Ուսումնասիրեք ֆունկցիա՝ օգտագործելով դիֆերենցիալ հաշվարկ առցանց: Գործառույթի ուսումնասիրման և գրաֆիկի գծագրման ընդհանուր սխեման

Գործառույթներն ուսումնասիրելիս և դրանց գծապատկերները կառուցելիս հղման կետերը բնորոշ կետերն են՝ ընդհատման, ծայրահեղության, թեքման, կոորդինատային առանցքների հետ հատման կետերը։ Օգտագործելով դիֆերենցիալ հաշվարկ, դուք կարող եք հաստատել բնութագրերըֆունկցիաների փոփոխություններ՝ ավելացում և նվազում, առավելագույն և նվազագույն, գրաֆիկի ուռուցիկության և գոգավորության ուղղություն, ասիմպտոտների առկայություն։

Ֆունկցիայի գրաֆիկի ուրվագիծը կարելի է (և պետք է) գծել ասիմպտոտներն ու ծայրամասային կետերը գտնելուց հետո, և ուսումնասիրության ընթացքում հարմար է լրացնել ֆունկցիայի ուսումնասիրության ամփոփ աղյուսակը։

Սովորաբար օգտագործվում է ֆունկցիայի ուսումնասիրության հետևյալ սխեման.

1.Գտե՛ք սահմանման տիրույթը, ֆունկցիայի շարունակականության միջակայքերը և ընդմիջման կետերը.

2.Ուսումնասիրեք ֆունկցիան հավասարության կամ տարօրինակության համար (գրաֆիկի առանցքային կամ կենտրոնական համաչափություն:

3.Գտեք ասիմպտոտներ (ուղղահայաց, հորիզոնական կամ թեք):

4.Գտե՛ք և ուսումնասիրե՛ք ֆունկցիայի մեծացման և նվազման միջակայքերը, նրա ծայրահեղ կետերը:

5.Գտե՛ք կորի ուռուցիկության և գոգավորության միջակայքերը, նրա թեքման կետերը:

6.Գտե՛ք կորի հատման կետերը կոորդինատային առանցքների հետ, եթե դրանք կան:

7.Կազմել ուսումնասիրության ամփոփ աղյուսակ:

8.Կառուցվում է գրաֆիկ՝ հաշվի առնելով վերը նկարագրված կետերի համաձայն կատարված ֆունկցիայի ուսումնասիրությունը։

Օրինակ.Ուսումնասիրել գործառույթը

և կառուցիր դրա գրաֆիկը։

7. Կազմենք ֆունկցիան ուսումնասիրելու ամփոփ աղյուսակ, որտեղ մուտքագրելու ենք բոլոր բնորոշ կետերը և դրանց միջև եղած միջակայքերը։ Հաշվի առնելով ֆունկցիայի հավասարությունը՝ ստանում ենք հետևյալ աղյուսակը.

Այսօր մենք ձեզ հրավիրում ենք մեզ հետ ուսումնասիրել և կառուցել ֆունկցիայի գրաֆիկ: Այս հոդվածը ուշադիր ուսումնասիրելուց հետո դուք ստիպված չեք լինի երկար քրտնել այս տեսակի առաջադրանքը կատարելու համար: Ֆունկցիայի գրաֆիկ ուսումնասիրելը և կառուցելը հեշտ չէ, այն մեծածավալ աշխատանք է, որը պահանջում է առավելագույն ուշադրություն և հաշվարկների ճշգրտություն։ Նյութն ավելի հեշտ ընկալելի դարձնելու համար մենք քայլ առ քայլ կուսումնասիրենք նույն ֆունկցիան և կբացատրենք մեր բոլոր գործողություններն ու հաշվարկները։ Բարի գալուստ մաթեմատիկայի զարմանալի և հետաքրքրաշարժ աշխարհ: Գնա՛

Դոմեն

Ֆունկցիան ուսումնասիրելու և գծագրելու համար դուք պետք է իմանաք մի քանի սահմանումներ: Ֆունկցիան մաթեմատիկայի հիմնական (հիմնական) հասկացություններից է։ Այն արտացոլում է մի քանի փոփոխականների (երկու, երեք կամ ավելի) կախվածությունը փոփոխությունների ժամանակ։ Ֆունկցիան ցույց է տալիս նաև բազմությունների կախվածությունը։

Պատկերացրեք, որ մենք ունենք երկու փոփոխական, որոնք ունեն որոշակի փոփոխությունների միջակայք: Այսպիսով, y-ը x-ի ֆունկցիա է, պայմանով, որ երկրորդ փոփոխականի յուրաքանչյուր արժեք համապատասխանի երկրորդի մեկ արժեքին: Այս դեպքում y փոփոխականը կախված է, և այն կոչվում է ֆունկցիա։ Ընդունված է ասել, որ x և y փոփոխականները գտնվում են այս կախվածության ավելի հստակության համար կառուցվում է ֆունկցիայի գրաֆիկը։ Ի՞նչ է ֆունկցիայի գրաֆիկը: Սա մի շարք կետեր է կոորդինատային հարթություն, որտեղ յուրաքանչյուր x արժեք համապատասխանում է մեկ y արժեքի: Գրաֆիկները կարող են տարբեր լինել՝ ուղիղ գիծ, ​​հիպերբոլա, պարաբոլա, սինուսային ալիք և այլն։

Առանց հետազոտության անհնար է գծապատկերել ֆունկցիան։ Այսօր մենք կսովորենք, թե ինչպես կատարել հետազոտություն և կառուցել ֆունկցիայի գրաֆիկ: Ուսման ընթացքում շատ կարևոր է նշումներ կատարել: Սա շատ ավելի հեշտ կդարձնի առաջադրանքը հաղթահարելը: Առավել հարմար հետազոտական ​​պլան.

1. Դոմեն.
2. Շարունակականություն.
3. Զույգ կամ կենտ.
4. Պարբերականություն.
5. Ասիմպտոտներ.
6. Զրոներ.
7. Նշան կայունությունը:
8. Աճող ու նվազում.
9. Ծայրահեղություններ.
10. Ուռուցիկություն և գոգավորություն.

