Определение типа матрицы. Понятие матрицы
Матрицы. Виды матриц. Операции над матрицами и их свойства.
Определитель матрицы n-го порядка. N, Z,Q, R,C,
Матрицей порядка m*n называется прямоугольная таблица из чисел, содержащая m-строк и n - столбцов.
Равенство матриц:
Две матрицы называются равными, если число строк и столбцов одной из них равно соответственно числу строк и столбцов другой и соответст. эл-ты этих матриц равны.
Замечание: Эл-ты имеющие одинаковые индексы являются соответствующими.
Виды матриц:
Квадратная матрица: матрица называется квадратной, если число её строк равно числу столбцов.
Прямоугольная: матрица называется прямоугольной, если число строк не равно числу столбцов.
Матрица строка: матрица порядка 1*n (m=1) имеет вид a11,a12,a13 и называется матрицей строки.
Матрица столбец:………….
Диагональная: диагональ квадратной матрицы, идущая от верхнего левого угла к правому нижнему углу, то есть состоящая из элементов а11,а22……-называется главной диагональю. (опред: квадратная матрица все элементы которой равны нулю, кроме тех, что расположены на главной диагонали, называется диагональной матрицей.
Единичная: диагональная матрица называется единичной, если все элементы расположены на главной диагонали и равны 1.
Верхняя треугольная: А=||aij|| называется верхней треугольной матрицей, если aij=0. При условии i>j.
Нижняя треугольная: aij=0. i Нулевая: это матрица Эл-ты которой равны 0. Операции над матрицами. 1.Транспонирование. 2.Умножение матрицы на число. 3.Сложение матриц.
4.Умножение матриц.
Основные св-ва действия над матрицами.
1.A+B=B+A (коммутативность)
2.A+(B+C)=(A+B)+C (ассоциативность)
3.a(A+B)=aA+aB (дистрибутивность)
4.(a+b)A=aA+bA (дистриб.)
5.(ab)A=a(bA)=b(aA) (асооц.)
6.AB≠BA (отсутствует комму.)
7.A(BC)=(AB)C (ассоц.) –выполняется, если опред. Произведений матриц выполняется.
8.A(B+C)=AB+AC (дистриб.)
(B+C)A=BA+CA (дистриб.)
9.a(AB)=(aA)B=(aB)A
Определитель квадратной матрицы – определение и его свойства. Разложение определителя по строкам и столбцам. Способы вычисления определителей.
Если матрица А имеет порядок m>1, то определитель этой матрицы – число.
Алгебраическим дополнением Aij эл-та aij матрицы А называется минор Mij, умноженный на число
ТЕОРЕМА1: Определитель матрицы А равен сумме произведений всех элементов произвольной строки (столбца) на их алгебраические дополнения.
Основные свойства определителей.
1. Определитель матрицы не изменится при её транспонировании.
2. При перестановки двух строк (столбцов) определитель меняет знак, а абсолютная величина его не меняется.
3. Определитель матрицы, имеющий две одинаковые строки (столбцы) равен 0.
4.При умножении строки (столбца) матрицы на число её определитель умножается на это число.
5. Если одна из строк (столбцов) матрицы состоит из 0, то определитель этой матрицы равен 0.
6. Если все элементы i-ой строки (столбца) матрицы представлены в виде суммы двух слагаемых, то её определитель можно представить в виде суммы определителей двух матриц.
7. Определитель не изменится, если к элементам одного столбца (строки) прибавить соответственно эл-ты другого столбца (строки) предварительно умнож. на одно и того же число.
8.Сумма произвольных элементов какого либо столбца (строки) определителя на соответствующее алгебраическое дополнение элементов другого столбца (строки) равна 0.
https://pandia.ru/text/78/365/images/image004_81.gif" width="46" height="27">
Способы вычисления определителя:
1. По определению или теореме 1.
2. Приведение к треугольному виду.
Определение и свойства обратной матрицы. Вычисление обратной матрицы. Матричные уравнения.
Определение: Квадратная матрица порядка n, называется обратной к матрице А того же порядка и обозначается
Для того чтобы для матрицы А существовала обратная матрица необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы А был отличен от 0.
Свойства обратной матрицы:
1. Единственность: для данной матрицы А её обратная – единственная.
2. определитель матрицы
3. Операция взятия транспонирования и взятие матрицы обратной.
Матричные уравнения:
Пусть А и В две квадратные матрицы того же порядка.
https://pandia.ru/text/78/365/images/image008_56.gif" width="163" height="11 src=">
Понятие линейной зависимости и независимости столбцов матрицы. Свойства линейной зависимости и линейной независимости системы столбцов.
Столбцы А1,А2…Аn называются линейно зависимыми, если существует их не тривиальная линейная комбинация, равная 0-му столбцу.
Столбцы А1,А2…Аn называются линейно независимыми, если существует их не тривиальная линейная комбинация, равная 0-му столбцу.
Линейная комбинация называется тривиальной, если все коэффициенты С(l) равны 0 и не тривиальной в противном случае.
https://pandia.ru/text/78/365/images/image010_52.gif" width="88" height="24">
2.для того чтобы столбцы были линейно зависимы необходимо и достаточно, чтобы какой-нибудь столбец являлся линейной комбинацией других столбцов.
Пусть 1 из столбцов https://pandia.ru/text/78/365/images/image014_42.gif" width="13" height="23 src=">является линейной комбинацией других столбцов.
https://pandia.ru/text/78/365/images/image016_38.gif" width="79" height="24"> линейно зависимы, то и все столбцы линейно зависимы.
