Sähkömagneettiset aallot Maxwellin yhtälö ja aaltoyhtälö. Maxwellin yhtälöt ja aaltoyhtälö sähkömagneettiselle aallolle tyhjiössä

Nyt kannattaisi vähän laskea; kirjoitamme Maxwellin yhtälöt yksinkertaisemmassa muodossa. Saatat ajatella, että teemme niistä monimutkaisia, mutta jos olet kärsivällinen, huomaat yhtäkkiä, että ne ovat hyvin yksinkertaisia. Vaikka olet jo melko tottunut jokaiseen Maxwellin yhtälöön, on vielä monia osia, jotka on koottava yhteen. Juuri näin teemme.

Aloitetaan yksinkertaisimmista yhtälöistä. Tiedämme, että se tarkoittaa, että jollakin on roottori. Jos siis kirjoitit

Ajattele sitten, että olet jo ratkaissut yhden Maxwellin yhtälöistä. (Huomaa muuten, että se on totta toiselle vektorille, jos , missä on mikä tahansa skalaarikenttä, koska kihara on nolla ja on edelleen sama. Puhuimme tästä aiemmin.)

Katsotaan nyt Faradayn lakia , koska se ei sisällä virtoja tai varauksia. Jos kirjoitamme muistiin ja erottelemme sen suhteen, voimme kirjoittaa Faradayn lain uudelleen muotoon

.

Koska voimme erottaa ensin joko ajan tai koordinaattien mukaan, voimme kirjoittaa tämän yhtälön myös muotoon

. (18.17)

Näemme, että se on vektori, jonka kierre on nolla. Siksi tällainen vektori on jonkin gradientti. Kun teimme sähköstatiikkaa, meillä oli , ja sitten päätimme, että se oli jonkin itsensä gradientti. Olkoon tämä kaltevuus (miinus teknisen mukavuuden vuoksi). Teemme samoin ; arvaamme

. (18.18)

Käytämme samaa merkintää, joten sähköstaattisessa tapauksessa, jossa mikään ei muutu ajan myötä ja katoaa, on vanha. Joten Faradayn laki voidaan esittää muodossa

. (18.19)

Olemme jo ratkaisseet kaksi Maxwellin yhtälöä ja havainneet, että sähkömagneettisten kenttien kuvaamiseen tarvitaan neljä potentiaalifunktiota: skalaaripotentiaali ja vektoripotentiaali, jotka tietysti edustavat kolmea funktiota.

Joten, määrittelee osan, aivan kuten . Mitä tapahtuu, kun korvaamme tunnuksella? Yleisesti ottaen sen pitäisi muuttua, jos erityistoimenpiteitä ei toteuteta. Voimme kuitenkin olettaa, että se muuttuu niin, että se ei vaikuta kenttiin ja (eli fysiikkaa muuttamatta), jos aina ja yhdessä sääntöjen mukaan muutetaan

. (18.20)

Tällöin yhtälöstä (18.19) saatu , eikä , eivät muutu.

Aiemmin päätimme yksinkertaistaa staattisia yhtälöitä. Nyt emme aio tehdä sitä; haluamme tehdä erilaisia ​​valintoja. Mutta odota hetki ennen kuin sanomme, mikä valinta se on, sillä myöhemmin selviää, miksi valinta ylipäätään tehdään.

Palaamme nyt kahteen jäljellä olevaan Maxwell-yhtälöön, jotka yhdistävät potentiaalit ja lähteet sekä . Koska voimme määrittää sekä virroista että varauksista, voimme aina saada yhtälöistä (18.16) ja (18.19) ja meillä on erilainen Maxwellin yhtälöiden muoto.

Aloitetaan korvaamalla yhtälö (18.19) ; saamme

;

tämä voidaan kirjoittaa myös muotoon

. (18.21)

Tämä on ensimmäinen yhtälö, joka yhdistää lähteisiin.

Viimeinen yhtälömme on vaikein. Aloitamme kirjoittamalla uudelleen Maxwellin neljännen yhtälön:

,

ja ilmaise se sitten potentiaalien avulla yhtälöillä (18.16) ja (18.19):

.

Ensimmäinen termi voidaan kirjoittaa uudelleen käyttämällä algebrallista identiteettiä; saamme

. (18.22)

Se ei ole kovin yksinkertaista!