Սկսենք առաջին կետից. Գտնենք սահմանման տիրույթը, այսինքն՝ ինչ ինտերվալների վրա է գործում մեր ֆունկցիան՝ y=1/3(x^3-14x^2+49x-36): Մեր դեպքում ֆունկցիան գոյություն ունի x-ի ցանկացած արժեքի համար, այսինքն՝ սահմանման տիրույթը հավասար է R-ին։ Սա կարելի է գրել xÎR հետևյալ կերպ։

Շարունակականություն

Այժմ մենք կուսումնասիրենք անջատման ֆունկցիան։ Մաթեմատիկայի մեջ «շարունակություն» տերմինը առաջացել է շարժման օրենքների ուսումնասիրության արդյունքում։ Ի՞նչ է անսահման: Տարածություն, ժամանակ, որոշ կախվածություններ (օրինակ՝ S և t փոփոխականների կախվածությունը շարժման խնդիրներում), տաքացվող առարկայի ջերմաստիճանը (ջուր, տապակ, ջերմաչափ և այլն), շարունակական գիծ (այսինքն՝ մեկը, որը կարելի է նկարել առանց թերթիկի մատիտից բարձրացնելու):

Գրաֆիկը համարվում է շարունակական, եթե այն ինչ-որ պահի չի կոտրվում: Ամենաներից մեկը պատկերավոր օրինակներՆման գրաֆիկը սինուսոիդ է, որը կարող եք տեսնել այս հատվածի նկարում։ Ֆունկցիան շարունակական է x0 կետում, եթե բավարարված են մի շարք պայմաններ.

• ֆունկցիան սահմանվում է տվյալ կետում.
• աջ և ձախ սահմանները մի կետում հավասար են.
• սահմանը հավասար է x0 կետի ֆունկցիայի արժեքին:

Եթե ​​գոնե մեկ պայման չկատարվի, ֆունկցիան ձախողվում է: Իսկ այն կետերը, որտեղ ֆունկցիան ընդհատվում է, սովորաբար կոչվում են ընդմիջման կետեր: Գործառույթի օրինակ, որը «կկոտրվի», երբ գրաֆիկորեն ցուցադրվի, հետևյալն է. y=(x+4)/(x-3): Ընդ որում, y x = 3 կետում գոյություն չունի (քանի որ անհնար է բաժանել զրոյի):

Մեր ուսումնասիրած ֆունկցիայում (y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)) ամեն ինչ պարզվեց, քանի որ գրաֆիկը շարունակական է լինելու։

Զույգ, կենտ

Այժմ ուսումնասիրեք գործառույթը հավասարության համար: Նախ, մի փոքր տեսություն. Զույգ ֆունկցիան այն է, որը բավարարում է f(-x)=f(x) պայմանը x փոփոխականի ցանկացած արժեքի համար (արժեքների միջակայքից): Օրինակները ներառում են.

• մոդուլ x (գրաֆիկը նման է լուսաբացին, գրաֆիկի առաջին և երկրորդ քառորդների կիսորդը);
• x քառակուսի (պարաբոլա);
• կոսինուս x (կոսինուս).

Նկատի ունեցեք, որ այս բոլոր գրաֆիկները սիմետրիկ են, երբ դիտարկվում են y առանցքի (այսինքն, y առանցքի) նկատմամբ:

Այդ դեպքում ի՞նչն է կոչվում կենտ ֆունկցիա: Սրանք այն գործառույթներն են, որոնք բավարարում են պայմանը՝ f(-x)=-f(x) x փոփոխականի ցանկացած արժեքի համար: Օրինակներ.

• հիպերբոլա;
• խորանարդ պարաբոլա;
• սինուսոիդ;
• շոշափող և այլն:

Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ այս ֆունկցիաները սիմետրիկ են կետի նկատմամբ (0:0), այսինքն՝ սկզբնաղբյուրը: Հոդվածի այս բաժնում ասվածի հիման վրա նույնիսկ և տարօրինակ գործառույթպետք է ունենա հատկություն՝ x-ը պատկանում է սահմանման բազմությանը և -x-ը նույնպես:

Եկեք քննենք ֆունկցիան հավասարության համար: Մենք տեսնում ենք, որ նա չի համապատասխանում նկարագրություններից ոչ մեկին: Հետևաբար, մեր ֆունկցիան ոչ զույգ է, ոչ էլ կենտ։

Ասիմպտոտներ

Սկսենք սահմանումից. Ասիմպտոտը կոր է, որը հնարավորինս մոտ է գրաֆիկին, այսինքն՝ որոշակի կետից հեռավորությունը ձգտում է զրոյի։ Ընդհանուր առմամբ, կան երեք տեսակի ասիմպտոտներ.

• ուղղահայաց, այսինքն, y-առանցքին զուգահեռ;
• հորիզոնական, այսինքն, x առանցքի զուգահեռ;
• հակված.

Ինչ վերաբերում է առաջին տեսակին, ապա այս տողերը պետք է փնտրել որոշ կետերում.

• բացը;
• սահմանման տիրույթի ծայրերը:

Մեր դեպքում ֆունկցիան շարունակական է, իսկ սահմանման տիրույթը հավասար է R-ին։ Հետևաբար, ուղղահայաց ասիմպտոտներ չկան։

Ֆունկցիայի գրաֆիկն ունի հորիզոնական ասիմպտոտ, որը բավարարում է հետևյալ պահանջը՝ եթե x-ը հակված է անվերջության կամ մինուս անսահմանության, իսկ սահմանը հավասար է որոշակի թվի (օրինակ՝ a): Այս դեպքում y=a-ն հորիզոնական ասիմպտոտն է։ Մեր ուսումնասիրած ֆունկցիայում հորիզոնական ասիմպտոտներ չկան։

Շեղ ասիմպտոտը գոյություն ունի միայն այն դեպքում, եթե բավարարված են երկու պայման.

