Проверка гипотез о равенстве средних. Критерии согласия

Сравнение средних двух совокупностей имеет важное практическое значение. На практике часто встречаются случай, когда средний результат одной серии экспериментов отличается от среднего результата другой серии. При этом возникает вопрос, можно ли объяснять обнаруженное расхождение средних неизбежными случайными ошибками эксперимента или оно вызвано некоторыми закономерностями. В промышленности задача сравнения средних часто возникает при выборочном контроле качества изделий, изготовленных на разных установках или при различных технологических режимах, в финансовом анализе - при сопоставлении уровня доходности различных активов и т.д.

Сформулируем задачу. Пусть имеются две совокупности, характеризуемые генеральными средними и и известными дисперсиями и. Необходимо проверить гипотезу о равенстве генеральных средних, т.е. : =. Для проверки гипотезы из этих совокупностей взяты две независимые выборки объемов и, по которым найдены средние арифметические и и выборочные дисперсии и.При достаточном больших объемов выборки, выборочные средние и имеют приближенно нормальный закон распределения, соответственно и.В случае справедливости гипотезы разность - имеет нормальный закон распределения с математическим ожиданием и дисперсией.

Поэтому при выполнении гипотезы статистика

имеет стандартное нормальное распределение N (0; 1).

Проверка гипотез о числовых значениях параметров

Гипотезы о числовых значениях встречаются в различных задачах. Пусть - значения некоторого параметра изделий, производящихся станком автоматической линии, и пусть - заданное номинальное значение этого параметра. Каждое отдельное значение может, естественно, как-то отклоняться от заданного номинала. Очевидно, для того, чтобы проверить правильность настройки этого станка, надо убедиться в том, что среднее значение параметра у производимых на нем изделий будет соответствовать номиналу, т.е. проверить гипотезу против альтернативной, или, или

При произвольной настройке станка может возникнуть необходимость проверки гипотезы о том, что точность изготовления изделий по данному параметру, задаваемая дисперсий, равна заданной величине, т.е. или, например, того, что доля бракованных изделий, производимых станком, равна заданной величине р 0 , т.е. и т.д.

Аналогичные задачи могу возникнуть, например, в финансовом анализе, когда по данным выборки надо установить, можно ли считать доходность актива определенного вида или портфеля ценных бумаг, либо ее риск равным заданному числу; или по результатам выборочной аудиторской проверки однотипных документов нужно убедиться, можно ли считать процент допущенных ошибок равным номиналу, и т.п.

В общем случае гипотезы подобного типа имеют вид, где - некоторый параметр исследуемого распределения, а - область его конкретных значений, состоящая в частном случае из одного значения.

Проверка равенства среднего определенному значению.

Выборки извлечены из совокупности, имеющей нормальное распределение, данные независимы.

Критериальное значение вычисляется по формуле:

где N - размер выборки;

S 2 - эмпирическая дисперсия выборки;

А - предполагаемая величина среднего значения;

X- среднее значение.

Число степеней свободы для t-критерия V = n-1.

Нулевая гипотеза

Н 0: X = А против Н А: X≠А. Нулевая гипотеза о равенстве средних отвергается, если по абсолютной величине критериальное значение больше верхней α/2 % точки t-распределения взятого с V степенями свободы, то есть при │t│> t vα/2 .

Н 0: Х< А против Н А: X > А. Нулевая гипотеза отвергается, если критериальное значение больше верхней α% точки t-распределения взятого с V степенями свободы, то есть при │t│> t vα .

Н 0: Х>А против H А: X < А. Нулевая гипотеза отвергается, если критериальное значение меньше нижней α% точки t-распределения, взятого с V степенями свободы.

Критерий устойчив при малых отклонениях от нормального распределения.

Пример

Рассмотрим пример, представленный на рис. 5.10. Допустим, что нам необходимо проверить гипотезу о равенстве среднего для выборки (ячейки 123:130) величине 0,012.

Сначала находим среднее выборки (=СРЗНАЧ(123:130) в I31) и дисперсию (=ДИСП(I23:I30) в I32). После этого рассчитываем критериальное (=(131-0,012)*КОРЕНЬ(133)/132) и критическое (=СТЬЮДРАСПОБР(0,025;133-1)) значения. Поскольку критериальное значение (24,64) больше критического (2,84), то гипотеза о равенстве среднего 0,012 отвергается.

Рисунок 5.10 Сравнение среднего значения с константой

1. проверить гипотезы о средних и дисперсиях с помощью параметрических критериев Фишера и Кохрена (таблица 5.4);

2. проверить гипотезу о равенстве средних при неравных дисперсиях выборок (для этого в одной из выборок своего варианта убрать 1 или 2 значения) (таблица 5.4);

3. проверить гипотезу о равенстве среднего заданному значению А (таблица 5.5) и данные из 1-го столбца по варианту.

