Исследовать функцию методом дифференциального исчисления онлайн. Общая схема исследования функции и построения графика

Опорными точками при исследовании функций и построения их графиков служат характерные точки – точки разрыва, экстремума, перегиба, пересечения с осями координат. С помощью дифференциального исчисления можно установить характерные особенности изменения функций: возрастание и убывание, максимумы и минимумы, направление выпуклости и вогнутости графика, наличие асимптот.

Эскиз графика функции можно (и нужно) набрасывать уже после нахождения асимптот и точек экстремума, а сводную таблицу исследования функции удобно заполнять по ходу исследования.

Обычно используют следующую схему исследования функции.

1. Находят область определения, интервалы непрерывности и точки разрыва функции .

2. Исследуют функцию на чётность или нечётность (осевая или центральная симметрия графика.

3. Находят асимптоты (вертикальные, горизонтальные или наклонные).

4. Находят и исследуют промежутки возрастания и убывания функции, точки её экстремума.

5. Находят интервалы выпуклости и вогнутости кривой, точки её перегиба .

6. Находят точки пересечения кривой с осями координат, если они существуют.

7. Составляют сводную таблицу исследования.

8. Строят график, учитывая исследование функции, проведённое по вышеописанным пунктам.

Пример. Исследовать функцию

и построить её график.

7. Составим сводную таблицу исследования функции, куда внесём все характерные точки и интервалы между ними. Учитывая чётность функции, получаем следующую таблицу:

Сегодня мы предлагаем вместе с нами исследовать и построить график функции. После внимательного изучения данной статьи вам не придется долго потеть над выполнением подобного рода задания. Исследовать и построить график функции нелегко, работа объемная, требующая максимального внимания и точности вычислений. Для облегчения восприятия материала мы будем поэтапно изучать одну и ту же функцию, объясним все наши действия и вычисления. Добро пожаловать в удивительный и увлекательный мир математики! Поехали!

Область определения

Для того чтобы исследовать и построить график функции, необходимо знать несколько определений. Функция является одним из основных (базовых) понятий в математике. Она отражает зависимость между несколькими переменными (двумя, тремя и более) при изменениях. Так же функция показывает зависимость множеств.

Представьте, что у нас есть две переменные, которые имеют определенный диапазон изменения. Так вот, у - это функция от х, при условии, что каждому значению второй переменной соответствует одно значение второй. При этом переменная у - зависима, ее и называют функцией. Принято говорить, что переменные х и у находятся в Для большей наглядности данной зависимости строят график функции. Что такое график функции? Это множество точек на координатной плоскости, где каждому значению х соответствует одно значение у. Графики могут быть разные - прямая линия, гипербола, парабола, синусоида и так далее.

График функции невозможно построить без исследования. Сегодня мы научимся проводить исследование и построим график функции. Очень важно в ходе исследования на наносить пометки. Так справиться с задачей будет намного проще. Наиболее удобный план исследования:

1. Область определения.
2. Непрерывность.
3. Четность или нечетность.
4. Периодичность.
5. Асимптоты.
6. Нули.
7. Знакопостоянство.
8. Возрастание и убывание.
9. Экстремумы.
10. Выпуклость и вогнутость.

Начнем с первого пункта. Найдем область определения, то есть на каких промежутках существует наша функция: у=1/3(х^3-14х^2+49х-36). В нашем случае, функция существует при любых значениях х, то есть область определения равна R. Записать это можно следующим образом хÎR.

Непрерывность

Сейчас мы с вами будем исследовать функцию на разрыв. В математике термин «непрерывность» появился в результате изучения законов движения. Что является бесконечным? Пространство, время, некоторые зависимости (примером может служить зависимость переменных S и t в задачах на движение), температура нагреваемого объекта (воды, сковороды, термометра и так далее), непрерывная линия (то есть та, которую можно нарисовать, не отрывая от листа карандаш).

