныйстандартныйреальный EN normal … Справочник технического переводчика

нормаль - и; ж. [от лат. normalis прямолинейный] 1. Матем. Перпендикуляр к касательной прямой или плоскости, проходящей через точку касания. 2. Техн. Деталь установленного образца. * * * нормаль I (от лат. normalis прямой) к кривой линии (поверхности) в… … Энциклопедический словарь

НОРМАЛЬ - (франц. normal нормаль, норма, от лат. normalis прямой) 1) Н. в стандарт и з а ц и и устаревшее назв. стандарта. 2) Н. в математике Н. к кривой (поверхности) в данной точке наз. прямую, проходящую через эту точку и перпендикулярную к касат.… … Большой энциклопедический политехнический словарь

нормаль - normalė statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. normal vok. Normale, f rus. нормаль, f pranc. normale, f … Fizikos terminų žodynas

Книги

• Геометрия алгебраических уравнений, разрешимых в радикалах: С приложениями в численных методах и вычислительной геометрии , Кутищев Г.П.. В этой книге, на теоретическом уровне несколько выше школьного, очень подробно рассмотрены алгебраические уравнения, допускающие решение в элементарных операциях, или решение в радикалах. Эти…

Нормаль плоскости n (вектор нормали к плоскости) – это всякий направленный перпендикуляр к ней (ортогональный вектор). Последующие выкладки по определении нормали зависят от метода задания плоскости.

Инструкция

1. Если задано всеобщее уравнение плоскости – AX+BY+CZ+D=0 либо его форма A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0, то дозволено сразу записать результат – n(А, В, С). Дело в том, что это уравнение было получено, как задача определения уравнения плоскости по нормали и точке.

2. Для приобретения всеобщего результата, вам потребуется векторное произведение векторов из-за того, что последнее неизменно перпендикулярно начальным векторам. Выходит, векторным произведением векторов, является определенный вектор, модуль которого равен произведению модуля первого (а) на модуль второго (b) и на синус угла между ними. При этом данный вектор (обозначьте его через n) ортогонален a и b – это основное. Тройка этих векторов правая, то есть из конца n кратчайший поворот от a к b совершается вопреки часовой стрелки. – одно из общепризнанных обозначений векторного произведения. Для вычисления векторного произведения в координатной форме, применяется вектор-определитель (см. рис.1)

3. Для того дабы не путаться со знаком «-», перепишите итог в виде: n={nx, ny, nz}=i(aybz-azby)+j(azbx-axbz)+k(axby-aybx), и в координатах: {nx, ny, nz}={(aybz-azby), (azbx-axbz), (axby-aybx)}.Больше того, чтобы не путаться с численными примерами выпишете все полученные значения по отдельности: nx=aybz-azby, ny=azbx-axbz, nz=axby-aybx.

4. Вернитесь к решению поставленной задачи. Плоскость дозволено задать разными методами. Пускай нормаль к плоскости определяется двумя неколлинеарными векторами, причем сразу численно. Пускай даны векторы a(2, 4, 5) и b(3, 2, 6). Нормаль к плоскости совпадает с их векторным произведением и, как только что было выяснено будет равна n(nx, ny, nz),nx=aybz-azby, ny=azbx-axbz, nz=axby-aybx. В данном случае ax=2, ay=4, az=5, bx=3, by=2, bz=6. Таким образом, nx=24-10=14, ny=12-15=-3, nz=4-8=-4. Нормаль обнаружена – n(14, -3, -4). При этом она является нормалью к целому семейству плоскостей.

Под математическим термином нормаль прячется больше привычное на слух представление перпендикуляра. То есть задача нахождения нормали подразумевает поиск уравнения прямой, перпендикулярной к заданной косой либо поверхности, проходящей через определенную точку. В зависимости от того, на плоскости либо в пространстве требуется обнаружить нормаль , данная задача решается по-различному. Разглядим оба варианта задачи.