4. Если система столбцов линейно независима, то любая её подсистема так же линейно независима.
(Всё что сказано относительно столбцов, справедливо и для строк).
Миноры матрицы. Базисные миноры. Ранг матрицы. Метод окаймляющих миноров вычисления ранга матрицы.
Минором порядка к матрицы А называется определитель элементы которого расположены на пересечении к-строк и к-стролбцов матрицы А.
Если все миноры к-го порядка матрицы А =0, то любой минор порядка к+1 тоже равен 0.
Базисный минор.
Рангом матрицы А называется порядок её базисного минора.
Метод окаймляющих миноров: - Выбираем не нулевой элемент матрицы А (Если такого элемента не существует, то ранг А =0)
Окаймляем минор предыдущий 1-го порядка минором 2-го порядка. (Если этот минор не равен 0, то ранг >=2) Если ранг этого минора =0, то окаймляем выбранный минор 1-го порядка другими минорами 2-го порядка. (Если все миноры 2-го порядка =0, то ранг матрицы = 1).
Ранг матрицы. Способы нахождения ранга матрицы.
Рангом матрицы А называется порядок его базисного минора.
Способы вычисления:
1) Метод окаймляющих миноров: -Выбираем ненулевой элемент матрицы А (если такого элемента нет, то ранг =0) – Окаймляем минор предыдущий 1-го порядка минором 2-го порядка..gif" width="40" height="22">r+1 Mr+1=0.
2)Приведение матрицы к ступенчатому виду: этот метод основан на элементарных преобразованиях. При элементарных преобразованиях ранг матрицы не меняется.
Элементарными преобразованиями называются следующие преобразования:
Перестановка двух строк (столбцов).
Умножение всех элементов некоторого столбца (строки) на число не =0.
Прибавление ко всем элементам некоторого столбцы (строки) элементов другого столбца (строки), предварительно умноженных на одно и тоже число.
Теорема о базисном миноре. Необходимое и достаточное условие равенства нулю определителя.
Базисным минором матрицы А называется минор наибольшего к-го порядка отличного от 0.
Теорема о базисном миноре:
Базисные строки (столбцы) линейно независимы. Любая строка (столбец) матрицы А являются линейной комбинацией базисных строк (столбцов).
Замечания: Строки и столбцы на пересечении которых стоит базисный минор называются соответственно базисными строками и столбцами.
a11 a12… a1r a1j
a21 a22….a2r a2j
a31 a32….a3r a3j
ar1 ar2 ….arr arj
ak1 ak2…..akr akj
Необходимые и достаточные условия равенства нулю определителя:
Для того чтобы определитель n-го порядка =0, необходимо и достаточно, чтобы его строки (столбцы) были линейно зависимы.
Системы линейных уравнений, их классификация и формы записи. Правило Крамера.
Рассмотрим систему 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными:
https://pandia.ru/text/78/365/images/image020_29.gif" alt="l14image048" width="64" height="38 id=">
называется определителем системы.
Составим ещё три определителя следующим образом: заменим в определителе D последовательно 1, 2 и 3 столбцы столбцом свободных членов
https://pandia.ru/text/78/365/images/image022_23.gif" alt="l14image052" width="93" height="22 id=">
Доказательство. Итак, рассмотрим систему 3-х уравнений с тремя неизвестными. Умножим 1-ое уравнение системы на алгебраическое дополнение A11 элемента a11, 2-ое уравнение – на A21 и 3-е – на A31:
https://pandia.ru/text/78/365/images/image024_24.gif" alt="l14image056" width="247" height="31 id=">
Рассмотрим каждую из скобок и правую часть этого уравнения. По теореме о разложении определителя по элементам 1-го столбца
https://pandia.ru/text/78/365/images/image026_23.gif" alt="l14image060" width="324" height="42 id=">
Аналогично можно показать, что и .
Наконец несложно заметить, что 
Таким образом, получаем равенство: .
Следовательно, .
Аналогично выводятся равенства и , откуда и следует утверждение теоремы.
Системы линейных уравнений. Условие совместимости линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.
Решением системы алгебраических уравнений называется такая совокупность n чисел C1,C2,C3……Cn, которая при подстановки в исходную систему на место x1,x2,x3…..xn обращает все уравнения системы в тождества.
Система линейных алгебраических уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение.
Совместная система называется определённой, если она имеет единственное решение, и неопределённой, если она имеет бесчисленно много решений.
Условия совместности систем линейных алгебраических уравнений.
a11 a12 ……a1n x1 b1
a21 a22 ……a2n x2 b2
……………….. .. = ..
am1 am2…..amn xn bn
ТЕОРЕМА: Для того чтобы система m линейных уравнений с n неизвестными была совместной необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы был равен рангу матрицы А.
Замечание: Эта теорема даёт лишь критерии существования решения, но не указывает способа отыскивания решения.
10 вопрос.
Системы линейных уравнений. Метод базисного минора - общий метод отыскивания всех решений систем линейных уравнений.
A=a21 a22…..a2n
Метод базисного минора:
Пусть система совместна и RgA=RgA’=r. Пусть базисный минор расписан в верхнем левом углу матрицы А.
https://pandia.ru/text/78/365/images/image035_20.gif" width="22" height="23 src=">…...gif" width="23" height="23 src=">…...gif" width="22" height="23 src=">…...gif" width="46" height="23 src=">-…..-a
d2 b2-a(2r+1)x(r+1)-..-a(2n)x(n)
… = …………..