Таблица 5.4

Варианты заданий

Таблица 5.5

Значение А

В качестве исходных данных в задании можете использовать свои экспериментальные данные.

Отчет должен содержать расчеты статистических характеристик.

Контрольные вопросы:

1. Какие статистические задачи решаются при исследовании технологических процессов производства пищевой промышленности?

2. Каким образом сравниваются статистические характеристики случайных величин?

3. Уровень значимости и доверительная вероятность при достоверности оценки экспериментальных данных.

4. Как осуществляется проверка статистических гипотез с помощью критериев согласия?

5. От чего зависит мощность критерия согласия для анализа экспериментальных выборок?

6. Каким образом осуществояется подбор критерия для решения задач анализа технологических процессов производства пищевых продуктов?

7. Каким образом осуществляется классификация критериев согласия для анализа выборок результатов исследований технологических процессов производства пищевых продуктов?

8. Какие требования предъявляются к выборкам резльтатов исследований технологических процессов производства пищевых продуктов?

Рассмотрим две независимые выборки x 1, x 2 , ….. , x n и y 1 , y 2 , … , y n , извлеченные из нормальных генеральных совокупностей с одинаковыми дисперсиями , причем объемы выборок соответственно n и m, а средние μ x , μ y и дисперсия σ 2 неизвестны. Требуется проверить основную гипотезу Н 0: μ x =μ y при конкурирующей Н 1: μ x μ y .

Как известно, выборочные средние и будут обладать свойствами: ~N(μ x , σ 2 /n), ~N(μ y , σ 2 /m).

Их разность - нормальная величина со средним и дисперсией , так что

~ (23).

Допустим на время, что основная гипотеза Н 0 верна: μ x –μ y =0. Тогда и, деля величину на ее стандартное отклонение, получим стандартную нормальную сл. Величину ~N(0,1).

Раньше отмечалось, что сл. величина распределена по закону с (n-1)-ой степенью свободы, a - по закону с (m-1) степенью свободы. С учетом независимости этих двух сумм, получаем, что их общая сумма распределена по закону с n+m-2 степенями свободы.

Вспоминая п.7, видим, что дробь подчиняется t-распределенню (Стьюдента) с ν=m+n-2 степенями свободы: Z=t. Этот факт имеет место только тогда, когда истинна гипотеза Н 0 .

Заменяя ξ и Q их выражениями, получим развернутую форнулу для Z:

(24)

Сл.величина Z, называемая статистикой критерия, позволяет принять решение при такой последовательности действий:

1. Устанавливается область D=[-t β,ν , +t β,ν ], содержащая β=1–α площади под кривой t ν –распределения (табл.10).

2. Вычисляется по формуле (24) опытное значение Z on статистики Z, для чего вместо X 1 и Y 1 подставляются значения x 1 и y 1 конкретных выборок, а также их выборочные средние и .

3. Если Z on D, то гипотеза Н 0 считается не противоречащей опытным данным и принимается.

Если Z on D, то принимается гипотеза Н 1 .

Если гипотеза Н 0 верна, то Z подчиняется известному t ν –распределению с нулевым средним и с высокой вероятностью β=1–α попадает в D-область принятия гипотезы Н 0 . Когда наблюдаемое, опытное значение Z on попадает в D. Мы рассматриваем это как свидетельство в пользу гипотезы Н 0 .

Когда жe Z 0 n лежит за пределами D (как говорят, лежит в критической области К), что естественно, если верна гипотеза Н 1 , но маловероятно, если верна Н 0 , то нам остается отклонить гипотезу Н 0 , приняв H 1 .

Пример 31.

Сравниваются две марки бензина: А и В. На 11 автомашинах одинаковой мощности по кольцевому шассе испытан по разу Бензин марки А и В. Одна машина в пути вышла из строя н для нее данные по бензину В отсутствуют.

Расход бензина в пересчете на 100 км пути

Таблица 12

Дисперсия расхода бензина марок А и В неизвестна и предполагается одинаковой. Можно ли при уровне значимости α=0,05 принять гипотезу о том, что истинные средние расходы μ А и μ В этих видов бензина одинаковы?

Решение. Проверку гипотезы Н 0: μ А -μ В =0 при конкурирующей. Н 1:μ 1 μ 2 делаем по пунктам:

1. Находим выборочные средние и сумму квадратов откло­нений Q.

;

;

2. Вычисляем опытное значение статистики Z

3. Находим из таблицы 10 t-распределения предел t β,ν , для числа степеней свободы ν=m+n–2=19 и β=1–α=0.95. В таблице 10 есть t 0.95.20 =2,09 и t 0.95.15 =2,13, но нет t 0.95.19 . Находим интерполяцией t 0.95.19 =2,09+ =2,10.

4. Проверяем, в какой из двух областей D или К лежит число Z on . Zon=-2,7 D=[-2,10; -2,10].

