விநியோக செயல்பாடுகள் f x. சீரற்ற மாறியின் விநியோக செயல்பாடுகள். ஒரு சீரற்ற மாறியின் பரவல் செயல்பாட்டை எவ்வாறு கண்டறிவது

சீரற்ற மாறிகள் மற்றும் அவற்றின் மாறிகளின் விநியோக செயல்பாடுகளைக் கண்டறிய, இந்த அறிவுத் துறையின் அனைத்து அம்சங்களையும் படிப்பது அவசியம். பல உள்ளன பல்வேறு முறைகள்மாறி மாற்றம் மற்றும் முறுக்கு உருவாக்கம் உட்பட கேள்விக்குரிய மதிப்புகளைக் கண்டறிய. விநியோகம் என்பது சிதறல் மற்றும் மாறுபாடுகள் போன்ற கூறுகளை அடிப்படையாகக் கொண்ட ஒரு கருத்தாகும். இருப்பினும், அவை சிதறல் வரம்பின் அளவை மட்டுமே வகைப்படுத்துகின்றன.

சீரற்ற மாறிகளின் மிக முக்கியமான செயல்பாடுகள் தொடர்புடையவை மற்றும் சுயாதீனமானவை மற்றும் ஒரே மாதிரியாக விநியோகிக்கப்படுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, X1 என்பது ஆண் மக்கள்தொகையில் இருந்து தோராயமாக தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட தனிநபரின் எடை, X2 என்பது மற்றொருவரின் எடை, ..., மற்றும் Xn என்பது ஆண் மக்கள்தொகையில் இருந்து மற்றொரு நபரின் எடை என்றால், எப்படி என்பதை நாம் தெரிந்து கொள்ள வேண்டும். சீரற்ற செயல்பாடு X விநியோகிக்கப்படுகிறது. இந்த வழக்கில், மத்திய வரம்பு தேற்றம் எனப்படும் கிளாசிக்கல் தேற்றம் பொருந்தும். பெரிய n க்கு செயல்பாடு நிலையான விநியோகங்களைப் பின்பற்றுகிறது என்பதைக் காட்ட இது அனுமதிக்கிறது.

ஒரு சீரற்ற மாறியின் செயல்பாடுகள்

மைய வரம்பு தேற்றம் என்பது பைனோமியல் மற்றும் பாய்சன் போன்ற ஆர்வத்தின் தனித்தனி மதிப்புகளை தோராயமாக மதிப்பிடுவதை நோக்கமாகக் கொண்டது. சீரற்ற மாறிகளின் விநியோக செயல்பாடுகள், முதலில், ஒரு மாறியின் எளிய மதிப்புகளில் கருதப்படுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, X என்பது அதன் சொந்த நிகழ்தகவு பரவலைக் கொண்ட தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியாக இருந்தால். இரண்டு வெவ்வேறு அணுகுமுறைகளைப் பயன்படுத்தி அடர்த்தி சார்பு Y ஐ எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்பதை இந்த வழக்கு ஆராய்கிறது, அதாவது விநியோக செயல்பாடு முறை மற்றும் மாறி முறையின் மாற்றம். முதலில், ஒன்றுக்கு ஒன்று மதிப்புகள் மட்டுமே கருதப்படுகின்றன. மாறியை மாற்றும் நுட்பம் அதன் நிகழ்தகவைக் கண்டறிய மாற்றியமைக்கப்பட வேண்டும். இறுதியாக, சில வரிசை முறைகளைப் பின்பற்றும் சீரற்ற எண்களை மாதிரியாக ஒட்டுமொத்த விநியோகம் எவ்வாறு உதவும் என்பதை நீங்கள் அறிந்து கொள்ள வேண்டும்.

கருதப்படும் மதிப்புகளின் விநியோக முறை

ஒரு சீரற்ற மாறியின் நிகழ்தகவு பரவல் செயல்பாட்டின் முறை அதன் அடர்த்தியைக் கண்டறியப் பயன்படுகிறது. இந்த முறை ஒட்டுமொத்த மதிப்பைக் கணக்கிடுகிறது. பின்னர், அதை வேறுபடுத்துவதன் மூலம், நிகழ்தகவு அடர்த்தியைப் பெறலாம். இப்போது விநியோக செயல்பாடு முறை உள்ளது, மேலும் சில எடுத்துக்காட்டுகளைப் பார்க்கலாம். X தொடர்ச்சியாக இருக்கட்டும் சீரற்ற மாறிஒரு குறிப்பிட்ட நிகழ்தகவு அடர்த்தியுடன்.

x2 இன் நிகழ்தகவு அடர்த்தி செயல்பாடு என்ன? நீங்கள் செயல்பாடு (மேல் மற்றும் வலது) y = x2 ஐப் பார்த்தால் அல்லது வரைபடமாக்கினால், அது X மற்றும் 0 ஐ அதிகரிக்கிறது என்பதை நீங்கள் கவனிக்கலாம்.

கடைசி எடுத்துக்காட்டில், அவை எந்த சீரற்ற மாறியைச் சேர்ந்தவை என்பதைக் குறிக்க, ஒட்டுமொத்த செயல்பாடுகள் மற்றும் நிகழ்தகவு அடர்த்தியை X அல்லது Y உடன் அட்டவணைப்படுத்துவதில் மிகுந்த கவனம் எடுக்கப்பட்டது. எடுத்துக்காட்டாக, Y இன் ஒட்டுமொத்த பரவல் செயல்பாட்டைக் கண்டறியும் போது, ​​எங்களுக்கு X கிடைத்தது. சீரற்ற மாறி X மற்றும் அதன் அடர்த்தியை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் என்றால், நீங்கள் அதை வேறுபடுத்த வேண்டும்.

மாறிகளை மாற்றுவதற்கான நுட்பம்

X என்பது ஒரு பொதுவான வகுப்பான f (x) உடன் விநியோகச் செயல்பாட்டால் குறிப்பிடப்பட்ட தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியாக இருக்கட்டும். இந்த வழக்கில், நீங்கள் y இன் மதிப்பை X = v(Y) இல் வைத்தால், நீங்கள் x இன் மதிப்பைப் பெறுவீர்கள், எடுத்துக்காட்டாக v(y). இப்போது, ​​நாம் ஒரு தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறி Y இன் விநியோகச் செயல்பாட்டைப் பெற வேண்டும். இதில் முதல் மற்றும் இரண்டாவது சமத்துவம் ஒட்டுமொத்த Y இன் வரையறையிலிருந்து நடைபெறுகிறது. மூன்றாவது சமத்துவம் திருப்தி அளிக்கிறது, ஏனெனில் u (X) ≤ y X ≤ v (Y ) என்பதும் உண்மை. மற்றும் பிந்தையது ஒரு தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறி X இல் நிகழ்தகவைத் தீர்மானிக்க செய்யப்படுகிறது. இப்போது Y இன் நிகழ்தகவு அடர்த்தியைப் பெற, Y இன் ஒட்டுமொத்த விநியோகச் சார்பான FY(y) இன் வழித்தோன்றலை எடுக்க வேண்டும்.

