Определение значимости корреляции в excel. Как рассчитать корреляцию в Microsoft Excel

В научных исследованиях часто возникает необходимость в нахождении связи между результативными и факторными переменными (урожайностью какой-либо культуры и количеством осадков, ростом и весом человека в однородных группах по полу и возрасту, частотой пульса и температурой тела и т.д.).

Вторые представляют собой признаки, способствующие изменению таковых, связанных с ними (первыми).

Понятие о корреляционном анализе

Существует множество Исходя из вышеизложенного, можно сказать, что корреляционный анализ — это метод, применяющийся с целью проверки гипотезы о статистической значимости двух и более переменных, если исследователь их может измерять, но не изменять.

Есть и другие определения рассматриваемого понятия. Корреляционный анализ — это метод обработки заключающийся в изучении коэффициентов корреляции между переменными. При этом сравниваются коэффициенты корреляции между одной парой или множеством пар признаков, для установления между ними статистических взаимосвязей. Корреляционный анализ — это метод по изучению статистической зависимости между случайными величинами с необязательным наличием строгого функционального характера, при которой динамика одной случайной величины приводит к динамике математического ожидания другой.

Понятие о ложности корреляции

При проведении корреляционного анализа необходимо учитывать, что его можно провести по отношению к любой совокупности признаков, зачастую абсурдных по отношению друг к другу. Порой они не имеют никакой причинной связи друг с другом.

В этом случае говорят о ложной корреляции.

Задачи корреляционного анализа

Исходя из приведенных выше определений, можно сформулировать следующие задачи описываемого метода: получить информацию об одной из искомых переменных с помощью другой; определить тесноту связи между исследуемыми переменными.

Корреляционный анализ предполагает определение зависимости между изучаемыми признаками, в связи с чем задачи корреляционного анализа можно дополнить следующими:

• выявление факторов, оказывающих наибольшее влияние на результативный признак;
• выявление неизученных ранее причин связей;
• построение корреляционной модели с ее параметрическим анализом;
• исследование значимости параметров связи и их интервальная оценка.

Связь корреляционного анализа с регрессионным

Метод корреляционного анализа часто не ограничивается нахождением тесноты связи между исследуемыми величинами. Иногда он дополняется составлением уравнений регрессии, которые получают с помощью одноименного анализа, и представляющих собой описание корреляционной зависимости между результирующим и факторным (факторными) признаком (признаками). Этот метод в совокупности с рассматриваемым анализом составляет метод

Условия использования метода

Результативные факторы зависят от одного до нескольких факторов. Метод корреляционного анализа может применяться в том случае, если имеется большое количество наблюдений о величине результативных и факторных показателей (факторов), при этом исследуемые факторы должны быть количественными и отражаться в конкретных источниках. Первое может определяться нормальным законом — в этом случае результатом корреляционного анализа выступают коэффициенты корреляции Пирсона, либо, в случае, если признаки не подчиняются этому закону, используется коэффициент ранговой корреляции Спирмена.

Правила отбора факторов корреляционного анализа

При применении данного метода необходимо определиться с факторами, оказывающими влияние на результативные показатели. Их отбирают с учетом того, что между показателями должны присутствовать причинно-следственные связи. В случае создания многофакторной корреляционной модели отбирают те из них, которые оказывают существенное влияние на результирующий показатель, при этом взаимозависимые факторы с коэффициентом парной корреляции более 0,85 в корреляционную модель предпочтительно не включать, как и такие, у которых связь с результативным параметром носит непрямолинейный или функциональный характер.

Отображение результатов

Результаты корреляционного анализа могут быть представлены в текстовом и графическом видах. В первом случае они представляются как коэффициент корреляции, во втором — в виде диаграммы разброса.

При отсутствии корреляции между параметрами точки на диаграмме расположены хаотично, средняя степень связи характеризуется большей степенью упорядоченности и характеризуется более-менее равномерной удаленностью нанесенных отметок от медианы. Сильная связь стремится к прямой и при r=1 точечный график представляет собой ровную линию. Обратная корреляция отличается направленностью графика из левого верхнего в нижний правый, прямая — из нижнего левого в верхний правый угол.