Dr br-a(rr+1)x(r+1)-..-a(rn)x(n)
https://pandia.ru/text/78/365/images/image050_12.gif" width="33" height="22 src=">
Замечания: Если ранг основной матрицы и рассматриваемой равен r=n, то в этом случае dj=bj и система имеет единственное решение.
Однородные системы линейных уравнений.
Система линейных алгебраических уравнений называется однородной, если все ее свободные члены равны нулю.
AX=0 – однородная система.
АХ =В – неоднородная система.
Однородные системы всегда совместны.
Х1 =х2 =..=хn =0
Теорема 1.
Однородные системы имеют неоднородные решения, когда ранг матрицы системы меньше числа неизвестных.
Теорема 2.
Однородная система n-линейных уравнений с n-неизвестными имеет не нулевое решение, когда определитель матрицы А равен нулю. (detA=0)
Свойства решений однородных систем.
Любая линейная комбинация решения однородной системы сама является решением этой системы.
α1C1 +α2C2 ; α1 и α2– некоторые числа.
А(α1C1 +α2C2) = А(α1C1) +А(α2C2) = α1(А C1) + α2(АC2) = 0,т. к. (А C1) = 0; (АC2) = 0
Для неоднородной системы это свойство не имеет места.
Фундаментальная система решений.
Теорема 3.
Если ранг матричной системы уравнения с n-неизвестными равен r, то эта система имеет n-r линейно-независимых решений.
Пусть базисный минор в левом верхнем углу. Если r< n, то неизвестные х r+1;хr+2;..хn называются свободными переменными, а систему уравнений АХ=В запишем, как Аr Хr =Вr
C1 = (C11 C21 .. Cr1 , 1,0..0)
C2 = (C21 C22 .. C2r,0, 1..0) <= Линейно-независимы.
……………………..
Cn-r = (Cn-r1 Cn-r2 .. Cn-rr ,0, 0..1)
Система n-r линейно-независимых решений однородной системы линейных уравнений с n-неизвестными ранга r называется фундаментальной системой решений.
Теорема 4.
Любое решение системы линейных уравнений есть линейная комбинация решения фундаментальной системы.
С = α1C1 +α2C2 +.. + αn-r Cn-r
Если r 12 вопрос. Общее решение неоднородной системы. Сон (общ. неоднор.) = Соо +Сч (частное) АХ=В (неоднородная система) ; АХ= 0 (АСоо) +АСч = АСч = В, т. к. (АСоо) = 0 Сон= α1C1 +α2C2 +.. + αn-r Cn-r + Сч Метод Гаусса. Это метод последовательных исключений неизвестных (переменных) – заключается в том, что с помощью элементарных преобразований, исходная система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого вида, из которой последовательно, начиная с последних переменных, находят все остальные переменные. Пусть а≠0 (если это не так, то перестановкой уравнений добиваются этого). 1)исключаем переменную х1 из второго, третьего…n-ого уравнения, умножая первое уравнение на подходящие числа и прибавляя полученные результаты ко 2-ому, 3-ему…n-ому уравнению, тогда получаем: Получаем систему равносильную исходной. 2)исключаем переменную х2 3) исключаем переменную х3 и т. д. Продолжая процесс последовательного исключения переменных х4;х5...хr-1 получим для (r-1)-ого шага. Число ноль последних n-r в уравнениях означают, что их левая часть имеет вид: 0х1 +0х2+..+0хn Если хотя бы одно из чисел вr+1, вr+2… не равны нулю, то соответственное равенство противоречиво и система (1) не совместна. Таким образом, для всякой совместной системы эта вr+1 … вm равна нулю. Последнее n-r уравнение в системе (1;r-1) являются тождествами и их можно не принимать во внимание. Возможны два случая: а)число уравнений системы (1;r-1) равно числу неизвестных, т. е. r=n (в этом случае система имеет треугольный вид). б)r Переход от системы (1) к равносильной ей системе (1;r-1) называется прямым ходом метода Гаусса. О нахождение переменной из системы (1;r-1) – обратным ходом метода Гаусса. Преобразования Гаусса удобно проводить, осуществляя их не с уравнениями, а с расширенной матрицей их коэффициентов. 13 вопрос. Подобные матрицы. Будем рассматривать только квадратные матрицы порядка n/ Матрица А называется подобной матрице В (А~В), если существует такая неособенная матрица S, что А=S-1BS. Свойства подобных матриц. 1)Матрица А подобна сама себе. (А~А) Если S=Е, тогда ЕАЕ=Е-1АЕ=А 2)Если А~В, то В~А Если А=S-1ВS => SAS-1= (SS-1)B(SS-1)=B 3)Если А~В и одновременно В~С, то А~С Дано, что А=S1-1BS1, и В=S2-1CS2 => A= (S1-1 S2-1) C(S2 S1) = (S2 S1)-1C(S2 S1) = S3-1CS3, где S3 = S2S1 4)Определители подобных матриц равны. Дано, что А~В, надо доказать, что detA=detB. A=S-1 BS, detA=det(S-1 BS)= detS-1* detB* detS = 1/detS *detB*detS (сокращаем) = detB. 5)Ранги подобных матриц совпадают. Собственные векторы и собственные значения матриц. Число λ называется собственным значением матрицы А, если существует ненулевой вектор Х(матр. столбец) такой, что АХ= λ Х, вектор Х называется собственным вектором матрицы А, а совокупность всех собственных значений называется спектром матрицы А. Свойства собственных векторов. 