Подробный расчет формулы дарбина уотсона. Тест дарбина-уотсона на наличие автокорреляции остатков

Критерий Дарбина-Уотсона (или статистика DW).

Это наиболее известный критерий обнаружения автокорреляции первого порядка. Статистика Дарбина - Уотсона приводится во всех специальных компьютерных программах как одна из важнейших характеристик качества регрессионной модели.

Сначала по построенному эмпирическому уравнению регрессии

определяются значения отклонений Рассчитывается

статистика

0 положительная автокорреляция;

d t зона неопределенности;

d u - d u - автокорреляция отсутствует;

• 4 - d u
• 4 - d/ отрицательная автокорреляция.

Можно показать, что статистика (2.64) тесно связана с коэффициентом автокорреляции первого порядка:

Связь выражается формулой:

Отсюда вытекает смысл статистического анализа автокорреляции. Поскольку значения г изменяются от -1 до + 1, DW изменяется от 0 до 4. Когда автокорреляция отсутствует, коэффициент автокорреляции равен нулю, и статистика DW равна 2. Статистика DW, равная 0, соответствует положительной автокорреляции, когда выражение в скобках равно нулю (г= +1). При отрицательной автокорреляции (г= - 1), DW= 4 и выражение в скобках равно двум.

Ограничения критерия Дарбина - Уотсона следующие.

• 1. Статистика DW применяется лишь для тех моделей, которые содержат свободный член.
• 2. Предполагается, что случайные отклонения определяются по итерационной схеме

• 3. Статистические данные должны иметь одинаковую периодичность (не должно быть пропусков в наблюдениях).
• 4. Критерий Дарбина - Уотсона неприменим к авторегрессионным моделям вида

Для моделей (2.66) предлагается /г-статистика Дарбина:

где р - оценка р первого порядка (2.65);

D(c) - выборочная дисперсия коэффициента при лаговой переменной у, _ ь п - число наблюдений.

При большом п и справедливости нуль-гипотезы Н 0: р = 0 И- статистика имеет стандартное распределение h ~ N{ 0, 1). Поэтому при заданном уровне значимости определяется критическая точка из условия:

и Л-статистика сравнивается с иар.. Если И > иа/ 2 , то нуль-гипотеза об отсутствии автокорреляции должна быть отклонена. В противном случае она не отклоняется.

Обычно значение р рассчитывается в первом приближении по формуле р&1- DIV /2, a D(c) равна квадрату стандартной ошибки т с оценки коэффициента с. Следует отметить, что вычисление /г-статистики невозможно при nD(c) > 1.

Автокорреляция чаще всего вызывается неправильной спецификацией модели. Поэтому следует попытаться скорректировать саму модель, в частности ввести какой-нибудь неучтенный фактор или изменить форму модели, например, с линейной на полулогарифмическую или гиперболическую. Если все эти способы не помогают и автокорреляция вызвана какими-то внутренними свойствами ряда {е,}, можно воспользоваться преобразованием, которое называется авторегрессионной схемой первого порядка AR{ 1).

Рассмотрим /Щ1) на примере парной регрессии:

Тогда соседним наблюдениям согласно (2.68) соответствуют формулы:

Если случайные отклонения определяются выражением (2.65), где коэффициент р известен, то преобразования формул (2.69) и (2.70) дает:

Сделаем в (2.71) замены переменных: получим с учетом выражения (2.65):

Поскольку случайные отклонения у, удовлетворяют предпосылкам МНК, оценки а и b уравнения (2.73) будут обладать свойствами наилучших линейных несмещенных оценок. По преобразованным значениям всех переменных с помощью обычного МНК вычисляются оценки параметров а и Ь, которые затем можно использовать в регрессии (2.68).

Однако способ вычисления преобразованных переменных (2.72) приводит к потере первого наблюдения, если нет информации о предшествующих наблюдениях. Это уменьшает на единицу число степеней свободы, что при больших выборках не очень существенно, однако при малых выборках приводит к потере эффективности. Тогда первое наблюдение восстанавливается с помощью поправки Прайса- Уинстена:

Для преобразования /Щ1), а также при введении поправок (2.74) важно оценить коэффициент авторегрессии р. Это делается несколькими способами. Самое простое - оценить р на основе статистики

где г берется в качестве оценки р.

