ஒரு கட்டத்தில் ஒரு செயல்பாட்டின் வேறுபாட்டை தீர்மானித்தல். §24. செயல்பாடு வேறுபாடு

செயல்பாடு என்றால் புள்ளியில் வேறுபடுத்தக்கூடியது , அதன் அதிகரிப்பை இரண்டு சொற்களின் கூட்டுத்தொகையாகக் குறிப்பிடலாம்

. இந்த சொற்கள் எண்ணற்ற செயல்பாடுகள்
.முதல் சொல் பொறுத்த வரையில் நேரியல்
,இரண்டாவது எல்லையற்றது உயர் ஒழுங்கு, எப்படி
.உண்மையில்,

.

எனவே, இரண்டாவது பதவிக்காலம்
செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பைக் கண்டறியும் போது பூஜ்ஜியத்தை வேகமாகச் செல்லும்
முதல் வார்த்தை முக்கிய பங்கு வகிக்கிறது
அல்லது (அதிலிருந்து
)
.

வரையறை . செயல்பாடு அதிகரிப்பின் முக்கிய பகுதி
புள்ளியில் , பொறுத்து நேரியல்
,வேறுபாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது செயல்பாடுகள் இந்த கட்டத்தில் மற்றும் நியமிக்கப்பட்டுள்ளதுdyஅல்லதுdf(x)

. (2)

இவ்வாறு, நாம் முடிவு செய்யலாம்: சுயாதீன மாறியின் வேறுபாடு அதன் அதிகரிப்புடன் ஒத்துப்போகிறது, அதாவது
.

உறவு (2) இப்போது வடிவம் பெறுகிறது

(3)

கருத்து . சுருக்கத்திற்கான ஃபார்முலா (3) பெரும்பாலும் வடிவத்தில் எழுதப்படுகிறது

(4)

வேறுபாட்டின் வடிவியல் பொருள்

வேறுபட்ட செயல்பாட்டின் வரைபடத்தைக் கவனியுங்கள்
. புள்ளிகள்
மற்றும் செயல்பாட்டின் வரைபடத்தைச் சேர்ந்தது. புள்ளியில் எம்வரையப்பட்ட தொடுகோடு TOஅச்சின் நேர் திசையுடன் கோணம் இருக்கும் ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு
மூலம் குறிக்கவும்
. நேராக கோடுகள் வரைவோம் எம்.என் அச்சுக்கு இணையாக எருது மற்றும்
அச்சுக்கு இணையாக ஓ. செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பு பிரிவின் நீளத்திற்கு சமம்
. ஒரு செங்கோண முக்கோணத்திலிருந்து
, இதில்
, நாம் பெறுகிறோம்

மேலே உள்ள பரிசீலனைகள் முடிவு செய்ய அனுமதிக்கின்றன:

செயல்பாடு வேறுபாடு
புள்ளியில் அதன் தொடர்புடைய புள்ளியில் இந்தச் செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கான தொடுகோட்டின் ஆர்டினேட்டின் அதிகரிப்பால் குறிப்பிடப்படுகிறது
.

வேறுபாடு மற்றும் வழித்தோன்றலுக்கு இடையிலான உறவு

சூத்திரத்தைக் கவனியுங்கள் (4)

.

இந்த சமத்துவத்தின் இரு பக்கங்களையும் பிரிப்போம் dx, பிறகு

.

இவ்வாறு, ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் அதன் வேறுபாட்டின் விகிதத்திற்குச் சார்பற்ற மாறியின் வேறுபாட்டிற்கு சமம்.

பெரும்பாலும் இந்த அணுகுமுறை ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் குறிக்கும் ஒரு குறியீடாக வெறுமனே கருதப்படுகிறது மணிக்குவாதத்தால் எக்ஸ்.

வழித்தோன்றலுக்கான வசதியான குறிப்புகளும்:

,
மற்றும் பல.

உள்ளீடுகளும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன

,
,

சிக்கலான வெளிப்பாட்டின் வழித்தோன்றலை எடுக்கும்போது குறிப்பாக வசதியானது.

2. கூட்டுத்தொகை, தயாரிப்பு மற்றும் பங்கு வேறுபாடு.

சார்பற்ற மாறியின் வேறுபாட்டால் பெருக்குவதன் மூலம் வழித்தோன்றலில் இருந்து வேறுபாடு பெறப்படுவதால், அடிப்படை அடிப்படை செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றல்களையும், வழித்தோன்றல்களைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான விதிகளையும் அறிந்து, வேறுபாடுகளைக் கண்டறிவதற்கான ஒத்த விதிகளுக்கு நீங்கள் வரலாம்.

1 0 . மாறிலியின் வேறுபாடு பூஜ்ஜியமாகும்

.

2 0 . இயற்கணிதத் தொகையின் வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான வேறுபட்ட செயல்பாடுகளின் வேறுபாடு இந்தச் சார்புகளின் வேறுபாடுகளின் இயற்கணிதத் தொகைக்கு சமம்.

3 0 . இரண்டு வேறுபடுத்தக்கூடிய செயல்பாடுகளின் பெருக்கத்தின் வேறுபாடு, முதல் செயல்பாட்டின் தயாரிப்புகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்.

.

விளைவு. மாறாப் பெருக்கியை வேற்றுமை அடையாளத்திலிருந்து எடுக்கலாம்

.

உதாரணம். செயல்பாட்டின் வேறுபாட்டைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு: இந்த செயல்பாட்டை வடிவத்தில் எழுதுவோம்

,

பின்னர் நாம் பெறுகிறோம்

.

4. அளவுருவாக வரையறுக்கப்பட்ட செயல்பாடுகள், அவற்றின் வேறுபாடு.

வரையறை . செயல்பாடு
இரண்டு மாறிகள் இருந்தால் அளவுருவாக வழங்கப்படும் என்று கூறப்படுகிறது எக்ஸ் மற்றும் மணிக்கு ஒவ்வொன்றும் ஒரே துணை மாறி - அளவுருவின் ஒற்றை-மதிப்பு செயல்பாடுகளாக தனித்தனியாக வரையறுக்கப்படுகின்றனடி:

எங்கேடிஉள்ளே மாறுபடுகிறது
.

கருத்து . செயல்பாடுகளின் அளவுரு விவரக்குறிப்பு கோட்பாட்டு இயக்கவியலில் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது, அங்கு அளவுரு டி நேரத்தையும் சமன்பாடுகளையும் குறிக்கிறது
ஒரு நகரும் புள்ளியின் கணிப்புகளில் மாற்றத்தின் விதிகளை பிரதிபலிக்கிறது
அச்சில்
மற்றும்
.