1)При умножении собственного вектора на число получим собственный вектор с тем же собственным значением. АХ= λ Х; Х≠0 α Х => А(α Х) = α (АХ) = α(λ Х) = = λ (αХ) 2) Собственные векторы с попарно-различными собственными значениями линейно независимы λ1, λ2,.. λк. Пусть система состоит из 1-ого вектора, сделаем индуктивный шаг: С1 Х1 +С2 Х2 + .. +Сn Хn = 0 (1) – умножаем на А. С1 АХ1 +С2 АХ2 + .. +Сn АХn = 0 С1 λ1 Х1 +С2 λ2 Х2 + .. +Сn λn Хn = 0 Умножаем на λn+1 и вычтем С1 Х1 +С2 Х2 + .. +Сn Хn+ Сn+1 Хn+1 = 0 С1 λ1 Х1 +С2 λ2 Х2 + .. +Сn λn Хn+ Сn+1 λn+1 Хn+1 = 0 C1 (λ1 –λn+1)X1 + C2 (λ2 –λn+1)X2 +.. + Cn (λn –λn+1)Xn + Cn+1 (λn+1 –λn+1)Xn+1 = 0 C1 (λ1 –λn+1)X1 + C2 (λ2 –λn+1)X2 +.. + Cn (λn –λn+1)Xn = 0 Надо чтобы С1 =С2 =… = Сn = 0 Сn+1 Хn+1 λn+1 =0 Характеристическое уравнение. А-λЕ называется характеристической матрицей для матрицы А. Для того, чтобы ненулевой вектор Х был собственным вектором матрицы А, соответствующий собственному значению λ необходимо чтобы он являлся решением однородной системы линейно-алгебраических уравнений (А - λЕ)Х = 0 Нетривиальное решение система имеет тогда, когда det (А - XЕ) = 0 - это характеристическое уравнение. Утверждение! Характеристические уравнения подобных матриц совпадают. det(S-1AS – λЕ) = det(S-1AS – λ S-1ЕS) =det(S-1 (A – λЕ)S) = det S-1 det(A – λЕ) detS= det(A – λЕ) Характеристический многочлен. det(A – λЕ)- функция относительно параметра λ det(A – λЕ) = (-1)n Xn +(-1)n-1(a11+a22+..+ann)λn-1+..+detA Этот многочлен и называется характеристическим многочленом матрицы А. Следствие: 1)Если матрицы А~В, то сумма их диагональных элементов совпадает. a11+a22+..+ann = в11+в22+..+вnn 2)Множество собственных значений подобных матриц совпадают. Если характеристические уравнения матриц совпадают, то они необязательно подобны. Для матрицы А Для матрицы В https://pandia.ru/text/78/365/images/image062_10.gif" width="92" height="38"> Det(Ag-λE) = (λ11 – λ)(λ22 – λ)…(λnn – λ)= 0 Для того чтобы матрица А порядка n была диагонализируема, необходимо, чтобы существовали линейно-независимые собственные вектора матрицы А. Следствие. Если все собственные значения матрица А различны, то она диагонализируема. Алгоритм нахождения собственных векторов и собственных значений. 1)составляем характеристическое уравнение 2)находим корни уравнений 3)составляем систему уравнений для определения собственного вектора. λi (A-λi E)X = 0 4)находим фундаментальную систему решений x1,x2..xn-r, где r - ранг характеристической матрицы. r =Rg(A - λi E) 5)собственный вектор, собственные значения λi записываются в виде: X = С1 Х1 +С2 Х2 + .. +Сn-r Хn-r, где С12 +С22 +… С2n ≠0 6)проверяем, может ли матрица быть приведена к диагональному виду. 7)находим Ag Ag = S-1AS S= 15 вопрос. Базис прямой, плоскости, пространства. DIV_ADBLOCK410">
Модулем вектора называется его длина, то есть расстояние между А и В (││, ││). Модуль вектора равен нулю, тогда, когда этот вектор нулевой (│ō│=0) 4.Орт вектора. Ортом данного вектора называется вектор, который направлен одинаково с данным вектором и имеет модуль, равный единице. Равные вектора имеют равные орты. 5.Угол между двумя векторами. Это меньшая часть площади, ограниченная двумя лучами, исходящими из одной точки и направленные одинаково с данными векторами. Сложение векторов. Умножение вектора на число. 1)Сложение двух векторов https://pandia.ru/text/78/365/images/image065_9.gif" height="11">+ │≤│ │+│ │ 2)Умножение вектора на скаляр. Произведением вектора и скаляра называют новый вектор, который имеет: а) = произведения модуля умножаемого вектора на абсолютную величину скаляра. б) направление одинаковое с умножаемым вектором, если скаляр положителен, и противоположное, если скаляр отрицателен. λ а(вектор)=>│ λ │= │ λ │=│ λ ││ │ Свойства линейных операций над векторами. 1.Закон коммунитативности. 2. Закон ассоциативности. 3. Сложение с нулем. а(вектор)+ō= а(вектор) 4.Сложение с противоположным. 5. (αβ) = α(β) = β(α) 6;7.Закон дистрибутивности. Выражение вектора через его модуль и орт. Максимальное число линейно-независимых векторов называются базисом. Базисом на прямой является любой ненулевой вектор. Базисом на плоскости являются любые два некаллениарных вектора. Базисом в пространстве является система любых трех некомпланарных векторов. Коэффициент разложения вектора по некоторому базису называется компонентами или координатами вектора в данном базисе. https://pandia.ru/text/78/365/images/image075_10.gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> выполнить действие сложения и умножения на скаляр, то в результате любого числа таких действий получим: λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height="11 src=">+...gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> называются линейно-зависимыми, если существует их нетривиальная линейная комбинация, равная ō. λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height="11 src=">+...gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> называются линейно-НЕзависимыми, если не существует их нетривиальная линейная комбинация. Свойства линейно-зависимых и Независимых векторов: 1)система векторов, содержащая нулевой вектор линейно-зависима. λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height="11 src=">+...gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> были линейно-зависимыми, необходимо, чтобы какой-нибудь вектор являлся линейной комбинацией других векторов. 3)если часть векторов из системы а1(вектор), а2(вектор)… ак(вектор) линейно-зависимы, то и все вектора линейно-зависимы. 4)если все вектора https://pandia.ru/text/78/365/images/image076_9.gif" height="11 src=">.gif" width="75" height="11"> https://pandia.ru/text/78/365/images/image082_10.gif" height="11 src=">.gif" height="11 src=">) Линейные операции в координатах. https://pandia.ru/text/78/365/images/image069_9.gif" height="12 src=">.gif" height="11 src=">.gif" height="11 src=">.gif" height="11 src=">+ (λа3)DIV_ADBLOCK413">