குறைப்பு செயல்பாட்டிற்கான பொதுமைப்படுத்தல்

X என்பது c1க்கு மேல் வரையறுக்கப்பட்ட பொதுவான f(x) உடன் தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியாக இருக்கட்டும்

இந்தச் சிக்கலைத் தீர்க்க, அளவு தரவு சேகரிக்கப்பட்டு, அனுபவ ரீதியான ஒட்டுமொத்த விநியோகச் செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்தலாம். இந்தத் தகவலைக் கொண்டிருப்பதற்கும் அதைக் கவர்வதற்கும் மாதிரி வழிமுறைகள், நிலையான விலகல்கள், மீடியா தரவு மற்றும் பலவற்றின் கலவை தேவைப்படுகிறது.

அதேபோல், மிகவும் எளிமையான நிகழ்தகவு மாதிரி கூட அதிக எண்ணிக்கையிலான முடிவுகளைக் கொண்டிருக்கும். உதாரணமாக, நீங்கள் ஒரு நாணயத்தை 332 முறை புரட்டினால். புரட்சிகளிலிருந்து பெறப்பட்ட முடிவுகளின் எண்ணிக்கை google (10100) ஐ விட அதிகமாக உள்ளது - ஒரு எண், ஆனால் அறியப்பட்ட பிரபஞ்சத்தில் உள்ள அடிப்படைத் துகள்களை விட 100 quintillion மடங்கு அதிகமாக இல்லை. சாத்தியமான எல்லா விளைவுகளுக்கும் பதில் அளிக்கும் பகுப்பாய்வில் எனக்கு ஆர்வம் இல்லை. தலைகளின் எண்ணிக்கை அல்லது வால்களின் நீண்ட பக்கவாதம் போன்ற எளிமையான கருத்து தேவைப்படும். ஆர்வமுள்ள சிக்கல்களில் கவனம் செலுத்த, ஒரு குறிப்பிட்ட முடிவு ஏற்றுக்கொள்ளப்படுகிறது. இந்த வழக்கில் வரையறை பின்வருமாறு: ஒரு ரேண்டம் மாறி என்பது ஒரு நிகழ்தகவு இடைவெளியுடன் ஒரு உண்மையான செயல்பாடு.

ஒரு சீரற்ற மாறியின் S வரம்பு சில நேரங்களில் மாநில இடைவெளி என்று அழைக்கப்படுகிறது. எனவே, X என்பது கேள்விக்குரிய மதிப்பாக இருந்தால், N = X2, exp ↵X, X2 + 1, tan2 X, bXc மற்றும் பல. இவற்றில் கடைசியாக, X ஐ அருகில் உள்ள முழு எண்ணுக்குச் சுற்றுவது, தரை செயல்பாடு எனப்படும்.

விநியோக செயல்பாடுகள்

சீரற்ற மாறி xக்கான வட்டியின் விநியோகச் செயல்பாடு தீர்மானிக்கப்பட்டவுடன், பொதுவாக கேள்வி எழுகிறது: "B இன் மதிப்புகளின் சில துணைக்குழுவில் X வருவதற்கான வாய்ப்புகள் என்ன?" எடுத்துக்காட்டாக, B = (ஒற்றைப்படை எண்கள்), B = (1 ஐ விட அதிகமாக), அல்லது B = (2 மற்றும் 7 க்கு இடையில்) Xஐக் கொண்ட அந்த முடிவுகளைக் குறிக்க, சீரற்ற மாறியின் மதிப்பு, துணைக்குழு A. எனவே மேலே உள்ள உதாரணமாக, நீங்கள் நிகழ்வுகளை பின்வருமாறு விவரிக்கலாம்.

(X என்பது ஒற்றைப்படை எண்), (X என்பது 1 ஐ விட பெரியது) = (X> 1), (X என்பது 2 மற்றும் 7 க்கு இடையில் உள்ளது) = (2

சீரற்ற மாறிகள் மற்றும் விநியோக செயல்பாடுகள்

எனவே, ஒரு சீரற்ற மாறி x இன் பரவல் செயல்பாடு கழித்தல் மூலம் இடைவெளியில் மதிப்புகளை எடுக்கும் நிகழ்தகவை நாம் கணக்கிடலாம். இறுதிப் புள்ளிகளைச் சேர்ப்பது அல்லது விலக்குவது பற்றி நீங்கள் சிந்திக்க வேண்டும்.

வரையறுக்கப்பட்ட அல்லது கணக்கிடக்கூடிய எல்லையற்ற நிலை இடைவெளியைக் கொண்டிருந்தால், சீரற்ற மாறி தனித்தன்மை என்று அழைப்போம். எனவே, X என்பது ஒரு சார்பு நாணயத்தின் மூன்று சுயாதீன புரட்டுகளில் உள்ள தலைகளின் எண்ணிக்கை, இது நிகழ்தகவு p உடன் உயர்கிறது. X க்கான தனித்த சீரற்ற மாறி FX இன் ஒட்டுமொத்த விநியோக செயல்பாட்டைக் கண்டறிய வேண்டும். மூன்று அட்டைகளின் தொகுப்பில் உள்ள உச்சங்களின் எண்ணிக்கையை X ஆக இருக்கட்டும். பின்னர் FX வழியாக Y = X3. FX 0 இல் தொடங்குகிறது, 1 இல் முடிவடைகிறது மற்றும் x மதிப்புகள் அதிகரிக்கும் போது குறையாது. தனித்த சீரற்ற மாறி X இன் ஒட்டுமொத்த FX விநியோக செயல்பாடு தாவல்களைத் தவிர நிலையானது. குதிக்கும் போது, ​​FX தொடர்ச்சியாக இருக்கும். வரையறையைப் பயன்படுத்தி நிகழ்தகவு சொத்திலிருந்து விநியோகச் செயல்பாட்டின் சரியான தொடர்ச்சி பற்றிய அறிக்கையை நீங்கள் நிரூபிக்கலாம். இது இப்படிச் செல்கிறது: ஒரு நிலையான சீரற்ற மாறியானது ஒரு ஒட்டுமொத்த FX ஐக் கொண்டுள்ளது, இது வேறுபடுத்தக்கூடியது.