கருத்து . ஒரு வட்டம் மற்றும் நீள்வட்டத்தின் அளவுரு சமன்பாடுகளை முன்வைப்போம்.

a) தோற்றம் மற்றும் ஆரம் ஆகியவற்றில் மையம் கொண்ட வட்டம் ஆர் அளவுரு சமன்பாடுகள் உள்ளன:

எங்கே
.

b) நீள்வட்டத்திற்கான அளவுரு சமன்பாடுகளை எழுதுவோம்:

எங்கே
.

அளவுருவைத் தவிர்த்து டி பரிசீலனையில் உள்ள கோடுகளின் அளவுரு சமன்பாடுகளிலிருந்து, அவற்றின் நியமன சமன்பாடுகளை ஒருவர் அடையலாம்.

தேற்றம் . செயல்பாடு என்றால் வாதத்திலிருந்து y x என்பது சமன்பாடுகளால் அளவுருவாக வழங்கப்படுகிறது
, எங்கே
மற்றும்
பொறுத்து வேறுபடும்டிசெயல்பாடுகள் மற்றும்
, அது

.

உதாரணம். ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும் மணிக்குஇருந்து எக்ஸ், அளவுரு சமன்பாடுகளால் கொடுக்கப்பட்டது.

தீர்வு.
.

24.1. வேறுபட்ட செயல்பாட்டின் கருத்து

y=ƒ(x) சார்பு x புள்ளியில் பூஜ்ஜியமற்ற வழித்தோன்றலைக் கொண்டிருக்கட்டும்.

பின்னர், ஒரு சார்பு, அதன் வரம்பு மற்றும் எல்லையற்ற செயல்பாடு ஆகியவற்றுக்கு இடையேயான தொடர்பைப் பற்றிய தேற்றத்தின்படி, நாம் D у/D x=ƒ"(x)+α என்று எழுதலாம், அங்கு α→0 ∆х→0 அல்லது ∆у =ƒ"(x) ∆х+α ∆х.

எனவே, ∆у செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பு என்பது ƒ"(x) ∆x மற்றும் a ∆x ஆகிய இரண்டு சொற்களின் கூட்டுத்தொகையாகும், இவை ∆x→0 க்கு எண்ணற்றவை. மேலும், முதல் சொல் அதே வரிசையின் எல்லையற்ற செயல்பாடு ஆகும். ∆x, முதல் மற்றும் இரண்டாவது சொல் ∆x ஐ விட அதிக வரிசையின் எல்லையற்ற செயல்பாடு ஆகும்:

எனவே, முதல் சொல் ƒ"(x) ∆x என்று அழைக்கப்படுகிறது அதிகரிப்பின் முக்கிய பகுதிசெயல்பாடுகள் ∆у.

செயல்பாடு வேறுபாடு x புள்ளியில் உள்ள y=ƒ(x) அதன் அதிகரிப்பின் முக்கிய பகுதி என அழைக்கப்படுகிறது, இது செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் மற்றும் வாதத்தின் அதிகரிப்பு ஆகியவற்றின் பெருக்கத்திற்கு சமம், மேலும் இது dу (அல்லது dƒ(x)) எனக் குறிக்கப்படுகிறது:

dy=ƒ"(x) ∆x. (24.1)

dу வேறுபாடு என்றும் அழைக்கப்படுகிறது முதல் வரிசை வேறுபாடு.சார்பற்ற மாறி x இன் வேறுபாட்டைக் கண்டுபிடிப்போம், அதாவது y=x செயல்பாட்டின் வேறுபாடு.

y"=x"=1 என்பதால், சூத்திரத்தின்படி (24.1), நம்மிடம் dy=dx=∆x உள்ளது, அதாவது சார்பற்ற மாறியின் வேறுபாடு இந்த மாறியின் அதிகரிப்புக்கு சமம்: dx=∆x.

எனவே, சூத்திரம் (24.1) பின்வருமாறு எழுதப்படலாம்:

dy=ƒ"(х)dх, (24.2)

வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், ஒரு செயல்பாட்டின் வேறுபாடு இந்தச் சார்பின் வழித்தோன்றலின் பெருக்கத்திற்கும், சார்பற்ற மாறியின் வேறுபாடுக்கும் சமம்.

சூத்திரத்திலிருந்து (24.2) dy/dx=ƒ"(x) சமத்துவத்தைப் பின்பற்றுகிறது. இப்போது குறியீடு

dy/dx என்ற வழித்தோன்றல் dy மற்றும் dx வேறுபாடுகளின் விகிதமாகக் கருதப்படலாம்.

<< Пример 24.1

ƒ(x)=3x 2 -sin(l+2x) செயல்பாட்டின் வேறுபாட்டைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு: dy=ƒ"(x) dx சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி நாம் கண்டுபிடிக்கிறோம்

dy=(3x 2 -sin(l+2x))"dx=(6x-2cos(l+2x))dx.

<< Пример 24.2

ஒரு செயல்பாட்டின் வேறுபாட்டைக் கண்டறியவும்

x=0, dx=0.1க்கு dyஐக் கணக்கிடவும்.

தீர்வு:

x=0 மற்றும் dx=0.1 ஐ மாற்றினால், நமக்கு கிடைக்கும்

24.2 வேறுபட்ட செயல்பாட்டின் வடிவியல் பொருள்

வேறுபாட்டின் வடிவியல் பொருளைக் கண்டுபிடிப்போம்.

இதைச் செய்ய, M(x; y) புள்ளியில் உள்ள y=ƒ(x) செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு ஒரு தொடுகோடு MT ஐ வரைவோம், மேலும் x+∆x புள்ளிக்கான இந்த டேன்ஜென்ட்டின் ஆர்டினேட்டைக் கருத்தில் கொள்வோம் (படம் 138 ஐப் பார்க்கவும்). படத்தில் ½ AM½ =∆х, |AM 1 |=∆у. வலது முக்கோண MAB இலிருந்து எங்களிடம் உள்ளது:

ஆனால், வழித்தோன்றலின் வடிவியல் பொருளின்படி, tga=ƒ"(x) எனவே, AB=ƒ"(x) ∆x.