Формула (2.75) хорошо работает при большом числе наблюдений.

Существуют и другие методы оценивания р: метод Кокрена- Оркатта и метод Хилдрета-Лу. Рассмотрим метод Кокрена-Оркатта пошагово:

• 1. Сначала к непреобразованным исходным данным применяется обычный МНК, для которого рассчитываются остатки.
• 2. Затем в качестве приближенного значения коэффициента авторегрессии р берется его МНК-оценка в регрессии (2.65).
• 3. Проводится преобразование исходных переменных по формулам (2.72), и к преобразованным данным применяется МНК для определения новых оценок параметров а и Ь.
• 4. Процедура повторяется, начиная с п. 2.

Процесс обычно заканчивается, когда очередное приближение р мало отличается от предыдущего. Иногда просто фиксируется количество итераций. Такая процедура реализована в большинстве эконометрических компьютерных программ.

где Ду, = у, - у 1, Дх, = х, - х,_ 1 - так называемые первые разности (назад).

Из уравнения (2.76) по МНК оценивается коэффициент Ь. Параметр а здесь не определяется непосредственно, однако из МНК известно, что а = у -Ьх.

В случае р = -1, сложив (2.69) и (2.70) с учетом (2.65), получаем уравнение регрессии.

Критерий Дарбина - Уотсона (или DW-критерий) - статистический критерий, используемый для нахождения автокорреляции первого порядка элементов исследуемой последовательности. Наиболее часто применяется при анализе временных рядов и остатков регрессионных моделей. Критерий назван в честь Джеймса Дарбина и Джеффри Уотсона. Критерий Дарбина - Уотсона рассчитывается по следующей формуле

где ρ1 - коэффициент автокорреляции первого порядка.

В случае отсутствия автокорреляции d = 2, при положительной автокорреляции d стремится к нулю, а при отрицательной - к 4:

На практике применение критерия Дарбина - Уотсона основано на сравнении величины d с теоретическими значениями dL и dU для заданных числа наблюдений n, числа независимых переменных модели k и уровня значимости α.

Если d < dL, то гипотеза о независимости случайных отклонений отвергается (следовательно присутствует положительная автокорреляция);

Если d > dU, то гипотеза не отвергается;

Если dL < d < dU, то нет достаточных оснований для принятия решений.

Когда расчетное значение d превышает 2, то с dL и dU сравнивается не сам коэффициент d, а выражение (4 − d).

Также с помощью данного критерия выявляют наличие коинтеграции между двумя временными рядами. В этом случае проверяют гипотезу о том, что фактическое значение критерия равно нулю. С помощью метода Монте-Карло были получены критические значения для заданных уровней значимости. В случае, если фактическое значение критерия Дарбина - Уотсона превышает критическое, то нулевую гипотезу об отсутствии коинтеграции отвергают.

Недостатки :

Не способен выявлять автокорреляцию второго и более высоких порядков.

Даёт достоверные результаты только для больших выборок.

13. Соизмеримые показатели тесноты связи

К соизмеримым показателям тесноты связи относятся:

1) коэффициенты частной эластичности;

2) стандартизированные частные коэффициенты регрессии;

3) частный коэффициент детерминации.

Если факторные переменные имеют несопоставимые единицы измерения, то связь между ними измеряется с помощью соизмеримых показателей тесноты связи. С помощью соизмеримых показателей тесноты связи характеризуется степень зависимости между факторной и результативной переменными в модели множественной регрессии.

Коэффициент частной эластичности рассчитывается по формуле:

– среднее значение факторной переменной xi по выборочной совокупности,

– среднее значение результативной переменной у по выборочной совокупности;

– первая производная результативной переменной у по факторной переменной х.

Частный коэффициент эластичности измеряется в процентах и характеризует объём изменения результативной переменной у при изменении на 1 % от среднего уровня факторной переменной xiпри условии постоянства всех остальных факторных переменных, включённых в модель регрессии.