• lim(f(x))/x=k;
• lim f(x)-kx=b.

Այնուհետև այն կարելի է գտնել՝ օգտագործելով y=kx+b բանաձևը: Կրկին մեր դեպքում թեք ասիմպտոտներՈչ

Գործառույթների զրոներ

Հաջորդ քայլը ֆունկցիայի գրաֆիկը զրոների համար ուսումնասիրելն է։ Շատ կարևոր է նաև նշել, որ ֆունկցիայի զրոները գտնելու հետ կապված առաջադրանքը տեղի է ունենում ոչ միայն ֆունկցիայի գրաֆիկը ուսումնասիրելիս և կառուցելիս, այլ նաև որպես ինքնուրույն առաջադրանք և որպես անհավասարություններ լուծելու միջոց։ Ձեզանից կարող է պահանջվել գտնել ֆունկցիայի զրոները գրաֆիկի վրա կամ օգտագործել մաթեմատիկական նշում:

Այս արժեքները գտնելը կօգնի ձեզ ավելի ճշգրիտ պատկերել ֆունկցիան: Եթե ​​խոսենք պարզ լեզվով, ապա ֆունկցիայի զրոն x փոփոխականի արժեքն է, որի դեպքում y=0: Եթե ​​դուք փնտրում եք գրաֆիկի վրա ֆունկցիայի զրոները, ապա պետք է ուշադրություն դարձնեք այն կետերին, որոնցում գրաֆիկը հատվում է x առանցքի հետ։

Ֆունկցիայի զրոները գտնելու համար անհրաժեշտ է լուծել հետևյալ հավասարումը y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)=0։ Անհրաժեշտ հաշվարկները կատարելուց հետո ստանում ենք հետևյալ պատասխանը.

Նշան կայունությունը

Հետազոտության և ֆունկցիայի (գրաֆիկի) կառուցման հաջորդ փուլը հաստատուն նշանի միջակայքերի հայտնաբերումն է։ Սա նշանակում է, որ մենք պետք է որոշենք, թե որ ինտերվալներում է ֆունկցիան ստանում դրական արժեք, իսկ որ ընդմիջումներում՝ բացասական։ Վերջին բաժնում հայտնաբերված զրոյական գործառույթները կօգնեն մեզ դա անել: Այսպիսով, մենք պետք է ուղիղ գիծ կառուցենք (գրաֆիկից անջատված) և ֆունկցիայի զրոները բաշխենք դրա երկայնքով ճիշտ հաջորդականությամբ՝ փոքրից մինչև ամենամեծը: Այժմ դուք պետք է որոշեք, թե ստացված միջակայքներից որն ունի «+» նշանը, իսկ որը՝ «-»:

Մեր դեպքում ֆունկցիան դրական արժեք է ընդունում ընդմիջումներով.

• 1-ից 4;
• 9-ից մինչև անսահմանություն:

Բացասական նշանակություն.

• մինուս անսահմանությունից մինչև 1;
• 4-ից 9-ը:

Սա բավականին հեշտ է որոշել: Ինտերվալից ցանկացած թիվ փոխարինիր ֆունկցիայի մեջ և տես, թե պատասխանն ինչ նշան ունի (մինուս կամ գումարած):

Գործառույթների ավելացում և նվազում

Ֆունկցիան ուսումնասիրելու և կառուցելու համար մենք պետք է իմանանք, թե գրաֆիկը որտեղ է մեծանալու (Oy առանցքի երկայնքով դեպի վեր) և որտեղ է ընկնում (սողում y առանցքի երկայնքով ներքև):

Ֆունկցիան աճում է միայն այն դեպքում, եթե x փոփոխականի ավելի մեծ արժեքը համապատասխանում է y-ի ավելի մեծ արժեքին: Այսինքն, x2-ը մեծ է x1-ից, իսկ f(x2)-ը մեծ է f(x1-ից): Իսկ մենք լրիվ հակառակ երեւույթ ենք դիտում նվազող ֆունկցիայով (որքան շատ x, այնքան քիչ y): Աճման և նվազման միջակայքերը որոշելու համար անհրաժեշտ է գտնել հետևյալը.

• սահմանման տիրույթ (մենք արդեն ունենք);
• ածանցյալ (մեր դեպքում՝ 1/3 (3x^2-28x+49);
• լուծել 1/3(3x^2-28x+49)=0 հավասարումը.

Հաշվարկներից հետո մենք ստանում ենք արդյունքը.

Մենք ստանում ենք. ֆունկցիան մեծանում է մինուս անվերջությունից մինչև 7/3 և 7-ից մինչև անվերջություն միջակայքում, իսկ 7/3-ից մինչև 7 միջակայքում նվազում է:

Ծայրահեղություններ

Ուսումնասիրվող y=1/3(x^3-14x^2+49x-36) ֆունկցիան շարունակական է և գոյություն ունի x փոփոխականի ցանկացած արժեքի համար։ Ծայրահեղ կետը ցույց է տալիս տվյալ ֆունկցիայի առավելագույնը և նվազագույնը: Մեր դեպքում դրանք չկան, ինչը մեծապես հեշտացնում է շինարարության խնդիրը: Հակառակ դեպքում, դրանք կարելի է գտնել նաև ածանցյալ ֆունկցիայի միջոցով: Գտնվելուց հետո մի մոռացեք դրանք նշել գծապատկերում:

Ուռուցիկություն և գոգավորություն

Մենք շարունակում ենք հետագայում ուսումնասիրել y(x) ֆունկցիան: Այժմ մենք պետք է ստուգենք այն ուռուցիկության և գոգավորության համար: Այս հասկացությունների սահմանումները բավականին դժվար է ընկալել, ավելի լավ է վերլուծել ամեն ինչ՝ օգտագործելով օրինակներ. Թեստի համար ֆունկցիան ուռուցիկ է, եթե այն չնվազող ֆունկցիա է: Համաձայնեք, սա անհասկանալի է։