Поскольку наблюденное значение Z on лежит в критической области, К=R\D, то отбрасываем. Н 0 и приникаем гипотезу Н 1 . В этом случае про и говорят, что их разность значима. Если бы при всех условиях этого примера изменилось бы лишь Q, скажем, Q вдвое возросло, то изменился бы и наш вывод. Увеличение Q вдвое привело бы к уменьшению в раза величины Z on и тогда число Zon попало бы в допустимую область D, так что гипотеза H 0 выдержала бы проверку и была принята. В этом случае расхождение между и объяснялось бы естественным разбросом данных, а не тем, что μ А μ В.

Теория проверки гипотез весьма обширна, гипотезы могут быть о виде закона распределения, об однородности выборок, о независимости сл.величины и т.д.

КРИТЕРИЙ c 2 (ПИРСОНА)

Самый распространенный на практике критерий проверки простой гипотезы. Применяется, когда закон распределения неизвестен. Рассмотрим случайную величину X, над которой проведено n независимых испытаний. Получена реализация x 1 , x 2 ,...,x n . Необходимо проверить гипотезу о законе распределения этой случайной величины.

Рассмотрим случай простой гипотезы. Простая гипотеза проверяет согласование выборки с генеральной совокупностью, имеющей нормальное распределение (известное). По выборкам строим вариационный ряд x (1) , x (2) , ..., x (n) . Интервал разбиваем на подинтервалы. Пусть этих интервалов r. Тогда найдем вероятность попадания X в результате испытания в интервал Di, i=1 ,..., r в случае истинности проверяемой гипотезы.

Критерий проверяет не истинность плотности вероятности, а истинность чисел

С каждым интервалом Di свяжем случайное событие A i - попадание в этот интервал (попадание в результате испытания над X ее результата реализации в Di). Введем случайные величины. m i - количество испытаний из n проведенных, в которых произошло событие A i . m i распределены по биномиальному закону и в случае истинности гипотезы

Dm i =np i (1-p i)

Критерий c 2 имеет вид

p 1 +p 2 +...+p r =1

m 1 +m 2 +...+m r =n

Если проверяемая гипотеза верна, то m i представляет частоту появления события, имеющего в каждом из n проведенных испытаний вероятность p i , следовательно, мы можем рассматривать m i как случайную величину, подчиняющуюся биномиальному закону с центром в точке np i . Когда n велико, то можно считать, что частота распределена асимптотически нормально с теми же параметрами. При правильности гипотезы следует ожидать, что будут асимптотически нормально распределены

связанные между собой соотношением

В качестве меры расхождения данных выборки m 1 +m 2 +...+m r с теоретическими np 1 +np 2 +...+np r рассмотрим величину

c 2 - сумма квадратов асимптотически нормальных величин, связанных линейной зависимостью. Мы ранее встречались уже с аналогичным случаем и знаем, что наличие линейной связи привело к уменьшению на единицу числа степеней свободы.

Если проверяемая гипотеза верна, то критерий c 2 имеет распределение, стремящееся при n®¥ к распределению c 2 с r-1 степенями свободы.

Допустим, что гипотеза неверна. Тогда существует тенденция к увеличению слагаемых в сумме, т.е. если гипотеза неверна, то эта сумма будет попадать в некую область больших значений c 2 . В качестве критической области возьмем область положительных значений критерия

В случае неизвестных параметров распределения каждый параметр уменьшает на единицу количество степеней свободы для критерия Пирсона

3. ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ О РАВЕНСТВЕ СРЕДНИХ

Используется для проверки предложения о том, что среднее значения двух показателей, представленных выборками, значимо различаются. Существует три разновидности критерия: один – для связанных выборок, и два для несвязных выборок (с одинаковыми и разными дисперсиями). Если выборки не связны, то предварительно нужно проверить гипотезу о равенстве дисперсий, чтобы определить, какой из критериев использовать. Так же как и в случае сравнения дисперсий имеются 2 способа решения задачи, которые рассмотрим на примере.

ПРИМЕР 3. имеются данные о количестве продаж товара в двух городах. Проверить на уровне значимости 0,01 статистическую гипотезу о том, что среднее число продаж товара в городах различно.