Onneksi voimme nyt käyttää vapauttamme valita mielivaltaisesti eroavaisuuksia. Nyt aiomme tehdä valinnan niin, että yhtälöt for ja for ovat erotettuja, mutta niillä on sama muoto. Voimme tehdä tämän valitsemalla

. (18.23)

Kun teemme tämän, yhtälön (18.22) toinen ja kolmas termi kumoavat, ja siitä tulee paljon yksinkertaisempaa:

. (18.24)

Ja yhtälömme (18.21) saa saman muodon:

. (18.25)

Kuinka kauniita yhtälöitä! Ne ovat erinomaisia ​​ensinnäkin siksi, että ne ovat hyvin erotettuja - varaustiheys on , ja virta on . Seuraavaksi, vaikka vasen puoli näyttää hieman naurettavalta - laplalainen yhdessä :n kanssa, kun avaamme sen, löydämme

. (18.26)

Tällä yhtälöllä on mukava symmetria , , , ; tässä se on tietysti välttämätöntä, koska aika ja koordinaatit vaihtelevat; niillä on eri yksiköt.

Maxwellin yhtälöt johtivat meidät uudentyyppiseen yhtälöön potentiaalien ja , mutta samalla matemaattisella muodolla kaikille neljälle funktiolle , ja . Koska olemme oppineet ratkaisemaan nämä yhtälöt, voimme saada sekä ja . Pääsemme toiseen sähkömagneettisten lakien muotoon, joka vastaa täsmälleen Maxwellin yhtälöitä; monissa tapauksissa niitä on paljon helpompi käsitellä. Ja

Maxwellin yhtälöjärjestelmä sisältää neljä perusyhtälöä

, (3.2)

, (3.3)

. (3.4)

Tätä järjestelmää täydentää kolme materiaaliyhtälöt, välisen yhteyden määritteleminen fyysisiä määriä, sisältyvät Maxwellin yhtälöihin:

(3.5)

Muistakaamme näiden matemaattisten lauseiden fyysinen merkitys.

Ensimmäinen yhtälö (3.1) sanoo sen sähköstaattinen Tässä yhtälössä kenttä voidaan luoda vain sähkövarauksella - sähköinen siirtymävektori, ρ - tilavuusvaraustiheys.

Sähköinen siirtymävektorivirta minkä tahansa suljetun pinnan läpi on yhtä suuri kuin tämän pinnan sisältämä varaus.

Kuten koe osoittaa, magneettisen induktiovektorin virta suljetun pinnan läpi on aina nolla (3.2)

Yhtälöiden (3.2) ja (3.1) vertailu mahdollistaa sen johtopäätöksen, että luonnossa ei ole magneettisia varauksia.

Yhtälöt (3.3) ja (3.4) ovat erittäin kiinnostavia ja tärkeitä. Tässä tarkastellaan sähköjännitevektorien kiertoa ( ) ja magneettinen ( ) suljetun ääriviivan kentät.

Yhtälö (3.3) ilmoittaa, että vaihtuva magneettikenttä ( ) on pyörteen sähkökentän lähde ( ).Tämä on vain matemaattinen esitys Faradayn sähkömagneettisen induktion ilmiöstä.

Yhtälö (3.4) muodostaa yhteyden magneettikentän ja vaihtosähkökentän välille. Tämän yhtälön mukaan magneettikenttä voidaan luoda paitsi johtavuusvirralla ( ), mutta myös vaihtuvan sähkökentän avulla .

Näissä yhtälöissä:

- sähköinen siirtymävektori,

H- magneettikentän voimakkuus,

E- sähkökentän voimakkuus,

j- johtumisvirran tiheys,

μ - väliaineen magneettinen permeabiliteetti,

ε on väliaineen dielektrisyysvakio.

1. Elektromagneettiset aallot. Sähkömagneettisten aaltojen ominaisuudet

Viimeisenä lukuvuonna saatettuamme päätökseen klassisen sähködynamiikan Maxwellin yhtälöjärjestelmän tarkastelun, totesimme, että kahden viimeisen yhtälön yhteinen ratkaisu (vektorien kierrosta Ja ) johtaa differentiaaliaaltoyhtälöön.

Joten saimme "Y"-aallon aaltoyhtälön:

. (3.6)

Sähkökomponentti y - aallot etenevät X-akselin positiiviseen suuntaan vaihenopeudella

(3.7)

Samanlainen yhtälö kuvaa magneettikentän y - aallon muutosta tilassa ja ajassa:

. (3.8)

Analysoimalla saatuja tuloksia on mahdollista muotoilla useita sähkömagneettisille aalloille ominaisia ​​ominaisuuksia.