இது எவ்வாறு நிகழலாம் என்பதைக் காட்ட, ஒரு உதாரணம் கொடுக்கப்படலாம்: ஒரு அலகு ஆரம் கொண்ட இலக்கு. மறைமுகமாக. டார்ட் குறிப்பிட்ட பகுதியில் சமமாக விநியோகிக்கப்படுகிறது. சில λ> 0. இதனால், தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறிகளின் விநியோக செயல்பாடுகள் சீராக அதிகரிக்கும். எஃப்எக்ஸ் ஒரு விநியோகச் செயல்பாட்டின் பண்புகளைக் கொண்டுள்ளது.

அது வரும் வரை ஒரு மனிதன் பேருந்து நிறுத்தத்தில் காத்திருக்கிறான். காத்திருப்பு 20 நிமிடம் ஆனதும் மறுப்பேன் என்று தானே முடிவு செய்து கொண்டான். இங்கே நீங்கள் T க்கான ஒட்டுமொத்த விநியோக செயல்பாட்டைக் கண்டறிய வேண்டும். நபர் இன்னும் பேருந்து நிலையத்தில் இருப்பார் அல்லது வெளியேற மாட்டார். ஒவ்வொரு சீரற்ற மாறிக்கும் ஒட்டுமொத்த விநியோக செயல்பாடு வரையறுக்கப்பட்டாலும். இருப்பினும், பிற குணாதிசயங்கள் அடிக்கடி பயன்படுத்தப்படும்: ஒரு தனி மாறிக்கான நிறை மற்றும் சீரற்ற மாறியின் விநியோக அடர்த்தி செயல்பாடு. பொதுவாக மதிப்பு இந்த இரண்டு மதிப்புகளில் ஒன்றைப் பயன்படுத்தி வெளியீடு ஆகும்.

வெகுஜன செயல்பாடுகள்

இந்த மதிப்புகள் பின்வரும் பண்புகளால் கருதப்படுகின்றன, அவை பொதுவான (வெகுஜன) இயல்புடையவை. முதலாவது, நிகழ்தகவுகள் எதிர்மறையாக இல்லை என்ற உண்மையை அடிப்படையாகக் கொண்டது. இரண்டாவதாக, அனைத்து x=2Sக்கான தொகுப்பு, X க்கான மாநில இடைவெளி, X இன் நிகழ்தகவு சுதந்திரத்தின் ஒரு பிரிவை உருவாக்குகிறது. எடுத்துக்காட்டு: ஒரு சார்பு நாணயத்தின் டாஸ்கள் அதன் முடிவுகள் சுயாதீனமாக இருக்கும். நீங்கள் இலக்குகளை அடையும் வரை சில செயல்களை தொடர்ந்து செய்யலாம். முதல் தலைக்கு முன் வால்களின் எண்ணிக்கையைக் கொடுக்கும் சீரற்ற மாறியை X குறிக்கலாம். மற்றும் p என்பது எந்த ஒரு செயலிலும் நிகழ்தகவைக் குறிக்கிறது.

எனவே, வெகுஜன நிகழ்தகவு செயல்பாடு பின்வரும் சிறப்பியல்பு அம்சங்களைக் கொண்டுள்ளது. சொற்கள் ஒரு எண் வரிசையை உருவாக்குவதால், X ஒரு வடிவியல் சீரற்ற மாறி என்று அழைக்கப்படுகிறது. வடிவியல் திட்டம் c, cr, cr2,. , crn ஒரு தொகை உள்ளது. எனவே n 1 ஆக இருக்கும்போது snக்கு வரம்பு உள்ளது. இந்த வழக்கில், எல்லையற்ற தொகை வரம்பு ஆகும்.

மேலே உள்ள வெகுஜன செயல்பாடு விகிதத்துடன் ஒரு வடிவியல் வரிசையை உருவாக்குகிறது. எனவே, இயற்கை எண்கள் a மற்றும் b உள்ளன. விநியோக செயல்பாட்டில் உள்ள மதிப்புகளில் உள்ள வேறுபாடு வெகுஜன செயல்பாட்டின் மதிப்புக்கு சமம்.

பரிசீலனையில் உள்ள அடர்த்தி மதிப்புகள் பின்வரும் வரையறையைக் கொண்டுள்ளன: X என்பது ஒரு சீரற்ற மாறி, அதன் விநியோகம் FX ஒரு வழித்தோன்றலைக் கொண்டுள்ளது. FX திருப்திப்படுத்தும் Z xFX (x) = fX (t) dt-1 நிகழ்தகவு அடர்த்தி செயல்பாடு என அழைக்கப்படுகிறது. மற்றும் X ஒரு தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறி என்று அழைக்கப்படுகிறது. கால்குலஸின் அடிப்படை தேற்றத்தில், அடர்த்தி சார்பு என்பது விநியோகத்தின் வழித்தோன்றலாகும். திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்புகளைக் கணக்கிடுவதன் மூலம் நீங்கள் நிகழ்தகவுகளைக் கணக்கிடலாம்.

பல அவதானிப்புகளிலிருந்து தரவு சேகரிக்கப்படுவதால், சோதனை நடைமுறைகளை மாதிரியாக மாற்றுவதற்கு ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட சீரற்ற மாறிகள் பரிசீலிக்கப்பட வேண்டும். எனவே, இந்த மதிப்புகளின் தொகுப்பு மற்றும் இரண்டு மாறிகள் X1 மற்றும் X2 க்கான அவற்றின் கூட்டு விநியோகம் நிகழ்வுகளைப் பார்ப்பதைக் குறிக்கிறது. தனித்த சீரற்ற மாறிகளுக்கு, கூட்டு நிகழ்தகவு நிறை செயல்பாடுகள் தீர்மானிக்கப்படுகின்றன. தொடர்ச்சியானவற்றிற்கு, fX1, X2 ஆகியவை கருதப்படுகின்றன, அங்கு கூட்டு நிகழ்தகவு அடர்த்தி திருப்திகரமாக இருக்கும்.