Скалярное произведение 2-х векторов – это число равное произведению векторов на косинус угла между ними. https://pandia.ru/text/78/365/images/image090_8.gif" width="48" height="13"> 3. (a;b)=0, тогда и только тогда, когда векторы ортоганальны или какой нибудь из векторов равен 0. 4. Дистрибутивность (αa+βb;c)=α(a;c)+β(b;c) 5. Выражение скалярного произведения a и b через их координаты https://pandia.ru/text/78/365/images/image093_8.gif" width="40" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image095_8.gif" width="254" height="13 src="> При выполнении условия () , h, l=1,2,3 https://pandia.ru/text/78/365/images/image098_7.gif" width="176" height="21 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image065_9.gif" height="11"> и называется третий вектор который удовлетворяет следующим уравнениям: 3. – правая Свойства векторного произведения: 4. Векторное произведение координатных ортов Ортонормированый базис. https://pandia.ru/text/78/365/images/image109_7.gif" width="41" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image111_8.gif" width="41" height="11 src="> Часто для обозначения ортов ортонормированного базиса используются 3 символа https://pandia.ru/text/78/365/images/image063_10.gif" width="77" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image114_5.gif" width="549" height="32 src="> Если - это ортонормированный базис, то DIV_ADBLOCK414">
Прямая линия на плоскости. Взаимное расположение 2-х прямых. Расстояние от точки до прямой линии. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности 2-х прямых. 1. Часный случай расположения 2-х прямых на плоскости. 1)- уравнение прямой параллельной оси ОХ 2) - уравнение прямой параллельной оси ОУ 2. Взамное расположение 2-х прямых. Теорема 1 Пусть относительно аффинной системы координат даны уравнения прямых А) Тогда необходимое и достаточное условие когда они пересекаются имеет вид: Б) Тогда необходимое и достаточное условие того что прямые паралельны является условие: B) Тогда необходимым и достаточным условием того что прямые сливаются в одну является условие: 3. Расстояние от точки до прямой. Теорема. Расстояние от точки до прямой относительно декартовой системы координат: https://pandia.ru/text/78/365/images/image127_7.gif" width="34" height="11 src="> 4. Угол между двумя прямыми. Условие перпендикулярности. Пусть 2 прямые заданы относительно декартовой системы координат общими уравнениями. https://pandia.ru/text/78/365/images/image133_4.gif" width="103" height="11 src="> Если , то прямые перпендикулярны. 24 вопрос. Плоскость в пространстве. Условие комплонарности вектора и плоскости. Расстояние от точки до плоскости. Условие параллельности и перпендикулярности двух плоскостей. 1. Условие комплонарности вектора и плоскости. https://pandia.ru/text/78/365/images/image138_6.gif" width="40" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image140.jpg" alt="Безымянный4.jpg" width="111" height="39"> https://pandia.ru/text/78/365/images/image142_6.gif" width="86" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image144_6.gif" width="148" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image145.jpg" alt="Безымянный5.jpg" width="88" height="57"> https://pandia.ru/text/78/365/images/image147_6.gif" width="31" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image148_4.gif" width="328" height="24 src="> 3. Угол между 2-я плоскостями. Условие перпендикулярности. https://pandia.ru/text/78/365/images/image150_6.gif" width="132" height="11 src="> Если , то плоскости перпендикулярны. 25 вопрос. Прямая линя в пространстве. Различные виды уравнения прямой линии в пространстве. https://pandia.ru/text/78/365/images/image156_6.gif" width="111" height="19"> 2. Векторное уравнение прямой в пространстве. https://pandia.ru/text/78/365/images/image138_6.gif" width="40" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image162_5.gif" width="44" height="29 src="> 4. Каноническое уравнение прямое. https://pandia.ru/text/78/365/images/image164_4.gif" width="34" height="18 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image166_0.jpg" alt="Безымянный3.jpg" width="56" height="51">
28 вопрос. Эллипс. Вывод Канонического уравнения эллипса. Форма. Свойства Эллипс – геометрическое место точек, для которых сумма расстояний от двух фиксированных расстояний, называемых фокусами есть данное число 2a, большее чем расстояние 2c между фокусами. на рис.2 r1=a+ex r2=a-ex Ур-е касательной к эллипсу DIV_ADBLOCK417">