Непрерывным считается график, который не разрывается в некоторой точке. Одним из самых наглядных примеров такого графика является синусоида, которую вы можете увидеть на картинке в данном разделе. Функция непрерывна в некоторой точке х0, если соблюден ряд условий:

• в данной точке определена функция;
• правый и левый предел в точке равны;
• предел равен значению функции в точке х0.

При несоблюдении хотя бы одного условия говорят, что функция терпит разрыв. А точки, в которых разрывается функция, принято называть точками разрыва. Примером функции, которая при графическом отображении будет «разрываться», может служить: у=(х+4)/(х-3). При этом у не существует в точке х=3 (так как на нуль делить нельзя).

В функции, которую исследуем мы (у=1/3(х^3-14х^2+49х-36)) оказалось все просто, так как график будет являться непрерывным.

Четность, нечетность

Теперь исследуйте функцию на четность. Для начала немного теории. Четной называют ту функцию, которая удовлетворяет условию f(-x)=f(x) при любом значении переменной х (из области значений). Примерами могут служить:

• модуль х (график похож на галку, биссектриса первой и второй четверти графика);
• х в квадрате (парабола);
• косинус х (косинусоида).

Обратите внимание на то, что все эти графики симметричны, если рассматривать это относительно оси ординат (то есть у).

А что же тогда называют нечетной функцией? Таковыми являются те функции, которые удовлетворяют условию: f(-х)=-f(х) при любом значении переменной х. Примеры:

• гипербола;
• кубическая парабола;
• синусоида;
• тангенсоида и так далее.

Обратите внимание на то, что данные функции имеют симметрию относительно точки (0:0), то есть начала координат. Исходя из того, что было сказано в данном разделе статьи, четная и нечетная функция должна обладать свойством: х принадлежит множеству определения и -х тоже.

Исследуем функцию на четность. Мы можем заметить, что она не подходит ни под одно из описаний. Следовательно, наша функция не является ни четной, ни нечетной.

Асимптоты

Начнем с определения. Асимптота - это кривая, которая максимально приближена к графику, то есть расстояние от некоторой точки стремится к нулю. Всего выделяют три вида асимптот:

• вертикальные, то есть параллельные оси у;
• горизонтальные, то есть параллельные оси х;
• наклонные.

Что касается первого вида, то данные прямые стоит искать в некоторых точках:

• разрыв;
• концы области определения.

В нашем случае функция непрерывна, а область определения равна R. Следовательно, вертикальные асимптоты отсутствуют.

Горизонтальная асимптота есть у графика функции, который отвечает следующему требованию: если х стремится к бесконечности или минус бесконечности, а предел равен некоторому числу (например, а). В данном случае у=а - это и есть горизонтальная асимптота. В исследуемой нами функции горизонтальных асимптот нет.

Наклонная асимптота существует только в том случае, если соблюдены два условия:

• lim (f(x))/x=k;
• lim f(x)-kx=b.

Тогда ее можно найти по формуле: у=kx+b. Опять же, в нашем случае наклонных асимптот нет.

Нули функции

Следующим этапом нам необходимо исследовать график функции на нули. Очень важно отметить и то, что задание, связанное с нахождением нулей функции, встречается не только при исследовании и построении графика функции, но и как самостоятельное задание, и как способ решения неравенств. От вас могут потребовать найти нули функции на графике или использовать математическую запись.

Нахождение данных значений поможет вам более точно составить график функции. Если говорить простым языком, то нуль функции - это значение переменной х, при которой у=0. Если вы ищите нули функции на графике, то стоит обратить внимание на точки, в которых происходит пересечение графика с осью абсцисс.

Чтобы найти нули функции, необходимо решить следующее уравнение: у=1/3(х^3-14х^2+49х-36)=0. После проведения необходимых вычислений, мы получаем следующий ответ:

Знакопостоянство

Следующий этап исследования и построения функции (графика) - это нахождение промежутков знакопостоянства. Это значит, что мы должны определить, на каких промежутках функция принимает положительное значение, а на каких - отрицательное. Это нам помогут сделать найденные в прошлом разделе нули функции. Итак, нам нужно построить прямую (отдельно от графика) и в правильном порядке распределить по ней нули функции от меньшего к большему. Теперь нужно определить, какой из полученных промежутков имеет знак «+», а какой «-».

