Расчет временных параметров сетевого графика. Методы расчета временных параметров сетевой модели

Для управления ходом выполнения комплекса операций, представленного сетевой моделью, ЛПР должен располагать информацией о количественных параметрах элементов сети, в том числе: о продолжительности выполнения всего комплекса операций, о сроках выполнения отдельных операций и их резервах времени.

Различают следующие виды путей: полный, предшествующий событию, следующий за событием.

Путь сетевого графика называется полным, если его начальная вершина совпадает с исходным событием, а конечная – с завершающим.

Предшествующий событию путь представляет собой путь от исходного события до данного.

Следующий за событием путь - путь от данного события до завершающего.

Важнейшим параметром сетевого графика является критический путь, представляющий собой полный путь, имеющий наибольшую продолжительность во времени. Операции и события, принадлежащие критическому пути, называются соответственно критическими операциями и критическими событиями. Суммарная продолжительность операций, принадлежащих критическому пути, равна критическому времени выполнения комплекса операций в целом (используется обозначение ). На графике критический путь, как правило, выделяется жирной линией.

Рассмотрим процедуру расчета параметров сетевого графика.

Пусть продолжительности выполнения операций известны (Рис. 3.5; продолжительности операций расположены у соответствующих дуг графика).

Определим сначала ожидаемые (ранние) сроки свершения событий сетевого графика. Исходное событие означает момент начала выполнения комплекса операций, следовательно, . Событие (2) свершится, очевидно, спустя 2 ед. времени после свершения события (1), так как время выполнения операции (1,2) равно 2. Следовательно, . Событию (3) предшествуют два пути: и
. Продолжительность первого пути равна 1 ед. времени, а второго – 2 ед. времени, так как . Продолжительность второго пути можно найти добавлением к ожидаемому сроку свершения события (2) времени выполнения операции (2,3), т. е.
. Поскольку событие (3) может свершиться не раньше момента окончания всех входящих в него операций, то

.

В событие (4) входят две дуги, исходящие из событий (1) и (3), для которых ожидаемые сроки свершения найдены. Следовательно, ожидаемый срок свершения события (4)

Аналогично находятся ожидаемые сроки свершения событий (5), (6) и (7). Значения , приписаны соответствующим событиям.

Общая формула нахождения ожидаемых сроков свершения событий имеет вид:

где – подмножество дуг сети, входящих в событие .

Ожидаемый срок свершения события (7) совпадает с критическим временем (суммарной продолжительностью операций, принадлежащих критическому пути). Возвращаясь теперь от завершающего события к исходному, выделим операции, принадлежащие критическому пути. Из трех операций, входящих в событие (7),
определила операция (5,7), выполнение которой начинается после свершения события (5) и продолжается 3 ед. времени . Момент свершения события (5) определила операция (3,5), так как . В свою очередь момент свершения события (3) определила операция (2,3), а события (2) – операция (1,2). Эти операции на рис. 8.6 выделены жирной линией. Таким образом, критический путь . Увеличение времени выполнения любой операции, принадлежащей критическому пути, ведет к увеличению времени выполнения всего комплекса операций.

Напротив, увеличение времени выполнения или задержка с выполнением некритических операций может не отразиться на сроке свершения завершающего события. Так, например, время выполнения операции (4,5) может быть увеличено, или начало ее выполнения может быть отсрочено на 1 ед. времени, и это не отразится на сроке свершения события (5), а, следовательно, и всего комплекса операций.

Начало выполнения операции (4,7) может быть отсрочено на 3 ед. времени. Отсюда следует, что для события (4), не лежащего на критическом пути, существует предельный (поздний) срок свершения. Обозначим предельный срок свершения любого события сетевого графика через . Примем, что ожидаемый и предельный сроки свершения завершающего события совпадают тогда предельный срок свершения любого события сетевого графика равен минимальной разности между предельными сроками окончания операций, исходящих из данного события, и временем выполнения соответствующих операций. Нахождение предельного срока осуществляется по формуле

где – подмножество дуг сети, исходящих из события .