Вам понадобится

• умение находить производные функции, знание находить частные производные функции нескольких переменных

Инструкция

1. Нормаль к косой, заданной на плоскости в виде уравнения у = f(x).Находим значение функции, которая определяет уравнение данной косой в точке, в которой ищется уравнение нормали: а = f(x0). Находим производную к данной функции: f"(x). Ищем значение производной в этой же точке: B = f"(x0). Вычисляем значение дальнейшего выражения: C = a – B*x0. Составляем уравнение нормали, которое будет иметь вид: у = B*x + C.

2. Нормаль к поверхности либо косой, заданной в пространстве в виде уравнения f = f(x,y,z).Находим частные производные к данной нам функции: f’x(x,y,z), f’y(x,y,z), f’z(x,y,z). Ищем значение этих производных в точке М(x0,y0,z0) – точка, в которой нужно обнаружить уравнение нормали к поверхности либо пространственной косой: A = f’x(x0,y0,z0), B = f’y(x0,y0,z0), C = f’z(x0,y0,z0). Составляем уравнение нормали, которое будет иметь вид: (x – x0)/A = (y – y0)/B = (z – z0)/C

3. Пример:Обнаружим уравнение нормали к функции у = х – х^2 в точке х = 1.Значение функции в данной точке а = 1 – 1 = 0.Производная к функции у’ = 1 – 2х, в данной точке В = у"(1) = -1.Вычисляем С = 0 – (-1)*1 = 1.Желанное уравнение нормали имеет вид: у = -х + 1

Видео по теме

Полезный совет
Частные производные всякий функции нетрудно обнаружить, представив, что все переменные, помимо той которая является исследуемой – константы.

Задача поиска вектора нормали прямой на плоскости и плоскости в пространстве слишком примитивна. Реально она завершается записью всеобщих уравнений прямой либо плоскости. От того что кривая на плоскости каждого лишь частный случай поверхности в пространстве, то именно о нормалях к поверхности и пойдет речь.

Инструкция

1. 1-й метод Данный метод самый примитивный, но для его понимания требуется умение представления скалярного поля. Однако, и неискушенный в этом вопросе читатель сумеет применять результирующие формулы данного вопроса.

2. Знаменито, что скалярное поле f задается как f=f(x, y, z), а любая поверхность при этом – это поверхность яруса f(x, y, z)=C (C=const). Помимо того, нормаль поверхности яруса совпадает с градиентом скалярного поля в заданной точке.

3. Градиентом скалярно поля (функции 3 переменных) именуется вектор g=gradf=iдf/дx+jдf/дy+kдf/дz={дf/дx, дf/дy, дf/дz}. Потому что длина нормали значения не имеет, остается лишь записать результат. Нормаль к поверхностиf(x, y, z)-C=0 в точкеM0(x0, y0, z0) n=gradf=iдf/дx+jдf/дy+kдf/дz={дf/дx, дf/дy, дf/дz}.

4. 2-й метод Пускай поверхность задана уравнением F(x, y, z)=0. Дабы дозволено было в будущем провести аналогии с первым методом, следует рассматривать, что производная непрерывной равна нулю, и F задается как f(x, y, z)-C=0 (C=const). Если провести сечение этой поверхности произвольной плоскостью, то возникшую пространственную кривую дозволено считать годографом какой-нибудь вектор-функции r(t)= ix(t)x+jy(t)+kz(t). Тогда производная вектора r’(t)= ix’(t)+jy’(t)+kz’(t) направлена по касательной в некоторой точке M0(x0, y0, z0) поверхности (см. рис.1).

5. Чтобы не появилось путаницы, нынешние координаты касательной прямой следует обозначить, скажем, курсивом (x, y, z). Канонические уравнение касательной прямой, с учетом, что r’(t0) – направляющий вектор, записывается как (x-x(t0))/(dx(t0)/dt)= (y-y(t0))/(dy(t0)/dt)= (z-z(t0))/(dz(t0)/dt).

6. Подставив координаты вектор-функции в уравнение поверхности f(x, y, z)-C=0 и продифференцировав по t вы получите (дf/дx)(дx/дt)+(дf/дy) (дy/дt)+(дf/дz)(дz/дt)=0. Равенство представляет собой скалярное произведение некоторого вектора n(дf/дx, дf/дy, дf/дz) и r’(x’(t), y’(t), z’(t)). Потому что оно равно нулю, то n(дf/дx, дf/дy, дf/дz) и есть желанный вектор нормали . Видимо, что итоги обоих методов одинаковы.