В нашем случае, функция принимает положительное значение на промежутках:

• от 1 до 4;
• от 9 до бесконечности.

Отрицательное значение:

• от минус бесконечности до 1;
• от 4 до 9.

Это определить достаточно просто. Подставьте любое число из промежутка в функцию и посмотрите с каким знаком получился ответ (минус или плюс).

Возрастание и убывание функции

Для того чтобы исследовать и построить функцию, нам необходимо узнать, где график будет возрастать (идти вверх по Оу), а где будет падать (ползти вниз по оси ординат).

Функция возрастает только в том случае, если большему значению переменной х соответствует большее значение у. То есть х2 больше х1, а f(х2) больше f(x1). И совершенно обратное явление мы наблюдаем у убывающей функции (чем больше х, тем меньше у). Для определения промежутков возрастания и убывания необходимо найти следующее:

• область определения (у нас уже есть);
• производную (в нашем случае: 1/3(3х^2-28х+49);
• решить уравнение 1/3(3х^2-28х+49)=0.

После вычислений мы получаем результат:

Получаем: функция возрастает на промежутках от минуса бесконечности до 7/3 и от 7 до бесконечности, а убывает на промежутке от 7/3 до 7.

Экстремумы

Исследуемая функция y=1/3(х^3-14х^2+49х-36) является непрерывной и существует при любых значениях переменной х. Точка экстремума показывает максимум и минимум данной функции. В нашем случае таковых не имеется, что значительно упрощает задачу построения. В противном случае так же находятся при помощи производной функции. После нахождения не забывайте отмечать их на графике.

Выпуклость и вогнутость

Продолжаем далее исследовать функцию y(x). Сейчас нам нужно проверить ее на выпуклость и вогнутость. Определения этих понятий достаточно тяжело воспринять, лучше все проанализировать на примерах. Для теста: функция выпуклая, если является неубывающей функции. Согласитесь, это непонятно!

Нам нужно найти производную от функции второго порядка. Мы получаем: у=1/3(6х-28). Теперь приравняем правую часть к нулю и решим уравнение. Ответ: х=14/3. Мы нашли точку перегиба, то есть место, где график меняет выпуклость на вогнутость или наоборот. На промежутке от минус бесконечности до 14/3 функция выпукла, а от 14/3 до плюс бесконечности - вогнута. Очень важно отметить и то, что точка перегиба на графике должна быть плавной и мягкой, никаких острых углов присутствовать не должно.

Определение дополнительных точек

Наша задача - исследовать и построить график функции. Мы закончили исследование, построить график функции теперь не составит труда. Для более точного и детального воспроизведения кривой или прямой на координатной плоскости можно найти несколько вспомогательных точек. Их вычислить довольно просто. Например, мы возьмем х=3, решаем полученное уравнение и находим у=4. Или х=5, а у=-5 и так далее. Дополнительных точек вы можете брать столько, сколько вам необходимо для построения. Минимум их находят 3-5.

Построение графика

Нам необходимо было исследовать функцию (x^3-14х^2+49х-36)*1/3=у. Все необходимые пометки в ходе вычислений были нанесены на координатной плоскости. Все что осталось сделать - построить график, то есть соединить все точки между собой. Соединять точки стоит плавно и аккуратно, это дело мастерства - немного практики и ваш график будет идеальным.