Մենք պետք է գտնենք երկրորդ կարգի ֆունկցիայի ածանցյալը: Ստանում ենք՝ y=1/3(6x-28): Հիմա աջ կողմը հավասարեցնենք զրոյի և լուծենք հավասարումը։ Պատասխան՝ x=14/3: Մենք գտանք թեքության կետը, այսինքն՝ այն վայրը, որտեղ գրաֆիկը ուռուցիկությունից անցնում է գոգավորության կամ հակառակը։ Մինուս անվերջությունից մինչև 14/3 միջակայքում ֆունկցիան ուռուցիկ է, իսկ 14/3-ից մինչև գումարած անվերջություն՝ գոգավոր։ Շատ կարևոր է նաև նշել, որ գծապատկերի թեքման կետը պետք է լինի հարթ և փափուկ, ոչ սուր անկյուններչպետք է ներկա լինի:

Լրացուցիչ կետերի սահմանում

Մեր խնդիրն է ուսումնասիրել և կառուցել ֆունկցիայի գրաֆիկը: Մենք ավարտել ենք ուսումնասիրությունը ֆունկցիայի գծապատկեր ստեղծելը: Կոորդինատային հարթության վրա կորի կամ ուղիղ գծի ավելի ճշգրիտ և մանրամասն վերարտադրման համար կարող եք գտնել մի քանի օժանդակ կետեր: Դրանք բավականին հեշտ է հաշվարկել։ Օրինակ՝ վերցնում ենք x=3, լուծում ենք ստացված հավասարումը և գտնում y=4։ Կամ x=5, և y=-5 և այլն: Դուք կարող եք վերցնել այնքան լրացուցիչ միավոր, որքան անհրաժեշտ է շինարարության համար: Նրանցից առնվազն 3-5-ը հայտնաբերված են:

Գրաֆիկի գծագրում

Մենք պետք է ուսումնասիրեինք ֆունկցիան (x^3-14x^2+49x-36)*1/3=y: Հաշվարկների ընթացքում բոլոր անհրաժեշտ նշանները կատարվել են կոորդինատային հարթության վրա։ Մնում է միայն գրաֆիկ կառուցել, այսինքն՝ միացնել բոլոր կետերը։ Կետերը միացնելը պետք է լինի հարթ և ճշգրիտ, սա հմտության հարց է. մի փոքր պրակտիկա և ձեր ժամանակացույցը կատարյալ կլինի:

Ֆունկցիան ամբողջությամբ ուսումնասիրելու և դրա գրաֆիկը գծելու համար առաջարկվում է հետևյալ սխեման.
Ա) գտնել սահմանման տիրույթը, ընդմիջման կետերը. ուսումնասիրել ֆունկցիայի վարքագիծը ընդհատման կետերի մոտ (գտեք ֆունկցիայի սահմանները ձախ և աջ այս կետերում): Նշեք ուղղահայաց ասիմպտոտները:
Բ) որոշեք՝ ֆունկցիան զույգ է, թե կենտ և եզրակացրեք, որ կա սիմետրիա: Եթե ​​, ապա ֆունկցիան հավասար է և սիմետրիկ OY առանցքի նկատմամբ; երբ ֆունկցիան կենտ է, ծագման սիմետրիկ; իսկ եթե ֆունկցիա է ընդհանուր տեսարան.
Գ) գտնել ֆունկցիայի հատման կետերը OY և OX կոորդինատային առանցքների հետ (եթե հնարավոր է), որոշել ֆունկցիայի հաստատուն նշանի միջակայքերը: Ֆունկցիայի հաստատուն նշանի միջակայքերի սահմանները որոշվում են այն կետերով, որոնցում ֆունկցիան հավասար է զրոյի (գործառույթի զրոներ) կամ գոյություն չունի, և այս ֆունկցիայի սահմանման տիրույթի սահմաններով։ Այն ընդմիջումներով, որտեղ ֆունկցիայի գրաֆիկը գտնվում է OX առանցքի վերևում, իսկ որտեղ՝ այս առանցքից ցածր:
Դ) գտնել ֆունկցիայի առաջին ածանցյալը, որոշել նրա զրոները և հաստատուն նշանի միջակայքերը: Այն ընդմիջումներով, որտեղ ֆունկցիան մեծանում է և որտեղ այն նվազում է: Եզրակացություն արեք ծայրահեղությունների առկայության մասին (կետեր, որտեղ գոյություն ունի ֆունկցիա և ածանցյալ, և երբ այն անցնում է, երբ այն փոխում է նշանը: Եթե նշանը փոխվում է գումարածից մինուս, ապա այս պահին ֆունկցիան ունի առավելագույնը, իսկ եթե մինուսից մինուս. , ապա նվազագույնը): Գտեք ֆունկցիայի արժեքները ծայրահեղ կետերում:
Դ) գտնել երկրորդ ածանցյալը, նրա զրոները և հաստատուն նշանի միջակայքերը: ընդմիջումներով, որտեղ< 0 график функции выпуклый, а где – вогнутый. Сделать заключение о наличии точек перегиба и найти значения функции в этих точках.
Ե) գտնել թեք (հորիզոնական) ասիմպտոտներ, որոնց հավասարումները ունեն ձև ; Որտեղ
.
ժամը ֆունկցիայի գրաֆիկը կունենա երկու թեք ասիմպտոտ, և x-ի յուրաքանչյուր արժեքը և կարող է համապատասխանել նաև b-ի երկու արժեքին:
Է) լրացուցիչ կետեր գտնել գրաֆիկը պարզաբանելու համար (անհրաժեշտության դեպքում) և կառուցեք գրաֆիկ:

Օրինակ 1 Ուսումնասիրեք ֆունկցիան և կառուցեք դրա գրաֆիկը: Լուծում. Ա) սահմանման տիրույթ; Ֆունկցիան շարունակական է իր սահմանման տիրույթում. – ընդմիջման կետ, քանի որ ; . Այնուհետև՝ ուղղահայաց ասիմպտոտ:
Բ)
դրանք. y(x)-ը ընդհանուր ձևի ֆունկցիա է:
Գ) Գտե՛ք գրաֆիկի հատման կետերը OY առանցքի հետ՝ սահմանված x=0; ապա y(0)=–1, այսինքն. ֆունկցիայի գրաֆիկը հատում է առանցքը (0;-1) կետում։ Ֆունկցիայի զրոները (գրաֆիկի հատման կետերը OX առանցքի հետ) բազմություն y=0; Հետո
.
Խտրական քառակուսի հավասարում զրոյից պակաս, ինչը նշանակում է, որ զրոներ չկան։ Ապա հաստատուն նշանի միջակայքերի սահմանը x=1 կետն է, որտեղ ֆունկցիան գոյություն չունի։
Յուրաքանչյուր ընդմիջումներում ֆունկցիայի նշանը որոշվում է մասնակի արժեքների մեթոդով.

Դիագրամից պարզ է դառնում, որ ինտերվալում ֆունկցիայի գրաֆիկը գտնվում է OX առանցքի տակ, իսկ միջակայքում՝ OX առանցքի վերևում։
Դ) Մենք պարզում ենք կրիտիկական կետերի առկայությունը:
.
Մենք գտնում ենք կրիտիկական կետեր (որտեղ կամ չկա) հավասարություններից և .

Ստանում ենք՝ x1=1, x2=0, x3=2: Եկեք ստեղծենք օժանդակ աղյուսակ

Աղյուսակ 1

(Առաջին տողը պարունակում է կրիտիկական կետեր և այն միջակայքերը, որոնցում այս կետերը բաժանվում են OX առանցքով, երկրորդ տողը ցույց է տալիս ածանցյալի արժեքները կրիտիկական կետերում և նշանները միջակայքերի վրա: Նշանները որոշվում են մասնակի արժեքով: մեթոդ Երրորդ տողը ցույց է տալիս y(x) ֆունկցիայի արժեքները կրիտիկական կետերում և ցույց է տալիս ֆունկցիայի վարքագիծը՝ թվային առանցքի համապատասխան ընդմիջումներով աճող կամ նվազող նշված է.
Դ) Գտե՛ք ֆունկցիայի ուռուցիկության և գոգավորության միջակայքերը.
; կառուցել աղյուսակ, ինչպես D կետում); Միայն երկրորդ տողում ենք գրում նշանները, իսկ երրորդում՝ նշում ենք ուռուցիկության տեսակը։ Որովհետեւ ; Դա կրիտիկական կետմեկ x=1.
աղյուսակ 2

x=1 կետը թեքման կետն է:
Ե) Գտեք թեք և հորիզոնական ասիմպտոտներ

Ապա y=x-ը թեք ասիմպտոտ է։
Է) Ստացված տվյալների հիման վրա կառուցում ենք ֆունկցիայի գրաֆիկը

1). Գործառույթի շրջանակը.
Ակնհայտ է, որ այս ֆունկցիան սահմանված է ամբողջ թվային տողի վրա, բացառությամբ «» և «» կետերի, քանի որ Այս կետերում հայտարարը հավասար է զրոյի և, հետևաբար, ֆունկցիան գոյություն չունի, իսկ ուղիղ գծերը ուղղահայաց ասիմպտոտներ են:

2). Գործառույթի վարքագիծը որպես արգումենտ հակված է դեպի անսահմանություն, ընդհատման կետերի առկայություն և թեք ասիմպտոտների առկայության ստուգում:
Եկեք նախ ստուգենք, թե ֆունկցիան ինչպես է իրեն պահում, երբ այն մոտենում է անսահմանությանը դեպի ձախ և աջ:

Այսպիսով, երբ ֆունկցիան ձգտում է 1-ի, այսինքն. - հորիզոնական ասիմպտոտ:
Անջատման կետերի մոտակայքում ֆունկցիայի վարքագիծը որոշվում է հետևյալ կերպ.


Նրանք. Ձախ կողմում ընդհատման կետերին մոտենալիս ֆունկցիան անսահմանորեն նվազում է, իսկ աջ կողմում՝ անսահմանորեն մեծանում:
Մենք որոշում ենք թեք ասիմպտոտի առկայությունը՝ հաշվի առնելով հավասարությունը.

Չկան թեք ասիմպտոտներ:

3). Կոորդինատային առանցքներով հատման կետեր.
Այստեղ անհրաժեշտ է դիտարկել երկու իրավիճակ՝ գտնել Ox առանցքի և Oy առանցքի հետ հատման կետը։ Ox առանցքի հետ հատման նշանը ֆունկցիայի զրոյական արժեքն է, այսինքն. անհրաժեշտ է լուծել հավասարումը.

Այս հավասարումը չունի արմատներ, հետևաբար, այս ֆունկցիայի գրաֆիկը Ox առանցքի հետ հատման կետեր չունի։
Oy առանցքի հետ հատման նշանը x = 0 արժեքն է։ Այս դեպքում
,
դրանք. – ֆունկցիայի գրաֆիկի հատման կետը Oy առանցքի հետ:

4).Ծայրահեղ կետերի և աճի և նվազման միջակայքերի որոշում:
Այս հարցը ուսումնասիրելու համար մենք սահմանում ենք առաջին ածանցյալը.
.
Առաջին ածանցյալի արժեքը հավասարեցնենք զրոյի:
.
Կոտորակը հավասար է զրոյի, երբ նրա համարիչը հավասար է զրոյի, այսինքն. .
Որոշենք ֆունկցիայի ավելացման և նվազման միջակայքերը։

Այսպիսով, ֆունկցիան ունի մեկ ծայրահեղ կետ և գոյություն չունի երկու կետերում:
Այսպիսով, ֆունկցիան մեծանում է ընդմիջումներով, և նվազում է ընդմիջումներով և .