Используем пакет «Анализ данных». В зависимости от типа критерия выбирается один из трех: «Парный двухвыборочный t-тест для средних» - для связных выборок, и «Двухвыборочных t-тест с одинаковыми дисперсиями» или «Двухвыборочных t-тест с разными дисперсиями» - для несвязных выборок. Вызовите тест с одинаковыми дисперсиями, в открывшемся окне в полях «Интервал переменной 1» и «Интервал переменной 2» вводят ссылки на данные (А1-N1 и А2-L2, соответственно), если имеются подписи данных, то ставят флажок у надписи «Метки» (у нас их нет, поэтому флажок не ставится). Далее вводят уровень значимости в поле «Альфа» - 0,01. Поле «Гипотетическая средняя разность» оставляют пустыми. В разделе «Параметры вывода» ставят метку около «Выходной интервал» и поместив курсор в появившемся поле напротив надписи, щелкают левой кнопкой в ячейке В7. вывод результата будет осуществляться начиная с этой ячейки. Нажав на «ОК» появляется таблица результата. Сдвиньте границу между столбцами В и С, С и D, D и Е увеличив ширину столбцов В, С и D так, чтобы умещались все надписи. Процедура выводит основные характеристики выборки, t-статистику, критические значения этих статистик и критические уровни значимости «Р(Т<=t) одностороннее» и «Р(Т<=t) двухстороннее». Если по модулю t-статистика меньше критического, то средние показатели с заданной вероятностью равны. В нашем случае│-1,784242592│ < 2,492159469, следовательно, среднее число продаж значимо не отличается. Следует отметить, что если взять уровень значимости α=0,05, то результаты исследования будут совсем иными.

Лабораторная работа №3

ПАРНАЯ ЛИНЕЙНАЯ РЕГРЕССИЯ

Цель: Освоить методы построения линейного уравнения парной регрессии с помощью ЭВМ, научиться получать и анализировать основные характеристики регрессионного уравнения.

Рассмотрим методику построения регрессионного уравнения на примере.

ПРИМЕР. Даны выборки факторов х i и у i . По этим выборкам найти уравнение линейной регрессии ỹ = ах + b. Найти коэффициент парной корреляции. Проверить на уровне значимости а = 0,05 регрессионную модель на адекватность.

Для нахождения коэффициентов a и b уравнения регрессии служат функции НАКЛОН и ОТРЕЗОК, категории «Статистические». Вводим в А5 подпись «а=» а в соседнюю ячейку В5 вводим функцию НАКЛОН, ставим курсор в поле «Изв_знач_у» задаем ссылку на ячейки В2-K2, обводя их мышью. Результат 0,14303. Найдем теперь коэффициент b. Вводим в А6 подпись «b=», а в В6 функцию ОТРЕЗОК с теми же параметрами, что и функции НАКЛОН. Результат 5,976364. следовательно, уравнение линейной регрессии есть у=0,14303х+5,976364.

Построим график уравнения регрессии. Для этого в третью строчку таблицы введем значения функции в заданных точках Х (первая строка) – у(х 1). Для получения этих значений используются функция ТЕНДЕНЦИЯ категории «Статистические». Вводим в А3 подпись «Y(X) и, поместив курсор в В3, вызываем функцию ТЕНДЕНЦИЯ. В полях «Изв_знач_у» и «Изв_знач_х» даем ссылку на В2-K2 и В1-K1. в поле «Нов_знач_х» вводим также ссылку на В1-K1. в поле «Константа» вводят 1, если уравнение регрессии имеет вид y=ax+b, и 0, если у=ах. В нашем случае вводим единицу. Функция ТЕНДЕНЦИЯ является массивом, поэтому для вывода всех ее значений выделяем область В3-K3 и нажимаем F2 и Ctrl+Shift+Enter. Результат – значения уравнения регрессии в заданных точках. Строим график. Ставим курсор в любую свободную клетку, вызываем мастер диаграмм, выбираем категорию «Точеная», вид графика – линия без точек (в нижнем правом углу), нажимаем «Далее», в поле «Диагноз» вводим ссылку на В3-K3. переходим на закладку «Ряд» и в поле «Значения Х» вводим ссылку на В1-K1, нажимаем «Готово». Результат – прямая линия регрессии. Посмотрим, как различаются графики опытных данных и уравнения регрессии. Для этого ставим курсор в любую свободную ячейку, вызываем мастер диаграмм, категория «График», вид графика – ломанная линия с точками (вторая сверху левая), нажимаем «Далее», в поле «Диапазон» вводим ссылку на вторую и третью строки В2-K3. переходим на закладку «Ряд» и в поле «Подписи оси Х» вводим ссылку на В1-K1, нажимаем «Готово». Результат – две линии (Синяя – исходные, красная – уравнение регрессии). Видно, что линии мало различаются между собой.

Для вычисления коэффициента корреляции r xy служит функция ПИРСОН. Размещаем график так, чтобы они располагались выше 25 строки, и в А25 делаем подпись «Корреляция», в В25 вызываем функцию ПИРСОН, в полях которой «Массив 2» вводим ссылку на исходные данные В1-K1 и В2-K2. результат 0,993821. коэффициент детерминации R xy – это квадрат коэффициента корреляции r xy . В А26 делаем подпись «Детерминация», а в В26 – формулу «=В25*В25». Результат 0,265207.