В нашем примере
. Определим этот показатель для оставшихся событий. Из события (5) исходит одна операция, следовательно, . Аналогично . Из события (4) исходят три операции, поэтому

Аналогично
(на Рис. 3.4 предельные сроки свершения событий указаны в скобках). Для критических событий эти сроки совпадают с ожидаемыми.

Некритические события имеют резервы времени, которые показывают, на какой предельно допустимый срок может задержаться свершение событий без изменения срока свершения завершающего события. Резерв времени события равен разности между предельным и ожидаемым сроками его свершения:

Ожидаемые и предельные сроки свершения событий находятся в тесной взаимосвязи со сроками начала и окончания операций: ранний срок начала выполнения операции равен ожидаемому сроку свершения - го события поздний срок окончания операции совпадает с поздним сроком свершения ее конечного события поздний срок начала выполнения операции равен разности между предельным сроком свершения ее конечного события и продолжительностью ранний срок окончания операции равен сумме ожидаемого срока свершения ее начального события и продолжительности

Сроки выполнения операций находятся в границах, определяемых параметрами: Следовательно, операции, как и события, могут иметь некоторый резерв времени. Различают несколько разновидностей резервов времени операций, из которых наиболее важными являются полный и свободный резервы.

Полный резерв времени операции показывает, насколько можно сдвинуть начало выполнения операции или увеличить ее продолжительность, не изменяя ожидаемого срока свершения начального события, при условии, что конечное для данной операции событие свершится не позднее своего предельного срока. Величина полного резерва времени вычисляется по формуле

Свободный резерв времени операции показывает, насколько можно увеличить продолжительность или отсрочить начало выполнения операции , при условии, что начальное и конечное ее события свершаются в ожидаемое время:

Так резервы времени операции (4,6) сетевого графика составляют (Рис. 3.5).

Временные параметры сети состоят из временных параметров событий и временных параметров работ. Рассмотрим содержание и алгоритм расчета временных параметров событий .

Временем Т j наступления (или свершения) события j считается момент окончания всех работ, входящих в это событие.

Минимальное (самое раннее) время Т j о наступления события j равно длине максимальному из путей, предшествующих данному событию. Очевидно, что это время является и самым ранним временем начала работ, выходящих из этого события. Например, в последнем примере событие 3 может свершиться не ранее, чем через 11 дней от исходного события, т.к. наибольшая длина пути, предшествующего данному событию (пути (0,2)-(2,3)) равна 11.

Критическим временем выполнения комплекса работ будем называть раннее время наступления завершающего события. Критическое время – это минимальное количество времени, необходимое для выполнения всего комплекса работ, очевидно, совпадает с длиной критического пути.

Для вычисления Т j о необходимо сначала рассмотреть все события i, соединенные дугой (i,j) с данным событием j, вычислить для них ранние времена и при этом на каждом шаге использовать формулу

Т j о =maxí Т i о + t ij ý (1)

Вычисления начинаются с исходного события и продолжаются до тех пор, пока не будет достигнуто завершающее событие всей сети.

Проиллюстрируем алгоритм вычисления ранних времен на последнем примере.

Принимаем Т 0 о =0. Поскольку в событие 1 входит только одна работа (0,1) продолжительностью t 01 =2, то Т 1 о = Т 0 о + t 01 =0+2=2.

Рассмотрим далее событие 2 (Заметим, что событие 3 пока рассматривать нельзя, так как срок Т 2 о еще неизвестен). Таким образом, Т 2 о =Т 0 о + t 02 =0+5=5. Перейдем теперь к событию 3. Поскольку в него входят три дуги (0,3),(2,3) и (1,3), то

Т 3 о =maxí Т i о + t i3 ý= maxí 0 + 3; 2+4; 5+6ý=11.

Вычисления продолжаем аналогичным образом, пока не будут определены значения Т j о для всех событий j. Имеем

Т 4 о = Т 2 о + t 24 = 5 + 2 = 7,

Т 5 о = Т 2 о + t 25 = 5 + 1 = 6,

Т 6 о = Т 3 о + t 36 = 11 + 3 = 14,

Т 7 о =maxí Т i о + t i7 ý= maxí7+10; 6+8ý=17,

Т 8 о =maxí Т i о + t i8 ý= maxí6+4; 14+3; 17+5ý=22.