Для полного исследования функции и построения ее графика рекомендуется следующая схема:
А) найти область определения, точки разрыва; исследовать поведение функции вблизи точек разрыва (найти пределы функции слева и справа в этих точках). Указать вертикальные асимптоты.
Б) определить четность или нечетность функции и сделать вывод о наличии симметрии. Если , то функция четная, симметрична относительно оси OY; при функция нечетная, симметрична относительно начала координат; а если – функция общего вида.
В) найти точки пересечения функции с осями координат OY и OX (если это возможно), определить интервалы знакопостоянства функции. Границы интервалов знакопостоянства функции определяются точками, в которых функция равна нулю(нули функции) или не существует и границами области определения этой функции. В интервалах, где график функции расположен над осью OX, а где – под этой осью.
Г) найти первую производную функции, определить ее нули и интервалы знакопостоянства. В интервалах, где функция возрастает, а где убывает. Сделать заключение о наличие экстремумов (точек, где функция и производная существуют и при переходе через которые меняет знак. Если меняет знак с плюса на минус, то в этой точке функция имеет максимум, а если с минуса на плюс, то минимум). Найти значения функции в точках экстремумов.
Д) найти вторую производную , ее нули и интервалы знакопостоянства. В интервалах, где < 0 график функции выпуклый, а где – вогнутый. Сделать заключение о наличии точек перегиба и найти значения функции в этих точках.
Е) найти наклонные (горизонтальные) асимптоты, уравнения которых имеют вид ; где
.
При график функции будет иметь две наклонные асимптоты, причем каждому значению x при и могут соответствовать и два значения b.
Ж) найти дополнительные точки для уточнения графика (если в этом есть необходимость) и построить график.

Пример 1 Исследовать функцию и построить ее график. Решение: А) область определения ; функция непрерывна в области определения; – точка разрыва, т.к. ; . Тогда – вертикальная асимптота.
Б)
т.е. y(x)– функция общего вида.
В) Находим точки пересечения графика с осью OY: полагаем x=0; тогда y(0)=–1, т.е. график функции пересекает ось в точке (0;-1). Нули функции (точки пересечения графика с осью OX): полагаем y=0; тогда
.
Дискриминант квадратного уравнения меньше нуля, значит нулей не существует. Тогда границей интервалов знакопостоянства является точка x=1, где функция не существует.
Знак функции в каждом из интервалов определяем методом частных значений:

Из схемы видно, что в интервале график функции расположен под осью OX, а в интервале –над осью OX.
Г) Выясняем наличие критических точек.
.
Критические точки (где или не существует) находим из равенств и .

Получаем: x1=1, x2=0, x3=2. Составим вспомогательную таблицу

Таблица 1

(В первой строке записываются критические точки и интервалы, на которые делят эти точки ось OX; во второй строке указываются значения производной в критических точках и знаки на интервалах. Знаки определяются методом частных значений. В третьей строке указываются значения функции y(x) в критических точках и показывается поведение функции – возрастание или убывание на соответствующих интервалах числовой оси. Дополнительно обозначается наличие минимума или максимума.
Д) Находим интервалы выпуклости и вогнутости фукнции.
; строим таблицу как в пункте Г); только во второй строке записываем знаки , а в третьей указываем вид выпуклости. Т.к. ; то критическая точка одна x=1.
Таблица 2

Точка x=1 является точкой перегиба.
Е) Находим наклонные и горизонтальные асимптоты

Тогда y=x – наклонная асимптота.
Ж) По полученным данным строим график функции

1). Область определения функции.
Очевидно, что эта функция определена на всей числовой прямой, кроме точек “” и “”, т.к. в этих точках знаменатель равняется нулю и, следовательно, функция не существует, а прямые и – вертикальные асимптоты.

2). Поведение функции при стремлении аргумента к бесконечности, существование точек разрыва и проверка наличия наклонных асимптот.
Проверим сначала как ведет себя функция при приближении к бесконечности влево и вправо.

Таким образом, при функция стремится к 1, т.е. – горизонтальная асимптота.
В окрестности точек разрыва поведение функции определяется следующим образом:


Т.е. при приближении к точкам разрыва слева функция бесконечно убывает, справа – бесконечно возрастает.
Наличие наклонной асимптоты определим, рассмотрев равенство:

Наклонных асимптот нет.