Трехмерное представление диаграммы разброса (рассеивания)

Помимо традиционного 2D-представления диаграммы разброса в настоящее время используется 3D-отображение графического представления корреляционного анализа.

Также используется матрица диаграммы рассеивания, которая отображает все парные графики на одном рисунке в матричном формате. Для n переменных матрица содержит n строк и n столбцов. Диаграмма, расположенная на пересечении i-ой строки и j-ого столбца, представляет собой график переменных Xi по сравнению с Xj. Таким образом, каждая строка и столбец являются одним измерением, отдельная ячейка отображает диаграмму рассеивания двух измерений.

Оценка тесноты связи

Теснота корреляционной связи определяется по коэффициенту корреляции (r): сильная — r = ±0,7 до ±1, средняя — r = ±0,3 до ±0,699, слабая — r = 0 до ±0,299. Данная классификация не является строгой. На рисунке показана несколько иная схема.

Пример применения метода корреляционного анализа

В Великобритании было предпринято любопытное исследование. Оно посвящено связи курения с раком легких, и проводилось путем корреляционного анализа. Это наблюдение представлено ниже.

Начинаем корреляционный анализ. Решение лучше начинать для наглядности с графического метода, для чего построим диаграмму рассеивания (разброса).

Она демонстрирует прямую связь. Однако на основании только графического метода сделать однозначный вывод сложно. Поэтому продолжим выполнять корреляционный анализ. Пример расчета коэффициента корреляции представлен ниже.

С помощью программных средств (на примере MS Excel будет описано далее) определяем коэффициент корреляции, который составляет 0,716, что означает сильную связь между исследуемыми параметрами. Определим статистическую достоверность полученного значения по соответствующей таблице, для чего нам нужно вычесть из 25 пар значений 2, в результате чего получим 23 и по этой строке в таблице найдем r критическое для p=0,01 (поскольку это медицинские данные, здесь используется более строгая зависимость, в остальных случаях достаточно p=0,05), которое составляет 0,51 для данного корреляционного анализа. Пример продемонстрировал, что r расчетное больше r критического, значение коэффициента корреляции считается статистически достоверным.

Использование ПО при проведении корреляционного анализа

Описываемый вид статистической обработки данных может осуществляться с помощью программного обеспечения, в частности, MS Excel. Корреляционный предполагает вычисление следующих парамет-ров с использованием функций:

1. Коэффициент корреляции определяется с помощью функции КОРРЕЛ (массив1; массив2). Массив1,2 — ячейка интервала значений результативных и факторных переменных.

Линейный коэффициент корреляции также называется коэффициентом корреляции Пирсона, в связи с чем, начиная с Excel 2007, можно использовать функцию с теми же массивами.

Графическое отображение корреляционного анализа в Excel производится с помощью панели «Диаграммы» с выбором «Точечная диаграмма».

После указания исходных данных получаем график.

2. Оценка значимости коэффициента парной корреляции с использованием t-критерия Стьюдента. Рассчитанное значение t-критерия сравнивается с табличной (критической) величиной данного показателя из соответствующей таблицы значений рассматриваемого параметра с учетом заданного уровня значимости и числа степеней свободы. Эта оценка осуществляется с использованием функции СТЬЮДРАСПОБР (вероятность; степени_свободы).

3. Матрица коэффициентов парной корреляции. Анализ осуществляется с помощью средства «Анализ данных», в котором выбирается «Корреляция». Статистическую оценку коэффициентов парной корреляции осуществляют при сравнении его абсолютной величины с табличным (критическим) значением. При превышении расчетного коэффициента парной корреляции над таковым критическим можно говорить, с учетом заданной степени вероятности, что нулевая гипотеза о значимости линейной связи не отвергается.

В заключение

Использование в научных исследованиях метода корреляционного анализа позволяет определить связь между различными факторами и результативными показателями. При этом необходимо учитывать, что высокий коэффициент корреляции можно получить и из абсурдной пары или множества данных, в связи с чем данный вид анализа нужно осуществлять на достаточно большом массиве данных.