Однако, в Excel существует одна функция, которая рассчитывает все основные характеристики линейной регрессии. Это функция ЛИНЕЙН. Ставим курсор в В28 и вызываем функцию ЛИНЕЙН, категории «Статистические». В полях «Изв_знач_у» и «Изв_знач_х» даем ссылку на В2-K2 и В1-K1. поле «Константа» имеет тот же смысл, что и функции ТЕНДЕНЦИЯ, у нас она равна 1. поле «Стат» должно содержать 1, если нужно вывести полную статистику о регрессии. В нашем случае ставим туда единицу. Функция возвращает массив размеров 2 столбца и 5 строк. После ввода выделяем мышью ячейку В28-С32 и нажимаем F2 и Ctrl+Shift+Enter. Результат – таблица значений, числа в которой имеют следующий смысл:

Анализ результата: в первой строчке – коэффициенты уравнения регрессии, сравните их с рассчитанными функциями НАКЛОН и ОТРЕЗОК. Вторая строчка – стандартные ошибки коэффициентов. Если одна из них по модулю больше, чем сам коэффициент, то коэффициент считается нулевым. Коэффициент детерминации характеризует качество связи между факторами. Полученное значение 0,070335 говорит об очень хорошей связи факторов, F – статистика проверяет гипотезу о адекватности регрессионной модели. Данное число нужно сравнить с критическим значением, для его получения вводим в Е33 подпись «F-критическое», а в F33 функцию FРАСПОБР, аргументами которой вводим соответственно «0,05» (уровень значимости), «1» (число факторов Х) и «8» (степени свободы).

Видно, что F-статистика меньше, чем F-критическое, значит, регрессионная модель не адекватна. В последней строке приведены регрессионная сумма квадратов и остаточные суммы квадратов . Важно, чтобы регрессионная сумма (объясненная регрессией) была намного больше остаточной (не объясненная регрессией, вызванная случайными факторами). В нашем случае это условие не выполняется, что говорит о плохой регрессии.

Вывод: В ходе работы я освоил методы построения линейного уравнения парной регрессии с помощью ЭВМ, научился получать и анализировать основные характеристики регрессионного уравнения.

Лабораторная работа № 4

НЕЛИНЕЙНАЯ РЕГРЕССИЯ

Цель: освоить методы построения основных видов нелинейных уравнений парной регрессии с помощью с помощью ЭВМ (внутренне линейные модели), научиться получать и анализировать показатели качества регрессионных уравнений.

Рассмотрим случай, когда нелинейные модели с помощью преобразования данных можно свести к линейным (внутренне линейные модели).

ПРИМЕР. Построить уравнение регрессии у = f(х) для выборки х п у п (f = 1,2,…,10). В качестве f(х) рассмотреть четыре типа функций – линейная, степенная, показательная и гиперболу:

у = Ах + В; у = Ах В; у = Ае Вх; у = А/х + В.

Необходимо найти их коэффициенты А и В, и сравнив показатели качества, выбрать функцию, которая наилучшим образом описывает зависимость.

Введем данные в таблицу вместе с подписями (ячейки A1-K2). Оставим свободными три строчки ниже таблицы для ввода преобразованных данных, выделим первые пять строк, проведя по левой серой границе по числам от 1 до 5 и выбрать какой-либо цвет (светлый – желтый или розовый) раскрасить фон ячеек. Далее, начиная с A6, выводим параметры линейной регрессии. Для этого в ячейку A6 делаем подпись «Линейная» и в соседнюю ячейку B6 вводим функцию ЛИНЕЙН. В полях «Изв_знач_x» даем ссылку на B2-K2 и B1-K1, следующие два поля принимают значения по единице. Далее обводим область ниже в 5 строчек и левее в 2 строки и нажимаем F2 и Ctrl+Shift+Enter. Результат - таблица с параметрами регрессии, из которых наибольший интерес представляет коэффициент детерминации в первом столбце третий сверху. В нашем случае он равен R 1 = 0,951262. Значение F-критерия, позволяющего проверить адекватность модели F 1 = 156,1439

(четвертая строка, первый столбец). Уравнение регрессии равно

y = 12,96 x +6,18 (коэффициенты a и b приведены в ячейках B6 и C6).

Определим аналогичные характеристики для других регрессий и в результате сравнения коэффициентов детерминации найдем лучшую регрессионную модель. Рассмотрим гиперболическую регрессию. Для ее получения преобразуем данные. В третьей строке в ячейку A3 введем подпись «1/x» а в ячейку B3 введем формулу «=1/B2». Растянем автозаполнением данную ячейку на область B3-K3. Получим характеристики регрессионной модели. В ячейку А12 введем подпись «Гипербола», а в соседнюю функцию ЛИНЕЙН. В полях «Изв_знач_y» и «Изв_знач_x2 даем ссылку на B1-K1 и преобразованные данные аргумента x – B3-K3, следующие два поля принимают значения по единице. Далее обводим область ниже 5 строчек и левее в 2 строки и нажимаем F2 и Ctrl+Shift+Enter. Получаем таблицу параметров регрессии. Коэффициент детерминации в данном случае равен R 2 = 0,475661, что намного хуже, чем в случае линейной регрессии. F-статистика равна F 2 = 7,257293. Уравнение регрессии равно y = -6,25453x 18,96772 .