Для линейной модели регрессии частный коэффициент эластичности рассчитывается по формуле:

где βi– коэффициент модели множественной регрессии.

Для того чтобы рассчитать стандартизированные частные коэффициенты регрессии, необходимо построить модель множественной регрессии в стандартном (нормированном) масштабе. Это означает, что все переменные, включённые в модель регрессии, стандартизируются с помощью специальных формул. Посредством процесса стандартизации точкой отсчёта для каждой нормированной переменной устанавливается её среднее значение по выборочной совокупности. При этом в качестве единицы измерения стандартизированной переменной принимается её среднеквадратическое отклонение β.

Факторная переменная х переводится в стандартизированный масштаб по формуле:

где xij – значение переменной xj в i-том наблюдении;

G(xj) – среднеквадратическое отклонение факторной переменной xi;

Результативная переменная у переводится в стандартизированный масштаб по формуле:

где G(y) – среднеквадратическое отклонение результативной переменной у.

Стандартизированные частные коэффициенты регрессии характеризуют, на какую долю своего среднеквадратического отклонения G(y) изменится результативная переменная у при изменении факторной переменной х на величину своего среднеквадратического отклонения G(x), при условии постоянства всех остальных факторных переменных, включённых в модель регрессии.

Стандартизированный частный коэффициент регрессии характеризует степень непосредственной или прямой зависимости между результативной и факторной переменными. Но в связи с тем, что между факторными переменными, включёнными в модель множественной регрессии, существует зависимость, факторная переменная оказывает не только прямое, но и косвенное влияние на результативную переменную.

Частный коэффициент детерминации используется для характеристики степени косвенного влияния факторной переменной х на результативную переменную у:

где βi– стандартизированный частный коэффициент регрессии;

r(xixj) – коэффициент частной корреляции между факторными переменными xi и xj.

Частный коэффициент детерминации характеризует, на сколько процентов вариация результативной переменной вызвана вариацией i-ой факторной переменной, включённой в модель множественной регрессии, при условии постоянства всех остальных факторных переменных, включённых в модель регрессии.

Стандартизированные частные коэффициенты регрессии и частные коэффициенты эластичности могут давать различные результаты. Это несовпадение может быть объяснено, например, слишком большой величиной среднеквадратического отклонения одной из факторных переменных или эффектом неоднозначного воздействия одной из факторных переменных на результативную переменную.

• Н 0 (основная гипотеза): ρ = 0
• Н 1 (альтернативная гипотеза): ρ > 0 или ρ
  Для проверки основной гипотезы используется статистика критерия Дарбина-Уотсона – DW:

  Где e i = y - y(x)

  Проводится с помощью трех калькуляторов:

  1. Уравнение тренда (линейная и нелинейная регрессия)

  Рассмотрим третий вариант. Линейное уравнение тренда имеет вид y = at + b
  1. Находим параметры уравнения методом наименьших квадратов через онлайн сервис Уравнение тренда .
  Система уравнений
  
  Для наших данных система уравнений имеет вид
  
  Из первого уравнения выражаем а 0 и подставим во второе уравнение
  Получаем a 0 = -12.78, a 1 = 26763.32
  Уравнение тренда
  y = -12.78 t + 26763.32
  Оценим качество уравнения тренда с помощью ошибки абсолютной аппроксимации.
  
  
  Поскольку ошибка больше 15%, то данное уравнение не желательно использовать в качестве тренда
  Средние значения
  
  
  
  Дисперсия
  
  
  Среднеквадратическое отклонение
  
  

  Индекс детерминации
  
  , т.е. в 97.01% случаев влияет на изменение данных. Другими словами - точность подбора уравнения тренда - высокая.