Каноническое уравнение гиперболы Форма и св-ва y=±b/a умножить на корень из (x2-a2) Ось симметрии гиперболы - её оси Отрезок 2a - действительная ось гиперболы Эксентриситет e=2c/2a=c/a Если b=a получается равнобокая гипербола Ассимтотой - называется прямая, если при неограниченном удалении точки M1 по кривой расстояние от точки до прямой стремится к нулю. lim d=0 при x-> ∞ d=ba2/(x1+(x21-a2)1/2/c) касательная гиперболы xx0/a2 - yy0/b2 = 1 парабола - геометрическое место точек, равноудаленное от точки, названной фокусом и данной прямой, названной директриссой Каноническое уравнение параболы свойства ось симметрии параболы проходит через её фокус и перпендиукулярна директрисе если вращать параболу получится эллиптический параболоид все параболы подобны вопрос 30. Исследование уравнения общего вида кривой второго порядка. Тип кривой опр. при старших членах A1, B1, C1 A1x12+2Bx1y1+C1y12+2D1x1+2E1y1+F1=0 1. AC=0 ->кривая параболического типа A=C=0 => 2Dx+2Ey+F=0 A≠0 C=0 => Ax2+2Dx+2Ey+F=0 Если Е=0 => Ax2+2Dx+F=0 то x1=x2 - сливается в одну x1≠x2 - прямые параллельны Оу x1≠x2 и корни мнимые, не имеет геометричекого образа С≠0 А=0 =>C1y12+2D1x1+2E1y1+F1=0 Вывод: кривая параболического типа это либо парабола, либо 2 параллельные прямые, или мнимые, или в одну сливаются. 2.AC>0 -> кривая эллиптического типа Дополняя до полного квадрата исходное уравнение преобразуем к каноническому, тогда получим случаи (x-x0)2/a2+(y-y0)2/b2=1 - эллипс (x-x0)2/a2+(y-y0)2/b2=-1 - мнимый эллипс (x-x0)2/a2-(y-y0)2/b2=0 - точка с координатой x0 y0 Вывод: кривая эл. типа ето либо эллипс, либо мнимый, либо точка 3. АС<0 - кривая гиперболического типа (x-x0)2/a2-(y-y0)2/b2=1 гипербола, действительная ось параллельна Ох (x-x0)2/a2-(y-y0)2/b2=-1 гипербола, действительная ось параллельна Oy (x-x0)2/a2-(y-y0)2/b2=0 ур-е двух прямых Вывод: кривая гиперболического типа это либо гипербола, либо две прямые Пусть имеется квадратная матрица n-го порядка Матрица А -1 называется обратной матрицей
по отношению к матрице А, если А*А -1 = Е, где Е — единичная матрица n-го порядка. Единичная матрица
— такая квадратная матрица, у которой все элементы по главной диагонали, проходящей от левого верхнего угла к правому нижнему углу, — единицы, а остальные — нули, например: Обратная матрица
может существовать только для квадратных матриц
т.е. для тех матриц, у которых число строк и столбцов совпадают. Для того чтобы матрица имела обратную матрицу необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной. Матрица А = (А1, А2,...А n) называется невырожденной
, если векторы-столбцы являются линейно независимыми. Число линейно независимых векторов-столбцов матрицы называется рангом матрицы . Поэтому можно сказать, что для того, чтобы существовала обратная матрица, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы равнялся ее размерности, т.е. r = n. Для матрицы А найти обратную матрицу А -1 Решение: Записываем матрицу А и справа приписываем единичную матрицу Е. Используя преобразования Жордана, приводим матрицу А к единичной матрице Е. Вычисления приведены в таблице 31.1. Проверим правильность вычислений умножением исходной матрицы А и обратной матрицы А -1 . В результате умножения матриц получилась единичная матрица. Следовательно, вычисления произведены правильно. Ответ: Матричные уравнения могут иметь вид: АХ = В, ХА = В, АХВ = С,
где А,В,С — задаваемые матрицы, Х- искомая матрица. Матричные уравнения решаются с помощью умножения уравнения на обратные матрицы.
Например, чтобы найти матрицу из уравнения , необходимо умножить это уравнение на слева. Следовательно, чтобы найти решение уравнения , нужно найти обратную матрицу и умножить ее на матрицу , стоящие в правой части уравнения. Аналогично решаются другие уравнения. Решить уравнение АХ = В, если Решение
: Так как обратная матрица равняется (см. пример 1) Наряду с другими в находят применение также матричные методы
. Эти методы базируются на линейной и векторно-матричной алгебре. Такие методы применяются для целей анализа сложных и многомерных экономических явлений. Чаще всего эти методы используются при необходимости сравнительной оценки функционирования организаций и их структурных подразделений. В процессе применения матричных методов анализа можно выделить несколько этапов. На первом этапе
осуществляется формирование системы экономических показателей и на ее основе составляется матрица исходных данных , которая представляет собой таблицу, в которой по ее отдельным строкам показываются номера систем (i = 1,2,....,n)
, а по вертикальным графам — номера показателей (j = 1,2,....,m)
. На втором этапе
по каждой вертикальной графе выявляется наибольшее из имеющихся значений показателей, которое и принимается за единицу. После этого все суммы, отраженные в данной графе делят на наибольшее значение и формируется матрица стандартизированных коэффициентов . На третьем этапе
все составные части матрицы возводят в квадрат. Если они имеют различную значимость, то каждому показателю матрицы присваивается определенный весовой коэффициент k
. Величина последнего определяется экспертным путем. На последнем, четвертом этапе
найденные величины рейтинговых оценок R j
группируются в порядке их увеличения или уменьшения. Изложенные матричные методы следует использовать, например, при сравнительном анализе различных инвестиционных проектов, а также при оценке других экономических показателей деятельности организаций. Опр
.