3). Точки пересечения с осями координат.
Здесь необходимо рассмотреть две ситуации: найти точку пересечения с осью Ох и с осью Оу. Признаком пересечения с осью Ох является нулевое значение функции, т.е. необходимо решить уравнение:

Это уравнение не имеет корней, следовательно, точек пересечения с осью Ох у графика данной функции нет.
Признаком пересечения с осью Оу является значение х = 0. При этом
,
т.е. – точка пересечения графика функции с осью Оу.

4). Определение точек экстремума и промежутков возрастания и убывания.
Для исследования этого вопроса определим первую производную:
.
Приравняем к нулю значение первой производной.
.
Дробь равна нулю, когда равен нулю ее числитель, т.е. .
Определим промежутки возрастания и убывания функции.

Т.о., функция имеет одну точку экстремума и в двух точках не существует.
Таким образом, функция возрастает на промежутках и и убывает на промежутках и .

5). Точки перегиба и участки выпуклости и вогнутости.
Эта характеристика поведения функции определяется с помощью второй производной. Определим сначала наличие точек перегиба. Вторая производная функции равна

При и функция вогнута;

при и функция выпуклая.

6). Построение графика функции.
Используя в пунктах найденные величины, построим схематически график функции:

Решение
Заданная функция является непериодической функцией общего вида. Её график проходит через начало координат, так как .
Областью определения заданной функции являются все значения переменной , кроме и , при которых знаменатель дроби обращается в ноль.
Следовательно, точки и являются точками разрыва функции.
Так как ,

Так как ,
, то точка является точкой разрыва второго рода.
Прямые и являются вертикальными асимптотами графика функции.
Уравнения наклонных асимптот , где , .
При ,
.
Таким образом, при и график функции имеет одну асимптоту .
Найдем интервалы возрастания и убывания функции и точки экстремумов.
.
Первая производная функции при и , следовательно, при и функция возрастает.
При , следовательно, при , функция убывает.
не существует при , .
, следовательно, при график функции вогнутый.
При , следовательно, при график функции выпуклый.

При переходе через точки , , меняет знак. При , функция не определена, следовательно, график функции имеет одну точку перегиба .
Построим график функции.

Провести полное исследование и построить график функции

y(x)=x2+81−x.y(x)=x2+81−x.

1) Область определения функции. Так как функция представляет собой дробь, нужно найти нули знаменателя.

1−x=0,⇒x=1.1−x=0,⇒x=1.

Исключаем единственную точку x=1x=1 из области определения функции и получаем:

D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).

2) Исследуем поведение функции в окрестности точки разрыва. Найдем односторонние пределы:

Так как пределы равны бесконечности, точка x=1x=1 является разрывом второго рода, прямая x=1x=1 - вертикальная асимптота.

3) Определим точки пересечения графика функции с осями координат.

Найдем точки пересечения с осью ординат OyOy, для чего приравниваем x=0x=0:

Таким образом, точка пересечения с осью OyOy имеет координаты (0;8)(0;8).

Найдем точки пересечения с осью абсцисс OxOx, для чего положим y=0y=0:

Уравнение не имеет корней, поэтому точек пересечения с осью OxOx нет.

Заметим, что x2+8>0x2+8>0 для любых xx. Поэтому при x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) функция y>0y>0(принимает положительные значения, график находится выше оси абсцисс), при x∈(1;+∞)x∈(1;+∞) функция y<0y<0 (принимает отрицательные значения, график находится ниже оси абсцисс).

4) Функция не является ни четной, ни нечетной, так как:

5) Исследуем функцию на периодичность. Функция не является периодической, так как представляет собой дробно-рациональную функцию.

6) Исследуем функцию на экстремумы и монотонность. Для этого найдем первую производную функции:

Приравняем первую производную к нулю и найдем стационарные точки (в которых y′=0y′=0):

Получили три критические точки: x=−2,x=1,x=4x=−2,x=1,x=4. Разобьем всю область определения функции на интервалы данными точками и определим знаки производной в каждом промежутке:

При x∈(−∞;−2),(4;+∞)x∈(−∞;−2),(4;+∞) производная y′<0y′<0, поэтому функция убывает на данных промежутках.