После получения расчетного значения r его желательно сравнить с r критическим для подтверждения статистической достоверности определенной величины. Корреляционный анализ может осуществляться вручную с использованием формул, либо с помощью программных средств, в частности MS Excel. Здесь же можно построить диаграмму разброса (рассеивания) с целью наглядного представления о связи между изучаемыми факторами корреляционного анализа и результативным признаком.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА

КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ В EXCEL

1.1 Корреляционный анализ в MS Excel

Корреляционный анализ состоит в определении степени связи между двумя слу­чайными величинами X и Y. В качестве меры такой связи используется коэффи­циент корреляции. Коэффициент корреляции оценивается по выборке объема п связанных пар наблюдений (x i , y i) из совместной генеральной совокупности X и Y. Для оценки степени взаимосвязи величин X и Y, измеренных в количественных шкалах, используетсякоэффи­циент линейной корреляции (коэффициент Пирсона), предполагающий, что выборки X и Y распределены по нормальному закону.

Коэффициент корреляции изменяется от -1 (строгая обратная линейная зависимость) до 1 (строгая прямая пропорцио­нальная зависимость). При значении 0 линейной зависимости между двумя вы­борками нет.

Общая классификация корреляционных связей (по Ивантер Э.В., Коросову А.В., 1992):

Существует несколько типов коэффициентов корреляции, что зависит от переменных Х иY, которые могут быть измерены в разных шкалах. Именно этот факт и определяет выбор соответствующего коэффициента корреляции (см. табл. 13):

В MS Excel для вычисления парных коэффициентов линейной корреляции используется специальная функция КОРРЕЛ (массив1; массив2),

Пример 1: 10 школьникам были даны тесты на наглядно-образное и вербальное мышление. Измерялось среднее время решения заданий теста в секундах. Исследователя интересует вопрос: существует ли вза­имосвязь между временем решения этих задач? Переменная X - обозначает среднее время реше­ния наглядно-образных, а переменная Y- сред­нее время решения вербальных заданий тестов.

Решение: Для выявления степени взаимосвязи, прежде всего, необходимо ввести данные в таблицу MS Excel (см. табл., рис. 1). Затем вычисляется значение коэффициента корреляции. Для этого курсор установите в ячейку C1. На панели инструментов нажмите кнопку Вставка функции (fx).

В появившемся диалоговом окне Мастер функций выберите ка­тегорию Статистические и функциюКОРРЕЛ , после чего нажмите кнопку ОК. Указателем мыши введите диапазон дан­ных выборки Х в поле массив1 (А1:А10). В поле массив2 введите диапазон данных выборки У (В1:В10). Нажмите кнопку ОК. В ячейке С1 появится значение коэффициента кор­реляции - 0,54119. Далее необходимо посмотреть на абсолютное число коэффициента корреляции и определить тип связи (тесная, слабая, средняя и т.д.)

Рис. 1. Результаты вычисления коэффициента корреляции

Таким образом, связь между временем решения наглядно-образных и вербальных заданий теста не доказана.

Задание 1. Имеются данные по 20 сельскохозяйственным хозяйствам. Найтикоэффициент корреляции между величинами урожайности зерновых культур и качеством земли и оценить его значимость. Данные приведены в таблице.

Таблица 2. Зависимость урожайности зерновых культур от качества земли

Задание 2. Определите, имеется ли связь между временем работы спортивного тренажера для фитнеса (тыс. часов) и стоимость его ремонта (тыс. руб.):

1.2 Множественная корреляция в MS Excel

При большом числе наблюдений, когда коэффициенты корреляции необходимо последовательно вычислять для нескольких выборок, для удобства полу­чаемые коэффициенты сводят в таблицы, называемые корреляционными матрицами .

Корреляционная матрица - это квадратная таблица, в кото­рой на пересечении соответствующих строк и столбцов находятся коэффициент корреляции между соответствующими параметрами.

В MS Excel для вычисления корреляционных матриц используется процедура Кор­реляция из пакета Анализ данных. Процедура позволяет получить корреляционную матрицу, содержащую коэффициенты корреляции между различными параметрами.