பெறப்பட்ட முடிவை சூத்திரத்துடன் (24.1) ஒப்பிடுகையில், நாம் dy=AB ஐப் பெறுகிறோம், அதாவது x புள்ளியில் உள்ள y=ƒ(x) செயல்பாட்டின் வேறுபாடு, இதில் உள்ள செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கான தொடுகோட்டின் ஆர்டினேட்டில் உள்ள அதிகரிப்புக்கு சமம். புள்ளி, x ஒரு அதிகரிப்பு ∆x பெறும் போது.

இது வேறுபாட்டின் வடிவியல் பொருள்.

24.3 வேறுபாடுகள் பற்றிய அடிப்படைக் கோட்பாடுகள்

ஒரு செயல்பாட்டின் வேறுபாடு மற்றும் வழித்தோன்றலுக்கும் (dy=f"(x)dx) மற்றும் டெரிவேடிவ்களைப் பற்றிய தொடர்புடைய தேற்றங்களுக்கும் இடையே உள்ள தொடர்பைப் பயன்படுத்தி வேறுபாடுகளைப் பற்றிய அடிப்படைக் கோட்பாடுகளை எளிதாகப் பெறலாம்.

எடுத்துக்காட்டாக, y=c செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமமாக இருப்பதால், நிலையான மதிப்பின் வேறுபாடு பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமம்: dy=с"dx=0 dx=0.

தேற்றம் 24.1.இரண்டு வேறுபட்ட செயல்பாடுகளின் கூட்டுத்தொகை, தயாரிப்பு மற்றும் பங்கு ஆகியவற்றின் வேறுபாடு பின்வரும் சூத்திரங்களால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது:

உதாரணமாக, இரண்டாவது சூத்திரத்தை நிரூபிப்போம். வேறுபாட்டின் வரையறையின்படி எங்களிடம் உள்ளது:

d(uv)=(uv)" dx=(uv" +vu" )dx=vu" dx+uv" dx=udv+vdu

தேற்றம் 24.2.ஒரு சிக்கலான செயல்பாட்டின் வேறுபாடு இடைநிலை வாதம் மற்றும் இந்த இடைநிலை வாதத்தின் வேறுபாடு ஆகியவற்றைப் பொறுத்து இந்த செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலின் தயாரிப்புக்கு சமம்.

y=ƒ(u) மற்றும் u=φ(x) இரண்டு வேறுபட்ட செயல்பாடுகளாக இருக்கட்டும், அவை y=ƒ(φ(x)) என்ற சிக்கலான செயல்பாட்டை உருவாக்குகின்றன. சிக்கலான செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் குறித்த தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி, நாம் எழுதலாம்

y" x =y" u u" x.

இந்த சமத்துவத்தின் இரு பக்கங்களையும் dx ஆல் பெருக்கினால், நாம் y" x dx=y" u u" x dx ஐக் கற்றுக்கொள்கிறோம். ஆனால் y" x dx=dy மற்றும் u" x dx=du. இதன் விளைவாக, கடைசி சமத்துவத்தை பின்வருமாறு மீண்டும் எழுதலாம்:

dy=у" u du.

dy=y" x dx மற்றும் dy=y" u du என்ற சூத்திரங்களை ஒப்பிடுகையில், y=ƒ(x) செயல்பாட்டின் முதல் வேறுபாடு அதன் வாதம் ஒரு சார்பற்ற மாறியா அல்லது a ஆக இருந்தாலும் அதே சூத்திரத்தால் தீர்மானிக்கப்படுவதைக் காண்கிறோம். மற்றொரு வாதத்தின் செயல்பாடு.

வேறுபாட்டின் இந்த பண்பு முதல் வேறுபாட்டின் வடிவத்தின் மாறாத தன்மை (மாறாத தன்மை) என்று அழைக்கப்படுகிறது.

தோற்றத்தில் dy=y" x dx சூத்திரம் dy=y" u du என்ற சூத்திரத்துடன் ஒத்துப்போகிறது, ஆனால் அவற்றுக்கிடையே ஒரு அடிப்படை வேறுபாடு உள்ளது: முதல் சூத்திரத்தில் x என்பது ஒரு சார்பற்ற மாறி, எனவே dx=∆x, இரண்டாவது சூத்திரத்தில் x இன் செயல்பாடு உள்ளது, எனவே, பொதுவாக, du≠∆u.

வேறுபாட்டின் வரையறை மற்றும் வேறுபாடுகள் பற்றிய அடிப்படைக் கோட்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி, வழித்தோன்றல்களின் அட்டவணையை வேறுபாடுகளின் அட்டவணையாக மாற்றுவது எளிது.

உதாரணமாக: d(cosu)=(cosu)" u du=-sinudu

24.4. வேறுபட்ட அட்டவணை

24.5 தோராயமான கணக்கீடுகளுக்கு வேறுபாட்டைப் பயன்படுத்துதல்

ஏற்கனவே அறியப்பட்டபடி, x புள்ளியில் உள்ள у=ƒ(x) செயல்பாட்டின் ∆у அதிகரிப்பு ∆у=ƒ"(x) ∆х+α ∆х, இங்கு α→0 ∆х→0, அல்லது ∆у= dy+α ∆х ∆х ஐ விட அதிக வரிசையின் α ∆х ஐ நிராகரித்தால், தோராயமான சமத்துவத்தைப் பெறுகிறோம்.

∆у≈dy, (24.3)

மேலும், இந்த சமத்துவம் மிகவும் துல்லியமானது, சிறியது ∆х.

இந்தச் சமத்துவமானது, எந்தவொரு வேறுபட்ட செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பையும் மிகத் துல்லியத்துடன் தோராயமாகக் கணக்கிட அனுமதிக்கிறது.

ஒரு செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பைக் காட்டிலும் வேறுபாடு பொதுவாக மிகவும் எளிமையானது, எனவே சூத்திரம் (24.3) கணினி நடைமுறையில் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

<< Пример 24.3

x=2 மற்றும் ∆x=0.001 இல் y=x 3 -2x+1 செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பின் தோராயமான மதிப்பைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு: நாங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம் (24.3): ∆у≈dy=(x 3 -2x+1)" ∆x=(3x 2 -2) ∆x.

எனவே, ∆у» 0.01.