На этом вычисления Т i о заканчиваются.

Теперь от завершающего события к исходному (справа налево) определяем Т i 1 - максимально допустимый (поздний) срок завершения всех работ, входящих в данное событие, при котором критическое время выполнения всего комплекса работ останется неизменным. Если обозначить n – завершающее событие сети, то Т n 1 = Т n 0 является отправной точкой алгоритма вычисления поздних сроков. В общем виде для любого события i,

Т i 1 =min í Т j 1 - t ij ý для всех дуг (i,j). (2)

Вычислим значения Т i 1 на последнем примере (рис.5).

Т 8 1 = Т 8 0 =22,

Т 7 1 = Т 8 1 - t 78 = 22 – 5 = 17,

Т 6 1 = Т 8 о - t 68 = 22 – 3 = 19,

Т 5 1 =min í Т j 1 – t 5j ý= miní17–8; 22 - 4ý=9,

Т 4 1 = Т 7 1 - t 47 = 17 – 10 = 7,

Т 3 1 = Т 6 1 - t 36 = 19 – 3 = 16,

Т 2 1 =min íТ j о - t 2j ý= miní16–6; 7 – 2; 9 - 1ý=5,

Т 1 1 = Т 3 1 - t 13 = 16 - 4 = 12,

Т 0 1 =min íТ j 1 – t 0j ý= miní12–2; 5 – 5; 16 – 3ý=0.

Определим резерв времени R i i-го события как разность между поздним и ранним сроками его свершения:

R i = Т i 1 - Т i 0 (3)

Резерв времени события показывает, на какой допустимый период времени можно задержать наступление данного события, не вызывая при этом увеличения срока выполнения комплекса работ. Сведем результаты вычислений значений Т i 1 , Т i о и R i в табл1:

Таблица 1

Теперь, используя данные табл. 1, можно определить работы критического пути (без полного перебора полных путей). Работа (i,j) принадлежит критическому пути, если она удовлетворяет следующим трем условиям:

Т j о = Т j 1 (4)

Т j о - Т i о =Т j 1 - Т i 1 = t ij

По существу, эти условия означают, что между ранним сроком начала (окончания) и поздним сроком начала (окончания) критической работы запас времени отсутствует. Условиям (4) удовлетворяют работы (0,2), (2,4), (4,7) и (7,8), т.е. они образуют критический путь, в чем мы и ранее убедились перебором всех полных путей.

Временные параметры работ .

Различают несколько разновидностей резервов времени работ, мы рассмотрим два основных вида: полный резерв и свободный резерв . Полный резерв работы (i,j) определяется по формуле:

R п ij =Т j 1 - Т i 0 - t ij (5)

R п ij показывает, на сколько можно увеличить время выполнения данной работы при условии, что срок выполнения всего комплекса работ не изменится. Кроме того, полный резерв времени есть разность между критическим временем и длиной максимального полного пути, проходящего через эту работу.

Полный резерв критических работ равен 0. У некритических работ R п ij > 0. При использовании полного резерва времени только для одной работы резервы времени остальных работ, лежащих на максимальном пути, проходящем через нее, будут полностью исчерпаны, т.е. увеличение продолжительности некритической работы за счет использования всего ее полного резерва обязательно влечет появление нового критического пути, в состав которого войдет эта работа.

Опоздание начала некритической работы (i,j) по сравнению с Т i 0 на всю величину ее полного резерва влечет за собой необходимость начинать все работы, выходящие из события j в наиболее позднее допустимое время Т j 1 наступления этого события.

Свободный резерв времени R с ij работы (i,j) представляет часть полного резерва времени, на которую можно увеличить продолжительность работы, не изменив при этом раннего срока ее конечного события. Этим резервом можно располагать при выполнении данной работы в предположении, что ее начальное и конечное события свершаются в свои самые ранние сроки.

R с ij =Т j 0 - Т i 0 - t ij (6)

Таким образом, свободный резерв времени может быть использован на увеличение продолжительности данной и предшествующих работ без нарушения резерва времени последующих работ.