Для реализации процедуры необходимо:

1. выполнить команду Сервис - Анализ данных ;

2. в появившемся списке Инструменты анализа выбрать строку Корреляция и нажать кнопку ОК ;

3. в появившемся диалоговом окне указать Входной интервал , то есть ввести ссыл­ку на ячейки, содержащие анализируемые данные. Входной интервал должен содержать не менее двух столбцов.

4. в разделе Группировка переключатель установить в соответствии с введенными данными (по столбцам или по строкам);

5. указать выходной интервал , то есть ввести ссылку на ячейку, начиная с которой будут показаны результаты анализа. Размер выходного диапазона будет определен автоматически, и на экран будет выведено сообщение в случае возможного наложения выходного диапазона на исходные данные. Нажать кнопку ОК .

В выходной диапазон будет выведена корреляционная мат­рица, в которой на пересечении каждых строки и столбца находится коэффи­циент корреляции между соответствующими параметрами. Ячейки выходного диапазона, имеющие совпадающие координаты строк и столбцов, содержат зна­чение 1, так как каждый столбец во входном диапазоне полностью коррелирует сам с собой

Пример 2. Имеются ежемесячные данные наблюдений за состоянием погоды и посещаемостью музеев и парков (см. табл. 3). Необходимо определить, существует ли взаимосвязь между состоянием погоды и посещаемостью музеев и парков.

Таблица 3. Результаты наблюдений

Решение . Для выполнения корреляционного анализа введите в диапазон A1:G3 исходные данные (рис. 2). Затем в меню Сервис выберите пункт Анализ данных и далее укажите строку Корреляция . В появившемся диалоговом окне укажите Входной интервал (А2:С7). Укажите, что данные рассматриваются по столбцам. Укажите выходной диапазон (Е1) и нажмите кнопку ОК .

На рис. 33 видно, что корреляция между со­стоянием погоды и посещаемостью музея равна -0,92, а между состоянием по­годы и посещаемостью парка - 0,97, между посещаемостью парка и музея - 0,92.

Таким образом, в результате анализа выявлены зависимости: сильная степень об­ратной линейной взаимосвязи между посещаемостью музея и количеством сол­нечных дней и практически линейная (очень сильная прямая) связь между посещаемостью парка и состоянием погоды. Между посещаемостью музея и парка имеется сильная обратная взаимосвязь.

Рис. 2. Результаты вычисления корреляционной матрицы из примера 2

Задание 3 . 10 менеджеров оценивались по методике экспертных оценок психологических характеристик личности руководителя. 15 экспертов производили оценку каждой психологической характеристики по пятибальной системе (см. табл. 4). Психолога интересует вопрос, в какой взаимосвязи находятся эти характеристики руководителя между собой.

Таблица 4. Результаты исследования

Коэффициент корреляции отражает степень взаимосвязи между двумя показателями. Всегда принимает значение от -1 до 1. Если коэффициент расположился около 0, то говорят об отсутствии связи между переменными.

Если значение близко к единице (от 0,9, например), то между наблюдаемыми объектами существует сильная прямая взаимосвязь. Если коэффициент близок к другой крайней точке диапазона (-1), то между переменными имеется сильная обратная взаимосвязь. Когда значение находится где-то посередине от 0 до 1 или от 0 до -1, то речь идет о слабой связи (прямой или обратной). Такую взаимосвязь обычно не учитывают: считается, что ее нет.

Расчет коэффициента корреляции в Excel

Рассмотрим на примере способы расчета коэффициента корреляции, особенности прямой и обратной взаимосвязи между переменными.

Значения показателей x и y:

Y – независимая переменная, x – зависимая. Необходимо найти силу (сильная / слабая) и направление (прямая / обратная) связи между ними. Формула коэффициента корреляции выглядит так:

Чтобы упростить ее понимание, разобьем на несколько несложных элементов.

Между переменными определяется сильная прямая связь.