Рассмотрим экспоненциальную регрессию. Для ее линеаризации получаем уравнение , где ỹ = ln y, ã = b, = ln a. Видно, что надо сделать преобразование данных – y заменить на ln y. Ставим курсор в ячейку А4 и делаем заголовок «ln y». Ставим курсор в В4 и вводим формулу LN (категория «Математические»). В качестве аргумента делаем ссылку на В1. Автозаполнением распространяем формулу на четвертую строку на ячейки В4-K4. Далее в ячейке F6 задаем подпись «Экспонента» и в соседней G6 вводим функцию ЛИНЕЙН, аргументами которой будут преобразованные данные В4-K4 (в поле «Изв_знач_ y»), а остальные поля такие же как и для случая линейной регрессии (B2-K2, 1, 1). Далее обводим ячейки G6-H10 и нажимаем F2 и Ctrl+Shift+Enter. Результат R 3 = 0,89079, F 3 = 65,25304, что говорит об очень хорошей регрессии. Для нахождения коэффициентов уравнения регрессии b = ã; ставим курсор в J6 и делаем заголовок «а=», а в соседней К6 формулу «=ЕХР(Н6)», в J7 даем заголовок «b=», а в К7 формулу «=G6». Уравнение регрессии есть y = 0,511707· e 6,197909 x .

Рассмотрим степенную регрессию. Для ее линеаризации получаем уравнение ỹ = ã, где ỹ = ln y, = ln x, ã = b, = ln a. Видно, что надо сделать преобразование данных – y заменить на ln y и x заменить на ln x. Строчка с ln y у нас уже есть. Преобразуем переменные х. В ячейку А5 даем подпись «ln x», а в В5 и вводим формулу LN (категория «Математические»). В качестве аргумента делаем ссылку на В2. Автозаполнением распространяем формулу на пятую строку на ячейки B5-K5. Далее в ячейке F12 задаем подпись «Степенная» и в соседней G12 вводим функцию ЛИНЕЙН, аргументами которой будут преобразованные данные B4-K4 (в поле «Изв_знач_у»), и B5-K5 (в поле «Изв_знач_х»), остальные поля – единицы. Далее освободим ячейки G12-H16 и нажимаем F2 и Ctrl+Shift+Enter. Результат R 4 = 0,997716, F 4 = 3494,117, что говорит об хорошей регрессии. Для нахождения коэффициентов уравнения регрессии b = ã; ставим курсор в J12 и делаем заголовок «а=», а в соседней К12 формулу «=ЕХР(Н12)», в J13 даем заголовок «b=», а в К13 формулу «=G12». Уравнение регрессии есть у = 4,90767/х+ 7,341268.

Проверим, все ли уравнения адекватно описывают данные. Для этого нужно сравнить F-статистики каждого критерия с критическим значением. Для его получения вводим в А21 подпись «F-критическое», а в В21 функцию FРАСПОБР, аргументами которой вводим соответственно «0,05» (уровень значимости), «1» (число факторов Х в строке «Уровень значимости 1») и «8» (степень свободы 2 = n – 2). Результат 5,317655. F – критическое больше F – статистики значит модель адекватна. Также адекватны и остальные регрессии. Для того, чтобы определить, какая модель наилучшим образом описывает данные, сравним индексы детерминации для каждой модели R 1 , R 2 , R 3 , R 4 . Наибольшим является R 4 = 0,997716. Значит опытные данные лучше описывать у = 4,90767/х+ 7,341268.

Вывод: В ходе работы я освоил методы построения основных видов нелинейных уравнений парной регрессии с помощью с помощью ЭВМ (внутренне линейные модели), научился получать и анализировать показатели качества регрессионных уравнений.

Лабораторная работа № 5

ПОЛИНОМИНАЛЬНАЯ РЕГРЕССИЯ

Цель: По опытным данным построить уравнение регрессии вида у = ах 2 + bх + с.

ХОД РАБОТЫ:

Рассматривается зависимость урожайности некоторой культуры у i от количества внесенных в почву минеральных удобрений х i . Предполагается, что эта зависимость квадратичная. Необходимо найти уравнение регрессии вида ỹ = ах 2 + bx + c.