Для рис. 5 проведем вычисления по формулам (5), (6):

Таблица 2

В табл. 2 приведены результаты расчетов временных параметров работ. Она содержит всю необходимую для построения календарного плана (графика) информацию. Когда полный резерв равен 0, свободный резерв также должен быть равен 0. Однако обратное неверно, поскольку свободный резерв некритической работы также может быть нулевым (например, работы (0,1), (2,3)).

Основным параметром любого процесса является время. Сетевой график определяет положение каждой отдельной работы по отношению к началу или окончанию всего комплекса работ. Это дает возможность оптимизировать график по времени, трудовым и материально-техническим ресурсам. Чем большими ресурсами располагает участок производства, тем меньше на нём продолжительность работы.

При анализе сетевого графика рассматриваются:Путь – это последовательность работ в сетевом графике (в частном случае это одна работа), в которой конечное событие одной работы совпадает с начальным событием следующей за ней работы. Полный путь – это путь от исходного до завершающего события. Критический путь – максимальный по продолжительности полный путь. Работы, лежащие на критическом пути, называют критическими .Критические работы имеют нулевые свободные и полные резервы. Подкритический путь – полный путь, ближайший по длительности к критическому пути.

Наиболее распространенными способами расчёта временных параметров сетевых моделей являются: аналитический, графический и матричный (табличный).

Аналитический и графический способы расчета временных параметров сетевых графиков

Для расчетов используются следующие математические обозначения, часть из которых для наглядности приведена на рис. 5:

Рис. 5. Математические обозначения для аналитического способа

h, i, j, k –номера событий соответственнопредшествующего, начального, конечного и последующего для работы (i-j) ;

(i-j) – работа, связывающая событие i с событием j (код работы); t(i-j) – продолжительность выполнения работы (i-j);

t(h-i) – продолжительность предшествующей работы (h-i); t(j-k) – продолжительность последующей работы (j-k);

t кр – продолжительность критического пути;

t рн (i-j) – раннее начало работы (i-j);

t ро (i-j) – раннее окончание работы (i-j);

t пн (i-j) – позднее начало работы (i-j);

t по (i-j) – позднее окончание работы (i-j);

R п (i-j) – полный резерв времени работы (i-j);

R c (i-j) – свободный (частный) резерв времени работы (i-j).

Расчет сетевой модели начинают с временных параметров событий

· t р (i) – ранний срок наступления события i , минимально необходимый для выполнения всех работ, которые предшествуют событию i ;

· t п (i) – поздний срок наступления события i, превышение которого вызовет аналогичную задержку наступления завершающего события сети;

· R(i)= t п (i) - t р (i) – резерв события i , т.е. время, на которое может быть отсрочено наступление события i без нарушения сроков завершения процесса в целом.

Ранние сроки свершения событий рассчитываются от исходного (И) к завершающему (З) событию следующим образом:

1) для исходного события t р (И)=0 ;

2) для всех остальных событий

где максимум берется по всем работам (h-i) , входящим в событие i .

Поздние сроки свершения событий t п (i) рассчитываются от завершающего к исходному событию:

1) для завершающего события t п (З) = t р (З) ;

2) для всех остальных событий

, (3) где минимум берется по всем работам (i-j) , выходящим из события i . Временные параметры работ определяются на основе ранних и поздних сроков событий:

· Ранний возможный срок начала каждой работы есть ранний срок совершения ее начального события:

t рн (i-j) = t р (i) – ранний срок начала работы;

· Поздний допустимый срок окончания каждой работы есть поздний срок свершения ее конечного события:

t по (i-j) = t п (j) – поздний срок окончания работы;

· Сроки раннего окончания и позднего начала каждой работы находятся следующим образом:

t р o (i-j) = t р (i)+ t(i-j) – ранний срок окончания работы;

t пн (i-j) = t п (j)- t(i-j) – поздний срок начала работы;

· R п (i-j)= t п (j) - t р (i) - t(i-j) – полный резерв работы показывает максимальное время, на которое можно увеличить длительность работы (i-j) или отсрочить ее начало, чтобы не нарушился срок завершения производственного процесса в целом. Если на работе использовать ее полный резерв, то у других работ, лежащих на максимальном пути, проходящем через эту работу, резервы исчезнут. У работ не лежащих на полном пути, проходящем через эту работу, резерв уменьшится на величину использованного полного резерва;

· R с (i-j)= t р (j) - t р (i) - t(i-j) – свободный резерв работы показывает максимальное время, на которое можно увеличить продолжительность работы (i-j) или отсрочить ее начало, не меняя ранних сроков начала последующих работ.