ஒரு செயல்பாட்டின் வேறுபாட்டை அதன் அதிகரிப்புக்கு பதிலாக கணக்கிடுவதன் மூலம் என்ன பிழை ஏற்பட்டது என்று பார்ப்போம். இதைச் செய்ய, ∆у:

∆у=((x+∆x) 3 -2(x+∆x)+1)-(x 3 -2x+1)=x 3 +3x 2 ∆x+3x (∆x) 2 +(∆x ) 3 -2x-2 ∆x+1-x 3 +2x-1=∆x(3x 2 +3x ∆x+(∆x) 2 -2);

தோராயத்தின் முழுமையான பிழை

|∆у-dy|=|0.010006-0.011=0.000006.

∆у மற்றும் dy இன் மதிப்புகளை சமத்துவமாக மாற்றுவது (24.3), நாங்கள் பெறுகிறோம்

ƒ(x+∆x)-ƒ(x)≈ƒ"(x)∆x

ƒ(х+∆х)≈ƒ(х)+ƒ"(х) ∆х. (24.4)

செயல்பாடுகளின் தோராயமான மதிப்புகளைக் கணக்கிட ஃபார்முலா (24.4) பயன்படுத்தப்படுகிறது.

<< Пример 24.4

தோராயமாக ஆர்க்டானை (1.05) கணக்கிடவும்.

தீர்வு: ƒ(x)=arctgx செயல்பாட்டைக் கவனியுங்கள். சூத்திரத்தின் படி (24.4) எங்களிடம் உள்ளது:

arctg(x+∆х)≈arctgx+(arctgx)" ∆х,

அதாவது

x+∆x=1.05 என்பதால், x=1 மற்றும் ∆x=0.05 இல் நாம் பெறுகிறோம்:

சூத்திரத்தின் முழுமையான பிழை (24.4) M (∆x) 2 ஐ விட அதிகமாக இல்லை என்பதைக் காட்டலாம், இதில் M என்பது பிரிவில் [x;x+∆x] இன் மிகப்பெரிய மதிப்பு |ƒ"(x)|

<< Пример 24.5

இலையுதிர்காலத்தின் தொடக்கத்திலிருந்து 10.04 வினாடிகளில் சந்திரனில் இலவச வீழ்ச்சியின் போது ஒரு உடல் எவ்வளவு தூரம் பயணிக்கும்? ஒரு உடலின் இலவச வீழ்ச்சியின் சமன்பாடு

H=g l t 2/2, g l =1.6 m/s 2.

தீர்வு: நாம் H(10,04) ஐ கண்டுபிடிக்க வேண்டும். தோராயமான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவோம் (ΔH≈dH)

H(t+∆t)≈H(t)+H"(t) ∆t. t=10 s மற்றும் ∆t=dt=0.04 s, H"(t)=g l t, நாம் காண்கிறோம்

சிக்கல் (சுயாதீன தீர்வுக்காக). m=20 kg நிறை கொண்ட உடல் ν=10.02 m/s வேகத்தில் நகரும். தோராயமாக உடலின் இயக்க ஆற்றலைக் கணக்கிடுங்கள்

24.6. உயர் வரிசை வேறுபாடுகள்

y=ƒ(x) வேறுபடுத்தக்கூடிய செயல்பாடாக இருக்கட்டும், அதன் வாதம் x ஆக இருக்கட்டும் சுயாதீன மாறி.அதன் முதல் வேற்றுமை dy=ƒ"(x)dx என்பதும் x இன் செயல்பாடாகும்; இந்தச் சார்பின் வேறுபாட்டைக் காணலாம்.

y=ƒ(x) செயல்பாட்டின் வேறுபாட்டின் வேறுபாடு அழைக்கப்படுகிறது அவளுடைய இரண்டாவது வேறுபாடு(அல்லது இரண்டாவது வரிசை வேறுபாடு) மற்றும் d 2 y அல்லது d 2 ƒ(x) ஆல் குறிக்கப்படுகிறது.

எனவே, வரையறையின்படி, d 2 y=d(dy). y=ƒ(x) செயல்பாட்டின் இரண்டாவது வேறுபாட்டிற்கான வெளிப்பாட்டைக் கண்டுபிடிப்போம்.

dx=∆х x ஐச் சார்ந்து இல்லை என்பதால், வேறுபடுத்தும் போது dx மாறிலியைக் கருதுகிறோம்:

d 2 y=d(dy)=d(f"(x)dx)=(ƒ"(x)dx)" dx=f"(x)dx dx=f"(x)(dx) 2 அதாவது.

d 2 y=ƒ"(х)dх 2. (24.5)

இங்கே dx 2 என்பது (dx) 2.

மூன்றாவது வரிசை வேறுபாடு வரையறுக்கப்பட்டு இதேபோல் காணப்படுகிறது

d 3 y=d(d 2 y)=d(ƒ"(x)dx 2)≈f"(x)(dx) 3.

மேலும், பொதுவாக, n வது வரிசையின் வேறுபாடு என்பது (n-1)வது வரிசையின் வேறுபாட்டிலிருந்து வேறுபடும்: d n y=d(d n-l y)=f (n) (x)(dx) n .

இங்கிருந்து நாம், குறிப்பாக, n=1,2,3 க்கு கண்டுபிடிக்கிறோம்

அதன்படி நாம் பெறுகிறோம்:

அதாவது, ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல், சார்பற்ற மாறியின் வேறுபாட்டின் தொடர்புடைய அளவிற்கு பொருத்தமான வரிசையின் வேறுபாட்டின் விகிதமாகக் கருதப்படலாம்.

x ஒரு சார்பற்ற மாறியாக இருந்தால் மட்டுமே மேலே உள்ள அனைத்து சூத்திரங்களும் செல்லுபடியாகும் என்பதை நினைவில் கொள்ளவும். y=ƒ(x) சார்பு என்றால், x எங்கே வேறு சில சுயாதீன மாறிகளின் செயல்பாடு, பின்னர் இரண்டாவது மற்றும் உயர் ஆர்டர்களின் வேறுபாடுகள் படிவ மாறுபாட்டின் பண்புகளைக் கொண்டிருக்கவில்லை மற்றும் பிற சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகின்றன. இரண்டாவது வரிசை வேறுபாட்டின் உதாரணத்தைப் பயன்படுத்தி இதைக் காண்பிப்போம்.

தயாரிப்பு வேறுபட்ட சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி (d(uv)=vdu+udv), நாங்கள் பெறுகிறோம்:

d 2 y=d(f"(x)dx)=d(ƒ"(x))dx+ƒ"(x) d(dx)=ƒ"(x)dx dx+ƒ"(x) d 2 x , அதாவது

d 2 y=ƒ"(x)dx 2 +ƒ"(x) d 2 x.