சுயாதீன சீரற்ற மாறிகள்

இரண்டு சீரற்ற மாறிகள் X1 மற்றும் X2 ஆகியவை அவற்றுடன் தொடர்புடைய இரண்டு நிகழ்வுகளும் ஒரே மாதிரியாக இருந்தால் அவை சுயாதீனமாக இருக்கும். வார்த்தைகளில், இரண்டு நிகழ்வுகள் (X1 2 B1) மற்றும் (X2 2 B2) ஒரே நேரத்தில் நிகழும் நிகழ்தகவு, y, அவை ஒவ்வொன்றும் தனித்தனியாக நிகழும் மேலே உள்ள மாறிகளின் பெருக்கத்திற்கு சமம். சுயாதீனமான தனித்த சீரற்ற மாறிகளுக்கு ஒரு கூட்டு நிகழ்தகவு நிறை செயல்பாடு உள்ளது, இது கட்டுப்படுத்தும் அயனி தொகுதியின் விளைபொருளாகும். சுயாதீனமான தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறிகளுக்கு, கூட்டு நிகழ்தகவு அடர்த்தி செயல்பாடு விளிம்பு அடர்த்தி மதிப்புகளின் தயாரிப்பு ஆகும். இறுதியாக, n சுயாதீன அவதானிப்புகள் x1, x2, கருதப்படுகின்றன. , xn அறியப்படாத அடர்த்தி அல்லது நிறை செயல்பாட்டிலிருந்து எழும் f. எடுத்துக்காட்டாக, பேருந்திற்கான காத்திருப்பு நேரத்தை விவரிக்கும் அதிவேக சீரற்ற மாறிக்கான செயல்பாடுகளில் அறியப்படாத அளவுரு.

சீரற்ற மாறிகளை உருவகப்படுத்துதல்

இந்த கோட்பாட்டுத் துறையின் முக்கிய குறிக்கோள், புள்ளிவிவர அறிவியலின் சிறந்த கொள்கைகளின் அடிப்படையில் அனுமான செயல்முறைகளை உருவாக்க தேவையான கருவிகளை வழங்குவதாகும். எனவே, மென்பொருளின் மிக முக்கியமான பயன்பாடானது, உண்மையான தகவலை உருவகப்படுத்துவதற்கு போலித் தரவை உருவாக்கும் திறன் ஆகும். உண்மையான தரவுத்தளங்களில் அவற்றைப் பயன்படுத்துவதற்கு முன்பு பகுப்பாய்வு முறைகளைச் சோதித்து மேம்படுத்துவதை இது சாத்தியமாக்குகிறது. மாடலிங் மூலம் தரவின் பண்புகளை ஆராய இது தேவைப்படுகிறது. சீரற்ற மாறிகளின் பொதுவாகப் பயன்படுத்தப்படும் பல குடும்பங்களுக்கு, R அவற்றை உருவாக்குவதற்கான கட்டளைகளை வழங்குகிறது. மற்ற சூழ்நிலைகளுக்கு, பொதுவான விநியோகம் கொண்ட சுயாதீன சீரற்ற மாறிகளின் வரிசையை மாதிரியாக்குவதற்கான முறைகள் தேவைப்படும்.

தனித்த சீரற்ற மாறிகள் மற்றும் கட்டளை முறை. எளிய மற்றும் அடுக்கு சீரற்ற மாதிரிகளை உருவாக்க மாதிரி கட்டளை பயன்படுத்தப்படுகிறது. இதன் விளைவாக, ஒரு வரிசை x கொடுக்கப்பட்டால், மாதிரி(x, 40) x இலிருந்து 40 உள்ளீடுகளைத் தேர்ந்தெடுக்கிறது, அதாவது அளவு 40 இன் அனைத்து விருப்பங்களும் சமமான நிகழ்தகவைக் கொண்டிருக்கும். இது மாற்று இல்லாமல் தேர்ந்தெடுக்க இயல்புநிலை R கட்டளையைப் பயன்படுத்துகிறது. தனித்த சீரற்ற மாறிகளை மாதிரியாக்கவும் பயன்படுத்தலாம். இதைச் செய்ய, நீங்கள் திசையன் x மற்றும் வெகுஜன செயல்பாடு f இல் ஒரு நிலை இடத்தை வழங்க வேண்டும். மாற்றியமைத்தல் = TRUE என அழைப்பது, மாதிரி மாற்றத்துடன் நிகழும் என்பதைக் குறிக்கிறது. பின்னர், பொதுவான நிறை செயல்பாடு f ஐக் கொண்ட n சார்பற்ற சீரற்ற மாறிகளின் மாதிரியைக் கொடுக்க, மாதிரி (x, n, replace = TRUE, prob = f) பயன்படுத்தப்படுகிறது.

1 என்பது மிகச்சிறிய மதிப்பு என்றும், 4 எல்லாவற்றிலும் பெரியது என்றும் தீர்மானிக்கப்படுகிறது. prob = f கட்டளை தவிர்க்கப்பட்டால், மாதிரியானது திசையன் x இல் உள்ள மதிப்புகளிலிருந்து ஒரே மாதிரியாக மாதிரி செய்யப்படும். இரட்டைச் சமமான குறி, == என்பதைக் குறிப்பதன் மூலம் தரவை உருவாக்கிய வெகுஜன செயல்பாட்டிற்கு எதிரான உருவகப்படுத்துதலை நீங்கள் சரிபார்க்கலாம். மேலும் x க்கு சாத்தியமான ஒவ்வொரு மதிப்பையும் எடுத்துக் கொள்ளும் அவதானிப்புகளை எண்ணுவதன் மூலம். நீங்கள் ஒரு அட்டவணையை உருவாக்கலாம். இதை 1000க்கு மீண்டும் செய்யவும் மற்றும் உருவகப்படுத்துதலை தொடர்புடைய வெகுஜன செயல்பாட்டுடன் ஒப்பிடவும்.

நிகழ்தகவு மாற்றத்தை விளக்குகிறது

முதலில், சீரற்ற மாறிகள் u1, u2, ஆகியவற்றின் ஒரே மாதிரியான விநியோக செயல்பாடுகளை உருவகப்படுத்தவும். , இடைவேளையில் ஐ.நா. சுமார் 10% எண்கள் க்குள் இருக்க வேண்டும். இது காட்டப்பட்ட FX விநியோகச் செயல்பாட்டின் சீரற்ற மாறிக்கான ஒரு இடைவெளிக்கு 10% உருவகப்படுத்துதல்களுக்கு ஒத்திருக்கிறது. அதேபோல், 10% சீரற்ற எண்கள் வரம்பில் இருக்க வேண்டும். இது விநியோக செயல்பாடு FX உடன் சீரற்ற மாறி இடைவெளியில் 10% உருவகப்படுத்துதல்களுக்கு ஒத்திருக்கிறது. x அச்சில் உள்ள இந்த மதிப்புகளை FX இன் தலைகீழ் எடுத்துக்கொள்வதன் மூலம் பெறலாம். X ஆனது அதன் டொமைனில் எல்லா இடங்களிலும் நேர்மறையாக இருக்கும் அடர்த்தி fX கொண்ட தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியாக இருந்தால், விநியோக செயல்பாடு கண்டிப்பாக அதிகரித்து வருகிறது. இந்த வழக்கில், FX ஆனது FX-1 இன் தலைகீழ் செயல்பாட்டைக் கொண்டுள்ளது, இது குவாண்டில் செயல்பாடு என அழைக்கப்படுகிறது. FX (x) u என்றால் x FX-1 (u) மட்டுமே. நிகழ்தகவு மாற்றம் U = FX (X) என்ற சீரற்ற மாறியின் பகுப்பாய்விலிருந்து பின்பற்றப்படுகிறது.