При x∈(−2;1),(1;4)x∈(−2;1),(1;4) производная y′>0y′>0, функция возрастает на данных промежутках.

При этом x=−2x=−2 - точка локального минимума (функция убывает, а потом возрастает), x=4x=4 - точка локального максимума (функция возрастает, а потом убывает).

Найдем значения функции в этих точках:

Таким образом, точка минимума (−2;4)(−2;4), точка максимума (4;−8)(4;−8).

7) Исследуем функцию на перегибы и выпуклость. Найдем вторую производную функции:

Приравняем вторую производную к нулю:

Полученное уравнение не имеет корней, поэтому точек перегиба нет. При этом, когда x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) выполняется y′′>0y″>0, то есть функция вогнутая, когда x∈(1;+∞)x∈(1;+∞) выполняется y′′<0y″<0, то есть функция выпуклая.

8) Исследуем поведение функции на бесконечности, то есть при .

Так как пределы бесконечны, горизонтальных асимптот нет.

Попробуем определить наклонные асимптоты вида y=kx+by=kx+b. Вычисляем значения k,bk,b по известным формулам:

Получили, у что функции есть одна наклонная асимптота y=−x−1y=−x−1.

9) Дополнительные точки. Вычислим значение функции в некоторых других точках, чтобы точнее построить график.

y(−5)=5.5;y(2)=−12;y(7)=−9.5.y(−5)=5.5;y(2)=−12;y(7)=−9.5.

10) По полученным данным построим график, дополним его асимптотами x=1x=1(синий), y=−x−1y=−x−1 (зеленый) и отметим характерные точки (фиолетовым пересечение с осью ординат, оранжевым экстремумы, черным дополнительные точки):

Задание 4: Геометрические, Экономические задачи(не имею понятия какие, тут примерная подборка задач с решением и формулами)

Пример 3.23. a

Решение. x и y y
y = a - 2×a/4 =a/2. Поскольку x = a/4 - единственная критическая точка, проверим, меняется ли знак производной при переходе через эту точку. При xa/4 S " > 0, а при x >a/4 S " < 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Пример 3.24.

Решение.
R = 2, Н = 16/4 = 4.

Пример 3.22. Найти экстремумы функции f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

Решение. Так как f " (x) = 6x 2 - 30x +36 = 6(x -2)(x - 3), то критические точки функции x 1 = 2 и x 2 = 3. Экстремумы могут быть только в этих точках. Так как при переходе через точку x 1 = 2 производная меняет знак плюс на минус, то в этой точке функция имеет максимум. При переходе через точку x 2 = 3 производная меняет знак минус на плюс, поэтому в точке x 2 = 3 у функции минимум. Вычислив значения функции в точках
x 1 = 2 и x 2 = 3, найдем экстремумы функции: максимум f(2) = 14 и минимум f(3) = 13.

Пример 3.23. Нужно построить прямоугольную площадку возле каменной стены так, чтобы с трех сторон она была отгорожена проволочной сеткой, а четвертой стороной примыкала к стене. Для этого имеется a погонных метров сетки. При каком соотношении сторон площадка будет иметь наибольшую площадь?

Решение. Обозначим стороны площадки через x и y . Площадь площадки равна S = xy. Пусть y - это длина стороны, примыкающей к стене. Тогда по условию должно выполняться равенство 2x + y = a. Поэтому y = a - 2x и S = x(a - 2x), где
0 ≤ x ≤ a/2 (длина и ширина площадки не могут быть отрицательными). S " = a - 4x, a - 4x = 0 при x = a/4, откуда
y = a - 2×a/4 =a/2. Поскольку x = a/4 - единственная критическая точка, проверим, меняется ли знак производной при переходе через эту точку. При xa/4 S " > 0, а при x >a/4 S " < 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Пример 3.24. Требуется изготовить закрытый цилиндрический бак вместимостью V=16p ≈ 50 м 3 . Каковы должны быть размеры бака (радиус R и высота Н), чтобы на его изготовление пошло наименьшее количество материала?