(24.6)

சூத்திரங்கள் (24.5) மற்றும் (24.6) ஒப்பிடுகையில், ஒரு சிக்கலான செயல்பாட்டின் விஷயத்தில், இரண்டாவது வரிசை வேறுபட்ட சூத்திரம் மாறுகிறது என்று நாங்கள் நம்புகிறோம்: இரண்டாவது சொல் ƒ"(x) d 2 x தோன்றும்.

x என்பது ஒரு சார்பற்ற மாறி என்றால், அது தெளிவாகிறது

d 2 x=d(dx)=d(l dx)=dx d(l)=dx 0=0

<< Пример 24.6

மற்றும் சூத்திரம் (24.6) சூத்திரமாக (24.5) மாறும்.

y = e 3x மற்றும் x ஒரு சுயாதீன மாறியாக இருந்தால் d 2 y ஐக் கண்டறியவும்.

<< Пример 24.7

தீர்வு: y"=3e 3x, y"=9e 3x என்பதால், சூத்திரத்தின்படி (24.5) நம்மிடம் d 2 y=9e 3x dx 2 உள்ளது.

y=x 2 மற்றும் x=t 3 +1 மற்றும் t ஒரு சுயாதீன மாறி என்றால் d 2 y ஐக் கண்டறியவும்.

தீர்வு: நாங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம் (24.6): என்பதால்

y"=2x, y"=2, dx=3t 2 dt, d 2 x=6tdt 2 , என்று 2

மற்றொரு தீர்வு: y=x 2, x=t 3 +1. எனவே, y=(t 3 +1) 2.

பின்னர் சூத்திரத்தின் படி (24.5) ¢¢ d 2 y=y

டிடி 2,

d 2 y=(30t 4 +12t)dt 2 .

பிரிக்கமுடியாத வகையில் இணைக்கப்பட்டுள்ளதால், அவை இரண்டும் பல நூற்றாண்டுகளாக மனித அறிவியல் மற்றும் தொழில்நுட்ப செயல்பாட்டின் செயல்பாட்டில் எழும் அனைத்து சிக்கல்களையும் தீர்க்க தீவிரமாகப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

வேறுபாடு என்ற கருத்தின் தோற்றம்

வித்தியாசமான கால்குலஸை உருவாக்கியவர்களில் ஒருவரான (ஐசக் நியூட்டனுடன்) புகழ்பெற்ற ஜெர்மன் கணிதவியலாளர் காட்ஃபிரைட் வில்ஹெல்ம் லீப்னிஸ், வேறுபாடு என்றால் என்ன என்பதை முதலில் விளக்கினார். இதற்கு முன், 17 ஆம் நூற்றாண்டின் கணிதவியலாளர்கள். அறியப்பட்ட செயல்பாட்டின் சில எல்லையற்ற "பிரிக்க முடியாத" பகுதியின் மிகவும் தெளிவற்ற மற்றும் தெளிவற்ற யோசனை பயன்படுத்தப்பட்டது, இது மிகச் சிறிய நிலையான மதிப்பைக் குறிக்கிறது, ஆனால் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லை, செயல்பாட்டின் மதிப்புகள் வெறுமனே இருக்க முடியாது. இங்கிருந்து, செயல்பாடுகளின் வாதங்களின் எல்லையற்ற அதிகரிப்புகள் மற்றும் செயல்பாடுகளின் தொடர்புடைய அதிகரிப்புகள் என்ற கருத்தை அறிமுகப்படுத்துவது ஒரு படி மட்டுமே, பிந்தையவற்றின் வழித்தோன்றல்கள் மூலம் வெளிப்படுத்தப்பட்டது. இந்த நடவடிக்கை மேற்கூறிய இரண்டு சிறந்த விஞ்ஞானிகளால் கிட்டத்தட்ட ஒரே நேரத்தில் எடுக்கப்பட்டது.

வேகமாக வளர்ந்து வரும் தொழில்துறை மற்றும் தொழில்நுட்பத்தால் அறிவியலுக்கு முன்வைக்கப்பட்ட இயந்திரவியலின் அழுத்தமான நடைமுறை சிக்கல்களைத் தீர்க்க வேண்டியதன் அவசியத்தின் அடிப்படையில், நியூட்டனும் லீப்னிஸும் செயல்பாடுகளின் மாற்ற விகிதத்தைக் கண்டறிய பொதுவான முறைகளை உருவாக்கினர் (முதன்மையாக உடலின் இயந்திர வேகம் தொடர்பாக. அறியப்பட்ட பாதை), இது ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் மற்றும் வேறுபாடு போன்ற கருத்துகளை அறிமுகப்படுத்த வழிவகுத்தது, மேலும் அறியப்பட்ட (மாறி) வேகத்தைப் பயன்படுத்தி பயணித்த தூரத்தை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்ற தலைகீழ் சிக்கலைத் தீர்ப்பதற்கான வழிமுறையையும் கண்டறிந்தது. ஒருங்கிணைந்த கருத்து வெளிப்படுவதற்கு.

லீப்னிஸ் மற்றும் நியூட்டனின் படைப்புகளில், கருத்து வேறுபாடுகள் என்பது Δx வாதங்களின் அதிகரிப்புக்கு விகிதாசார Δy செயல்பாடுகளின் அதிகரிப்புகளின் முக்கிய பகுதிகள் என்று முதலில் தோன்றியது, இது பிந்தைய மதிப்புகளைக் கணக்கிட வெற்றிகரமாகப் பயன்படுத்தப்படலாம். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், ஒரு செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பு எந்த நேரத்திலும் (அதன் வரையறையின் டொமைனுக்குள்) அதன் வழித்தோன்றல் மூலம் Δу = y"(x) Δх + αΔх என வெளிப்படுத்தப்படலாம் என்பதை அவர்கள் கண்டுபிடித்தனர், இதில் α Δх என்பது மீதமுள்ள சொல் பூஜ்ஜியம் Δх→ 0, Δx ஐ விட மிக வேகமாக.

நியூட்டனைப் போலல்லாமல், முதன்மையாக ஒரு இயற்பியலாளர் மற்றும் கணித கருவியை உடல் பிரச்சனைகளை ஆய்வு செய்வதற்கான துணைக் கருவியாகக் கருதினார், லீப்னிஸ் இந்த கருவித்தொகுப்பில் அதிக கவனம் செலுத்தினார், இதில் கணித அளவுகளுக்கான காட்சி மற்றும் புரிந்துகொள்ளக்கூடிய குறியீடுகள் அடங்கும். dy = y"(x)dx செயல்பாட்டின் வேறுபாடுகள், வாதம் dx மற்றும் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் ஆகியவை அவற்றின் விகிதமான y"(x) = dy/dx வடிவத்தில் பொதுவாக ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்ட குறியீட்டை முன்மொழிந்தவர்.