  t	y	t 2	y 2	t ∙ y	y(t)	(y-y cp) 2	(y-y(t)) 2	(t-t p) 2	(y-y(t)) : y
  1990	1319	3960100	1739761	2624810	1340.26	18117.16	451.99	148.84	28041.86
  1996	1288	3984016	1658944	2570848	1263.61	10732.96	594.99	38.44	31417.53
  2001	1213	4004001	1471369	2427213	1199.73	817.96	176.08	1.44	16095.92
  2002	1193	4008004	1423249	2388386	1186.96	73.96	36.54	0.04	7211.59
  2003	1174	4012009	1378276	2351522	1174.18	108.16	0.03	0.64	210.94
  2004	1159	4016016	1343281	2322636	1161.4	645.16	5.78	3.24	2786.55
  2005	1145	4020025	1311025	2295725	1148.63	1552.36	13.17	7.84	4155.05
  2006	1130	4024036	1276900	2266780	1135.85	2959.36	34.26	14.44	6614.41
  2007	1117	4028049	1247689	2241819	1123.08	4542.76	36.94	23.04	6789.19
  2008	1106	4032064	1223236	2220848	1110.3	6146.56	18.51	33.64	4758.73
  20022	11844	40088320	14073730	23710587	11844	45696.4	1368.3	271.6	108081.77

  Тест Дарбина-Уотсона на наличие автокорреляции остатков для временного ряда .

  y	y(x)	e i = y-y(x)	e 2	(e i - e i-1) 2
  1319	1340.26	-21.26	451.99	0
  1288	1263.61	24.39	594.99	2084.14
  1213	1199.73	13.27	176.08	123.72
  1193	1186.96	6.04	36.54	52.19
  1174	1174.18	-0.18	0.03	38.75
  1159	1161.4	-2.4	5.78	4.95
  1145	1148.63	-3.63	13.17	1.5
  1130	1135.85	-5.85	34.26	4.95
  1117	1123.08	-6.08	36.94	0.05
  1106	1110.3	-4.3	18.51	3.15
  			1368.3	2313.41

  
  
  Критические значения d 1 и d 2 определяются на основе специальных таблиц для требуемого уровня значимости a, числа наблюдений n и количества объясняющих переменных m.
  Не обращаясь к таблицам, можно пользоваться приблизительным правилом и считать, что автокорреляция остатков отсутствует, если 1.5 < DW < 2.5. Для более надежного вывода целесообразно обращаться к табличным значениям.
  d 1 < DW и d 2 < DW < 4 - d 2 .

  Пример . По данным за 24 месяца построено уравнение регрессии зависимости прибыли сельскохозяйственной организации от производительности труда (x1): y = 300 + 5x .
  Получены следующие промежуточные результаты:
  ∑ε 2 = 18500
  ∑(ε t - ε t-1) 2 = 41500
  Рассчитайте критерий Дарбина-Уотсона (при n=24 и k=1 (число факторов) нижнее значение d = 1,27, верхнее d = 1,45. Сделайте выводы.

  Решение.
  DW = 41500/18500 = 2,24
  d 2 = 4- 1,45 =2,55
  Поскольку DW > 2,55, то следовательно, имеются основания считать, что автокорреляция отсутствует. Это является одним из подтверждений высокого качества полученного уравнения регрессии y = 300 + 5x .

Этот метод достаточно прост: последовательно определяются знаки отклонений,t=1,2…T. Например,

(-----)(+++++++)(---)(++++)(-),

Т.е. 5 «-», 7 «+», 3 «-», 4 «+», 1 «-» при 20 наблюдениях.

Ряд определяется как непрерывная последовательность одинаковых знаков. Количество знаков в ряду называется длиной ряда.

Визуальное распределение знаков свидетельствует о неслучайном характере связей между отклонениями. Если рядов слишком мало по сравнению с количеством наблюдений n, то вполне вероятна положительная автокорреляция. Если же рядов слишком много, то вероятна отрицательная автокорреляция.

Критерий Дарбина-Уотсона

Наиболее известным критерием обнаружения автокорреляции первого порядка является критерий Дарбина- Уотсона и расчет величины

Согласно (2.3.1) величина d есть отношение суммы квадратов разностей последовательных значений остатков к остаточной сумме квадратов по модели регрессии. Значение критерия Дарбина - Уотсона указывается наряду с коэффициентом детерминации, значениями t- и F-критериев.