5). Թեքման կետերը և ուռուցիկության և գոգավորության տարածքները:
Ֆունկցիայի վարքագծի այս բնութագիրը որոշվում է երկրորդ ածանցյալի միջոցով: Եկեք նախ որոշենք թեքման կետերի առկայությունը: Ֆունկցիայի երկրորդ ածանցյալը հավասար է

Երբ և ֆունկցիան գոգավոր է;

երբ և ֆունկցիան ուռուցիկ է:

6). Ֆունկցիայի գրաֆիկական ձևավորում:
Օգտագործելով կետերում գտնված արժեքները, մենք սխեմատիկորեն կկառուցենք ֆունկցիայի գրաֆիկը.

Լուծում
Տրված ֆունկցիան ընդհանուր ձևի ոչ պարբերական ֆունկցիա է։ Դրա գրաֆիկն անցնում է կոորդինատների սկզբնակետով, քանի որ .
Սահմանման տիրույթ տրված գործառույթըփոփոխականի բոլոր արժեքներն են, բացառությամբ և որոնց համար կոտորակի հայտարարը դառնում է զրո:
Հետևաբար կետերը ֆունկցիայի անջատման կետերն են։
Որովհետեւ ,

Որովհետեւ ,
, ապա կետը երկրորդ տեսակի ընդհատման կետ է։
Ուղիղ գծերը ֆունկցիայի գրաֆիկի ուղղահայաց ասիմպտոտներն են։
Թեք ասիմպտոտների հավասարումներ, որտեղ, .
ժամը ,
.
Այսպիսով, համար և ֆունկցիայի գրաֆիկն ունի մեկ ասիմպտոտ:
Գտնենք ֆունկցիայի և ծայրահեղ կետերի ավելացման և նվազման միջակայքերը։
.
At և, հետևաբար, at և ֆունկցիայի առաջին ածանցյալը մեծանում է:
Երբ, հետևաբար, երբ ֆունկցիան նվազում է:
համար գոյություն չունի, .
, հետևաբար, երբ Ֆունկցիայի գրաֆիկը գոգավոր է։
ժամը , հետևաբար, երբ Ֆունկցիայի գրաֆիկը ուռուցիկ է։

, , կետերով անցնելիս փոխում է նշանը: Երբ , ֆունկցիան սահմանված չէ, հետևաբար ֆունկցիայի գրաֆիկն ունի մեկ թեքման կետ։
Կառուցենք ֆունկցիայի գրաֆիկը։

Կատարեք ամբողջական ուսումնասիրություն և գծեք գործառույթը

y(x)=x2+81−x.y(x)=x2+81−x.

1) Գործառույթի շրջանակը. Քանի որ ֆունկցիան կոտորակ է, մենք պետք է գտնենք հայտարարի զրոները:

1−x=0,⇒x=1.1−x=0,⇒x=1։

Ֆունկցիայի սահմանման տիրույթից բացառում ենք x=1x=1 միակ կետը և ստանում.

D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞):

2) Եկեք ուսումնասիրենք ֆունկցիայի վարքագիծը անջատման կետի մոտակայքում։ Եկեք գտնենք միակողմանի սահմաններ.

Քանի որ սահմանները հավասար են անսահմանության, x=1x=1 կետը երկրորդ տեսակի ընդհատում է, x=1x=1 ուղիղը ուղղահայաց ասիմպտոտ է։

3) Որոշենք ֆունկցիայի գրաֆիկի հատման կետերը կոորդինատային առանցքների հետ։

Գտնենք OyOy օրդինատների առանցքի հետ հատման կետերը, որոնց համար հավասարում ենք x=0x=0:

Այսպիսով, OyOy առանցքի հետ հատման կետն ունի կոորդինատներ (0;8)(0;8):

Գտնենք OxOx աբսցիսային առանցքի հետ հատման կետերը, որոնց համար սահմանել ենք y=0y=0:

Հավասարումը չունի արմատներ, ուստի OxOx առանցքի հետ հատման կետեր չկան:

Նկատի ունեցեք, որ x2+8>0x2+8>0 ցանկացած xx-ի համար: Հետևաբար, x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) համար y>0y>0 ֆունկցիան (ընդունում է դրական արժեքներ, գրաֆիկը գտնվում է x առանցքի վերևում), x∈(1;+∞) համար։ )x∈(1; +∞) y ֆունկցիա<0y<0 (принимает отрицательные значения, график находится ниже оси абсцисс).

4) Ֆունկցիան ոչ զույգ է, ոչ էլ կենտ, քանի որ.

5) Դիտարկենք ֆունկցիան պարբերականության համար։ Ֆունկցիան պարբերական չէ, քանի որ այն կոտորակային ռացիոնալ ֆունկցիա է։

6) Եկեք քննենք ֆունկցիան ծայրահեղության և միապաղաղության համար: Դա անելու համար մենք գտնում ենք ֆունկցիայի առաջին ածանցյալը.

Առաջին ածանցյալը հավասարեցնենք զրոյի և գտնենք անշարժ կետեր (որոնցում y′=0y′=0).

Ստացանք երեք կրիտիկական կետ՝ x=−2,x=1,x=4x=−2,x=1,x=4: Եկեք այս կետերով բաժանենք ֆունկցիայի սահմանման ողջ տիրույթը միջակայքերի և որոշենք ածանցյալի նշանները յուրաքանչյուր միջակայքում.

x∈(−∞;−2),(4;+∞)x∈(−∞;−2),(4;+∞) y′ ածանցյալի համար<0y′<0, поэтому функция убывает на данных промежутках.

x∈(−2;1),(1;4)x∈(−2;1),(1;4) y′>0y′>0 ածանցյալի համար ֆունկցիան մեծանում է այս ընդմիջումներով:

Այս դեպքում x=−2x=−2-ը լոկալ նվազագույն կետ է (ֆունկցիան նվազում է, հետո մեծանում), x=4x=4-ը տեղական առավելագույն կետ է (ֆունկցիան մեծանում է, հետո նվազում)։

Եկեք գտնենք ֆունկցիայի արժեքները այս կետերում.