FX ஆனது 0 முதல் 1 வரையிலான வரம்பைக் கொண்டுள்ளது. இது 0 க்கும் குறைவான அல்லது 1 ஐ விட அதிகமான மதிப்புகளை எடுக்க முடியாது. 0 மற்றும் 1 க்கு இடைப்பட்ட u இன் மதிப்புகளுக்கு. U மாதிரியாக இருந்தால், ஒரு சீரற்ற மாறியை உருவகப்படுத்துவது அவசியம் ஒரு அளவு செயல்பாடு மூலம் FX இன் விநியோகம். 1 க்குள் அடர்த்தி u மாறுபடுகிறது என்பதைக் காண வழித்தோன்றலை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள். சீரற்ற மாறி U அதன் சாத்தியமான மதிப்புகளின் இடைவெளியில் நிலையான அடர்த்தியைக் கொண்டிருப்பதால், அது இடைவெளியில் சீரானதாக அழைக்கப்படுகிறது. இது runif கட்டளையைப் பயன்படுத்தி R இல் வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது. அடையாளம் ஒரு நிகழ்தகவு மாற்றம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. டார்ட் போர்டில் உள்ள எடுத்துக்காட்டில் இது எவ்வாறு செயல்படுகிறது என்பதை நீங்கள் பார்க்கலாம். X 0 மற்றும் 1 க்கு இடையில், விநியோக செயல்பாடு u = FX (x) = x2, எனவே அளவு செயல்பாடு x = FX-1 (u) ஆகும். ஒரே மாதிரியான சீரற்ற மாறிகள் U1, U2, உருவாக்கும் போது, ​​டார்ட் பேனலின் மையத்திலிருந்து தூரத்தின் சுயாதீனமான அவதானிப்புகளை உருவகப்படுத்துவது சாத்தியமாகும். ,ஐ.நா. விநியோக செயல்பாடு மற்றும் அனுபவமானது டார்ட் போர்டு விநியோகத்தின் 100 உருவகப்படுத்துதல்களை அடிப்படையாகக் கொண்டது. ஒரு அதிவேக சீரற்ற மாறிக்கு, மறைமுகமாக u = FX(x) = 1 - exp(- x), எனவே x = - 1 ln(1 - u). சில நேரங்களில் தர்க்கம் சமமான அறிக்கைகளைக் கொண்டுள்ளது. இந்த வழக்கில், நீங்கள் வாதத்தின் இரண்டு பகுதிகளையும் இணைக்க வேண்டும். குறுக்குவெட்டு அடையாளமானது அனைத்து 2 (S i i) S க்கும், சில மதிப்பிற்குப் பதிலாக ஒத்ததாக இருக்கும். யூனியன் Ci என்பது ஸ்டேட் ஸ்பேஸ் S க்கு சமம் மற்றும் ஒவ்வொரு ஜோடியும் ஒன்றுக்கொன்று பிரத்தியேகமானது. ஏனெனில் Bi மூன்று கோட்பாடுகளாக பிரிக்கப்பட்டுள்ளது. ஒவ்வொரு சோதனையும் தொடர்புடைய நிகழ்தகவு P. எந்த துணைக்குழுவிற்கும். இடைவெளியின் இறுதிப் புள்ளிகள் சேர்க்கப்பட்டுள்ளதா என்பதைப் பொறுத்து பதில் இல்லை என்பதை உறுதிப்படுத்த அடையாளத்தைப் பயன்படுத்துதல்.

அதிவேக செயல்பாடு மற்றும் அதன் மாறிகள்

எல்லா நிகழ்வுகளிலும் உள்ள ஒவ்வொரு விளைவுக்கும், நிகழ்தகவுகளின் தொடர்ச்சியின் இரண்டாவது சொத்து இறுதியில் பயன்படுத்தப்படுகிறது, இது அச்சுநிலையாகக் கருதப்படுகிறது. இங்கே ஒரு சீரற்ற மாறியின் செயல்பாட்டின் விநியோக விதி ஒவ்வொன்றுக்கும் அதன் சொந்த தீர்வு மற்றும் பதில் இருப்பதைக் காட்டுகிறது.

ஒரு சீரற்ற மாறியின் நிகழ்தகவு பரவல் செயல்பாடு மற்றும் அதன் பண்புகள்.

செயல்பாட்டைக் கவனியுங்கள் F(x), முழு எண் வரிசையில் பின்வருமாறு வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது: ஒவ்வொன்றிற்கும் எக்ஸ்பொருள் F(x)ஒரு தனித்த சீரற்ற மாறியானது குறைவான மதிப்பை எடுக்கும் நிகழ்தகவுக்கு சமம் எக்ஸ், அதாவது

(18)

இந்த செயல்பாடு அழைக்கப்படுகிறது நிகழ்தகவு விநியோக செயல்பாடு, அல்லது சுருக்கமாக, விநியோக செயல்பாடு.

எடுத்துக்காட்டு 1.எடுத்துக்காட்டு 1, புள்ளி 1 இல் கொடுக்கப்பட்ட சீரற்ற மாறியின் பரவல் செயல்பாட்டைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு:என்றால், பின்னர் என்பது தெளிவாகிறது F(x)=0, இது ஒன்றுக்கு குறைவான மதிப்புகளை எடுக்காது என்பதால். என்றால் ; என்றால் , பிறகு . ஆனால் நிகழ்வு<3 в данном случае является суммой двух несовместных событий: =1 и =2. Следовательно,

எனவே எங்களிடம் உள்ளது F(x)=1/3. இடைவெளியில் செயல்பாட்டு மதிப்புகள் , மற்றும் இதேபோல் கணக்கிடப்படுகின்றன. இறுதியாக, என்றால் x>6என்று F(x)=1, இந்த வழக்கில் எந்த சாத்தியமான மதிப்பு இருந்து (1, 2, 3, 4, 5, 6) விட குறைவாக x. ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடம் F(x)படம் காட்டப்பட்டுள்ளது. 4.