Решение. Площадь полной поверхности цилиндра равна S = 2pR(R+Н). Мы знаем объем цилиндра V = pR 2 Н Þ Н = V/pR 2 =16p/ pR 2 = 16/ R 2 . Значит, S(R) = 2p(R 2 +16/R). Находим производную этой функции:
S " (R) = 2p(2R- 16/R 2) = 4p (R- 8/R 2). S " (R) = 0 при R 3 = 8, следовательно,
R = 2, Н = 16/4 = 4.

Похожая информация.

Инструкция

Найдите область определения функции. Например, функция sin(x) определена на всем интервале от -∞ до +∞, а функция 1/x - от -∞ до +∞ за исключением точки x = 0.

Определите области непрерывности и точки разрыва. Обычно функция непрерывна в той же самой области, где она определена. Чтобы обнаружить разрывы, нужно вычислить при приближении аргумента к изолированным точкам внутри области определения. Например, функция 1/x стремится к бесконечности, когда x→0+, и к минус бесконечности, когда x→0-. Это значит, что в точке x = 0 она имеет разрыв второго рода.
Если пределы в точке разрыва конечны, но не равны, то это разрыв первого рода. Если же они равны, то функция считается непрерывной, хотя в изолированной точке она и не определена.

Найдите вертикальные асимптоты, если они есть. Здесь вам помогут вычисления предыдущего шага, поскольку вертикальная асимптота практически всегда находится в точке разрыва второго рода. Однако иногда из области определения исключены не отдельные точки, а целые интервалы точек, и тогда вертикальные асимптоты могут располагаться на краях этих интервалов.

Проверьте, обладает ли функция особыми свойствами: четностью, нечетностью и периодичностью.
Функция будет четной, если для любого x в области определения f(x) = f(-x). Например, cos(x) и x^2 - четные функции.

Периодичность - свойство, говорящее о том, что есть некое число T, называемое периодом, что для любого x f(x) = f(x + T). Например, все основные тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс) - периодические.

Найдите точки . Для этого вычислите производную от заданной функции и найдите те значения x, где она обращается в ноль. Например, функция f(x) = x^3 + 9x^2 -15 имеет производную g(x) = 3x^2 + 18x, которая обращается в ноль при x = 0 и x = -6.

Чтобы определить, какие точки экстремума являются максимумами, а какие минимумами, отследите изменение знаков производной в найденных нулях. g(x) меняет знак с плюса в точке x = -6, а в точке x = 0 обратно с минуса на плюс. Следовательно, функция f(x) в первой точке имеет , а во второй - минимум.

Таким образом, вы нашли и области монотонности: f(x) монотонно возрастает на промежутке -∞;-6, монотонно убывает на -6;0 и снова возрастает на 0;+∞.

Найдите вторую производную. Ее корни покажут, где график заданной функции будет выпуклым, а где - вогнутым. Например, второй производной от функции f(x) будет h(x) = 6x + 18. Она обращается в ноль при x = -3, меняя при этом знак с минуса на плюс. Следовательно, график f(x) до этой точки будет выпуклым, после нее - вогнутым, а сама эта точка будет точкой перегиба.

У функции могут быть и другие асимптоты, кроме вертикальных, но только в том случае, если в ее область определения входит . Чтобы их найти, вычислите предел f(x), когда x→∞ или x→-∞. Если он конечен, то вы нашли горизонтальную асимптоту.

Наклонная асимптота - прямая вида kx + b. Чтобы найти k, вычислите предел f(x)/x при x→∞. Чтобы найти b - предел (f(x) – kx) при том же x→∞.

Постройте график функции по вычисленным данным. Обозначьте асимптоты, если они есть. Отметьте точки экстремума и значения функции в них. Для большей точности графика вычислите значения функции еще в нескольких промежуточных точках. Исследование завершено.