நவீன வரையறை

நவீன கணிதத்தின் பார்வையில் இருந்து வேறுபாடு என்ன? இது ஒரு மாறியின் அதிகரிப்பு என்ற கருத்துடன் நெருக்கமாக தொடர்புடையது. y என்ற மாறி முதலில் y = y 1 மற்றும் y = y 2 மதிப்பை எடுத்துக் கொண்டால், y 2 ─ y 1 வித்தியாசம் y இன் அதிகரிப்பு எனப்படும்.

அதிகரிப்பு நேர்மறையாக இருக்கலாம். எதிர்மறை மற்றும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம். "அதிகரிப்பு" என்ற வார்த்தை Δ ஆல் குறிக்கப்படுகிறது, Δу ("டெல்டா y" ஐப் படிக்கவும்) y மதிப்பின் அதிகரிப்பைக் குறிக்கிறது. எனவே Δу = y 2 ─ y 1 .

ஒரு தன்னிச்சையான செயல்பாட்டின் Δу மதிப்பு y = f (x) Δу = A Δх + α வடிவத்தில் குறிப்பிடப்பட்டால், A ஆனது Δх ஐச் சார்ந்திருக்காது, அதாவது கொடுக்கப்பட்ட x க்கு A = const, மற்றும் Δх க்கு α என்ற சொல் →0 என்பது Δx ஐ விட வேகமானது, பின்னர் முதல் (“முக்கிய”) சொல், Δx க்கு விகிதாசாரமானது, y = f (x) க்கு ஒரு வேறுபாடு, dy அல்லது df(x) (“de yrek” ஐப் படிக்கவும்” , “de ef from x "). எனவே, வேறுபாடுகள் என்பது Δx ஐப் பொறுத்தமட்டில் நேர்கோட்டில் இருக்கும் செயல்பாட்டு அதிகரிப்புகளின் "முக்கிய" கூறுகளாகும்.

இயந்திர விளக்கம்

s = f (t) என்பது ஆரம்ப நிலையில் இருந்து நேர்கோட்டில் நகரும் வாகனத்தின் தூரமாக இருக்கட்டும் (t என்பது பயண நேரம்). அதிகரிப்பு Δs என்பது Δt நேர இடைவெளியின் போது புள்ளியின் பாதையாகும், மேலும் வேறுபாடு ds = f" (t) Δt என்பது புள்ளியானது f"(t) வேகத்தை பராமரித்திருந்தால், அதே நேரத்தில் Δt இல் மறைந்திருக்கும் பாதையாகும். ) நேரத்தில் அடையப்பட்டது டி . முடிவிலி Δt க்கு, கற்பனையான பாதை ds ஆனது உண்மை Δக்களிலிருந்து எல்லையற்ற அளவின் மூலம் வேறுபடுகிறது, இது Δt உடன் ஒப்பிடும்போது அதிக வரிசையைக் கொண்டுள்ளது. கணம் t இல் உள்ள வேகம் பூஜ்ஜியமாக இல்லாவிட்டால், புள்ளியின் சிறிய இடப்பெயர்ச்சியின் தோராயமான மதிப்பை ds கொடுக்கிறது.

வடிவியல் விளக்கம்

L கோடு y = f(x) இன் வரைபடமாக இருக்கட்டும். பிறகு Δ x = MQ, Δу = QM" (கீழே உள்ள படத்தைப் பார்க்கவும்). தொடுகோடு MN ஆனது Δy பிரிவை QN மற்றும் NM என இரண்டு பகுதிகளாகப் பிரிக்கிறது." முதலாவது Δх க்கு விகிதாசாரமானது மற்றும் QN = MQ∙tg (கோணம் QMN) = Δх f "(x), அதாவது QN என்பது வேறுபட்ட dy ஆகும்.

இரண்டாவது பகுதி NM" Δу ─ dy வித்தியாசத்தை அளிக்கிறது, Δх→0 நீளம் NM" வாதத்தின் அதிகரிப்பை விட வேகமாக குறைகிறது, அதாவது அதன் சிறிய வரிசை Δх ஐ விட அதிகமாக உள்ளது. பரிசீலனையில் உள்ள வழக்கில், f "(x) ≠ 0 க்கு (தொடுகோடு OX க்கு இணையாக இல்லை), QM" மற்றும் QN ஆகிய பிரிவுகள் சமமானவை; வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், மொத்த அதிகரிப்பு Δу = QM" ஐ விட NM" வேகமாக குறைகிறது (அதன் சிறிய வரிசை அதிகமாக உள்ளது). இதை படத்தில் காணலாம் (M "M ஐ நெருங்கும்போது, ​​பிரிவு NM" பிரிவின் QM இன் ஒரு சிறிய சதவீதத்தை உருவாக்குகிறது).

எனவே, வரைபட ரீதியாக, தன்னிச்சையான செயல்பாட்டின் வேறுபாடு அதன் தொடுகோட்டின் ஆர்டினேட்டின் அதிகரிப்புக்கு சமம்.

வழித்தோன்றல் மற்றும் வேறுபாடு

ஒரு செயல்பாட்டின் அதிகரிப்புக்கான வெளிப்பாட்டின் முதல் காலக்கட்டத்தில் உள்ள குணகம் A என்பது அதன் வழித்தோன்றல் f "(x) மதிப்புக்கு சமம். எனவே, பின்வரும் தொடர்பு - dy = f "(x)Δx, அல்லது df (x) = f "(x)Δx.

ஒரு சுயாதீன வாதத்தின் அதிகரிப்பு அதன் வேறுபாடு Δх = dx க்கு சமம் என்று அறியப்படுகிறது. அதன்படி, நாம் எழுதலாம்: f "(x) dx = dy.

வேறுபாடுகளைக் கண்டறிதல் (சில நேரங்களில் "தீர்தல்" என்று அழைக்கப்படுகிறது) வழித்தோன்றல்களுக்கான அதே விதிகளைப் பின்பற்றுகிறது. அவற்றின் பட்டியல் கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.

