Решение нелинейного уравнения методом лагранжа. Моделирование динамических систем (метод Лагранжа и Bond graph approach)

Способ определения условного экстремума начинается с построения вспомогательной функции Лагранжа, которая в области допустимых решений достигает максимума для тех же значений переменных x 1 , x 2 , ..., x n , что и целевая функция z . Пусть решается задача определения условного экстремума функции z = f (X) при ограничениях φ i ( x 1 , x 2 , ..., x n ) = 0, i = 1, 2, ..., m , m < n

Составим функцию

которая называется функцией Лагранжа . X , - постоянные множители (множители Лагранжа ). Отметим, что множителям Лагранжа можно придать экономический смысл. Если f (x 1 , x 2 , ..., x n ) - доход, соответствующий плану X = (x 1 , x 2 , ..., x n ) , а функция φ i (x 1 , x 2 , ..., x n ) - издержки i-го ресурса, соответствующие этому плану, то X , - цена (оценка) i-го ресурса, характеризующая изменение экстремального значения целевой функции в зависимости от изменения размера i-го ресурса (маргинальная оценка). L(Х) - функция n + m переменных (x 1 , x 2 , ..., x n , λ 1 , λ 2 , ..., λ n ) . Определение стационарных точек этой функции приводит к решению системы уравнений

Легко заметить, что . Таким образом, задача нахождения условного экстремума функции z = f (X) сводится к нахождению локального экстремума функции L(X) . Если стационарная точка найдена, то вопрос о существовании экстремума в простейших случаях решается на основании достаточных условий экстремума - исследования знака второго дифференциала d 2 L(X) в стационарной точке при условии, что переменные приращения Δx i - связаны соотношениями

полученными путем дифференцирования уравнений связи.

Решение системы нелинейных уравнений с двумя неизвестными с помощью средства Поиск решения

Настройка Поиск решения позволяет находить решение систе­мы нелинейных уравнений с двумя неизвестными:

где
- нелинейная функция от переменныхx и y ,
- произвольная постоянная.

Известно, что пара (x , y ) является решением системы уравнений (10) тогда и только тогда, когда она является решением следующего уравнение с двумя неизвестными:

С другой стороны, решение системы (10) - это точки пересечения двух кривых: f ] (x , y ) = C и f 2 (х, у) = С 2 на плоскости ХО Y .

Из этого следует метод нахождения корней системы. нелинейных уравнений:

Определить (хотя бы приближенно) интервал существования решения системы уравнений (10) или уравнения (11). Здесь не­обходимо учитывать вид уравнений, входящих в систему, область определения каждого их уравнений и т. п. Иногда применяется подбор начального приближения решения;

Протабулировать решение уравнения (11) по переменным x и y на выбранном интервале, либо построить графики функций f 1 (x , y ) = С, и f 2 (х,у) = С 2 (система(10)).

Локализовать предполагаемые корни системы уравнений - найти несколько минимальных значений из таблицы табулирование­ корней уравнения (11), либо определить точки пересечения кривых, входящих в систему (10).

4. Найти корни для системы уравнений (10) с помощью надстройки Поиск решения.

Краткая теория

Метод множителей Лагранжа является классическим методом решения задач математического программирования (в частности выпуклого). К сожалению, при практическом применении метода могут встретиться значительные вычислительные трудности, сужающие область его использования. Мы рассматриваем здесь метод Лагранжа главным образом потому, что он является аппаратом, активно используемым для обоснования различных современных численных методов, широко применяемых на практике. Что же касается функции Лагранжа и множителей Лагранжа, то они играют самостоятельную и исключительно важную роль в теории и приложениях не только математического программирования.

Рассмотрим классическую задачу оптимизации:

Среди ограничений этой задачи нет неравенств, нет условий неотрицательности переменных, их дискретности, и функции и непрерывны и имеют частные производные по крайней мере второго порядка.