При графическом способе расчет временных параметров сетевой выполняется непосредственно на графике. Результаты расчетов записываются внутри кружков, обозначающих события. Применяется для расчёта моделей с небольшим количеством событий.

Рис.6. Отображение временных параметров событий на сетевом графике

Сетевой график с временными параметрами событий приведен на рис.7.

Результаты расчета временных параметров работ приведены в табл.2

При поиске критических путей на сетевом графике будем использовать следующие условия его критичности:

Рис.7. Сетевой график с временными параметрами событий

· необходимое условие – нулевые резервы событий, лежащих на критическом пути;

· достаточное условие – нулевые полные и свободные резервы работ, лежащих на критическом пути.

Второму условию отвечает только полный путь 1-2-3-4-6-7 – он и является критическим длительностью 37 часов. . За выполнением работ этого пути необходим особый контроль, т.к. любое увеличение их длительности нарушит срок выполнения процесса в целом. Критический путь выделяется на сетевом графике жирной линией (рис.8).

Рис.8. Сетевой график с временными параметрами событий и выделенным критическим путем

Таблица 2.

Результаты расчета временных параметров сетевого графика

КУРСОВАЯ РАБОТА

по предмету: «Математические методы»

на тему: «Основные временные параметры сетевых графиков и их расчеты»

Теория графов – область дискретной математики, которая занимается исследованием и решением разнообразных проблем, связанных с объектом, называемым графом. Граф определяется заданием двух множеств. Первое – X – множество вершин графа. Элементы этого графа можно изобразить в виде точек плоскости или пространства. Второе – U – множество пар элементов из Х. Каждый элемент множества U указывает пару вершин, между которыми существует связь; она может изображаться линией, соединяющей соответствующие вершины графа. При таком изображении требуется, чтобы линия проходила только через вершины, которые она соединяет, и чтобы разные линии могли пересекаться только в вершинах. Иногда в парах составляющих множество U, указывается, какая вершина является первой. В этом случае элементы множества U называются дугами графа (X, U), а сам граф – ориентированным. Если ориентация не указана, то элементы U называются ребрами, а граф (X, U) – неориентированным графом или про сто графом. Элемент U, указывающий на связь вершины с ней самой, называется петлей.

Граф (X, U) называется конечным, если множества X и U состоят из конечного числа элементов. В противном случае граф (X, U) называется бесконечным.

Основные временные параметры сетевых графиков и их расчеты

Важнейшим параметром сетевого графика является критический путь. Путем в сетевом графике называется любая последовательность работ(стрелок), связывающая какие-либо два события. При этом пути, связывающие исходные и завершающие события сети, считается полными, а все другие пути – неполными. Каждый путь характеризуется своей продолжительностью, которая равна сумме продолжительностей составляющих его работ.

Полный путь, имеющий наибольшую продолжительность, называется критическим путем.

Работы и события, лежащие на критическом пути, также называются критическими работами и событиями. Полная продолжительность выполнения всего комплекса работ, отображенного сетевым графиком, равна продолжительности критического пути. На графике критический путь обычно выделяется жирной линией.

Для каждого события, включенного в сетевой график, рассчитываются следующие показатели:

Ранний срок наступления события, характеризующий наиболее ранний из возможных сроков совершения того или иного события;

Поздний срок наступления событий, характеризующий наиболее поздний из допустимых сроков того или иного события. Если установлен срок наступления завершающего события, являющегося результатом всего комплекса проводимых работ, то каждое промежуточное событие должно наступить не позже определенного срока. Этот срок и является предельно допускаемым сроком наступления события;

Резерв времени наступления событий, который определяется как разность между поздним и ранним сроками наступления события.