Коэффициент автокорреляции остатков первого порядка определяется как

Между критерием Дарбина-Уотсона и коэффициентом автокорреляции остатков первого порядка имеет место следующее соотношение:

Таким образом, если в остатках существует полная положительная автокорреляция и = 1, то d = 0. Если в остатках полная отрицательная автокорреляция, то = - 1 и, следовательно, d = 4. Если автокорреляция остатков отсутствует, то = 0 и d= 2. Следовательно, 0

Алгоритм выявления автокорреляции остатков на основе критерия Дарбина-Уотсона следующий. Выдвигается гипотеза Н0 об отсутствии автокорреляции остатков. Альтернативные гипотезы и состоят, соответственно, в наличии положительной или отрицательной автокорреляции в остатках. Далее по таблице (приложение А) определяются критические значения критерия Дарбина-Уотсона и для заданного числа наблюдений n, числа независимых переменных модели k и уровня значимости a. По этим значениям числовой промежуток разбивают на пять отрезков. Принятие или отклонение каждой из гипотез с вероятностью (1-a) рассматривается на рис. 2.3.

Рис. 2.3.1

Если фактическое значение критерия Дарбина - Уотсона попадает в зону неопределенности, то на практике предполагают существование автокорреляции остатков и отклоняют гипотезу H0.

Пример 2.3.1. Проверка гипотезы о наличии автокорреляции в остатках.

Исходные данные, значения и результаты промежуточных расчетов представлены в табл. 2.3.1.

Таблица 2.3.1 Расчет критерия Дарбина-Уотсона для модели зависимости потребления от дохода

Фактическое значение критерия Дарбина-Уотсона для этой модели составляет d = 4,1233/1,6624 = 2,48. Сформулируем гипотезы:

Н0 - в остатках нет автокорреляции;

Н1 - в остатках есть положительная автокорреляция;

Н1* - в остатках есть отрицательная автокорреляция.

Зададим уровень значимости a = 0,05. По таблицам значений критерия Дарбина-Уотсона определим для числа наблюдений n = 7 и числа независимых переменных модели k" = 1 критические dL = 0,700 и dU = 1,356. Получим следующие промежутки внутри интервала

Рис. 2.3.2

Фактическое значение d = 2,48 попадает в промежуток от до 4 - . Следовательно, нет оснований отклонять гипотезу H0 об отсутствии автокорреляции в остатках.

Пример 2.3.2. В таблице 2.3.2. приведены данные, отражающие спрос на некоторый товар за восьмилетний период, т.е. временной ряд спроса

Таблица 2.3.2

Выявить на уровне значимости 0,05 наличие автокорреляции в остатках для временного ряда.

Получили уравнение тренда:

В таблице 2.3.3 приведены необходимые вычисления

По формуле вычислили

По таблице критических точек при n=15 , т.е. фактически найденное d=2.34 находится в пределах от до 4-(1.36

Есть несколько существенных ограничений на применение критерия Дарбина-Уотсона. Во-первых, он неприменим к моделям, включающим в качестве независимых переменных лаговые значения результативного признака, т. е. к моделям авторегрессии. Во-вторых, методика расчета и использования критерия Дарбина - Уотсона направлена только на выявление автокорреляции остатков первого порядка. При проверке остатков на автокорреляцию более высоких порядков следует применять другие методы. В-третьих, критерий Дарбина-Уотсона дает достоверные результаты только для больших выборок.

Статистическая значимость коэффициентов регрессии и близкое к единице значение коэффициента детерминации R 2 не гарантируют высокое качество уравнения регрессии. Для иллюстрации этого факта весьма нагляден пример, в котором анализируется зависимость реального объема потребления CONS (млрд. $, в ценах 1982 года) от численности населения POP (млн. чел.) в США в 1931-1990 годах. Корреляционное поле статистических данных изображено на рис1.