Встроенная функция КОРРЕЛ позволяет избежать сложных расчетов. Рассчитаем коэффициент парной корреляции в Excel с ее помощью. Вызываем мастер функций. Находим нужную. Аргументы функции – массив значений y и массив значений х:

Покажем значения переменных на графике:

Видна сильная связь между y и х, т.к. линии идут практически параллельно друг другу. Взаимосвязь прямая: растет y – растет х, уменьшается y – уменьшается х.

Матрица парных коэффициентов корреляции в Excel

Корреляционная матрица представляет собой таблицу, на пересечении строк и столбцов которой находятся коэффициенты корреляции между соответствующими значениями. Имеет смысл ее строить для нескольких переменных.

Матрица коэффициентов корреляции в Excel строится с помощью инструмента «Корреляция» из пакета «Анализ данных».

Между значениями y и х1 обнаружена сильная прямая взаимосвязь. Между х1 и х2 имеется сильная обратная связь. Связь со значениями в столбце х3 практически отсутствует.

Коэффициент корреляции используется в том случае, когда нужно определить значение зависимости между значениями. Позже эти данные задают в одной таблице которая определяется как матрица корреляции. С помощью программы Microsoft Excel можно сделать расчёт корреляции.

Коэффициент корреляции определяется некоторыми данными. Если уровень показателя составляет от 0 до 0.3, то в таком случае связи нет. Если показатель составляет от 0.3 до 0.5 - это слабая связь. Если показатель доходит до 0.7, то связь средняя. Высокой можно назвать когда показатель достигает отметки 0.7-0.9. Если показатель составляет 1 - это наиболее сильная связь.

Первым делом нужно подключить пакет анализа данных. Без его активации дальнейшие действия нельзя провести. Подключить его можно открыв раздел "Главная" и в меню выбрать "Параметры".

Далее откроется новое окно. В нём нужно выбрать "Надстройки" и в поле управления параметрами выбрать среди элементов списка "Надстройки Excel"
После запуска окна параметров посредством его левого вертикального меню переходим в раздел «Надстройки». После этого нажимаем "Перейти".

После этих действий можно начать работу. Создана таблица с данными и на её примере сделаем нахождение множественного коэффициента корреляции.
Для начала откроем раздел "Данные" и среди инструментария выбираем "Анализ данных".

Откроется специальное окно с инструментами для анализа. Выбираем "Корреляция" и подтверждаем действие.

Перед пользователем появится новое окно с параметрами. Как входной интервал задается диапазон значений в таблице. Задать можно как в ручную так и выделив данные, которые будут отображены в специальном поле. Также можно разгруппировать элементы таблицы. Вывод сделаем на текущей странице, а значит в настройках параметра вывода выбираем "Выходной интервал". После этого подтверждаем действие.

При корреляционной связи одной и той же величине одного признака соответствуют разные величины другого. Например: между ростом и весом имеется корреляционная связь, между заболеваемостью злокачественными новообразованиямии возрастом и т.д.

Существует 2 метода вычисления коэффициента корреляции: метод квадратов(Пирсона), метод рангов (Спирмена).

Наиболее точным является метод квадратов (Пирсона), при котором коэффициент корреляции определяется по формуле: , где

r ху ― коэффициент корреляции между статистическим рядом X и Y.

d х ― отклонение каждого из чисел статистического ряда X от своей средней арифметической.

d у ― отклонение каждого из чисел статистического ряда Y от своей средней арифметической.

В зависимости от силы связи и ее направления коэффициент корреляции может находиться в пределах от 0 до 1 (-1). Коэффициент корреляции, равный 0, говорит о полном отсутствии связи. Чем ближе уровень коэффициента корреляции к 1 или (-1), тем соответственно больше, теснее измеряемая им прямая или обратная связь. При коэффициенте корреляции равном 1 или (-1) связь полная, функциональная.

Схема оценки силы корреляционной связи по коэффициенту корреляции

Для вычисления коэффициента корреляции по методу квадратов составляется таблица из 7 колонок. Разберем процесс вычисления на примере:

ОПРЕДЕЛИТЬ СИЛУ И ХАРАКТЕР СВЯЗИ МЕЖДУ

1. Определяем среднее содержание йода в воде (в мг/л).