மிகவும் உலகளாவியது: ஒரு வாதத்தின் அதிகரிப்பு அல்லது அதன் வேறுபாடு

இங்கே சில தெளிவுபடுத்தல்கள் செய்யப்பட வேண்டும். f "(x)Δx மதிப்பின் மூலம் வேறுபாட்டைக் குறிப்பிடுவது x ஐ ஒரு வாதமாகக் கருதும் போது சாத்தியமாகும். ஆனால் செயல்பாடு சிக்கலானதாக இருக்கலாம், இதில் x என்பது சில வாதத்தின் செயல்பாடாக இருக்கலாம் t. பின்னர் f "() என்ற வெளிப்பாட்டின் மூலம் வேறுபாட்டைக் குறிக்கும். x)Δx, ஒரு விதியாக, சாத்தியமற்றது; நேரியல் சார்பு x = at + b தவிர.

f "(x)dx = dy என்ற சூத்திரத்தைப் பொறுத்தவரை, ஒரு சுயாதீன வாதம் x (பின்னர் dx = Δx) மற்றும் t இல் x இன் அளவுரு சார்பு நிலையில், இது ஒரு வேறுபாட்டைக் குறிக்கிறது.

எடுத்துக்காட்டாக, 2 x Δx என்ற வெளிப்பாடு y = x 2 ஐக் குறிக்கிறது, x என்பது வாதமாக இருக்கும் போது. இப்போது x = t 2 ஐ வைத்து t ஐ ஒரு வாதமாகக் கருதுவோம். பின்னர் y = x 2 = t 4.

இந்த வெளிப்பாடு Δt க்கு விகிதாசாரமாக இல்லை, எனவே இப்போது 2xΔx ஒரு வேறுபாடு அல்ல. y = x 2 = t 4 என்ற சமன்பாட்டிலிருந்து இதைக் காணலாம். இது dy=4t 3 Δt க்கு சமமாக மாறும்.

2xdx என்ற வெளிப்பாட்டை எடுத்துக் கொண்டால், அது எந்த வாதத்திற்கும் y = x 2 என்ற வேறுபாட்டைக் குறிக்கிறது. உண்மையில், x = t 2 க்கு நாம் dx = 2tΔt ஐப் பெறுகிறோம்.

இதன் பொருள் 2xdx = 2t 2 2tΔt = 4t 3 Δt, அதாவது, இரண்டு வெவ்வேறு மாறிகளின் அடிப்படையில் எழுதப்பட்ட வேறுபாடு வெளிப்பாடுகள் ஒத்துப்போகின்றன.

அதிகரிப்புகளை வேறுபாடுகளுடன் மாற்றுதல்

f "(x) ≠ 0 என்றால், Δу மற்றும் dy ஆகியவை சமமானவை (Δх→0க்கு); f "(x) = 0 (அதாவது dy = 0) எனில், அவை சமமானவை அல்ல.

எடுத்துக்காட்டாக, y = x 2 என்றால், Δу = (x + Δх) 2 ─ x 2 = 2xΔх + Δх 2, மற்றும் dy = 2xΔх. x=3 எனில், நம்மிடம் Δу = 6Δх + Δх 2 மற்றும் dy = 6Δх ஆகியவை உள்ளன, அவை Δх 2 →0க்கு சமமானவை, x=0 இல் Δу = Δх 2 மற்றும் dy=0 ஆகியவை சமமானவை அல்ல.

சிறிய Δx க்கு Δy ≈ dy என்ற அனுமானத்தின் கீழ், இந்த உண்மை, வேறுபாட்டின் எளிய அமைப்புடன் (அதாவது, Δx ஐப் பொறுத்தமட்டில் நேர்கோட்டுத்தன்மை) பெரும்பாலும் தோராயமான கணக்கீடுகளில் பயன்படுத்தப்படுகிறது. ஒரு செயல்பாட்டின் வேறுபாட்டைக் கண்டறிவது பொதுவாக அதிகரிப்பின் சரியான மதிப்பைக் கணக்கிடுவதை விட எளிதானது.

எடுத்துக்காட்டாக, எங்களிடம் x = 10.00 செமீ விளிம்பு உள்ளது, அதன் விளிம்பு Δx = 0.001 செமீ அளவு அதிகரித்தது. எங்களிடம் V = x 2 உள்ளது, எனவே dV = 3x 2 Δx = 3∙10 2 ∙0/01 = 3 (cm 3). தொகுதி ΔV இன் அதிகரிப்பு வேறுபட்ட dV க்கு சமம், எனவே ΔV = 3 செமீ 3 . ஒரு முழு கணக்கீடு ΔV = 10.01 3 ─ 10 3 = 3.003001 ஐக் கொடுக்கும். ஆனால் இந்த முடிவில் முதல்வரைத் தவிர அனைத்து புள்ளிவிவரங்களும் நம்பகத்தன்மையற்றவை; இதன் பொருள் இது ஒரு பொருட்டல்ல, நீங்கள் அதை 3 செமீ 3 ஆக வட்டமிட வேண்டும்.

வெளிப்படையாக, இந்த அணுகுமுறையால் அறிமுகப்படுத்தப்பட்ட பிழையின் அளவை மதிப்பிட முடிந்தால் மட்டுமே பயனுள்ளதாக இருக்கும்.

செயல்பாடு வேறுபாடு: எடுத்துக்காட்டுகள்

வழித்தோன்றலைக் கண்டறியாமல் y = x 3 செயல்பாட்டின் வேறுபாட்டைக் கண்டறிய முயற்சிப்போம். வாதத்திற்கு ஒரு அதிகரிப்பைக் கொடுத்து Δу ஐ வரையறுப்போம்.

Δу = (Δх + x) 3 ─ x 3 = 3x 2 Δх + (3xΔх 2 + Δх 3).

இங்கே குணகம் A = 3x 2 Δx ஐச் சார்ந்து இல்லை, எனவே முதல் சொல் Δx க்கு விகிதாசாரமாகும், அதே நேரத்தில் Δx→0 இல் உள்ள 3xΔx 2 + Δx 3 வாதத்தின் அதிகரிப்பை விட வேகமாக குறைகிறது. எனவே, 3x 2 Δx என்ற சொல் y = x 3:

dy=3x 2 Δх=3x 2 dx அல்லது d(x 3) = 3x 2 dx.

இந்த வழக்கில், d(x 3) / dx = 3x 2.

y = 1/x செயல்பாட்டின் dy ஐ அதன் வழித்தோன்றல் மூலம் இப்போது கண்டுபிடிப்போம். பின்னர் d(1/x) / dx = ─1/x 2. எனவே dy = ─ Δx/x 2.