7. Пример (имеет теоретическое значение). Обнаружить вектор нормали к поверхности заданной типичным уравнением функции 2-х переменных z=z(x, y). Решение. Перепишите это уравнение в форме z-z(x, y)=F(x, y, z)=0. Следуя любому из предложных методов, получается, что n(-дz/дx, -дz/дy, 1) – желанный вектор нормали .

В самом общем случае нормаль к поверхности представляет ее локальную кривизну, и, следовательно, направление зеркального отражения (рис. 3.5). Применительно к нашим знаниям можно сказать, что нормалью называется вектор, определяющий ориентацию грани (рис. 3.6).

Рис. 3.5 Рис. 3.6

Во многих алгоритмах удаления невидимых линий и поверхностей используются только ребра и вершины, поэтому, для того чтобы объединить их с моделью освещения, необходимо знать приближенное значение нормали на ребрах и в вершинах. Пусть заданы уравнения плоскостей полигональных граней, тогда нормаль к их общей вершине равна среднему значению нормалей ко всем многоугольникам, сходящимся к этой вершине. Например, на рис. 3.7 направление приближенной нормали в точке V 1 есть:

n v1 = (a 0 + a 1 + a 4 )i + (b 0 + b 1 + b 4 )j + (c 0 + c 1 + c 4 )k , (3.15)

где a 0 , a 1 , a 4 , b 0 , b 1 , b 4 , c 0 , c 1 , c 4 - коэффициенты уравнений плоскостей трех многоугольниковP 0 , P 1 , P 4 , окружающихV 1 . Отметим, что если требуется найти только направление нормали, то делить результат на количество граней необязательно.

Если же уравнения плоскостей не заданы, то нормаль к вершине можно определить, усредняя векторные произведения всех ребер, пересекающихся в вершине. Еще раз, рассматривая вершину V 1 на рис. 3.7, найдем направление приближенной нормали:

n v1 = V 1 V 2  V 1 V 4 +V 1 V 5  V 1 V 2 + V 1 V 4  V 1 V 5 (3.16)

Рис. 3.7 - Аппроксимация нормали к полигональной поверхности

Следует обратить внимание на то, что необходимы только внешние нормали. Кроме того, если полученный вектор не нормируется, то его величина зависит от количества и площади конкретных многоугольников, а также от количества и длины конкретных ребер. Сильнее проявляется влияние многоугольников с большей площадью и более длинными ребрами.

Когда нормаль к поверхности используется для определения ин­тенсивности и для изображения объекта или сцены выполняется перспективное преобразование, то нормаль следует вычислять до перспективного деления. В противном случае направление нор­мали будет искажено, а это приведет к тому, что интенсивность, задаваемая моделью освещения, будет определена неправильно.

Если известно аналитическое описание плоскости (поверхности), то нормаль вычисляется непосредственно. Зная уравнение плоскости каждой грани многогранника, можно найти направление внешней нормали.

Если уравнение плоскости имеет вид:

то вектор нормали к этой плоскости записывается следующим образом:

, (3.18)

где
- единичные векторы осейx,y,z соответственно.

Величина d вычисляется с помощью произвольной точки, принадлежащей плоскости, например, для точки (
)

Пример. Рассмотрим 4-х сторонний плоский многоугольник, описываемый 4-мя вершинами V1(1,0,0), V2(0,1,0), V3(0,0,1) и V4(1,1,1) (см. рис. 3.7).

Уравнение плоскости имеет вид:

x + y + z - 1 = 0.

Получим нормаль к этой плоскости, используя векторное произведение пары векторов, являющихся смежными ребрами к одной из вершин, например, V1:

Во многих алгоритмах удаления невидимых линий и поверхностей используются только ребра или вершины, поэтому, для того, чтобы объединить их с моделью освещения, необходимо знать приближенное значение нормали на ребрах и в вершинах.

Пусть заданы уравнения плоскостей граней многогранника, тогда нормаль к их общей вершине равна среднему значению нормалей ко всем граням, сходящимся в этой вершине.