1. Taso "y"-aalto on lineaarisesti polarisoitu poikittaisaalto. Sähköjännitevektorit ( ), magneettinen ( ) kentän ja aallon vaihenopeus ( ) ovat keskenään kohtisuorassa ja muodostavat "oikeakätisen" järjestelmän (kuva 3.1).

2. Jokaisessa avaruuden pisteessä aaltokomponentti H z on verrannollinen sähkökentän voimakkuuteen E v:

Tässä "+"-merkki vastaa aaltoa, joka etenee X-akselin positiiviseen suuntaan. "-"-merkki vastaa negatiivista.

3. Sähkömagneettinen aalto liikkuu X-akselia pitkin vaihenopeudella

Tässä
.

Kun sähkömagneettinen aalto etenee tyhjiössä (ε = 1, μ = 1), vaihenopeus

Tässä sähkövakio ε 0 = 8,85 10 -12

magneettivakio μ 0 = 4π 10 -7

.

.

Sähkömagneettisen aallon nopeuden yhteensopivuus tyhjiössä valon nopeuden kanssa oli ensimmäinen todiste valon sähkömagneettisesta luonteesta.

Tyhjiössä aallon magneetti- ja sähkökenttien voimakkuuksien välinen yhteys yksinkertaistuu.

.

Kun sähkömagneettinen aalto etenee dielektrisessä väliaineessa (μ = 1)
Ja
.

1. Maxwellin yhtälöt ja aaltoyhtälö. Sähkömagneettinen kenttä kuvataan Maxwellin yhtälöillä: Tarkastellaan homogeenistä ja isotrooppista, sähköisesti neutraalia, johtamatonta väliainetta.

1. Maxwellin yhtälöt ja aaltoyhtälö. Tarkasteltavana olevassa väliaineessa (ε = vakio , μ = vakio , = 0) nämä yhtälöt voidaan kirjoittaa uudelleen seuraavasti: (1) (2) (3) (4) Lasketaan roottori oikealta ja vasemmalta puolelta yhtälöstä (1).

1. Maxwellin yhtälöt ja aaltoyhtälö. Yhtälön (4) mukaan laskettuamme roottorin yhtälön (1) vasemmalta puolelta, saamme:

1. Maxwellin yhtälöt ja aaltoyhtälö. Lasketaan roottori yhtälön (1) oikealta puolelta. Yhtälön (3) mukaan laskettuamme roottorin yhtälön (1) oikealta ja vasemmalta puolelta saadaan:

1. Maxwellin yhtälöt ja aaltoyhtälö. Verrataan saatua yhtälöä differentiaaliaaltoyhtälön yleiseen muotoon: missä v on aallon etenemisen vaihenopeus. Sähkökentän voimakkuudelle saamamme yhtälö osuu yhteen aaltoyhtälön kanssa, jos aaltoyhtälön ratkaisut ovat muotoisia tasoaaltoja

1. Maxwellin yhtälöt ja aaltoyhtälö. Sähkökentän voimakkuusvektorin aaltoyhtälön ratkaisut ovat myös tasoaaltoja. Tässä tapauksessa sähkökentän voimakkuuden vaihtelut etenevät avaruudessa. Tällaisten värähtelyjen etenemisen vaihenopeus avaruudessa on:

1. Maxwellin yhtälöt ja aaltoyhtälö. Vastaavasti aaltoyhtälö voidaan johtaa ottamalla huomioon magneettikentän voimakkuus. Tarkasteltavassa väliaineessa (ε = vakio , μ = vakio , = 0): (1) (2) (3) (4) Lasketaan roottori yhtälön (3) oikealta ja vasemmalta puolelta. Suoritetaan muunnokset, kuten käytämme yhtälöä (2) ja saadaan: edellisessä tapauksessa,

1. Maxwellin yhtälöt ja aaltoyhtälö. Tämä yhtälö voidaan kirjoittaa uudelleen seuraavasti: missä on aallon vaihenopeus. - aaltoyhtälön ratkaisu, tasoaaltoyhtälö. Huomaa, että ratkaisut ovat samat sekä sähkö- että magneettikentille. Sähköjännitteen vaihtelut ja samanaikaisesti esiintyvät magneettikentässä samalla nopeudella. Nämä värähtelyt ovat vaiheessa. Avaruudessa leviävien sähkö- ja magneettikenttien voimakkuuden vaihteluita kutsutaan sähkömagneettisiksi aalloksi.