Классический подход к решению задачи дает систему уравнений (необходимые условия), которым должна удовлетворять точка , доставляющая функции локальный экстремум на множестве точек, удовлетворяющих ограничениям (для задачи выпуклого программирования найденная точка будет одновременно и точкой глобального экстремума).

Предположим, что в точке функция (1) имеет локальный условный экстремум и ранг матрицы равен . Тогда необходимые условия запишутся в виде:

есть функция Лагранжа; – множители Лагранжа.

Существуют также и достаточные условия, при выполнении которых решение системы уравнений (3) определяет точку экстремума функции . Этот вопрос решается на основании исследования знака второго дифференциала функции Лагранжа. Однако достаточные условия представляют главным образом теоретический интерес.

Можно указать следующий порядок решения задачи (1), (2) методом множителей Лагранжа:

1) составить функцию Лагранжа (4);

2) найти частные производные функции Лагранжа по всем переменным и приравнять их

нулю. Тем самым будет получена система (3, состоящая из уравнений. Решить полученную систему (если это окажется возможным!) и найти таким образом все стационарные точки функции Лагранжа;

3) из стационарных точек, взятых без координат выбрать точки, в которых функция имеет условные локальные экстремумы при наличии ограничений (2). Этот выбор осуществляется, например, с применением достаточных условий локального экстремума. Часто исследование упрощается, если использовать конкретные условия задачи.

Пример решения задачи

Условие задачи

Фирма производит товар двух видов в количествах и . Функция полезных издержек определена соотношением . Цены этих товаров на рынке равны и соответственно.

Определить, при каких объемах выпуска достигается максимальная прибыль и чему она равна, если полные издержки не превосходят

Испытываете сложности с пониманием хода решения? На сайте действует услуга Решение задач по методам оптимальных решений на заказ

Решение задачи

Экономико-математическая модель задачи

Функция прибыли:

Ограничения на издержки:

Получаем следующую экономико-математическую модель:

Кроме того, по смыслу задачи

Метод множителей Лагранжа

Составим функцию Лагранжа:

Находим частные производные 1-го порядка:

Составим и решим систему уравнений:

Так как , то

Максимальная прибыль:

Ответ

Таким образом необходимо выпускать ед. товара 1-го вида и ед. товара 2-го вида. При этом прибыль будет максимальной и составит 270.
Приведен образец решения задачи квадратичного выпуклого программирования графическим методом.

Решение линейной задачи графическим методом
Рассмотрен графический метод решения задачи линейного программирования (ЗЛП) с двумя переменными. На примере задачи приведено подробное описание построения чертежа и нахождения решения.

Модель управления запасами Уилсона
На примере решения задачи рассмотрена основная модель управления запасами (модель Уилсона). Вычислены такие показатели модели как оптимальный размер партии заказа, годовые затраты на хранение, интервал между поставками и точка размещения заказа.

Матрица коэффициентов прямых затрат и матрица "Затраты-выпуск"
На примере решения задачи рассмотрена межотраслевая модель Леонтьева. Показано вычисление матрицы коэффициентов прямых материальных затрат, матрицы «затраты-выпуск», матрицы коэффициентов косвенных затрат, векторов конечного потребления и валового выпуска.

Метод Лагранжа ─ это метод решения задачи условной оптимизации, при котором ограничения, записываемые как неявные функции, объединяются с целевой функцией в форме нового уравнения, называемого лагранжианом .

Рассмотрим частный случай общей задачи нелинейного программирования:

Дана система нелинейных уравнений (1):

(1) gi(x1,x2,…,xn)=bi (i=1..m),

Найти наименьшее (или наибольшее) значение функции (2)

(2) f (х1,х2,…,хn),

если отсутствуют условия неотрицательности переменных и f(х1,х2,…,хn) и gi(x1,x2,…,xn) ─ функции, непрерывные вместе со своими частными производными.