Рис.1. Корреляционное поле статистических данных

Линейное уравнение регрессии, построенное по МНК по реальным статистическим данным, имеет вид: СONS =-1817,3 + 16,7РОР. Стандартные ошибки коэффициентов S b 0 = 84,7, S b 1 =0,46. Следовательно, их t-статистики t b 0 =-21,4 , t b 1 =36,8. Эти значения существенно превышают 3, что свидетельствует о статистической значимости коэффициентов. Коэффициент детерминации R 2 = 0,96 (т.е. уравнение «объясняет» 96% дисперсии объема потребления). Однако по расположению точек на корреляционном поле видно, что зависимость между POP и CONS не является линейной, а будет скорее экспоненциальной. Для качественного прогноза уровня потребления линейная функция, безусловно, не может быть использована. Таким образом, при весьма хороших значениях t-статистик и F-статистики предложенное уравнение регрессии не может быть признано удовлетворительным (отметим, что R =0,96, скорее всего, в силу того, что и CONS и POP имели временной тренд). Можно ли определить причину этого?

Нетрудно заметить, что в данном случае не выполняются необходимые предпосылки МНК об отклонениях e i точек наблюдений от линии регрессии. Эти отклонения явно не обладают постоянной дисперсией и не являются взаимно независимыми. Нарушение необходимых предпосылок делает неточными полученные оценки коэффициентов регрессии, увеличивая их стандартные ошибки, и обычно свидетельствует о неверной спецификации самого уравнения.

Поэтому следующим этапом проверки качества уравнения регрессии является проверка выполнимости предпосылок МНК.

Оценивая линейное уравнение регрессии, мы предполагаем, что реальная взаимосвязь переменных линейна, а отклонения от регрессионной прямой являются случайными, независимыми друг от друга величинами с нулевым математическим ожиданием и постоянной дисперсией. Если эти предположения не выполняются, то оценки коэффициентов регрессии не обладают свойствами несмещенности, эффективности и состоятельности, и анализ их значимости будет неточным.

Причинами, по которым отклонения не обладают перечисленными выше свойствами, могут быть либо нелинейный характер зависимости между рассматриваемыми переменными, либо наличие не учтенного в уравнении существенного фактора. Действительно, при нелинейной зависимости между переменными отклонения от прямой регрессии не случайно распределены вокруг нее, а обладают определенными закономерностями, которые зачастую выражаются в существенном преобладании числа пар соседних отклонений e i-1 и e i с совпадающими знаками над числом пар с противоположными знаками.

При статистическом анализе уравнения регрессии на начальном этапе часто проверяют выполнимость одной предпосылки, а именно: условия статистической независимости отклонений между собой. Поскольку значения e i теоретического уравнения регрессии Y=β 0 +β 1 x+e остаются неизвестными ввиду неопределенности истинных значений коэффициентов регрессии, то проверяется статистическая независимость их оценок - отклонений e i , i=1,2,...,n. При этом обычно проверяется их некоррелированность, являющаяся необходимым, но недостаточным условием независимости. Причем проверяется некоррелированность не любых, а только соседних величин e i . Соседними обычно считаются соседние во времени (при рассмотрении временных рядов) или по возрастанию объясняющей переменной X (в случае перекрестной выборки) значения е i

На практике для анализа коррелированности отклонений вместо коэффициента корреляции используют тесно с ним связанную статистику Дарбина- Уотсона DW, рассчитываемую по формуле:

Если e i = е i-1 , то r ei . e-1 =1 и DW = 0. Если е i =-е i-1 ; , то r ei . e-1 =-1 и DW = 4. Во всех других случаях 0 < DW < 4 .

К этому же результату можно подойти с другой стороны. Если каждое следующее отклонение e i приблизительно равно предыдущему, e i -1 , то каждое слагаемое (e 1 -e i -1) в числителе дроби близко к нулю. Тогда, очевидно, числитель дроби будет существенно меньше знаменателя и, следовательно, статистика DW окажется близкой к нулю.

Например, для зависимости CONS и POP (рис. 1) DW = 0,045, что очень близко к нулю и подтверждает наличие положительной автокорреляции остатков первого порядка (линейной зависимости между остатками).