எடுத்துக்காட்டு 2.எடுத்துக்காட்டு 2, பத்தி 1 இல் கொடுக்கப்பட்ட சீரற்ற மாறியின் பரவல் செயல்பாட்டைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு:என்பது வெளிப்படையானது

அட்டவணை F(x)படம் காட்டப்பட்டுள்ளது. 5.

விநியோக செயல்பாட்டை அறிந்து கொள்வது F(x), ஒரு சீரற்ற மாறி ஏற்றத்தாழ்வுகளைப் பூர்த்தி செய்யும் நிகழ்தகவைக் கண்டறிவது எளிது.
ஒரு சீரற்ற மாறியானது க்கும் குறைவான மதிப்பை எடுக்கும் நிகழ்வைக் கவனியுங்கள். இந்த நிகழ்வு இரண்டு பொருந்தாத நிகழ்வுகளின் கூட்டுத்தொகையாகப் பிரிக்கப்படுகிறது: 1) சீரற்ற மாறி , ஐ விட குறைவான மதிப்புகளை எடுக்கும். ; 2) சீரற்ற மாறி ஏற்றத்தாழ்வுகளை பூர்த்தி செய்யும் மதிப்புகளை எடுக்கும். கூட்டல் கோட்பாட்டைப் பயன்படுத்தி, நாம் பெறுகிறோம்

ஆனால் விநியோக செயல்பாட்டின் வரையறையின்படி F(x)[செ.மீ. சூத்திரம் (18)], எங்களிடம் உள்ளது , ; எனவே,

இவ்வாறு, ஒரு தனித்த சீரற்ற மாறி ஒரு இடைவெளியில் விழும் நிகழ்தகவு இந்த இடைவெளியில் பரவல் செயல்பாட்டின் அதிகரிப்புக்கு சமம்.

விநியோக செயல்பாட்டின் அடிப்படை பண்புகளை கருத்தில் கொள்வோம்.
1°. விநியோக செயல்பாடு குறையாது.
உண்மையில், விடுங்கள்< . Так как вероятность любого события неотрицательна, то . எனவே, சூத்திரத்திலிருந்து (19) அது பின்வருமாறு , அதாவது .

2°. விநியோக செயல்பாடு மதிப்புகள் ஏற்றத்தாழ்வுகளை பூர்த்தி செய்கின்றன .
இந்த சொத்து உண்மையில் இருந்து பின்வருமாறு F(x)நிகழ்தகவு என வரையறுக்கப்படுகிறது [பார்க்க சூத்திரம் (18)]. * மற்றும் .

3°. ஒரு தனித்த சீரற்ற மாறி சாத்தியமான மதிப்புகளில் ஒன்றை xi எடுக்கும் நிகழ்தகவு புள்ளி xi இல் உள்ள விநியோகச் செயல்பாட்டின் ஜம்ப்க்கு சமம்..
உண்மையில், விடுங்கள் xiதனித்த சீரற்ற மாறியால் எடுக்கப்பட்ட மதிப்பு, மற்றும் . , சூத்திரத்தில் (19) நாம் பெறுகிறோம்

அந்த. பொருள் p(xi)செயல்பாடு ஜம்ப்க்கு சமம்** xi. இந்த சொத்து படத்தில் தெளிவாக விளக்கப்பட்டுள்ளது. 4 மற்றும் அத்தி. 5.

* இனி பின்வரும் குறிப்புகள் அறிமுகப்படுத்தப்படுகின்றன: , .
** என்று காட்டலாம் F(xi)=F(xi-0), அதாவது செயல்பாடு என்ன F(x)ஒரு புள்ளியில் தொடர்ந்து விடப்படுகிறது xi.

3. தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறிகள்.

தனித்துவமான சீரற்ற மாறிகள் தவிர, சாத்தியமான மதிப்புகள் எந்த இடைவெளியையும் முழுமையாக நிரப்பாத எண்களின் வரையறுக்கப்பட்ட அல்லது எல்லையற்ற வரிசையை உருவாக்குகின்றன, பெரும்பாலும் சீரற்ற மாறிகள் உள்ளன, அவற்றின் சாத்தியமான மதிப்புகள் ஒரு குறிப்பிட்ட இடைவெளியை உருவாக்குகின்றன. அத்தகைய சீரற்ற மாறியின் ஒரு எடுத்துக்காட்டு, சரியாக சரிசெய்யப்பட்ட தொழில்நுட்ப செயல்முறையுடன் ஒரு குறிப்பிட்ட அளவின் பெயரளவு மதிப்பிலிருந்து விலகல் ஆகும். நிகழ்தகவு விநியோக விதியைப் பயன்படுத்தி இந்த வகையான சீரற்ற மாறிகளைக் குறிப்பிட முடியாது p(x). இருப்பினும், நிகழ்தகவு விநியோக செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்தி அவற்றைக் குறிப்பிடலாம் F(x). தனித்த சீரற்ற மாறியைப் போலவே இந்தச் செயல்பாடும் வரையறுக்கப்படுகிறது:

எனவே, இங்கேயும் செயல்பாடு F(x)முழு எண் கோட்டிலும், புள்ளியில் அதன் மதிப்பும் வரையறுக்கப்படுகிறது எக்ஸ்ரேண்டம் மாறியானது குறைவான மதிப்பை எடுக்கும் நிகழ்தகவுக்கு சமம் எக்ஸ்.
ஃபார்முலா (19) மற்றும் பண்புகள் 1° மற்றும் 2° எந்த சீரற்ற மாறியின் பரவல் செயல்பாட்டிற்கும் செல்லுபடியாகும். தனித்தனி அளவு வழக்கு போலவே ஆதாரம் மேற்கொள்ளப்படுகிறது.
சீரற்ற மாறி அழைக்கப்படுகிறது தொடர்ச்சியான, அதற்கு எதிர்மறையான துண்டாக தொடர்ச்சியான செயல்பாடு இருந்தால்* அது எந்த மதிப்புகளுக்கும் திருப்தி அளிக்கிறது xசமத்துவம்

ஒரு பகுதியாக ஒருங்கிணைப்பின் வடிவியல் அர்த்தத்தின் அடிப்படையில், ஏற்றத்தாழ்வுகளை நிறைவேற்றுவதற்கான நிகழ்தகவு ஒரு அடித்தளத்துடன் கூடிய வளைவு ட்ரெப்சாய்டின் பகுதிக்கு சமம் என்று நாம் கூறலாம். , வளைவு மூலம் மேலே எல்லைக்கப்பட்டுள்ளது (படம். 6).