Այսպիսով, նվազագույն կետը (−2;4)(−2;4) է, առավելագույնը՝ (4;−8)(4;−8):

7) Դիտարկենք ոլորումների և ուռուցիկության ֆունկցիան: Գտնենք ֆունկցիայի երկրորդ ածանցյալը.

Երկրորդ ածանցյալը հավասարեցնենք զրոյի.

Ստացված հավասարումը արմատներ չունի, ուստի թեքման կետեր չկան: Ընդ որում, երբ x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) y′′>0y″>0 բավարարված է, այսինքն՝ ֆունկցիան գոգավոր է, երբ x∈(1;+∞)x∈( 1;+ ∞) բավարարված է y′′-ով<0y″<0, то есть функция выпуклая.

8) Եկեք քննենք ֆունկցիայի վարքագիծը անսահմանության վրա, այսինքն՝ ժամը .

Քանի որ սահմաններն անսահման են, հորիզոնական ասիմպտոտներ չկան:

Փորձենք որոշել y=kx+by=kx+b ձևի թեք ասիմպտոտները։ Մենք հաշվարկում ենք k,bk,b արժեքները՝ օգտագործելով հայտնի բանաձևերը.

Մենք գտանք, որ ֆունկցիան ունի մեկ թեք ասիմպտոտ y=−x−1y=−x−1։

9) Լրացուցիչ միավորներ. Հաշվարկենք ֆունկցիայի արժեքը որոշ այլ կետերում, որպեսզի ավելի ճշգրիտ կառուցենք գրաֆիկը։

y(−5)=5.5;y(2)=−12;y(7)=−9.5.y(−5)=5.5;y(2)=−12;y(7)=−9.5.

10) Ստացված տվյալների հիման վրա կկառուցենք գրաֆիկ, այն լրացնենք x=1x=1 (կապույտ), y=−x−1y=−x−1 (կանաչ) ասիմպտոտներով և կնշենք բնորոշ կետերը (մանուշակագույն հատումը օրդինատի հետ. առանցք, նարնջագույն ծայրահեղություն, սև լրացուցիչ կետեր):

Առաջադրանք 4. Երկրաչափական, տնտեսական խնդիրներ (ես պատկերացում չունեմ, թե ինչ, ահա խնդիրների մոտավոր ընտրություն՝ լուծումներով և բանաձևերով)

Օրինակ 3.23. ա

Լուծում. xԵվ y y
y = a - 2×a/4 =a/2: Քանի որ x = a/4-ը միակ կրիտիկական կետն է, եկեք ստուգենք, թե արդյոք ածանցյալի նշանը փոխվում է այս կետով անցնելիս։ xa/4 S "> 0, իսկ x >a/4 S"-ի համար< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Օրինակ 3.24.

Լուծում.
R = 2, H = 16/4 = 4:

Օրինակ 3.22.Գտե՛ք f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14 ֆունկցիայի ծայրահեղությունը։

Լուծում.Քանի որ f "(x) = 6x 2 - 30x +36 = 6 (x ∗2) (x - 3), ապա ֆունկցիայի կրիտիկական կետերը x 1 = 2 և x 2 = 3: Ծայրահեղությունը կարող է լինել միայն Այս կետերը, երբ անցնում է x 1 = 2 կետով, ածանցյալը փոխում է իր նշանը գումարածից մինչև մինուս, ապա այս պահին ֆունկցիան ունի առավելագույնը x 2 = 3 կետով անցնելիս դեպի գումարած, հետևաբար, x 2 = 3 կետում ֆունկցիան ունի նվազագույն արժեքներ
x 1 = 2 և x 2 = 3, մենք գտնում ենք ֆունկցիայի ծայրահեղությունը՝ առավելագույնը f(2) = 14 և նվազագույնը f(3) = 13:

Օրինակ 3.23.Քարե պատին կից պետք է ուղղանկյուն տարածք կառուցել, որպեսզի այն երեք կողմից պարսպապատված լինի մետաղական ցանցով, իսկ չորրորդ կողմը կից պատին։ Դրա համար կա ագծային մետր ցանց: Ինչ հարաբերակցությամբ կայքը կունենա ամենամեծ տարածքը:

Լուծում.Պլատֆորմի կողմերը նշանակենք ըստ xԵվ y. Կայքի տարածքը S = xy է: Թող y- սա պատին հարող կողմի երկարությունն է: Այնուհետև, ըստ պայմանի, պետք է պահպանվի 2x + y = a հավասարությունը: Հետևաբար y = a - 2x և S = x(a - 2x), որտեղ
0 ≤ x ≤ a/2 (բարձիկի երկարությունը և լայնությունը չեն կարող բացասական լինել): S " = a - 4x, a - 4x = 0 ժամը x = a/4, որտեղից
y = a - 2×a/4 =a/2: Քանի որ x = a/4-ը միակ կրիտիկական կետն է, եկեք ստուգենք, թե արդյոք ածանցյալի նշանը փոխվում է այս կետով անցնելիս։ xa/4 S "> 0, իսկ x >a/4 S"-ի համար< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Օրինակ 3.24.Պահանջվում է V=16p ≈ 50 մ 3 տարողությամբ փակ գլանաձեւ տանկ արտադրել։ Ինչպիսի՞ն պետք է լինի տանկի չափերը (շառավիղ R և բարձրություն H), որպեսզի դրա արտադրության համար օգտագործվի նվազագույն քանակությամբ նյութ:

Լուծում.Մխոցի ընդհանուր մակերեսը S = 2pR (R + H): Մենք գիտենք մխոցի ծավալը V = pR 2 N Þ N = V/pR 2 =16p/ pR 2 = 16/ R 2: Սա նշանակում է S(R) = 2p(R 2 +16/R): Մենք գտնում ենք այս ֆունկցիայի ածանցյալը.
S "(R) = 2p(2R- 16/R 2) = 4p (R- 8/R 2): S" (R) = 0 R 3 = 8-ի համար, հետևաբար,
R = 2, H = 16/4 = 4:

Առնչվող տեղեկություններ.