Прямоугольная таблица, состоящая из т
строк и п
столбцов действительных чисел называется
матрицей
размера т×п
.
Матрицы обозначают заглавными латинскими
буквами: А, В,…, а массив чисел выделяют
круглыми или квадратными скобками. Числа, входящие в
таблицу, называются элементами матрицы
и обозначаются малыми латинскими буквами
с двойным индексом
,
гдеi
– номер строки, j
– номер столбца, на пресечении которых
расположен элемент. В общем виде матрица
записывается так: Две матрицы
считаются равными
,
если равны их соответствующие элементы. Если число строк
матрицы т
равно числу
ее столбцов п
,
то матрица называется квадратной
(в противном случае – прямоугольной). Матрица размера
называется
матрицей-столбцом. Элементы матрицы,
имеющие равные индексы ( Квадратная матрица
называется диагональной
,
если все ее элементы, расположенные вне
главной диагонали, равны нулю. Диагональная
матрица, у которой диагональные элементы
равны единице, называется единичной
матрицей и имеет стандартное обозначение
Е: Если все элементы
матрицы, расположенные выше (или ниже)
главной диагонали равны нулю, говорят,
что матрица имеет треугольный вид: 1. Транспонирование
матрицы – преобразование, при котором
строки матрицы записывают в виде столбцов
при сохранении их порядка. Для квадратной
матрицы это преобразование эквивалентно
симметричному отображению относительно
главной диагонали: 2. Матрицы одинаковой
размерности можно суммировать (вычитать).
Суммой (разностью) матриц называется
матрица той же размерности, каждый
элемент которой равен сумме (разности)
соответствующих элементов исходных
матриц: 3. Любую матрицу
можно умножать на число. Произведением
матрицы на число называется матрица
того же порядка, каждый элемент которой
равен произведению соответствующего
элемента исходной матрицы на это число: 4. Если число
столбцов одной матрицы равно числу
строк другой, то можно выполнить умножение
первой матрицы на вторую. Произведением
таких матриц называется матрица, каждый
элемент которой равен сумме попарных
произведений элементов соответствующей
строки первой матрицы и элементов
соответствующего столбца второй матрицы. Следствие
.
Возведение матрицы в степень к
>1
есть произведение матрицы А к
раз. Определено только для квадратных
матриц. Пример
. Свойства операций
над матрицами. (А+В)+С=А+(В+С); к(А+В)=кА+кВ; А(В+С)=АВ+АС; (А+В)С=АС+ВС; к(АВ)=(кА)В=А(кВ); А(ВС)=(АВ)С; (кА) Т =кА Т; (А+В) Т =А Т +В Т; (АВ) Т =В Т А Т; Перечисленные
выше свойства аналогичны свойствам
операций над числами. Есть и специфические
свойства матриц. К ним относится,
например, отличительное свойство
умножения матриц. Если произведение АВ
существует, то произведение ВА Может не существовать Может отличаться
от АВ. Пример
.
Предприятие выпускает продукцию двух
видов А и В и использует при этом сырье
трех типов S 1 ,
S 2 ,
и S 3 .
Нормы расхода сырья заданы матрицей
N= Решение. Затраты
сырья определим как произведение матриц
С и N: Общую стоимость
сырья вычислим как произведение S
и Р. >> Матрицы Прямоугольной матрицей размера mxn называется совокупность mxn чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы, содержащей m строк и n столбцов. Мы будем записывать ее в виде или сокращенно в виде A = (a i j) (i = ; j = ), числа a i j , называются ее элементами; первый индекс указывает на номер строки, второй - на номер столбца. A = (a i j) и B = (b i j) одинакового размера называются равными, если попарно равны их элементы, стоящие на одинаковых местах, то есть A = B, если a i j = b i j . Матрица, состоящая из одной строки или одного столбца, называется соответственно -строкой или вектор-столбцом. Вектор-столбцы и вектор-строки называют просто векторами. Матрица, состоящая из одного числа, отождествляется с этим числом. A размера mxn, все элементы которой равны нулю, называются нулевой и обозначается через 0. Элементы с одинаковыми индексами называют элементами главной диагонали. Если число строк равно числу столбцов, то есть m = n, то матрицу называют квадратной порядка n. Квадратные матрицы, у которых отличны от нуля лишь элементы главной диагонали, называются диагональными и записываются так: Если все элементы a i i диагонали равны 1, то она называется единичной и обозначается буквой Е: Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, стоящие выше (или ниже) главной диагонали, равны нулю. Транспонированием называется такое преобразование, при котором строки и столбцы меняются местами с сохранением их номеров. Обозначается транспонирование значком Т наверху. Если в (4.1) переставим строки со столбцами, то получим которая будет транспонированной по отношению к А. В частности, при транспонировании вектора-столбца получается вектор-строка и наоборот. Произведением А на число b называется матрица, элементы которой получаются из соответствующих элементов А умножением на число b: b A = (b a i j). Суммой А = (a i j) и B = (b i j) одного размера называется C = (c i j) того же размера, элементы которой определяются по формуле c i j = a i j + b i j . Произведение АВ определяется в предположении, что число столбцов А равно числу строк В. Произведением AB, где А = (a i j) и B = (b j k), где i = , j= , k= , заданных в определенном порядке АВ, называется С = (c i