Зная указанные показатели для событий, для каждой из работ составленного графика можно определить следующие параметры: ранний срок начала работы, который определяется моментом наступления начального ной работы события в его ранний срок; поздний срок начала работы, определяемый моментом наступления конечного для данной работы события в его поздний срок за вычетом продолжительности работы (временной оценки); ранний срок окончания работы и, наконец, поздний срок окончания работы, т. е. предельно допускаемый срок окончания.

Расчет основных временных параметров производится по соответствующим формулам.

Ранний срок наступления любого последующего события (j-го) определяется величиной пути максимальной продолжительности, ведущего к нему от исходного события. Выбор этой продолжительности может быть осу­ществлен по следующей формуле:

Производя расчеты, удобно принимать, что ранний срок наступления исходного (1-го) события равен нулю, т.е.

Поскольку к событию 2 идет только один путь от события 1, то выбирать максимальные продолжительности путей не приходится:

Значит, 4-е событие сможет наступить на 14-й день от общего начала работ (но не через 7 дней, как это может показаться вначале).

Продолжаем расчеты. Очередным является событие 5. К нему ведут два пути: от события 4 и от события 3. Применяем формулу

Аналогично поступаем и с расчетами ранних сроков наступления событий 6 и 7:

Затем рассчитываем

Следовательно, завершающее (8-е) событие может наступить лишь на 36-й день от начала выполнения всего комплекса работ.

Поздний срок наступления любого предыдущего (i-го) события определяется величиной пути минимальной продолжительности, ведущего к нему от завершающего события. Выбор этой продолжительности может быть осуществлен по формуле

Примем самый поздний срок наступления (8-го) события, равный 36 единицам времени, поскольку ранний срок (по предыдущим расчетам) был равен этому числу.

Определим этот показатель для последующих событий:

При расчетах последующих событий 5,4 и т. д., к которым идут несколько путей, необходимо в полной степени использовать вышеприведенную формулу

В конце рассчитываем

Полученный результат говорит о том, что расчеты произведены правильно.

На основе этих расчетов определяются резервы времени для событий как разность между самым поздним и самым ранним сроками их наступления. Резервы времени для событий показывают, на какой предельно допустимый период времени может задержаться наступление того или иного события, не вызывая при этом опасности срыва наступления завершающего события. Разумеется, события, находящиеся на критическом пути, не имеют резервов времени. Имеем.

Для управления ходом выполнения комплекса операций, представленного сетевой моделью, ЛПР должен располагать информацией о количественных параметрах элементов сети, в том числе: о продолжительности выполнения всего комплекса операций, о сроках выполнения отдельных операций и их резервах времени. Различают следующие виды путей: полный, предшествующий событию, следующий за событием.

Путь сетевого графика называется полным, если его начальная вершина совпадает с исходным событием, а конечная – с завершающим.

Предшествующий событию путь представляет собой путь от исходного события до данного.

Следующий за событием путь - путь от данного события до завершающего.

Важнейшим параметром сетевого графика является критический путь, представляющий собой полный путь, имеющий наибольшую продолжительность во времени. Операции и события, принадлежащие критическому пути, называются соответственно критическими операциями и критическими событиями. Суммарная продолжительность операций, принадлежащих критическому пути, равна критическому времени выполнения комплекса операций в целом (используется обозначение ). На графике критический путь, как правило, выделяется жирной линией.

Рассмотрим процедуру расчета параметров сетевого графика.

Пусть продолжительности выполнения операций известны (Рис. 5.5; продолжительности операций расположены у соответствующих дуг графика).

Определим сначала ожидаемые (ранние) сроки свершения событий сетевого графика. Исходное событие означает момент начала выполнения комплекса операций, следовательно,
. Событие (2) свершится, очевидно, спустя 2 ед. времени после свершения события (1), так как время выполнения операции (1,2) равно 2. Следовательно, . Событию (3) предшествуют два пути:
и
. Продолжительность первого пути равна 1 ед. времени, а второго – 2 ед. времени, так как
. Продолжительность второго пути можно найти добавлением к ожидаемому сроку свершения события (2) времени выполнения операции (2,3), т. е.
. Поскольку событие (3) может свершиться не раньше момента окончания всех входящих в него операций, то

.