1. Maxwellin yhtälöt ja aaltoyhtälö. Sähkömagneettisen aallon vaihenopeus Tyhjiössä, kun ε = 1 ja μ = 1, Jossain väliaineessa, kun ε > 1 ja μ > 1, Optiikassa suuruutta n kutsutaan taitekertoimeksi. Taitekertoimen fyysinen merkitys on, että se osoittaa, kuinka monta kertaa valon nopeus (EMV) tietyssä väliaineessa on pienempi kuin tyhjiössä.

1. Maxwellin yhtälöt ja aaltoyhtälö. Tärkeimmät johtopäätökset: 1. Maxwellin yhtälöt hyväksyvät aaltoratkaisut. 2. Sähkömagneettinen kenttä edustaa avaruudessa etenevien sähkö- ja magneettikenttien voimakkuuden vaihteluita. 3. Sähkömagneettisten aaltojen etenemisnopeus tyhjiössä 4. Sähkömagneettisten aaltojen etenemisnopeus missä tahansa dielektrisessä väliaineessa on pienempi kuin tyhjiössä: n on väliaineen taitekerroin.

2. Sähkömagneettisten aaltojen kokeellinen löytö. Hertzin kokeen kaavio. James Clark Maxwell (1831-1879) Heinrich Rudolf Hertz (1857-1894)

3. EMF-poikkileikkaus. Olemme jo panneet merkille joitakin sähkömagneettisten aaltojen ominaisuuksia: 1. Sähkömagneettisten aaltojen etenemisnopeus tyhjiössä 2. Sähkömagneettisten aaltojen etenemisnopeus missä tahansa dielektrisessä väliaineessa on pienempi kuin tyhjiössä: n on väliaineen taitekerroin . Toinen tärkeä sähkömagneettisen aallon ominaisuus on sen poikittaissuuntaisuus.

3. EMF-poikkileikkaus. Jos tasomainen sähkömagneettinen aalto etenee valitsemamme vertailujärjestelmän OX-akselia pitkin, niin sen yhtälö voidaan kirjoittaa seuraavasti: Tässä ω on aallon värähtelyjen syklinen (ympyrä)taajuus, k on aallon luku. Tiedetään, että tasoaallon aaltopinnat ovat tasoja. Jos aalto etenee pitkin OX-akselia, niin sen aaltopinnat ovat YZ-tason suuntaisia ​​tasoja (suorassa OX:iin nähden).

3. Sähkömagneettisen aallon poikkileikkaus etenee pitkin OX-akselia, vektorien E ja H muutos kuvataan yhtälöillä. Kutakin aallonpintaa luonnehditaan yhden X-koordinaatin arvolla tietyllä hetkellä intensiteettivektorin arvot ovat samat. Tämä pätee sekä vektorille E että vektorille H. Vektorin E kaikkien kolmen komponentin ja vektorin H kaikkien kolmen komponentin arvot riippuvat vain X-koordinaatista eivätkä Y- ja Z-koordinaateista.

3. EMF-poikkileikkaus. Tarkastellaan yhtälöä sähkömagneettisten aaltojen etenemiselle: Tämän yhtälön vasemmalla puolella Sama komponenteille: kuvaaminen

3. EMF-poikkileikkaus. Aallon etenemissuuntaan nähden kohtisuorassa suunnassa H:n aikaderivaatat eivät ole yhtä suuret kuin nolla, joten näissä suunnissa voi esiintyä vaihtuvaa magneettikenttää. Aallon etenemissuunnan suuntaisessa suunnassa voi olla vain paikallaan pysyvä magneettikenttä.

3. EMF-poikkileikkaus. Jos tarkastellaan sähkömagneettisten aaltojen etenemistä kuvaavaa yhtälöä ja, kuten edellisessä tapauksessa, kirjoitetaan se projektioiden muodossa koordinaattiakseleille ja otetaan huomioon, että vektorin H kaikki komponentit riippuvat vain x-koordinaatista, niin Hanki Suunnissa, jotka ovat kohtisuorassa aallon etenemissuuntaa vastaan, voi olla muuttuja sähkökenttä. Aallon etenemissuunnan suuntaisessa suunnassa voi esiintyä vain kiinteä sähkökenttä.