В другом крайнем случае, когда точки наблюдений поочередно отклоняются в разные стороны от линии регрессии, случай отрицательной автокорреляции остатков первого порядка. При случайном поведении отклонений можно предположить, что в одной половине случаев знаки последовательных отклонений совпадают, а в другой - противоположны. Так как абсолютная величина отклонений в среднем предполагается одинаковой, то можно считать, что в половине случаев e i = е i-1 , а в другой е i =-е i-1 . Тогда DW =2

Таким образом, необходимым условием независимости случайных отклонений является близость к двойке значения статистики Дарбина-Уотсона. Это означает, что построенная линейная регрессия, вероятно, отражает реальную зависимость.

Возникает вопрос, какие значения DW можно считать статистически близкими к двум?

Для ответа на этот вопрос разработаны специальные таблицы критических точек статистики Дарбина-Уотсона, позволяющие при данном числе наблюдений n, количе­стве объясняющих переменных m и заданном уровне значимости α определять границы приемлемости (критические точки) наблюдаемой статистики DW. Для заданных α,n,m в таблице указываются два числа: d l - нижняя граница и d u - верхняя граница. Для проверки гипотезы об отсутствии автокорреляции остатков используется числовой отрезок, изображенный на рис. 2.

Рис.2. Числовой отрезок.

Выводы осуществляются по следующей схеме.

1. Если DW
2. Если DW>4-d l , то это свидетельствует об отрицательной автокорреляции остатков.
3. При d u
4. Если d l

Не обращаясь к таблице критических точек Дарбина-Уотсона, можно пользоваться «грубым» правилом и считать, что автокорреляция остатков отсутствует, если 1,5

При наличии автокорреляции остатков полученное уравнение регрессии обычно считается неудовлетворительным.

Пример. Анализируется объем S сбережений домохозяйства за 10 лет. Предполагается, что его размер St в текущем году t зависит от величины y t -\ располагаемого дохода Y в предыдущем году и от величины Zt реальной процентной ставки Z в рассматриваемом году. Статистические данные представлены в таблице:

Необходимо:

а) по МНК оценить коэффициенты линейной регрессии S =β 0 +β 1 Y+β 2 Z;

б) оценить статистическую значимость найденных эмпирических коэффициентов регрессии b 0 , b 1 , b 2 ;

в) построить 95% -е доверительные интервалы для найденных коэффициентов;

г) вычислить коэффициент детерминации R 2 и оценить его статистическую значимость при α = 0,05;

д) определить, какой процент разброса зависимой переменной объясняется данной регрессией (значимость R 2 по Фишеру);

е) вычислить статистику DW Дарбина-У отсона и оценить наличие автокорреляции;

ж) сделать выводы по качеству построенной модели;

з) спрогнозировать средний объем сбережений в 1991 году, если предполагаемый доход составит 270 тыс. у.е., а процентная ставка будет равна 5,5.

Расчет коэффициентов проводится по формулам: b 0 = 5,9619423; b 1 = 0,126189; b 2 = 3,24841/

Проанализируем статистическую значимость коэффициентов регрессии, предварительно рассчитав их стандартные ошибки. Стандартная ошибка регрессии S=1,7407. Следовательно, дисперсии и стандартные ошибки коэффициентов равны:

S b 0 = 1,8929; S b 1 = 0,0212; S b 2 = 1,0146.

Рассчитаем соответствующие t-статистики: t b 0 = 1,565; t b 1 = 5,858; t b 2 = 3,503.

На первый взгляд (используя «грубое» правило), только статистическая значимость свободного члена вызывает сомнения. Два других коэффициента имеют t-статистики, превышающие тройку, что является признаком их высокой статистической значимости. Однако убедимся в таком выводе на основе более детального анализа.

Для использования таблиц критических точек необходимо выбрать требуемый уровень значимости. Обычно это прерогатива исследователя.

Вопросы для повторения

1. Какая существует связь между линейным коэффициентом корреляции и коэффициентом регрессии?

2. Каким образом оценить точность полученной модели регрессии?

3. Какими критериями пользуются при оценке качества построенной регрессионной модели?

4. Как строятся доверительные интервалы для регрессионной модели?

5. Может ли регрессия нелинейная по параметрам быть приведена к линейному виду?

6. Как осуществляется прогноз показателей по регрессионной модели?