В событие (4) входят две дуги, исходящие из событий (1) и (3), для которых ожидаемые сроки свершения найдены. Следовательно, ожидаемый срок свершения события (4)

Аналогично находятся ожидаемые сроки свершения событий (5), (6) и (7). Значения ,
приписаны соответствующим событиям.

Общая формула нахождения ожидаемых сроков свершения событий имеет вид:

где
– подмножество дуг сети, входящих в событие
.

Ожидаемый срок свершения события (7)
совпадает с критическим временем (суммарной продолжительностью операций, принадлежащих критическому пути). Возвращаясь теперь от завершающего события к исходному, выделим операции, принадлежащие критическому пути. Из трех операций, входящих в событие (7),
определила операция (5,7), выполнение которой начинается после свершения события (5) и продолжается 3 ед. времени. Момент свершения события (5) определила операция (3,5), так как
. В свою очередь момент свершения события (3) определила операция (2,3), а события (2) – операция (1,2). Эти операции на рис. 5.6 выделены жирной линией. Таким образом, критический путь. Увеличение времени выполнения любой операции, принадлежащей критическому пути, ведет к увеличению времени выполнения всего комплекса операций. Напротив, увеличение времени выполнения или задержка с выполнением некритических операций может не отразиться на сроке свершения завершающего события. Так, например, время выполнения операции (4,5) может быть увеличено, или начало ее выполнения может быть отсрочено на 1 ед. времени, и это не отразится на сроке свершения события (5), а, следовательно, и всего комплекса операций.

Начало выполнения операции (4,7) может быть отсрочено на 3 ед. времени. Отсюда следует, что для события (4), не лежащего на критическом пути, существует предельный (поздний) срок свершения. Обозначим предельный срок свершения любого события сетевого графика через
. Примем, что ожидаемый и предельный сроки свершения завершающего события
совпадают
тогда предельный срок свершения любого события сетевого графика равен минимальной разности между предельными сроками окончания операций, исходящих из данного события, и временем выполнения соответствующих операций. Нахождение предельного срока осуществляется по формуле

где
– подмножество дуг сети, исходящих из события.

В нашем примере
. Определим этот показатель для оставшихся событий. Из события (5) исходит одна операция, следовательно,
. Аналогично
. Из события (4) исходят три операции, поэтому

Аналогично
(на Рис. 5.4 предельные сроки свершения событий указаны в скобках). Для критических событий эти сроки совпадают с ожидаемыми.

Некритические события имеют резервы времени, которые показывают, на какой предельно допустимый срок может задержаться свершение событий без изменения срока свершения завершающего события. Резерв времени событияравен разности между предельным и ожидаемым сроками его свершения:

.

Ожидаемые и предельные сроки свершения событий находятся в тесной взаимосвязи со сроками начала и окончания операций: ранний срок начала выполнения операции
равен ожидаемому сроку свершения- го события
поздний срок окончания операции совпадает с поздним сроком свершения ее конечного события
поздний срок начала выполнения операции равен разности между предельным сроком свершения ее конечного события и продолжительностью
ранний срок окончания операции равен сумме ожидаемого срока свершения ее начального события и продолжительности

Сроки выполнения операций находятся в границах, определяемых параметрами:
Следовательно, операции, как и события, могут иметь некоторый резерв времени. Различают несколько разновидностей резервов времени операций, из которых наиболее важными являются полный и свободный резервы.

Полный резерв времени операции показывает, насколько можно сдвинуть начало выполнения операции или увеличить ее продолжительность, не изменяя ожидаемого срока свершения начального события, при условии, что конечное для данной операции событие свершится не позднее своего предельного срока. Величина полного резерва времени вычисляется по формуле

Свободный резерв времени операции показывает, насколько можно увеличить продолжительность или отсрочить начало выполнения операции
, при условии, что начальное и конечное ее события свершаются в ожидаемое время:

Так резервы времени операции (4,6) сетевого графика составляют (Рис. 5.5):