4. Sähkömagneettisen aallon polarisaatio. Jos sähkökentän voimakkuusvektorin värähtelyt aallossa ovat jotenkin järjestettyjä, aaltoa kutsutaan polarisoiduksi. Jos sähkökentän voimakkuusvektorin värähtelyt aallossa tapahtuvat yhdessä tasossa, aaltoa kutsutaan lineaarisesti polarisoiduksi. Jos taso, jossa sähkökentän voimakkuusvektori värähtelee aallossa, pyörii, aaltoa kutsutaan ympyräpolarisoiduksi (elliptiseksi).

5. E:n ja H:n välinen suhde sähkömagneettisissa aalloissa. Tarkastellaan yhtälöä, joka kuvaa sähkömagneettisten aaltojen etenemistä: Tämän yhtälön vasemmalla puolella

5. E:n ja H:n välinen suhde sähkömagneettisissa aalloissa. Otetaan huomioon, että vektori E riippuu vain koordinaatista x. Tarkastellaan yhtälöä, joka kuvaa sähkömagneettisten aaltojen etenemistä: Tämän yhtälön vasemmalla puolella.

5. E:n ja H:n välinen suhde sähkömagneettisissa aalloissa. Otetaan huomioon, että vektori H riippuu vain koordinaatista x Aaltoyhtälön ratkaisut ovat tasoaaltoja (aalto etenee OX:ia pitkin, intensiteettivektorit ovat kohtisuorassa).

5. E:n ja H:n välinen suhde sähkömagneettisissa aalloissa. Kuten aiemmin totesimme, korvataankaamme tässä yhtälössä kenttävoimakkuuksien lausekkeet. Tämän suhteen on täytettävä milloin tahansa ja missä tahansa pisteessä millä tahansa x-koordinaatilla.

5. E:n ja H:n välinen suhde sähkömagneettisissa aalloissa. Aaltoluku k on suhteessa sykliseen taajuuteen ω suhteella

6. Umov-Poynting-vektori. Tiedetään, että sähkökentän energiatiheys ja magneettikentän energiatiheys Nämä lausekkeet voidaan saada Maxwellin yhtälöistä. Tarkastellaan yhtälöitä: (1) (2) Kerrotaan yhtälö (1) vektorilla H skalaarisesti ja yhtälö (2) kerrotaan skalaarisesti vektorilla E.

6. Umov-Poynting-vektori. Muunnamme samalla tavalla toisen yhtälön: Tarkastellaan ei-johtavaa väliainetta, joten j = 0. Yhteensä saadaan kaksi yhtälöä: Vähennä ensimmäinen toisesta yhtälöstä:

6. Umov-Poynting-vektori. Selvitetään tuloksena olevan lausekkeen fyysinen merkitys. Merkitään Umov-Poynting-vektoria. - energiatiheys elektromagneettinen kenttä. Muunnetaan yhtälön vasen puoli:

6. Umov-Poynting-vektori. Sovelletaan Ostrogradsky-Gaussin lausetta yhtälön vasemmalle puolelle: Tässä on tilavuutta V ympäröivä pinta. Varmistaaksemme, että yhtäläisyys ei riko, laskemme integraalin tilavuuden V yli ja oikealla puolella: Here Wem on sähkömagneettisen kentän energia tilavuudessa V. Kaiken kaikkiaan käy ilmi:

6. Umov-Poynting-vektori. Siten Umov-Poynting-vektorin vuo tietyn suljetun pinnan läpi on yhtä suuri kuin sähkömagneettisen kentän energian väheneminen tämän suljetun pinnan rajoittamassa tilavuudessa. Määritelmän mukaan Nämä vektorit muodostavat oikeanpuoleisen kolmion. E ja H ovat tasossa, joka on kohtisuorassa aallon etenemissuuntaa vastaan, S:n suunta on sama kuin aallon etenemissuunta.

7. Sähkömagneettisen aallon välittämä energia. Tiedetään, että sähkömagneettisen kentän energiatiheys Jos sähkömagneettinen aalto etenee avaruudessa, niin tietyssä avaruuden pisteessä magneettikentän energiatiheys milloin tahansa

7. Sähkömagneettisen aallon välittämä energia. Otetaan käyttöön uusi suure, S, ja kutsutaan sitä energiavuon tiheyden moduuliksi. Toisin sanoen tämä arvo on yhtä suuri kuin energia, joka kulkee pinta-alayksikön läpi aikayksikköä kohti W – energia, – pinta-ala, t – aika. Energiavuon tiheyden moduuli (tämä arvo on yhtä suuri kuin energia, joka kulkee yksikköalueen läpi aikayksikköä kohti) on yhtä suuri kuin Umov-Poynting-vektorin moduuli.