Հրահանգներ

Գտեք ֆունկցիայի տիրույթը: Օրինակ, sin(x) ֆունկցիան սահմանվում է -∞-ից մինչև +∞ ամբողջ միջակայքում, իսկ 1/x ֆունկցիան սահմանվում է -∞-ից մինչև +∞, բացառությամբ x = 0 կետի:

Բացահայտեք շարունակականության ոլորտները և ընդհատման կետերը: Սովորաբար ֆունկցիան շարունակական է նույն տարածաշրջանում, որտեղ այն սահմանված է: Անընդհատությունները հայտնաբերելու համար պետք է հաշվարկել, երբ արգումենտը մոտենում է սահմանման տիրույթում գտնվող մեկուսացված կետերին: Օրինակ՝ 1/x ֆունկցիան x→0+-ի դեպքում ձգտում է դեպի անվերջություն, իսկ x→0-ի դեպքում՝ մինուս անսահմանության: Սա նշանակում է, որ x = 0 կետում այն ​​ունի երկրորդ տեսակի ընդհատում:
Եթե ​​ընդհատման կետում սահմանները վերջավոր են, բայց ոչ հավասար, ապա սա առաջին տեսակի ընդհատում է: Եթե ​​դրանք հավասար են, ապա ֆունկցիան համարվում է շարունակական, չնայած այն սահմանված չէ մեկուսացված կետում։

Գտեք ուղղահայաց ասիմպտոտներ, եթե այդպիսիք կան: Նախորդ քայլի հաշվարկները կօգնեն ձեզ այստեղ, քանի որ ուղղահայաց ասիմպտոտը գրեթե միշտ գտնվում է երկրորդ տեսակի անդադար կետում: Այնուամենայնիվ, երբեմն սահմանման տիրույթից բացառվում են ոչ թե առանձին կետեր, այլ կետերի ամբողջ միջակայքերը, իսկ հետո ուղղահայաց ասիմպտոտները կարող են տեղակայվել այդ միջակայքերի եզրերին:

Ստուգեք՝ արդյոք ֆունկցիան ունի հատուկ հատկություններ՝ զույգ, կենտ և պարբերական։
Ֆունկցիան կլինի նույնիսկ, եթե f(x) = f(-x) տիրույթում ցանկացած x-ի համար: Օրինակ՝ cos(x) և x^2 զույգ ֆունկցիաներ են։

Պարբերականությունը հատկություն է, որն ասում է, որ կա T որոշակի թիվ, որը կոչվում է ժամանակաշրջան, որը ցանկացած x-ի համար f(x) = f(x + T): Օրինակ՝ բոլոր հիմնական եռանկյունաչափական ֆունկցիաները (սինուս, կոսինուս, տանգենս) պարբերական են։

Գտեք կետերը. Դա անելու համար հաշվարկեք տվյալ ֆունկցիայի ածանցյալը և գտեք x-ի այն արժեքները, որտեղ այն դառնում է զրո: Օրինակ, f(x) = x^3 + 9x^2 -15 ֆունկցիան ունի g(x) = 3x^2 + 18x ածանցյալ, որը անհետանում է x = 0 և x = -6 դեպքում:

Որոշելու համար, թե որ ծայրամասային կետերն են առավելագույնը և որոնք են նվազագույնը, հետևեք ածանցյալի նշանների փոփոխությանը գտնված զրոներում: g(x) նշանը փոխում է պլյուսից x = -6 կետում, իսկ x = 0 կետում հետ մինուսից դեպի գումարած: Հետևաբար, f(x) ֆունկցիան առաջին կետում ունի նվազագույն, իսկ երկրորդում՝ նվազագույն:

Այսպիսով, դուք գտել եք նաև միապաղաղության շրջաններ. f(x)-ը միապաղաղ մեծանում է -∞;-6 միջակայքում, միապաղաղ նվազում է -6;0-ի վրա և կրկին մեծանում 0;+∞-ի վրա:

Գտե՛ք երկրորդ ածանցյալը: Դրա արմատները ցույց կտան, թե տվյալ ֆունկցիայի գրաֆիկը որտեղ կլինի ուռուցիկ, որտեղ՝ գոգավոր։ Օրինակ, f(x) ֆունկցիայի երկրորդ ածանցյալը կլինի h(x) = 6x + 18: Այն անցնում է զրոյի x = -3-ում՝ փոխելով նշանը մինուսից դեպի գումարած: Հետևաբար, f(x)-ի գրաֆիկը այս կետից առաջ կլինի ուռուցիկ, դրանից հետո՝ գոգավոր, իսկ այս կետն ինքնին կլինի թեքման կետ։

Ֆունկցիան, բացի ուղղահայացներից, կարող է ունենալ այլ ասիմպտոտներ, բայց միայն այն դեպքում, եթե դրա սահմանման տիրույթը ներառում է . Դրանք գտնելու համար հաշվարկեք f(x)-ի սահմանը, երբ x→∞ կամ x→-∞: Եթե ​​այն վերջավոր է, ապա դուք գտել եք հորիզոնական ասիմպտոտը:

Թեք ասիմպտոտը kx + b ձևի ուղիղ գիծ է։ K-ն գտնելու համար f(x)/x-ի սահմանը հաշվարկեք x→∞: Գտնել b - սահմանը (f(x) – kx) նույն x→∞-ի համար:

Հաշվարկված տվյալների միջոցով գծեք ֆունկցիայի գրաֆիկը: Նշեք ասիմպտոտները, եթե այդպիսիք կան: Նշեք ծայրահեղ կետերը և դրանցում ֆունկցիայի արժեքները: Գրաֆիկի ավելի մեծ ճշգրտության համար ֆունկցիայի արժեքները հաշվարկեք ևս մի քանի միջանկյալ կետերում: Ուսումնասիրությունն ավարտված է։