அடிப்படை இயற்கணித செயல்பாடுகளின் வேறுபாடுகள் கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளன.

வித்தியாசத்தைப் பயன்படுத்தி தோராயமான கணக்கீடுகள்

x=a இல் f (x) செயல்பாட்டையும், அதன் வழித்தோன்றலான f "(x) ஐயும் கணக்கிடுவது பெரும்பாலும் கடினம் அல்ல, ஆனால் x=a புள்ளிக்கு அருகில் அதைச் செய்வது எளிதானது அல்ல. பின்னர் தோராயமான வெளிப்பாடு மீட்புக்கு வருகிறது

f(a + Δх) ≈ f "(a)Δх + f(a).

இது அதன் வித்தியாசமான f "(a)Δх மூலம் சிறிய அதிகரிப்புகளுக்கு Δх செயல்பாட்டின் தோராயமான மதிப்பை அளிக்கிறது.

இதன் விளைவாக, இந்த சூத்திரம் ஒரு குறிப்பிட்ட பகுதி நீளம் Δx இன் இறுதிப் புள்ளியில் செயல்பாட்டிற்கான தோராயமான வெளிப்பாட்டை இந்தப் பிரிவின் தொடக்கப் புள்ளியில் (x=a) அதன் மதிப்பின் கூட்டு வடிவத்திலும் அதே தொடக்கத்தில் உள்ள வேறுபாடு வடிவத்திலும் கொடுக்கிறது. புள்ளி. ஒரு செயல்பாட்டின் மதிப்பை நிர்ணயிக்கும் இந்த முறையின் பிழை கீழே உள்ள படத்தில் விளக்கப்பட்டுள்ளது.

இருப்பினும், x=a+Δхக்கான செயல்பாட்டின் மதிப்பிற்கான சரியான வெளிப்பாடு வரையறுக்கப்பட்ட அதிகரிப்பு சூத்திரத்தால் வழங்கப்படுகிறது (அல்லது, வேறுவிதமாகக் கூறினால், Lagrange சூத்திரம்)

f(a+ Δх) ≈ f "(ξ) Δх + f(a),

x = a+ ξ புள்ளி x = a இலிருந்து x = a + Δx வரையிலான பிரிவில் அமைந்துள்ளது, இருப்பினும் அதன் சரியான நிலை தெரியவில்லை. தோராயமான சூத்திரத்தின் பிழையை மதிப்பிடுவதற்கு சரியான சூத்திரம் உங்களை அனுமதிக்கிறது. லாக்ரேஞ்ச் சூத்திரத்தில் ξ = Δx /2 ஐ வைத்தால், அது துல்லியமாக இல்லாமல் போனாலும், அது பொதுவாக வேறுபாட்டின் மூலம் அசல் வெளிப்பாட்டைக் காட்டிலும் மிகச் சிறந்த தோராயத்தை அளிக்கிறது.

வேறுபாட்டைப் பயன்படுத்தி சூத்திரங்களின் பிழையை மதிப்பிடுதல்

கொள்கையளவில், அவை துல்லியமற்றவை மற்றும் அளவீட்டுத் தரவில் தொடர்புடைய பிழைகளை அறிமுகப்படுத்துகின்றன. அவை ஒரு விளிம்பு அல்லது, சுருக்கமாக, அதிகபட்ச பிழையால் வகைப்படுத்தப்படுகின்றன - நேர்மறை எண், இது முழுமையான மதிப்பில் இந்த பிழையை விட அதிகமாக உள்ளது (அல்லது, தீவிர நிகழ்வுகளில், அதற்கு சமம்). வரம்பு என்பது அளவிடப்பட்ட அளவின் முழுமையான மதிப்பின் மூலம் அதன் பிரிவின் பங்கு ஆகும்.

y செயல்பாட்டைக் கணக்கிட y= f (x) என்ற சரியான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த வேண்டும், ஆனால் x இன் மதிப்பு ஒரு அளவீட்டின் விளைவாகும், எனவே y இல் பிழையை அறிமுகப்படுத்துகிறது. பின்னர், அதிகபட்ச முழுமையான பிழை │Δу│செயல்பாடு y கண்டுபிடிக்க, சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தவும்

│Δу│≈│dy│=│ f "(x)││Δх│,

இதில் │Δх│ என்பது வாதத்தின் அதிகபட்ச பிழை. மதிப்பு │Δу│ மேல்நோக்கி வட்டமிட வேண்டும், ஏனெனில் அதிகரிப்பு கணக்கீட்டை வேறுபட்ட கணக்கீட்டுடன் மாற்றுவது தவறானது.

வித்தியாசம்... சிலருக்கு இது அழகான தொலைதூர வார்த்தை, ஆனால் சிலருக்கு இது கணிதத்துடன் தொடர்புடைய புரிந்துகொள்ள முடியாத வார்த்தை. ஆனால் இது உங்கள் கடுமையான பரிசாக இருந்தால், வேறுபாட்டை எவ்வாறு சரியாக "தயாரிப்பது" மற்றும் எதை "சேவை செய்வது" என்பதைக் கண்டறிய எங்கள் கட்டுரை உங்களுக்கு உதவும்.

வேறுபாட்டைக் கண்டறிய ஆன்லைன் சேவையும் உங்களுக்கு உதவும். இயற்கையாகவே, நீங்கள் அதை ஒரு சோதனை அல்லது தேர்வில் பயன்படுத்த மாட்டீர்கள். ஆனால் ஒரு முடிவின் சரியான தன்மையை சுயாதீனமாக சரிபார்க்கும்போது, ​​அதன் பங்கை மிகைப்படுத்துவது கடினம். முடிவுடன் கூடுதலாக, இது இடைநிலை தீர்வுகள், வரைபடங்கள் மற்றும் வேறுபட்ட செயல்பாட்டின் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பு, அத்துடன் வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் வேர்கள் ஆகியவற்றைக் காட்டுகிறது. ஒரே குறை என்னவென்றால், நீங்கள் தட்டச்சு செய்யும் போது செயல்பாடு ஒரு வரியில் எழுதப்பட்டுள்ளது, ஆனால் காலப்போக்கில் நீங்கள் இதைப் பழக்கப்படுத்திக்கொள்ளலாம். சரி, இயற்கையாகவே, அத்தகைய சேவையானது சிக்கலான செயல்பாடுகளை சமாளிக்க முடியாது, ஆனால் எளிமையானது எல்லாம் அதுதான்.