Введем эти данные в электронную таблицу вместе с подписями в ячейки А1-K2. Построим график. Для этого обведем данные Y (ячейки В2-K2), вызываем мастер диаграмм, выбираем тип диаграммы «График», вид диаграммы – график с точками (второй сверху левый), нажимаем «Далее», переходим на закладку «Ряд» и в поле «Подписи оси Х» делаем ссылку на В2-K2, нажимаем «Готово». График можно приблизить полиномом 2 степени у = ах 2 + bх + с. Для нахождения коэффициентов a, b, c нужно решить систему уравнений:

Рассчитаем суммы. Для этого в ячейку А3 вводим подпись «Х^2», а в В3 вводим формулу «= В1*В1» и Автозаполнением переносим ее на всю строку В3-K3. В ячейку А4 вводим подпись «Х^3», а в В4 формулу «=В1*В3» и Автозаполнением переносим ее на всю строку В4-K4. В ячейку А5 вводим «Х^4», а в В5 формулу «=В4*В1», автозаполняем строку. В ячейку А6 вводим «Х*Y», а в В8 формулу «=В2*В1», автозаполняем строку. В ячейку А7 вводим «Х^2*Y», а в В9 формулу «=В3*В2», автозаполняем строку. Теперь считаем суммы. Выделяем другим цветом столбец L, щелкнув по заголовку и выбрав цвет. В ячейку L1 помещаем курсор и щелкнув по кнопке автосуммы со значком ∑, вычисляем сумму первой строки. Автозаполнением переносим формулу на ячейки L1-710.

Решаем теперь систему уравнений. Для этого вводим основную матрицу системы. В ячейку А13 вводим подпись «А=», а в ячейки матрицы В13-D15 вводим ссылки, отраженные в таблице

Вводим также правые части системы уравнений. В G13 вводим подпись «В=», а в Н13-Н15 вводим, соответственно ссылки на ячейки «=L7», «=L6», «=L2». Решаем систему матричным методом. Из высшей математики известно, что решение равно А -1 В. Находим обратную матрицу. Для этого в ячейку J13 вводим подпись «А обр.» и, поставив курсор в K13 задаем формулу МОБР (категория «Математические»). В качестве аргумента «Массив» даем ссылку на ячейки В13:D15. Результатом также должна быть матрица размером 4×4. Для ее получения обводим ячейки K13-М15 мышью, выделяя их и нажимаем F2 и Ctrl+Shift+Enter. Результат – матрица А -1 . Найдем теперь произведение этой матрицы на столбец В (ячейки Н13-Н15). Вводим в ячейку А18 подпись «Коэффициенты» и в В18 задаем функцию МУМНОЖ (категория «Математические»). Аргументами функции «Массив 1» служит ссылка на матрицу А -1 (ячейки K13-М15), а в поле «Массив 2» даем ссылку на столбец В (ячейки Н13-Н16). Далее выделяем В18-В20 и нажимаем F2 и Ctrl+Shift+Enter. Получившийся массив – коэффициенты уравнения регрессии a, b, c. В результате получаем уравнение регрессии вида: у = 1,201082х 2 – 5,619177х + 78,48095.

Построим графики исходных данных и полученных на основе уравнения регрессии. Для этого в ячейку А8 вводим подпись «Регрессия» и в В8 вводим формулу «=$В$18*В3+$В$19*В1+$В$20». Автозаполнением переносим формулу в ячейки В8-K8. Для построения графика выделяем ячейки В8-K8 и, удерживая клавишу Ctrl, выделяем также ячейки В2-М2. Вызываем мастера диаграмм, выбираем тип диаграммы «График», вид диаграммы – график с точками (второй сверху левый), нажимаем «Далее», переходим на закладку «Ряд» и в поле «Подписи оси Х» делаем ссылку на В2-М2, нажимаем «Готово». Видно, что кривые почти совпадают.

ВЫВОД: в процессе работы я по опытным данным научился строить уравнение регрессии вида у = ах 2 + bх + с.

Эмпирической плотности распределения случайной анализируемой величины и расчёт её характеристик Определяем размах имеющихся данных, т.е. разности между наибольшим и наименьшим выборочным значениями (R = Xmax – Xmin): Выбор числа интервалов группировки k при числе наблюдений n<100 – ориентировочное значение интервалов можно рассчитать с использованием формулы Хайнхольда и Гаеде: ...

Данных, можно достоверно судить о статистических связях, существующих между переменными величинами, которые исследуют в данном эксперименте. Все методы математико-статистического анализа условно делятся на первичные и вторичные. Первичными называют методы, с помощью которых можно получить показатели, непосредственно отражающие результаты производимых в эксперименте измерений. Соответственно под...

Процессоры общего назначения (например, в Еxcеl, Lоtus 1-2-3 и т.д.), а также в некоторые базы данных. Западные статистические пакеты (SРSS,SAS,BMDР и т.д.) имеют следующие возможности: Позволяют обрабатывать гигантские объемы данных. Включают средства описания задач на встроенном языке. Дают возможность построения на их основе систем обработки информации для целых предприятий. Позволяют...

Курса массажа и в течение 1-2 месяцев после него. 1.2 Формы лечебного массажа Форма воздействия лечебного массажа делится на общую и частную. Эти формы характерны для всех видов и методов массажа. Как частный, так и общий массаж может выполняться массажистом в виде взаимного массажа, парного или самомассажа . 1.2.1 Общий массаж Общим называется такой сеанс массажа (независимо от...