7. Sähkömagneettisen aallon välittämä energia. Pinta-alan yksikköä kohti kulkevan sähkömagneettisen aallon energia aikayksikköä kohti on yhtä suuri kuin Umov-Poynting-vektorin moduuli.

Mikroaaltoteknologiassa kiinnostus kohdistuu pääasiassa kenttiin, jotka vaihtelevat ajan myötä harmonisen lain mukaan (eli ne ovat luonteeltaan sinimuotoisia).

Kompleksisella menetelmällä kirjoitetaan sähkö- ja magneettikenttien vektorit:

,
, (33)

Missä – kulmataajuus
.

Korvataan nämä lausekkeet I ja II – Maxwellin yhtälöihin

,
.

Erottamisen jälkeen meillä on:

, (34)

. (35)

Yhtälö (34) voidaan muuntaa muotoon:

,

Missä
– monimutkainen suhteellinen dielektrisyysvakio, jossa otetaan huomioon väliaineen häviöt.

Kompleksisen suhteellisen dielektrisyysvakion imaginaariosan suhde reaaliosaan edustaa dielektrisen häviön tangenttia
. Siten Maxwellin yhtälöt harmonisille värähtelyille ilman vapaita varauksia
on muotoa:

,(36)

, (37)

, (38)

. (39)

Tässä muodossa Maxwellin yhtälöt ovat epämukavia ja ne on muunnettava.

Maxwellin yhtälöt pelkistyvät helposti aaltoyhtälöiksi, jotka sisältävät vain yhden kenttävektoreista. Määritteleminen
kohdasta (37) ja korvaamalla sen arvolla (36), saamme:

Laajennamme vasenta puolta kaavan III avulla:

Otetaan käyttöön merkintä
, ottaen huomioon
, saamme:

. (40)

Sama yhtälö voidaan saada

. (41)

Yhtälöitä (40) – (41) kutsutaan Helmholtzin yhtälöiksi. Ne kuvaavat aaltojen etenemistä avaruudessa ja ovat todisteita siitä, että sähkö- ja magneettikenttien muutokset ajan myötä johtavat sähkömagneettisten aaltojen etenemiseen avaruudessa.

Nämä yhtälöt pätevät mille tahansa koordinaattijärjestelmälle. Kun käytämme suorakaiteen muotoista koordinaattijärjestelmää, meillä on:

, (42)

, (43)

Missä
– yksikkövektorit

Jos korvaamme relaatiot (42) ja (43) yhtälöillä (40) ja (41), niin jälkimmäinen jakautuu kuuteen riippumattomat yhtälöt:

,
,

, (44)
, (45)

,
,

Missä
.

Yleisessä tapauksessa suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä kenttäkomponenttien löytämiseksi on tarpeen ratkaista yksi toisen asteen lineaarinen differentiaaliyhtälö

,

Missä – yksi alan komponenteista, ts.
. Tämän yhtälön yleinen ratkaisu on

, (46)

Missä
– kenttäjakaumafunktio aaltorintaman tasossa, riippumaton .

Energiasuhteet sähkömagneettisessa kentässä. Umov-Poyntingin lause

Yksi sähkömagneettisen kentän tärkeimmistä ominaisuuksista on sen energia. Ensimmäistä kertaa kysymystä sähkömagneettisen kentän energiasta pohti Maxwell, joka osoitti, että tilavuuden sisällä olevan kentän kokonaisenergia , koostuu sähkökentän energiasta:

, (47)

ja magneettikentän energia:

. (48)

Siten sähkömagneettisen kentän kokonaisenergia on yhtä suuri kuin:

. (49)

Vuonna 1874 prof. N.A. Umov esitteli energiavirran käsitteen, ja vuonna 1880. Poynting sovelsi tätä käsitettä sähkömagneettisten aaltojen tutkimukseen. Sähködynamiikan säteilyprosessille on yleensä tunnusomaista Umov-Poynting-vektorin määrittäminen kussakin avaruuden pisteessä.

Fyysisesti oikeat tulokset, jotka ovat yhdenmukaisia ​​sekä energian säilymislain että Maxwellin yhtälöiden kanssa, saadaan, jos ilmaisemme Umov-Poynting-vektorin hetkellisinä arvoina
Ja
seuraavalla tavalla:

.

Otetaan Maxwellin ensimmäinen ja toinen yhtälö ja kerrotaan ensimmäinen yhdellä , ja toinen päällä
ja lisää:

,

Missä .