முதல் , மற்றும் சூத்திரத்தின் அடிப்படையில் (22)

ஒரு தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறிக்கு விநியோக செயல்பாடு என்பதை நினைவில் கொள்க F(x)எந்த புள்ளியிலும் தொடர்ந்து எக்ஸ், செயல்பாடு தொடர்ச்சியாக இருக்கும். என்ற உண்மையிலிருந்து இது பின்வருமாறு F(x)இந்த புள்ளிகளில் வேறுபடுகிறது.
சூத்திரத்தின் அடிப்படையில் (23), அனுமானித்து x 1 =x,, எங்களிடம் உள்ளது

செயல்பாட்டின் தொடர்ச்சி காரணமாக F(x)நாங்கள் அதைப் பெறுகிறோம்

எனவே

இவ்வாறு, ஒரு தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறி எந்த ஒரு ஒற்றை மதிப்பிலும் x எடுக்கும் நிகழ்தகவு பூஜ்ஜியமாகும்.
ஒவ்வொரு ஏற்றத்தாழ்வுகளையும் பூர்த்தி செய்வதில் உள்ள நிகழ்வுகள் பின்வருமாறு

அவர்களுக்கு ஒரே நிகழ்தகவு உள்ளது, அதாவது.

உண்மையில், உதாரணமாக,

ஏனெனில்

கருத்து.நமக்குத் தெரிந்தபடி, ஒரு நிகழ்வு சாத்தியமற்றது என்றால், அது நிகழும் நிகழ்தகவு பூஜ்ஜியமாகும். நிகழ்தகவுக்கான கிளாசிக்கல் வரையறையுடன், சோதனை முடிவுகளின் எண்ணிக்கை வரையறுக்கப்பட்டதாக இருக்கும்போது, ​​​​மாற்றும் முன்மொழிவும் உள்ளது: ஒரு நிகழ்வின் நிகழ்தகவு பூஜ்ஜியமாக இருந்தால், நிகழ்வு சாத்தியமற்றது, ஏனெனில் இந்த விஷயத்தில் சோதனை முடிவுகள் எதுவும் அதற்கு சாதகமாக இல்லை. தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியின் விஷயத்தில், அதன் சாத்தியமான மதிப்புகளின் எண்ணிக்கை எல்லையற்றது. இந்த அளவு ஒரு குறிப்பிட்ட மதிப்பை எடுக்கும் நிகழ்தகவு x 1நாம் பார்த்தபடி, பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம். இருப்பினும், இந்த நிகழ்வு சாத்தியமற்றது என்பதை இது பின்பற்றவில்லை, ஏனெனில் சோதனையின் விளைவாக சீரற்ற மாறி, குறிப்பாக, மதிப்பை எடுக்க முடியும் x 1. எனவே, தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியின் விஷயத்தில், சீரற்ற மாறி இடைவெளியில் விழும் நிகழ்தகவைப் பற்றி பேசுவது அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கும், மேலும் அது சில குறிப்பிட்ட மதிப்பைப் பெறும் நிகழ்தகவைப் பற்றி அல்ல.
எனவே, உதாரணமாக, ஒரு ரோலர் செய்யும் போது, ​​அதன் விட்டம் பெயரளவு மதிப்புக்கு சமமாக இருக்கும் நிகழ்தகவில் நாங்கள் ஆர்வம் காட்டவில்லை. ரோலரின் விட்டம் சகிப்புத்தன்மை வரம்பிற்குள் இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு நமக்கு முக்கியமானது.

சிதறல்தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறி X, முழு ஆக்ஸ் அச்சுக்குச் சொந்தமான சாத்தியமான மதிப்புகள் சமத்துவத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகின்றன:

சேவையின் நோக்கம். ஆன்லைன் கால்குலேட்டர் இதில் உள்ள சிக்கல்களைத் தீர்க்க வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது விநியோக அடர்த்தி f(x) அல்லது விநியோக செயல்பாடு F(x) (உதாரணத்தைப் பார்க்கவும்). பொதுவாக இதுபோன்ற பணிகளில் நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் கணித எதிர்பார்ப்பு, நிலையான விலகல், f(x) மற்றும் F(x) செயல்பாடுகளின் வரைபட வரைபடங்கள்.

வழிமுறைகள். மூலத் தரவின் வகையைத் தேர்ந்தெடுக்கவும்: விநியோக அடர்த்தி f(x) அல்லது விநியோக செயல்பாடு F(x).

விநியோக அடர்த்தி f(x) கொடுக்கப்பட்டுள்ளது:

விநியோக செயல்பாடு F(x) கொடுக்கப்பட்டுள்ளது:

தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியானது நிகழ்தகவு அடர்த்தியால் குறிப்பிடப்படுகிறது
(ரேலி விநியோக சட்டம் - ரேடியோ பொறியியலில் பயன்படுத்தப்படுகிறது). M(x) , D(x) .

சீரற்ற மாறி X அழைக்கப்படுகிறது தொடர்ச்சியான , அதன் விநியோக செயல்பாடு F(X)=P(X< x) непрерывна и имеет производную.
தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியின் பரவல் செயல்பாடு, கொடுக்கப்பட்ட இடைவெளியில் ஒரு சீரற்ற மாறி விழும் நிகழ்தகவைக் கணக்கிடப் பயன்படுகிறது:
பி(α< X < β)=F(β) - F(α)
மேலும், தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறிக்கு, அதன் எல்லைகள் இந்த இடைவெளியில் சேர்க்கப்பட்டுள்ளதா இல்லையா என்பது முக்கியமல்ல:
பி(α< X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
விநியோக அடர்த்தி தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறி ஒரு செயல்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது
f(x)=F’(x) , பரவல் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்.