Пример . Доходы аптек одного из микрорайонов города за некоторый период составили 128; 192; 223; 398; 205; 266; 219; 260; 264; 98 (условных единиц). В соседнем микрорайоне за то же время они были равны 286; 240; 263; 266; 484; 223; 335.
Для обеих выборок вычислите среднее, исправленную дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Найдите размах варьирования, среднее абсолютное (линейное) отклонение, коэффициент вариации, линейный коэффициент вариации, коэффициент осцилляции.
Предполагая, что данная случайная величина имеет нормальное распределение, определите доверительный интервал для генеральной средней (в обоих случаях).
По критерию Фишера проверьте гипотезу о равенстве генеральных дисперсий. По критерию Стьюдента проверьте гипотезу о равенстве генеральных средних (альтернативная гипотеза – об их неравенстве).
Во всех расчётах уровень значимости α = 0,05.

Решение проводим с помощью калькулятора Проверка гипотезы о равенстве дисперсий .
1. Находим показатели вариации для первой выборки .

.



Показатели вариации .
.

R = X max - X min
R = 398 - 98 = 300
Среднее линейное отклонение


Каждое значение ряда отличается от другого в среднем на 57.36
Дисперсия


Несмещенная оценка дисперсии


.

Каждое значение ряда отличается от среднего значения 225.3 в среднем на 78.37
.

.

Коэффициент вариации

Поскольку v>30% ,но v или

Коэффициент осцилляции

.
.


По таблице Стьюдента находим:
T табл (n-1;α/2) = T табл (9;0.025) = 2.262

(225.3 - 59.09;225.3 + 59.09) = (166.21;284.39)

2. Находим показатели вариации для второй выборки .
Проранжируем ряд. Для этого сортируем его значения по возрастанию.
Таблица для расчета показателей.

Для оценки ряда распределения найдем следующие показатели:
Показатели центра распределения .
Простая средняя арифметическая


Показатели вариации .
Абсолютные показатели вариации .
Размах вариации - разность между максимальным и минимальным значениями признака первичного ряда.
R = X max - X min
R = 484 - 223 = 261
Среднее линейное отклонение - вычисляют для того, чтобы учесть различия всех единиц исследуемой совокупности.


Каждое значение ряда отличается от другого в среднем на 62.82
Дисперсия - характеризует меру разброса около ее среднего значения (мера рассеивания, т.е. отклонения от среднего).


Несмещенная оценка дисперсии - состоятельная оценка дисперсии (исправленная дисперсия).


Среднее квадратическое отклонение .

Каждое значение ряда отличается от среднего значения 299.57 в среднем на 82.23
Оценка среднеквадратического отклонения .

Относительные показатели вариации .
К относительным показателям вариации относят: коэффициент осцилляции, линейный коэффициент вариации, относительное линейное отклонение.
Коэффициент вариации - мера относительного разброса значений совокупности: показывает, какую долю среднего значения этой величины составляет ее средний разброс.

Поскольку v ≤ 30%, то совокупность однородна, а вариация слабая. Полученным результатам можно доверять.
Линейный коэффициент вариации или Относительное линейное отклонение - характеризует долю усредненного значения признака абсолютных отклонений от средней величины.

Коэффициент осцилляции - отражает относительную колеблемость крайних значений признака вокруг средней.

Интервальное оценивание центра генеральной совокупности .
Доверительный интервал для генерального среднего .

Определяем значение t kp по таблице распределения Стьюдента
По таблице Стьюдента находим:
T табл (n-1;α/2) = T табл (6;0.025) = 2.447

(299.57 - 82.14;299.57 + 82.14) = (217.43;381.71)
С вероятностью 0.95 можно утверждать, что среднее значение при выборке большего объема не выйдет за пределы найденного интервала.
Проводим проверку гипотезы о равенстве дисперсий:
H 0: D x = D y ;
H 1: D x Найдём наблюдаемое значение критерия Фишера:

Поскольку s y 2 > s x 2 , то s б 2 = s y 2 , s м 2 = s x 2
Числа степеней свободы:
f 1 = n у – 1 = 7 – 1 = 6
f 2 = n x – 1 = 10 – 1 = 9
По таблице критических точек распределения Фишера–Снедекора при уровне значимости α = 0.05 и данным числам степеней свободы находим F кр (6;9) = 3.37
Т.к. F набл Проводим проверку гипотезы о равенстве генеральных средних:


Найдём экспериментальное значение критерия Стьюдента:


Число степеней свободы f = n х + n у – 2 = 10 + 7 – 2 = 15
Определяем значение t kp по таблице распределения Стьюдента
По таблице Стьюдента находим:
T табл (f;α/2) = T табл (15;0.025) = 2.131
По таблице критических точек распределения Стьюдента при уровне значимости α = 0.05 и данному числу степеней свободы находим t кр = 2.131
Т.к. t набл