Siten yhtälö (50) voidaan kirjoittaa muodossa

,

integrointi yli äänenvoimakkuuden ja vaihtuvia merkkejä, meillä on:

Siirrytään tilavuuden yli olevasta integraalista pinnan yli olevaan integraaliin

,

tai ottamalla huomioon
saamme:

, Tuo
,
,

. (51)

Tuloksena oleva yhtälö ilmaisee sähkömagneettisen kentän energian säilymisen lain (Umov-Poyntingin lause). Yhtälön vasen puoli edustaa sähkömagneettisen kentän kokonaisenergiareservin muutosnopeutta ajan kuluessa tarkastelussa tilavuudessa
. Ensimmäinen termi oikealla on lämmön määrä , joka vapautuu äänenvoimakkuuden johtavissa osissa aikayksikköä kohti. Toinen termi edustaa Umov-Poynting-vektorin virtausta tilavuutta rajoittavan pinnan läpi .Vektori
on sähkömagneettisen kentän energiavuon tiheys. Koska
, sitten vektorin suunta
voidaan määrittää vektoritulosäännöllä /gimlet-sääntö/ (kuva 9). Järjestelmässä SI vektori
on ulottuvuus
.

Kuva 9 – Kohti Umov-Poynting-vektorin määritelmää

Sähkömagneettisen kentän eteneminen avaruudessa on aaltoprosessi, jonka kuvaus saadaan Maxwellin yhtälöistä. Maxwellin yhtälöt kuvaavat sähkömagneettisten aaltojen ominaisuuksia yleisimmässä tapauksessa, mutta niiden suora käyttö ei aina ole kätevää. Siksi lineaaristen ja homogeenisten väliaineiden tapauksessa on mahdollista saada yksinkertaisempia aaltoyhtälöitä, joista kaikki geometrisen optiikan lait seuraavat.

1.3.1. Aaltoyhtälöt

Optiikassa sähkö- ja magneettikenttien muutosta tarkastellaan usein toisistaan ​​riippumatta, jolloin kentän vektoriluonteella ei ole merkitystä ja sähkömagneettista kenttää voidaan pitää skalaarina (kuten äänikenttänä). Skalaariteoria on paljon yksinkertaisempi kuin vektoriteoria ja mahdollistaa samalla melko syvällisen valonsäteiden etenemisen ja kuvanmuodostusprosessien analysoinnin optisissa järjestelmissä. Geometrisessa optiikassa skalaariteoriaa käytetään laajalti juuri siksi, että sähkö- ja magneettikenttä tässä tapauksessa ne voidaan kuvata toisistaan ​​riippumatta, ja aaltoyhtälöt ovat samat vektori- ja skalaarikentille.

Tarkastellaan aaltoyhtälöiden johtamista suoraan Maxwellin yhtälöistä. Otetaan yhtälö sähkökentän roottorille, joka määräytyy magneettisen induktion aikaderivaatalla:

Vektori kertoo tämän yhtälön:

Ottaen huomioon tämän (1.5) saamme:

Koska sähkökentän divergentti dielektrisessä väliaineessa on , niin homogeenisessa väliaineessa, mikä seuraa Maxwellin yhtälöistä (4, 5). Sitten saamme aaltoyhtälö kentän sähkökomponentille:

Koska yksi vektoriyhtälö jakautuu kolmeen skalaariyhtälöön:

Väittelemällä samalla tavalla voimme saada aaltoyhtälö kentän magneettiselle komponentille:

Koska , niin tämä vektoriyhtälö jakautuu myös kolmeen skalaariyhtälöön:

Maxwellin yhtälöistä seuraa, että kukin komponenteista , , vektori noudattaa muodoltaan täysin samaa skalaariyhtälöä. Siksi, jos meidän on tiedettävä muutos vain yhdessä vektorin komponenteista, voimme pitää vektorikenttää skalaarina. Ennen kuin lopulta siirrytään skalaariteoriaan, on huomattava, että vektorin komponentit eivät ole itsenäisiä funktioita, mikä seuraa ehdosta. Siksi, vaikka skalaariaaltoyhtälöt ovat seurausta Maxwellin yhtälöistä, on mahdotonta palata niistä Maxwellin yhtälöihin.