k), элементы которой определяются по следующему правилу: c i k = a i 1 b 1 k + a i 2 b 2 k +... + a i m b m k = a i s b s k . (4.2) Иначе говоря, элемент произведения AB определяются следующим образом: элемент i-й строки и k-го столбца С равен сумме произведений элементов i-й строки А на соответствующие элементы k-го столбца В. Пример 2.1. Найти произведение AB и . Решение. Имеем: А размера 2x3, В размера 3x3, тогда произведение АВ = С существует и элементы С равны С 11 = 1×1 +2×2 + 1×3 = 8, с 21 = 3×1 + 1×2 + 0×3 = 5, с 12 = 1×2 + 2×0 + 1×5 = 7, с 22 =3×2 + 1×0 + 0×5 = 6, с 13 = 1×3 + 2×1 + 1×4 = 9, с 23 = 3×3 + 1×1 + 0×4 = 10. Пример 2.2. В таблице указано количество единиц продукции, отгружаемой ежедневно на молокозаводах 1 и 2 в магазины М 1 , М 2 и М 3 , причем доставка единицы продукции с каждого молокозавода в магазин М 1 стоит 50 ден. ед., в магазин М 2 - 70, а в М 3 - 130 ден. ед. Подсчитать ежедневные транспортные расходы каждого завода. Молокозавод Решение. Обозначим через А матрицу, данную нам в условии, а через Тогда матрица затрат на перевозки будет иметь вид: Итак, первый завод ежедневно тратит на перевозки 4750 ден. ед., второй - 3680 ден.ед. Пример 2.3. Швейное предприятие производит зимние пальто, демисезонные пальто и плащи. Плановый выпуск за декаду характеризуется вектором X = (10, 15, 23). Используются ткани четырех типов Т 1 , Т 2 , Т 3 , Т 4 . В таблице приведены нормы расхода ткани (в метрах) на каждое изделие. Вектор С = (40, 35, 24, 16) задает стоимость метра ткани каждого типа, а вектор P = (5, 3, 2, 2) - стоимость перевозки метра ткани каждого вида. Расход ткани Зимнее пальто Демисезонное пальто 1. Сколько метров ткани каждого типа потребуется для выполнения плана? 2. Найти стоимость ткани, расходуемой на пошив изделия каждого вида. 3. Определить стоимость всей ткани, необходимой для выполнения плана. Решение. Обозначим через А матрицу, данную нам в условии, т. е., тогда для нахождения количества метров ткани, необходимой для выполнения плана, нужно вектор X умножить на матрицу А: Стоимость ткани, расходуемой на пошив изделия каждого вида, найдем, перемножив матрицу А и вектор C T: Стоимость всей ткани, необходимой для выполнения плана, определится по формуле: Наконец, с учетом транспортных расходов вся сумма будет равна стоимости ткани, т. е. 9472 ден. ед., плюс величина X А P T = Итак, X А C T + X А P T = 9472 + 1037 = 10509 (ден. ед). Над такими матрицами производят различные действия: перемножают друг на друга, находят определители, и т.п. Матрица
- частный случай массива: если массив может иметь любое количество измерений, то матрицей называют только двумерный массив. В программировании матрицей также называют двумерный массив. Любой из массивов в программе имеет имя, как если бы это была одна переменная. Чтобы уточнить, какая из ячеек массива имеется в виду, при упоминании его в программе совместно с переменной используют номер ячейки в ней. Как двумерная матрица, так и n-мерный массив в программе может содержать не только числовую, но и символьную, строковую, булевую и иную информацию, но всегда одну и ту же в пределах всего массива. Обозначаются матрицы заглавными буквами А:MxN, где А – имя матрицы, M– количество строк в матрице, а N– количество столбцов. Элементы – соответствующими строчными буквами с индексами, обозначающими их номер в строке и в столбце a (m, n). Наиболее часто распространены матрицы прямоугольной формы, хотя в далеком прошлом математики рассматривали и треугольные. Если количество строк и столбцов матрицы одинаково, она называется квадратной. При этом M=N уже имеет наименование порядка матрицы. Матрица, имеющая всего одну строку, именуется строкой. Матрица с всего одним столбцом называется столбцом. Диагональная матрица – это квадратная матрица, в которой не равны нулю только элементы, расположенные по диагонали. Если все элементы равны единице, матрица называется единичной, если нулю – нулевой. Если в матрице поменять местами строки и столбцы, она станет транспонированной. Если все элементы заменить комплексно-сопряженными, она станет комплексно-сопряженной. Кроме того, существуют и другие виды матриц, определяющиеся условиями, которые накладываются на матричные элементы. Но большинство таких условий применимо только к квадратным . Видео по теме
https://pandia.ru/text/78/365/images/image195_4.gif" alt="image002" width="17" height="23 id=">.gif" alt="image043" width="81 height=44" height="44"> 0=
Теорема условия существования обратной матрицы
Алгоритм нахождения обратной матрицы
Пример 1
Решение матричных уравнений
Матричный метод в экономическом анализе
называется матрицей-строкой. Матрица
размера
и т.д.), образуютглавную
диагональ
матрицы. Другая диагональ называется
побочной.
§2. Операции над матрицами
.
.
,
гдеn
ij
– количество сырья j
,
расходуемого на производство единицы
продукции i
.
План выпуска продукции задан матрицей
С=(100 200), а стоимость единицы каждого
вида сырья – матрицей
.
Определить затраты сырья, необходимые
для планового выпуска продукции и общую
стоимость сырья.4.1.Матрицы. Операции над матрицами
.
.
,
, а произведение BA не существует.
В - матрицу, характеризующую стоимость доставки единицы продукции в магазины, т.е.,
,
.
,
.
.