விநியோக அடர்த்தியின் பண்புகள்

X என்பது ஒரு விநியோகத் தொடரைக் கொண்ட தனித்த சீரற்ற மாறியாக இருக்கட்டும்

\begin(array)(|c|c|c|c|c|)\hline(x_i)&x_1&x_2&\cdots&x_n\\\hline(p_i)&p_1&p_2&\cdots&p_n\\\hline\end(array)

Y மதிப்பின் மதிப்புகள் மற்றும் இந்த மதிப்புகளின் நிகழ்தகவுகளின் அட்டவணையை உருவாக்குவோம்:

\begin(array)(|c|c|c|c|c|)\hline(y_i=\varphi(x_i))&y_1=\varphi(x_1)&y_2=\varphi(x_2)&\cdots&y_n=\varphi( x_n)\\\hline(p_i)&p_1&p_2&\cdots&p_n\\\hline\end(array)

இந்த அட்டவணையானது Y என்ற சீரற்ற மாறியின் பரவலின் தொடர் அல்ல, ஏனெனில் பொதுவாக சில மதிப்புகள் ஒன்றோடொன்று ஒத்துப்போகலாம் மற்றும் மேல் வரிசையில் உள்ள மதிப்புகள் ஏறுவரிசையில் இருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை. இருப்பினும், Y என்ற சீரற்ற மாறியின் கணித எதிர்பார்ப்பை சூத்திரத்தால் தீர்மானிக்க முடியும்

M[\varphi(X)]=\sum\ வரம்புகள்_(i=1)^(n)\varphi(x_i)p_i,

சூத்திரம் (6.4) வெளிப்படையாக \varphi(X) செயல்பாட்டின் விநியோக விதியைக் கொண்டிருக்கவில்லை, ஆனால் X வாதத்தின் விநியோக விதியை மட்டுமே கொண்டுள்ளது. எனவே, Y=\varphi(X) செயல்பாட்டின் கணித எதிர்பார்ப்பைத் தீர்மானிக்க, \varphi(X) செயல்பாட்டின் விநியோக விதியை அறிந்து கொள்வது அவசியமில்லை, மாறாக X வாதத்தின் விநியோக விதியை அறிந்து கொள்வது அவசியம்.

தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறிக்கு, கணித எதிர்பார்ப்பு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகிறது

M[\varphi(X)]=\int\limits_(-\infty)^(+\infty)\varphi(x)f(x)\,dx,

சீரற்ற வாதங்களின் செயல்பாட்டின் கணித எதிர்பார்ப்பைக் கண்டறிய, வாதங்களின் விநியோக விதிகள் பற்றிய அறிவு கூட தேவையில்லை, ஆனால் அவற்றின் சில எண் பண்புகளை மட்டும் தெரிந்து கொண்டால் போதும். இந்த வழக்குகளை தேற்றங்கள் வடிவில் உருவாக்குவோம்.

தேற்றம் 6.1. சார்பு மற்றும் சுயாதீனமான இரண்டு சீரற்ற மாறிகளின் கூட்டுத்தொகையின் கணித எதிர்பார்ப்பு இந்த மாறிகளின் கணித எதிர்பார்ப்புகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்:

M(X+Y)=M(X)+M(Y).

தேற்றம் 6.2. இரண்டு சீரற்ற மாறிகளின் பெருக்கத்தின் கணித எதிர்பார்ப்பு, அவற்றின் கணித எதிர்பார்ப்புகளின் பெருக்கத்திற்கும், தொடர்புத் தருணத்திற்கும் சமம்:

M(XY)=M(X)M(Y)+\mu_(xy).

முடிவு 6.1. இரண்டு தொடர்பற்ற சீரற்ற மாறிகளின் விளைபொருளின் கணித எதிர்பார்ப்பு அவற்றின் கணித எதிர்பார்ப்புகளின் பெருக்கத்திற்கு சமம்.

முடிவு 6.2. இரண்டு சுயாதீன சீரற்ற மாறிகளின் உற்பத்தியின் கணித எதிர்பார்ப்பு அவற்றின் கணித எதிர்பார்ப்புகளின் விளைபொருளுக்கு சமம்.

சீரற்ற மாறிகளின் செயல்பாட்டின் மாறுபாடு

நாம் சிதறல் வரையறை மூலம் D[Y]=M[(Y-M(Y))^2].. எனவே,

D[\varphi(x)]=M[(\varphi(x)-M(\varphi(x)))^2], எங்கே.

தொடர்ச்சியான சீரற்ற வாதங்களுக்கு மட்டுமே கணக்கீட்டு சூத்திரங்களை நாங்கள் வழங்குகிறோம். ஒரு சீரற்ற வாதம் Y=\varphi(X) செயல்பாட்டிற்கு, மாறுபாடு சூத்திரத்தால் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது

D[\varphi(x)]=\int\limits_(-\infty)^(+\infty)(\varphi(x)-M(\varphi(x)))^2f(x)\,dx,

எங்கே M(\varphi(x))=M[\varphi(X)]- செயல்பாட்டின் கணித எதிர்பார்ப்பு \varphi(X) ;

சூத்திரம் (6.5) பின்வருவனவற்றுடன் மாற்றப்படலாம்:

D[\varphi(x)]=\int\limits_(-\infty)^(+\infty)\varphi^2(x)f(x)\,dx-M^2(X)

கருத்தில் கொள்வோம் சிதறல் தேற்றங்கள், இது நிகழ்தகவு கோட்பாடு மற்றும் அதன் பயன்பாடுகளில் முக்கிய பங்கு வகிக்கிறது.

தேற்றம் 6.3.

சீரற்ற மாறிகளின் கூட்டுத்தொகையின் மாறுபாடு, இந்த அளவுகளின் மாறுபாடுகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமமாக இருக்கும், மேலும் அடுத்தடுத்து வரும் அனைத்துத் தொகைகளின் ஒவ்வொரு கூட்டுத் தொடர்புத் தருணங்களின் இரட்டிப்புத் தொகையும்:

D\!\left[\sum\limits_(i=1)^(n)X_i\right]=\sum\limits_(i=1)^(n)D+2\sum\limits_(i=1)

முடிவு 6.3.தொடர்பற்ற சீரற்ற மாறிகளின் கூட்டுத்தொகையின் மாறுபாடு, விதிமுறைகளின் மாறுபாடுகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்:

D\!\left[\sum\limits_(i=1)^(n)X_i\right]=\sum\limits_(i=1)^(n)D

\mu_(y_1y_2)=M(\varphi_1(X)\varphi_2(X))-M(\varphi_1(X))M(\varphi_2(X)). அதாவது, சீரற்ற மாறிகளின் இரண்டு சார்புகளின் தொடர்புத் தருணம், இந்தச் சார்புகளின் பெருக்கத்தின் கணித எதிர்பார்ப்புக்குச் சமமானதாகும்..

முக்கியமாகப் பார்ப்போம்

தொடர்பு தருணம் மற்றும் தொடர்பு குணகம் ஆகியவற்றின் பண்புகள்

பண்பு 1. சீரற்ற மாறிகளில் மாறிலிகளைச் சேர்ப்பதால் தொடர்புத் தருணம் மற்றும் தொடர்பு குணகம் மாறாது.