Чтобы найти решение этой задачи, можно применить следующий метод: 1. Вводят набор переменных λ1, λ2,…, λm, называемых множителями Лагранжа, составляют функцию Лагранжа (3)

(3) F(х1,х2,…,хn , λ1,λ2,…,λm) = f(х1,х2,…,хn)+ λi .

2. Находят частные производные от функции Лагранжа по переменным xi и λi и приравнивают их нулю.

3. Решая систему уравнений, находят точки, в которых целевая функция задачи может иметь экстремум.

4.Среди точек, подозрительных не экстремум, находят такие, в которыхдостигается экстремум, и вычисляют значения функции в этих точках.

4. Сравнить полученные значения функции f и выбрать наилучшее.

По плану производства продукции предприятию необходимо изготовить 180 изделий. Эти изделия могут быть изготовлены двумя технологическими способами. При производстве х1 изделия I способом затраты равны 4*х1+х1^2 руб., а при изготовлении х2 изделий II способом они составляют 8*х2+х2^2 руб. Определить, сколько изделий каждым из способов следует изготовить, так чтобы общие затраты на производство продукции были минимальными.

Решение: Математическая постановка задачи состоит в определении наименьшего значения функции двух переменных:

f = 4*x1+x1^2 +8*x2 +x2^2, при условии x1 +x2 = 180.

Составим функцию Лагранжа:

F(x1,x2,λ) = 4*x1+x1^2+8*x2+x2^2+λ*(180-x1-x2).

Вычислим ее частные производные по х1,х2, λ и приравняем их к 0:

Перенесем в правые части первых двух уравнений λ и приравняем их левые части, получим 4 + 2*x1 = 8 + 2*x2, или x1 − x2 = 2.

Решая последнее уравнение совместно с уравнением x1 + x2 = 180, находим x1 = 91, x2 = 89, то есть получили решение, удовлетворяющее условиям:

Найдем значение целевой функции f при этих значениях переменных:

F(x1, x2) = 17278

Эта точка является подозрительной на экстремум. Используя вторые частные производные, можно показать, что в точке (91,89) функция f имеет минимум.

ЛАГРАНЖА МЕТОД

Метод приведения квадратичной формы к сумме квадратов, указанный в 1759 Ж. Лагранжем (J. Lagrange). Пусть дана

от ппеременных х 0 , x 1 ,..., х п . с коэффициентами из поля k характеристики Требуется привести эту форму к канонич. виду

при помощи невырожденного линейного преобразования переменных. Л. м. состоит в следующем. Можно считать, что не все коэффициенты формы (1) равны нулю. Поэтому возможны два случая.

1) При некотором g, диагональный Тогда

где форма f 1 (х).не содержит переменную x g . 2) Если же все но то

где форма f 2 (х).не содержит двух переменных x g и x h . Формы, стоящие под знаками квадратов в (4), линейно независимы. Применением преобразований вида (3) и (4) форма (1) после конечного числа шагов приводится к сумме квадратов линейно независимых линейных форм. С помощью частных производных формулы (3) и (4) можно записать в виде

Лит. : Г а н т м а х е р Ф. Р., Теория матриц, 2 изд., М., 1966; К у р о ш А. Г., Курс высшей алгебры, 11 изд., М., 1975; Александров П. С., Лекции по аналитической геометрии..., М., 1968. И. В. Проскуряков.

Математическая энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . И. М. Виноградов . 1977-1985 .

Смотреть что такое "ЛАГРАНЖА МЕТОД" в других словарях:

Лагранжа метод - Лагранжа метод — метод решения ряда классов задач математического программирования с помощью нахождения седловой точки (x*, λ*) функции Лагранжа., что достигается приравниванием нулю частных производных этой функции по… … Экономико-математический словарь

Лагранжа метод - Метод решения ряда классов задач математического программирования с помощью нахождения седловой точки (x*, ?*) функции Лагранжа., что достигается приравниванием нулю частных производных этой функции по xi и?i . См. Лагранжиан. }