мг/л

2.Определяем среднюю пораженность зобом в %.

3. Определяем отклонение каждого V x от М x , т.е. d x .

201–138=63; 178–138=40 и т.д.

4. Аналогично определяем отклонение каждого V у от M у, т.е. d у.

0,2–3,8=-3,6; 0,6–38=-3,2 и т.д.

5. Определяем произведения отклонений. Полученное произведение суммируем и получаем.

6. d х возводим в квадрат и результаты суммируем, получаем.

7. Аналогично возводим в квадрат d у, результаты суммируем, получим

8. Наконец, все полученные суммы подставляем в формулу:

Для решения вопроса о достоверности коэффициента корреляции определяют его среднюю ошибку по формуле:

(Если число наблюдений менее 30, тогда в знаменателе n–1).

В нашем примере

Величина коэффициента корреляции считается достоверной, если не менее чем в 3 раза превышает свою среднюю ошибку.

В нашем примере

Таким образом, коэффициент корреляции не достоверен, что вызывает необходимость увеличения числа наблюдений.

Коэффициент корреляции можно определить несколько менее точным, но намного более легким способом ― методом рангов (Спирмена).

Метод Спирмена: P=1-(6∑d 2 /n-(n 2 -1))

составить два ряда из парных сопоставляемых признаков, обозначив первый и второй ряд соответственно х и у. При этом представить первый ряд признака в убывающем или возрастающем порядке, а числовые значения второго ряда расположить напротив тех значений первого ряда, которым они соответствуют

величину признака в каждом из сравниваемых рядов заменить порядковым номером (рангом). Рангами, или номерами, обозначают места показателей (значения) первого и второго рядов. При этом числовым значениям второго признака ранги должны присваиваться в том же порядке, какой был принят при раздаче их величинам первого признака. При одинаковых величинах признака в ряду ранги следует определять как среднее число из суммы порядковых номеров этих величин

определить разность рангов между х и у (d): d = х - у

возвести полученную разность рангов в квадрат (d 2)

получить сумму квадратов разности (Σ d 2) и подставить полученные значения в формулу:

Пример: методом рангов установить направление и силу связи между стажем работы в годах и частотой травм, если получены следующие данные:

Обоснование выбора метода: для решения задачи может быть выбран только метод ранговой корреляции, т.к. первый ряд признака "стаж работы в годах" имеет открытые варианты (стаж работы до 1 года и 7 и более лет), что не позволяет использовать для установления связи между сопоставляемыми признаками более точный метод - метод квадратов.

Решение . Последовательность расчетов изложена в тексте, результаты представлены в табл. 2.

Таблица 2

Каждый из рядов парных признаков обозначить через "х" и через "у" (графы 1-2).

Величину каждого из признаков заменить ранговым (порядковым) номером. Порядок раздачи рангов в ряду "x" следующий: минимальному значению признака (стаж до 1 года) присвоен порядковый номер "1", последующим вариантам этого же ряда признака соответственно в порядке увеличения 2-й, 3-й, 4-й и 5-й порядковые номера - ранги (см. графу 3). Аналогичный порядок соблюдается при раздаче рангов второму признаку "у" (графа 4). В тех случаях, когда встречаются несколько одинаковых по величине вариант (например, в задаче-эталоне это 12 и 12 травм на 100 работающих при стаже 3-4 года и 5-6 лет, порядковый номер обозначить средним числом из суммы их порядковых номеров. Эти данные о числе травм (12 травм) при ранжировании должны занимать 2 и 3 места, таким образом среднее число из них равно (2 + 3)/2 = 2,5. Таким образом, числу травм "12" и "12" (признаку) следует раздать ранговые номера одинаковые - "2,5" (графа 4).

Определить разность рангов d = (х - у) - (графа 5)

Разность рангов возвести в квадрат (d 2) и получить сумму квадратов разности рангов Σ d 2 (графа 6).

Произвести расчет коэффициента ранговой корреляции по формуле:

где n - число сопоставляемых пар вариант в ряду "x" и в ряду "у"