Olkoon skalaarisuure mikä tahansa sähkövektorin komponenteista: ( , tai ). Toisin sanoen tämä on kentän häiriö jossain avaruuden pisteessä jossain vaiheessa. Sitten voimme kirjoittaa aaltoyhtälö yleisesti:

Häiriön toinen derivaatta ajan suhteen,

Tämän yhtälön tarkoitus on, että aalto muodostuu, kun tietyllä häiriöllä on spatiaalisten koordinaattien suhteen toinen derivaatta, joka on verrannollinen toiseen derivaatan ajan suhteen.

Voidaan osoittaa, että eristeiden aallonnopeus liittyy väliaineen sähköiseen ja magneettiseen vakioon seuraavasti:

Näin ollen aallon etenemisnopeus avaruudessa määritetään seuraavasti:

Sitten yleinen muoto Aaltoyhtälö voidaan kirjoittaa seuraavasti:

Aaltoyhtälö yhdelle koordinaattiakselille:

Valon nopeuden suhdetta tyhjiössä valonnopeuteen väliaineessa kutsutaan tietyn väliaineen taitekerroin suhteessa tyhjiöön (taitekerroin):

Myös monokromaattinen kenttä on tunnusomaista värähtelyjakso tai taajuus :

Lisäksi syklinen taajuus voidaan ilmaista taajuudella:

Harmoniselle aallolle on ominaista myös avaruudellinen jakso - aallonpituus :

JA aaltonumero:

Tietyn aallonpituuden säteilyllä on vastaava väri (kuva 1.3.2).

Monokromaattisen kentän taitekertoimesta riippumattomat vakioominaisuudet ovat: taajuus, syklinen taajuus ja värähtelyjakso. Aallonpituus ja aaltoluku muuttuvat taitekertoimen mukaan, kun valon etenemisnopeus väliaineessa muuttuu. Joten väliaineen taajuus säilyy aina, mutta aallonpituus muuttuu. Aallonpituus ja aaltoluku tietyssä väliaineessa, jolla on taitekerroin, voidaan määrittää seuraavasti:

Missä on aallonpituus tyhjiössä, on aallon luku tyhjiössä.

Joskus monokromaattista kenttää kuvattaessa käytetään muita käsitteitä vaiheen sijaan. Lisätään aaltohäiriön lausekkeeseen aaltoluku syklisen taajuuden sijaan:

Sitten aaltohäiriö kirjoitetaan seuraavasti:

Sana "eikonal" tulee kreikan sanasta (eikon - kuva). Venäjän kielellä tämä vastaa sanaa "kuvake".

Toisin kuin kenttävaiheessa, eikonaali on kätevämpi suuree arvioimaan vaiheen muutosta säteestä toiseen, koska se liittyy suoraan säteen geometriseen polun pituuteen.

Optisen säteen pituus (optisen polun ero, OPD) on taitekertoimen ja geometrisen polun pituuden tulo.

Eikonaalinen inkrementti on yhtä suuri kuin optisen säteen pituus:

Jos vaihe muuttuu muotoon , eikonaali muuttuu muotoon: ;
jos vaihe muuttuu muotoon , eikonaali muuttuu muotoon: ;
jos vaihe muuttuu muotoon , eikonaali muuttuu muotoon: .

Eikonalilla on suuri merkitys optisen kuvantamisen teoriassa, koska eikonal-käsite mahdollistaa ensinnäkin koko kuvanmuodostusprosessin kuvaamisen valon aaltoteorian näkökulmasta, ja toiseksi analysoida mahdollisimman täydellisesti kuvansiirron vääristymiä. optisilla instrumenteilla. Petzvalin, Seidelin ja Schwarzschildin 1800-luvulla kehittämä eikonaaliteoria oli geometrisen optiikan tärkeä perustavanlaatuinen saavutus, jonka ansiosta korkealaatuisten optisten järjestelmien luominen tuli mahdolliseksi. . Kun lisäät kenttiä, niiden kompleksiset amplitudit lisätään, ja aikaeksponentiaalinen kerroin voidaan ottaa pois suluista, eikä sitä oteta huomioon:

1.3.4. Helmholtzin yhtälö

Jos kenttä on monokromaattinen, niin differentiaatio ajan suhteen pelkistetään kertomalla skalaari amplitudi imaginaarikertoimella. Jos siis korvaamme monokromaattisen kentän kuvauksen (1.3.23) aaltoyhtälöllä (1.3.18), niin saadaan muunnosten jälkeen monokromaattisen kentän aaltoyhtälö, joka sisältää vain kompleksin amplitudin (Helmholtzin yhtälö). ).

Helmholtzin yhtälö(Helmgolzin yhtälö):